الفيزياء الجامعية — السنة الثانية · Bachelor Year 2

5موازنتا كمية الحركة والطاقة في الجريانات

يتحفّز الإطفائي أمام الخرطوم: فالماء الذي يغادر بثلاثين مترًا في الثانية يدفعه إلى الخلف بمئات النيوتنات، وليس ما يمسّ الفوهة إلا الماء. ويتعلّق محرك نفاث بجناح فيجرّ طائرة في السماء برمي الهواء إلى الخلف. وتدور مرشّة حديقة بلا محرك. وفي كل حالة يدخل مائع منطقةً، ويغادرها بكمية حركة مختلفة، والفرق قوة. وهذا الفصل يكتب قوانين الميكانيك — كمية الحركة والعزم الحركي والطاقة — لا من أجل كتلة مائع ثابتة بل من أجل المائع العابر لمنطقة ثابتة، أي جملة مفتوحة: وهي الصيغة التي يعوّل بها المهندسون العنفات والصواريخ والمضخات والأنابيب.

5.1 الموازنات في جملة مفتوحة

تعريف 5.1 (حجم التحكم؛ الجملة المفتوحة)

حجم التحكم (أو سطح التحكم) منطقة ثابتة من الفضاء $\Sigma$ يجري المائع عبرها؛ والمائع الموجود فيها في أي لحظة جملة مفتوحة، تتبادل الكتلة مع الخارج عبر مداخل $\Sigma$ ومخارجها. والجملة المغلقة التي تنطبق عليها قوانين نيوتن هي المائع الموجود داخل $\Sigma$ في اللحظة $t$ ، متتبَّعًا إلى $t + \dd t$ : فهو يشغل عندئذ $\Sigma$ ناقصًا ما غادر زائدًا ما دخل.

مبرهنة 5.2 (موازنة كمية الحركة في جريان مستقر)

من أجل جريان مستقر عبر حجم تحكم ذي مدخل واحد (مقطعه $S_1$ ، وسرعته المنتظمة $\vect v_1$ ) ومخرج واحد ( $S_2$ ، و $\vect v_2$ )، والتدفق الكتلي $D_m$ واحد عندهما،

\sum\vect F_{\text{خارجية}} = D_m\,(\vect v_2 - \vect v_1) ,

حيث $\sum\vect F_{\text{خارجية}}$ مجموع كل القوى الخارجية على المائع داخل $\Sigma$ : الثقل، وقوى الجدران والأجسام الملامسة له، وقوى الضغط على مقطعي المدخل والمخرج ( $P_1S_1\vect n_1$ دافعةً نحو الداخل، و $-P_2S_2\vect n_2$ عند المخرج). ومع عدة مداخل ومخارج، يكون الطرف الأيمن مجموع تدفقات كمية الحركة الخارجة $D_{m,i}\vect v_i$ ناقصًا الداخلة.

برهان. لننظر إلى الجملة المغلقة $\mathcal S$ المؤلَّفة من المائع في $\Sigma$ في اللحظة $t$ مضافًا إليه الشريحة $\delta m = D_m\dd t$ التي توشك أن تدخل عبر $S_1$ . وعند $t + \dd t$ تتألف من المائع في $\Sigma$ مضافًا إليه الشريحة $\delta m$ التي غادرت عبر $S_2$ . وانتقلت كمية حركتها من $\vect p_\Sigma(t) + \delta m\,\vect v_1$ إلى $\vect p_\Sigma(t + \dd t) + \delta m\,\vect v_2$ ؛ وفي الجريان المستقر يكون $\vect p_\Sigma$ ثابتًا، ومنه $\dd\vect p_{\mathcal S} = D_m\dd t\,(\vect v_2 - \vect v_1)$ . وقانون نيوتن الثاني من أجل $\mathcal S$ ، وقواها الخارجية هي (حتى المرتبة الأولى) القوى على المائع في $\Sigma$ ، يعطي النتيجة. ∎

على اليمين: حجم تحكم في جريان مستقر — فكمية الحركة المغادرة عبر S_2 ناقصةً الداخلة عبر S_1 تساوي مجموع القوى الخارجية على المائع في الداخل، ومنها قوى الضغط على المقطعين. وعلى اليسار: نفث يوقفه جدار يدفعه بالقوة D_mv؛ ونفث يردّه كوب بلتون يتحرك بالسرعة u يدفع بقوة تبلغ 2D_m(v - u). — على اليمين: حجم تحكم في جريان مستقر — فكمية الحركة المغادرة عبر $S_2$ ناقصةً الداخلة عبر $S_1$ تساوي مجموع القوى الخارجية على المائع في الداخل، ومنها قوى الضغط على المقطعين. وعلى اليسار: نفث يوقفه جدار يدفعه بالقوة $D_mv$ ؛ ونفث يردّه كوب بلتون يتحرك بالسرعة $u$ يدفع بقوة تبلغ $2D_m(v - u)$ .

مثال 5.3 (نفث على جدار؛ خرطوم الإطفاء)

نفث مقطعه $s$ وسرعته $v$ يصطدم بجدار عموديًّا وينتشر عليه: فتنعدم كمية الحركة الخارجة على امتداد النفث، ومنه يتلقى الجدار $F = D_mv = \rho sv^2$ — أي $1.1\,\mathrm{kN}$ من أجل نفث قطره $5\,\mathrm{cm}$ بسرعة $24\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ . وبالموازنة نفسها مطبَّقةً على المائع في الخرطوم والفوهة، تدفع الفوهة الإطفائيَّ إلى الخلف بالقوة $D_mv$ : أي إن $20\,\mathrm{L}/\mathrm{s}$ عند $30\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ تعطي $600\,\mathrm{N}$ ، أي ثقل إنسان. وإذا تراجع الجدار بالسرعة $u$ ، لم يبلغه في واحدة الزمن إلا $D_m' = \rho s(v - u)$ ووصل بالسرعة النسبية $v - u$ : ومنه $F = \rho s(v - u)^2$ .

قضية 5.4 (كوب بلتون؛ دفع الصاروخ)

(1) نفث سرعته $v$ وتدفقه الكتلي $D_m$ يُردّ بزاوية $180^\circ$ بكوب يتحرك بالسرعة $u$ في جهة النفث: فتكون القوة على الكوب $F = 2D_m(v - u)$ (و $D_m$ هو التدفق الذي تعترضه فعلًا أكواب العجلة المتحركة)، والاستطاعة $Fu$ أعظمية عند $u = v/2$ وتساوي عندئذ $\tfrac12D_mv^2$ : أي كامل الاستطاعة الحركية للنفث. (2) وصاروخ كتلته $m(t)$ يقذف الغاز إلى الخلف بالسرعة النسبية $v_e$ وبتدفق كتلي $D_m = -\dd m/\dd t$ يحسّ دفعًا $F = D_mv_e$ ؛ وفي الفضاء الحرّ تتزايد سرعته بمقدار $\Delta v = v_e\ln(m_0/m_1)$ (معادلة تسيولكوفسكي للصاروخ)؛ وتحت الثقالة، $m\,\dd v/\dd t = D_mv_e - mg$ .

