الفيزياء الجامعية — السنة الثانية · Bachelor Year 2

10الشحن والتيارات والناقلية

اقلب المفتاح فيضيء المصباح في الحال؛ ومع ذلك تنساق الإلكترونات في السلك النحاسي نحوه بجزء من الميليمتر في الثانية، وتستغرق ساعات كي تصل. وتحمل صاعقة ثلاثين ألف أمبير عبر قناة بعرض إصبع؛ ويحمل العصب الذي يحرّك ذلك الإصبع بيكوأمبيرات. وقد عالج كتاب السنة الأولى التيارات أعدادًا في الأسلاك، $I = U/R$ ؛ وهذا الفصل يصفها مجالًا — أي كثافة تيار عند كل نقطة من المادة — ويكتب القانون القائل إن الشحنة لا تُخلق ولا تُفنى، ويستنتج قانون أوم من تدافع الإلكترونات في معدن: أي الصورة المجهرية وراء المقاومة والمصهر ومِجَسّ هول.

النحاس، ناقل العالم الكهربائي: في خيوط هذا الكابل نحو 1029 إلكترون في المتر المكعب تنساق بجزء من الميليمتر في الثانية. — النحاس، ناقل العالم الكهربائي: في خيوط هذا الكابل نحو $10^{29}$ إلكترون في المتر المكعب تنساق بجزء من الميليمتر في الثانية.

10.1 كثافتا الشحنة والتيار

تعريف 10.1 (كثافة الشحنة؛ كثافة التيار)

على المقياس المتوسطي، تحمل المادة كثافة شحنة حجمية $\rho(M, t)$ ( $\mathrm{C}/\mathrm{m}^{3}$ ): أي الشحنة $\rho\,\dd\tau$ في $\dd\tau$ . وقد يحمل سطح كثافة سطحية $\sigma$ ( $\mathrm{C}/\mathrm{m}^{2}$ )، ويحمل سلك كثافةً خطية $\lambda$ ( $\mathrm{C}/\mathrm{m}$ ). وإذا تحركت حوامل النوع $i$ (وشحنتها $q_i$ ، وكثافتها العددية $n_i$ ) بالسرعة المتوسطة $\vect v_i$ ، كانت كثافة التيار

\vect j = \sum_in_iq_i\,\vect v_i \qquad (\mathrm{A}/\mathrm{m}^{2}) ,

وشدة التيار عبر سطح موجَّه $S$ هي التدفق $I = \iint_S\vect j\cdot\vect n\,\dd S$ : أي الشحنة العابرة للسطح $S$ في واحدة الزمن. ومن أجل نوع واحد، $\vect j = \rho_m\vect v$ مع $\rho_m = nq$ كثافة الشحنة المتحركة.

برهان. في $\dd t$ تكون حوامل النوع $i$ العابرة للعنصر $\dd S$ هي الموجودة في الأسطوانة المائلة ذات القاعدة $\dd S$ والراسم $\vect v_i\dd t$ : وعددها $n_i\vect v_i\cdot\vect n\,\dd S\,\dd t$ ، وشحنتها $q_i$ مضروبًا في ذلك. ∎

مثال 10.2 (كم تنساق الإلكترونات ببطء)

في النحاس إلكترون ناقلية واحد لكل ذرة: $n = \rho_{\text{Cu}}N_A/M = 8900 \times 6.02 \times 10^{23}/0.0635 = 8.5 \times 10^{28}\,\mathrm{m}^{-3}$ . وتيار مقداره $10\,\mathrm{A}$ في سلك مقطعه $1.5\,\mathrm{mm}^{2}$ يعطي $j = 6.7 \times 10^{6}\,\mathrm{A}/\mathrm{m}^{2}$ ، وتكون سرعة الانسياق $v = j/ne = 6.7 \times 10^6/(8.5 \times 10^{28} \times 1.6 \times 10^{-19}) = 0.5\,\mathrm{mm}/\mathrm{s}$ — أي ساعتين في المتر. ويضيء المصباح في الحال لأن المجال الذي يدفع الإلكترونات يُقام على امتداد السلك كله في نانوثوانٍ (وينتقل بما يقارب سرعة الضوء، كما بيّن كابل الفصل 8): فتنطلق الإلكترونات كلها معًا، كالماء في خرطوم مملوء.

على اليسار: أنبوب تيار — في النظام المستقر تعبر الشدّة نفسها كل مقطع. وعلى اليمين: إلكترون في معدن يتعرّج بين التصادمات بسرعة نحو 106 متر في الثانية؛ ويضيف المجال انسياقًا بطيئًا، معاكسًا للمجال E، مقداره جزء من الميليمتر في الثانية. — على اليسار: أنبوب تيار — في النظام المستقر تعبر الشدّة نفسها كل مقطع. وعلى اليمين: إلكترون في معدن يتعرّج بين التصادمات بسرعة نحو $10^6$ متر في الثانية؛ ويضيف المجال انسياقًا بطيئًا، معاكسًا للمجال $\vect E$ ، مقداره جزء من الميليمتر في الثانية.

مثال 10.3 (رتب القدر)

الصاعقة، $30\,\mathrm{kA}$ في قناة نصف قطرها $1\,\mathrm{cm}$ : $j \approx 1 \times 10^{8}\,\mathrm{A}/\mathrm{m}^{2}$ . وسلك منزلي: $10^6$ – $10^7$ . وحزمة إلكترونية في أنبوب أشعة مهبطية، $1\,\mathrm{mA}$ على $1\,\mathrm{mm}^{2}$ : $10^3$ . وليف عصبي، $1\,\mathrm{nA}$ عبر $10\,\text{µ}\mathrm{m}^{2}$ : $10^2$ . وحزمة مسرّع جسيمات، $1\,\mathrm{A}$ في بقعة $0.1\,\mathrm{mm}^{2}$ : $10^7$ — في الخلاء، وبلا أي تصادم.

10.2 انحفاظ الشحنة

مبرهنة 10.4 (الانحفاظ الموضعي للشحنة)

عند كل نقطة،

\frac{\partial\rho}{\partial t} + \operatorname{div}\vect j = 0 ;

ومكاملةً على حجم ثابت $V$ يحدّه السطح المغلق $\Sigma$ ، يكون $\dd Q_V/\dd t = -I_{\text{خارج}}$ : أي إن الشحنة في الداخل لا تتغير إلا بما يعبر الحدّ. وفي النظام المستقر ( $\partial_t\rho = 0$ )، $\operatorname{div}\vect j = 0$ : فينحفظ تدفق $\vect j$ على امتداد أنبوب تيار، وتعبر الشدّة نفسها كل مقطع من سلك، وتساوي التيارات الداخلة إلى عقدة التياراتِ الخارجة منها (وهو قانون العقد لكيرشهوف).

