Physics · الكتاب 4 · Bachelor Year 2

الفيزياء الجامعية — السنة الثانية

الفيزياء الجامعية — السنة الثانية · Bachelor Year 2

7الأمواج الصوتية في الموائع

عُدَّ الثواني بين الوميض والرعد واقسمها على ثلاثة: فذلك البعد بالكيلومتر. يقطع الصوت الهواء بثلث كيلومتر في الثانية، والماء بكيلومتر ونصف، ويوقّت ماسح فوق صوتي الأصداء الآتية من داخل الجسم إلى جزء من المليون من الثانية ليرسم صورته. وهذا الفصل يطبّق ميكانيك الموائع في الفصول 3 و2 على مائع ساكن تزعجه تموّجة ضغط صغيرة، فيجد معادلة دالمبير من جديد: سرعة الصوت، وما الذي يحمل الطاقة، وكم يكون العالي عاليًا، وكيف ينتشر الصوت في الفضاء، ولماذا تتغير درجة صفارة وهي تمرّ.

7.1 التقريب الصوتي

تعريف 7.1 (الاضطراب الصوتي)

مائع ساكن، ضغطه المنتظم P0P_0 وكثافته ρ0\rho_0، يُزعَج: P=P0+p(M,t)P = P_0 + p(M, t)، و ρ=ρ0+ρ1(M,t)\rho = \rho_0 + \rho_1(M, t)، وسرعته v→(M,t)\vect v(M, t). والتقريب الصوتي لا يحتفظ إلا بالمرتبة الأولى في المقادير الصغيرة pp (وهو فرط الضغط، أو الضغط الصوتي) و ρ1\rho_1 و v→\vect v: أي ∣p∣≪P0|p| \ll P_0، و ∣ρ1∣≪ρ0|\rho_1| \ll \rho_0، و v≪cv \ll c، والتحول الذي يخضع له كل جسيم مائع سريع إلى حدّ لا يتبادل معه أي حرارة: فهو ثابت الإنتروبيا، وقابلية انضغاطه χS=1ρ(∂ρ∂P)S\chi_S = \frac1\rho\bigl(\frac{\partial\rho}{\partial P}\bigr)_S. وتُهمَل الثقالة.

مبرهنة 7.2 (الأمواج الصوتية)

حتى المرتبة الأولى، تُقرأ معادلة أويلر وانحفاظ الكتلة وقانون ثبات الإنتروبيا هكذا

ρ0∂v→∂t=−grad→⁡p,∂ρ1∂t+ρ0div⁡v→=0,ρ1=ρ0χSp,\rho_0\frac{\partial\vect v}{\partial t} = -\operatorname{\vect{grad}}p , \qquad \frac{\partial\rho_1}{\partial t} + \rho_0\operatorname{div}\vect v = 0 , \qquad \rho_1 = \rho_0\chi_Sp ,

وهي تعطي معًا معادلة الأمواج من أجل فرط الضغط،

Δp=1c2∂2p∂t2,c=1ρ0χS,\Delta p = \frac1{c^2}\frac{\partial^2p}{\partial t^2} , \qquad c = \frac1{\sqrt{\rho_0\chi_S}} ,

(والمعادلة نفسها من أجل ρ1\rho_1 و v→\vect v). وفي الغاز المثالي يكون χS=1/γP0\chi_S = 1/\gamma P_0 و

c=γP0ρ0=γRTM:c = \sqrt{\frac{\gamma P_0}{\rho_0}} = \sqrt{\frac{\gamma RT}{M}} :

أي 343 m/s343\,\mathrm{m}/\mathrm{s} في الهواء عند 20∘C20{}^{\circ}\mathrm{C}، وترتفع بمقدار 0.6 m/s0.6\,\mathrm{m}/\mathrm{s} في الكلفن؛ و 1000 m/s1000\,\mathrm{m}/\mathrm{s} في الهليوم؛ و 1480 m/s1480\,\mathrm{m}/\mathrm{s} في الماء (χS=4.5×10−10 Pa−1\chi_S = 4.5 \times 10^{-10}\,\mathrm{Pa}^{-1}).

برهان. أويلر: الحدّ الحملي ρ(v→⋅grad→⁡)v→\rho(\vect v\cdot\operatorname{\vect{grad}})\vect v من المرتبة الثانية، و ρ ∂tv→≈ρ0 ∂tv→\rho\,\partial_t\vect v \approx \rho_0\,\partial_t\vect v، و grad→⁡P=grad→⁡p\operatorname{\vect{grad}}P = \operatorname{\vect{grad}}p. والكتلة: ∂tρ+div⁡(ρv→)≈∂tρ1+ρ0div⁡v→\partial_t\rho + \operatorname{div}(\rho\vect v) \approx \partial_t\rho_1 + \rho_0\operatorname{div}\vect v. وقانون ثبات الإنتروبيا:  ⁣dρ=ρχS  ⁣dP\dd\rho = \rho\chi_S\,\dd P حتى المرتبة الأولى. ونأخذ تباعد المعادلة الأولى ومشتق الثانية بالنسبة إلى الزمن: ρ0∂tdiv⁡v→=−Δp=−∂t2ρ1=−ρ0χS∂t2p\rho_0\partial_t\operatorname{div}\vect v = -\Delta p = -\partial_t^2\rho_1 = -\rho_0\chi_S \partial_t^2p. وأما الغاز المثالي، فثبات PVγPV^\gamma على امتداد تحول ثابت الإنتروبيا يعطي  ⁣dρ/ρ= ⁣dP/γP\dd\rho/\rho = \dd P/\gamma P، ومنه χS=1/γP\chi_S = 1/\gamma P، و P0/ρ0=RT/MP_0/\rho_0 = RT/M. ∎

ملاحظة 7.3 (لماذا ثابت الإنتروبيا)

حسب نيوتن سرعة الصوت بقابلية الانضغاط عند ثبات الحرارة، P0/ρ0=290 m/s\sqrt{P_0/\rho_0} = 290\,\mathrm{m}/\mathrm{s}، وهي أدنى بنسبة 15%15\%؛ ورأى لابلاس أن الانضغاطات أسرع من أن تجري الحرارة بين الذرى الدافئة والقيعان الباردة — إذ تنتشر الحرارة في دور واحد بضعة ميكرومترات (الفصل 25)، وهو لا شيء بالقياس إلى طول الموجة — فيكون التحول كظومًا وعكوسًا، ويظهر γ\gamma. وهكذا تكون سرعة الصوت قياسًا مباشرًا للمقدار γ\gamma: أي 1.401.40 في الهواء، و 1.671.67 في الأرغون.

على اليسار: شريحة مائع منتقلة بالمقدار (x, t) ومدفوعة بالضغطين على وجهيها؛ وانضغاطها يحدّد فرط الضغط. وعلى اليمين: موجة صوتية مستوية — مناطق انضغاط وتخلخل متناوبة تتحرك بالسرعة c، والمائع نفسه يتذبذب جيئةً وذهابًا على امتداد جهة الانتشار (أي موجة طولية).
على اليسار: شريحة مائع منتقلة بالمقدار ξ(x,t)\xi(x, t) ومدفوعة بالضغطين على وجهيها؛ وانضغاطها يحدّد فرط الضغط. وعلى اليمين: موجة صوتية مستوية — مناطق انضغاط وتخلخل متناوبة تتحرك بالسرعة cc، والمائع نفسه يتذبذب جيئةً وذهابًا على امتداد جهة الانتشار (أي موجة طولية).

