الفيزياء الجامعية — السنة الثانية · Bachelor Year 2

18النموذج السُّلَّمي للضوء

سلّط مصباحين يدويين على الجدار نفسه فتكون البقعة أسطع مرتين لا غير؛ وسلّط عليه حزمتين من ليزر واحد فتنكسر البقعة إلى هدب مضيئة ومظلمة. فالمصباحان يجمعان شدتيهما، وحزمتا الليزر تجمعان سعتيهما — وكل مقياس تداخل وصورة مجسّمة وشبكة حيود في الفصول الآتية يقوم على معرفة متى يفعل الضوء هذا ومتى ذاك. وهذا الفصل يهيّئ الأدوات: الضوء موجة سُلَّمية ذات طور، والمسير الضوئي الذي يقيس ذلك الطور على امتداد شعاع، وكيفية إصدار المنبع — أي في قطارات موجية قصيرة طول ترابطها هو الذي يقرر أتستطيع موجتان أن تتداخلا — ثم كيفية تسجيل الكاشف له: أي متوسط على مليارات الأدوار لا يبقي إلا الشدة.

18.1 الضوء موجةً سُلَّمية

تعريف 18.1 (النموذج السُّلَّمي؛ الموجة أحادية اللون)

في معظم بصريات الأمواج لا تؤدي طبيعة الضوء الشعاعية دورًا (إذ تشترك الأمواج المتراكبة في استقطاب واحد، أو يكون الضوء غير مستقطب فتتوسط الاستقطابات): فيحلّ محلّ الحقل اهتزاز سُلَّمي حقيقي هو

s(M, t) = a(M)\cos\bigl(\omega t - \varphi(M)\bigr) ,

بسعة $a(M)$ وطور $\varphi(M)$ في كل نقطة، وكلاهما بطيء التغير على سُلَّم طول الموجة. وللموجة أحادية اللون تواتر $\omega$ واحد: وهو تمثيل مثالي، إذ يصدر المنبع الحقيقي في نطاق من التواترات. وأما الضوء المرئي: فيكون $\lambda_0$ من $400$ إلى $750\,\mathrm{nm}$ في الخلاء، و $\nu = c/\lambda_0$ من $7.5 \times 10^{14}$ إلى $4 \times 10^{14}$ هرتز، وأدواره نحو $2\,\mathrm{fs}$ .

تعريف 18.2 (المسير الضوئي والطور)

في وسط قرينته $n$ تنتقل الموجة بالسرعة $c/n$ ويكون طول موجتها $\lambda_0/n$ . والمسير الضوئي على منحنٍ من $A$ إلى $B$ هو

(AB) = \int_A^Bn\,\dd s ,

والطور الذي تراكمه موجة أحادية اللون منتقلةً على شعاع من $A$ إلى $B$ هو

\varphi(B) - \varphi(A) = \frac{2\pi}{\lambda_0}\,(AB) = \omega\,\tau_{AB} ,

حيث $\tau_{AB}$ زمن الانتقال. وجبهة الموجة سطح متساوي الطور؛ وفي وسط متماثل المناحي تكون أشعة البصريات الهندسية عمودية على جبهات الموجة (مبرهنة مالوس–دوبان)، ويكون المسير الضوئي بين جبهتي موجة واحدًا على كل شعاع.

تبرير. يتقدم الطور بمقدار $2\pi$ في كل طول موجة محلي $\lambda_0/n$ ، أي بمقدار $2\pi n\,\dd s/\lambda_0$ في كل عنصر $\dd s$ ؛ ويُجمع على امتداد الشعاع. والموجة $a\cos(\omega t - \varphi)$ حلّ لمعادلة الأمواج تنتقل فيه الطاقة وفق $\operatorname{\vect{grad}}\varphi$ ، عموديًّا على السطوح $\varphi = \text{ثابت}$ : وذلك هو الشعاع، وأما قولنا إن المسير الضوئي واحد بين جبهتي موجة فهو تعريف جبهة الموجة مقروءًا بالمقلوب. وأما المبرهنة الكاملة (وهي تصمد للانعكاسات والانكسارات) فمقبولة. ∎

مثال 18.3 (التطابق البؤري؛ العدسة صفيحةَ طور)

منبع نقطي $A$ تصوّره أداة مثالية (متطابقة بؤريًّا) في $A'$ : فلكل الأشعة من $A$ إلى $A'$ المسير الضوئي نفسه — أي إن الأمواج الواصلة على كل شعاع متوافقة الطور في $A'$ ، ولذلك تتراكم هناك في نقطة مضيئة. وفي عدسة رقيقة بعدها البؤري $f$ يكون هذا قولًا في الطور: إذ يجب أن تخرج موجة مستوية واردة على المحور موجةً كروية متقاربة نحو البؤرة $F'$ ؛ وبما أن الموجة الكروية المركّزة على البعد $f$ لها، على البعد $r$ عن المحور، طور $2\pi r^2/2\lambda f$ متقدم على قيمته المحورية (بالتقريب المحوري القريب، $\sqrt{f^2 + r^2} \approx f + r^2/2f$ )، وجب أن تؤخّر العدسة الموجة بالمقدار $\varphi_L(r) = -\pi r^2/\lambda f$ : فهي أثخن في الوسط بالمقدار الذي يجعل المسيرات الضوئية كلها إلى $F'$ متساوية. فالعدسة صفيحة طور؛ وكل صورة مجسّمة أو شاشة بلورية سائلة تفرض خريطة الطور نفسها هي عدسة.

على اليسار: عدسة رقيقة تحوّل جبهات الموجة المستوية إلى كروية متقاربة على البؤرة — وكل المسيرات الضوئية إلى F' متساوية. وعلى اليمين: داخل الزجاج ينكمش طول الموجة إلى _0/n ويتقدم الطور أسرع: فالمسير الضوئي يعدّ الطول الهندسي n مرة. — على اليسار: عدسة رقيقة تحوّل جبهات الموجة المستوية إلى كروية متقاربة على البؤرة — وكل المسيرات الضوئية إلى $F'$ متساوية. وعلى اليمين: داخل الزجاج ينكمش طول الموجة إلى $\lambda_0/n$ ويتقدم الطور أسرع: فالمسير الضوئي يعدّ الطول الهندسي $n$ مرة.