برهان. كلمةً كلمةً موازنة الكتلة في المبرهنة 2.8 مع $\rho$ كثافة الشحنة و $\vect j$ تيارها: فالخروج الصافي للشحنة عبر وجوه صندوق ثابت الستة، في واحدة الحجم، هو $\operatorname{div}\vect j$ ، ولا تُخلق شحنة. والصيغة المكاملة تجمع الصناديق (فتتلاشى الوجوه الداخلية). ومن أجل أنبوب بين مقطعين $S_1$ و $S_2$ بلا تدفق عبر جانبه، $I_1 = I_2$ ؛ والعقدة حجم صغير تدخله عدة أسلاك: $\sum I_{\text{داخل}} = \sum I_{\text{خارج}}$ . ∎

ملاحظة 10.5 (حيث يتوقف التيار: المكثف)

السلك الذي يغذّي لبوس مكثف أنبوب تيار ينتهي: إذ يكون تدفق $\vect j$ إلى اللبوس $I = \dd Q/\dd t$ ، وتتراكم الشحنة — ومنه $\operatorname{div}\vect j \ne 0$ هناك، والنظام غير مستقر. ومع ذلك يجري التيار $I$ نفسه في السلك على الجانب الآخر: فلا بدّ من شيء يحمل الموازنة عبر الفجوة. والفصل 11 يسمّيه — أي تيار الإزاحة — ويجعل انحفاظ الشحنة حجر الزاوية في معادلات ماكسويل.

10.3 نموذج درودة وقانون أوم

قضية 10.6 (نموذج درودة؛ قانون أوم الموضعي)

نمذج إلكترونات ناقلية معدن جسيماتٍ حرة (كتلتها $m$ ، وشحنتها $-e$ ، وكثافتها $n$ ) تحسّ المجال $\vect E$ ، وتفقد وسطيًّا كمية حركة انسياقها بالتصادمات مع الشبكة كل $\tau$ ثانية — أي بقوة احتكاك $-m\vect v/\tau$ على السرعة المتوسطة:

m\frac{\dd\vect v}{\dd t} = -e\vect E - \frac m\tau\vect v .

وفي مجال مستقر يستقر الانسياق، في بضعة $\tau$ ، عند $\vect v = -e\tau \vect E/m$ ، وتكون كثافة التيار

\vect j = \gamma\,\vect E , \qquad \gamma = \frac{ne^2\tau}{m} :

وهو قانون أوم الموضعي، و $\gamma$ هي الناقلية ( $\mathrm{S}/\mathrm{m}$ ؛ ومقلوبها $\rho_e = 1/\gamma$ هو المقاومية، $\Omega\,\mathrm{m}$ ). والنسبة $\mu = e\tau/m$ بين سرعة الانسياق والمجال هي الحركية ( $\mathrm{m}^{2}/(\mathrm{V}\,\mathrm{s})$ ). ومن أجل ناقل طوله $L$ ومقطعه المنتظم $S$ يحمل $\vect j$ منتظمة، تعطي مكاملة $E = j/\gamma$ على امتداد الطول $U = EL = (L/\gamma S)I$ : أي المقاومة $R = L/\gamma S = \rho_eL/S$ الواردة في كتاب السنة الأولى.

برهان. مع $\vect v = -e\tau\vect E/m$ يكون $\vect j = -ne\vect v = (ne^2\tau/m)\vect E$ . ويدوم الطور العابر $\vect v(t) = \vect v_\infty(1 - \eu^{-t/\tau})$ مدة $\tau \sim 1 \times 10^{-14}\,\mathrm{s}$ ، وهي لحظية على كل مقياس زمني في الدارات. وتنتج المقاومة من $\int\vect E\cdot\dd\vect l$ بين الطرفين. ∎

مثال 10.7 (النحاس، انطلاقًا من الناقلية المقيسة)

النحاس: $\gamma = 6.0 \times 10^{7}\,\mathrm{S}/\mathrm{m}$ ، و $n = 8.5 \times 10^{28}\,\mathrm{m}^{-3}$ : ومنه $\tau = m\gamma/ne^2 = 9.1 \times 10^{-31} \times 6 \times 10^7/(8.5 \times 10^{28} \times 2.56 \times 10^{-38}) = 2.5 \times 10^{-14}\,\mathrm{s}$ — أي خمس وعشرون فمتوثانية بين تصادمين. وسرعة الإلكترونات العشوائية في معدن نحو $1.6 \times 10^{6}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ (وهو أثر كمومي، لا السرعة الحرارية $\sqrt{3k_BT/m} \approx 1 \times 10^{5}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ )، ومنه يكون المسار الحرّ الوسطي $\ell = v\tau \approx 40\,\mathrm{nm}$ ، أي مئة مسافة ذرية: فالإلكترونات لا تصطدم بالذرات نفسها (فالبلورة التامة شفافة لها) بل بعيوبها وباهتزازاتها الحرارية — ولهذا تهبط $\gamma$ حين يُسخَّن المعدن أو يُخلَط. والحركية $e\tau/m = 4.4 \times 10^{-3}\,\mathrm{m}^{2}/(\mathrm{V}\,\mathrm{s})$ : أي $4\,\mathrm{mm}/\mathrm{s}$ لكل فولت في المتر.

قضية 10.8 (قانون أوم عند التواترات العالية)

من أجل مجال جيبي $\underline{\vect E}\,\eu^{\iu\omega t}$ تعطي معادلة درودة $\underline{\vect j} = \underline\gamma(\omega)\underline{\vect E}$ مع

\underline\gamma(\omega) = \frac{\gamma_0}{1 + \iu\omega\tau} , \qquad \gamma_0 = \frac{ne^2\tau}{m} :

فتكون الناقلية حقيقية ومساوية لقيمتها المستمرة ما دام $\omega\tau \ll 1$ ، أي حتى نحو $1 \times 10^{13}\,\mathrm{Hz}$ في النحاس — عبر مجال الراديو والموجات الصغرية كله؛ وفي تحت الأحمر وفي المرئي ( $\omega\tau \gg 1$ ) تصير تخيلية، $\underline\gamma \approx ne^2/\iu m\omega$ : فتتذبذب الإلكترونات بحرية، خارج طور المجال، ويسلك المعدن سلوك بلازما الفصل 14.

برهان. $\iu\omega m\underline{\vect v} = -e\underline{\vect E} - m\underline{\vect v}/\tau$ ، ومنه $\underline{\vect v} = -e\tau\underline{\vect E}/m(1 + \iu\omega\tau)$ و $\underline{\vect j} = -ne\underline{\vect v}$ . ∎

على اليمين: ناقلية درودة بدلالة — حقيقية وثابتة عند التواترات المنخفضة، وتخيلية فيما وراء 1/. وعلى اليسار: أثر هول في شريط ناقل — تُدفع الحوامل جانبيًّا بالمجال، فتشحن الحافتين، ويوازن مجال هول المستعرض القوة المغناطيسية. — على اليمين: ناقلية درودة بدلالة $\omega\tau$ — حقيقية وثابتة عند التواترات المنخفضة، وتخيلية فيما وراء $1/\tau$ . وعلى اليسار: أثر هول في شريط ناقل — تُدفع الحوامل جانبيًّا بالمجال، فتشحن الحافتين، ويوازن مجال هول المستعرض القوة المغناطيسية.

