الفيزياء الجامعية — السنة الثانية · Bachelor Year 2

31آبار الكمون والحواجز والنفق

الكرة في وعاء تتدحرج جيئةً وذهابًا بأي طاقة أُعطيت إياها؛ أما الإلكترون في ذرة، والنوية في نواة، والإلكترون في بلورة بحجم النانومتر فلا يمكن أن تكون لها إلا طاقات معينة، وأدناها ليس صفرًا. والكرة لا تستطيع عبور تلّ أعلى مما تسمح به طاقتها؛ أما جسيم $\alpha$ فيغادر نواة عبر جدار كولوني ما كان ليتسلقه أبدًا، وإبرة مجهر النفق الماسح تسحب تيارًا عبر فجوة من الخلاء، وذرة الآزوت في النشادر تتأرجح عبر مستوي هدروجيناتها الثلاثة أربعًا وعشرين مليار مرة في الثانية. وهذا الفصل يحلّ معادلة شرودنغر في أبسط الكمونات — آبار بجدران لانهائية ومنتهية، ودرجة، و حاجز، وبئر مزدوجة — ويجد فيها الواقعتين الكموميتين الكبيرتين اللتين لا يستطيع الميكانيك الكلاسيكي إنتاجهما: تكميم الطاقات المرتبطة، والنفق عبر المناطق الممنوعة كلاسيكيًّا، مع حساسيته الأسّية لعرض الحاجز وارتفاعه، ولهذا يصلح مسطرةً للبيكومترات ولهذا تمتد أعمار النشاط الإشعاعي على ثلاثين رتبة من المقدار.

مجهر نفق ماسح: طرف معدني يُمسَك على بضعة أعشار النانومتر فوق سطح؛ وتيار النفق، الذي يتغير بعشرة أضعاف في كل عُشر نانومتر، يرسم السطح ذرةً ذرة.

31.1 البئر اللانهائية

قضية 31.1 (البئر المربعة اللانهائية)

جسيم محبوس في $0 < x < L$ بجدران لا تُخترَق ( $V = 0$ في الداخل، و $V = \infty$ في الخارج، ومن ثَمّ $\varphi = 0$ عند الجدارين) له الحالات المستقرة والطاقات

\varphi_n(x) = \sqrt{\frac{2}{L}}\sin\frac{n\pi x}{L}, \qquad E_n = \frac{n^2h^2}{8mL^2} = n^2E_1, \qquad n = 1, 2, 3, \dots

فالطاقات مكمَّمة، وتنمو وفق $n^2$ ، وأدناها ليس صفرًا: وطاقة الحبس $E_1 = h^2/8mL^2$ هي ثمن التوضيع (إذ يفرض $\Delta x \sim L$ أن $\Delta p \sim h/2L$ ). والتوابع $\varphi_n$ متعامدة، $\int\varphi_n\varphi_m\dd x = \delta_{nm}$ ، وكل حالة في البئر تراكب لها.

برهان. في الداخل، $\varphi'' = -k^2\varphi$ مع $k^2 = 2mE/\hbar^2$ : $\varphi = A\sin kx + B\cos kx$ ؛ و $\varphi(0) = 0$ يلغي $B$ ، و $\varphi(L) = 0$ يقتضي $kL = n\pi$ — أي الأمواج المستقرة على وتر، مع $E = \hbar^2k^2/2m$ . والتنظيم يعطي $A = \sqrt{2/L}$ ؛ والتعامد هو تعامد الجيوب. ∎

البئر اللانهائية: أول ثلاثة مستويات، E_n n2، مع توابعها الموجية (على اليسار) وكثافات احتمالها (على اليمين) — أي n - 1 عقدة، وحالة أساسية منتشرة في البئر ولها طاقة غير معدومة. — البئر اللانهائية: أول ثلاثة مستويات، $E_n \propto n^2$ ، مع توابعها الموجية (على اليسار) وكثافات احتمالها (على اليمين) — أي $n - 1$ عقدة، وحالة أساسية منتشرة في البئر ولها طاقة غير معدومة.

مثال 31.2 (رتب المقادير، والألوان)

$E_1 = h^2/8mL^2$ : فلإلكترون في $1\,\mathrm{nm}$ ، $0.38\,\mathrm{eV}$ ؛ وفي $0.1\,\mathrm{nm}$ (أي ذرة)، $38\,\mathrm{eV}$ — وهو سلّم الطاقات الذرية؛ ولنوية في $5\,\mathrm{fm}$ ، $8\,\mathrm{MeV}$ — وهو سلّم الطاقات النووية؛ ولكرة زجاجية في صندوق، $10^{-63}\,\mathrm{J}$ — فلن يلاحظ أحد. وبلورة نانوية نصف ناقلة عرضها بضعة نانومترات (أي نقطة كمومية) تحبس إلكتروناتها: فتضاف طاقة الحبس إلى فجوة البلورة، وكلما صغرت النقطة ازرقّ ضوءها — فالمادة نفسها تتوهج حمراء عند $6\,\mathrm{nm}$ وخضراء عند $3\,\mathrm{nm}$ ، مضبوطةً بالحجم وحده.

31.2 البئر المنتهية

قضية 31.3 (البئر المربعة المنتهية)

من أجل $V = 0$ في $|x| < a$ و $V = V_0$ في الخارج، تتذبذب حالة $0 < E < V_0$ في الداخل ( $k = \sqrt{2mE}/\hbar$ ) وتتخامد في الخارج ( $\kappa = \sqrt{2m(V_0 - E)}/\hbar$ ): $\varphi \propto \eu^{-\kappa|x|}$ وراء الجدارين. وموافقة $\varphi$ و $\varphi'$ عند $x = \pm a$ تعطي، من أجل الحالتين الزوجية والفردية،

k\tan ka = \kappa \quad\text{(زوجي)}, \qquad -k\cot ka = \kappa \quad\text{(فردي)}, \qquad\text{مع}\quad (ka)^2 + (\kappa a)^2 = \frac{2mV_0a^2}{\hbar^2} \equiv R^2 .