برهان. (1) في مرجع الكوب يصل النفث بالسرعة $v - u$ ويغادر بالسرعة $-(v - u)$ ؛ وتعطي موازنة كمية الحركة $2D_m(v - u)$ (والكوب مثالي: بلا ضياع في السرعة النسبية). والاستطاعة $2D_mu(v - u)$ ، وهي أعظمية عند $u = v/2$ . (2) كمية حركة الصاروخ والغاز المقذوف في $\dd t$ : $(m + \dd m) (v + \dd v) + (-\dd m)(v - v_e) = mv$ في الفضاء الحرّ، ومنه $m\,\dd v = -\dd m\,v_e$ و $v_1 - v_0 = v_e\ln(m_0/m_1)$ ؛ ومع الثقالة تتغير كمية الحركة الكلية بمقدار $-mg\,\dd t$ . ∎

مثال 5.5 (قاذفة)

المرحلة الأولى: $D_m = 2500\,\mathrm{kg}/\mathrm{s}$ عند $v_e = 3000\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ : فالدفع $7.5\,\mathrm{MN}$ ، وهو يرفع صاروخًا كتلته $600\,\mathrm{t}$ بالتسارع $7.5 \times 10^6/6 \times 10^5 - g = 2.7\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ عن المنصة. وحرق $500\,\mathrm{t}$ في $200\,\mathrm{s}$ يعطي $\Delta v = 3000\ln6 - 9.81 \times 200 = 5400 - 2000 = 3.4\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ — وضياع الثقالة هو سبب صعود القاذفات سريعًا، واللوغاريتم هو سبب تقسيمها مراحل.

مثال 5.6 (القوة على كوع أنبوب)

ماء عند الضغط $P$ والسرعة $v$ في أنبوب مقطعه $S$ ينعطف بزاوية $90^\circ$ . والموازنة على المائع في الكوع: $\vect F_{\text{الجدار}} + PS\vect e_x - PS \vect e_y = D_m(v\vect e_y - v\vect e_x)$ ، ومنه يدفع الجدار المائع بالقوة $\vect F_{\text{الجدار}} = -(PS + \rho Sv^2)(\vect e_x - \vect e_y)$ ويدفع المائع الكوع نحو الخارج بالقوة $(PS + \rho Sv^2)\sqrt2$ . ومن أجل $D = 20\,\mathrm{cm}$ ، و $P = 3\,\mathrm{bar}$ ، و $v = 3\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ : $PS = 9.4\,\mathrm{kN}$ ، و $\rho Sv^2 = 0.28\,\mathrm{kN}$ ، والقوة $13.7\,\mathrm{kN}$ على امتداد منصّف الزاوية — فحدّ الضغط هو المهيمن، وهو ما تمسكه كتل التثبيت في خط أنابيب.

5.2 العزم الحركي: العنفات والمرشّات

مبرهنة 5.7 (موازنة العزم الحركي؛ معادلة أويلر للعنفات)

في الجريان المستقر، يساوي العزم الكلي بالنسبة إلى نقطة $O$ للقوى الخارجية على المائع في $\Sigma$ تدفقَ العزم الحركي الخارج ناقصًا الداخل: $\sum\vect{\mathcal M}_O = D_m(\vect r_2\wedge\vect v_2 - \vect r_1 \wedge\vect v_1)$ . وفي آلة دوّارة (عنفة أو مضخة) محورها $Oz$ ، حيث يدخل المائع عند نصف القطر $r_1$ بسرعة سمتية $v_{\theta1}$ ويغادر عند $r_2$ بالسرعة $v_{\theta2}$ ، يكون العزم الذي يؤثر به المائع في الدوّار والاستطاعة التي يقدّمها

\Gamma = D_m(r_1v_{\theta1} - r_2v_{\theta2}) , \qquad \mathcal P = \Gamma\omega = D_m\omega(r_1v_{\theta1} - r_2v_{\theta2}) .

والعنفة تنزع الدوّامة من المائع؛ والمضخة تضعها فيه.

برهان. الحجة نفسها بالجملة المغلقة مع $\vect r\wedge\vect v$ بدلًا من $\vect v$ . والعزم على الدوّار معاكس لعزم الدوّار على المائع؛ وقوى الضغط على سطحي المدخل والمخرج (وهما سطحا دوران) لا عزم لها بالنسبة إلى المحور. ∎

مثال 5.8 (مرشّة الحديقة)

ذراعان طول كل منهما $R$ يقذفان الماء مماسيًّا بالسرعة النسبية $w$ ؛ وتدور المرشّة بالسرعة $\omega$ . ويدخل الماء على المحور بلا عزم حركي ويغادر بالعزم $r v_\theta = R(w - R\omega)$ (والسرعة السمتية المطلقة $w - R\omega$ ، معاكسة للدوران): فيكون العزم على الذراعين $D_mR(w - R\omega)$ . وهو عند السكون $D_mRw$ ؛ ودون احتكاك تتسارع المرشّة حتى $R\omega = w$ — فيغادر الماء بسرعة مطلقة معدومة وينعدم العزم؛ ومع عزم احتكاك $\Gamma_f$ تستقر عند $\omega = (w - \Gamma_f/D_mR)/R$ .

على اليسار: مرشّة الحديقة — يغادر الماء الذراعين مماسيًّا بالسرعة النسبية w؛ والعزم الحركي الخارج يدير الذراعين في الجهة الأخرى. وعلى اليمين: عنفة ذات جريان داخل قطري (دوّار فرانسيس منظورًا على امتداد محوره): يدخل المائع عند الإطار بدوّامة كبيرة ويغادر بجوار المحور بدوّامة قليلة؛ وفرق تدفق العزم الحركي هو العزم على الدوّار. — على اليسار: مرشّة الحديقة — يغادر الماء الذراعين مماسيًّا بالسرعة النسبية $w$ ؛ والعزم الحركي الخارج يدير الذراعين في الجهة الأخرى. وعلى اليمين: عنفة ذات جريان داخل قطري (دوّار فرانسيس منظورًا على امتداد محوره): يدخل المائع عند الإطار بدوّامة كبيرة ويغادر بجوار المحور بدوّامة قليلة؛ وفرق تدفق العزم الحركي هو العزم على الدوّار.

5.3 موازنة الطاقة: المضخات والعنفات والضياعات

مبرهنة 5.9 (موازنة الطاقة الميكانيكية لجريان مستقر)

من أجل مائع لاانضغاطي في جريان مستقر عبر آلة (مضخة أو عنفة) بين مدخل 1 ومخرج 2، حيث $\mathcal P_u$ الاستطاعة الميكانيكية التي تقدّمها الأجزاء المتحركة إلى المائع (موجبة في المضخة، سالبة في العنفة) و $\mathcal P_{\text{مبددة}} \ge 0$ الاستطاعة المبدَّدة باللزوجة،

D_V\Bigl[\bigl(P_2 + \tfrac12\rho v_2^2 + \rho gz_2\bigr) - \bigl(P_1 + \tfrac12\rho v_1^2 + \rho gz_1\bigr)\Bigr] = \mathcal P_u - \mathcal P_{\text{مبددة}} .

