الفيزياء الجامعية — السنة الثانية · Bachelor Year 2

12الطاقة الكهرمغناطيسية ومتجهة بوينتنغ

تضيء بطارية مصباحًا عبر سلكين نحاسيين. فأين تنتقل الطاقة؟ لا داخل النحاس، كما يتبيّن: فالإلكترونات هناك تنساق بميليمتر في الثانية ولا تكاد تحمل شيئًا. بل تجري الطاقة في الفضاء حول السلكين، في المجال الكهرمغناطيسي، وتدخل شعيرة المصباح من جوانبها. وتسلّم الشمس كيلوواطًا لكل متر مربع من سطح مشمس بالطريقة نفسها، عبر مئة وخمسين مليون كيلومتر من الخلاء. وهذا الفصل يستخرج من معادلات ماكسويل ميزان الطاقة الكهرمغناطيسية — كم منها يُخزَّن في مجال، و المتجهة، متجهة بوينتنغ، التي تقول أين تذهب — ويطبّقه على سلك ومكثف ووشيعة وحزمة ضوء.

12.1 ميزان طاقة المجال

مبرهنة 12.1 (مبرهنة بوينتنغ)

لنعرّف كثافة الطاقة الكهرمغناطيسية ومتجهة بوينتنغ

u = \frac{\varepsilon_0E^2}2 + \frac{B^2}{2\mu_0} \quad (\mathrm{J}/\mathrm{m}^{3}) , \qquad \vect\Pi = \frac{\vect E\wedge\vect B}{\mu_0} \quad (\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}) .

وتستلزم معادلات ماكسويل، عند كل نقطة،

\frac{\partial u}{\partial t} + \operatorname{div}\vect\Pi = -\vect j\cdot\vect E ,

ومن أجل أي حجم ثابت $V$ يحدّه $\Sigma$ ،

\frac{\dd}{\dd t}\iiint_Vu\,\dd\tau = -\iint_\Sigma\vect\Pi\cdot\vect n\,\dd S - \iiint_V\vect j\cdot\vect E\,\dd\tau :

أي إن طاقة المجال داخل $V$ تتناقص بما يجري خارجًا عبر الحدّ — أي تدفق $\vect\Pi$ — وبما يعطيه المجال للشحن ( $\vect j\cdot\vect E$ ، أي استطاعة جول في ناقل). و $\vect\Pi$ هي كثافة تدفق الطاقة: أي الاستطاعة العابرة لواحدة سطح ناظمية عليها.

برهان. من ماكسويل–أمبير، $\vect j = \operatorname{\vect{curl}}\vect B/\mu_0 - \varepsilon_0\partial_t \vect E$ ، ومنه $\vect j\cdot\vect E = \vect E\cdot\operatorname{\vect{curl}}\vect B/\mu_0 - \partial_t(\varepsilon_0E^2/2)$ . وتعطي المتطابقة $\operatorname{div}(\vect E\wedge\vect B) = \vect B \cdot\operatorname{\vect{curl}}\vect E - \vect E\cdot\operatorname{\vect{curl}}\vect B$ (وتحقق منها على المركّبات) وماكسويل–فاراداي $\vect E\cdot\operatorname{\vect{curl}} \vect B = -\operatorname{div}(\vect E\wedge\vect B) - \vect B\cdot\partial_t\vect B = -\mu_0 \operatorname{div}\vect\Pi - \partial_t(B^2/2)$ . ونجمع: $\vect j\cdot\vect E = -\operatorname{div} \vect\Pi - \partial_tu$ . ثم نكامل على $V$ ونطبّق مبرهنة التباعد. ∎

ملاحظة 12.2 (ما يتحدد وما لا يتحدد)

لا تحدّد المبرهنة إلا تدفق $\vect\Pi$ عبر السطوح المغلقة والمقدار الكلي $u$ ؛ وإضافة أي مجال معدوم التباعد إلى $\vect\Pi$ لم تكن لتغير شيئًا يُرصد. والاختيار أعلاه هو الأبسط، وهو الذي يتوافق مع كمية الحركة التي يحملها الضوء (أدناه)، وهو المستعمل عالميًّا. والكثافتان $\varepsilon_0E^2/2$ و $B^2/2\mu_0$ هما طاقتا المكثف والمحرّض في كتاب السنة الأولى، منسوبتين الآن إلى كل نقطة من الفضاء: فمجال مقداره $1\,\mathrm{MV}/\mathrm{m}$ (وهو حدّ انهيار الهواء) يخزّن $4.4\,\mathrm{J}/\mathrm{m}^{3}$ ، ومجال مقداره $1\,\mathrm{T}$ يخزّن $0.4\,\mathrm{MJ}/\mathrm{m}^{3}$ — أي أكثر بمئة ألف مرة، ولهذا يبلغ تخزين الطاقة في المغانط، لا في المكثفات، الميغاجول.

12.2 أين تجري الطاقة: ثلاث دارات

مثال 12.3 (السلك المقاوم)

سلك أسطواني نصف قطره $a$ يحمل التيار المستقر $I$ تحت المجال $E = j/\gamma$ على امتداد محوره؛ وخارجه مباشرةً $B = \mu_0I/2\pi a$ (سمتي). وعند السطح تشير $\vect\Pi = \vect E\wedge\vect B/\mu_0$ قطريًّا نحو الداخل، وطويلتها $EI/2\pi a$ ؛ وتدفقها عبر السطح الجانبي لطول $L$ هو $EI/2\pi a\times2\pi aL = (EL)I = UI = RI^2$ : فحرارة جول تدخل السلك من جوانبه، يسلّمها المجال المحيط، ولا تحملها الإلكترونات نزولًا في السلك. وفي الداخل، $\Pi(r) = (E/\mu_0)(\mu_0Ir/2\pi a^2) = EIr/2\pi a^2$ : فالجريان الداخل يتناقص نحو المحور كلما أُودعت الطاقة طبقةً طبقةً.

