الفيزياء الجامعية — السنة الثانية · Bachelor Year 2

29عامل بولتزمان

اصعد جبلًا فيرقّ الهواء: فعلى ثلاثة آلاف متر يهبط الضغط إلى $0.7\,\mathrm{bar}$ ، وعلى قمة إفرست إلى ثلث قيمته عند مستوى البحر. ولا شيء يحصر الجوّ من فوق؛ بل تمسكه الثقالة وينشره الاضطراب الحراري، و المساومة بينهما أسّية، $n \propto \eu^{-mgz/k_BT}$ — فنسبة الطاقة الكامنة للجزيء إلى $k_BT$ تقرر كم يندر هناك في العلاء. والأسّية نفسها تحكم نسبة الذرات في مستوٍ مثار، وعدد الجزيئات السريعة كفاية للإفلات من كوكب، ومغنطة جسم بارامغناطيسي، والجمهرات التي على الليزر أن يقلبها، والكمّات التي يعدّها قانون بلانك: وهي عامل بولتزمان، وهي أنفع صيغة مفردة في الفيزياء الإحصائية. وهذا الفصل يسوّغها بالجوّ، ويذكرها في العام، ويستخرج منها، بمجاميع وتكاملات غاوسية لا غير، النظامَ ذا المستويين وسعته الحرارية، وتوزّع الطاقة بالتساوي، وتوزيع سرعات الجزيئات، وقانون كوري في البارامغناطيسية — ومعها، في الطريق، متوسط طاقة مذبذب كمومي، وهو صيغة بلانك.

من قمة، ضباب الجوّ الأسفل والزرقة العميقة فوقه: فكثافة الهواء تهبط بالعامل كل 8\, km — وهو عامل بولتزمان للطاقة الكامنة للجزيء في ثقالة الأرض. — من قمة، ضباب الجوّ الأسفل والزرقة العميقة فوقه: فكثافة الهواء تهبط بالعامل $\eu$ كل $8\,\mathrm{km}$ — وهو عامل بولتزمان للطاقة الكامنة للجزيء في ثقالة الأرض.

29.1 الجوّ متساوي الحرارة

قضية 29.1 (القانون البارومتري)

في جوّ من غاز مثالي (كتلته الجزيئية $m$ ) عند حرارة منتظمة $T$ في ثقالة منتظمة $g$ ، يهبط الضغط والكثافة العددية أسّيًّا مع الارتفاع:

P(z) = P_0\,\eu^{-z/H}, \qquad n(z) = n_0\,\eu^{-mgz/k_BT}, \qquad H = \frac{k_BT}{mg} ,

مع ارتفاع السلّم $H \approx 8.4\,\mathrm{km}$ من أجل الهواء عند $288\,\mathrm{K}$ . والأسّ هو نسبة الطاقة الكامنة $mgz$ للجزيء إلى الطاقة الحرارية $k_BT$ .

برهان. الهيدروستاتيك، $\dd P/\dd z = -\rho g = -nmg$ ، وقانون الغاز المثالي $P = nk_BT$ : $\dd P/\dd z = -(mg/k_BT)P$ ، أي أسّية. والجوّ الحقيقي يبرد مع الارتفاع (نحو $6.5\,\mathrm{K}/\mathrm{km}$ في أدنى عشرة كيلومترات)، وذلك يجعل الهبوط أسرع قليلًا؛ والنموذج متساوي الحرارة جيد في حدود $20\%$ . ∎

الجوّ متساوي الحرارة: يهبط الضغط والكثافة بالعامل 1/ في كل ارتفاع سلّم H = k_BT/mg؛ ولغاز أخفّ H أكبر — لكن دون 100\, km يبقي الاضطراب الهواء ممزوجًا، وتشترك الغازات كلها في H الوسطي. — الجوّ متساوي الحرارة: يهبط الضغط والكثافة بالعامل $1/\eu$ في كل ارتفاع سلّم $H = k_BT/mg$ ؛ ولغاز أخفّ $H$ أكبر — لكن دون $100\,\mathrm{km}$ يبقي الاضطراب الهواء ممزوجًا، وتشترك الغازات كلها في $H$ الوسطي.

29.2 عامل بولتزمان

مبرهنة 29.2 (عامل بولتزمان)

النظام المتوازن حراريًّا مع منظِّم حراري عند الحرارة $T$ يوجد في حالة مجهرية معينة طاقتها $E$ باحتمال متناسب مع

\eu^{-E/k_BT} .

ومن ثَمّ، من أجل مجموعة حالات منفصلة طاقاتها $E_i$ ،

p_i = \frac{\eu^{-E_i/k_BT}}{Z}, \qquad Z = \sum_i\eu^{-E_i/k_BT} ,

حيث يُنظِّم المجموع $Z$ (وهو تابع التقسيم) الاحتمالات؛ وتُعمَر حالتان (أو مستويان متساويا الانحلال) بالنسبة $N_2/N_1 = \eu^{-(E_2 - E_1)/k_BT}$ ؛ ومن أجل متغير مستمرّ (موضع، أو سرعة) تكون كثافة الاحتمال متناسبة مع $\eu^{-E/k_BT}$ في ذلك المتغير. وعند $300\,\mathrm{K}$ ، $k_BT = 4.1 \times 10^{-21}\,\mathrm{J} = 0.026\,\mathrm{eV}$ : فكل ما يكلّف أكثر من هذا بكثير نادر، وكل ما يكلّف أقلّ منه بكثير يُثار بحرية.

برهان. القانون البارومتري هو العامل من أجل الطاقة الكامنة $mgz$ ؛ ونقبل عموميته، لكن هذه هي الحجة (وتُحكَم في مجلد السنة الثالثة). فالمنظِّم $R$ كبير؛ ومتى كان نظامنا الصغير في حالة طاقتها $E$ ، كانت للمنظِّم الطاقة $E_{\text{كلي}} - E$ ، وأمكن أن يكون في $\Omega_R(E_{\text{كلي}} - E)$ حالة مجهرية، وكلها متساوية الاحتمال (وهي المصادرة الأساسية من أجل كلٍّ معزول). ومن ثَمّ $p(E) \propto \Omega_R(E_{\text{كلي}} - E)$ . ومع تعريف بولتزمان للإنتروبيا، $S_R = k_B\ln\Omega_R$ ، و $1/T = \dd S_R/\dd E_R$ من أجل المنظِّم، يكون $\ln\Omega_R(E_{\text{كلي}} - E) \approx \ln\Omega_R(E_{\text{كلي}}) - E/k_BT$ لأن $E \ll E_{\text{كلي}}$ ؛ ثم خذ الأسّية. ∎

