الفيزياء الجامعية — السنة الثانية · Bachelor Year 2

11معادلات ماكسويل

كتب جيمس كلارك ماكسويل سنة 1865 القوانين التي وجدها كولوم وأمبير وفاراداي واحدًا واحدًا، وأضاف إلى قانون أمبير حدًّا لم تطلبه أي تجربة بعد، فوجد أن معادلاته تقبل أمواجًا تنتقل بسرعة استطاع أن يحسبها من ثوابت الكهرباء والمغناطيسية — أي سرعة الضوء. فصارت الكهرباء والمغناطيسية والبصريات موضوعًا واحدًا. وقد صاغ كتاب السنة الأولى القوانين تكاملات على سطوح وحلقات؛ وهذا الفصل يكتبها أربع معادلات موضعية صحيحة عند كل نقطة وفي كل لحظة، بالمؤثرات المتجهية التي تجعل مثل هذه الكتابة ممكنة، ويستخرج النتائج الأولى: تيار الإزاحة، والكمونات، وسلوك المجالات عند سطح فاصل، والتقريبات التي تكون فيها دارات كتاب السنة الأولى تامة الصحة.

جيمس كلارك ماكسويل (1831–1879)، الذي كتب معادلات هذا الفصل الأربع وقرأ فيها وجود أمواج كهرمغناطيسية تنتقل بسرعة الضوء.

11.1 المؤثرات المتجهية

تعريف 11.1 (التدرج والتباعد والدوّار واللابلاسي)

من أجل مجال سلّمي $f$ ومجال متجهي $\vect A$ ، بالإحداثيات الديكارتية مع المتجهة الرمزية $\vect\nabla = (\partial_x, \partial_y, \partial_z)$ :

\begin{align*} \operatorname{\vect{grad}}f &= \vect\nabla f = (\partial_xf,\ \partial_yf,\ \partial_zf) ,\\ \operatorname{div}\vect A &= \vect\nabla\cdot\vect A = \partial_xA_x + \partial_yA_y + \partial_zA_z ,\\ \operatorname{\vect{curl}}\vect A &= \vect\nabla\wedge\vect A = (\partial_yA_z - \partial_zA_y,\ \partial_zA_x - \partial_xA_z,\ \partial_xA_y - \partial_yA_x) ,\\ \Delta f &= \operatorname{div}\operatorname{\vect{grad}}f = \partial_x^2f + \partial_y^2f + \partial_z^2f , \end{align*}

و $\Delta\vect A$ هو اللابلاسي مأخوذًا على كل مركّبة ديكارتية. ولا يتوقف معناها على الإحداثيات: إذ إن $\operatorname{\vect{grad}}f \cdot\dd\vect l = \dd f$ هو تغيّر $f$ على امتداد $\dd\vect l$ ؛ و $\operatorname{div} \vect A$ هو تدفق $\vect A$ الخارج عبر سطح حجم صغير، في واحدة الحجم؛ و $\operatorname{\vect{curl}}\vect A\cdot\vect n$ هو التكامل الخطي للمجال $\vect A$ حول حلقة صغيرة ناظمتها $\vect n$ ، في واحدة المساحة.

مبرهنة 11.2 (مبرهنتا التباعد وستوكس)

من أجل سطح مغلق $\Sigma$ يحدّ الحجم $V$ ، ومنحنٍ مغلق موجَّه $C$ يحدّ السطح $S$ (والناظمة $\vect n$ تعطيها قاعدة اليد اليمنى)،

\iint_\Sigma\vect A\cdot\vect n\,\dd S = \iiint_V\operatorname{div}\vect A\,\dd\tau , \qquad \oint_C\vect A\cdot\dd\vect l = \iint_S\operatorname{\vect{curl}}\vect A\cdot\vect n\,\dd S .

برهان. نقبله في هذا المستوى. ∎

ملاحظة 11.3 (ما نسلّم به ولماذا هو معقول)

تُبرهن المبرهنتان في كتاب الرياضيات للسنة الثالثة؛ ويقف كتاب الرياضيات لهذه السنة عند صيغتهما المستوية (غرين–ريمان) وعند التكاملات المتعددة. غير أن مضمونهما هو ما استعملناه في الفصل 2: بلّط الحجم بصناديق صغيرة (وسطح الحلقة بحلقات صغيرة) — فتتلاشى التدفقات عبر الوجوه الداخلية (والتكاملات الخطية على الحواف الداخلية) مثنى مثنى، ولا يبقى إلا الحدّ. وتنتج متطابقتان من التعاريف وتُستعملان باستمرار: $\operatorname{\vect{curl}}\operatorname{\vect{grad}}f = \vect 0$ ، و $\operatorname{div}\operatorname{\vect{curl}}\vect A = 0$ ، و $\operatorname{\vect{curl}}\operatorname{\vect{curl}}\vect A = \operatorname{\vect{grad}} \operatorname{div}\vect A - \Delta\vect A$ . ومن أجل المجالات ذات التناظر، تكون الصيغ المفيدة: من أجل مجال قطري $A_r(r)\vect e_r$ ، $\operatorname{div} = \frac1{r^2}\partial_r(r^2A_r)$ (كرويًّا) أو $\frac1r\partial_r(rA_r)$ (أسطوانيًّا)؛ ومن أجل مجال سمتي $A_\theta(r)\vect e_\theta$ حول محور، $(\operatorname{\vect{curl}})_z = \frac1r\partial_r(rA_\theta)$ ؛ ومن أجل $f(r)$ ، $\Delta f = \frac1{r^2}\partial_r(r^2\partial_rf) = \frac1r\partial_r^2(rf)$ (كرويًّا)، و $\frac1r\partial_r(r\partial_rf)$ (أسطوانيًّا).

مؤثرا معادلات ماكسويل، مقروءين هندسيًّا: فالتباعد يقيس كم يجري مجال خارجًا من حجم صغير، والدوّار كم يدور حول حلقة صغيرة.

11.2 المعادلات الأربع

مبرهنة 11.4 (معادلات ماكسويل)

في الخلاء (وفي المادة الموصوفة بكثافتي شحنتها وتيارها الكليتين $\rho$ و $\vect j$ )، يحقق المجالان الكهربائي والمغناطيسي، عند كل نقطة وفي كل لحظة،

\begin{align*} \operatorname{div}\vect E &= \frac\rho{\varepsilon_0} &&\text{(ماكسويل--غاوس)} , & \operatorname{\vect{curl}}\vect E &= -\frac{\partial\vect B}{\partial t} &&\text{(ماكسويل--فاراداي)} ,\\ \operatorname{div}\vect B &= 0 &&\text{(ماكسويل--التدفق)} , & \operatorname{\vect{curl}}\vect B &= \mu_0\vect j + \mu_0\varepsilon_0\frac{\partial\vect E}{\partial t} &&\text{(ماكسويل--أمبير)} , \end{align*}

مع $\varepsilon_0 = 8.85 \times 10^{-12}\,\mathrm{F}/\mathrm{m}$ ، و $\mu_0 = 4\pi \times 1 \times 10^{-7}\,\mathrm{H}/\mathrm{m}$ (و $\varepsilon_0\mu_0 = 1/c^2$ ). ويؤثر المجالان في الشحن بقوة لورنتس $\vect F = q(\vect E + \vect v\wedge\vect B)$ . والحدّ $\varepsilon_0\partial_t\vect E$ هو كثافة تيار الإزاحة عند ماكسويل.

