الفيزياء الجامعية — السنة الثانية · Bachelor Year 2

21تداخل الأمواج المتعددة والشبكات

أمِل قرصًا مدمجًا تحت مصباح فيقذف قوس قزح: فحلزون حفره، المتباعدة ميكرومترًا ونصفًا، شبكة — أي آلاف الشرائط العاكسة الدقيقة، كل منها يعيد نسخة من الموجة، وكلها تتداخل. وموجتان تعطيان هدب $\cos^2$ الوادعة في الفصلين السابقين؛ وألف موجة تعطي هدبًا أضيق بألف مرة، صافية كفاية لفصل طولي موجة يختلفان بجزء من مئة ألف. وتلك هي الأداة التي قُرئ بها تركيب الشمس وسرعة المجرات، والتي تقوم في كل مطياف. وهذا الفصل يجمع $N$ موجة، ويستنتج معادلة الشبكة، وتبديدها وقدرة تمييزها، ويلقى الأداة الأخرى المتعددة الأمواج، وهي جوف فابري–بيرو الذي سيصير رنّان الليزر.

قرص مدمج في ضوء الشمس: حلزون حفره، المتباعدة 1.6\, µ m، شبكة انعكاس، وكل رتبة تنشر الضوء الأبيض طيفًا. — قرص مدمج في ضوء الشمس: حلزون حفره، المتباعدة $1.6\,\text{µ}\mathrm{m}$ ، شبكة انعكاس، وكل رتبة تنشر الضوء الأبيض طيفًا.

21.1 تداخل $N$ موجة

مبرهنة 21.1 ( $N$ موجة متساوية بتدرج طوري حسابي)

$N$ موجة مترابطة متساوية السعة $a$ ، تتأخر كل منها عن سابقتها بالطور $\varphi$ ، تتراكب في موجة سعتها $A(\varphi)$ وشدتها

A = a\,\frac{\sin(N\varphi/2)}{\sin(\varphi/2)} , \qquad I(\varphi) = I_0\,\frac{\sin^2(N\varphi/2)}{\sin^2(\varphi/2)} :

ومواضع العظم الرئيسية شدتها $N^2I_0$ حيث $\varphi = 2\pi p$ (أي الأمواج كلها على الطور نفسه)، ونصف عرضها الزاوي $2\pi/N$ بدلالة $\varphi$ (إذ أول صفرين عند $\varphi = 2\pi p \pm 2\pi/N$ )، يفصل بينها $N - 2$ من مواضع العظم الثانوية لا تعلو على نحو $4.5\%$ من الرئيسية من أجل $N$ الكبيرة. وكلما كثرت الأمواج صفت القمم وسطعت: فالعرض يتقلص وفق $1/N$ ، والارتفاع ينمو وفق $N^2$ ، والطاقة (وهي جداؤهما) وفق $N$ .

برهان. السعات العقدية $a\eu^{\iu k\varphi}$ مع $k = 0, \dots, N - 1$ : متتالية هندسية، ومجموعها $a(1 - \eu^{\iu N\varphi})/(1 - \eu^{\iu\varphi})$ ، أي $a\eu^{\iu(N - 1)\varphi/2}\sin(N\varphi/2) /\sin(\varphi/2)$ . والأصفار حيث $\sin(N\varphi/2) = 0$ مع $\sin(\varphi/2) \ne 0$ : $\varphi = 2\pi m/N$ ، و $m$ ليس من مضاعفات $N$ . وفي صورة الأشعة الطورية تنغلق سهام $N$ في مضلع منتظم عند الأصفار، وتصطفّ عند مواضع العظم الرئيسية. ∎

على اليسار: مجموع خمس موجات متساوية بالأشعة الطورية — أي مروحة منتظمة وترها هو المحصلة؛ وهي تنغلق في مخمّس، فتنعدم، عند = 2π/5. وعلى اليمين: الشدة من أجل 2 و 5 و 12 موجة، منظَّمة إلى قمتها: فتصفو مواضع العظم الرئيسية وفق 1/N. — على اليسار: مجموع خمس موجات متساوية بالأشعة الطورية — أي مروحة منتظمة وترها هو المحصلة؛ وهي تنغلق في مخمّس، فتنعدم، عند $\varphi = 2\pi/5$ . وعلى اليمين: الشدة من أجل $2$ و $5$ و $12$ موجة، منظَّمة إلى قمتها: فتصفو مواضع العظم الرئيسية وفق $1/N$ .

21.2 شبكة الحيود

قضية 21.2 (معادلة الشبكة)

الشبكة مجموعة من $N$ شقًّا متطابقة متساوية التباعد متوازية (أو أخاديد) دورها $a$ . وموجة مستوية واردة تحت الزاوية $\theta_0$ عن الناظم يعيد كل شقّ إصدارها؛ وفي الجهة $\theta$ يكون للموجتين الآتيتين من شقّين متجاورين فرق المسير $\delta = a(\sin\theta - \sin\theta_0)$ ، وتتعاضدان في الجهات

a\,(\sin\theta_p - \sin\theta_0) = p\lambda , \qquad p = 0, \pm1, \pm2, \dots

— وهي رتب الشبكة. والرتبة الصفر هي الحزمة غير المنحرفة من أجل كل طول موجة؛ وكل رتبة أخرى تنشر أطوال الموجة، مع تبديد زاوي

\frac{\dd\theta}{\dd\lambda} = \frac{p}{a\cos\theta} ,

وهو أكبر من أجل شبكة أدقّ ورتبة أعلى؛ وأعظم رتبة هي $|p| \le a(1 + |\sin\theta_0|)/\lambda$ . وشبكة الانعكاس (أي أخاديد محفورة على مرآة) تحقق المعادلة نفسها بالزوايا المنعكسة.

