الفيزياء الجامعية — السنة الثانية · Bachelor Year 2

24انتشار الجسيمات

ألقِ بلورة صباغ في ماء ساكن وراقب: تتكوّن حولها غيمة ملونة، وتكبر، وتلين حروفها، وتنتشر — في دقيقة على مليمتر، وفي ساعة على سنتيمتر، وفي أسبوع على الكأس كلها. ولا شيء يدفع الصباغ؛ بل يحمله التزاحم الدائم للجزيئات، الذي يرسل كل جسيم في مسير عشوائي ويحمله، في المتوسط، من حيث الكثرة إلى حيث القلّة. وهذا هو الانتشار، وهو أبطأ النقل وأعمّه: فهو يغذّي كل خلية بالأكسجين، ويشوب كل ترانزستور بالبور، ويقسّي الفولاذ بالكربون، ويحمل عطرًا عبر غرفة — وإن كان، كما سنرى، لا في الزمن الذي قد يُظنّ. وهذا الفصل يعطي الانتشار قانونه (فيك)، ومعادلته (من موازنة جسيمية)، وحلوله المميّزة وسلالمه الزمنية ( $L \sim \sqrt{Dt}$ )، وأصله المجهري في المسير العشوائي — وهو يفسّر أيضًا لمَ تعرف معادلة الانتشار، خلافًا لكل معادلات الميكانيك، جهةَ الزمن. وسيعيد الفصل التالي استعمال ذلك كله من أجل الحرارة.

حبر يُطلَق في ماء ساكن: تتشوّش الغيمة الحادّة وتنتشر كلما انتشرت جزيئاتها — على المليمترات في دقيقة، وعلى السنتيمترات في ساعة.

24.1 كثافة الجسيمات والتدفق وقانون فيك

تعريف 24.1 (الكثافة وتيار الجسيمات)

من أجل نوع من الجسيمات (جزيئات، أو شوارد، أو ذرات في جسم صلب) تكون الكثافة العددية $n(M,t)$ هي عدد الجسيمات في وحدة الحجم حول $M$ (بالوحدة $\mathrm{m}^{-3}$ ؛ والتركيز المولي هو $c = n/N_A$ ). وكثافة تيار الجسيمات $\vect{j}_N$ هي الشعاع الذي يجعل عدد الجسيمات العابرة عنصر سطح موجَّهًا $\dd\vect S$ في $\dd t$ مساويًا $\vect{j}_N\cdot\dd\vect S\,\dd t$ (بالوحدة $\mathrm{m}^{-2}\,\mathrm{s}^{-1}$ ): وتدفق الجسيمات عبر سطح $S$ هو $\Phi_N = \iint_S \vect{j}_N\cdot\dd\vect S$ ، أي عدد الجسيمات في الثانية عبر $S$ . ومن أجل جسيمات يحملها مائع يتحرك بالسرعة $\vect v$ ، يكون $\vect{j}_N = n\vect v$ (وهو الحمل)؛ والانتشار هو النقل الذي يبقى في مائع ساكن.

مبرهنة 24.2 (قانون فيك)

في وسط ساكن، حيث الكثافة غير منتظمة، يظهر تيار جسيمات، متناسب مع متدرج الكثافة ومعاكس له:

\vect{j}_N = -D\,\vect{\operatorname{grad}}\,n ,

حيث معامل الانتشار $D > 0$ (بالوحدة $\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$ ) يتعلق بالنوع المنتشر، وبالوسط وبالحرارة. والجسيمات تنزل مع انحدار متدرج الكثافة، من المناطق الأكثف إلى الأرقّ، بمعدل يحدده $D$ .

برهان. ظاهراتي (أي قانون تجربة، كقانون أوم): خطي في المتدرج من أجل المتدرجات الصغيرة، ومتماثل المناحي في وسط متماثل المناحي، وذو الإشارة التي تفرضها التجربة. ونموذج المسير العشوائي في القسم 24.4 يستنتجه، ويستنتج $D$ معه، من الحركة الجزيئية. ∎

مثال 24.3 (رتب مقادير $D$ )

الغازات: $D \sim 1 \times 10^{-5}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$ (بخار الماء في الهواء $2.5 \times 10^{-5}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$ ، وجزيء عطر $5 \times 10^{-6}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$ ). والسوائل: $D \sim 1 \times 10^{-9}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$ (الأكسجين في الماء $2 \times 10^{-9}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$ ، والسكر $5 \times 10^{-10}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$ ، وبروتين $1 \times 10^{-10}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$ ). والأجسام الصلبة: ضئيل و يتصاعد بشدة مع الحرارة، $D = D_0\,\eu^{-E_{\text{a}}/k_BT}$ (البور في السيليسيوم: $1.5 \times 10^{-17}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$ عند $1100\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ ، وصغير صغرًا لا يُقاس في حرارة الغرفة — ولهذا يحفظ الترانزستور، متى صُنع، مقطع تشويبه عقودًا). أي أربع رتب من المقدار من الغاز إلى السائل، وثماني أو أكثر من السائل إلى الصلب.

24.2 الموازنة الجسيمية ومعادلة الانتشار

مبرهنة 24.4 (الموازنة الجسيمية المحلية)

إذا لم تُحدَث الجسيمات ولم تُتلَف،

\frac{\partial n}{\partial t} + \operatorname{div}\vect{j}_N = 0 ;

ومع منبع يحدث $\sigma$ جسيمًا في وحدة الحجم والزمن (تفاعل كيميائي، أو امتصاص)، يكون $\partial_t n + \operatorname{div}\vect{j}_N = \sigma$ . وفي بُعد واحد (حيث تتعلق الكثافة والتيار بالمتغير $x$ وحده): $\partial_t n + \partial_x j_N = 0$ .

