الفيزياء الجامعية — السنة الثانية · Bachelor Year 2

3الموائع المثالية: أويلر وبرنولي

أمسك ورقة من حافتها وانفخ فوقها: فترتفع. وافتح صنبور الدُّشّ فيميل الستار نحو الداخل. ويحمل الجناح ثلاثمئة طن لأن الهواء يجري فوق سطحه العلوي أسرع مما يجري تحته. وهذه الوقائع الثلاث عبارة واحدة: حيث يمضي المائع أسرع، يكون ضغطه أدنى. وهذا الفصل يكتب قانون نيوتن الثاني لجسيم مائع في أبسط نموذج — وهو المائع المثالي، الذي يحسّ الضغط ولا يحسّ الاحتكاك — ويستخرج منه مبرهنة برنولي، أي موازنة الطاقة على خط تيار، وتمتد تطبيقاتها من مقياس التدفق في أنبوب إلى مؤشر سرعة الطائرة.

3.1 معادلة أويلر

قضية 3.1 (قوة الضغط على جسيم مائع)

محصّلة قوى الضغط التي يؤثر بها المائع المحيط في جسيم حجمه $\dd\tau$ هي

\dd\vect F_P = -\operatorname{\vect{grad}}P\,\dd\tau :

أي إن الضغط يؤثر كقوة حجمية كثافتها $-\operatorname{\vect{grad}}P$ ، تدفع من الضغط المرتفع نحو المنخفض.

برهان. على الصندوق الوارد في المبرهنة 2.8، يتلقى الوجهان عند $x$ و $x + \dd x$ القوتين $+P(x)\dd y\dd z$ و $-P(x + \dd x)\dd y\dd z$ على امتداد $x$ : فالصافي $-\partial_xP\,\dd x\dd y\dd z$ ؛ وكذلك من أجل $y$ و $z$ . ∎

تعريف 3.2 (المائع المثالي)

المائع المثالي هو الذي لا تكون فيه قوة التماس بين الجسيمات المتجاورة إلا الضغط — ناظمية على كل سطح، بلا إجهاد مماسي (لزج). وهو حالة مثالية صالحة، كما يشرح الفصل التالي، بعيدًا عن الجدران وعند عدد رينولدز الكبير: كالماء في أنبوب بعيدًا عن الجدار، والهواء حول جناح خارج الطبقة الحدّية الرقيقة، والموجة على البحر.

مبرهنة 3.3 (معادلة أويلر)

في مرجع عطالي، يحقق مائع مثالي كثافته $\rho$ خاضع للثقالة، عند كل نقطة،

\rho\Bigl(\frac{\partial\vect v}{\partial t} + (\vect v\cdot\operatorname{\vect{grad}}) \vect v\Bigr) = -\operatorname{\vect{grad}}P + \rho\vect g ,

وتُضاف إلى الطرف الأيمن أي كثافة قوة حجمية أخرى $\vect f_v$ (كهربائية، أو عطالية في مرجع غير عطالي). وعند السكون تؤول إلى العلاقة الهيدروستاتيكية $\operatorname{\vect{grad}}P = \rho\vect g$ الواردة في كتاب السنة الأولى.

برهان. قانون نيوتن الثاني للجسيم ذي الكتلة $\rho\,\dd\tau$ : فتسارعه هو المشتق الجسيمي (المبرهنة 2.4)، والقوى هي محصّلة الضغط والثقل $\rho\vect g\,\dd\tau$ ؛ ثم نقسم على $\dd\tau$ . ∎

مثال 3.4 (خزان يتسارع)

الماء في خزان تحمله شاحنة تتسارع بالتسارع $\vect a$ ساكن في مرجع الشاحنة؛ وفيه تعطي معادلة أويلر مع قوة العطالة $-\rho\vect a$ العلاقة $\operatorname{\vect{grad}}P = \rho(\vect g - \vect a)$ : أي إن الضغط يتزايد على امتداد «الثقالة الفعّالة» $\vect g - \vect a$ ، ويكون السطح الحرّ (وهو سطح متساوي الضغط) عموديًّا عليها ويميل إلى الخلف بالزاوية $\arctan(a/g)$ — أي $11{}^{\circ}$ من أجل $a = 2\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ . وفي دلو يدور بالسرعة $\Omega$ ، تعطي القوة الطاردة المركزية $\rho\Omega^2r\,\vect e_r$ العلاقة $P = P_0 + \tfrac12\rho\Omega^2r^2 - \rho gz$ ويكون السطح الحرّ المجسّم المكافئ $z = \Omega^2r^2/2g$ .

على اليسار: لا تتلاشى قوى الضغط على وجوه صندوق مائع حين يتغير P — بل محصّلتها - gradP في واحدة الحجم. وفي الوسط وعلى اليمين: مائعان ساكنان في مرجع متسارع؛ والسطح الحرّ عمودي في كل مكان على الثقالة الفعّالة. — على اليسار: لا تتلاشى قوى الضغط على وجوه صندوق مائع حين يتغير $P$ — بل محصّلتها $-\operatorname{\vect{grad}}P$ في واحدة الحجم. وفي الوسط وعلى اليمين: مائعان ساكنان في مرجع متسارع؛ والسطح الحرّ عمودي في كل مكان على الثقالة الفعّالة.

3.2 مبرهنة برنولي

مبرهنة 3.5 (برنولي)

من أجل مائع مثالي لاانضغاطي منتظم الكثافة في جريان مستقر، في مرجع عطالي وثقالة منتظمة، يكون المقدار

P + \tfrac12\rho v^2 + \rho gz

ثابتًا على امتداد كل خط تيار. وإذا كان الجريان لادورانيًّا فوق ذلك، كان الثابت واحدًا في المائع كله. والحدّ $\tfrac12\rho v^2$ هو الضغط الديناميكي؛ و $P + \tfrac12\rho v^2$ هو ضغط الركود، أي الضغط الذي يبلغه المائع لو أُسكن على امتداد خط تياره.

برهان. معادلة أويلر المستقرة مع $(\vect v\cdot\operatorname{\vect{grad}})\vect v = \operatorname{\vect{grad}}(v^2/2) + \vect\omega\wedge\vect v$ و $\rho\vect g = -\operatorname{\vect{grad}}(\rho gz)$ ، و $\rho$ منتظمة:

\operatorname{\vect{grad}}\bigl(P + \tfrac12\rho v^2 + \rho gz\bigr) = -\rho\, \vect\omega\wedge\vect v .