18.2 كيف يُصدَر الضوء: الترابط

قضية 18.4 (قطارات الموجة؛ زمن الترابط وطوله)

المنبع الكلاسيكي (لهب، أو مصباح، أو نجم) مجموعة ذرات يصدر كل منها، في لحظات عشوائية وبأطوار عشوائية، قطارات موجية قصيرة مدتها $\tau_c$ : فالاهتزاز الذي يحدثه عند نقطة لا يحفظ طورًا ثابتًا إلا خلال $\tau_c$ ثم يقفز. والقطار الذي مدته $\tau_c$ ليس أحادي اللون: إذ يمتد طيفه على نطاق تواتري $\Delta\nu \approx 1/\tau_c$ (وهو تبادل فورييه، مقبول: فالجيب المنتهي لا يمكن أن يكون ذا تواتر واحد). وزمن الترابط $\tau_c$ وطول الترابط

\ell_c = c\,\tau_c \approx \frac c{\Delta\nu} = \frac{\lambda^2}{\Delta\lambda}

يميّزان المنبع: فالضوء الأبيض $\Delta\lambda \approx 300\,\mathrm{nm}$ ، و $\ell_c \approx 1\,\text{µ}\mathrm{m}$ ؛ والمصباح الطيفي ( $\Delta\lambda \sim 0.01\,\mathrm{nm}$ )، $\ell_c \sim 3\,\mathrm{cm}$ ؛ والليزر، من الأمتار إلى الكيلومترات. ولا تستطيع موجتان مشتقتان من المنبع نفسه أن تتداخلا إلا إذا كان فرق مسيرهما أصغر من $\ell_c$ — وفي ما وراءه تنتميان إلى قطارين مختلفين، بأطوار لا صلة بينها.

برهان. $\ell_c = c/\Delta\nu$ و $|\Delta\nu/\nu| = |\Delta\lambda/\lambda|$ مع $\nu = c/\lambda$ يعطيان $\ell_c = \lambda^2/\Delta\lambda$ . وللعرض الطيفي نفسه أسباب فيزيائية: العرض الطبيعي (التخامد الإشعاعي، الفصل 17)، والتعريض الدوبلري بحركة الذرات الحرارية، والتصادمات — وكل منها يقصّر القطار. ∎

الاهتزاز الآتي من منبع كلاسيكي: تعاقب قطارات موجية مدتها _c بقفزات طور عشوائية بينها؛ ولا تستطيع نسختان منه أن تتداخلا إلا إذا كان تأخّرهما أقصر من _c. — الاهتزاز الآتي من منبع كلاسيكي: تعاقب قطارات موجية مدتها $\tau_c$ بقفزات طور عشوائية بينها؛ ولا تستطيع نسختان منه أن تتداخلا إلا إذا كان تأخّرهما أقصر من $\tau_c$ .

ملاحظة 18.5 (منبعان، ومنبع واحد)

مصباحان متمايزان (أو ذرتان متمايزتان) يصدران قطارات بأطوار عشوائية مستقلة: فيتغير طورهما النسبي كل $\tau_c \sim 1 \times 10^{-9}\,\mathrm{s}$ ، أي أسرع بمليون مرة من استجابة أي عين أو آلة تصوير — فيتوسط حدّ التداخل إلى الصفر وتتجمع الشدتان. والتداخل يحتاج إلى موجتين تتذكران قفزات الطور نفسها: أي نسختين من موجة واحدة، تُنالان بشطرها (شقّان، أو مرآتان، أو وجها صفيحة) وتُجمعان بتأخير أقصر من $\tau_c$ . والليزر، وقطاراته تدوم ميكروثواني أو أكثر، يخفف هذا القيد تخفيفًا هائلًا؛ لكنه لا يزيله أبدًا.

18.3 الكواشف والشدة

قضية 18.6 (ما يقيسه الكاشف)

كل كاشف ضوئي — العين (وزمن استجابتها $\sim0.1\,\mathrm{s}$ )، والفيلم الفوتوغرافي، وبكسل CCD ( $1\,\mathrm{ms}$ )، والثنائي الضوئي ( $1\,\mathrm{ns}$ ) — يستجيب في زمن طويل بالقياس إلى الدور ( $10^{-15}$ ثانية) ويعطي الشدة، أي متوسط مربع الاهتزاز في الزمن،

I = K\,\langle s^2\rangle = \tfrac12K\,a^2 ,

(حيث $K$ ثابت يُهمَل غالبًا؛ و $I$ متناسبة مع الاستضاءة بالوحدة $\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$ ). والمستوى المطلق لا يهمّ إلا في وجه واحد: فالضوء يصل في فوتونات طاقتها $h\nu$ ، ويعدّ الكاشف في المتوسط $I/h\nu$ فوتونًا في وحدة المساحة والزمن.

برهان. $\langle\cos^2(\omega t - \varphi)\rangle = \tfrac12$ على أي مجال أطول بكثير من $2\pi/\omega$ . وأما الفوتونات: ففي الفصل الأخير من مجلد السنة الأولى؛ وهنا تلتقي الموجة السُّلَّمية بالكمّ. ∎

مثال 18.7 (رتب المقادير)

مصباح $60\,\mathrm{W}$ يشعّ $3\,\mathrm{W}$ من الضوء المرئي، على بعد $2\,\mathrm{m}$ : $I = 3/4\pi\cdot4 = 60\,\mathrm{mW}/\mathrm{m}^{2}$ ، و $I/h\nu = 1.6 \times 10^{17}$ فوتونًا في المتر المربع والثانية، أي $3 \times 10^{12}$ في الثانية عبر بؤبؤ قطره $5\,\mathrm{mm}$ — فلا أثر للحبيبية في $0.1\,\mathrm{s}$ من زمن العين. وأما أخفت نجم تراه العين فيرسل $\sim 10^3$ فوتونًا في الثانية إلى البؤبؤ؛ وتستثار العصيّة بحفنة منها. وأما ضوء الشمس: $1\,\mathrm{kW}/\mathrm{m}^{2}$ ، أي $3 \times 10^{21}$ فوتونًا في المتر المربع والثانية.

