Physics · الكتاب 4 · Bachelor Year 2

الفيزياء الجامعية — السنة الثانية

الفيزياء الجامعية — السنة الثانية · Bachelor Year 2

4الجريانات اللزجة

أمِل وعاء عسل فينسكب شريطًا بطيئًا كثيفًا؛ وأمِل وعاء ماء فيختفي. وحرّك ملعقة في كل منهما: فالعسل يقاوم، ويظل يقاوم عند أي سرعة؛ وأما الماء فلا يكاد يبالي حتى تسرع، فيدوّم عندئذ. والفرق هو اللزوجة — أي احتكاك المائع الداخلي — والصراع بين اللزوجة والعطالة، ملخَّصًا في عدد واحد هو عدد رينولدز، هو الذي يقرّر أيزحف الجريان في طبقات منظَّمة أم يتقلّب اضطرابًا. وهذا الفصل يضيف القوة اللزجة إلى معادلة أويلر، ويحلّ الجريانين الصفائحيين اللذين يستعملهما كل مهندس، ويشرح لماذا تختبئ اللزوجة، عند عدد رينولدز الكبير، في طبقة رقيقة عند الجدار ومع ذلك تكلّف كل سيارة وسفينة وطائرة معظم وقودها.

ينسكب العسل شريطًا رفيعًا مستقرًّا يلتفّ حين يهبط: لزوجة تفوق لزوجة الماء عشرة آلاف مرة تجعل العطالة عديمة الشأن — أي جريانًا زاحفًا.
ينسكب العسل شريطًا رفيعًا مستقرًّا يلتفّ حين يهبط: لزوجة تفوق لزوجة الماء عشرة آلاف مرة تجعل العطالة عديمة الشأن — أي جريانًا زاحفًا.

4.1 اللزوجة ومعادلة نافييه–ستوكس

تعريف 4.1 (اللزوجة النيوتنية)

في جريان قصّ مستو v→=vx(y) e→x\vect v = v_x(y)\,\vect e_x، يؤثر المائع فوق سطح y=ثابتy = \text{ثابت} في المائع تحته (عبر عنصر سطحي  ⁣dS\dd S) بالقوة المماسية

 ⁣dF→=η  ⁣dvx ⁣dy  ⁣dS  e→x,\dd\vect F = \eta\,\frac{\dd v_x}{\dd y}\,\dd S\;\vect e_x ,

فيجرّ الطبقةَ الأبطأ إلى الأمام ويُجرّ إلى الخلف في المقابل. وإجهاد القصّ هو τ=η  ⁣dvx/ ⁣dy\tau = \eta\,\dd v_x/\dd y؛ والمعامل η\eta (ووحدته Pa s\mathrm{Pa}\,\mathrm{s}) هو اللزوجة الديناميكية للمائع، و ν=η/ρ\nu = \eta/\rho (m2/s\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}) هي لزوجته الحركية. والمائع الذي لا تتوقف η\eta فيه على معدل القصّ نيوتني: كالماء والهواء والزيوت والكحول؛ وأما الدم والطلاء ومعجون الطماطم ومصاهر البوليمرات فليست كذلك. ورتب القدر عند 20∘C20{}^{\circ}\mathrm{C}: الهواء η=1.8×10−5 Pa s\eta = 1.8 \times 10^{-5}\,\mathrm{Pa}\,\mathrm{s} (ν=1.5×10−5 m2/s\nu = 1.5 \times 10^{-5}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s})، والماء 1.0×10−3 Pa s1.0 \times 10^{-3}\,\mathrm{Pa}\,\mathrm{s} (ν=1.0×10−6 m2/s\nu = 1.0 \times 10^{-6}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s})، وزيت الزيتون 0.08 Pa s0.08\,\mathrm{Pa}\,\mathrm{s}، والغليسرول 1.5 Pa s1.5\,\mathrm{Pa}\,\mathrm{s}، والعسل ∼10 Pa s\sim10\,\mathrm{Pa}\,\mathrm{s}. وتخفّ السوائل بالتسخين، وتثقل الغازات.