مثال 29.3 (جمهرات المستويات الذرية)

يقع أول مستوٍ مثار للهدروجين على $10.2\,\mathrm{eV}$ فوق الحالة الأساسية: فعند $300\,\mathrm{K}$ ، $\eu^{-395}$ — أي ولا ذرة واحدة في الكون؛ وعند $6000\,\mathrm{K}$ ، وهي حرارة سطح الشمس، $\eu^{-19.7} \approx 3 \times 10^{-9}$ (مضروبًا في انحلال قدره $4$ ): وهو كافٍ، في عمود الغاز الشمسي الهائل، من أجل خطوط امتصاص بالمر، وهي أشدّ ما تكون في النجوم قرب $10\,000\,\mathrm{K}$ . وخط الصوديوم D ( $2.1\,\mathrm{eV}$ ) في لهب $2500\,\mathrm{K}$ : $\eu^{-9.8} = 6 \times 10^{-5}$ من الذرات مثارة، وهو ما يعطي اللهب الأصفر لرشة ملح. وأما وسط الليزر في الفصل 23: فالعامل يقول إن مستواه الأعلى فارغ عند التوازن، وعلى المضخة أن تصارعه.

29.3 المستويات المنفصلة: النظام ذو المستويين والمذبذب

قضية 29.4 (متوسط الطاقة من تابع التقسيم)

مع $\beta = 1/k_BT$ ،

\langle E\rangle = \sum_ip_iE_i = -\frac{\partial\ln Z}{\partial\beta}, \qquad C = \frac{\dd\langle E\rangle}{\dd T} .

برهان. $\partial_\beta Z = -\sum E_i\eu^{-\beta E_i}$ ، ثم اقسم على $Z$ . ∎

قضية 29.5 (النظام ذو المستويين)

$N$ نظامًا مستقلًّا لكلٍّ منها مستويان $0$ و $\varepsilon$ (كسبينات في حقل، أو ذرات لها مستوٍ مثار واحد، أو عيوب لها موضعان):

\frac{N_2}{N} = \frac{1}{\eu^{\varepsilon/k_BT} + 1}, \qquad \langle E\rangle = \frac{N\varepsilon}{\eu^{\varepsilon/k_BT} + 1}, \qquad C = Nk_B\,\frac{x^2\eu^x}{(\eu^x + 1)^2}, \quad x = \frac{\varepsilon}{k_BT} .

والمستوي الأعلى فارغ عند الحرارة المنخفضة وممتلئ إلى النصف على الأكثر عند الحرارة العالية (فلا ينقلب قط عند التوازن)؛ والسعة الحرارية تنعدم عند الطرفين وتبلغ قمتها $0.44\,Nk_B$ قرب $k_BT = 0.42 \varepsilon$ — وهي شذوذ شوتكي، وهي بصمة فجوة في الطيف.

برهان. $Z = 1 + \eu^{-x}$ ؛ و $p_2 = \eu^{-x}/(1 + \eu^{-x})$ ؛ ثم اشتقّ $\langle E\rangle$ بالنسبة إلى $T$ . ∎

النظام ذو المستويين: الجمهرتان بدلالة الحرارة (فالمستوي الأعلى يمتلئ نحو النصف، ولا يتجاوزه) والسعة الحرارية لشوتكي، وهي نتوء حيث تطابق k_BT الفجوةَ. — النظام ذو المستويين: الجمهرتان بدلالة الحرارة (فالمستوي الأعلى يمتلئ نحو النصف، ولا يتجاوزه) والسعة الحرارية لشوتكي، وهي نتوء حيث تطابق $k_BT$ الفجوةَ.

قضية 29.6 (المذبذب الكمومي وصيغة بلانك)

لمذبذب توافقي تواتره $\nu$ المستويات $E_n = nh\nu$ (زائدًا ثابتًا)؛ وعند الحرارة $T$ ،

Z = \frac{1}{1 - \eu^{-h\nu/k_BT}}, \qquad \langle E\rangle = \frac{h\nu}{\eu^{h\nu/k_BT} - 1} \ \longrightarrow\ \begin{cases} k_BT & (h\nu \ll k_BT), \\ h\nu\,\eu^{-h\nu/k_BT} & (h\nu \gg k_BT). \end{cases}

وهذا متوسط طاقة نمط من حقل الإشعاع الذي يضربه قانون بلانك (الفصل 26) في عدد الأنماط، وهو متوسط طاقة اهتزاز في جسم صلب: فعند الحرارة العالية $k_BT$ الكلاسيكي، وعند الحرارة المنخفضة نمط مجمَّد.

برهان. متتالية هندسية، ثم $-\partial_\beta\ln Z$ . ∎

مثال 29.7 (السعة الحرارية للأجسام الصلبة)

عامِل كل ذرة من جسم صلب معاملة ثلاثة مذبذبات لها التواتر نفسه $\nu$ (أينشتاين، 1907): $C = 3Nk_B\,x^2\eu^x/(\eu^x - 1)^2$ مع $x = h\nu/k_BT$ . وفوق $\theta_{\text{E}} = h\nu/k_B$ ، يؤول $C \to 3Nk_B = 3R$ في المول — وهو قانون دولونغ وبوتي ( $25\,\mathrm{J}/\mathrm{mol}/\mathrm{K}$ )، ويحققه الرصاص والنحاس والحديد في حرارة الغرفة؛ وفي ما دونه بكثير ينهار $C$ . وللماس ( $\theta_{\text{E}} \approx 1300\,\mathrm{K}$ ) $6\,\mathrm{J}/\mathrm{mol}/\mathrm{K}$ لا غير عند $300\,\mathrm{K}$ ، وهو ما عجزت الفيزياء الكلاسيكية عن تفسيره، وسعة كل جسم صلب الحرارية تنعدم عند الحرارة المنخفضة — وهو أول نجاح للكمّ خارج الإشعاع.

29.4 توزّع الطاقة بالتساوي وتوزيع ماكسويل

مبرهنة 29.8 (توزّع الطاقة بالتساوي)

كل متغير $q$ يدخل في الطاقة دخولًا تربيعيًّا، $E = aq^2 + \dots$ ، ويجري على القيم الحقيقية كلها، يسهم بالمقدار $\tfrac12k_BT$ في متوسط الطاقة عند التوازن:

\langle aq^2\rangle = \tfrac12k_BT .