ملاحظة 10.9 (النواقل وأنصاف النواقل والمحاليل الشاردية)

والقانون نفسه $\vect j = \sum n_iq_i\mu_i\vect E$ صحيح في كل ناقل؛ والذي يتغير هو $n$ و $\mu$ . فالمعادن: $n \sim 10^{29}$ ، و $\gamma \sim 10^7$ سيمنس في المتر. وأنصاف النواقل: $n \sim 10^{16}$ – $10^{23}$ ، تحدّده الإشابة ويرتفع بحدّة مع درجة الحرارة، وفيه نوعان من الحوامل (إلكترونات وثقوب) — ومن هنا المقاومات الحرارية والثنائيات. والمحاليل الشاردية: شوارد من الإشارتين، و $\mu \sim 10^{-8}$ – $10^{-7}$ m $^2$ /(V s)؛ وماء البحر $\gamma \approx 5\,\mathrm{S}/\mathrm{m}$ ، وماء الصنبور $10^{-2}$ ، والماء النقي $10^{-5}$ . والعوازل (الزجاج والبوليمرات): $\gamma \lesssim 10^{-12}$ سيمنس في المتر. وأثر هول الوارد في كتاب السنة الأولى، في صيغته الموضعية $\vect E_H = -\vect j\wedge\vect B/nq$ ، يقيس $n$ وإشارة $q$ : ففي الألومنيوم أو الزنك تكون الحوامل موجبة — أي ثقوبًا — ولا يفسّر ذلك أي نموذج كلاسيكي.

10.4 الطاقة: قانون جول الموضعي

قضية 10.10 (قانون جول الموضعي)

يقدّم المجال الكهربائي إلى الحوامل، في واحدة الحجم والزمن، الاستطاعة $\vect j\cdot\vect E$ ؛ وفي ناقل أومي تكون

p = \vect j\cdot\vect E = \gamma E^2 = \frac{j^2}\gamma \ \ (\mathrm{W}/\mathrm{m}^{3}) ,

وتتحول كلها حرارةً بالتصادمات (فالطاقة الحركية للانسياق مهمَلة وثابتة). ومكاملةً على سلك، $\int j^2/\gamma\,\dd\tau = (L/\gamma S)I^2 = RI^2$ .

برهان. القوة $q\vect E$ على كل حامل تبذل الشغل بالمعدل $q\vect E\cdot\vect v$ ؛ ومجموعةً على $n\,\dd\tau$ حاملًا: $nq\vect v\cdot\vect E\,\dd\tau = \vect j\cdot \vect E\,\dd\tau$ (والقوة المغناطيسية لا تبذل شغلًا). وفي حالة درودة المستقرة تساوي هذه الاستطاعةُ ما يبدّده حدّ الاحتكاك، أي ما يُنقل إلى الشبكة. ∎

مثال 10.11 (سلك يسخن)

السلك ذو $1.5\,\mathrm{mm}^{2}$ عند $10\,\mathrm{A}$ : $p = j^2/\gamma = (6.7 \times 10^6)^2/6 \times 10^7 = 7.4 \times 10^{5}\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{3}$ ، أي $1.1\,\mathrm{W}$ في المتر — ويصرّفها الهواء حوله بسهولة. ولو تُرك لنفسه (بلا تبريد) لسخن النحاس ( $c = 385\,\mathrm{J}/(\mathrm{kg}\,\mathrm{K})$ ، و $\rho = 8900\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ ) بالمعدل $p/\rho c = 0.2\,\mathrm{K}/\mathrm{s}$ . وعند $100\,\mathrm{A}$ في السلك نفسه يكون المعدل أكبر مئة مرة، أي $20\,\mathrm{K}/\mathrm{s}$ : فينصهر في دقيقة — وهو مبدأ المصهر، الذي صُمّم سلكه الرفيع لينصهر أولًا.

قضية 10.12 (استرخاء الشحنة في ناقل)

في ناقل أومي تخمد كثافة شحنة حجمية وفق $\rho(t) = \rho_0\eu^{-t/\tau_r}$ حيث

\tau_r = \frac{\varepsilon_0}{\gamma} :

أي $1.5 \times 10^{-19}\,\mathrm{s}$ للنحاس، و $2 \times 10^{-12}\,\mathrm{s}$ لماء البحر، و $10\,\mathrm{s}$ للزجاج. وحتى التواترات من رتبة $1/\tau_r$ لا يحمل الناقل أي شحنة حجمية: بل تجري كل شحنة فائضة إلى سطحه. وهكذا تتوقف كلمة «ناقل» على المقياس الزمني: فماء البحر ناقل للأمواج الراديوية وعازل للضوء المرئي.

برهان. انحفاظ الشحنة مع $\vect j = \gamma\vect E$ وقانون غاوس في صيغته الموضعية، $\operatorname{div}\vect E = \rho/\varepsilon_0$ (الفصل 11): $\partial_t\rho = -\gamma\operatorname{div}\vect E = -(\gamma/\varepsilon_0)\rho$ . ∎

طريقة 10.13 (من القانون الموضعي إلى المكامل)

لإيجاد مقاومة ناقل كيفي الشكل: (1) استعمل التناظر لكتابة $\vect j$ (وفي النظام المستقر ينحفظ تدفقها، ومنه في أنبوب $j \times$ المقطع $= I$ )؛ (2) $\vect E = \vect j/\gamma$ ؛ (3) كامِل $\vect E$ على امتداد خط من مسرى إلى الآخر: $U = \int\vect E\cdot \dd\vect l$ ، و $R = U/I$ ؛ (4) تحقق باستطاعة جول $\int j^2/\gamma\, \dd\tau = RI^2$ . والخطوات نفسها تعطي تسرّب كابل، ومقاومة الأرض حول مانعة صواعق، أو مقاومة تماس مخروطي.

10.5 تمارين

تمرين 10.1 ★

سلك نحاسي مقطعه $2.5\,\mathrm{mm}^{2}$ يحمل $16\,\mathrm{A}$ . أوجد كثافة التيار، وسرعة الانسياق ( $n = 8.5 \times 10^{28}\,\mathrm{m}^{-3}$ )، والزمن الذي يستغرقه إلكترون في قطع $20\,\mathrm{m}$ إلى مأخذ؛ والمجال الكهربائي في السلك ( $\gamma = 6.0 \times 10^{7}\,\mathrm{S}/\mathrm{m}$ )، وهبوط التوتر على $20\,\mathrm{m}$ والاستطاعة الضائعة.

حل

حل التمرين 10.1.

$j = 16/2.5 \times 10^{-6} = 6.4 \times 10^{6}\,\mathrm{A}/\mathrm{m}^{2}$ ؛ و $v = j/ne = 0.47\,\mathrm{mm}/\mathrm{s}$ ؛ و $20\,\mathrm{m}$ في $4.3 \times 10^4$ ثانية، أي اثنتي عشرة ساعة. و $E = j/\gamma = 0.11\,\mathrm{V}/\mathrm{m}$ ؛ و $U = 2.1\,\mathrm{V}$ ؛ و $P = UI = 34\,\mathrm{W}$ .

تمرين 10.2 ★

كثافات التيار: صاعقة ( $30\,\mathrm{kA}$ ، ونصف قطرها $1\,\mathrm{cm}$ )؛ وحزمة إلكترونية ( $2\,\mathrm{mA}$ ، و $0.5\,\mathrm{mm}^{2}$ )؛ ومحوار عصبي ( $1\,\mathrm{nA}$ ، ونصف قطره $2\,\text{µ}\mathrm{m}$ )؛ والتيار الحلقي في الغلاف المغناطيسي للأرض ( $1\,\mathrm{MA}$ عبر نحو $1 \times 10^{14}\,\mathrm{m}^{2}$ ). وأيها يفوق سلك التمرين السابق؟

حل

حل التمرين 10.2.