7.2 الأمواج المستوية والممانعة والشدّة

قضية 7.4 (الموجة الصوتية المستوية المتقدمة)

من أجل موجة مستوية p=f(x−ct)p = f(x - ct) تنتقل نحو +x+x، تكون سرعة المائع على امتداد xx، في طور فرط الضغط، ويكون

p=Z v,Z=ρ0c=ρ0/χS,p = Z\,v , \qquad Z = \rho_0c = \sqrt{\rho_0/\chi_S} ,

حيث ZZ هي الممانعة الصوتية للوسط (kg m−2 s−1\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-2}\,\mathrm{s}^{-1}): أي 410 kg m−2 s−1410\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-2}\,\mathrm{s}^{-1} للهواء، و 1.5×106 kg m−2 s−11.5 \times 10^{6}\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-2}\,\mathrm{s}^{-1} للماء، و ∼1.6×106 kg m−2 s−1\sim1.6 \times 10^{6}\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-2}\,\mathrm{s}^{-1} للنسيج الرخو، و 4×107 kg m−2 s−14 \times 10^{7}\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-2}\,\mathrm{s}^{-1} للفولاذ. وتحمل الموجة كثافة الطاقة والشدّة (أي الاستطاعة في واحدة المساحة، نحو +x+x)

e=12ρ0v2+12χSp2,I=p v,e = \tfrac12\rho_0v^2 + \tfrac12\chi_Sp^2 , \qquad I = p\,v ,

وهما تحققان ∂te+∂xI=0\partial_te + \partial_xI = 0؛ وفي الموجة المتقدمة يتساوى نصفا ee ويكون I=p2/Z=Zv2I = p^2/Z = Zv^2. وموجة جيبية سعة ضغطها pmp_m لها الشدّة الوسطى ⟨I⟩=pm2/2Z\langle I\rangle = p_m^2/2Z.

برهان. من أجل p=f(x−ct)p = f(x - ct)، ρ0∂tv=−∂xp=f′/c⋅c…\rho_0\partial_tv = -\partial_xp = f'/c\cdot c\dots: وبالضبط، ρ0∂tv=−f′(x−ct)\rho_0\partial_tv = -f'(x - ct)، ويحققها v=f(x−ct)/ρ0cv = f(x - ct)/\rho_0c. والحدّ الكامن في ee هو الشغل المخزَّن في ضغط المائع (إذ انضغاط ثابت الإنتروبيا لواحدة الحجم بالمقدار  ⁣dV/V=−χS  ⁣dp\dd V/V = -\chi_S\,\dd p يخزّن ∫p χS ⁣dp=12χSp2\int p\,\chi_S\dd p = \tfrac12\chi_Sp^2)؛ و II هو معدل شغل قوة الضغط pSpS على المائع الذي أمامه، وهو يتحرك بالسرعة vv، في واحدة المساحة. والموازنة: ∂te=ρ0v∂tv+χSp∂tp=−v∂xp−p∂xv=−∂x(pv)\partial_te = \rho_0v\partial_tv + \chi_Sp\partial_tp = -v\partial_xp - p\partial_xv = -\partial_x(pv) بالمعادلتين المخطَّيتين. ∎

تعريف 7.5 (مستوى الصوت)

مستوى الصوت لموجة شدّتها الوسطى II هو

L=10log⁡10II0 dB,I0=1×10−12 W/m2L = 10\log_{10}\frac I{I_0} \ \text{dB} , \qquad I_0 = 1 \times 10^{-12}\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}

— وهي عتبة السمع عند 1 kHz1\,\mathrm{kHz}، وتوافق في الهواء سعة الضغط p0≈2×10−5 Pap_0 \approx 2 \times 10^{-5}\,\mathrm{Pa} (فعّالة) =2×10−10= 2 \times 10^{-10} من الضغط الجوي. ومضاعفة الشدّة تضيف 3 dB3\,\mathrm{dB}؛ وعشرة أضعافها 10 dB10\,\mathrm{dB}؛ ومئة ضعف في سعة الضغط 40 dB40\,\mathrm{dB}. والغرفة الهادئة 30 dB30\,\mathrm{dB}، والحديث 60 dB60\,\mathrm{dB}، والشارع المزدحم 80 dB80\,\mathrm{dB}، وحفلة الروك 110 dB110\,\mathrm{dB}، والألم 120 dB120\,\mathrm{dB} (I=1 W/m2I = 1\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}، و pm=29 Pap_m = 29\,\mathrm{Pa}).

مثال 7.6 (كم يكون الصوت صغيرًا)

عند العتبة، وعند 1 kHz1\,\mathrm{kHz}: pm=2.8×10−5 Pap_m = 2.8 \times 10^{-5}\,\mathrm{Pa}، و vm=pm/Z=7×10−8 m/sv_m = p_m/Z = 7 \times 10^{-8}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}، وسعة الانتقال ξm=vm/ω=1×10−11 m\xi_m = v_m/\omega = 1 \times 10^{-11}\,\mathrm{m} — أي عُشر قطر ذرة: فطبلة الأذن تكشف حركات أصغر من ذرة. وعند 120 dB120\,\mathrm{dB} يكون ξm=11 µm\xi_m = 11\,\text{µ}\mathrm{m}، وهو غير مرئي كذلك، و pm/P0=3×10−4p_m/P_0 = 3 \times 10^{-4}: فحتى أعلى الأصوات اضطرابات ضئيلة، ولهذا تعمل النظرية الخطية بهذا الإحكام.

على اليمين: في الموجة الصوتية المستوية المتقدمة يكون فرط الضغط وسرعة المائع في طور واحد، ويتأخر الانتقال بربع دور. وعلى اليسار: سلّم الديسيبل — فكل درجة 20\, dB تضرب الشدّة بمئة وسعة الضغط بعشرة. على اليمين: في الموجة الصوتية المستوية المتقدمة يكون فرط الضغط وسرعة المائع في طور واحد، ويتأخر الانتقال بربع دور. وعلى اليسار: سلّم الديسيبل — فكل درجة 20\, dB تضرب الشدّة بمئة وسعة الضغط بعشرة.
على اليمين: في الموجة الصوتية المستوية المتقدمة يكون فرط الضغط وسرعة المائع في طور واحد، ويتأخر الانتقال بربع دور. وعلى اليسار: سلّم الديسيبل — فكل درجة 20 dB20\,\mathrm{dB} تضرب الشدّة بمئة وسعة الضغط بعشرة.

7.3 الأمواج الكروية

قضية 7.7 (الأمواج الكروية وقانون التربيع العكسي)

منبع صغير يشعّ بالتساوي في كل الاتجاهات ينتج الموجة الكروية

p(r,t)=Ar f(t−rc),p(r, t) = \frac{A}{r}\,f\Bigl(t - \frac rc\Bigr) ,

وتهبط سعتها مثل 1/r1/r وتهبط شدّتها مثل 1/r21/r^2: فمن أجل منبع استطاعته الصوتية P\mathcal P يكون I=P/4πr2I = \mathcal P/4\pi r^2، أي −6 dB-6\,\mathrm{dB} كلما تضاعف البعد. وبعيدًا عن المنبع تكون الموجة مستوية موضعيًّا، و v=p/Zv = p/Z قطرية.

برهان. بالإحداثيات الكروية، من أجل دالة في rr وحدها، Δp=1r∂2(rp)∂r2\Delta p = \frac1r\frac{\partial^2(rp)}{\partial r^2} (مسلَّم بها؛ الفصل 11)، ومنه يحقق u=rpu = rp معادلة الأمواج ذات البعد الواحد ∂r2u=∂t2u/c2\partial_r^2u = \partial_t^2u/c^2، ومنه u=Af(t−r/c)u = Af(t - r/c) من أجل الموجة الخارجة. والاستطاعة العابرة لكرة نصف قطرها rr هي 4πr2I4\pi r^2I، وهي ثابتة إن لم يُمتصّ شيء. ∎

مثال 7.8 (صفارة وحديث)

صفارة استطاعتها 10 W10\,\mathrm{W}: I=10/4πr2I = 10/4\pi r^2، أي 0.8 W/m20.8\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2} عند 1 m1\,\mathrm{m} (و 119 dB119\,\mathrm{dB}، أي ألم)، و 79 dB79\,\mathrm{dB} عند 100 m100\,\mathrm{m}، و 59 dB59\,\mathrm{dB} عند 1 km1\,\mathrm{km} — ولا تزال مسموعة فوق المدينة. ويشعّ الصوت البشري نحو 10 µW10\,\text{µ}\mathrm{W}: أي 60 dB60\,\mathrm{dB} عند 1 m1\,\mathrm{m}، و 40 dB40\,\mathrm{dB} عند 10 m10\,\mathrm{m}. ويمتصّ الهواء الصوت أيضًا (وأكثر عند التواترات العالية، بضعة ديسيبلات في المئة متر عند 10 kHz10\,\mathrm{kHz})، ولهذا يهدر الرعد البعيد هديرًا خفيضًا.