برهان. الطور بين شقّين متتاليين هو $\varphi = 2\pi\delta/\lambda$ ؛ ومواضع العظم الرئيسية في المبرهنة 21.1 عند $\delta = p\lambda$ . واشتقّ $a\sin\theta = p\lambda + a\sin\theta_0$ عند ثبات $p$ و $\theta_0$ . ∎

على اليسار: الشبكة — الشقّان المتجاوران يعيدان الإصدار بفرق المسير a عند الورود الناظمي. وعلى اليمين: على شاشة، الرتبة الصفر البيضاء وأطياف الرتب ±1 و ±2، والبنفسجي أقرب إلى المركز، وهي أعرض (وتتراكب في النهاية) كلما كبر p. — على اليسار: الشبكة — الشقّان المتجاوران يعيدان الإصدار بفرق المسير $a\sin\theta$ عند الورود الناظمي. وعلى اليمين: على شاشة، الرتبة الصفر البيضاء وأطياف الرتب $\pm1$ و $\pm2$ ، والبنفسجي أقرب إلى المركز، وهي أعرض (وتتراكب في النهاية) كلما كبر $p$ .

مثال 21.3 (شبكة صفّ وقرص مدمج)

شبكة فيها $600$ خط في المليمتر ( $a = 1.67\,\text{µ}\mathrm{m}$ ) عند الورود الناظمي ترسل ضوء $500\,\mathrm{nm}$ إلى $\sin\theta = 0.3$ ، أي $\theta = 17.5{}^{\circ}$ في الرتبة الأولى، و $36.9{}^{\circ}$ في الثانية، وليست لها رتبة ثالثة ( $3 \times 0.3 > 1$ )؛ ويمتد طيفها في الرتبة الأولى من $13.9{}^{\circ}$ ( $400\,\mathrm{nm}$ ) إلى $24.8{}^{\circ}$ ( $700\,\mathrm{nm}$ ). والقرص المدمج، $a = 1.6\,\text{µ}\mathrm{m}$ ، شبكة كهذه في الانعكاس — ومن هنا قوس القزح، وكون قرص الفيديو الرقمي ( $a = 0.74\,\text{µ}\mathrm{m}$ ) ينشره أوسع. وأحمر الرتبة الثانية ( $700\,\mathrm{nm}$ عند $\sin\theta = 0.84$ ) يتراكب مع بنفسجي الرتبة الثالثة: فالرتب تتراكب بعد الأولى، وهو إزعاج يُداوى بمرشّحات أو بموشور.

21.3 قدرة التمييز

قضية 21.4 (قدرة تمييز الشبكة)

يُفصَل طولا موجة متقاربان $\lambda$ و $\lambda + \Delta\lambda$ في الرتبة $p$ بالكاد حين يقع موضع العظم الرئيسي لأحدهما على أول صفر للآخر (وهو معيار رايلي)، وذلك يقع عند

\frac\lambda{\Delta\lambda} = pN :

وقدرة التمييز هي الرتبة مضروبة في عدد الخطوط المضاءة. ويمكن كتابتها أيضًا $W(\sin\theta - \sin\theta_0)/\lambda$ حيث $W = Na$ عرض الشبكة: أي أكبر فرق مسير عبر الشبكة، بأطوال الموجة — ولهذا تستعمل المطيافات الكبيرة شبكات بعرض عشرات السنتيمترات وتعمل عند زوايا مماسّة.

برهان. موضع العظم من الرتبة $p$ من أجل $\lambda + \Delta\lambda$ يقع عند $\varphi = 2\pi p$ لذلك الطول، أي عند $\delta = p(\lambda + \Delta\lambda)$ ؛ وأول صفر لموضع العظم من أجل $\lambda$ عند $\delta = p\lambda + \lambda/N$ . وبالمساواة: $p\Delta\lambda = \lambda/N$ . ثم $pN = Na(\sin\theta - \sin\theta_0)/\lambda$ . ∎

مثال 21.5 (فصل خطي الصوديوم)

يحتاج الثنائي، $\Delta\lambda = 0.6\,\mathrm{nm}$ عند $589\,\mathrm{nm}$ ، إلى $R = 1000$ : أي ألف خط في الرتبة الأولى، أي $2\,\mathrm{mm}$ من شبكة $600\,\mathrm{mm}^{-1}$ . ويحتاج عرض خطه، $0.02\,\mathrm{nm}$ ، إلى $R = 30\,000$ : أي شبكة $5\,\mathrm{cm}$ في الرتبة الأولى، أو $2.5\,\mathrm{cm}$ في الثانية — وشبكة $10\,\mathrm{cm}$ فيها $1200\,\mathrm{mm}^{-1}$ في الرتبة الثانية تبلغ $240\,000$ ، فتميّز $0.0025\,\mathrm{nm}$ : أي عرض خط عرّضته حركة الذرات الحرارية، وانزياح دوبلر لنجم يتحرك بسرعة $1\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ .

معيار رايلي: قمة أحد طولي الموجة على أول صفر للآخر؛ والمجموع (بالخط المتقطع) يُظهر هبوطًا بنحو 20\% بين خطين مفصولين. — معيار رايلي: قمة أحد طولي الموجة على أول صفر للآخر؛ والمجموع (بالخط المتقطع) يُظهر هبوطًا بنحو $20\%$ بين خطين مفصولين.

