الفيزياء الجامعية — السنة الثانية · Bachelor Year 2

20مقياس تداخل ميكلسون

في عام 1887 شطر ميكلسون ومورلي حزمة ضوء إلى نصفين، وأرسلا النصفين على ذراعين متعامدين، ثم جمعاهما، وراقبا الهدب بحثًا عن الإزاحة التي كان يجب أن تُحدثها حركة الأرض في الأثير: فلم يتحرك شيء، وتغيرت الفيزياء. وفي عام 2015 سجّلت الأداة نفسها — ذراعان، صارا الآن بطول أربعة كيلومترات ومطويّان إلى ألف — موجة ثقالية غيّرت طوليهما بجزء من ألف من قطر البروتون. وبين هذين التاريخين قاس مقياس تداخل ميكلسون المتر بأطوال الموجة، وفصل الخطوط الطيفية، وصار الأداة القياسية في البصريات الدقيقة. وهذا الفصل يصفه في تشكيلتيه — الإسفين الهوائي والصفيحة المتوازية — ويبيّن كيف تقيس هدبه الأطوال والقرائن والأطياف.

20.1 الأداة

تعريف 20.1 (مقياس تداخل ميكلسون)

شاطر حزمة $Sp$ — وهو صفيحة زجاجية ذات وجه نصف عاكس — على $45{}^{\circ}$ يقسم حزمة واردة إلى حزمتين: تذهب إحداهما إلى المرآة $M_1$ ، والأخرى إلى $M_2$ ، وكلتاهما عمودية على حزمتها؛ وبعد الانعكاس تعود كل منهما إلى $Sp$ ، حيث يُرسَل نصفها نحو الراصد، فتتداخل الحزمتان هناك. وتوضع صفيحة معوِّضة $C$ ، مطابقة للشاطر وموازية له، في الذراع الذي كان يعبر زجاج الشاطر مرة واحدة، حتى تعبر الحزمتان سماكة الزجاج نفسها: فيكون فرق المسير عندئذ فرق مسيرات هوائية محضًا، واحدًا من أجل كل طول موجة — وهو ما تقتضيه هدب الضوء الأبيض. وبعدا المرآتين عن $Sp$ هما $d_1$ و $d_2$ ؛ وإحدى المرآتين مركّبة على لولب ميكرومتري وعلى لوالب ميل.

قضية 20.2 (الترتيب المكافئ)

يكافئ مقياس التداخل، من موضع الراصد، المرآةَ $M_2$ والصورةَ $M_1'$ للمرآة $M_1$ في الشاطر: أي طبقة هواء رقيقة بين سطحين عاكسين، سماكتها $e = |d_1 - d_2|$ ، ويتداخل انعكاساها (تقسيم السعة):

$M_1' \parallel M_2$ : أي صفيحة هوائية سماكتها $e$ — فحلقات تساوي الميل، موضَّعة في اللانهاية، $\delta = 2e\cos i$ ؛
$M_1'$ مائلة قليلًا بالزاوية $\alpha$ عن $M_2$ : أي إسفين هوائي — فهدب مستقيمة متساوية السماكة، موضَّعة على المرآتين (قرب الإسفين)، $\delta = 2\alpha x$ عند الورود الناظمي، وتباعدها $\lambda/2\alpha$ .

وعند التماس ( $e = 0$ ، $\alpha = 0$ ) يكون الحقل منتظمًا، وفي الضوء الأبيض يكون الموضع الوحيد الذي تتفق فيه الألوان: أي "الهدبة البيضاء".

برهان. طيّ ذراع $M_1$ على ذراع $M_2$ بالانعكاس في $Sp$ يحمل الحزمتين على مستقيم واحد بمرآتين تتباعدان $e$ ؛ والموجتان العائدتان هما المنعكستان على وجهي طبقة الهواء (بلا $\lambda/2$ زائدة: إذ تنعكس كلتاهما على معدن، ويعاملهما الشاطر معاملة متناظرة، إلا من طور ثابت يزيح النقش كله). ثم تنطبق نتائج الأغشية الرقيقة في الفصل 19 مع $n = 1$ . ∎

على اليسار: مقياس تداخل ميكلسون — شاطر، وصفيحة معوِّضة، ومرآتان، وحزمة مجموعة نحو الراصد. وعلى اليمين: طبقة الهواء المكافئة بين M_2 والصورة M_1' للمرآة M_1، موازيةً (فحلقات) أو مائلةً (فهدب مستقيمة). — على اليسار: مقياس تداخل ميكلسون — شاطر، وصفيحة معوِّضة، ومرآتان، وحزمة مجموعة نحو الراصد. وعلى اليمين: طبقة الهواء المكافئة بين $M_2$ والصورة $M_1'$ للمرآة $M_1$ ، موازيةً (فحلقات) أو مائلةً (فهدب مستقيمة).

