الفيزياء الجامعية — السنة الثانية · Bachelor Year 2

16الأمواج الموجَّهة والأجواف

نبضةُ الرادار تنتقل من المرسل إلى الطبق داخل أنبوب نحاسي مستطيل المقطع؛ وضوء وصلة الإنترنت يقطع عشرة آلاف كيلومتر داخل خيط زجاجي أدقّ من الشعرة؛ وأمواج فرن الميكروويف ترتدّ بين جدرانه فتستقر على نقش من البقع الحارة والباردة. والموجة المحصورة بجدران ناقلة أو كاسرة لم تعد موجة مستوية حرة تذهب حيث تشاء: إذ عليها أن تحقق الشروط الحدية على الجدران، وذلك ينتقي الأشكال التي يجوز لها أن تتخذها — أي الأنماط — ويمنعها دون تواتر قطع. وهذا الفصل يبني أبسط دليل، وهو صفيحتان ناقلتان متوازيتان، انطلاقًا من انعكاسات الفصل 15؛ ثم دليل الموجة المستطيل، والجوف المغلق، والليف البصري في صورة الأشعة.

16.1 الأمواج بين صفيحتين ناقلتين

قضية 16.1 (أنماط الدليل ذي الصفيحتين المتوازيتين)

يحدّ مستويان ناقلان تمامًا عند $y = 0$ و $y = a$ خلاءً. ابحث عن موجة تنتشر وفق $z$ بالشكل $\vect E = E(y)\,\eu^{\iu(\omega t - k_gz)} \vect e_x$ (أي الحقل موازٍ للصفيحتين، عمودي على جهة الانتشار). ومعادلات ماكسويل في الخلاء وشرط $E = 0$ على الصفيحتين تفرض

E(y) = E_0\sin\frac{n\pi y}a , \qquad k_g^2 = \frac{\omega^2}{c^2} - \Bigl(\frac{n\pi}a\Bigr)^2 , \qquad n = 1, 2, \dots

ولا ينتشر النمط $n$ إلا فوق تواتر قطعه $f_n = nc/2a$ ؛ ودونه تكون $k_g$ تخيلية فيتلاشى الحقل على طول الدليل. وسرعتاه الطورية والزمرية هما

v_\varphi = \frac c{\sqrt{1 - f_n^2/f^2}} > c , \qquad v_g = c\sqrt{1 - f_n^2/f^2} < c , \qquad v_\varphi v_g = c^2 ,

وحقله المغناطيسي له مركّبتان وفق $y$ ووفق $z$ : فالموجة الموجَّهة ليست مستعرضة في جهة الانتشار.

برهان. عوّض في $\Delta\vect E = \partial_t^2\vect E/c^2$ : $E'' - k_g^2E = -(\omega^2/c^2)E$ ، أي $E'' + (\omega^2/c^2 - k_g^2)E = 0$ ، وحلولها المنعدمة عند $y = 0$ وعند $y = a$ هي الجيوب مع $\omega^2/c^2 - k_g^2 = (n\pi/a)^2$ ؛ وتتحقق $\operatorname{div} \vect E = 0$ لأن $E_x$ لا تتعلق بالمتغير $x$ . وتعطي فاراداي $\underline B_y = (k_g/\omega)\underline E$ و $\underline B_z = (\iu/\omega)\partial_y\underline E$ ، والأخيرة في التربيع. وتنتج السرعتان من صيغة كلاين–غوردون لعلاقة التبدد (الفصل 8). ∎

ملاحظة 16.2 (النمط بوصفه موجتين مستويتين)

$\sin(n\pi y/a)\eu^{-\iu k_gz}$ هو مجموع موجتين مستويتين شعاعا موجتيهما $(0, \pm n\pi/a, k_g)$ ، وطويلتهما $\omega/c$ ، ترتدّان بين الصفيحتين تحت الزاوية $\theta$ عن المحور حيث $\cos\theta = k_gc/\omega$ : فالنمط الموجَّه موجة مستوية تتعرّج بين الجدارين، وتنعكس عند كل منهما مع $r = -1$ ، والموجة المستقرة المستعرضة هي شرط تداخلها البنّاء مع نفسها. والطاقة تسير على التعرّج بالسرعة $c$ ، ومن ثَمّ على المحور بالسرعة $c\cos\theta = v_g$ ؛ أما تقاطعات القمم مع المحور فتجري بالسرعة $c/\cos\theta = v_\varphi$ . وعند القطع ترتدّ الموجة جيئةً وذهابًا عبر الدليل ولا تبلغ مكانًا.

على اليسار: النمط الموجَّه موجة مستوية ترتدّ بين الصفيحتين؛ وتنفرج الزاوية كلما اقترب التواتر من القطع. وعلى اليمين: المقاطع المستعرضة E(y) لأول نمطين، وهي تنعدم على الجدارين الناقلين. — على اليسار: النمط الموجَّه موجة مستوية ترتدّ بين الصفيحتين؛ وتنفرج الزاوية $\theta$ كلما اقترب التواتر من القطع. وعلى اليمين: المقاطع المستعرضة $E(y)$ لأول نمطين، وهي تنعدم على الجدارين الناقلين.

على اليمين: منحنيات التبدد لأول ثلاثة أنماط في دليل، وكل منها قطع زائد يبدأ عند قطعه. وعلى اليسار: السرعتان الطورية والزمرية لنمط بدلالة التواتر؛ فالطاقة تدبّ قرب القطع وتقترب من c في ما فوقه بكثير. — على اليمين: منحنيات التبدد لأول ثلاثة أنماط في دليل، وكل منها قطع زائد يبدأ عند قطعه. وعلى اليسار: السرعتان الطورية والزمرية لنمط بدلالة التواتر؛ فالطاقة تدبّ قرب القطع وتقترب من $c$ في ما فوقه بكثير.

