الفيزياء الجامعية — السنة الثانية · Bachelor Year 2

23الليزر: الإصدار المستحثّ والحزم الغاوسية

نقطة حمراء على شاشة قاعة الدرس، وقارئ الرمز الشريطي عند الصندوق، والحزمة التي تقرأ قرصًا، وتلحم هيكل سيارة، وتحمل الإنترنت تحت المحيطات، وتصحّح قرنية، وتقيس المسافة إلى القمر بالمليمتر: وكل واحدة منها ليزر، وهو منبع ضوء لا يشبه لهبًا ولا مصباحًا. فضوءه لون واحد بدقة جزء من مليار، ويبقى حزمة بالمليمترات عبر غرفة، ويمكن تجميعه في بقعة عرضها بضعة أطوال موجة، حيث تتجاوز استضاءته استضاءة سطح الشمس بمليون مرة. وليس شيء من هذا آتيًا من ذرة من نوع جديد: بل من عملية عيّنها أينشتاين عام 1917 — وهي الإصدار المستحثّ، أي إصدار فوتون مطابق لفوتون موجود — ومن ترتيب المادة بحيث تغلب هذه العملية على الامتصاص، ثم وضع المضخّم بين مرآتين بحيث يغذّي نفسه. وهذا الفصل يبني الليزر على ثلاث خطوات: كيف يتبادل الضوء وجمهرة من الذرات الطاقة (أي معاملات أينشتاين)، ومتى يكون التبادل تضخيمًا (أي انقلاب الجمهرة والربح)، ومتى يصير المضخّم مذبذبًا (أي الجوف، وعتبته وأنماطه). وينتهي بشكل الحزمة الخارجة، وهي الحزمة الغاوسية، التي يقرر خصرها وتفرّجها ما يستطيع الليزر فعله على بعد وعند بؤرة.

منضدة بصرية: ليزر، ومرايا، وعدسات، وحزمة تبقى خطًّا رفيعًا عبر الغرفة كلها — وهي التوجيهية التي لا يعطيها مصباح.

23.1 الضوء والمادة: العمليات الثلاث

تعريف 23.1 (الامتصاص والإصدار التلقائي والمستحثّ)

لتكن ذرات لها مستويا طاقة $E_1 < E_2$ ، وجمهرتاهما (أي كثافتا العدد) $N_1$ و $N_2$ ، وضوء تواتره $\nu$ مع $h\nu = E_2 - E_1$ وكثافة طاقة طيفية $u(\nu)$ (أي الطاقة في وحدة الحجم ووحدة التواتر). وثلاث عمليات تتبادل الطاقة:

الامتصاص: ذرة في $E_1$ تمتصّ فوتونًا فترتفع إلى $E_2$ ، بالمعدل $B_{12}\,u(\nu)\,N_1$ في وحدة الحجم والزمن؛
الإصدار التلقائي: ذرة في $E_2$ تهبط إلى $E_1$ من تلقائها، فتصدر فوتونًا في جهة عشوائية وبطور عشوائي، بالمعدل $A_{21}N_2$ — و $1/A_{21} = \tau$ هو عمر المستوي؛
الإصدار المستحثّ: فوتون تواتره $\nu$ يمرّ بذرة في $E_2$ يحملها على الهبوط، فتصدر فوتونًا ثانيًا مطابقًا للأول (أي التواتر نفسه والجهة والطور والاستقطاب)، بالمعدل $B_{21}\,u(\nu)\,N_2$ .

و $A_{21}$ و $B_{12}$ و $B_{21}$ هي معاملات أينشتاين للانتقال.

قضية 23.2 (علاقات أينشتاين)

من أجل مستويين غير منحلَّين،

B_{12} = B_{21} \equiv B, \qquad \frac{A_{21}}{B_{21}} = \frac{8\pi h\nu^3}{c^3}.

فللإصدار المستحثّ والامتصاص المعامل نفسه؛ وينمو المعدل التلقائي وفق $\nu^3$ بالنسبة إلى المعدل المستحثّ.

برهان. ضع الذرات في توازن مع الإشعاع عند الحرارة $T$ . ونستعير واقعتين من فصول لاحقة: نسبة جمهرتي مستويين عند التوازن $N_2/N_1 = \eu^{-h\nu/k_BT}$ (أي عامل بولتزمان، الفصل 29)، وللإشعاع المتوازن كثافة بلانك الطيفية $u(\nu) = (8\pi h\nu^3/c^3)/(\eu^{h\nu/k_BT} - 1)$ (الفصل 26). وعند التوازن تكون جمهرتا المستويين مستقرتين: $B_{12}uN_1 = A_{21}N_2 + B_{21}uN_2$ ، ومن ثَمّ

u = \frac{A_{21}}{B_{12}\,N_1/N_2 - B_{21}} = \frac{A_{21}}{B_{12}\eu^{h\nu/k_BT} - B_{21}}.

ويجب أن يساوي هذا عبارة بلانك عند كل $T$ : فحدّ $T \to \infty$ (حيث $u \to \infty$ ) يفرض $B_{12} = B_{21}$ ، وتعطي المقارنة عندئذ $A_{21}/B_{21} = 8\pi h\nu^3/c^3$ . والمعاملات خواصّ للذرة، فالعلاقات صحيحة خارج التوازن أيضًا. ∎

ملاحظة 23.3 (لمَ لا تضخّم المصابيح)

في غاز عند $300\,\mathrm{K}$ ، من أجل انتقال مرئي ( $h\nu \approx 2\,\mathrm{eV}$ ، و $k_BT \approx 0.025\,\mathrm{eV}$ )، يكون $N_2/N_1 = \eu^{-80} \approx 10^{-35}$ : أي لا ذرة مثارة عمليًّا، ولا يُمتصّ الضوء إلا امتصاصًا. والتفريغ أو اللهب يعمر $E_2$ ، لكن مع $N_2 < N_1$ مع ذلك، وكل فوتون مصدَر يغلبه عدد الامتصاصات؛ زد على ذلك أن نسبة الإصدار التلقائي إلى المستحثّ عند التوازن، $A_{21}/(B_{21}u) = \eu^{h\nu/k_BT} - 1$ ، كبيرة كِبَرًا فلكيًّا في المرئي — فضوء المصباح تلقائي: أطوار عشوائية، وجهات كلها، وعرض الخط كاملًا. ولا ينافس الإصدار المستحثّ طبيعيًّا إلا عند التواترات الراديوية والميكروية ( $h\nu \ll k_BT$ )؛ وقد كان أول جهاز من هذا النوع هو الميزر فعلًا، عند $24\,\mathrm{GHz}$ (1954)، قبل الليزر الضوئي (1960).

العمليات الثلاث بين مستويين: الامتصاص يأخذ فوتونًا؛ والإصدار التلقائي يضيف فوتونًا عشوائي الطور والجهة؛ والإصدار المستحثّ يضيف فوتونًا مطابقًا للوارد — أي نسخة.