20.2 نظاما الهدب

قضية 20.3 (حلقات الصفيحة الهوائية)

مع $M_1' \parallel M_2$ ومنبع ممتد، يرى الراصد (أو عدسة بعدها البؤري $f$ وشاشة في مستويها البؤري) حلقات متحدة المركز؛ وللحلقة عند الزاوية $i$ الرتبة $p = 2e\cos i/\lambda$ ؛ والحلقات مضيئة حيث يكون $p$ عددًا صحيحًا. وللمركز أعلى رتبة، $p_0 = 2e/\lambda$ ؛ وبجواره، $\cos i \approx 1 - i^2/2$ ، فيكون للحلقة المضيئة $k$ من المركز (معدودةً من الأولى، عند $\varepsilon = p_0 - \lfloor p_0\rfloor$ دون رتبة المركز) نصف القطر

r_k = f\,i_k = f\sqrt{\frac{(k - 1 + \varepsilon)\lambda}e} :

فالحلقات أضيق كلما كبر $e$ (أي حلقات أكثر وأرقّ)، وتتباعد كلما $e \to 0$ حتى يصير الحقل، عند التماس، منتظمًا واحدًا. وتحريك مرآة بمقدار $\lambda/2$ يغيّر $p_0$ بواحد: فتُولَد حلقة في المركز (أو يبتلعها) في كل نصف طول موجة من الإزاحة.

برهان. $\delta = 2e\cos i$ من أجل الصفيحة المتوازية (الفصل 19، $n = 1$ ، بلا $\lambda/2$ زائدة من أجل انعكاسين معدنيين)؛ و $2e(1 - i^2/2) = (p_0 - k + 1 - \varepsilon)\lambda$ مع $2e = p_0\lambda$ يعطي $ei^2 = (k - 1 + \varepsilon)\lambda$ . ∎

قضية 20.4 (هدب الإسفين الهوائي)

مع $M_1'$ مائلةً بزاوية صغيرة $\alpha$ وورود قريب من الناظمي، يكون فرق المسير عند نقطة المرآتين الواقعة على البعد $x$ من مستقيم التماس هو $\delta = 2\alpha x$ : أي هدب مستقيمة موازية لذلك المستقيم، متباعدة $\lambda/2\alpha$ ، موضَّعة على المرآتين (وتُرى بالتجميع على $M_2$ ، أو تُسقَط على شاشة بعدسة ترافق $M_2$ مع الشاشة). وتقع هدبة الرتبة الصفر على مستقيم التماس، وهي نفسها من أجل كل طول موجة: فتكون بيضاء في الضوء الأبيض (أو سوداء، بحسب أطوار الشاطر)، تكتنفها بضع هدب ملونة — وهي العلامة التي يُعرَف بها التماس.

برهان. هدب تساوي السماكة لإسفين من الهواء، $e(x) = \alpha x$ . وأما التوضيع: فمن أجل منبع ممتد تتجمع الأشعة المارّة بنقطة معينة من الإسفين هناك، بالمقدار $\delta$ نفسه عند الورود القريب من الناظمي. ∎

نظاما هدب الميكلسون، وتباين هدب ثنائي الصوديوم بدلالة سماكة الصفيحة: وهو ينعدم كل 0.29\, mm (وأول مرة عند 0.145\, mm)، حين تكون هدب الخطين على تعاكس. — نظاما هدب الميكلسون، وتباين هدب ثنائي الصوديوم بدلالة سماكة الصفيحة: وهو ينعدم كل $0.29\,\mathrm{mm}$ (وأول مرة عند $0.145\,\mathrm{mm}$ )، حين تكون هدب الخطين على تعاكس.

20.3 القياس بالميكلسون

قضية 20.5 (الأطوال والقرائن والأطياف)

عدّ $N$ هدبة تمرّ بالمركز بينما تتحرك مرآة بمقدار $\Delta e$ يعطي $\Delta e = N\lambda/2$ : أي الأطوال بأطوال الموجة (بلولب ميكرومتري معاير حتى $0.1\,\text{µ}\mathrm{m}$ ؛ وقد قيس المتر نفسه هكذا). وصفيحة شفافة سماكتها $\ell$ وقرينتها $n$ تُدخَل في أحد الذراعين تضيف $2(n - 1)\ell$ إلى $\delta$ وتزيح النقش بمقدار $2(n - 1)\ell/\lambda$ هدبة: فتُقاس القرائن (وتغيراتها مع الضغط أو الحرارة، في خلية غاز). ومع ثنائي طولا موجته $\lambda$ و $\lambda + \Delta\lambda$ ، يخرج نظاما الهدب عن التوافق ثم يعودان إليه كلما كبر $e$ ، فينعدم التباين كل

\Delta e = \frac{\lambda^2}{2\Delta\lambda} :

أي فصل الخطوط المتقاربة. وعلى العموم يرسم التباين بدلالة $e$ طيفَ المنبع (إذ يخبو التباين على $e \sim \ell_c/2$ ): وتسجيل الشدة عند المركز بينما يمسح $e$ هو مطيافية تحويل فورييه، وهي طريقة المطيافات تحت الحمراء.

برهان. الرتبة عند المركز هي $2e/\lambda$ ؛ ولكل خط رتبته. ويتطابق النظامان من جديد حين يكون $2e/\lambda - 2e/(\lambda + \Delta\lambda) = 1$ ، أي $2e\Delta\lambda /\lambda^2 = 1$ ؛ ويكونان على تعاكس في منتصف الطريق. وأما القول العام فهو صيغة التباين في التمرين 18.10. ∎

مثال 20.6 (الصوديوم، والمتر)

ثنائي الصوديوم ( $\Delta\lambda = 0.6\,\mathrm{nm}$ عند $589\,\mathrm{nm}$ ): تتشوّش الحلقات وتصفو كل $\Delta e = 589^2/(2 \times 0.6)$ نانومتر $= 0.29\,\mathrm{mm}$ — وهو قياس كلاسيكي للمقدار $\Delta\lambda$ بدقة بضعة في المئة بلولب. وقد عدّ ميكلسون (1892) هدب خط الكادميوم الأحمر على طول المتر المعياري: $1\,553\,163.5$ طول موجة، وهو أول ربط بين المتر والذرة؛ وأما اليوم فيُعرَّف المتر بالسرعة $c$ وبالثانية، وتتحقق مقاييس التداخل من قوالب المعايرة في الإنتاج بدقة النانومترات.