وهندسيًّا، تكون الحلول تقاطعات المنحنيين $\eta = \xi\tan\xi$ و $\eta = -\xi\cot\xi$ مع الدائرة $\xi^2 + \eta^2 = R^2$ ( $\xi = ka$ ، و $\eta = \kappa a$ ): فثمة دائمًا حالة مرتبطة واحدة على الأقل (وهي الحالة الأساسية الزوجية)، و $1 + \lfloor 2R/\pi\rfloor$ في الكلّ. والجسيم ينفذ في المنطقة الممنوعة على العمق $1/\kappa$ ، وتقع المستويات دون مستويات البئر اللانهائية ذات العرض نفسه.

برهان. الحلّ الزوجي هو $A\cos kx$ في الداخل و $B\eu^{-\kappa|x|}$ في الخارج؛ و استمرار $\varphi'/\varphi$ عند $x = a$ يعطي $-k\tan ka = -\kappa$ . والأمر نفسه من أجل الفردي مع $\sin$ . والدائرة هي تعريف $k$ و $\kappa$ . وكل فرع من $\xi\tan\xi$ يبدأ عند $\xi = n\pi$ ومن $-\xi\cot\xi$ يبدأ عند $(n + \tfrac12)\pi$ يلاقي الدائرة مرة إن بدأ داخلها: ومن هنا العدّ. ∎

الحلّ الهندسي للبئر المنتهية: الحالات المرتبطة هي تقاطعات الدائرة التي نصف قطرها R = a√2mV_0/ مع الفرعين (الحالات الزوجية) و - (الفردية). وهنا R = 4: أي ثلاث حالات مرتبطة؛ والدائرة الصغيرة المتقطعة (R = 1.2) لا تزال تقطع الفرع الأول — فالبئر تربط دائمًا حالة واحدة على الأقل. — الحلّ الهندسي للبئر المنتهية: الحالات المرتبطة هي تقاطعات الدائرة التي نصف قطرها $R = a\sqrt{2mV_0}/\hbar$ مع الفرعين $\xi\tan\xi$ (الحالات الزوجية) و $-\xi\cot\xi$ (الفردية). وهنا $R = 4$ : أي ثلاث حالات مرتبطة؛ والدائرة الصغيرة المتقطعة ( $R = 1.2$ ) لا تزال تقطع الفرع الأول — فالبئر تربط دائمًا حالة واحدة على الأقل.

مثال 31.4 (إلكترون في بئر بالنانومتر)

$V_0 = 1\,\mathrm{eV}$ ، والعرض $2a = 1\,\mathrm{nm}$ : $R = a\sqrt{2mV_0}/\hbar = 0.5 \times 10^{-9} \times 5.1 \times 10^9 = 2.6$ ، ومن ثَمّ $1 + \lfloor 2R/\pi\rfloor = 2$ حالة مرتبطة؛ وتقع الحالة الأساسية قرب $0.26\,\mathrm{eV}$ بدل $0.38\,\mathrm{eV}$ في البئر اللانهائية، وتتسرب $0.2\,\mathrm{nm}$ في الجدارين ( $1/\kappa = \hbar/\sqrt{2m(V_0 - E)}$ ). وآبار كهذه، تُنمَّى طبقاتٍ من أنصاف النواقل بسماكة بضعة نانومترات، هي قلب ثنائيات الليزر في الفصل 23.

31.3 الدرجة والحاجز: النفق

قضية 31.5 (درجة كمون)

جسيم طاقته $E$ قادم من $x < 0$ على الدرجة $V = V_0$ من أجل $x > 0$ :

$E > V_0$ : $\varphi = \eu^{\iu k_1x} + r\eu^{-\iu k_1x}$ على اليسار، و $t\eu^{\iu k_2x}$ على اليمين، مع $k_{1,2} = \sqrt{2m(E - V_{0,\text{يسار/يمين}})}/ \hbar$ ؛ واستمرار $\varphi$ و $\varphi'$ يعطي $r = (k_1 - k_2)/(k_1 + k_2)$ واحتمال الانعكاس (وهو نسبة التيارين) $R = r^2$ ، و $T = 1 - R = 4k_1k_2/(k_1 + k_2)^2$ — فالجسيم يمكن أن ينعكس على درجة له من الطاقة ما يتسلقها، تمامًا كموجة على وتر عند تغيّر ممانعة (الفصل 15)؛
$E < V_0$ : وعلى اليمين $\varphi = t\eu^{-\kappa x}$ ، مع $\kappa = \sqrt{2m(V_0 - E)}/\hbar$ — أي موجة متلاشية؛ و $|r| = 1$ (أي انعكاس كلي، مع انزياح طور)، ولا يجري تيار إلى الدرجة، لكن الجسيم يوجد هناك باحتمال يتخامد على $1/\kappa$ .

برهان. اكتب معادلات الاستمرار عند $x = 0$ وحلّها؛ ومن أجل التيارات استعمل $j = (|A|^2 - |B|^2)\hbar k/m$ (الفصل 30). ومن أجل $E < V_0$ ، $r = (k - \iu\kappa)/(k + \iu\kappa)$ ، وطويلته واحد. ∎

مبرهنة 31.6 (النفق عبر حاجز)

جسيم طاقته $E < V_0$ يلاقي حاجزًا مستطيلًا ارتفاعه $V_0$ وعرضه $a$ ينفذ باحتمال

T = \Big[1 + \frac{V_0^2\sinh^2(\kappa a)}{4E(V_0 - E)}\Big]^{-1} \ \approx\ 16\,\frac{E}{V_0}\Big(1 - \frac{E}{V_0}\Big)\eu^{-2\kappa a} \quad (\kappa a \gg 1), \qquad \kappa = \frac{\sqrt{2m(V_0 - E)}}{\hbar} .

وهذا هو أثر النفق: وهو مستحيل كلاسيكيًّا، وصغير أسّيًّا في الميكانيك الكمومي — وحساس أسّيًّا للعرض $a$ وللارتفاع $V_0 - E$ وللكتلة $m$ . فمن أجل إلكترون $1\,\mathrm{eV}$ دون القمة، $\kappa = 5.1\,\mathrm{nm}^{-1}$ : $T \sim 10^{-2}$ من أجل $a = 0.5\,\mathrm{nm}$ ، و $10^{-4}$ من أجل $1\,\mathrm{nm}$ ، و $10^{-9}$ من أجل $2\,\mathrm{nm}$ ؛ وأما البروتون فيكون $\kappa$ له أكبر $43$ مرة ولا ينفذ شيء عند هذه العروض.