قضية 4.2 (كثافة القوة اللزجة؛ شرط اللاانزلاق)

في جريان القصّ المستوي، تكون القوة اللزجة الصافية على شريحة مائع بين yy و y+ ⁣dyy + \dd y، في واحدة الحجم، η  ⁣d2vx/ ⁣dy2\eta\,\dd^2v_x/\dd y^2: أي إن اللزوجة تؤثر ككثافة قوة حجمية η Δv→\eta\,\Delta\vect v (واللابلاسي مأخوذ مركّبةً مركّبةً)، وهي نتيجة صحيحة في أي جريان لاانضغاطي. وعند جدار صلب يلتصق المائع: فتساوي سرعته سرعة الجدار (وهو شرط اللاانزلاق)، ولهذا يبقى الغبار على ريشة مروحة ويحسّ الجدار إعاقة لزجة.

برهان. تُجذب الشريحة بالقوة η vx′(y+ ⁣dy) ⁣dS\eta\,v_x'(y + \dd y)\dd S من الأعلى وبالقوة −η vx′(y) ⁣dS-\eta\,v_x'(y)\dd S من الأسفل: فالصافي ηvx′′  ⁣dy  ⁣dS\eta v_x''\,\dd y\,\dd S. والصيغة العامة مسلَّم بها (وهي تنتج من كتابة الإجهاد دالةً خطية متناظرة في تدرجات السرعة). وأما شرط اللاانزلاق فتجريبي. ∎

مبرهنة 4.3 (معادلة نافييه–ستوكس)

يحقق مائع نيوتني لاانضغاطي

ρ(∂v→∂t+(v→⋅grad→⁡)v→)=−grad→⁡P+ρg→+η Δv→,div⁡v→=0,\rho\Bigl(\frac{\partial\vect v}{\partial t} + (\vect v\cdot\operatorname{\vect{grad}}) \vect v\Bigr) = -\operatorname{\vect{grad}}P + \rho\vect g + \eta\,\Delta\vect v , \qquad \operatorname{div}\vect v = 0 ,

مع شرط اللاانزلاق على كل جدار. ومعادلة أويلر هي الحالة η=0\eta = 0.

برهان. نقبله في هذا المستوى. ∎

على اليسار: جريان كويت المستوي بين صفيحة ثابتة وصفيحة تتحرك بالسرعة U — منحني سرعات خطي، وإجهاد القصّ نفسه على كل طبقة. وعلى اليمين: القوى اللزجة على شريحة مائع؛ وهي تتلاشى ما لم يكن منحني السرعات محدَّبًا.
على اليسار: جريان كويت المستوي بين صفيحة ثابتة وصفيحة تتحرك بالسرعة UU — منحني سرعات خطي، وإجهاد القصّ نفسه على كل طبقة. وعلى اليمين: القوى اللزجة على شريحة مائع؛ وهي تتلاشى ما لم يكن منحني السرعات محدَّبًا.

مثال 4.4 (إجهاد القصّ على طاولة)

غشاء زيت سماكته 0.1 mm0.1\,\mathrm{mm} (η=0.1 Pa s\eta = 0.1\,\mathrm{Pa}\,\mathrm{s}) بين صفيحة وطاولة، والصفيحة تنزلق بالسرعة 1 m/s1\,\mathrm{m}/\mathrm{s}: τ=ηU/h=1 kPa\tau = \eta U/h = 1\,\mathrm{kPa}، أي قوة 100 N100\,\mathrm{N} على عُشر المتر المربع — وهو مبدأ المحمل المزيَّت، حيث تحلّ الإعاقة اللزجة محلّ احتكاك جافّ أكبر منها مئة مرة. وعسل على ملعقة، 10 Pa s10\,\mathrm{Pa}\,\mathrm{s}، سماكته 1 mm1\,\mathrm{mm}، يسيل بالسرعة 1 mm/s1\,\mathrm{mm}/\mathrm{s}: τ=10 Pa\tau = 10\,\mathrm{Pa}، وهو بالضبط ثقل ميليمتر من العسل في واحدة المساحة — ولهذا يسيل بتلك السرعة.