الشدة عند مركز الحلقات كلما كبرت سماكة الصفيحة، من أجل منبع طول ترابطه منتهٍ: فتخبو الهدب على e _c/2؛ والغلاف هو تحويل فورييه للطيف. — الشدة عند مركز الحلقات كلما كبرت سماكة الصفيحة، من أجل منبع طول ترابطه منتهٍ: فتخبو الهدب على $e \sim \ell_c/2$ ؛ والغلاف هو تحويل فورييه للطيف.

ملاحظة 20.7 (الذراعان اللذان لم يقيسا شيئًا، واللذان قاسا موجة)

توقّع ميكلسون ومورلي أن تغيّر سرعة الأرض $v$ في الأثير زمن الذهاب والإياب على الذراع الموازي لها بمقدار $(L/c)(v/c)^2$ بالقياس إلى الذراع العمودي، أي إزاحة هدب مقدارها $2L(v/c)^2/\lambda \approx 0.4$ هدبة من أجل $L = 11\,\mathrm{m}$ و $v = 30\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ ؛ وكان يجب أن يؤرجح تدوير الجهاز النقش بذلك المقدار. وكانا يريان $0.01$ هدبة؛ فلم يريا شيئًا. وأما كواشف الأمواج الثقالية اليوم فميكلسونات ذراعاها $4\,\mathrm{km}$ ، والضوء يرتدّ فيهما نحو ثلاثمئة مرة، وليزرها مستقر كفاية لقراءة تغيّر في طول الذراع $\Delta L/L \sim 10^{-21}$ — أي $10^{-18}$ متر، وهو جزء من ألف من البروتون — في وجه ضجيج الحركة الزلزالية والفوتونات نفسها.

طريقة 20.8 (استعمال الميكلسون)

(1) عيّن التشكيلة: صفيحة متوازية (فحلقات في اللانهاية؛ تُرصَد بعدسة أو بالعين على اللانهاية) أو إسفين (فهدب على المرآتين؛ فجمّع على $M_2$ ). (2) واكتب $\delta = 2e\cos i$ أو $2\alpha x$ ثم الرتبة. (3) وترجم كل قياس إلى هدب: $\Delta e = N\lambda/2$ ، و $2(n - 1)\ell$ من أجل صفيحة، و $\lambda^2/2\Delta\lambda$ من أجل ثنائي. (4) واستعمل موضع التماس ( $e = 0$ ، والهدبة البيضاء) مرجعًا مطلقًا؛ ولاحظ أن أنصاف أقطار الحلقات تصغر كلما كبر $e$ . (5) وأما حدود الترابط: فالحلقات مرئية ما دام $2e < \ell_c$ ؛ والإسفين يحتاج إلى ورود قريب من الناظمي.

20.4 تمارين

تمرين 20.1 ★

ميكلسون في ضوء الصوديوم ( $\lambda = 589\,\mathrm{nm}$ ): تُحرَّك المرآة بمقدار $0.10\,\mathrm{mm}$ : أوجد عدد الحلقات المارّة بالمركز؛ والإزاحة الموافقة لعدد $250$ هدبة؛ والدقة على $e$ إذا أمكن قراءة عُشر هدبة.

حل

حل التمرين 20.1.

$N = 2\Delta e/\lambda = 340$ ؛ ومن أجل $250$ هدبة: $\Delta e = 125\lambda = 74\,\text{µ}\mathrm{m}$ ؛ وعُشر الهدبة هو $\lambda/20 = 30\,\mathrm{nm}$ .

تمرين 20.2 ★

صفيحة متوازية سماكتها $e = 0.50\,\mathrm{mm}$ ، وعدسة $f = 1.0\,\mathrm{m}$ ، و $\lambda = 589\,\mathrm{nm}$ : أوجد الرتبة عند المركز؛ أيكون المركز مضيئًا؟ وأنصاف أقطار أول ثلاث حلقات مضيئة؛ وماذا يحدث للحلقات إذا نقص $e$ إلى $0.05\,\mathrm{mm}$ ؟

حل

حل التمرين 20.2.

$p_0 = 2e/\lambda = 1697.8$ : وهو ليس عددًا صحيحًا، فالمركز ليس مضيئًا ( $\varepsilon = 0.8$ ). و $r_k = f\sqrt{(k - 1 + \varepsilon)\lambda/e}$ : $3.1$ ، $4.6$ ، $5.7\,\mathrm{cm}$ . وعند $0.05\,\mathrm{mm}$ تكبر أنصاف الأقطار بالعامل $\sqrt{10}$ : أي حلقات قليلة عريضة.

تمرين 20.3 ★

إسفين هوائي مع $\alpha = 1.0 \times 10^{-4}\,\mathrm{rad}$ ، و $\lambda = 633\,\mathrm{nm}$ : أوجد تباعد الهدب؛ وعدد الهدب عبر $2\,\mathrm{cm}$ من المرآة؛ وتتضاعف زاوية الإسفين: فماذا يحدث؟ وكيف يُوجَد التماس بالضوء الأبيض؟

حل

حل التمرين 20.3.