مثال 16.3 (أرقام)

صفيحتان تتباعدان $3\,\mathrm{cm}$ : $f_1 = 5\,\mathrm{GHz}$ ، و $f_2 = 10\,\mathrm{GHz}$ ؛ وبين هذين التواترين لا ينتشر إلا نمط واحد (وهو التشغيل الأحادي النمط، الذي يمنع النبضة من الانقسام إلى نبضات ذات سرعات زمرية $v_g$ مختلفة). وعند $8\,\mathrm{GHz}$ يكون للنمط $n = 1$ : $v_g = 0.78c$ ، و $v_\varphi = 1.28c$ ، وطول موجة الدليل $\lambda_g = 2\pi/k_g = 4.8\,\mathrm{cm}$ بدل $3.75\,\mathrm{cm}$ في الفضاء الحر. وعند $4\,\mathrm{GHz}$ لا ينفذ شيء: إذ يتلاشى الحقل وفق $\eu^{-z/\ell}$ مع $\ell = c/2\pi\sqrt{f_1^2 - f^2} = 1.6\,\mathrm{cm}$ — وهو مبدأ الشبكة في باب الفرن، ودليل الموجة دون القطع المستعمل موهنًا معايرًا، والقنوات المعدنية في التهوية التي تمرّر الهواء ولا تمرّر الراديو.

16.2 دليل الموجة المستطيل والجوف

قضية 16.4 (الدليل المستطيل؛ النمط TE $_{10}$ )

أنبوب معدني أجوف مقطعه المستطيل $a \times b$ ( $a > b$ ) يحمل أنماطًا تواترات قطعها هي

f_{mn} = \frac c2\sqrt{\Bigl(\frac ma\Bigr)^2 + \Bigl(\frac nb\Bigr)^2} ;

وأدناها، وهو النمط TE $_{10}$ ( $f_{10} = c/2a$ )، له $\vect E = E_0\sin (\pi x/a)\,\eu^{\iu(\omega t - k_gz)}\,\vect e_y$ : أي نصف جيب عبر الضلع العريض، ومنتظم عبر الضلع الضيق، منعدم على الجدارين $x = 0$ و $x = a$ — وهو بالضبط نمط الصفيحتين المتوازيتين، إذ الجداران الجانبيان $y = 0$ و $b$ عموديان على $\vect E$ فلا يفرضان عليه شيئًا. ويُستعمل الدليل بين $f_{10}$ وتواتر القطع التالي؛ وخطوط حقله المغناطيسي تنغلق في المستوي $xz$ ، والتيارات التي تحدثها في الجدران هي ما لا يجوز لشقٍّ أن يقطعه. والاستطاعة المحمولة هي $\tfrac14\varepsilon_0cE_0^2\,ab \sqrt{1 - f_{10}^2/f^2}$ .

برهان. النمط العام جداءُ $\cos$ / $\sin$ في $x$ و $y$ مع الشروط الحدية على الجدران الأربعة، فيعطي $k_g^2 = \omega^2/c^2 - (m\pi/a)^2 - (n\pi/b)^2$ (وهو مقبول في العام؛ أما حالة TE $_{10}$ فهي القضية أعلاه). وأما الاستطاعة: فمتوسط شعاع بوينتنغ وفق $z$ هو $E_0^2\sin^2(\pi x/a) \,k_g/2\mu_0\omega$ مكاملًا على المقطع. ∎

النمط TE_10 لدليل مستطيل: الحقل الكهربائي يمتد على البعد الضيق بمقطع نصف جيبي عبر البعد العريض؛ وينغلق الحقل المغناطيسي في حلقات في مستوي الوجهين العريضين، طولها نصف طول موجة الدليل. — النمط TE $_{10}$ لدليل مستطيل: الحقل الكهربائي يمتد على البعد الضيق بمقطع نصف جيبي عبر البعد العريض؛ وينغلق الحقل المغناطيسي في حلقات في مستوي الوجهين العريضين، طولها نصف طول موجة الدليل.

قضية 16.5 (جوف رنّان)

إغلاق دليل بجدارين ناقلين يبعد أحدهما عن الآخر $d$ يحوّله إلى جوف، تُجبَر فيه الموجة الموجَّهة على أن تؤلف موجة مستقرة وفق $z$ أيضًا: $k_g = p\pi/d$ ، وتواترات الرنين في صندوق مستطيل $a \times b \times d$ هي

f_{mnp} = \frac c2\sqrt{\Bigl(\frac ma\Bigr)^2 + \Bigl(\frac nb\Bigr)^2 + \Bigl(\frac pd\Bigr)^2} .

وعدد الأنماط التي تواتراتها دون $f$ ينمو وفق $8\pi V f^3/3c^3$ من أجل صندوق حجمه $V$ (وهو مقبول: عُدّ نقاط الشبكة $(m/2a, n/2b, p/2d)$ في ثُمن كرة، مع استقطابين) — وهي كثافة الأنماط التي ستحتاج إليها نظرية الإشعاع الحراري (الفصل 26). ولكل نمط عامل جودة $Q$ تحدده ضياعات الجدران (أي المقاومة السطحية في الفصل 14)، وهو $10^3$ – $10^4$ عادةً للنحاس عند تواترات الميكروويف، و $10^{10}$ لجوف فائق الناقلية.

برهان. أمواج مستقرة وفق الجهات الثلاث بعقد على الجدران الستة؛ وشعاع الموجة $(m\pi/a, n\pi/b, p\pi/d)$ طويلته $\omega/c$ . ∎

مثال 16.6 (أفران ورادارات وساعات)

فرن ميكروويف أبعاده $30 \times 30 \times 20$ سم $^3$ قرب $2.45\,\mathrm{GHz}$ له عشرات الأنماط ضمن نسبة قليلة من تواتر المغنيترون: فالحقل تراكب أمواج مستقرة، مواضع عظمها متباعدة $6\,\mathrm{cm}$ ، تسوّيها الصينية الدوّارة (و"مقلّب الأنماط"). ومغنيترون الرادار نفسه جوف رنّان؛ والمسرّع الجسيمي سلسلة أجواف فائقة الناقلية يدفع نمطها TM الرزم؛ وذرات ساعة السيزيوم تعبر جوفًا ميكرويًّا موائمًا عند $9.19\,\mathrm{GHz}$ .

16.3 الليف البصري في صورة الأشعة

قضية 16.7 (ليف ذو قرينة سُلّمية)

لبٌّ زجاجي قرينته $n_1$ يحيط به غلاف قرينته $n_2$ أقلّ قليلًا يوجّه الضوء بالانعكاس الكلي الداخلي عند حدّ اللب. والشعاع الداخل من الوجه الطرفي من الهواء تحت الزاوية $\alpha$ عن المحور يُحتبَس إذا كان $\sin\alpha < \sqrt{n_1^2 - n_2^2}$ ، وهي الفتحة العددية؛ وأشعة الزوايا المختلفة تقطع أطوالًا مختلفة، فتتمدد النبضة الداخلة في ليف طوله $L$ بالمقدار

\Delta t = \frac{n_1L}c\Bigl(\frac{n_1}{n_2} - 1\Bigr) ,

وهو التبدد النمطي — نحو $50\,\mathrm{ns}$ في الكيلومتر من أجل $n_1 - n_2 = 0.01$ ، وهو ما يحدّ الليف المتعدد الأنماط ببضعة ميغابتات في الثانية على عشرة كيلومترات. أما الليف الأحادي النمط فلبّه من الدقة ( $9\,\text{µ}\mathrm{m}$ ) بحيث لا ينتشر فيه إلا نمط واحد، مثل الدليل بين أول تواتري قطع له؛ ولا يبقى إلا التبدد اللوني للزجاج (الفصل 8).