21.4 جوف فابري–بيرو

قضية 21.6 (تداخل الأمواج المتعددة بتقسيم السعة)

مرآتان متوازيتان عاكستان جزئيًّا (وانعكاسيتهما بالشدة $R$ ) تبعد إحداهما عن الأخرى $L$ لا تنفذان موجة عند الورود الناظمي إلا بقدر ما تتجمع على الطور نفسه الأمواج التي ارتدّت $0, 1, 2, \dots$ مرة بينهما: فمع $\varphi = 4\pi L/\lambda$ طورَ الذهاب والإياب، تكون الشدة النافذة (بتابع إيري)

\frac{I_t}{I_0} = \frac1{1 + F\sin^2(\varphi/2)} , \qquad F = \frac{4R}{(1 - R)^2} :

أي قمم صافية من النفاذ التامّ عند $2L = p\lambda$ (وهي رنينات الجوف، متباعدة في التواتر بمقدار المجال الطيفي الحر $c/2L$ )، وعرضها النسبي $1/\mathcal F$ حيث النقاوة $\mathcal F = \pi \sqrt R/(1 - R)$ — أي $30$ من أجل $R = 0.9$ ، و $300$ من أجل $R = 0.99$ . وهو ندّ الشبكة في قدرة التمييز ( $p\mathcal F$ مع $p = 2L/\lambda \sim 10^5$ ، ومن ثَمّ $R \sim 10^7$ )، وهو، مغلقًا على نفسه، رنّان الليزر (الفصل 23).

برهان. كل ذهاب وإياب يضرب السعة في $R\eu^{\iu\varphi}$ (إلى طور ثابت)؛ والسعة النافذة هي $t^2a\sum(R\eu^{\iu\varphi})^k = t^2a/(1 - R\eu^{\iu\varphi})$ مع $t^2 = 1 - R$ ؛ ومربع طويلتها $(1 - R)^2/ (1 - 2R\cos\varphi + R^2) = (1 - R)^2/[(1 - R)^2 + 4R\sin^2(\varphi/2)]$ . والقمم عند $\varphi = 2\pi p$ ؛ ونصف العظم حيث $F\sin^2(\varphi/2) = 1$ ، أي $\Delta\varphi \approx 4/\sqrt F = 2(1 - R)/\sqrt R$ ، في وجه $2\pi$ بين القمم. ∎

نفاذ إيري في جوف فابري–بيرو: نفاذ تامّ عند الرنينات 2L = p، وقممه تضيق كلما كبرت انعكاسية المرآتين. — نفاذ إيري في جوف فابري–بيرو: نفاذ تامّ عند الرنينات $2L = p\lambda$ ، وقممه تضيق كلما كبرت انعكاسية المرآتين.

طريقة 21.7 (حسابات الشبكة)

(1) الدور $a = 1/(\text{عدد الخطوط في المليمتر})$ ؛ ومعادلة الشبكة مع إشارات الزوايا. (2) واذكر الرتب الموجودة ( $|\sin\theta| \le 1$ ) وتحقق من تراكبها ( $p\lambda_{\max}$ في وجه $(p + 1)\lambda_{\min}$ ). (3) والتبديد $p/a\cos\theta$ ، محوَّلًا إلى موضع على الكاشف بالبعد البؤري: $\dd x = f\,\dd\theta$ . (4) وقدرة التمييز $pN$ حيث $N$ عدد الخطوط المضاءة فعلًا؛ وقارن $\lambda/R$ بالبنية المراد تمييزها. (5) وفي الأدوات الحقيقية أضف عرض شقّ الدخول (فهو يشوّش الخطوط) وبكسلات الكاشف.

21.5 تمارين

تمرين 21.1 ★

شبكة فيها $500$ خط في المليمتر عند الورود الناظمي، و $\lambda = 550\,\mathrm{nm}$ : أوجد زوايا الرتب؛ وأعلى رتبة؛ والعرض الزاوي للطيف المرئي في الرتبة الأولى ( $400$ – $700\,\mathrm{nm}$ )؛ والشبكة نفسها عند ورود $30{}^{\circ}$ : أوجد الرتب على كل جانب.

حل

حل التمرين 21.1.

$a = 2\,\text{µ}\mathrm{m}$ ، و $\sin\theta_p = 0.275p$ : $16.0{}^{\circ}$ ، $33.4{}^{\circ}$ ، $55.6{}^{\circ}$ ؛ ولا رتبة رابعة. والمرئي في الرتبة الأولى من $11.5{}^{\circ}$ إلى $20.5{}^{\circ}$ : أي $9{}^{\circ}$ . وعند $30{}^{\circ}$ : $\sin\theta = 0.5 + 0.275p$ : فتكون $p = +1$ ( $51{}^{\circ}$ ) على جانب، و $p = -1$ إلى $-5$ ( $13^\circ$ ، $-3^\circ$ ، $-19^\circ$ ، $-37^\circ$ ، $-61^\circ$ ) على الجانب الآخر.

تمرين 21.2 ★

ثنائي الصوديوم مع شبكة فيها $600$ خط في المليمتر وعدسة $f = 50\,\mathrm{cm}$ : أوجد الفصل الزاوي والخطي بين الخطين على الكاشف في الرتبتين الأولى والثانية؛ وحجم البكسل اللازم لرؤيتهما منفصلين.

حل

حل التمرين 21.2.

$a = 1.67\,\text{µ}\mathrm{m}$ . وفي الرتبة الأولى: $\theta = 20.7{}^{\circ}$ ، و $\Delta\theta = \Delta\lambda/a\cos\theta = 3.9 \times 10^{-4}\,\mathrm{rad}$ ، أي $0.19\,\mathrm{mm}$ ؛ وفي الرتبة الثانية: $\theta = 45{}^{\circ}$ ، و $1.0 \times 10^{-3}\,\mathrm{rad}$ ، أي $0.51\,\mathrm{mm}$ . وبكسلات $50\,\text{µ}\mathrm{m}$ أو أقلّ.