وبالقسمة على $\rho gD_V$ نحصل على الموازنة معبَّرًا عنها بالعلوّات (بأمتار المائع): $H_2 - H_1 = H_{\text{مضخة}} - H_{\text{ضياع}}$ ، حيث $H = P/\rho g + v^2/2g + z$ . ومن أجل مائع مثالي بلا آلة تؤول إلى مبرهنة برنولي؛ والاستطاعة الهيدروليكية لمضخة ترفع العلو بالمقدار $H_{\text{مضخة}}$ هي $\rho gD_VH_{\text{مضخة}}$ .

برهان. مبرهنة الطاقة الحركية من أجل الجملة المغلقة الواردة في برهان المبرهنة 5.2: ففي $\dd t$ تتغير طاقتها الحركية بالمقدار $D_m\dd t\,(v_2^2 - v_1^2)/2$ ؛ والشغل المبذول عليها هو شغل الثقالة، $-D_m\dd t\,g(z_2 - z_1)$ ، وشغل قوى الضغط على الوجهين المتحركين، $(P_1S_1v_1 - P_2S_2v_2)\dd t = (P_1 - P_2)D_V\dd t$ ، وشغل الأجزاء المتحركة، $\mathcal P_u\dd t$ ، وشغل القوى اللزجة الداخلية، $-\mathcal P_{\text{مبددة}}\dd t$ (والجدران، وهي ساكنة، لا تبذل شغلًا). ثم نقسم على $\dd t$ . ∎

مثال 5.10 (تعويل مضخة)

يُراد رفع الماء $30\,\mathrm{m}$ بمعدل $20\,\mathrm{L}/\mathrm{s}$ عبر $100\,\mathrm{m}$ من أنبوب قطره $10\,\mathrm{cm}$ ( $\lambda = 0.02$ ): فيكون $v = 2.5\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ، وضياع العلو $\lambda(L/D) v^2/2g = 0.02 \times 1000 \times 0.32 = 6.4\,\mathrm{m}$ ، والعلو الحركي عند المخرج $0.32\,\mathrm{m}$ : ومنه $H_{\text{مضخة}} = 36.7\,\mathrm{m}$ ، والاستطاعة الهيدروليكية $\rho gD_VH = 7.2\,\mathrm{kW}$ ، و $10\,\mathrm{kW}$ من الكهرباء بمردود $70\%$ . والضغط عند مخرج المضخة هو $\rho gH_{\text{مضخة}} \approx 3.6\,\mathrm{bar}$ فوق ضغط المدخل.

قضية 5.11 (التوسّع المفاجئ: ضياع بوردا–كارنو)

حين ينفتح أنبوب مقطعه $S_1$ فجأةً في أنبوب مقطعه $S_2 > S_1$ ، ينتشر النفث في منطقة مضطربة ويرتفع الضغط في المصبّ، لكن أقل مما يقوله برنولي: فالطاقة الميكانيكية الضائعة في واحدة الحجم هي

\Delta P_{\text{ضياع}} = \tfrac12\rho(v_1 - v_2)^2 ,

وهي الطاقة الحركية للسرعة النسبية «الضائعة». والجريان الذي يغادر أنبوبًا إلى خزان كبير ( $v_2 \to 0$ ) يفقد طاقته الحركية كلها.

برهان. موازنة كمية الحركة على المائع بين التوسّع ومقطع في المصبّ يعود الجريان عنده منتظمًا؛ وتبيّن التجربة أن الضغط على الجدار الحلقي عند التوسّع هو $P_1$ (إذ لم ينتشر النفث بعد). ومنه $(P_1 - P_2)S_2 = D_m(v_2 - v_1) = \rho S_2v_2(v_2 - v_1)$ ، أي $P_2 - P_1 = \rho v_2(v_1 - v_2)$ . وكان برنولي ليعطي $\tfrac12\rho(v_1^2 - v_2^2)$ ؛ والفرق هو $\tfrac12\rho(v_1 - v_2)^2$ . ∎

على اليمين: توسّع مفاجئ — ينتشر النفث في منطقة ميتة مضطربة ويتبدد جزء من طاقته الحركية. وعلى اليسار: النسبتان الضائعة والمستعادة ضغطًا من الطاقة الحركية في المنبع، بدلالة نسبة المقطعين؛ والضياع أكبر ما يكون في نفث يصبّ في خزان.

طريقة 5.12 (كيف تُقام موازنة)

(1) ارسم حجم التحكم: وينبغي أن يقطع حدُّه الجريان حيث تكون السرعة والضغط معلومتين أو مطلوبتين فقط (مقاطع منتظمة، ونفوث حرة عند $P_0$ ، وأسطح حرة). (2) عدّد القوى الخارجية على المائع في الداخل: الثقل، وقوى الجدران (وهي المجهول المطلوب عادةً)، والضغط على المقاطع المقطوعة. (3) اكتب تدفق كمية الحركة الخارج ناقصًا الداخل؛ وفي الأجزاء المتحركة، اعمل في مرجع الجزء إن كان الجريان مستقرًّا فيه. (4) وللعزوم، موازنة العزم الحركي؛ وللاستطاعات، موازنة الطاقة بالعلوّات. (5) والقوة على الجدار معاكسة لقوة الجدار على المائع؛ وأضف الضغط الجوي المؤثر على خارج الجهاز إذا كانت القوة الصافية على الجهاز هي المطلوبة.

5.4 تمارين

تمرين 5.1 ★

خرطوم إطفاء يقدّم $25\,\mathrm{L}/\mathrm{s}$ عبر فوهة قطرها $3.0\,\mathrm{cm}$ . أوجد سرعة الخروج؛ وقوة رد الفعل على الفوهة؛ وقوة النفث على جدار يصطدم به عموديًّا؛ وعلى جدار يتراجع بالسرعة $10\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ .

حل

حل التمرين 5.1.

$s = 7.1\,\mathrm{cm}^{2}$ ، و $v = 0.025/7.1 \times 10^{-4} = 35\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ؛ و $F = D_mv = 25 \times 35 = 880\,\mathrm{N}$ على الفوهة وعلى الجدار؛ وأما الجدار المتراجع: $\rho s(v - u)^2 = 1000 \times 7.1 \times 10^{-4} \times 25.4^2 = 460\,\mathrm{N}$ .

تمرين 5.2 ★

يقذف محرك صاروخي $250\,\mathrm{kg}/\mathrm{s}$ بالسرعة $3.0\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ . أوجد الدفع؛ والتسارع الابتدائي لصاروخ كتلته $60\,\mathrm{t}$ ؛ والتسارع بعد احتراق $40\,\mathrm{t}$ من الوقود الدافع؛ والسرعة المكتسبة بعد ذلك الاحتراق (في الفضاء الحرّ، ثم مع الثقالة، ومدته $160\,\mathrm{s}$ ).

