الفيزياء الجامعية — السنة الثانية · Bachelor Year 2

17إشعاع ثنائي القطب والتبعثر

لمَ السماء زرقاء، ولمَ تكون أشدّ زرقة على زاوية قائمة من الشمس — ومستقطبة هناك، كما يعلم النحل والمصورون؟ ولمَ يجب أن يكون صاري الراديو بعلوّ عشرات الأمتار، ولمَ لا يشعّ شيئًا إلى فوق مباشرة؟ للسؤالين جواب واحد: فالشحنة الكهربائية المتذبذبة تشعّ أمواجًا كهرمغناطيسية، باستطاعة تنمو كالأسّ الرابع للتواتر وبنقش ينعدم على محور التذبذب. وهذا الفصل يذكر حقل ثنائي القطب المتذبذب، وهو أبسط نظام مشعّ، ويستخرج منه الهوائي وإشعاع شحنة متسارعة، ويطبّقه على جزيئات الهواء، وكل منها هوائي دقيق يعيد إرسال ضوء الشمس: وهو تبعثر رايلي.

صارٍ للبثّ تحت سماء زرقاء: ثنائي قطب شاقولي بعلوّ عشرات الأمتار يشعّ نحو الأفق، وفوقه سماء تضيئها مليارات ثنائيات القطب الجزيئية وهي تعيد إشعاع الشمس.

17.1 حقل ثنائي قطب متذبذب

مبرهنة 17.1 (حقل إشعاع ثنائي قطب كهربائي)

ثنائي قطب عزمه $\vect p(t) = p_0\cos\omega t\,\vect e_z$ ، وامتداده $a$ ، في المبدأ، يشعّ. وفي منطقة الإشعاع — أي على أبعاد $r \gg \lambda = 2\pi c/\omega \gg a$ — يكون حقله، في الإحداثيات الكروية $(r, \theta, \varphi)$ حول محور ثنائي القطب، هو

\vect E(M, t) = -\frac{\mu_0\,\omega^2p_0}{4\pi}\,\frac{\sin\theta}r\,\cos\bigl(\omega(t - r/c)\bigr)\,\vect e_\theta , \qquad \vect B = \frac{\vect e_r\wedge\vect E}c :

أي موجة كروية، مستوية محليًّا — إذ يؤلف $(\vect E, \vect B, \vect e_r)$ ثلاثيًّا مباشرًا مع $B = E/c$ — متأخرة بزمن الانتقال $r/c$ ، وسعتها تتناقص وفق $1/r$ ، وهي متناسبة مع التسارع $\ddot p = -\omega^2p$ لثنائي القطب ومع $\sin\theta$ : فهي عظمى في المستوي الاستوائي، ومنعدمة على المحور؛ ومستقطبة في المستوي الذي يحوي المحور.

برهان. نقبله في هذا المستوى. ∎

ملاحظة 17.2 (قراءة الصيغة)

يحوي الحلّ المضبوط لمعادلات ماكسويل (انطلاقًا من الكمونات المتأخرة، وهو خارج هذا المجلد) حدودًا في $1/r^2$ و $1/r^3$ أيضًا؛ والأخير هو حقل ثنائي القطب شبه الساكن في مجلد السنة الأولى، $\vect E \propto p/4\pi\varepsilon_0r^3$ ، وهو الغالب في المنطقة القريبة $r \ll \lambda$ ؛ وعند $r \sim \lambda/2\pi$ يتقارب الحدّان، وفي ما وراءها لا يبقى إلا الحدّ $1/r$ . ولكل عامل سببه. فأما $1/r$ : فلأن الاستطاعة عبر كرة، وهي $\propto E^2r^2$ ، يجب ألا تتعلق بالبعد $r$ . وأما $\omega^2p_0$ : فلأن حقل شحنة ساكنة أو منتظمة الحركة ليس إشعاعيًّا؛ فالذي يشعّ هو التسارع. وأما $\sin\theta$ : فالراصد على المحور يرى الشحنة تذهب وتجيء على خط النظر، بلا تسارع مستعرض؛ وفي المستوي الاستوائي يكون التسارع كله مستعرضًا. وأما التأخّر: فالحقل عند $M$ في اللحظة $t$ يعكس ما فعله ثنائي القطب في $t - r/c$ .

على اليسار: حقل إشعاع ثنائي قطب عند نقطة بعيدة M — مستعرض، وفق e_، مع B سمتيّ؛ ولا يُشعّ شيء على المحور. وعلى اليمين: نقش الإشعاع، وهو كعكة 2 رُسم مقطعها. — على اليسار: حقل إشعاع ثنائي قطب عند نقطة بعيدة $M$ — مستعرض، وفق $\vect e_\theta$ ، مع $\vect B$ سمتيّ؛ ولا يُشعّ شيء على المحور. وعلى اليمين: نقش الإشعاع، وهو كعكة $\propto\sin^2\theta$ رُسم مقطعها.

17.2 الاستطاعة المشعّة

قضية 17.3 (استطاعة ثنائي قطب؛ صيغة لارمور)

متوسط شعاع بوينتنغ لحقل ثنائي القطب قطريّ،

\langle\vect\Pi\rangle = \frac{\mu_0\,\omega^4p_0^2}{32\pi^2c}\,\frac{\sin^2\theta}{r^2}\,\vect e_r ,

ومتوسط الاستطاعة الكلية المشعّة هو

\mathcal P = \frac{\mu_0\,\omega^4p_0^2}{12\pi c} = \frac{p_0^2\omega^4}{12\pi\varepsilon_0c^3} .

ومن أجل شحنة وحيدة $q$ تسارعها $a$ (لانسبيًّا)، تكون الاستطاعة اللحظية $\mathcal P = q^2a^2/6\pi\varepsilon_0c^3$ (لارمور).

برهان. $\langle\Pi\rangle = \langle E^2\rangle/\mu_0c$ مع $\langle\cos^2\rangle = \tfrac12$ ؛ وبالمكاملة على الكرة:

\int\sin^2\theta\,r^2\dd\Omega = 2\pi r^2\int_0^\pi\sin^3\theta\,\dd\theta = \tfrac83\pi r^2 , \qquad \mathcal P = \frac{\mu_0\omega^4p_0^2}{32\pi^2c}\cdot\frac{8\pi}3 = \frac{\mu_0\omega^4p_0^2}{12\pi c} .