مثال 12.4 (المكثف والملف اللولبي)

مكثف بلبوسين دائريين يُشحن: $\vect E$ محوري، و $\vect B = \mu_0\varepsilon_0(r/2)\dot E\,\vect e_\theta$ (الفصل 11)، ومنه $\vect\Pi = -\varepsilon_0(r/2)E\dot E\,\vect e_r$ ، نحو الداخل؛ وعبر الأسطوانة ذات نصف القطر $R$ والارتفاع $d$ يكون تدفقها $\varepsilon_0\pi R^2d\,E\dot E = \dd(\tfrac12 \varepsilon_0E^2\,\pi R^2d)/\dd t$ : فالطاقة الكهربائية تدخل من الحافة. وملف لولبي ينمو تياره: $\vect B$ محوري، والمجال المحرَّض $\vect E = -(r/2) \dot B\,\vect e_\theta$ ، و $\vect\Pi = -(rB\dot B/2\mu_0)\vect e_r$ ، نحو الداخل مرة أخرى، وتدفقها $\dd(B^2/2\mu_0\times\text{الحجم})/\dd t$ . وفي كل حالة تبلغ الطاقة الجهازَ عبر المجال خارجه؛ ولا تفعل الأسلاك إلا أن توجّه المجال.

على اليسار: سلك يحمل تيارًا — تشير متجهة بوينتنغ، المبنية من E المحوري و B السمتي، إلى داخل السلك في كل سطحه؛ وتدخل حرارة جول من الجوانب. وعلى اليمين: مكثف يُشحن — تجري الطاقة داخلةً قطريًّا عبر الفجوة، لا عبر اللبوسين. — على اليسار: سلك يحمل تيارًا — تشير متجهة بوينتنغ، المبنية من $\vect E$ المحوري و $\vect B$ السمتي، إلى داخل السلك في كل سطحه؛ وتدخل حرارة جول من الجوانب. وعلى اليمين: مكثف يُشحن — تجري الطاقة داخلةً قطريًّا عبر الفجوة، لا عبر اللبوسين.

ملاحظة 12.5 (الطاقة في مجالين متعامدين ساكنين)

مكثف مشحون موضوع في مجال مغنطيس دائم له $\vect\Pi = \vect E\wedge\vect B/\mu_0 \ne \vect 0$ في كل مكان بين لبوسيه، مع أن لا شيء يتغير ولا شيء يسخن. ولا تناقض في ذلك: إذ إن $\vect\Pi$ هناك معدومة التباعد، وخطوطها تنغلق على نفسها، وتدفقها عبر أي سطح مغلق ينعدم — ولا تقول المبرهنة شيئًا عن جريان دوّار لا يسلّم شيئًا. فالتدفقات عبر السطوح المغلقة وحدها فيزيائية.

كابل محوري يحمل استطاعة: يصنع E القطري و B السمتي متجهةَ بوينتنغ محورية في العازل؛ وتدفقها على الحلقة بين الناقلين هو UI بالضبط — فالاستطاعة تنتقل في العازل، ولا يفعل المعدن إلا أن يوجّهها. — كابل محوري يحمل استطاعة: يصنع $\vect E$ القطري و $\vect B$ السمتي متجهةَ بوينتنغ محورية في العازل؛ وتدفقها على الحلقة بين الناقلين هو $UI$ بالضبط — فالاستطاعة تنتقل في العازل، ولا يفعل المعدن إلا أن يوجّهها.

12.3 الضوء: الشدة وضغط الإشعاع

قضية 12.6 (طاقة موجة مستوية)

من أجل موجة مستوية في الخلاء — وهي حلّ الفصل 13، مع $\vect B = \vect k\wedge\vect E/\omega$ ، و $B = E/c$ ، و $\vect E \perp \vect B$ — تتساوى كثافتا الطاقة الكهربائية والمغناطيسية ويكون

u = \varepsilon_0E^2 , \qquad \vect\Pi = \varepsilon_0cE^2\,\vect u = cu\,\vect u ,

حيث $\vect u$ جهة الانتشار: فالطاقة تنتقل بالسرعة $c$ . ومن أجل موجة جيبية سعتها $E_0$ تكون الشدة (الاستضاءة) هي التدفق الوسطي،

I = \langle\Pi\rangle = \frac{\varepsilon_0cE_0^2}2 = \frac{E_0^2}{2\mu_0c} ,

وتحمل الموجة كثافة كمية حركة $\vect\Pi/c^2$ (مسلَّم بها)، ومنه تؤثر على سطح تصيبه بورود ناظمي بما يسمّى ضغط الإشعاع $P = I/c$ إذا امتُصّت و $2I/c$ إذا انعكست.

برهان. $B^2/2\mu_0 = E^2/2\mu_0c^2 = \varepsilon_0E^2/2$ ؛ و $\vect E\wedge\vect B/\mu_0 = E^2/\mu_0c = \varepsilon_0cE^2$ على امتداد $\vect k$ ؛ و $\langle\cos^2\rangle = \tfrac12$ . وتنتج كثافة كمية الحركة $\vect\Pi/c^2$ من قوة لورنتس على شحن السطح الماصّ (أو من النسبية: $p = E/c$ في الضوء): إذ إن كمية الحركة $\Pi S\,\dd t/c^2\times c$ الواصلة في واحدة الزمن على سطح $S$ هي قوة $\Pi S/c$ . ∎

مثال 12.7 (ضوء الشمس والليزر والموجات الصغرية)

ضوء الشمس عند قمة الغلاف الجوي، $I = 1.36\,\mathrm{kW}/\mathrm{m}^{2}$ : $E_0 = \sqrt{2I/\varepsilon_0c} = 1.0\,\mathrm{kV}/\mathrm{m}$ ، و $B_0 = E_0/c = 3.4\,\text{µ}\mathrm{T}$ ، وكثافة الطاقة $4.5\,\text{µ}\mathrm{J}/\mathrm{m}^{3}$ ، والضغط $4.5\,\text{µ}\mathrm{Pa}$ — أي قوة قدرها ثقل $0.7\,\mathrm{kg}$ على كيلومتر مربع، ومع ذلك تكفي لتوجيه شراع شمسي ول نفخ غبار مذنَّب في ذيله. ومؤشر ليزر مقداره $1\,\mathrm{mW}$ على بقعة $1\,\mathrm{mm}^{2}$ : $1\,\mathrm{kW}/\mathrm{m}^{2}$ ، أي كالشمس؛ ومركَّزًا على $1\,\text{µ}\mathrm{m}^{2}$ : $1\,\mathrm{GW}/\mathrm{m}^{2}$ ، و $E_0 = 0.9\,\mathrm{MV}/\mathrm{m}$ ، أي قرب انهيار الهواء. وفرن موجات صغرية مقداره $1\,\mathrm{kW}$ بموجة مستقرة تملأ $30\,\mathrm{L}$ : كثافة الطاقة $\sim 10^{-7}$ J/m $^3$ و $E_0$ بضعة كيلوفولتات في المتر.