حل

حل التمرين 5.2.

$F = 250 \times 3000 = 750\,\mathrm{kN}$ ؛ و $a_0 = 750/60 - 9.81 = 2.7\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ ؛ وعند $20\,\mathrm{t}$ : $37.5 - 9.8 = 28\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ . و $\Delta v = 3000\ln3 = 3.3\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ في الفضاء الحرّ؛ ناقصًا $g\tau = 1.6\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ : أي $1.7\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ .

تمرين 5.3 ★

يجري الماء بالسرعة $2.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ وبالضغط $4.0\,\mathrm{bar}$ في أنبوب قطره $15\,\mathrm{cm}$ ينعطف بزاوية $90{}^{\circ}$ . أوجد القوة التي يؤثر بها الماء في الكوع (طويلةً وجهةً)؛ وأي جزء منها آتٍ من الضغط، وأي جزء من تغيّر كمية الحركة؟ والكوع نفسه والأنبوب مفتوح على الهواء بُعيد الانعطاف مباشرةً.

حل

حل التمرين 5.3.

$S = 177\,\mathrm{cm}^{2}$ : فيكون $PS = 7.1\,\mathrm{kN}$ ، و $\rho Sv^2 = 71\,\mathrm{N}$ . وكل مركّبة من القوة على الكوع هي $PS + \rho Sv^2 = 7.1\,\mathrm{kN}$ : أي $10\,\mathrm{kN}$ على امتداد منصّف الزاوية نحو الخارج، و $99\%$ منها ضغط. وبمخرج مفتوح (والضغط النسبي معدوم هناك): $7.1$ kN على امتداد جهة الدخول و $71\,\mathrm{N}$ على امتداد المخرج: أي $7.1\,\mathrm{kN}$ ، على محور الدخول تقريبًا.

تمرين 5.4 ★

محرك نفاث على منصة اختبار يبتلع $80\,\mathrm{kg}/\mathrm{s}$ من الهواء الساكن ويقذفه بالسرعة $550\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ (وكتلة الوقود مهمَلة). أوجد الدفع. وفي الطيران عند $240\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ، وسرعة القذف نفسها بالنسبة إلى المحرك: أوجد الدفع، والاستطاعة الدافعة، والاستطاعة الحركية الممنوحة للهواء في مرجع المحرك؛ ومردود الدفع.

حل

حل التمرين 5.4.

$F = 80 \times 550 = 44\,\mathrm{kN}$ . وفي الطيران: $F = 80(550 - 240) = 25\,\mathrm{kN}$ ، و $Fv = 6.0\,\mathrm{MW}$ ؛ و $\mathcal P_{\text{حركية}} = \tfrac12 \times 80 \times (550^2 - 240^2) = 9.8\,\mathrm{MW}$ ؛ و $\eta_p = 0.61 = 2 \times 240/790$ .

تمرين 5.5 ★★

عجلة بلتون. نفث تدفقه $0.50\,\mathrm{m}^{3}/\mathrm{s}$ وسرعته $60\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ يصطدم بأكواب عجلة نصف قطرها $0.80\,\mathrm{m}$ . (أ) أوجد القوة والاستطاعة على الأكواب عند سرعة كوب $u$ (بانحراف مثالي مقداره $180^\circ$ )؛ و $u$ الأمثل ومعدل الدوران الموافق بالدورة في الدقيقة. (ب) الاستطاعة والمردود عند الأمثل. (ج) والأكواب الحقيقية تحرف النفث بزاوية $165{}^{\circ}$ : أوجد القوة والاستطاعة عند $u = v/2$ ؛ والمردود. (د) العزم عند الأمثل؛ وماذا يحدث للعزم عند التوقف وعند سرعة الانفلات؟

حل

حل التمرين 5.5.

$D_m = 500\,\mathrm{kg}/\mathrm{s}$ . (أ) $F = 1000(60 - u)$ نيوتن، و $\mathcal P = 1000u(60 - u)$ ؛ و $u = 30\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ، و $\omega = 37.5$ rad/s $= 360\,\mathrm{rpm}$ . (ب) $900\,\mathrm{kW}$ $= \tfrac12D_mv^2$ : أي $100\%$ . (ج) $F = D_m(v - u)(1 + \cos15^\circ) = 29.5\,\mathrm{kN}$ ، و $\mathcal P = 885\,\mathrm{kW}$ ، و $98\%$ . (د) $\Gamma = FR = 24\,\mathrm{kN}\,\mathrm{m}$ ؛ وعند التوقف تتضاعف القوة ( $\Gamma = 48\,\mathrm{kN}\,\mathrm{m}$ )؛ وعند $u = v$ تنعدم القوة والعزم.

تمرين 5.6 ★★

المرشّة. ذراعان طولهما $15\,\mathrm{cm}$ ينتهيان بفوهتين قطرهما $3.0\,\mathrm{mm}$ ؛ والتدفق الكلي $0.20\,\mathrm{L}/\mathrm{s}$ . (أ) سرعة الخروج النسبية. (ب) العزم عند السكون. (ج) معدل الدوران مع عزم احتكاك في المحمل مقداره $5.0 \times 10^{-3}\,\mathrm{N}\,\mathrm{m}$ ؛ والمعدل الحدّي دون احتكاك. (د) السرعة المطلقة للماء المغادر، في كل حالة.

حل

حل التمرين 5.6.

(أ) $s = 7.1\,\mathrm{mm}^{2}$ لكل فوهة، و $0.10\,\mathrm{L}/\mathrm{s}$ لكل منهما: ومنه $w = 14\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ . (ب) $\Gamma_0 = D_mRw = 0.2 \times 0.15 \times 14 = 0.42\,\mathrm{N}\,\mathrm{m}$ . (ج) $D_mR(w - R\omega) = 5 \times 10^{-3}$ : ومنه $w - R\omega = 0.17\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ، و $\omega = 93\,\mathrm{rad}/\mathrm{s} \approx 890\,\mathrm{rpm}$ ؛ ودون احتكاك $R\omega = w$ : أي $900\,\mathrm{rpm}$ . (د) $0.17\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ إلى الخلف، ثم صفر: فيسقط الماء شاقوليًّا.

تمرين 5.7 ★★

التحويم. مروحية كتلتها $2.0\,\mathrm{t}$ تحوم بدوّار قطره $10\,\mathrm{m}$ . ونمذج الدوّار قرصًا يأخذ الهواء الساكن ويدفعه نزولًا بسرعة منتظمة $v_i$ عند القرص، و $2v_i$ بعيدًا في الأسفل (وسلّم بالمعامل 2). (أ) أوجد الدفع بدلالة $\rho$ و $A$ و $v_i$ ؛ وقيمة $v_i$ . (ب) الاستطاعة الممنوحة للهواء (أي استطاعته الحركية بعيدًا في الأسفل). (ج) ولماذا يحتاج الدوّار الأكبر إلى استطاعة أقل؟ (د) والحساب نفسه من أجل مسيَّرة كتلتها $1\,\mathrm{kg}$ بأربع مراوح قطرها $25\,\mathrm{cm}$ ؛ وقارن نسبة الاستطاعة إلى الثقل.