التكافؤ مع القوانين المكاملة في كتاب السنة الأولى. طبّق مبرهنة التباعد على الأوليين: $\iint_\Sigma\vect E\cdot \vect n\,\dd S$ يساوي $Q_{\text{داخلية}}/\varepsilon_0$ (غاوس)، وتدفق $\vect B$ عبر أي سطح مغلق معدوم. وطبّق ستوكس على الأخيرتين: $\oint_C\vect E\cdot\dd\vect l = -\dd\Phi_B/\dd t$ (فاراداي، من أجل حلقة ثابتة) و $\oint_C\vect B\cdot\dd\vect l = \mu_0I_{\text{محاطة}} + \mu_0\varepsilon_0\,\dd\Phi_E/\dd t$ (أمبير، مكمَّلًا). وبالعكس، القوانين المكاملة، إذ تصحّ لكل حجم وحلقة، تستلزم الموضعية. وهكذا تكون المعادلات الموضعية قوانين السنة الأولى مع حدّ جديد واحد، مبرَّر أدناه؛ وتُؤخذ مسلّمات للكهرمغناطيسية. ∎

قضية 11.5 (لماذا يلزم تيار الإزاحة)

أخذُ تباعد معادلة ماكسويل–أمبير واستعمال $\operatorname{div}\operatorname{\vect{curl}} = 0$ وماكسويل–غاوس يعطي

0 = \mu_0\operatorname{div}\vect j + \mu_0\varepsilon_0\,\partial_t\operatorname{div}\vect E = \mu_0\Bigl(\operatorname{div}\vect j + \frac{\partial\rho}{\partial t}\Bigr) :

أي إن المعادلات تحوي انحفاظ الشحنة. ودون حدّ الإزاحة كانت لتقتضي $\operatorname{div}\vect j = 0$ دائمًا — وهو باطل في مكثف يُشحن، حيث يتوقف تيار الناقلية عند اللبوس. وهناك، بين اللبوسين، يحمل $\varepsilon_0\partial_t\vect E$ بالضبط التيار الواصل في السلك، ويدور المجال المغناطيسي حول الفجوة كما يدور حول سلك.

برهان. تباعد الطرفين، كما ذُكر؛ وفي المكثف، يكون تدفق $\varepsilon_0\partial_t\vect E$ عبر سطح بين اللبوسين $\varepsilon_0S\,\dd E/\dd t = \dd Q/\dd t = I$ . ∎

مثال 11.6 (المجال داخل مكثف يُشحن)

لبوسان دائريان نصف قطرهما $R$ ، والمسافة بينهما $d \ll R$ ، يُشحنان بتيار $I$ : فبينهما $E = Q/\varepsilon_0\pi R^2$ منتظم وينمو بالمعدل $\dd E/ \dd t = I/\varepsilon_0\pi R^2$ . وبالتناظر $\vect B = B(r)\vect e_\theta$ ؛ وأمبير–ماكسويل على دائرة نصف قطرها $r < R$ (ولا يعبرها تيار ناقلية): $2\pi rB = \mu_0\varepsilon_0\pi r^2\,\dd E/\dd t$ ، ومنه $B = \mu_0Ir/2\pi R^2$ — أي مجال تيار منتظم $I$ موزَّع على القرص، متصل عند $r = R$ مع مجال السلك $\mu_0I/2\pi r$ في الخارج. ومن أجل $I = 1\,\mathrm{A}$ و $R = 5\,\mathrm{cm}$ : $B(R) = 4\,\text{µ}\mathrm{T}$ ، وهو قابل للقياس؛ فحدّ ماكسويل حقيقي.

مكثف يُشحن: لا شحنة تعبر الفجوة، لكن التدفق الكهربائي عبر حلقة حولها ينمو؛ وحدّ ماكسويل يعطي الحلقة التكامل الخطي نفسه للمجال B كما لو استمرّ السلك — أي تيار الإزاحة. — مكثف يُشحن: لا شحنة تعبر الفجوة، لكن التدفق الكهربائي عبر حلقة حولها ينمو؛ وحدّ ماكسويل يعطي الحلقة التكامل الخطي نفسه للمجال $\vect B$ كما لو استمرّ السلك — أي تيار الإزاحة.

ملاحظة 11.7 (الخطية؛ ما تقوله المعادلات)

المعادلات خطية في المجالين ومنابعهما: فالمجالات تتراكب. واثنتان منها (غاوس، وفاراداي–التدفق) لا تحملان منابع بل تعبّران عن البنية — إذ تبدأ خطوط المجال الكهربائي وتنتهي على الشحن، ولا تنتهي خطوط المجال المغناطيسي أبدًا؛ وأما الأخريان فتقولان كيف تنشئ الشحن والتيارات، وتغيّر كل مجال، المجالات. ومقروءتين معًا، ينشئ $\vect B$ متغيّر مجالًا $\vect E$ دوّارًا، وينشئ $\vect E$ متغيّر مجالًا $\vect B$ دوّارًا: فيستطيع الاثنان أن يستديم أحدهما الآخر بلا أي شحنة — وتلك هي موجة الفصل 13، وتيار الإزاحة هو الذي يجعلها ممكنة.

11.3 الكمونات

قضية 11.8 (الكمونان السلّمي والمتجهي)

لأن $\operatorname{div}\vect B = 0$ و $\operatorname{\vect{curl}}\vect E = -\partial_t \vect B$ ، يشتقّ المجالان من كمون متجهي $\vect A$ ومن كمون سلّمي $V$ :

\vect B = \operatorname{\vect{curl}}\vect A , \qquad \vect E = -\operatorname{\vect{grad}}V - \frac{\partial\vect A}{\partial t} ,

معيَّنين حتى تحويل معايرة $\vect A \to \vect A + \operatorname{\vect{grad}}\chi$ و $V \to V - \partial_t\chi$ ، وهو يترك المجالين دون تغيير. وفي معايرة كولوم $\operatorname{div}\vect A = 0$ ، يصير قانون غاوس معادلة بواسون

\Delta V = -\frac\rho{\varepsilon_0} ,

وفي النظام المستقر يصير قانون أمبير $\Delta\vect A = -\mu_0\vect j$ . وفي السكون يكون $V$ الكمون الكهرسكوني الوارد في كتاب السنة الأولى.

برهان. المجال المعدوم التباعد دوّارٌ (مسلَّم به، مثل العبارة العكسية القائلة إن المجال المعدوم الدوّار تدرج، وكلتاهما من كتاب الرياضيات للسنة الثانية من أجل المناطق البسيطة الترابط)؛ وعندئذ $\operatorname{\vect{curl}} (\vect E + \partial_t\vect A) = \vect 0$ ، ومنه يكون $\vect E + \partial_t\vect A$ تدرجًا. والمعايرة: $\operatorname{\vect{curl}}\operatorname{\vect{grad}}\chi = \vect 0$ ويتلاشى حدّا $\partial_t\operatorname{\vect{grad}}\chi$ في $\vect E$ . وبواسون: $\operatorname{div} \vect E = -\Delta V - \partial_t\operatorname{div}\vect A$ . وفي السكون: $\operatorname{\vect{curl}} \operatorname{\vect{curl}}\vect A = \operatorname{\vect{grad}}\operatorname{div}\vect A - \Delta\vect A = \mu_0\vect j$ . ∎

مثال 11.9 (كمونان متجهيان)

المجال المنتظم $\vect B_0$ يشتقّ من $\vect A = \tfrac12\vect B_0\wedge\vect r$ (وتحقق: $\operatorname{\vect{curl}}(\tfrac12\vect B_0\wedge\vect r) = \vect B_0$ ، و $\operatorname{div}\vect A = 0$ )؛ وداخل ملف لولبي لانهائي يكون ذلك $A_\theta = Br/2$ ، وخارجه $A_\theta = BR^2/2r$ — أي كمونًا لا ينعدم حيث ينعدم المجال، وتكامله الخطي على حلقة هو تدفق $\vect B$ عبرها: $\oint\vect A\cdot\dd\vect l = \Phi_B$ (بستوكس). ويُقرأ قانون فاراداي عندئذ $\vect E = -\partial_t\vect A$ من أجل المجال المحرَّض.