7.4 أثر دوبلر

مبرهنة 7.9 (أثر دوبلر)

منبع يبثّ عند التواتر ff ويتحرك بالسرعة vsv_s على امتداد المستقيم الواصل بينه وبين راصد يتحرك بالسرعة vov_o، والسرعتان موجبتان حين يتقاربان؛ وينتقل الصوت بالسرعة cc في الهواء الساكن. ويتلقى الراصد التواتر

f′=f c+voc−vs.f' = f\,\frac{c + v_o}{c - v_s} .

فالمنبع المتحرك يزاحم جبهات موجته أمامه (λ′=(c−vs)/f\lambda' = (c - v_s)/f) ويباعدها خلفه؛ والراصد المتحرك يلقى جبهات الموجة بالمعدل (c+vo)/λ(c + v_o)/\lambda. ومن أجل vs,vo≪cv_s, v_o \ll c يعطي الاثنان Δf/f≈(vs+vo)/c\Delta f/f \approx (v_s + v_o)/c.

برهان. المنبع المتحرك: تفترق جبهتا الموجة المبثوثتان عند tt و t+1/ft + 1/f بالمقدار c/f−vs/fc/f - v_s/f في جهة الحركة، ومنه يكون طول الموجة أمامه λ′=(c−vs)/f\lambda' = (c - v_s)/f ويكون التواتر الذي يتلقاه راصد ثابت c/λ′c/\lambda'. والراصد المتحرك: طول الموجة λ=c/f\lambda = c/f لكن الجبهات تمرّ بالسرعة النسبية c+voc + v_o. ثم نجمع بينهما. ∎

على اليسار: تتزاحم جبهات موجة منبع متحرك أمامه وتتباعد خلفه — فالدرجة أحدّ وهو مقبل، وأخفض وهو مدبر. وعلى اليمين: منبع أسرع من الصوت يترك جبهات موجته خلفه؛ وغلافها هو مخروط ماخ، ويُسمع على الأرض دويًّا.
على اليسار: تتزاحم جبهات موجة منبع متحرك أمامه وتتباعد خلفه — فالدرجة أحدّ وهو مقبل، وأخفض وهو مدبر. وعلى اليمين: منبع أسرع من الصوت يترك جبهات موجته خلفه؛ وغلافها هو مخروط ماخ، ويُسمع على الأرض دويًّا.

مثال 7.10 (الصفارات ومسدسات الرادار والكريات الحمراء)

صفارة إسعاف عند 700 Hz700\,\mathrm{Hz} تمرّ بسرعة 25 m/s25\,\mathrm{m}/\mathrm{s}: تُسمع 755 Hz755\,\mathrm{Hz} وهي مقبلة، و 651 Hz651\,\mathrm{Hz} وهي مدبرة — أي هبوط بسدس ديوان، وهو انخفاض الصفارة المألوف. ويقيس مسدس رادار الشرطة الأثر نفسه على موجة راديوية عند 24 GHz24\,\mathrm{GHz} تنعكس عن سيارة (فالموجة تنزاح مرتين، بتلقي السيارة لها وإعادة بثّها): Δf=2fv/c=4.8 kHz\Delta f = 2fv/c = 4.8\,\mathrm{kHz} عند 30 m/s30\,\mathrm{m}/\mathrm{s}. ومسبار فوق صوتي عند 5 MHz5\,\mathrm{MHz} مصوَّب إلى شريان يسمع كريات الدم عند Δf=2fvcos⁡θ/c≈1.6 kHz\Delta f = 2fv\cos\theta/c \approx 1.6\,\mathrm{kHz} من أجل 0.5 m/s0.5\,\mathrm{m}/\mathrm{s} عند 60∘60{}^{\circ}: أي صفير مسموع درجته سرعة الدم. وتنزاح الخطوط الطيفية لمجرّة مدبرة نحو الأحمر بالمقدار Δλ/λ=v/c\Delta\lambda/\lambda = v/c — والصيغة صحيحة في الضوء عند السرعات الصغيرة، مع التصحيح النسبوي فيما وراءها.

ملاحظة 7.11 (فوق سرعة الصوت)

حين vs>cv_s > c تنهار الصيغة (f′<0f' < 0 أمامه): فلا صوت يسبق المنبع. ولجبهات الموجة المبثوثة على امتداد المسار غلاف مخروطي نصف زاويته θ\theta حيث sin⁡θ=c/vs\sin\theta = c/v_s (وهو مخروط ماخ)؛ وقفزة الضغط التي يحملها المخروط هي الدويّ الصوتي، ولا يبلغ سامعًا على الأرض إلا بعد مرور الطائرة — فعند ماخ 22 وارتفاع 10 km10\,\mathrm{km} يكون θ=30∘\theta = 30{}^{\circ} ويصل الدويّ بعد المرور فوق الرأس بمقدار 10 km/tan⁡θ/vs≈25 s10\,\text{km}/\tan\theta/v_s \approx 25\,\mathrm{s}. وطرقة الرصاصة وطرف السوط هما المخروط نفسه.

طريقة 7.12 (رتب القدر في الصوتيات)

إذا أُعطي مستوى الصوت LL: فإن I=I0 10L/10I = I_0\,10^{L/10}؛ ثم pm=2ZIp_m = \sqrt{2ZI}، و vm=pm/Zv_m = p_m/Z، و ξm=vm/ω\xi_m = v_m/\omega؛ واستطاعة المنبع 4πr2I4\pi r^2I إن كان يشعّ في كل الاتجاهات (وأقل بمرتين فوق أرض صلبة، فهي تعكس في نصف فضاء). والانتقال من r1r_1 إلى r2r_2 يغير LL بالمقدار 20log⁡10(r1/r2)20\log_{10}(r_1/r_2). وجمع nn منبعًا متساويًا غير مترابط يضيف 10log⁡10n10\log_{10}n؛ ومنبعان مترابطان في طور واحد عند نقطة يضيفان 6 dB6\,\mathrm{dB}.

7.5 تمارين

تمرين 7.1 ★

سرعة الصوت في الهواء (γ=1.40\gamma = 1.40، و M=29 g/molM = 29\,\mathrm{g}/\mathrm{mol}) عند 0∘C0{}^{\circ}\mathrm{C} و 20∘C20{}^{\circ}\mathrm{C} وعند −50∘C-50{}^{\circ}\mathrm{C} (أي على ارتفاع 10 km10\,\mathrm{km})؛ وفي الهليوم (γ=1.67\gamma = 1.67، و M=4 g/molM = 4\,\mathrm{g}/\mathrm{mol}) وفي ثاني أكسيد الكربون (γ=1.30\gamma = 1.30، و M=44 g/molM = 44\,\mathrm{g}/\mathrm{mol}) عند 20∘C20{}^{\circ}\mathrm{C}. ولماذا يبدو الصوت حادًّا بعد استنشاق الهليوم؟

حل

حل التمرين 7.1.

c=γRT/Mc = \sqrt{\gamma RT/M}: أي 331 m/s331\,\mathrm{m}/\mathrm{s} و 343 m/s343\,\mathrm{m}/\mathrm{s} و 299 m/s299\,\mathrm{m}/\mathrm{s}؛ والهليوم 1010 m/s1010\,\mathrm{m}/\mathrm{s}؛ و CO2_2 عند 268 m/s268\,\mathrm{m}/\mathrm{s}. وتهتزّ الحبال الصوتية عند التواتر نفسه، لكن رنينات المجرى الصوتي (وهي التي تشكّل الجرس) تتغير مع cc فترتفع بمعامل ثلاثة: فيبدو الصوت حادًّا.