وأما لارمور: فيكون $p = qz$ ، ومن ثَمّ $\ddot p = qa$ ؛ واستبدال المتوسط $\tfrac12\omega^4p_0^2 = \langle\ddot p^2\rangle$ باللحظي $q^2a^2$ يعطي $\mathcal P = \mu_0q^2a^2/6\pi c$ . ∎

مثال 17.4 (هوائي وسلك)

سلك قصير طوله $\ell \ll \lambda$ يحمل التيار $I_0\cos\omega t$ هو ثنائي قطب عزمه $\dot p = I_0\ell\cos\omega t$ ، أي $p_0 = I_0\ell/\omega$ : فيشعّ $\mathcal P = \mu_0\omega^2I_0^2\ell^2/12\pi c = \tfrac12R_{\text{إشعاع}}I_0^2$ مع مقاومة الإشعاع $R_{\text{إشعاع}} = \dfrac{2\pi}3\sqrt{\dfrac{\mu_0}{\varepsilon_0}} \Bigl(\dfrac\ell\lambda\Bigr)^2 \approx 790\,(\ell/\lambda)^2\ \Omega$ — فالاستطاعة تخرج من الدارة كأنها تعبر مقاومة، من غير أن تسخّن شيئًا. وسلك طوله $1\,\mathrm{m}$ عند $1\,\mathrm{MHz}$ ( $\lambda = 300\,\mathrm{m}$ ): $R_{\text{إشعاع}} = 9\,\mathrm{m}\Omega$ ، أي أقلّ من مقاومته النحاسية، وهو هوائي رديء؛ وعند $100\,\mathrm{MHz}$ : $88\,\Omega$ (وصيغة ثنائي القطب القصير مشدودة هنا)، وهو هوائي جيد. وأما ثنائي القطب النصف موجي، $\ell = \lambda/2$ بتوزيع تيار جيبي، فله $R_{\text{إشعاع}} = 73\,\Omega$ (وهو مقبول) ونقش قريب من نقش ثنائي القطب الابتدائي — وهو الهوائي القياسي، من صواري الراديو إلى أذني الأرنب في التلفازات القديمة. وسلك شبكة طوله $1\,\mathrm{m}$ عند $50\,\mathrm{Hz}$ : $R_{\text{إشعاع}} \approx 2 \times 10^{-11}\,\Omega$ — فالدارات شبه المستقرة في الفصل 11 لا تشعّ شيئًا.

على اليسار: توزيع التيار على ثنائي قطب نصف موجي، وهو أعظم عند التغذية ومنعدم عند الطرفين. وعلى اليمين: مقاومة إشعاع ثنائي قطب قصير، 790( / )2 أوم، و 73\, لثنائي القطب النصف موجي. — على اليسار: توزيع التيار على ثنائي قطب نصف موجي، وهو أعظم عند التغذية ومنعدم عند الطرفين. وعلى اليمين: مقاومة إشعاع ثنائي قطب قصير، $790(\ell/\lambda)^2$ أوم، و $73\,\Omega$ لثنائي القطب النصف موجي.

مثال 17.5 (إلكترون يشعّ)

في أنبوب أشعة سينية يتوقف إلكترون طاقته $50\,\mathrm{keV}$ ( $v = 1.2 \times 10^{8}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ) في $1\,\text{µ}\mathrm{m}$ من التنغستن: $a \sim v^2/2d = 7 \times 10^{21}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ ، واستطاعة لارمور $1.2 \times 10^{-4}\,\mathrm{W}$ خلال $1.6 \times 10^{-14}\,\mathrm{s}$ : أي $2 \times 10^{-18}\,\mathrm{J}$ ، ونحو $0.02\%$ من طاقته يُشعّ إشعاعَ الكبح (بريمشترالونغ) في الأنبوب — والباقي حرارة، ولذلك يُبرَّد المصعد. وأما إلكترون ذرة الهدروجين الكلاسيكي، وتسارعه $v^2/r = 9 \times 10^{22}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ ، فكان يشعّ $5 \times 10^{-8}\,\mathrm{W}$ ويهوي حلزونيًّا إلى النواة في $1 \times 10^{-11}\,\mathrm{s}$ : فالفيزياء الكلاسيكية تمنع الذرات، والفصل 30 ينقذها.

17.3 تبعثر رايلي: السماء الزرقاء

قضية 17.6 (التبعثر على إلكترون مرتبط)

موجة سعتها $E_0$ وتواترها $\omega$ ترد على ذرة تُنمذَج إلكترونًا مرتبطًا ارتباطًا مرنًا رنينه $\omega_0 \gg \omega$ (الفصل 14): فيتذبذب الإلكترون بسعة $eE_0/m\omega_0^2$ ، وتصير الذرة ثنائي قطب $p_0 = e^2E_0/m\omega_0^2$ موافقًا في الطور للحقل، وتعيد إشعاع الاستطاعة $\mathcal P = p_0^2\omega^4/12\pi \varepsilon_0c^3$ . ونسبة تلك الاستطاعة إلى الشدة الواردة هي المقطع العرضي للتبعثر

\sigma = \frac{\mathcal P}{\varepsilon_0cE_0^2/2} = \frac{8\pi}3\,r_e^2\Bigl(\frac\omega{\omega_0}\Bigr)^4 , \qquad r_e = \frac{e^2}{4\pi\varepsilon_0mc^2} = 2.8 \times 10^{-15}\,\mathrm{m} :

أي قانون رايلي، $\sigma \propto \omega^4 \propto 1/\lambda^4$ . وأما الإلكترون الحر ( $\omega_0 = 0$ ) فمقطعه العرضي $\sigma_T = 8\pi r_e^2/3 = 6.65 \times 10^{-29}\,\mathrm{m}^{2}$ ، ولا يتعلق بالتواتر (تبعثر طومسون).