برهان. يقتضي الانعكاس الكلي عند فاصل اللب والغلاف أن يكون $\sin\theta > n_2/n_1$ من أجل الزاوية $\theta$ عن ناظم الحدّ، أي $\cos \theta' > n_2/n_1$ من أجل الزاوية $\theta'$ عن المحور في الداخل؛ والانكسار عند المدخل يعطي $\sin\alpha = n_1\sin\theta'$ ، ومن ثَمّ $\sin\alpha < n_1\sqrt{1 - n_2^2/n_1^2}$ . وأشدّ الأشعة المحتبَسة ميلًا يقطع $L/\cos\theta' = Ln_1/n_2$ مقابل $L$ للشعاع المحوري، بالسرعة $c/n_1$ . ∎

ليف ذو قرينة سُلّمية في صورة الأشعة: الأشعة داخل مخروط القبول محتبَسة بالانعكاس الكلي الداخلي؛ ويصل الشعاع المتعرّج بعد المحوري — وهو التبدد النمطي.

طريقة 16.8 (مسك دفتر الأمواج الموجَّهة)

(1) عيّن الجدران وشرطها (المركّبة المماسّية $\vect E = 0$ على الناقل؛ والانعكاس الكلي من أجل العازل). (2) اكتب الحقل موجةً مستقرة مستعرضة مضروبة في عامل تقدّمي على طول الدليل؛ فالشروط الحدية تكمّم عدد الموجة المستعرض. (3) وتعطي علاقة التبدد $k_g^2 = \omega^2/c^2 - k_\perp^2$ تواتر القطع، و $v_\varphi$ ، و $v_g$ ، و $\lambda_g$ . (4) وعُدّ الأنماط المنتشرة عند تواتر العمل؛ واقصد أن يكون واحدًا. (5) وفي الجوف أضف الشرط الطولي وأوجد تواترات الرنين؛ وفي الضياعات استعمل المقاومة السطحية.

16.4 تمارين

تمرين 16.1 ★

صفيحتان تتباعدان $2.0\,\mathrm{cm}$ : أوجد تواترات قطع أول ثلاثة أنماط؛ وعند $12\,\mathrm{GHz}$ ، أيّ الأنماط ينتشر، ومن أجل الأول أوجد $k_g$ ، و $\lambda_g$ ، و $v_\varphi$ ، و $v_g$ ؛ وعند $6\,\mathrm{GHz}$ أوجد طول تلاشي الحقل.

حل

حل التمرين 16.1.

$f_n = nc/2a = 7.5$ ، $15$ ، $22.5\,\mathrm{GHz}$ . وعند $12\,\mathrm{GHz}$ ينتشر $n = 1$ وحده: $k_g = (2\pi/c)\sqrt{f^2 - f_1^2} = 196\,\mathrm{rad}/\mathrm{m}$ ، $\lambda_g = 3.2\,\mathrm{cm}$ ، $v_\varphi = c/0.78 = 3.8 \times 10^{8}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ، $v_g = 2.3 \times 10^{8}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ . وعند $6\,\mathrm{GHz}$ : $\ell = c/2\pi\sqrt{f_1^2 - f^2} = 1.1\,\mathrm{cm}$ .

تمرين 16.2 ★

لدليل موجة قياسي في الحزمة X: $a = 22.9\,\mathrm{mm}$ ، و $b = 10.2\,\mathrm{mm}$ . أوجد قطع TE $_{10}$ ، و TE $_{20}$ ، و TE $_{01}$ ؛ والنطاق الأحادي النمط؛ وعند $10\,\mathrm{GHz}$ : $\lambda_g$ ، و $v_g$ ، وزاوية التعرّج. ولمَ يكون $b \approx a/2$ اختيارًا جيدًا؟

حل

حل التمرين 16.2.

TE $_{10}$ عند $6.55\,\mathrm{GHz}$ ، و TE $_{20}$ عند $13.1\,\mathrm{GHz}$ ، و TE $_{01}$ عند $14.7\,\mathrm{GHz}$ : فالنمط واحد من $6.55$ إلى $13.1\,\mathrm{GHz}$ . وعند $10\,\mathrm{GHz}$ : $\sqrt{1 - (6.55/10)^2} = 0.756$ ، $\lambda_g = 4.0\,\mathrm{cm}$ ، $v_g = 0.76c$ ، $\cos\theta = 0.756$ ، $\theta = 41{}^{\circ}$ . و $b \approx a/2$ يبقي TE $_{01}$ فوق TE $_{20}$ (أي أعرض نطاق أحادي النمط) مع ترك أوسع فرجة للحقل (أي الاستطاعة قبل الانهيار).

تمرين 16.3 ★

جوف أبعاده $30 \times 30 \times 20$ سم $^3$ : أوجد تواترات الأنماط $(1,1,0)$ ، و $(1,0,1)$ ، و $(2,1,1)$ ، و $(3,2,1)$ ؛ وعدد الأنماط دون $2.5\,\mathrm{GHz}$ من صيغة العدّ؛ وأدنى نمط لجوف مكعب تواتره $9.19\,\mathrm{GHz}$ — أوجد ضلعه.

حل

حل التمرين 16.3.

$f = 1.5 \times 10^8\sqrt{(m/0.3)^2 + (n/0.3)^2 + (p/0.2)^2}$ : $0.71\,\mathrm{GHz}$ ، و $0.90\,\mathrm{GHz}$ ، و $1.35\,\mathrm{GHz}$ ، و $1.95\,\mathrm{GHz}$ . و $N = 8\pi Vf^3/3c^3 = 8\pi \times 0.018 \times 1.56 \times 10^{28}/ 8.1 \times 10^{25} \approx 260$ . وأما المكعب: فيكون $f = c\sqrt2/2L$ ، و $L = 2.3\,\mathrm{cm}$ .