23.2 التضخيم: انقلاب الجمهرة والربح

قضية 23.4 (ربح وسط)

حزمة شدتها $I$ عند التواتر $\nu$ تعبر الوسط تكسب طاقة بالإصدار المستحثّ وتفقدها بالامتصاص (والإصدار التلقائي يذهب في الجهات كلها ولا يكاد يسهم في الحزمة). وعلى طول $\dd z$ ،

\dd I = \sigma\,(N_2 - N_1)\,I\,\dd z, \qquad I(z) = I(0)\,\eu^{g z}, \qquad g = \sigma(N_2 - N_1),

حيث $\sigma$ (وهو مساحة، أي المقطع العرضي للانتقال، $\sigma \propto B\,h\nu/c$ ) يقيس شدة الانتقال. ولا يضخّم الوسط ( $g > 0$ ) إلا إذا كان

N_2 > N_1 :

أي انقلاب جمهرة. ومن دونه ( $N_2 < N_1$ ، وهي حال كل وسط عند التوازن) تُمتصّ الحزمة.

برهان. في وحدة الحجم والزمن، تضيف $B u (N_2 - N_1)$ انتقالًا (أو تنزع) فوتونًا $h\nu$ إلى الحزمة؛ ومع $u = I/c$ (في وحدة التواتر، على عرض الخط)، تكون الاستطاعة المكتسبة في وحدة الحجم $B h\nu (N_2 - N_1) I/c$ ، وهذه هي $\dd I/\dd z$ ؛ وعرّف $\sigma = Bh\nu/c$ (مضروبًا في عامل شكل الخط). ∎

ملاحظة 23.5 (لمَ لا يمكن قلب مستويين)

اضخخ نظامًا ذا مستويين ما شئت بضوء عند $\nu$ : فالمضخّة تُمتصّ حين $N_1 > N_2$ وتستحثّ الإصدار حين $N_2 > N_1$ ، وتميل الجمهرتان في أحسن الأحوال إلى التساوي، $N_2 = N_1$ ، حيث يكون الوسط شفافًا ولا يربح شيئًا. والانقلاب يحتاج إلى ثلاثة مستويات على الأقل: فتُضخّ الذرات من المستوي الأساسي إلى مستوٍ قصير العمر ينحلّ سريعًا إلى مستوي الليزر الأعلى، وهو طويل العمر (شبه مستقر) فيخزن جمهرة. وفي المخطط الثلاثي المستويات (الياقوت، وهو أول ليزر) يكون مستوي الليزر الأدنى هو الحالة الأساسية، فيجب رفع أكثر من نصف الذرات قبل الانقلاب: فالمضخّة عنيفة. وفي المخطط الرباعي المستويات (هليوم–نيون، و Nd:YAG، ومعظم الليزرات) يكون مستوي الليزر الأدنى مستوًى مثارًا يفرغ سريعًا إلى الحالة الأساسية؛ فهو شبه فارغ في كل حين، وجمهرة صغيرة في المستوي الأعلى تكون انقلابًا أصلًا — فالعتبة منخفضة.

مخططا الضخّ. على اليسار: ثلاثة مستويات — وانتقال الليزر ينتهي على المستوي الأساسي، الذي يجب إفراغ أكثر من نصفه. وعلى اليمين: أربعة مستويات — ومستوي الليزر الأدنى ينزف فورًا إلى الحالة الأساسية، فجمهرة عليا صغيرة تكون انقلابًا أصلًا.

قضية 23.6 (إشباع الربح)

يحفظ الانقلابَ مضخّةٌ تزوّد المستوي الأعلى بالذرات بالمعدل $R$ في وحدة الحجم، في وجه الانحلال $1/\tau$ والإصدار المستحثّ $\sigma I (N_2 - N_1)/h\nu$ . وفي وسط رباعي المستويات ( $N_1 \approx 0$ ) تكون الحالة المستقرة

N_2 = \frac{R\tau}{1 + I/I_{\text{إشباع}}}, \qquad g = \frac{g_0}{1 + I/I_{\text{إشباع}}}, \qquad I_{\text{إشباع}} = \frac{h\nu}{\sigma\tau} :

والربح عند الإشارة الصغيرة $g_0 = \sigma R\tau$ تخفضه الحزمة نفسها متى اقترب $I$ من شدة الإشباع $I_{\text{إشباع}}$ — فالمضخّم لاخطي، وهذه اللاخطية هي التي ستثبّت استطاعة الليزر.

برهان. $\dd N_2/\dd t = R - N_2/\tau - \sigma I N_2/h\nu = 0$ . ∎

23.3 المذبذب: الجوف والعتبة والأنماط

تعريف 23.7 (جوف الليزر)

الليزر وسط مضخّم طوله $\ell$ موضوع بين مرآتين (انعكاسيتاهما $R_1$ و $R_2$ ) تبعد إحداهما عن الأخرى $L$ : أي جوف فابري–بيرو (الفصل 21). وإحدى المرآتين، وهي مقرِن الخرج، نافذة جزئيًّا ( $T_2 = 1 - R_2$ بضعة في المئة) وتُخرج الحزمة. والضوء الذي يدور في الجوف يُضخَّم مرتين بالوسط ويُوهَن بالمرآتين وبسائر الضياعات (التبعثر والامتصاص والحيود).

مبرهنة 23.8 (شرط التذبذب)

موجة سعتها العقدية $\underline s$ تعيد إنتاج نفسها بعد ذهاب وإياب واحد إذا كان

\underline s\,\cdot\, \eu^{g\ell}\sqrt{R_1}\,\eu^{g\ell}\sqrt{R_2}\, \eu^{-\alpha\cdot 2L}\,\eu^{2\iu kL} = \underline s

( $\alpha$ : سائر الضياعات في وحدة الطول). ومن ثَمّ شرطان.

السعة: $R_1R_2\,\eu^{2(g\ell - \alpha L)} \ge 1$ ، أي يجب أن يبلغ الربح العتبة

$g_{\text{عتبة}} = \frac{1}{\ell}\Big(\alpha L - \tfrac12\ln(R_1R_2)\Big) \approx \frac{1}{2\ell}\,(T_2 + \text{الضياعات في الذهاب والإياب}) ;$
الطور: $2kL = 2\pi p$ ، أي $\nu_p = p\,c/2L$ — فلا يتذبذب الليزر إلا على الأنماط الطولية للجوف، المتباعدة $c/2L$ ، ولا إلا على ما يقع منها تحت منحني الربح حيث $g(\nu) \ge g_{\text{عتبة}}$ .