برهان. من نموذج لورنتز مع $\omega \ll \omega_0$ وتخامد مهمَل، $\underline{\vect r} = -e\underline{\vect E}/m\omega_0^2$ ؛ عوّض $p_0$ في الاستطاعة واقسم على $I = \varepsilon_0cE_0^2/2$ ؛ و $r_e$ يجمع الثوابت. وأما الإلكترون الحر: $\vect r = e\vect E/m\omega^2$ (في تعاكس الطور)، و $p_0 = e^2E_0/m\omega^2$ ، فيختصر $\omega^4$ . ∎

مثال 17.7 (سماء زرقاء، وغروب أحمر، وغيوم بيضاء)

الضوء البنفسجي ( $400\,\mathrm{nm}$ ) يتبعثر $(700/400)^4 = 9.4$ ضعف ما يتبعثر الأحمر: فالسماء، وهي مضاءة بضوء الشمس المتبعثر، زرقاء (لا بنفسجية: إذ تصدر الشمس بنفسجيًّا أقلّ وتراه العين رؤية سيئة). وعند الغروب يقطع الضوء المباشر من الهواء أربعين ضعف ما يقطعه عند الظهر ويفقد زرقته لسماء أماكن أخرى: فيحمرّ. وكل جزيء هواء يتبعثر بمقطع $\sigma \approx 5 \times 10^{-31}\,\mathrm{m}^{2}$ عند $550\,\mathrm{nm}$ ؛ ومع $n = 2.5 \times 10^{25}\,\mathrm{m}^{-3}$ يكون المسار الحر الوسطي $1/n\sigma$ هو $80\,\mathrm{km}$ : أي إن عُشر الضوء الأخضر يتبعثر في نزوله عبر الجوّ، وثلث البنفسجي. وأما قطيرات الغيوم، وهي أكبر بكثير من $\lambda$ ، فليست مبعثرات رايلي: إذ تبعثر الألوان كلها بالسواء — فتكون بيضاء.

قضية 17.8 (الاستقطاب بالتبعثر)

الضوء الطبيعي المنتشر وفق $x$ يحدث ثنائيات قطب في المستوي $yz$ . والراصد الناظر وفق $y$ (أي على $90{}^{\circ}$ من الحزمة) لا يتلقى إشعاعًا من مركّبات ثنائي القطب وفق $y$ (وهي خط نظره) ويتلقى الإشعاع كله من المركّبات وفق $z$ : فالضوء المتبعثر مستقطب خطيًّا وفق $z$ ، عموديًّا على المستوي الذي يحوي الحزمة وخط النظر. وعند الزوايا الأخرى يكون مستقطبًا جزئيًّا، بالدرجة $(1 - \cos^2\chi)/(1 + \cos^2\chi)$ من أجل زاوية التبعثر $\chi$ .

برهان. للضوء الطبيعي الوارد $\vect E$ ذو مركّبتين متوسطاهما متساويان وفق $y$ و $z$ ؛ وثنائي القطب وفق $y$ لا يشعّ نحو $y$ ( $\sin \theta = 0$ )، وأما الذي وفق $z$ فيشعّ $\propto\sin\theta = 1$ . وعند الزاوية $\chi$ تنقص مساهمة المركّبة $y$ بالعامل $\cos^2\chi$ في الشدة. ∎

ضوء الشمس متبعثرًا على جزيء هواء: لثنائي القطب المحدَث مركّبات عمودية على الحزمة؛ والراصد على 90 لا يتلقى إلا المركّبة العمودية على خط نظره — أي ضوءًا مستقطبًا خطيًّا. والسماء هناك أشدّ زرقة وأشدّ استقطابًا. — ضوء الشمس متبعثرًا على جزيء هواء: لثنائي القطب المحدَث مركّبات عمودية على الحزمة؛ والراصد على $90{}^{\circ}$ لا يتلقى إلا المركّبة العمودية على خط نظره — أي ضوءًا مستقطبًا خطيًّا. والسماء هناك أشدّ زرقة وأشدّ استقطابًا.

ملاحظة 17.9 (لمَ يبلغنا الضوء الأزرق أصلًا)

في وسط منتظم تمامًا تتداخل الأمواج المتبعثرة على الجزيئات المتجاورة تداخلًا هدّامًا في كل جهة إلا الأمامية (وقرينة الانكسار هي تلك الموجة المتبعثرة أمامًا). والذي يترك شدة متبعثرة صافية هو تقلّبات كثافة الهواء — إذ ليست الجزيئات على شبكة — وهي متناسبة مع عدد الجزيئات، كما حُسب أعلاه من أجل واحد (أينشتاين، 1910). وهذا العشوائي نفسه يجعل ضوء السماء غير مترابط من نقطة إلى أخرى.

طريقة 17.10 (تقديرات الإشعاع)

(1) عيّن ثنائي القطب: $p_0 = q\,\times$ السعة، أو $I_0\ell/\omega$ من أجل سلك. (2) والحقل على البعد $r$ : $E \approx \mu_0\omega^2p_0\sin\theta/4\pi r$ ؛ والاستطاعة: $\mu_0\omega^4p_0^2/12\pi c$ . (3) ومن أجل شحنة متسارعة استعمل لارمور؛ ومن أجل هوائي استعمل مقاومة الإشعاع. (4) وفي التبعثر، احسب ثنائي القطب المحدَث من استجابة الوسط (بنموذج لورنتز) واقسم الاستطاعة المشعّة على الشدة الواردة. (5) وتذكّر الأصفار: فلا شيء على محور التذبذب، ومن هنا الاستقطاب عند $90{}^{\circ}$ وزاوية بروستر في الفصل 15.

17.4 تمارين

تمرين 17.1 ★

هوائي قصير طوله $1.0\,\mathrm{m}$ يحمل $2.0\,\mathrm{A}$ (سعةً) عند $100\,\mathrm{MHz}$ . أوجد سعة ثنائي القطب $p_0$ ؛ وسعة الحقل على $1\,\mathrm{km}$ في المستوي الاستوائي وعلى $30{}^{\circ}$ من المحور؛ والاستطاعة المشعّة؛ ومقاومة الإشعاع.

حل

حل التمرين 17.1.

$p_0 = I_0\ell/\omega = 3.2 \times 10^{-9}\,\mathrm{C}\,\mathrm{m}$ ؛ و $E = \mu_0\omega^2p_0\sin\theta/4\pi r$ : $0.13\,\mathrm{V}/\mathrm{m}$ عند $\theta = 90^\circ$ ، و $0.063\,\mathrm{V}/\mathrm{m}$ عند $30{}^{\circ}$ ؛ و $\mathcal P = \mu_0\omega^4p_0^2/12\pi c = 175\,\mathrm{W}$ ؛ و $R_{\text{إشعاع}} = 2\mathcal P/I_0^2 = 88\,\Omega$ .