تمرين 16.4 ★

ليف له $n_1 = 1.48$ ، و $n_2 = 1.46$ . أوجد الفتحة العددية ونصف زاوية القبول؛ والتمدد النمطي في الكيلومتر؛ وأعظم معدل بتات على $2\,\mathrm{km}$ إذا وجب أن يدوم البتّ أطول من التمدد؛ وأعد ذلك مع $n_1 - n_2 = 0.003$ .

حل

حل التمرين 16.4.

$\mathrm{NA} = \sqrt{1.48^2 - 1.46^2} = 0.24$ ، $14{}^{\circ}$ ؛ و $\Delta t = (n_1L/c)(n_1/n_2 - 1) = 68\,\mathrm{ns}/\mathrm{km}$ ؛ و $135\,\mathrm{ns}$ على $2\,\mathrm{km}$ : $7\,\mathrm{Mbit}/\mathrm{s}$ ؛ ومع $0.003$ : $10\,\mathrm{ns}/\mathrm{km}$ ، $50\,\mathrm{Mbit}/\mathrm{s}$ .

تمرين 16.5 ★★

من أجل نمط الصفيحتين المتوازيتين $n = 1$ : (أ) أوجد $\vect B$ من قانون فاراداي وبيّن أن له مركّبة وفق $z$ في التربيع مع $E$ . (ب) وأوجد التيار السطحي على كل صفيحة (بالعلاقة الحدية). (ج) ومتوسط شعاع بوينتنغ وفق $z$ والاستطاعة في وحدة العرض؛ وتحقق من أن متوسط مركّبته المستعرضة معدوم. (د) وبيّن أن سرعة الطاقة، أي الاستطاعة على متوسط الطاقة في وحدة الطول، تساوي $v_g$ .

حل

حل التمرين 16.5.

(أ) $\underline B_y = (k_g/\omega)\underline E$ ، و $\underline B_z = (\iu/\omega)\partial_y\underline E = (\iu\pi/a\omega) E_0\cos(\pi y/a)\eu^{\iu(\omega t - k_gz)}$ : أي في التربيع. (ب) وعند $y = 0$ يكون $B_y = 0$ و $\vect j_s = \vect e_y\wedge\vect B/\mu_0 = (B_z/\mu_0)\vect e_x$ : أي وفق الحقل. (ج) و $\langle\Pi_z\rangle = E_0^2k_g\sin^2(\pi y/a)/2\mu_0\omega$ ، والاستطاعة في وحدة العرض $E_0^2k_ga/4\mu_0\omega$ ؛ و $\langle\Pi_y\rangle \propto \operatorname{Re}(\underline E\,\iu\underline B_z^*) = 0$ . (د) ومتوسط الطاقة في وحدة الطول والعرض $\tfrac14\varepsilon_0E_0^2a$ (والنصفان الكهربائي والمغناطيسي كلٌّ منهما $\tfrac18\varepsilon_0E_0^2a$ )؛ والنسبة هي $c^2k_g/\omega = v_g$ .

تمرين 16.6 ★★

دون القطع. (أ) ثقب قطره $1\,\mathrm{mm}$ في شبكة $0.5\,\mathrm{mm}$ في باب فرن عند $2.45\,\mathrm{GHz}$ : عامله معاملة دليل عرضه $a = 1\,\mathrm{mm}$ ؛ وأوجد طول التلاشي والوهن عبر الصفيحة بالديسيبل (قارن الفصل 14). (ب) وقناة تهوية مقطعها $20\,\mathrm{cm}$ في غرفة مدرَّعة: إلى أي تواتر تحجب الراديو، وكم توهن $100\,\mathrm{MHz}$ على $1\,\mathrm{m}$ ؟ (ج) و"موهن دليل الموجة دون القطع" يستعمل أنبوبًا قطره $1\,\mathrm{cm}$ عند $1\,\mathrm{GHz}$ : أوجد الوهن في السنتيمتر (استعمل صيغة الصفيحتين مع $a = 1\,\mathrm{cm}$ تقديرًا). (د) ولمَ لا يتعلق الوهن بناقلية الجدران؟

حل

حل التمرين 16.6.

(أ) $f_1 = 150\,\mathrm{GHz} \gg f$ : $\ell \approx a/\pi = 0.32\,\mathrm{mm}$ ؛ و $\eu^{-0.5/0.32}$ : $-14\,\mathrm{dB}$ في السعة، و $-27$ في الاستطاعة. (ب) $f_1 = 750\,\mathrm{MHz}$ ؛ وعند $100\,\mathrm{MHz}$ يكون $\ell = 6.4\,\mathrm{cm}$ : $-136\,\mathrm{dB}$ على متر. (ج) $f_1 = 15\,\mathrm{GHz}$ ، و $\ell = 3.2\,\mathrm{mm}$ : $27\,\mathrm{dB}/\mathrm{cm}$ . (د) لأن الموجة لا تسع؛ فالتلاشي هندسة لا تبديد.

تمرين 16.7 ★★

الاستطاعة والانهيار. يحمل دليل الحزمة X في التمرين 16.2 النمط TE $_{10}$ عند $10\,\mathrm{GHz}$ . (أ) أوجد الاستطاعة من أجل $E_0 = 1\,\mathrm{MV}/\mathrm{m}$ . (ب) وينهار الهواء عند $3\,\mathrm{MV}/\mathrm{m}$ : أوجد أعظم استطاعة؛ وكيف تحمل الرادارات الميغاواطات (بالضغط، وبالغازات)؟ (ج) وأما ضياعات الجدران: فالتيار السطحي على الجدار العريض من رتبة $E_0/\mu_0c$ ؛ ومع $R_s = 0.026\,\Omega$ من أجل النحاس عند $10\,\mathrm{GHz}$ ، قدّر الضياع في المتر والوهن بالديسيبل في المتر. (د) وقارن ذلك بكابل محوري وهنه $0.5\,\mathrm{dB}/\mathrm{m}$ : لمَ تُستعمل الأدلة عند هذه التواترات؟

حل

حل التمرين 16.7.