تمرين 21.3 ★

أوجد قدرة تمييز شبكة $2\,\mathrm{cm}$ فيها $600$ خط في المليمتر في الرتب $1$ و $2$ و $3$ ؛ وأصغر $\Delta\lambda$ مميَّز عند $550\,\mathrm{nm}$ ؛ أتفصل ثنائي الصوديوم؟ وخط الهدروجين H $\alpha$ عن توأمه الديوتيريومي (وبينهما $0.18\,\mathrm{nm}$ من الفرق)؟

حل

حل التمرين 21.3.

$N = 12\,000$ : $R = 12\,000$ ، $24\,000$ ، $36\,000$ ؛ و $\Delta\lambda = 0.046$ ، $0.023$ ، $0.015\,\mathrm{nm}$ ؛ فالثنائي ( $0.6\,\mathrm{nm}$ ) وزوج الهدروجين والديوتيريوم ( $0.18\,\mathrm{nm}$ ، ويحتاج إلى $R = 3600$ ) يُفصلان بسهولة.

تمرين 21.4 ★

قرص مدمج ( $a = 1.6\,\text{µ}\mathrm{m}$ ) وقرص فيديو رقمي ( $a = 0.74\,\text{µ}\mathrm{m}$ ) مضاءان عند الورود الناظمي: أوجد زاويتي البنفسجي والأحمر في الرتبة الأولى؛ وأيّ الرتب موجودة لكل منهما؛ ولمَ يُظهر القرص المدمج قوسي قزح ويُظهر الآخر واحدًا؟

حل

حل التمرين 21.4.

القرص المدمج: البنفسجي $14.5{}^{\circ}$ ، والأحمر $25.9{}^{\circ}$ ؛ والأحمر موجود حتى الرتبة الثانية، والبنفسجي حتى الرتبة الرابعة: أي قوسا قزح (متراكبان جزئيًّا). وقرص الفيديو الرقمي: البنفسجي $32.7{}^{\circ}$ ، والأحمر $71{}^{\circ}$ ؛ وللأحمر الرتبة الأولى وحدها: أي قوس واحد، أوسع.

تمرين 21.5 ★★

نقش $N$ شقًّا. (أ) بيّن أن بين موضعي عظم رئيسيين $N - 1$ صفرًا و $N - 2$ موضع عظم ثانويًّا. (ب) ومن أجل $N$ الكبيرة، أوجد شدة أول موضع عظم ثانوي بالنسبة إلى الرئيسي (عند $N\varphi/2 \approx 3\pi/2$ ): أي نحو $1/22$ . (ج) وارسم النقش من أجل $N = 3$ و $N = 6$ وأعطِ ارتفاعات مواضع العظم الثانوية من أجل $N = 3$ . (د) والنسبة من الطاقة الكلية في مواضع العظم الرئيسية من أجل $N$ الكبيرة (قارن تكاملات القمة، وعرضها $\propto 1/N$ وارتفاعها $\propto N^2$ ، بالباقي).

حل

حل التمرين 21.5.

(أ) الأصفار عند $\varphi = 2\pi m/N$ ، و $m = 1, \dots, N - 1$ : أي $N - 1$ صفرًا، و $N - 2$ موضع عظم بينها. (ب) وعند $N\varphi/2 = 3\pi/2$ ، يكون $I \approx I_0/\sin^2(3\pi/2N) \approx I_0(2N/3\pi)^2$ : أي $4/9\pi^2 = 0.045$ من $N^2I_0$ . (ج) ومن أجل $N = 3$ : موضع عظم ثانوي واحد عند $\varphi = \pi$ ارتفاعه $I_0$ ، أي تُسع الرئيسي $9I_0$ ؛ ومن أجل $N = 6$ : أربعة مواضع عظم ثانوية بنسب قليلة. (د) والفصّ المركزي في $\sin^2x/x^2$ يحمل $90\%$ من الطاقة.

تمرين 21.6 ★★

تراكب الرتب. (أ) بيّن أن الرتبة $p$ من $\lambda_{\max}$ تتراكب مع الرتبة $p + 1$ من $\lambda_{\min}$ حين $p\lambda_{\max} > (p + 1)\lambda_{\min}$ ؛ ومن أجل $400$ – $700\,\mathrm{nm}$ ، من أي رتبة؟ (ب) والمجال الطيفي الحر في الرتبة $p$ : $\Delta\lambda_{\text{حر}} = \lambda/p$ . (ج) ويعمل مطياف في الرتبة $20$ قرب $500\,\mathrm{nm}$ (أي شبكة إشيل): أوجد المجال الطيفي الحر؛ وكيف يُزال التراكب (بمبدِّد متقاطع)؟ (د) والمجال الطيفي الحر لفابري–بيرو هو $c/2L$ : اكتبه بدلالة طول الموجة وقارنه بمجال الشبكة.

حل

حل التمرين 21.6.

(أ) $p > \lambda_{\min}/(\lambda_{\max} - \lambda_{\min}) = 1.33$ : أي من $p = 2$ . (ب) و $\lambda/p$ . (ج) و $25\,\mathrm{nm}$ ؛ وموشور متقاطع مع الشبكة يرصّ الرتب بعضها فوق بعض. (د) و $\Delta\lambda = \lambda^2/2L$ ، أي كسر من النانومتر — أصغر بمئات المرات من مجال الشبكة.

