الفيزياء الجامعية — السنة الثانية · Bachelor Year 2

9الإلكترونيات: التغذية الراجعة والمذبذبات واقتناء الإشارة

قرّب ميكروفونًا أكثر مما ينبغي من مكبر الصوت الذي يغذّيه فتمتلئ القاعة عواءً: إذ يسمع المضخّم نفسه، فينمو ضجيج ضئيل صراخًا عند درجة واحدة بعينها. وتلك الحلقة نفسها، مروَّضةً، هي قلب كل ساعة وراديو ومركّب نغمات — أي مذبذب يصنع جيبية من لا شيء إلا الكسب والمرشّح. وقد بنى كتاب السنة الأولى المضخّمات والمرشّحات والمقارنات بالمضخّم العملياتي؛ وهذا الفصل يغلق الحلقة حولها، ويسأل متى تكون الحلقة مستقرة ومتى تذبذب، ويبني مذبذبين — أحدهما جيبي والآخر مربّع — ثم يتحول إلى العمليتين اللتين تبلغ بهما إشارةٌ مقيسة حاسوبًا: أي معاينتها، ثم انتزاعها من الضجيج عن طريق الكشف المتزامن.

لوحة تجارب ومولّد دوال وراسم اهتزاز: المنضدة التي تُغلق عليها حلقة تغذية راجعة — والتي يُكتشَف عليها، حين يبدأ المضخّم بالغناء، أنه قد صار مذبذبًا.

9.1 التغذية الراجعة والاستقرار

تعريف 9.1 (الحلقة المغلقة؛ كسب الحلقة)

مضخّم دالة نقله $\underline A(\jmath\omega)$ يتلقى الدخل $\underline e$ مضافًا إليه جزء $\underline\beta(\jmath\omega)\,\underline s$ من خرجه $\underline s$ (وهي تغذية راجعة موجبة؛ وفي السالبة تُعكس إشارة $\beta$ ). ودالة نقل الحلقة المغلقة وكسب الحلقة هما

\underline H = \frac{\underline s}{\underline e} = \frac{\underline A}{1 - \underline A\,\underline\beta} , \qquad \underline T = \underline A\,\underline\beta .

مبرهنة 9.2 (استقرار حلقة خطية؛ شرط التذبذب)

وباستبدال $\jmath\omega$ بالمتغير العقدي $p$ ، يحكم التطورَ الحرّ للحلقة جذورُ معادلتها المميزة $1 - \underline A(p)\underline\beta(p) = 0$ (وهي أقطاب $\underline H$ ): فيسهم كل جذر $p_i$ بنمط $\eu^{p_it}$ . وتكون الحلقة مستقرة حين تكون لكل الجذور أجزاء حقيقية سالبة (فيموت كل نمط)؛ وتكون مذبذبة، بسعة متنامية، حين يكون لجذر جزء حقيقي موجب. ويُبلَغ الحدّ الفاصل — أي زوج من الجذور التخيلية الصرفة $\pm\jmath \omega_0$ ، أي جيبية مستدامة — حين يكون

\underline A(\jmath\omega_0)\,\underline\beta(\jmath\omega_0) = 1

(وهو شرط باركهاوزن: كسب حلقة مقياسه واحد وطوره معدوم عند $\omega_0$ ). ومن أجل مقام من الدرجة الثانية $ap^2 + bp + c$ تكون الحلقة مستقرة إذا وفقط إذا كانت $a$ و $b$ و $c$ من الإشارة نفسها.

برهان. تُستخرج المعادلة التفاضلية للحلقة من $\underline s(1 - \underline A\underline\beta) = \underline A\underline e$ بقراءة كل قوة من $\jmath\omega$ مشتقًّا زمنيًّا؛ وحلولها المتجانسة هي $\eu^{p_it}$ حيث $p_i$ جذور كثير الحدود. ويتبع النموّ أو الخمود إشارةَ $\operatorname{Re}p_i$ ؛ ومن أجل كثير حدود من الدرجة الثانية تكون للجذرين أجزاء حقيقية سالبة تمامًا حين تشترك الأمثال في إشارة واحدة (فمجموعهما $-b/a$ وجداؤهما $c/a$ ). وشرط باركهاوزن هو وجود جذر عند $p = \jmath\omega_0$ . ∎

ملاحظة 9.3 (كيف يقلع مذبذب وكيف يتوقف)

يُصمَّم المذبذب بكسب حلقة أكبر قليلًا من واحد عند $\omega_0$ : فالضجيج الموجود عند التشغيل يحوي ذلك التواتر، وهو ينمو أسّيًّا بينما تموت التواترات الأخرى. وتتنبأ النظرية الخطية عندئذ بسعة لانهائية؛ وفي الواقع تخفض لاخطية ما — كإشباع المضخّم، أو عنصر لاخطي مقصود — الكسبَ الفعلي كلما نمت السعة، حتى يصير متوسط كسب الحلقة واحدًا بالضبط: فتستقر السعة. وهكذا يكون كل مذبذب حقيقي حلقةً خطية بالنسبة إلى التواتر ولاخطية بالنسبة إلى السعة؛ وكلما كان الحدّ أرفق كانت الجيبية أنقى.

9.2 مذبذب جسر فين

قضية 9.4 (مذبذب جسر فين)

مضخّم عملياتي في التركيب غير القالب ذي الكسب $K = 1 + R_2/R_1$ يعيد خرجه إلى دخله $+$ عبر شبكة فين: أي $R$ و $C$ على التسلسل، ثم $R$ و $C$ على التفرّع نحو الأرضي. ودالة نقل الشبكة هي

\underline\beta(\jmath\omega) = \frac1{3 + \jmath(RC\omega - 1/RC\omega)} ,

حقيقية وأعظمية ( $= 1/3$ ) عند $\omega_0 = 1/RC$ . ويساوي كسب الحلقة $K\underline\beta$ واحدًا عند $\omega_0$ حين يكون $K = 3$ : فتستديم الدارة عندئذ جيبية عند

f_0 = \frac1{2\pi RC} .

ويحقق التوتر $v$ عند الدخل $+$

\frac{\dd^2v}{\dd t^2} + \frac{3 - K}{RC}\,\frac{\dd v}{\dd t} + \frac{v}{R^2C^2} = 0 :

فمن أجل $K < 3$ يموت التذبذب، ومن أجل $K > 3$ ينمو (بتخامد سالب) بثابت الزمن $2RC/(K - 3)$ ، حتى يحدّه إشباع المضخّم العملياتي.