(أ) $P = \tfrac14\varepsilon_0cE_0^2ab\sqrt{1 - f_{10}^2/f^2} = 120\,\mathrm{kW}$ . (ب) و $\times9$ : $1\,\mathrm{MW}$ ؛ والآزوت المضغوط أو SF $_6$ يرفعان حقل الانهيار. (ج) و $j_s \approx E_0/\mu_0c = 2.7\,\mathrm{kA}/\mathrm{m}$ ؛ و $\tfrac12R_sj_s^2 = 9 \times 10^{4}\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$ على $2a = 0.046\,\mathrm{m}^{2}$ في المتر: $4\,\mathrm{kW}/\mathrm{m}$ ، أي $3.5\%$ في المتر، ونحو $0.15\,\mathrm{dB}/\mathrm{m}$ . (د) أي أقلّ من الكابل بثلاث مرات، ومع ميغاواطات بدل كيلوواطات.

تمرين 16.8 ★★

جودة الجوف. جوف نحاسي مكعب ضلعه $10\,\mathrm{cm}$ في أدنى أنماطه. (أ) أوجد التواتر. (ب) والطاقة المخزونة هي $\tfrac12\varepsilon_0E_0^2V/4$ (وهو مقبول)، وضياع الجدران $\tfrac12R_sH_0^2\times$ المساحة مع $H_0 \approx E_0/ \mu_0c$ و $R_s = 1/\gamma\delta$ : أوجد عامل الجودة $Q = \omega W/P$ — واحسبه. (ج) وعرض نطاق الرنين $f/Q$ ؛ وزمن خفوته $Q/\omega$ . (د) وللجوف الفائق الناقلية $R_s \sim 1 \times 10^{-8}\,\Omega$ : أوجد $Q$ ، ولمَ تستعمله المسرّعات.

حل

حل التمرين 16.8.

(أ) $f = c\sqrt2/2L = 2.12\,\mathrm{GHz}$ . (ب) $\delta = 1.4\,\text{µ}\mathrm{m}$ ، و $R_s = 12\,\mathrm{m}\Omega$ ؛ و $W = \varepsilon_0E_0^2V/8 = 1.1 \times 10^{-15}\,E_0^2$ ؛ و $P = \tfrac12R_s(E_0/377)^2 \times 6L^2 = 2.5 \times 10^{-9}\,E_0^2$ : فيكون $Q = \omega W/P \approx 6000$ . (ج) $360\,\mathrm{kHz}$ ؛ و $0.45\,\text{µ}\mathrm{s}$ . (د) و $Q \sim 10^{10}$ : فالحقل البالغ عشرات الميغافولطات في المتر تديمه كيلوواطات بدل غيغاواطات.

تمرين 16.9 ★★

عدّ الأنماط. (أ) بيّن أن عدد أنماط صندوق حجمه $V$ تواتراتها دون $f$ هو $N(f) = 8\pi Vf^3/3c^3$ (أي نقاط $(m, n, p)$ في ثُمن كرة نصف قطرها $2fL/c$ من أجل مكعب، مع استقطابين). (ب) وعدد الأنماط في وحدة الحجم ووحدة التواتر، $\dd N/V\dd f = 8\pi f^2/c^3$ . (ج) وغرفة حجمها $1\,\mathrm{m}^{3}$ : أوجد الأنماط في الهرتز عند $1\,\mathrm{GHz}$ ؛ وعند $500\,\mathrm{THz}$ (أي الضوء المرئي). (د) ولمَ تكون أنماط الجوف الصغير متفرقة بينما تؤلف أنماط الغرفة الكبيرة مستمرًّا — وما حال الفرن عند $2.45\,\mathrm{GHz}$ ؟

حل

حل التمرين 16.9.

(أ) النقاط $(m, n, p)$ التي $m^2 + n^2 + p^2 \le (2fL/c)^2$ تملأ ثُمن كرة: $\tfrac18\cdot\tfrac43\pi(2fL/c)^3$ ، مضروبًا في استقطابين: $8\pi L^3f^3/3c^3$ . (ب) $8\pi f^2/c^3$ . (ج) $9 \times 10^{-7}$ في الهرتز (أي واحد في الميغاهرتز) عند $1\,\mathrm{GHz}$ ؛ و $2 \times 10^5$ في الهرتز عند $500\,\mathrm{THz}$ . (د) والأنماط منفصلة حين يتجاوز تباعدها عرضها؛ وفي الفرن نمط كل $10\,\mathrm{MHz}$ تقريبًا حول $2.45\,\mathrm{GHz}$ — أي عشرات ضمن نسبة قليلة.

تمرين 16.10 ★★★

النمط TE $_{10}$ كاملًا. في الدليل $0 < x < a$ ، و $0 < y < b$ : $\vect E = E_0\sin(\pi x/a)\eu^{\iu(\omega t - k_gz)}\vect e_y$ . (أ) أوجد $\underline B_x$ و $\underline B_z$ من فاراداي؛ وتحقق من $\operatorname{div}\vect B = 0$ . (ب) وتحقق من ماكسويل–أمبير في الخلاء، واستعد $k_g^2 = \omega^2/c^2 - (\pi/a)^2$ . (ج) وأوجد التيارات السطحية على الجدران الأربعة (العريضان $y = 0$ و $b$ والضيقان $x = 0$ و $a$ )؛ وأيّ التيارات يجري وفق $z$ ، وأيّها يجري عرضًا؟ (د) وشقٌّ مقطوع وفق $z$ في وسط جدار عريض لا يشعّ، وشقٌّ عرضيّ يشعّ: فسّر ذلك.

حل

حل التمرين 16.10.

(أ) من $\operatorname{\vect{curl}}\vect E = -\partial_t\vect B$ :

\underline B_x = -\frac{k_g}\omega\underline E , \qquad \underline B_z = \frac{\iu\pi}{a\omega}E_0\cos\frac{\pi x}a\,\eu^{\iu(\omega t - k_gz)} ,

و $\partial_xB_x + \partial_zB_z = -(k_g\pi/a\omega)E_0\cos(\pi x/a) + (k_g\pi/a\omega)E_0 \cos(\pi x/a) = 0$ . (ب) و $(\operatorname{\vect{curl}}\vect B)_y = \partial_zB_x - \partial_xB_z = (\iu/\omega)(k_g^2 + \pi^2/a^2)\underline E = (\iu\omega/c^2)\underline E$ : أي $k_g^2 = \omega^2/c^2 - \pi^2/a^2$ . (ج) الجداران العريضان: $\vect j_s = \pm(B_z\vect e_x - B_x\vect e_z)/\mu_0$ — أي وفق $z$ على صورة $\sin(\pi x/a)$ ، وعرضًا على صورة $\cos(\pi x/a)$ (وهو معدوم في الوسط)؛ والجداران الضيقان: وفق $y$ فقط. (د) والشقّ الطولي المركزي لا يقطع إلا التيارات المستعرضة، وهي منعدمة هناك؛ أما الشقّ المستعرض فيقطع الطولية ويشعّ: وهو هوائي دليل الموجة المشقوق.