تمرين 17.2 ★

أوجد مقاومة إشعاع سلك طوله $1\,\mathrm{m}$ عند $100\,\mathrm{kHz}$ ، و $1\,\mathrm{MHz}$ ، و $10\,\mathrm{MHz}$ ، و $100\,\mathrm{MHz}$ ؛ وقارنها بمقاومته النحاسية (قطره $1\,\mathrm{mm}$ ، مع الأثر القشري عند التواترات العليا، $\delta = 0.2\,\mathrm{mm}$ عند $100\,\mathrm{kHz}$ )؛ وأوجد المردود (المشعّ على الكلي) في كل حالة. ولمَ تكون صواري مرسلات الموجة الطويلة بعلوّ مئات الأمتار؟

حل

حل التمرين 17.2.

$790(\ell/\lambda)^2$ : $8.8 \times 10^{-5}\,\Omega$ ، $8.8 \times 10^{-3}\,\Omega$ ، $0.88\,\Omega$ ، $88\,\Omega$ . وأما النحاس: $0.026$ ، $0.084$ ، $0.27$ ، $0.84\,\Omega$ (بالأثر القشري): فالمردودات $0.3\%$ ، $10\%$ ، $77\%$ ، $99\%$ . وعند أطوال الموجة الطويلة لا تكون مقاومة الإشعاع فوق ضياعاته إلا لصارٍ يبلغ كسرًا معتبرًا من $\lambda$ .

تمرين 17.3 ★

أوجد نسبة تبعثر رايلي للضوء عند $400\,\mathrm{nm}$ ، و $550\,\mathrm{nm}$ ، و $700\,\mathrm{nm}$ ؛ ولطولي موجة الرادار $3\,\mathrm{cm}$ و $10\,\mathrm{cm}$ على قطرات المطر (لو كانت صغيرة كفاية — وهي ليست كذلك تمامًا)؛ ولمَ يستعمل رادار الطقس أطوال موجة قصيرة ليرى المطر وطويلة ليرى عبره؟

حل

حل التمرين 17.3.

$400 : 550 : 700 = 9.4 : 2.6 : 1$ . و $(10/3)^4 = 120$ : فرادار $3\,\mathrm{cm}$ يرى القطرات الصغيرة أحسن بمئة مرة؛ ورادار $10\,\mathrm{cm}$ ينظر عبر المطر إلى ما وراءه.

تمرين 17.4 ★

أوجد درجة استقطاب ضوء السماء على $30{}^{\circ}$ ، و $60{}^{\circ}$ ، و $90{}^{\circ}$ ، و $120{}^{\circ}$ من الشمس؛ وإلى أين في السماء يوجّه المصوّر مستقطبًا ليحصل على أشدّ زرقة داكنة، وماذا يحدث حين تكون الشمس في السمت؟ ولمَ لا يتجاوز العظم الحقيقي $75\%$ (فكّر في التبعثر المتعدد وفي ما تعكسه الأرض)؟

حل

حل التمرين 17.4.

$\sin^2\chi/(1 + \cos^2\chi)$ : $0.14$ ، $0.60$ ، $1$ ، $0.60$ . وجّهه إلى $90{}^{\circ}$ من الشمس (أي دائرة كبرى عبر السماء)؛ وحين تكون الشمس في السمت يقع الأفق كله على $90{}^{\circ}$ ويكون الاستقطاب على امتداده. والتبعثر المتعدد، وانعكاس الأرض، وتباين مناحي الجزيئات تضيف ضوءًا غير مستقطب: فنحو $75\%$ في أحسن الأحوال.

تمرين 17.5 ★★

(أ) كامِل شعاع بوينتنغ لثنائي القطب على كرة وتحقق من $\mathcal P = \mu_0\omega^4p_0^2/12\pi c$ . (ب) وأوجد النسبة من الاستطاعة المشعّة ضمن $30{}^{\circ}$ من المستوي الاستوائي. (ج) وزاوية نصف الاستطاعة: عند أي $\theta$ تكون الشدة نصف عظمها؟ (د) و"مكسب" ثنائي القطب، أي عظم الشدة على المتوسط المتماثل المناحي: بيّن أنه $1.5$ .

حل

حل التمرين 17.5.

(أ) $\int\sin^2\theta\,\dd\Omega = 8\pi/3$ . (ب) $\int_{60^\circ}^{120^\circ}\sin^3\theta\,\dd\theta/ (4/3) = 0.917/1.333 = 69\%$ . (ج) $\sin^2\theta = \tfrac12$ : $\theta = 45{}^{\circ}$ ، أي حزمة عرضها $90{}^{\circ}$ . (د) والعظم $1$ مقابل المتوسط $2/3$ : أي $1.5$ .

تمرين 17.6 ★★

القريب والبعيد. (أ) اكتب حقل ثنائي القطب شبه الساكن عند $\theta = 90^\circ$ ، $E_{\text{قريب}} = p/4\pi\varepsilon_0r^3$ ، والحقل الإشعاعي؛ وعلى أي بعد $r_0$ تتساوى سعتاهما؟ وعبّر عن $r_0$ بدلالة $\lambda$ . (ب) ومن أجل هوائي عند $1\,\mathrm{MHz}$ ، أوجد $r_0$ ؛ وأيّ الحقلين يحسّه مستقبل على $10\,\mathrm{m}$ ، وأيّهما على $10\,\mathrm{km}$ ؟ (ج) وهاتف محمول عند $1\,\mathrm{GHz}$ يُمسَك على $2\,\mathrm{cm}$ من الرأس: أفي المنطقة القريبة هو أم البعيدة؟ (د) ولمَ لا يحمل الحقل القريب استطاعة صافية بعيدًا؟

حل

حل التمرين 17.6.

(أ) $p/4\pi\varepsilon_0r^3 = \omega^2p/4\pi\varepsilon_0c^2r$ عند $r_0 = c/\omega = \lambda/2\pi$ . (ب) $48\,\mathrm{m}$ : فعلى $10\,\mathrm{m}$ الحقل شبه الساكن، وعلى $10\,\mathrm{km}$ الحقل المشعّ. (ج) $r_0 = 4.8\,\mathrm{cm}$ : فالرأس في المنطقة القريبة. (د) وحقلا المنطقة القريبة $\vect E$ و $\vect B$ في التربيع: فمتوسط شعاع بوينتنغ معدوم، وتُخزَّن الطاقة وتُعاد، كما في مكثفة.

