الفيزياء الجامعية — السنة الثانية · Bachelor Year 2

30معادلة شرودنغر والتوابع الموجية

أطلق الإلكترونات واحدًا واحدًا على شقّين وسجّل أين تقع كل واحدة: نقطة هنا، ونقطة هناك، عشوائيًّا في الظاهر — وبعد عشرة آلاف نقطة، هدب تجربة يونغ، كأن كل إلكترون مرّ من الشقّين معًا وتداخل مع نفسه. وقد لقي الفصل الأخير من مجلد السنة الأولى هذه الغرابة: فالضوء يأتي في فوتونات، وللمادة طول موجة $\lambda = h/p$ ، ولا يمكن أن يكون الموضع و كمية الحركة حادّين معًا. وما لم يعطه هو المعادلة — أي القاعدة التي تقول كيف تتطور الموجة المرافقة لجسيم، كما يقول قانون نيوتن كيف يتطور مسار. وتلك المعادلة هي معادلة شرودنغر (1926)، وبها يصير الوصف الكمومي نظرية قابلة للحساب: إذ يُكتَب تابع موجي $\psi(x,t)$ ، مربع طويلته احتمال إيجاد الجسيم، وتُحلّ معادلة تفاضلية جزئية خطية. وهذا الفصل يذكر المعادلة، ويفسّر ما تعنيه $\psi$ وما لا تعنيه، ويجد حالاتها المستقرة ورزم الموجات للجسيم الحر، ويبيّن أين يظهر ميكانيك نيوتن من جديد — من أجل كل ما هو أثقل من جزيء.

مجهر إلكتروني نافذ: للإلكترونات المسرَّعة إلى مئة كيلوفولط طول موجة قدره بضعة بيكومترات، ويصوّر تابعها الموجي، مجمَّعًا بعدسات مغناطيسية، ذرات بلورة.

30.1 ما تركه لنا مجلد السنة الأولى

قضية 30.1 (الجسيمات أمواج)

لفوتون تواتره $\nu$ الطاقة $E = h\nu = \hbar\omega$ وكمية الحركة $p = h/\lambda = \hbar k$ ؛ والجسيم المادي الذي كمية حركته $p$ يتصرف موجةً طول موجتها $\lambda = h/p$ (دي برولي)، مع $E = \hbar\omega$ و $p = \hbar k$ أيضًا — وحيود الإلكترونات على البلورات، وقياس التداخل بالنترونات بل بالجزيئات يؤكد ذلك؛ ولا حالة تكون فيها الموضع وكمية الحركة أحدّ من $\Delta x\,\Delta p \ge \hbar/2$ (هايزنبرغ). ومع $\hbar = h/2\pi = 1.05 \times 10^{-34}\,\mathrm{J}\,\mathrm{s}$ : لإلكترون عند $100\,\mathrm{eV}$ $\lambda = 0.12\,\mathrm{nm}$ ، أي حجم ذرة؛ ولحبيبة غبار $1 \times 10^{-15}\,\mathrm{kg}$ عند $1\,\mathrm{mm}/\mathrm{s}$ $\lambda = 7 \times 10^{-16}\,\mathrm{m}$ ، أي أصغر من نواة — فتتصرف تصرفًا كلاسيكيًّا.

برهان. مذكور من مجلد السنة الأولى؛ والمهمة الآن ديناميك الموجة. ∎

نقش حيود إلكتروني مسجَّل في مجهر إلكتروني (وهو نقش كيكوتشي من بلورة): إلكترونات طول موجتها بضعة بيكومترات، محيدة على المستويات الذرية — أي المادة تتصرف موجةً (المعهد الوطني الأمريكي للمعايير والتقانة).

30.2 التابع الموجي

تعريف 30.2 (التابع الموجي وقاعدة بورن)

تُوصَف حالة جسيم يتحرك وفق $x$ بواسطة تابع موجي عقدي $\psi(x,t)$ بحيث يكون

\dd\mathcal P = |\psi(x,t)|^2\,\dd x

احتمال إيجاد الجسيم بين $x$ و $x + \dd x$ عند اللحظة $t$ (وهي قاعدة بورن)؛ ومن ثَمّ التنظيم $\int_{-\infty}^{\infty}|\psi|^2\dd x = 1$ ، و القيم المتوقعة $\langle x\rangle = \int x|\psi|^2\dd x$ ، و $\Delta x^2 = \langle x^2\rangle - \langle x\rangle^2$ . والتوابع الموجية تحقق مبدأ التراكب: فإذا كانت $\psi_1$ و $\psi_2$ حالتين ممكنتين، كانت $\alpha\psi_1 + \beta\psi_2$ كذلك (منظَّمةً)، وتحوي الاحتمالات عندئذ حدّ التداخل $2\operatorname{Re}(\alpha^*\beta\,\psi_1^*\psi_2)$ . وعامل الطور الشامل $\eu^{\iu\theta}$ لا يغيّر شيئًا؛ أما الطور النسبي بين مركّبتين متراكبتين فيغيّر التداخل.

ملاحظة 30.3 (ما ليست $\psi$ )

ليست $\psi$ حقلًا كلاسيكيًّا منتشرًا في الفضاء مثل $\vect E$ ، ولا غيمة مادة: فالإلكترون يوجد دائمًا كاملًا، في نقطة واحدة. و $\psi$ سعة احتمال، وهي الشيء الذي يتداخل؛ ولا يُرصَد إلا $|\psi|^2$ ، ولا إحصائيًّا إلا، بتكرار التجربة على جسيمات محضَّرة تحضيرًا متطابقًا. ونقاط الشقّين إلكترونات مفردة؛ والهدب هي $|\psi_1 + \psi_2|^2$ .

30.3 معادلة شرودنغر

مبرهنة 30.4 (معادلة شرودنغر)

لجسيم كتلته $m$ في طاقة كامنة $V(x)$ تابع موجي يحقق

\iu\hbar\,\frac{\partial\psi}{\partial t} = -\frac{\hbar^2}{2m}\,\frac{\partial^2\psi}{\partial x^2} + V(x)\,\psi .

