الفيزياء الجامعية — السنة الثانية · Bachelor Year 2

15الانعكاس والنفاذ عند السطوح الفاصلة

يعصر مصوّر الصدى هلامًا بين المسبار والجلد: فلولاه لارتدّ الصوت عن غشاء الهواء ولما دخل الجسم أبدًا. وتُطلى عدسة كاميرا بغشاء سماكته ربع طول موجة، فتكفّ سطوحها عن الانعكاس. وتلقى موجة راديوية الأيونوسفير فتعود؛ ويلقى الضوء مرآة فضية فيعود؛ وتبلغ نبضة طرف كابل فتعود مقلوبة أو قائمة بحسب ما يُوصَل هناك. فكل موجة، إذ تلقى تغيّرًا في الوسط، تنقسم إلى جزء منعكس وجزء نافذ، وتقرّر فكرة واحدة النصيبين: شروط الاتصال عند السطح الفاصل، مكتوبةً بممانعتي الوسطين. وهذا الفصل يطبّقها على الصوت، وعلى الضوء بين عازلين، وعلى بلازما، وعلى معدن، وعلى كابل، ويستخرج منها قانوني الانعكاس و الانكسار والزاوية الوحيدة التي لا يعكس عندها الزجاج شيئًا.

عدسة كاميرا متعددة الطلاء: الانعكاسات الأرجوانية والخضراء الخافتة هي ما بقي من الأربعة بالمئة التي كان سيعيدها كل سطح زجاجي عارٍ.

15.1 الورود الناظمي: قاعدة الممانعة

مبرهنة 15.1 (الانعكاس والنفاذ عند الورود الناظمي)

موجة مستوية تنتقل في الوسط 1 نحو السطح الفاصل المستوي $x = 0$ مع الوسط 2؛ ويُميَّز كل وسط بممانعة $Z_i$ (وهي نسبة المقدارين المتصلين عند السطح الفاصل — الضغط و السرعة في الصوت، و $E$ و $H = B/\mu_0$ في الضوء، والتوتر والتيار في خط). ويعطي اتصال المقدارين عند $x = 0$ ، من أجل المقدار «الشبيه بالقوة» (أي الضغط، أو $E$ ، أو $v$ )،

r = \frac{Z_2 - Z_1}{Z_2 + Z_1} , \qquad t = \frac{2Z_2}{Z_2 + Z_1} , \qquad R = r^2 , \quad T = \frac{4Z_1Z_2}{(Z_1 + Z_2)^2} , \quad R + T = 1 .

(وأما المقدار «الشبيه بالجريان» — أي السرعة، أو $H$ ، أو التيار — فتنقلب إشارة $r$ فيه.) ولا ينعكس شيء حين $Z_1 = Z_2$ (أي وسطان موائمان)؛ ويكاد ينعكس كل شيء حين $Z_2 \gg Z_1$ ( $r \to +1$ ) أو $Z_2 \ll Z_1$ ( $r \to -1$ ).

برهان. الواردة $p_i = A\cos(\omega t - k_1x)$ ، والمنعكسة $p_r = rA\cos(\omega t + k_1x)$ ، والنافذة $p_t = tA\cos(\omega t - k_2x)$ ، وبالتواتر نفسه. ومقادير الجريان المرافقة هي $p/Z_1$ و $-p_r/Z_1$ (فالموجة الراجعة تحمل $v = -p/Z$ ) و $p_t/Z_2$ . والاتصال عند $x = 0$ : $1 + r = t$ و $(1 - r)/Z_1 = t/Z_2$ ؛ ثم نحلّ. وأما الطاقات: فالشدّات $p^2/Z$ ، ومنه $R = r^2$ و $T = t^2Z_1/Z_2$ . ∎

مثال 15.2 (الصوت عند ثلاثة سطوح فاصلة)

الهواء ( $Z = 410\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-2}\,\mathrm{s}^{-1}$ ) إلى الماء ( $1.5 \times 10^6$ ): $r = 0.9995$ ، و $T = 1.1 \times 10^{-3}$ — أي $99.9\%$ منعكسة؛ فلا يكاد السابح يسمع شيئًا من العالم فوقه، ويحتاج مسبار الأمواج فوق الصوتية إلى هلامه. والنسيج ( $1.6 \times 10^6$ ) إلى العظم ( $7 \times 10^6$ ): $r = 0.63$ ، و $T = 0.6$ . والشحم ( $1.38 \times 10^6$ ) إلى العضل ( $1.70 \times 10^6$ ): $r = 0.10$ ، و $R = 1\%$ — وهي الأصداء الخافتة التي تُصنع منها الصورة. ووتر مربوط إلى جدار ( $Z_2 \to \infty$ ): $r = +1$ من أجل القوة، و $-1$ من أجل السرعة، فتعود النبضة مقلوبة (الفصل 6).

قضية 15.3 (الضوء عند الورود الناظمي؛ الطلاء المضاد للانعكاس)

من أجل الضوء بين وسطين شفافين قرينتاهما $n_1$ و $n_2$ (وممانعة العازل $Z = \sqrt{\mu_0/\varepsilon_0}/n$ ، أي تتناسب عكسًا مع $n$ )، يكون من أجل المجال الكهربائي

r = \frac{n_1 - n_2}{n_1 + n_2} , \qquad R = \Bigl(\frac{n_1 - n_2}{n_1 + n_2}\Bigr)^2 :

أي $4\%$ عند كل سطح بين الهواء والزجاج، و $2\%$ للماء، و $17\%$ للماس. و طبقة قرينتها $n = \sqrt{n_1n_2}$ وسماكتها $\lambda/4n$ بين الوسطين تُلغي الانعكاس عند $\lambda$ (وهي الطلاء ربع الموجي المضاد للانعكاس): إذ تكون الموجتان المنعكستان عند وجهيها متساويتي السعة ومتعاكستي الطور. والطبقة نفسها بقرينة عالية، أو رصة من طبقات ربع موجية متناوبة، تفعل العكس وتبني مرآة تعكس $99.99\%$ — وهي مرايا الليزر.

برهان. اتصال $\vect E$ و $\vect B$ المماسيين (بلا تيار سطحي): $E_i + E_r = E_t$ و $B_i - B_r = B_t$ مع $B = nE/c$ في كل وسط، أي قاعدة الممانعة مع $Z \propto 1/n$ . وأما الطلاء: فالسعتان المنعكستان $(n_1 - n)/(n_1 + n)$ و $(n - n_2)/(n + n_2)$ ، وتتساويان حين $n^2 = n_1n_2$ ؛ وتضيف رحلة ذهاب وإياب في الطبقة الطور $2\times2\pi n(\lambda/4n)/\lambda = \pi$ ، فتتلاشيان (وأما الانعكاسات المتعددة، وهي صغيرة، فمدرجة في المعالجة التامة في التمرين 15.5). ∎

على اليسار: الورود الناظمي على سطح فاصل — تنتج السعات من اتصال المقدارين الميدانيين، عبر الممانعتين. وعلى اليمين: الطبقة ربع الموجية المضادة للانعكاس — تتلاشى الموجتان المنعكستان.