برهان. $\varphi = \eu^{\iu kx} + r\eu^{-\iu kx}$ من أجل $x < 0$ ، و $A\eu^{\kappa x} + B\eu^{-\kappa x}$ في الداخل، و $t\eu^{\iu kx}$ من أجل $x > a$ ؛ وأربعة شروط استمرار (على $\varphi$ و $\varphi'$ عند $0$ و $a$ ) من أجل أربعة مجاهيل؛ وبإزالة $A$ و $B$ و $r$ نحصل على $1/|t|^2 = 1 + (k^2 + \kappa^2)^2\sinh^2(\kappa a)/4k^2\kappa^2$ ، وهي الصيغة مع $k^2 = 2mE/\hbar^2$ و $\kappa^2 = 2m(V_0 - E)/\hbar^2$ . ومن أجل $\kappa a \gg 1$ ، $\sinh\kappa a \approx \eu^{\kappa a}/2$ . ومن أجل حاجز اعتباطي الشكل يصير الأسّ $2\int\kappa(x)\dd x$ عبر المنطقة الممنوعة (وهو عامل غاموف، مقبول). ∎

النفق عبر حاجز: تتذبذب الموجة على اليسار، و تتخامد أسّيًّا داخل المنطقة الممنوعة كلاسيكيًّا، و تخرج على اليمين بسعة منخفضة — بطول الموجة نفسه، وباحتمال صغير.

مثال 31.7 (مجهر النفق الماسح)

يُقرَّب طرف معدني حادّ إلى $d \approx 0.5\,\mathrm{nm}$ من سطح ناقل ويُطبَّق توتر صغير: فتنفق الإلكترونات عبر فجوة الخلاء، وارتفاع حاجزها هو تابع العمل $\Phi \approx 4.5\,\mathrm{eV}$ ، ومن ثَمّ $\kappa = \sqrt{2m\Phi}/\hbar = 1.1 \times 10^{10}\,\mathrm{m}^{-1}$ و يتغير التيار $I \propto \eu^{-2\kappa d}$ بالعامل $\eu^{2.2} \approx 10$ في كل $0.1\,\mathrm{nm}$ . وحلقة تغذية راجعة تحرّك الطرف لتبقي $I$ ثابتًا، وارتفاع الطرف، مسجَّلًا وهو يمسح، يرسم السطح بتمييز شاقولي قدره بيكومتر — وعرضًا ذرةً ذرة، لأن آخر ذرة في الطرف، وهي الأقرب، تحمل معظم التيار (بينيغ وروهرر، 1981).

مثال 31.8 (التفكك ألفا)

جسيم $\alpha$ طاقته $5\,\mathrm{MeV}$ داخل نواة ثقيلة يواجه حاجز كولون للشحنة الباقية $Ze$ ، وارتفاعه عشرات الميغا إلكترون فولت عند سطح النواة ويمتد إلى نصف القطر $b = 2Ze^2/4\pi\varepsilon_0E \approx 50\,\mathrm{fm}$ حيث $V = E$ . وعامل غاموف $2\int\kappa\,\dd r$ من رتبة $80$ : $T \sim \eu^{-80} \sim 10^{-35}$ . والجسيم يصدم الجدار نحو $10^{21}$ مرة في الثانية، فيفلت بمعدل $\sim 10^{-14} \,\mathrm{s}^{-1}$ : أي عمر قدره مليون سنة. ولأن الأسّ يتغير وفق $Z/\sqrt E$ ، فإن تغيّرًا قدره $2\,\mathrm{MeV}$ في $E$ يزيح العمر بعشرين رتبة من المقدار — وهو قانون غايغر–نوتال، من الميكروثواني إلى عمر الكون (غاموف، 1928: وهو أول تطبيق للنفق).

تمييز ذري على سطح ذهب، مصوَّرًا بمجهر نفق ماسح: صفوف ذرات الوجه (100) المعاد بناؤه، متباعدة بضعة أعشار النانومتر.

31.4 البئر المزدوجة

قضية 31.9 (انشقاق النفق)

بئران متطابقتان يفصلهما حاجز: فلو كان الحاجز لا يُخترَق لكان لكل بئر المستوي الأساسي نفسه $E_0$ ، مرتين. والنفق يقرنهما فتكون أدنى حالتي البئر المزدوجة هما التركيبين المتناظر واللامتناظر، $\varphi_\pm \approx (\varphi_{\text{يسار}} \pm \varphi_{\text{يمين}})/\sqrt2$ ، وطاقتاهما $E_0 \mp \Delta/2$ : فينشقّ المستوي انشقاقًا مقداره $\Delta \propto \eu^{-\kappa a}$ (وهي سعة النفق، لا مربعها). والجسيم الموضوع في البئر اليسرى، $\psi = (\varphi_+ + \varphi_-)/\sqrt2$ ، ليس مستقرًّا: بل يتذبذب بين البئرين بالتواتر $\nu = \Delta/h$ — وهي تذبذبات النفق، أي ضربات المستويين في الفصل 30.

برهان. التركيب المتناظر لا عقدة له تحت الحاجز وتقوّسه أدنى، ومن ثَمّ طاقته أدنى؛ واللامتناظر له عقدة و يقع أعلى؛ والانشقاق متناسب مع تراكب التوابع الموضَّعة تحت الحاجز، $\eu^{-\kappa a}$ . والضربات هي تراكب المستويين المحسوب أصلًا. ∎

البئر المزدوجة: المستوي المنحلّ في البئرين المعزولتين ينشقّ إلى حالة متناظرة (أدنى) وأخرى لامتناظرة (أعلى) بمقدار - a؛ والجسيم المبدوء به على جهة ينفق جيئةً وذهابًا بالتواتر /h. — البئر المزدوجة: المستوي المنحلّ في البئرين المعزولتين ينشقّ إلى حالة متناظرة (أدنى) وأخرى لامتناظرة (أعلى) بمقدار $\Delta \propto \eu^{-\kappa a}$ ؛ والجسيم المبدوء به على جهة ينفق جيئةً وذهابًا بالتواتر $\Delta/h$ .