برهان. خذ الشريحة بين $x$ و $x + \dd x$ ، ومقطعها $S$ : فهي تحوي $n\,S\,\dd x$ جسيمًا؛ وفي $\dd t$ يدخل $j_N(x)S\,\dd t$ عبر الوجه الأيسر ويخرج $j_N(x + \dd x)S\,\dd t$ عبر الأيمن، ومن ثَمّ $\partial_t n\,S\,\dd x\,\dd t = -(j_N(x+\dd x) - j_N(x))S\,\dd t = -\partial_x j_N\,\dd x\,S\,\dd t$ . وفي ثلاثة أبعاد يعطي العدّ نفسه على صندوق صغير التباعد (أي التدفق الخارج من سطح مغلق في وحدة الحجم، الفصل 11)، أو مباشرةً: من أجل أي حجم ثابت $V$ ، $\dd/\dd t \iiint_V n\,\dd\tau = -\iint_{\partial V} \vect{j}_N\cdot\dd\vect S = -\iiint_V \operatorname{div}\vect{j}_N\,\dd\tau$ بمبرهنة أوستروغرادسكي. ∎

الموازنة في بُعد واحد: الشريحة بين x و x + x تكسب ما يدخل من اليسار وتفقد ما يخرج من اليمين؛ والفرق هو تغيّر n في داخلها. — الموازنة في بُعد واحد: الشريحة بين $x$ و $x + \dd x$ تكسب ما يدخل من اليسار وتفقد ما يخرج من اليمين؛ والفرق هو تغيّر $n$ في داخلها.

مبرهنة 24.5 (معادلة الانتشار)

بجمع قانون فيك والموازنة، من أجل $D$ منتظم،

\frac{\partial n}{\partial t} = D\,\Delta n + \sigma , \qquad\text{وفي بُعد واحد}\quad \frac{\partial n}{\partial t} = D\,\frac{\partial^2 n}{\partial x^2} + \sigma .

ومعادلة الانتشار هذه خطية (فالحلول تتراكب)، من المرتبة الأولى في الزمن والثانية في الفضاء — وليست معادلة أمواج: فليس لها سرعة انتشار، بل علاقة مميّزة بين الطول والزمن،

L \sim \sqrt{D t}, \qquad t \sim \frac{L^2}{D} :

فالانتشار على ضعف المسافة يستغرق أربعة أضعاف الزمن.

برهان. $\partial_t n = -\operatorname{div}(-D\,\vect{\operatorname{grad}}\,n) + \sigma = D\operatorname{div}\vect{\operatorname{grad}}\,n + \sigma = D\Delta n + \sigma$ . وأما السلالم: فقارن $n/t$ بالمقدار $Dn/L^2$ . ∎

ملاحظة 24.6 (الانتشار غير عكوس)

بدّل $t$ بالمقدار $-t$ في معادلة الأمواج، $\partial_t^2 u = c^2 \partial_x^2 u$ ، فلا تتغير: ففيلم موجة يُدار بالمقلوب موجة ممكنة. وافعل ذلك في معادلة الانتشار فتنقلب إشارة الطرف الأيسر: فإن $n(x,-t)$ ليس حلًّا. والغيمة التي تنتشر طبيعية؛ أما التي تتجمع تلقائيًّا في بلورة فلا — فللانتشار سهم زمن، وهو سهم المبدأ الثاني (والفصل 25 يحسب الإنتروبيا التي يحدثها). وتبيّن المعادلة أيضًا أن الانتشار يملّس: فحيث تكون $n$ محليًّا عظمى ( $\partial_x^2 n < 0$ ) تتناقص، وحيث تكون صغرى تتزايد.

مثال 24.7 (كم يستغرق ذلك؟)

$t \sim L^2/D$ . والأكسجين عبر خلية، $L = 10\,\text{µ}\mathrm{m}$ في الماء: $10^{-10}/2 \times 10^{-9} = 0.05\,\mathrm{s}$ — فالانتشار يغذّي الخلية بيسر؛ وعبر $1\,\mathrm{mm}$ من نسيج: $500\,\mathrm{s}$ — أي بطيء جدًّا، ولهذا لا يكون شيء حيّ أثخن من كسر من المليمتر بلا أوعية دموية. والسكر عبر فنجان شاي غير مقلّب، $L = 5\,\mathrm{cm}$ : $2.5 \times 10^{-3}/5 \times 10^{-10} = 5 \times 10^6\,\mathrm{s}$ ، أي شهران — فقلّبه. وعطر عبر غرفة بالانتشار وحده، $5\,\mathrm{m}$ في الهواء: $25/10^{-5} = 3 \times 10^{6}\,\mathrm{s}$ ، أي شهر؛ وأنت تشمّه في دقيقة لأن الهواء يتحرك: والحمل ينقل، والانتشار لا يفعل إلا إتمام المليمترات الأخيرة.

24.3 الحلول المميّزة

قضية 24.8 (النظام المستقر: الغشاء)

بين خزّانين محفوظين عند $n_1$ و $n_2$ ، عبر غشاء سماكته $e$ ومساحته $S$ ، تكون الكثافة المستقرة خطية،

n(x) = n_1 + (n_2 - n_1)\frac{x}{e}, \qquad j_N = D\,\frac{n_1 - n_2}{e}, \qquad \Phi_N = \frac{n_1 - n_2}{R_{\text{d}}}, \quad R_{\text{d}} = \frac{e}{DS}:

فللغشاء مقاومة انتشارية $e/DS$ ، تمامًا كما للسلك $\ell/\gamma S$ — والمقاومات على التسلسل تتجمع، وغشاء رقيق صغير $D$ قد يغلب مع ذلك.

برهان. مستقر، وفي بُعد واحد، وبلا منبع: $\partial_x^2 n = 0$ ، فتكون $n$ تآلفية؛ و $j_N = -D\,\dd n/\dd x$ منتظم. ∎

قضية 24.9 (النظام المستقر: الهندسة الكروية)

حول كرة نصف قطرها $a$ يُحفَظ سطحها عند $n_0$ ، في وسط تؤول فيه $n \to 0$ بعيدًا، تكون الكثافة المستقرة

n(r) = n_0\,\frac{a}{r}, \qquad \Phi_N = 4\pi D a\,n_0 :

فالتيار الكلي المطلَق (أو الممتصّ، بقلب الإشارات) ينمو مع نصف قطر الكرة لا مع مساحتها — فهندسة المصبّ الانتشاري هي هندسة سعة كهربائية ساكنة.

برهان. $\Delta n = \frac{1}{r^2}\frac{\dd}{\dd r}(r^2\,\dd n/\dd r) = 0$ يعطي $n = A + B/r$ ؛ والشروط الحدية تثبّت $A = 0$ و $B = n_0 a$ ؛ ثم $\Phi_N = -4\pi r^2 D\,\dd n/\dd r = 4\pi D n_0 a$ عند كل $r$ (فلا تراكم في النظام المستقر). ∎

المقاطع المستقرة. على اليسار: عبر غشاء تكون الكثافة خطية والتيار منتظمًا. وعلى اليمين: حول كرة تتناقص الكثافة وفق 1/r؛ والتيار الكلي 4π D a n_0 متناسب مع نصف القطر. — المقاطع المستقرة. على اليسار: عبر غشاء تكون الكثافة خطية والتيار منتظمًا. وعلى اليمين: حول كرة تتناقص الكثافة وفق $1/r$ ؛ والتيار الكلي $4\pi D a n_0$ متناسب مع نصف القطر.