$\lambda/2\alpha = 3.2\,\mathrm{mm}$ ؛ وستّ هدب عبر $2\,\mathrm{cm}$ ؛ ومضاعفة $\alpha$ تنصّف التباعد. وأما التماس: فأزح المرآة حتى تظهر هدب الضوء الأبيض (بيضاء تكتنفها ملونة) — فهي لا توجد إلا في حدود ميكرومتر من $\delta = 0$ .

تمرين 20.4 ★

تُدخَل صفيحة زجاجية سماكتها $0.10\,\mathrm{mm}$ في أحد الذراعين: أوجد إزاحة الهدب من أجل $n = 1.52$ عند $589\,\mathrm{nm}$ ؛ وتُقاس الإزاحة بدقة $0.2$ هدبة: أوجد الدقة على $n$ . ولمَ لا يمكن إجراء القياس نفسه بالضوء الأبيض لو كانت الصفيحة بسماكة $1\,\mathrm{cm}$ ؟

حل

حل التمرين 20.4.

$2(n - 1)e/\lambda = 177$ هدبة؛ و $0.2$ هدبة تعطي $\Delta n = 0.2\lambda/2e = 6 \times 10^{-4}\,$ . وسنتيمتر من الزجاج يضيف مليمترات من المسير المبدِّد: فلا تتفق الألوان في أي موضع، ولا هدبة بيضاء.

تمرين 20.5 ★★

ثنائي الصوديوم. (أ) أوجد السماكة $e$ بين اختفاءين متتاليين للحلقات، من أجل $\Delta\lambda = 0.597\,\mathrm{nm}$ . (ب) ويقيس طالب $17$ اختفاءً على $5.00\,\mathrm{mm}$ : أوجد $\Delta\lambda$ ودقتها. (ج) وأوجد رتبتي الخطين عند $e = 0.29\,\mathrm{mm}$ : وتحقق من أنهما تختلفان بمقدار $\tfrac12$ . (د) ولمَ لا يكون التباين معدومًا تمامًا أبدًا (إذ شدتا الخطين بالنسبة $2 : 1$ ): أوجد أصغر تباين.

حل

حل التمرين 20.5.

(أ) $\lambda^2/2\Delta\lambda = 0.291\,\mathrm{mm}$ . (ب) و $5.00/17 = 0.294\,\mathrm{mm}$ : أي $\Delta\lambda = \lambda^2/2\Delta e = 0.590\,\mathrm{nm}$ ؛ وبدقة $0.1\%$ : $\pm0.0006\,\mathrm{nm}$ . (ج) وعند $e = 0.145\,\mathrm{mm}$ (أي الاختفاء الأول): $p_1 = 492.4$ ، و $p_2 = 491.9$ — أي نصف رتبة بينهما؛ وعند $0.29\,\mathrm{mm}$ تختلفان برتبة واحدة. (د) وتبقى الهدب الأضعف: $V_{\min} = (I_1 - I_2)/(I_1 + I_2) = 1/3$ .

تمرين 20.6 ★★

قرينة الهواء. تُفرَّغ خلية طولها $10.0\,\mathrm{cm}$ في أحد الذراعين، ثم تُملأ ببطء بالهواء عند $1\,\mathrm{bar}$ ؛ فتمرّ $94$ هدبة ( $\lambda = 589\,\mathrm{nm}$ ). (أ) أوجد $n - 1$ للهواء. (ب) وعدد الهدب المارّة من أجل تغير $1\,\%$ في الضغط؛ والمعامل الحراري إذا كان $n - 1 \propto \rho$ . (ج) ولمَ يهمّ ذلك في استقرار أي مقياس تداخل في الهواء؟ (د) وأوجد الدقة على $n - 1$ من عُشر هدبة.

حل

حل التمرين 20.6.

(أ) $2(n - 1)\ell = 94\lambda$ : $n - 1 = 2.77 \times 10^{-4}\,$ . (ب) و $0.94$ هدبة في كل واحد في المئة؛ و $\dd(n - 1)/\dd T = -(n - 1)/T = -9.5 \times 10^{-7}\,\mathrm{K}^{-1}$ . (ج) وبضعة مليبارات أو درجة واحدة في أحد الذراعين تحرّك الهدب: ومن هنا الخلاء أو تساوي الذراعين. (د) و $0.1/94$ : $\pm3 \times 10^{-7}\,$ .

تمرين 20.7 ★★

طول الترابط. مع مصباح زئبق منخفض الضغط (الخط الأخضر، $546\,\mathrm{nm}$ ، وعرضه $0.01\,\mathrm{nm}$ ) تخبو الحلقات كلما كبر $e$ . (أ) أوجد طول الترابط؛ والسماكة $e$ التي يصير التباين عندها مهمَلًا. (ب) وأعد ذلك مع مصباح عالي الضغط ( $\Delta\lambda = 1\,\mathrm{nm}$ ). (ج) ومع ليزر هليوم–نيون ( $\Delta\nu = 1\,\mathrm{MHz}$ ): أيمكن رؤية الحلقات مع $e = 10\,\mathrm{m}$ ؟ (د) وما الذي يحدّ هدب الضوء الأبيض بنحو $\pm2$ رتبة حول التماس؟

حل

حل التمرين 20.7.

(أ) $\ell_c = \lambda^2/\Delta\lambda = 3\,\mathrm{cm}$ : فتخبو الحلقات بعد $e \approx 1.5\,\mathrm{cm}$ . (ب) و $0.3\,\mathrm{mm}$ ، و $e \approx 0.15\,\mathrm{mm}$ . (ج) و $\ell_c = 300\,\mathrm{m}$ : فنعم. (د) و $\ell_c \approx 1\,\text{µ}\mathrm{m}$ : $2e < 1\,\text{µ}\mathrm{m}$ ، أي رتبتان أو نحوهما.

