Fisika Universitas — Tahun 1 · Bachelor Year 1

28Magnetostatika: Medan, Gaya, dan Dipol

Sebuah jarum kompas berayun ketika kawat di dekatnya mengalirkan arus: pengamatan Ørsted pada tahun 1820 itu menyatukan dua ilmu yang tumbuh terpisah, kelistrikan dan kemagnetan, dan dalam hitungan bulan Ampère memperoleh hukum gaya antara arus, sedangkan Biot dan Savart memperoleh medan sebuah kawat. Bab ini adalah statika medan magnet: apa yang diciptakan arus (peta medan, hukum Biot–Savart, dan teorema Ampère, kembaran magnetik hukum Gauss), apa yang dilakukan medan pada arus (gaya Laplace, yang menjalankan setiap motor dan setiap alat ukur), serta dipol magnetik, yaitu lilitan arus yang menjelaskan kompas, magnet, dan medan Bumi sendiri.

Alat kemagnetan yang tertua: sebuah jarum kompas adalah dipol magnetik kecil yang menyearahkan diri dengan medan Bumi.

Percobaan Ørsted: tutuplah rangkaiannya dan jarumnya berayun — sebuah arus menciptakan medan magnet yang melingkari kawatnya.

28.1 Sumber dan peta medan

Definisi 28.1 (Medan magnetostatik)

Arus tunak (muatan dalam gerak tunak) menciptakan di setiap titik sebuah medan magnet $\vect B$ (tesla, $\mathrm{T}$ ), yang didefinisikan oleh gaya $q\vect v\wedge\vect B$ yang dikerahkannya pada muatan uji yang bergerak (Definisi 17.1). Yang disebut garis medan-nya menyinggung $\vect B$ dan berarah menyusurinya. Magnet tetap menciptakan medan yang sehakikat, dari arus mikroskopik atom-atomnya. Orde besarnya: Bumi $5 \times 10^{-5}\,\mathrm{T}$ ; magnet lemari es $0.01\,\mathrm{T}$ ; sebuah pemindai MRI $1.5\,\mathrm{T}$ sampai $3\,\mathrm{T}$ ; medan tunak laboratorium yang terbesar $45\,\mathrm{T}$ .

Proposisi 28.2 (Peta medan)

Sebuah kawat lurus: lingkaran yang berpusat pada kawatnya, pada bidang yang tegak lurus terhadapnya, berarah menurut aturan tangan kanan (ibu jari menyusuri arusnya, jari-jari lain menyusuri $\vect B$ ).
Sebuah lilitan melingkar: garis yang menembus lilitannya menyusuri sumbunya lalu menutup di luar; dari jauh, peta sebuah magnet kecil.
Sebuah solenoida panjang: garis yang sejajar, rapat dan seragam di dalam; hampir tak ada medan di luar; peta sebuah magnet batang, yang muka “utara”-nya adalah muka yang ditinggalkan garisnya.
Garis medan magnet tak berpangkal dan tak berujung: ia menutup pada dirinya sendiri atau lari ke tak hingga. Setara dengan itu, fluks $\vect B$ menembus sebarang permukaan tertutup bernilai nol — tak ada muatan magnetik.

Bukti. Diterima tanpa bukti pada tingkat ini. ∎

Tiga peta medan. Sebuah titik adalah arus menuju pembaca, sebuah silang arus yang menjauh. Garis sebuah kawat berupa lingkaran; garis sebuah lilitan menembusnya lalu menutup di luar; garis sebuah solenoida panjang lurus dan seragam di dalam lalu menutup jauh di luar, tempat medannya lemah — dalam setiap kasusnya ia tak bersumber dan tak berlubang buangan.

Proposisi 28.3 (Simetri $\vect B$ )

$\vect B$ berperilaku di bawah pencerminan berlawanan dengan $\vect E$ (ia sebuah pseudovektor, yang dibangun dari hasil kali silang): pada sebuah titik bidang simetri arusnya, $\vect B$ tegak lurus pada bidangnya; pada sebuah titik bidang antisimetri (bayangan cerminnya membalik arusnya), $\vect B$ terletak di dalam bidangnya. Invariansinya berpindah seperti bagi $\vect E$ .

Bukti. Medan sebuah unsur arus $\propto I\,\dd\vect l\wedge\vect e_r$ (di bawah); sebuah cermin membalik satu faktor hasil kali silang relatif terhadap bayangan sebuah vektor sejati, sehingga bayangan $\vect B$ adalah lawan bayangan cermin anak panahnya. Pada bidang simetri $\vect B$ harus sama dengan lawan bayangan cerminnya sendiri, jadi normal terhadap bidangnya; pada bidang antisimetri, lawan dari lawannya: di dalam bidangnya. ∎

Contoh 28.4 (Memakai simetrinya)

Bagi sebuah kawat lurus, setiap bidang yang memuat kawatnya adalah bidang simetri, sehingga di setiap titik $\vect B$ tegak lurus pada bidang yang melalui kawatnya dan titiknya: ortoradial, $\vect B = B(r)\,\vect e_\theta$ menurut invariansi menyusuri dan mengelilingi kawatnya. Bagi sebuah lilitan, bidang lilitannya adalah bidang simetri: padanya $\vect B$ normal terhadap lilitannya; sumbunya terletak di dalam setiap bidang antisimetri yang memuatnya: pada sumbunya $\vect B$ menyusuri sumbunya.

28.2 Hukum Biot–Savart

Teorema 28.5 (Biot–Savart)

Sebuah rangkaian yang mengalirkan arus $I$ menciptakan di $M$ medan

\vect B(M) = \frac{\mu_0}{4\pi}\sum_{\text{rangkaian}} \frac{I\,\dd\vect l\wedge\vect e_{PM}}{PM^2} ,

yaitu jumlah atas unsur $\dd\vect l$ rangkaiannya di titik $P$ , yang berarah menyusuri arusnya, dengan $\vect e_{PM}$ vektor satuan dari $P$ ke $M$ , dan $\mu_0 = 4\pi \times 10^{-7}\,\mathrm{T}\,\mathrm{m}/\mathrm{A}$ yang disebut permeabilitas hampa. Tiap unsurnya menyumbang medan yang tegak lurus pada dirinya sendiri dan pada garis $PM$ , meluruh sebanding $1/PM^2$ .

Bukti. Diterima tanpa bukti pada tingkat ini. ∎

Proposisi 28.6 (Kawat, lilitan, solenoida)

Kawat lurus tak hingga, pada jarak $r$ : $B = \dfrac{\mu_0I}{2\pi r}$ .
Lilitan melingkar berjari-jari $R$ , pada sumbunya sejauh $z$ dari pusatnya: $B_z = \dfrac{\mu_0IR^2}{2(R^2 + z^2)^{3/2}} = \dfrac{\mu_0I}{2R} \sin^3\alpha$ , dengan $\alpha$ setengah sudut tempat lilitannya terlihat dari $M$ ; di pusatnya $B = \mu_0I/2R$ .
Solenoida berlilitan $n$ tiap meter, pada sumbunya: $B = \tfrac12\mu_0nI (\cos\alpha_1 - \cos\alpha_2)$ , dengan $\alpha_1, \alpha_2$ sudut tempat kedua ujungnya terlihat; bagi solenoida yang panjang, $B = \mu_0nI$ di dalam, separuhnya di sebuah ujung.