تمرين 7.2 ★

حديث عند 60 dB60\,\mathrm{dB} و 500 Hz500\,\mathrm{Hz}: أوجد الشدّة، وسعة الضغط، وسعة السرعة، وسعة الانتقال في الهواء (Z=410 kg m−2 s−1Z = 410\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-2}\,\mathrm{s}^{-1}). والأمر نفسه من أجل 120 dB120\,\mathrm{dB}. ومستوى شخصين يتكلمان معًا؛ ومئة شخص.

حل

حل التمرين 7.2.

عند 60 dB60\,\mathrm{dB}: I=1×10−6 W/m2I = 1 \times 10^{-6}\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}، و pm=2ZI=29 mPap_m = \sqrt{2ZI} = 29\,\mathrm{mPa}، و vm=pm/Z=7×10−5 m/sv_m = p_m/Z = 7 \times 10^{-5}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}، و ξm=vm/ω=22 nm\xi_m = v_m/\omega = 22\,\mathrm{nm}. وعند 120 dB120\,\mathrm{dB}: 1 W/m21\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}، و 29 Pa29\,\mathrm{Pa}، و 7 cm/s7\,\mathrm{cm}/\mathrm{s}، و 22 µm22\,\text{µ}\mathrm{m}. واثنان: 63 dB63\,\mathrm{dB}؛ ومئة: 80 dB80\,\mathrm{dB}.

تمرين 7.3 ★

مكبر صوت يشعّ 1.0 W1.0\,\mathrm{W} من الصوت بالتساوي في كل الاتجاهات. أوجد الشدّة والمستوى عند 1 m1\,\mathrm{m} و 10 m10\,\mathrm{m} و 100 m100\,\mathrm{m}؛ والبعد الذي يهبط عنده المستوى إلى 60 dB60\,\mathrm{dB}؛ والاستطاعة اللازمة من أجل 100 dB100\,\mathrm{dB} عند 30 m30\,\mathrm{m} (أي حفلة في الهواء الطلق).

حل

حل التمرين 7.3.

I=1/4πr2I = 1/4\pi r^2: أي 0.080 W/m20.080\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2} (109 dB109\,\mathrm{dB})، و 89 dB89\,\mathrm{dB}، و 69 dB69\,\mathrm{dB}؛ و I=10−6I = 10^{-6} عند r=1/4π10−6=280 mr = \sqrt{1/4\pi10^{-6}} = 280\,\mathrm{m}؛ و 100 dB100\,\mathrm{dB} عند 30 m30\,\mathrm{m} تحتاج 4π×900×10−2=110 W4\pi \times 900 \times 10^{-2} = 110\,\mathrm{W} من الصوت.

تمرين 7.4 ★

يُسمع الرعد بعد الوميض بمقدار 4.5 s4.5\,\mathrm{s}: أوجد البعد. وترتدّ صفارة سفينة عن جرف بعد 3.0 s3.0\,\mathrm{s}: أوجد البعد. والسونار: يعود صدى من قاع البحر بعد 2.4 s2.4\,\mathrm{s} (c=1500 m/sc = 1500\,\mathrm{m}/\mathrm{s}): أوجد العمق. ويعود صدى فوق صوتي عند 5 MHz5\,\mathrm{MHz} بعد 130 µs130\,\text{µ}\mathrm{s} في نسيج (1540 m/s1540\,\mathrm{m}/\mathrm{s}): أوجد العمق.

حل

حل التمرين 7.4.

4.5×340=1.5 km4.5 \times 340 = 1.5\,\mathrm{km}؛ و 340×1.5=510 m340 \times 1.5 = 510\,\mathrm{m}؛ و 1500×1.2=1.8 km1500 \times 1.2 = 1.8\,\mathrm{km}؛ و 1540×65×10−6=10 cm1540 \times 65 \times 10^{-6} = 10\,\mathrm{cm}.

تمرين 7.5 ★★

صفارة قطار عند 500 Hz500\,\mathrm{Hz}؛ و c=340 m/sc = 340\,\mathrm{m}/\mathrm{s}. (أ) أوجد التواتر الذي يسمعه شخص على الرصيف والقطار مقبل بسرعة 40 m/s40\,\mathrm{m}/\mathrm{s}، ثم بعد مروره. (ب) والشخص في قطار يتحرك نحو الصفارة بسرعة 40 m/s40\,\mathrm{m}/\mathrm{s} والصفارة ساكنة؛ ثم يتحرك الاثنان أحدهما نحو الآخر بسرعة 40 m/s40\,\mathrm{m}/\mathrm{s}: قارن بسرعة نسبية 80 m/s80\,\mathrm{m}/\mathrm{s} و جسم واحد ساكن. (ج) والتواتر الذي يسمعه سائق قطار الصفارة من الصدى عن جدار أمامه.

حل

حل التمرين 7.5.

(أ) 500×340/300=567 Hz500 \times 340/300 = 567\,\mathrm{Hz}؛ و 500×340/380=447 Hz500 \times 340/380 = 447\,\mathrm{Hz}. (ب) 500×380/340=559 Hz500 \times 380/340 = 559\,\mathrm{Hz}؛ ومعًا: 500×380/300=633 Hz500 \times 380/300 = 633\,\mathrm{Hz}، مقابل 654 Hz654\,\mathrm{Hz} (والمنبع وحده عند 80 m/s80\,\mathrm{m}/\mathrm{s}) أو 618 Hz618\,\mathrm{Hz} (والراصد وحده): فالهواء، لا السرعة النسبية، هو الذي يحدّد النتيجة. (ج) ويتلقى الجدار 567 Hz567\,\mathrm{Hz} ويعيد بثّها وهو ساكن؛ ويقترب السائق بسرعة 40 m/s40\,\mathrm{m}/\mathrm{s}: 567×380/340=633 Hz567 \times 380/340 = 633\,\mathrm{Hz}.

تمرين 7.6 ★★

من أجل سعة ضغط 1.0 Pa1.0\,\mathrm{Pa} عند 1 kHz1\,\mathrm{kHz}، احسب سعتي السرعة والانتقال، والشدّة والمستوى في الهواء، وفي الماء (Z=1.5×106 kg m−2 s−1Z = 1.5 \times 10^{6}\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-2}\,\mathrm{s}^{-1})، وفي الفولاذ (4×107 kg m−2 s−14 \times 10^{7}\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-2}\,\mathrm{s}^{-1}). فالضغط نفسه والشدّات مختلفة جدًّا: علّق. (وتُذكر المستويات تحت الماء بالنسبة إلى 1 µPa1\,\text{µ}\mathrm{Pa}: فكم تكون 1 Pa1\,\mathrm{Pa} على ذلك السلّم؟)

حل

حل التمرين 7.6.

vm=pm/Zv_m = p_m/Z: أي 2.4 mm/s2.4\,\mathrm{mm}/\mathrm{s} و 0.67 µm/s0.67\,\text{µ}\mathrm{m}/\mathrm{s} و 25 nm/s25\,\mathrm{nm}/\mathrm{s}؛ و ξm=vm/ω\xi_m = v_m/\omega: أي 390 nm390\,\mathrm{nm} و 0.11 nm0.11\,\mathrm{nm} و 4 pm4\,\mathrm{pm}؛ و I=pm2/2ZI = p_m^2/2Z: أي 1.2×10−3 W/m21.2 \times 10^{-3}\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2} (91 dB91\,\mathrm{dB})، و 3.3×10−7 W/m23.3 \times 10^{-7}\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2} (55 dB55\,\mathrm{dB})، و 1.3×10−8 W/m21.3 \times 10^{-8}\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2} (41 dB41\,\mathrm{dB}). فالوسط الصلب لا يكاد يتحرك تحت ضغط معطى ويحمل استطاعة قليلة. و 1 Pa1\,\mathrm{Pa} هي 120 dB120\,\mathrm{dB} بالنسبة إلى 1 µPa1\,\text{µ}\mathrm{Pa}.