والغاز الأحادي الذرة (بثلاث انسحابات) له $U = \tfrac32Nk_BT$ و $C_V = \tfrac32R$ في المول؛ والغاز الثنائي الذرة يضيف دورانين، $C_V = \tfrac52R$ ، ويبقى اهتزازه (وهو حدّان تربيعيان، لكنه مكمَّم مع $h\nu \gg k_BT$ في حرارة الغرفة) مجمَّدًا حتى بضعة آلاف من الكلفنات.

برهان. كثافة الاحتمال في $q$ هي $\propto\eu^{-aq^2/k_BT}$ ، أي غاوسية:

\langle aq^2\rangle = \frac{\int aq^2\,\eu^{-aq^2/k_BT}\,\dd q}{\int\eu^{-aq^2/k_BT}\,\dd q} = \tfrac12k_BT

(اشتقّ $\int\eu^{-\lambda q^2}\dd q = \sqrt{\pi/\lambda}$ بالنسبة إلى $\lambda$ ). والنتيجة تحتاج إلى الاستمرار: فحين تتباعد المستويات بأكثر من $k_BT$ يجمّد العامل المتغير، كما في المذبذب أعلاه. ∎

مبرهنة 29.9 (توزيع ماكسويل للسرعات)

في غاز عند $T$ ، تكون مركّبات السرعة غاوسيات مستقلة تباينها $k_BT/m$ ، وللسرعة $v = |\vect v|$ كثافة الاحتمال

f(v) = 4\pi\Big(\frac{m}{2\pi k_BT}\Big)^{3/2}v^2\,\eu^{-mv^2/2k_BT} ,

مع السرعة الأرجح والوسطى والتربيعية الوسطى

v_{\text{p}} = \sqrt{\frac{2k_BT}{m}}, \qquad \langle v\rangle = \sqrt{\frac{8k_BT}{\pi m}}, \qquad v_{\text{تربيعي}} = \sqrt{\frac{3k_BT}{m}} ,

بالنسب $1 : 1.13 : 1.22$ . ومن أجل الآزوت عند $300\,\mathrm{K}$ : $422\,$ ، $476\,$ ، $517\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ؛ ومن أجل الهدروجين، أكثر $3.7$ مرة؛ وذيل التوزيع، $\propto\eu^{-mv^2/2k_BT}$ ، هو ما يدع أسرع الجزيئات تتبخر أو تتفاعل أو تغادر كوكبًا.

برهان. الطاقة الحركية $\tfrac12m(v_x^2 + v_y^2 + v_z^2)$ تعطي العامل $\eu^{-mv_x^2/2k_BT}\eu^{-mv_y^2/2k_BT}\eu^{-mv_z^2/2k_BT}$ : أي ثلاث غاوسيات مستقلة، كلٌّ منظَّمة بالعامل $\sqrt{m/2\pi k_BT}$ . وتجمع توزيعة السرعة كل السرعات في القشرة التي نصف قطرها $v$ وحجمها $4\pi v^2\dd v$ . ثم $v_{\text{p}}$ من $\dd f/\dd v = 0$ ، و العزوم من $\int_0^\infty v^3\eu^{-av^2}\dd v = 1/2a^2$ ، و $\int_0^\infty v^4\eu^{-av^2}\dd v = \tfrac38\sqrt{\pi/a^5}$ ؛ و $v_{\text{تربيعي}}$ ينتج أيضًا من توزّع الطاقة بالتساوي، $\tfrac12m\langle v^2\rangle = \tfrac32k_BT$ . ∎

توزيع ماكسويل للسرعات في الآزوت عند ثلاث حرارات: تنتقل القمة وفق √ T، ويتسع المنحني، وينمو ذيل السرعات العالية أسرع من كل شيء — وهو الذيل الذي يقرر الإفلات ومعدلات التفاعل. — توزيع ماكسويل للسرعات في الآزوت عند ثلاث حرارات: تنتقل القمة وفق $\sqrt T$ ، ويتسع المنحني، وينمو ذيل السرعات العالية أسرع من كل شيء — وهو الذيل الذي يقرر الإفلات ومعدلات التفاعل.

مثال 29.10 (من يغادر الكوكب)

سرعة الإفلات من الأرض $11.2\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ . وفي الغلاف الخارجي، قرب $1000\,\mathrm{K}$ ، للهليوم $v_{\text{p}} = 2.0\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ : فنسبة الذرات فوق سرعة الإفلات من رتبة $\eu^{-(11.2/2.0)^2} = \eu^{-31} \approx 10^{-13}$ — وهي صغيرة، لكنها تتجدد عند كل تصادم مليارات السنين: فيتسرب الهليوم، ولا تبلغ وفرته في الهواء إلا $5\,\mathrm{ppm}$ رغم إنتاجه الدائم بالتفكك الإشعاعي. وأما الآزوت فأسّه أكبر بسبع مرات، $\eu^{-220}$ : فالآزوت يبقى. وعلى القمر ( $v_{\text{إفلات}} = 2.4\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ ) حتى الآزوت عند $400\,\mathrm{K}$ ( $v_{\text{p}} = 490\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ) له $\eu^{-24}$ في زمن التصادم: فعلى عمر المنظومة الشمسية، لا ينجو جوّ.

29.5 البارامغناطيسية وقانون كوري

قضية 29.11 (جسم بارامغناطيسي بسبين نصف)

$N$ عزمًا مغناطيسيًّا مستقلًّا لا يمكنها أن تشير إلا مع الحقل $B$ أو عكسه، وطاقاتها $\mp\mu B$ ، لها عند الحرارة $T$ متوسط العزم والمغنطة

\langle\mu_z\rangle = \mu\tanh\frac{\mu B}{k_BT}, \qquad M = n\mu\tanh\frac{\mu B}{k_BT} \ \longrightarrow\ \begin{cases} n\mu^2B/k_BT & (\mu B \ll k_BT):\ \text{قانون كوري}, \\ n\mu & (\mu B \gg k_BT):\ \text{الإشباع}. \end{cases}

والقابلية $\chi = \mu_0M/B = \mu_0n\mu^2/k_BT$ تتغير وفق $1/T$ (وهو قانون كوري)؛ ومع $\mu = \mu_B = 9.27 \times 10^{-24}\,\mathrm{J}/\mathrm{T}$ ، يكون $\mu B/k_BT = 2.2 \times 10^{-3}$ عند $1\,\mathrm{T}$ و $300\,\mathrm{K}$ ، فالأجسام البارامغناطيسية العادية بالكاد تُمغنَط؛ وعند $1\,\mathrm{K}$ يعطي الحقل نفسه $0.67$ ويبدأ الإشباع.