تمرين 20.8 ★★

الصفيحة المعوِّضة. من دون $C$ ، تعبر إحدى الحزمتين زجاج الشاطر ( $e_g = 5\,\mathrm{mm}$ ، $n = 1.52$ ) ثلاث مرات وتعبره الأخرى مرة. (أ) أوجد المسير الضوئي الزائد؛ أيمكن تعويضه بتحريك مرآة من أجل ضوء أحادي اللون؟ (ب) ولمَ لا يمكن ذلك في الضوء الأبيض (بسبب التبدد: إذ يتغير $n$ بمقدار $0.01$ عبر المرئي)؟ (ج) وأي تسامح على توازي $C$ و $Sp$ يحفظ الهدبة البيضاء (خذ فرق سماكة باقيًا $< 0.3\,\text{µ}\mathrm{m}$ )؟ (د) والشواطر الحديثة أغشية رقيقة أو مكعبات: فلمَ لا تلزم $C$ عندئذ؟

حل

حل التمرين 20.8.

(أ) $2(n - 1)e_g = 5.2\,\mathrm{mm}$ ؛ ونعم، بإزاحة مرآة قدرها $2.6\,\mathrm{mm}$ . (ب) ويتغير مسير الزجاج مع $\lambda$ بمقدار $2e_g\Delta n = 100\,\text{µ}\mathrm{m} \gg \ell_c$ : فلا صفر مستقل عن طول الموجة. (ج) و $2(n - 1)\Delta e_g < 0.3\,\text{µ}\mathrm{m}$ : $\Delta e_g < 0.3\,\text{µ}\mathrm{m}$ — أي ميل نسبي دون $1.5 \times 10^{-5}\,\mathrm{rad}$ على $2\,\mathrm{cm}$ . (د) والغشاء الرقيق سماكته ميكرومترات؛ والمكعب متناظر: فترى الحزمتان الزجاج نفسه.

تمرين 20.9 ★★

ميكلسون–مورلي. ذراعان $L = 11\,\mathrm{m}$ (مطويّان)، و $\lambda = 550\,\mathrm{nm}$ ، وسرعة الأرض المدارية $v = 30\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ . (أ) في نظرية الأثير يستغرق الذهاب والإياب على الذراع الموازي للشعاع $\vect v$ زمنًا $2L/c(1 - v^2/c^2)$ ويستغرق العمودي $2L/c\sqrt{1 - v^2/c^2}$ : أوجد الفرق من أدنى مرتبة. (ب) وإزاحة الهدب المتوقعة عند تدوير الجهاز $90{}^{\circ}$ (إذ يتبادل الذراعان الدورين). (ج) وكانا يكشفان $0.01$ هدبة: أوجد الحدّ الأعلى على $v$ . (د) وماذا تقول نتيجة صفرية، وماذا استنتج أينشتاين؟

حل

حل التمرين 20.9.

(أ) $\Delta t \approx Lv^2/c^3 = 4.1 \times 10^{-15}\,\mathrm{s}$ ، أي مسير $1.2\,\text{µ}\mathrm{m}$ . (ب) وتبديل الذراعين يضاعفه: $2Lv^2/c^2\lambda = 0.4$ هدبة. (ج) و $v < 30\sqrt{0.01/0.4} = 4.7\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ . (د) فلا تُرى حركة في أثير؛ وسرعة الضوء واحدة على الذراعين — وهي مصادرة النسبية.

تمرين 20.10 ★★★

مطيافية فورييه. الشدة عند مركز الحلقات هي $I(e) = \int S(\nu)[1 + \cos(4\pi\nu e/c)]\dd\nu$ من أجل منبع طيفه $S(\nu)$ . (أ) من أجل خط واحد: أوجد $I(e)$ ؛ والدور بدلالة $e$ . (ب) ومن أجل خط غاوسي عرضه $\Delta\nu$ : بيّن أن للهدب غلافًا غاوسيًّا عرضه $\sim c/2\Delta\nu$ بدلالة $e$ (واقبل أن تحويل فورييه لغاوسي غاوسيٌّ). (ج) وأما التمييز: فخطان يبعد أحدهما عن الآخر $\Delta\nu$ ينفصلان إذا بلغ المسح $e_{\max} \approx c/2\Delta\nu$ ؛ ومن أجل $e_{\max} = 10\,\mathrm{cm}$ ، أوجد قدرة التمييز $\lambda/\Delta\lambda$ عند $1\,\text{µ}\mathrm{m}$ . (د) ولمَ تُفضَّل هذه الطريقة في تحت الأحمر (بسبب الإشارة، وميزة "تعدد الإرسال")؟

حل

حل التمرين 20.10.

(أ) $I = S_0[1 + \cos(4\pi\nu_0e/c)]$ ، ودوره $\lambda/2$ بدلالة $e$ . (ب) وكل تواتر يعطي هدبًا دورها مختلف قليلًا؛ ونطاق غاوسي عرضه $\Delta\nu$ يجمع هدبًا ذات غلاف غاوسي عرضه $\sim c/2\Delta\nu$ . (ج) و $R = \nu/\Delta\nu = 2e_{\max}/\lambda = 2 \times 10^5$ . (د) وتقع أطوال الموجة كلها على كاشف واحد معًا (ميزة فلغيت) عبر فتحة واسعة (ميزة جاكينو): أي إشارة أكبر بكثير من مطياف الشقّ في تحت الأحمر الفقير بالفوتونات.