تمرين 17.7 ★★

طومسون والإكليل. (أ) احسب $\sigma_T$ . (ب) وفي إكليل الشمس $n_e \approx 1 \times 10^{14}\,\mathrm{m}^{-3}$ على $10^9$ متر: أوجد النسبة من ضوء الكرة الضوئية المتبعثر نحونا؛ ولمَ يكون الإكليل أبيض ولا يُرى إلا في أثناء الكسوف؟ (ج) وأشعة سينية طاقتها $10\,\mathrm{keV}$ على ذرة كربون ( $6$ إلكترونات، وطاقات ارتباطها دون $300\,\mathrm{eV}$ ): لمَ تتبعثر الإلكترونات كأنها حرة، وما مقطع الذرة العرضي؟ (د) ولمَ تختلف صورة العظم بالأشعة السينية عن اللحم بالامتصاص أساسًا، لا بتبعثر طومسون؟

حل

حل التمرين 17.7.

(أ) $8\pi r_e^2/3 = 6.65 \times 10^{-29}\,\mathrm{m}^{2}$ . (ب) $n_e\sigma_TL = 10^{14} \times 6.65 \times 10^{-29} \times 10^9 = 7 \times 10^{-6}$ : أي جزء من مليون من الكرة الضوئية، بلا لون لأن تبعثر طومسون كذلك، ويغرقه ضوء الشمس المتبعثر في السماء إلا عند الكسوف. (ج) و $10\,\mathrm{keV}$ $\gg$ $300\,\mathrm{eV}$ : فتستجيب الإلكترونات استجابة حرة، $6\sigma_T = 4 \times 10^{-28}\,\mathrm{m}^{2}$ . (د) والامتصاص الكهرضوئي ينمو وفق $Z^4$ ويفرز الكلسيوم؛ أما التبعثر فهو نفسه لكل إلكترون في العظم واللحم.

تمرين 17.8 ★★

الغروب. العمق البصري للجوّ من أجل تبعثر رايلي في السمت هو $\tau(\lambda) = 0.1\,(550\,\text{nm}/\lambda)^4$ (ويُوهَن الضوء المباشر بالعامل $\eu^{-\tau}$ ). (أ) أوجد النفاذية في السمت عند $400\,\mathrm{nm}$ ، و $550\,\mathrm{nm}$ ، و $700\,\mathrm{nm}$ . (ب) وعند الغروب يطول المسار $38$ ضعفًا: أوجد النفاذيات؛ ونسبة الأحمر إلى الأزرق. (ج) ولمَ يحمرّ القمر في أثناء خسوفه؟ (د) ولمَ تكون السماء قرب الأفق بيضاء لا زرقاء غامقة؟

حل

حل التمرين 17.8.

(أ) $\tau = 0.36$ ، $0.10$ ، $0.038$ : $T = 0.70$ ، $0.90$ ، $0.96$ . (ب) و $\tau \times 38 = 13.6$ ، $3.8$ ، $1.45$ : $T = 1 \times 10^{-6}$ ، $0.02$ ، $0.23$ ؛ والأحمر على الأزرق $\sim 2 \times 10^5$ . (ج) وجوّ الأرض يحني ضوء الغروب إلى داخل الظل، محمرًّا بالتبعثر نفسه. (د) وقرب الأفق يطول المسار: فيتبعثر الأزرق خارجًا من الضوء المتبعثر نفسه، ويضيف التبعثر المتعدد بياضًا.

تمرين 17.9 ★★

هوائيان. ثنائيا قطب شاقوليان يبعد أحدهما عن الآخر $d$ وفق $x$ يُغذَّيان بالسعة نفسها. (أ) على توافق الطور، $d = \lambda/2$ : في أي الجهات الأفقية يتجمع حقلاهما البعيدان، وفي أيها يتلاشيان؟ (وهي الرصّة العرضية). (ب) وعلى تعاكس الطور، $d = \lambda/2$ : الشيء نفسه (الرصّة الطرفية). (ج) وعلى التربيع، $d = \lambda/4$ : بيّن أن الرصّة تشعّ نحو جهة واحدة فقط. (د) ولمَ تستعمل محطات البثّ AM عدة صوارٍ، وكيف يوجّه رادار الرصّة الطورية حزمته من غير حركة؟

حل

حل التمرين 17.9.

(أ) على استقامة الزوجين يعطي فرق المسير $\lambda/2$ تلاشيًا؛ وعرضًا يعطي تجمّعًا. (ب) وعلى تعاكس الطور: العكس — إشعاع على الاستقامة (الرصّة الطرفية)، ولا شيء عرضًا. (ج) ونحو $+x$ : تأخّر المسير $-\pi/2$ زائدًا طور التغذية $+\pi/2$ ، أي توافق في الطور؛ ونحو $-x$ : $-\pi$ ، أي تلاشٍ: فيكون النقش قلبيًّا، من جهة واحدة. (د) والصواري تشكّل التغطية وتحمي الجيران؛ والرصّة الطورية توجّه بتغيير أطوار التغذية، في ميكروثوانٍ.

تمرين 17.10 ★★★

التخامد الإشعاعي. إلكترون لورنتز (الفصل 14) المتذبذب عند $\omega_0$ بسعة $x_0$ يشعّ بصيغة لارمور. (أ) أوجد متوسط الاستطاعة المشعّة؛ وطاقة المذبذب $\tfrac12m\omega_0^2x_0^2$ ؛ وبيّن أن الطاقة تتناقص بالمعدل $\Gamma = e^2\omega_0^2/6\pi\varepsilon_0mc^3$ . (ب) وأوجد قيمة $\Gamma$ من أجل خط الصوديوم ( $589\,\mathrm{nm}$ )؛ وقارنها بالمقدار $\Gamma$ المستعمل في التمرين 14.9. (ج) والعمر $1/\Gamma$ والعرض الطبيعي للخط، $\Delta\lambda = \lambda^2\Gamma/2\pi c$ . (د) وعامل جودة المذبذب الذري $\omega_0/\Gamma$ .

حل

حل التمرين 17.10.