موجة كهرمغناطيسية مستوية: تؤلف E و B و جهة الانتشار ثلاثيًّا مباشرًا؛ وتشير متجهة بوينتنغ على امتداد الانتشار وتتذبذب بضعف التواتر، ومتوسطها هو الشدة. — موجة كهرمغناطيسية مستوية: تؤلف $\vect E$ و $\vect B$ و جهة الانتشار ثلاثيًّا مباشرًا؛ وتشير متجهة بوينتنغ على امتداد الانتشار وتتذبذب بضعف التواتر، ومتوسطها هو الشدة.

طريقة 12.8 (محاسبة الطاقة)

(1) أوجد $\vect E$ و $\vect B$ (سكونًا، أو شبه سكون، أو أمواجًا). (2) كوّن $\vect\Pi = \vect E\wedge\vect B/\mu_0$ و $u$ . (3) اختر سطحًا مغلقًا حول الجهاز واحسب تدفق $\vect\Pi$ : فيجب أن يساوي استطاعة جول مضافًا إليها معدل تغيّر الطاقة المخزَّنة في الداخل — وهو تحقق من المجالات. (4) وفي موجة، يكون متوسط $\Pi$ هو الشدة؛ فاقسمه على $c$ للحصول على الضغط، وعلى طاقة الفوتون $hf$ للحصول على تدفق الفوتونات.

12.4 تمارين

تمرين 12.1 ★

ضوء الشمس عند الأرض، $I = 1.0\,\mathrm{kW}/\mathrm{m}^{2}$ : أوجد السعتين $E_0$ و $B_0$ ، وكثافة الطاقة، وضغط الإشعاع على سطح أسود وعلى مرآة؛ والقوة على سطح مساحته $100\,\mathrm{m}^{2}$ ؛ وتدفق الفوتونات في المتر المربع من أجل طاقة فوتون وسطية $2\,\mathrm{eV}$ .

حل

حل التمرين 12.1.

$E_0 = \sqrt{2I/\varepsilon_0c} = 870\,\mathrm{V}/\mathrm{m}$ ، و $B_0 = E_0/c = 2.9\,\text{µ}\mathrm{T}$ ؛ و $u = I/c = 3.3\,\text{µ}\mathrm{J}/\mathrm{m}^{3}$ ؛ و $P = I/c = 3.3\,\text{µ}\mathrm{Pa}$ (على الأسود)، و $6.7\,\text{µ}\mathrm{Pa}$ (على المرآة)؛ و $0.33\,\mathrm{mN}$ على السطح؛ و $I/hf = 1000/3.2 \times 10^{-19} = 3 \times 10^{21}\,\mathrm{m}^{-2}\,\mathrm{s}^{-1}$ .

تمرين 12.2 ★

مؤشر ليزر مقداره $5\,\mathrm{mW}$ وقطر حزمته $1.5\,\mathrm{mm}$ : أوجد الشدة و $E_0$ و $B_0$ ؛ والحزمة نفسها مركَّزةً على بقعة قطرها $5\,\text{µ}\mathrm{m}$ ؛ وليزر نبضي مقداره $1\,\mathrm{PW}$ (أي $1 \times 10^{15}\,\mathrm{W}$ ) مركَّز على $10\,\text{µ}\mathrm{m}^{2}$ : أوجد $E_0$ ، وقارنه بالمجال الذي يربط الإلكترون في ذرة الهيدروجين ( $5 \times 10^{11}\,\mathrm{V}/\mathrm{m}$ ).

حل

حل التمرين 12.2.

المساحة $1.8\,\mathrm{mm}^{2}$ : $I = 2.8\,\mathrm{kW}/\mathrm{m}^{2}$ ، و $E_0 = 1.5\,\mathrm{kV}/\mathrm{m}$ ، و $B_0 = 4.9\,\text{µ}\mathrm{T}$ . ومركَّزةً على $5\,\text{µ}\mathrm{m}$ : $I = 2.5 \times 10^{8}\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$ ، و $E_0 = 4.4 \times 10^{5}\,\mathrm{V}/\mathrm{m}$ . وأما البيتاواط: $I = 1 \times 10^{26}\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$ ، و $E_0 = 2.7 \times 10^{14}\,\mathrm{V}/\mathrm{m}$ ، أي خمسمئة ضعف المجال الذري — فتتمزق الذرة في دورة واحدة.

تمرين 12.3 ★

كثافات الطاقة: مجال كهربائي مقداره $3\,\mathrm{MV}/\mathrm{m}$ (انهيار الهواء)؛ و $100\,\mathrm{MV}/\mathrm{m}$ (عازل رقيق)؛ ومجال مغناطيسي مقداره $0.1\,\mathrm{T}$ ، و $1.5\,\mathrm{T}$ (تصوير بالرنين المغناطيسي)، و $45\,\mathrm{T}$ (مغنطيس قياسي). وأوجد الطاقة في $1\,\mathrm{m}^{3}$ من فجوة جهاز الرنين؛ وما يعادلها بلترات البنزين ( $35\,\mathrm{MJ}/\mathrm{L}$ ).

حل

حل التمرين 12.3.

$\tfrac12\varepsilon_0E^2$ : أي $40\,\mathrm{J}/\mathrm{m}^{3}$ و $4.4 \times 10^{4}\,\mathrm{J}/\mathrm{m}^{3}$ . و $B^2/2\mu_0$ : أي $4\,\mathrm{kJ}/\mathrm{m}^{3}$ و $0.9\,\mathrm{MJ}/\mathrm{m}^{3}$ و $8 \times 10^{8}\,\mathrm{J}/\mathrm{m}^{3}$ . وتحوي فجوة جهاز الرنين $0.9\,\mathrm{MJ}$ — أي $26\,\mathrm{mL}$ من البنزين.