4.2 عدد رينولدز

تعريف 4.5 (عدد رينولدز)

من أجل جريان سرعته المميزة UU وطوله المميز LL، يكون عدد رينولدز

Re=ρULη=ULν\mathrm{Re} = \frac{\rho UL}{\eta} = \frac{UL}{\nu}

هو نسبة رتبتي قدر الحدّ العطالي ρ(v→⋅grad→⁡)v→∼ρU2/L\rho(\vect v\cdot\operatorname{\vect{grad}})\vect v \sim \rho U^2/L والحدّ اللزج ηΔv→∼ηU/L2\eta\Delta\vect v \sim \eta U/L^2 في معادلة نافييه–ستوكس. فعند Re≪1\mathrm{Re} \ll 1 تكون العطالة مهمَلة ويكون الجريان زاحفًا (لزجًا، عكوسًا، أملس)؛ وعند Re≫1\mathrm{Re} \gg 1 تكون اللزوجة مهمَلة إلا بجوار الجدران ويكون الجريان جريان مائع مثالي — إلى أن يصير مضطربًا فيما وراء عتبة رتبتها 10310^3 (نحو 20002000 إلى 30003000 في أنبوب، محسوبًا على القطر): أي غير مستقر، فوضويًّا، مليئًا بالدوّامات على كل مقياس. وبين الحالين يكون الجريان صفائحيًّا: مستقرًّا مطبَّقًا.

مثال 4.6 (أعداد رينولدز لجريانات مألوفة)

جرثومة (1 µm1\,\text{µ}\mathrm{m}، 30 µm/s30\,\text{µ}\mathrm{m}/\mathrm{s}، في الماء): Re=3×10−5\mathrm{Re} = 3 \times 10^{-5} — فهي تعيش في عالم بلا عطالة، حيث يوقف إيقافُ سوطها إياها في مدى قطر ذرة. والدم في شعيرة: 10−310^{-3}؛ وحبة غبار ساقطة: 10−210^{-2}؛ وسمكة ذهبية: 10310^3؛ وسابح: 10610^6؛ وسيارة عند 30 m/s30\,\mathrm{m}/\mathrm{s} (4 m4\,\mathrm{m}): 8×1068 \times 10^6؛ وطائرة ركاب: 10810^8؛ وتيار الخليج: 101110^{11}. وجريانان لهما الهندسة نفسها وعدد رينولدز نفسه متشابهان: وهذا ما يتيح اختبار نموذج طوله 1 m1\,\mathrm{m} لسفينة في حوض جرّ، أو اختبار طائرة في نفق هوائي.

4.3 الجريانات الصفائحية: كويت وبوازوي وستوكس

قضية 4.7 (جريان بوازوي في أنبوب)

في أنبوب أسطواني أفقي نصف قطره RR وطوله LL، يقوده فرق الضغط ΔP=P1−P2\Delta P = P_1 - P_2 بين طرفيه، يكون الجريان الصفائحي المستقر

v(r)=ΔP4ηL (R2−r2),DV=πR48ηL ΔP:v(r) = \frac{\Delta P}{4\eta L}\,(R^2 - r^2) , \qquad D_V = \frac{\pi R^4}{8\eta L}\,\Delta P :

أي منحني سرعات مكافئ، أعظمي على المحور، وسرعته الوسطى ⟨v⟩=vmax⁡/2\langle v\rangle = v_{\max}/2. ويتناسب التدفق مع انخفاض الضغط (قانون بوازوي)، والمقاومة الهيدروليكية هي Rh=ΔP/DV=8ηL/πR4R_h = \Delta P/D_V = 8\eta L/\pi R^4 — ومع القوة الرابعة لنصف القطر. وإجهاد القصّ عند الجدار هو τw=ΔP R/2L=4η⟨v⟩/R\tau_w = \Delta P\,R/2L = 4\eta\langle v \rangle/R. وهذا صحيح ما دام Re=2R⟨v⟩/ν≲2000\mathrm{Re} = 2R\langle v\rangle/\nu \lesssim 2000.