(أ) $\langle\mathcal P\rangle = e^2\omega_0^4x_0^2/12\pi\varepsilon_0c^3$ ، و $W = \tfrac12m\omega_0^2x_0^2$ : $\Gamma = \mathcal P/W = e^2\omega_0^2/6\pi\varepsilon_0mc^3$ . (ب) و $\omega_0 = 3.2 \times 10^{15}\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}$ : $\Gamma = 6.4 \times 10^{7}\,\mathrm{s}^{-1}$ — وهي القيمة المستعملة. (ج) و $16\,\mathrm{ns}$ ؛ و $\Delta\lambda = \lambda^2\Gamma/2\pi c = 1.2 \times 10^{-14}\,\mathrm{m}$ ، أي جزء من مئة من البيكومتر ( $10\,\mathrm{MHz}$ ). (د) و $Q = 5 \times 10^7$ .

تمرين 17.11 ★★★

الصاري. محطة AM تشعّ $50\,\mathrm{kW}$ عند $1\,\mathrm{MHz}$ من صارٍ شاقولي ارتفاعه $\lambda/4$ على أرض ناقلة (وهي تعمل مرآةً، فتجعل الصاري نصف ثنائي قطب نصف موجي: $R_{\text{إشعاع}} \approx 36\,\Omega$ ، وتذهب الاستطاعة إلى نصف الفضاء العلوي وحده). (أ) أوجد الارتفاع؛ والتيار عند القاعدة. (ب) وسعة الحقل على $10\,\mathrm{km}$ في المستوي الأفقي (استعمل نقش ثنائي القطب، و $\mathcal P$ على نصف الكرة العلوي $= \int\langle\Pi\rangle\dd S$ ؛ وخذ $\langle\Pi\rangle = 1.5\, \mathcal P/2\pi r^2$ عند الأفق تقديرًا معقولًا). (ج) والقوة المحركة في سوط استقبال طوله $1\,\mathrm{m}$ هناك. (د) ولمَ تهمّ ناقلية الأرض، ولمَ تُدفن أسلاك نحاسية قطرية تحت الصاري؟

حل

حل التمرين 17.11.

(أ) $75\,\mathrm{m}$ ؛ و $I_0 = \sqrt{2\mathcal P/R} = 53\,\mathrm{A}$ . (ب) و $\langle\Pi\rangle = 1.5 \times 5 \times 10^4/2\pi \times 10^8 = 1.2 \times 10^{-4}\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$ ، و $E_0 = \sqrt{2\Pi/\varepsilon_0c} = 0.30\,\mathrm{V}/\mathrm{m}$ . (ج) $0.30\,\mathrm{V}$ . (د) وتيارات العودة تجري في الأرض؛ فالتربة المقاومة تضيف ضياعات وتفسد المرآة؛ والأسلاك القطرية المدفونة تعطيها مسارًا نحاسيًّا.

تمرين 17.12 ★★★

التبعثر والقرينة. في غاز مخلخل تتجمع الأمواج المتبعثرة أمامًا على الجزيئات كلها تجمعًا مترابطًا فتبني قرينة الانكسار، $n - 1 = N\alpha/2\varepsilon_0$ حيث $\alpha = e^2/m\omega_0^2$ هي الاستقطابية؛ ومقطع رايلي العرضي هو $\sigma = (8\pi/3)r_e^2(\omega/\omega_0)^4$ . (أ) عبّر عن $\sigma$ بدلالة $n$ و $N$ و $\lambda$ : $\sigma = 8\pi^3(n^2 - 1)^2/3N^2\lambda^4$ . (ب) ومن أجل الهواء ( $n - 1 = 2.9 \times 10^{-4}$ ، و $N = 2.5 \times 10^{25}\,\mathrm{m}^{-3}$ ) عند $550\,\mathrm{nm}$ : أوجد $\sigma$ والمسار الحر الوسطي $1/N\sigma$ . (ج) والعمق البصري الشاقولي للجوّ (بارتفاع مكافئ $8\,\mathrm{km}$ )؛ وقارنه بالقيمة $0.1$ في التمرين 17.8. (د) ولمَ أعطت هذه العلاقة (رايلي، 1899) قيمةً لعدد أفوغادرو؟

حل

حل التمرين 17.12.

(أ) $p_0 = \alpha E_0$ يعطي $\sigma = \alpha^2\omega^4/6\pi\varepsilon_0^2c^4$ ؛ ومع $\alpha = \varepsilon_0(n^2 - 1)/N$ و $\omega = 2\pi c/\lambda$ : $\sigma = 8\pi^3(n^2 - 1)^2/3N^2\lambda^4$ . (ب) و $n^2 - 1 = 5.8 \times 10^{-4}$ : $\sigma = 4.9 \times 10^{-31}\,\mathrm{m}^{2}$ ، والمسار الحر الوسطي $1/N\sigma = 80\,\mathrm{km}$ . (ج) و $8/80 = 0.1$ . (د) ويُقاس $\sigma$ من وهن السماء، و $n$ معلومة: فينتج $N$ ، ومن ثَمّ عدد أفوغادرو.

17.5 مسألة: الصاري والسماء والإلكترون

مسألة 17.1

مسألة نهاية الأسبوع — ثلاثة هوائيات: صاري بثّ، وجزيء هواء في ضوء الشمس، وإلكترون حر

الجزء الأول — الصاري. محطة موجة متوسطة عند $f = 1.0\,\mathrm{MHz}$ تشعّ $\mathcal P = 100\,\mathrm{kW}$ من صارٍ ربع موجي على أرض ناقلة ( $R_{\text{إشعاع}} = 36\,\Omega$ ، ونقشه نقش ثنائي قطب شاقولي على نصف الفضاء العلوي، كما في التمرين 17.11).