15.2 الورود المائل: قانونا ديكارت وزاوية بروستر

مبرهنة 15.4 (قانونا الانعكاس والانكسار)

موجة مستوية متجهتها الموجية $\vect k_i$ تلقى السطح الفاصل المستوي بين وسطين تنتقل فيهما الأمواج بالسرعتين $v_1$ و $v_2$ . ويجب أن تتحقق شروط الاتصال عند كل نقطة من السطح الفاصل وفي كل لحظة: فيجب أن يكون للموجتين المنعكسة والنافذة التواتر نفسه و المتجهة الموجية المماسية نفسها للواردة. ومنه تكون المتجهات الموجية الثلاث في مستوٍ واحد (وهو مستوي الورود)، وتساوي زاوية الانعكاس زاوية الورود، ويكون

\frac{\sin\theta_1}{v_1} = \frac{\sin\theta_2}{v_2} \qquad (n_1\sin\theta_1 = n_2\sin\theta_2 \text{ في الضوء}) .

وحين $v_2 > v_1$ و $\sin\theta_1 > v_1/v_2$ لا توجد $\theta_2$ حقيقية: وهو الانعكاس الكلي الداخلي؛ ويكون المجال في الوسط 2 عندئذ موجة متلاشية، $\propto\eu^{-x/\ell}\eu^{\iu(\omega t - k_ty)}$ تنتقل على امتداد السطح الفاصل وتخمد بعيدًا عنه على المدى $\ell = \lambda_2/2\pi \sqrt{\sin^2\theta_1(v_2/v_1)^2 - 1}$ ، وهو جزء من طول موجة؛ وهي لا تحمل طاقةً بعيدًا — أي انعكاس كلي.

برهان. مع $\vect k = (k_x, k_y, 0)$ والسطح الفاصل $x = 0$ ، يجب أن تتوافق الأطوار $\omega t - k_yy$ للأمواج الثلاث من أجل كل $y$ و $t$ : أي $\omega$ نفسه، و $k_y = (\omega/v_1)\sin\theta_1 = (\omega/v_1)\sin\theta_r = (\omega/v_2)\sin \theta_2$ نفسه. وإذا كان $(\omega/v_2)^2 - k_y^2 < 0$ ، كان $k_{2x}$ تخيليًّا، $k_{2x} = -\iu/\ell$ : أي تلاشيًا؛ ومتوسط متجهة بوينتنغ له على امتداد $x$ معدوم. ∎

قضية 15.5 (زاوية بروستر؛ الاستقطاب بالانعكاس)

من أجل ضوء يقع على عازل، تتوقف السعة المنعكسة على الاستقطاب (وهي معاملات فرينل، مسلَّم بها عمومًا): فمن أجل الاستقطاب في مستوي الورود (p) تنعدم عند زاوية بروستر

\tan\theta_B = \frac{n_2}{n_1} ,

وعندها يكون الشعاعان المنعكس والمنكسر متعامدين؛ ويكون الضوء المنعكس عند $\theta_B$ مستقطَبًا استقطابًا تامًّا عموديًّا على مستوي الورود (s)، ومستقطَبًا جزئيًّا حولها — وهو الوهج على الماء والطرق الذي تزيله النظارات الشمسية المستقطِبة. وللزجاج ( $n = 1.5$ ) $\theta_B = 56{}^{\circ}$ ، وللماء $53{}^{\circ}$ .

برهان. الموجة المنعكسة تشعّها ثنائيات قطب الوسط 2، وقد جعلها المجال المنكسر تتذبذب على امتداد $\vect E$ فيه، وهو في الاستقطاب p يقع في مستوي الورود، عموديًّا على الشعاع المنكسر. وثنائي القطب لا يشعّ على امتداد محوره (الفصل 17)؛ وحين تكون الجهة المنعكسة موازيةً لذلك المحور — أي عموديةً على الشعاع المنكسر، $\theta_1 + \theta_2 = \pi/2$ — لا ينعكس شيء. وعندئذ $\sin\theta_2 = \cos\theta_1$ ويعطي ديكارت $\tan\theta_1 = n_2/n_1$ . وأما الاستقطاب s فمجاله $\vect E$ عمودي على مستوي الورود، ولا يقع أبدًا على امتداد الشعاع المنعكس: فينعكس دائمًا جزئيًّا. ∎

على اليسار: مواءمة الطور على امتداد السطح الفاصل تعطي قانوني الانعكاس والانكسار. وعلى اليمين: عند زاوية بروستر كان على ثنائيات قطب الوسط الثاني، وقد قادها المجال المنكسر المستقطَب p، أن تشعّ على امتداد محورها لتغذّي الشعاع المنعكس — وهي لا تستطيع، فلا ينعكس إلا الاستقطاب s.

على اليمين: انعكاسية سطح بين الهواء والزجاج (n = 1.5) من أجل الاستقطابين — فتنعدم R_p عند زاوية بروستر وترتفع الاثنتان إلى 1 عند الورود المائل جدًّا. وعلى اليسار: فيما وراء الزاوية الحدّية يكون المجال النافذ متلاشيًا، ملتصقًا بالسطح الفاصل ويموت في طول موجة. — على اليمين: انعكاسية سطح بين الهواء والزجاج ( $n = 1.5$ ) من أجل الاستقطابين — فتنعدم $R_p$ عند زاوية بروستر وترتفع الاثنتان إلى $1$ عند الورود المائل جدًّا. وعلى اليسار: فيما وراء الزاوية الحدّية يكون المجال النافذ متلاشيًا، ملتصقًا بالسطح الفاصل ويموت في طول موجة.

15.3 البلازما والمعادن والناقل المثالي

قضية 15.6 (الانعكاس على بلازما وعلى معدن)

(1) موجة $\omega < \omega_p$ عند ورود ناظمي على بلازما تنعكس انعكاسًا تامًّا: إذ إن «القرينة» $\underline n = -\iu\sqrt{\omega_p^2/\omega^2 - 1}$ تخيلية، و $r = (1 - \underline n)/(1 + \underline n)$ مقياسه $1$ ، وينفذ المجال موجةً متلاشية $\eu^{-\kappa x}$ كما في الفصل 14. (2) و للناقل الجيد $\underline n = (1 - \iu)c/\omega\delta$ ، وهي هائلة المقياس: ومنه $r \approx -1$ ، والانعكاسية $R \approx 1 - 2\omega\delta/c = 1 - \sqrt{8\varepsilon_0\omega/\gamma}$ (هاغن–روبنز): أي $0.99999$ للنحاس عند $10\,\mathrm{GHz}$ ، و $0.99$ في تحت الأحمر البعيد. (3) وأما الناقل المثالي ( $\gamma \to \infty$ ، و $\delta \to 0$ ): فيكون $r = -1$ بالضبط من أجل $\vect E$ ، وينعدم $\vect E$ المماسي الكلي عند السطح، وتؤلف الموجتان الواردة والمنعكسة الموجة المستقرة

\vect E = -2E_0\sin kx\sin\omega t\,\vect e_y , \qquad \vect B = 2\frac{E_0}c\cos kx\cos\omega t\,\vect e_z ,

بعقد للمجال $\vect E$ (وبطون للمجال $\vect B$ ) عند $x = 0, -\lambda/2, \dots$ ؛ ويحمل المجالَ تيار سطحي $\vect j_s = \vect n\wedge\vect B/ \mu_0 = (2E_0/\mu_0c)\cos\omega t\,\vect e_y$ ، وقوة لابلاس عليه هي ضغط الإشعاع $2I/c$ .