برهان. $p_\pm \propto\eu^{\pm\mu B/k_BT}$ : $\langle\mu_z\rangle = \mu(\eu^x - \eu^{-x})/(\eu^x + \eu^{-x})$ مع $x = \mu B/k_BT$ ؛ و $\tanh x \approx x$ من أجل $x$ الصغيرة. ∎

مغنطة جسم بارامغناطيسي بسبين نصف: خطية في B/T عند الحقول الصغيرة (كوري)، وتشبع حين يتجاوز B المقدار k_BT — وهو ما يُبلَغ عند التسلا دون الكلفن فقط، وهو ما يجعل المنحني مقياس حرارة لأبرد التجارب. — مغنطة جسم بارامغناطيسي بسبين نصف: خطية في $B/T$ عند الحقول الصغيرة (كوري)، وتشبع حين يتجاوز $\mu B$ المقدار $k_BT$ — وهو ما يُبلَغ عند التسلا دون الكلفن فقط، وهو ما يجعل المنحني مقياس حرارة لأبرد التجارب.

ملاحظة 29.12 (ما لا يفعله العامل)

يصف عامل بولتزمان التوازن عند حرارة؛ وهو لا يقول شيئًا عن المعدلات (أي كم يسرع بلوغ التوازن — وإن كانت طاقة تنشيط $E_{\text{a}}$ تعطي معدلات $\propto\eu^{-E_{\text{a}}/k_BT}$ ، وهو قانون أرينيوس الذي لقيناه في الانتشار في الأجسام الصلبة). وهو ينطبق على الأنظمة الجزئية المستقلة أو على الكلّ؛ وأما من أجل جسيمات كمومية متماثلة عند كثافة عالية (كإلكترونات المعدن، والفوتونات، والهليوم قرب الصفر المطلق) فيحلّ محلّه توزيعا فيرمي–ديراك وبوز–أينشتاين في مجلد السنة الثالثة، وهو حدّهما المخلخل.

طريقة 29.13 (تقديرات بولتزمان)

(1) احسب $E/k_BT$ ؛ و $k_BT = 0.026\,\mathrm{eV}$ عند $300\,\mathrm{K}$ ، و $1\,\mathrm{eV}$ عند $11\,600\,\mathrm{K}$ . (2) ونسب الجمهرات: $\eu^{-\Delta E/k_BT}$ (مضروبةً في الانحلالات). (3) وأما المستويات المنفصلة: فاحسب $Z$ ، ثم $\langle E\rangle = -\partial_\beta\ln Z$ ، ثم $C$ . (4) وأما المتغيرات المستمرة التربيعية: فلكلٍّ منها $\tfrac12k_BT$ ، إن لم تكن مجمَّدة. (5) والسرعات: $v_{\text{p}} = \sqrt{2k_BT/m}$ والذيل الغاوسي. (6) والسبينات: $\tanh(\mu B/k_BT)$ ، و $1/T$ عند كوري.

29.6 تمارين

تمرين 29.1 ★

أوجد ارتفاع سلّم الهواء عند $288\,\mathrm{K}$ ( $M = 29\,\mathrm{g}/\mathrm{mol}$ )؛ والضغط عند $3000\,\mathrm{m}$ ، وعند $8849\,\mathrm{m}$ ، وعند $10\,\mathrm{km}$ (وقارنه بالمقيس $0.26\,\mathrm{bar}$ )؛ وارتفاع سلّم الهليوم وحده؛ وارتفاع سلّم جوّ المريخ (CO $_2$ ، $210\,\mathrm{K}$ ، و $g = 3.7\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ ).

حل

حل التمرين 29.1.

$H = k_BT/mg = 8.4\,\mathrm{km}$ ؛ و $0.70\,$ ، $0.35\,$ ، $0.30\,\mathrm{bar}$ (والحقيقي $0.26\,$ : إذ يبرد الهواء مع الارتفاع)؛ والهليوم $61\,\mathrm{km}$ ؛ والمريخ $10.7\,\mathrm{km}$ .

تمرين 29.2 ★

الجمهرات: مستوي الهدروجين $n = 2$ ( $10.2\,\mathrm{eV}$ ، وانحلاله $4$ في وجه $1$ ) عند $300\,\mathrm{K}$ ، و $6000\,\mathrm{K}$ ، و $10\,000\,\mathrm{K}$ ؛ ومستوي الصوديوم $2.1\,\mathrm{eV}$ في لهب $2500\,\mathrm{K}$ ؛ ومستوي دوران جزيئي عند $1 \times 10^{-3}\,\mathrm{eV}$ عند $300\,\mathrm{K}$ ؛ ومستوي سبين نووي مشقوق بمقدار $1 \times 10^{-7}\,\mathrm{eV}$ في مغنطيس عند $300\,\mathrm{K}$ .

حل

حل التمرين 29.2.

الهدروجين: $4\eu^{-395} \approx 10^{-171}$ ؛ و $4\eu^{-19.7} = 10^{-8}$ ؛ و $4\eu^{-11.8} = 3 \times 10^{-5}$ . والصوديوم: $\eu^{-9.8} = 6 \times 10^{-5}$ . والدوران: $\eu^{-0.04} = 0.96$ ، أي شبه متساويين. والسبين النووي: $1 - 4 \times 10^{-6}$ — وهو الاستقطاب الضئيل الذي يعمل به الرنين المغناطيسي.

تمرين 29.3 ★

سرعات ماكسويل ( $v_{\text{p}}$ ، و $\langle v\rangle$ ، و $v_{\text{تربيعي}}$ ) من أجل N $_2$ عند $300\,\mathrm{K}$ و $77\,\mathrm{K}$ ، و H $_2$ عند $300\,\mathrm{K}$ ، ومن أجل حبيبة دخان كتلتها $1 \times 10^{-18}\,\mathrm{kg}$ . وأوجد نسبة الجزيئات الأسرع من $2v_{\text{p}}$ (نحو $4.6\%$ ) ومن $3v_{\text{p}}$ (نحو $4 \times 10^{-4}$ ): وعلّق على الذيل.

حل

حل التمرين 29.3.