وهي خطية (فالتراكب)، ومن المرتبة الأولى في الزمن (فالتابع الموجي عند لحظة يحدده في كل اللحظات التالية)، وعقدية ( $\psi$ لا يمكن أن تكون حقيقية: فالوحدة التخيلية $\iu$ جوهرية). وهي مصادرة، تبرّرها نتائجها.

برهان. تسويغ لا برهان. فالجسيم الحرّ ذو كمية الحركة الحادّة $p = \hbar k$ والطاقة $E = \hbar\omega$ ينبغي أن يكون موجة مستوية $\psi = A\eu^{\iu(kx - \omega t)}$ ، ولها $\iu\hbar\partial_t\psi = \hbar\omega\psi = E\psi$ و $-(\hbar^2/2m)\partial_x^2\psi = (\hbar^2k^2/2m)\psi = (p^2/2m)\psi$ . فالعلاقة الكلاسيكية $E = p^2/2m$ تعيد إنتاجها المعادلة $\iu\hbar\partial_t\psi = -(\hbar^2/2m)\partial_x^2\psi$ ، والتعميم الطبيعي من أجل $E = p^2/2m + V$ يضيف $V\psi$ . ولاحظ أن المعادلة يجب أن تكون خطية لتصحّ من أجل تراكبات الأمواج المستوية، و من المرتبة الأولى في الزمن مع $\iu$ حتى يكون $\eu^{-\iu\omega t}$ لا $\cos\omega t$ هو التعلق بالزمن — إذ كانت معادلة أمواج حقيقية تعطي $E^2 \propto p^4$ . ∎

قضية 30.5 (حفظ الاحتمال)

كثافة الاحتمال $\rho = |\psi|^2$ وتيار الاحتمال

j = \frac{\hbar}{m}\operatorname{Im}\Big(\psi^*\frac{\partial\psi}{\partial x}\Big) = \frac{\hbar}{2\iu m}\Big(\psi^*\partial_x\psi - \psi\,\partial_x\psi^*\Big)

يحققان $\partial_t\rho + \partial_xj = 0$ : فالاحتمال لا يُحدَث ولا يُتلَف، ويبقى $\int|\psi|^2\dd x$ مساويًا $1$ . ومن أجل موجة مستوية $A\eu^{\iu kx}$ ، $j = |A|^2\hbar k/m = \rho v$ : أي الكثافة في السرعة، كما في أي جريان.

برهان. $\partial_t(\psi^*\psi) = \psi^*\partial_t\psi + \psi\,\partial_t\psi^*$ ؛ ومن المعادلة ومرافقتها، $\partial_t\psi = (\iu\hbar/2m)\partial_x^2\psi - (\iu/\hbar)V\psi$ ، و $\partial_t\psi^* = -(\iu\hbar/2m)\partial_x^2\psi^* + (\iu/\hbar)V\psi^*$ ؛ فيُختصر حدّا $V$ والباقي هو $(\iu\hbar/2m)(\psi^* \partial_x^2\psi - \psi\,\partial_x^2\psi^*) = -\partial_xj$ . ∎

قضية 30.6 (كمية الحركة والقيم المتوقعة والحدّ الكلاسيكي)

تُنال كمية حركة حالة بالمؤثر $\hat p = -\iu\hbar\,\partial_x$ (الذي يعطي $\hbar k$ على موجة مستوية): $\langle p\rangle = \int\psi^*(-\iu\hbar\partial_x\psi)\dd x$ ، وتُنال الطاقة بالمؤثر $\hat H = -(\hbar^2/2m)\partial_x^2 + V$ . والقيم المتوقعة تحقق (إهرنفست)

\frac{\dd\langle x\rangle}{\dd t} = \frac{\langle p\rangle}{m}, \qquad \frac{\dd\langle p\rangle}{\dd t} = -\Big\langle\frac{\dd V}{\dd x}\Big\rangle :

فمركز رزمة الموجة يتبع قانون نيوتن بالضبط حين تكون $V$ تربيعية على الأكثر، وبالتقريب متى كانت الرزمة ضيقة بالقياس إلى السلّم الذي تتغير عليه $V$ — وهو الحدّ الكلاسيكي، وهو يصحّ من أجل أي جسم عياني لأن $\hbar$ صغيرة إلى هذا الحدّ.

برهان. اشتقّ $\langle x\rangle = \int x|\psi|^2$ ، واستعمل $\partial_t\rho = -\partial_xj$ وكامِل بالتجزئة: $\dd\langle x\rangle/\dd t = \int j\,\dd x = \langle p\rangle/m$ . والعلاقة الثانية هي الحساب نفسه من مرتبة أعلى (وهو مقبول هنا). ∎

30.4 الحالات المستقرة

مبرهنة 30.7 (الحالات المستقرة)

إذا لم تتعلق $V$ بالزمن، كانت للمعادلة حلول من الشكل المفصول

\psi(x,t) = \varphi(x)\,\eu^{-\iu Et/\hbar}, \qquad -\frac{\hbar^2}{2m}\,\varphi'' + V\varphi = E\varphi

(وهي معادلة شرودنغر المستقلة عن الزمن): أي الحالات المستقرة، ذات الطاقة المعيَّنة $E$ ، وكثافة احتمالها $|\varphi|^2$ لا تتحرك. والطاقات $E$ التي تكون $\varphi$ من أجلها مقبولة (محدودة، وقابلة للتنظيم في حالة مرتبطة) هي مستويات الطاقة؛ والحلّ العام تراكب $\psi = \sum_nc_n\varphi_n(x)\eu^{-\iu E_nt/\hbar}$ ، ولتراكب مستويين كثافة تتذبذب عند تواتر بور $\nu_{21} = (E_2 - E_1)/h$ — وهو تواتر الضوء الذي تصدره الذرة أو تمتصّه.