تمرين 12.4 ★

شراع شمسي $100\,\mathrm{m}$ $\times$ $100\,\mathrm{m}$ ، عاكس عكسًا تامًّا، على بعد الأرض ( $I = 1.36\,\mathrm{kW}/\mathrm{m}^{2}$ ): أوجد القوة؛ وتسارع مركبة كتلتها $200\,\mathrm{kg}$ ؛ والسرعة المكتسبة في شهر؛ وقارنها بثقالة الشمس على المركبة على ذلك البعد ( $5.9 \times 10^{-3}\,\mathrm{N}/\mathrm{kg}$ ).

حل

حل التمرين 12.4.

$F = 2IA/c = 0.09\,\mathrm{N}$ ؛ و $a = 4.5 \times 10^{-4}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ ؛ و $1.2\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ في شهر؛ وتجذب الشمس بقوة $1.2\,\mathrm{N}$ : فلا يستطيع الشراع أن يقاوم الثقالة، بل يناور عليها في المدار.

تمرين 12.5 ★★

سلك نحاسي نصف قطره $a = 1\,\mathrm{mm}$ يحمل $10\,\mathrm{A}$ ( $\gamma = 6 \times 10^{7}\,\mathrm{S}/\mathrm{m}$ ). (أ) أوجد $E$ في الداخل، و $B$ عند السطح، و $\vect\Pi$ عند السطح (جهةً وطويلةً). (ب) وتدفق $\vect\Pi$ إلى $1\,\mathrm{m}$ من السلك؛ وقارنه بالمقدار $RI^2$ . (ج) و $\Pi(r)$ داخل السلك والاستطاعة المودَعة بين $r$ و $r + \dd r$ ؛ وتحقق من أنها $j^2/\gamma\cdot2\pi r\,\dd r$ . (د) ومن أين تأتي الطاقة — صف المجال بين البطارية والسلك.

حل

حل التمرين 12.5.

(أ) $j = 3.2 \times 10^{6}\,\mathrm{A}/\mathrm{m}^{2}$ ، و $E = j/\gamma = 0.053\,\mathrm{V}/\mathrm{m}$ ؛ و $B = \mu_0I/2\pi a = 2\,\mathrm{mT}$ ؛ و $\Pi = EB/\mu_0 = 84\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$ ، قطريًّا نحو الداخل. (ب) $84 \times 2\pi a = 0.53\,\mathrm{W}$ في المتر؛ و $R = 1/\gamma\pi a^2 = 5.3\,\mathrm{m}\Omega/\mathrm{m}$ ، و $RI^2 = 0.53\,\mathrm{W}$ . (ج) $\Pi(r) = EIr/2\pi a^2$ ، ومنه $2\pi r\Pi = EIr^2/a^2$ وتتلقى القشرة $\dd(2\pi r\Pi) = 2EIr\,\dd r/a^2 = (j^2/\gamma)2\pi r\,\dd r$ . (د) وتقيم الشحن السطحية على البطارية مجالًا كهربائيًّا على امتداد الدارة كلها، خارج الأسلاك؛ و $\vect E\wedge\vect B$ هناك تحمل الطاقة من البطارية إلى الحمل.

تمرين 12.6 ★★

مكثف بلبوسين دائريين ( $R$ ، و $d$ ) يُشحن بالتيار $I$ . (أ) أوجد $\vect E$ و $\vect B$ و $\vect\Pi$ بين اللبوسين. (ب) وتدفق $\vect\Pi$ عبر الأسطوانة الجانبية؛ وبيّن أنه يساوي $\dd W_e/\dd t$ . (ج) ومن أجل $R = 5\,\mathrm{cm}$ و $d = 1\,\mathrm{mm}$ و $I = 1\,\mathrm{A}$ في اللحظة التي فيها $E = 1\,\mathrm{MV}/\mathrm{m}$ : أوجد $\Pi$ عند الحافة والاستطاعة الداخلة. (د) وهل الطاقة المغناطيسية مهمَلة؟

حل

حل التمرين 12.6.

(أ) $E = Q/\varepsilon_0\pi R^2$ محوري، و $B = \mu_0Ir/2\pi R^2$ سمتي، و $\vect\Pi = -\varepsilon_0 (r/2)E\dot E\,\vect e_r$ . (ب) $\varepsilon_0(R/2)E\dot E\cdot2\pi Rd = \dd(\tfrac12\varepsilon_0E^2\pi R^2d)/ \dd t$ . (ج) $\dot E = I/\varepsilon_0\pi R^2 = 1.4 \times 10^{13}\,\mathrm{V}\,\mathrm{m}^{-1}\,\mathrm{s}^{-1}$ ؛ و $\Pi(R) = 3.2 \times 10^{6}\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$ ؛ مضروبًا في $2\pi Rd = 3.1 \times 10^{-4}\,\mathrm{m}^{2}$ : أي $1.0\,\mathrm{kW}$ $= UI$ مع $U = Ed = 1\,\mathrm{kV}$ . (د) نعم: فهي أصغر بمعاملات من نوع $(\omega R/c)^2$ (الفصل 11).

تمرين 12.7 ★★

ملف لولبي طويل ( $n$ ، ونصف قطره $R$ ) ينمو تياره $I(t)$ . (أ) أوجد $\vect E$ المحرَّض في الداخل؛ و $\vect\Pi$ ؛ وجهتها. (ب) والتدفق عبر السطح الجانبي في واحدة الطول و $\dd(B^2/2\mu_0\cdot\pi R^2)/\dd t$ . (ج) وخارج الملف مباشرةً (حيث $\vect B = \vect 0$ )، ما $\vect\Pi$ ؟ فكيف تدخل الطاقة إذًا؟ (فكّر أين يجري التيار: فاللفّ صفيحة رقيقة؛ وخذ السطح داخلها مباشرةً.)

حل

حل التمرين 12.7.