قضية 24.10 (الغاوسي المنتشر)

$N$ جسيمًا في وحدة المساحة تُطلَق عند $t = 0$ على المستوي $x = 0$ من وسط لانهائي تنتشر وفق

n(x,t) = \frac{N}{\sqrt{4\pi D t}}\,\exp\Big(-\frac{x^2}{4Dt}\Big) :

أي غاوسي انحرافه المعياري $\sigma(t) = \sqrt{2Dt}$ ، ومساحته ثابتة $N$ (فالجسيمات محفوظة) وقمته متناقصة $\propto 1/\sqrt t$ . وفي ثلاثة أبعاد، تنتشر $N$ جسيمًا تُطلَق عند نقطة وفق $n = N\,(4\pi Dt)^{-3/2}\exp(-r^2/4Dt)$ ، مع $\langle r^2 \rangle = 6Dt$ . ونبضة جسيمات تُطلَق عند سطح نصف فضاء (لا تستطيع مغادرته) تعطي ضعف العبارة أعلاه من أجل $x > 0$ .

برهان. عوّض: مع $u = x^2/4Dt$ ، يكون $\partial_t n = n\,(-1/2t + u/t)$ و $D\,\partial_x^2 n = D\,n\,(-1/2Dt + x^2/4D^2t^2) = n\,(-1/2t + u/t)$ ؛ فهما متساويان. والتنظيم $\int n\,\dd x = N$ ينتج من $\int \eu^{-x^2/4Dt}\dd x = \sqrt{4\pi Dt}$ ، و $\int x^2 n\,\dd x/N = 2Dt$ . وأما الوحدانية (بالنبضة الابتدائية المعطاة) فمقبولة. ∎

الحلّ الغاوسي عند ثلاثة أزمنة: العرض ينمو وفق √ t، والقمة تهبط وفق 1/√ t، والمساحة (أي عدد الجسيمات) تبقى نفسها. — الحلّ الغاوسي عند ثلاثة أزمنة: العرض ينمو وفق $\sqrt t$ ، والقمة تهبط وفق $1/\sqrt t$ ، والمساحة (أي عدد الجسيمات) تبقى نفسها.

قضية 24.11 (تركيز سطحي ثابت)

نصف فضاء $x > 0$ فارغ ابتداءً، ويُحفَظ سطحه عند الكثافة $n_0$ منذ $t = 0$ (كغاز في تماس مع جسم صلب يحلّه)، يمتلئ وفق

n(x,t) = n_0\,\operatorname{erfc}\Big(\frac{x}{2\sqrt{Dt}}\Big), \qquad \operatorname{erfc}(u) = \frac{2}{\sqrt\pi}\int_u^{\infty}\eu^{-s^2}\dd s,

وهو تابع الخطأ المتمّم، الذي يهبط من $1$ عند $u = 0$ إلى $0.16$ عند $u = 1$ و $0.005$ عند $u = 2$ : فعمق النفوذ هو $\sim 2\sqrt{Dt}$ من جديد، والعدد الكلي للجسيمات الممتصّة في وحدة المساحة هو $2n_0\sqrt{Dt/\pi}$ .

برهان. ابحث عن $n = f(u)$ مع $u = x/2\sqrt{Dt}$ : فتصير المعادلة $f'' + 2uf' = 0$ ، ومن ثَمّ $f' \propto \eu^{-u^2}$ وتكون $f$ تابع خطأ؛ والشرطان $f(0) = n_0$ و $f(\infty) = 0$ ينتقيان $\operatorname{erfc}$ . والعدد الممتصّ هو $\int_0^\infty n\,\dd x = n_0\,2\sqrt{Dt}\int_0^\infty\operatorname{erfc}(u)\dd u = 2n_0\sqrt{Dt/\pi}$ . ∎

مثال 24.12 (تقسية الفولاذ)

قطعة فولاذية تُحفَظ عند $900\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ في غاز غني بالكربون تمتصّ الكربون عند سطحها؛ ومع $D = 5 \times 10^{-12}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$ للكربون في الحديد الساخن، تعطي أربع ساعات $2\sqrt{Dt} = 0.5\,\mathrm{mm}$ : أي قشرة قاسية بنصف مليمتر على لبّ متين — وهي تقسية السطح في المسنّنات والمحامل، مؤقَّتة بمقطع تابع الخطأ المتمّم.

24.4 الصورة المجهرية: المسير العشوائي

قضية 24.13 (المسير العشوائي ومعامل الانتشار)

جسيم يخطو خطوة طولها $\ell$ في جهة عشوائية كل $\tau$ (كجزيء بين تصادمين) له، بعد $N = t/\tau$ خطوة، متوسط مربع انتقال

\langle x^2\rangle = N\ell^2 = \frac{\ell^2}{\tau}\,t \quad\text{(بُعد واحد)}, \qquad \langle r^2\rangle = 3\langle x^2\rangle \quad\text{(ثلاثة أبعاد)}.

وبالمقارنة مع الحلّ الغاوسي، $\langle x^2\rangle = 2Dt$ :

D = \frac{\ell^2}{2\tau} \quad\text{(بُعد واحد)}, \qquad D = \frac{\ell^2}{6\tau} = \frac{\ell\,v^*}{6}\ \sim\ \frac{\ell\,v^*}{3} \quad\text{(ثلاثة أبعاد، مع } v^* = \ell/\tau\text{؛ والنظرية الحركية تعطي } \tfrac13) .

ومسافة الماشي تنمو وفق $\sqrt t$ لا وفق $t$ : فليذهب ضعف البعد يحتاج إلى أربعة أضعاف عدد الخطوات.