تمرين 7.7 ★★

(أ) سرعة نيوتن عند ثبات الحرارة P0/ρ0\sqrt{P_0/\rho_0} من أجل الهواء عند 20∘C20{}^{\circ}\mathrm{C} (ρ0=1.20 kg/m3\rho_0 = 1.20\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}) وتصحيح لابلاس. (ب) والمقيس: 343 m/s343\,\mathrm{m}/\mathrm{s} في الهواء، و 323 m/s323\,\mathrm{m}/\mathrm{s} في الأرغون (M=40 g/molM = 40\,\mathrm{g}/\mathrm{mol}) عند 20∘C20{}^{\circ}\mathrm{C}: استنتج γ\gamma لكل منهما؛ وفسّر ذلك بعدد درجات الحرية. (ج) وقدّر إلى أي بعد تنتشر الحرارة في دور واحد عند 1 kHz1\,\mathrm{kHz} (وانتشارية الهواء الحرارية 2×10−5 m2/s2 \times 10^{-5}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}) وقارنه بطول الموجة.

حل

حل التمرين 7.7.

(أ) 1.013×105/1.2=290 m/s\sqrt{1.013 \times 10^5/1.2} = 290\,\mathrm{m}/\mathrm{s}؛ ومضروبةً في ×1.4\times\sqrt{1.4}: 343 m/s343\,\mathrm{m}/\mathrm{s}. (ب) γ=c2M/RT\gamma = c^2M/RT: أي 1.401.40 للهواء، و 1.711.71 للأرغون (5/35/3 ضمن حدود التقريب): أي ثلاث درجات حرية انسحابية (γ=1+2/3\gamma = 1 + 2/3) مقابل خمس في غاز ثنائي الذرة (1+2/51 + 2/5). (ج) D/f=2×10−8=0.14 mm≪λ=34 cm\sqrt{D/f} = \sqrt{2 \times 10^{-8}} = 0.14\,\mathrm{mm} \ll \lambda = 34\,\mathrm{cm}: فلا حرارة تجري بين الذرى والقيعان.

تمرين 7.8 ★★

أنابيب الأرغن. في أنبوب ينعدم فرط الضغط عند طرف مفتوح وتنعدم السرعة عند طرف مغلق. (أ) الأمواج المستقرة في أنبوب مفتوح من طرفيه: بيّن أن أنماطه fn=nc/2Lf_n = nc/2L؛ وفي أنبوب مغلق من طرف واحد، fn=(2n−1)c/4Lf_n = (2n - 1)c/4L. (ب) الأطوال اللازمة لنمط أساسي عند 440 Hz440\,\mathrm{Hz} في كل حالة. (ج) وأي التوافقيات يحويها كل أنبوب؟ (د) والطرف المفتوح الحقيقي يقع على نحو 0.60.6 من نصف القطر خلف الأنبوب (تصحيح الطرف): ومن أجل أنبوب طوله 4 cm4\,\mathrm{cm}، أوجد التصحيح على LL وعلى ff.

حل

حل التمرين 7.8.

(أ) المفتوح من الطرفين: p=pmsin⁡kxcos⁡ωtp = p_m\sin kx\cos\omega t مع kL=nπkL = n\pi؛ والمغلق من طرف: p=pmcos⁡kxcos⁡ωtp = p_m\cos kx\cos\omega t (فعقدة السرعة وبطن الضغط عند الطرف المغلق) مع kL=(2n−1)π/2kL = (2n - 1)\pi/2. (ب) L=c/2f=39 cmL = c/2f = 39\,\mathrm{cm}؛ و c/4f=19.5 cmc/4f = 19.5\,\mathrm{cm}. (ج) كل التوافقيات؛ والتوافقيات الفردية وحدها (وهي صوت الكلارينيت الأجوف). (د) 0.6×2=1.2 cm0.6 \times 2 = 1.2\,\mathrm{cm} لكل طرف مفتوح: ومنه Lفعّال=41.4 cmL_{\text{فعّال}} = 41.4\,\mathrm{cm}، و f=414 Hzf = 414\,\mathrm{Hz}، أي أخفض بنسبة 6%6\% — فيجب أن يُقطع الأنبوب على 36.6 cm36.6\,\mathrm{cm}.

تمرين 7.9 ★★

صفارة كهربائية استطاعتها 2.0 kW2.0\,\mathrm{kW} تحوّل 20%20\% من استطاعتها إلى صوت مشعّ في نصف فضاء (فهي على سطح). (أ) أوجد الشدّة والمستوى وسعة الضغط عند 100 m100\,\mathrm{m}. (ب) وبعد عتبة الألم (120 dB120\,\mathrm{dB})؛ وبعد الخط الكفافي عند 70 dB70\,\mathrm{dB} حيث تكفّ عن الإنذار. (ج) ويضيف امتصاص الهواء 1 dB1\,\mathrm{dB} في كل 100 m100\,\mathrm{m} عند تواترها: أوجد بعد الخط الكفافي عند 70 dB70\,\mathrm{dB} الآن (حُلّ عدديًّا). (د) وكم صفارة كهذه تغطي مدينة نصف قطرها 10 km10\,\mathrm{km}؟

حل

حل التمرين 7.9.

P=400 W\mathcal P = 400\,\mathrm{W}، و I=P/2πr2I = \mathcal P/2\pi r^2. (أ) 6.4×10−3 W/m26.4 \times 10^{-3}\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}، و 98 dB98\,\mathrm{dB}، و pm=2.3 Pap_m = 2.3\,\mathrm{Pa}. (ب) r=400/2π=8 mr = \sqrt{400/2\pi} = 8\,\mathrm{m}؛ و 70 dB70\,\mathrm{dB} عند 2.5 km2.5\,\mathrm{km}. (ج) 98−20log⁡(r/100)−(r−100)/100=7098 - 20\log(r/100) - (r - 100)/100 = 70: ومنه r≈950 mr \approx 950\,\mathrm{m}. (د) π(10)2/π(0.95)2≈110\pi(10)^2/\pi(0.95)^2 \approx 110 صفارة.

تمرين 7.10 ★★★

طاقة موجة صوتية مستقرة. في أنبوب مغلق طوله LL يكون فرط الضغط p=pmcos⁡(kx)cos⁡(ωt)p = p_m\cos(kx)\cos(\omega t)، و k=nπ/Lk = n\pi/L. (أ) أوجد v(x,t)v(x, t) من معادلة أويلر المخطَّاة. (ب) كثافتي الطاقة الحركية والكامنة؛ وبيّن أنهما تتذبذبان في تربيع الطور زمنيًّا وتنزاحان بربع طول موجة مكانيًّا. (ج) الطاقة الكلية في الأنبوب (ومقطعه SS)؛ وتحقق من أنها ثابتة. (د) الشدّة الوسطى: معدومة في كل مكان — ومع ذلك تتحرك الطاقة: فصف كيف.

حل

حل التمرين 7.10.