تمرين 21.7 ★★

شبكة موجَّهة. لشبكة انعكاس أخاديد مائلة بزاوية التوجيه $\beta$ بحيث يعكس كل وجيه انعكاسًا مرآويًّا في الجهة التي تُطلَب فيها الرتبة $p$ . (أ) ومن أجل تركيب ليترو ( $\theta = \theta_0 = \beta$ ): بيّن أن $2a\sin\beta = p\lambda$ ؛ وأوجد زاوية التوجيه من أجل $500\,\mathrm{nm}$ في الرتبة الأولى مع $1200$ خط في المليمتر. (ب) ولمَ يرسل التوجيه معظم الضوء إلى رتبة واحدة (فكّر في غلاف حيود وجيه واحد، الفصل 22)؟ (ج) وتُوجَّه الشبكة نفسها من أجل $1\,\text{µ}\mathrm{m}$ : ففي أي رتبة تكون فعّالة عند $500\,\mathrm{nm}$ ؟ (د) وأوجد قدرة تمييز شبكة $10\,\mathrm{cm}$ في تركيب ليترو عند $\beta = 64{}^{\circ}$ ، و $\lambda = 500\,\mathrm{nm}$ (استعمل $R = 2W\sin\beta/\lambda$ ).

حل

حل التمرين 21.7.

(أ) $\sin\beta = \lambda/2a = 0.3$ ، و $\beta = 17.5{}^{\circ}$ . (ب) والوجيه الواحد يحيد في فصّ عريض مركزه جهته المرآوية؛ والرتب التي تقع داخله تنال الضوء. (ج) والرتبة الثانية ( $2 \times 500\,\mathrm{nm} = 1\,\text{µ}\mathrm{m}$ عند الزاوية نفسها). (د) و $R = 2W\sin\beta/\lambda = 3.6 \times 10^5$ .

تمرين 21.8 ★★

الشقّ. يُصوَّر شقّ دخول مطياف عرضه $s$ على الكاشف بتكبير $1$ ؛ وتبدّد الشبكة ( $600$ خط في المليمتر، و $5\,\mathrm{cm}$ ، والرتبة $1$ ، و $f = 50\,\mathrm{cm}$ ). (أ) أوجد عرض خط على الكاشف من الشقّ وحده من أجل $s = 50\,\text{µ}\mathrm{m}$ ، بالنانومتر. (ب) والعرض الآتي من قدرة تمييز الشبكة. (ج) وأيّهما يغلب؛ وعرض الشقّ الذي يتساويان عنده. (د) ولمَ لا يُضيَّق الشقّ أكثر؟

حل

حل التمرين 21.8.

(أ) $\dd\lambda/\dd x = a\cos\theta/pf = 3.1\,\mathrm{nm}/\mathrm{mm}$ : أي إن $50\,\text{µ}\mathrm{m}$ هي $0.16\,\mathrm{nm}$ . (ب) و $R = 30\,000$ : $0.018\,\mathrm{nm}$ . (ج) والشقّ يغلب بتسعة أضعاف؛ ويتساويان عند $s = 6\,\text{µ}\mathrm{m}$ . (د) والحيود عند الشقّ، وكاشف جائع.

تمرين 21.9 ★★

فابري–بيرو. مرآتان $R = 0.95$ ، و $L = 5\,\mathrm{mm}$ ، و $\lambda = 600\,\mathrm{nm}$ . (أ) أوجد الرتبة $p$ ، والمجال الطيفي الحر بالتواتر وبطول الموجة. (ب) والنقاوة؛ وعرض قمة نفاذ بالتواتر وبطول الموجة. (ج) وقدرة التمييز $p\mathcal F$ ؛ وقارنها بشبكة $10\,\mathrm{cm}$ . (د) ولمَ يُستعمل فابري–بيرو دائمًا مع مرشّح سابق أو شبكة؟

حل

حل التمرين 21.9.

(أ) $p = 2L/\lambda$ ، أي $16\,700$ ؛ والمجال الطيفي الحر $c/2L = 30\,\mathrm{GHz}$ ، أي $\lambda^2/2L = 0.036\,\mathrm{nm}$ . (ب) و $\mathcal F = \pi\sqrt{0.95}/0.05 = 61$ ؛ و $0.5\,\mathrm{GHz}$ ، و $0.6\,\mathrm{pm}$ . (ج) و $p\mathcal F = 10^6$ ، أي أربعة أضعاف شبكة $10\,\mathrm{cm}$ . (د) ومجاله الحر كسر من النانومتر: فتتراكب الرتب ما لم يُرشَّح الضوء إلى واحدة منها.

تمرين 21.10 ★★★

حدّ الشبكة. (أ) بيّن أن $R = pN = W(\sin\theta - \sin\theta_0) /\lambda \le 2W/\lambda$ : أي إن قدرة التمييز لا تتجاوز عرض الشبكة بأطوال الموجة، مضروبًا في اثنين. (ب) وفسّر: أي أكبر فرق مسير بين الشعاعين الطرفيين. (ج) وشبكة $30\,\mathrm{cm}$ عند $500\,\mathrm{nm}$ : أوجد $R$ الأقصى؛ وأصغر سرعة يمكن تمييزها بانزياح دوبلر ( $\Delta\lambda/\lambda = v/c$ ). (د) ولمَ يبلغ الفلكيون مع ذلك $1\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ (فكّر في قياس موضع خط بكسر من عرضه، مع خطوط كثيرة)؟

حل

حل التمرين 21.10.

(أ) $|\sin\theta - \sin\theta_0| \le 2$ . (ب) والشعاعان الطرفيان يختلفان في المسير بمقدار $W(\sin\theta - \sin\theta_0)$ ، وهو $2W$ على الأكثر. (ج) و $2 \times 0.3/5 \times 10^{-7} = 1.2 \times 10^6$ ؛ و $c/R = 250\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ . (د) ويُحدَّد مركز الخط بجزء من مئة من عرضه، وألف خط تتوسط بالعامل $\sqrt{1000}$ : فأمتار في الثانية، مع استقرار بطولي.