N $_2$ عند $300\,\mathrm{K}$ : $422\,$ ، $476\,$ ، $517\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ؛ وعند $77\,\mathrm{K}$ : $214\,$ ، $241\,$ ، $262\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ؛ و H $_2$ : $1580\,$ ، $1780\,$ ، $1930\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ؛ وحبيبة الدخان: $9\,\mathrm{cm}/\mathrm{s}$ (وهي رعشتها البراونية). وفوق $2v_{\text{p}}$ جزيء من عشرين؛ وفوق $3v_{\text{p}}$ واحد من $2500$ — ومع ذلك $10^{22}$ في المتر المكعب.

تمرين 29.4 ★

عزوم بسبين نصف $\mu = \mu_B$ ، و $n = 1 \times 10^{28}\,\mathrm{m}^{-3}$ ، و $B = 1\,\mathrm{T}$ : أوجد $x = \mu B/k_BT$ عند $300\,\mathrm{K}$ و $1\,\mathrm{K}$ ؛ و $M/M_{\text{إشباع}}$ ؛ و $M_{\text{إشباع}}$ ؛ والقابلية عند $300\,\mathrm{K}$ . وقارنها بمغنطة إشباع الحديد ( $1.7 \times 10^{6}\,\mathrm{A}/\mathrm{m}$ ).

حل

حل التمرين 29.4.

$x = 2.2 \times 10^{-3}$ و $0.67$ ؛ و $M/M_{\text{إشباع}} = 2.2 \times 10^{-3}$ و $0.59$ ؛ و $M_{\text{إشباع}} = n\mu = 9.3 \times 10^{4}\,\mathrm{A}/\mathrm{m}$ ؛ و $\chi = \mu_0n\mu^2/k_BT = 2.6 \times 10^{-4}$ . ومغنطة الحديد $1.7 \times 10^{6}\,\mathrm{A}/\mathrm{m}$ تعاونية، لا أثرًا بولتزمانيًّا.

تمرين 29.5 ★★

مستويان. (أ) استنتج $p_1$ ، و $p_2$ ، و $\langle E\rangle$ من $Z$ . (ب) وبيّن أن $N_2 < N_1$ عند كل حرارة موجبة؛ وماذا كان يعني $N_2 > N_1$ من أجل $T$ ؟ (ج) وأوجد الإنتروبيا $S = -Nk_B\sum p_i\ln p_i$ للنظام عند $T \to 0$ و $T \to \infty$ . (د) وعيب في بلورة يمكن أن يقع في موضعين بينهما $0.05\,\mathrm{eV}$ : أوجد إشغال الأعلى عند $300\,\mathrm{K}$ وعند $77\,\mathrm{K}$ .

حل

حل التمرين 29.5.

(أ) القضية 29.5. (ب) و $\eu^{-x} < 1$ من أجل $T > 0$ ؛ و $N_2 > N_1$ كان يقتضي $T < 0$ — أي انقلاب جمهرة. (ج) و $0$ و $Nk_B\ln 2$ . (د) و $x = 1.93$ : $0.13$ ؛ وعند $77\,\mathrm{K}$ ، $x = 7.5$ : $5 \times 10^{-4}$ .

تمرين 29.6 ★★

شوتكي. (أ) استنتج $C(T)$ للنظام ذي المستويين. (ب) وعيّن عظمها عدديًّا ( $x = 2.40$ ) وقيمتها. (ج) والحدّان عند $T$ المنخفضة والعالية، بمعناهما الفيزيائي. (د) ولسبينات النحاس النووية في $1\,\mathrm{T}$ $\varepsilon \approx 1 \times 10^{-7}\,\mathrm{eV}$ : فعند أي حرارة تقع قمة شوتكي لها، ولمَ تهمّ في أبرد المبردات؟

حل

حل التمرين 29.6.

(أ) مشتق $N\varepsilon/(\eu^x + 1)$ . (ب) و $x = 2.40$ ، و $C = 0.44\,Nk_B$ . (ج) و $\propto x^2\eu^{-x} \to 0$ : أي مجمَّد؛ و $\propto 1/T^2 \to 0$ : أي المستويان ممتلئان، ولا يبقى ما يُمتصّ. (د) و $k_BT = 0.42\varepsilon$ : أي $0.5\,\mathrm{mK}$ ؛ ودون المليكلفن تحمل السبينات النووية معظم السعة الحرارية و تبطّئ كل تبريد.

تمرين 29.7 ★★

توزّع الطاقة بالتساوي وإخفاقه. (أ) استنتج $\langle aq^2\rangle = k_BT/2$ بالتكامل الغاوسي. (ب) وأوجد $C_V$ لغاز أحادي الذرة ولغاز ثنائي الذرة صلب. (ج) ولاهتزاز الآزوت $h\nu/k_B = 3400\,\mathrm{K}$ : باستعمال متوسط طاقة المذبذب، أوجد $C_V$ عند $300\,\mathrm{K}$ ، و $1000\,\mathrm{K}$ ، و $3000\,\mathrm{K}$ . (د) وصلب أينشتاين: أوجد $C$ عند $T = \theta_{\text{E}}$ ، و $\theta_{\text{E}}/4$ ، و $4\theta_{\text{E}}$ بوحدات $3R$ ؛ والماس في حرارة الغرفة.

حل

حل التمرين 29.7.

(أ) المبرهنة 29.8. (ب) و $\tfrac32R$ ، و $\tfrac52R$ . (ج) و $C_{\text{اهتزاز}}/R = x^2\eu^x/(\eu^x - 1)^2$ : $0.002$ ، $0.41$ ، $0.90$ ؛ و $C_V = 2.50R$ ، $2.91R$ ، $3.40R$ . (د) و $0.92$ ، $0.30$ ، $0.995$ ؛ والماس $x = 4.3$ : $0.26 \times 3R = 6.5\,\mathrm{J}/\mathrm{mol}/\mathrm{K}$ .

تمرين 29.8 ★★

ماكسويل بالتفصيل. (أ) بيّن أن مركّبات السرعة غاوسيات مستقلة واستنتج $f(v)$ . (ب) واحسب $v_{\text{p}}$ ، و $\langle v\rangle$ ، و $v_{\text{تربيعي}}$ . (ج) ومتوسط الطاقة الحركية: تحقق منه بتوزّع الطاقة بالتساوي. (د) وتدفق الجزيئات الصادمة جدارًا هو $\tfrac14n\langle v\rangle$ في وحدة المساحة والزمن (وهو مقبول): أوجد عدد جزيئات N $_2$ التي تصدم $1\,\mathrm{cm}^{2}$ في الثانية عند $1\,\mathrm{bar}$ و $300\,\mathrm{K}$ ؛ والمعدل الذي يدخل به ثقب دبوس $1\,\text{µ}\mathrm{m}$ الهواءَ إلى حجرة خلاء (أي التسرب).