تمرين 20.11 ★★★

كاشف الأمواج الثقالية. ذراعان $L = 4\,\mathrm{km}$ ، والضوء معاد التدوير إلى $N = 300$ ذهابًا وإيابًا، و $\lambda = 1064\,\mathrm{nm}$ ، وتغيّر الموجة الذراعين بمقدار $\Delta L/L = 10^{-21}$ في جهتين متعاكستين. (أ) أوجد تغيّر فرق المسير؛ وانزياح الطور. (ب) وتُثبَّت الأداة على هدبة مظلمة وتقيس الشدة الصغيرة $I = I_0\sin^2(\Delta\varphi/2)$ : أوجد تغيّر الشدة من أجل الإشارة. (ج) ومع $100\,\mathrm{W}$ من الضوء الدائر عند $1064\,\mathrm{nm}$ ، أوجد الفوتونات في الثانية؛ وضجيج الفوتونات في $1\,\mathrm{ms}$ ( $\sqrt N$ ) في وجه الإشارة: أتُكشَف؟ وماذا تشتري استطاعة أكبر؟ (د) ولمَ تكون الذراعان بطول كيلومترات، ولمَ تُعلَّق المرايا؟

حل

حل التمرين 20.11.

(أ) يتغير مسير كل ذراع بمقدار $2N\Delta L$ ، في جهتين متعاكستين: $\Delta\delta = 4N\Delta L = 4.8 \times 10^{-15}\,\mathrm{m}$ ، و $\Delta\varphi = 2\pi\Delta\delta/\lambda = 2.8 \times 10^{-8}\,\mathrm{rad}$ . (ب) وبجوار هدبة مظلمة يرى الكاشف شدة متناسبة مع $\Delta\varphi^2$ — أو، مع إزاحة صغيرة، مع $\Delta\varphi$ : أي تغير نسبي من رتبة $10^{-8}$ . (ج) و $5 \times 10^{20}$ فوتون في الثانية، و $5 \times 10^{17}$ في المليثانية، والضجيج النسبي $1.4 \times 10^{-9}$ : فالإشارة عشرون ضعف الضجيج؛ واستطاعة أكبر تخفض الضجيج وفق $1/\sqrt P$ . (د) و $\Delta L \propto L$ ؛ والتعليقات البندولية ترشّح حركة الأرض فوق رنينها.

تمرين 20.12 ★★★

التوضيع. (أ) بيّن أن للشعاعين الخارجين من نقطة $P$ من $M_2$ نحو راصد في اللانهاية (بالورود $i$ ) في الإسفين فرق مسير $2e(P)\cos i$ زائدًا حدًّا $\propto\alpha i$ ينعدم عند $i = 0$ : فالهدب على المرآتين عند الورود الناظمي وحده. (ب) ويضيء منبع ممتد الإسفين بورودات حتى $i_{\max}$ : فما الذي يجب أن يحققه $i_{\max}$ لتبقى الهدب صافية ( $2e\,i_{\max}^2/2 < \lambda/4$ عند حرف الحقل، $e = 20\,\text{µ}\mathrm{m}$ )؟ (ج) وفي الصفيحة المتوازية لا تتحرك الحلقات حين تتحرك العين: فلماذا؟ (د) وترى طالبة هدبًا تهيم حين تحرّك رأسها: ففي أي تشكيلة هي، وماذا عليها أن تضبط؟

حل

حل التمرين 20.12.

(أ) من أجل نقطة $P$ على العمق $e(P)$ وورود $i$ ، يكون $\delta = 2e(P)\cos i$ زائدًا حدًّا $\propto\alpha i$ من الانعكاس الثاني المائل، وهو ينعدم عند الورود الناظمي: فهناك وحده يبلغ الشعاعان الخارجان من $P$ العين — أي التوضيع على المرآتين. (ب) و $ei^2 < \lambda/4$ : $i_{\max} < \sqrt{\lambda/4e} = 0.09\,\mathrm{rad}$ . (ج) والحلقات تتعلق بالورود $i$ وحده: فكل موضع للعين يرى النقش الزاوي نفسه. (د) والإسفين منظورًا إليه بعيدًا عن المرآتين؛ فلتجمّع على $M_2$ أو لتنقص الميل.

مقياس تداخل ميكلسون على منضدة تعليمية: ليزر، ومكعب شاطر، ومرآتان، وعلى الشاشة حلقات تساوي الميل للصفيحة الهوائية.

مقياس تداخل لايغو في هانفورد: مقياس تداخل ميكلسون ذراعاه بطول أربعة كيلومترات، سجّل عام 2015 تغيّرًا في طول الذراع قدره جزء من ألف من قطر البروتون — أي مرور موجة ثقالية (مختبر لايغو).

20.5 مسألة: ثنائي الصوديوم وقرينة الهواء

مسألة 20.1

مسألة نهاية الأسبوع — جلسة قياس كاملة على مقياس تداخل ميكلسون: إيجاد التماس، وقراءة الأطوال، وفصل الخط الأصفر، ووزن الهواء

لمقياس التداخل لولب ميكرومتري يقرأ $1\,\text{µ}\mathrm{m}$ ؛ ويعطي مصباح الصوديوم $\lambda_1 = 589.0\,\mathrm{nm}$ و $\lambda_2 = 589.6\,\mathrm{nm}$ بشدتين نسبتهما $2 : 1$ ؛ ويتوفر أيضًا مصباح أبيض وليزر هليوم–نيون ( $632.8\,\mathrm{nm}$ ).