مثال 31.10 (النشادر)

في NH $_3$ تقع ذرة الآزوت على جهة من مستوي الهدروجينات الثلاثة أو على الأخرى — أي بئر مزدوجة بحاجز نحو $0.25\,\mathrm{eV}$ . وانشقاق نفق المستوي الأساسي هو $\Delta = 1 \times 10^{-4}\,\mathrm{eV}$ : $\nu = \Delta/h = 24\,\mathrm{GHz}$ ، وهو تواتر القلب، وهو انتقال أول ميزر وأول ساعة ذرية (1949). واستبدل بالهدروجين الديوتيريوم فينفق الجزيء الأثقل أقلّ: $1.6\,\mathrm{GHz}$ . وفي الأهرام الأثقل (PH $_3$ و أرسين) ينهار الانشقاق إلى الكيلوهرتزات وما دونها: فيبقى الجزيء على جهته سنين — ولهذا توجد الجزيئات اليسراوية واليمناوية أصلًا، ولهذا لا يترصّع السكر على الرفّ.

تشارلز تاونز مع أول ميزر (1954): حزمة من جزيئات النشادر، مفروزة بحقل كهربائي إلى حالة القلب العليا، ضخّمت انتقال 24\, GHz في جوف — وهو أول جهاز للإصدار المستحثّ، قبل الليزر بستّ سنين. — تشارلز تاونز مع أول ميزر (1954): حزمة من جزيئات النشادر، مفروزة بحقل كهربائي إلى حالة القلب العليا، ضخّمت انتقال $24\,\mathrm{GHz}$ في جوف — وهو أول جهاز للإصدار المستحثّ، قبل الليزر بستّ سنين.

طريقة 31.11 (الآبار والحواجز)

(1) اكتب $\varphi$ منطقةً منطقة: $\eu^{\pm\iu kx}$ حيث $E > V$ ، و $\eu^{\pm\kappa x}$ حيث $E < V$ ، مع $k, \kappa = \sqrt{2m|E - V|}/\hbar$ . (2) ووافق $\varphi$ و $\varphi'$ عند كل حدّ (وعند جدار لانهائي، $\varphi = 0$ ). (3) وأما الحالات المرتبطة: فللموافقة حلول من أجل $E$ منفصلة لا غير — فعُدّها هندسيًّا. (4) وأما التبعثر: فالتيارات $(|A|^2 - |B|^2)\hbar k/m$ تعطي $R$ و $T$ . (5) وأما النفق: فيكون $T \sim \eu^{-2\kappa a}$ ؛ ورتبة المقدار أولًا، والعامل بعد ذلك. (6) والبئر المزدوجة: الانشقاق $\propto\eu^{-\kappa a}$ ، والضربات عند $\Delta/h$ .

31.5 تمارين

تمرين 31.1 ★

البئر اللانهائية: إلكترون في $1\,\mathrm{nm}$ (أوجد $E_1$ ، و $E_2$ ، و $E_3$ ، وطول موجة فوتون $2 \to 1$ )؛ وإلكترون في $0.1\,\mathrm{nm}$ ؛ ونوية في $5\,\mathrm{fm}$ ؛ وكرة زجاجية $1\,\mathrm{g}$ في $10\,\mathrm{cm}$ ( $E_1$ ، والعدد الكمومي من أجل سرعة $1\,\mathrm{cm}/\mathrm{s}$ ).

حل

حل التمرين 31.1.

عند $1\,\mathrm{nm}$ : $0.38\,$ ، $1.50\,$ ، $3.38\,\mathrm{eV}$ ؛ و $2 \to 1$ : $1.13\,\mathrm{eV}$ ، $1.1\,\text{µ}\mathrm{m}$ . وعند $0.1\,\mathrm{nm}$ : $38\,\mathrm{eV}$ . والنوية: $8\,\mathrm{MeV}$ . والكرة الزجاجية: $E_1 = 5.5 \times 10^{-63}\,\mathrm{J}$ ؛ و $n = 2mvL/h = 3 \times 10^{27}$ .

تمرين 31.2 ★

النقاط الكمومية: بلورة نانوية فجوتها $1.74\,\mathrm{eV}$ تحبس زوج إلكترون وثقب طاقة حبسه $h^2/8m^*L^2$ مع $m^* = 0.1\,m_{\text{e}}$ . أوجد طول موجة الإصدار من أجل $L = 6$ ، و $4$ ، و $3$ ، و $2.5\,\mathrm{nm}$ ؛ وأي الألوان؟

حل

حل التمرين 31.2.

الحبس $3.76\,\mathrm{eV}\,\mathrm{nm}^{2}/L^2$ : $0.10$ ، $0.24$ ، $0.42$ ، $0.60\,\mathrm{eV}$ ؛ والمجموع $1.84$ ، $1.98$ ، $2.16$ ، $2.34\,\mathrm{eV}$ : $673\,$ ، $628\,$ ، $574\,$ ، $530\,\mathrm{nm}$ — أي أحمر، وبرتقالي، وأصفر مخضرّ، وأخضر.

تمرين 31.3 ★

النفق: إلكترون مع $V_0 - E = 4.5\,\mathrm{eV}$ : أوجد $\kappa$ ؛ و $\eu^{-2\kappa a}$ من أجل $a = 0.3$ ، و $0.5$ ، و $1$ ، و $2\,\mathrm{nm}$ ؛ والعامل في كل $0.1\,\mathrm{nm}$ ؛ وأعد ذلك من أجل بروتون عند $a = 0.3\,\mathrm{nm}$ .

حل

حل التمرين 31.3.