برهان. $x = \sum_i \epsilon_i\ell$ مع $\epsilon_i = \pm1$ مستقلة (في بُعد واحد): $\langle x^2\rangle = \sum_{i,j}\langle\epsilon_i\epsilon_j\rangle\ell^2 = N\ell^2$ ، إذ تتوسط الحدود المتقاطعة إلى الصفر. وتوزيع $x$ من أجل $N$ الكبيرة يؤول إلى غاوسي (وهي مبرهنة النهاية المركزية، وبرهانها من درس الاحتمالات) — ولهذا يكون القانون العياني معادلة الانتشار؛ وأما قانون فيك نفسه فينتج من عدّ الماشين العابرين مستويًا من الجهتين: $j_N \approx -\tfrac12\ell v^*\,\partial_x n$ (ومتوسط أدقّ يعطي $1/3$ في ثلاثة أبعاد). ∎

مسير عشوائي من 400 خطوة طولها : لم يهم الماشي إلا نحو 20 عن بدايته — وهو قانون √ N الذي يجعل الانتشار بطيئًا على المسافات الطويلة وسريعًا على القصيرة. — مسير عشوائي من $400$ خطوة طولها $\ell$ : لم يهم الماشي إلا نحو $20\ell$ عن بدايته — وهو قانون $\sqrt N$ الذي يجعل الانتشار بطيئًا على المسافات الطويلة وسريعًا على القصيرة.

مثال 24.14 (من الجزيئات إلى $D$ )

الهواء في حرارة الغرفة: المسار الحر الوسطي $\ell \approx 70\,\mathrm{nm}$ ، والسرعة الوسطى $v^* \approx 500\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ : $D \approx \ell v^*/3 = 1.2 \times 10^{-5}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$ ، كما يُقاس. ولينتشر جزيء $1\,\mathrm{m}$ يحتاج إلى $N = (L/\ell)^2 = 2 \times 10^{14}$ تصادم، أي $N\ell/v^* \approx 3 \times 10^{4}\,\mathrm{s}$ — أي ثماني ساعات لرحلة كان يقطعها في $2\,\mathrm{ms}$ لو طار مستقيمًا. وفي سائل، تحقق كرة نصف قطرها $a$ تتقاذفها الجزيئات علاقة ستوكس–أينشتاين $D = k_BT/6\pi\eta a$ (أينشتاين 1905): فمن أجل السكر، $a \approx 0.4\,\mathrm{nm}$ في الماء، $D = 5 \times 10^{-10}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$ ؛ ومن أجل حبيبة $1\,\text{µ}\mathrm{m}$ ، $4 \times 10^{-13}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$ ، أي انتقال ميكرومتر في الثانية — وهي الحركة البراونية التي قاسها بيران ليعدّ عدد أفوغادرو. وفي جسم صلب لا تقفز الذرة إلى موقع مجاور إلا حين يزوّدها تقلّب حراري بطاقة التنشيط: $D = D_0\,\eu^{-E_{\text{a}}/k_BT}$ ، ويتضاعف كل بضع عشرات من الكلفنات قرب $1000\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ .

طريقة 24.15 (تقديرات الانتشار)

(1) عيّن $D$ (الغاز $10^{-5}$ ، والسائل $10^{-9}$ ، والصلب بأرينيوس). (2) والزمن أو المسافة: $t \sim L^2/D$ ، و $L \sim \sqrt{Dt}$ (مع المضبوط $\sqrt{2Dt}$ لعرض الغاوسي، و $2\sqrt{Dt}$ لعمق تابع الخطأ المتمّم). (3) والمستقر: خطي في شريحة ( $R_{\text{d}} = e/DS$ )، و $1/r$ حول كرة ( $\Phi = 4\pi D a\,\Delta n$ )، و $\ln r$ حول أسطوانة. (4) والعابر: غاوسي من أجل نبضة، وتابع خطأ متمّم من أجل سطح محفوظ؛ وتراكَب. (5) واسأل ألا يغلب الحمل. (6) والتحقق المجهري: $D \sim \ell v^*/3$ .

24.5 تمارين

تمرين 24.1 ★

أوجد أزمنة الانتشار $L^2/D$ : من أجل مكعب سكر في قعر فنجان $5\,\mathrm{cm}$ ( $D = 5 \times 10^{-10}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$ )؛ وعطر عبر غرفة $5\,\mathrm{m}$ ( $D = 5 \times 10^{-6}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$ )؛ والأكسجين عبر $1\,\mathrm{mm}$ من نسيج وعبر خلية $10\,\text{µ}\mathrm{m}$ ( $D = 2 \times 10^{-9}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$ ). فأيّ هذه يفعله الانتشار فعلًا؟

حل

حل التمرين 24.1.

$L^2/D$ : السكر $5 \times 10^6\,\mathrm{s}$ (أي شهران)؛ والعطر مثله؛ والنسيج $500\,\mathrm{s}$ ؛ والخلية $0.05\,\mathrm{s}$ . والانتشار يفعل الأخيرة فعلًا (ويفعل ما قبلها بالكاد)؛ والحمل يفعل الباقي.

تمرين 24.2 ★

غشاء سماكته $1\,\text{µ}\mathrm{m}$ ومساحته $1\,\mathrm{cm}^{2}$ ، و $D = 1 \times 10^{-11}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$ في داخله، يفصل محلولًا عند $1\,\mathrm{mol}/\mathrm{m}^{3}$ عن ماء نقي. أوجد كثافة التيار، والتدفق المولي وعدد الجزيئات في الثانية؛ والمقاومة الانتشارية؛ ومع غشاءين كهذا على التسلسل.

حل

حل التمرين 24.2.

$j = D\Delta n/e = 1 \times 10^{-5}\,\mathrm{mol}/\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$ ؛ ومضروبًا في $\times 1 \times 10^{-4}\,\mathrm{m}^{2}$ : $1 \times 10^{-9}\,\mathrm{mol}/\mathrm{s}$ ، أي $6 \times 10^{14}$ جزيء في الثانية؛ و $R_{\text{d}} = e/DS = 1 \times 10^{9}\,\mathrm{s}/\mathrm{m}^{3}$ ؛ ومع اثنين على التسلسل: النصف.

تمرين 24.3 ★

طبقة رقيقة من صباغ ( $N = 1 \times 10^{20}\,\mathrm{m}^{-2}$ ) تُطلَق في الماء، و $D = 1 \times 10^{-9}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$ . أوجد العرض $\sqrt{2Dt}$ وكثافة القمة بعد $1\,\mathrm{s}$ ، و $1\,\mathrm{h}$ ، و $1\,\mathrm{d}$ . ومتى تهبط القمة إلى $1\%$ من قيمتها عند $1\,\mathrm{s}$ ؟

حل

حل التمرين 24.3.