الصاعقة $3 \times 10^4/\pi10^{-4} = 1 \times 10^{8}\,\mathrm{A}/\mathrm{m}^{2}$ ؛ والحزمة $4 \times 10^{3}\,\mathrm{A}/\mathrm{m}^{2}$ ؛ والمحوار $10^{-9}/1.3 \times 10^{-11} = 80\,\mathrm{A}/\mathrm{m}^{2}$ ؛ والتيار الحلقي $1 \times 10^{-8}\,\mathrm{A}/\mathrm{m}^{2}$ . ولا يفوق سلكَ التمرين ذا $6 \times 10^6$ إلا الصاعقة.

تمرين 10.3 ★

المقاوميات عند $20{}^{\circ}\mathrm{C}$ : النحاس $1.7 \times 10^{-8}\,\Omega\,\mathrm{m}$ ، والألومنيوم $2.8 \times 10^{-8}\,\Omega\,\mathrm{m}$ ، والحديد $1.0 \times 10^{-7}\,\Omega\,\mathrm{m}$ ، والنيكروم $1.1 \times 10^{-6}\,\Omega\,\mathrm{m}$ . أوجد مقاومة $100\,\mathrm{m}$ من $2.5\,\mathrm{mm}^{2}$ في كل منها؛ ومقطع الألومنيوم المكافئ لمقطع $2.5\,\mathrm{mm}^{2}$ من النحاس، ونسبة الكتلتين (والكثافتان $8900$ و $2700\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ )؛ وطول سلك نيكروم قطره $0.5\,\mathrm{mm}$ من أجل مدفأة $1\,\mathrm{kW}$ عند $230\,\mathrm{V}$ .

حل

حل التمرين 10.3.

$R = \rho_eL/S$ : أي $0.68$ و $1.1$ و $4.0$ و $44\,\Omega$ . والألومنيوم: $2.5 \times 2.8/1.7 = 4.1\,\mathrm{mm}^{2}$ ، ونسبة الكتلتين $(4.1 \times 2700)/(2.5 \times 8900) = 0.50$ — أي نصف الكتلة. والمدفأة: $R = 230^2/1000 = 53\,\Omega$ ، و $S = 0.196\,\mathrm{mm}^{2}$ ، و $L = RS/\rho_e = 9.4\,\mathrm{m}$ .

تمرين 10.4 ★

درودة: أوجد $\tau$ والحركية والمسار الحرّ الوسطي (والسرعة العشوائية $1.6 \times 10^{6}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ) من أجل النحاس ( $\gamma = 6.0 \times 10^{7}\,\mathrm{S}/\mathrm{m}$ ، و $n = 8.5 \times 10^{28}\,\mathrm{m}^{-3}$ ) والفضة ( $\gamma = 6.3 \times 10^{7}\,\mathrm{S}/\mathrm{m}$ ، و $n = 5.9 \times 10^{28}\,\mathrm{m}^{-3}$ )؛ وناقلية عيّنة سيليكون فيها $n = 1 \times 10^{22}\,\mathrm{m}^{-3}$ و $\mu = 0.14\,\mathrm{m}^{2}/(\mathrm{V}\,\mathrm{s})$ ؛ وسرعة الانسياق في تلك العيّنة عند $1\,\mathrm{kV}/\mathrm{m}$ .

حل

حل التمرين 10.4.

$\tau = m\gamma/ne^2$ : النحاس $2.5 \times 10^{-14}\,\mathrm{s}$ ، و $\mu = e\tau/m = 4.4 \times 10^{-3}\,\mathrm{m}^{2}/(\mathrm{V}\,\mathrm{s})$ ، و $\ell = 40\,\mathrm{nm}$ ؛ والفضة $3.8 \times 10^{-14}\,\mathrm{s}$ ، و $6.7 \times 10^{-3}\,\mathrm{m}^{2}/(\mathrm{V}\,\mathrm{s})$ ، و $61\,\mathrm{nm}$ . والسيليكون: $\gamma = ne\mu = 10^{22} \times 1.6 \times 10^{-19} \times 0.14 = 220\,\mathrm{S}/\mathrm{m}$ ؛ و $v = \mu E = 140\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ .

تمرين 10.5 ★★

مكثف لبوساه $S$ يُشحن عبر سلك بالتيار $I(t)$ . (أ) طبّق قانون الانحفاظ المكامل على سطح مغلق يحيط بأحد اللبوسين: واربط بين $I$ وشحنة اللبوس $Q$ . (ب) ولماذا يكون $\operatorname{div}\vect j \ne 0$ عند اللبوس؟ (ج) ومسرى كروي نصف قطره $a$ في وسط ناقل يبثّ تيارًا قطريًّا $I$ : أوجد $\vect j(r)$ ؛ وتحقق من $\operatorname{div} \vect j = 0$ من أجل $r > a$ (باستعمال $\operatorname{div}\vect j = \frac1{r^2}\partial_r(r^2j_r)$ لمجال قطري). (د) فأين إذًا «ينكسر» انحفاظ الشحنة؟

حل

حل التمرين 10.5.

(أ) تيار داخل ولا تيار خارج: ومنه $\dd Q/\dd t = I$ . (ب) تتراكم الشحنة: ومنه $\partial_t \rho \ne 0$ . (ج) $\vect j = (I/4\pi r^2)\vect e_r$ : ومنه $\operatorname{div}\vect j = \frac1{r^2} \partial_r(I/4\pi) = 0$ . (د) وعند المسرى وحده، حيث يُحقن التيار من السلك — أي منبع للتدفق.

تمرين 10.6 ★★

تسرّب كابل محوري. للعازل بين الناقلين (ونصفا قطريهما $a = 1\,\mathrm{mm}$ و $b = 3.5\,\mathrm{mm}$ ) ناقلية $\gamma = 1 \times 10^{-13}\,\mathrm{S}/\mathrm{m}$ ؛ ويُطبَّق توتر $U$ بينهما، فيجري تيار تسرّب قطري $I$ في كل طول $L$ . (أ) أوجد $\vect j(r)$ و $\vect E(r)$ . (ب) بيّن أن مقاومة طول $L$ هي $R = \ln(b/a)/2\pi\gamma L$ ؛ وأعطِ القيمة في الكيلومتر. (ج) وتيار التسرّب والاستطاعة في الكيلومتر عند $1\,\mathrm{kV}$ . (د) وقارن بالسعة في واحدة الطول $2\pi\varepsilon_0\varepsilon_r/\ln(b/a)$ : بيّن أن $RC = \varepsilon_0\varepsilon_r/\gamma$ وفسّر ذلك بزمن الاسترخاء.

حل

حل التمرين 10.6.

(أ) $j = I/2\pi rL$ ، و $E = j/\gamma$ ، وهما قطريان. (ب) $U = \int_a^bE\,\dd r = I\ln(b/a)/ 2\pi\gamma L$ : ومنه $R = \ln3.5/(2\pi \times 10^{-13} \times 10^3) = 2 \times 10^{9}\,\Omega$ في الكيلومتر. (ج) $0.5\,\text{µ}\mathrm{A}$ ، و $0.5\,\mathrm{mW}$ . (د) $RC = \varepsilon_0\varepsilon_r/\gamma = 200\,\mathrm{s}$ من أجل $\varepsilon_r = 2.3$ : فالكابل، مشحونًا ومعزولًا، يفرغ عبر عازله نفسه بزمن استرخاء ذلك العازل.