(أ) ρ0∂tv=pmksin⁡kxcos⁡ωt\rho_0\partial_tv = p_mk\sin kx\cos\omega t: ومنه v=(pm/Z)sin⁡kxsin⁡ωtv = (p_m/Z)\sin kx\sin\omega t. (ب) ek=12χSpm2sin⁡2kxsin⁡2ωte_k = \tfrac12\chi_Sp_m^2\sin^2kx\sin^2\omega t، و ep=12χSpm2cos⁡2kxcos⁡2ωte_p = \tfrac12\chi_Sp_m^2\cos^2kx\cos^2\omega t: فإحداهما أعظمية حين تنعدم الأخرى، زمنيًّا ومكانيًّا. (ج) E=S∫0L(ek+ep) ⁣dx=14χSpm2SLE = S\int_0^L(e_k + e_p)\dd x = \tfrac14\chi_Sp_m^2SL، وهي ثابتة. (د) I=pv=(pm2/4Z)sin⁡2kxsin⁡2ωtI = pv = (p_m^2/4Z)\sin2kx\sin2\omega t: متوسطها معدوم، لكن الطاقة تجري مرتين في كل دور من بطون الضغط إلى بطون السرعة وبالعكس.

تمرين 7.11 ★★★

الدويّ الصوتي. تطير طائرة أفقيًّا بالسرعة v=1.6 cv = 1.6\,c على ارتفاع h=12 kmh = 12\,\mathrm{km}، و c=300 m/sc = 300\,\mathrm{m}/\mathrm{s} هناك. (أ) استنتج زاوية ماخ من غلاف جبهات الموجة الكروية. (ب) والزمن بين المرور فوق الرأس والدويّ على الأرض (بإهمال تغيّر cc مع الارتفاع). (ج) وعرض الشريط على الأرض الذي يسمع الدويّ وهي تمرّ، إذا سُمع أثر المخروط ضمن ±30 km\pm30\,\mathrm{km} من المسار: ولماذا يُمنع الطيران الأسرع من الصوت فوق اليابسة؟ (د) ورصاصة بندقية عند 800 m/s800\,\mathrm{m}/\mathrm{s}: أوجد زاوية ماخ؛ وما الذي يسمعه راصد يقف على 10 m10\,\mathrm{m} من المسار، وبأي ترتيب.

حل

حل التمرين 7.11.

(أ) للجبهة المبثوثة عند t=0t = 0 نصف قطر ctct حين يكون المنبع على بعد vtvt: ومنه للمخروط المماس sin⁡θ=c/v\sin\theta = c/v. (ب) θ=39∘\theta = 39{}^{\circ}؛ ويبلغ المخروط الأرض تحت الطائرة حين تكون قد تقدمت h/tan⁡θ=15 kmh/\tan\theta = 15\,\mathrm{km}: أي 15000/480=31 s15000/480 = 31\,\mathrm{s} بعد المرور فوق الرأس. (ج) ويسمع الدويَّ بساط عرضه 60 km60\,\mathrm{km} على امتداد المسار كله. (د) sin⁡θ=340/800\sin\theta = 340/800، و θ=25∘\theta = 25{}^{\circ}؛ وتصل طرقة المخروط أولًا، ثم انفجار الفوهة، وهو ينتقل بالسرعة cc من البندقية، لاحقًا.

تمرين 7.12 ★★★

الدوبلر فوق الصوتي. يبثّ مسبار عند f=5.0 MHzf = 5.0\,\mathrm{MHz} في نسيج (c=1540 m/sc = 1540\,\mathrm{m}/\mathrm{s})؛ وتتحرك الكريات الحمراء بالسرعة vv على امتداد وعاء يصنع الزاوية θ\theta مع الحزمة. (أ) أوجد التواتر الذي تتلقاه كرية (وهي راصد متحرك). (ب) ثم تعيد بثّ (أي تنثر) هذا التواتر منبعًا متحركًا: أوجد التواتر العائد إلى المسبار؛ وبيّن أن Δf=2fvcos⁡θ/c\Delta f = 2fv\cos\theta/c من أجل v≪cv \ll c. (ج) وأوجد Δf\Delta f من أجل v=0.50 m/sv = 0.50\,\mathrm{m}/\mathrm{s} و θ=60∘\theta = 60{}^{\circ}؛ ومن أجل θ=90∘\theta = 90{}^{\circ} — فماذا يفعل المشغّل؟ (د) والمسبار يميّز 50 Hz50\,\mathrm{Hz}: أوجد تمييز السرعة. ولماذا تُجعل إشارة الدوبلر مسموعة لا معروضة فقط؟

حل

حل التمرين 7.12.

(أ) f1=f(c+vcos⁡θ)/cf_1 = f(c + v\cos\theta)/c. (ب) f2=f1c/(c−vcos⁡θ)=f(c+vcos⁡θ)/(c−vcos⁡θ)≈f(1+2vcos⁡θ/c)f_2 = f_1c/(c - v\cos\theta) = f(c + v\cos\theta) /(c - v\cos\theta) \approx f(1 + 2v\cos\theta/c). (ج) 2×5×106×0.5×0.5/1540=1.6 kHz2 \times 5 \times 10^6 \times 0.5 \times 0.5/1540 = 1.6\,\mathrm{kHz}؛ ومعدوم عند 90∘90{}^{\circ}: فيميل المشغّل المسبار. (د) Δv=50×1540/(2×5×106×0.5)=1.5 cm/s\Delta v = 50 \times 1540/ (2 \times 5 \times 10^6 \times 0.5) = 1.5\,\mathrm{cm}/\mathrm{s}. والأذن تتابع الدرجة والجرس في الزمن الحقيقي: فالصفير الأملس يعني جريانًا صفائحيًّا، والفحيح يعني اضطرابًا خلف تضيّق.

ماسح فوق صوتي: بضعة ميغاهرتز من الصوت، وأصداء موقَّتة، وعدم توافق الممانعات بين الأنسجة، ترسم الصورة؛ والهلام يزيل غشاء الهواء الذي كان ليعكس كل شيء.
ماسح فوق صوتي: بضعة ميغاهرتز من الصوت، وأصداء موقَّتة، وعدم توافق الممانعات بين الأنسجة، ترسم الصورة؛ والهلام يزيل غشاء الهواء الذي كان ليعكس كل شيء.

7.6 مسألة: من الرعد إلى جهاز التصوير بالصدى

مسألة 7.1

مسألة نهاية الأسبوع — الصوت في الهواء الطلق، وفي قاعة حفلات، وداخل الجسم، ومن صفارة عابرة

الهواء: γ=1.40\gamma = 1.40، و M=29 g/molM = 29\,\mathrm{g}/\mathrm{mol}، و Z=410 kg m−2 s−1Z = 410\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-2}\,\mathrm{s}^{-1} عند 15∘C15{}^{\circ}\mathrm{C}؛ و R=8.31 J/(mol K)R = 8.31\,\mathrm{J}/(\mathrm{mol}\,\mathrm{K}).

الجزء I — العاصفة.

  1. سرعة الصوت عند 15∘C15{}^{\circ}\mathrm{C} وعند 30∘C30{}^{\circ}\mathrm{C}؛ وبرّر قاعدة «ثلاث ثوانٍ في الكيلومتر».
  2. ويصل الرعد بعد الوميض بمقدار 4.0 s4.0\,\mathrm{s}: أوجد بعد الصاعقة. ويدوم الرعد ثوانيَ عدة مع أن الوميض لحظي: فلماذا؟
  3. وقرب الصاعقة يبلغ المستوى 120 dB120\,\mathrm{dB}: أوجد سعة الضغط وسعة سرعة الهواء.
  4. الطاقة المتلقاة في المتر المربع من جدار أثناء قصفة رعد مدتها 2 s2\,\mathrm{s} عند 120 dB120\,\mathrm{dB}.
  5. وفي ليلة صافية تبرد الأرض ويكون الهواء أبرد في الأسفل منه في الأعلى. وتحقق أشعة الصوت قانون سنيل بين الطبقات، sin⁡i/c=ثابت\sin i/c = \text{ثابت}: فهل تنحني الأشعة المرسلة نحو الأعلى نزولًا أم صعودًا؟ ولماذا تُسمع الأصوات البعيدة بهذا الوضوح ليلًا وفوق الماء؟
  6. وبالنهار العكس: فلا يسمع سامع على بعد 3 km3\,\mathrm{km} شيئًا. قدّر الزاوية التي انحنى بها شعاع أفقي بعد 3 km3\,\mathrm{km} إذا هبطت cc بمقدار 1 %1\,\% في كل 500 m500\,\mathrm{m} من الارتفاع (وعامِل الانحناء منتظمًا: فالشعاع دائرة).
  7. ويمتصّ الهواء التواترات العالية أكثر بكثير من المنخفضة: فلماذا يهدر الرعد البعيد بينما تطقطق الصاعقة القريبة؟

الجزء II — الحفلة. مكبر صوت يتلقى 100 W100\,\mathrm{W} من الاستطاعة الكهربائية ويحوّل 2%2\% منها إلى صوت، مشعّ بالتساوي في نصف الفضاء أمامه.