برهان. يجب أن تكون سعة عامل الذهاب والإياب وطوره تافهتين معًا؛ والتقريب يستعمل $-\ln R \approx 1 - R = T$ من أجل $T \ll 1$ . ∎

قضية 23.9 (الحالة المستقرة فوق العتبة)

انطلاقًا من الإصدار التلقائي لذرة واحدة، ينمو كل نمط $g_0 > g_{\text{عتبة}}$ فيه نموًّا أسّيًّا، ذهابًا وإيابًا بعد آخر؛ وكلما نمت شدته أشبع الربح (القضية 23.6) حتى يساوي الضياعات بالضبط:

g(I) = g_{\text{عتبة}} \quad\Longrightarrow\quad I_{\text{جوف}} = I_{\text{إشباع}}\Big(\frac{g_0}{g_{\text{عتبة}}} - 1\Big), \qquad P_{\text{خرج}} = T_2\,I_{\text{جوف}}\,A .

فيُثبَّت الربح تثبيتًا على قيمة العتبة؛ وكل ذرة زائدة تُضَخّ فوق العتبة تصير فوتون خرج، فتنمو استطاعة الخرج خطيًّا مع المضخّة فوق مضخّة العتبة.

ملاحظة 23.10 (الليزر مذبذب تغذية راجعة)

قارن بمذبذب جسر فين في الفصل 9: مضخّم (وهو الوسط المقلوب)، وتغذية راجعة انتقائية التواتر (وهي الجوف، الذي لا يمرّر إلا أنماطه)، وشرط إقلاع (ربح الحلقة $> 1$ ، أي $g_0 > g_{\text{عتبة}}$ )، وإقلاع من الضجيج (وهو هنا الإصدار التلقائي)، وسعة تثبّتها لاخطية المضخّم (وهي إشباع الربح). فالليزر عضو الأسرة الضوئي.

منحني ربح الوسط (وعرضه )، والعتبة التي تضعها الضياعات، ومشط أنماط الجوف المتباعدة c/2L: فلا يتذبذب إلا ما يقع تحت المنحني وفوق العتبة من الأنماط (وهي الغليظة). — منحني ربح الوسط (وعرضه $\Delta\nu$ )، والعتبة التي تضعها الضياعات، ومشط أنماط الجوف المتباعدة $c/2L$ : فلا يتذبذب إلا ما يقع تحت المنحني وفوق العتبة من الأنماط (وهي الغليظة).

مثال 23.11 (ليزر الهليوم–نيون)

أنبوب زجاجي طوله $30\,\mathrm{cm}$ ، وتجويفه $1\,\mathrm{mm}$ ، فيه هليوم ونيون عند نحو جزء من ألف من الجوّ، يعبره تفريغ بضعة مليأمبيرات. وتثير الإلكترونات الهليوم إلى مستوٍ شبه مستقر عند $20.6\,\mathrm{eV}$ ، وهو يسلّم طاقته بالتصادم إلى مستوي نيون على الارتفاع نفسه تقريبًا؛ ومن هناك ينحلّ النيون إلى مستوٍ أدنى (يفرغ سريعًا إلى الحالة الأساسية — أي رباعي المستويات) بالإصدار عند $632.8\,\mathrm{nm}$ . والربح عند الإشارة الصغيرة ضئيل، بضعة في المئة في كل مرور، فيجب أن تكون المرآتان ممتازتين ( $R_1 = 0.999$ ، و $R_2 = 0.99$ ) والأنبوب نظيفًا؛ وخط الربح معرَّض دوبلريًّا إلى $\Delta\nu \approx 1.5\,\mathrm{GHz}$ ، والأنماط متباعدة $c/2L = 500\,\mathrm{MHz}$ ، فيتذبذب نمطان أو ثلاثة معًا. والخرج $1\,\mathrm{mW}$ من أجل عدة واطات من التفريغ: أي مردود $10^{-4}$ ؛ لكن بطول موجة معيَّن حتى $10^{-6}$ وحزمة تبقى بعرض $1\,\mathrm{mm}$ عبر المخبر.

23.4 الحزمة الغاوسية

قضية 23.12 (الحزمة الغاوسية)

الحزمة التي يصدرها جوف مستقر ذو مرآتين محدّبتين هي (في النمط المستعرض الأساسي) حزمة غاوسية: فعلى البعد $z$ عن أضيق مقاطعها (أي الخصر، ونصف قطره $w_0$ ) يكون مقطع الشدة

I(r,z) = \frac{2P}{\pi w(z)^2}\,\exp\Big(-\frac{2r^2}{w(z)^2}\Big), \qquad w(z) = w_0\sqrt{1 + \Big(\frac{z}{z_{\text{R}}}\Big)^2}, \qquad z_{\text{R}} = \frac{\pi w_0^2}{\lambda},

حيث $P$ الاستطاعة الكلية و $z_{\text{R}}$ طول رايلي: فعلى $\pm z_{\text{R}}$ تبقى الحزمة ضمن $\sqrt2$ من خصرها، وفي ما وراءه بكثير تنتشر بنصف الزاوية

\theta = \frac{\lambda}{\pi w_0} .

والحزمة حلّ لمعادلة الأمواج في التقريب المحوري القريب؛ ونقبل شكلها ونستعمله. وجبهات موجتها مستوية عند الخصر وكروية بعيدًا.

برهان. مقبول في هذا المستوى (والحساب هو انتشار توزيع فتحة غاوسية في بصريات فورييه)؛ وخاصّته الأساسية هي التي أعطاها الحيود أصلًا في الفصل 22: فالفتحة التي حجمها $w_0$ تنتشر على $\lambda/w_0$ ، وهنا بالعامل المضبوط $1/\pi$ . ∎

حزمة غاوسية: نصف القطر w(z) قطع زائد — شبه ثابت ضمن طول رايلي، ثم مخروط نصف زاويته /π w_0. وخصر أصغر يعني طول رايلي أقصر ومخروطًا أوسع. — حزمة غاوسية: نصف القطر $w(z)$ قطع زائد — شبه ثابت ضمن طول رايلي، ثم مخروط نصف زاويته $\lambda/\pi w_0$ . وخصر أصغر يعني طول رايلي أقصر ومخروطًا أوسع.

قضية 23.13 (تجميع حزمة وتوسيعها)

حزمة غاوسية نصف قطرها $w$ (أكبر بكثير مما كان يعطيه حقلها البعيد عند العدسة، أي شبه موازية) تقع على عدسة بعدها البؤري $f$ تُجمَّع في خصر

w_0' = \frac{\lambda f}{\pi w}

عند البؤرة، وطول رايلي فيه $\pi w_0'^2/\lambda$ . وذروة الاستضاءة هناك $2P/\pi w_0'^2$ . وبالعكس يحوّل مقراب لابؤري تكبيره $M$ حزمة نصف قطرها $w$ إلى حزمة نصف قطرها $Mw$ تفرّجها أصغر بالعامل $M$ : فلترسل حزمة بعيدًا، اجعلها أولًا عريضة.