برهان. عوّض $\varphi(x)f(t)$ : $\iu\hbar f'/f = (-\hbar^2\varphi''/2m + V\varphi)/\varphi$ ، أي تابع في $t$ يساوي تابعًا في $x$ ، فهو ثابت $E$ ؛ و $f = \eu^{-\iu Et/\hbar}$ . ومن أجل مستويين، $|c_1\varphi_1\eu^{-\iu E_1t/\hbar} + c_2\varphi_2\eu^{-\iu E_2t/\hbar}|^2 = |c_1\varphi_1|^2 + |c_2\varphi_2|^2 + 2\operatorname{Re}(c_1^*c_2\varphi_1^*\varphi_2\eu^{-\iu(E_2 - E_1)t/\hbar})$ . وتمام الحالات المستقرة مقبول. ∎

حالة مستقرة: المقطع المكاني (x) (وهو هنا الحالة الأساسية لبئر) مضروبًا في شعاع طوري يدور بالمعدل E/؛ فيدور الجزآن الحقيقي والتخيلي أحدهما في الآخر بينما يقف | |2. — حالة مستقرة: المقطع المكاني $\varphi(x)$ (وهو هنا الحالة الأساسية لبئر) مضروبًا في شعاع طوري يدور بالمعدل $E/\hbar$ ؛ فيدور الجزآن الحقيقي والتخيلي أحدهما في الآخر بينما يقف $|\psi|^2$ .

تراكب أدنى حالتين في بئر: تتمايل الكثافة من جهة إلى أخرى عند تواتر بور (E_2 - E_1)/h — أي شحنة متذبذبة، ومن ثَمّ () ثنائي قطب مشعّ عند تواتر الخط الطيفي بالضبط. — تراكب أدنى حالتين في بئر: تتمايل الكثافة من جهة إلى أخرى عند تواتر بور $(E_2 - E_1)/h$ — أي شحنة متذبذبة، ومن ثَمّ (الفصل 17) ثنائي قطب مشعّ عند تواتر الخط الطيفي بالضبط.

30.5 الجسيم الحرّ: الأمواج المستوية ورزم الموجات

قضية 30.8 (الجسيم الحرّ)

من أجل $V = 0$ تكون الحالات المستقرة هي الأمواج المستوية $\eu^{\iu(kx - \omega t)}$ مع

E = \hbar\omega = \frac{\hbar^2k^2}{2m}, \qquad v_\varphi = \frac{\omega}{k} = \frac{\hbar k}{2m}, \qquad v_{\text{g}} = \frac{\dd\omega}{\dd k} = \frac{\hbar k}{m} = \frac{p}{m} :

فأمواج المادة مبدِّدة؛ وليس لسرعة الطور معنى فيزيائي، وسرعة المجموعة هي سرعة الجسيم. والموجة المستوية غير قابلة للتنظيم — إذ الجسيم ذو كمية الحركة الحادّة تمامًا منتشر على الفضاء كله — ومن ثَمّ فالجسيم الحقيقي رزمة موجة، أي تراكب أمواج مستوية على نطاق $\Delta k$ ، موضَّعة على $\Delta x \sim 1/\Delta k$ ، تتحرك بالسرعة $v_{\text{g}}$ و تنتشر: فرزمة غاوسية عرضها الابتدائي $\sigma_0$ لها عند اللحظة $t$ العرض

\sigma(t) = \sigma_0\sqrt{1 + \Big(\frac{\hbar t}{2m\sigma_0^2}\Big)^2}, \qquad \tau = \frac{2m\sigma_0^2}{\hbar} ,

وتحقق $\Delta x\,\Delta p = \hbar/2$ عند $t = 0$ (وهو الأصغر المسموح) وأكثر منه لاحقًا.

برهان. تنتج علاقة التبدد من المعادلة؛ و $v_{\text{g}}$ كما في الفصل 8. وتأتي صيغة الانتشار من تركيب فورييه للرزمة — إذ تلتقط كل مركّبة $\eu^{\iu kx}$ الطور $\eu^{-\iu\hbar k^2t/2m}$ ، ويعطي التكامل الغاوسي بمعامل عقدي غاوسيًّا متزايد العرض؛ وتكامل فورييه أداة مجلد رياضيات السنة الثالثة ونقبل النتيجة. وأما فيزيائيًّا: فالرزمة تحوي كميات حركة منتشرة على $\Delta p = \hbar/2\sigma_0$ ، ومن ثَمّ سرعات منتشرة على $\Delta v = \hbar/2m\sigma_0$ ، وبعد $t$ تكون المركّبات الأسرع قد سبقت الأبطأ بالمقدار $\Delta v\,t$ — وهذا ما تقوله الصيغة بالضبط. ∎

على اليسار: منحني تبدد الجسيم الحرّ، مع سرعة المجموعة (وهي المماس) وسرعة الطور (وهي الوتر إلى المبدأ)، وهي نصفها. وعلى اليمين: رزمة غاوسية تتحرك بالسرعة v_ g وتنتشر — وعرضها أكبر بالعامل √2 بعد = 2m _02/، وقمتها أدنى، ومساحتها ثابتة. — على اليسار: منحني تبدد الجسيم الحرّ، مع سرعة المجموعة (وهي المماس) وسرعة الطور (وهي الوتر إلى المبدأ)، وهي نصفها. وعلى اليمين: رزمة غاوسية تتحرك بالسرعة $v_{\text{g}}$ وتنتشر — وعرضها أكبر بالعامل $\sqrt2$ بعد $\tau = 2m\sigma_0^2/\hbar$ ، وقمتها أدنى، ومساحتها ثابتة.

مثال 30.9 (من ينتشر)

إلكترون موضَّع ضمن $\sigma_0 = 1\,\mathrm{nm}$ : $\tau = 2m\sigma_0^2/\hbar = 1.7 \times 10^{-14}\,\mathrm{s}$ — فبعد نانوثانية تصير رزمته بعرض $60\,\text{µ}\mathrm{m}$ : فالإلكترون المتروك وحده لا يبقى في مكانه؛ وهو مرتبطًا في ذرة لا ينتشر لأن الكمون يمسكه (أي حالة مستقرة). وحبيبة غبار $1 \times 10^{-15}\,\mathrm{kg}$ موضَّعة في $1\,\text{µ}\mathrm{m}$ : $\tau = 2 \times 10^{7}\,\mathrm{s}$ ، أي ثمانية أشهر؛ ورصاصة: أطول من عمر الكون. فالانتشار الكمومي حقيقي، وغير مرئي في كل ما يمكن رؤيته.