الجزء الأول — التهيئة.

بالليزر ترى الطالبة بقعتي الذراعين على بطاقة؛ فتطابقهما بلوالب الميل ثم ترى هدبًا مستقيمة: فما هذه التشكيلة، وماذا يقول تباعدها عن الميل الباقي (والتباعد $2\,\mathrm{mm}$ )؟
وبإدارة لوالب الميل تنحني الهدب ثم تصير حلقات: فلمَ تظهر الحلقات، وأين تقع $M_1'$ الآن؟
وتزيح المرآة فتعدّ $158$ حلقة ابتلعها المركز: أوجد الإزاحة؛ وفي أي جهة يتغير $e$ ؟
وباستمرارها تتباعد الحلقات وتكبر البقعة المركزية حتى تملأ الحقل: فماذا بلغت؟ ويحلّ مصباح الصوديوم محلّ الليزر فلا ترى شيئًا مميزًا: فلمَ ذلك، ولمَ يُظهر الضوء الأبيض هدبة مركزية مضيئة تكتنفها هدب ملونة عند تلك النقطة؟
وتميل $M_1$ ميلًا طفيفًا جدًّا عند التماس فترى، في الضوء الأبيض، هدبًا مستقيمة ملونة: فسّر ذلك، وقل كم هدبة تتوقعها على كل جانب من البيضاء.
وبقعتا الليزر بعرض $10\,\mathrm{mm}$ وتريد عشر حلقات في حقل عدسة $f = 20\,\mathrm{cm}$ ( $\lambda = 632.8\,\mathrm{nm}$ ): أوجد السماكة $e$ اللازمة (استعمل نصف قطر الحلقة $k$ ).
ولمَ يجب أن توازي الصفيحة المعوِّضة الشاطر، وماذا كانت ترى في الضوء الأبيض لو نُزعت؟

الجزء الثاني — الثنائي.

انطلاقًا من التماس بمصباح الصوديوم، تزيد $e$ : فيهبط تباين الحلقات، ثم ينعدم، ثم يعود. أوجد سماكة الاختفاء الأول؛ والاختفاء $n$ .
وتسجّل $12$ اختفاءً بين $e = 0.15\,\mathrm{mm}$ و $e = 3.35\,\mathrm{mm}$ (وهما الأول والأخير مقروءين على اللولب): أوجد $\Delta\lambda$ ؛ والدقة إذا كانت كل قراءة بدقة $5\,\text{µ}\mathrm{m}$ .
وأوجد رتبتي الخطين $p_1$ و $p_2$ عند الاختفاء الأول؛ وعند عودة التباين التامّ أول مرة.
وأصغر تباين عند اختفاء، مع نسبة الشدتين $2 : 1$ (إذ تبقى هدب الخط الأضعف).
وكم اختفاءً تستطيع أن تعدّ قبل أن يمحو العرض الطبيعي للخطين ( $0.02\,\mathrm{nm}$ لكل منهما) كل شيء؟
وماذا كان يُظهر مصباح له ثلاثة خطوط متساوية التباعد؟

الجزء الثالث — الهواء. توضع خلية طولها $\ell = 5.00\,\mathrm{cm}$ لها نافذتان زجاجيتان في أحد الذراعين وتُفرَّغ؛ ثم يُدخَل الهواء ببطء بينما تُعدّ هدب الليزر.

أوجد فرق المسير الضوئي الناتج عن ملء الخلية إلى $1\,\mathrm{atm}$ إذا كان $n - 1 = 2.9 \times 10^{-4}\,$ ؛ وعدد الهدب.
وتعدّ $46$ هدبة: أوجد قيمة $n - 1$ عندها.
وتُدخِل $0.20\,\mathrm{bar}$ فقط: أوجد الهدب المتوقعة ( $n - 1 \propto$ الضغط).
وتسخن الغرفة $3\,\mathrm{K}$ في أثناء القياس، وتتغير قرينة $40\,\mathrm{cm}$ من الهواء المكشوف في كل ذراع بمقدار $-1 \times 10^{-6}\,$ في الكلفن: أوجد هيام الهدب؛ أهو مشكلة في الجزء الثاني، وفي الجزء الثالث؟
ولمَ لا تزيح نافذتا الخلية القياس (فهما موجودتان طوال العدّ)؟
وتُعاد التجربة بغاز CO $_2$ ( $n - 1 = 4.5 \times 10^{-4}\,$ ): أوجد الهدب من أجل خلية ممتلئة؛ وكيف يمكن تعرّف الغاز من العدّ وحده؟

الجزء الرابع — الحدود.

يُقرأ اللولب حتى $1\,\text{µ}\mathrm{m}$ : أوجد دقة طول مقيس بعدّ الهدب على $1\,\mathrm{cm}$ ، مقابل قياسه باللولب وحده.
واهتزاز سعته $50\,\mathrm{nm}$ عند $100\,\mathrm{Hz}$ يهزّ إحدى المرآتين: أوجد حركة الهدب؛ وماذا ترى العين، وماذا ترى آلة تصوير على $25$ إطارًا في الثانية؟
ويهيم تواتر الليزر بمقدار $1 \times 10^{-8}\,$ نسبيًّا في أثناء عدّ على $e = 1\,\mathrm{cm}$ : أوجد الخطأ بالهدب.
وقالب معايرة $10\,\mathrm{mm}$ مصدَّق بدقة $\lambda/20$ بمقياس التداخل: أوجد الدقة المطلقة والنسبية.
ولمَ يكون الميكلسون أداة الاختيار من أجل الأطوال، والشبكة (في الفصل التالي) من أجل الأطياف؟
ولخّص المقادير الأربعة المقيسة (طول، وفصل ثنائي، وقرينة، وطول ترابط) وملاحظة الهدب التي أعطت كلًّا منها.