برهان. مقسّم توتر: الفرع المتسلسل $Z_s = R + 1/\jmath C\omega$ ، والفرع المتفرّع $Z_p = R/(1 + \jmath RC\omega)$ ؛ و $\underline\beta = Z_p/(Z_s + Z_p)$ ، وهي تبسَّط إلى الصيغة المعطاة. والحلقة: $\underline v = \underline\beta K\underline v$ ، أي $[3 + \jmath(RC\omega - 1/RC\omega)]\underline v = K\underline v$ ؛ نضرب في $\jmath\omega RC$ ونقرأ $\jmath\omega \to \dd/\dd t$ : $R^2C^2\ddot v + (3 - K)RC\dot v + v = 0$ . ويتغير معامل تخامدها إشارةً عند $K = 3$ . ∎

على اليمين: حلقة تغذية راجعة — يُعاد الخرج، عبر ، إلى دخل المضخّم. وعلى اليسار: مذبذب جسر فين — مضخّم غير قالب كسبه 1 + R_2/R_1 يعود خرجه إلى دخله + عبر شبكة RC متسلسلة ومتفرّعة؛ وهو يذبذب عند 1/2π RC حين يبلغ الكسب 3. — على اليمين: حلقة تغذية راجعة — يُعاد الخرج، عبر $\underline\beta$ ، إلى دخل المضخّم. وعلى اليسار: مذبذب جسر فين — مضخّم غير قالب كسبه $1 + R_2/R_1$ يعود خرجه إلى دخله $+$ عبر شبكة $RC$ متسلسلة ومتفرّعة؛ وهو يذبذب عند $1/2\pi RC$ حين يبلغ الكسب 3.

مثال 9.5 (منبع عند 1 كيلوهرتز)

$R = 15.9\,\mathrm{k}\Omega$ ، و $C = 10\,\mathrm{nF}$ : ومنه $f_0 = 1.00\,\mathrm{kHz}$ . ومع $R_1 = 10\,\mathrm{k}\Omega$ و $R_2 = 21\,\mathrm{k}\Omega$ يكون $K = 3.1$ : فتنمو السعة بالمعامل $\eu$ كل $2RC/0.1 = 3.2\,\mathrm{ms}$ انطلاقًا من ضجيج التشغيل، وتبلغ الإشباع في بضع عشرات الميلي ثانية؛ وتكون الجيبية المقصوصة عندئذ غنية بالتوافقيات. ووضع مصباح متوهّج صغير مكان $R_1$ ، وهو مصباح ترتفع مقاومته حين يسخن، يخفض $K$ إلى $3$ بالضبط عند سعة معتدلة: فتنتج جيبية تشويهها أقل من $0.1\%$ ، وهي دارة أول مولّدات الإشارة المخبرية.

9.3 المقارنات ذات التخلفية؛ المهتزّ المتعدد اللامستقر

قضية 9.6 (المقارن ذو التخلفية)

مضخّم عملياتي بتغذية راجعة موجبة — إذ يُعاد الخرج إلى الدخل $+$ عبر مقسّم $R_1$ و $R_2$ (فيقع الدخل $+$ عندئذ عند $\beta s$ مع $\beta = R_1/(R_1 + R_2)$ حين تُطبَّق الإشارة $e$ على الدخل $-$ ) — ليس له نظام خطي مستقر: فيقع خرجه عند $+V_{\text{إشباع}}$ أو $-V_{\text{إشباع}}$ ويتحول

\begin{align*} &\text{من } +V_{\text{إشباع}} \text{ إلى } -V_{\text{إشباع}} \text{ حين يرتفع } e \text{ فوق } +\beta V_{\text{إشباع}} ,\\ &\text{من } -V_{\text{إشباع}} \text{ إلى } +V_{\text{إشباع}} \text{ حين يهبط } e \text{ دون } -\beta V_{\text{إشباع}} . \end{align*}

والعتبتان مختلفتان، والتخلفية $2\beta V_{\text{إشباع}}$ تجعل المقارن منيعًا على ضجيج أصغر منها، وتكون دورته في المستوي $(e, s)$ مستطيلًا يُقطع في جهة عقارب الساعة.

برهان. مع $s = +V_{\text{إشباع}}$ يقع الدخل $+$ عند $+\beta V_{\text{إشباع}}$ ؛ ويبقى الخرج موجبًا ما دام $e < \beta V_{\text{إشباع}}$ ، وينقلب حين يعبره $e$ — وبعدئذ يقع الدخل $+$ عند $-\beta V_{\text{إشباع}}$ ، فيجب أن يهبط $e$ دون ذلك ليقلبه من جديد. (وفي النظام الخطي كانت التغذية الراجعة الموجبة لتنمّي أي انحراف: فهو غير مستقر.) ∎

قضية 9.7 (المهتزّ المتعدد اللامستقر)

أعد خرج المقارن ذي التخلفية إلى دخله $-$ عبر دارة $RC$ ( $R$ من $s$ إلى الدخل $-$ ، و $C$ من هناك إلى الأرضي). فيشحن المكثف نحو $\pm V_{\text{إشباع}}$ ويقلب المقارن في كل مرة يبلغ فيها عتبة: فينتج تيار مربّع عند $s$ ، وموجة شبه مثلثية على $C$ ، ودورها

T = 2RC\,\ln\frac{1 + \beta}{1 - \beta} .

ومن أجل $\beta = 1/2$ يكون $T = 2RC\ln3 \approx 2.2RC$ . ومثل هذه مذبذبات الاسترخاء تقدح المتحكّمات الدقيقة، وتُومض المؤشرات، وتولّد الموجتين المثلثية والمربّعة في مولّدات الدوال.

برهان. مع $s = +V_{\text{إشباع}}$ ، ينتقل توتر المكثف $v_C$ من $-\beta V_{\text{إشباع}}$ نحو $+V_{\text{إشباع}}$ وفق $v_C = V_{\text{إشباع}} - (1 + \beta) V_{\text{إشباع}}\eu^{-t/RC}$ ، ويبلغ $+\beta V_{\text{إشباع}}$ بعد $RC\ln[(1 + \beta) /(1 - \beta)]$ ؛ فينقلب المقارن ويتبعه نصف الدور المتناظر. ∎

على اليمين: دورة المقارن ذي التخلفية — عتبتان، ومستطيل يُقطع في جهة عقارب الساعة. وعلى اليسار: المهتزّ المتعدد اللامستقر — يتردد توتر المكثف بين العتبتين ويكون الخرج موجةً مربّعة.

9.4 معاينة إشارة

مبرهنة 9.8 (المعاينة؛ محك نايكويست–شانون)

يقال إن الإشارة معايَنة حين لا يُحتفظ إلا بقيمها $s(nT_s)$ عند اللحظات $nT_s$ ، و $f_s = 1/T_s$ هو معدل المعاينة. وطيف الإشارة المعايَنة هو طيف $s$ مكرَّرًا حول كل مضاعف للتواتر $f_s$ . وإشارة ينحصر طيفها دون $f_{\max}$ يمكن استعادتها بالضبط من عيّناتها إذا وفقط إذا كان

f_s > 2f_{\max} ;

وفيما عدا ذلك تتراكب النسخ وتظهر مركّبة عند $f > f_s/2$ عند تواتر الالتباس $|f - nf_s|$ (من أجل العدد الصحيح $n$ الذي ينزلها دون $f_s/2$ )، ولا تتمايز عن مركّبة حقيقية منخفضة التواتر. ومن هنا المرشّح المضاد للالتباس الموضوع قبل أي معايِن: وهو مرشّح تمرير منخفض يزيل كل ما فوق $f_s/2$ .