والطرف الأيمن عمودي على $\vect v$ ، فليس لتدرج مقدار برنولي مركّبة على امتداد خط التيار: ومنه يبقى المقدار ثابتًا عليه. وإذا كانت $\vect\omega = \vect 0$ انعدم التدرج في كل مكان. ∎

ملاحظة 3.6 (ما تقوله مبرهنة برنولي وما لا تقوله)

مقسومةً على $\rho$ ، تُقرأ المبرهنة هكذا: الطاقة الميكانيكية في واحدة الكتلة، $v^2/2 + gz$ ، مضافًا إليها $P/\rho$ ، محفوظة على امتداد مسار الجسيم. وحدّ الضغط هو الشغل المبذول على الجسيم من ضغط المائع خلفه، ناقصًا الشغل الذي يبذله على المائع أمامه: أي مبرهنة الطاقة لجسيم يُدفع في مجال ضغط بلا احتكاك. وشروطها أربعة: مائع مثالي (بلا ضياع لزج)، ومستقر، ولاانضغاطي، وعلى امتداد خط تيار. ولا تجوز مقارنة نقطتين على خطي تيار مختلفين إلا في جريان لادوراني. وهي لا تقول «إن الهواء السريع يمصّ»: بل تقول إن جسيمًا تسارع (بانخفاض ضغط) صار الآن عند ضغط أدنى — فالسبب هو مجال الضغط، والسرعة هي الأثر.

ملاحظة 3.7 (الموائع الانضغاطية)

تتغير الكثافة في الغاز، ولكن إذا كان الجريان مستقرًّا ومثاليًّا وثابت الإنتروبيا أعطى البرهان نفسه انحفاظ $h + v^2/2 + gz$ على امتداد خط تيار، حيث $h$ الإنثالبي في واحدة الكتلة ( $h = c_PT$ في غاز مثالي): وهي الصيغة المستعملة في الفوهات والعنفات في الفصل 27. وعند سرعات أدنى بكثير من سرعة الصوت ( $v \lesssim 100\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ في الهواء) تتغير الكثافة بأقل من $5\%$ وتكون المبرهنة اللاانضغاطية دقيقة.

3.3 تطبيقات

قضية 3.8 (مقياس فنتوري)

في أنبوب أفقي يضيق من المقطع $S_1$ إلى $S_2 < S_1$ ، ترتفع السرعة ( $v_2 = v_1S_1/S_2$ ، بانحفاظ الكتلة) وينخفض الضغط:

P_1 - P_2 = \tfrac12\rho(v_2^2 - v_1^2) = \tfrac12\rho v_1^2\Bigl(\frac{S_1^2}{S_2^2} - 1\Bigr) , \qquad D_V = S_1v_1 = S_1S_2\sqrt{\frac{2(P_1 - P_2)}{\rho(S_1^2 - S_2^2)}} .

وقياس فرق الضغط بمانومتر يعطي التدفق: وذلك مقياس فنتوري. والأثر نفسه يشغّل المُمزِج في المحرك، ومرذاذ الطلاء، ومدخل الهواء في موقد بنزن، و«مصّ» قطار عابر.

برهان. مبرهنة برنولي على امتداد خط تيار مركزي عند ارتفاع ثابت، مع $v_2 = v_1S_1/S_2$ ؛ ثم نحلّ بالنسبة إلى $v_1$ . ∎

قضية 3.9 (أنبوب بيتو)

أنبوب يواجه الجريان، مغلق من طرفه البعيد، يُسكن المائع عند فمه (أي نقطة ركود)؛ وفتحة ثانية على جانبه، موازية للجريان، تقرأ الضغط السكوني $P$ . والفرق هو الضغط الديناميكي:

P_{\text{ركود}} - P = \tfrac12\rho v^2 , \qquad v = \sqrt{2(P_{\text{ركود}} - P)/\rho} .

وكل طائرة تقيس سرعتها الجوية بهذه الطريقة.

برهان. مبرهنة برنولي على امتداد خط التيار المنتهي عند نقطة الركود، حيث $v = 0$ ؛ ولا تزعج الفتحات الجانبية الجريان، الذي يمرّ عند $v$ و $P$ غير المضطربين. ∎

قضية 3.10 (صيغة توريتشيلي)

خزان كبير مفتوح يُفرَّغ عبر ثقب صغير على عمق $h$ تحت السطح الحرّ؛ ويغادر النفث بالسرعة

v = \sqrt{2gh} ,

وهي سرعة السقوط الحرّ من السطح. والتدفق هو $D_V \approx \alpha s\sqrt{2gh}$ حيث $s$ مساحة الثقب و $\alpha \approx 0.6$ معامل التقلّص لفتحة حادّة الحافة (إذ تستمر خطوط التيار في التقارب بعد الثقب).

برهان. مبرهنة برنولي من السطح الحرّ (وهو ساكن، لأن الخزان كبير: $v_{\text{سطح}} = v\,s/S \ll v$ ؛ وضغطه $P_0$ ) إلى النفث (وضغطه $P_0$ خارج الثقب مباشرةً): $P_0 + \rho gh = P_0 + \tfrac12\rho v^2$ . والجريان شبه مستقر: إذ يتغير $h$ ببطء. ∎

ثلاثة تطبيقات لمبرهنة برنولي. على اليسار: مقياس فنتوري — يقرأ المانومتر انخفاض الضغط عند الحلق، ومنه التدفق. وفي الوسط: أنبوب بيتو — ضغط الركود عند الفم يفوق الضغط السكوني عند الفتحات الجانبية بالضغط الديناميكي. وعلى اليمين: خروج توريتشيلي بسرعة السقوط الحرّ.

مثال 3.11 (قيم عددية)

مقياس فنتوري قطره $5\,\mathrm{cm}$ يضيق إلى $2.5\,\mathrm{cm}$ على أنبوب ماء، مع $\Delta h = 20\,\mathrm{cm}$ من الماء (أي $2.0\,\mathrm{kPa}$ ): $v_1 = \sqrt{2 \times 2000/ (1000 \times 15)} = 0.52\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ، و $D_V = 1.0\,\mathrm{L}/\mathrm{s}$ . وطائرة ركاب على $11\,\mathrm{km}$ ( $\rho = 0.36\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ ) بسرعة $250\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ : ضغطها الديناميكي $11\,\mathrm{kPa}$ ، أي $11\%$ من الضغط المحيط — فأنبوب بيتو يعمل مع ذلك، مع تصحيح للانضغاطية. وخزان مائي على $40\,\mathrm{m}$ فوق الصنابير: $4\,\mathrm{bar}$ وهي مغلقة، ونفث بسرعة $28\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ إن فُتحت على سعتها (وأقل من ذلك بكثير عمليًّا: فالأنابيب ليست مثالية).