$\kappa = 1.09 \times 10^{10}\,\mathrm{m}^{-1}$ ؛ و $\eu^{-2\kappa a}$ : $1.5 \times 10^{-3}$ ، $1.8 \times 10^{-5}$ ، $3 \times 10^{-10}$ ، $10^{-19}$ ؛ و $\times 8.8$ في كل $0.1\,\mathrm{nm}$ ؛ وأما البروتون: فيكون $\kappa$ له أكبر $43$ مرة، و $\eu^{-280}$ عند $0.3\,\mathrm{nm}$ .

تمرين 31.4 ★

الدرجة: إلكترون $2\,\mathrm{eV}$ على درجة $1\,\mathrm{eV}$ : أوجد $k_1$ ، و $k_2$ ، و $R$ ، و $T$ . وأعد ذلك من أجل درجة نازلة $1\,\mathrm{eV}$ . ولمَ يكون ذلك مستحيلًا كلاسيكيًّا، وما نظيره في الضوء؟

حل

حل التمرين 31.4.

$k_1 = 7.3 \times 10^{9}\,\mathrm{m}^{-1}$ ، و $k_2 = 5.1 \times 10^{9}\,\mathrm{m}^{-1}$ ؛ و $R = 0.03$ ، و $T = 0.97$ . وأما الدرجة النازلة: $k_2 = 8.9 \times 10^{9}\,\mathrm{m}^{-1}$ ، و $R = 0.01$ . والجسيم الكلاسيكي لا يرتدّ قط متى كانت له الطاقة؛ وموجة الضوء تنعكس جزئيًّا عند أي تغيّر قرينة.

تمرين 31.5 ★★

البئر اللانهائية بالتفصيل. (أ) استنتج المستويات ونظِّم. (ب) وبيّن التعامد. (ج) ومن أجل $n = 1$ : أوجد $\langle x\rangle$ ، و $\Delta x = L\sqrt{1/12 - 1/2\pi^2}$ ، و $\langle p\rangle = 0$ ، و $\Delta p = \pi\hbar/L$ ؛ وتحقق من هايزنبرغ. (د) وارسم $|\varphi_n|^2$ من أجل $n$ الكبيرة وقارنه بالاحتمال الكلاسيكي لإيجاد جسيم يرتدّ.

حل

حل التمرين 31.5.

(أ) و(ب) القضية 31.1. (ج) و $L/2$ ؛ و $0.18L$ ؛ و $0$ ؛ و $\pi\hbar/L$ ؛ والجداء $0.57\hbar > \hbar/2$ . (د) وتذبذبات سريعة حول المتوسط $1/L$ — أي الكثافة المنتظمة الكلاسيكية.

تمرين 31.6 ★★

البئر المنتهية. (أ) استنتج $k\tan ka = \kappa$ من أجل الحالات الزوجية. (ب) وبيّن هندسيًّا أن ثمة دائمًا حالة مرتبطة وعُدّها من أجل $R = 1$ ، و $4$ ، و $10$ . (ج) وإلكترون، $V_0 = 1\,\mathrm{eV}$ ، و $2a = 1\,\mathrm{nm}$ : أوجد $R$ ، وعدد الحالات، وعمق نفوذ الحالة الأساسية (خذ $E \approx 0.26\,\mathrm{eV}$ ). (د) وماذا يحلّ بعدد الحالات المرتبطة كلما $V_0 \to \infty$ ، وبطاقاتها؟

حل

حل التمرين 31.6.

(أ) القضية 31.3. (ب) و $1$ ، و $3$ ، و $7$ . (ج) و $R = 2.6$ ، وحالتان؛ و $\kappa = 4.4 \times 10^{9}\,\mathrm{m}^{-1}$ ، والعمق $0.23\,\mathrm{nm}$ . (د) وعدد لانهائي منها، تؤول إلى مستويات البئر اللانهائية من تحت.

تمرين 31.7 ★★

الدرجة، $E < V_0$ . (أ) اكتب $\varphi$ على الجهتين وأوجد $r = (k - \iu\kappa)/(k + \iu\kappa)$ . (ب) وبيّن $|r| = 1$ واحسب طور $r$ . (ج) وبيّن أن التيار ينعدم من أجل $x > 0$ مع أن $|\varphi|^2 \ne 0$ هناك. (د) وإلكترون $1\,\mathrm{eV}$ دون القمة: أوجد عمق النفوذ؛ وقارنه بالموجة المتلاشية في الانعكاس الكلي الداخلي.

حل

حل التمرين 31.7.

(أ) $1 + r = t$ ، و $\iu k(1 - r) = -\kappa t$ . (ب) والبسط والمقام مترافقان؛ والطور $-2\arctan(\kappa/k)$ . (ج) و $\psi^*\psi'$ حقيقي من أجل أسّية حقيقية. (د) و $0.2\,\mathrm{nm}$ ؛ كالموجة المتلاشية في الانعكاس الكلي: موجودة، ولا تحمل تدفقًا، وقادرة على تغذية وسط ثانٍ — وذلك هو النفق.

تمرين 31.8 ★★

الحاجز. (أ) اكتب شروط الاستمرار الأربعة و استنتج $T$ . (ب) وقدّرها بالضبط وبالتقريب من أجل $E = V_0/2$ و $\kappa a = 3$ ؛ ومن أجل $\kappa a = 1$ . (ج) ومن أجل $E > V_0$ بيّن أن $T = [1 + V_0^2\sin^2(k_2a)/4E(E - V_0)]^{-1}$ وأوجد طاقات النفاذ التامّ. (د) وفسّرها (فكّر في طبقة منع الانعكاس في الفصل 15).

حل

حل التمرين 31.8.

(أ) المبرهنة 31.6. (ب) ومن أجل $\kappa a = 3$ : المضبوط $1/(1 + \sinh^23) = 9.9 \times 10^{-3}$ ، والتقريب $4\eu^{-6} = 9.9 \times 10^{-3}$ ؛ ومن أجل $\kappa a = 1$ : $0.42$ في وجه $0.54$ . (ج) و $\kappa \to \iu k_2$ ؛ و $T = 1$ من أجل $k_2a = n\pi$ . (د) وينعدم انعكاسا الوجهين حين يكون الحاجز عددًا صحيحًا من أنصاف أطوال الموجة — أي نفاذ رنيني.