$\sqrt{2Dt}$ : $45\,\text{µ}\mathrm{m}$ ، $2.7\,\mathrm{mm}$ ، $13\,\mathrm{mm}$ ؛ والقمة $N/\sqrt{4\pi Dt}$ : $9 \times 10^{23}\,\mathrm{m}^{-3}$ ، $1.5 \times 10^{22}\,\mathrm{m}^{-3}$ ، $3 \times 10^{21}\,\mathrm{m}^{-3}$ ؛ و $1\%$ بعد زمن أطول $10^4$ مرة: $1 \times 10^{4}\,\mathrm{s}$ .

تمرين 24.4 ★

جزيئات الهواء: $\ell = 70\,\mathrm{nm}$ ، و $v^* = 500\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ . قدّر $D$ ؛ وعدد التصادمات وزمن الانتشار على $1\,\mathrm{m}$ ؛ وقارن ذلك بالطيران المستقيم. وأعد ذلك لجزيء في الماء ( $\ell \approx 0.1\,\mathrm{nm}$ ، و $v^* \approx 500\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ): أيكون التقدير صحيحًا، ولمَ ليس بالضبط؟

حل

حل التمرين 24.4.

$D \approx 1.2 \times 10^{-5}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$ ؛ و $N = (L/\ell)^2 = 2 \times 10^{14}$ ؛ و $N\ell/v^* = 3 \times 10^{4}\,\mathrm{s}$ في وجه $2\,\mathrm{ms}$ . وأما الماء: فالتقدير يعطي $2 \times 10^{-8}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$ ، أي عشرة أضعاف القيم المقيسة — ففي السائل يخشخش الجزيء في قفص جيرانه وتكون خطواته المتتالية متعاكسة الارتباط؛ فالخطوة الفعّالة أقصر.

تمرين 24.5 ★★

الأكسجين في نسيج. شريحة نسيج سماكتها $2a$ تستهلك الأكسجين بالمعدل المنتظم $q$ (في وحدة الحجم)؛ ووجهاها محفوظان عند $n_0$ . (أ) اكتب المعادلة المستقرة مع المصبّ وحلّها. (ب) وشرط بلوغ الأكسجين المركز. (ج) ومن أجل $D = 2 \times 10^{-9}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$ ، و $n_0 = 0.2\,\mathrm{mol}/\mathrm{m}^{3}$ ، و $q = 0.01\,\mathrm{mol}/\mathrm{m}^{3}/\mathrm{s}$ : أوجد أعظم $a$ . (د) واستنتج ما يخصّ تباعد الشعيرات.

حل

حل التمرين 24.5.

(أ) $Dn'' = q$ : $n = n_0 - q(a^2 - x^2)/2D$ . (ب) و $n(0) \ge 0$ : $a \le \sqrt{2Dn_0/q}$ . (ج) و $0.28\,\mathrm{mm}$ . (د) فلا تستطيع خلية أن تبعد أكثر من بضع مئات من الميكرومترات عن شعيرة (وعمليًّا $50$ – $100\,\text{µ}\mathrm{m}$ في النسيج الفعّال).

تمرين 24.6 ★★

حبيبة تنحلّ. كرة سكر نصف قطرها $a = 1\,\mathrm{mm}$ في ماء ساكن تحفظ سطحها عند كثافة الإشباع $n_{\text{s}} = 5800\,\mathrm{mol}/\mathrm{m}^{3}$ ؛ والماء نقي بعيدًا؛ و $D = 5 \times 10^{-10}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$ . (أ) أوجد المقطع المستقر والتيار الكلي. (ب) وعدد المولات في الحبيبة (والكثافة $1590\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ ، والكتلة المولية $342\,\mathrm{g}/\mathrm{mol}$ ) وزمن الانحلال (خذ التيار ثابتًا). (ج) ولمَ يكون الزمن الحقيقي أطول، ولمَ يفيد التقليب هذه الفائدة؟ (د) وبيّن أن المقطع المستقر من أجل أسطوانة طويلة جدًّا لوغاريتمي وأن المسألة لا حلّ لها في وسط لانهائي.

حل

حل التمرين 24.6.

(أ) $n = n_{\text{s}}a/r$ ، و $\Phi = 4\pi D a n_{\text{s}} = 3.6 \times 10^{-8}\,\mathrm{mol}/\mathrm{s}$ . (ب) و $1.95 \times 10^{-5}\,\mathrm{mol}$ ؛ و $540\,\mathrm{s}$ . (ج) وقشرة $1/r$ تحتاج إلى $\sim a^2/D \approx 2000\,\mathrm{s}$ لتتكوّن والحبيبة تتقلص؛ والتقليب يستبدل بالقشرة التي سماكتها $\sim a$ طبقةً حدية $\delta \ll a$ ويضرب التدفق في $a/\delta$ . (د) و $(rn')' = 0$ : $n = A + B\ln r$ ، وهو لا يمكن أن ينعدم في اللانهاية: فلا حالة مستقرة — إذ تظل غيمة الأسطوانة تكبر (لوغاريتميًّا).

تمرين 24.7 ★★

الحفظ واللاعكوسية. (أ) من المعادلة، بيّن أن $\int n\,\dd x$ ثابت وأن $\dd\langle x^2\rangle/\dd t = 2D$ (كامِل بالتجزئة، و $n \to 0$ في اللانهاية). (ب) وبيّن أن $n(x,-t)$ لا تحقق المعادلة. (ج) وماذا يصير الحلّ الغاوسي من أجل $t < 0$ ؟ (د) وبيّن أن $\int n^2\,\dd x$ لا يمكن إلا أن يتناقص: فالانتشار يسطّح.

حل

حل التمرين 24.7.

(أ) $\dd/\dd t\int n = D[n']_{-\infty}^{\infty} = 0$ ؛ و $\dd/\dd t\int x^2 n = D\int x^2 n'' = 2D\int n = 2DN$ . (ب) و $\partial_t[n(x,-t)] = -D\,\partial_x^2 n$ : فتنقلب الإشارة. (ج) ومن أجل $t < 0$ يكون “العرض” $2Dt$ سالبًا: فلا وجود لحالة كهذه — إذ لا يمكن ردّ النبضة عن انتشارها. (د) و $\dd/\dd t\int n^2 = 2D\int nn'' = -2D\int n'^2 \le 0$ .