سلالم الزمن في البصريات: دور الاهتزاز، ومدة قطارات الموجة في المنابع الكلاسيكية والليزرية، وأزمنة استجابة الكواشف — وكل الكواشف تتوسط على أدوار كثيرة، وعلى قطارات كثيرة من مصباح.

ملاحظة 18.8 (التراكب المترابط وغير المترابط)

اهتزازان $a_1\cos(\omega t - \varphi_1)$ و $a_2\cos(\omega t - \varphi_2)$ عند نقطة يعطيان $s = s_1 + s_2$ و

I = \tfrac12K\bigl[a_1^2 + a_2^2 + 2a_1a_2\langle\cos(\varphi_1 - \varphi_2)\rangle\bigr] .

فإذا كان فرق الطور ثابتًا في أثناء الكشف (أي موجتان مترابطتان): $I = I_1 + I_2 + 2\sqrt{I_1I_2}\cos(\varphi_1 - \varphi_2)$ ، وهو حدّ التداخل الذي يدرسه الفصل التالي. وإذا هام عشوائيًّا (أي موجتان غير مترابطتين): فإن $\langle\cos\rangle = 0$ و $I = I_1 + I_2$ — وهما المصباحان اليدويان.

طريقة 18.9 (تهيئة مسألة في البصريات)

(1) اكتب كل موجة بالشكل $a\cos(\omega t - \varphi)$ مع $\varphi = 2\pi(\text{المسير الضوئي})/\lambda_0$ ابتداءً من المنبع (أو من جبهة موجة مشتركة). (2) وقرّر الترابط: أهو المنبع نفسه، وفرق المسير $< \ell_c$ ؟ فإن كان كذلك فاجمع السعات (والترميز العقدي مريح: $\underline s = a\eu^{\iu(\omega t - \varphi)}$ ، و $I = \tfrac12K|\underline s|^2$ )؛ وإلا فاجمع الشدات. (3) وفي العدسات والمرايا، استعمل تساوي المسيرات الضوئية بين النقطتين المترافقتين، أو صورة صفيحة الطور. (4) وحوّل إلى ما يُقاس: أي الشدة، والتباين، وعدّات الفوتونات، وتحقق من تمييز الكاشف في الزمن والفضاء.

18.4 تمارين

تمرين 18.1 ★

حزمة عند $600\,\mathrm{nm}$ تعبر $1.0\,\mathrm{cm}$ من الزجاج ( $n = 1.5$ ). أوجد المسير الضوئي؛ وعدد أطوال الموجة في داخله؛ والطور الزائد والتأخير الزائد بالقياس إلى $1\,\mathrm{cm}$ من الهواء؛ وسماكة الزجاج التي تؤخّر الموجة طول موجة واحدة بالضبط بالنسبة إلى الهواء.

حل

حل التمرين 18.1.

$(AB) = 1.5\,\mathrm{cm}$ ؛ و $25\,000$ طول موجة؛ و $0.5\,\mathrm{cm}$ أكثر من الهواء، أي $8300$ طول موجة، و $\Delta\varphi = 2\pi \times 8300$ ، وتأخير $17\,\mathrm{ps}$ ؛ ويكون التأخير طول موجة واحدة عند $e = \lambda/(n - 1) = 1.2\,\text{µ}\mathrm{m}$ .

تمرين 18.2 ★

أوجد زمن الترابط وطوله من أجل: الضوء الأبيض ( $400$ – $750\,\mathrm{nm}$ )؛ وخط مصباح صوديوم عرضه $0.02\,\mathrm{nm}$ عند $589\,\mathrm{nm}$ ؛ وثنائي باعث للضوء أحمر ( $630\,\mathrm{nm}$ ، $\Delta\lambda = 25\,\mathrm{nm}$ )؛ وثنائي ليزري متعدد الأنماط ( $\Delta\nu = 100\,\mathrm{GHz}$ )؛ وليزر مستقر ( $\Delta\nu = 1\,\mathrm{kHz}$ ). فأيّها يعطي هدبًا مع فرق مسير $1\,\mathrm{mm}$ ؟ ومع $10\,\mathrm{m}$ ؟

حل

حل التمرين 18.2.

$\ell_c = \lambda^2/\Delta\lambda$ أو $c/\Delta\nu$ ، و $\tau_c = \ell_c/c$ : فالأبيض $0.9\,\text{µ}\mathrm{m}$ ( $3\,\mathrm{fs}$ )؛ والصوديوم $1.7\,\mathrm{cm}$ ( $60\,\mathrm{ps}$ )؛ والثنائي الباعث $16\,\text{µ}\mathrm{m}$ ( $50\,\mathrm{fs}$ )؛ والثنائي الليزري $3\,\mathrm{mm}$ ( $10\,\mathrm{ps}$ )؛ والمستقر $300\,\mathrm{km}$ ( $1\,\mathrm{ms}$ ). فعند $1\,\mathrm{mm}$ : مصباح الصوديوم، والثنائي الليزري، والليزر؛ وعند $10\,\mathrm{m}$ : الليزر المستقر وحده.

تمرين 18.3 ★

مؤشر ليزر $1\,\mathrm{mW}$ عند $650\,\mathrm{nm}$ : أوجد الفوتونات في الثانية؛ ومصباح $100\,\mathrm{W}$ (منه $5\,\mathrm{W}$ مرئية، بمتوسط $550\,\mathrm{nm}$ ) على $3\,\mathrm{m}$ : أوجد الفوتونات في الثانية عبر بؤبؤ قطره $6\,\mathrm{mm}$ ؛ وعددها في $0.1\,\mathrm{s}$ من زمن العين؛ والتقلب النسبي $1/\sqrt N$ لذلك العدد — أيكون الضوء حبيبيًّا؟

حل

حل التمرين 18.3.