تمرين 31.9 ★★

غاموف. من أجل حاجز كولون من نصف القطر النووي $R_{\text{n}}$ إلى $b = 2Ze^2/4\pi\varepsilon_0E$ ، يكون الأسّ $G = 2\int\kappa\,\dd r = (2\sqrt{2mE}/\hbar)\,b\,[\arccos\sqrt{R_{\text{n}}/b} - \sqrt{(R_{\text{n}}/b)(1 - R_{\text{n}}/b)}]$ . (أ) ومن أجل $Z = 90$ ، و $E = 5\,\mathrm{MeV}$ ، و $R_{\text{n}} = 8\,\mathrm{fm}$ : أوجد $b$ ، و $G$ ، و $T$ . (ب) وتواتر الصدمات $v/2R_{\text{n}}$ والعمر. (ج) وأعد ذلك من أجل $E = 4$ و $6\,\mathrm{MeV}$ : أوجد نسبة العمرين. (د) ولمَ تصدر النوى جسيمات $\alpha$ لا بروتونات ولا $^{12}$ C؟

حل

حل التمرين 31.9.

(أ) $b = 52\,\mathrm{fm}$ ؛ و $G = 82$ ؛ و $T = \eu^{-82} \approx 2 \times 10^{-36}$ . (ب) و $v = 1.55 \times 10^{7}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ، و $10^{21}$ صدمة في الثانية: فالمعدل $2 \times 10^{-15}\,\mathrm{s}^{-1}$ ، والعمر $\sim 10^7$ سنة. (ج) و $G = 100$ و $69$ : أي $\eu^{18} \approx 10^8$ أطول، و $\eu^{-13} \approx 10^{-6}$ أقصر. (د) وجسيم $\alpha$ مرتبط بشدة ويغادر بطاقة موجبة؛ والبروتون لا؛ ولنواة $^{12}$ C ثلاثة أضعاف الشحنة وأسّ أكبر بكثير (والتفكك العنقودي موجود، عند $10^{-10}$ ).

تمرين 31.10 ★★★

النشادر. الانشقاق $\Delta = 1 \times 10^{-4}\,\mathrm{eV}$ . (أ) أوجد تواتر القلب ودور تذبذب النفق. (ب) وتُحضَّر ذرة الآزوت على جهة: اكتب $\psi(t)$ واحتمال إيجادها على الجهة الأخرى. (ج) و ND $_3$ ينفق عند $1.6\,\mathrm{GHz}$ : استنتج $\kappa a$ من نسبة الانشقاقين إذا كان $\Delta \propto \eu^{-\kappa a}$ و $\kappa \propto\sqrt m$ ( $m_{\text{D}} = 2m_{\text{H}}$ ، والحاجز بلا تغير). (د) ولمَ يمكن لجزيء شيرالي أن يبقى يسراويًّا سنين؟

حل

حل التمرين 31.10.

(أ) $24\,\mathrm{GHz}$ ؛ و $41\,\mathrm{ps}$ . (ب) و $\psi = (\varphi_+\eu^{-\iu E_+t/\hbar} + \varphi_-\eu^{-\iu E_-t/\hbar})/\sqrt2$ ؛ و $P = \sin^2(\pi\nu t)$ . (ج) و $\eu^{(\sqrt2 - 1) \kappa a} = 15$ : $\kappa a = 6.5$ . (د) والزمر الأثقل والحواجز الأعلى تجعل دور النفق أطول من سنين.

تمرين 31.11 ★★★

مجهر النفق الماسح. $\Phi = 4.5\,\mathrm{eV}$ ، و $d = 0.5\,\mathrm{nm}$ ، والتحيّز $0.1\,\mathrm{V}$ ، و $I = 1\,\mathrm{nA}$ . (أ) أوجد $\kappa$ ، وعامل $I$ في كل $0.1\,\mathrm{nm}$ ، و تمييز الارتفاع إذا قيس $I$ بدقة $1\%$ . (ب) وعدد الإلكترونات في الثانية في التيار. (ج) وذرة قمة الطرف أقرب بمقدار $0.25\,\mathrm{nm}$ من جاراتها (وهي على بعد $0.25\,\mathrm{nm}$ عرضًا، ومن ثَمّ $d' = \sqrt{d^2 + 0.25^2}$ ): أوجد النسبة التي تحملها من التيار. (د) وإطار فولاذي $1\,\mathrm{cm}$ يتمدد بمقدار $\alpha L\Delta T$ مع $\alpha = 1 \times 10^{-5}\,\mathrm{K}^{-1}$ : فأي استقرار حراري يحتاجه بيكومتر، وكيف تلتفّ التصاميم على ذلك؟

حل

حل التمرين 31.11.

(أ) $1.09 \times 10^{10}\,\mathrm{m}^{-1}$ ؛ و $\times 8.8$ ؛ و $1\%$ من $I$ هو $0.5\,\mathrm{pm}$ . (ب) و $6 \times 10^9$ . (ج) وكل جارة عند $d' = 0.56\,\mathrm{nm}$ تحمل $\eu^{-2\kappa \times 0.06\,\text{nm}} = 0.28$ من تيار القمة؛ فالقمة تحمل نحو النصف. (د) و $10^{-5}\,\mathrm{K}$ — وهو مستحيل؛ فتصاميم متناظرة يتمدد فيها الطرف والعينة معًا، ومسوح سريعة، ومواد قليلة التمدد، والتغذية الراجعة.

تمرين 31.12 ★★★

ليزر البئر الكمومية. طبقة $10\,\mathrm{nm}$ من زرنيخيد الغاليوم (فجوتها $1.42\,\mathrm{eV}$ ، و $m_{\text{e}}^* = 0.067\,m_{\text{e}}$ ، و $m_{\text{h}}^* = 0.45\,m_{\text{e}}$ ) بين حاجزين أعلى منها $0.3\,\mathrm{eV}$ . (أ) أوجد طاقتي الحبس الأساسيتين للإلكترون وللثقب (بالبئر اللانهائية). (ب) وطاقة الفوتون وطول موجة الليزر. (ج) والعرض من أجل $780\,\mathrm{nm}$ . (د) ومع الحاجز المنتهي، كم حالة إلكترون مرتبطة تسع البئر $10\,\mathrm{nm}$ ؟

حل

حل التمرين 31.12.