برهان. المعاينة ضربُ $s(t)$ في رتل دوري من نبضات ضيّقة دوره $T_s$ ، ومتسلسلة فورييه له تحوي كل التوافقيات $nf_s$ (في كتاب الرياضيات لهذه السنة)؛ وضرب $s$ في $\cos(2\pi nf_st)$ يزيح طيفها بالمقدار $\pm nf_s$ — ومن هنا النسخ. وهي لا تتراكب إذا وفقط إذا كان $f_{\max} < f_s - f_{\max}$ ؛ ومرشّح تمرير منخفض قطعه $f_s/2$ يستعيد عندئذ الطيف الأصلي بالضبط (مسلَّم به). وأما الالتباس: فعيّنات $\cos(2\pi ft)$ و $\cos(2\pi(f - nf_s)t)$ عند $t = mT_s$ تتطابق، لأن $2\pi nf_smT_s = 2\pi nm$ . ∎

مثال 9.9 (عجلات العربات والأقراص المدمجة وراسمات الاهتزاز)

فيلم بمعدل $24$ صورة في الثانية يعاين العالم عند $24\,\mathrm{Hz}$ : فعجلة لها $12$ سلكًا تدور $2.1$ دورة في الثانية تقدّم سلكًا $25.2$ مرة في الثانية، أي $1.2$ فوق $f_s$ — فتبدو دائرةً ببطء إلى الأمام، وإلى الخلف بمعدل $1.9$ دورة في الثانية. ويعاين القرص المدمج عند $44.1\,\mathrm{kHz}$ ليعيد إنتاج الصوت حتى $20\,\mathrm{kHz}$ ، بمرشّح حادّ مضاد للالتباس بين $20$ و $22\,\mathrm{kHz}$ . وراسم اهتزاز رقمي مضبوط على $1\,\mathrm{MS}/\mathrm{s}$ يعرض جيبية عند $999\,\mathrm{kHz}$ جيبيةً عند $1\,\mathrm{kHz}$ — وهو أول شرك في القياس الرقمي.

الالتباس: جيبية عند 0.9f_s وأخرى عند 0.1f_s تمرّان بالعيّنات نفسها؛ ولا يمكن التمييز بينهما بعد المعاينة — ومن هنا المحك f_s > 2f_. — الالتباس: جيبية عند $0.9f_s$ وأخرى عند $0.1f_s$ تمرّان بالعيّنات نفسها؛ ولا يمكن التمييز بينهما بعد المعاينة — ومن هنا المحك $f_s > 2f_{\max}$ .

ملاحظة 9.10 (التكميم)

ويقرّب المحوّل التماثلي الرقمي كل عيّنة إلى واحد من $2^N$ مستوى ( $N$ بتّ): وخطأ التقريب، وهو نصف درجة على الأكثر، يسلك سلوك ضجيج قيمته الفعّالة $\Delta/\sqrt{12}$ من أجل درجة $\Delta$ ، ويكون المدى الدينامي (أي أكبر جيبية على ذلك الضجيج) نحو $6N + 2$ ديسيبل — أي $98\,\mathrm{dB}$ من أجل $16$ بتًّا في قرص مدمج، و $74\,\mathrm{dB}$ من أجل راسم اهتزاز ذي $12$ بتًّا. ومعدل المعاينة والتمييز هما العددان على بطاقة كل مرقِّم.

9.5 الكشف المتزامن

قضية 9.11 (الكشف المتزامن (القافل))

إشارة معلومة التواتر، $s(t) = A\cos(\omega_0t + \varphi)$ ، مدفونة في ضجيج $n(t)$ سعته أكبر بكثير وموزَّع على حزمة عريضة، تُضرب في مرجع $r(t) = \cos\omega_0t$ من التواتر نفسه وتُمرَّر في مرشّح تمرير منخفض قطعه $f_c \ll f_0$ :

s(t)r(t) = \tfrac12A\cos\varphi + \tfrac12A\cos(2\omega_0t + \varphi) \ \xrightarrow{\ \text{تمرير منخفض}\ }\ \tfrac12A\cos\varphi .

والخرج توتر مستمر يتناسب مع سعة الإشارة (ومع جيب تمام طورها بالنسبة إلى المرجع)، بينما يُختزل الضجيج إلى الجزء من طيفه الواقع ضمن $\pm f_c$ حول $f_0$ — أي عرض حزمة $2f_c$ يمكن جعله ضيّقًا كما نشاء (جزءًا من هرتز من أجل ثابت زمن مرشّح مقداره ثوانٍ). وتنزاح المركّبات عند تواترات أخرى $f$ إلى $f \pm f_0$ ويرفضها المرشّح.

برهان. $\cos a\cos b = \tfrac12[\cos(a - b) + \cos(a + b)]$ ؛ ويحتفظ المرشّح بحدّ الفرق من أجل الإشارة، وينزاح الحدّ $2\omega_0$ وكل مركّبة ضجيج عند $f$ إلى $|f - f_0|$ و $f + f_0$ — والضجيج الواقع أصلًا ضمن $f_c$ حول $f_0$ هو وحده ما يقع دون $f_c$ . ∎

الكشف المتزامن: يُضرب خرج المِجَسّ، وهو إشارة مع ضجيج عريض، في مرجع عند تواتر الإشارة نفسه ويُمرَّر في مرشّح تمرير منخفض؛ فلا ينجو إلا الضجيج الواقع في حزمة ضيّقة حول f_0 (وهي المظلَّلة)، وتخرج الإشارة مستوًى مستمرًّا. — الكشف المتزامن: يُضرب خرج المِجَسّ، وهو إشارة مع ضجيج عريض، في مرجع عند تواتر الإشارة نفسه ويُمرَّر في مرشّح تمرير منخفض؛ فلا ينجو إلا الضجيج الواقع في حزمة ضيّقة حول $f_0$ (وهي المظلَّلة)، وتخرج الإشارة مستوًى مستمرًّا.

مثال 9.12 (العثور على ميكروفولت)

يقدّم ثنائي ضوئي $10\,\text{µ}\mathrm{V}$ من الإشارة حين يُقطَّع ضوؤه عند $1\,\mathrm{kHz}$ ، فوق $50\,\mathrm{nV}/\sqrt{\mathrm{Hz}}$ من الضجيج الأبيض على $100\,\mathrm{kHz}$ (أي $16\,\text{µ}\mathrm{V}$ فعّالة: وهي أكبر من الإشارة). وبعد الكشف المتزامن بمرشّح ثابت زمنه $\tau = 1\,\mathrm{s}$ (وعرض حزمة ضجيجه $1/4\tau = 0.25\,\mathrm{Hz}$ ) يصير الضجيج $50\,\text{nV} \times \sqrt{0.25} = 25\,\mathrm{nV}$ : أي نسبة إشارة إلى ضجيج مقدارها $400$ — بثمن الانتظار بضع ثوانٍ لكل نقطة. والحيلة نفسها، باسم فكّ التضمين، تستعيد الموسيقى من حامل راديو مضمَّن سعةً وتستعيد المعطيات من مودم.