قضية 3.12 (قوة الرفع على الجناح)

في الجريان حول جناح يمرّ الهواء فوق السطح العلوي أسرع مما يمرّ تحت السفلي؛ ومنه يكون الضغط أدنى فوق منه تحت، وتكون المحصّلة قوة الرفع $F_L = \tfrac12\rho v^2SC_L$ (و $S$ مساحة الجناح، و $C_L \approx 0.3$ – $1.5$ معامل الرفع، وهو يتوقف على المقطع الجانبي وعلى زاوية الهجوم). ويكافئ فرق السرعتين تكاملًا خطيًّا $\Gamma$ للسرعة حول المقطع، وتكون قوة الرفع في واحدة الباع $F_L' = \rho v\Gamma$ (كوتا–جوكوفسكي، مسلَّم بها). وكرة تدور تجرّ الهواء معها فتُرفع جانبيًّا بالطريقة نفسها: وهو أثر ماغنوس في كرة المضرب المشذَّبة أو الركلة الحرة المنحنية.

برهان. مبرهنة برنولي على خطي التيار فوق الجناح وتحته مباشرةً، وهما ينطلقان من الشروط نفسها في المنبع: $P_{\text{تحت}} - P_{\text{فوق}} = \tfrac12\rho (v_{\text{فوق}}^2 - v_{\text{تحت}}^2)$ ؛ ثم نكامل على الوتر. وأما لماذا يكون الجريان العلوي أسرع — إذ تفرض الحافة الخلفية الحادّة نقطة الركود الخلفية هناك فتثبّت التكامل الخطي (شرط كوتا) — فذلك خارج نموذج المائع المثالي وحده؛ إذ يحتاج إلى الطبقة الحدّية في الفصل التالي. ∎

على اليسار: خطوط التيار حول جناح — متزاحمة وسريعة فوقه، بطيئة تحته؛ وفرق الضغط هو قوة الرفع. وعلى اليمين: عمود سائل طوله الكلي L يهتز في أنبوب على شكل U، وهو أبسط تطبيق غير مستقر لمعادلة أويلر. — على اليسار: خطوط التيار حول جناح — متزاحمة وسريعة فوقه، بطيئة تحته؛ وفرق الضغط هو قوة الرفع. وعلى اليمين: عمود سائل طوله الكلي $L$ يهتز في أنبوب على شكل U، وهو أبسط تطبيق غير مستقر لمعادلة أويلر.

قضية 3.13 (جريان غير مستقر: الأنبوب على شكل U)

عمود سائل طوله الكلي $L$ يملأ أنبوبًا على شكل U منتظم المقطع؛ فإذا أُزيح بالمقدار $z$ عن التوازن اهتزّ وفق

\ddot z + \frac{2g}{L}\,z = 0 , \qquad T = 2\pi\sqrt{\frac{L}{2g}} ,

كنواس طوله $L/2$ . وعمومًا، من أجل جريان غير مستقر لكنه لادوراني ذي كمون $\varphi$ ، تُكامَل معادلة أويلر فتعطي $\rho\,\partial_t\varphi + P + \tfrac12\rho v^2 + \rho gz = C(t)$ ، وهو الثابت نفسه في المائع كله (برنولي غير المستقر).

برهان. السرعة $v = \dot z$ منتظمة على امتداد الأنبوب (فهو لاانضغاطي ومنتظم المقطع). ونسقط معادلة أويلر على محور الأنبوب ونكاملها على امتداد العمود من سطح حرّ إلى الآخر: فتتلاشى حدود الضغط ( $P_0$ عند الطرفين)، ويكون $\int\rho\,\partial_tv\,\dd s = \rho L\ddot z$ ، وينعدم الحدّ الحملي $\rho\,\Delta(v^2/2)$ (إذ السرعة واحدة عند الطرفين)، ويعطي حدّ الثقالة $\rho g\cdot2z$ . ومنه $\rho L\ddot z = -2\rho gz$ . وينتج التعميم من $\partial_t\vect v = \operatorname{\vect{grad}} \partial_t\varphi$ من أجل $\vect v = \operatorname{\vect{grad}}\varphi$ . ∎

مثال 3.14 (إقلاع أنبوب)

أنبوب أفقي طوله $\ell$ يصل خزانًا ذا علو ثابت $h$ بطرف مفتوح؛ ويُفتح الصمام عند $t = 0$ . ومع $v$ منتظمة على امتداد الأنبوب، تعطي معادلة أويلر مكاملةً من سطح الخزان إلى المخرج $\ell\,\dd v/\dd t = gh - \tfrac12v^2$ ، وحلّها $v = V\tanh(Vt/2\ell)$ حيث $V = \sqrt{2gh}$ : أي إن الجريان يبلغ سرعة توريتشيلي بثابت الزمن $2\ell/V$ — وهو $13\,\mathrm{s}$ من أجل أنبوب جرّ طوله $400\,\mathrm{m}$ تحت علو $200\,\mathrm{m}$ .

طريقة 3.15 (استعمال مبرهنة برنولي)

(1) تحقق من الشروط الأربعة؛ وقرّر أيكون الجريان لادورانيًّا (جريان منتظم في المنبع حول عائق: نعم؛ جريان في أنبوب ذي منحني سرعات: لا — فابقَ على خط تيار واحد). (2) اختر نقطتين على خط تيار يُعرف عندهما أكبر عدد ممكن من المقادير: سطح حرّ ( $P = P_0$ ، و $v \approx 0$ إذا كان المقطع كبيرًا)، أو نفث في الهواء الطلق ( $P = P_0$ )، أو نقطة ركود ( $v = 0$ ). (3) أضف انحفاظ الكتلة $vS = \text{ثابت}$ لربط السرعات. (4) وفي الجريانات غير المستقرة، كامِل معادلة أويلر على امتداد الخط بدلًا من ذلك.

3.4 تمارين

تمرين 3.1 ★

يجري الماء في أنبوب أفقي قطره $8\,\mathrm{cm}$ بالسرعة $1.5\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ وضغطه $3.0\,\mathrm{bar}$ . ثم يمرّ إلى مقطع قطره $4\,\mathrm{cm}$ : فما السرعة والضغط هناك؟ ثم إلى مقطع قطره $2\,\mathrm{cm}$ : فما الضغط — وماذا يحدث لو خرج سالبًا؟

حل

حل التمرين 3.1.

$v_2 = 1.5 \times 4 = 6.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ، و $P_2 = 3.0 \times 10^5 - 500(36 - 2.25) = 2.83\,\mathrm{bar}$ . وعند $2\,\mathrm{cm}$ : $v = 24\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ، و $P = 3.0 \times 10^5 - 500 (576 - 2.25) = 0.13\,\mathrm{bar}$ — وهو قريب من ضغط البخار. والنتيجة السالبة تعني أن التدفق المفترض مستحيل: فيتكهّف الماء ويُخنق الجريان.