تمرين 16.11 ★★★

دليل عازل. صفيحة قرينتها $n_1$ وسماكتها $a$ في وسط $n_2 < n_1$ توجّه الضوء بالانعكاس الكلي. (أ) من أجل شعاع تحت الزاوية $\theta$ عن ناظم الوجهين، شرط التوجيه هو أن يكون طور الذهاب والإياب عبر الصفيحة، $2k_0n_1a\cos\theta - 2\varphi_r$ (حيث $\varphi_r$ انزياح طور الانعكاس الكلي، ويؤخذ $\approx 0$ هنا)، من مضاعفات $2\pi$ : أوجد عدد الأنماط من أجل $a = 50\,\text{µ}\mathrm{m}$ ، و $\lambda = 1.5\,\text{µ}\mathrm{m}$ ، و $n_1 = 1.48$ ، و $n_2 = 1.46$ (واقبل أن عدد الأنماط $\approx 2a\sqrt{n_1^2 - n_2^2}/\lambda$ في كل استقطاب). (ب) وأوجد السماكة من أجل نمط واحد. (ج) وقارن ذلك بلبّ ليف أحادي النمط قطره $9\,\text{µ}\mathrm{m}$ . (د) ولمَ لا يكون للدليل العازل، خلافًا للمعدني، تواتر قطع لأدنى أنماطه؟

حل

حل التمرين 16.11.

(أ) $2a\sqrt{n_1^2 - n_2^2}/\lambda = 2 \times 50 \times 0.242/1.5 \approx 16$ في كل استقطاب. (ب) $a < \lambda/2\mathrm{NA} = 3.1\,\text{µ}\mathrm{m}$ . (ج) ولبٌّ دائري فتحته $\mathrm{NA} = 0.12$ أحادي النمط دون $d = 2.405\lambda/\pi\mathrm{NA} = 10\,\text{µ}\mathrm{m}$ : أي معيار $9\,\text{µ}\mathrm{m}$ . (د) والشعاع المماسّ ينعكس كليًّا دائمًا: فأدنى نمط موجود عند كل تواتر، وذيوله المتلاشية لا تفعل أكثر من الامتداد في الغلاف.

تمرين 16.12 ★★★

ليف متدرج القرينة. للتقليل من التبدد النمطي تتناقص قرينة اللب من المحور نحو الخارج، $n(r) = n_1\sqrt{1 - 2\Delta(r/a)^2}$ مع $\Delta \approx 0.01$ . (أ) فسّر نوعيًّا لمَ يستطيع شعاع خارج المحور، وهو أطول، أن يستغرق زمن الشعاع المحوري نفسه. (ب) وباستعمال معادلة الأشعة في وسط طبقي، $n(r)\cos\theta(r) = \text{ثابت}$ ، بيّن أن شعاعًا يُطلق من المحور بزاوية صغيرة يتذبذب جيبيًّا حوله (انشر $n$ حتى المرتبة الثانية). (ج) وأوجد دور التذبذب من أجل $a = 25\,\text{µ}\mathrm{m}$ . (د) والتمدد النمطي المتبقي من رتبة $n_1L\Delta^2/2c$ : أوجد قيمته في الكيلومتر، مقارنةً بالسُّلّمي $n_1L\Delta/c$ .

حل

حل التمرين 16.12.

(أ) الشعاع الخارج عن المحور يقضي زمنه في قرينة أدنى، حيث الضوء أسرع: فيُعوَّض المسار الأطول. (ب) و $n(r)\cos\theta = n_1\cos\theta_0$ مع $n \approx n_1(1 - \Delta r^2/a^2)$ و $\cos\theta \approx 1 - \theta^2/2$ : $(\dd r/\dd z)^2 = \theta_0^2 - 2\Delta r^2/a^2$ ، وهو تذبذب توافقي $r = r_0\sin(\sqrt{2\Delta}\,z/a)$ . (ج) $2\pi a/\sqrt{2\Delta} = 1.1\,\mathrm{mm}$ . (د) و $n_1L\Delta^2/2c = 0.25\,\mathrm{ns}/\mathrm{km}$ مقابل $49\,\mathrm{ns}/\mathrm{km}$ : أي أحسن بمئتي مرة.

ألياف بصرية مضاءة من أطرافها البعيدة: ضوء محتبَس بالانعكاس الكلي الداخلي في لبّ أدقّ من الشعرة، وموجَّه حول كل انحناء لطيف.

16.5 مسألة: جوف الفرن والليف البصري

مسألة 16.1

مسألة نهاية الأسبوع — نظامان من الأمواج الموجَّهة في كل مطبخ وكل مدينة: الفرن الذي يطهو بالأمواج المستقرة والليف الذي يحمل الإنترنت

الجزء الأول — من المغنيترون إلى الجوف. يغذّي مغنيترون $800\,\mathrm{W}$ عند $2.45\,\mathrm{GHz}$ دليلَ موجة مستطيلًا ( $a = 8.6\,\mathrm{cm}$ ، و $b = 4.3\,\mathrm{cm}$ ) ينفتح على جوف الفرن ( $30 \times 30 \times 20$ سم $^3$ )؛ والجدران فولاذ، $\gamma = 1 \times 10^{6}\,\mathrm{S}/\mathrm{m}$ .