حل

حل التمرين 5.7.

(أ) $D_m = \rho Av_i$ ، وتدفق كمية الحركة $D_m\cdot2v_i$ : ومنه $T = 2\rho Av_i^2$ ؛ و $A = 78.5\,\mathrm{m}^{2}$ ، و $T = 19.6\,\mathrm{kN}$ : أي $v_i = 10\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ . (ب) $\mathcal P = \tfrac12D_m(2v_i)^2 = Tv_i = 200\,\mathrm{kW}$ . (ج) $\mathcal P = T^{3/2}/\sqrt{2\rho A}$ : فمضاعفة المساحة تقسم الاستطاعة المحرَّضة على $\sqrt2$ — إذ يحرّك دوّار أكبر هواءً أكثر أبطأ. (د) $A = 0.20\,\mathrm{m}^{2}$ ، و $v_i = \sqrt{9.81/0.47} = 4.6\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ، و $\mathcal P = 45\,\mathrm{W}$ : أي $45\,\mathrm{W}/\mathrm{kg}$ مقابل $100\,\mathrm{W}/\mathrm{kg}$ — فحمولة القرص $T/A$ أدنى.

تمرين 5.8 ★★

التوسّع المفاجئ. ماء بسرعة $4.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ في أنبوب قطره $5\,\mathrm{cm}$ يدخل أنبوبًا قطره $10\,\mathrm{cm}$ . (أ) أوجد السرعة في المصبّ؛ وارتفاع الضغط بحسب برنولي وبحسب بوردا–كارنو؛ والضياع بالباسكال وبأمتار العلو. (ب) والتوسّع نفسه مصنوعًا تدريجيًّا (موسّع) يستعيد $80\%$ من ارتفاع برنولي: فما الضياع؟ (ج) والضياع حين يصبّ الأنبوب ذو $5\,\mathrm{cm}$ في خزان كبير. (د) الاستطاعة الضائعة في الحالتين (أ) و (ج) عند التدفق المعطى.

حل

حل التمرين 5.8.

(أ) $v_2 = 1.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ؛ وببرنولي $\tfrac12\rho(16 - 1) = 7.5\,\mathrm{kPa}$ ؛ والفعلي $\rho v_2(v_1 - v_2) = 3.0\,\mathrm{kPa}$ ؛ والضياع $4.5\,\mathrm{kPa}$ $= 0.46\,\mathrm{m}$ . (ب) $6$ kPa مستعادة، و $1.5\,\mathrm{kPa}$ ضائعة. (ج) $\tfrac12\rho v_1^2 = 8\,\mathrm{kPa}$ ، أي $0.82\,\mathrm{m}$ . (د) $D_V = 7.9\,\mathrm{L}/\mathrm{s}$ : أي $35\,\mathrm{W}$ و $63\,\mathrm{W}$ .

تمرين 5.9 ★★

مضخة تسحب الماء من بئر يقع $5.0\,\mathrm{m}$ تحتها وتقدّم $10\,\mathrm{L}/\mathrm{s}$ إلى خزان يعلوها $25\,\mathrm{m}$ عبر $60\,\mathrm{m}$ من أنبوب قطره $6\,\mathrm{cm}$ ( $\lambda = 0.025$ ، مضافًا إليه ضياع موضعي مقداره $2\,v^2/2g$ للوصلات). (أ) السرعة والضياعات. (ب) علو المضخة واستطاعتها الهيدروليكية؛ واستطاعة العمود عند مردود $65\%$ . (ج) الضغط عند مدخل المضخة (جهة السحب) وعند مخرجها. (د) وضغط بخار الماء $2.3\,\mathrm{kPa}$ : فما الارتفاع الأعظمي للمضخة فوق البئر؟

حل

حل التمرين 5.9.

(أ) $v = 0.01/2.83 \times 10^{-3} = 3.5\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ، و $v^2/2g = 0.64\,\mathrm{m}$ ؛ والاحتكاك $0.025 \times 1000 \times 0.64 = 16\,\mathrm{m}$ ، والوصلات $1.3\,\mathrm{m}$ : أي $17.3\,\mathrm{m}$ . (ب) $H = 30 + 17.3 + 0.64 = 48\,\mathrm{m}$ ؛ و $\rho gD_VH = 4.7\,\mathrm{kW}$ ؛ و $7.2\,\mathrm{kW}$ عند العمود. (ج) المدخل (بلا ضياعات سحب): $P_0 - \rho g(5 + 0.64) = 45\,\mathrm{kPa}$ ؛ والمخرج $45 + 470 = 515\,\mathrm{kPa}$ . (د) $P_{\text{المدخل}} \ge 2.3\,\mathrm{kPa}$ : ومنه $h \le (100 - 2.3)/9.81 - 0.64 = 9.3\,\mathrm{m}$ (وأقل مع ضياعات السحب؛ و $7$ – $8\,\mathrm{m}$ عمليًّا).

تمرين 5.10 ★★★

الصاروخ المائي. قارورة سعتها $2.0\,\mathrm{L}$ فيها $1.0\,\mathrm{L}$ من الماء وهواء عند $5.0\,\mathrm{bar}$ (مطلقًا)؛ وقطر الفوهة $2.2\,\mathrm{cm}$ ؛ وكتلة القارورة الفارغة $0.10\,\mathrm{kg}$ . (أ) أوجد سرعة الخروج الابتدائية (ببرنولي، وسطح الماء ساكن) والدفع؛ والتسارع الابتدائي. (ب) وبمغادرة الماء يتمدد الهواء تمددًا متساوي الحرارة: أوجد الضغط وسرعة الخروج حين يغادر نصف الماء. (ج) قدّر مدة الاندفاع والسرعة المبلوغة (بإهمال الثقالة والإعاقة، ومعاملة الدفع بقيمته الوسطى). (د) وماذا تفعل القارورة الفارغة بعد نفاد الماء، ولماذا يعطي قليل من الماء (لا كثيره) أفضل ارتفاع؟

حل

حل التمرين 5.10.