11.4 المجالات عند سطح فاصل

قضية 11.10 (علاقات العبور)

عبر سطح يحمل كثافة الشحنة السطحية $\sigma$ وكثافة التيار السطحية $\vect j_s$ ( $\mathrm{A}/\mathrm{m}$ )، مع $\vect n_{12}$ الناظمة الواحدية من الوسط 1 إلى الوسط 2،

\vect E_2 - \vect E_1 = \frac\sigma{\varepsilon_0}\,\vect n_{12} , \qquad \vect B_2 - \vect B_1 = \mu_0\,\vect j_s\wedge\vect n_{12} :

تتصل المركّبة المماسية للمجال $\vect E$ والمركّبة الناظمية للمجال $\vect B$ ؛ وتقفز المركّبة الناظمية للمجال $\vect E$ بالمقدار $\sigma/\varepsilon_0$ ، والمركّبة المماسية للمجال $\vect B$ بالمقدار $\mu_0j_s$ . وعند سطح ناقل مثالي ( $\vect E = \vect B = \vect 0$ في الداخل، في حالات الفصل 15)، يكون $\vect E$ ناظميًّا ومساويًا $\sigma\vect n/ \varepsilon_0$ ، و $\vect B$ مماسيًّا ومساويًا $\mu_0\vect j_s\wedge\vect n$ .

برهان. المركّبات الناظمية: قانونا غاوس والتدفق على علبة مسطّحة تعبر السطح، مساحتها $\dd S$ وارتفاعها متلاشٍ: $(E_{2n} - E_{1n})\dd S = \sigma\dd S/\varepsilon_0$ ، و $(B_{2n} - B_{1n})\dd S = 0$ . والمركّبات المماسية: قانونا فاراداي وأمبير على مستطيل صغير يعبر السطح، طوله $\dd l$ وارتفاعه متلاشٍ: فتتلاشى تدفقا $\partial_t\vect B$ و $\partial_t\vect E$ عبر المستطيل مع مساحته، لكن تيارًا سطحيًّا $j_s\,\dd l$ يعبره: $(E_{2t} - E_{1t})\dd l = 0$ ، و $(B_{2t} - B_{1t})\dd l = \mu_0j_s\dd l$ من أجل الجهة المماسية العمودية على $\vect j_s$ . ∎

تنتج علاقات العبور من القوانين المكاملة مطبَّقةً على علبة مسطّحة وحلقة رقيقة تعبران السطح الفاصل: فالشحنة السطحية تجعل E الناظمي يقفز، والتيار السطحي يجعل B المماسي يقفز؛ والمركّبتان الأخريان متصلتان. — تنتج علاقات العبور من القوانين المكاملة مطبَّقةً على علبة مسطّحة وحلقة رقيقة تعبران السطح الفاصل: فالشحنة السطحية تجعل $\vect E$ الناظمي يقفز، والتيار السطحي يجعل $\vect B$ المماسي يقفز؛ والمركّبتان الأخريان متصلتان.

مثال 11.11 (مستو مشحون، وصفيحة تيار، وملف لولبي)

مستو عليه $\sigma$ وحده في الفضاء: بالتناظر $\vect E = \pm E\vect n$ على جانبيه، وتعطي القفزة $2E = \sigma/\varepsilon_0$ القيمة $E = \sigma/2\varepsilon_0$ — أي نتيجة السنة الأولى في سطر واحد. وصفيحة تيار مستوية $j_s$ : $B = \mu_0j_s/2$ على كل جانب، متعاكستان. وملف لولبي طويل فيه $n$ لفة في المتر يحمل $I$ هو صفيحة تيار أسطوانية $j_s = nI$ : والقفزة $\mu_0nI$ عبره، مع $B = 0$ في الخارج، تعطي $B = \mu_0nI$ في الداخل.

11.5 الأنظمة شبه المستقرة

تعريف 11.12 (التقريبان شبه المستقرين)

تكون جملة حجمها $L$ مقودة عند التواتر $f$ شبه مستقرة حين $L \ll \lambda = c/f$ : أي إن الزمن $L/c$ الذي تحتاجه المجالات لعبورها مهمَل بالقياس إلى الدور، و«ترى» كل نقاطها المنابع في اللحظة نفسها. وتُستعمل نهايتان:

النظام شبه المستقر المغناطيسي (أي الدارات ذات التيارات، والوشائع، والمحوّلات، والتحريض): إذ يُسقَط تيار الإزاحة من قانون أمبير، $\operatorname{\vect{curl}}\vect B = \mu_0\vect j$ (ومنه $\operatorname{div}\vect j = 0$ وتجري التيارات في دارات مغلقة)، بينما يُحفَظ قانون فاراداي كاملًا؛
النظام شبه المستقر الكهربائي (أي مكثف يُشحن): إذ يُسقَط حدّ فاراداي، ويكون $\vect E$ المجالَ الكهرسكوني للشحن اللحظية، بينما يُحفَظ تيار الإزاحة لإيجاد $\vect B$ .

التبرير. في النظام المغناطيسي، قارن حدّي قانون أمبير في ناقل: $\mu_0\varepsilon_0\partial_t E \sim \mu_0\varepsilon_0\omega E$ مقابل $\mu_0\gamma E$ ، أي نسبة $\varepsilon_0\omega/\gamma = \omega\tau_r \sim 10^{-17}$ عند $50\,\mathrm{Hz}$ في النحاس؛ وخارج الناقل يكون تيار الإزاحة من رتبة $\varepsilon_0\omega E$ مع $E \sim \omega AB$ ، أي أصغر من أثر تيار الناقلية بالمعامل $(\omega L/c)^2 = (L/\lambda)^2 \times 4\pi^2$ . وفي النظام الكهربائي يكون المجال المحرَّض $\omega BL \sim \omega^2\varepsilon_0\mu_0L^2E$ أصغر من $E$ بالمعامل $(L/\lambda)^2$ نفسه. ∎

مثال 11.13 (الدارات والهوائيات)

دارة الشبكة عند $50\,\mathrm{Hz}$ ( $\lambda = 6000\,\mathrm{km}$ ) شبه مستقرة حتى حجم بلد — ولهذا تعمل قوانين كيرشهوف والمحوّل. ودارة حجمها $10\,\mathrm{cm}$ شبه مستقرة حتى نحو $100\,\mathrm{MHz}$ ؛ وعند $1\,\mathrm{GHz}$ ( $\lambda = 30\,\mathrm{cm}$ ) تصير أسلاكها هوائيات، وتختلف التيارات على امتداد السلك، وتشعّ الدارة: وهو ميدان الفصل 17 وتصميم الموجات الصغرية، حيث يكون مسار على لوحة خطَّ نقل.

الحجم بدلالة التواتر: فدون الخط L = /10 (المقطَّع) يكون الجهاز شبه مستقر وتصحّ قوانين الدارات؛ وبجوار L = وفوقه تنتشر المجالات، ويشعّ الجهاز. — الحجم بدلالة التواتر: فدون الخط $L = \lambda/10$ (المقطَّع) يكون الجهاز شبه مستقر وتصحّ قوانين الدارات؛ وبجوار $L = \lambda$ وفوقه تنتشر المجالات، ويشعّ الجهاز.

طريقة 11.14 (استعمال المعادلات الموضعية)

(1) استعمل تناظرات المنابع وثوابتها لتحديد جهة المجالات ومتغيراتها (كما في كتاب السنة الأولى). (2) اختر الصيغة: المكاملة (غاوس، وأمبير على سطح أو حلقة محسنَي الاختيار) حين يكفي التناظر؛ والموضعية حين تحتاج إلى معادلة تفاضلية (بواسون من أجل $V$ ، أو معادلة الانتشار أو الأمواج من أجل المجالات). (3) وفي مسألة تتعلق بالزمن، قرّر النظام: سكوني، أو شبه مستقر مغناطيسي أو كهربائي، أو ماكسويل كاملًا. (4) وعند السطوح الفاصلة، استعمل علاقات العبور — فهي الموضع الوحيد الذي تدخل فيه الشحن والتيارات السطحية. (5) وتحقق من $\operatorname{div}\vect B = 0$ ومن الأبعاد.