(أ) $\vect E = -(r/2)\dot B\,\vect e_\theta$ ، و $\vect\Pi = -(rB\dot B/2\mu_0)\vect e_r$ : نحو الداخل ما دام $B$ ينمو. (ب) $(RB\dot B/2\mu_0)2\pi R$ يساوي $\dd(\pi R^2B^2/2\mu_0)/\dd t$ . (ج) وفي الخارج $\vect B = \vect 0$ ، ومنه $\vect\Pi = \vect 0$ : فالطاقة تُحقن عند اللفّ، حيث يقود المولّد التيار ضد المجال المحرَّض ( $\vect j\cdot\vect E < 0$ هناك)؛ وداخل الصفيحة مباشرةً تكون $\vect\Pi$ هي الجريان الداخل في (أ).

تمرين 12.8 ★★

أين تنتقل استطاعة كابل. كابل محوري (نصفا قطريه $a$ و $b$ ) يحمل تيارًا مستقرًّا $I$ في اللبّ، عائدًا في الضفيرة، تحت التوتر $U$ بينهما (والناقلان مثاليان). (أ) أوجد $\vect E$ و $\vect B$ في العازل ( $a < r < b$ ) من غاوس وأمبير. (ب) و $\vect\Pi$ : جهةً وطويلةً. (ج) وكامِل $\vect\Pi$ على الحلقة $a < r < b$ : بيّن أن النتيجة $UI$ — فالاستطاعة كلها تنتقل في العازل. (د) ومع لبّ مقاوم قليلًا، في أي جهة تميل $\vect\Pi$ ، وما الذي يساويه تدفقها إلى اللبّ؟

حل

حل التمرين 12.8.

(أ) $E = U/r\ln(b/a)$ قطري، و $B = \mu_0I/2\pi r$ سمتي. (ب) $\vect\Pi = (UI/ 2\pi r^2\ln(b/a))\vect e_z$ ، على امتداد تيار اللبّ. (ج) $\int_a^b\Pi\,2\pi r\,\dd r = UI$ . (د) ويكتسب $E$ مركّبة محورية $j/\gamma$ ؛ فتميل $\vect\Pi$ نحو اللبّ، ويكون تدفقها القطري إلى متر من اللبّ هو $RI^2$ في المتر.

تمرين 12.9 ★★

غبار المذنَّبات. حبة غبار كروية نصف قطرها $a$ وكثافتها $\rho = 2000\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ على البعد $D$ من الشمس تمتصّ ضوء الشمس ( $I = 1.36\,\mathrm{kW}/\mathrm{m}^{2}$ عند $D_0 = 1.5 \times 10^{11}\,\mathrm{m}$ ، وكتلة الشمس $2.0 \times 10^{30}\,\mathrm{kg}$ ). (أ) أوجد قوة الإشعاع وقوة الثقالة؛ وبيّن أن نسبتهما لا تتوقف على $D$ . (ب) ونصف القطر الذي تُنفَخ الحبة دونه بعيدًا. (ج) ولماذا تشير ذيول المذنَّبات مبتعدةً عن الشمس، ولماذا تنحني؟

حل

حل التمرين 12.9.

(أ) $F_{\text{إشعاع}} = I_0(D_0/D)^2\pi a^2/c$ ، و $F_g = GM\cdot\tfrac43\pi a^3\rho/D^2$ : والنسبة $3I_0D_0^2/4cGM\rho a$ ، ولا تتوقف على $D$ . (ب) والنسبة $> 1$ من أجل $a < 3I_0D_0^2/ 4cGM\rho = 0.3\,\text{µ}\mathrm{m}$ . (ج) ويُدفع الغبار الناعم بعيدًا عن الشمس بينما يحفظ سرعة المذنَّب المدارية، فيشير ذيل الغبار مبتعدًا و ينحني؛ وأما ذيل الشوارد، وتقوده الريح الشمسية، فمستقيم.

تمرين 12.10 ★★★

مكثف يُفرَّغ. يُفرَّغ مكثف التمرين 12.6 عبر سلك التمرين 12.5 ( $R = 5.3\,\mathrm{m}\Omega$ في المتر، وطوله $L$ ). (أ) أوجد جهة $\vect\Pi$ عند حافة المكثف الآن. (ب) والاستطاعة المغادرة للمكثف، والاستطاعة الداخلة إلى السلك؛ وماذا يحدث للفرق (إن وُجد)؟ (ج) واكتب ميزان الطاقة $\dd W_e/\dd t = -RI^2$ وتحقق منه باستعمال $Q = CU$ و $I = -\dd Q/\dd t$ . (د) ولماذا لا تظهر الطاقة المغناطيسية للدارة في الميزان في البداية وفي النهاية؟

حل

حل التمرين 12.10.

(أ) $\dot E < 0$ : فتشير $\vect\Pi$ إلى الخارج عند الحافة. (ب) ويغادر $-\dd W_e/\dd t$ المكثفَ ويدخل $RI^2$ السلكَ؛ وفي النظام شبه السكوني يتساويان — فلا شيء يتراكم بينهما. (ج) $W_e = Q^2/2C$ ، ومنه $\dd W_e/\dd t = (Q/C)\dd Q/\dd t = -UI = -RI^2$ . (د) و $\tfrac12LI^2$ ينعدم عند الطرفين ( $I = 0$ ) وهو مهمَل بينهما من أجل حلقة صغيرة.

تمرين 12.11 ★★★

المغنطيس المشحون. بين لبوسي مكثف مشحون ( $\vect E = E\vect e_z$ ) يوجد مجال منتظم $\vect B = B\vect e_x$ (أي مغنطيس). (أ) أوجد $\vect\Pi$ ؛ وتباعدها. (ب) وخذ السطح المغلق لصندوق داخل المنطقة: أوجد تدفق $\vect\Pi$ . (ج) وأين تذهب خطوط $\vect\Pi$ ، وما الذي يغلقها؟ (د) واقتراح: نقيس جريان الطاقة بماصّ صغير يوضع في الفجوة — أيسخن؟ ولماذا لا؟

حل

حل التمرين 12.11.