برهان. (1) و (2): قاعدة الممانعة مع $Z \propto 1/\underline n$ والقرائن العقدية في الفصل 14؛ ومن أجل (2)، $r = (1 - \underline n)/(1 + \underline n) \approx -1 + 2/\underline n$ و $R = |r|^2 \approx 1 - 4\operatorname{Re}(1/ \underline n) = 1 - 2\omega\delta/c$ . (3) ومع $\vect E = \vect 0$ في الداخل، تعطي علاقة العبور $\vect E_{2t} = \vect E_{1t}$ العلاقة $E_{\text{الكلي}}(0) = 0$ ، ومنه $r = -1$ ؛ ثم نجمع الواردة $E_0\cos(\omega t - kx)$ والمنعكسة $-E_0\cos(\omega t + kx)$ ؛ و $\vect B$ من فاراداي؛ وقفزة $\vect B$ عند السطح هي $\mu_0\vect j_s \wedge\vect n$ ؛ والقوة الوسطى في واحدة المساحة $\tfrac12\langle j_sB\rangle$ على الصفيحة هي $\varepsilon_0E_0^2 = 2I/c$ (الفصل 12). ∎

الانعكاس على ناقل مثالي: للمجال الكهربائي عقدة عند السطح وعقد الموجة المستقرة كل نصف طول موجة؛ وللمجال المغناطيسي بطن هناك، يحمله التيار السطحي.

مثال 15.7 (المرايا والرادار وأفران الموجات الصغرية)

تعكس المرآة المعدنية بهذه الآلية: إذ يقود المجال الوارد تيارًا في قشرة عمقها بضعة نانومترات ( $23\,\mathrm{nm}$ للفضة عند $500\,\mathrm{nm}$ )، وهو يعيد إشعاع الموجة المنعكسة؛ والنسبة الناقصة $5\%$ تسخّن المعدن — ولهذا تُبرَّد مرآة ليزر عالي الاستطاعة، ولهذا يأخذ جدار فرن الفصل 14 نسبة $6\%$ من الاستطاعة. ويرى الرادار طائرة بالموجة التي يعيد جلدها إشعاعها؛ و الطائرة الشبحية تستبدل بالمعدن المستوي ماصّات وأشكالًا تعكس بعيدًا عن الرادار. وعقد الموجة المستقرة، المتباعدة $\lambda/2 = 6\,\mathrm{cm}$ في فرن، هي البقع الباردة.

15.4 طرف الكابل

قضية 15.8 (إنهاء خط نقل)

خط ممانعته المميزة $Z_c$ ينتهي عند $x = \ell$ بحمل ممانعته $\underline Z_L$ : فتنعكس موجة التوتر بالمعامل $\underline r = (\underline Z_L - Z_c)/(\underline Z_L + Z_c)$ — ولا شيء من أجل حمل موائم $Z_L = Z_c$ ، و $r = -1$ من أجل قصر دارة، و $r = +1$ من أجل طرف مفتوح. و الخط غير المواءم يحمل موجة مستقرة جزئية نسبة أعظم توتر فيها إلى أصغره هي نسبة الموجة المستقرة $(1 + |r|)/(1 - |r|)$ . وإرسال نبضة قصيرة وتوقيت الصدى يحدّد موضع عيب (وهو قياس الانعكاس في مجال الزمن) ويقرأ طبيعته من إشارة الصدى.

برهان. عند الحمل، $v = Z_Li$ مع $v = v_i + v_r$ و $i = (v_i - v_r)/Z_c$ (الفصل 8)؛ وقاعدة الممانعة من جديد. وأما نسبة الموجة المستقرة: فالمقدار $|v|$ يتغير بين $|v_i|(1 + |r|)$ و $|v_i|(1 - |r|)$ على امتداد الخط. ∎

طريقة 15.9 (أي سطح فاصل)

(1) ميّز المقدارين المتصلين عبر السطح الفاصل و ممانعة كل وسط بنسبتهما في موجة متقدمة. (2) واكتب الواردة $+$ المنعكسة على جانب، والنافذة على الآخر، بتواترات متساوية ومتجهات موجية مماسية متساوية (ديكارت). (3) وافرض الاتصال: معادلتان ومجهولان $r$ و $t$ . (4) وأما الطاقة: $R = |r|^2$ ، و $T = 1 - R$ في الأوساط بلا ضياع. (5) وتحقق من النهايات: ممانعتان متساويتان (فلا انعكاس)، وممانعة لانهائية أو معدومة ( $|r| = 1$ ، وإشارة $r$ )، وفي الطبقات، أطوار الانعكاسات المتتالية.

15.5 تمارين

تمرين 15.1 ★

الممانعات الصوتية: الهواء $410\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-2}\,\mathrm{s}^{-1}$ ، والماء $1.5 \times 10^{6}\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-2}\,\mathrm{s}^{-1}$ ، والفولاذ $4.0 \times 10^{7}\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-2}\,\mathrm{s}^{-1}$ ، والنسيج الرخو $1.6 \times 10^{6}\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-2}\,\mathrm{s}^{-1}$ ، والعظم $7 \times 10^{6}\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-2}\,\mathrm{s}^{-1}$ . أوجد معاملات الانعكاس (في الضغط) والنسب المنعكسة من الطاقة من أجل الهواء والماء، والماء والفولاذ، والنسيج والعظم، والنسيج والهواء. ولماذا لا تسمعك سمكة، ولماذا يسمع الغوّاص محرك القارب بهذا الوضوح؟

حل

حل التمرين 15.1.

$r = (Z_2 - Z_1)/(Z_2 + Z_1)$ ، $R = r^2$ : هواء–ماء $0.9995$ ، $99.9\%$ ؛ ماء–فولاذ $0.93$ ، $86\%$ ؛ نسيج–عظم $0.63$ ، $40\%$ ؛ نسيج–هواء $-0.9995$ ، $99.9\%$ . صوتك، في الهواء، ينعكس على السطح؛ أما المحرك فيهزّ الهيكل، وهو فولاذ ملامس للماء، فينفذ $14\%$ من اهتزازه مباشرة إلى الداخل.