تمرين 3.2 ★

يقرأ أنبوب بيتو في طائرة على $5\,\mathrm{km}$ ( $\rho = 0.74\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ ) ضغطًا ديناميكيًّا مقداره $15\,\mathrm{kPa}$ . أوجد السرعة الجوية الحقيقية. ومؤشر السرعة معاير على كثافة مستوى البحر ( $1.22\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ ): فما «السرعة الجوية المؤشَّرة» التي يبيّنها، ولماذا يجد الطيارون هذا الفرق نافعًا لا مزعجًا؟

حل

حل التمرين 3.2.

$v = \sqrt{2 \times 15000/0.74} = 201\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ؛ والمؤشَّرة $\sqrt{2 \times 15000/ 1.22} = 157\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ . والسرعة الجوية المؤشَّرة تقيس الضغط الديناميكي، وهو ما يحسّه الجناح: فسرعة الانهيار سرعة مؤشَّرة ثابتة على أي ارتفاع.

تمرين 3.3 ★

خزان فيه ماء عمقه $3.0\,\mathrm{m}$ ؛ ويُثقب ثقب مساحته $1.0\,\mathrm{cm}^{2}$ على ارتفاع $1.0\,\mathrm{m}$ فوق الأرض. أوجد سرعة الخروج؛ والتدفق (بمعامل تقلّص $0.6$ )؛ وأين يصطدم النفث بالأرض؟ وعند أي عمق يجب أن يُثقب ثقب ثانٍ ليبلغ النقطة نفسها؟

حل

حل التمرين 3.3.

على عمق $2.0\,\mathrm{m}$ : $v = \sqrt{2g \times 2} = 6.3\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ؛ و $D_V = 0.6 \times 10^{-4} \times 6.3 = 0.38\,\mathrm{L}/\mathrm{s}$ ؛ وزمن السقوط $\sqrt{2/g} = 0.45\,\mathrm{s}$ ، والمدى $2.8\,\mathrm{m}$ . والمدى $= 2\sqrt{h(H - h)}$ متناظر في $h \leftrightarrow H - h$ : فثقب على عمق $1.0\,\mathrm{m}$ (أي $2\,\mathrm{m}$ فوق الأرض) يصيب النقطة نفسها.

تمرين 3.4 ★

تهبّ ريح بسرعة $30\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ فوق سقف مستو مساحته $100\,\mathrm{m}^{2}$ ؛ والهواء تحت السقف ساكن عند الضغط الجوي ( $\rho = 1.2\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ ). أوجد فرق الضغط والقوة الصافية على السقف؛ وقارنها بثقل السقف ( $50\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{2}$ ). وفي أي جهة يُدفع؟

حل

حل التمرين 3.4.

$\Delta P = \tfrac12 \times 1.2 \times 900 = 540\,\mathrm{Pa}$ ، والضغط في الخارج أدنى: فالقوة الصافية $54\,\mathrm{kN}$ نحو الأعلى؛ ويزن السقف $49\,\mathrm{kN}$ : فيُقتلع. (والسقوف الحقيقية تنهار من حوافها أولًا، حيث ينفصل الجريان.)

تمرين 3.5 ★★

خزان مستطيل مغلق طوله $2.0\,\mathrm{m}$ ، نصفه ماء، موضوع على شاحنة. (أ) وهي تتسارع بالتسارع $3.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ : أوجد زاوية السطح الحرّ، وفرق ارتفاع الماء بين الجدارين الخلفي والأمامي. (ب) فرق الضغط بين ركني القاع. (ج) وهي تكبح بالتباطؤ $6\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ — أيبلغ الماء الغطاء الذي يعلو $0.8\,\mathrm{m}$ عن القاع؟ (د) والشاحنة نفسها تنعطف في منحنٍ نصف قطره $40\,\mathrm{m}$ بالسرعة $15\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ : فما ميل السطح؟

حل

حل التمرين 3.5.

(أ) $\tan\theta = 3/9.81$ ، و $\theta = 17{}^{\circ}$ ؛ و $2 \times 0.306 = 0.61\,\mathrm{m}$ (أعلى في الخلف). (ب) $\Delta P = \rho aL = 6.0\,\mathrm{kPa}$ . (ج) $\tan\theta = 0.61$ ، والفرق $1.22\,\mathrm{m}$ : فيرتفع الأمام $0.61\,\mathrm{m}$ فوق المتوسط $0.40\,\mathrm{m}$ : أي $1.01\,\mathrm{m}$ $>$ $0.8\,\mathrm{m}$ ، فيصطدم بالغطاء. (د) $a = v^2/R = 5.6\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ : ومنه $\theta = 30{}^{\circ}$ ، والجانب الخارجي أعلى.

تمرين 3.6 ★★

دلو نصف قطره $15\,\mathrm{cm}$ فيه ماء عمقه $20\,\mathrm{cm}$ يُدار حول محوره بمعدل دورتين في الثانية. (أ) شكل السطح الحرّ ومعادلته. (ب) فرق الارتفاع بين الحافة والمركز. (ج) وبانحفاظ الحجم، أوجد ارتفاع الماء عند المركز وعند الحافة. (د) وعند أي معدل دوران يجفّ مركز القاع؟ (ه) ولماذا يصنع المجسّم المكافئ نفسه مرآة مقراب مثالية (بركة زئبق دوّارة)؟

حل

حل التمرين 3.6.

(أ) مجسّم مكافئ $z = z_0 + \Omega^2r^2/2g$ ، مع $\Omega = 4\pi = 12.6\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}$ . (ب) $\Omega^2R^2/2g = 158 \times 0.0225/19.6 = 0.18\,\mathrm{m}$ . (ج) ويقع الارتفاع الوسطي للمجسّم المكافئ فوق القرص في المنتصف: فالمركز $0.20 - 0.09 = 0.11\,\mathrm{m}$ ، والحافة $0.29\,\mathrm{m}$ . (د) ويجفّ المركز حين $\Omega^2R^2/4g = h_0$ : أي $\Omega = \sqrt{4gh_0}/R = 18.7\,\mathrm{rad}/\mathrm{s} = 3.0$ دورات في الثانية. (ه) والمجسّم المكافئ يجمع الأشعة المتوازية في نقطة واحدة، عند $f = g/2\Omega^2$ ؛ ومقاريب المرآة السائلة تُدير الزئبق.