تمرين 10.7 ★★

الناقلية العقدية للنحاس ( $\tau = 2.5 \times 10^{-14}\,\mathrm{s}$ ). (أ) أوجد $\omega\tau$ عند $50\,\mathrm{Hz}$ و $10\,\mathrm{GHz}$ (موجات صغرية) و $30\,\mathrm{THz}$ (تحت الأحمر) و $5 \times 10^{14}\,\mathrm{Hz}$ (ضوء أخضر). (ب) وأوجد مقياس $\underline\gamma/\gamma_0$ وطوره في كل حالة. (ج) وحتى أي تواتر يكون قانون أوم صالحًا حتى $1\%$ ؟ (د) وفي المرئي، اكتب $\underline\gamma$ وبيّن أن $\underline{\vect j}$ في تربيع طور مع $\underline{\vect E}$ : فما استطاعة جول الوسطى؟

حل

حل التمرين 10.7.

(أ) $\omega\tau$ : أي $8 \times 10^{-12}$ و $1.6 \times 10^{-3}$ و $4.7$ و $79$ . (ب) $|\underline\gamma|/\gamma_0 = 1/\sqrt{1 + \omega^2\tau^2}$ : أي $1$ و $1$ و $0.21$ و $0.013$ ؛ والطور $-\arctan\omega\tau$ : أي $0$ و $-0.09{}^{\circ}$ و $-78{}^{\circ}$ و $-89{}^{\circ}$ . (ج) $\omega\tau \le 0.14$ : ومنه $f \le 0.9\,\mathrm{THz}$ . (د) $\underline\gamma \approx ne^2/\iu m\omega$ : فتتأخر $\underline{\vect j}$ عن $\underline{\vect E}$ بمقدار $90{}^{\circ}$ ، و $\langle\vect j\cdot\vect E\rangle = 0$ : فلا تسخين جولي — إذ تتذبذب الإلكترونات بحرية، كما في بلازما.

تمرين 10.8 ★★

سلك مصهر نحاسي قطره $0.20\,\mathrm{mm}$ (والنحاس: $\gamma = 6.0 \times 10^{7}\,\mathrm{S}/\mathrm{m}$ ، و $\rho = 8900\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ ، و $c = 385\,\mathrm{J}/(\mathrm{kg}\,\mathrm{K})$ ، وينصهر عند $1085{}^{\circ}\mathrm{C}$ ، وحرارته الكامنة $205\,\mathrm{kJ}/\mathrm{kg}$ ). (أ) أوجد كثافة التيار واستطاعة جول في واحدة الحجم عند $10\,\mathrm{A}$ . (ب) والزمن اللازم للانصهار من $20{}^{\circ}\mathrm{C}$ إن لم تخرج أي حرارة (وأهمل ارتفاع المقاومية مع الحرارة). (ج) والأمر نفسه عند $30\,\mathrm{A}$ . (د) وفي الواقع يفقد السلك حرارة إلى الهواء: فكيف يحدّد ذلك التيار الاسمي للمصهر، ولماذا تُغلَّف المصاهر في خرطوشة مملوءة رملًا؟

حل

حل التمرين 10.8.

(أ) $S = 3.1 \times 10^{-8}\,\mathrm{m}^{2}$ ، و $j = 3.2 \times 10^{8}\,\mathrm{A}/\mathrm{m}^{2}$ ، و $p = j^2/\gamma = 1.7 \times 10^{9}\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{3}$ . (ب) والطاقة اللازمة للانصهار في واحدة الحجم $\rho(c\Delta T + L_f) = 8900(4.1 \times 10^5 + 2.05 \times 10^5) = 5.5 \times 10^{9}\,\mathrm{J}/\mathrm{m}^{3}$ : أي $3.2\,\mathrm{s}$ . (ج) وأسرع تسع مرات: $0.36\,\mathrm{s}$ . (د) والتيار الاسمي هو الذي يصرّف الهواء تسخينه الجولي بالكاد دون درجة الانصهار؛ والرمل يخمد القوس الذي كان سيظل ناقلًا عبر الفجوة بعد انصهار السلك.

تمرين 10.9 ★★

الاسترخاء. (أ) استنتج $\partial_t\rho = -(\gamma/\varepsilon_0)\rho$ من انحفاظ الشحنة وقانون أوم و $\operatorname{div}\vect E = \rho/\varepsilon_0$ . (ب) أوجد $\tau_r$ للنحاس، ولماء البحر ( $\gamma = 5\,\mathrm{S}/\mathrm{m}$ )، ولماء الصنبور ( $5 \times 10^{-2}\,\mathrm{S}/\mathrm{m}$ )، وللزجاج ( $1 \times 10^{-12}\,\mathrm{S}/\mathrm{m}$ )، وللبولي تترافلوروإيثيلين ( $1 \times 10^{-16}\,\mathrm{S}/\mathrm{m}$ ). (ج) وحتى أي تواتر يكون كل منها «ناقلًا جيدًا» (أي تسترخي الشحنة في دور واحد)؟ (د) وقضيب زجاجي مشحون يحفظ شحنته دقائق: أيتوافق ذلك؟

حل

حل التمرين 10.9.

(أ) $\partial_t\rho = -\operatorname{div}\vect j = -\gamma\operatorname{div}\vect E = -\gamma\rho/ \varepsilon_0$ . (ب) $\varepsilon_0/\gamma$ : أي $1.5 \times 10^{-19}\,\mathrm{s}$ و $1.8 \times 10^{-12}\,\mathrm{s}$ و $1.8 \times 10^{-10}\,\mathrm{s}$ و $9\,\mathrm{s}$ و $9 \times 10^4$ ثانية. (ج) $f \lesssim 1/2\pi\tau_r$ : أي $10^{18}$ هرتز (ونموذج درودة يخفق قبل ذلك بكثير)، و $90\,\mathrm{GHz}$ ، و $0.9\,\mathrm{GHz}$ ، و $0.02\,\mathrm{Hz}$ ، و $2 \times 10^{-6}\,\mathrm{Hz}$ . (د) كان قضيب زجاجي ليفقد شحنته في دقيقة عبر حجمه؛ والزجاج الجافّ الحقيقي أقرب إلى $10^{-14}$ سيمنس في المتر (أي ساعات)، والرطوبة السطحية هي التي تفرّغه عادةً — وهو متوافق في رتبة القدر.