حل

حل التمرين 29.8.

(أ) و(ب) المبرهنة 29.9. (ج) و $\tfrac32k_BT$ . (د) و $\tfrac14n\langle v\rangle = 2.9 \times 10^{27}\,\mathrm{m}^{-2}\,\mathrm{s}^{-1}$ : أي $3 \times 10^{23}$ في السنتيمتر المربع في الثانية؛ وعبر $7.9 \times 10^{-13}\,\mathrm{m}^{2}$ : $2.3 \times 10^{15}$ جزيء في الثانية، أي تسرب $1 \times 10^{-5}\,\mathrm{Pa}\,\mathrm{m}^{3}/\mathrm{s}$ .

تمرين 29.9 ★★

الإفلات. (أ) نسبة غاز ماكسويل الأسرع من $v$ : بيّن أنها تقارب $(2/\sqrt\pi)\,x\,\eu^{-x^2}$ من أجل $x = v/v_{\text{p}} \gg 1$ . (ب) والهليوم عند $1000\,\mathrm{K}$ فوق $11.2\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ ؛ والآزوت. (ج) والقمر، $v_{\text{إفلات}} = 2.4\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ ، عند $400\,\mathrm{K}$ : الآزوت، وأي حرارة كانت تمسكه على عمر المنظومة الشمسية (خذ $10^{17}$ زمن تصادم: أي نسبة إفلات دون $10^{-17}$ ). (د) ولمَ يحتفظ تيتان ( $2.6\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ ، $94\,\mathrm{K}$ ) بجوّ آزوتي كثيف؟

حل

حل التمرين 29.9.

(أ) كامِل $f$ بالتجزئة؛ والحدّ الغالب هو $(2/\sqrt\pi)x\eu^{-x^2}$ . (ب) والهليوم $x = 5.5$ : $5 \times 10^{-13}$ ؛ والآزوت $x = 14.5$ : $\eu^{-211}$ . (ج) و $x = 4.9$ : $10^{-10}$ في زمن التصادم — أي ذهب؛ و $10^{-17}$ يحتاج إلى $x \approx 6.6$ ، أي $T \lesssim 230\,\mathrm{K}$ . (د) و $x = 11$ : $\eu^{-121}$ ؛ أي بارد كفاية.

تمرين 29.10 ★★★

كمونات أخرى. (أ) في نابذة تدور بالسرعة $\omega$ ، تكون الطاقة الكامنة الفعّالة $-\tfrac12m\omega^2r^2$ : أوجد مقطع الكثافة $n(r)$ . (ب) وسداسي فلوريد اليورانيوم، ونظيران $\Delta m = 3\,\mathrm{u}$ ، و $\omega = 2\pi \times 1000\,\mathrm{Hz}$ ، و $r = 10\,\mathrm{cm}$ ، و $300\,\mathrm{K}$ : أوجد عامل التخصيب في مرحلة واحدة. (ج) وكريات غروانية (كتلتها الطافية $m' = 2.6 \times 10^{-17}\,\mathrm{kg}$ ) في ماء عند $293\,\mathrm{K}$ : أوجد ارتفاع سلّم توازن ترسيبها؛ وكيف أعطى ذلك عدد أفوغادرو؟ (د) وغاز إلكتروني في حقل $E$ : لمَ يكون مقطع بولتزمان $\eu^{eEx/k_BT}$ أساسَ طول ديباي للحجب $\lambda_{\text{D}} = \sqrt{\varepsilon_0k_BT/ne^2}$ في بلازما (ارسم الحجة)؟

حل

حل التمرين 29.10.

(أ) $n = n_0\eu^{m\omega^2r^2/2k_BT}$ . (ب) و $\eu^{\Delta m\omega^2r^2/2k_BT} = \eu^{0.24} = 1.27$ . (ج) و $H = k_BT/m'g = 16\,\text{µ}\mathrm{m}$ ؛ وعدّ الكريات عند ارتفاعات عدة يعطي $k_B$ ، ومن ثَمّ $N_A = R/k_B$ . (د) والشوارد تتبع $\eu^{\mp e\varphi/k_BT}$ حول شحنة؛ وبتخطيط ذلك في معادلة بواسون نحصل على $\varphi'' = \varphi/\lambda_{\text{D}}^2$ : فيُحجَب الكمون وراء $\lambda_{\text{D}}$ .

تمرين 29.11 ★★★

بلانك من بولتزمان. (أ) احسب $Z$ و $\langle E\rangle$ من أجل المستويات $nh\nu$ . (ب) والحدّان ومعناهما. (ج) واضرب في كثافة الأنماط $8\pi\nu^2/c^3$ (المعطاة) واستعد قانون بلانك؛ وبيّن أن قانون رايلي–جينز هو توزّع الطاقة بالتساوي مطبَّقًا على كل نمط. (د) ولمَ يخفق العدّ الكلاسيكي، في جملة واحدة؟

حل

حل التمرين 29.11.

(أ) $Z = 1/(1 - \eu^{-x})$ ، و $\langle E\rangle = h\nu/(\eu^x - 1)$ . (ب) و $k_BT$ : أي توزّع الطاقة بالتساوي؛ و $h\nu\eu^{-h\nu/k_BT}$ : أي مجمَّد. (ج) و $u_\nu = (8\pi\nu^2/c^3)\langle E \rangle$ ؛ ورايلي–جينز يعطي كل نمط $k_BT$ . (د) لأن النمط لا يمكن أن يُثار بأقلّ من كمّة واحدة.

تمرين 29.12 ★★★

إزالة المغنطة الكظومة. إنتروبيا $N$ سبينًا نصفيًّا هي $S = Nk_B[\ln(2\cosh x) - x\tanh x]$ ، مع $x = \mu B/k_BT$ . (أ) بيّن أنها تتعلق بالنسبة $B/T$ وحدها، مع $S \to Nk_B\ln 2$ من أجل $B/T \to 0$ و $S \to 0$ من أجل $B/T \to \infty$ . (ب) وملح عند $1\,\mathrm{K}$ يُمغنَط متساوي الحرارة من $0$ إلى $1\,\mathrm{T}$ : أوجد الإنتروبيا المنزوعة (في السبين، مع $\mu = \mu_B$ ). (ج) ثم يُخفَّض الحقل كظومًا إلى $0.01\,\mathrm{T}$ : أوجد الحرارة النهائية. (د) وما الذي يحدّ الطريقة، وكيف يخدم منحني $\tanh$ نفسه مقياسَ حرارة؟

حل

حل التمرين 29.12.