برهان. تحوّل العدسة جبهة الموجة المستوية إلى كرة متقاربة عند $f$ ؛ وحيود فتحة نصف قطرها $w$ يعطي الانتشار الزاوي $\lambda/\pi w$ ، ومن ثَمّ البقعة البؤرية $f\lambda/\pi w$ — وهو متوافق مع $\theta = \lambda/\pi w_0'$ مقروءًا بالمقلوب. ∎

مثال 23.14 (القطع والقراءة والتأشير)

ليزر ثنائي أكسيد الكربون $1\,\mathrm{kW}$ عند $10.6\,\text{µ}\mathrm{m}$ ، ونصف قطر حزمته $10\,\mathrm{mm}$ ، مجمَّعًا بعدسة $f = 100\,\mathrm{mm}$ : $w_0' = 34\,\text{µ}\mathrm{m}$ ، وذروة الاستضاءة $2P/\pi w_0'^2 = 5 \times 10^{11}\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$ — فيغلي الفولاذ. ومؤشر $1\,\mathrm{mW}$ ، $w_0 = 0.5\,\mathrm{mm}$ عند $633\,\mathrm{nm}$ : $\theta = 0.4\,\mathrm{mrad}$ ، أي بقعة $4\,\mathrm{cm}$ على $50\,\mathrm{m}$ ، واستضاءة $2.5\,\mathrm{kW}/\mathrm{m}^{2}$ عند المخرج — أي فوق ضوء الشمس، ولهذا يجب ألا يدخل حتى المليواط عينًا: إذ تجمّعه عدسة العين في بقعة $10\,\text{µ}\mathrm{m}$ على الشبكية بملايين الواطات في المتر المربع. وقارئ قرص عند $650\,\mathrm{nm}$ بعدسة فتحتها العددية $0.6$ يجمّع في نحو $\lambda/2\mathrm{NA} \approx 0.5\,\text{µ}\mathrm{m}$ ، أي حجم حفرة.

ملاحظة 23.15 (ما الذي يميّز ضوء الليزر)

التوجيهية: نمط مستعرض واحد، وتفرّج عند حدّ الحيود. وأحادية اللون: نمط جوف واحد أو بضعة، وكل منها أضيق من ميغاهرتز — أي أطوال ترابط بالأمتار إلى الكيلومترات (الفصل 18). والترابط المكاني: فالحزمة كلها موجة واحدة، فتتداخل مع نفسها في أي مكان (وهو التصوير المجسّم، وقياس التداخل). والسطوع: فمليواط في حزمة محدودة بالحيود يفوق الشمس في وحدة الزاوية المجسمة وعرض النطاق. والاستطاعة في النبضات: فجول في نانوثانية غيغاواط، وفي فمتوثانية بيتاواط. ولأن الحزمة خرج مذبذب، يمكن تعديلها عند الغيغاهرتز — وهي حاملة الليف البصري (الفصل 16).

طريقة 23.16 (تقديرات الليزر)

(1) طاقة الفوتون $h\nu = hc/\lambda$ ومعدل الفوتونات $P/h\nu$ . (2) والعتبة: $g_{\text{عتبة}}\ell \approx \tfrac12(T_2 + \text{الضياعات})$ ؛ وقارنها بربح الوسط عند الإشارة الصغيرة $g_0\ell$ . (3) والأنماط: $c/2L$ في وجه عرض الربح؛ وعُدّ الأنماط المتذبذبة. (4) والاستطاعة: يثبت الربح عند العتبة؛ والخرج $\propto$ (المضخّة $-$ مضخّة العتبة). (5) والحزمة: $z_{\text{R}} = \pi w_0^2/\lambda$ ، و $\theta = \lambda/\pi w_0$ ، والبقعة البؤرية $\lambda f/\pi w$ ، وذروة الاستضاءة $2P/\pi w_0^2$ . (6) والسلامة: قارن استضاءة الشبكية باستضاءة الشمس.

23.5 تمارين

تمرين 23.1 ★

ليزر هليوم–نيون يصدر $1\,\mathrm{mW}$ عند $632.8\,\mathrm{nm}$ . أوجد التواتر، وطاقة الفوتون بالجول وبالإلكترون فولت، والفوتونات في الثانية. والجوف $30\,\mathrm{cm}$ : أوجد تباعد الأنماط؛ وكم نمطًا يسع تحت منحني ربح عرضه $1.5\,\mathrm{GHz}$ ؟

حل

حل التمرين 23.1.

$\nu = 4.74 \times 10^{14}\,\mathrm{Hz}$ ؛ و $h\nu = 3.14 \times 10^{-19}\,\mathrm{J} = 1.96\,\mathrm{eV}$ ؛ و $3.2 \times 10^{15}\,$ فوتون في الثانية؛ و $c/2L = 500\,\mathrm{MHz}$ ؛ وثلاثة أنماط.

تمرين 23.2 ★

مستويان يبعد أحدهما عن الآخر $2\,\mathrm{eV}$ عند $300\,\mathrm{K}$ : أوجد النسبة $N_2/N_1$ (استعمل $k_BT = 0.025\,\mathrm{eV}$ ). وعند أي حرارة تتساوى الجمهرتان؟ وبيّن أن الانقلاب يقابل حرارة سالبة صوريًّا في نسبة بولتزمان. وأعد النسبة نفسها من أجل انتقال ميكروي عند $24\,\mathrm{GHz}$ .

حل

حل التمرين 23.2.

$\eu^{-80} \approx 2 \times 10^{-35}$ ؛ ولا تساوي إلا حين $T \to \infty$ ؛ و $N_2 > N_1$ يقتضي $\eu^{-h\nu/k_BT} > 1$ ، أي $T < 0$ صوريًّا. وعند $24\,\mathrm{GHz}$ ، $h\nu = 1 \times 10^{-4}\,\mathrm{eV}$ : $N_2/N_1 = 0.996$ .

تمرين 23.3 ★

حزمة غاوسية، $w_0 = 0.5\,\mathrm{mm}$ ، و $\lambda = 633\,\mathrm{nm}$ : أوجد طول رايلي، والتفرّج، ونصف القطر بعد $100\,\mathrm{m}$ وعند القمر ( $3.8 \times 10^{8}\,\mathrm{m}$ ). وأعد ذلك للحزمة نفسها بعد موسّع $\times 20$ .

حل

حل التمرين 23.3.

$z_{\text{R}} = 1.24\,\mathrm{m}$ ؛ و $\theta = 4.0 \times 10^{-4}\,\mathrm{rad}$ ؛ و $w(100\,\mathrm{m}) = 40\,\mathrm{mm}$ ؛ وعند القمر $150\,\mathrm{km}$ . وبعد $\times 20$ : $w_0 = 10\,\mathrm{mm}$ ، و $\theta = 2 \times 10^{-5}\,\mathrm{rad}$ ، و $z_{\text{R}} = 500\,\mathrm{m}$ ، و $10.2\,\mathrm{mm}$ على $100\,\mathrm{m}$ ، و $7.7\,\mathrm{km}$ عند القمر.