تمرين 15.2 ★

الانعكاسية عند الورود الناظمي بين الهواء والماء ( $n = 1.33$ )، والهواء والزجاج ( $1.52$ )، والهواء والماس ( $2.42$ )، والزجاج والماء. وعدسة كاميرا فيها $10$ سطوح بين الهواء والزجاج، بلا طلاء: أوجد النسبة النافذة من الضوء، و النسبة التي تتجول صورًا شبحية؛ ثم بطلاءات تترك $0.5\%$ لكل سطح.

حل

حل التمرين 15.2.

$R = ((n - 1)/(n + 1))^2$ : $2.0\%$ ، $4.3\%$ ، $17\%$ ؛ وزجاج–ماء $0.44\%$ . و $0.957^{10} = 0.64$ : أي ثلث الضوء ضائع، وكثير منه أطياف؛ ومع المعالجة: $0.995^{10} = 0.95$ .

تمرين 15.3 ★

زاوية بروستر بين الهواء والزجاج ( $1.52$ )، والهواء والماء، والماء والزجاج (والضوء ذاهب من الماء إلى الزجاج). وأوجد استقطاب الضوء المنعكس عند تلك الزاوية؛ وهل يكون الضوء النافذ مستقطَبًا تمامًا؟ وبأي زاوية ينبغي أن ينظر مصوّر إلى واجهة متجر ليقتل انعكاساتها، وبأي توجيه للمستقطِب؟

حل

حل التمرين 15.3.

$\tan\theta_B = n_2/n_1$ : $56.7{}^{\circ}$ ، $53.1{}^{\circ}$ ، $48.8{}^{\circ}$ . والضوء المنعكس مستقطب عموديًّا على مستوي الورود؛ أما الضوء النافذ فلا يستقطب إلا جزئيًّا (إذ لا ينعكس المركّب s إلا جزئيًّا). انظر إلى الزجاج تحت $57{}^{\circ}$ من ناظمه، ومحور المستقطب في مستوي الورود (أي أفقيًّا من أجل زجاج شاقولي يُنظر إليه من الجانب).

تمرين 15.4 ★

الزوايا الحدّية للانعكاس الكلي بين الزجاج والهواء، والماء والهواء، والماس والهواء؛ وموشور زجاجي زاويته $45{}^{\circ}$ مرآةً؛ وعمق الموجة المتلاشية بين الزجاج والهواء عند ورود $45{}^{\circ}$ و $60{}^{\circ}$ ( $\lambda = 600\,\mathrm{nm}$ )؛ ولماذا يتلألأ الماس هكذا؟

حل

حل التمرين 15.4.

$\arcsin(1/n)$ : $41.1{}^{\circ}$ ، $48.8{}^{\circ}$ ، $24.4{}^{\circ}$ ؛ وبما أن $45^\circ > 41^\circ$ فالموشور يعكس كليًّا. و $\ell = \lambda/2\pi\sqrt{n^2\sin^2\theta - 1}$ : $270\,\mathrm{nm}$ عند $45{}^{\circ}$ ، و $115\,\mathrm{nm}$ عند $60{}^{\circ}$ . وزاوية الألماس الحرجة الصغيرة تحبس الضوء الداخل فيه حتى يخرج من الأوجه العليا — وهو البريق.

تمرين 15.5 ★★

الطلاء المضاد للانعكاس. زجاج $n_2 = 1.52$ مطلي بفلوريد المغنيزيوم، $n = 1.38$ . (أ) أوجد القرينة المثلى لطبقة واحدة؛ و السماكة من أجل $550\,\mathrm{nm}$ . (ب) والانعكاسية المتبقية مع فلوريد المغنيزيوم عند $550\,\mathrm{nm}$ : والسعة $r = (r_1 + r_2\eu^{-\iu\varphi})/(1 + r_1r_2 \eu^{-\iu\varphi})$ مع $r_1 = (n_1 - n)/(n_1 + n)$ و $r_2 = (n - n_2)/(n + n_2)$ و $\varphi = \pi$ عند طول موجة التصميم (والانعكاسات المتعددة مدرجة): احسب $R$ . (ج) و $R$ عند $400\,\mathrm{nm}$ و $700\,\mathrm{nm}$ (بالطبقة نفسها): فما لون الانعكاس المتبقي لعدسة مطلية؟ (د) ولماذا تستعمل العدسات العالية الجودة عدة طبقات؟

حل

حل التمرين 15.5.

(أ) $\sqrt{1.52} = 1.23$ ؛ و $e = 550/4 \times 1.38 = 100\,\mathrm{nm}$ . (ب) $r_1 = -0.160$ ، $r_2 = -0.048$ ، $\varphi = \pi$ : $r = (r_1 - r_2)/(1 - r_1r_2) = -0.112$ ، و $R = 1.3\%$ (مقابل $4.3\%$ ). (ج) $400\,\mathrm{nm}$ : $\varphi = 1.375\pi$ ، $R \approx 2.2\%$ ؛ و $700\,\mathrm{nm}$ : $\varphi = 0.79\pi$ ، $R \approx 1.6\%$ : فالأزرق والأحمر ينعكسان أكثر من الأخضر — وهو اللمعان البنفسجي للعدسة المعالَجة. (د) وعدّة طبقات تجعل $R$ مستويًا عبر المجال المرئي.

تمرين 15.6 ★★

مسبار الأمواج فوق الصوتية. لخزف المحوّل $Z_1 = 30 \times 10^{6}\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-2}\,\mathrm{s}^{-1}$ ، وللنسيج $Z_2 = 1.6 \times 10^{6}\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-2}\,\mathrm{s}^{-1}$ ، و $f = 5\,\mathrm{MHz}$ . (أ) أوجد الطاقة النافذة مباشرةً؛ والباقي يرتدّ داخل الخزف — فماذا يفعل ذلك بطول النبضة؟ (ب) وممانعة طبقة مواءمة ربع موجية وسماكتها (وسرعة الصوت في الطبقة $3000\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ). (ج) ومع غشاء هواء سماكته $10\,\text{µ}\mathrm{m}$ أمام المسبار: أوجد الطاقة النافذة (عبر سطحين فاصلين، بلا رنين) — ومن هنا الهلام. (د) وللهلام $Z \approx Z_2$ : فأي نسبة تمرّ الآن عبر السطح الفاصل بين الهلام والجلد؟

حل

حل التمرين 15.6.

(أ) $T = 4 \times 30 \times 1.6/31.6^2 = 19\%$ ؛ والباقي يتردّد، فترنّ النبضة. (ب) $Z = \sqrt{Z_1Z_2} = 6.9 \times 10^{6}\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-2}\,\mathrm{s}^{-1}$ ، و $e = v/4f = 0.15\,\mathrm{mm}$ . (ج) $T_1 = 4 \times 30 \times 10^6 \times 410/(30 \times 10^6)^2 = 5.5 \times 10^{-5}$ ، $T_2 = 4 \times 1.6 \times 10^6 \times 410/(1.6 \times 10^6)^2 = 1.0 \times 10^{-3}$ : أي $5.6 \times 10^{-8}$ . (د) $4 \times 1.5 \times 1.6/ 3.1^2 = 0.999$ .