(أ) $x = \mu B/k_BT$ وحده؛ و $\ln 2$ و $0$ . (ب) و $x = 0.67$ : $S/Nk_B = 0.51$ ، ومن ثَمّ تُنزَع $0.18\,k_B$ في السبين. (ج) و $B/T$ ثابتة: $10\,\mathrm{mK}$ . (د) وحقل السبينات نفسها (بالمليتسلا) يحلّ محلّ $B$ في النهاية ويحدّ التبريد؛ وقياس $M = n\mu\tanh(\mu B/k_BT)$ يعطي $T$ .

لودفيغ بولتزمان (1844–1906)، وعامله -E/k_BT موضوع هذا الفصل، وصيغته S = k_B منقوشة على قبره في فيينا. — لودفيغ بولتزمان (1844–1906)، وعامله $\eu^{-E/k_BT}$ موضوع هذا الفصل، وصيغته $S = k_B\ln\Omega$ منقوشة على قبره في فيينا.

29.7 مسألة: الجوّ متساوي الحرارة، وإفلات الهليوم، ومقياس حرارة سبيني

مسألة 29.1

مسألة نهاية الأسبوع — ثلاثة استعمالات لأسّية واحدة

المعطيات: $k_B = 1.38 \times 10^{-23}\,\mathrm{J}/\mathrm{K}$ ، و $N_A = 6.02 \times 10^{23}\,\mathrm{mol}^{-1}$ ، و $g = 9.8\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ ، و $R_{\oplus} = 6.37 \times 10^{6}\,\mathrm{m}$ ، و $\mu_B = 9.27 \times 10^{-24}\,\mathrm{J}/\mathrm{T}$ ؛ والهواء $M = 29\,\mathrm{g}/\mathrm{mol}$ ، والهليوم $4\,\mathrm{g}/\mathrm{mol}$ ، والآزوت $28\,\mathrm{g}/\mathrm{mol}$ .

الجزء الأول — الجوّ متساوي الحرارة.

من الهيدروستاتيك وقانون الغاز المثالي، استنتج $P(z) = P_0\eu^{-z/H}$ وأعطِ $H$ للهواء عند $288\,\mathrm{K}$ .
وعيّن عامل بولتزمان في النتيجة؛ فأي طاقة، وأي حرارة؟
والضغط عند $3000\,\mathrm{m}$ ، و $5500\,\mathrm{m}$ ، و $8849\,\mathrm{m}$ ؛ والارتفاع الذي ينتصف عنده الضغط.
وكتلة الجوّ في المتر المربع (من $P_0 = 1.013 \times 10^{5}\,\mathrm{Pa}$ )، والكتلة الكلية؛ وتحقق من أن $\int_0^\infty \rho\,\dd z = \rho_0H$ .
وعدد الجزيئات في الجوّ.
ولو تبع كل غاز ارتفاع سلّمه $H$ ، فما كانت تكون نسبة O $_2$ إلى N $_2$ عند $50\,\mathrm{km}$ بالقياس إلى الأرض؟ ولمَ يكون التركيب منتظمًا في الواقع حتى $100\,\mathrm{km}$ ؟
والتروبوسفير الحقيقي يبرد $6.5\,\mathrm{K}/\mathrm{km}$ : أيكون الضغط عند $10\,\mathrm{km}$ أعلى أم أدنى من التقدير متساوي الحرارة؟ فسّر.
والكثافة العددية عند مستوى البحر وعند $100\,\mathrm{km}$ (بالنموذج متساوي الحرارة، $288\,\mathrm{K}$ ): علّق على “حرف الفضاء”.

الجزء الثاني — إفلات الهليوم. الغلاف الخارجي، فوق $500\,\mathrm{km}$ ، عند نحو $1000\,\mathrm{K}$ و بلا تصادمات: فالجزيء المتحرك صاعدًا أسرع من سرعة الإفلات يغادر.

أوجد سرعة الإفلات من الأرض عند ذلك الارتفاع.
والسرعتين الأرجح والوسطى للهليوم والآزوت عند $1000\,\mathrm{K}$ .
ونسبة ذرات الهليوم التي $v > v_{\text{إفلات}}$ (استعمل $(2/\sqrt\pi)x\eu^{-x^2}$ )؛ والنسبة نفسها للآزوت.
وتدفق الهليوم المفلت نحو $\tfrac14n_{\text{He}}\langle v\rangle \times$ (تلك النسبة) $\times\tfrac12$ ؛ ومع $n_{\text{He}} = 1 \times 10^{12}\,\mathrm{m}^{-3}$ عند قاعدة الغلاف الخارجي، قدّر الضياع في المتر المربع في الثانية وفي السنة للأرض كلها.
والهليوم في الهواء $5\,\mathrm{ppm}$ حجمًا: أوجد الهليوم الكلي في الجوّ؛ وزمن مكوثه في وجه الضياع المحسوب.
والنشاط الإشعاعي في القشرة ينتج نحو $3 \times 10^{6}\,\mathrm{kg}$ من الهليوم في السنة: أيكون هليوم الجوّ في حالة مستقرة، وماذا تعلّم المقارنة بالسؤال 11؟
وعند العظم الشمسي يبلغ الغلاف الخارجي $2000\,\mathrm{K}$ : بأي عامل ترتفع نسبة إفلات الهليوم؟
ولمَ لا جوّ للقمر، ولتيتان (سرعة إفلاته $2.6\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ ، و $94\,\mathrm{K}$ ) جوّ كثيف؟

الجزء الثالث — مقياس حرارة سبيني. يحوي ملح بارامغناطيسي $n = 2 \times 10^{27}\,\mathrm{m}^{-3}$ سبينًا نصفيًّا مع $\mu = \mu_B$ ، في حقل $B$ .