11.6 تمارين

تمرين 11.1 ★

احسب تباعد ودوّار (أ) $\vect A = (x, y, z)$ ؛ (ب) $\vect A = (-y, x, 0)$ ؛ (ج) $\vect A = (yz, zx, xy)$ ؛ (د) $\vect A = \vect r/r^3$ (باستعمال الصيغة القطرية، و $r \ne 0$ )؛ (ه) $\vect A = (0, 0, x^2)$ . وأيها تدرجات، وأيها دوّارات، وأيها ليست هذه ولا تلك؟

حل

حل التمرين 11.1.

(أ) $\operatorname{div} = 3$ ، و $\operatorname{\vect{curl}} = \vect 0$ : أي تدرج $r^2/2$ . (ب) $0$ و $(0, 0, 2)$ : أي دوّار (للمجال $-\tfrac12(x^2 + y^2)\vect e_z$ )، لا تدرجًا. (ج) $0$ و $\vect 0$ : أي تدرج $xyz$ (ودوّار كذلك). (د) $\frac1{r^2}\partial_r(r^2/r^2) = 0$ ، والدوّار $\vect 0$ : أي تدرج $-1/r$ . (ه) $0$ و $(0, -2x, 0)$ : أي دوّار، لا تدرجًا.

تمرين 11.2 ★

(أ) تحقق من أبعاد كل حدّ في معادلات ماكسويل الأربع. (ب) احسب $1/\sqrt{\varepsilon_0\mu_0}$ . (ج) وأوجد نسبة كثافة تيار الإزاحة إلى كثافة تيار الناقلية في النحاس عند $50\,\mathrm{Hz}$ ، وفي ماء البحر ( $\gamma = 5\,\mathrm{S}/\mathrm{m}$ ) عند $1\,\mathrm{GHz}$ ، وفي الزجاج ( $\gamma = 1 \times 10^{-12}\,\mathrm{S}/\mathrm{m}$ ، و $\varepsilon_0$ مأخوذًا تبسيطًا) عند $50\,\mathrm{Hz}$ : فأيها «ناقل» في كل حالة؟

حل

حل التمرين 11.2.

(أ) غاوس وفاراداي: طرفاهما بواحدة $\mathrm{V}/\mathrm{m}^{2}$ (أي كثافة شحنة على $\varepsilon_0$ ، أو تدرج مجال، أو مجال على زمن)؛ وأمبير: طرفاه بواحدة $\mathrm{T}/\mathrm{m}$ . (ب) $1/\sqrt{8.85 \times 10^{-12} \times 1.257 \times 10^{-6}} = 3.00 \times 10^{8}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ . (ج) والنسبة $\varepsilon_0\omega/\gamma$ : النحاس $5 \times 10^{-20}$ ؛ وماء البحر عند $1\,\mathrm{GHz}$ $1 \times 10^{-2}$ (وهو ناقل بالكاد)؛ والزجاج عند $50\,\mathrm{Hz}$ $3 \times 10^3$ : أي عازل، ويهيمن فيه تيار الإزاحة.

تمرين 11.3 ★

مكثف بلبوسين دائريين ( $R = 10\,\mathrm{cm}$ ، و $d = 2\,\mathrm{mm}$ ) يُشحن بتيار $I = 0.5\,\mathrm{A}$ . أوجد معدل تغيّر $E$ ؛ وكثافة تيار الإزاحة؛ و $B$ عند $r = 5\,\mathrm{cm}$ وعند $r = 20\,\mathrm{cm}$ (في المستوي في منتصف المسافة بين اللبوسين)؛ وقارن الأخير بمجال السلك المغذّي على البعد نفسه.

حل

حل التمرين 11.3.

$\dd E/\dd t = I/\varepsilon_0\pi R^2 = 1.8 \times 10^{12}\,\mathrm{V}\,\mathrm{m}^{-1}\,\mathrm{s}^{-1}$ ؛ و $j_d = I/\pi R^2 = 16\,\mathrm{A}/\mathrm{m}^{2}$ ؛ و $B(5\,\mathrm{cm}) = \mu_0Ir/2\pi R^2 = 0.5\,\text{µ}\mathrm{T}$ ؛ و $B(20\,\mathrm{cm}) = \mu_0I/2\pi r = 0.5\,\text{µ}\mathrm{T}$ — أي مجال السلك بالضبط.

تمرين 11.4 ★

(أ) $\vect E = kx\,\vect e_x$ يملأ منطقة: أوجد كثافة الشحنة فيها. (ب) وداخل كرة نصف قطرها $R$ ، $\vect E = (\rho_0r/3\varepsilon_0)\vect e_r$ : تحقق بالتباعد القطري من أن $\rho = \rho_0$ ، واستعد المجال في الخارج من قانون غاوس المكامل. (ج) $\vect B = B_0(y/a)\vect e_x$ : أهو مجال مغناطيسي ممكن؟ وأي كثافة تيار تستديمه؟

حل

حل التمرين 11.4.

(أ) $\rho = \varepsilon_0k$ . (ب) $\frac1{r^2}\partial_r(\rho_0r^3/3\varepsilon_0) = \rho_0/\varepsilon_0$ ؛ وفي الخارج، بغاوس: $E = \rho_0R^3/3\varepsilon_0r^2$ . (ج) $\operatorname{div}\vect B = 0$ : نعم؛ و $\operatorname{\vect{curl}}\vect B = -(B_0/a)\vect e_z$ : ومنه $\vect j = -(B_0/\mu_0a)\vect e_z$ ، أي صفيحة تيار منتظمة سماكتها على امتداد $y$ .

تمرين 11.5 ★★

الكمونات المتجهية. (أ) بيّن أن $\vect A = \tfrac12\vect B_0\wedge\vect r$ يعطي $\operatorname{\vect{curl}}\vect A = \vect B_0$ و $\operatorname{div}\vect A = 0$ . (ب) وكذلك يفعل $\vect A' = B_0x\,\vect e_y$ : أوجد دالة المعايرة $\chi$ التي تحقق $\vect A' = \vect A + \operatorname{\vect{grad}}\chi$ . (ج) وملف لولبي نصف قطره $R$ ، ومجاله $B$ في الداخل: تحقق من $A_\theta = Br/2$ ( $r < R$ ) و $BR^2/2r$ ( $r > R$ ) باستعمال $(\operatorname{\vect{curl}}\vect A)_z = \frac1r\partial_r(rA_\theta)$ ؛ والاتصال عند $R$ . (د) والتكامل الخطي للكمون $\vect A$ على دائرة نصف قطرها $r > R$ وتدفق $\vect B$ : فماذا يقول ذلك عن القوة المحركة المحرَّضة في حلقة خارج ملف لولبي يتغير تياره؟

حل

حل التمرين 11.5.

(أ) $\vect A = \tfrac12(B_yz - B_zy, B_zx - B_xz, B_xy - B_yx)$ : ومنه $(\operatorname{\vect{curl}} \vect A)_x = \tfrac12(B_x + B_x) = B_x$ ، وهكذا؛ و $\operatorname{div}\vect A = 0$ . (ب) $\vect A' - \vect A = \tfrac12B_0(y, x, 0) = \operatorname{\vect{grad}}(\tfrac12B_0xy)$ . (ج) $\frac1r\partial_r(Br^2/2) = B$ ؛ و $\frac1r\partial_r(BR^2/2) = 0$ ؛ وكلاهما يساوي $BR/2$ عند $R$ . (د) $2\pi r\cdot BR^2/2r = \pi R^2B = \Phi$ : فحلقة خارج الملف اللولبي، حيث $\vect B = \vect 0$ ، تحسّ مع ذلك $e = -\dd\Phi/\dd t$ — عبر $\vect E = -\partial_t\vect A$ ، وهو لا ينعدم هناك.