طريقة 9.13 (تصميم سلسلة قياس)

(1) ضمّن المقدار المراد قياسه عند تواتر $f_0$ بعيدًا عن الضجيج (بقاطع، أو جسر متناوب). (2) ضخّم بعرض حزمة يغطي $f_0$ . (3) اكشف كشفًا متزامنًا بمرشّح ثابت زمنه أطول ما يحتمله القياس: فيهبط الضجيج مثل $1/\sqrt\tau$ . (4) عايِن الخرج البطيء بمعدل يفوق ضعف عرض حزمته، بعد مرشّح مضاد للالتباس، وببتّات تكفي للتمييز المطلوب. (5) تحقق من السلسلة بإشارة معلومة، وتحقق من أن لا شيء فيها يذبذب: فكل مضخّم ذي تغذية راجعة مذبذب محتمل.

9.6 تمارين

تمرين 9.1 ★

مذبذب جسر فين مع $R = 10\,\mathrm{k}\Omega$ و $C = 10\,\mathrm{nF}$ : أوجد التواتر؛ والكسب اللازم؛ وقيمتي $R_1$ و $R_2$ من أجل $K = 3.05$ مع $R_1 = 10\,\mathrm{k}\Omega$ ؛ وثابت زمن نموّ السعة. وأي المركّبات تحدّد التواتر، وأيها يحدّد الإقلاع؟

حل

حل التمرين 9.1.

$f_0 = 1/2\pi RC = 1.59\,\mathrm{kHz}$ ؛ و $K = 3$ ؛ و $R_2 = 2.05R_1 = 20.5\,\mathrm{k}\Omega$ ؛ و $\tau = 2RC/(K - 3) = 4\,\mathrm{ms}$ . والمقاومة $R$ والسعة $C$ تحدّدان التواتر؛ و $R_1$ و $R_2$ تحدّدان الإقلاع (وحدّ السعة).

تمرين 9.2 ★

مقارن ذو تخلفية مع $V_{\text{إشباع}} = \pm 13\,\mathrm{V}$ ، و $R_1 = 1.0\,\mathrm{k}\Omega$ ، و $R_2 = 4.0\,\mathrm{k}\Omega$ : أوجد العتبتين وعرض التخلفية. وإشارة مشوَّشة تعبر الصفر مع $2\,\mathrm{V}$ من الضجيج: كم مرة يتحول الخرج في كل عبور، بالتخلفية ودونها؟

حل

حل التمرين 9.2.

$\beta = 0.2$ : فالعتبتان $\pm2.6\,\mathrm{V}$ ، والتخلفية $5.2\,\mathrm{V}$ . وضجيج مقداره $2\,\mathrm{V}$ لا يستطيع أن يعبر من جديد عتبةً تبعد $5.2\,\mathrm{V}$ : فتحوّل واحد في كل عبور؛ ودون تخلفية يثرثر الخرج مرات كثيرة.

تمرين 9.3 ★

مهتزّ متعدد لامستقر مع $R = 10\,\mathrm{k}\Omega$ ، و $C = 100\,\mathrm{nF}$ ، و $\beta = 0.5$ : أوجد الدور والتواتر؛ و $R$ من أجل $1.0\,\mathrm{kHz}$ ؛ وسعة الموجة المثلثية على المكثف؛ وماذا يحدث للدور $T$ إذا رُفعت $\beta$ إلى $0.9$ ؟

حل

حل التمرين 9.3.

$T = 2RC\ln3 = 2.2\,\mathrm{ms}$ ، أي $455\,\mathrm{Hz}$ ؛ و $R = 4.55\,\mathrm{k}\Omega$ من أجل $1\,\mathrm{kHz}$ ؛ والمثلث بين $\pm\beta V_{\text{إشباع}}$ ؛ ومن أجل $\beta = 0.9$ : $T = 2RC\ln19 = 5.9\,\mathrm{ms}$ ، أي أطول $2.7$ مرة.

تمرين 9.4 ★

(أ) يعاين قرص مدمج عند $44.1\,\mathrm{kHz}$ : فما أعظم تواتر يُعاد إنتاجه؟ (ب) ويتسرّب تصويت فوق صوتي عند $30\,\mathrm{kHz}$ إلى التسجيل: فعند أي تواتر يظهر؟ (ج) وعجلة لها $8$ أسلاك مصوَّرة عند $25\,\mathrm{img}/\mathrm{s}$ تدور $3.2$ دورة في الثانية: فما الحركة الظاهرة؟ (د) وراسم اهتزاز عند $10\,\mathrm{MS}/\mathrm{s}$ يبيّن جيبية نظيفة عند $100\,\mathrm{kHz}$ ؛ فأي تواترات أخرى يمكن أن تكون الإشارة الحقيقية؟

حل

حل التمرين 9.4.

(أ) $22.05\,\mathrm{kHz}$ . (ب) $|30 - 44.1| = 14.1\,\mathrm{kHz}$ . (ج) الأسلاك عند $8 \times 3.2 = 25.6\,\mathrm{Hz}$ ، والالتباس $0.6\,\mathrm{Hz}$ : فتبدو العجلة تزحف إلى الأمام بمعدل $0.075$ دورة في الثانية. (د) $100\,\mathrm{kHz} + n \times 10\,\mathrm{MHz}$ ، أو $n \times 10\,\mathrm{MHz} - 100\,\mathrm{kHz}$ : أي $9.9$ و $10.1$ و $19.9$ و $20.1\,\mathrm{MHz}$ و …

تمرين 9.5 ★★

حلقات كثيرات حدودها المميزة (أ) $p^2 + 3p + 2$ ، (ب) $p^2 - p + 4$ ، (ج) $p^2 + 4$ ، (د) $p^3 + 2p^2 + 2p + 1$ ، (ه) $p^3 + p + 1$ : أوجد أو ناقش الجذور؛ وأي الحلقات مستقرة، وأيها يذبذب، وأيها ينمو؟ (وفي كثيرات الحدود من الدرجة الثالثة، عوّل على إشارة الأجزاء الحقيقية: مثلًا بيّن أن (ه) له جذر حقيقي سالب وجذران عقديان جزؤهما الحقيقي موجب، باستعمال جداء الجذور ومجموعها.)

حل

حل التمرين 9.5.

(أ) $-1$ و $-2$ : مستقرة. (ب) $(1 \pm \iu\sqrt{15})/2$ : تذبذب متنامٍ. (ج) $\pm2\iu$ : تذبذب مستدام. (د) $(p + 1)(p^2 + p + 1)$ : أي $-1$ و $(-1 \pm \iu\sqrt3)/2$ : مستقرة. (ه) جذر حقيقي واحد بجوار $-0.68$ (فكثير الحدود رتيب)؛ ومجموع الجذور الثلاثة $0$ ، ومنه يكون للزوج العقدي جزء حقيقي $+0.34$ : غير مستقرة.

تمرين 9.6 ★★

شبكة فين. (أ) استنتج $\underline\beta(\jmath\omega)$ من المقسّم. (ب) ارسم (تخطيطيًّا) مقياسها وطورها؛ وبيّن أن الطور لا ينعدم إلا عند $\omega_0$ وأن المقياس يكون عندئذ $1/3$ . (ج) اكتب المعادلة التفاضلية للحلقة من أجل كسب $K$ وناقش $K < 3$ و $K = 3$ و $K > 3$ . (د) ومع $K = 3.2$ ، وانطلاقًا من ضجيج مقداره $1\,\mathrm{mV}$ ، كم يلزم من الزمن حتى تبلغ السعة $10\,\mathrm{V}$ ؟ ولماذا لا تتوقف السعة النهائية على الضجيج الابتدائي؟

حل

حل التمرين 9.6.