تمرين 23.4 ★

جوف مع $R_1 = 1$ ، و $R_2 = 0.98$ ، ووسط طوله $20\,\mathrm{cm}$ ، وسائر الضياعات $0.5\%$ في المرور. أوجد معامل ربح العتبة. وربح الوسط عند الإشارة الصغيرة $0.2\,\mathrm{m}^{-1}$ : أيتذبذب؟ ومع $R_2 = 0.90$ ؟

حل

حل التمرين 23.4.

$g_{\text{عتبة}} = (0.005 + 0.0101)/0.2 = 0.076\,\mathrm{m}^{-1} < 0.2$ : فهو يتذبذب. ومع $R_2 = 0.90$ : $(0.005 + 0.053)/0.2 = 0.29\,\mathrm{m}^{-1}$ : فهو لا يتذبذب.

تمرين 23.5 ★★

علاقات أينشتاين. (أ) اكتب موازنة جمهرة مستويين في توازن مع إشعاع $u(\nu)$ واستنتج العلاقتين من قانون بلانك (المعطى). (ب) واحسب $A_{21}/B_{21}u = \eu^{h\nu/k_BT} - 1$ عند $300\,\mathrm{K}$ من أجل $\lambda = 600\,\mathrm{nm}$ ومن أجل $\lambda = 1\,\mathrm{cm}$ . (ج) ولمَ اخْتُرع الميزر قبل الليزر؟ (د) وعمر المستوي هو $\tau = 1/A_{21}$ ؛ فإذا كان $\tau = 10\,\mathrm{ns}$ عند $600\,\mathrm{nm}$ ، فما $\tau$ من أجل انتقال له $B$ نفسه عند $6\,\text{µ}\mathrm{m}$ ؟

حل

حل التمرين 23.5.

(أ) انظر القضية 23.2. (ب) وعند $600\,\mathrm{nm}$ : $h\nu/k_BT = 80$ ، والنسبة $5 \times 10^{34}$ ؛ وعند $1\,\mathrm{cm}$ : $4.8 \times 10^{-3}$ — فيغلب الإصدار المستحثّ. (ج) وعند التواترات الميكروية يكون الإصدار التلقائي مهمَلًا وانقلاب صغير يعطي ربحًا أصلًا؛ وكانت التقانة (الأجواف وأدلة الموجة) موجودة. (د) و $A \propto \nu^3$ ، ومن ثَمّ $\tau \propto \lambda^3$ : $10\,\text{µ}\mathrm{s}$ .

تمرين 23.6 ★★

الإشباع واستطاعة الخرج. وسط رباعي المستويات، $\sigma = 3 \times 10^{-17}\,\mathrm{m}^{2}$ ، و $\tau = 100\,\mathrm{ns}$ ، و $\lambda = 633\,\mathrm{nm}$ . (أ) أوجد شدة الإشباع. (ب) ومعدل الضخّ $R$ من أجل ربح عند إشارة صغيرة $g_0 = 0.1\,\mathrm{m}^{-1}$ . (ج) وعتبة الجوف $g_{\text{عتبة}} = 0.02\,\mathrm{m}^{-1}$ : أوجد الشدة داخل الجوف في الحالة المستقرة؛ والخرج عبر $T_2 = 1\%$ من حزمة مساحتها $1\,\mathrm{mm}^{2}$ . (د) وبيّن أن استطاعة الخرج خطية في $R$ فوق العتبة.

حل

حل التمرين 23.6.

(أ) $I_{\text{إشباع}} = h\nu/\sigma\tau = 1.0 \times 10^{5}\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$ . (ب) و $R = g_0/\sigma\tau = 3.3 \times 10^{22}\,\mathrm{m}^{-3}\,\mathrm{s}^{-1}$ . (ج) و $I = I_{\text{إشباع}}(5 - 1) = 4.2 \times 10^{5}\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$ ؛ و $P_{\text{خرج}} = 0.01 \times 4.2 \times 10^5 \times 10^{-6} = 4.2\,\mathrm{mW}$ . (د) و $I = I_{\text{إشباع}}(\sigma R\tau/g_{\text{عتبة}} - 1) = (h\nu/g_{\text{عتبة}})(R - g_{\text{عتبة}}/\sigma\tau)$ : أي خطية في $R$ فوق $R_{\text{عتبة}} = g_{\text{عتبة}}/\sigma\tau$ .

تمرين 23.7 ★★

الأنماط والاستقرار. (أ) أوجد طول الجوف من أجل تشغيل أحادي النمط تحت منحني ربح $1.5\,\mathrm{GHz}$ . (ب) وجوف $30\,\mathrm{cm}$ يتمدد $1\,\text{µ}\mathrm{m}$ : أوجد انزياح تواتر نمط، مقارنًا بتباعد الأنماط وبعرض الربح. (ج) ولمَ تثبّت ليزرات هليوم–نيون التجارية المستقرة طولَ الأنبوب بتسخينه؟ (د) وعرض النمط نفسه بضعة كيلوهرتزات: فما طول الترابط؟

حل

حل التمرين 23.7.

(أ) $c/2L > 1.5\,\mathrm{GHz}$ : $L < 10\,\mathrm{cm}$ . (ب) و $\delta\nu = \nu\,\delta L/L = 1.6\,\mathrm{GHz}$ : أي ثلاثة تباعدات أنماط، وعرض الربح كله — فيجتاح النمط منحني الربح ويسلّم إلى جاره. (ج) ويمسك مسخّن الطولَ في حدود كسر صغير من $\lambda$ ، مستعملًا موازنة نمطين إشارةَ خطأ. (د) و $c/\delta\nu \approx 100\,\mathrm{km}$ .

تمرين 23.8 ★★

التجميع. (أ) حزمة $w = 1\,\mathrm{mm}$ ، و $\lambda = 633\,\mathrm{nm}$ ، و $f = 50\,\mathrm{mm}$ : أوجد الخصر، وطول رايلي، وذروة الاستضاءة من أجل $1\,\mathrm{mW}$ . (ب) والحزمة نفسها في عين (بعدها البؤري $17\,\mathrm{mm}$ ): أوجد البقعة الشبكية والاستضاءة؛ وقارنهما بصورة الشمس ( $1\,\mathrm{kW}/\mathrm{m}^{2}$ عبر بؤبؤ $3\,\mathrm{mm}$ في صورة $0.15\,\mathrm{mm}$ ). (ج) ولمَ يكون مؤشر أخضر $5\,\mathrm{mW}$ أخطر من مصباح $100\,\mathrm{W}$ ؟ (د) وعمق تجميع عدسة $50\,\mathrm{mm}$ .

حل

حل التمرين 23.8.