ملاحظة 30.10 (الطاقة والزمن)

الحالة التي لا توجد إلا خلال $\Delta t$ — كذرة مثارة عمرها $\tau$ ، أو قطار موجة طوله $c\tau$ — تراكب طاقات منتشرة على $\Delta E \sim \hbar/\Delta t$ : أي علاقة فورييه في الفصل 18 بين مدة قطار وعرضه الطيفي، مطبَّقةً الآن على $E = \hbar\omega$ . ولمستوٍ ذري عمره $10\,\mathrm{ns}$ عرض $\Delta E = 7 \times 10^{-8}\,\mathrm{eV}$ ، أي عرض خط طبيعي قدره $16\,\mathrm{MHz}$ ؛ وعرض دوبلر في الفصل 23 ( $1.5\,\mathrm{GHz}$ ) يخفيه في غاز، لا في ذرة باردة أو شاردة ساكنة.

طريقة 30.11 (العمل بالتوابع الموجية)

(1) نظِّم؛ والاحتمالات هي $\int|\psi|^2$ على المنطقة. (2) ومع $V$ مستقلة عن الزمن: ابحث عن $\varphi(x)\eu^{-\iu Et/\hbar}$ ، وحلّ المعادلة المستقرة، وافرض الشروط الحدية — فالمستويات. (3) وتراكَب الحالات المستقرة من أجل التطور؛ ومستويان يضربان عند $(E_2 - E_1)/h$ . (4) والحركة الحرة: $v_{\text{g}} = p/m$ ، وزمن الانتشار $2m\sigma_0^2/\hbar$ . (5) والتيارات: $j = (\hbar/m)\operatorname{Im}(\psi^*\psi')$ ؛ ومن أجل $A\eu^{\iu kx} + B\eu^{-\iu kx}$ ، $j = (|A|^2 - |B|^2)\hbar k/m$ (بلا حدّ متقاطع). (6) والحدّ الكلاسيكي: إهرنفست، و $\lambda$ في وجه حجم الجهاز.

30.6 تمارين

تمرين 30.1 ★

أطوال موجة دي برولي: لإلكترون عند $100\,\mathrm{eV}$ ، و $10\,\mathrm{keV}$ ، و $100\,\mathrm{keV}$ (استعمل $p = \sqrt{2mE}$ ، ثم قل لمَ يحتاج الأخير إلى تصحيح)؛ ولنترون حراري ( $25\,\mathrm{meV}$ ، و $m = 1.67 \times 10^{-27}\,\mathrm{kg}$ )؛ ولجزيء C $_{60}$ ( $m = 1.2 \times 10^{-24}\,\mathrm{kg}$ ) عند $200\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ؛ ولكرة تنس. فأيّها يُظهر تداخلًا؟

حل

حل التمرين 30.1.

$h/\sqrt{2mE}$ : $0.123\,\mathrm{nm}$ ، $12.3\,\mathrm{pm}$ ، $3.9\,\mathrm{pm}$ (وعند $100\,\mathrm{keV}$ تكون الطاقة الحركية خُمس $mc^2$ ؛ وكمية الحركة النسبية تعطي $3.7\,\mathrm{pm}$ )؛ والنترون $0.18\,\mathrm{nm}$ ؛ و C $_{60}$ $2.8\,\mathrm{pm}$ ؛ وكرة التنس $\sim 10^{-34}\,\mathrm{m}$ . وكلها إلا الكرة أظهرت تداخلًا.

تمرين 30.2 ★

$\psi(x) = A\eu^{-x^2/2a^2}$ : أوجد $A$ (استعمل $\int\eu^{-u^2}\dd u = \sqrt\pi$ )؛ و $\langle x\rangle$ ، و $\Delta x$ ؛ واحتمال إيجاد الجسيم في $|x| < a$ ( $\operatorname{erf}(1) = 0.84$ ) وفي $|x| < 2a$ ( $0.9995$ ).

حل

حل التمرين 30.2.

$A = (\pi a^2)^{-1/4}$ ؛ و $\langle x\rangle = 0$ ، و $\Delta x = a/\sqrt2$ ؛ و $0.84$ ؛ و $0.9995$ .

تمرين 30.3 ★

تحقق من أن $\varphi(x)\eu^{-\iu Et/\hbar}$ يحلّ المعادلة حين تحلّ $\varphi$ المستقرةَ. وأوجد تواتر الشعاع الطوري من أجل $E = 1\,\mathrm{eV}$ ؛ ومن أجل تراكب مستويين بينهما $2\,\mathrm{eV}$ ، أوجد تواتر تذبذب $|\psi|^2$ وطول موجته — وتواتر الضوء المصدَر وطوله.

حل

حل التمرين 30.3.

التعويض يعطي $E\varphi = -(\hbar^2/2m)\varphi'' + V\varphi$ . و $E/h = 2.4 \times 10^{14}\,\mathrm{Hz}$ ؛ و $4.8 \times 10^{14}\,\mathrm{Hz}$ ، و $620\,\mathrm{nm}$ : أي الضوء الأحمر الذي يصدره الانتقال.

تمرين 30.4 ★

أوجد زمن الانتشار $\tau = 2m\sigma_0^2/\hbar$ والعرض بعد $1\,\mathrm{ns}$ وبعد $1\,\mathrm{s}$ : من أجل إلكترون مع $\sigma_0 = 1\,\mathrm{nm}$ و $\sigma_0 = 1\,\mathrm{mm}$ ؛ وبروتون مع $\sigma_0 = 1\,\mathrm{nm}$ ؛ وحبيبة $1 \times 10^{-12}\,\mathrm{kg}$ مع $\sigma_0 = 1\,\text{µ}\mathrm{m}$ . ولمَ تبقى الأجسام حيث تُوضَع؟

حل

حل التمرين 30.4.