(أ) $\underline\beta = Z_p/(Z_s + Z_p)$ مع $Z_s = R + 1/\jmath C\omega$ ، و $Z_p = R/(1 + \jmath RC\omega)$ : ومنه $\underline\beta = 1/[3 + \jmath(RC\omega - 1/RC\omega)]$ . (ب) والمقياس $1/\sqrt{9 + (RC\omega - 1/RC\omega)^2}$ ، وهو أعظمي $1/3$ عند $\omega_0$ ؛ والطور $-\arctan [(RC\omega - 1/RC\omega)/3]$ ، ولا ينعدم إلا عند $\omega_0$ . (ج) $R^2C^2\ddot v + (3 - K)RC \dot v + v = 0$ : أي متخامد، ومستدام، ومتنامٍ. (د) وثابت زمن النموّ $2RC/0.2 = 10RC = 1.6\,\mathrm{ms}$ ؛ و $\ln10^4 = 9.2$ ثابتًا: أي $15\,\mathrm{ms}$ . وتحدّد السعةَ النهائية اللاخطيةُ (أي الإشباع)، لا البذرة التي لا تحدّد إلا التأخّر.

تمرين 9.7 ★★

مولّد الموجة المثلثية. مكامل (مضخّم عملياتي و $R$ و $C$ ) يغذّيه الخرج المربّع $\pm V_{\text{إشباع}}$ لمقارن ذي تخلفية دخله خرج المكامل؛ وعتبتا المقارن $\pm V_{\text{إشباع}}R_1/R_2$ . (أ) بيّن أن خرج المكامل مثلث؛ وأوجد ميله. (ب) الدور $T = 4RCR_1/R_2$ . (ج) والقيم: $R = 10\,\mathrm{k}\Omega$ ، و $C = 10\,\mathrm{nF}$ ، و $R_1/R_2 = 0.5$ . (د) وما ميزته على المهتزّ اللامستقر البسيط في مولّد دوال؟

حل

حل التمرين 9.7.

(أ) لخرج المكامل ميل $\mp V_{\text{إشباع}}/RC$ : أي مثلث. (ب) ويمتد كل منحدر على $2V_{\text{إشباع}}R_1/R_2$ بميل $V_{\text{إشباع}}/RC$ : ومنه $T = 4RCR_1/R_2$ . (ج) $4 \times 10^{-4} \times 0.5 = 0.2\,\mathrm{ms}$ ، أي $5\,\mathrm{kHz}$ . (د) مثلث خطي تمامًا، وتواتر يتناسب مع $1/R$ (فيسهل مسحه)، وخرجان مربّع ومثلثي من دارة واحدة.

تمرين 9.8 ★★

التكميم. (أ) محوّل ذو $16$ بتًّا على $\pm1\,\mathrm{V}$ : أوجد الدرجة، وضجيج التكميم الفعّال، والمدى الدينامي بالديسيبل. (ب) و $12$ بتًّا عند $1\,\mathrm{MS}/\mathrm{s}$ : أوجد معدل البتّات؛ والأمر نفسه من أجل $8$ بتّات عند $1\,\mathrm{GS}/\mathrm{s}$ (أي راسم اهتزاز سريع). (ج) وإشارة مقدارها $1\,\mathrm{mV}$ على المحوّل ذي $16$ بتًّا: كم درجة؟ وما الذي يجب فعله قبل المحوّل؟ (د) ولماذا ترجف جملة صوتية جيدة (فتضيف قليلًا من الضجيج) قبل التكميم؟

حل

حل التمرين 9.8.

(أ) $\Delta = 2/65536 = 30.5\,\text{µ}\mathrm{V}$ ، والضجيج $\Delta/\sqrt{12} = 8.8\,\text{µ}\mathrm{V}$ ، و $98\,\mathrm{dB}$ . (ب) $12\,\mathrm{Mbit}/\mathrm{s}$ ؛ و $8\,\mathrm{Gbit}/\mathrm{s}$ . (ج) $33$ درجة: فيجب التضخيم بالمعامل $100$ أو أكثر أولًا. (د) وترجيف يحوّل خطأ التقريب، وهو مرتبط بالإشارة (أي تشويه)، إلى ضجيج غير مرتبط لا ضرر منه.

تمرين 9.9 ★★

إشارة تحوي مركّبتين عند $1.0\,\mathrm{kHz}$ و $9.0\,\mathrm{kHz}$ وتُعايَن عند $10\,\mathrm{kS}/\mathrm{s}$ . (أ) فأين تظهر كل منهما؟ (ب) ويُضاف مرشّح $RC$ مضاد للالتباس من الدرجة الأولى مع $f_c = 2\,\mathrm{kHz}$ : أوجد الوهن عند $9\,\mathrm{kHz}$ بالديسيبل؛ أيكفي إذا أُريد $40\,\mathrm{dB}$ ؟ (ج) وأوجد رتبة المرشّح اللازمة (والوهن $\approx 20n$ ديسيبل في العقد)؛ أو، بدلًا من ذلك، معدل المعاينة اللازم بالمرشّح من الدرجة الأولى. (د) ولماذا تفرط المحوّلات الحديثة في المعاينة وترشّح رقميًّا؟

حل

حل التمرين 9.9.

(أ) كلتاهما عند $1\,\mathrm{kHz}$ . (ب) $|H| = 1/\sqrt{1 + 4.5^2} = 0.22$ ، أي $-13\,\mathrm{dB}$ : فلا. (ج) $13\,\mathrm{dB} \times n \ge 40$ : أي الرتبة الثالثة أو الرابعة؛ أو معدل معاينة يعطي عنده المرشّح من الدرجة الأولى $40\,\mathrm{dB}$ عند $f_s - 1\,\mathrm{kHz}$ ، أي عند $100f_c = 200\,\mathrm{kHz}$ : ومنه $f_s \approx 400\,\mathrm{kS}/\mathrm{s}$ . (د) والإفراط في المعاينة يدفع حزمة الالتباس بعيدًا إلى الأعلى، حيث يكفي مرشّح تماثلي رفيق؛ ويُجرى الترشيح الحادّ عندئذ رقميًّا قبل التقليل.

تمرين 9.10 ★★★

القافل. دخل $A\cos(\omega_0t + \varphi) + n(t)$ مضروب في $\cos\omega_0t$ ومرشَّح بمرشّح تمرير منخفض من الدرجة الأولى ثابت زمنه $\tau$ . (أ) أوجد الخرج المستمر. (ب) بيّن أن مركّبة ضجيج عند $f = f_0 + \delta f$ تعطي، بعد المرشّح، سعة مخفّضة بالمعامل $1/\sqrt{1 + (2\pi\delta f\tau)^2}$ ؛ واستنتج عرض حزمة الضجيج المكافئ $B = 1/4\tau$ (وسلّم بأن $\int_0^\infty \dd x/(1 + x^2) = \pi/2$ ). (ج) وإشارة مقدارها $1\,\text{µ}\mathrm{V}$ في $1\,\mathrm{mV}$ فعّالة من الضجيج الأبيض على $10\,\mathrm{kHz}$ : أوجد كثافة الضجيج؛ و $\tau$ من أجل نسبة إشارة إلى ضجيج مقدارها $10$ ؛ وزمن القياس. (د) ويلوّث الدخلَ التقاطُ $50\,\mathrm{Hz}$ مقداره $1\,\mathrm{mV}$ ، مع $f_0 = 1\,\mathrm{kHz}$ : فأين يذهب، وبكم يُوهَن من أجل $\tau = 1\,\mathrm{s}$ ؟

حل

حل التمرين 9.10.