(أ) $0.056\,$ و $0.008\,\mathrm{eV}$ . (ب) و $1.48\,\mathrm{eV}$ ، و $835\,\mathrm{nm}$ . (ج) والحبس $0.17\,\mathrm{eV}$ : $L = 6.1\,\mathrm{nm}$ . (د) و $R = 3.6$ : أي ثلاث.

31.6 مسألة: مجهر النفق وجسيم ألفا وميزر النشادر

مسألة 31.1

مسألة نهاية الأسبوع — ثلاثة أنفاق

المعطيات: $\hbar = 1.05 \times 10^{-34}\,\mathrm{J}\,\mathrm{s}$ ، و $h = 6.63 \times 10^{-34}\,\mathrm{J}\,\mathrm{s}$ ، و $m_{\text{e}} = 9.11 \times 10^{-31}\,\mathrm{kg}$ ، و $m_\alpha = 6.64 \times 10^{-27}\,\mathrm{kg}$ ، و $e^2/4\pi\varepsilon_0 = 1.44\,\mathrm{MeV}\,\mathrm{fm}$ ، و $1\,\mathrm{eV}$ $= 1.60 \times 10^{-19}\,\mathrm{J}$ .

الجزء الأول — مجهر النفق الماسح. الطرف والعينة من التنغستن ( $\Phi = 4.5\,\mathrm{eV}$ )؛ والفجوة $d$ ؛ والتحيّز $50\,\mathrm{mV}$ ؛ والتيار $I = I_0\eu^{-2\kappa d}$ .

أوجد $\kappa$ للإلكترونات عند مستوي فيرمي في وجه حاجز الخلاء $\Phi$ .
وعامل تغيّر $I$ من أجل $\Delta d = 0.1\,\mathrm{nm}$ ؛ ومن أجل $1\,\mathrm{pm}$ .
والتغذية الراجعة تبقي $I$ ثابتًا بدقة $1\%$ : أوجد ضجيج الارتفاع.
ومن أجل $I = 1\,\mathrm{nA}$ : أوجد الإلكترونات في الثانية؛ ومتوسط الزمن بين إلكترونين، مقارنًا بزمن النفق $\sim\hbar/\Phi$ .
وذرة القمة وجاراتها على بعد $0.25\,\mathrm{nm}$ عرضًا، و $d = 0.5\,\mathrm{nm}$ : أوجد حصة ذرة القمة؛ ولمَ تكفي ذرة واحدة لتصوير الذرات.
وذرة ممتزّة ارتفاعها $0.1\,\mathrm{nm}$ : أوجد تغيّر $I$ في نمط الارتفاع الثابت؛ ولمَ يُفضَّل نمط التيار الثابت.
وإطار معدني $2\,\mathrm{cm}$ ، و $\alpha = 1 \times 10^{-5}\,\mathrm{K}^{-1}$ : أوجد تغيّر الحرارة الذي يحرّك الطرف $1\,\mathrm{pm}$ ؛ وكيف تتدبر الأدوات ذلك (بالتناظر، والسرعة، والمواد قليلة التمدد)؟
ومع تحيّز $1\,\mathrm{V}$ لا يبقى الحاجز مستطيلًا: ارسمه وقل أينمو $I$ أسرع من التناسب الخطي مع $V$ أم أبطأ.
وعلى رقعة مؤكسدة يكون تابع العمل $3\,\mathrm{eV}$ بدل $4.5\,\mathrm{eV}$ : فبكم ينسحب الطرف في نمط التيار الثابت فوق سطح مستوٍ تمامًا؟ وماذا يصوّر المجهر عندئذ؟

الجزء الثاني — التفكك ألفا لنواة $Z = 92$ و $A = 238$ . جسيم $\alpha$ ( $E = 4.2\,\mathrm{MeV}$ ) يتحرك في نواة نصف قطرها $R_{\text{n}} = 8\,\mathrm{fm}$ ؛ وفي الخارج تكون طاقة كولون $V(r) = 2(Z - 2)e^2/4\pi\varepsilon_0r$ .

أوجد ارتفاع الحاجز عند $R_{\text{n}}$ ؛ ونقطة الارتداد الكلاسيكية $b$ .
وسرعة $\alpha$ في الداخل وتواتر صدماته على الجدار.
وأسّ غاموف $G = (2\sqrt{2mE}/\hbar)\,b\,[\arccos\sqrt{R_{\text{n}}/b} - \sqrt{(R_{\text{n}}/b)(1 - R_{\text{n}}/b)}]$ و $T = \eu^{-G}$ .
ومعدل التفكك ونصف العمر؛ وقارنه بالمقيس $4.5 \times 10^9$ سنة.
وأعد ذلك مع $E = 5.2\,\mathrm{MeV}$ (أي نظير آخر): أوجد نصف العمر؛ وحساسية غايغر–نوتال.
وبأخذ $R_{\text{n}} = 9\,\mathrm{fm}$ بدل $8\,\mathrm{fm}$ : أوجد الأثر على نصف العمر؛ وعلّق على دقة تقديرات كهذه.
ولمَ لا يُرصَد نفق بروتون (شحنته $1$ ، وكتلته $1/4$ ) من النواة نفسها، ولا نفق $^{12}$ C (شحنته $6$ )؟
ويخرج $\alpha$ بكامل $4.2\,\mathrm{MeV}$ مع أنه “مرّ تحت” جدار $30\,\mathrm{MeV}$ : أتُحفَظ الطاقة؟

الجزء الثالث — ميزر النشادر. تنفق ذرة الآزوت عبر مستوي H $_3$ ؛ وينشقّ المستوي الأساسي بمقدار $\Delta = 9.8 \times 10^{-5}\,\mathrm{eV}$ .