تمرين 11.6 ★★

علاقات العبور. (أ) ناقل في توازن كهرسكوني يحمل $\sigma$ على سطحه: أوجد المجال خارجه مباشرةً (من القفزة، مع $\vect E = \vect 0$ في الداخل)؛ من أجل $\sigma = 1\,\text{µ}\mathrm{C}/\mathrm{m}^{2}$ . (ب) ومستويان متوازيان عليهما $+\sigma$ و $-\sigma$ : أوجد المجال في كل مكان بالقفزات. (ج) وملف لولبي طويل ( $n = 2000\,\mathrm{m}^{-1}$ ، و $I = 5\,\mathrm{A}$ ) بوصفه صفيحة تيار: أوجد $j_s$ وقفزة $B$ و $B$ في الداخل. (د) ووشيعة حلقية: لماذا يكون $B$ معدومًا في الخارج و $\mu_0NI/2\pi r$ في الداخل، من القفزة نفسها؟

حل

حل التمرين 11.6.

(أ) $E = \sigma/\varepsilon_0 = 1.1 \times 10^{5}\,\mathrm{V}/\mathrm{m}$ ، ناظمي. (ب) $\sigma/\varepsilon_0$ بينهما، ومعدوم في الخارج (فكل قفزة تضيف $\pm\sigma/\varepsilon_0$ ). (ج) $j_s = nI = 1 \times 10^{4}\,\mathrm{A}/\mathrm{m}$ ، والقفزة $\mu_0j_s = 12.6\,\mathrm{mT} = B$ في الداخل. (د) وحلقة خارج الحلقة الطارية لا تحيط بأي تيار صافٍ، ومنه $B = 0$ هناك؛ وفي الداخل يعطي أمبير $\mu_0NI/2\pi r$ ، وتتوافق معه القفزة عبر اللفّ، $\mu_0j_s = \mu_0NI/2\pi r$ .

تمرين 11.7 ★★

بواسون في بعد واحد. بين مسرَيين مستويين عند $x = 0$ ( $V = 0$ ) و $x = d$ ( $V = U$ )، تملأ كثافة شحنة منتظمة $\rho_0$ الفجوة (وهي شحنة فراغية). (أ) حُلّ معادلة بواسون من أجل $V(x)$ . (ب) وأوجد المجال $E(x)$ ؛ وأين ينعدم إذا كان $\rho_0 > 0$ وكبيرًا؟ (ج) والشحن السطحية على المسرَيين، من علاقة العبور. (د) ومع $\rho_0 = 0$ استعد المكثف؛ ومع $U = 0$ ، ارسم $V$ تخطيطيًّا.

حل

حل التمرين 11.7.

(أ) $V'' = -\rho_0/\varepsilon_0$ : ومنه $V = -\rho_0x^2/2\varepsilon_0 + (U/d + \rho_0d/2\varepsilon_0)x$ . (ب) $E = \rho_0x/\varepsilon_0 - U/d - \rho_0d/2\varepsilon_0$ ، وينعدم عند $x_0 = d/2 + \varepsilon_0U/\rho_0d$ — أي بجوار المنتصف من أجل شحنة فراغية كبيرة. (ج) $\sigma(0) = \varepsilon_0E(0^+) = -\varepsilon_0U/d - \rho_0d/2$ ، و $\sigma(d) = -\varepsilon_0E(d^-) = \varepsilon_0U/d - \rho_0d/2$ : ومجموعهما $-\rho_0d$ ، فيحيّد الشحنة الفراغية. (د) ومع $\rho_0 = 0$ : $V$ خطي و $E$ منتظم؛ ومع $U = 0$ : قطع مكافئ ذروته عند $d/2$ .

تمرين 11.8 ★★

شبه مستقر أم لا. (أ) أوجد $\lambda$ عند $50\,\mathrm{Hz}$ و $1\,\mathrm{MHz}$ و $100\,\mathrm{MHz}$ و $2.4\,\mathrm{GHz}$ . (ب) وحتى أي تواتر تكون دارة حجمها $10\,\mathrm{cm}$ شبه مستقرة (بالمحك $L < \lambda/10$ )؟ ورقاقة حجمها $1\,\mathrm{cm}$ ؟ وشبكة كهربائية طولها $1000\,\mathrm{km}$ ؟ (ج) وفي مكثف نصف قطره $R = 5\,\mathrm{cm}$ عند $1\,\mathrm{MHz}$ ، قدّر نسبة المجال الكهربائي المحرَّض (الآتي من $\vect B$ المتغير في التمارين السابقة) إلى المجال الرئيسي: $(\omega R/c)^2 /4$ . (د) ولماذا يكون تواتر الشبكة في شبكة تغطي قارة مسألةً شبه مستقرة مع أن عرض الشبكة $1000\,\mathrm{km}$ ؟

حل

حل التمرين 11.8.

(أ) $6000\,\mathrm{km}$ ، و $300\,\mathrm{m}$ ، و $3\,\mathrm{m}$ ، و $12.5\,\mathrm{cm}$ . (ب) $f < c/10L$ : أي $300\,\mathrm{MHz}$ ؛ و $3\,\mathrm{GHz}$ ؛ و $30\,\mathrm{Hz}$ . (ج) $(2\pi \times 10^6 \times 0.05/3 \times 10^8)^2/4 = 3 \times 10^{-7}$ . (د) وهي ليست كذلك بدقة: فعند $50\,\mathrm{Hz}$ تكون شبكة طولها $1000\,\mathrm{km}$ سدس طول موجة، وتختلف الأطوار عبرها، وتُعامَل الخطوط الطويلة خطوطَ نقل — غير أن كل دارة محلية شبه مستقرة.

تمرين 11.9 ★★

بيّن أن قانون أمبير دون تيار الإزاحة، $\operatorname{\vect{curl}} \vect B = \mu_0\vect j$ ، يناقض انحفاظ الشحنة كلما كان $\partial_t\rho \ne 0$ . وفي مكثف التمرين 11.3، احسب $\operatorname{div}\vect j$ متوسطًا على لبوس سماكته $e = 0.1\,\mathrm{mm}$ (حيث يتوقف التيار $I$ )، و $\partial_t\rho$ الموافق.

حل

حل التمرين 11.9.

كان $\operatorname{div}\operatorname{\vect{curl}}\vect B = 0$ ليفرض $\operatorname{div}\vect j = 0$ ، أي $\partial_t\rho = 0$ في كل مكان. وفي اللبوس (وحجمه $\pi R^2e$ ) يدخل التيار $I$ ولا يخرج شيء: ومنه $\langle\operatorname{div}\vect j\rangle = -I/\pi R^2e = -1.6 \times 10^{5}\,\mathrm{A}/\mathrm{m}^{3}$ ، و $\partial_t\rho = +1.6 \times 10^{5}\,\mathrm{C}\,\mathrm{m}^{-3}\,\mathrm{s}^{-1}$ .