(أ) $\tfrac12A\cos\varphi$ . (ب) وتقع المركّبة عند $f_0 + \delta f$ عند $\delta f$ وتمرّ في المرشّح بالمعامل $|H| = 1/\sqrt{1 + (2\pi\delta f\tau)^2}$ ؛ وينتج من مكاملة نقل الاستطاعة $\int_0^\infty\dd f/(1 + (2\pi f\tau)^2) = 1/4\tau$ . (ج) $e_n = 1\,\text{mV}/\sqrt{10^4} = 10\,\text{µ}\mathrm{V}/\sqrt{\mathrm{Hz}}$ ؛ و $e_n\sqrt B = 0.1\,\text{µ}\mathrm{V}$ يقتضي $B = 1 \times 10^{-4}\,\mathrm{Hz}$ ، و $\tau = 2500\,\mathrm{s}$ : أي ساعة لكل نقطة. (د) وإلى $950$ و $1050\,\mathrm{Hz}$ ، موهونًا بالمعامل $1/2\pi \times 950 \approx 1.7 \times 10^{-4}$ (أي $-75\,\mathrm{dB}$ ).

تمرين 9.11 ★★★

الكوارتز. تسلك بلورة كوارتز، بجوار رنينها، سلوك فرع متسلسل $L$ و $C$ و $r$ ( $L = 8000\,\mathrm{H}$ ، و $C = 3.0\,\mathrm{fF}$ ، و $r = 30\,\mathrm{k}\Omega$ ) على التفرّع مع $C_0 = 1.5\,\mathrm{pF}$ . (أ) أوجد تواتر الرنين المتسلسل وعامل الجودة $Q = L\omega_0/r$ . (ب) ولماذا يحفظ مذبذب مبني حولها تواتره حتى جزء من $10^6$ بينما ينحرف جسر فين بنسب مئوية (فكّر في ميل الطور $\dd\varphi/\dd\omega$ لشبكة التغذية الراجعة بجوار الرنين، $\sim 2Q/\omega_0$ )؟ (ج) وبلورة ساعة عند $32\,768\,\mathrm{Hz}$ تُقسَم على $2^{15}$ : فما النتيجة؟ ويتغير تواترها مثل $-0.04\,\text{جزء بالمليون}\,(T - 25{}^{\circ}\mathrm{C})^2$ : أوجد الخطأ في الشهر عند $5{}^{\circ}\mathrm{C}$ . (د) ولماذا اختير $32\,768\,\mathrm{Hz}$ لا $1\,\mathrm{MHz}$ ؟

حل

حل التمرين 9.11.

(أ) $f_0 = 1/2\pi\sqrt{LC} = 32.5\,\mathrm{kHz}$ ؛ و $Q = L\omega_0/r = 5.4 \times 10^{4}\,$ . (ب) وبجوار الرنين يدور طور التغذية الراجعة بمقدار $2Q/\omega_0$ في واحدة $\omega$ : فانزياح طور طفيلي $\delta\varphi$ يزيح التواتر بالمقدار $\delta\omega/\omega_0 = \delta\varphi/2Q$ — أي $10^{-6}$ من أجل $Q = 10^5$ ، ونسبًا مئوية من أجل $Q = 1/3$ . (ج) $1\,\mathrm{Hz}$ ؛ و $-0.04 \times 400 = -16\,\mathrm{ppm}$ : ومنه $16 \times 10^{-6} \times 2.6 \times 10^6 = 41\,\mathrm{s}$ تأخّرًا في الشهر. (د) والتواتر المنخفض يعني استطاعة منخفضة في منطق القسمة، و $2^{15}$ يقسم بالضبط إلى $1\,\mathrm{Hz}$ ، وبلورة الشوكة الرنّانة الصغيرة تتّسع لها الساعة.

تمرين 9.12 ★★★

المقاومة السالبة. مضخّم عملياتي له $R_2$ من الخرج إلى الدخل $-$ ، و $R_1$ من الدخل $-$ إلى الأرضي، و $R$ من الخرج إلى الدخل $+$ ؛ ويُدرس الثنائي القطب المرئي بين الدخل $+$ والأرضي (في النظام الخطي). (أ) بيّن أنه يسلك سلوك مقاومة $-RR_1/R_2$ . (ب) ويوصَل هذا الثنائي على دارة $LC$ متفرّعة مقاومة ضياعها $R_p$ (على التفرّع): اكتب معادلة التوتر وأوجد شرط التذبذب المستدام والتواتر. (ج) والقيم: $L = 10\,\mathrm{mH}$ ، و $C = 100\,\mathrm{nF}$ ، و $R_p = 50\,\mathrm{k}\Omega$ ؛ واختر $R$ مع $R_1 = R_2$ . (د) وما الذي يحدّ السعة، وكيف يقارَن هذا المذبذب بجسر فين؟

حل

حل التمرين 9.12.

(أ) $v_- = v_+ = v$ ، و $v_{\text{خرج}} = v(1 + R_2/R_1)$ ؛ والتيار الداخل إلى الثنائي، $i = (v - v_{\text{خرج}})/R = -vR_2/RR_1$ : ومنه $v/i = -RR_1/R_2$ . (ب) $C\dot v + v(1/R_p - R_2/RR_1) + \frac1L\int v\,\dd t = 0$ : فيستديم حين $R = R_pR_2/R_1$ ، عند $\omega = 1/\sqrt{LC}$ (وينمو من أجل $R$ أصغر). (ج) $f = 5.0\,\mathrm{kHz}$ ، و $R \lesssim 50\,\mathrm{k}\Omega$ (فلتكن $48\,\mathrm{k}\Omega$ ). (د) الإشباع؛ وعامل جودة الدارة $Q = R_p \sqrt{C/L} = 160$ يعطي تواترًا أثبت بكثير من شبكة فين.

9.7 مسألة: سلسلة قياس بالكشف القافل

مسألة 9.1

مسألة نهاية الأسبوع — من المذبذب المرجعي إلى النتيجة المرقَّمة: قياس عشرة ميكروفولتات من إشارة ضوئية تحت ميلي فولت من الضجيج

يُراد قياس ضوء خافت بثنائي ضوئي. ويُقطَّع الضوء بعجلة دوّارة عند $f_0 = 1.00\,\mathrm{kHz}$ ، بحيث يكون خرج الثنائي جيبيةً سعتها $A = 10\,\text{µ}\mathrm{V}$ عند $f_0$ (بعد مضخّم أول)، يركبها ضجيج أبيض كثافته الطيفية $e_n = 50\,\mathrm{nV}/\sqrt{\mathrm{Hz}}$ على عرض حزمة $100\,\mathrm{kHz}$ ، مضافًا إليه التقاط شبكة عند $50\,\mathrm{Hz}$ مقداره $1.0\,\mathrm{mV}$ . ويحدّد تواترَ القاطع مذبذبُ جسر فين.