أوجد تواتر انتقال القلب وطول موجته.
واكتب الحالتين المتناظرة واللامتناظرة بدلالة “الآزوت فوق” و“الآزوت تحت”؛ وأيّهما أدنى، ولماذا؟
وجزيء محضَّر “آزوته فوق”: اكتب $\psi(t)$ ، واحتمال “تحت” عند اللحظة $t$ ، والدور.
ونسبة بولتزمان للمستويين عند $300\,\mathrm{K}$ : أتستطيع الجمهرة الحرارية أن تعطي ميزرًا؟ وكيف يُنال الانقلاب (بحقل كهربائي منتقٍ للحالات)؟
وطاقة الفوتون بالجول؛ وعدد الجزيئات التي يجب أن تصدر في الثانية من أجل خرج $1 \times 10^{-10}\,\mathrm{W}$ .
و ND $_3$ ينفق عند $1.6\,\mathrm{GHz}$ : استنتج $\kappa a$ من أجل NH $_3$ بافتراض $\Delta \propto \eu^{-\kappa a}$ مع $\kappa \propto \sqrt{m}$ .
وكان الميزر أول ساعة ذرية: فلمَ يكون تواتر النفق ساعة جيدة وأي آثار تزيحه؟
ولخّص: التكميم من الحبس، والنفق من التلاشي، وما الذي يثبّت الأسس.

حل

حل المسألة 31.1.

1. $\kappa = \sqrt{2m\Phi}/\hbar = 1.09 \times 10^{10}\,\mathrm{m}^{-1}$ .

2. $\eu^{2.2} = 8.8$ ؛ و $\eu^{0.022}$ : أي $2.2\%$ في البيكومتر.

3. $0.5\,\mathrm{pm}$ .

4. $6 \times 10^9$ في الثانية؛ ويفصل بينها $0.16\,\mathrm{ns}$ ، في وجه $\hbar/\Phi \sim 10^{-16}\,\mathrm{s}$ : أي واحدًا واحدًا.

5. نحو النصف؛ والباقي يتخامد مع البعد بسرعة تجعل الصورة صورةَ ذرة واحدة.

6. $\times 8.8$ ؛ والتيار الثابت يبقي الطرف سالمًا ويحوّل الأسّية إلى ارتفاع خطي.

7. $\Delta T = 10^{-12}/(10^{-5} \times 0.02) = 5 \times 10^{-6}\,\mathrm{K}$ ؛ فحوامل متناظرة، وسرعة، ومواد قليلة التمدد، وتغذية راجعة تتبع الهيام.

8. شبه منحرف، منخفض على الجهة الجامعة: فيرقّ الحاجز الفعّال وينمو $I$ أسرع من التناسب الخطي.

9. $\kappa' = 0.89 \times 10^{10}\,\mathrm{m}^{-1}$ ؛ وعند $0.5\,\mathrm{nm}$ يهبط الأسّ من $10.9$ إلى $8.9$ ، و $I \times 7$ : فينسحب الطرف بمقدار $\ln 7/2\kappa' \approx 0.1\,\mathrm{nm}$ — أي نتوء إلكتروني لا هندسي.

10. $V(R_{\text{n}}) = 2 \times 90 \times 1.44/8 = 32\,\mathrm{MeV}$ ؛ و $b = 62\,\mathrm{fm}$ .

11. $v = 1.4 \times 10^{7}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ؛ و $9 \times 10^{20}$ صدمة في الثانية.

12. $G = 96$ ؛ و $T = \eu^{-96} \approx 10^{-42}$ .

13. المعدل $\sim 10^{-21}\,\mathrm{s}^{-1}$ ، ونصف العمر $\sim 10^{13}$ سنة — أي ألف ضعف القيمة المقيسة: فمن أجل أسّ قدره مئة، يُحسن نموذج خشن إذا وقع في حدود بضع رتب من المقدار.

14. $G = 79$ : أي $\eu^{17} \approx 10^7$ أقصر، ونحو $10^6$ سنة — فميغا إلكترون فولت واحد زائد، وسبع رتب من المقدار.

15. $G = 92$ : أي $\eu^{4.5} \approx 90$ أقصر — ففرمي واحد من نصف القطر رتبتان من المقدار.

16. البروتون ليس مكوَّنًا سلفًا بطاقة موجبة (بل هو مرتبط بنحو $7\,\mathrm{MeV}$ )؛ ولنواة $^{12}$ C ثلاثة أضعاف الشحنة و أسّ أكبر بثلاث مرات.

17. نعم: فلجسيم $\alpha$ دائمًا $4.2\,\mathrm{MeV}$ ؛ ولا يكون لتابعه الموجي إلا جزء متلاشٍ تحت الحاجز، حيث لا يجده قياس بطاقة حركية سالبة.

18. $23.7\,\mathrm{GHz}$ ؛ و $1.27\,\mathrm{cm}$ .

19. $(|{\uparrow}\rangle \pm |{\downarrow}\rangle)/\sqrt2$ ؛ و المتناظرة أدنى — إذ لا عقدة لها، فتقوّسها أقلّ.

20. $\psi = (\varphi_+\eu^{-\iu E_+t/\hbar} + \varphi_-\eu^{-\iu E_-t/\hbar})/\sqrt2$ ؛ و $P_{\downarrow} = \sin^2(\pi\nu t)$ ؛ والدور $42\,\mathrm{ps}$ .

21. $\eu^{-\Delta/k_BT} = 0.996$ : أي شبه متساويين، فلا انقلاب؛ و حقل كهربائي غير متجانس يفرز الحزمة ويرسل جزيئات الحالة العليا إلى الجوف.

22. $1.6 \times 10^{-23}\,\mathrm{J}$ ؛ و $6 \times 10^{12}$ جزيء في الثانية.

23. $\kappa a = 6.5$ .

24. لأنه يثبّته الجزيء وحده، وهو واحد في كل جزيء، وغير حساس للخارج؛ والإزاحات تأتي من أثر دوبلر في الحزمة، والحقول الكهربائية الشاردة، والتصادمات، و جذب الجوف.

25. الحبس يكمّم ( $E_n \propto n^2/L^2$ )؛ والتلاشي يمرّر الموجة ( $T \sim \eu^{-2\kappa a}$ )؛ والأسس يثبّتها $\sqrt{2m(V_0 - E)}/\hbar$ والعرض — أي الكتلة والارتفاع والمسافة.