تمرين 3.7 ★★

السيفون. أنبوب ينقل الماء من خزان فوق قمة ترتفع $2.0\,\mathrm{m}$ عن السطح الحرّ إلى مخرج ينخفض $3.0\,\mathrm{m}$ عنه. (أ) أوجد سرعة الخروج، والتدفق من أجل أنبوب قطره $2\,\mathrm{cm}$ . (ب) الضغط عند القمة. (ج) الارتفاع الأعظمي للقمة كي يعمل السيفون (إذ يجب ألا يُبلغ ضغط بخار الماء، وهو $2.3\,\mathrm{kPa}$ ). (د) ولماذا لا يعمل السيفون والأنبوب مملوء هواء؟

حل

حل التمرين 3.7.

(أ) $v = \sqrt{2g \times 3} = 7.7\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ؛ و $D_V = \pi \times 10^{-4} \times 7.7 = 2.4\,\mathrm{L}/\mathrm{s}$ . (ب) $P = P_0 - \rho g(2) - \tfrac12\rho v^2 = 100 - 19.6 - 29.4 = 51\,\mathrm{kPa}$ . (ج) $P_0 - \rho gh_c - \tfrac12\rho v^2 \ge 2.3\,\mathrm{kPa}$ : أي $h_c \le 7.0\,\mathrm{m}$ . (د) والهواء انضغاطي وخفيف: فلا عمود سائل متصل ينقل الضغط، ويبقى الماء على الجانبين حيث هو.

تمرين 3.8 ★★

طائرة خفيفة كتلتها $1000\,\mathrm{kg}$ تطير بسرعة $60\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ عند مستوى البحر بجناح مساحته $15\,\mathrm{m}^{2}$ . (أ) أوجد فرق الضغط الوسطي بين وجهي الجناح؛ ومعامل الرفع. (ب) وإذا كانت السرعة تحت الجناح $58\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ، فما هي فوقه (بأخذ الشروط نفسها في المنبع)؟ (ج) التكامل الخطي حول المقطع من صيغة كوتا–جوكوفسكي، من أجل باع $10\,\mathrm{m}$ . (د) سرعة الانهيار إذا لم يستطع $C_L$ أن يتجاوز $1.4$ .

حل

حل التمرين 3.8.

(أ) $\Delta P = mg/S = 654\,\mathrm{Pa}$ ؛ و $\tfrac12\rho v^2 = 2.2\,\mathrm{kPa}$ ، و $C_L = 0.30$ . (ب) $v_{\text{فوق}}^2 = 58^2 + 2 \times 654/1.22$ : أي $66.6\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ . (ج) $F_L' = 981\,\mathrm{N}/\mathrm{m} = \rho v\Gamma$ : ومنه $\Gamma = 13.4\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$ . (د) $v = \sqrt{2mg/ \rho SC_L} = \sqrt{19620/25.6} = 28\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ .

تمرين 3.9 ★★

التضيّق. يجري الدم ( $\rho = 1060\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ ) بالسرعة $0.50\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ في شريان مقطعه $0.50\,\mathrm{cm}^{2}$ عند $13\,\mathrm{kPa}$ فوق الضغط الجوي. وتضيّقه لويحة إلى $0.10\,\mathrm{cm}^{2}$ . (أ) أوجد السرعة والضغط في التضيّق. (ب) والنسيج خارج الشريان عند نحو $1\,\mathrm{kPa}$ : أيمكن أن ينهار الشريان؟ (ج) وإذا ضاق ارتفعت السرعة أكثر: اشرح الانفلات ولماذا يمكن أن يرفرف مثل هذا التضيّق.

حل

حل التمرين 3.9.

(أ) $v_2 = 2.5\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ؛ و $\Delta P = \tfrac12 \times 1060 \times (6.25 - 0.25) = 3.2\,\mathrm{kPa}$ ، و $P_2 = 9.8\,\mathrm{kPa}$ . (ب) وهو ما يزال فوق $1\,\mathrm{kPa}$ : فلا. (ج) وعند $0.05\,\mathrm{cm}^{2}$ يكون $v = 5\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ و $\Delta P = 13\,\mathrm{kPa}$ : أي $P_2 \approx 0$ ، دون ضغط النسيج — فينهار الجدار، ويتوقف الجريان، ويستعيد الضغط قيمته، فينفتح من جديد: وهي رفرفة (وهي اللغط الذي يسمعه الطبيب).

تمرين 3.10 ★★★

درجة حرارة الركود. من أجل غاز مثالي في جريان مستقر ثابت الإنتروبيا، ينحفظ $c_PT + v^2/2$ على امتداد خط تيار. (أ) بيّن أن الهواء المُسكَن عند مقدمة طائرة يبلغ $T_0 = T(1 + \tfrac{\gamma - 1}{2}M^2)$ ، حيث $M = v/c$ عدد ماخ و $c = \sqrt{\gamma RT/M_{\text{مول}}}$ سرعة الصوت. (ب) أوجد درجة حرارة المقدمة في طائرة ركاب عند $M = 0.85$ في هواء عند $220\,\mathrm{K}$ ؛ وفي طائرة أسرع من الصوت عند $M = 2$ ؛ وفي كبسولة عائدة عند $M = 25$ (أتبقى الصيغة ذات معنى؟). (ج) بيّن أن صيغة بيتو اللاانضغاطية تفرط في تقدير السرعة عند $M = 0.85$ ، وبكم تقريبًا (انشر $P_0/P = (T_0/T)^{\gamma/(\gamma - 1)}$ حتى المرتبة الثانية في $M^2$ ).

حل

حل التمرين 3.10.

(أ) $c_PT_0 = c_PT + v^2/2$ مع $c_P = \gamma R/(\gamma - 1)M_{\text{مول}}$ و $c^2 = \gamma RT/M_{\text{مول}}$ : ومنه $v^2/2c_PT = \tfrac12(\gamma - 1)M^2$ . (ب) عند $M = 0.85$ : $T_0 = 220 \times 1.145 = 252\,\mathrm{K}$ ؛ وعند $M = 2$ : $220 \times 1.8 = 396\,\mathrm{K}$ ؛ وعند $M = 25$ : $220 \times 126 = 28\,000\,\mathrm{K}$ — وهو بلا معنى: إذ يتفكك الهواء ويتأيّن، ولا يبقى $c_P$ ثابتًا (ودرجات حرارة الركود الحقيقية بضعة آلاف كلفن). (ج) $P_0/P = (1 + \tfrac{\gamma - 1}2M^2)^{\gamma/(\gamma - 1)} \approx 1 + \tfrac{\gamma}2M^2 + \tfrac{\gamma}8M^4$ ، و $\gamma PM^2 = \rho v^2$ : ومنه $P_0 - P = \tfrac12\rho v^2(1 + M^2/4)$ . وقراءة $v$ من $\sqrt{2(P_0 - P)/\rho}$ تفرط في تقديرها بالنسبة $\sqrt{1 + M^2/4} - 1 \approx 9\%$ عند $M = 0.85$ .