تمرين 15.7 ★★

مرآة البلازما. موجة عند $3\,\mathrm{MHz}$ تلقى الأيونوسفير ( $n_e = 1 \times 10^{12}\,\mathrm{m}^{-3}$ ) عند ورود ناظمي. (أ) أوجد $\underline n$ و $r$ ؛ وتحقق من $|r| = 1$ و أعطِ طور $r$ . (ب) وعمق النفوذ. (ج) والموجة المستقرة تحت الطبقة: أوجد موضع أول عقدة للمجال $\vect E$ . (د) والموجة تصل في الواقع مائلةً على طبقة تنمو كثافتها مع الارتفاع: اشرح نوعيًّا لماذا تنحني عائدةً قبل بلوغ المستوى الذي عنده $\omega = \omega_p$ (باستعمال ديكارت مع قرينة متناقصة)، ولماذا تفلت موجة أعلى تواترًا.

حل

حل التمرين 15.7.

(أ) $\omega_p/\omega = 3$ : $\underline n = -\iu\sqrt8 = -2.83\iu$ ؛ و $r = (1 + 2.83\iu)/(1 - 2.83 \iu)$ ، و $|r| = 1$ ، والطور $2\arctan2.83 = 141{}^{\circ}$ . (ب) $c/\sqrt{\omega_p^2 - \omega^2} = 5.6\,\mathrm{m}$ . (ج) $E \propto \cos(kx + \varphi/2)$ : أول عقدة عند $kx = -(\pi + \varphi)/2$ ، أي $x \approx -45\,\mathrm{m}$ تحت الطبقة. (د) القرينة تتناقص مع الارتفاع، فيبعد ديكارت الشعاع عن الشاقول؛ ويرتدّ الشعاع حيث يكون $n(z) = \sin\theta_0$ ، أي $\omega_p^2 = \omega^2\cos^2\theta_0$ ، دون المستوى $\omega = \omega_p$ ؛ وكل تواتر يتجاوز فيه $\omega\cos\theta_0$ أعظمَ $\omega_p$ في الطبقة يُفلت منها.

تمرين 15.8 ★★

المرايا المعدنية. النحاس ( $\gamma = 6 \times 10^{7}\,\mathrm{S}/\mathrm{m}$ ): أوجد الانعكاسية $1 - \sqrt{8\varepsilon_0\omega/\gamma}$ عند $10\,\mathrm{GHz}$ ، وعند $30\,\mathrm{THz}$ (ليزر CO $_2$ )، و، صوريًّا، عند $5 \times 10^{14}\,\mathrm{Hz}$ — فلماذا تخفق الصيغة هناك (قارن $\omega\tau$ )؟ وأوجد الاستطاعة الممتصّة من حزمة ليزر CO $_2$ مقدارها $1\,\mathrm{kW}$ على مرآة نحاسية؛ ولماذا تُبرَّد هذه المرايا بالماء.

حل

حل التمرين 15.8.

$\sqrt{8\varepsilon_0\omega/\gamma}$ : $2.7 \times 10^{-4}$ ( $R = 0.9997$ )، $1.5 \times 10^{-2}$ ( $0.985$ )، $0.06$ ( $0.94$ ) — غير أنه عند $5 \times 10^{14}\,\mathrm{Hz}$ يكون $\omega\tau = 80$ : فالنحاس بلازما لا ناقل أومي، وهو يعكس نحو $60\%$ ، ملوَّنًا. و $15\,\mathrm{W}$ تُمتصّ من حزمة CO $_2$ : أي بضع مئات من الكلفنات في الدقيقة على مرآة صغيرة، ومن هنا الماء.

تمرين 15.9 ★★

خط عند $50\,\Omega$ ينتهي بأحمال $75$ و $25$ و $0$ و $\infty$ و $50\,\Omega$ : أوجد معامل الانعكاس، ونسبة الموجة المستقرة، والنسبة المنعكسة من الاستطاعة. ويغذّي مرسل مقداره $100\,\mathrm{W}$ هوائيًّا ممانعته $75\,\Omega$ عبر كابل عند $50\,\Omega$ : أوجد الاستطاعة التي تبلغ الهوائي (في المرور الأول)، وأين يذهب الباقي. ويعود صدى بعد $1.2\,\text{µ}\mathrm{s}$ ( $c_{\text{الخط}} = 2 \times 10^{8}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ )، قائمًا: فأين العيب وما هو؟

حل

حل التمرين 15.9.

$r = 0.2$ ، $-1/3$ ، $-1$ ، $+1$ ، $0$ ؛ ونسبة الموجة المستقرة $1.5$ ، $2$ ، $\infty$ ، $\infty$ ، $1$ ؛ والمنعكس $4\%$ ، $11\%$ ، $100\%$ ، $100\%$ ، $0$ . وتصل $96\,\mathrm{W}$ إلى الهوائي، وترجع $4\,\mathrm{W}$ إلى المرسل (فتنعكس جزئيًّا من جديد). و $1.2\,\text{µ}\mathrm{s}$ : $120\,\mathrm{m}$ ؛ والصدى القائم: دارة مفتوحة — أي كابل مقطوع.

تمرين 15.10 ★★★

فرينل من أجل الاستقطاب s. موجة مجالها $\vect E$ عمودي على مستوي الورود تلقى السطح الفاصل $n_1 \to n_2$ عند $\theta_1$ . (أ) اكتب المجالات $\vect E$ الثلاثة والمركّبات المماسية من $\vect B = \vect k\wedge\vect E/\omega$ . (ب) وافرض اتصال $\vect E$ و $\vect B$ المماسيين واستنتج $r_s = \dfrac{n_1\cos\theta_1 - n_2\cos\theta_2} {n_1\cos\theta_1 + n_2\cos\theta_2}$ . (ج) وتحقق من نهاية الورود الناظمي ونهاية الورود المائل جدًّا. (د) ومن أجل الزجاج عند $45{}^{\circ}$ : أوجد $R_s$ ؛ وقارنه بالمقدار $R_p = \bigl(\frac{n_2\cos\theta_1 - n_1\cos\theta_2}{n_2\cos\theta_1 + n_1\cos\theta_2}\bigr)^2$ (مسلَّم بها) وبنسبة $4\%$ عند الورود الناظمي.

حل

حل التمرين 15.10.