تمرين 10.10 ★★★

التأريض. مسرى نصف كروي نصف قطره $a = 0.50\,\mathrm{m}$ مدفون مستويًا مع سطح تربة ناقليتها $\gamma = 0.010\,\mathrm{S}/\mathrm{m}$ ؛ ويدخله تيار $I$ فينتشر قطريًّا في نصف الفضاء. (أ) أوجد $\vect j(r)$ و $\vect E(r)$ والكمون $V(r)$ مع $V(\infty) = 0$ . (ب) ومقاومة التأريض، $R = 1/2\pi\gamma a$ ؛ وقيمتها. (ج) وتصيب صاعقة مقدارها $20\,\mathrm{kA}$ القضيب: أوجد كمون القضيب؛ والكمون عند $r = 10\,\mathrm{m}$ و $10.7\,\mathrm{m}$ ؛ و«توتر الخطوة» بين قدمي شخص واقف هناك (والقدمان متباعدتان $0.7\,\mathrm{m}$ قطريًّا). (د) ولماذا تُقتل الماشية، وأرجلها الأربع متباعدة، بالصواعق القريبة أكثر من الناس؟

حل

حل التمرين 10.10.

(أ) $\vect j = (I/2\pi r^2)\vect e_r$ ، و $E = I/2\pi\gamma r^2$ ، و $V = I/2\pi\gamma r$ . (ب) $R = V(a) /I = 1/2\pi\gamma a = 32\,\Omega$ . (ج) $V_{\text{القضيب}} = 640\,\mathrm{kV}$ ؛ و $V(10) = 32\,\mathrm{kV}$ ، و $V(10.7) = 30\,\mathrm{kV}$ : أي $2.1\,\mathrm{kV}$ بين القدمين. (د) وتتباعد الرجلان الأماميتان والخلفيتان $1.5\,\mathrm{m}$ على امتداد نصف القطر: أي $4$ – $5\,\mathrm{kV}$ ، ويعبر مسار التيار القلب.

تمرين 10.11 ★★★

مِجَسّ هول. شريط سماكته $t$ وعرضه $w$ يحمل $I$ على امتداد $x$ في مجال $B$ على امتداد $z$ . (أ) انطلاقًا من $\vect E_H = -\vect j\wedge\vect B /nq$ ، بيّن أن توتر هول عبر العرض هو $V_H = IB/nqt$ . (ب) وشريط نحاسي، $t = 0.10\,\mathrm{mm}$ ، و $1\,\mathrm{A}$ ، و $1\,\mathrm{T}$ : أوجد $V_H$ . (ج) ونصف ناقل مُشاب فيه $n = 1 \times 10^{22}\,\mathrm{m}^{-3}$ ، بالهندسة نفسها: أوجد $V_H$ ؛ ولماذا تستعمل المِجَسّات أنصاف النواقل. (د) ومِجَسّ فيه $n = 1 \times 10^{22}\,\mathrm{m}^{-3}$ و $t = 20\,\text{µ}\mathrm{m}$ ، مغذًّى بتيار $1\,\mathrm{mA}$ ، يقرأ $10\,\text{µ}\mathrm{V}$ : أوجد المجال المقيس. وماذا تقول إشارة $V_H$ ؟

حل

حل التمرين 10.11.

(أ) $E_H = jB/nq$ مع $j = I/wt$ : ومنه $V_H = E_Hw = IB/nqt$ . (ب) $1/(8.5 \times 10^{28} \times 1.6 \times 10^{-19} \times 10^{-4}) = 0.7\,\text{µ}\mathrm{V}$ . (ج) $6.3\,\mathrm{mV}$ : إذ $V_H \propto 1/n$ ، وفي أنصاف النواقل حوامل أقل بمعامل $10^6$ . (د) $B = V_Hnqt/I = 10^{-5} \times 10^{22} \times 1.6 \times 10^{-19} \times 2 \times 10^{-5}/10^{-3} = 0.32\,\mathrm{T}$ ؛ وتعطي إشارة $V_H$ إشارةَ الحوامل (من أجل $\vect B$ معلوم)، أو جهة $\vect B$ (من أجل مِجَسّ معلوم).

تمرين 10.12 ★★★

محلول شاردي. في الماء، لشاردتي Na $^+$ و Cl $^-$ حركيتان $\mu_+ = 5.2 \times 10^{-8}\,\mathrm{m}^{2}/(\mathrm{V}\,\mathrm{s})$ و $\mu_- = 7.9 \times 10^{-8}\,\mathrm{m}^{2}/(\mathrm{V}\,\mathrm{s})$ . (أ) بيّن أن $\gamma = ne(\mu_+ + \mu_-)$ من أجل $n$ زوجًا من الشوارد في واحدة الحجم. (ب) وماء البحر، $0.5\,\mathrm{mol}/\mathrm{L}$ من كلور الصوديوم: أوجد $\gamma$ ؛ وقارنه بالقيمة المقيسة $5\,\mathrm{S}/\mathrm{m}$ . (ج) وسرعتا الانسياق عند $10\,\mathrm{V}/\mathrm{m}$ ؛ وأي شاردة تحمل من التيار أكثر؟ (د) وعمود من ماء البحر، $1\,\mathrm{cm}^{2}$ في $10\,\mathrm{cm}$ ، يحمل $1\,\mathrm{A}$ : أوجد التوتر والاستطاعة والزمن اللازم لتسخينه $10\,\mathrm{K}$ ( $c = 4.0\,\mathrm{kJ}/(\mathrm{kg}\,\mathrm{K})$ )؛ ولماذا تُبرَّد هلامات الرحلان الكهربائي.

حل

حل التمرين 10.12.

(أ) $\vect j = ne\mu_+\vect E + (-ne)(-\mu_-\vect E)$ : فينساق النوعان في جهتين متعاكستين ويحملان التيار في الجهة نفسها. (ب) $n = 0.5 \times 10^3 \times 6.02 \times 10^{23} = 3 \times 10^{26}\,\mathrm{m}^{-3}$ : ومنه $\gamma = 3 \times 10^{26} \times 1.6 \times 10^{-19} \times 1.31 \times 10^{-7} = 6.3\,\mathrm{S}/\mathrm{m}$ (وتعوق الشوارد بعضها بعضًا عند هذا التركيز: فالمقيس $5\,\mathrm{S}/\mathrm{m}$ ). (ج) $0.52\,\text{µ}\mathrm{m}/\mathrm{s}$ و $0.79\,\text{µ}\mathrm{m}/\mathrm{s}$ : وتحمل Cl $^-$ نسبة $60\%$ . (د) $R = L/\gamma S = 200\,\Omega$ ، و $U = 200\,\mathrm{V}$ ، و $P = 200\,\mathrm{W}$ في $10\,\mathrm{g}$ من الماء: أي $10\,\mathrm{K}$ في $2\,\mathrm{s}$ — ومن هنا صفائح تبريد أحواض الرحلان الكهربائي.

10.6 مسألة: السلك النحاسي، من الذرة إلى الشبكة

مسألة 10.1

مسألة نهاية الأسبوع — متر واحد من سلك منزلي مفحوصًا على أربعة مقاييس: الإلكترون، والقوانين الموضعية، والدارة، وخط النقل

النحاس: كتلته المولية $63.5\,\mathrm{g}/\mathrm{mol}$ ، وكثافته $8900\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ ، وفيه إلكترون ناقلية واحد لكل ذرة، وناقليته $\gamma = 6.0 \times 10^{7}\,\mathrm{S}/\mathrm{m}$ عند $20{}^{\circ}\mathrm{C}$ ، ومقاوميته المرتفعة $\rho_e(T) = \rho_e(20)[1 + \alpha(T - 20)]$ مع $\alpha = 4.0 \times 10^{-3}\,\mathrm{K}^{-1}$ ؛ و $c = 385\,\mathrm{J}/(\mathrm{kg}\,\mathrm{K})$ . والسلك: مقطعه $S = 2.5\,\mathrm{mm}^{2}$ ، وطوله $1\,\mathrm{m}$ ، وتياره $16\,\mathrm{A}$ .