(أ) $w_0' = 10\,\text{µ}\mathrm{m}$ ، و $z_{\text{R}} = 0.5\,\mathrm{mm}$ ، و $I = 2P/\pi w_0'^2 = 6.4 \times 10^{6}\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$ . (ب) و $w_0' = 3.4\,\text{µ}\mathrm{m}$ ، و $I = 5.5 \times 10^{7}\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$ ؛ وأما صورة الشمس: $10^3 \times (3/0.15)^2 = 4 \times 10^{5}\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$ — فالمؤشر أسوأ بمئة مرة. (ج) واستطاعة المصباح تنتشر على $4\pi$ وصورته على الشبكية ممتدة؛ أما استطاعة المؤشر كلها فتقع في بضعة ميكرومترات، عند طول موجة الحساسية العظمى. (د) و $2z_{\text{R}} = 1\,\mathrm{mm}$ .

تمرين 23.9 ★★

ثلاثة مستويات مقابل أربعة. الياقوت: $N = 1.6 \times 10^{25}\,\mathrm{m}^{-3}$ شاردة كروم، وعمر المستوي الأعلى $3\,\mathrm{ms}$ ، و $\lambda = 694\,\mathrm{nm}$ . (أ) أوجد أصغر استطاعة ضخّ في وحدة الحجم لإبقاء نصف الشوارد في المستوي الأعلى. (ب) ومن أجل قضيب $1\,\mathrm{cm}^{3}$ . (ج) والوسط الرباعي المستويات لا يحتاج إلا إلى $\Delta N = 1 \times 10^{22}\,\mathrm{m}^{-3}$ مع $\tau = 230\,\text{µ}\mathrm{s}$ عند $1064\,\mathrm{nm}$ : أوجد استطاعة الضخّ في وحدة الحجم. (د) وعلّق على مصباح وميض ليزر الياقوت في مقابل الضخّ بالثنائيات في Nd:YAG.

حل

حل التمرين 23.9.

(أ) $(N/2)\,h\nu/\tau = 7.6 \times 10^{8}\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{3}$ . (ب) و $760\,\mathrm{W}$ — فالتشغيل المستمر غير وارد: بل مصباح وميض. (ج) و $10^{22} \times 1.87 \times 10^{-19}/2.3 \times 10^{-4} = 8 \times 10^{6}\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{3}$ : أي $8\,\mathrm{W}$ في السنتيمتر المكعب. (د) أي أقلّ بمئة مرة، ومستمرّ: فبضعة واطات من ضوء الثنائيات تكفي.

تمرين 23.10 ★★★

الثنائي الليزري. منطقة الإصدار في ثنائي ليزري نحو $3\,\text{µ}\mathrm{m}$ في $1\,\text{µ}\mathrm{m}$ ، و $\lambda = 780\,\mathrm{nm}$ . (أ) أوجد نصفي زاويتي التفرّج في الجهتين. (ب) وأي جهة تتفرّج أكثر، ولمَ تكون الحزمة إهليلجية؟ (ج) وعدسة $f = 5\,\mathrm{mm}$ توازيها: أوجد حجمي الحزمة في الجهتين. (د) وكيف يمكن جعل الإهليلج دائريًّا (فكرتان)؟

حل

حل التمرين 23.10.

(أ) $\lambda/\pi w_0$ : $0.17\,\mathrm{rad}$ ( $9.5{}^{\circ}$ ) و $0.5\,\mathrm{rad}$ ( $28{}^{\circ}$ ). (ب) والجهة الضيقة تتفرّج أكثر: فإهليلج الحقل البعيد عمودي على المصدر. (ج) و $f\theta$ : $0.8\,\mathrm{mm}$ و $2.5\,\mathrm{mm}$ . (د) وزوج مواشير مشوِّه أو عدسة أسطوانية؛ أو الاقتران بليف أحادي النمط.

تمرين 23.11 ★★★

الإقلاع. (أ) اكتب شرط سعة الذهاب والإياب مع ربح صافٍ $G = \eu^{2(g_0 - g_{\text{عتبة}})\ell} = 1.04$ في الذهاب والإياب وزمن ذهاب وإياب $2L/c$ مع $L = 30\,\mathrm{cm}$ . (ب) ومن فوتون تلقائي واحد إلى الحالة المستقرة $100\,\mathrm{mW}$ داخل الجوف (فكم عدد الفوتونات في الجوف؟)، كم مرة ذهابًا وإيابًا وكم من الزمن؟ (ج) وما الذي يحدّ النمو، وماذا يحلّ بنمط يكون فيه $g_0 < g_{\text{عتبة}}$ ؟ (د) وفي ليزر متعدد الأنماط تتنافس الأنماط على الذرات نفسها: فسّر قفز الأنماط.

حل

حل التمرين 23.11.

(أ) الشدة $\times 1.04$ كل $2\,\mathrm{ns}$ . (ب) و $N = P\,(2L/c)/h\nu = 6.4 \times 10^8$ فوتون؛ و $\ln(6.4 \times 10^8)/\ln 1.04 \approx 520$ مرة ذهابًا وإيابًا، أي نحو $1\,\text{µ}\mathrm{s}$ . (ج) وإشباع الربح؛ والنمط دون العتبة يفقد في الذهاب والإياب أكثر مما يكسب فيبقى عند المستوى التلقائي. (د) وتتقاسم الأنماط انقلابًا واحدًا؛ فأقواها يشبعه ويجوّع سائرها؛ وهيام الطول والربح يغيّر الغالب — فيقفز الخرج من نمط إلى نمط.

تمرين 23.12 ★★★

قياس مدى القمر. نبضات $100\,\mathrm{mJ}$ عند $532\,\mathrm{nm}$ ، ومدتها $100\,\mathrm{ps}$ ، تُرسَل عبر مقراب $1\,\mathrm{m}$ ( $w_0 = 0.5\,\mathrm{m}$ ). (أ) أوجد الفوتونات في النبضة، وذروة الاستطاعة. (ب) وتفرّج الحيود ونصف قطر البقعة على القمر ( $3.8 \times 10^{8}\,\mathrm{m}$ )؛ والجوّ ينشر الحزمة إلى $1''$ بدل ذلك: أوجد نصف قطر البقعة. (ج) ورصّة عاكسات مساحتها $0.1\,\mathrm{m}^{2}$ على القمر تعيد الضوء بحيودها هي ( $\lambda/d$ مع مكعبات ركنية $d = 4\,\mathrm{cm}$ ): أوجد البقعة على الأرض، والنسبة التي يلتقطها المقراب، والفوتونات المكشوفة في النبضة. (د) والتوقيت حتى $100\,\mathrm{ps}$ : أوجد دقة المسافة في النبضة، وبعد $10^4$ نبضة.

حل

حل التمرين 23.12.