(أ) $\vect E = E\vect e_z$ ؛ و $\vect k\wedge\vect e_z = (k_y, -k_x, 0)$ ، فالمركّبة المماسّية $B_y = -(n/c)\cos\theta\,E$ من أجل الموجتين الواردة والنافذة، و $+(n_1/c)\cos\theta_1E_r$ من أجل المنعكسة. (ب) $1 + r = t$ و $n_1\cos\theta_1 (1 - r) = n_2\cos\theta_2t$ : فيكون $r_s$ كما ورد. (ج) عند $\theta = 0$ : $(n_1 - n_2)/(n_1 + n_2)$ ؛ وعند $\theta_1 \to 90^\circ$ : $r_s \to -1$ . (د) $\cos\theta_2 = 0.882$ : $r_s = -0.30$ ، $R_s = 9.2\%$ ؛ و $R_p = 0.85\%$ ؛ مقابل $4.3\%$ عند الورود الناظمي.

تمرين 15.11 ★★★

الانعكاس الكلي المُحبَط. ضوء في زجاج ( $n = 1.5$ ) ينعكس انعكاسًا كليًّا عند وجه بين الزجاج والهواء عند $45{}^{\circ}$ ؛ ويُقرَّب سطح زجاجي ثانٍ إلى مسافة $d$ في الهواء. (أ) أوجد طول خمود التلاشي $\ell$ من أجل $\lambda = 600\,\mathrm{nm}$ . (ب) وبتسليم أن الشدة النافذة عبر الفجوة هي تقريبًا $\eu^{-2d/\ell}$ ، أوجد $d$ من أجل نفاذ $50\%$ و $1\%$ . (ج) وماذا تفعل بصمة إصبع مضغوطة على الزجاج بالانعكاس (قارئات البصمات)؟ (د) ولماذا يكون هذا النظير الضوئي للنفق الكمومي في الفصل 31؟

حل

حل التمرين 15.11.

(أ) $270\,\mathrm{nm}$ . (ب) $d = 0.35\ell = 95\,\mathrm{nm}$ ؛ و $2.3\ell = 620\,\mathrm{nm}$ . (ج) النتوءات تلامس الزجاج فتُخرج الضوء إلى الجلد: فتبدو النتوءات مظلمة والأخاديد مضيئة على الكاشف. (د) والموجة المتلاشية هي التابع الموجي المتناقص أسّيًّا في المنطقة الممنوعة؛ ووسط ثانٍ يقع داخل طول التلاشي يلتقطها — وهو النفق الضوئي.

تمرين 15.12 ★★★

مرآتان. ناقلان مثاليان متوازيان عند $x = 0$ و $x = L$ يحصران موجة مستقرة. (أ) بيّن أن $L = m\lambda/2$ وحده ممكن: أي أنماط الجوف، $f_m = mc/2L$ . (ب) ومن أجل $L = 15\,\mathrm{cm}$ ، أوجد الأنماط الثلاثة الأولى؛ وأيها قرب $2.45\,\mathrm{GHz}$ ؟ (ج) والتيارات السطحية على المرآتين والقوة على كل منهما (نحو الداخل أم الخارج؟)، من أجل سعة مجال $E_0 = 20\,\mathrm{kV}/\mathrm{m}$ في الداخل. (د) والمرآتان الآن من النحاس: باستعمال المقاومة السطحية $R_s = 1/\gamma\delta$ في الفصل 14، أوجد الاستطاعة الضائعة في واحدة المساحة عند $2.45\,\mathrm{GHz}$ مع $H_0 = E_0/\mu_0c$ (أي بطن المغناطيسي)، والزمن اللازم لخمود الطاقة المخزَّنة ( $\tfrac12\varepsilon_0E_0^2$ في واحدة الحجم وسطيًّا، على الطول $L$ ) — وعامل الجودة $Q = 2\pi f\,\times$ الطاقة المخزَّنة / الاستطاعة الضائعة.

حل

حل التمرين 15.12.

(أ) عُقد $\vect E$ عند المرآتين معًا: $\sin kL = 0$ ، أي $L = m\lambda/2$ ، و $f_m = mc/2L$ . (ب) $1$ ، $2$ ، $3\,\mathrm{GHz}$ : ولا واحد عند $2.45\,\mathrm{GHz}$ — فأنماط فرن حقيقي الثلاثية الأبعاد أكثف من ذلك بكثير. (ج) $j_s = H_0 = E_0/\mu_0c = 53\,\mathrm{A}/\mathrm{m}$ على كل منهما، والضغط $\mu_0j_s^2/2 = 1.8\,\mathrm{mPa}$ يباعد بين المرآتين. (د) $\delta = 1.3\,\text{µ}\mathrm{m}$ ، و $R_s = 12.5\,\mathrm{m}\Omega$ ؛ و $\tfrac12R_sH_0^2 = 18\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$ لكل مرآة؛ والطاقة المخزونة الوسطى $\tfrac14\varepsilon_0E_0^2 \times L = 1.3 \times 10^{-7}\,\mathrm{J}/\mathrm{m}^{2}$ ؛ و $Q = 2\pi f \times 1.3 \times 10^{-7}/35 \approx 6 \times 10^4$ .

15.6 مسألة: الطلاءات والهلام وماصّ الرادار

مسألة 15.1

مسألة نهاية الأسبوع — كيف تُخفى السطوح الفاصلة: العدسة المطلية، والمحوّل المواءم، وشاشة امتصاص الرادار، و المرآة التي لا يمكن جعلها تختفي

الجزء I — العدسة المطلية. لعدسة تقريب $16$ سطحًا بين الهواء والزجاج قرينته $1.52$ ؛ والضوء عند $550\,\mathrm{nm}$ .

انعكاسية سطح واحد غير مطلي؛ ونفاذ العدسة كلها؛ والنسبة من الضوء التي تتجول انعكاسات شاردة.
والطلاء المثالي بطبقة واحدة: أوجد القرينة والسماكة؛ ولماذا لا يتوفر جسم صلب شائع بتلك القرينة، وما الانعكاسية المتبقية مع فلوريد المغنيزيوم ( $1.38$ )؟
ومع $16$ سطحًا عند $1.3\%$ لكل واحد: أوجد النفاذ؛ وعند $0.3\%$ (متعدد الطبقات): النفاذ. ولماذا تعطي العدسات القديمة صورًا «مسطّحة» قليلة التباين؟
والطلاء مصمَّم لطول الموجة $550\,\mathrm{nm}$ : بيّن أنه عند $440\,\mathrm{nm}$ يكون طور رحلة الذهاب والإياب $\varphi$ مساويًا $1.25\pi$ و قدّر الانعكاسية هناك (بصيغة الانعكاسين، $R \approx r_1^2 + r_2^2 + 2r_1r_2\cos\varphi$ ، مع $r_1 = -0.16$ و $r_2 = -0.05$ ). فما لون الانعكاس؟
والمرآة العازلة ترصّ طبقات ربع موجية من $1.38$ و $2.35$ : فتُجمَع السعات المنعكسة من السطوح المتتالية الآن في طور واحد؛ أوجد انعكاس زوج واحد (أي سطحين فاصلين) و لماذا يبلغ $20$ زوجًا نسبة $99.9\%$ .
وفي العدسة المطلية «تُلغى» الموجة المنعكسة: فأين ذهبت طاقتها؟
ومثل هذه المرآة تعكس حزمة واحدة من أطوال الموجة وتنفذ الباقي: فلماذا، وأي لون تبدو عليه في النفاذ إذا كانت تعكس الأخضر؟

الجزء II — المسبار والهلام. الخزف $Z_1 = 30 \times 10^{6}\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-2}\,\mathrm{s}^{-1}$ ، وطبقة المواءمة، والهلام، والجلد $Z = 1.6 \times 10^{6}\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-2}\,\mathrm{s}^{-1}$ ، و $f = 5\,\mathrm{MHz}$ .