تمرين 3.11 ★★★

الطور العابر عند الإقلاع. أنبوب طوله $\ell = 50\,\mathrm{m}$ منتظم المقطع يصل خزانًا كبيرًا (علوّه $h = 5.0\,\mathrm{m}$ فوق المخرج) بصمام عند الطرف المفتوح. ويُفتح الصمام عند $t = 0$ . (أ) كامِل معادلة أويلر على امتداد الأنبوب لتحصل على $\ell\,\dd v/\dd t = gh - v^2/2$ . (ب) حُلّها: $v = V\tanh(Vt/2\ell)$ حيث $V = \sqrt{2gh}$ . (ج) الزمن اللازم لبلوغ $90\%$ من السرعة النهائية. (د) ثم يُغلق الصمام فجأةً في $0.5\,\mathrm{s}$ من التدفق الكامل: قدّر التباطؤ الوسطي وفرط الضغط عند الصمام من $\rho\ell\,\dd v/\dd t$ — ولماذا يولّد الإغلاق الحقيقي أكثر من ذلك بكثير (في الفصول التالية).

حل

حل التمرين 3.11.

(أ) من السطح ( $v \approx 0$ ، و $P_0$ ، وارتفاع $h$ ) إلى المخرج ( $v$ ، و $P_0$ ، وارتفاع $0$ )، مع $\int\partial_tv\,\dd s = \ell\,\dd v/\dd t$ . (ب) $\dd v/(V^2 - v^2) = \dd t/2\ell$ ، و $V^2 = 2gh$ : ومنه $\operatorname{artanh}(v/V) = Vt/2\ell$ . (ج) $V = 9.9\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ؛ و $\tanh x = 0.9$ عند $x = 1.47$ : أي $t = 2\ell x/V = 15\,\mathrm{s}$ . (د) $\dd v/\dd t \approx -20\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ : ومنه $\Delta P = \rho\ell \times 20 = 9.9\,\mathrm{bar}$ . والماء انضغاطي قليلًا: فالإغلاق السريع يطلق موجة ضغط، $\Delta P = \rho c\Delta v \approx 140\,\mathrm{bar}$ .

تمرين 3.12 ★★★

السطح الحرّ لدوامة. يدور الماء دوامةً نقطية كما في الفصل 2، $v_\theta = \Gamma/2\pi r$ ، لادورانية، وسطحها الحرّ عند $z = 0$ بعيدًا. (أ) لماذا يجوز تطبيق مبرهنة برنولي بين أي نقطتين؟ (ب) شكل السطح الحرّ $z(r)$ . (ج) وداخل لبّ رانكين ( $r < a$ ، و $v_\theta = \Omega r$ ، ودوراني) استعمل بدلًا من ذلك معادلة أويلر في المرجع الدوّار أو مباشرةً: بيّن أن $z = z(a) + \Omega^2(r^2 - a^2)/2g$ . (د) العمق الكلي للقمع من أجل دوامة حوض استحمام قيمته $\Gamma = 0.03\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$ و $a = 5\,\mathrm{mm}$ ؛ ومن أجل إعصار قمعي ( $\Gamma = 3 \times 10^{4}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$ و $a = 60\,\mathrm{m}$ ، في الهواء: عبّر عن النتيجة بانخفاض ضغط عند المركز بدلًا من ذلك).

حل

حل التمرين 3.12.

(أ) مستقر ومثالي ولاانضغاطي ولادوراني: فثابت واحد للجريان كله. (ب) وعلى السطح $P = P_0$ : أي $\tfrac12\rho v^2 + \rho gz = 0$ ، ومنه $z = -\Gamma^2/8\pi^2gr^2$ . (ج) ومعادلة أويلر قطريًّا: $\partial_rP = \rho\Omega^2r$ ، وهيدروستاتيكيًّا شاقوليًّا: فيحقق السطح $z(r) - z(a) = \Omega^2(r^2 - a^2)/2g$ . (د) الحوض: $\Omega = \Gamma/2\pi a^2 = 191\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}$ ؛ و $z(a) = -\Omega^2a^2/ 2g = -4.7\,\mathrm{cm}$ ، ويضيف اللبّ $4.7\,\mathrm{cm}$ أخرى: فالعمق $9.3\,\mathrm{cm}$ . والإعصار القمعي: $\Delta P = \tfrac12\rho v_{\max}^2$ في الخارج ومثلها في الداخل: أي $\rho v_{\max}^2 = 1.2 \times 6400 = 7.7\,\mathrm{kPa}$ دون الضغط المحيط عند المركز.

أنبوبا جرّ ينقلان ماء خزان جبلي نزولًا إلى بيت العنفات: علو مئتا متر، تحوّله مبرهنة برنولي إلى نفث بسرعة ستين مترًا في الثانية.

3.5 مسألة: السدّ وأنبوب الجرّ والعنفة

مسألة 3.1

مسألة نهاية الأسبوع — محطة كهرمائية من الخزان إلى النفث: الضغوط والسرعات والاستطاعات والضياعات والصدمة المائية

خزان فيه ماء عمقه $150\,\mathrm{m}$ خلف سدّ؛ وسطحه الحرّ يعلو $H = 200\,\mathrm{m}$ فوق فوهات عنفة. وينقل أنبوب جرّ (وهو أنبوب فولاذي) قطره $D = 3.0\,\mathrm{m}$ وطوله $\ell = 400\,\mathrm{m}$ التدفق التصميمي $D_V = 60\,\mathrm{m}^{3}/\mathrm{s}$ نزولًا إلى بيت العنفات، حيث تحوّله فوهة إلى نفث حرّ عند الضغط الجوي $P_0 = 1.0\,\mathrm{bar}$ يصطدم بأكواب عجلة بلتون. و $\rho = 1000\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ ، و $g = 9.81\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ ؛ والمائع مثالي ما لم يُذكر خلاف ذلك.

الجزء I — عند السكون وعند التدفق التصميمي.