تمرين 11.10 ★★★

البيتاترون. مجال مغناطيسي منتظم $B(t)\vect e_z$ يملأ أسطوانة نصف قطرها $R$ ، وينمو بالمعدل $\dd B/\dd t = \dot B$ . (أ) بالتناظر $\vect E = E_\theta(r)\vect e_\theta$ : استعمل قانون فاراداي المكامل لإيجاد $E_\theta$ من أجل $r < R$ و $r > R$ . (ب) ولا شحنة في أي مكان: علّق على مجال كهربائي خطوطه مغلقة. (ج) وكم يكسب إلكترون على دائرة نصف قطرها $r_0 < R$ من الطاقة في كل دورة؟ ومن أجل $\dot B = 10\,\mathrm{T}/\mathrm{s}$ و $r_0 = 0.5\,\mathrm{m}$ : أوجد الطاقة في الدورة بالإلكترون فولت؛ وعدد الدورات اللازم من أجل $20\,\mathrm{MeV}$ . (د) وكي يبقى نصف قطر المدار ثابتًا، يجب أن تنمو كمية الحركة $p = eBr_0$ (الآتية من القوة المغناطيسية) كما تقتضي الطاقة المكتسبة من المجال المحرَّض: بيّن الشرط $B(r_0) = \tfrac12\langle B\rangle_{\text{القرص}}$ — وهو شرط البيتاترون.

حل

حل التمرين 11.10.

(أ) $2\pi rE_\theta = -\pi r^2\dot B$ : ومنه $E_\theta = -r\dot B/2$ في الداخل، و $-R^2\dot B/2r$ في الخارج. (ب) وخطوطه دوائر مغلقة: فهو ليس تدرجًا، بل يقود الشحن حول حلقة — أي مجال محرّك كهربائيًّا. (ج) $e\cdot2\pi r_0 |E_\theta| = e\pi r_0^2\dot B$ : أي $\pi \times 0.25 \times 10 = 7.9\,\mathrm{eV}$ في الدورة؛ و $2.5 \times 10^6$ دورة. (د) ويعطي $p = eB(r_0)r_0$ العلاقة $\dot p = er_0\dot B(r_0)$ ، بينما يعطي المجال المحرَّض $\dot p = e|E_\theta| = e\dot\Phi/2\pi r_0$ : ومنه $B(r_0) = \Phi/2\pi r_0^2 = \tfrac12\langle B\rangle$ .

تمرين 11.11 ★★★

أمواج ماكسويل. في الخلاء ( $\rho = 0$ ، و $\vect j = \vect 0$ ): (أ) خذ دوّار معادلة ماكسويل–فاراداي، واستعمل $\operatorname{\vect{curl}} \operatorname{\vect{curl}} = \operatorname{\vect{grad}}\operatorname{div} - \Delta$ والمعادلات الأخرى لتحصل على $\Delta\vect E = \mu_0\varepsilon_0\,\partial_t^2\vect E$ . (ب) والأمر نفسه من أجل $\vect B$ . (ج) وهذه معادلة دالمبير في ثلاثة أبعاد: فما السرعة؟ احسبها من $\varepsilon_0$ و $\mu_0$ . (د) ولماذا أقنع هذا العدد ماكسويل بأن الضوء كهرمغناطيسي، وأي قياس لفيبر وكولراوش استعمل؟

حل

حل التمرين 11.11.

(أ) $\operatorname{\vect{curl}}\operatorname{\vect{curl}}\vect E = -\Delta\vect E$ (لأن $\operatorname{div} \vect E = 0$ ) $= -\partial_t\operatorname{\vect{curl}}\vect B = -\mu_0\varepsilon_0\partial_t^2\vect E$ . (ب) والأمر نفسه بتبادل الدورين. (ج) $c = 1/\sqrt{\mu_0\varepsilon_0} = 3.0 \times 10^{8}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ . (د) كان فيبر وكولراوش قد قاسا نسبة واحدتي الشحنة الكهرسكونية والكهرمغناطيسية، وهي $3.1 \times 10^8$ متر في الثانية؛ وكان فيزو قد قاس الضوء عند $3.15 \times 10^8$ متر في الثانية: «فلا نكاد نستطيع تجنّب الاستنتاج بأن الضوء تموّجات مستعرضة في الوسط نفسه».

تمرين 11.12 ★★★

المجالات في ناقل عند التواتر المنخفض. في ناقل أومي ( $\vect j = \gamma\vect E$ ) في النظام شبه المستقر المغناطيسي: (أ) خذ دوّار قانون أمبير واستعمل فاراداي لتبيّن أن $\Delta\vect B = \mu_0\gamma\, \partial_t\vect B$ ؛ ولماذا هي معادلة انتشار؟ (ب) والزمن المميز لنفوذ $\vect B$ إلى عمق $d$ : $\tau \sim \mu_0\gamma d^2$ ؛ وأعطِ القيم من أجل صفيحة نحاسية سماكتها $1\,\mathrm{cm}$ ومن أجل لبّ الأرض ( $\gamma \approx 5 \times 10^{5}\,\mathrm{S}/\mathrm{m}$ ، و $d \approx 3000\,\mathrm{km}$ ). (ج) وعند التواتر $f$ ، أوجد العمق المبلوغ في دور واحد: بيّن أنه من رتبة $\delta = \sqrt{2/\mu_0\gamma\omega}$ ؛ وأعطِ القيمة للنحاس عند $50\,\mathrm{Hz}$ و $1\,\mathrm{MHz}$ (وهو عمق القشرة في الفصل 14). (د) وماذا يستلزم (ب) لتغيّرات المجال المغناطيسي الأرضي مع الزمن؟

حل

حل التمرين 11.12.

(أ) $\operatorname{\vect{curl}}\operatorname{\vect{curl}}\vect B = -\Delta\vect B = \mu_0\gamma\operatorname{\vect{curl}} \vect E = -\mu_0\gamma\partial_t\vect B$ : ومنه $\Delta\vect B = \mu_0\gamma\partial_t\vect B$ ، وهي صيغة معادلة الحرارة بانتشارية $1/\mu_0\gamma$ . (ب) $\tau \sim \mu_0\gamma d^2$ : أي $7.5\,\mathrm{ms}$ للصفيحة؛ و $4\pi \times 10^{-7} \times 5 \times 10^5 \times 9 \times 10^{12} = 6 \times 10^{12}\,\mathrm{s}$ ، أي مئتا ألف سنة، للّبّ. (ج) $\mu_0\gamma\delta^2 \sim 2/\omega$ : ومنه $\delta = \sqrt{2/\mu_0 \gamma\omega}$ : أي $9\,\mathrm{mm}$ عند $50\,\mathrm{Hz}$ ، و $65\,\text{µ}\mathrm{m}$ عند $1\,\mathrm{MHz}$ . (د) ولا يستطيع مجال اللبّ أن يتغير بالانتشار في أقل من $10^5$ سنة: فالتغيّر الدهري المرصود والانقلابات تقتضي حركة المائع الناقل — أي مولّدًا ذاتيًّا.

11.7 مسألة: المكثف والبيتاترون والكمونات

مسألة 11.1

مسألة نهاية الأسبوع — معادلات ماكسويل في العمل في مكثف واحد يُشحن، وفي المسرّع الذي يعمل بقانون فاراداي وحده، وفي الكمونات التي تحلّها

الجزء I — المكثف الذي يُشحن. لبوسان دائريان نصف قطرهما $R = 10\,\mathrm{cm}$ ، والمسافة بينهما $d = 1.0\,\mathrm{mm}$ ، وبينهما هواء؛ ويجري تيار $I(t) = I_0\cos\omega t$ مع $I_0 = 1.0\,\mathrm{A}$ و $f = 1.0\,\mathrm{MHz}$ في السلك المغذّي على امتداد المحور. وتُهمَل آثار الحواف.