(أ) $v = \sqrt{2 \times 4 \times 10^5/1000} = 28\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ؛ و $s = 3.8\,\mathrm{cm}^{2}$ ، و $D_m = 10.8\,\mathrm{kg}/\mathrm{s}$ ، و $F = D_mv = 2\Delta P\,s = 300\,\mathrm{N}$ ؛ و $a = 300/1.1 - 9.8 = 260\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ . (ب) والهواء عند $1.5\,\mathrm{L}$ : $P = 3.3\,\mathrm{bar}$ ، و $v = \sqrt{2 \times 2.3 \times 10^5/1000} = 22\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ . (ج) وسرعة الخروج الوسطى $\approx 22\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ : فالاندفاع $\approx 10^{-3} /(3.8 \times 10^{-4} \times 22) = 0.12\,\mathrm{s}$ ؛ وبمعادلة الصاروخ مع $v_e \approx 22\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ : $\Delta v \approx 22\ln(1.1/0.1) = 50\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ . (د) وينفث الهواء الباقي عند $2.5\,\mathrm{bar}$ فيضيف قليلًا؛ وكثرة الماء تترك هواءً قليلًا فينهار الضغط باكرًا، وقلّته تترك كتلة قليلة تُرمى — والثلث من الحجم هو الأفضل.

تمرين 5.11 ★★★

عنفة فرانسيس. يدخل الماء الدوّار عند $r_1 = 1.0\,\mathrm{m}$ بسرعة $v_{\theta1} = 20\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ويغادر عند $r_2 = 0.50\,\mathrm{m}$ بلا دوّامة؛ والتدفق $30\,\mathrm{m}^{3}/\mathrm{s}$ ؛ والدوران $150\,\mathrm{rpm}$ . (أ) أوجد العزم والاستطاعة. (ب) العلو المستخرَج، $H = \mathcal P/\rho gD_V$ . (ج) ولو دار الدوّار عند $200\,\mathrm{rpm}$ بسرعة الدخول نفسها وصارت دوّامة الخروج $v_{\theta2} = 3\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ في جهة الدوران: أوجد الاستطاعة والنسبة من العلو المتحولة إلى دوّامة خروج عديمة النفع. (د) ولماذا تُستعمل عجلة بلتون في العلوّات الكبيرة والتدفقات الصغيرة، وفرانسيس في العكس؟

حل

حل التمرين 5.11.

(أ) $\Gamma = D_mr_1v_{\theta1} = 3 \times 10^4 \times 20 = 600\,\mathrm{kN}\,\mathrm{m}$ ، و $\omega = 15.7$ rad/s، و $\mathcal P = 9.4\,\mathrm{MW}$ . (ب) $H = \mathcal P/\rho gD_V = 32\,\mathrm{m}$ . (ج) $\Gamma = 3 \times 10^4(20 - 1.5) = 555\,\mathrm{kN}\,\mathrm{m}$ ، و $\mathcal P = 11.6\,\mathrm{MW}$ (والعلو $39\,\mathrm{m}$ )؛ وتحمل دوّامة الخروج $v_{\theta2}^2/2g = 0.46\,\mathrm{m}$ ، أي نحو $1\%$ . (د) ونفث بلتون عند الضغط الجوي: فيحتاج إلى علو كبير ليكون سريعًا، وتدفقه محدود بالفوهة؛ وأما دوّار فرانسيس فمملوء بالماء تحت ضغط ويمرّر تدفقات كبيرة عند علوّات معتدلة.

تمرين 5.12 ★★★

القفزة الهيدروليكية. في قناة أفقية عرضها الواحدة، ماء عمقه $h_1$ يجري بالسرعة $v_1$ يقفز فجأةً إلى العمق $h_2$ والسرعة $v_2$ (وهي الدرجة المزبدة أسفل الهدّار أو في حوض المطبخ). (أ) اكتب انحفاظ الكتلة. (ب) وموازنة كمية الحركة على المائع بين جانبي القفزة، والضغط هيدروستاتيكي على كل جانب: بيّن أن $\tfrac12gh_1^2 + v_1^2h_1 = \tfrac12gh_2^2 + v_2^2h_2$ . (ج) استنتج $h_2/h_1 = \tfrac12\bigl(-1 + \sqrt{1 + 8\,\mathrm{Fr}_1^2}\bigr)$ حيث $\mathrm{Fr}_1 = v_1/\sqrt{gh_1}$ (وهو عدد فرود)؛ والقفزة تقتضي $\mathrm{Fr}_1 > 1$ . (د) العلو الضائع في القفزة، $\Delta H = (h_2 - h_1)^3/4h_1h_2$ ؛ والقيم من أجل $h_1 = 0.20\,\mathrm{m}$ و $v_1 = 4.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ، والاستطاعة المبدَّدة في المتر من العرض.

حل

حل التمرين 5.12.

(أ) $v_1h_1 = v_2h_2 = q$ . (ب) القوة الهيدروستاتيكية في واحدة العرض على مقطع $\int_0^h\rho g(h - z)\dd z = \tfrac12\rho gh^2$ ؛ وكمية الحركة: $\tfrac12\rho g(h_1^2 - h_2^2) = \rho q(v_2 - v_1)$ ؛ ثم نقسم على $\rho$ ونستعمل $q = v_1h_1 = v_2h_2$ . (ج) ومع $v_2 = v_1h_1/h_2$ و $h_1 \ne h_2$ : $\tfrac12g(h_1 + h_2)h_2 = v_1^2h_1$ ، أي $(h_2/h_1)^2 + h_2/h_1 - 2\mathrm{Fr}_1^2 = 0$ ؛ ويقتضي $h_2 > h_1$ أن يكون $\mathrm{Fr}_1 > 1$ . (د) $\Delta H = (h_1 + v_1^2/2g) - (h_2 + v_2^2/2g) = (h_2 - h_1)^3/4h_1h_2$ . و $\mathrm{Fr}_1 = 2.86$ ، و $h_2/h_1 = 3.57$ ، و $h_2 = 0.71\,\mathrm{m}$ ، و $v_2 = 1.1\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ، و $\Delta H = 0.514^3/0.57 = 0.24\,\mathrm{m}$ ؛ و $\rho gq\,\Delta H = 1.9\,\mathrm{kW}$ في المتر من العرض.

دوّار عنفة بلتون: يردّ كل كوب النفث بزاوية تقارب 180، وتغيّر كمية حركة الماء هو القوة على العجلة. — دوّار عنفة بلتون: يردّ كل كوب النفث بزاوية تقارب $180^\circ$ ، وتغيّر كمية حركة الماء هو القوة على العجلة.

أنابيب جرّ محطة كهرمائية تغذّي العنفات في الأسفل: موازنة كمية حركة النفث على أكواب عجلة بلتون تحوّل علو الماء إلى شغل على العمود.

5.5 مسألة: النفوث والصواريخ والدوّارات

مسألة 5.1

مسألة نهاية الأسبوع — ما الذي يدفع طائرة نفاثة، وما الذي يرفع صاروخًا، وما الذي يدير عنفة، وكم يكلّف ضخّ الماء إلى أعلى

الجزء I — المحرك النفاث التوربيني. محرك على منصة اختبار يأخذ $D_a = 50\,\mathrm{kg}/\mathrm{s}$ من الهواء الساكن، ويحرق $D_f = 1.0\,\mathrm{kg}/\mathrm{s}$ من الوقود، ويقذف المزيج بالسرعة $v_e = 600\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ عند الضغط الجوي.