$10^{-3}/3.06 \times 10^{-19} = 3.3 \times 10^{15}\,$ في الثانية. وأما المصباح: $I = 5/4\pi \times 9 = 44\,\mathrm{mW}/\mathrm{m}^{2}$ ، والبؤبؤ $28\,\mathrm{mm}^{2}$ : $1.2\,\text{µ}\mathrm{W}$ ، أي $3.5 \times 10^{12}$ فوتونًا في الثانية، و $3.5 \times 10^{11}$ في $0.1\,\mathrm{s}$ ، والتقلب $2 \times 10^{-6}$ : أي أملس تمامًا.

تمرين 18.4 ★

منبع نقطي على $1.0\,\mathrm{m}$ من شاشة، و $\lambda = 500\,\mathrm{nm}$ . أوجد فرق المسير الضوئي بين مركز الشاشة ونقطة على $1\,\mathrm{cm}$ عن المحور (بالضبط، ثم بالصيغة المحورية القريبة $r^2/2d$ )؛ وعدد أطوال الموجة؛ ونصف قطر جبهة الموجة عند الشاشة؛ وعلى أي بعد عن المحور تخطئ الصيغة المحورية القريبة بطول موجة واحد؟

حل

حل التمرين 18.4.

المضبوط $\sqrt{1 + 10^{-4}} - 1 = 49.9988\,\text{µ}\mathrm{m}$ ، والمحوري القريب $50\,\text{µ}\mathrm{m}$ : أي مئة طول موجة؛ وجبهة الموجة كرة نصف قطرها $1\,\mathrm{m}$ ؛ ويبلغ الحدّ الرباعي $r^4/8d^3$ المقدارَ $\lambda$ عند $r = (8\lambda d^3)^{1/4} = 4.5\,\mathrm{cm}$ .

تمرين 18.5 ★★

العدسة صفيحةَ طور. (أ) لموجة مستوية على المحور طور منتظم على مستوي عدسة رقيقة؛ وبعد العدسة يكون الطور $\varphi_L(r) = -\pi r^2/\lambda f$ بالنسبة إلى المركز. بيّن أن جبهة الموجة الخارجة، بالتقريب المحوري القريب، كرة نصف قطرها $f$ مركزها $F'$ . (ب) ومنبع نقطي على البعد $d$ قبل العدسة يرسل موجة طورها على مستوي العدسة $+\pi r^2/\lambda d$ (بالنسبة إلى المركز): بيّن أن الموجة تتقارب بعد العدسة عند $d'$ حيث $1/d' = 1/f - 1/d$ ، وهي صيغة العدسة. (ج) وأوجد مقطع سماكة عدسة زجاجية مستوية محدّبة ( $n = 1.5$ ) بعدها البؤري $10\,\mathrm{cm}$ : $e(r) = e_0 - r^2/2(n - 1)f$ ؛ وأوجد السهم عند $r = 1\,\mathrm{cm}$ . (د) و"عدسة فرينل" تطوي المقطع كلما تجاوز $\lambda/(n - 1)$ : فلمَ تظل تجمّع الضوء، ولمَ لا يكون ذلك تامًّا إلا للون واحد؟

حل

حل التمرين 18.5.

(أ) للكرة التي نصف قطرها $f$ ومركزها $F'$ ، على مستوي العدسة، الطور $-\pi r^2/\lambda f$ بالنسبة إلى المحور (محوريًّا قريبًا): وهو طور العدسة بالضبط. (ب) والطور الكلي $\pi r^2/\lambda\,(1/d - 1/f) = -\pi r^2/\lambda d'$ : أي موجة متقاربة عند $d'$ حيث $1/d' = 1/f - 1/d$ . (ج) ويضيف الزجاج $(n - 1)e(r) \times2\pi/\lambda$ : $e(r) = e_0 - r^2/2(n - 1)f$ ؛ والسهم $10^{-4}/0.1 = 1\,\mathrm{mm}$ . (د) والطور المعرَّف بترديد $2\pi$ هو الطور نفسه — عند طول موجة التصميم؛ وعند غيره لا تعود الدرجات أطوال موجة صحيحة.

تمرين 18.6 ★★

التطابق البؤري لمرآة. على المرآة أن ترسل موجة مستوية واردة على محورها إلى نقطة $F$ . (أ) اكتب شرط "تساوي المسيرات الضوئية من جبهة موجة مستوية إلى $F$ من أجل كل نقطة من المرآة" وبيّن أنه يعرّف قطعًا مكافئًا $y^2 = 4fx$ بؤرته $F$ . (ب) ولمَ لا تكون المرآة الكروية متطابقة بؤريًّا إلا تقريبًا (قارن $y^2 = 4fx$ بالدائرة التي نصف قطرها $2f$ قرب الرأس)؟ (ج) ومن أجل مرآة قطرها $20\,\mathrm{cm}$ و $f = 1\,\mathrm{m}$ ، أوجد خطأ مسير الكرة عند الحافة، بأطوال موجة $500\,\mathrm{nm}$ . (د) ولمَ تحتمل المقاريب الراديوية من الكروية ما لا تحتمله المقاريب الضوئية؟

حل

حل التمرين 18.6.

(أ) من جبهة موجة مستوية عند $x = -D$ إلى $(x, y)$ ثم إلى $F(f, 0)$ : $D + x + \sqrt{(x - f)^2 + y^2} = D + f$ ، ومن ثَمّ $\sqrt{(x - f)^2 + y^2} = f - x$ ، أي $y^2 = 4fx$ ، و $F$ في البؤرة. (ب) والدائرة $x = 2f - \sqrt{4f^2 - y^2} \approx y^2/4f + y^4/64f^3$ توافقه حتى المرتبة الثانية فقط. (ج) و $y^4/64f^3 = 1.6\,\text{µ}\mathrm{m}$ ، مضاعفًا بالانعكاس: $3\,\text{µ}\mathrm{m}$ ، أي ستة أطوال موجة — ومن هنا المرايا المكافئة. (د) وعند $\lambda \sim 1\,\mathrm{cm}$ يكون الخطأ نفسه جزءًا من ألف من طول الموجة.