الشحنة $Q(t)$ والمجال $E(t)$ بين اللبوسين؛ وسعة $E$ .
كثافة تيار الإزاحة بين اللبوسين؛ وتحقق من أن تدفقه عبر لبوس يساوي $I(t)$ .
المجال المغناطيسي $B(r, t)$ بين اللبوسين من أجل $r < R$ ، بقانون أمبير–ماكسويل المكامل؛ والسعة عند $r = R$ .
والمجال من أجل $r > R$ (وما زلنا بين مستويي اللبوسين): قارنه بمجال السلك عند $r$ نفسه؛ وهل هناك انقطاع عند $r = R$ ؟
ويحرّض $\vect B$ المتغير، بقانون فاراداي، تصحيحًا $\vect E_1$ للمجال الكهربائي: باستعمال $\operatorname{\vect{curl}}\vect E_1 = -\partial_t\vect B$ مع $\vect E_1 = E_1(r)\vect e_z$ (محوري)، بيّن أن $E_1(r) - E_1(0) = \dfrac{\mu_0\varepsilon_0r^2}4\,\dfrac{\dd^2E}{\dd t^2}$ ، ثم قدّر $|E_1(R) - E_1(0)|/|E|$ .
استنتج صحة المعالجة شبه المستقرة الكهربائية عند $1\,\mathrm{MHz}$ ؛ وعند أي تواتر يبلغ التصحيح $10\%$ ؟ (والحلّ التام دالة بسل: فقد صار المكثف جوفًا.)
الطاقة: أوجد الطاقة الكهربائية $\tfrac12\varepsilon_0E^2$ المخزَّنة بين اللبوسين، وقيمتها العظمى؛ والطاقة المغناطيسية $\int B^2/2\mu_0\,\dd\tau$ في اللحظة التي فيها $E = 0$ ؛ ونسبتهما، وصلتها بتقدير السؤال 5.

الجزء II — البيتاترون. يُنتج مغنطيس كهربائي مجالًا $\vect B = B(r, t)\vect e_z$ متناظرًا حول المحور $z$ ؛ وتدور إلكترونات في حلقة مفرَّغة نصف قطرها $r_0$ .

بيّن، من ماكسويل–فاراداي في الصيغة المكاملة، أن المجال الكهربائي على المدار هو $E_\theta(r_0) = -\dfrac1{2\pi r_0} \dfrac{\dd\Phi}{\dd t}$ ، حيث $\Phi$ التدفق عبر المدار.
معادلة الحركة المماسية لإلكترون (شحنته $-e$ ): $\dd p/\dd t = eE_\theta$ بالطويلة؛ والطاقة المكتسبة في الدورة هي $e\,|\dd\Phi/\dd t|$ .
والتوازن القطري على الدائرة: $p = eB(r_0)r_0$ . وكي يبقى $r_0$ ثابتًا، بيّن أن $B(r_0, t) = \Phi(t)/2\pi r_0^2$ ، أي إن المجال على المدار يجب أن يكون نصف المجال الوسطي داخله.
ولماذا لا يمكن تسريع الإلكترونات بمجال منتظم؟ وكيف يُحقَّق الشرط عمليًّا (شكل قطعتي القطبين)؟
$r_0 = 0.50\,\mathrm{m}$ ، و $B(r_0)$ يرتفع من $0$ إلى $0.40\,\mathrm{T}$ في $5\,\mathrm{ms}$ : أوجد كمية الحركة النهائية؛ والطاقة النهائية (باستعمال $E = pc$ من أجل هذه الإلكترونات الفائقة النسبوية، و $1\,\mathrm{MeV} = 1.6 \times 10^{-13}\,\mathrm{J}$ )؛ والطاقة في الدورة وعدد الدورات؛ والمسافة المقطوعة.
وتشعّ الإلكترونات حين تتسارع على دائرة (الفصل 17): وهذا يحدّ البيتاترونات ببضع مئات من الميغاإلكترون فولت. فمن أين تأتي طاقة الإلكترونات في نهاية المطاف، وعبر أي حدّ من معادلات ماكسويل؟
وبعد التسريع تُرمى الإلكترونات على هدف فتنتج أشعة سينية: فلماذا كان البيتاترون آلة العلاج الإشعاعي في خمسينيات القرن العشرين، وما الذي حلّ محلّه؟

الجزء III — الكمونات وبواسون.

اكتب $\vect E$ و $\vect B$ بدلالة $V$ و $\vect A$ ، وتحقق من أن ماكسويل–فاراداي وماكسويل–التدفق تتحققان عندئذ تلقائيًّا.
وكرة نصف قطرها $a$ تحمل الكثافة المنتظمة $\rho_0$ : اكتب معادلة بواسون في التناظر الكروي، وحُلّها في الداخل وفي الخارج ( $V \to 0$ في اللانهاية، و $V$ و $V'$ متصلان عند $a$ )، واستعد مجالات كتاب السنة الأولى.
الطاقة الكامنة للكرة، $\tfrac12\int\rho V\,\dd\tau$ : أوجد القيمة $3Q^2/20\pi\varepsilon_0a$ ؛ ومن أجل نواة يورانيوم ( $Q = 92e$ ، و $a = 7.4\,\mathrm{fm}$ )، بالميغاإلكترون فولت — وهي الطاقة المحرَّرة حين تنشطر.
ومن أجل مكثف الجزء الأول في النظام شبه المستقر الكهربائي، أعطِ $V$ بين اللبوسين. وبيّن أن كمونًا متجهيًّا محوريًّا $A_z(r, t)\,\vect e_z$ ، وله $(\operatorname{\vect{curl}} \vect A)_\theta = -\partial_rA_z$ ، يعيد إنتاج المجال $B_\theta$ في السؤال 3، ثم أوجد $A_z$ من أجل $r < R$ (بأخذ $A_z(0) = 0$ ).
بيّن أن التصحيح $\vect E_1$ في السؤال 5 هو بالضبط $-\partial_t\vect A$ من أجل ذلك $A_z$ ، حتى ثابت.
المعايرة: يتحقق شرط كولوم $\operatorname{div}\vect A = 0$ من أجل $A_z(r)$ عندك — فلماذا؟ وأي $\vect A$ آخر يعطي $\vect B$ نفسه؟

الجزء IV — السطوح الفاصلة والأنظمة.

الشحنة السطحية على لبوسي الجزء الأول في لحظة $E$ الأعظمي؛ وتحقق من علاقة العبور على وجه اللبوس الداخلي (والمجال معدوم داخل المعدن).
وينتشر التيار قطريًّا في اللبوس من المحور إلى الحافة: أوجد كثافة التيار السطحية $j_s(r)$ في اللبوس؛ والمجال المغناطيسي خارج وجه اللبوس الخارجي مباشرةً، من علاقة العبور، مقارنًا بالمجال الموجود في السؤال 3 على الجانب الداخلي.
صنّف: اللبوسان عند $1\,\mathrm{MHz}$ (أشبه مستقر كهربائي؟)، وحلقة السلك المغذّي ذات $20\,\mathrm{cm}$ (أشبه مستقرة مغناطيسية؟)، والمكثف نفسه عند $1\,\mathrm{GHz}$ ؛ وبرّر ذلك بالنسبة $L/\lambda$ .
وفي حلقة البيتاترون، لماذا يكون التقريب شبه المستقر المغناطيسي ممتازًا (بالأحجام، وبارتفاع عند $100\,\mathrm{Hz}$ ) مع أن المجال الكهربائي هناك جوهري؟
لخّص، في جدول، أي معادلة من معادلات ماكسويل (موضعية أو مكاملة) أجابت كل جزء، وأي حدّ — تيار الإزاحة، أو فاراداي، أو غاوس، أو قفزة العبور — كان حاسمًا.

حل

حل المسألة 11.1.

1. $Q = (I_0/\omega)\sin\omega t$ ، و $E = Q/\varepsilon_0\pi R^2$ : وسعته $I_0/\omega\varepsilon_0 \pi R^2 = 5.7 \times 10^{5}\,\mathrm{V}/\mathrm{m}$ .

2. $j_d = \varepsilon_0\partial_tE = I(t)/\pi R^2 = 32\cos\omega t$ A/m $^2$ ؛ وتدفقه عبر اللبوس هو $I(t)$ .