أوجد تواترات قطع أنماط TE $_{10}$ ، و TE $_{20}$ ، و TE $_{01}$ في الدليل؛ وتحقق من أن TE $_{10}$ وحده ينتشر عند $2.45\,\mathrm{GHz}$ .
وطول موجة الدليل والسرعتين الطورية والزمرية عند $2.45\,\mathrm{GHz}$ .
وسعة الحقل $E_0$ في الدليل من أجل $800\,\mathrm{W}$ (بصيغة استطاعة TE $_{10}$ )؛ وقارن ذلك بحقل انهيار الهواء.
وسعة التيار السطحي على الجدار العريض (من رتبة $E_0/\mu_0c$ )؛ وعمق الجلد والمقاومة السطحية للفولاذ؛ والضياع في المتر من الدليل.
وأنماط الجوف: اذكر ما تقع تواتراته ضمن $3\%$ من $2.45\,\mathrm{GHz}$ (جرّب $(m, n, p)$ حتى $4$ )؛ وكم عددها؟
والمسافة بين البقع الحارة لأحد تلك الأنماط على كل محور؛ ولمَ تدور الصينية، وما "مقلّب الأنماط"؟
وعامل جودة الجوف محمّلًا بالطعام نحو $200$ : أوجد عرض نطاق استجابته؛ ولمَ لا يهمّ كثيرًا عدم التوافق بين تواتر المغنيترون والأنماط.
وللجوف الفارغ $Q \approx 3000$ : أوجد الطاقة المخزونة عند دخل $800\,\mathrm{W}$ ، ومتوسط كثافة الطاقة، وسعة الحقل؛ وقارن ذلك بالسؤال 3 وبالانهيار. وما الذي يحمي المغنيترون حين يعمل الفرن فارغًا؟
والزمن الذي تقطع فيه الطاقة $20\,\mathrm{cm}$ من الدليل من المغنيترون إلى الجوف.
ويُغذّى المغنيترون بمنبع مقوَّم نصف موجة فلا يشعّ إلا في نصف كل دور من دورات الشبكة: أوجد الاستطاعة العظمى في أثناء الرشقات من أجل متوسط $800\,\mathrm{W}$ ؛ وماذا يفعل الجوف بين الرشقات (استعمل $Q \approx 200$ )؟

الجزء الثاني — الباب والقطع.

وشبكة الباب ثقوبها $1.5\,\mathrm{mm}$ في صفيحة $1\,\mathrm{mm}$ : أوجد طول التلاشي في ثقب والوهن بالديسيبل عبر الصفيحة.
ويُختم حرف الباب بخانق ربع موجة: أي بشقٍّ عمقه $\lambda/4$ حول إطار الباب، يقدّم دارة مفتوحة عند الفجوة (تذكّر الفصل 15): أوجد عمق الشقّ عند $2.45\,\mathrm{GHz}$ .
والتسرب القانوني $5\,\mathrm{mW}/\mathrm{cm}^{2}$ على $5\,\mathrm{cm}$ : فأيّ كسر من $800\,\mathrm{W}$ عبر باب مساحته $100\,\mathrm{cm}^{2}$ يقابل ذلك؟
وقناة طولها $30\,\mathrm{cm}$ وقطرها $4\,\mathrm{cm}$ تهوّي الجوف: أهي دون القطع عند $2.45\,\mathrm{GHz}$ ؟ وأوجد الوهن على طولها.
ولمَ يجب أن تكون الشبكة موصولة كهربائيًّا بإطار الباب من كل جانب (وبمَ تتصرف فجوة في الوصل)؟

الجزء الثالث — الليف. ليف ذو قرينة سُلّمية: اللب $n_1 = 1.465$ ، والغلاف $n_2 = 1.460$ ، وقطر اللب $50\,\text{µ}\mathrm{m}$ (متعدد الأنماط) أو $9\,\text{µ}\mathrm{m}$ (أحادي النمط)؛ و $\lambda = 1.55\,\text{µ}\mathrm{m}$ ؛ والوهن $0.2\,\mathrm{dB}/\mathrm{km}$ .

أوجد الفتحة العددية وزاوية القبول؛ أيسهل إدخال الضوء؟
والتمدد النمطي في الكيلومتر من أجل الليف المتعدد الأنماط؛ وأعظم معدل بتات على $10\,\mathrm{km}$ (بتٌّ واحد في زمن التمدد).
وعدد أنماط الليف المتعدد الأنماط (اقبل $N \approx \tfrac12(\pi d\,\mathrm{NA}/\lambda)^2$ )؛ وعدد أنماط الأحادي ( $d = 9\,\text{µ}\mathrm{m}$ : بيّن أن الصيغة نفسها تعطي نحو $1$ ).
وفي الليف الأحادي النمط يكون التمدد الباقي لونيًّا: مع $\omega'' \approx -0.2\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$ (الفصل 8) ونبضات مدتها $50\,\mathrm{ps}$ ، أوجد المسافة التي تتضاعف عليها النبضة؛ ومعدل البتات على $100\,\mathrm{km}$ .
والوهن على $100\,\mathrm{km}$ بالديسيبل وبوصفه نسبة استطاعات؛ ومن أجل دخل $1\,\mathrm{mW}$ : أوجد استطاعة الخرج؛ ومع مضخّمات كل $80\,\mathrm{km}$ ، كم يلزم منها لوصلة عابرة للأطلسي طولها $6000\,\mathrm{km}$ ؟
والتواتر وطاقة الفوتون عند $1.55\,\text{µ}\mathrm{m}$ ؛ وعدد الفوتونات في الثانية في $1\,\mathrm{mW}$ ، وفي البتّ عند $10\,\mathrm{Gbit}/\mathrm{s}$ ، عند الدخل وبعد $100\,\mathrm{km}$ .
ولمَ $1.55\,\text{µ}\mathrm{m}$ (فكّر في آليتي الضياع في السيليكا: تبعثر رايلي، وهو يتناقص وفق $1/\lambda^4$ ، والامتصاص تحت الأحمر الذي يتصاعد بعد $1.6\,\text{µ}\mathrm{m}$ )؟
وانعكاس فرينل عند طرف ليف مشقوق يواجه الهواء: أوجد الضياع بالديسيبل؛ ولمَ تستعمل الوصلات هلامًا موائمًا للقرينة أو تماسًّا فيزيائيًّا مصقولًا.
ولمَ لا يشعّ الليف عند انحناء لطيف، ولمَ يفقد الضوء عند انحناء حادّ (فكّر في زاوية الشعاع على حدّ اللب)؟
وقارن دليلي هذه المسألة: ما الذي يحصر الموجة، وما الذي يحدّ عرض النطاق، وما الذي يحدّ الضياعات.

حل

حل المسألة 16.1.

1. $c/2a = 1.74\,\mathrm{GHz}$ ؛ و TE $_{20}$ و TE $_{01}$ : $3.49\,\mathrm{GHz}$ : فلا ينتشر إلا TE $_{10}$ عند $2.45\,\mathrm{GHz}$ .

2. $\sqrt{1 - (1.74/2.45)^2} = 0.70$ : $\lambda_g = 17.4\,\mathrm{cm}$ ، $v_\varphi = 1.42c$ ، $v_g = 0.70c = 2.1 \times 10^{8}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ .

3. $E_0^2 = 4P/\varepsilon_0c\,ab\sqrt{\cdot} = 3200/6.9 \times 10^{-6}$ : $E_0 = 21\,\mathrm{kV}/\mathrm{m}$ ، أي جزء من مئة من الانهيار.