(أ) $\vect\Pi = (EB/\mu_0)\vect e_y$ ، منتظمة: ومنه $\operatorname{div}\vect\Pi = 0$ . (ب) معدوم. (ج) على امتداد $y$ عبر الفجوة، منغلقةً عبر المجالات الهامشية عند حواف اللبوسين والمغنطيس. (د) وجسم ساكن في مجالات سكونية لا يحمل تيارًا: ومنه $\vect j\cdot\vect E = 0$ ، فلا تسخين. و $\vect\Pi$ الدوّارة محاسبة، لا جريانًا يودع طاقة.

تمرين 12.12 ★★★

الموجة المستقرة. موجتان مستويتان متعاكستا الانتشار متساويتا السعة تؤلفان $\vect E = 2E_0\cos kx\cos\omega t\,\vect e_y$ و $\vect B = -2(E_0/c) \sin kx\sin\omega t\,\vect e_z$ (وتحقق من ذلك بماكسويل–فاراداي). (أ) أوجد $\vect\Pi(x, t)$ ؛ ومتوسطها الزمني. (ب) وكثافة الطاقة؛ وأين تكون كهربائية، وأين مغناطيسية، وكيف تتأرجح؟ (ج) وتعكس مرآة ناقلة عكسًا تامًّا عند $x = 0$ الموجةَ الواردة: أوجد القوة في واحدة المساحة عليها من حجة كمية الحركة، ومن قوة لابلاس على تيارها السطحي (باستعمال علاقة العبور من أجل $\vect B$ ). (د) وبيّن أن كليهما يعطي $2I/c$ وسطيًّا.

حل

حل التمرين 12.12.

فاراداي: $\partial_xE_y = -2E_0k\sin kx\cos\omega t$ هو $-\partial_tB_z$ ، لأن $\omega = kc$ . (أ) وجريان الطاقة $\vect\Pi = (E_yB_z/\mu_0)\vect e_x$ ، أي $-(E_0^2/\mu_0c)\sin2kx\sin2\omega t\,\vect e_x$ : ومتوسطها معدوم. (ب) $u = 2\varepsilon_0E_0^2(\cos^2kx\cos^2\omega t + \sin^2kx\sin^2\omega t)$ : فهي كهربائية عند $x = 0, \lambda/2, \dots$ ، ومغناطيسية عند $\lambda/4, \dots$ ، وتتأرجح بينهما مرتين في الدور. (ج) وبكمية الحركة: لكل موجة $I = \varepsilon_0cE_0^2/2$ ، وتعكس المنعكسة كمية حركتها: ومنه $2I/c = \varepsilon_0E_0^2$ . وبلابلاس: عند $x = 0$ يكون $B = (2E_0/c)\sin\omega t$ خارجًا و $0$ داخلًا، ومنه $j_s = B/\mu_0$ ؛ وتكون القوة في واحدة المساحة على الصفيحة $\tfrac12j_sB = B^2/2\mu_0 = 2\varepsilon_0E_0^2\sin^2 \omega t$ . (د) ومتوسطها $\varepsilon_0E_0^2 = 2I/c$ .

مزرعة شمسية: يصل كيلوواط في المتر المربع من تدفق بوينتنغ من الشمس عبر فضاء خالٍ، ويغادر خمسه عبر الكابلات.

12.5 مسألة: طاقة خط ولوح وفرن

مسألة 12.1

مسألة نهاية الأسبوع — تتبّع الطاقة الكهرمغناطيسية من خط كهرباء إلى بيت، ومن الشمس إلى لوح شمسي، ومن مغنطرون إلى كوب ماء

الجزء I — الخط. كابل طاقة محوري (نصف قطر لبّه $a = 1.0\,\mathrm{cm}$ ، ونصف قطر ضفيرته $b = 3.0\,\mathrm{cm}$ ، وعازله $\varepsilon_r = 2.3$ ) يحمل تيارًا مستمرًّا $I = 500\,\mathrm{A}$ عند $U = 20\,\mathrm{kV}$ ؛ وناقلية اللبّ $\gamma = 6 \times 10^{7}\,\mathrm{S}/\mathrm{m}$ .

المجالان $\vect E(r)$ و $\vect B(r)$ في العازل (بناقلين مثاليين أولًا)؛ والقيمتان عند $r = a$ .
متجهة بوينتنغ في العازل؛ وتدفقها عبر المقطع الحلقي: تحقق من أنه يساوي $UI$ .
كثافتا الطاقة $\varepsilon_0\varepsilon_rE^2/2$ و $B^2/2\mu_0$ عند $r = a$ (وفي عازل تحمل كثافة الطاقة الكهربائية $\varepsilon_r$ )؛ وأيهما تهيمن، وبكم؟
وبأي نسبة من سرعة الضوء «تتحرك» الطاقة (بأخذ $\Pi/u$ عند $r = a$ )؟ وقارنها بالسرعة $c/\sqrt{\varepsilon_r}$ .
والآن صار اللبّ مقاومًا: أوجد المجال $E_z$ داخله؛ وتكتسب متجهة بوينتنغ خارج سطحه مباشرةً مركّبةً قطرية: أوجد طويلتها، والاستطاعة التي تسلّمها في المتر إلى اللبّ؛ وتحقق منها بالمقدار $RI^2$ في المتر.
نسبة المركّبة القطرية إلى المحورية من $\vect\Pi$ عند $r = a$ : فماذا تقول عن الموضع الذي تذهب إليه الطاقة؟
الطاقة المغناطيسية في المتر من الكابل، $\int B^2/2\mu_0\,\dd\tau$ ، و الطاقة الكهربائية في المتر، $\int\varepsilon_0\varepsilon_rE^2/2\,\dd\tau$ ؛ واستعدهما في صورة $\tfrac12\Lambda I^2$ و $\tfrac12\Gamma U^2$ بمحارضة وسعة المتر في الفصل 8.
وخط طوله $10\,\mathrm{km}$ : أوجد الاستطاعة المسلَّمة والاستطاعة الضائعة والنسبة. وأعد ذلك مع $U = 200\,\mathrm{kV}$ و $I = 50\,\mathrm{A}$ (والاستطاعة نفسها).

الجزء II — اللوح. ضوء الشمس ظهرًا في يوم صافٍ: $I = 1.0\,\mathrm{kW}/\mathrm{m}^{2}$ ؛ ولوح كهرضوئي مساحته $1.6\,\mathrm{m}^{2}$ ومردوده $20\%$ ؛ وطاقة الفوتون $2.0\,\mathrm{eV}$ وسطيًّا.