الإلكترون، $1\,\mathrm{nm}$ : $\tau = 1.7 \times 10^{-14}\,\mathrm{s}$ ، و $60\,\text{µ}\mathrm{m}$ بعد $1\,\mathrm{ns}$ ، و $60\,\mathrm{km}$ بعد $1\,\mathrm{s}$ ؛ ومع $1\,\mathrm{mm}$ : $\tau = 17\,\mathrm{s}$ ، بلا تغير بعد $1\,\mathrm{ns}$ ، و $+0.2\%$ بعد $1\,\mathrm{s}$ ؛ والبروتون، $1\,\mathrm{nm}$ : $\tau = 3.2 \times 10^{-11}\,\mathrm{s}$ ، و $30\,\mathrm{nm}$ ، و $30\,\mathrm{m}$ ؛ والحبيبة: $\tau = 600$ سنة. وللأجسام المرئية يكون $\tau$ فلكيًّا — ومحيطها يعيد توضيعها باستمرار.

تمرين 30.5 ★★

التيار. (أ) استنتج معادلة الاستمرار. (ب) وأوجد $j$ من أجل $A\eu^{\iu kx}$ ، ومن أجل $A\sin kx$ ، ومن أجل $A\eu^{\iu kx} + B\eu^{-\iu kx}$ . (ج) ولمَ يكون غياب الحدّ المتقاطع في الحالة الأخيرة قولًا بأن التدفقين المنعكس والوارد يتطارحان لا غير؟ (د) وبيّن أن $j = 0$ من أجل تابع موجي حقيقي: فالحالة المستقرة المرتبطة لا تحمل تيارًا.

حل

حل التمرين 30.5.

(أ) القضية 30.5. (ب) و $|A|^2\hbar k/m$ ؛ و $0$ ؛ و $(|A|^2 - |B|^2)\hbar k/m$ . (ج) والتدفقان الوارد والمنعكس يتطارحان بلا حدّ تداخل: فيمكن تعريف معاملي النفاذ والانعكاس من التدفقات. (د) و $\psi^*\psi'$ حقيقي، فجزؤه التخيلي معدوم.

تمرين 30.6 ★★

رزمة غاوسية. $\psi(x,0) = A\eu^{\iu k_0x}\eu^{-x^2/4\sigma^2}$ . (أ) أوجد $A$ ، و $\langle x\rangle$ ، و $\Delta x$ . (ب) و $\langle p\rangle$ مع $\hat p = -\iu\hbar\partial_x$ . (ج) وبقبول $\Delta p = \hbar/2\sigma$ ، تحقق من $\Delta x\Delta p = \hbar/2$ . (د) وبرهن $\dd\langle x\rangle/\dd t = \langle p\rangle/m$ من معادلة الاستمرار.

حل

حل التمرين 30.6.

(أ) $A = (2\pi\sigma^2)^{-1/4}$ ، و $\langle x\rangle = 0$ ، و $\Delta x = \sigma$ . (ب) و $\hbar k_0$ . (ج) و $\sigma \times \hbar/2\sigma = \hbar/2$ . (د) و $\dd\langle x\rangle/\dd t = \int x\, \partial_t\rho = -\int x\,\partial_xj = \int j = (\hbar/m)\operatorname{Im}\int\psi^* \psi' = \langle p\rangle/m$ .

تمرين 30.7 ★★

إلكترونات في أنبوب. إلكترونات مسرَّعة عبر $100\,\mathrm{V}$ تقطع $30\,\mathrm{cm}$ . (أ) أوجد السرعة وطول الموجة وزمن الطيران. (ب) والسرعتين الطورية والزمرية؛ فأيّهما سرعة الإلكترون؟ (ج) ورزمة عرضها ابتداءً $10\,\text{µ}\mathrm{m}$ : أوجد زمن الانتشار والعرض عند الوصول. (د) والحيود على فتحة $0.3\,\mathrm{mm}$ في الطريق: أوجد الانتشار الزاوي والبقعة على الشاشة. أتصحّ صورة الأشعة؟

حل

حل التمرين 30.7.

(أ) $5.9 \times 10^{6}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ، و $0.123\,\mathrm{nm}$ ، و $51\,\mathrm{ns}$ . (ب) و $v_\varphi = 3.0 \times 10^{6}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ، و $v_{\text{g}} = 5.9 \times 10^{6}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ : فالأخيرة. (ج) و $\tau = 1.7\,\text{µ}\mathrm{s} \gg 51\,\mathrm{ns}$ : أي بلا تغير. (د) و $\lambda/a = 4 \times 10^{-7}\,\mathrm{rad}$ ، و $0.1\,\text{µ}\mathrm{m}$ : فالأشعة صالحة.

تمرين 30.8 ★★

الأطوار. (أ) بيّن أن $\psi$ و $\eu^{\iu\theta}\psi$ تعطيان التنبؤات نفسها. (ب) ومن أجل $\psi = (\psi_1 + \eu^{\iu\alpha}\psi_2)/\sqrt2$ ، اكتب $|\psi|^2$ وبيّن أن $\alpha$ يهمّ. (ج) وفي الشقّين، ما $\psi_1$ و $\psi_2$ ، وما الذي يثبّت طورهما النسبي عند نقطة من الشاشة؟ (د) ولمَ يهدم كشفُ الشقّ الذي عبره الإلكترون الهدبَ (نوعيًّا)؟

حل

حل التمرين 30.8.

(أ) $|\psi|^2$ وكل قيمة متوقعة لا تتغير. (ب) و $\tfrac12(|\psi_1|^2 + |\psi_2|^2) + \operatorname{Re}(\eu^{\iu\alpha}\psi_1^*\psi_2)$ . (ج) وهما الموجتان الآتيتان من الشقّين؛ وطورهما النسبي $k(r_2 - r_1)$ . (د) وينتهي الكاشف إلى حالتين مختلفتين من أجل المسارين؛ فلا تتداخل المركّبتان بعد ذلك، ويكون النقش مجموع نقشي شقّ واحد.