4. $j_s \approx E_0/\mu_0c = 57\,\mathrm{A}/\mathrm{m}$ ؛ و $\delta = 10\,\text{µ}\mathrm{m}$ ، و $R_s = 0.1\,\Omega$ ؛ و $\tfrac12R_sj_s^2 \times 2a = 28\,\mathrm{W}/\mathrm{m}$ : أي $3.5\%$ في المتر — فالفولاذ ضيّاع، والدليل قصير.

5. $f = 1.5 \times 10^8\sqrt{11.1(m^2 + n^2) + 25p^2}$ ضمن $\pm3\%$ من $2.45\,\mathrm{GHz}$ : $(1, 2, 3)$ ، $(2, 1, 3)$ عند $2.51\,\mathrm{GHz}$ ، و $(4, 0, 2)$ ، $(0, 4, 2)$ ، $(4, 3, 0)$ ، $(3, 4, 0)$ عند $2.50\,\mathrm{GHz}$ — أي نحو ستة.

6. أنصاف أطوال الموجة $a/m$ ، $b/n$ ، $d/p$ : أي تباعد من $7$ إلى $10\,\mathrm{cm}$ . والصينية الدوّارة تجرّ الطعام عبر مواضع العظم والصغر؛ والمقلّب (وهو مروحة معدنية دوّارة) يعيد خلط الأنماط.

7. $f/Q = 12\,\mathrm{MHz}$ : فتتراكب الرنينات المحمَّلة في مستمرّ؛ والمغنيترون يجد دائمًا نمطًا يغذّيه.

8. $W = QP/\omega = 3000 \times 800/1.54 \times 10^{10} = 0.16\,\mathrm{J}$ ؛ و $u = 8.7\,\mathrm{J}/\mathrm{m}^{3}$ ؛ و $E_0 \approx \sqrt{4u/\varepsilon_0} = 2\,\mathrm{MV}/\mathrm{m}$ — أي قرب الانهيار: فأقواس؛ والاستطاعة المنعكسة ترجع إلى المغنيترون، وهو محميّ (قليلًا) بحمل صوري أو بمدوِّر — ومن هنا "لا تشغّله فارغًا".

9. $0.2/2.1 \times 10^8 = 1\,\mathrm{ns}$ .

10. $1.6\,\mathrm{kW}$ في الذروة؛ وبين الرشقات يخفت الحقل في $Q/\omega = 13\,\mathrm{ns}$ : فالجوف فارغ في معظم الوقت.

11. $\ell \approx a/\pi = 0.48\,\mathrm{mm}$ ؛ و $\eu^{-1/0.48}$ : $-18\,\mathrm{dB}$ في السعة، و $-36\,\mathrm{dB}$ في الاستطاعة.

12. $\lambda/4 = 3.1\,\mathrm{cm}$ .

13. $5\,\mathrm{mW}/\mathrm{cm}^{2}$ $\times$ $100\,\mathrm{cm}^{2}$ = $0.5\,\mathrm{W}$ : أي $0.06\%$ .

14. $f_1 \approx c/2d = 3.75\,\mathrm{GHz} > 2.45\,\mathrm{GHz}$ : أي دون القطع؛ و $\ell = 1.7\,\mathrm{cm}$ ، و $\eu^{-30/1.7}$ : $-150\,\mathrm{dB}$ .

15. يجب أن تجري تيارات الجدران متصلة إلى الشبكة؛ والفجوة في الوصل شقٌّ يقطعها — أي هوائي شقّ يشعّ إلى الخارج.

16. $\mathrm{NA} = \sqrt{1.465^2 - 1.460^2} = 0.12$ ، $7{}^{\circ}$ : أي مخروط ضيق، يحتاج إلى ليزر وعدسة.

17. $(n_1L/c)(n_1/n_2 - 1) = 17\,\mathrm{ns}/\mathrm{km}$ ؛ و $170\,\mathrm{ns}$ على $10\,\mathrm{km}$ : $6\,\mathrm{Mbit}/\mathrm{s}$ .

18. $\tfrac12(\pi d\,\mathrm{NA}/\lambda)^2 = 75$ ؛ ومن أجل $9\,\text{µ}\mathrm{m}$ : $2.4$ — أي النظام الأحادي النمط ( $V = \pi d\,\mathrm{NA}/\lambda = 2.2 < 2.4$ ).

19. $\Delta x_0 = (c/n)\tau = 1\,\mathrm{cm}$ : $t_{\text{تمدد}} = 10^{-4}/0.2 = 0.5\,\mathrm{ms}$ ، و $100\,\mathrm{km}$ : أي $10\,\mathrm{Gbit}/\mathrm{s}$ على تلك المسافة قبل التعويض.

20. $20\,\mathrm{dB}$ ، أي عامل $100$ : $10\,\text{µ}\mathrm{W}$ ؛ و $6000/80 = 75$ مضخّمًا.

21. $f = 1.9 \times 10^{14}\,\mathrm{Hz}$ ، و $hf = 0.8\,\mathrm{eV}$ ؛ و $8 \times 10^{15}$ فوتون في الثانية؛ و $8 \times 10^5$ في البتّ عند الدخل، و $8 \times 10^3$ بعد $100\,\mathrm{km}$ .

22. مجموع الضياعين أصغر ما يكون قرب $1.55\,\text{µ}\mathrm{m}$ ( $0.2\,\mathrm{dB}/\mathrm{km}$ ).

23. $R = ((1.465 - 1)/2.465)^2 = 3.6\%$ : أي $0.16\,\mathrm{dB}$ في كل وجه، ومرتان عند الوصلة زائدًا تداخل الفجوة؛ والهلام أو التماسّ الفيزيائي يزيل الهواء.

24. عند انحناء لطيف يظل الشعاع يلاقي الحدّ بعد الزاوية الحرجة؛ وعند انحناء حادّ يهبط الورود على الجدار الخارجي دونها فيتسرب الضوء.

25. الفرن: جدران معدنية، وانعكاس $r = -1$ ؛ وعرض النطاق تحدده أنماط الجوف؛ والضياعات في قشرة الفولاذ. والليف: انعكاس كلي داخلي عند حدّ زجاج–زجاج؛ وعرض النطاق يحدده التبدد النمطي واللوني؛ والضياعات بالتبعثر والامتصاص، $0.2\,\mathrm{dB}/\mathrm{km}$ .