الضغط عند قاعدة السدّ، والقوة على شريحة شاقولية من السدّ عرضها $1\,\mathrm{m}$ من أعلاه إلى أسفله.
وصمامات العنفة مغلقة، أوجد الضغط في أنبوب الجرّ عند بيت العنفات.
السرعة في أنبوب الجرّ عند التدفق التصميمي؛ والضغط الديناميكي هناك؛ والضغط عند طرف أنبوب الجرّ عند بيت العنفات (قبل الفوهة)، بمبرهنة برنولي من سطح الخزان.
سرعة النفث الحرّ؛ ومقطع الفوهة وقطرها.
الاستطاعة الحركية التي يحملها النفث؛ بيّن أنها تساوي $\rho gD_VH$ ثم احسبها.
كتلة الماء الموجود في أنبوب الجرّ عند التدفق التصميمي وطاقته الحركية؛ وزمن عبور جسيم نزولًا في الأنبوب.
بيّن أن العلو $H$ يتوزع، عند التدفق التصميمي، بين الضغط في أسفل أنبوب الجرّ والطاقة الحركية للماء، وأن الفوهة تحوّل الأول إلى الثانية: فما الضغط بُعيد الفوهة مباشرةً؟
لا ضياع علو في مائع مثالي، وأما الحقيقي فله ضياع: إذ الضياع في أنبوب هو $\Delta P = \lambda(\ell/D)\,\tfrac12\rho v^2$ حيث $\lambda \approx 0.015$ للفولاذ الأملس. أوجد ضياع العلو بأمتار الماء، والنسبة الضائعة من الاستطاعة.
يقترح مهندس أنبوب جرّ قطره $2\,\mathrm{m}$ توفيرًا للفولاذ. أعد السؤال 7؛ وعلّق.

الجزء II — قياس التدفق. يُركَّب مقياس فنتوري في أنبوب الجرّ، حلقه $2.0\,\mathrm{m}$ .

السرعة عند الحلق وانخفاض الضغط بين الأنبوب والحلق عند التدفق التصميمي.
ويُقرأ الانخفاض على مانومتر زئبقي ( $\rho_{\text{زئبق}} = 13\,600\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ ): فما فرق الارتفاع؟
بيّن أن التدفق يتناسب مع الجذر التربيعي لقراءة المانومتر، وأعطِ القراءة عند نصف التدفق التصميمي.
ولماذا يجب أن تكون مآخذ الضغط مستوية مع الجدار لا بارزة في الجريان؟
ويمرّ جزء من الأنبوب، لأسباب طبوغرافية، فوق قمة ترتفع $6\,\mathrm{m}$ فوق سطح الخزان. أوجد الضغط هناك عند التدفق التصميمي؛ وماذا يحدث، وما الذي على المصمم فعله؟

الجزء III — الأنظمة غير المستقرة. مساحة سطح الخزان $A = 2.0\,\mathrm{km}^{2}$ .

المعدل الذي ينخفض به مستوى الخزان عند التدفق التصميمي، بالسنتيمتر في الساعة.
وتُوقَف العنفة وتُترك الفوهة (بمقطعها من السؤال 4) مفتوحة على الهواء: فيُفرَّغ الخزان بالثقالة. اكتب موازنة الكتلة وأوجد المستوى $h(t)$ (بجريان توريتشيلي شبه المستقر).
الزمن اللازم لهبوط المستوى $10\,\mathrm{m}$ ؛ وقارنه بالزمن عند التدفق التصميمي الثابت.
وعند إقلاع المحطة: أنبوب الجرّ مملوء، وتُفتح الفوهة عند $t = 0$ . بأخذ السرعة منتظمة على امتداد أنبوب الجرّ وإهمال هندسة الفوهة، كامِل معادلة أويلر على امتداد الأنبوب لتحصل على $\ell\,\dd v/\dd t = gH - v^2/2$ ، ثم حُلّها وأعطِ ثابت الزمن.
وأثناء هذا الإقلاع، في اللحظة التي تبلغ فيها $v$ نصف قيمتها النهائية، ما الضغط في أسفل أنبوب الجرّ؟ واشرح إشارة الفرق عن القيمة المستقرة.

الجزء IV — إغلاق الصمام.

يُغلق الصمام عند العنفة في $\tau = 10\,\mathrm{s}$ ؛ وافترض أن الماء في أنبوب الجرّ يتباطأ تباطؤًا منتظمًا. وباستعمال معادلة أويلر على امتداد الأنبوب، قدّر فرط الضغط عند الصمام، بالبار.
وفي الإغلاق السريع لا يكون الماء لاانضغاطيًّا: بل تسري موجة ضغط صاعدةً في الأنبوب بالسرعة $c = 1400\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ (وهي سرعة الصوت في الماء داخل أنبوب فولاذي — الفصل 7)، ويكون فرط الضغط $\Delta P = \rho c\,\Delta v$ (جوكوفسكي). أوجد القيمة من أجل توقف مفاجئ من التدفق التصميمي؛ وقارنها بالضغط السكوني. وكم تستغرق الموجة كي تبلغ الخزان وتعود، وماذا يقول ذلك عن معنى «سريع»؟
ولحماية أنبوب الجرّ يُوصَل بئر توازن — وهو بئر شاقولي مفتوح مقطعه $A_s = 100\,\mathrm{m}^{2}$ — عند ملتقى أنبوب الجرّ بنفق أفقي طوله $L = 2000\,\mathrm{m}$ ومقطعه $A = 7.0\,\mathrm{m}^{2}$ آتٍ من الخزان. وبعد إغلاق مفاجئ يبقى الماء في النفق متحركًا فيرتفع المستوى $z$ في البئر. اكتب انحفاظ الكتلة بين النفق والبئر.
كامِل معادلة أويلر على امتداد النفق (مائع مثالي) لتبيّن أن $z$ يحقق $\ddot z + \dfrac{gA}{LA_s}z = 0$ ؛ وأوجد دور الاهتزاز.
الارتفاع الأعظمي للمستوى في البئر بعد إغلاق من التدفق التصميمي (بحجة الطاقة: إذ تصير الطاقة الحركية لماء النفق طاقة كامنة في البئر).
لخّص: الضغوط الخمسة التي التقيناها في هذه المحطة (السكوني عند السدّ، والسكوني عند العنفة، والديناميكي في الأنبوب، والصدمة المائية، وارتفاع البئر) والقانون الذي يعطي كلًّا منها.

حل

حل المسألة 3.1.

1. $\rho g \times 150 = 14.7\,\mathrm{bar}$ فوق الضغط الجوي؛ و $\tfrac12\rho gH_d^2 \times 1\,\mathrm{m} = 1.1 \times 10^{8}\,\mathrm{N}$ .

2. $\rho gH = 19.6\,\mathrm{bar}$ نسبيًّا، و $20.6\,\mathrm{bar}$ مطلقًا.

3. $v = 60/7.07 = 8.5\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ؛ و $\tfrac12\rho v^2 = 0.36\,\mathrm{bar}$ ؛ و $P = P_0 + \rho gH - \tfrac12\rho v^2 = 20.3\,\mathrm{bar}$ مطلقًا.