أوجد $E_0$ و $B_0$ وكثافة الطاقة وتدفق الفوتونات في الحزمة.
الاستطاعة الكهربائية المسلَّمة؛ والحرارة الواجب تصريفها؛ وارتفاع درجة الحرارة إذا فقد اللوح الحرارة من وجهيه عند $h = 10\,\mathrm{W}/(\mathrm{m}^{2}\,\mathrm{K})$ .
ضغط الإشعاع على اللوح (وهو ماصّ)؛ والقوة؛ وقارنها بثقله ( $18\,\mathrm{kg}$ ).
الطاقة المتلقاة في اليوم ( $6\,\mathrm{h}$ من الشمس الكاملة المكافئة) وفي السنة؛ والمساحة اللازمة لتغطية استهلاك بيت مقداره $3500\,\mathrm{kWh}/\mathrm{a}$ .
ويعطي اللوح $30\,\mathrm{V}$ عند $10.7\,\mathrm{A}$ : تحقق من الاستطاعة؛ وأوجد تدفق بوينتنغ على امتداد $5\,\mathrm{m}$ من الكابل ذي السلكين إلى المموِّج — فأين تنتقل تلك الاستطاعة، في صورة المجال؟
وعند مدار الأرض تشعّ الشمس $1.36\,\mathrm{kW}/\mathrm{m}^{2}$ : أوجد استطاعة الشمس الكلية؛ والكتلة التي تحوّلها في الثانية ( $E = mc^2$ ، و $c = 3 \times 10^{8}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ).
عدد الفوتونات التي تصيب اللوح في الثانية.
تدفق كمية حركة الفوتونات عند الأرض: أوجد قوة إشعاع الشمس الكلية على الأرض (وقرصها نصف قطره $6400\,\mathrm{km}$ ، وهي ماصّة)؛ وقارنها بالثقالة ( $3.5 \times 10^{22}\,\mathrm{N}$ ).

الجزء III — الفرن. يقدّم فرن موجات صغرية $800\,\mathrm{W}$ عند $2.45\,\mathrm{GHz}$ إلى جوف حجمه $30\,\mathrm{L}$ ؛ ويمتصّ كوب فيه $250\,\mathrm{g}$ من الماء $80\%$ منها.

طول الموجة؛ وهل الجوف كبير بالقياس إليه؟ ولماذا تكون الجدران معدنية؟
الزمن اللازم لتسخين الماء من $20{}^{\circ}\mathrm{C}$ إلى $80{}^{\circ}\mathrm{C}$ ( $c = 4.18\,\mathrm{kJ}/(\mathrm{kg}\,\mathrm{K})$ )؛ والاستطاعة الممتصّة في واحدة الحجم.
ولو جرت الاستطاعة موجةً مستوية عبر مقطع الكوب $50\,\mathrm{cm}^{2}$ ، أوجد الشدة و $E_0$ ؛ والمجالات الحقيقية أمواج مستقرة بسعة مماثلة — فكم تتباعد البقع الساخنة، ولماذا يدور الطبق؟
الطاقة المخزَّنة في مجال الجوف إذا كان عامل جودته $Q = 2\pi\times\text{(الطاقة المخزَّنة)}/\text{(الطاقة الضائعة في الدور)} \approx 10^3$ وهو فارغ: أوجد الطاقة المخزَّنة، وكثافة الطاقة الوسطى، و $E_0$ — وقارنه بانهيار الهواء ( $3\,\mathrm{MV}/\mathrm{m}$ ).
ويمتصّ الماء لأن جزيئاته ثنائيات قطب مقودة عند $2.45\,\mathrm{GHz}$ : والاستطاعة الموضعية الشبيهة بجول هي $\tfrac12\omega\varepsilon_0 \varepsilon''E_0^2$ مع $\varepsilon'' \approx 10$ للماء: فأوجد $E_0$ في الماء اللازم لكثافة الاستطاعة في السؤال 16؛ وهل هو متوافق؟
طاقة الفوتون عند $2.45\,\mathrm{GHz}$ بالإلكترون فولت، وعدد الفوتونات التي يمتصّها الكوب في الثانية؛ ولماذا تستطيع الموجات الصغرية أن تسخّن ولا تستطيع أن تؤيّن (فالتأيين يحتاج نحو $10\,\mathrm{eV}$ ).
ضغط إشعاع مجال الجوف على الجدران (وهو من رتبة كثافة الطاقة $u$ ): أيستحقّ القلق؟
ولماذا يخاطر فرن فارغ (بلا حمل) بالعطب، من حيث بوينتنغ؟
لخّص في جدول، من أجل الخط واللوح والفرن: حامل الطاقة، وجهة $\vect\Pi$ ، والاستطاعة، وما الذي يحوّلها.

حل

حل المسألة 12.1.

1. $E = U/r\ln(b/a)$ : أي $1.8\,\mathrm{MV}/\mathrm{m}$ عند $r = a$ ؛ و $B = \mu_0I/2\pi r$ : أي $10\,\mathrm{mT}$ عند $a$ .

2. $\vect\Pi = (UI/2\pi r^2\ln(b/a))\vect e_z$ ؛ و $\int_a^b\Pi\,2\pi r\,\dd r = UI = 10\,\mathrm{MW}$ .

3. $\tfrac12\varepsilon_0\varepsilon_rE^2 = 34\,\mathrm{J}/\mathrm{m}^{3}$ ، و $B^2/2\mu_0 = 40\,\mathrm{J}/\mathrm{m}^{3}$ : أي متقاربتان.

4. $\Pi(a) = EB/\mu_0 = 1.45 \times 10^{10}\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$ ، و $u = 74\,\mathrm{J}/\mathrm{m}^{3}$ : ومنه $\Pi/u = 2.0 \times 10^{8}\,\mathrm{m}/\mathrm{s} = c/\sqrt{\varepsilon_r}$ .