تمرين 18.7 ★★

فيرما. المسير الضوئي من $A$ (في الوسط $n_1$ ) إلى $B$ (في $n_2$ ) عبر نقطة $P$ من السطح الفاصل المستوي هو $n_1AP + n_2PB$ . (أ) بيّن أنه مستقر (أصغري) من أجل النقطة $P$ التي تحقق $n_1\sin\theta_1 = n_2\sin\theta_2$ . (ب) وفسّر: فالمسارات المجاورة لها الطور نفسه، فتتجمع الأمواج عليها — ولهذا "يختار" الضوء شعاع ديكارت. (ج) واستنتج قانون الانعكاس بالطريقة نفسها. (د) ولمَ يكون المسير عبر عدسة من $A$ إلى صورتها $A'$ واحدًا على كل شعاع، لا مستقرًّا فحسب؟

حل

حل التمرين 18.7.

(أ) $L(x) = n_1\sqrt{a^2 + x^2} + n_2\sqrt{b^2 + (d - x)^2}$ : $L' = n_1\sin\theta_1 - n_2\sin\theta_2 = 0$ . (ب) وبجوار المسار المستقر يكون للمسارات المجاورة أطوار متساوية فتتجمع أمواجها؛ وفي غير ذلك تتلاشى. (ج) و $n_1 = n_2$ : $\sin\theta_1 = \sin\theta_r$ . (د) والتطابق البؤري يعني أن لكل الأشعة من $A$ إلى $A'$ مسيرات متساوية: أي أسرة كاملة من المسارات المستقرة، لا مسارًا واحدًا.

تمرين 18.8 ★★

لمَ لا يتداخل مصباحان. مصباحا صوديوم يضيئان شاشة؛ وعند نقطة تكون سعتا موجتيهما $a$ وطورهما النسبي $\Delta\varphi$ يقفز عشوائيًّا كل $\tau_c = 1 \times 10^{-10}\,\mathrm{s}$ . (أ) أوجد الشدة عند تلك النقطة بدلالة $\Delta\varphi$ ؛ وعظمها وصغرها. (ب) ويتوسط الكاشف على $\tau_d = 1\,\mathrm{ms}$ : فكم قيمة مستقلة من $\Delta\varphi$ ؟ وأوجد متوسط الشدة؛ والحجم النسبي للتقلب الباقي في حدّ التداخل ( $\sim 1/\sqrt N$ ). (ج) وثنائي ضوئي زمنه $\tau_d = 1 \times 10^{-11}\,\mathrm{s}$ : فماذا يرى؟ (د) وكيف نجحت أول تجربة أظهرت التداخل بين ليزرين مستقلين (1963)؟

حل

حل التمرين 18.8.

(أ) $I = 2I_0(1 + \cos\Delta\varphi)$ : $4I_0$ و $0$ . (ب) و $N = 10^7$ : فالمتوسط $2I_0$ ، والباقي $\sim 2I_0/\sqrt N = 6 \times 10^{-4}$ منه. (ج) وخلال $10\,\mathrm{ps}$ يكون الطور مجمّدًا: فيرى هدبًا تقفز كل $0.1\,\mathrm{ns}$ . (د) وبليزرات $\tau_c \sim 1\,\text{µ}\mathrm{s}$ وكاشف أسرع من ذلك: فالهدب موجودة مدة ميكروثانية وقد صُوّرت.

تمرين 18.9 ★★

العمق الظاهري. قطعة نقود على العمق $h$ في الماء ( $n = 1.33$ ). (أ) باستعمال المسير الضوئي (أو قانون ديكارت عند الزوايا الصغيرة)، بيّن أن العين فوق الماء تراها على العمق $h/n$ . (ب) ومن أجل $h = 1.2\,\mathrm{m}$ : أوجد العمق الظاهري؛ وبكم يتجاوز المسير الضوئي من القطعة إلى العين طوله الهندسي؟ (ج) وسمكة على العمق $h$ ترى ذبابة على $1\,\mathrm{m}$ فوق السطح على أي ارتفاع ظاهري؟ (د) ولمَ يبدو الحوض أضحل أيضًا حين يُنظر إليه مائلًا؟

حل

حل التمرين 18.9.

(أ) عند الزوايا الصغيرة: $\tan i \approx n\tan r$ ، فتبدو الأشعة آتية من $h/n$ . (ب) $0.90\,\mathrm{m}$ ؛ والمسير الضوئي $n \times 1.2 = 1.6\,\mathrm{m}$ ، أي $0.4\,\mathrm{m}$ أكثر. (ج) و $n \times 1 = 1.33\,\mathrm{m}$ . (د) وعند الزوايا الكبيرة يشتدّ الانكسار ويصغر العمق الظاهري.

تمرين 18.10 ★★★

التباين والترابط. نسختان من موجة بينهما فرق مسير $\delta$ تتراكبان؛ وطيف المنبع منتشر انتشارًا منتظمًا على $[\nu_0 - \Delta\nu/2, \nu_0 + \Delta\nu/2]$ ، وكل تواتر يتداخل مع نفسه فقط. (أ) أوجد الشدة الآتية من تواتر واحد: $2I_0 [1 + \cos(2\pi\nu\delta/c)]$ . (ب) وكامِل على النطاق وبيّن أن المجموع هو $2I_0[1 + \operatorname{sinc}(\pi\Delta\nu\,\delta/c)\cos(2\pi\nu_0\delta/c)]$ مع $\operatorname{sinc}x = \sin x/x$ . (ج) وعرّف تباين الهدب $V = (I_{\max} - I_{\min})/(I_{\max} + I_{\min})$ بجوار $\delta$ وبيّن أن $V = |\operatorname{sinc}(\pi\Delta\nu\,\delta/c)|$ : وهو ينعدم عند $\delta = c/\Delta\nu = \ell_c$ . (د) وأعطِ الأرقام من أجل ثنائي باعث للضوء ( $\Delta\lambda = 25\,\mathrm{nm}$ عند $630\,\mathrm{nm}$ ): أوجد $\delta$ الذي عنده ينعدم التباين أول مرة.

حل

حل التمرين 18.10.