أوجد طول الموجة وارتفاع الصاري؛ وسعة التيار عند قاعدته؛ والتوتر على $R_{\text{إشعاع}}$ .
وسعة عزم ثنائي القطب المكافئ، بمعاملة الصاري ثنائيَ قطب قصير $p_0 = I_0\ell_{\text{فعّال}}/\omega$ ، مع $\ell_{\text{فعّال}} \approx \lambda/2\pi$ من أجل الصاري الربع موجي (وهو مقبول).
ومتوسط الشدة على $10\,\mathrm{km}$ وعلى $100\,\mathrm{km}$ في المستوي الأفقي (خذ نقش نصف الكرة العلوي، وهو أعظم عند الأفق، $\langle\Pi\rangle = 1.5\mathcal P/2\pi r^2$ )؛ وسعتي الحقل.
والقوة المحركة في سوط شاقولي طوله $1\,\mathrm{m}$ على $100\,\mathrm{km}$ ؛ وفي هوائي قضيب فرّيتي (وشيعة من $N = 100$ لفة، $1\,\mathrm{cm}^{2}$ ، ونفوذية فعّالة $100$ ) مواجهًا حقلَ $\vect B$ للموجة: قارن.
والاستطاعة التي يتلقاها مستقبِل موائم هوائيه مساحته الفعّالة $A = 1.5\lambda^2/4\pi$ (وهي مساحة ثنائي القطب) على $100\,\mathrm{km}$ .
ولنواقل الصاري مقاومة ضياع كلية $2\,\Omega$ : أوجد المردود؛ والاستطاعة الضائعة حرارةً.
أيقع مستقبل على $10\,\mathrm{km}$ في منطقة الإشعاع؟ وآخر على $100\,\mathrm{m}$ من الصاري؟
ولمَ تبلغ إشارات الموجة المتوسطة أبعدَ ليلًا؟ (تذكّر الطبقة D في الفصل 14.)

الجزء الثاني — السماء. الهواء عند مستوى البحر: $N = 2.5 \times 10^{25}\,\mathrm{m}^{-3}$ ، ومقطع رايلي العرضي $\sigma = 4.6 \times 10^{-31}\,\mathrm{m}^{2}\,(550\,\text{nm}/\lambda)^4$ ؛ وضوء الشمس $1.0\,\mathrm{kW}/\mathrm{m}^{2}$ عند الأرض؛ وسماكة الجوّ المكافئة عند كثافة مستوى البحر هي $8\,\mathrm{km}$ .

أوجد المقطع العرضي عند $450\,\mathrm{nm}$ وعند $650\,\mathrm{nm}$ ؛ والنسبة.
والمسار الحر الوسطي للألوان الثلاثة؛ والعمق البصري الشاقولي $\tau = N\sigma H$ ؛ والنسبة المتبعثرة من كل لون خارج الحزمة المباشرة في السمت.
والاستطاعة المتبعثرة في المتر المكعب من الهواء عند الأرض على الضوء الأخضر (خذ $300\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$ من ضوء الشمس حول $550\,\mathrm{nm}$ )؛ وفي أي زاوية مجسمة، وبأي نقش؟
وعمود هواء مقطعه $1\,\mathrm{m}^{2}$ يُنظر إليه على $90{}^{\circ}$ من الشمس: قدّر شدة ضوء السماء الواصل إلى الراصد من ذلك العمود (أي الاستطاعة المتبعثرة نحوه في وحدة الزاوية المجسمة، على امتداد $8\,\mathrm{km}$ )، وقارنها بالشمس المباشرة؛ أتكون سطوع السماء من الرتبة الصحيحة (نحو $1 \times 10^{-5}\,$ من سطوع الشمس)؟
ودرجة استقطاب الضوء الآتي من ذلك العمود؛ ولمَ تكون أدنى في الواقع، وكيف تستعملها بعض الحشرات؟
وعند الغروب يكون المسار $38$ جوًّا: أوجد النسبتين النافذتين من الأزرق والأحمر؛ ولون الشمس؛ ولمَ تبقى السماء فوق الرأس زرقاء.
ولمَ تكون السماء سوداء على القمر حتى في وضح النهار؟
وعلى المريخ يكون الهواء أرقّ بمئة مرة لكنه مليء بغبار ناعم (حبيبات بالميكرومتر): لمَ تكون سماء المريخ بلون الكرمل وغروبها أزرق؟

الجزء الثالث — الإلكترون.

أوجد مقطع طومسون العرضي من $r_e$ .
وفي أنبوب أشعة سينية يتوقف إلكترون طاقته $100\,\mathrm{keV}$ ( $v = 1.6 \times 10^{8}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ، عامله معاملة لانسبية) على $2\,\text{µ}\mathrm{m}$ في التنغستن: أوجد التسارع، واستطاعة لارمور، والمدة، والطاقة المشعّة ونسبتها من الطاقة الحركية.
وأقصر طول موجة يستطيع الأنبوب إصداره (أي فوتون يأخذ طاقة الإلكترون كلها).
ويعمل الأنبوب على $20\,\mathrm{mA}$ : أوجد الاستطاعة المشعّة؛ والحرارة في المصعد؛ ولمَ يدور المصعد.
وإلكترون كلاسيكي يدور حول بروتون على نصف قطر بور ( $5.3 \times 10^{-11}\,\mathrm{m}$ ، بسرعة $2.2 \times 10^{6}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ): أوجد التسارع، واستطاعة لارمور، والزمن اللازم لإشعاع طاقته $13.6\,\mathrm{eV}$ — أي عمر الذرة الكلاسيكية.
والذرات الحقيقية تدوم أبدًا: سمِّ ما تفوته الفيزياء الكلاسيكية هنا، وما ستقوله الفصل 30 عن الحالة المستقرة.
وإلكترون في سنكروترون نصف قطره $100\,\mathrm{m}$ عند $v \approx c$ : أيّ استطاعة تعطي صيغة لارمور اللانسبية؟ (والاستطاعة الحقيقية أكبر بالعامل $\gamma^4$ ، مع $\gamma \sim 10^4$ : وهو منبع الضوء السنكروتروني.)
والإلكترون نفسه ساكنًا في $1\,\mathrm{kW}/\mathrm{m}^{2}$ من ضوء الشمس: أوجد الاستطاعة التي يعيد إشعاعها (بطومسون)؛ وعدد الإلكترونات اللازم لتبعثر واط واحد.
ولخّص الهوائيات الثلاثة في جدول: عزم ثنائي القطب، والتواتر، والاستطاعة، والنقش.

حل

حل المسألة 17.1.

1. $\lambda = 300\,\mathrm{m}$ ، و $h = 75\,\mathrm{m}$ ؛ و $I_0 = \sqrt{2 \times 10^5/36} = 75\,\mathrm{A}$ ؛ و $V = RI_0 = 2.7\,\mathrm{kV}$ .

2. $\ell_{\text{فعّال}} = 48\,\mathrm{m}$ : $p_0 = 75 \times 48/6.3 \times 10^6 = 5.7 \times 10^{-4}\,\mathrm{C}\,\mathrm{m}$ .