الجزء I — المذبذب المرجعي. جسر فين مع $C = 10\,\mathrm{nF}$ ، ومضخّم عملياتي يشبع عند $\pm12\,\mathrm{V}$ .

أوجد $R$ من أجل $f_0 = 1.00\,\mathrm{kHz}$ .
استنتج دالة نقل شبكة فين وتحقق من أن طورها ينعدم عند $f_0$ ومقياسها $1/3$ .
اكتب المعادلة التفاضلية للحلقة من أجل كسب $K$ ؛ ومن أجل $K = 3.15$ ، أوجد الزمن اللازم كي تنمو السعة بالمعامل $1000$ .
ويحدّ الإشباعُ السعةَ في النهاية: صف الشكل الموجي، ولماذا تهمّ توافقياته في مرجع.
ومقاومة حرارية مكان $R_1$ (تهبط مقاومتها حين تسخن) أو مصباح (ترتفع): أيهما يثبّت الكسب عند 3، وكيف؟
وتنحرف المكثفات بمقدار $+1\%$ مع الحرارة: أوجد التواتر الجديد. ولماذا يظل القاطع صالحًا للقياس عندئذ (وما الذي يجب أن يفعله المرجع)؟
ولشبكة فين عامل جودة قدره نحو $1/3$ : فماذا يعني ذلك لنقاء التواتر بالقياس إلى كوارتز ( $Q \sim 10^5$ )؟

الجزء II — الإشارة والضجيج.

القيمة الفعّالة للضجيج الأبيض على $100\,\mathrm{kHz}$ كاملة؛ ونسبة الإشارة إلى الضجيج عند خرج المضخّم.
ويُدخَل مرشّح تمرير حزمة عامل جودته $Q = 10$ مركزه $f_0$ (وعرض حزمة ضجيجه $\approx f_0/Q$ ): أوجد الضجيج الفعّال والنسبة. ولماذا لا يكفي ذلك لقياس دقيق (فكّر في الانحرافات وفي $50\,\mathrm{Hz}$ )؟
ولماذا يُقطَّع الضوء عند $1\,\mathrm{kHz}$ بدل قياس التيار الضوئي المستمر مباشرةً؟ (فللمضخّمات ضجيج « $1/f$ » يرتفع دون بضع مئات من الهرتزات.)
سعة الإشارة إذا أنتجت عجلة القاطع تضمينًا مربّعًا بدل الجيبي: فأي توافقي يحتفظ به القافل، وبأي سعة (والمعامل $4/\pi$ لأساسي موجة مربّعة سعتها الواحدة)؟
ويتلقى الثنائي الضوئي ضوء الغرفة عند $100\,\mathrm{Hz}$ (أنابيب فلورية): فماذا تفعل السلسلة به؟

الجزء III — الكشف المتزامن. تُضرب الإشارة المضخَّمة في المرجع $\cos(2\pi f_0t)$ وتُرشَّح بمرشّح تمرير منخفض من الدرجة الأولى ثابت زمنه $\tau$ .

خرج الضارب من أجل الإشارة وحدها (والطور $\varphi$ بين الإشارة والمرجع)؛ والحدّ المستمر.
وهن الحدّ $2f_0$ بالمرشّح من أجل $\tau = 1\,\mathrm{s}$ (بالديسيبل).
عرض حزمة الضجيج المكافئ $1/4\tau$ ؛ والضجيج الفعّال عند الخرج من أجل $\tau = 1\,\mathrm{s}$ والنسبة؛ والأمر نفسه من أجل $\tau = 10\,\mathrm{s}$ .
وأين ينتهي التقاط $50\,\mathrm{Hz}$ ، وبأي وهن من أجل $\tau = 1\,\mathrm{s}$ ؟
والطور $\varphi$ مجهول: فما الذي يُفقَد إذا كان $\varphi = 60{}^{\circ}$ ؟ صف القافل ذا القناتين (على الطور وعلى التربيع) وكيف يستعيد $A$ مهما يكن $\varphi$ .
زمن استجابة القياس (أي الزمن اللازم لبلوغ $99\%$ من القيمة النهائية) من أجل $\tau = 1\,\mathrm{s}$ ؛ والمقايضة التي يعبّر عنها.
وينحرف المرجع إلى $1001\,\mathrm{Hz}$ بينما يبقى القاطع عند $1000\,\mathrm{Hz}$ : أوجد خرج القافل؛ ولماذا يجب أن يُؤخذ المرجع من القاطع نفسه.

الجزء IV — الترقيم.

يعايِن حاسوب خرج القافل: أوجد أصغر معدل من أجل $\tau = 1\,\mathrm{s}$ (بأخذ عرض حزمة الخرج $1/2\pi\tau$ )؛ واختيارًا مريحًا.
وبدلًا من ذلك تُرقَّم الإشارة الخام عند $1\,\mathrm{kHz}$ ويُجرى الكشف برمجيًّا: أوجد أصغر معدل معاينة؛ ويمتدّ الضجيج حتى $100\,\mathrm{kHz}$ — فما الذي يجب فعله قبل المعاينة، وأي وهن عند $100\,\mathrm{kHz}$ تعطيه معاينة عند $20\,\mathrm{kS}/\mathrm{s}$ مع مرشّح من الرتبة الرابعة مقطوع عند $5\,\mathrm{kHz}$ (أي $80\,\mathrm{dB}$ في العقد)؟
محوّل ذو $16$ بتًّا على $\pm1\,\mathrm{V}$ : أوجد الدرجة؛ والإشارة $10\,\text{µ}\mathrm{V}$ مضخَّمةً بالمعامل $1000$ : كم درجة، وهل يساعد الضجيج أم يضرّ؟
القافل الرقمي: يضرب الحاسوب كل عيّنة في $\cos(2\pi f_0nT_s)$ ويأخذ متوسط $N$ عيّنة. وعند $20\,\mathrm{kS}/\mathrm{s}$ ، أوجد $N$ من أجل متوسط على $1\,\mathrm{s}$ ؛ وبأي معامل يُخفَّض الضجيج الأبيض، وهل هو المعامل نفسه في المرشّح التماثلي؟
وإشارة عند $1\,\mathrm{kHz}$ معايَنة عند $999\,\mathrm{S}/\mathrm{s}$ : فماذا يرى الحاسوب؟ وما صلة ذلك بمبدأ القافل نفسه؟
لخّص السلسلة في جدول: كل مرحلة، وما تفعله بالإشارة، وما تفعله بالضجيج.

حل

حل المسألة 9.1.

1. $R = 1/2\pi f_0C = 15.9\,\mathrm{k}\Omega$ .

2. $\underline\beta = 1/[3 + \jmath(RC\omega - 1/RC\omega)]$ : حقيقية، و $= 1/3$ ، عند $\omega_0 = 1/RC$ .