تمرين 24.8 ★★

الكربنة. الكربون في الحديد الساخن، $D = 5 \times 10^{-12}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$ عند $900\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ ؛ والسطح محفوظ عند $n_0$ . (أ) تحقق من أن $n_0 \operatorname{erfc}(x/2\sqrt{Dt})$ يحلّ المعادلة. (ب) وأوجد العمق الذي تكون فيه $n = 0.1\,n_0$ بعد $4\,\mathrm{h}$ (و $\operatorname{erfc}(1.16) = 0.1$ ). (ج) والزمن اللازم لضعف العمق. (د) وعند $950\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ يكون $D$ أكبر بمقدار $2.5$ مرة: أوجد الزمن الموفَّر.

حل

حل التمرين 24.8.

(أ) القضية 24.11. (ب) و $x = 2 \times 1.16\sqrt{Dt} = 0.62\,\mathrm{mm}$ . (ج) و $4\times$ : $16\,\mathrm{h}$ . (د) و $4/2.5 = 1.6\,\mathrm{h}$ .

تمرين 24.9 ★★

ستوكس–أينشتاين. $D = k_BT/6\pi\eta a$ ، وللماء $\eta = 1 \times 10^{-3}\,\mathrm{Pa}\,\mathrm{s}$ ، وعند $300\,\mathrm{K}$ . (أ) أوجد $D$ من أجل $a = 1\,\text{µ}\mathrm{m}$ و الانتقال التربيعي الوسطي في $1\,\mathrm{s}$ و $1\,\mathrm{min}$ . (ب) و $D$ من أجل بروتين، $a = 3\,\mathrm{nm}$ . (ج) وللسكر $D = 5 \times 10^{-10}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$ : أوجد نصف القطر الفعّال. (د) وكيف يعطي قياس $\langle x^2\rangle$ لحبيبة تحت المجهر عددَ أفوغادرو؟

حل

حل التمرين 24.9.

(أ) $D = 2.2 \times 10^{-13}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$ ؛ و $\sqrt{2Dt}$ : $0.66\,\text{µ}\mathrm{m}$ ، $5\,\text{µ}\mathrm{m}$ . (ب) و $7 \times 10^{-11}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$ . (ج) و $a = k_BT/6\pi\eta D = 0.44\,\mathrm{nm}$ . (د) و $\langle x^2\rangle = 2Dt = RTt/3\pi\eta a N_A$ : فكل مقدار سوى $N_A$ مقيس.

تمرين 24.10 ★★★

تأخّر الغشاء. غشاء سماكته $e$ ، فارغ ابتداءً، يُعرَّض على أحد وجهيه للكثافة $n_1$ عند $t = 0$ ، والوجه الآخر محفوظ عند $0$ . (أ) ما التدفق المستقر النهائي؟ (ب) وبرهن أن التدفق على الوجه البعيد يرتفع خلال زمن $\sim e^2/D$ (والتأخّر المضبوط $e^2/6D$ ). (ج) ولصاقة دواء مع $e = 20\,\text{µ}\mathrm{m}$ ، و $D = 1 \times 10^{-13}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$ عبر الطبقة الخارجية للجلد: أوجد زمن التأخّر. (د) ولمَ يفيد التأخّر في قياس $D$ ويفيد التدفق المستقر في قياس $D \times$ الانحلالية؟

حل

حل التمرين 24.10.

(أ) $Dn_1S/e$ . (ب) وتحتاج الجسيمات إلى $\sim e^2/D$ لتعبر. (ج) و $e^2/6D = 670\,\mathrm{s}$ ، أي إحدى عشرة دقيقة. (د) والتأخّر يعطي $D$ وحده؛ والتدفق المستقر يعطي $D \times$ (الانحلالية): أي قياسان، ومجهولان.

تمرين 24.11 ★★★

الماصّ التامّ. كرة نصف قطرها $a$ تمتصّ كل جسيم يلامسها، في وسط عند $n_\infty$ بعيدًا. (أ) أوجد المقطع المستقر والتيار الكلي الملتقَط. (ب) وجرثومة، $a = 1\,\text{µ}\mathrm{m}$ ، في محلول سكر عند $n_\infty = 6 \times 10^{20}\,\mathrm{m}^{-3}$ ، و $D = 5 \times 10^{-10}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$ : أوجد الجزيئات الملتقَطة في الثانية. (ج) ويغطّي سطحها $N_{\text{r}}$ مستقبلًا ماصًّا صغيرًا نصف قطره $s$ ، والباقي عاكس: وكل مستقبل وحده يلتقط $\approx 4Ds n_\infty$ (كقرص)؛ بيّن أن الخلية كلها تلتقط قرابة العظمى متى صار $N_{\text{r}} s \gg a$ ، أي بكسر ضئيل من سطحها مغطًّى. (د) وعلّق: لمَ تستطيع الخلايا تحمّل آلاف المستقبلات المختلفة.

حل

حل التمرين 24.11.

(أ) $n = n_\infty(1 - a/r)$ ، و $\Phi = 4\pi D a n_\infty$ . (ب) و $3.8 \times 10^6$ في الثانية. (ج) وتعمل المستقبلات عمل مواصلات على التفرّع ثم على التسلسل مع القشرة الكروية: $\Phi \approx 4\pi Dan_\infty \cdot N_{\text{r}}s/(N_{\text{r}}s + \pi a)$ ؛ ونصف العظمى عند $N_{\text{r}}s = \pi a$ : فمع $s = 1\,\mathrm{nm}$ ، يكون $N_{\text{r}} \approx 3000$ ، مغطّيًا $N_{\text{r}}s^2/4a^2 \approx 10^{-3}$ من السطح. (د) فكل نوع من المستقبلات يحتاج إلى مساحة مهمَلة ليكون الالتقاط شبه أعظمي: فتستطيع الخلية مراقبة آلاف المواد معًا.