3. $\langle\Pi\rangle = 1.5 \times 10^5/2\pi r^2$ : $2.4 \times 10^{-4}\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$ و $2.4 \times 10^{-6}\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$ ؛ و $E_0 = 0.42\,\mathrm{V}/\mathrm{m}$ و $0.042\,\mathrm{V}/\mathrm{m}$ .

4. السوط: $42\,\mathrm{mV}$ . والقضيب: $N\mu_{\text{فعّال}}A\omega B_0 = 10^4 \times 10^{-4} \times 6.3 \times 10^6 \times 1.4 \times 10^{-10} = 0.9\,\mathrm{mV}$ — أي أقلّ، لكنه صغير وانتقائي.

5. $A = 1.5\lambda^2/4\pi = 1.1 \times 10^{4}\,\mathrm{m}^{2}$ : $P = \Pi A = 26\,\mathrm{mW}$ .

6. $36/38 = 95\%$ ؛ و $5\,\mathrm{kW}$ حرارةً.

7. $r/\lambda = 33$ على $10\,\mathrm{km}$ : أي منطقة الإشعاع؛ وعلى $100\,\mathrm{m}$ ، $r \approx \lambda/3$ : أي منطقة الانتقال، حيث لا يزال الحقل شبه الساكن يُحسب له حساب.

8. نهارًا تمتص الطبقة D الموجة التي كانت لولاها تبلغ الطبقات العاكسة؛ وليلًا تزول فتحمل الموجة السماوية المحطة مئات الكيلومترات.

9. $\sigma(450) = 1.0 \times 10^{-30}\,\mathrm{m}^{2}$ ، و $\sigma(650) = 2.4 \times 10^{-31}\,\mathrm{m}^{2}$ : والنسبة $4.4$ .

10. المسارات الحرة الوسطى $39$ ، $87$ ، $170\,\mathrm{km}$ ؛ و $\tau = 0.21$ ، $0.09$ ، $0.05$ : أي $19\%$ ، $9\%$ ، $5\%$ متبعثرة.

11. $N\sigma I = 2.5 \times 10^{25} \times 4.6 \times 10^{-31} \times 300 = 3.5\,\mathrm{mW}/\mathrm{m}^{3}$ ، في $4\pi$ بالنقش $(1 + \cos^2\chi)$ من أجل الضوء الطبيعي.

12. يبعثر العمود $3.5 \times 10^{-3} \times 8000 = 28\,\mathrm{W}$ من $300\,\mathrm{W}$ ( $9\%$ )؛ وبتوزّعها على نصف الكرة تعطي السماء نحو $4\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}\,\mathrm{sr}^{-1}$ ، مقابل $300/6.8 \times 10^{-5} = 4 \times 10^{6}\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}\,\mathrm{sr}^{-1}$ للشمس: أي جزء من مليون في الستراديان — وهي الرتبة الصحيحة.

13. مستقطب تمامًا عند $90{}^{\circ}$ في التبعثر الأحادي؛ والتبعثر المتعدد والأرض يخفضانه إلى نحو $75\%$ ؛ والنحل والنمل يقرأان النقش ليجدا الشمس خلف الغيوم.

14. $\tau \times 38$ : الأزرق $8$ ( $T = 3 \times 10^{-4}$ )، والأحمر $1.8$ ( $T = 0.17$ ): أي شمس حمراء غامقة؛ وفوق الرأس يصل الضوء بعد مسار قصير فيكون أزرق.

15. لا جوّ، فلا شيء يبعثر: فالسماء سوداء بجوار الشمس.

16. غبار الميكرومتر يبعثر تبعثر جسيمات مي: أمامًا وأحمر، فيعطي سماء بلون الكرمل؛ وقرب الشمس الغاربة يكون الضوء المتبعثر أمامًا أزرق.

17. $8\pi r_e^2/3 = 6.65 \times 10^{-29}\,\mathrm{m}^{2}$ .

18. $a = v^2/2d = 6.4 \times 10^{21}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ ؛ و $\mathcal P = e^2a^2/6\pi\varepsilon_0c^3 = 2 \times 10^{-10}\,\mathrm{W}$ خلال $2d/v = 2.5 \times 10^{-14}\,\mathrm{s}$ : أي $6 \times 10^{-24}\,\mathrm{J}$ ، و $10^{-10}$ من $100\,\mathrm{keV}$ — والمردود الحقيقي قرب $1\%$ ، لأن الكبح يقع في لقاءات قريبة عنيفة مع النوى، لا في تباطؤ منتظم لطيف.

19. $hc/E = 12.4\,\mathrm{pm}$ .

20. $2\,\mathrm{kW}$ في الحزمة، ونحو $20\,\mathrm{W}$ أشعةً سينية؛ وكيلوواطان حرارةً في بقعة — ولذلك يدور المصعد لينشرها.

21. $a = v^2/r = 9 \times 10^{22}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ ، و $\mathcal P = 5 \times 10^{-8}\,\mathrm{W}$ ؛ وتذهب $13.6\,\mathrm{eV}$ في $5 \times 10^{-11}\,\mathrm{s}$ .

22. الشحن الكلاسيكي في حركة مرتبطة يشعّ باستمرار؛ أما الميكانيك الكمومي فله حالات مستقرة لا تشعّ، وأدناها لا مهوى تحتها.

23. $a = c^2/R = 9 \times 10^{14}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ : أي $5 \times 10^{-24}\,\mathrm{W}$ بلارمور، و $\gamma^4 \sim 10^{16}$ ضعف ذلك في الواقع: فعشرات الكيلوواطات من الضوء السنكروتروني من حزمة مخزونة.

24. $\sigma_TI = 6.7 \times 10^{-26}\,\mathrm{W}$ ؛ و $1.5 \times 10^{25}$ إلكترون من أجل واط.

25. الصاري: $5.7 \times 10^{-4}\,\mathrm{C}\,\mathrm{m}$ عند $1\,\mathrm{MHz}$ ، و $100\,\mathrm{kW}$ ، وكعكة شاقولية. والجزيء: $\sim$ $1 \times 10^{-35}\,\mathrm{C}\,\mathrm{m}$ عند $500\,\mathrm{THz}$ ، و $1 \times 10^{-28}\,\mathrm{W}$ ، وكعكة حول الحقل. والإلكترون الحر: طومسون، $1 \times 10^{-25}\,\mathrm{W}$ في ضوء الشمس، والنقش نفسه.