(أ) موجتان متساويتان بفرق طور $2\pi\nu\delta/c$ . (ب) والمتوسط على النطاق:

\frac1{\Delta\nu}\int\cos\frac{2\pi\nu\delta}c\,\dd\nu = \cos\frac{2\pi\nu_0\delta}c\,\operatorname{sinc}\frac{\pi\Delta\nu\,\delta}c .

(ج) $I_{\max, \min} = 2I_0(1 \pm |\operatorname{sinc}|)$ : $V = |\operatorname{sinc}(\pi\Delta\nu\delta/c)|$ ، وهو معدوم عند $\delta = c/\Delta\nu$ . (د) و $\Delta\nu = c\Delta\lambda/\lambda^2 = 1.9 \times 10^{13}\,\mathrm{Hz}$ : $\delta = 16\,\text{µ}\mathrm{m}$ .

تمرين 18.11 ★★★

رؤية النجوم. تكشف العين ومضة حين تبلغ نحو $10$ فوتونات عصيّةً خلال $0.1\,\mathrm{s}$ ؛ والبؤبؤ المتكيّف مع الظلام $7\,\mathrm{mm}$ ؛ وخذ $500\,\mathrm{nm}$ . (أ) أوجد أصغر تدفق فوتوني وأصغر استضاءة عند العين. (ب) وتعطي الشمس $1\,\mathrm{kW}/\mathrm{m}^{2}$ ؛ ونجم قدره $m$ يعطي $10^{-0.4(m + 26.7)}$ منها: أوجد استضاءة نجم قدره ستة (وهو حدّ العين المجردة) ومعدل الفوتونات إلى البؤبؤ؛ أيتوافق ذلك مع (أ)؟ (ج) ومقراب فتحته $200\,\mathrm{mm}$ : أوجد الكسب في الفوتونات، والقدر الذي يبلغه. (د) ولمَ يتحدث الفلكيون عن "ضجيج الفوتونات" في صورة خافتة، وكيف يتغير مع زمن التعريض؟

حل

حل التمرين 18.11.

(أ) $100$ فوتون في الثانية على $38\,\mathrm{mm}^{2}$ : $2.6 \times 10^{6}\,\mathrm{m}^{-2}\,\mathrm{s}^{-1}$ ، $\times4 \times 10^{-19}$ جول: $1 \times 10^{-12}\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$ . (ب) و $10^{-13.1} \times 1000 = 8 \times 10^{-11}\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$ ، أي $2 \times 10^8$ فوتونًا في المتر المربع والثانية، و $8000$ في الثانية إلى البؤبؤ — أي فوق (أ) بكثير: فحدّ العين الحقيقي تحدده الخلفية ويحدده التوزّع على عصيّات كثيرة. (ج) و $(200/7)^2 = 800$ ، أي $+7.3$ من القدر: $m \approx 13$ . (د) و $N$ فوتونًا تتقلب بمقدار $\sqrt N$ : فتنمو نسبة الإشارة إلى الضجيج كالجذر التربيعي لزمن التعريض.

تمرين 18.12 ★★★

ما وراء التقريب المحوري القريب. لموجة كروية من نقطة على البعد $d$ عند البعد المستعرض $r$ مسير زائد مضبوط قدره $\sqrt{d^2 + r^2} - d$ . (أ) انشره حتى المرتبة الرابعة: $r^2/2d - r^4/8d^3$ . (ب) ويُحتفظ بالحدّ التربيعي (المحوري القريب) ويُهمَل الرباعي حين يكون الأخير دون $\lambda/4$ : بيّن أن ذلك يقتضي $r^4 < 2\lambda d^3$ . (ج) والأرقام: $d = 1\,\mathrm{m}$ ، و $\lambda = 500\,\mathrm{nm}$ : أوجد أعظم $r$ ؛ و $d = 1\,\mathrm{cm}$ (أي مجهر): أوجد أعظم $r$ ، والزاوية الموافقة. (د) وعلّق: إن "زيغانات" البصريات الهندسية هي هذه الحدود المهمَلة.

حل

حل التمرين 18.12.

(أ) $d(1 + r^2/2d^2 - r^4/8d^4 + \dots) - d$ . (ب) $r^4/8d^3 < \lambda/4$ . (ج) $r < (2\lambda d^3)^{1/4}$ : $3.2\,\mathrm{cm}$ من أجل $1\,\mathrm{m}$ ؛ و $1\,\mathrm{mm}$ من أجل $1\,\mathrm{cm}$ ، بزاوية $0.1\,\mathrm{rad}$ . (د) والزيغان الكروي هو هذا الحدّ الرباعي؛ وأما الزيغانات الأخرى فهي أبناء عمه خارج المحور.

مصابيح صوديوم منخفضة الضغط في الضباب: خط أصفر واحد، وطول ترابط بالسنتيمترات — وهي المنبع الكلاسيكي في مخبر البصريات، وفي الشوارع القديمة.

18.5 مسألة: مصباح صوديوم ومؤشر ليزر

مسألة 18.1

مسألة نهاية الأسبوع — منبعا ضوء مفكَّكان: مصباح الشارع القديم الأصفر، والمؤشر الأحمر في قاعة الدرس، والعدد الوحيد الذي يقرر أيستطيع كلٌّ منهما أن يصنع هدبًا

الجزء الأول — مصباح الصوديوم. يصدر الصوديوم ثنائيه الأصفر عند $\lambda_1 = 589.0\,\mathrm{nm}$ و $\lambda_2 = 589.6\,\mathrm{nm}$ . والعرض الطبيعي لكل خط $\Delta\nu_{\text{طبيعي}} = 10\,\mathrm{MHz}$ ؛ وفي المصباح تكون الذرات عند $500\,\mathrm{K}$ (وكتلة الصوديوم $23\,\mathrm{u}$ ، و $k_B = 1.38 \times 10^{-23}\,\mathrm{J}/\mathrm{K}$ ، و $u = 1.66 \times 10^{-27}\,\mathrm{kg}$ ).