  1. الاستطاعة الصوتية؛ والشدّة والمستوى عند 10 m10\,\mathrm{m}.
  2. سعة الضغط هناك؛ وسعتا السرعة والانتقال عند 100 Hz100\,\mathrm{Hz}.
  3. المستوى عند 1 m1\,\mathrm{m} (أهو آمن؟) والبعد الذي تهبط عنده الموسيقى إلى 60 dB60\,\mathrm{dB}.
  4. وعشرة مكبرات متماثلة موزَّعة حول المسرح، غير متوافقة في الطور: أوجد المستوى عند 10 m10\,\mathrm{m}. ومكبران يُغذَّيان في طور واحد، وعلى البعد نفسه من سامع على محورهما: أوجد المستوى هناك.
  5. والقاعة (حجمها 10 000 m310\,000\,\mathrm{m}^{3}) فيها 2000 m22000\,\mathrm{m}^{2} من الجدران والجمهور تمتصّ 30%30\% من الصوت الذي يصيبها: قدّر الطاقة الصوتية المخزَّنة في القاعة عند التوازن وزمن التجاوب (أي الزمن اللازم كي يهبط المستوى 60 dB60\,\mathrm{dB} بعد توقف الموسيقى)، باستعمال الموازنة بين الاستطاعة المبثوثة والاستطاعة الممتصّة (Iجدار≈ce/4I_{\text{جدار}} \approx ce/4 في مجال منتشر، مسلَّم بها).

الجزء III — جهاز التصوير بالصدى. النسيج الرخو: c=1540 m/sc = 1540\,\mathrm{m}/\mathrm{s}، و Z=1.6×106 kg m−2 s−1Z = 1.6 \times 10^{6}\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-2}\,\mathrm{s}^{-1}؛ والعظم Z=7×106 kg m−2 s−1Z = 7 \times 10^{6}\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-2}\,\mathrm{s}^{-1}؛ والهواء 400 kg m−2 s−1400\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-2}\,\mathrm{s}^{-1}. وعند الورود الناظمي تكون سعة الضغط المنعكسة عند سطح فاصل r=(Z2−Z1)/(Z2+Z1)r = (Z_2 - Z_1)/(Z_2 + Z_1) مضروبةً في الواردة (وهي مشتقّة في الفصل 15)؛ ويوهن النسيج الصوت بنحو 0.5 dB0.5\,\mathrm{dB} في السنتيمتر وفي الميغاهرتز.

  1. طول الموجة في النسيج عند 3 MHz3\,\mathrm{MHz} و 5 MHz5\,\mathrm{MHz} و 10 MHz10\,\mathrm{MHz}؛ وأصغر تفصيل يستطيع كل منها تمييزه هو نحو طول موجة واحد.
  2. تأخّر الصدى من عضو على عمق 12 cm12\,\mathrm{cm}؛ وأعظم معدل يمكن إرسال النبضات به دون خلط الأصداء؛ وزمن بناء صورة من 200200 سطر.
  3. النسبة المنعكسة من الضغط، ومن الطاقة، عند سطح فاصل بين النسيج والهواء؛ وعند سطح فاصل بين النسيج والعظم؛ وبين الشحم (Z=1.38×106 kg m−2 s−1Z = 1.38 \times 10^{6}\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-2}\,\mathrm{s}^{-1}) والعضل (1.70×106 kg m−2 s−11.70 \times 10^{6}\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-2}\,\mathrm{s}^{-1}). ولماذا الهلام، ولماذا ترمي العظام ظلالًا؟
  4. وعند 5 MHz5\,\mathrm{MHz} تعبر الحزمة 2 cm2\,\mathrm{cm} من الشحم قبل أن تلقى العضل: أوجد النسبة من الطاقة المبثوثة التي تعود إلى المسبار من ذلك السطح الفاصل (الانعكاس ووهن الذهاب والإياب)، بالديسيبل.
  5. وهن الذهاب والإياب بالديسيبل من أجل عضو السؤال 12 عند كل من التواترات الثلاثة؛ وإذا كان الماسح يحتمل 80 dB80\,\mathrm{dB} من الضياع، فأي التواترات تصلح؟ اذكر المقايضة بين التمييز والعمق.
  6. ويبثّ المسبار نبضات مدتها 1 µs1\,\text{µ}\mathrm{s} عند 5 MHz5\,\mathrm{MHz}: فكم طول موجة تبلغ النبضة، وكيف يحدّ ذلك تمييز العمق؟
  7. نمط الدوبلر عند 5 MHz5\,\mathrm{MHz} على شريان بسرعة 0.40 m/s0.40\,\mathrm{m}/\mathrm{s}، والحزمة عند 60∘60{}^{\circ}: أوجد الانزياح؛ وما الذي يسمعه المشغّل.

الجزء IV — الصفارة.

  1. تمرّ سيارة إسعاف بسرعة 90 km/h90\,\mathrm{km}/\mathrm{h} وصفارتها عند 700 Hz700\,\mathrm{Hz}: أوجد التواترين المسموعين إقبالًا وإدبارًا؛ والبعد بينهما بأنصاف النغمات (ونصف النغمة نسبة 21/122^{1/12}).
  2. والسامع في سيارة تسير بسرعة 15 m/s15\,\mathrm{m}/\mathrm{s} نحو سيارة الإسعاف المقبلة: أوجد التواتر المسموع.
  3. وفي أي لحظة يسمع سامع على الرصيف 700 Hz700\,\mathrm{Hz} بالضبط؟
  4. جبهات موجة سيارة الإسعاف أمامها: أوجد طول الموجة؛ وسرعة الصوت بالنسبة إلى سيارة الإسعاف أمامها وخلفها.
  5. ويقرأ مسدس رادار عند 24 GHz24\,\mathrm{GHz} انزياحًا مقداره 3.2 kHz3.2\,\mathrm{kHz} من سيارة: أوجد سرعة السيارة (فالموجة تنزاح مرتين).
  6. لخّص: السرعات الست في هذه المسألة (الصوت في الهواء، وفي النسيج، وسيارة الإسعاف، والسيارة، والكريات الحمراء، والضوء) والصيغة الواحدة التي تعالجها جميعًا.
حل

حل المسألة 7.1.

1. c=1.4×8.31×288/0.029=340 m/sc = \sqrt{1.4 \times 8.31 \times 288/0.029} = 340\,\mathrm{m}/\mathrm{s}؛ و 349 m/s349\,\mathrm{m}/\mathrm{s} عند 30∘C30{}^{\circ}\mathrm{C}. و 1 km1\,\mathrm{km} في 2.9 s2.9\,\mathrm{s}.

2. 1.4 km1.4\,\mathrm{km}. والقناة طولها كيلومترات؛ فيصل صوت أجزائها المختلفة على امتداد ثوانٍ، مع أصداء من الغيوم والأرض.

3. I=1 W/m2I = 1\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}: ومنه pm=2ZI=29 Pap_m = \sqrt{2ZI} = 29\,\mathrm{Pa}، و vm=7 cm/sv_m = 7\,\mathrm{cm}/\mathrm{s}.