Bukti. (1) $M$ berjarak $r$ dari kawatnya, $P$ berabsis $z$ menyusurinya: $\dd\vect l\wedge\vect e_{PM}$ bernilai $\dd z\,\sin\beta = \dd z\cdot r/PM$ dengan $PM = \sqrt{r^2 + z^2}$ ; semuanya ortoradial: $B = \dfrac{\mu_0I}{4\pi}\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}\dfrac{r\,\dd z}{(r^2 + z^2)^{3/2}} = \dfrac{\mu_0I}{4\pi}\,\dfrac{2}{r}$ . (2) Tiap unsur lilitannya berjarak sama $\sqrt{R^2 + z^2}$ dari $M$ , tegak lurus pada $\vect e_{PM}$ ; medannya bernilai $\mu_0I\,\dd l/4\pi(R^2 + z^2)$ , dan hanya komponen aksialnya, yaitu pecahan $R/\sqrt{R^2 + z^2}$ darinya, yang bertahan terhadap penjumlahan mengelilingi lilitannya: $B_z = \mu_0I\cdot2\pi R\cdot R/4\pi(R^2 + z^2)^{3/2}$ . (3) Sebuah irisan $\dd z'$ solenoidanya adalah sebuah lilitan berarus $nI\,\dd z'$ ; dengan $z' - z = R/\tan\alpha$ , $\dd z' = -R\,\dd\alpha/\sin^2\alpha$ , dan $B = \dfrac{\mu_0nI}{2}\displaystyle\int\sin^3\alpha\,\dfrac{\dd\alpha}{\sin^2\alpha}$ atas solenoidanya $= \tfrac12\mu_0nI(\cos\alpha_1 - \cos\alpha_2)$ ; bila panjangnya tak hingga, $\alpha_1 \to 0$ , $\alpha_2 \to \pi$ . ∎

Ketiga perhitungan Biot–Savart bab ini: unsur l sebuah kawat dan sumbangannya di M, tegak lurus pada bidang gambarnya; lilitannya dilihat dari M di bawah setengah sudut ; solenoidanya, yang kedua ujungnya terlihat di bawah _1 dan _2. — Ketiga perhitungan Biot–Savart bab ini: unsur $\dd\vect l$ sebuah kawat dan sumbangannya di $M$ , tegak lurus pada bidang gambarnya; lilitannya dilihat dari $M$ di bawah setengah sudut $\alpha$ ; solenoidanya, yang kedua ujungnya terlihat di bawah $\alpha_1$ dan $\alpha_2$ .

Contoh 28.7 (Orde besarnya)

Sebuah kawat $10\,\mathrm{A}$ pada $1\,\mathrm{cm}$ : $B = 2 \times 10^{-7} \times 10/0.01 = 2 \times 10^{-4}\,\mathrm{T}$ , empat kali medan Bumi — kompasnya memang berayun. Sebuah kumparan berlilitan $100$ , berjari-jari $5\,\mathrm{cm}$ , $2\,\mathrm{A}$ : $\mu_0NI/2R = 2.5\,\mathrm{mT}$ di pusatnya. Sebuah solenoida berlilitan $1000$ tiap meter pada $5\,\mathrm{A}$ : $6.3\,\mathrm{mT}$ ; dengan teras besi berpermeabilitas nisbi $1000$ , beberapa tesla akan menyusul seandainya besinya tak menjenuh dekat $2\,\mathrm{T}$ — langit-langit setiap elektromagnet, dan itulah sebabnya medan terkuat datang dari kumparan superkonduktor tanpa besi.

28.3 Hukum Ampère

Teorema 28.8 (Ampère)

Sirkulasi $\vect B$ menyusuri sebarang kurva tertutup berarah $\Gamma$ sama dengan $\mu_0$ dikalikan arus total yang menembus sebarang permukaan yang dibatasi $\Gamma$ , dihitung positif bila ia menembus dalam arah yang diberikan aturan tangan kanan dari arah $\Gamma$ :

\oint_\Gamma \vect B\cdot\dd\vect l = \mu_0 I_{\text{dalam}} .

Bukti. Bagi sebuah lingkaran berjari-jari $r$ yang berpusat pada kawat lurus, $\vect B$ menyinggung dan bernilai $\mu_0I/2\pi r$ di mana-mana, sehingga sirkulasinya $2\pi r \times \mu_0I/2\pi r = \mu_0I$ , tak bergantung pada $r$ ; bagi sebuah kurva yang tak melingkupi kawatnya sumbangannya saling meniadakan. Kasus umumnya diterima tanpa bukti (jilid Tahun ke-2). ∎

Metode 28.9 (Memakai hukum Ampère)

Seperti bagi Gauss: (1) simetrinya memberi arah $\vect B$ dan variabel yang menjadi gantungannya; (2) pilihlah sebuah lintasan Ampère lewat $M$ yang padanya $\vect B$ menyinggung dengan nilai tetap atau tegak lurus; (3) cacahlah arus yang menembusnya; (4) selesaikanlah. Cara ini berhasil bagi kawat dan silinder tak hingga, solenoida dan toroida tak hingga, serta lembar arus tak hingga.

Proposisi 28.10 (Silinder, solenoida, toroida)

Sebuah kawat silinder berjari-jari $a$ yang mengalirkan $I$ secara seragam: $B = \dfrac{\mu_0Ir}{2\pi a^2}$ di dalam, $\dfrac{\mu_0I}{2\pi r}$ di luar — maksimumnya di permukaannya.
Sebuah solenoida tak hingga berlilitan $n$ tiap meter: $\vect B = \mu_0nI\, \vect e_z$ seragam di dalam, $\vect 0$ di luar, apa pun bentuk penampangnya.
Sebuah toroida berlilitan $N$ : $B = \dfrac{\mu_0NI}{2\pi r}$ di dalam gulungannya, nol di luar — sebuah solenoida yang menutup pada dirinya sendiri, tanpa medan sasar.

Bukti. (1) Lingkaran berjari-jari $r$ : $2\pi rB = \mu_0I(r/a)^2$ atau $\mu_0I$ . (2) $\vect B$ aksial menurut simetrinya dan, menurut Ampère pada sebuah persegi panjang yang kedua sisi panjangnya di luar, seragam di luar, jadi nol (ia lenyap di tak hingga); sebuah persegi panjang dengan satu sisi panjangnya di dalam, sepanjang $\ell$ , memberi $B\ell = \mu_0n\ell I$ . (3) Lingkaran berjari-jari $r$ di dalam torusnya: $2\pi rB = \mu_0NI$ ; di luar, arus terlingkupinya nol. ∎

Kiri: medan sebuah kawat tebal, linear di dalam dan sebanding 1/r di luar, terbesar di permukaannya. Kanan: persegi panjang Ampère yang memberi medan sebuah solenoida tak hingga — hanya sisi yang di dalam yang menyumbang pada sirkulasinya. — Kiri: medan sebuah kawat tebal, linear di dalam dan sebanding $1/r$ di luar, terbesar di permukaannya. Kanan: persegi panjang Ampère yang memberi medan sebuah solenoida tak hingga — hanya sisi yang di dalam yang menyumbang pada sirkulasinya.