(أ) $2.7 \times 10^{17}$ فوتون؛ و $1\,\mathrm{GW}$ . (ب) و $\theta = 3.4 \times 10^{-7}\,\mathrm{rad}$ ، و $130\,\mathrm{m}$ ؛ ومع الرؤية $1.8\,\mathrm{km}$ . (ج) والنسبة $0.1/\pi(1800)^2 = 10^{-8}$ : أي $2.6 \times 10^9$ فوتون؛ وانتشار العودة $1.3 \times 10^{-5}\,\mathrm{rad}$ ، ونصف القطر $5\,\mathrm{km}$ ؛ ويلتقط المقراب $(0.5/5000)^2 = 10^{-8}$ : أي نحو $25$ فوتونًا، وبضعة بعد البصريات. (د) و $c \times 100\,\mathrm{ps}/2 = 1.5\,\mathrm{cm}$ ؛ ومضروبًا في $\times 1/\sqrt{10^4}$ : $0.15\,\mathrm{mm}$ .

أنبوب ليزر هليوم–نيون يصدر على خطه الأصفر عند 594\, nm: توهج التفريغ داخل الأنبوب، والحزمة الخارجة عبر مرآة الخرج. الصورة: تيليمنتور، CC BY 4.0. — أنبوب ليزر هليوم–نيون يصدر على خطه الأصفر عند $594\,\mathrm{nm}$ : توهج التفريغ داخل الأنبوب، والحزمة الخارجة عبر مرآة الخرج. الصورة: تيليمنتور، CC BY 4.0.

23.6 مسألة: ليزر هليوم–نيون، من الأنبوب إلى القمر

مسألة 23.1

مسألة نهاية الأسبوع — ليزر يُبنى ويُوصَف ويُستعمل

الليزر على المنضدة: أنبوب زجاجي $L = 30\,\mathrm{cm}$ ، وقطر تجويفه $1\,\mathrm{mm}$ ، ومزيج هليوم ونيون، وتفريغ $5\,\mathrm{mA}$ تحت $1.5\,\mathrm{kV}$ ؛ ومرآتان $R_1 = 0.999$ و $R_2 = 0.99$ ؛ وطول الموجة $632.8\,\mathrm{nm}$ ؛ والخرج $1\,\mathrm{mW}$ . والمعطيات: مستوي الهليوم شبه المستقر يقع عند $20.61\,\mathrm{eV}$ ، ومستوي الليزر الأعلى للنيون عند $20.66\,\mathrm{eV}$ وعمره $100\,\mathrm{ns}$ ، ومستوي الليزر الأدنى عند $18.70\,\mathrm{eV}$ وعمره $10\,\mathrm{ns}$ ؛ وحرارة الغاز $400\,\mathrm{K}$ ؛ والكتلة المولية للنيون $20\,\mathrm{g}/\mathrm{mol}$ ؛ والمقطع العرضي $\sigma = 3 \times 10^{-17}\,\mathrm{m}^{2}$ ؛ و $h = 6.63 \times 10^{-34}\,\mathrm{J}\,\mathrm{s}$ ، و $k_B = 1.38 \times 10^{-23}\,\mathrm{J}/\mathrm{K}$ ، و $k_BT$ عند $400\,\mathrm{K}$ $= 0.0345\,\mathrm{eV}$ .

الجزء الأول — الوسط.

أوجد طاقة الفوتون وتواتر خط الليزر.
ومستويا الهليوم والنيون يختلفان بمقدار $0.05\,\mathrm{eV}$ : قارن ذلك بالمقدار $k_BT$ وفسّر لمَ يكون نقل التصادم هليوم $\to$ نيون فعّالًا.
ونسبة بولتزمان لمستوي النيون الأعلى إلى الحالة الأساسية عند $400\,\mathrm{K}$ من دون تفريغ: علّق.
وفسّر، من العمرين، لمَ يسهل حفظ انقلاب بين مستويي النيون متى غُذّي المستوي الأعلى.
وعرض دوبلر للخط: أوجد السرعة الأرجح للنيون عند $400\,\mathrm{K}$ و $\Delta\nu \approx \nu\,v/c$ من حيث رتبة المقدار (وبالضبط $\Delta\nu = 2\nu\sqrt{2k_BT\ln2/Mc^2}$ ).
ومع $\Delta N = N_2 - N_1 = 3 \times 10^{15}\,\mathrm{m}^{-3}$ : أوجد معامل الربح عند الإشارة الصغيرة والربح في المرور على $30\,\mathrm{cm}$ .

الجزء الثاني — الجوف.

أوجد معامل ربح العتبة؛ والهامش بالنسبة إلى السؤال 6.
وتباعد الأنماط؛ وعدد الأنماط التي يمكن أن تتذبذب.
والاستطاعة داخل الجوف والاستضاءة داخل الجوف في التجويف.
وما الذي يثبّت الربح في الحالة المستقرة، وأين تذهب طاقة الضخّ الزائدة؟
والاستطاعة الكهربائية الداخلة والاستطاعة الضوئية الخارجة: أوجد المردود؛ وسببين لكونه منخفضًا إلى هذا الحدّ.
والإقلاع: أوجد الربح الصافي في الذهاب والإياب $2(g_0 - g_{\text{عتبة}})L$ ، وعدد الفوتونات في الجوف في الحالة المستقرة، وعدد مرات الذهاب والإياب من فوتون واحد، وزمن الإقلاع.
ويسخن الأنبوب فيطول $1\,\text{µ}\mathrm{m}$ : أوجد انزياح تواتر نمط؛ والنتيجة من أجل ليزر أحادي النمط.
والأنبوب مغلق بنافذتين عند زاوية بروستر: فماذا يفعل ذلك باستقطاب الخرج، ولمَ لا يضيف ضياعًا؟

الجزء الثالث — الحزمة.

ينتج الجوف خصرًا $w_0 = 0.3\,\mathrm{mm}$ : أوجد طول رايلي، والتفرّج، وقطر الحزمة على بعد $10\,\mathrm{m}$ .
وذروة الاستضاءة عند المخرج؛ وقارنها بضوء الشمس ( $1\,\mathrm{kW}/\mathrm{m}^{2}$ ).
وعدسة $f = 50\,\mathrm{mm}$ : أوجد الخصر وذروة الاستضاءة عند البؤرة.
وتدخل الحزمة عينًا (بعدها البؤري $17\,\mathrm{mm}$ ): أوجد البقعة الشبكية والاستضاءة؛ ولمَ لا تكون الرمشة أبطأ من اللازم من أجل $1\,\mathrm{mW}$ ، وما معنى “الصنف 2”.
وموسّع حزمة $\times 10$ : أوجد التفرّج الجديد وقطر البقعة على $1\,\mathrm{km}$ .
وطول الترابط إذا عمل الليزر على نمط واحد عرضه $1\,\mathrm{MHz}$ ؛ وإذا عمل على ثلاثة أنماط تمتد على $1\,\mathrm{GHz}$ .