الدفع على منصة الاختبار.
وفي الطيران عند $v = 250\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ (و $v_e$ نفسها بالنسبة إلى المحرك): الدفع، والاستطاعة الدافعة $Fv$ .
الاستطاعة الحركية الممنوحة للغاز، محسوبةً في مرجع المحرك. ومردود الدفع $\eta_p = Fv/\mathcal P_{\text{حركية}}$ ؛ بيّن أنه، بإهمال كتلة الوقود، $\eta_p = 2v/(v + v_e)$ .
ويحرّر الوقود $43\,\mathrm{MJ}/\mathrm{kg}$ : أوجد المردود الحراري للمحرك (الاستطاعة الحركية على الاستطاعة الحرارية) والمردود الكلي.
ومحرك مروحي توربيني يستعمل الاستطاعة الحركية نفسها لتسريع $500\,\mathrm{kg}/\mathrm{s}$ من الهواء: أوجد سرعة القذف والدفع و $\eta_p$ عند $250\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ . ولماذا لطائرات الركاب مراوح ضخمة؟
ولماذا لا يستطيع محرك نفاث توربيني أن يؤدي عمل صاروخ فوق الغلاف الجوي؟
ويحرف الدفع العكسي عند الهبوط جريان المروحة إلى الأمام بزاوية $45{}^{\circ}$ عن المحور: أوجد قوة الكبح للمحرك المروحي في السؤال 5 عند $70\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ، وقذف المروحة عندئذ $150\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ بالنسبة إلى المحرك؛ وقارنها بالدفع الأمامي الذي كان الجريان نفسه ليعطيه.

الجزء II — الصاروخ. صاروخ ذو مرحلة واحدة: كتلته الابتدائية $m_0 = 300\,\mathrm{t}$ ، والوقود الدافع $200\,\mathrm{t}$ ، وسرعة القذف $v_e = 3.0\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ ، ومدة الاندفاع $\tau = 150\,\mathrm{s}$ بتدفق كتلي ثابت.

طبّق موازنة كمية الحركة على الصاروخ مع الغاز المقذوف في $\dd t$ لتستنتج $m\,\dd v/\dd t = D_mv_e - mg$ من أجل طيران شاقولي.
التدفق الكتلي، والدفع، والتسارع عند الإقلاع وعند نهاية الاندفاع.
كامِل لتحصل على السرعة عند نهاية الاندفاع؛ وما «ضياع الثقالة»؟
السرعة عند نهاية الاندفاع للصاروخ نفسه مقسومًا مرحلتين فيهما $100\,\mathrm{t}$ من الوقود الدافع لكل منهما، وتُلقى الكتلة الفارغة للمرحلة الأولى ( $20\,\mathrm{t}$ ) قبل إشعال الثانية (وأهمل الثقالة هنا): وقارن بالمرحلة الواحدة.
وأي سرعة قذف تلزم مرحلةً واحدة لبلوغ السرعة المدارية ( $7.8\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ ، بإهمال الثقالة) بنسبة الكتل نفسها؟ علّق على اختيار الوقود الدافع.
وعند الإقلاع يصطدم نفث القذف ( $1333\,\mathrm{kg}/\mathrm{s}$ عند $3\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ ) بحارف اللهب في المنصة فيُحرَف أفقيًّا: فما القوة على الحارف؟
وقذف الصاروخ جريان مائع أيضًا: فلماذا يتزايد الدفع مع الارتفاع في فوهة حقيقية (فكّر في الضغط على مقطع مخرج الفوهة)؟

الجزء III — عجلة بلتون. نفث محطة الفصل السابق: $D_V = 60\,\mathrm{m}^{3}/\mathrm{s}$ عند $v = 62.6\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ، موزَّعًا على عجلتين؛ ولكل عجلة نصف قطر $R = 1.5\,\mathrm{m}$ وأكواب تحرف النفث بزاوية $165{}^{\circ}$ .

القوة على أكواب عجلة واحدة عند سرعة كوب $u$ ، والاستطاعة؛ و $u$ الأمثل.
معدل الدوران عند الأمثل، بالدورة في الدقيقة؛ والعزم على العمود.
وعلى المولّد أن يدور بمضاعف للتواتر $50\,\mathrm{Hz}$ مقسومًا على عدد أزواج أقطابه: فاختر عدد أزواج الأقطاب.
استطاعة عجلة واحدة والمردود بالنسبة إلى الاستطاعة الحركية للنفث؛ والاستطاعة الكهربائية الكلية عند مردود مولّد $95\%$ .
وباستعمال موازنة العزم الحركي (معادلة أويلر للعنفات) على كوب عند الأمثل: أوجد العزم الحركي للماء الداخل والمغادر، في الكيلوغرام، وتحقق من العزم.
ويسقط الحمل فجأةً فتنفلت العجلة نحو $u = v$ : فماذا يحدث للقوة وللعزم، ولماذا يكون الحارف الذي يحوّل النفث جزءًا من كل محطة بلتون؟

الجزء IV — الضخّ إلى أعلى. تُستعمل المحطة للتخزين أيضًا: فبالليل يُضخّ $40\,\mathrm{m}^{3}/\mathrm{s}$ صعودًا عبر أنبوب الجرّ ( $400\,\mathrm{m}$ ، و $3\,\mathrm{m}$ ، و $\lambda = 0.015$ ) إلى الخزان الذي يعلو $200\,\mathrm{m}$ .

ضياعات العلو في أنبوب الجرّ عند $40\,\mathrm{m}^{3}/\mathrm{s}$ ؛ وعلو المضخة اللازم.
الاستطاعة الهيدروليكية، والاستطاعة الكهربائية المسحوبة عند مردود مضخة $88\%$ .
الضغط في أسفل أنبوب الجرّ أثناء الضخّ؛ وقارنه بقيمته في نظام العنفة (في الفصل السابق).
الطاقة المخزَّنة في ليلة مدتها $8\,\mathrm{h}$ (أي الطاقة الكامنة للماء المرفوع)؛ ومردود الدورة الكاملة للتخزين إذا استعاد نظام العنفة $90\%$ من العلو المتاح والمولّد $95\%$ .
لخّص الموازنات الأربع المستعملة في هذه المسألة (كمية الحركة، والعزم الحركي، والطاقة، والكتلة) والجهاز الذي عوّلته كل منها.

حل

حل المسألة 5.1.

1. $F = (D_a + D_f)v_e = 51 \times 600 = 30.6\,\mathrm{kN}$ .

2. $F = 51 \times 600 - 50 \times 250 = 18.1\,\mathrm{kN}$ ؛ و $Fv = 4.5\,\mathrm{MW}$ .

3. $\mathcal P_{\text{حركية}} = \tfrac12 \times 51 \times 600^2 - \tfrac12 \times 50 \times 250^2 = 7.6\,\mathrm{MW}$ ؛ و $\eta_p = 0.59$ . ومع $D_f = 0$ : $\eta_p = 2v(v_e - v)/(v_e^2 - v^2) = 2v/(v_e + v) = 500/850$ .