تمرين 24.12 ★★★

حلّها على شبكة. قسّم الفضاء إلى خلايا حجمها $\Delta x$ والزمن إلى خطوات $\Delta t$ ؛ واكتب $n_i^{k+1} = n_i^k + \alpha\,(n_{i+1}^k - 2n_i^k + n_{i-1}^k)$ مع $\alpha = D\Delta t/\Delta x^2$ . (أ) برّر ذلك من المعادلة. (ب) وفسّره مسيرًا عشوائيًّا حين $\alpha = 1/2$ . (ج) وبيّن أنه من أجل $\alpha > 1/2$ تنمو كثافة تتناوب $+,-,+,-$ من خلية إلى خلية: أي عدم استقرار. (د) ومن أجل مقطع البور في المسألة أدناه ( $D = 1.5 \times 10^{-17}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$ ، و $\Delta x = 10\,\mathrm{nm}$ )، أوجد أكبر $\Delta t$ مستقر وعدد الخطوات في ساعة.

حل

حل التمرين 24.12.

(أ) فرق أمامي في $t$ ، وفرق ثانٍ مركزي في $x$ . (ب) ومع $\alpha = 1/2$ : $n_i^{k+1} = (n_{i-1}^k + n_{i+1}^k)/2$ — أي إن كل جسيم يقفز يمينًا أو يسارًا باحتمال $1/2$ . (ج) ومن أجل $n_i = (-1)^i$ ، $n^{k+1} = (1 - 4\alpha)n^k$ : و $|1 - 4\alpha| > 1$ حين $\alpha > 1/2$ . (د) و $\Delta t \le \Delta x^2/2D = 3.3\,\mathrm{s}$ ؛ ونحو $1100$ خطوة.

24.6 مسألة: رقاقة مشوبة وغرفة معطَّرة

مسألة 24.1

مسألة نهاية الأسبوع — الانتشار في جسم صلب وفي غاز

الجزء الأول — دفع البور في السيليسيوم. ينتشر البور في السيليسيوم وفق $D = D_0\,\eu^{-E_{\text{a}}/k_BT}$ ، مع $D_0 = 7.6 \times 10^{-5}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$ ، و $E_{\text{a}} = 3.46\,\mathrm{eV}$ ؛ و $k_B = 8.62 \times 10^{-5}\,\mathrm{eV}/\mathrm{K}$ . وقد رُسّبت جرعة $Q = 1 \times 10^{18}\,\mathrm{m}^{-2}$ من البور في طبقة رقيقة جدًّا على سطح رقاقة تشويبها الخلفي $n_B = 1 \times 10^{21}\,\mathrm{m}^{-3}$ ؛ ثم تُسخَّن (“تُدفَع إلى الداخل”) عند $1100\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ ساعةً واحدة. والسطح يعكس البور (فلا هروب).

احسب $D$ عند $1100\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ وعند $1000\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ . وبأي عامل يتغير على هذه $100\,\mathrm{K}$ ؟
ولمَ يكون المقطع بعد الدفع $n(x,t) = (Q/\sqrt{\pi Dt})\exp(-x^2/4Dt)$ لا الغاوسي في القضية 24.10؟ وتحقق من أن تكامله على $x > 0$ هو $Q$ .
والتركيز السطحي بعد ساعة.
وعمق الوصلة $x_j$ هو حيث $n = n_B$ : احسبه.
وكيف يتغير $x_j$ إذا دام الدفع أربع ساعات؟ (وانتبه: فالتركيز السطحي يتغير أيضًا.)
والتغير النسبي في $D$ من أجل خطأ $10\,\mathrm{K}$ في الحرارة؛ وضبط الحرارة اللازم ليكون $x_j$ بدقة $1\,\%$ .
وعند حرارة الغرفة، $D$ : قدّر الزمن اللازم لينتقل المقطع بتباعد ذري واحد، واستنتج.

الجزء الثاني — الترسيب المسبق. وقد أُدخلت الجرعة نفسها عند $950\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ من غاز يحفظ السطح عند حدّ الانحلالية $n_0 = 2 \times 10^{26}\,\mathrm{m}^{-3}$ مدة $30\,\mathrm{min}$ .

أوجد $D$ عند $950\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ و $\sqrt{Dt}$ من أجل $30\,\mathrm{min}$ .
والمقطع في نهاية الترسيب المسبق؛ والعمق الذي تكون عنده $n = n_B$ (و $\operatorname{erfc}(3.2) \approx 6 \times 10^{-6}$ ).
والجرعة المدخَلة؛ وقارنها بجرعة $Q$ في الجزء الأول.
ولمَ يُرسَّب مسبقًا عند حرارة أدنى ويُدفَع عند حرارة أعلى؟
وبرّر أنه يمكن، في أثناء الدفع، معاملة الطبقة المرسَّبة مسبقًا كأنها رقيقة لانهائيًّا.

الجزء الثالث — عطر في غرفة. قطرة عطر ( $1\,\mathrm{mg}$ ، وكتلتها المولية $150\,\mathrm{g}/\mathrm{mol}$ ) تتبخر دفعة واحدة في ركن غرفة ساكنة عند $300\,\mathrm{K}$ و $1\,\mathrm{bar}$ . وخذ قطر تصادم جزيء العطر مع الهواء $d = 0.5\,\mathrm{nm}$ والكثافة العددية للهواء $n_{\text{a}} = P/k_BT$ .

أوجد عدد الجزيئات المطلَقة؛ والكثافة العددية للهواء.
والمسار الحر الوسطي $\ell = 1/(\sqrt2\,\pi d^2 n_{\text{a}})$ لجزيء العطر، وسرعته الوسطى $v^* = \sqrt{8RT/\pi M}$ .
وقدّر $D = \ell v^*/3$ .
وزمن الانتشار على $5\,\mathrm{m}$ ؛ وإذا انساق الهواء بسرعة $0.1\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ؟
واكتب الغاوسي الثلاثي الأبعاد للغيمة (وهي في ركن: فالجدران تعكس، فاضرب في $8$ ). وعند نقطة على بعد $1\,\mathrm{m}$ ، في أي لحظة يكون التركيز أعظم ما يكون؟
وأعظم كثافة عددية هناك؛ وقارنها بعتبة إدراك قدرها $1 \times 10^{13}\,\mathrm{m}^{-3}$ .
وحرف الغيمة: على أي بعد تكون الكثافة $10^{-6}$ من قيمتها المركزية بعد يوم؟
وعدد التصادمات التي يعانيها جزيء عطر في يوم.

الجزء الرابع — الماشي وسهم الزمن.