الجزء I — الإلكترونات.

الكثافة العددية $n$ لإلكترونات الناقلية.
كثافة التيار وسرعة الانسياق؛ وكم يحتاج إلكترون من الزمن لقطع المتر.
$\tau$ درودة والحركية؛ والمسار الحرّ الوسطي بسرعة عشوائية $1.6 \times 10^{6}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ؛ وكم مسافة ذرية ( $0.26\,\mathrm{nm}$ ) يعادل ذلك، وماذا يقول عن الشيء الذي تصطدم به الإلكترونات؟
وتنمو الاهتزازات الحرارية مع $T$ ، ومنه $\tau \propto 1/T$ تقريبًا: تحقق من ذلك بالمقارنة مع $\alpha$ بجوار حرارة الغرفة ( $\dd\rho_e/\rho_e = \dd T/T$ كانت لتعطي $\alpha = 1/293$ ).
المجال الكهربائي في السلك؛ والتوتر الكلي على المتر؛ والطاقة الحركية للانسياق لكل إلكترون مقارنةً بالمقدار $k_BT$ — فهل يزعج التيارُ غازَ الإلكترونات؟
عدد الإلكترونات التي تعبر مقطعًا من السلك في الثانية.
شحنة إلكترونات الناقلية في المتر من السلك؛ والقوة التي يؤثر بها المجال فيها كلها؛ وقارنها بثقل السلك. وأين تنتهي تلك القوة (فكّر في التصادمات)؟

الجزء II — القوانين الموضعية.

استطاعة جول في واحدة الحجم وفي المتر.
ويفقد السلك، في الهواء، حرارةً بالمعدل $h(T - T_a)$ في واحدة المساحة مع $h = 10\,\mathrm{W}/(\mathrm{m}^{2}\,\mathrm{K})$ (بالحمل): أوجد ارتفاع الحرارة عند التوازن؛ وتحقق مما إذا كان تصحيح المقاومية مهمًّا.
والسلك نفسه مدفونًا في عزل لا يمرّر إلا $h = 2\,\mathrm{W}/(\mathrm{m}^{2}\,\mathrm{K})$ : أوجد ارتفاع الحرارة الجديد، مع إدراج تصحيح المقاومية (حُلّ الموازنة).
ومتروكًا بلا أي تبريد، أوجد معدل ارتفاع الحرارة عند $16\,\mathrm{A}$ وعند $160\,\mathrm{A}$ (أي قصر دارة)؛ والزمن اللازم لبلوغ درجة الانصهار ( $1085{}^{\circ}\mathrm{C}$ ) في الحالة الثانية؛ وما الذي يحمي التمديدات؟
وعند $50\,\mathrm{Hz}$ : $\omega\tau = ?$ وهل يتأثر قانون أوم؟ (والأثر القشري في الفصل 14 أمر آخر.)
اكتب زمن استرخاء النحاس $\varepsilon_0/\gamma$ ؛ وماذا يعني لكثافة الشحنة داخل السلك، وأين تقع الشحنة التي تنتج المجال $E$ داخل السلك؟

الجزء III — انحفاظ الشحنة في الدارة. يغذّي السلك مكثفًا سعته $C = 100\,\text{µ}\mathrm{F}$ عبر مفتاح؛ ويكون التيار $I(t) = I_0\eu^{-t/\tau_c}$ مع $I_0 = 16\,\mathrm{A}$ و $\tau_c = 1\,\mathrm{ms}$ .

الشحنة التي تبلغ اللبوس؛ والتوتر النهائي.
طبّق $\dd Q/\dd t = -I_{\text{خارج}}$ على سطح مغلق حول اللبوس: فأي جانب يحمل تيار ناقلية، وأيهما لا يحمله؟ وأي مقدار يجب أن يتغير إذًا في الفجوة؟
وعند $t = 0.5\,\mathrm{ms}$ ، أوجد معدل تغيّر شحنة اللبوس؛ وإذا كان اللبوسان $1\,\mathrm{cm}^{2}$ ويبعدان $0.1\,\mathrm{mm}$ في الهواء، أوجد معدل تغيّر المجال بينهما.
بيّن أن $\varepsilon_0\,\dd E/\dd t \times$ مساحة اللبوس يساوي التيار في السلك — وهو المقدار الذي يضيفه الفصل 11 إلى قانون أمبير.
ويُقطع السلك ويُترك طرفاه متباعدين $1\,\mathrm{mm}$ في الهواء: فأي تيار يجري (وناقلية الهواء $\gamma \approx 1 \times 10^{-14}\,\mathrm{S}/\mathrm{m}$ )؟ وعند أي مجال ينهار الهواء ( $3\,\mathrm{MV}/\mathrm{m}$ ): فأي توتر على الفجوة يصنع شرارة؟

الجزء IV — الخط. خط عند $230\,\mathrm{V}$ من النحاس مقطعه $10\,\mathrm{mm}^{2}$ ، وطوله $500\,\mathrm{m}$ (ذهابًا وإيابًا: أي $1\,\mathrm{km}$ من السلك)، يغذّي مزرعة تسحب $40\,\mathrm{A}$ .

المقاومة وهبوط التوتر والاستطاعة الضائعة في الخط؛ والنسبة من الاستطاعة المسلَّمة.
والاستطاعة نفسها عند $20\,\mathrm{kV}$ بمحوّل عند كل طرف: أوجد التيار والهبوط والضياع؛ واستنتج لماذا يجري النقل عند توتر عال.
ويُستعمل الألومنيوم ( $\gamma = 3.6 \times 10^{7}\,\mathrm{S}/\mathrm{m}$ ، و $2700\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ ) على الأبراج: أوجد المقطع اللازم للمقاومة نفسها التي لمقطع $10\,\mathrm{mm}^{2}$ من النحاس؛ والكتلة في الكيلومتر لكليهما؛ ولماذا يفوز الألومنيوم في الأعالي والنحاس في الجدار.
ومِجَسّ هول مشبوك حول الخط يقرأ مجاله: أوجد توتر هول في مقياس مشبكي فيه $n = 1 \times 10^{22}\,\mathrm{m}^{-3}$ و $t = 0.1\,\mathrm{mm}$ ، مغذًّى بتيار $5\,\mathrm{mA}$ في مجال $0.1\,\mathrm{T}$ مركَّز بلبّ حديدي.
وبعد حمل يوم حارّ يستقر السلك عند $80{}^{\circ}\mathrm{C}$ : أوجد مقاومته عندئذ والضياع الزائد.
وتصيب صاعقة الخط: $20\,\mathrm{kA}$ مدة $100\,\text{µ}\mathrm{s}$ . أوجد الطاقة المبدَّدة في $1\,\mathrm{km}$ من السلك؛ وارتفاع الحرارة إن لم يخرج شيء؛ وكثافة التيار — وقارنها بالجزء الأول.
لخّص: المقادير الخمسة ( $n$ و $\tau$ و $\gamma$ و $j$ و $E$ ) التي تصف السلك على كل مقياس، والقانون الذي يربط كل زوج.