النفاذ المباشر من الخزف إلى النسيج في الطاقة؛ ثم مع الطبقة ربع الموجية ذات الممانعة المثلى (وأعطِ قيمتها) عند $f$ .
والطبقة ربع موجية عند $5\,\mathrm{MHz}$ : أوجد النفاذ عند $3\,\mathrm{MHz}$ و $7\,\mathrm{MHz}$ (باستعمال تقدير الانعكاسين مع طور الذهاب والإياب الفعلي): فماذا يفعل ذلك ب عرض حزمة المسبار، ولماذا تتعارض النبضة القصيرة (اللازمة لتمييز العمق) معه؟
وغشاء هواء سماكته $5\,\text{µ}\mathrm{m}$ بين المسبار والجلد: أوجد نفاذ السعة عبر السطحين الفاصلين (بضرب معاملي $t$ ، وبإهمال الرنين)؛ والطاقة النافذة؛ وبالديسيبل.
والأمر نفسه بالهلام ( $Z = 1.5 \times 10^{6}\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-2}\,\mathrm{s}^{-1}$ ).
وتجاوب الخزف نفسه: ترتدّ النبضة داخل الخزف بمعامل $r \approx 0.9$ لكل انعكاس عند وجه النسيج (و $\approx 1$ عند الخلف)؛ أوجد عدد رحلات الذهاب والإياب حتى تهبط السعة إلى $1\%$ ، ولماذا يُسنَد الخزف من الخلف بماصّ.
والصدى من سطح عظم سماكته $1\,\mathrm{mm}$ على عمق $5\,\mathrm{cm}$ : أوجد النسبة الطاقية العائدة إلى المسبار (بالانعكاس عند العظم، ومرورين بوهن $0.5\,\mathrm{dB}/\mathrm{cm}/\mathrm{MHz}$ )؛ ولماذا يرمي العظم ظلًّا صوتيًّا.

الجزء III — ماصّ الرادار. رادار عند $10\,\mathrm{GHz}$ يضيء صفيحة معدنية. ولإخفائها، تُوضع صفيحة مقاومة رقيقة مقاومتها السطحية $R_s$ ( $\Omega$ للمربع) على مسافة $d$ أمام الصفيحة، والهواء بينهما. وممانعة الفضاء الحرّ $Z_0 = \sqrt{\mu_0/\varepsilon_0} = 377\,\Omega$ .

انعكاسية الصفيحة المعدنية العارية (ناقل مثالي)، و طور $r$ .
عامِل فجوة الهواء خطَّ نقل ممانعته $Z_0$ مقصورًا بالصفيحة: بيّن أن الممانعة المرئية عند الصفيحة المقاومة، نظرًا نحو الصفيحة المعدنية، هي $\underline Z_{\text{الدخل}} = \iu Z_0 \tan(2\pi d/\lambda)$ (اكتب الموجة المستقرة $v = v_i(\eu^{-\iu kx} - \eu^{\iu kx})$ من القصر وخذ $v/i$ عند $x = -d$ )؛ ومن أجل $d = \lambda/4$ تكون لانهائية (أي دارة مفتوحة).
والصفيحة ذات المقاومة $R_s$ على التفرّع مع تلك الدارة المفتوحة تقدّم $R_s$ للموجة الواردة: أوجد معامل الانعكاس $(R_s - Z_0)/(R_s + Z_0)$ ؛ واستنتج أن صفيحة مقاومتها $377\,\Omega$ للمربع عند $\lambda/4$ لا تعكس شيئًا (وهي شاشة ساليسبري). وأوجد قيمة $d$ عند $10\,\mathrm{GHz}$ .
وأين تذهب الطاقة؟ تحقق بالاستطاعة المبدَّدة في الصفيحة، $|v|^2/2R_s$ في واحدة المساحة، مقابل الشدة الواردة.
وعند $8\,\mathrm{GHz}$ و $12\,\mathrm{GHz}$ بالشاشة نفسها: أوجد $\underline Z_{\text{الدخل}}$ ، والممانعة الكلية $R_s \parallel \underline Z_{\text{الدخل}}$ ، و الانعكاسية؛ وعرض حزمة الحيلة.
ويضيء الرادار الشاشة الآن عند $30{}^{\circ}$ عن الناظمة: فما الذي يتغير في طور رحلة الذهاب والإياب عبر الفجوة، وماذا يفعل ذلك بالمواءمة؟
ولماذا تستعمل الطلاءات الشبحية الحقيقية عدة طبقات ذات ضياع وأسطحًا مشكَّلة بدل شاشة ساليسبري واحدة؟

الجزء IV — المرآة التي تبقى.

تسلك الفضة عند $500\,\mathrm{nm}$ سلوك بلازما ( $\omega_p = 1.4 \times 10^{16}\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}$ ): أوجد $\underline n$ و $r$ (مقياسًا وطورًا) وعمق النفوذ. ولماذا لا يستطيع أي طلاء ربع موجي أن يجعل معدنًا يكفّ عن الانعكاس؟
وليزر أخضر مقداره $1\,\mathrm{kW}$ على مرآة فضية ( $R = 0.97$ ): أوجد الاستطاعة الممتصّة ومعدل ارتفاع حرارة مرآة كتلتها $10\,\mathrm{g}$ ( $c = 235\,\mathrm{J}/(\mathrm{kg}\,\mathrm{K})$ ) إن لم يبرّدها شيء.
والموجة المستقرة أمام الفضة: أوجد تباعد عقد $\vect E$ وموضع الأولى منها (باستعمال طور $r$ )؛ وماذا تتلقى حبة غبار تقع عند عقدة؟
وحزمة السؤال 22 مقطعها $1\,\mathrm{cm}^{2}$ : أوجد الشدة وسعة المجال وكثافة التيار السطحي التي على المرآة أن تحملها (بتقدير الناقل المثالي $j_s = 2E_0/\mu_0c$ ).
قارن «المرايا» الثلاث في هذه المسألة — المعدن و البلازما والرصة العازلة — بالآلية التي تعيد بها الموجة، وبطور $r$ ، وبما يحدّ انعكاسيتها.

حل

حل المسألة 15.1.

1. $R = 4.3\%$ ؛ و $0.957^{16} = 0.50$ : أي نصف الضوء يضيع.