4. $v_j = \sqrt{2gH} = 62.6\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ؛ و $s = 60/62.6 = 0.96\,\mathrm{m}^{2}$ ، و $d = 1.1\,\mathrm{m}$ .

5. $\tfrac12\rho D_Vv_j^2 = \tfrac12\rho D_V(2gH) = \rho gD_VH = 118\,\mathrm{MW}$ .

6. $m = \rho S\ell = 2.8 \times 10^{6}\,\mathrm{kg}$ ، و $E_k = \tfrac12mv^2 = 1.0 \times 10^{8}\,\mathrm{J}$ ؛ وزمن العبور $\ell/v = 47\,\mathrm{s}$ .

7. $\rho gH = (P - P_0) + \tfrac12\rho v^2$ : أي $19.3\,\mathrm{bar}$ من الضغط و $0.36\,\mathrm{bar}$ من الطاقة الحركية؛ وفي الفوهة يهبط الضغط إلى $P_0$ بينما يرتفع $\tfrac12\rho v^2$ إلى $\rho gH$ : فبُعيدها $P = P_0$ .

8. $\Delta h = \lambda(\ell/D)v^2/2g = 0.015 \times 133 \times 3.67 = 7.3\,\mathrm{m}$ ، أي $3.7\%$ من الاستطاعة.

9. $v = 19.1\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ، و $v^2/2g = 18.6\,\mathrm{m}$ ، و $\Delta h = 0.015 \times 200 \times 18.6 = 56\,\mathrm{m}$ : أي $28\%$ ضائعة — فالتوفير في الفولاذ يُدفع في كل ثانية طاقةً.

10. $v_t = 60/\pi = 19.1\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ؛ و $\Delta P = 500(19.1^2 - 8.49^2) = 146\,\mathrm{kPa}$ .

11. $\Delta P = (\rho_{\text{زئبق}} - \rho)g\,\Delta h$ : ومنه $\Delta h = 146000/(12600 \times 9.81) = 1.18\,\mathrm{m}$ .

12. $\Delta P \propto v^2 \propto D_V^2$ : ومنه $D_V \propto \sqrt{\Delta h}$ ؛ ونصف التدفق يعطي الربع، أي $0.30\,\mathrm{m}$ .

13. المأخذ البارز يواجه الجريان أو يزعجه فيقرأ جزءًا من الضغط الديناميكي (كأنبوب بيتو)، لا الضغط السكوني.

14. $P = P_0 - \rho g \times 6 - \tfrac12\rho v^2 = 100 - 59 - 36 = 5\,\mathrm{kPa}$ : أي قرب ضغط البخار، فيخرج الهواء المنحلّ وقد يغلي الماء (تكهّف)، فينكسر العمود. فليُخفَض ارتفاع القمة، أو يُركَّب صمام هواء ومضخة تخلية، أو يُخفَّض التدفق.

15. $D_V/A = 60/2 \times 10^6 = 3 \times 10^{-5}\,\mathrm{m}/\mathrm{s} = 11\,\mathrm{cm}/\mathrm{h}$ .

16. $A\,\dd h/\dd t = -s\sqrt{2gh}$ : ومنه $\sqrt h = \sqrt{h_0} - (s/A)\sqrt{g/2}\,t$ .

17. $\Delta t = (A/s)\sqrt{2/g}(\sqrt{200} - \sqrt{190}) = 2.09 \times 10^6 \times 0.45 \times 0.36 = 3.4 \times 10^{5}\,\mathrm{s} = 3.9\,\mathrm{d}$ ؛ وعند التدفق التصميمي الثابت $10A/D_V = 3.3 \times 10^{5}\,\mathrm{s}$ : أي القيمة نفسها تقريبًا، إذ عوّلت الفوهة على جريان توريتشيلي عند $h \approx H$ .

18. $\ell\,\dd v/\dd t = gH - v^2/2$ : ومنه $v = V\tanh(Vt/2\ell)$ ، و $V = 62.6\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ، وثابت الزمن $2\ell/V = 13\,\mathrm{s}$ .

19. عند $v = V/2$ : $\dd v/\dd t = (gH - V^2/8)/\ell = 3.7\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ ؛ و $P = P_0 + \rho gH - \tfrac12\rho v^2 - \rho\ell\,\dd v/\dd t = 1.0 + 19.6 - 4.9 - 14.7 = 1.0\,\mathrm{bar}$ : أي إن معظم العلو منشغل بتسريع العمود، ومنه يكون الضغط في الأسفل أدنى بكثير من قيمته المستقرة.

20. $|\dd v/\dd t| = 8.49/10 = 0.85\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ : ومنه $\Delta P = \rho\ell \times 0.85 = 3.4\,\mathrm{bar}$ .

21. $\Delta P = 1000 \times 1400 \times 8.49 = 119\,\mathrm{bar}$ ، أي ستة أضعاف الضغط السكوني. وذهاب الموجة وإيابها $2\ell/c = 0.57\,\mathrm{s}$ : فالإغلاق الأسرع من ذلك «مفاجئ» وينال فرط ضغط جوكوفسكي كاملًا؛ وأما الأبطأ فينال أقلّ.

22. $Av = A_s\,\dd z/\dd t$ .

23. أويلر على امتداد النفق، من الخزان (وضغطه $P_0 + \rho g\times$ العمق) إلى قدم البئر (وضغطه $P_0 + \rho g (\text{العمق} + z)$ ): $\rho L\,\dd v/\dd t = -\rho gz$ ؛ ومع $v = (A_s/A)\dot z$ : $\ddot z + (gA/LA_s)z = 0$ ؛ ومنه الدور $T = 2\pi\sqrt{LA_s/gA}$ ، أي $2\pi\sqrt{2000 \times 100/ 68.7} = 340\,\mathrm{s} \approx 5.7\,\mathrm{min}$ .

24. $\tfrac12\rho ALv^2 = \tfrac12\rho gA_sz_{\max}^2$ مع $v = 60/7 = 8.6\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ : ومنه $z_{\max} = v\sqrt{AL/gA_s} = 32\,\mathrm{m}$ .

25. السدّ: هيدروستاتيك، $\rho gh$ . والعنفة وصماماتها مغلقة: الأمر نفسه، $\rho gH$ . وأنبوب الجرّ في التشغيل: مبرهنة برنولي، $\tfrac12\rho v^2$ مأخوذة من العلو السكوني. والصدمة المائية: الانضغاطية، $\rho c\Delta v$ . وارتفاع البئر: معادلة أويلر غير المستقرة على امتداد النفق، واهتزاز دوره $2\pi\sqrt{LA_s/gA}$ .

المصطلحات المعرَّفة في هذا الفصل

المائع المثالي

عرض كل المصطلحات (393) في المسرد