حل

حل المسألة 10.1.

1. $n = \rho N_A/M = 8.4 \times 10^{28}\,\mathrm{m}^{-3}$ .

2. $j = 6.4 \times 10^{6}\,\mathrm{A}/\mathrm{m}^{2}$ ، و $v = j/ne = 0.47\,\mathrm{mm}/\mathrm{s}$ ؛ أي $35\,\mathrm{min}$ في المتر.

3. $\tau = m\gamma/ne^2 = 2.5 \times 10^{-14}\,\mathrm{s}$ ، و $\mu = 4.4 \times 10^{-3}\,\mathrm{m}^{2}/(\mathrm{V}\,\mathrm{s})$ ، و $\ell = 40\,\mathrm{nm}$ ، أي $150$ مسافة ذرية: فتصطدم الإلكترونات بالعيوب وبالاهتزازات الحرارية، لا بالذرات.

4. $\rho_e \propto T$ يعطي $\alpha = 1/293 = 3.4 \times 10^{-3}\,\mathrm{K}^{-1}$ ، وهو قريب من القيمة المقيسة $4 \times 10^{-3}$ .

5. $E = 0.11\,\mathrm{V}/\mathrm{m}$ ، و $U = 0.11\,\mathrm{V}$ ؛ و $\tfrac12mv^2 = 1 \times 10^{-37}\,\mathrm{J}$ مقابل $k_BT = 4 \times 10^{-21}\,\mathrm{J}$ : فلا يلحظ غاز الإلكترونات التيار.

6. $I/e = 1 \times 10^{20}\,$ إلكترون في الثانية.

7. $Q = neSL = 3.4 \times 10^{4}\,\mathrm{C}$ ؛ و $QE = 3.6\,\mathrm{kN}$ ، مقابل ثقل مقداره $0.2\,\mathrm{N}$ . ويجذب المجال الشبكةَ الموجبة بالقوة المعاكسة؛ وتسلّم الإلكترونات كمية حركتها إلى الشبكة بالتصادمات: فلا يحسّ السلك ككلّ شيئًا.

8. $p = j^2/\gamma = 6.8 \times 10^{5}\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{3}$ ، أي $1.7\,\mathrm{W}/\mathrm{m}$ .

9. المساحة $\pi d = 5.6 \times 10^{-3}\,\mathrm{m}^{2}$ في المتر: ومنه $\Delta T = 1.7/(10 \times 5.6 \times 10^{-3}) = 30\,\mathrm{K}$ ؛ وترتفع المقاومية $12\%$ ، وترتفع الاستطاعة إلى $1.9\,\mathrm{W}$ : فيصير $\Delta T \approx 35\,\mathrm{K}$ .

10. $\Delta T = 1.7(1 + 0.004\Delta T)/(2 \times 5.6 \times 10^{-3})$ : ومنه $\Delta T(1 - 0.6) = 150$ ، و $\Delta T \approx 400\,\mathrm{K}$ — أي قرب الانفلات الحراري: فيجب تخفيض تصنيف الكابلات المدفونة.

11. $p/\rho c = 0.2\,\mathrm{K}/\mathrm{s}$ ؛ وعند $160\,\mathrm{A}$ ، $20\,\mathrm{K}/\mathrm{s}$ : فينصهر في نحو دقيقة (وأقلّ مع ارتفاع $\rho_e$ )؛ ويفتح القاطع في ميلي ثوانٍ.

12. $\omega\tau = 8 \times 10^{-12}$ : فقانون أوم لا يمسّه شيء.

13. $\varepsilon_0/\gamma = 1.5 \times 10^{-19}\,\mathrm{s}$ : فلا شحنة في الداخل؛ والمجال في السلك تصنعه شحن على سطحه، وكثافتها تتغير على امتداد السلك.

14. $Q = I_0\tau_c = 16\,\mathrm{mC}$ ، و $V = Q/C = 160\,\mathrm{V}$ .

15. جانب السلك يحمل $I$ ، وجانب الفجوة لا يحمل تيار ناقلية: فتنمو الشحنة، وينمو معها المجال الكهربائي في الفجوة.

16. $I = 16\eu^{-0.5} = 9.7\,\mathrm{A}$ ؛ و $E = Q/\varepsilon_0A$ ، ومنه $\dd E/\dd t = I/\varepsilon_0A = 9.7/(8.85 \times 10^{-12} \times 10^{-4}) = 1.1 \times 10^{16}\,\mathrm{V}\,\mathrm{m}^{-1}\,\mathrm{s}^{-1}$ .

17. $\varepsilon_0A\,\dd E/\dd t = I$ : أي تيار الإزاحة.

18. $j = \gamma E = 10^{-14} \times 2.3 \times 10^5 = 2 \times 10^{-9}\,\mathrm{A}/\mathrm{m}^{2}$ ، أي $10^{-14}$ أمبير عبر المقطع: فلا شيء؛ والانهيار عند $3\,\mathrm{kV}$ على الميليمتر.

19. $R = 1000/(6 \times 10^7 \times 10^{-5}) = 1.7\,\Omega$ ؛ و $\Delta U = 67\,\mathrm{V}$ ؛ و $P = 2.7\,\mathrm{kW}$ ، أي $29\%$ من $9.2\,\mathrm{kW}$ المسلَّمة.

20. $I = 0.46\,\mathrm{A}$ ، و $\Delta U = 0.8\,\mathrm{V}$ ، و $0.35\,\mathrm{W}$ : فالنقل عند توتر عال يقسم الضياع على $(U_2/U_1)^2$ .

21. $10 \times 6/3.6 = 17\,\mathrm{mm}^{2}$ ؛ و $89\,\mathrm{kg}/\mathrm{km}$ من النحاس مقابل $45\,\mathrm{kg}/\mathrm{km}$ من الألومنيوم: فهو أخفّ وأرخص على الأبراج؛ وفي الجدار يتّسع مقطع النحاس الأصغر للمجاري والأطراف.

22. $V_H = IB/nqt = 5 \times 10^{-3} \times 0.1/(10^{22} \times 1.6 \times 10^{-19} \times 10^{-4}) = 3.1\,\mathrm{mV}$ .

23. أي $+24\%$ : $2.1\,\Omega$ ، و $3.3\,\mathrm{kW}$ ضائعة.

24. $RI^2t = 1.7 \times 4 \times 10^8 \times 10^{-4} = 67\,\mathrm{kJ}$ في $89\,\mathrm{kg}$ : أي $2\,\mathrm{K}$ . و $j = 2 \times 10^{9}\,\mathrm{A}/\mathrm{m}^{2}$ ، أي ثلاثمئة ضعف القيمة المنزلية.

25. $n$ (المادة) و $\tau$ (التصادمات) يعطيان $\gamma = ne^2\tau/m$ ؛ و $\gamma$ يربط $j$ بالمجال $E$ (أوم)؛ و $j$ يتكامل ليعطي $I$ ، و $E$ ليعطي $U$ (وهي الدارة)؛ و $j^2/\gamma$ هو الحرارة.

المصطلحات المعرَّفة في هذا الفصل

كثافة الشحنة؛ كثافة التيار

عرض كل المصطلحات (393) في المسرد