تمرين 30.9 ★★

إهرنفست. (أ) من أجل $V = \tfrac12m\omega^2x^2$ ، بيّن أن $\langle x\rangle$ يحقق بالضبط $\ddot{\langle x\rangle} = -\omega^2\langle x\rangle$ . (ب) ومن أجل $V = mgx$ ، تسقط $\langle x\rangle$ كحجر. (ج) ومن أجل $V$ عامة، متى يكون $\langle V'(x)\rangle \approx V'(\langle x\rangle)$ ؟ (د) وخرزة $1\,\mathrm{g}$ في وعاء: قدّر حجم رزمتها اللازم لتكون “كمومية” وقارنه بذرة.

حل

حل التمرين 30.9.

(أ) $\langle V'\rangle = m\omega^2\langle x\rangle$ : أي بالضبط. (ب) و $\langle V'\rangle = mg$ : أي بالضبط. (ج) وحين تكون الرزمة ضيقة في وجه السلّم الذي تتغير عليه $V''$ . (د) وطول موجتها عند $0.1\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ هو $10^{-29}\,\mathrm{m}$ ؛ وكانت الرزمة يجب أن تكون بعرض الوعاء لتهمّ. وطول موجة الذرة الحراري، $0.1\,\mathrm{nm}$ ، هو حجمها نفسه.

تمرين 30.10 ★★★

التمايل. في صندوق $0 < x < L$ بجدران لا تُخترَق تكون الحالات المستقرة $\varphi_n = \sqrt{2/L}\sin(n\pi x/L)$ ، و $E_n = n^2h^2/8mL^2$ (الفصل 31). خذ $\psi = (\varphi_1\eu^{-\iu E_1t/\hbar} + \varphi_2\eu^{-\iu E_2t/\hbar})/\sqrt2$ . (أ) أوجد $|\psi|^2$ بدلالة الزمن. (ب) وبيّن $\langle x\rangle = L/2 - (16L/9\pi^2)\cos\omega_{21}t$ (استعمل $\int_0^L x\sin(\pi x/L)\sin(2\pi x/L)\dd x = -8L^2/9\pi^2$ ). (ج) ومن أجل إلكترون، $L = 1\,\mathrm{nm}$ : أوجد $E_2 - E_1$ ، و تواتر التذبذب وطول موجته. (د) وماذا تفعل شحنة متذبذبة (الفصل 17)؟ واستنتج ما يخصّ الخطوط الطيفية.

حل

حل التمرين 30.10.

(أ) $\tfrac12(\varphi_1^2 + \varphi_2^2) + \varphi_1\varphi_2\cos\omega_{21}t$ . (ب) و $L/2 + \cos\omega_{21}t\int x\varphi_1\varphi_2 = L/2 - (16L/9\pi^2)\cos\omega_{21}t$ . (ج) و $3h^2/8mL^2 = 1.13\,\mathrm{eV}$ ، و $2.7 \times 10^{14}\,\mathrm{Hz}$ ، و $1.1\,\text{µ}\mathrm{m}$ . (د) وهي تشعّ عند $\nu_{21}$ : أي الخط؛ وللحالة المستقرة الصرفة لا ثنائي قطب متذبذب فلا تشعّ.

تمرين 30.11 ★★★

الانتشار، مستنتَجًا. الرزمة $\psi(x,0) \propto \eu^{-x^2/4\sigma_0^2}$ هي التراكب $\int g(k)\eu^{\iu kx}\dd k$ مع $g(k) \propto \eu^{-\sigma_0^2k^2}$ (وهو مقبول: فتحويل فورييه لغاوسي غاوسيٌّ، عرضه $1/2\sigma_0$ في $k$ ). (أ) اكتب $\psi(x,t)$ بإعطاء كل مركّبة طورها $\eu^{-\iu\hbar k^2t/2m}$ . (ب) وأتمّ المربع في الأسّ واقبل $\int\eu^{-\alpha k^2 + \beta k}\dd k = \sqrt{\pi/\alpha}\, \eu^{\beta^2/4\alpha}$ من أجل $\alpha$ عقدية جزؤها الحقيقي موجب: بيّن أن $|\psi|^2$ غاوسي عرضه $\sigma(t) = \sigma_0\sqrt{1 + (\hbar t/2m \sigma_0^2)^2}$ . (ج) وفسّر $\tau$ بالمقدار $\Delta v = \Delta p/m$ . (د) ولمَ لا تنتشر رزمة فوتونات في الخلاء؟

حل

حل التمرين 30.11.

(أ) $\psi \propto \int\eu^{-\sigma_0^2k^2}\eu^{\iu(kx - \hbar k^2t/2m)}\dd k$ . (ب) و $\alpha = \sigma_0^2 + \iu\hbar t/2m$ ، و $\beta = \iu x$ : $|\psi|^2 \propto \exp[-x^2/2\sigma_0^2(1 + (\hbar t/2m\sigma_0^2)^2)]$ . (ج) و $\Delta v = \hbar/2m\sigma_0$ ، و $\Delta v\,\tau = \sigma_0$ . (د) و $\omega = ck$ : فلا تبدد، وكل المركّبات عند $c$ .

تمرين 30.12 ★★★

الطاقة والزمن. (أ) الحالة المتحللة وفق $\eu^{-t/2\tau}\eu^{-\iu E_0t/\hbar}$ (واحتمالها $\eu^{-t/\tau}$ ) تراكب طاقات: وبقبول أن توزيع طاقتها لورنتزي عرضه الكامل $\Gamma = \hbar/\tau$ ، أعطِ $\Gamma$ من أجل $\tau = 10\,\mathrm{ns}$ (ذرة)، و $1 \times 10^{-8}\,\mathrm{s}$ ، و $1 \times 10^{-23}\,\mathrm{s}$ (رنين هادروني، بالميغا إلكترون فولت). (ب) وعرض الخط الطبيعي للمستوي $10\,\mathrm{ns}$ بالتواتر؛ وقارنه بعرض دوبلر $1.5\,\mathrm{GHz}$ . (ج) وكيف يُرى العرض الطبيعي (بالذرات الباردة، والشوارد المحبوسة)؟ (د) واربطه بطول ترابط قطار الموجة المصدَر.

حل

حل التمرين 30.12.