28.4 Gaya Laplace

Teorema 28.11 (Gaya Laplace)

Sebuah unsur penghantar $\dd\vect l$ yang mengalirkan $I$ dalam medan $\vect B$ menerima gaya $\dd\vect F = I\,\dd\vect l\wedge\vect B$ ; sebuah ruas lurus $\vect L$ dalam medan seragam menerima $\vect F = I\vect L\wedge\vect B$ , yang bernilai $ILB\sin\theta$ , tegak lurus baik pada kawatnya maupun pada medannya.

Bukti. Pengemban muatan dalam $\dd\vect l$ (jumlahnya $n\,S\,\dd l$ , muatannya $q$ , kecepatan hanyutnya $\vect v$ ) masing-masing merasakan $q\vect v\wedge\vect B$ ; jumlahnya adalah $nSq\,\dd l\,\vect v\wedge\vect B = I\,\dd\vect l\wedge\vect B$ karena $I = nqvS$ dan $\vect v$ menyusuri $\dd\vect l$ . Pengembannya meneruskan gayanya ke kisi kawatnya lewat tumbukannya. ∎

Proposisi 28.12 (Gaya antara kawat sejajar)

Dua kawat sejajar yang panjang dan terpisah sejauh $d$ yang mengalirkan $I_1$ dan $I_2$ saling menarik bila arusnya searah, saling menolak bila berlawanan arah, dengan gaya tiap satuan panjang

\frac{F}{\ell} = \frac{\mu_0I_1I_2}{2\pi d} .

Dua kawat yang terpisah $1\,\mathrm{m}$ dan mengalirkan $1\,\mathrm{A}$ merasakan $2 \times 10^{-7}$ N tiap meter — definisi ampere dari tahun 1948 sampai 2019, dan asal nilai $\mu_0 = 4\pi \times 10^{-7}$ .

Bukti. Kawat 1 menciptakan $\mu_0I_1/2\pi d$ di kawat 2, tegak lurus terhadapnya; gaya Laplace pada panjang $\ell$ kawat 2 adalah $I_2\ell \times \mu_0I_1/2\pi d$ , terarah menuju kawat 1 bila arusnya searah (periksalah dengan aturan tangan kanan). ∎

Gaya Laplace: antara kawat sejajar (kiri, tengah) dan pada sebuah batang luncur yang mengalirkan arus melintasi sebuah medan (kanan) — rel Laplace, yang neraca energinya menjadi pokok . — Gaya Laplace: antara kawat sejajar (kiri, tengah) dan pada sebuah batang luncur yang mengalirkan arus melintasi sebuah medan (kanan) — rel Laplace, yang neraca energinya menjadi pokok Bab 29.

28.5 Dipol magnetik

Definisi 28.13 (Momen magnetik)

Sebuah lilitan datar berluas $S$ yang mengalirkan $I$ , berarah menurut aturan tangan kanan (normal $\vect n$ menyusuri ibu jari ketika jari-jari lain mengikuti $I$ ), memiliki momen magnetik $\vect m = IS\,\vect n$ ( $\mathrm{A}\,\mathrm{m}^{2}$ ); bagi $N$ lilitan, $NIS\,\vect n$ . Dilihat dari jarak $r \gg \sqrt S$ lilitannya adalah sebuah dipol magnetik: medannya berbentuk persis seperti medan dipol listrik dengan $\vect p/\varepsilon_0 \to \mu_0\vect m$ :

B_r = \frac{\mu_0}{4\pi}\,\frac{2m\cos\theta}{r^3}, \qquad B_\theta = \frac{\mu_0}{4\pi}\,\frac{m\sin\theta}{r^3} .

Sebuah magnet batang, sebuah atom, Bumi adalah dipol magnetik: momen Bumi $8 \times 10^{22}\,\mathrm{A}\,\mathrm{m}^{2}$ , momen sebuah elektron $9.3 \times 10^{-24}\,\mathrm{A}\,\mathrm{m}^{2}$ (yaitu magneton Bohr).

Bukti. Pada sumbunya medan lilitan $\mu_0IR^2/2z^3$ untuk $z \gg R$ sama dengan $\mu_0 \cdot 2m/4\pi z^3$ dengan $m = I\pi R^2$ , cocok dengan $B_r$ pada $\theta = 0$ ; bentuk sudut lengkapnya diterima tanpa bukti. ∎

Teorema 28.14 (Dipol dalam sebuah medan)

Sebuah momen magnetik $\vect m$ dalam medan seragam $\vect B$ tak merasakan gaya total, merasakan momen gaya $\vect\Gamma = \vect m\wedge\vect B$ yang menyearahkannya dengan medannya, dan memiliki energi potensial $E_p = -\vect m\cdot\vect B$ . Dalam medan tak seragam ia ditarik ke daerah bermedan kuat ketika searah (dan didorong menjauh ketika berlawanan arah).

Bukti. Bagi sebuah lilitan persegi panjang $a \times b$ dengan $\vect n$ bersudut $\theta$ terhadap $\vect B$ : gaya Laplace pada kedua sisi sepanjang $b$ yang sejajar dengan sumbu putarnya adalah $\pm IbB$ , berlawanan, terpisah sejauh $a\sin\theta$ : sebuah kopel bermomen $IabB\sin\theta = mB\sin\theta$ , yang cenderung memperkecil $\theta$ ; gaya pada kedua sisi lainnya berlawanan dan segaris. Energinya: $\Gamma = -\dd E_p/\dd\theta$ dengan $\Gamma = -mB\sin\theta$ memberi $E_p = -mB\cos\theta$ . Setiap lilitan datar adalah jumlah persegi panjang kecil; kasus tak seragamnya diterima tanpa bukti. ∎

Kiri: sebuah lilitan arus dalam medan seragam, dilihat menyusuri sumbu putarnya — gaya Laplace pada kedua sisinya membentuk kopel yang menyearahkan momennya dengan medannya. Kanan: garis medan sebuah magnet batang adalah garis sebuah dipol magnetik, serupa bentuknya dengan garis dipol listrik, meninggalkan muka utaranya dan kembali ke muka selatannya.