5. $E_z = I/\gamma\pi a^2 = 0.027\,\mathrm{V}/\mathrm{m}$ ؛ و $\Pi_r = E_zB/\mu_0 = 210\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$ نحو الداخل؛ ومضروبًا في $\times2\pi a = 13\,\mathrm{W}/\mathrm{m}$ ؛ و $R = 1/\gamma\pi a^2 = 53\,\text{µ}\Omega/\mathrm{m}$ ، و $RI^2 = 13\,\mathrm{W}/\mathrm{m}$ .

6. $\Pi_r/\Pi_z = E_z/E_r = 1.5 \times 10^{-8}$ : فكل الطاقة تقريبًا تجري نزولًا في الخط؛ ويتسرّب نَفَس منها إلى النحاس.

7. $133\,\mathrm{kW}$ ضائعة من $10\,\mathrm{MW}$ ، أي $1.3\%$ ؛ وعند $200\,\mathrm{kV}$ : $1.3\,\mathrm{kW}$ ، أي $0.013\%$ .

8. $\int_a^b(B^2/2\mu_0)2\pi r\,\dd r$ يساوي $(\mu_0I^2/4\pi)\ln(b/a) = 27\,\mathrm{mJ}/\mathrm{m} = \tfrac12\Lambda I^2$ مع $\Lambda = \mu_0\ln(b/a)/2\pi = 0.22\,\text{µ}\mathrm{H}/\mathrm{m}$ ؛ وكهربائيًّا: $\tfrac12\Gamma U^2$ مع $\Gamma = 2\pi\varepsilon_0\varepsilon_r/\ln(b/a) = 117\,\mathrm{pF}/\mathrm{m}$ : أي $23\,\mathrm{mJ}/\mathrm{m}$ .

9. $E_0 = 870\,\mathrm{V}/\mathrm{m}$ ، و $B_0 = 2.9\,\text{µ}\mathrm{T}$ ، و $u = 3.3\,\text{µ}\mathrm{J}/\mathrm{m}^{3}$ ، و $3 \times 10^{21}\,\mathrm{m}^{-2}\,\mathrm{s}^{-1}$ .

10. $320\,\mathrm{W}$ كهربائية؛ و $1280\,\mathrm{W}$ من الحرارة على $3.2\,\mathrm{m}^{2}$ من الوجهين: ومنه $\Delta T = 1280/32 = 40\,\mathrm{K}$ .

11. $P = I/c = 3.3\,\text{µ}\mathrm{Pa}$ ؛ أي $5.3\,\text{µ}\mathrm{N}$ مقابل ثقل مقداره $180\,\mathrm{N}$ .

12. $320 \times 6 = 1.9\,\mathrm{kWh}/\mathrm{d}$ ، و $700\,\mathrm{kWh}/\mathrm{a}$ ؛ أي خمسة ألواح، و $8\,\mathrm{m}^{2}$ .

13. $30 \times 10.7 = 320\,\mathrm{W}$ ؛ وتجري الاستطاعة في المجال بين السلكين — $\vect E$ عبر $30\,\mathrm{V}$ ، و $\vect B$ حول التيارين — لا في النحاس.

14. $4\pi D^2I = 3.9 \times 10^{26}\,\mathrm{W}$ ؛ و $P/c^2 = 4.3 \times 10^{9}\,\mathrm{kg}/\mathrm{s}$ .

15. $5 \times 10^{21} \times 1.6 = 5 \times 10^{21}\,$ فوتون في الثانية.

16. $I\pi R_E^2/c = 5.8 \times 10^{8}\,\mathrm{N}$ : أي $10^{-14}$ من الثقالة.

17. $\lambda = 12.2\,\mathrm{cm}$ ؛ والجوف ذو $30\,\mathrm{cm}$ بضعة أطوال موجة — أي مرنان بأنماط، لا حزمة حرة؛ والجدران المعدنية تعكس الموجة (وعمق قشرتها ميكرومترات) وتحبسها فيه.

18. $0.25 \times 4180 \times 60 = 63\,\mathrm{kJ}$ عند $640\,\mathrm{W}$ : أي $98\,\mathrm{s}$ ؛ و $640/2.5 \times 10^{-4} = 2.6\,\mathrm{MW}/\mathrm{m}^{3}$ .

19. $I = 640/5 \times 10^{-3} = 1.3 \times 10^{5}\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$ ، و $E_0 = 10\,\mathrm{kV}/\mathrm{m}$ ؛ وتتباعد البقع الساخنة $\lambda/2 = 6\,\mathrm{cm}$ — ومن هنا الطبق الدوّار.

20. $W = QP/\omega = 10^3 \times 800/1.54 \times 10^{10} = 52\,\text{µ}\mathrm{J}$ ؛ و $u = 1.7\,\mathrm{mJ}/\mathrm{m}^{3}$ ؛ و $E_0 = \sqrt{2u/\varepsilon_0} = 20\,\mathrm{kV}/\mathrm{m}$ — أي أدنى من الانهيار بمئة مرة.

21. $\tfrac12\omega\varepsilon_0\varepsilon''E_0^2 = 2.6 \times 10^{6}\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{3}$ : ومنه $E_0 = 2\,\mathrm{kV}/\mathrm{m}$ داخل الماء — أي من رتبة مجال الجوف، مخفَّضًا بنفوذية الماء: وهو متوافق.

22. $hf = 1.6 \times 10^{-24}\,\mathrm{J} = 1 \times 10^{-5}\,\mathrm{eV}$ ؛ و $4 \times 10^{26}$ فوتون في الثانية؛ وطاقة الفوتون أقل من طاقة التأيين بمليون مرة.

23. $\sim u = 2\,\mathrm{mPa}$ : لا.

24. إذ لا شيء يمتصّه، فليس لتدفق $\vect\Pi$ من منتهًى إلا العودة إلى المغنطرون، فيفرط في السخونة.

25. الخط: العازل، و $\vect\Pi$ محورية، و $10\,\mathrm{MW}$ ، وحمل عند الطرف. واللوح: الحزمة، و $\vect\Pi$ على امتداد أشعة الشمس، و $1.6\,\mathrm{kW}$ داخلة، و $320\,\mathrm{W}$ خارجة، ونصف الناقل. والفرن: مجال الجوف، و $\vect\Pi$ دوّارة، و $800\,\mathrm{W}$ ، وثنائيات قطب الماء.