(أ) $\Gamma = \hbar/\tau$ : $6.6 \times 10^{-8}\,\mathrm{eV}$ ؛ و $6.6 \times 10^{-8}\,\mathrm{eV}$ ؛ و $66\,\mathrm{MeV}$ . (ب) و $1/2\pi\tau = 16\,\mathrm{MHz}$ ، أي أقلّ بمئة مرة من دوبلر. (ج) وفي الذرات الباردة والشوارد المحبوسة يزول عرض دوبلر ويُبلَغ العرض الطبيعي — وهو أساس معايير التواتر. (د) و $c\tau = 3\,\mathrm{m}$ ، أي طول القطار.

30.7 مسألة: الإلكترون في أنبوب وانتشار رزمة موجية

مسألة 30.1

مسألة نهاية الأسبوع — متى يكون الإلكترون جسيمًا، ومتى موجة

المعطيات: $h = 6.63 \times 10^{-34}\,\mathrm{J}\,\mathrm{s}$ ، و $\hbar = 1.05 \times 10^{-34}\,\mathrm{J}\,\mathrm{s}$ ، و $m_{\text{e}} = 9.11 \times 10^{-31}\,\mathrm{kg}$ ، و $e = 1.60 \times 10^{-19}\,\mathrm{C}$ ، و $m_{\text{p}} = 1.67 \times 10^{-27}\,\mathrm{kg}$ .

الجزء الأول — أنبوب الأشعة المهبطية. تغادر الإلكترونات مهبطًا ساخنًا بطاقة مهمَلة، وتُسرَّع عبر $U = 20\,\mathrm{kV}$ ، وتعبر فتحة $0.3\,\mathrm{mm}$ ، وتصدم شاشة على بعد $40\,\mathrm{cm}$ .

أوجد السرعة وكمية الحركة (لانسبيًّا)؛ وطول موجة دي برولي.
والطاقة الحركية $4\%$ من $mc^2$ : أتكون المعالجة اللانسبية مقبولة في هذه المسألة؟
وزمن الطيران إلى الشاشة.
والحيود على الفتحة: أوجد الانتشار الزاوي $\sim\lambda/a$ و البقعة التي يعطيها على الشاشة؛ وقارنها ببكسل ( $0.3\,\mathrm{mm}$ ).
وهايزنبرغ عند الفتحة: $\Delta p_y \gtrsim \hbar/2a$ يعطي الانتشار نفسه — تحقق.
ورزمة عرضها $0.3\,\mathrm{mm}$ على امتداد الحزمة: أوجد زمن الانتشار $2m\sigma_0^2/\hbar$ والعرض عند الشاشة.
وتطبّق صفيحتا الانحراف قوة مستعرضة: فبإهرنفست، كيف تتحرك $\langle y\rangle$ ؟ واستنتج أن الأنبوب جهاز كلاسيكي.
وسرعة الطور لموجة الإلكترون؛ ولمَ لا يكون اختلافها عن سرعة الإلكترون مفارقة؟

الجزء الثاني — رزم الموجات.

من أجل رزمة غاوسية عرضها $\sigma_0$ : أوجد $\Delta p$ و انتشار السرعة $\Delta v$ .
وزمن الانتشار من أجل إلكترون مع $\sigma_0 = 0.1\,\mathrm{nm}$ ، و $1\,\mathrm{nm}$ ، و $1\,\text{µ}\mathrm{m}$ ؛ ومن أجل بروتون مع $1\,\mathrm{nm}$ ؛ ومن أجل فيروس ( $1 \times 10^{-17}\,\mathrm{kg}$ ) مع $10\,\mathrm{nm}$ .
والإلكترون في ذرة الهدروجين موضَّع في $0.1\,\mathrm{nm}$ ولا ينتشر: فلماذا؟
وإلكترون حرّ عند $1\,\mathrm{eV}$ مع $\sigma_0 = 1\,\mathrm{nm}$ : كم يقطع قبل أن يتضاعف عرضه؟ وقارن ذلك بطول الموجة.
وفي معدن تكون إلكترونات النقل أمواجًا $\lambda \approx 0.5\,\mathrm{nm}$ على البلورة كلها: فبأي معنى تكون “غير موضَّعة”؟
ولمجهر إلكتروني عند $100\,\mathrm{keV}$ $\lambda \approx 4\,\mathrm{pm}$ ، ومع ذلك لا يميّز إلا $0.1\,\mathrm{nm}$ : فلماذا (إذ تقبل عدساته المغناطيسية نصف زاوية نحو $10\,\mathrm{mrad}$ )؟
وأعطِ المعيار الذي يقرر أيجب أن يُعالَج جسم بتابع موجي أم بنيوتن.

الجزء الثالث — الحالات المستقرة والانتقالات. إلكترون محبوس في $0 < x < L = 1\,\mathrm{nm}$ ؛ و $\varphi_n = \sqrt{2/L}\sin(n\pi x/L)$ ، و $E_n = n^2h^2/8mL^2$ .

أوجد $E_1$ ، و $E_2$ ، و $E_3$ بالإلكترون فولت؛ وتواترات بور $\nu_{21}$ و $\nu_{31}$ وأطوال الموجة.
وتحقق من أن $|\varphi_n\eu^{-\iu E_nt/\hbar}|^2$ مستقلّ عن الزمن؛ وأين يرجَّح وجود الإلكترون في الحالة الأساسية؟
ومن أجل $\psi = (\varphi_1\eu^{-\iu E_1t/\hbar} + \varphi_2\eu^{-\iu E_2t/\hbar})/ \sqrt2$ : أوجد $|\psi|^2$ عند $t = 0$ و $t = T_{21}/2$ ؛ وارسم.
و $\langle x\rangle(t)$ (بمعلومية $\int_0^Lx\varphi_1\varphi_2\dd x = -16L/9\pi^2$ ): أوجد سعة التمايل.
وثنائي القطب المتذبذب $e\langle x\rangle$ يشعّ: فعند أي تواتر، وماذا يقول ذلك في الخطوط الطيفية وفي استقرار الحالات المستقرة؟
وطاقة الحالة $\psi$ : أهي $E_1$ أم $E_2$ أم شيء آخر؟ وماذا يعطي قياس؟

الجزء الرابع — التأويل.