Contoh 28.15 (Kompas dan Bumi)

Sebuah jarum kompas adalah magnet kecil bermomen $m \sim 0.1\,\mathrm{A}\,\mathrm{m}^{2}$ ; dalam komponen mendatar medan Bumi, $B_h \approx 2 \times 10^{-5}\,\mathrm{T}$ , momen gaya $mB_h\sin\theta$ memutarnya ke utara, dan ia berosilasi terhadap utara dengan periode $2\pi\sqrt{J/mB_h} \sim 1\,\mathrm{s}$ (Latihan 28.9). Dipol Bumi sendiri, $8 \times 10^{22}\,\mathrm{A}\,\mathrm{m}^{2}$ , setara dengan arus beberapa miliar ampere yang melingkar dalam teras besi cairnya; medan yang dibuatnya di permukaan adalah yang terlemah dalam bab ini dan yang pertama dipakai orang.

28.6 Latihan

Latihan 28.1 ★

Medan pada $1.0\,\mathrm{cm}$ dari sebuah kawat lurus yang mengalirkan $10\,\mathrm{A}$ ; arus yang diperlukan untuk mencapai $1\,\mathrm{T}$ pada jarak itu; jarak saat medan sebuah kawat $100\,\mathrm{A}$ sama dengan medan Bumi $5 \times 10^{-5}\,\mathrm{T}$ .

Solusi

Solusi Latihan 28.1.

$B = \mu_0I/2\pi r = 2 \times 10^{-7} \times 10/0.01 = 2 \times 10^{-4}\,\mathrm{T}$ . Untuk $1\,\mathrm{T}$ : $I = 2\pi rB/\mu_0 = 5 \times 10^{4}\,\mathrm{A}$ . Nilai Bumi tercapai pada $r = 2 \times 10^{-7} \times 100/5 \times 10^{-5} = 0.4\,\mathrm{m}$ .

Latihan 28.2 ★

Medan di pusat sebuah kumparan berlilitan $100$ , berjari-jari $5.0\,\mathrm{cm}$ , yang mengalirkan $2.0\,\mathrm{A}$ ; pada sumbunya di $5.0\,\mathrm{cm}$ dan di $50\,\mathrm{cm}$ dari pusatnya.

Solusi

Solusi Latihan 28.2.

Pusatnya: $\mu_0NI/2R = 4\pi \times 10^{-7} \times 200/0.1 = 2.5\,\mathrm{mT}$ . Pada $z = R$ : $\times(R^2/2R^2)^{3/2} = 2^{-3/2}$ : $0.89\,\mathrm{mT}$ . Pada $z = 10R$ : $\times(1/101)^{3/2} = 10^{-3}$ : $2.5\,\text{µ}\mathrm{T}$ , sudah menjadi hukum dipol $1/z^3$ -nya.

Latihan 28.3 ★

Sebuah solenoida berlilitan $1000$ tiap meter mengalirkan $5.0\,\mathrm{A}$ : medan di dalamnya, jauh dari ujungnya; tepat di ujungnya. Banyaknya lilitan kawat $0.5\,\mathrm{mm}$ yang dapat digulung tiap meter dalam satu lapis, dan medannya lalu pada $5\,\mathrm{A}$ .

Solusi

Solusi Latihan 28.3.

$B = \mu_0nI = 4\pi \times 10^{-7} \times 1000 \times 5 = 6.3\,\mathrm{mT}$ ; di ujungnya, separuhnya: $3.1\,\mathrm{mT}$ . Kawat $0.5\,\mathrm{mm}$ : $2000$ lilitan tiap meter, sehingga $12.6\,\mathrm{mT}$ pada $5\,\mathrm{A}$ .

Latihan 28.4 ★

Gaya pada kawat $1.0\,\mathrm{m}$ yang mengalirkan $10\,\mathrm{A}$ tegak lurus pada medan $0.10\,\mathrm{T}$ ; pada kawat yang sama bersudut $30{}^{\circ}$ terhadap medannya. Sebuah motor memiliki $100$ kawat seperti itu pada rotor berjari-jari $5\,\mathrm{cm}$ : momen gayanya (orde besarnya).

Solusi

Solusi Latihan 28.4.

$F = ILB = 10 \times 1 \times 0.1 = 1.0\,\mathrm{N}$ ; pada $30{}^{\circ}$ , dikalikan $\sin30^\circ$ : $0.5\,\mathrm{N}$ . Motornya: $100 \times 1\,\mathrm{N} \times 0.05\,\mathrm{m} = 5\,\mathrm{N}\,\mathrm{m}$ — sebuah motor industri yang kecil.

Latihan 28.5 ★★

Medan sebuah ruas lurus berhingga pada jarak $d$ dari garisnya, yang kedua ujungnya terlihat di bawah sudut $\alpha_1$ dan $\alpha_2$ (diukur dari tegak lurusnya): $B = \dfrac{\mu_0I}{4\pi d}(\sin\alpha_2 - \sin\alpha_1)$ . Periksalah limit kawat tak hingganya. Medan di pusat sebuah lilitan persegi bersisi $a$ .

Solusi

Solusi Latihan 28.5.

Dengan $z = d\tan\alpha$ : $B = \dfrac{\mu_0I}{4\pi}\displaystyle\int\dfrac{d\,\dd z}{(d^2 + z^2)^{3/2}} = \dfrac{\mu_0I}{4\pi d}\displaystyle\int_{\alpha_1}^{\alpha_2}\cos\alpha\,\dd\alpha = \dfrac{\mu_0I}{4\pi d} (\sin\alpha_2 - \sin\alpha_1)$ ; kawat tak hingga, $\alpha_{1,2} = \mp\pi/2$ : $\mu_0I/2\pi d$ . Persegi: tiap sisinya pada $d = a/2$ yang terlihat di bawah $\pm45^\circ$ memberi $\mu_0I\sqrt2/2\pi a$ ; empat sisinya: $B = 2\sqrt2\,\mu_0I/\pi a = 0.90\,\mu_0I/a$ (sebuah lingkaran ber-“jari-jari” sama $a/2$ akan memberi $\mu_0I/a$ ).

Latihan 28.6 ★★

Kumparan Helmholtz. Dua kumparan serupa ( $N$ lilitan, jari-jari $R$ ) pada sumbu bersama, terpisah sejauh $R$ , mengalirkan arus sama dengan arah yang sama. Medan di titik tengahnya; tunjukkan bahwa turunan pertama dan kedua $B$ menyusuri sumbunya lenyap di sana. Angkanya: $N = 100$ , $R = 15\,\mathrm{cm}$ , $I = 1.0\,\mathrm{A}$ .

Solusi

Solusi Latihan 28.6.

$B(z) = f(z - R/2) + f(z + R/2)$ dengan $f(u) = \mu_0NIR^2/2(R^2 + u^2)^{3/2}$ . Titik tengahnya: $2f(R/2) = \mu_0NIR^2/(5R^2/4)^{3/2} = (4/5)^{3/2}\mu_0NI/R$ . $f'$ ganjil, sehingga $B'(0) = f'(-R/2) + f'(R/2) = 0$ ; $f''(u) \propto (4u^2 - R^2)(R^2 + u^2)^{-7/2}$ lenyap pada $u = R/2$ , sehingga $B''(0) = 2f''(R/2) = 0$ : medannya seragam sampai orde ketiga. Angkanya: $0.716 \times 4\pi \times 10^{-7} \times 100/0.15 = 0.60\,\mathrm{mT}$ .