تمرين 21.11 ★★★

براغ. البلورة شبكة ثلاثية الأبعاد: فالأشعة السينية المنعكسة على المستويات الذرية المتتالية المتباعدة $d$ ، عند الزاوية المماسّة $\theta$ ، تتداخل تداخلًا بنّاءً حين $2d\sin\theta = p\lambda$ (براغ). (أ) استنتج ذلك من فرق المسير بين مستويين. (ب) وإشعاع النحاس K $\alpha$ ( $0.154\,\mathrm{nm}$ ) على ملح الطعام ( $d = 0.282\,\mathrm{nm}$ ): أوجد زوايا براغ. (ج) ولمَ لا تعطي أطوال الموجة المرئية انعكاس براغ من البلورات، وماذا يقول العكس (أي غياب حيود الأشعة السينية من الزجاج) عن الزجاج؟ (د) ولمَ يجب أن يكون $\lambda < 2d$ ؟

حل

حل التمرين 21.11.

(أ) الموجة المنعكسة على المستوي الأدنى تقطع $2d\sin\theta$ زيادةً. (ب) و $\sin\theta = 0.273p$ : $15.8{}^{\circ}$ ، $33.1{}^{\circ}$ ، $55.0{}^{\circ}$ . (ج) و $\lambda \gg 2d$ : فلا زاوية تحقق المعادلة؛ وليس للزجاج مستويات منتظمة، ومن ثَمّ حلقات منتشرة فقط — فهو لابلوري. (د) و $\sin\theta \le 1$ .

تمرين 21.12 ★★★

رصّة طورية. $N$ هوائيًّا متطابقًا على استقامة، متباعدة $a$ ، مغذّاة بالسعة نفسها وبدرجة طور $\psi$ بين المتجاورين. (أ) بيّن أن الحقل المشعّ في الجهة $\theta$ هو حقل مجموع $N$ موجة مع $\varphi = 2\pi a\sin\theta/\lambda - \psi$ : فالحزمة الرئيسية تشير حيث $\sin\theta = \lambda\psi/2\pi a$ . (ب) وأوجد نصف عرض الحزمة الرئيسية، $\Delta\theta \approx \lambda/Na\cos\theta$ . (ج) ولمَ يجب أن يكون $a \le \lambda/2$ لتفادي حزمة رئيسية ثانية (أي فصّ شبكي) عند التوجيه؟ (د) ورادار فيه $64$ عنصرًا على $\lambda/2$ ، و $\lambda = 3\,\mathrm{cm}$ : أوجد عرض الحزمة؛ وزمن مسح $90^\circ$ بخطوات عرض حزمة واحد إذا تبدّلت الأطوار في $1\,\text{µ}\mathrm{s}$ .

حل

حل التمرين 21.12.

(أ) يختلف المتجاوران في الطور بمقدار $2\pi a\sin\theta/\lambda$ من المسير و $-\psi$ من التغذية؛ وموضع العظم الرئيسي عند $\varphi = 0$ . (ب) وأول صفر عند $\Delta\varphi = 2\pi/N$ : $\Delta\theta = \lambda/Na\cos\theta$ . (ج) وموضع عظم رئيسي ثانٍ عند $\varphi = \pm2\pi$ يقتضي $|\sin\theta \pm \lambda/a| \le 1$ : وهو مستحيل عند كل زاوية توجيه إذا كان $a \le \lambda/2$ فقط. (د) و $Na = 0.96\,\mathrm{m}$ : $1.8{}^{\circ}$ ؛ و $50$ خطوة، أي $50\,\text{µ}\mathrm{s}$ .

21.6 مسألة: مطياف لنجم

مسألة 21.1

مسألة نهاية الأسبوع — تصميم المطياف الذي يقرأ ضوء نجم: الشبكة، والكاشف، وخطوط الهدروجين، وترنّح كوكب

مطياف: شقّ دخول، ومجمِّع بعده البؤري $f_1 = 1.0\,\mathrm{m}$ ، وشبكة انعكاس فيها $1200$ خط في المليمتر وعرضها $W = 12\,\mathrm{cm}$ ، وآلة تصوير $f_2 = 1.0\,\mathrm{m}$ ، وكاشف ببكسلات $15\,\text{µ}\mathrm{m}$ . وهو يعمل في الرتبة الأولى، حول $550\,\mathrm{nm}$ ، والشبكة عند ورود $20{}^{\circ}$ .

الجزء الأول — الشبكة.

أوجد دور الشبكة؛ وعدد الخطوط المضاءة إذا غطّت الحزمة العرض كله.
وزاوية حيود $550\,\mathrm{nm}$ في الرتبة الأولى؛ وزاويتي $400\,\mathrm{nm}$ و $700\,\mathrm{nm}$ ؛ والعرض الزاوي للطيف المرئي.
والتبديد الزاوي عند $550\,\mathrm{nm}$ ؛ والتبديد الخطي على الكاشف بالنانومتر في المليمتر وبالنانومتر في البكسل.
وقدرة التمييز؛ وأصغر $\Delta\lambda$ مميَّز عند $550\,\mathrm{nm}$ ؛ وبالبكسلات.
أيقع بنفسجي الرتبة الثانية على مرئي الرتبة الأولى؟ وأي مرشّح يزيله؟
وطول الكاشف اللازم للطيف المرئي كله في الرتبة الأولى.
والشبكة موجَّهة عند $17{}^{\circ}$ : فمن أجل أي طول موجة تكون أشدّ فعالية في الرتبة الأولى عند هذا الورود (استعمل تقدير ليترو $2a\sin\beta = \lambda$ )؟
وتعيد الشبكة $80\%$ من الضوء عند طول موجة التوجيه ويعيد المقراب مع البصريات $40\%$ : أوجد النسبة من فوتونات النجم التي تبلغ الكاشف.