الجزء الرابع — إلى القمر. محطة قياس مدى تطلق نبضات $100\,\mathrm{mJ}$ مدتها $100\,\mathrm{ps}$ عند $532\,\mathrm{nm}$ عبر مقراب $1\,\mathrm{m}$ ؛ والجوّ ينشر الحزمة الخارجة إلى $1''$ ( $4.8 \times 10^{-6}\,\mathrm{rad}$ ).

أوجد الفوتونات في النبضة وذروة الاستطاعة.
ونصف قطر البقعة على القمر ( $3.8 \times 10^{8}\,\mathrm{m}$ )؛ وقارنه بالبقعة المحدودة بالحيود.
ورصّة عاكسات مساحتها $0.1\,\mathrm{m}^{2}$ تعترض أي نسبة من النبضة، وكم فوتونًا؟
والمكعبات الركنية $4\,\mathrm{cm}$ في الرصّة تعيد الضوء بالانتشار $\lambda/d$ : أوجد نصف قطر البقعة على الأرض، والنسبة التي يلتقطها المقراب، والفوتونات المكشوفة في النبضة (خذ مردودًا بصريًّا كليًّا $0.1$ ).
وزمن الذهاب والإياب نحو $2.56\,\mathrm{s}$ ، مقيسًا حتى $100\,\mathrm{ps}$ : أوجد دقة المسافة في النبضة؛ وبعد $10^4$ عودة؛ وقارنها بمقدار $3.8\,\mathrm{cm}$ في السنة التي يبتعد بها القمر.

حل

حل المسألة 23.1.

1. $1.96\,\mathrm{eV}$ ، و $4.74 \times 10^{14}\,\mathrm{Hz}$ .

2. $0.05\,\mathrm{eV} \approx 1.5\,k_BT$ : فالحركة الحرارية تسدّ النقص الصغير؛ والنقل شبه رنيني، ومن ثَمّ فعّال.

3. $\eu^{-20.66/0.0345} = \eu^{-600} \approx 10^{-260}$ : أي لا شيء؛ فالتفريغ وحده يغذّي المستوي.

4. المستوي الأدنى يفرغ أسرع عشر مرات من انحلال الأعلى: فهو شبه فارغ دائمًا — أي مخطط رباعي المستويات.

5. $v^* = \sqrt{2k_BT/m} = 580\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ؛ و $\nu v^*/c \approx 0.9\,\mathrm{GHz}$ ؛ وتعطي الصيغة المضبوطة $1.5\,\mathrm{GHz}$ .

6. $g_0 = 0.09\,\mathrm{m}^{-1}$ ؛ و $\eu^{0.027}$ : أي $2.7\%$ في المرور.

7. $g_{\text{عتبة}} = -\ln(0.999 \times 0.99)/0.6 = 0.018\,\mathrm{m}^{-1}$ ؛ والهامش $5$ .

8. $500\,\mathrm{MHz}$ ؛ وثلاثة.

9. $P_{\text{دخل}} = 1\,\mathrm{mW}/0.01 = 100\,\mathrm{mW}$ ؛ و $1.3 \times 10^{5}\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$ .

10. يشبع الربح إلى $g_{\text{عتبة}}$ ؛ ويصير الفائض فوتونات خرج (وإصدارًا تلقائيًّا، وحرارة).

11. $1\,\mathrm{mW}/7.5\,\mathrm{W} = 1.3 \times 10^{-4}$ : فمعظم طاقة الإلكترون تذهب إلى غير الهليوم شبه المستقر، ويحمل الفوتون $1.96\,\mathrm{eV}$ من $20.66\,\mathrm{eV}$ المستثمرة.

12. $2 \times 0.072 \times 0.3 = 0.043$ ؛ و $N = 0.1 \times 2 \times 10^{-9}/3.14 \times 10^{-19} = 6.4 \times 10^8$ ؛ و $20.3/0.043 \approx 470$ مرة ذهابًا وإيابًا؛ أي $0.9\,\text{µ}\mathrm{s}$ .

13. $\delta\nu = \nu\,\delta L/L = 1.6\,\mathrm{GHz}$ : فيجتاز النمط منحني الربح كله — فيقفز الليزر إلى نمط آخر ما لم يُثبَّت الطول.

14. الاستقطاب $p$ يعبر سطح بروستر بلا انعكاس؛ أما الاستقطاب $s$ فيفقد نحو $15\%$ في كل سطح ولا يبلغ العتبة أبدًا: فالخرج مستقطب خطيًّا بلا كلفة.

15. $z_{\text{R}} = 0.45\,\mathrm{m}$ ؛ و $\theta = 6.7 \times 10^{-4}\,\mathrm{rad}$ ؛ و $w(10\,\mathrm{m}) = 6.7\,\mathrm{mm}$ : أي $13\,\mathrm{mm}$ عرضًا.

16. $2P/\pi w_0^2 = 7\,\mathrm{kW}/\mathrm{m}^{2}$ : أي سبع شموس.

17. $w_0' = 34\,\text{µ}\mathrm{m}$ ؛ و $5.6 \times 10^{5}\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$ .

18. $w_0' = 11\,\text{µ}\mathrm{m}$ ؛ و $5 \times 10^{6}\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$ ؛ وتحتمل الشبكية $1\,\mathrm{mW}$ خلال $0.25\,\mathrm{s}$ من منعكس النفور — وهو الصنف 2: مرئي، و $\le 1\,\mathrm{mW}$ ، وآمن لأن المرء يرمش.

19. $6.7 \times 10^{-5}\,\mathrm{rad}$ ؛ و $w_0 = 3\,\mathrm{mm}$ ، و $z_{\text{R}} = 45\,\mathrm{m}$ ، و $w(1\,\mathrm{km}) = 67\,\mathrm{mm}$ : أي $13\,\mathrm{cm}$ .

20. $c/\Delta\nu$ : $300\,\mathrm{m}$ ؛ و $30\,\mathrm{cm}$ .

21. $2.7 \times 10^{17}$ ؛ و $1\,\mathrm{GW}$ .

22. $1.8\,\mathrm{km}$ ؛ وبالحيود وحده: $130\,\mathrm{m}$ .

23. $0.1/\pi(1800)^2 = 10^{-8}$ ؛ و $2.6 \times 10^9$ فوتون.

24. $\lambda/d = 1.3 \times 10^{-5}\,\mathrm{rad}$ ، و $5\,\mathrm{km}$ ؛ و $(0.5/5000)^2 = 10^{-8}$ : أي $25$ فوتونًا، ويُكشَف اثنان أو ثلاثة.

25. $1.5\,\mathrm{cm}$ ؛ و $0.15\,\mathrm{mm}$ ؛ ويُقاس الابتعاد في غضون أسابيع.

المصطلحات المعرَّفة في هذا الفصل

عرض كل المصطلحات (393) في المسرد