4. It=2 J/m2It = 2\,\mathrm{J}/\mathrm{m}^{2}.

5. تنمو cc صعودًا؛ وثبات sin⁡i/c\sin i/c يجعل ii ينمو، ومنه ينحني الشعاع نحو الأفق ثم نزولًا: فيُقاد الصوت على امتداد الأرض ويبلغ بعيدًا. وفوق الماء يبرد أدنى الهواء بالماء: والأمر نفسه.

6. تنحني الأشعة صعودًا، فتترك منطقة ظلّ. ونصف قطر الانحناء R=c/( ⁣dc/ ⁣dz)=50 kmR = c/(\dd c/\dd z) = 50\,\mathrm{km}: فبعد 3 km3\,\mathrm{km} يكون الشعاع قد انحرف بمقدار 3/50=0.06 rad=3.4∘3/50 = 0.06\,\mathrm{rad} = 3.4{}^{\circ} وارتفع 90 m90\,\mathrm{m}: فيكون السامع تحته.

7. ينمو الامتصاص مثل f2f^2: فتذهب التواترات العالية في الطقطقة بعد بضعة كيلومترات، ويبقى الهدير الخفيض.

8. P=2 W\mathcal P = 2\,\mathrm{W}؛ و I=2/2πr2=3.2×10−3 W/m2I = 2/2\pi r^2 = 3.2 \times 10^{-3}\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2} عند 10 m10\,\mathrm{m}: أي 95 dB95\,\mathrm{dB}.

9. pm=2×410×3.2×10−3=1.6 Pap_m = \sqrt{2 \times 410 \times 3.2 \times 10^{-3}} = 1.6\,\mathrm{Pa}؛ و vm=3.9 mm/sv_m = 3.9\,\mathrm{mm}/\mathrm{s}؛ و ξm=vm/2πf=6 µm\xi_m = v_m/2\pi f = 6\,\text{µ}\mathrm{m}.

10. +20 dB+20\,\mathrm{dB}: أي 115 dB115\,\mathrm{dB} عند 1 m1\,\mathrm{m} — وهو مؤذٍ في دقائق. وعند 60 dB60\,\mathrm{dB}: r=2/2π10−6=560 mr = \sqrt{2/2\pi10^{-6}} = 560\,\mathrm{m}.

11. عشرة غير مترابطة: +10 dB+10\,\mathrm{dB}، أي 105 dB105\,\mathrm{dB}. واثنان في طور واحد: يتضاعف الضغط، أي +6 dB+6\,\mathrm{dB}، ومنه 101 dB101\,\mathrm{dB}.

12. الموازنة P=αA ce/4\mathcal P = \alpha A\,ce/4: ومنه e=8/(0.3×2000×340)=3.9×10−5 J/m3e = 8/(0.3 \times 2000 \times 340) = 3.9 \times 10^{-5}\,\mathrm{J}/\mathrm{m}^{3}، و E=eV=0.4 JE = eV = 0.4\,\mathrm{J}. وبعد التوقف،  ⁣dE/ ⁣dt=−(αAc/4V)E\dd E/\dd t = -(\alpha Ac /4V)E: ومنه τ=4V/αAc=0.20 s\tau = 4V/\alpha Ac = 0.20\,\mathrm{s}، وتستغرق 60 dB60\,\mathrm{dB} مقدار τln⁡106=2.7 s\tau\ln10^6 = 2.7\,\mathrm{s} (وهو زمن تجاوب سابين).

13. λ=c/f\lambda = c/f: أي 0.51 mm0.51\,\mathrm{mm} و 0.31 mm0.31\,\mathrm{mm} و 0.15 mm0.15\,\mathrm{mm}.

14. 2×0.12/1540=156 µs2 \times 0.12/1540 = 156\,\text{µ}\mathrm{s}؛ و 6.4 kHz6.4\,\mathrm{kHz}؛ و 200200 سطر في 31 ms31\,\mathrm{ms} (أي ثلاثون صورة في الثانية).

15. النسيج والهواء: r=−0.9995r = -0.9995، أي 99.9%99.9\% من الطاقة منعكسة — ومن هنا الهلام، وهو يزيل غشاء الهواء. والنسيج والعظم: r=0.63r = 0.63، أي 40%40\% من الطاقة؛ والباقي يمتصّه العظم، فيرمي ظلًّا. والشحم والعضل: r=0.10r = 0.10، أي 1%1\% من الطاقة: وهي الأصداء الخافتة التي تُصنع منها الصورة.

16. النسبة المنعكسة 1.1%1.1\% (أي −20 dB-20\,\mathrm{dB})؛ والذهاب والإياب 4 cm4\,\mathrm{cm} عند 5 MHz5\,\mathrm{MHz}: أي −10 dB-10\,\mathrm{dB}؛ وفي المجموع −30 dB-30\,\mathrm{dB}، أي جزء من ألف.

17. الذهاب والإياب 24 cm24\,\mathrm{cm}: أي 36 dB36\,\mathrm{dB} و 60 dB60\,\mathrm{dB} و 120 dB120\,\mathrm{dB}: فالتواتران 3 MHz3\,\mathrm{MHz} و 5 MHz5\,\mathrm{MHz} تصلحان، و 10 MHz10\,\mathrm{MHz} لا تصلح — فتُصوَّر الأعضاء العميقة عند التواتر المنخفض بتمييز خشن، والسطحية عند التواتر العالي بدقة.

18. خمسة أطوال موجة، أي 1.5 mm1.5\,\mathrm{mm} طولًا: فسطحان فاصلان أقرب من نحو 0.8 mm0.8\,\mathrm{mm} (أي نصف النبضة) يعطيان صدَيين متراكبين.

19. 2×5×106×0.4×0.5/1540=1.3 kHz2 \times 5 \times 10^6 \times 0.4 \times 0.5/1540 = 1.3\,\mathrm{kHz}: أي صفير ترتفع درجته وتهبط مع كل نبضة قلب.

20. v=25 m/sv = 25\,\mathrm{m}/\mathrm{s}: أي 700×340/315=756 Hz700 \times 340/315 = 756\,\mathrm{Hz}، و 700×340/365=652 Hz700 \times 340/365 = 652\,\mathrm{Hz}؛ والنسبة 1.161.16، و 12log⁡21.16=2.612\log_21.16 = 2.6 نصف نغمة.

21. 700×355/315=789 Hz700 \times 355/315 = 789\,\mathrm{Hz}.

22. عند أقرب اقتراب، حين تكون سرعة سيارة الإسعاف عمودية على خط النظر (وبدقة، حين يكون الصوت الواصل الآن قد بُثّ عند تلك النقطة).

23. λ′=(340−25)/700=0.45 m\lambda' = (340 - 25)/700 = 0.45\,\mathrm{m} (مقابل 0.49 m0.49\,\mathrm{m})؛ ويبتعد الصوت عن سيارة الإسعاف بالسرعة 315 m/s315\,\mathrm{m}/\mathrm{s} أمامها و 365 m/s365\,\mathrm{m}/\mathrm{s} خلفها.

24. v=c Δf/2f=3×108×3200/4.8×1010=20 m/s=72 km/hv = c\,\Delta f/2f = 3 \times 10^8 \times 3200/4.8 \times 10^{10} = 20\,\mathrm{m}/\mathrm{s} = 72\,\mathrm{km}/\mathrm{h}.

25. 340 m/s340\,\mathrm{m}/\mathrm{s}، و 1540 m/s1540\,\mathrm{m}/\mathrm{s}، و 25 m/s25\,\mathrm{m}/\mathrm{s}، و 20 m/s20\,\mathrm{m}/\mathrm{s}، و 0.4 m/s0.4\,\mathrm{m}/\mathrm{s}، و 3×108 m/s3 \times 10^{8}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}: f′=f(c+vo)/(c−vs)f' = f(c + v_o)/(c - v_s)، مطبَّقةً مرةً أو مرتين، وفي الضوء عند السرعات الصغيرة.

المصطلحات المعرَّفة في هذا الفصل

عرض كل المصطلحات (431) في المسرد