2. $n = 1.23$ ، و $e = 112\,\mathrm{nm}$ ؛ ولا وجود لجسم صلب دائم بقرينة بهذا الصغر (فلوريد المغنيزيوم، $1.38$ ، هو الأدنى): فيبقى $1.3\%$ .

3. $0.987^{16} = 0.81$ ؛ و $0.997^{16} = 0.95$ . والانعكاسات الشاردة تُغشّي الصورة: أي وهج حاجب، وتباين ضعيف.

4. $\varphi = \pi \times 550/440 = 1.25\pi$ : $R \approx 0.0256 + 0.0025 + 2 \times 0.008 \times \cos1.25\pi = 1.7\%$ — أي أكثر مما عند $550\,\mathrm{nm}$ ، كما في الطرف الأحمر: فانعكاس أرجواني.

5. كل سطح فاصل يعكس $|r| = 0.97/3.73 = 0.26$ ؛ والتباعد الربعي الموجة يجعل الانعكاسات المتتالية متوافقة الطور، فتتجمع السعات بدل أن تتلاشى؛ وانعكاسية الرزمة $1 - 4(n_L/n_H)^{2N} \approx 1 - 10^{-9}$ من أجل $N = 20$ .

6. شرط توافق الطور لا يتحقق إلا بجوار طول موجة التصميم (في نطاق نحو $\pm15\%$ )؛ والباقي ينفذ: فالمرآة الخضراء تبدو أرجوانية بالنفاذ.

7. إلى الموجة النافذة: فالتداخل يعيد التوزيع، و $R + T = 1$ .

8. $19\%$ ؛ ومع $Z_m = \sqrt{Z_1Z_2} = 6.9 \times 10^{6}\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-2}\,\mathrm{s}^{-1}$ : يصير $100\%$ عند $5\,\mathrm{MHz}$ .

9. $r_1 = 0.63$ ، و $r_2 = 0.62$ ؛ وعند $3\,\mathrm{MHz}$ يكون طور الذهاب والإياب $0.6\pi$ ، وعند $7\,\mathrm{MHz}$ يكون $1.4\pi$ : $R \approx 0.39 + 0.39 - 0.24 = 0.54$ ، و $T \approx 0.46$ عندهما معًا: فالمواءمة لا تصمد إلا في نطاق حول $5\,\mathrm{MHz}$ ، بينما تحتاج نبضة قصيرة إلى نطاق عريض — وهي مساومة.

10. $t_1 = 2 \times 410/30 \times 10^6 = 2.7 \times 10^{-5}$ ، و $t_2 = 2.0$ : أي $t = 5.5 \times 10^{-5}$ ، و $T = t^2Z_1/Z_3 = 5.6 \times 10^{-8}$ : أي $-72\,\mathrm{dB}$ .

11. $t = 0.095 \times 1.03 = 0.098$ ، و $T = 0.098^2 \times 30/1.6 = 0.18$ : فالهلام لا يفعل أكثر من إزالة الهواء.

12. $0.9^N = 0.01$ : أي $N = 44$ ذهابًا وإيابًا — وهو رنين طويل؛ والسند يمتص الموجة الراجعة ويقتلها.

13. $R = 0.40$ عند العظم؛ و $2 \times 5 \times 0.5 \times 5 = 25\,\mathrm{dB}$ من الوهن: $0.40 \times 3.2 \times 10^{-3} = 1.3 \times 10^{-3}$ ( $-29\,\mathrm{dB}$ )؛ والعظم يمتص ما لا يعكسه: فلا يعود شيء من خلفه.

14. $R = 1$ ، و $r = -1$ .

15. قصر عند $x = 0$ : $v = -2\iu v_i\sin kx$ ، و $i = (2v_i/Z_0)\cos kx$ ؛ وعند $x = -d$ : $v/i = \iu Z_0\tan kd$ ، وهو لانهائي عند $d = \lambda/4$ .

16. $R_s \parallel \infty = R_s$ : فيكون $r = (R_s - Z_0)/(R_s + Z_0) = 0$ من أجل $377\,\Omega$ ؛ و $d = 7.5\,\mathrm{mm}$ .

17. الصفيحة ترى الحقل الوارد كاملًا: $|v|^2/2R_s = E_0^2/2Z_0$ ، أي الشدة الواردة — فتُمتصّ كلها.

18. عند $8\,\mathrm{GHz}$ : $kd = 72^\circ$ ، و $Z_{\text{الدخل}} = \iu1160\,\Omega$ ، و $R_s \parallel Z_{\text{الدخل}} = (340 + 111\iu)\,\Omega$ ، و $R = |r|^2 = 2.6\%$ ( $-16\,\mathrm{dB}$ )؛ وعند $12\,\mathrm{GHz}$ : $kd = 108^\circ$ ، والطويلة نفسها: أي $-16\,\mathrm{dB}$ . وهو نافع في نحو $\pm20\%$ .

19. الورود المائل يقصّر الربع الموجة الفعلي ( $d\cos\theta$ ) ويغيّر ممانعة الموجة مع الزاوية: فتضيع المواءمة.

20. شاشة واحدة تعمل عند تواتر واحد وزاوية واحدة؛ أما الطبقات الضائعة المتدرجة والسطوح المشكّلة فتمتص وتحرف في نطاق عريض.

21. $\underline n = -\iu\sqrt{(\omega_p/\omega)^2 - 1} = -3.6\iu$ ؛ و $|r| = 1$ ، والطور $2\arctan3.6 = 149{}^{\circ}$ ؛ والعمق $c/3.6\omega = 22\,\mathrm{nm}$ . والموجة لا تدخل المعدن قط لتنقسم إلى انعكاسين متقاربين: فليس ثمة ما تعاكسه طبقةُ ربع الموجة لتلغي انعكاسًا طويلته الواحد.

22. $30\,\mathrm{W}$ ؛ و $30/(0.01 \times 235) = 13\,\mathrm{K}/\mathrm{s}$ .

23. عقدة كل $\lambda/2 = 250\,\mathrm{nm}$ ؛ و $E \propto \cos(kx + \varphi/2)$ مع $\varphi = 149^\circ$ : فأول عقدة عند $x = -(90^\circ + 74.5^\circ)\lambda/360^\circ = -230\,\mathrm{nm}$ ؛ وحبيبة هناك تقع في الظلام.

24. $I = 1 \times 10^{7}\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$ ، و $E_0 = \sqrt{2I/\varepsilon_0c} = 87\,\mathrm{kV}/\mathrm{m}$ ، و $j_s = 2E_0/\mu_0c = 460\,\mathrm{A}/\mathrm{m}$ .

25. المعدن: تيارات سطحية في عمق الجلد، $r \approx -1$ ، يحدّها ضياع جول في تلك التيارات. البلازما: نفاذ متلاشٍ، و $|r| = 1$ بطور يتعلق بالتواتر، تحدّه التصادمات. رزمة العوازل: انعكاسات ضعيفة كثيرة تُجمع متوافقة الطور، $r \to 1$ في نطاق، يحدّها عدد الطبقات وعرض النطاق.