3. $2\pi rB = \mu_0\varepsilon_0\pi r^2\partial_tE$ : ومنه $B = \mu_0I(t)r/2\pi R^2$ ؛ وعند $R$ : $\mu_0I_0/2\pi R = 2\,\text{µ}\mathrm{T}$ .

4. من أجل $r > R$ يكون تيار الإزاحة كله محاطًا: ومنه $B = \mu_0I/2\pi r$ ، أي مجال السلك؛ وهو متصل عند $R$ .

5. $(\operatorname{\vect{curl}}\vect E_1)_\theta = -\partial_rE_1 = -\partial_tB_\theta$ ، ومنه $\partial_rE_1 = \mu_0\varepsilon_0(r/2)\ddot E$ و $E_1(r) - E_1(0) = \mu_0\varepsilon_0r^2\ddot E/4$ ؛ ومع $\ddot E = -\omega^2E$ : $|E_1(R) - E_1(0)|/|E| = (\omega R/c)^2/4 = 1 \times 10^{-6}$ .

6. ممتازة. و $10\%$ تقتضي $(\omega R/c)^2 = 0.4$ ، أي $f \approx 300\,\mathrm{MHz}$ — فيصير جوفًا، لا مكثفًا.

7. $W_e = \tfrac12\varepsilon_0E_0^2\pi R^2d = 4.5 \times 10^{-5}\,\mathrm{J}$ ؛ و $W_m = \int_0^R(\mu_0I_0r/ 2\pi R^2)^2/2\mu_0\cdot2\pi rd\,\dd r = \mu_0I_0^2d/16\pi = 2.5 \times 10^{-11}\,\mathrm{J}$ ؛ والنسبة $6 \times 10^{-7} \approx (\omega R/c)^2/8$ : أي الوسيط الصغير نفسه.

8. $\oint\vect E\cdot\dd\vect l = 2\pi r_0E_\theta = -\dd\Phi/\dd t$ .

10. يعطي $p = eB(r_0)r_0$ العلاقة $\dot p = er_0\dot B(r_0)$ ؛ وبمساواتها بالسؤال 9: $B(r_0) = \Phi/2\pi r_0^2 = \tfrac12\langle B\rangle$ .

11. في المجال المنتظم يكون $B(r_0) = \langle B\rangle$ ، أي ضعف ما يلزم: فتنمو القوة المغناطيسية أسرع من كمية الحركة ويتقلّص المدار. ويُشكَّل القطبان بحيث يكون المجال قويًّا بجوار المحور ونصف ذلك على المدار.

12. $p = eBr_0 = 3.2 \times 10^{-20}\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ؛ و $E = pc = 9.6 \times 10^{-12}\,\mathrm{J} = 60\,\mathrm{MeV}$ ؛ و $\Phi = 2\pi r_0^2B = 0.63\,\mathrm{Wb}$ في $5\,\mathrm{ms}$ : أي $126\,\mathrm{eV}$ في الدورة، و $4.8 \times 10^5$ دورة، و $1500\,\mathrm{km}$ — وبسرعة $c$ في $5\,\mathrm{ms}$ : وهو متوافق.

13. من مصدر تغذية المغنطيس، مسلَّمةً إلى الإلكترونات عبر حدّ فاراداي: فالتدفق المتغير يصنع المجال المسرِّع.

14. عشرات الميغاإلكترون فولت من الإلكترونات تكبح في هدف ثقيل فتعطي أشعة سينية نافذة؛ وقد حلّ محلّه المسرّع الخطي المدمج، وهو أعلى معدلًا في الجرعة.

15. $\operatorname{div}\operatorname{\vect{curl}}\vect A = 0$ ؛ و $\operatorname{\vect{curl}}(-\operatorname{\vect{grad}} V - \partial_t\vect A) = -\partial_t\operatorname{\vect{curl}}\vect A = -\partial_t\vect B$ .

16. $\frac1{r^2}(r^2V')' = -\rho_0/\varepsilon_0$ : ومنه $V = \rho_0(3a^2 - r^2)/6\varepsilon_0$ في الداخل، و $\rho_0a^3/3\varepsilon_0r = Q/4\pi\varepsilon_0r$ في الخارج؛ و $E = \rho_0r/3\varepsilon_0$ و $Q/4\pi\varepsilon_0r^2$ .

17. $\tfrac12\int\rho V\,\dd\tau = 2\pi\rho_0^2(a^5/6 - a^5/30)/\varepsilon_0 = 4\pi\rho_0^2a^5/ 15\varepsilon_0 = 3Q^2/20\pi\varepsilon_0a$ ؛ واليورانيوم: $1.6 \times 10^{-10}\,\mathrm{J}$ $\approx 1000\,\mathrm{MeV}$ (والانشطار يحرّر $200\,\mathrm{MeV}$ التي تكون بها كرتان أصغر أرخص).

18. $V = -E(t)z$ (مضافًا إليه ثابت). ومع $\vect A = A_z(r, t)\vect e_z$ ، يعطي $B_\theta = -\partial_rA_z = \mu_0Ir/2\pi R^2$ القيمة $A_z = -\mu_0I(t)r^2/4\pi R^2$ .

19. $-\partial_tA_z = \mu_0\dot Ir^2/4\pi R^2 = \mu_0\varepsilon_0r^2\ddot E/4$ (لأن $\dot I = \varepsilon_0\pi R^2\ddot E$ ): أي تصحيح السؤال 5، حتى ثابت.

20. $\operatorname{div}\vect A = \partial_zA_z = 0$ لأن $A_z$ لا يتوقف إلا على $r$ ؛ وأي $\vect A + \operatorname{\vect{grad}}\chi$ .

21. $\sigma = \varepsilon_0E_0 = 5\,\text{µ}\mathrm{C}/\mathrm{m}^{2}$ ؛ وداخل المعدن $\vect E = \vect 0$ ، ومنه تكون القفزة $\sigma/\varepsilon_0$ هي مجال الفجوة بالضبط.

22. يغذّي التيار $I(t)$ اللبوس من المحور؛ والجزء الذي وراء $r$ ولم يُسلَّم بعد هو $I(1 - r^2/R^2)$ ، ومنه $j_s = I(1 - r^2/R^2)/2\pi r$ . وعلى الوجه الخارجي يعطي أمبير مجال السلك $\mu_0I/ 2\pi r$ ؛ وعلى الوجه الداخلي $\mu_0Ir/2\pi R^2$ ؛ والفرق، $\mu_0I(1 - r^2/R^2)/2\pi r = \mu_0j_s$ ، هو قفزة العبور.

23. اللبوسان: $R/\lambda = 3 \times 10^{-4}$ ، أي شبه مستقر كهربائي. والحلقة: $7 \times 10^{-4}$ ، أي شبه مستقرة مغناطيسية. وعند $1\,\mathrm{GHz}$ : $R/\lambda = 0.3$ — أي جوف وهوائي.

24. $\lambda = 3000\,\mathrm{km}$ من أجل حلقة بحجم المتر: فتيار الإزاحة مهمَل تمامًا؛ والمجال الكهربائي الجوهري هو مجال فاراداي، وهو ما يحفظه شبه الاستقرار المغناطيسي كاملًا.

25. الأول: أمبير–ماكسويل (تيار الإزاحة)، وفاراداي من أجل التصحيح، وكثافات الطاقة. والثاني: فاراداي المكامل، وقوة لورنتس. والثالث: الكمونات، وبواسون (غاوس). والرابع: قفزتا العبور للمجالين $\vect E$ و $\vect B$ ؛ ونسبة الحجم إلى طول الموجة من أجل النظام.

المصطلحات المعرَّفة في هذا الفصل

عرض كل المصطلحات (393) في المسرد