في تجربة الشقّين بإلكترون واحد، ما العشوائي وما ليس بعشوائي؟
واكتب تيار الاحتمال للموجة $A\eu^{\iu kx}$ واربطه بحزمة فيها $n$ إلكترونًا في وحدة الطول بالسرعة $v$ .
ولمَ يجب أن تكون معادلة شرودنغر عقدية ومن المرتبة الأولى في الزمن (لسببين)؟
ولخّص في خمسة أسطر: التابع الموجي، والمعادلة، والحالات المستقرة، والرزمة، والحدّ الكلاسيكي.

حل

حل المسألة 30.1.

1. $v = \sqrt{2eU/m} = 8.4 \times 10^{7}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ؛ و $p = 7.6 \times 10^{-23}\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ؛ و $\lambda = 8.7\,\mathrm{pm}$ .

2. أخطاء بضعة في المئة: أي مقبولة في التقديرات (و $\lambda = 8.6\,\mathrm{pm}$ بالضبط).

3. $4.8\,\mathrm{ns}$ .

4. $\lambda/a = 3 \times 10^{-8}\,\mathrm{rad}$ : أي $12\,\mathrm{nm}$ — أصغر $10^4$ مرة من بكسل.

5. $\Delta\theta = \Delta p_y/p \sim \hbar/2ap = \lambda/4\pi a$ : أي الرتبة نفسها.

6. $\tau = 1.6\,\mathrm{ms} \gg 4.8\,\mathrm{ns}$ : أي بلا تغير.

7. $\dd\langle p_y\rangle/\dd t = eE$ بالضبط من أجل حقل منتظم: فتتبع $\langle y\rangle$ القطع المكافئ الكلاسيكي؛ والأنبوب أداة كلاسيكية.

8. $v/2 = 4.2 \times 10^{7}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ؛ ولا تُرصَد إلا سرعة المجموعة؛ وطور الموجة المستوية لا يحمل إشارة (ويتعلق بالصفر الاعتباطي للطاقة).

9. $\Delta p = \hbar/2\sigma_0$ ، و $\Delta v = \hbar/2m\sigma_0$ .

10. $1.7 \times 10^{-16}\,\mathrm{s}$ ، $1.7 \times 10^{-14}\,\mathrm{s}$ ، $1.7 \times 10^{-8}\,\mathrm{s}$ ؛ والبروتون $3.2 \times 10^{-11}\,\mathrm{s}$ ؛ والفيروس $20\,\mathrm{s}$ .

11. لأنه في حالة مستقرة: فالكمون يمسك الرزمة؛ و $|\varphi|^2$ لا يتحرك.

12. $v = 5.9 \times 10^{5}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ؛ والتضاعف عند $t = \sqrt3\tau = 2.9 \times 10^{-14}\,\mathrm{s}$ : أي $17\,\mathrm{nm}$ ، ونحو أربعة عشر طول موجة.

13. توابعها الموجية تمتد على البلورة كلها: أي كمية حركة معيّنة، ولا موضع معيّن.

14. التمييز $\sim\lambda/\alpha = 4\,\mathrm{pm}/0.01 = 0.4\,\mathrm{nm}$ : فزيغانات العدسات المغناطيسية تحدّ الفتحة، لا طول الموجة.

15. قارن $\lambda$ بالأحجام الداخلة في اللعب (كالفتحات، وسلّم $V$ )، وقارن زمن الانتشار بزمن الرصد.

16. $0.38\,$ ، $1.50\,$ ، $3.38\,\mathrm{eV}$ ؛ و $\nu_{21} = 2.7 \times 10^{14}\,\mathrm{Hz}$ ( $1.1\,\text{µ}\mathrm{m}$ )، و $\nu_{31} = 7.3 \times 10^{14}\,\mathrm{Hz}$ ( $410\,\mathrm{nm}$ ).

17. للشعاع الطوري طويلة واحدة؛ وعند $x = L/2$ .

18. عند $t = 0$ تتكدس الكثافة في النصف الأيسر، وعند $T_{21}/2$ في الأيمن.

19. $\langle x\rangle = L/2 - (16L/9\pi^2)\cos\omega_{21}t$ : أي سعة $0.18L = 0.18\,\mathrm{nm}$ .

20. عند $\nu_{21}$ : أي الخط الطيفي؛ وللحالة المستقرة لا ثنائي قطب متذبذب فهي مستقرة؛ والتراكب يشعّ حتى ينزل إلى $\varphi_1$ .

21. ليست معيّنة: $\langle E\rangle = (E_1 + E_2)/2 = 0.94\,\mathrm{eV}$ ؛ و القياس يعطي $E_1$ أو $E_2$ ، وكلٌّ باحتمال النصف.

22. العشوائي: أين تقع كل إلكترون؛ وغير العشوائي: النقش $|\psi|^2$ الذي تبنيه المواقع.

23. $j = |A|^2\hbar k/m$ : فمع $|A|^2 = n$ إلكترونًا في وحدة الطول، يكون $nv$ إلكترونًا في الثانية.

24. من المرتبة الأولى حتى يكون $\psi(x,0)$ وصفًا كاملًا يثبّت المستقبل؛ وعقدية حتى يكون للطاقة المعيّنة التعلق الزمني الوحيد $\eu^{-\iu Et/\hbar}$ وحتى يخرج $E = p^2/2m$ .

25. $\psi$ هي السعة التي مربعها الاحتمال؛ وهي تحقق معادلة شرودنغر الخطية؛ والحالات المستقرة تحمل شعاعًا طوريًّا وكثافات ثابتة؛ والرزمة الحرة تتحرك بالسرعة $p/m$ وتنتشر في $2m\sigma_0^2/\hbar$ ؛ وإهرنفست يعيد نيوتن من أجل الكبير.

المصطلحات المعرَّفة في هذا الفصل

التابع الموجي وقاعدة بورن

عرض كل المصطلحات (393) في المسرد