Latihan 28.7 ★★

Sebuah kawat tembaga berjari-jari $2.0\,\mathrm{mm}$ mengalirkan $100\,\mathrm{A}$ . Medan di permukaannya, pada $1.0\,\mathrm{mm}$ dari sumbunya, pada $1.0\,\mathrm{cm}$ . Sketsalah $B(r)$ . Kawatnya kini menjadi penghantar dalam sebuah kabel sesumbu yang selongsongnya mengalirkan arus baliknya: medan di luar selongsongnya.

Solusi

Solusi Latihan 28.7.

Permukaannya: $\mu_0I/2\pi a = 2 \times 10^{-7} \times 100/0.002 = 10\,\mathrm{mT}$ ; pada $1\,\mathrm{mm}$ , di dalam, $\times r/a$ : $5\,\mathrm{mT}$ ; pada $1\,\mathrm{cm}$ : $2\,\mathrm{mT}$ . $B$ naik linear sampai permukaannya, lalu meluruh sebanding $1/r$ . Sesumbunya: di luar selongsongnya arus terlingkupinya nol, $B = 0$ .

Latihan 28.8 ★★

Gaya tiap meter antara dua kawat yang terpisah $1\,\mathrm{m}$ pada $1\,\mathrm{A}$ ; antara dua rel daya yang terpisah $10\,\mathrm{cm}$ yang mengalirkan $10\,\mathrm{kA}$ ; di bawah korsleting $100\,\mathrm{kA}$ . Apa yang harus menahan relnya?

Solusi

Solusi Latihan 28.8.

$2 \times 10^{-7}$ N/m. Rel dayanya: $2 \times 10^{-7} \times 10^8/0.1 = 200\,\mathrm{N}/\mathrm{m}$ ; pada $100\,\mathrm{kA}$ : $2 \times 10^{4}\,\mathrm{N}/\mathrm{m}$ — dua ton tiap meter. Penopang isolator pada panel hubung dirancang bagi arus gangguannya, bukan arus kerjanya.

Latihan 28.9 ★★

Sebuah jarum kompas, bermomen $m = 0.10\,\mathrm{A}\,\mathrm{m}^{2}$ , bermomen inersia $J = 1.0 \times 10^{-7}\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{2}$ , dalam medan mendatar $B_h = 2.0 \times 10^{-5}\,\mathrm{T}$ . Momen gayanya pada $90{}^{\circ}$ ; usaha untuk memutarnya dari utara ke selatan; periode osilasi kecilnya. Bagaimana orang mengukur $B_h$ dengannya?

Solusi

Solusi Latihan 28.9.

$\Gamma = mB_h = 2 \times 10^{-6}\,\mathrm{N}\,\mathrm{m}$ ; $W = 2mB_h = 4 \times 10^{-6}\,\mathrm{J}$ ; $J\ddot\theta = -mB_h\theta$ : $T = 2\pi\sqrt{J/mB_h} = 2\pi\sqrt{10^{-7}/2 \times 10^{-6}} = 1.4\,\mathrm{s}$ . Ukurlah waktu osilasinya: $B_h = 4\pi^2J/mT^2$ setelah $m$ dan $J$ diketahui (Gauss mengukur $m$ secara terpisah dari simpangan yang diberikannya pada jarum kedua).

Latihan 28.10 ★★★

Bumi sebagai sebuah dipol. (a) Tunjukkan bahwa pada sumbunya, jauh di luar, medan sebuah lilitan adalah $B = \mu_0m/2\pi z^3$ dengan $m = I\pi R^2$ ; bandingkan dengan dipol listriknya. (b) Medan di kutub magnetnya kira-kira $6 \times 10^{-5}\,\mathrm{T}$ : simpulkanlah momen dipol Bumi. (c) Arus dalam sebuah lilitan berjari-jari $3000\,\mathrm{km}$ (terasnya) yang akan menghasilkannya. (d) Medan di khatulistiwa pada model dipolnya; sudut celup medannya pada lintang $45{}^{\circ}$ (pakailah $B_r$ dan $B_\theta$ ).

Solusi

Solusi Latihan 28.10.

(a) $\mu_0IR^2/2z^3 = \mu_0(I\pi R^2)/2\pi z^3 = \mu_0m/2\pi z^3 = (\mu_0/4\pi)\,2m/z^3$ : yaitu $2p/4\pi\varepsilon_0z^3$ listriknya dengan $1/\varepsilon_0 \to \mu_0$ . (b) $m = 2\pi R_E^3B/ \mu_0 = 2\pi \times 2.58 \times 10^{20} \times 6 \times 10^{-5}/1.26 \times 10^{-6} = 7.7 \times 10^{22}\,\mathrm{A}\,\mathrm{m}^{2}$ . (c) $I = m/\pi R^2 = 7.7 \times 10^{22}/(\pi \times 9 \times 10^{12}) = 2.7 \times 10^{9}\,\mathrm{A}$ . (d) Khatulistiwa ( $\theta = 90^\circ$ ): $B_\theta = \mu_0m/4\pi R_E^3 = 3 \times 10^{-5}\,\mathrm{T}$ , separuh nilai kutubnya. Pada $\theta = 45^\circ$ : $\tan(\text{celup}) = B_r/B_\theta = 2\cot\theta = 2$ , sudut celupnya $= 63{}^{\circ}$ — medannya menukik curam ke dalam tanah pada lintang menengah.

Latihan 28.11 ★★★

Solenoida berhingga. Panjang $L = 20\,\mathrm{cm}$ , jari-jari $R = 2.0\,\mathrm{cm}$ , $n = 2000\,\mathrm{m}^{-1}$ , $I = 3.0\,\mathrm{A}$ . Medan di pusatnya dan di sebuah ujungnya dari rumus kuliahnya; pecahannya terhadap nilai solenoida tak hingganya; pada jarak berapa di luar menyusuri sumbunya medannya turun menjadi $1\%$ nilai pusatnya? Sketsalah $B(z)$ menyusuri sumbunya.

Solusi

Solusi Latihan 28.11.

$\mu_0nI = 4\pi \times 10^{-7} \times 2000 \times 3 = 7.5\,\mathrm{mT}$ . Pusatnya: $\tan\alpha_1 = R/(L/2) = 0.2$ , $\cos\alpha_1 = -\cos\alpha_2 = 0.981$ : $B = 0.981\,\mu_0nI = 7.4\,\mathrm{mT}$ ( $98\%$ ). Ujungnya: $\cos\alpha_1 = 0$ , $\tan\alpha_2 = R/L$ , $\cos\alpha_2 = -0.995$ : $B = 0.497\,\mu_0nI = 3.7\,\mathrm{mT}$ ( $50\%$ ). Di luar pada $x$ melampaui ujungnya, kedua ujungnya sesisi: $B = \tfrac12\mu_0nI(\cos\alpha_1 - \cos\alpha_2) \approx \tfrac12\mu_0nI\,\tfrac{R^2}{2}[1/x^2 - 1/(x + L)^2]$ ; $1\%$ nilai pusatnya tercapai pada $x \approx 10\,\mathrm{cm}$ , yaitu setengah panjang di luar. $B(z)$ : puncak datar sepanjang sebagian besar panjangnya, turun menjadi separuh di ujungnya dan menjadi beberapa persen sejauh satu panjang.