أوجد تواتري الخطين وفرقهما.
وطول ترابط خط واحد لو لم يُحسب إلا عرضه الطبيعي.
والتعريض الدوبلري: ذرة تتحرك بالسرعة $v$ على خط النظر تصدر عند $\nu(1 + v/c)$ ؛ ومع السرعة الحرارية التربيعية الوسطى $\sqrt{k_BT /m}$ على محور واحد، قدّر $\Delta\nu_D$ وقارنه بالعرض الطبيعي.
وطول ترابط خط واحد معرَّض دوبلريًّا؛ وفي مصباح حقيقي عالي الضغط تعرّضه التصادمات عشر مرات أخرى: فما طول الترابط عندئذ؟
والخطان معًا: على أي فرق مسير ينتقل نظاما هدبهما من التوافق إلى التعاكس ثم يعودان (أي "طول الضربات" $\lambda^2/\Delta\lambda$ )؟ وكم هدبة ذلك؟
وطالب يصنع مقياس تداخل بحزمتين من المصباح ويزيد فرق المسير من الصفر: صِف التباين المرئي — أي الضربات والانطفاء الأخير — مع الأرقام الموجودة.
ويشعّ المصباح $1\,\mathrm{W}$ من الضوء الأصفر: أوجد الفوتونات في الثانية؛ وطاقة الفوتون الواحد بالإلكترون فولت، ولمَ يكون الضوء أصفر.
ومصباحا صوديوم متجاوران: أيستطيع ضوءاهما أن يتداخلا؟ ولمَ يختلف السؤال في خطي مصباح واحد؟

الجزء الثاني — مؤشر الليزر. ليزر ثنائي أحمر $1\,\mathrm{mW}$ عند $650\,\mathrm{nm}$ يصدر، إذا كان رخيصًا، عدة أنماط طولية منتشرة على $\Delta\lambda = 0.5\,\mathrm{nm}$ ؛ وأما المستقر الأحادي النمط فله $\Delta\nu = 1\,\mathrm{MHz}$ .

أوجد طولي ترابط المؤشرين.
والفوتونات المصدَرة في الثانية؛ ومتوسط التباعد بين الفوتونات على امتداد الحزمة (بالأمتار)؛ وقارنه بطول الترابط — فماذا يقول ذلك عن "تداخل الفوتونات"؟
وحوّل الانتشار $0.5\,\mathrm{nm}$ إلى عرض تواتري؛ وجوف الثنائي طوله $1\,\mathrm{mm}$ مع $n = 3.5$ : أوجد تباعد أنماطه الطولية ( $c/2nL$ ) وعدد الأنماط في الانتشار.
وتقع الحزمة (وقطرها $1\,\mathrm{mm}$ ) على ثنائي ضوئي يعطي كل فوتون فيه إلكترونًا: أوجد التيار.
ويُستعمل المؤشر الرخيص في مقياس تداخل بحزمتين مع فرق مسير $2\,\mathrm{mm}$ : أتظهر الهدب أم لا؟ وماذا عن المستقر مع $10\,\mathrm{m}$ ؟
وخرج الثنائي في الحقيقة يُفتح ويُغلق في نبضات مدتها $1\,\mathrm{ns}$ : أتستطيع نبضتان من دورين متعاقبين أن تتداخلا؟ وما الذي يحدد الترابط هنا، أطول النبضة أم عرض الخط؟
ولمَ يبدو ضوء الليزر "مرقّطًا" على الجدار، ولمَ لا يبدو ضوء المصباح كذلك؟
وثنائي باعث للضوء أحمر عند $650\,\mathrm{nm}$ له $\Delta\lambda = 25\,\mathrm{nm}$ : أوجد طول الترابط؛ ولمَ تفضّل بعض أجهزة العرض هذه الثنائيات على الليزرات؟

الجزء الثالث — المسيرات الضوئية والكواشف.

تُدخَل شريحة زجاجية $2\,\mathrm{mm}$ ( $n = 1.5$ ) في أحد ذراعي مقياس التداخل: أوجد المسير الضوئي الزائد، وعدد الهدب التي تمرّ أمام علامة.
وتُمال الشريحة بزاوية $10{}^{\circ}$ : أوجد المسير الزائد (استعمل $e/\cos r$ للطول في الزجاج، ناقصًا الهواء الذي يحلّ محلّه، وبتقريب من المرتبة الأولى $e(n/\cos r - \cos(i - r)/\cos r)$ — أو قدّره ببساطة بالمسار الهندسي الأطول)؛ وأوجد رتبة مقدار انزياح الهدب.
والكاشف آلة تصوير ببكسلات $10\,\text{µ}\mathrm{m}$ ؛ والهدب متباعدة $50\,\text{µ}\mathrm{m}$ : فكم بكسلًا في الهدبة، وماذا يحدث للتباين المقيس إذا هبط التباعد إلى $10\,\text{µ}\mathrm{m}$ ؟
وتعريض $10\,\mathrm{ms}$ عند $1\,\text{µ}\mathrm{W}/\mathrm{cm}^{2}$ على بكسل: أوجد الفوتونات في البكسل؛ وضجيج الفوتونات النسبي.
وموجتان مترابطتان متساويتان شدتهما $I_0$ تلتقيان بفرق مسير $\delta$ : اكتب الشدة $I(\delta)$ ودور الهدب بدلالة $\delta$ .
وتمرّ الهدب أمام نقطة بمعدل $1\,\mathrm{kHz}$ (بمرآة مهتزّة): فماذا ترى العين، وماذا يرى الثنائي الضوئي؟
وتمرّ ذراعا مقياس التداخل في $10\,\mathrm{m}$ من الهواء ( $n - 1 = 2.9 \times 10^{-4}\,$ ): أوجد المسير الضوئي الزائد على الخلاء، بالهدب؛ وما الذي يفعله تغيّر ضغط الهواء بنسبة $1\,\%$ في النقش.
ويعطي المصباح والمؤشر $1\,\text{µ}\mathrm{W}/\mathrm{cm}^{2}$ نفسها: فأيّهما يعطي فوتونات أكثر في الثانية، ولمَ لا يهمّ ذلك في الهدب؟
ولخّص: من أجل كل منبع، طول الترابط، وما الذي يحدّه، وفرق مسير مقياس التداخل الذي يسمح به.