ماشٍ يخطو $N$ خطوة $\pm\ell$ على مستقيم: أوجد متوسط الانتقال ومتوسط مربعه؛ وبيّن أن $\langle x^2\rangle = 2Dt$ يعيّن $D = \ell^2/2\tau$ .
واحتمال أن يعود الماشي إلى بدايته بالضبط بعد $N = 2$ و $4$ و $6$ خطوات؛ وعلّق على المنحى.
وصوّر غيمة منتشرة وأدر الفيلم بالمقلوب: فماذا ترى، وأي معادلة تُنتهَك؟
وفسّر في فقرة كيف تنتج الحركة العكوسة للجزيئات معادلةَ الانتشار غير العكوسة.
ولخّص: سلّم الطول، وسلّم الزمن، والمقدار الوحيد الذي يميّز غازًا وسائلًا وجسمًا صلبًا ساخنًا.

حل

حل المسألة 24.1.

1. $k_BT = 0.118\,\mathrm{eV}$ ، و $E_{\text{a}}/k_BT = 29.2$ : $D = 1.6 \times 10^{-17}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$ ؛ وعند $1000\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ : $1.6 \times 10^{-18}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$ — أي بعامل $10$ .

2. يُعالَج السطح العاكس بصورة النبضة المرآوية، فتتضاعف السعة على $x > 0$ ؛ و $\int_0^\infty = (Q/\sqrt{\pi Dt}) \cdot \tfrac12\sqrt{4\pi Dt} = Q$ .

3. $Dt = 5.8 \times 10^{-14}\,\mathrm{m}^{2}$ ؛ و $\sqrt{\pi Dt} = 0.43\,\text{µ}\mathrm{m}$ ؛ و $n_{\text{s}} = 2.3 \times 10^{24}\,\mathrm{m}^{-3}$ .

4. $\eu^{-x^2/4Dt} = 4.3 \times 10^{-4}$ : $x_j^2 = 4Dt \times 7.75$ ، و $x_j = 1.3\,\text{µ}\mathrm{m}$ .

5. ينتصف $n_{\text{s}}$ ، ويهبط اللوغاريتم إلى $7.05$ ، ويتضاعف $4Dt$ أربع مرات: $x_j = 2.6\,\text{µ}\mathrm{m}$ — أي أقلّ من الضعف.

6. $\delta D/D = (E_{\text{a}}/k_BT)\,\delta T/T = 21\%$ ؛ و $x_j \propto \sqrt{Dt}$ تقريبًا، فيحتاج $1\%$ على $x_j$ إلى $2\%$ على $D$ : أي $1\,\mathrm{K}$ .

7. $E_{\text{a}}/k_BT = 134$ : $D \approx 10^{-62}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$ ؛ وتباعد ذري واحد ( $0.25\,\mathrm{nm}$ ) في $a^2/D \sim 10^{43}\,\mathrm{s}$ : أي مجمَّد.

8. $E_{\text{a}}/k_BT = 32.8$ : $D = 4.3 \times 10^{-19}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$ ؛ و $\sqrt{Dt} = 28\,\mathrm{nm}$ .

9. $n_0\operatorname{erfc}(x/2\sqrt{Dt})$ ؛ و $n_B/n_0 = 5 \times 10^{-6}$ : $x \approx 6.4\sqrt{Dt} = 0.18\,\text{µ}\mathrm{m}$ .

10. $2n_0\sqrt{Dt/\pi} = 6.3 \times 10^{18}\,\mathrm{m}^{-2}$ : أي ستة أضعاف $Q$ — فالجرعة تنمو وفق $\sqrt t$ ويحددها الزمن.

11. الحرارة المنخفضة: $D$ صغير، والجرعة يضبطها الزمن، والعمق ضحل؛ والحرارة العالية: تُدفَع الجرعة الثابتة عميقًا وسريعًا.

12. $0.18\,\text{µ}\mathrm{m}$ في وجه $1.3\,\text{µ}\mathrm{m}$ : أي رقيقة.

13. $4 \times 10^{18}$ جزيء؛ و $n_{\text{a}} = 2.4 \times 10^{25}\,\mathrm{m}^{-3}$ .

14. $\ell = 37\,\mathrm{nm}$ ؛ و $v^* = 206\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ .

15. $D \approx 2.5 \times 10^{-6}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$ .

16. $L^2/D = 10^7\,\mathrm{s}$ ، أي أشهر؛ ومع الانسياق: $50\,\mathrm{s}$ .

17. $n = 8N(4\pi Dt)^{-3/2}\eu^{-r^2/4Dt}$ ؛ وهو أعظم عند $t^* = r^2/6D = 6.7 \times 10^{4}\,\mathrm{s}$ ، أي ثماني عشرة ساعة.

18. $n_{\max} = 8N(4\pi Dt^*)^{-3/2}\eu^{-3/2} \approx 2 \times 10^{18}\,\mathrm{m}^{-3}$ ، أي فوق العتبة بكثير: فيُشَمّ، في النهاية.

19. $r^2 = 4Dt\ln 10^6 = 12\,\mathrm{m}^{2}$ : أي $3.5\,\mathrm{m}$ .

20. $v^*t/\ell \approx 5 \times 10^{14}$ .

21. $\langle x\rangle = 0$ ، و $\langle x^2\rangle = N\ell^2 = \ell^2 t/\tau$ ؛ و $D = \ell^2/2\tau$ .

22. $\binom{N}{N/2}/2^N$ : $1/2$ ، $3/8$ ، $5/16$ — أي متناقص (وفق $1/\sqrt{\pi N/2}$ ): فالماشي يبتعد وفق $\sqrt N$ .

23. تتجمع الغيمة في نقطة — وهو ما لا يُرى قط؛ وهو ينتهك معادلة الانتشار، لا قوانين الميكانيك.

24. كل تصادم عكوس، لكن الحالة الابتدائية (أي الجسيمات كلها معًا) استثنائية: فكل تاريخ مجهري تقريبًا منها ينتشر، ويحتاج العكس إلى تآمر السرعات كلها. ومتوسط المسير العشوائي لا يبقي إلا ما هو نمطي ويطرح تلك المعلومة؛ فاللاعكوسية إحصائية.

25. $L \sim \sqrt{Dt}$ ، و $t \sim L^2/D$ ؛ و $D \sim \ell v^*/3$ ، أي الخطوة بين التصادمات: $10^{-5}$ ، $10^{-9}$ ، $10^{-17}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$ .

المصطلحات المعرَّفة في هذا الفصل

الكثافة وتيار الجسيمات

عرض كل المصطلحات (393) في المسرد