Latihan 28.12 ★★★

Tekanan magnetik. Dalam sebuah solenoida panjang medannya $B$ di dalam dan $0$ di luar; gulungannya mengalirkan arus permukaan $K = nI$ tiap meter panjang. (a) Tunjukkan bahwa medan pada gulungannya, yaitu rata-rata medan dalam dan luarnya, adalah $B/2$ , dan bahwa gaya Laplace padanya merupakan tekanan ke luar $p = B^2/2\mu_0$ . (b) Angkanya untuk $1\,\mathrm{T}$ , $10\,\mathrm{T}$ , $45\,\mathrm{T}$ ; bandingkan dengan tekanan atmosfer dan dengan kekuatan tarik baja ( $1\,\mathrm{GPa}$ ). (c) Apa yang membatasi magnet tunak yang terkuat?

Solusi

Solusi Latihan 28.12.

(a) Medan gulungannya sendiri melompat dari $0$ ke $B$ melintasinya; medan yang bekerja padanya adalah rata-ratanya, $B/2$ (lembarnya tak dapat mendorong dirinya sendiri). Gaya pada sebuah unsur gulungan sepanjang $\dd l$ dan berlebar $\dd z$ yang mengalirkan $K\,\dd z$ : $K\,\dd z\,\dd l\,B/2$ , radial ke luar (periksalah dengan $I\,\dd\vect l \wedge\vect B$ ): tekanan $p = KB/2 = B^2/2\mu_0$ karena $K = nI = B/\mu_0$ . (b) $1\,\mathrm{T}$ : $4 \times 10^{5}\,\mathrm{Pa}$ = $4\,\mathrm{bar}$ ; $10\,\mathrm{T}$ : $400\,\mathrm{bar}$ ; $45\,\mathrm{T}$ : $8 \times 10^{8}\,\mathrm{Pa}$ = $8000\,\mathrm{bar}$ , dekat dengan $1\,\mathrm{GPa}$ milik baja. (c) Gulungannya harus menahan tekanan yang tumbuh sebanding $B^2$ : di atas kira-kira $40\,\mathrm{T}$ tak ada bahan dan tak ada skema pendinginan yang sanggup — batas magnet tunak bersifat mekanis (dan, bagi superkonduktor, medan kritisnya).

Sebuah saluran transmisi bertegangan tinggi: tiga penghantar tiap rangkaian yang arusnya berjumlah nol, sehingga medannya saling meniadakan dari kejauhan. Foto: Stefan Andrej Shambora, CC BY 2.0.

28.7 Soal: Kabel, saluran, dan alat ukur

Soal 28.1

Soal akhir pekan — hukum Ampère pada sebuah kabel sesumbu, gaya Laplace pada sebuah saluran daya, dan rancangan sebuah galvanometer kumparan putar

$\mu_0 = 4\pi \times 10^{-7}$ SI; resistivitas tembaga $\rho = 1.7 \times 10^{-8}\,\Omega\,\mathrm{m}$ .

Bagian I — Kabel sesumbunya. Sebuah kabel mengalirkan $I = 1.0\,\mathrm{A}$ menyusuri teras tembaga pejal berjari-jari $a = 0.50\,\mathrm{mm}$ dan kembali menyusuri sebuah selongsong berjari-jari dalam $b = 2.5\,\mathrm{mm}$ dan berjari-jari luar $c = 3.0\,\mathrm{mm}$ ; arusnya seragam pada penampang tiap penghantarnya.

Simetri dan invariansinya: arah $\vect B$ dan variabel yang menjadi gantungannya.
$B(r)$ di dalam terasnya, di antara kedua penghantarnya, dan di luar kabelnya, dengan hukum Ampère.
Nilainya pada $r = a$ dan $r = b$ .
Terasnya diganti oleh sebuah tabung tembaga tipis berjari-jari sama $a$ yang mengalirkan arus sama: apa yang berubah di tiap daerahnya?
$B(r)$ di dalam selongsongnya ( $b < r < c$ ); periksalah nilainya di $b$ dan $c$ ; sketsalah $B(r)$ dari $0$ sampai $4\,\mathrm{mm}$ .
Gaya Laplace pada selongsongnya: arahnya (tarikan atau tolakan dari terasnya?) dan nilainya tiap satuan luas, dengan mengambil medan pada selongsongnya sebagai rata-rata nilainya di $b$ dan $c$ . Serupa bagi arus denyut $10\,\mathrm{kA}$ .
Mengapa geometri sesumbu dipakai bagi sinyal? Bandingkan dengan sepasang kawat sejajar yang terpisah $d = 2\,\mathrm{mm}$ : medan pada jarak $D = 10\,\mathrm{cm}$ dari pasangannya (superposisikan dua kawat).

Bagian II — Saluran dayanya. Dua penghantar mendatar yang terpisah $d = 1.0\,\mathrm{m}$ , $h = 10\,\mathrm{m}$ di atas tanah, mengalirkan $I = 500\,\mathrm{A}$ dalam arah berlawanan.

Medan salah satu penghantarnya di titik tanah yang tepat di bawah titik tengahnya; tunjukkan bahwa kedua medannya berpadu menjadi medan tegak lalu berikan nilainya; bandingkan dengan medan Bumi dan dengan pedoman paparan $100\,\text{µ}\mathrm{T}$ .
Tunjukkan bahwa pada jarak $D \gg d$ medan pasangannya meluruh sebanding $\mu_0Id/2\pi D^2$ : mengapa lebih cepat daripada sebuah kawat tunggal?
Medan pada $1.0\,\mathrm{m}$ di bawah salah satu penghantarnya, tempat seorang teknisi mungkin bekerja.
Gaya tiap meter antara kedua penghantarnya; tarikan atau tolakan? Serupa di bawah arus korsleting $20\,\mathrm{kA}$ .
Gaya pada rentang $300\,\mathrm{m}$ , dalam keadaan biasa dan dalam korsleting; bandingkan dengan berat rentangnya ( $1.0\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}$ ); apa yang dilakukan salurannya selama korsleting?
Sebuah saluran tiga fase mengalirkan tiga arus beramplitudo sama yang bergeser $120{}^{\circ}$ : tunjukkan bahwa jumlahnya lenyap pada setiap saat, dan apa akibatnya bagi medan jauhnya.
Sebuah kompas di titik pertanyaan 8, tempat medan mendatar Bumi bernilai $2.0 \times 10^{-5}\,\mathrm{T}$ : apakah medan salurannya menyimpangkannya? (Perhatikan arahnya.)