أوجد جمهرتي المستويين والمغنطة $M(B,T)$ .
وعند $B = 0.1\,\mathrm{T}$ : أوجد $M$ عند $300\,\mathrm{K}$ ، و $4\,\mathrm{K}$ ، و $0.05\,\mathrm{K}$ ؛ وأين يصحّ قانون كوري؟
ولمَ تكون $M$ مقياس حرارة، وفي أي مجال تكون أشدّ حساسية؟ وماذا يُقاس عمليًّا؟
ومتوسط طاقة السبينات وسعتها الحرارية (شوتكي)؛ وحرارة القمة عند $0.1\,\mathrm{T}$ .
وإنتروبيا السبينات عند الحرارة العالية وعند الصفر؛ وأي “ترتيب” يقع كلما $T \to 0$ ؟
وإزالة المغنطة الكظومة من $1\,\mathrm{K}$ و $1\,\mathrm{T}$ إلى $0.01\,\mathrm{T}$ : أوجد الحرارة النهائية؛ ولمَ لا يعطي $B \to 0$ أن $T \to 0$ ؟
ومقياس حرارة بالسبين النووي يستعمل $\mu_{\text{N}} = \mu_B/1836$ : عند $1\,\mathrm{T}$ ، إلى أي حرارة يصحّ قانون كوري، و لمَ يُستعمل مقياس كهذا في مجال الميكروكلفن؟
وقارن عرض دوبلر لخط طيفي (من توزيع ماكسويل) مقياسَ حرارة للغازات: فأي مقدار، وكيف يتغير مع $T$ ؟
ولخّص: الأنظمة الثلاثة والصيغة الواحدة.

حل

حل المسألة 29.1.

1. $\dd P/\dd z = -nmg = -(mg/k_BT)P$ ؛ و $H = 8.4\,\mathrm{km}$ .

2. $\eu^{-mgz/k_BT}$ : أي الطاقة الكامنة لجزيء واحد، وحرارة الهواء.

3. $0.70\,$ ، $0.52\,$ ، $0.35\,\mathrm{bar}$ ؛ و $H\ln 2 = 5.8\,\mathrm{km}$ .

4. $P_0/g = 1.03 \times 10^{4}\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{2}$ ؛ ومضروبًا في $\times 4\pi R^2$ : $5.3 \times 10^{18}\,\mathrm{kg}$ ؛ و $\rho_0H = 1.22 \times 8400 = 1.03 \times 10^{4}\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{2}$ .

5. $5.3 \times 10^{18}/(29 \times 10^{-3}/N_A) = 1.1 \times 10^{44}$ .

6. $H_{\text{O}_2} = 7.6$ ، و $H_{\text{N}_2} = 8.7\,\mathrm{km}$ : فالنسبة عند $50\,\mathrm{km}$ كانت تكون $\eu^{-50/7.6 + 50/8.7} = 0.44$ من قيمتها عند الأرض؛ لكن الاضطراب يمزج أسرع مما يفصل الانتشار.

7. أدنى: فالهواء الأبرد أكثف والضغط يهبط أسرع.

8. $2.5 \times 10^{25}\,\mathrm{m}^{-3}$ ؛ و $\eu^{-11.9}$ : $1.7 \times 10^{20}\,\mathrm{m}^{-3}$ — فلا حرف، بل اصطلاح.

9. $11.2\sqrt{6370/6870} = 10.8\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ .

10. الهليوم $2040\,$ ، $2300\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ؛ والآزوت $770\,$ ، $870\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ .

11. $x = 5.3$ : $4 \times 10^{-12}$ ؛ والآزوت $\eu^{-196}$ : أي لا شيء.

12. $\tfrac14 \times 10^{12} \times 2300 \times 4 \times 10^{-12} \times \tfrac12 \approx 10^3$ ذرة في المتر المربع في الثانية؛ وعلى الأرض كلها وفي سنة، $2 \times 10^{25}$ ذرة — أي $0.1\,\mathrm{kg}$ .

13. $5 \times 10^{-6} \times 1.1 \times 10^{44} = 5.5 \times 10^{38}$ ذرة، أي $3.7 \times 10^{12}\,\mathrm{kg}$ ؛ وفي وجه $0.1\,\mathrm{kg}/\mathrm{yr}$ يكون زمن المكوث سخيفًا.

14. تقتضي الحالة المستقرة ضياعًا قدره $3 \times 10^{6}\,\mathrm{kg}/\mathrm{yr}$ : أي زمن مكوث نحو مليون سنة، وهي القيمة المقبولة — ومن ثَمّ فالتقدير الحراري عند $1000\,\mathrm{K}$ أصغر بكثير مما يجب: فالإفلات تغلب عليه فترات أسخن وعمليات لاحرارية (شاردية).

15. $x = 3.75$ : $\eu^{-14}$ بدل $\eu^{-28}$ — أي بعامل $10^6$ : فالضياع شديد الحساسية لحرارة الغلاف الخارجي.

16. القمر ساخن وخفيف: فيفلت كل شيء في الزمن الجيولوجي؛ وتيتان بارد، و $x = 11$ من أجل الآزوت.

17. $p_\pm = \eu^{\pm x}/2\cosh x$ ؛ و $M = n\mu\tanh x$ .

18. $x = \mu B/k_BT$ : $4.2\,\mathrm{A}/\mathrm{m}$ ، $310\,\mathrm{A}/\mathrm{m}$ ، $1.6 \times 10^{4}\,\mathrm{A}/\mathrm{m}$ (والإشباع $1.9 \times 10^{4}\,\mathrm{A}/\mathrm{m}$ )؛ وكوري من أجل $x \ll 1$ ، أي $T \gg 70\,\mathrm{mK}$ .

19. تتعلق $M$ بالحرارة $T$ وحدها متى عُلم $B$ ؛ وأشدّ ميلًا قرب $x \approx 1$ ، أي $T \approx \mu B/k_B = 70\,\mathrm{mK}$ ؛ وتُقاس القابلية بوشيعة.

20. $\langle E\rangle = -N\mu B\tanh x$ ؛ و $C = Nk_Bx^2/\cosh^2x$ ، وقمتها عند $x = 1.2$ : $56\,\mathrm{mK}$ .

21. $Nk_B\ln 2$ و $0$ : إذ تصطفّ السبينات كلها مع الحقل.

22. $10\,\mathrm{mK}$ ؛ وحقل السبينات نفسها البالغ مليتسلا يحلّ محلّ $B$ ويثبّت الأرضية.

23. $x = 1$ عند $\mu_{\text{N}}B/k_B = 0.37\,\mathrm{mK}$ : فيصحّ كوري حتى المليكلفن، ويفيد مقياس الحرارة حتى الميكروكلفنات.

24. $\Delta\nu/\nu = \sqrt{8k_BT\ln2/mc^2} \propto \sqrt T$ : فعرض الخط يقيس حرارة الغاز.

25. الجوّ، والغاز المفلت، والسبينات: $\eu^{-E/k_BT}$ مع $E = mgz$ ، و $\tfrac12mv^2$ ، و $\mp\mu B$ .