الجزء الثاني — الخطوط.

خطوط بالمر الهدروجينية في النجم: H $\alpha$ $656.3\,\mathrm{nm}$ ، و H $\beta$ $486.1\,\mathrm{nm}$ ، و H $\gamma$ $434.0\,\mathrm{nm}$ : أوجد مواضعها على الكاشف بالنسبة إلى $550\,\mathrm{nm}$ .
وخط H $\alpha$ الآتي من ذرة ديوتيريوم أقصر بمقدار $0.18\,\mathrm{nm}$ : أيُفصَل؟ وبكم بكسلًا؟
وثنائي الصوديوم في طيف النجم: أوجد الفصل بالبكسلات؛ وعرض كل خط إذا عرّضه جوّ النجم إلى $0.05\,\mathrm{nm}$ .
وشقّ الدخول عرضه $100\,\text{µ}\mathrm{m}$ ، مصوَّرًا بتكبير $f_2/f_1$ : أوجد عرضه على الكاشف بالبكسلات وبالنانومتر؛ أيكون المطياف محدودًا بالشقّ أم بالشبكة؟
والضوء الآتي من المقراب قرص قطره $1''$ على السماء، يجعله المقراب ( $f = 20\,\mathrm{m}$ ) بعرض $100\,\text{µ}\mathrm{m}$ عند الشقّ: أوجد النسبة الضائعة من الضوء إذا ضُيّق الشقّ إلى $50\,\text{µ}\mathrm{m}$ (خذ القرص منتظمًا).
ولمَ يعطي شقّ أضيق خطوطًا أصفى وأطيافًا أكثر ضجيجًا؟

الجزء الثالث — النجم يتحرك.

نجم يبتعد بسرعة $30\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ : أوجد انزياح دوبلر لخط H $\alpha$ بالنانومتر وبالبكسلات.
وتضيف حركة الأرض المدارية $\pm30\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ على مدار السنة: فلمَ يجب طرحها، وبأي دقة إذا أُريدت $100\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ؟
وكوكب يجعل نجمه يترنّح بسرعة $10\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ : أوجد الانزياح بالنانومتر وبالبكسلات؛ أهو دون قدرة التمييز؟ وفسّر كيف يستعيده قياس مركز الخط بجزء من مئة من عرضه، على ألف خط (بربح إحصائي $\sqrt{N}$ ).
وتتغير حرارة الأداة $1\,\mathrm{K}$ ، فتتمدد الشبكة (وهي زجاج، تمدده $1 \times 10^{-5}\,\mathrm{K}^{-1}$ ): أوجد انزياح الخطوط بالبكسلات؛ وأي استقرار يلزم من أجل $10\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ؟
ومصباح معايرة (ثوريوم–أرغون) يضع مئات الخطوط المعلومة على الكاشف نفسه: فسّر دوره.

الجزء الرابع — البدائل.

الشبكة نفسها عرضًا محفورة بواقع $300$ خط في المليمتر ومستعملة في الرتبة الرابعة (مع مبدِّد متقاطع لفرز الرتب): أوجد زاوية الحيود، وقدرة التمييز، والتبديد، والمجال الطيفي الحر عند $550\,\mathrm{nm}$ ؛ وما الذي تغير، وما الذي لم يتغير؟
ومعيار فابري–بيرو ( $L = 1\,\mathrm{mm}$ ، $R = 0.9$ ) موضوع قبل الشقّ: أوجد المجال الطيفي الحر بالنانومتر، والنقاوة، وعرض القمة؛ وكيف يبدو مشطُ قمم نفاذه على الكاشف، وفيمَ يُستعمل؟
وموشور $60{}^{\circ}$ من زجاج فيه $\dd n/\dd\lambda = -1 \times 10^{-4}\,\mathrm{nm}^{-1}$ له التبديد الزاوي $\dd D/\dd\lambda \approx 2\,\dd n/\dd\lambda$ قرب أصغر انحراف: قارنه بتبديد الشبكة؛ ولمَ حلّت الشبكات محلّ المواشير؟
ولمَ تُبنى أكبر المطيافات الفلكية بشبكات بعرض متر وتُستعمل عند زوايا كبيرة (أي الحدّ $2W/\lambda$ )؟
ونجم قدره ثمانية يعطي $1 \times 10^{4}\,$ فوتون في الثانية وفي النانومتر عند المقراب: أوجد الفوتونات في البكسل في الثانية على الكاشف، ونسبة الإشارة إلى الضجيج في تعريض $100\,\mathrm{s}$ (بضجيج الفوتونات وحده).
ولخّص: الأعداد الثلاثة التي تصف المطياف (التبديد، وقدرة التمييز، والمجال الطيفي الحر) وما الذي يحدد كلًّا منها.

حل

حل المسألة 21.1.

1. $a = 0.833\,\text{µ}\mathrm{m}$ ؛ و $N = 144\,000$ .

2. $\sin\theta = \sin20^\circ - \lambda/a$ (فالرتبة تقع على الجانب الآخر من الناظم): $550\,\mathrm{nm}$ عند $18.5{}^{\circ}$ ، و $400\,\mathrm{nm}$ عند $7.9{}^{\circ}$ ، و $700\,\mathrm{nm}$ عند $29.9{}^{\circ}$ : أي $22{}^{\circ}$ من الطيف.