Bagian III — Galvanometer kumparan putarnya. Sebuah kumparan persegi panjang, $N = 200$ lilitan, bersisi $a = 2.0\,\mathrm{cm}$ (sejajar dengan sumbu putarnya) dan $b = 3.0\,\mathrm{cm}$ , berputar terhadap sumbunya dalam celah di antara sepatu kutub silinder yang medannya, $B = 0.20\,\mathrm{T}$ , bersifat radial: selalu di dalam bidang kumparannya, tegak lurus pada kedua sisi $a$ -nya. Sebuah pegas spiral mengerahkan momen gaya pemulih $-C\theta$ dengan $C = 1.0 \times 10^{-5}\,\mathrm{N}\,\mathrm{m}/\mathrm{rad}$ . Momen inersia kumparan dan jarumnya: $J = 6.7 \times 10^{-8}\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{2}$ .

Gaya Laplace pada keempat sisinya; yang mana menghasilkan momen gaya terhadap sumbunya?
Momen gayanya bagi arus $I$ ; mengapa medan radialnya membuatnya tak bergantung pada $\theta$ ?
Simpangan $\theta$ pada kesetimbangan; kepekaannya dalam radian tiap miliampere; arus bagi simpangan skala penuh $1.2\,\mathrm{rad}$ .
Kumparannya digulung dengan kawat tembaga berdiameter $0.10\,\mathrm{mm}$ : hambatan kumparannya; tegangan padanya dan daya yang dilesapkan pada skala penuh.
Persamaan gerak kumparannya; periode alami osilasi terhadap kesetimbangannya.
Gerak kumparannya di dalam medan mengimbaskan momen gaya pengerem $-\alpha\dot\theta$ (Bab 29); nilai $\alpha$ bagi peredaman kritis, dan mengapa orang menginginkannya.
Resistor seri untuk membuat voltmeter berskala penuh $10\,\mathrm{V}$ ; resistor pirau untuk membuat amperemeter berskala penuh $1.0\,\mathrm{A}$ .
Momen magnetik kumparannya pada skala penuh; energi $-\vect m\cdot \vect B$ yang akan dimilikinya, bila searah, dalam medan seragam $0.20\,\mathrm{T}$ ; bandingkan dengan energi yang tersimpan dalam pegasnya pada skala penuh.
Seandainya medannya seragam alih-alih radial, tunjukkan bahwa skalanya tak lagi linear: tuliskan syarat kesetimbangannya dengan $\theta$ diukur dari kedudukan yang padanya bidang kumparannya memuat $\vect B$ .
Arus $50\,\mathrm{Hz}$ beramplitudo $0.5\,\mathrm{mA}$ dialirkan ke alat ukurnya: apa yang ditunjukkan jarumnya, dan mengapa? (Bandingkan $50\,\mathrm{Hz}$ dengan frekuensi alaminya.)
Ringkaslah ketiga adegannya dalam tiga angka, dan sebutkan hukum tunggal mana yang menghasilkan masing-masingnya.

Solusi

Solusi Soal 28.1.

1. Setiap bidang yang memuat sumbunya adalah bidang simetri arusnya: $\vect B$ tegak lurus terhadapnya, ortoradial; invariansi menyusuri dan mengelilingi sumbunya: $\vect B = B(r)\,\vect e_\theta$ .

2. Lingkaran berjari-jari $r$ : $2\pi rB = \mu_0I_{\text{dalam}}$ . Terasnya: $I_{\text{dalam}} = Ir^2/a^2$ , $B = \mu_0Ir/2\pi a^2$ ; di antaranya: $\mu_0I/2\pi r$ ; di luar ( $r > c$ ): $I - I = 0$ , $B = 0$ .

3. $B(a) = 2 \times 10^{-7}/5 \times 10^{-4} = 4.0 \times 10^{-4}\,\mathrm{T}$ ; $B(b) = 2 \times 10^{-7}/2.5 \times 10^{-3} = 8.0 \times 10^{-5}\,\mathrm{T}$ .

4. Di dalam tabungnya tak ada arus yang terlingkupi: $B = 0$ di sana alih-alih kenaikan linearnya; di tempat lain tak ada yang berubah — medan di luar sebuah arus silinder hanya bergantung pada arus totalnya.

5. $I_{\text{dalam}} = I - I(r^2 - b^2)/(c^2 - b^2) = I(c^2 - r^2)/(c^2 - b^2)$ : $B = \dfrac{\mu_0I}{2\pi r}\,\dfrac{c^2 - r^2}{c^2 - b^2}$ , sama dengan $\mu_0I/2\pi b$ di $b$ dan $0$ di $c$ : kontinu. Sketsanya: linear sampai $4 \times 10^{-4}\,\mathrm{T}$ pada $0.5\,\mathrm{mm}$ , lalu $1/r$ turun ke $8 \times 10^{-5}\,\mathrm{T}$ pada $2.5\,\mathrm{mm}$ , turun menjadi nol pada $3\,\mathrm{mm}$ , nol di luarnya.

6. Arus selongsongnya berlawanan arah dengan arus terasnya: tolakan, yaitu tekanan ke luar. Arus permukaan $K = I/2\pi b = 64\,\mathrm{A}/\mathrm{m}$ ; medan rata-ratanya $\tfrac12(8 \times 10^{-5} + 0) = 4 \times 10^{-5}\,\mathrm{T}$ : $p = KB = 2.5 \times 10^{-3}\,\mathrm{Pa}$ . Pada $10\,\mathrm{kA}$ : $\times10^8$ , $2.5 \times 10^{5}\,\mathrm{Pa}$ = $2.5\,\mathrm{bar}$ — kabel daya denyut dibuat untuk menahannya.

7. Tak ada medan di luar: kabelnya tak memancar dan tak memungut gangguan magnetik dari tetangganya. Sepasang kawat: kedua medannya hampir saling meniadakan, menyisakan $\approx \mu_0Id/2\pi D^2 = 2 \times 10^{-7} \times 2 \times 10^{-3}/10^{-2} = 4 \times 10^{-8}\,\mathrm{T}$ pada $10\,\mathrm{cm}$ — kecil, tetapi sesumbunya memberi nol.

8. $D = \sqrt{h^2 + d^2/4} = 10.0\,\mathrm{m}$ : masing-masing memberi $\mu_0I/2\pi D = 1.0 \times 10^{-5}\,\mathrm{T}$ , tegak lurus pada garis dari penghantarnya. Karena arusnya berlawanan, komponen yang sejajar dengan garis penghubung kedua penghantarnya saling meniadakan dan komponen tegaknya berjumlah: $B = 2 \times 10^{-5} \times (d/2)/D = 1.0 \times 10^{-6}\,\mathrm{T}$ , tegak. Lima puluh kali di bawah medan Bumi, seratus kali di bawah pedomannya.