4. الحرارة $43\,\mathrm{MW}$ : فالحراري $7.6/43 = 18\%$ ؛ والكلي $4.5/43 = 10\%$ .

5. $\tfrac12 \times 500(v_e'^2 - 250^2) = 7.6 \times 10^6$ : ومنه $v_e' = 305\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ؛ و $F = 500 \times 55 = 27.5\,\mathrm{kN}$ ؛ و $\eta_p = 500/555 = 0.90$ . فتحريك هواء أكثر أبطأ يعطي دفعًا أكبر بالاستطاعة نفسها: ومن هنا المراوح.

6. لأنه يحتاج إلى الهواء الخارجي مائعًا عاملًا ومؤكسدًا معًا؛ وأما الصاروخ فيحمل الاثنين.

7. يدخل الهواء بالسرعة $70\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ (إلى الخلف في مرجع المحرك) ويغادر بمركّبة أمامية $150\cos45^\circ = 106\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ : فكمية الحركة الممنوحة للهواء إلى الأمام، أي $500(106 + 70) = 88\,\mathrm{kN}$ من الكبح؛ والجريان نفسه مقذوفًا إلى الخلف كان ليعطي $500(150 - 70) = 40\,\mathrm{kN}$ من الدفع.

8. على امتداد $\dd t$ تعطي الجملة (الصاروخ $m$ مع الغاز $D_m\dd t$ المقذوف عند $v - v_e$ ): $(m - D_m\dd t)(v + \dd v) + D_m\dd t(v - v_e) - mv = -mg\,\dd t$ ، ومنه $m\,\dd v/\dd t = D_mv_e - mg$ .

9. $D_m = 1333\,\mathrm{kg}/\mathrm{s}$ ؛ و $F = 4.0\,\mathrm{MN}$ ؛ و $a = 13.3 - 9.8 = 3.5\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ عند الإقلاع، و $40 - 9.8 = 30\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ عند نهاية الاندفاع.

10. $v = v_e\ln(m_0/m) - gt$ : أي $3000\ln3 - 9.81 \times 150 = 3296 - 1472 = 1.8\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ ؛ وضياع الثقالة $1.5\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ .

11. المرحلة 1: $3000\ln(300/200) = 1.2\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ ؛ ثم إلقاء $20\,\mathrm{t}$ ؛ والمرحلة 2: $3000\ln(180/80) = 2.4\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ : أي $3.6\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ مقابل $3.3\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ للمرحلة الواحدة (ومع الثقالة تتسع الفجوة).

12. $v_e = 7800/\ln3 = 7.1\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ : ولا يبلغها أي وقود دافع كيميائي (فالهيدروجين مع الأكسجين يعطي $4.5\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ )؛ فالتقسيم مراحل واجب.

13. يُنزع تدفق كمية الحركة الشاقولي للنفث $D_mv = 4.0\,\mathrm{MN}$ ويُنشأ مثله أفقيًّا: أي قوة $4\,\mathrm{MN}$ نحو الأسفل مع $4\,\mathrm{MN}$ جانبيًّا، و $5.7\,\mathrm{MN}$ في المجموع.

14. تتضمن الموازنة على المحرك الحدَّ $(P_e - P_0)S_e$ على مقطع المخرج؛ وبهبوط $P_0$ مع الارتفاع ينمو هذا الحدّ: فيرتفع الدفع بنحو $10$ – $15\%$ في الخلاء.

15. $D_m = 3 \times 10^{4}\,\mathrm{kg}/\mathrm{s}$ لكل عجلة: $F = D_m(v - u)(1 + \cos15^\circ) = 1.97 \times 3 \times 10^4(62.6 - u)$ ؛ و $\mathcal P = Fu$ ، أعظمية عند $u = v/2 = 31.3\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ .

16. $\omega = u/R = 20.9$ rad/s $= 199\,\mathrm{rpm}$ ؛ و $F = 1.85\,\mathrm{MN}$ ، و $\Gamma = FR = 2.8\,\mathrm{MN}\,\mathrm{m}$ .

17. $f = pn/60$ : ومنه $p = 3000/199 \approx 15$ زوج أقطاب، و $n = 200\,\mathrm{rpm}$ .

18. $\mathcal P = Fu = 58\,\mathrm{MW}$ ؛ واستطاعة النفث $\tfrac12D_mv^2 = 59\,\mathrm{MW}$ : أي $98\%$ ؛ و $2 \times 58 \times 0.95 = 110\,\mathrm{MW}$ .

19. الداخل: $Rv = 94\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$ في الكيلوغرام. والخارج: السرعة السمتية المطلقة $u - (v - u)\cos15^\circ = 1.1\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ، أي $1.6\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$ . ومنه $\Gamma = D_m(94 - 1.6) = 2.8\,\mathrm{MN}\,\mathrm{m}$ — كما في السؤال 16.

20. حين $u \to v$ تنعدم السرعة النسبية والقوة والعزم: فلا شيء يكبح العجلة، فتفرط في السرعة؛ ويرمي الحارف النفث بعيدًا عن الأكواب في أقل من ثانية بينما ينغلق صمام الإبرة ببطء يكفي لتجنّب الصدمة المائية.

21. $v = 5.7\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ، و $v^2/2g = 1.6\,\mathrm{m}$ ؛ والضياع $0.015 \times 133 \times 1.6 = 3.3\,\mathrm{m}$ ؛ وعلو المضخة $200 + 3.3 + 1.6 = 205\,\mathrm{m}$ .

22. $\rho gD_VH = 9810 \times 40 \times 205 = 80\,\mathrm{MW}$ ؛ و $91\,\mathrm{MW}$ كهربائية.

23. $P = P_0 + \rho g(200 + 3.3) + \tfrac12\rho v^2 \approx 21\,\mathrm{bar}$ مطلقًا، مقابل $20.3\,\mathrm{bar}$ في نظام العنفة: فالضياعات تُضاف الآن إلى العلو السكوني بدل أن تُطرح منه.

24. $V = 40 \times 28800 = 1.15 \times 10^{6}\,\mathrm{m}^{3}$ ، و $E = \rho gV \times 200 = 2.3 \times 10^{12}\,\mathrm{J} = 630\,\mathrm{MWh}$ ؛ والمستهلَك $91 \times 8 = 730\,\mathrm{MWh}$ ؛ والمستعاد $630 \times 0.9 \times 0.95 = 540\,\mathrm{MWh}$ : فمردود الدورة الكاملة $74\%$ .

25. كمية الحركة: دفع المحرك النفاث ودفع الصاروخ، وقوة بلتون. والعزم الحركي: عزم العنفة (أويلر). والطاقة: علو المضخة واستطاعتها، ومردود التخزين. والكتلة: كل تدفق، وفقد الصاروخ لكتلته.

المصطلحات المعرَّفة في هذا الفصل

حجم التحكم؛ الجملة المفتوحة

عرض كل المصطلحات (393) في المسرد