حل

حل المسألة 18.1.

1. $\nu_1 = 5.0934 \times 10^{14}\,\mathrm{Hz}$ ، و $\nu_2 = 5.0882 \times 10^{14}\,\mathrm{Hz}$ : $\Delta\nu = 5.2 \times 10^{11}\,\mathrm{Hz}$ .

2. $c/\Delta\nu_{\text{طبيعي}} = 30\,\mathrm{m}$ .

3. $\sqrt{k_BT/m} = 425\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ : $\Delta\nu_D \approx 2\nu v/c \approx 1.4\,\mathrm{GHz}$ ، أي مئة ضعف العرض الطبيعي.

4. $c/\Delta\nu_D \approx 20\,\mathrm{cm}$ ؛ ومع التصادمات، نحو $2\,\mathrm{cm}$ .

5. $\lambda^2/\Delta\lambda = 589^2/0.6$ نانومتر $= 0.58\,\mathrm{mm}$ : أي من التوافق إلى التعاكس كل $0.29\,\mathrm{mm}$ ؛ ونحو $1000$ هدبة في الضربة.

6. يتذبذب التباين بدور $0.58\,\mathrm{mm}$ في فرق المسير (وينعدم عند $0.29$ ، و $0.87$ ، و $1.45\,\mathrm{mm}$ ، …) داخل غلاف يخبو على بضعة سنتيمترات: أي نحو خمسين ضربة، ثم لا شيء.

7. $3 \times 10^{18}\,$ فوتون في الثانية؛ و $2.1\,\mathrm{eV}$ ، وهو أصفر الطيف.

8. لا: فالذرات مستقلة، والأطوار عشوائية. وخطا المصباح الواحد يأتيان أيضًا من ذرات مختلفة ولا يتداخل أحدهما مع الآخر: فالضربات نظاما هدب يتجمعان في الشدة.

9. $\lambda^2/\Delta\lambda = 0.85\,\mathrm{mm}$ ؛ و $c/\Delta\nu = 300\,\mathrm{m}$ .

10. $3.3 \times 10^{15}\,$ في الثانية، متباعدة $c/N = 90\,\mathrm{nm}$ على امتداد الحزمة: أي عشرة آلاف فوتون في طول ترابط واحد. فالتداخل ليس لقاء فوتونات: بل كل فوتون يتداخل مع نفسه.

11. $\Delta\nu = c\Delta\lambda/\lambda^2 = 360\,\mathrm{GHz}$ ؛ وتباعد الأنماط $c/2nL = 43\,\mathrm{GHz}$ : أي نحو ثمانية أنماط.

12. $e \times 3.3 \times 10^{15} = 0.5\,\mathrm{mA}$ .

13. $2\,\mathrm{mm}$ $>$ $0.85\,\mathrm{mm}$ : فلا هدب؛ و $10\,\mathrm{m}$ $<$ $300\,\mathrm{m}$ : فهدب.

14. النبضة التي مدتها نانوثانية طولها $30\,\mathrm{cm}$ ، أي أطول بكثير من طول الترابط $0.85\,\mathrm{mm}$ : فعرض الخط، لا النبضة، هو الذي يحدد الترابط؛ ولا تتداخل النبضات المتعاقبة إلا إذا نجا طور الليزر من فترة الإطفاء — وهو لا ينجو.

15. الضوء المترابط المتبعثر على الجدار الخشن يتداخل عند الشبكية بفروق مسير عشوائية: وهو الترقيط. وترابط المصباح على سُلَّم الميكرومتر يتوسط ذلك كله فيمحوه.

16. $\lambda^2/\Delta\lambda = 17\,\text{µ}\mathrm{m}$ : أي أقصر بكثير من أن يعطي ترقيطًا على جدار خشن — فلا ترقيط، وصورة أنعم.

17. $(n - 1)e = 1\,\mathrm{mm}$ : أي $1540$ هدبة.

18. $r = 6.65{}^{\circ}$ ؛ والمسير الزائد $\approx e(n/\cos r - \cos(i - r)/\cos r) = 3.021 - 2.010 = 1.011\,\mathrm{mm}$ ، أي $11\,\text{µ}\mathrm{m}$ أكثر من غير المائلة: أي نحو عشرين هدبة أخرى.

19. خمسة بكسلات في الهدبة؛ وعند بكسل واحد في الهدبة يكامل البكسل دورًا كاملًا فينهار التباين.

20. $1 \times 10^{-12}\,\mathrm{W}$ على البكسل $\times$ $10\,\mathrm{ms}$ $= 1 \times 10^{-14}\,\mathrm{J}$ : أي $3 \times 10^4$ فوتون، والضجيج $0.6\%$ .

21. $I = 2I_0[1 + \cos(2\pi\delta/\lambda)]$ : أي هدبة واحدة في كل طول موجة من فرق المسير.

22. تتوسط العين الحركة الكيلوهرتزية إلى حقل منتظم؛ أما الثنائي الضوئي فيتابعها.

23. $(n - 1) \times 10 = 2.9\,\mathrm{mm}$ : أي $4500$ هدبة؛ وتغيّر الضغط بنسبة $1\%$ يزيحها $45$ هدبة — فمقياس التداخل مقياس ضغط ما لم يُفرَّغ.

24. معدل الفوتونات هو نفسه تقريبًا ( $2.1\,\mathrm{eV}$ مقابل $1.9\,\mathrm{eV}$ )؛ والهدب تتعلق بالسعات والأطوار، وأما عدّ الفوتونات فلا يدخل إلا في الضجيج.

25. المصباح: سنتيمترات، يحدّها التعريض الدوبلري والتصادمي، والهدب حتى نحو $1\,\mathrm{cm}$ ؛ والمؤشر الرخيص: $0.85\,\mathrm{mm}$ ، تحدّه أنماطه المتعددة؛ والليزر المستقر: $300\,\mathrm{m}$ ، يحدّه عرض خطه.

المصطلحات المعرَّفة في هذا الفصل

عرض كل المصطلحات (393) في المسرد