9. Untuk $D \gg d$ , $B \approx \dfrac{\mu_0I}{2\pi}\Bigl(\dfrac1{D_1} - \dfrac1{D_2}\Bigr) \sim \dfrac{\mu_0I}{2\pi}\dfrac{d}{D^2}$ : kedua medan $1/D$ -nya saling meniadakan sampai orde pertama dan hanya selisihnya, yang berukuran nisbi $d/D$ , yang bertahan — sebuah “dipol dua kawat”.

10. Penghantarnya sendiri pada $1\,\mathrm{m}$ : $1.0 \times 10^{-4}\,\mathrm{T}$ mendatar; yang lain pada $1.41\,\mathrm{m}$ : $7.1 \times 10^{-5}\,\mathrm{T}$ pada $45{}^{\circ}$ , berlawanan: resultannya $(5 \times 10^{-5}, 5 \times 10^{-5})$ , $7 \times 10^{-5}\,\mathrm{T}$ — $70\,\text{µ}\mathrm{T}$ , di bawah pedoman umum dan jauh di bawah pedoman kerjanya.

11. $F/\ell = \mu_0I^2/2\pi d = 2 \times 10^{-7} \times 2.5 \times 10^5 = 0.05\,\mathrm{N}/\mathrm{m}$ , bersifat menolak; pada $20\,\mathrm{kA}$ : $80\,\mathrm{N}/\mathrm{m}$ .

12. $15\,\mathrm{N}$ dalam keadaan biasa; $24\,\mathrm{kN}$ dalam korsleting, delapan kali berat rentangnya $2.9\,\mathrm{kN}$ : penghantarnya terlempar berpisah, berayun dan mungkin berbenturan ketika jatuh kembali — karena itu ada pemisah dan pemutus yang membuka dalam beberapa daur.

13. $I\cos\omega t + I\cos(\omega t - 2\pi/3) + I\cos(\omega t + 2\pi/3) = I\cos\omega t\,(1 + 2\cos2\pi/3) = 0$ : ketiga fasornya berjumlah nol. Medan $1/D$ -nya saling meniadakan seperti pada sesumbunya; medan jauhnya meluruh sebanding $1/D^2$ atau lebih cepat.

14. Medan salurannya di sana tegak; sebuah kompas menanggapi komponen mendatarnya saja: tak ada simpangan (sudut celupnya berubah sebesar $10^{-6}/(2 \times 10^{-5})$ , yaitu tiga derajat, yang tak dapat ditunjukkan kompasnya).

15. Sisi $a$ (sejajar dengan sumbunya): $\vect B$ yang radial tegak lurus terhadapnya, gayanya $NIaB$ pada masing-masing, tegak lurus pada bidang kumparannya, berlawanan pada kedua sisinya: sebuah kopel. Sisi $b$ : $\dd\vect l$ radial, sejajar dengan $\vect B$ : tak ada gaya.

16. $\Gamma = 2 \times NIaB \times b/2 = NIabB = NISB = 0.024\,I$ (N m, $I$ dalam A). Medan radialnya selalu di dalam bidang kumparannya dan tegak lurus pada sisi $a$ -nya: gayanya selalu normal terhadap bidangnya dan lengan gayanya $b/2$ tak pernah berubah.

17. $C\theta = NISB$ : $\theta = 2400\,I$ rad, yaitu $2.4\,\mathrm{rad}/\mathrm{mA}$ ; skala penuh $1.2\,\mathrm{rad}$ pada $I = 0.50\,\mathrm{mA}$ .

18. Panjangnya $200 \times 2(0.02 + 0.03) = 20\,\mathrm{m}$ , penampangnya $\pi(5 \times 10^{-5})^2 = 7.9 \times 10^{-9}\,\mathrm{m}^{2}$ : $R = 1.7 \times 10^{-8} \times 20/7.9 \times 10^{-9} = 43\,\Omega$ ; $U = 43 \times 5 \times 10^{-4} = 22\,\mathrm{mV}$ ; $P = UI = 11\,\text{µ}\mathrm{W}$ .

19. $J\ddot\theta = -C\theta + NISB\,I$ : $\omega_0 = \sqrt{C/J} = \sqrt{10^{-5}/6.7 \times 10^{-8}} = 12\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}$ , $T = 0.51\,\mathrm{s}$ .

20. $J\ddot\theta + \alpha\dot\theta + C\theta = NISB\,I$ : kritis untuk $\alpha = 2\sqrt{JC} = 2\sqrt{6.7 \times 10^{-13}} = 1.6 \times 10^{-6}\,\mathrm{N}\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}$ ; jarumnya lalu mencapai bacaannya paling cepat tanpa melampaui.

21. Voltmeter: $R_s = 10/5 \times 10^{-4} - 43 \approx 20\,\mathrm{k}\Omega$ . Amperemeter: pirauannya mengalirkan $0.9995\,\mathrm{A}$ di bawah $22\,\mathrm{mV}$ : $R_{\text{pir}} = 22\,\mathrm{m}\Omega$ .

22. $m = NIS = 200 \times 5 \times 10^{-4} \times 6 \times 10^{-4} = 6 \times 10^{-5}\,\mathrm{A}\,\mathrm{m}^{2}$ ; $-mB = -1.2 \times 10^{-5}\,\mathrm{J}$ ; pegasnya $\tfrac12C\theta^2 = \tfrac12 \times 10^{-5} \times 1.44 = 7.2 \times 10^{-6}\,\mathrm{J}$ : ordenya sama — pegasnya menyimpan apa yang dikerjakan momen gaya magnetiknya selama kumparannya berputar.

23. Dalam medan seragam momen gayanya $mB\cos\theta$ (maksimum ketika bidangnya memuat $\vect B$ , nol ketika normalnya menyusurinya): $C\theta = NISB\,I\cos\theta$ — linear hanya bagi $\theta$ kecil, mampat di ujung atas skalanya.

24. $50\,\mathrm{Hz}$ terhadap $\omega_0/2\pi = 2\,\mathrm{Hz}$ : kumparannya tak dapat mengikuti; ia duduk pada rata-rata arusnya, yaitu nol, dengan getar beramplitudo $\approx \theta_{\text{statik}}(\omega_0/\omega)^2 = 1.2 \times (12/314)^2 \approx 2 \times 10^{-3}\,\mathrm{rad}$ , tak terlihat. Alat ukur kumparan putar membaca rata-ratanya — bagi arus bolak-balik ia memerlukan penyearah.

25. $4 \times 10^{-4}\,\mathrm{T}$ pada teras sebuah kabel sesumbu $1\,\mathrm{A}$ dan nol di luarnya (hukum Ampère); $1\,\text{µ}\mathrm{T}$ di bawah saluran $500\,\mathrm{A}$ dan $0.05\,\mathrm{N}/\mathrm{m}$ antara penghantarnya (Biot–Savart ditambah Laplace); $2.4\,\mathrm{rad}/\mathrm{mA}$ bagi alat ukurnya (kopel Laplace melawan sebuah pegas).

Istilah yang didefinisikan dalam bab ini

Lihat semua 431 istilah di glosarium