حل

حل المسألة 20.1.

1. هدب إسفين؛ و $\lambda/2\alpha = 2\,\mathrm{mm}$ : $\alpha = 1.6 \times 10^{-4}\,\mathrm{rad}$ .

2. صارت $M_1'$ موازية للمرآة $M_2$ : أي الصفيحة الهوائية، وهدب تساوي الميل فيها حلقات.

3. $158\lambda/2 = 50\,\text{µ}\mathrm{m}$ ؛ والحلقات مبتلعة في المركز: فالمقدار $e$ يتناقص.

4. التماس، $e = 0$ . وضوء الصوديوم لا يعطي علامة هناك (إذ طول موجة واحد، والحقل منتظم في الحالتين)؛ وأما الضوء الأبيض فيُظهر الموضع الوحيد الذي يكون فيه $\delta = 0$ لكل لون، تكتنفه ألوان كلما تباعدت الرتب.

5. $\delta = 2\alpha x$ : أي هدبة بيضاء على مستقيم التماس وواحدة أو اثنتان ملونتان على كل جانب ( $2\alpha x < \ell_c \approx 1\,\text{µ}\mathrm{m}$ ).

6. $r_{10} = f\sqrt{10\lambda/e} = 5\,\mathrm{mm}$ : $e = 10\lambda f^2/r^2 = 1.0\,\mathrm{cm}$ .

7. إذا كانت موازية عبرت الحزمتان زجاجًا متساويًا عند كل طول موجة؛ ومن دون $C$ لا يترك تبدد $5\,\mathrm{mm}$ من الزجاج صفرًا مشتركًا: فلا هدبة بيضاء.

8. $\lambda^2/4\Delta\lambda = 0.145\,\mathrm{mm}$ ؛ ثم كل $\lambda^2/2\Delta\lambda = 0.291\,\mathrm{mm}$ .

9. $11$ مجالًا على $3.20\,\mathrm{mm}$ : $0.291\,\mathrm{mm}$ ، و $\Delta\lambda = 0.597\,\mathrm{nm}$ ؛ و $\pm10\,\text{µ}\mathrm{m}$ على $3.2\,\mathrm{mm}$ : $\pm0.002\,\mathrm{nm}$ .

10. $492.4$ و $491.9$ (أي نصف رتبة بينهما)؛ وعند العودة، $984.7$ و $983.7$ .

11. $1/3$ .

12. $\ell_c = \lambda^2/\Delta\lambda = 1.7\,\mathrm{cm}$ : $2e < 1.7\,\mathrm{cm}$ ، أي نحو $29$ .

13. ثلاثة نظم هدب: تباين تامّ كل $\lambda^2/2\Delta\lambda$ ، مع هبوطين جزئيين بينهما — وهو نقش ثلاثة شقوق.

14. $2(n - 1)\ell = 29\,\text{µ}\mathrm{m}$ : أي $46$ هدبة.

15. $n - 1 = 46\lambda/2\ell = 2.91 \times 10^{-4}\,$ .

16. $9.2$ هدبة.

17. الذراعان المتساويان: الهيام مشترك بينهما فيتلاشى؛ وتفاوت قدره $1\,\mathrm{cm}$ يعطي $2 \times 0.01 \times 3 \times 10^{-6} = 0.1$ هدبة — وهو غير ضارّ في الجزأين.

18. فهما موجودتان، من دون تغيّر، طوال العدّ: أي إزاحة ثابتة.

19. $71$ هدبة؛ ويعطي العدّ $n - 1$ ، وهو بصمة الغاز.

20. $31\,600$ هدبة على سنتيمتر، تُقرأ حتى العُشر: أي $30\,\mathrm{nm}$ ، و $3 \times 10^{-6}$ ؛ بينما يعطي اللولب ميكرومترًا.

21. يتأرجح $\delta$ بمقدار $\pm100\,\mathrm{nm}$ ، أي $\pm0.16$ هدبة عند $100\,\mathrm{Hz}$ : فترى العين تباينًا منخفضًا؛ وعند $25$ إطارًا في الثانية تعاين آلة التصوير أربعة أدوار في الإطار فترى نقشًا مجمّدًا أو بطيء الضربات.

22. $10^{-8} \times 31\,600 = 3 \times 10^{-4}$ هدبة: أي لا شيء.

23. $\lambda/20 = 32\,\mathrm{nm}$ على $10\,\mathrm{mm}$ : $3 \times 10^{-6}$ .

24. لأنه يقارن طولًا مباشرة بطول موجة، هدبةً هدبة؛ أما الشبكة فتنشر أطوال الموجة كلها معًا على مجال واسع.

25. الطول: بعدّ الحلقات عند المركز. والثنائي: بالضياع الدوري للتباين. والقرينة: بالهدب المارّة بينما تمتلئ الخلية. وطول الترابط: بالسماكة التي تخبو عندها الحلقات.

المصطلحات المعرَّفة في هذا الفصل

مقياس تداخل ميكلسون

عرض كل المصطلحات (393) في المسرد