3. $R^2C^2\ddot v + (3 - K)RC\dot v + v = 0$ ؛ وثابت الزمن $2RC/0.15 = 2.1\,\mathrm{ms}$ ؛ و $\ln1000 = 6.9$ : أي $15\,\mathrm{ms}$ .

4. جيبية مسطَّحة القمم: أي توافقيات فردية. والمرجع الغني بالتوافقيات يكشف توافقيات الإشارة كذلك (والضجيج عندها): فلا تعود النتيجة تقيس النمط الأساسي وحده.

5. المصباح: فكلما ارتفعت السعة سخن، وارتفعت $R_1$ ، وهبط $K = 1 + R_2/R_1$ إلى $3$ . وأما مقاومة حرارية مكان $R_1$ فتفعل العكس (ومكانها هو مكان $R_2$ ).

6. $f \propto 1/C$ : أي $990\,\mathrm{Hz}$ . ويُؤخذ مرجع القافل من القاطع نفسه (بكاشف على العجلة)، فيتبعه.

7. $Q \sim 1/3$ : فانزياح طور صغير في أي موضع من الحلقة يزيح التواتر بنسب مئوية؛ وأما $10^5$ الكوارتز فتحفظه حتى $10^{-6}$ .

8. $50\,\text{nV} \times \sqrt{10^5} = 16\,\text{µ}\mathrm{V}$ فعّالة: فالنسبة $0.6$ .

9. $B = 100\,\mathrm{Hz}$ : أي $0.5\,\text{µ}\mathrm{V}$ ، والنسبة $20$ — لكن مركز المرشّح ينحرف مع مركّباته، ولا يُوهَن التقاط $50\,\mathrm{Hz}$ إلا بالمقدار $\sim 1/[Q(f_0/f - f/f_0)] = 0.005$ : أي $5\,\text{µ}\mathrm{V}$ ، وهو نصف الإشارة.

10. دون بضع مئات من الهرتزات يهيمن ضجيج المضخّم $1/f$ والانحرافات؛ وعند $1\,\mathrm{kHz}$ تكون أرضية الضجيج بيضاء ومنخفضة، ولا تُحسَب الإزاحات.

11. التضمين المربّع بين $0$ و $A_0$ هو $A_0/2 + (2A_0/\pi) \cos\omega_0t + \dots$ : فيحتفظ القافل بالأساسي، أي $0.64A_0$ .

12. تُمزج $100\,\mathrm{Hz}$ إلى $900$ و $1100\,\mathrm{Hz}$ ويزيلها مرشّح التمرير المنخفض.

13. $\tfrac12A\cos\varphi + \tfrac12A\cos(2\omega_0t + \varphi)$ ؛ والحدّ المستمر $\tfrac12A\cos\varphi$ .

14. $1/2\pi f\tau = 1/2\pi \times 2000 = 8 \times 10^{-5}$ : أي $-82\,\mathrm{dB}$ .

15. $B = 1/4\tau = 0.25\,\mathrm{Hz}$ : ومنه $e_n\sqrt B = 25\,\mathrm{nV}$ مقابل $A = 10\,\text{µ}\mathrm{V}$ : فالنسبة $400$ ؛ ومن أجل $\tau = 10\,\mathrm{s}$ : $7.9\,\mathrm{nV}$ ، والنسبة $1300$ .

16. إلى $950$ و $1050\,\mathrm{Hz}$ : موهونًا بالمقدار $1/2\pi \times 950 = 1.7 \times 10^{-4}$ (أي $-75\,\mathrm{dB}$ ): ومنه $0.17\,\text{µ}\mathrm{V}$ من التموّج، أي عُشر الإشارة — ويبقى مرشّح حزّي في المنبع ذا فائدة.

17. $\cos60^\circ = 0.5$ : أي نصف الإشارة. وضارب ثانٍ مع المرجع مزاحًا $90{}^{\circ}$ يعطي $Y = \tfrac12A\sin\varphi$ ؛ ومع $X = \tfrac12A\cos\varphi$ يكون $A = 2\sqrt{X^2 + Y^2}$ و $\varphi = \arctan(Y/X)$ ، مهما يكن $\varphi$ .

18. $\tau\ln100 = 4.6\,\mathrm{s}$ ؛ ويهبط الضجيج مثل $1/\sqrt\tau$ ، وينمو زمن القياس مثل $\tau$ .

19. حدّ الفرق هو $\tfrac12A\cos(2\pi \times 1\,\text{Hz}\,t + \varphi)$ ، ويمرّره المرشّح بالمعامل $1/\sqrt{1 + (2\pi)^2} = 0.16$ : أي تذبذب بطيء بدل مستوًى. وعلى المرجع أن يكون مترابطًا مع الإشارة: فليُؤخذ من القاطع.

20. عرض الحزمة $1/2\pi\tau = 0.16\,\mathrm{Hz}$ : أي فوق $0.32\,\mathrm{S}/\mathrm{s}$ ؛ و $10\,\mathrm{S}/\mathrm{s}$ مريحة.

21. $2\,\mathrm{kS}/\mathrm{s}$ على الأقل؛ والمرشّح المضاد للالتباس واجب؛ ومن الرتبة الرابعة عند $5\,\mathrm{kHz}$ : $80\log_{10}(100/5) = 104\,\mathrm{dB}$ عند $100\,\mathrm{kHz}$ (و $46\,\mathrm{dB}$ عند $19\,\mathrm{kHz}$ ، وهو الضجيج الذي كان ليلتبس على $1\,\mathrm{kHz}$ ).

22. الدرجة $30.5\,\text{µ}\mathrm{V}$ ؛ و $10\,\mathrm{mV}$ هي $330$ درجة؛ والضجيج المضخَّم ( $16\,\mathrm{mV}$ فعّالة) يمتدّ على درجات كثيرة، ويتيح بالمتوسط تمييز المتوسط دون الدرجة الواحدة بكثير: فهو يساعد.

23. $N = 20000$ ؛ ويهبط الضجيج الأبيض بالمعامل $\sqrt N = 140$ ؛ ولمتوسط صندوقي على $1\,\mathrm{s}$ عرض حزمة ضجيج $1/2T = 0.5\,\mathrm{Hz}$ — أي ضعف عرض حزمة $RC$ التماثلي، وهو مقارب له.

24. تمشي العيّنات ببطء عبر الجيبية: أي التباس عند $1\,\mathrm{Hz}$ . والقافل يفعل الشيء نفسه عن قصد: فالمعاينة عند طور المرجع هي الضرب في المرجع.

25. القاطع: تنتقل الإشارة إلى $1\,\mathrm{kHz}$ ، والضجيج على حاله (لكن يُتجنَّب جزء $1/f$ ). والمضخّم: كلاهما $\times$ الكسب. والضارب: الإشارة إلى المستمر، والضجيج ينتشر. ومرشّح التمرير المنخفض: تُحفظ الإشارة، ويُقصّ الضجيج إلى $1/4\tau$ . والمعايِن والمحوّل: تُرقَّم الإشارة، ويتحكم المرشّح وعدد البتّات في الالتباسات والتكميم.

المصطلحات المعرَّفة في هذا الفصل

الحلقة المغلقة؛ كسب الحلقة

عرض كل المصطلحات (393) في المسرد