3. $1/a\cos\theta = 1.27 \times 10^{-3}\,\mathrm{rad}/\mathrm{nm}$ ؛ و $f_2\times$ : $1.27\,\mathrm{mm}/\mathrm{nm}$ ، أي $0.79\,\mathrm{nm}/\mathrm{mm}$ ، و $0.012\,\mathrm{nm}$ في البكسل.

4. $R = N = 144\,000$ : أي $0.0038\,\mathrm{nm}$ ، وهو ثلث بكسل.

5. بنفسجي الرتبة الثانية $400\,\mathrm{nm}$ يقع حيث كان يقع $800\,\mathrm{nm}$ في الرتبة الأولى، وراء الأحمر: فلا تراكب في المرئي؛ والتراكب يبدأ عند $350\,\mathrm{nm}$ ، ويزيله مرشّح زجاجي.

6. $22{}^{\circ}$ $\times$ $1\,\mathrm{m}$ $= 38\,\mathrm{cm}$ : فالكاشف يغطّي شريحة؛ وتُدار الشبكة لاختيارها.

7. $\lambda = 2a\sin17^\circ = 490\,\mathrm{nm}$ .

8. $0.8 \times 0.4 = 32\%$ .

9. الزوايا $26.5{}^{\circ}$ ، $14.0{}^{\circ}$ ، $10.3{}^{\circ}$ : أي $+14$ ، و $-8$ ، و $-14\,\mathrm{cm}$ عن موضع $550\,\mathrm{nm}$ .

10. $0.18\,\mathrm{nm}$ تساوي $15$ بكسلًا: فتُفصَل.

11. يتباعدان $50$ بكسلًا، وعرض كلٍّ منهما $4$ بكسلات.

12. $100\,\text{µ}\mathrm{m}$ ، أي $6.7$ بكسل، و $0.08\,\mathrm{nm}$ — أي عشرون ضعف حدّ الشبكة: فهو محدود بالشقّ.

13. عرض الصورة $97\,\text{µ}\mathrm{m}$ : فشقّ $50\,\text{µ}\mathrm{m}$ يمرّر نصف الضوء.

14. ضوء أقلّ للصفاء نفسه: فينمو ضجيج الفوتونات.

15. $\Delta\lambda = \lambda v/c = 0.066\,\mathrm{nm}$ ، أي $5.5$ بكسل.

16. سرعة الأرض تزيح كل خط حتى $\pm5.5$ بكسل على مدار السنة؛ وهي معلومة من التقاويم الفلكية بدقة أعلى بكثير من $0.3\%$ اللازمة من أجل $100\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ .

17. $2.2 \times 10^{-5}\,\mathrm{nm}$ ، أي $0.002$ بكسل — أي دون عرض الخط بكثير. ومركز خط عرضه $7\,\mathrm{px}$ بجزء من مئة هو $0.07\,\mathrm{px}$ ؛ وألف خط تعطي $\sqrt{1000}$ : أي $0.002$ بكسل — فالإشارة بالكاد. والأدوات الحقيقية تضيف قدرة تمييز واستقرارًا.

18. $\Delta\sin\theta = (\lambda/a) \times 10^{-5} = 6.6 \times 10^{-6}$ ، و $\Delta\theta = 7 \times 10^{-6}\,\mathrm{rad}$ ، أي $7\,\text{µ}\mathrm{m}$ : نصف بكسل في الكلفن — فمليكلفنات من أجل $10\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ .

19. خطوطه، مسجَّلةً في اللحظة نفسها على البكسلات نفسها، تعطي سلّم أطوال الموجة وتتعقّب كل هيام.

20. $a = 3.33\,\text{µ}\mathrm{m}$ ، و $N = 36\,000$ ، والزاوية نفسها ( $18.5{}^{\circ}$ )، و $R = 4N = 144\,000$ ، والتبديد نفسه، والمجال الطيفي الحر $\lambda/4 = 137\,\mathrm{nm}$ : فقدرة التمييز والتبديد لا تتعلقان إلا بالعرض $W$ وبالزاوية؛ وأما المجال الطيفي الحر فتقلّص.

21. المجال الطيفي الحر $\lambda^2/2L = 0.15\,\mathrm{nm}$ (أي $12$ بكسلًا)؛ و $\mathcal F = 30$ ؛ وعرض القمم $0.005\,\mathrm{nm}$ : أي مشط خطوط صافية عبر الكاشف، وهو مسطرة لأطوال الموجة.

22. $2 \times 10^{-4}$ في وجه $1.3 \times 10^{-3}\,\mathrm{rad}/\mathrm{nm}$ : أي أقلّ بستة أضعاف، وتخسر قدرة تمييز الموشور ( $b\,\dd n/\dd\lambda \sim 10^4$ ) وسلّمه اللاخطي أيضًا؛ والشبكات تعمل كذلك في فوق البنفسجي.

23. $R \le 2W/\lambda$ : أي $4 \times 10^6$ من أجل متر عند $500\,\mathrm{nm}$ — فالعرض والزاوية هما السبيلان الوحيدان إلى الأعلى.

24. $10^4 \times 0.012 \times 0.32 = 38$ فوتونًا في البكسل في الثانية؛ و $3800$ في $100\,\mathrm{s}$ : فنسبة الإشارة إلى الضجيج $\approx 60$ .

25. التبديد، ويحدده $p/a\cos\theta$ والبعد البؤري لآلة التصوير؛ وقدرة التمييز، ويحددها العرض المضاء والزوايا ( $pN$ )؛ والمجال الطيفي الحر، وتحدده الرتبة ( $\lambda/p$ ).