برهان. مستقر، و v→=v(r)e→z\vect v = v(r)\vect e_z (ومنه ينعدم الحدّ الحملي: إذ يعمل v→⋅grad→⁡\vect v \cdot\operatorname{\vect{grad}} على امتداد zz، ولا شيء يتغير عليه). ومعادلة نافييه–ستوكس على امتداد zz: 0=−∂zP+ηΔv0 = -\partial_zP + \eta\Delta v، و قطريًّا ∂rP=0\partial_rP = 0: فلا يتوقف PP إلا على zz، ولا يتوقف Δv\Delta v إلا على rr، ومنه يساوي الطرفان ثابتًا، ∂zP=−ΔP/L\partial_zP = -\Delta P/L. وبالإحداثيات الأسطوانية Δv=1r ⁣d ⁣dr(r ⁣dv ⁣dr)\Delta v = \frac1r\frac{\dd}{\dd r}\bigl(r\frac{\dd v}{\dd r}\bigr) (مذكورة هنا؛ وهي موازنة القوى اللزجة على قشرة أسطوانية، 2πrL ηv′2\pi rL\,\eta v' عند rr وعند r+ ⁣drr + \dd r). وبالمكاملة مرتين مع vv منتهية على المحور و v(R)=0v(R) = 0 نحصل على القطع المكافئ؛ و DV=∫0Rv 2πr  ⁣drD_V = \int_0^Rv\,2\pi r\,\dd r. وإجهاد الجدار هو −ηv′(R)-\eta v'(R)؛ ومكافئًا، توازن قوة الضغط πR2ΔP\pi R^2\Delta P احتكاكَ الجدار 2πRLτw2\pi RL\tau_w. ∎

على اليسار: جريان بوازوي — منحني السرعات المكافئ في أنبوب، يقوده انخفاض الضغط P_1 - P_2. وعلى اليمين: موازنة القوى على قشرة أسطوانية من المائع: إذ يوازن فرقُ الضغط على طرفيها إجهاداتِ اللزوجة على سطحيها الداخلي والخارجي.
على اليسار: جريان بوازوي — منحني السرعات المكافئ في أنبوب، يقوده انخفاض الضغط P1−P2P_1 - P_2. وعلى اليمين: موازنة القوى على قشرة أسطوانية من المائع: إذ يوازن فرقُ الضغط على طرفيها إجهاداتِ اللزوجة على سطحيها الداخلي والخارجي.

مثال 4.8 (القوة الرابعة)

إبرة محقنة قطرها الداخلي 0.4 mm0.4\,\mathrm{mm} وطولها 3 cm3\,\mathrm{cm}، والماء، وضغط الإبهام 20 kPa20\,\mathrm{kPa}: DV=π(2×10−4)4×2×104/(8×10−3×0.03)=0.42 mL/sD_V = \pi(2 \times 10^{-4})^4 \times 2 \times 10^4/(8 \times 10^{-3} \times 0.03) = 0.42\,\mathrm{mL}/\mathrm{s}؛ وإبرة أوسع مرتين تعطي ستة عشر ضعفًا. وشريان تضيّقه لويحة إلى 70%70\% من نصف قطره يقدّم (1/0.7)4=4.2(1/0.7)^4 = 4.2 ضعف مقاومته: فيعوّض الجسم برفع الضغط في المنبع، وهذا بعض سبب اقتران تصلّب الشرايين بارتفاع الضغط.

قضية 4.9 (إعاقة ستوكس)

كرة نصف قطرها RR تتحرك بالسرعة vv في مائع عند Re=2ρvR/η≪1\mathrm{Re} = 2\rho vR/\eta \ll 1 تحسّ إعاقة مقدارها

F=6πηRv,F = 6\pi\eta Rv ,

معاكسة لسرعتها. وكرة كثافتها ρs\rho_s تسقط في مائع كثافته ρ\rho تبلغ السرعة الحدّية v∞=2R2(ρs−ρ)g9ηv_\infty = \dfrac{2R^2(\rho_s - \rho)g}{9\eta} — وهو قانون الترسيب، والنابذات، وقطرات زيت ميليكان.

برهان. الإعاقة مسلَّم بها (وهي الحلّ التام لمعادلات الجريان الزاحف حول كرة، ثلثاها احتكاك لزج وثلثها ضغط). وأما السرعة الحدّية: فالثقل ناقص قوة الطفو، 43πR3(ρs−ρ)g\tfrac43\pi R^3(\rho_s - \rho)g، يساوي الإعاقة؛ وتحقق دائمًا من Re≪1\mathrm{Re} \ll 1 بعد ذلك. ∎

مثال 4.10 (الضباب والمطر والغبار)

قطرة ضباب قطرها 10 µm10\,\text{µ}\mathrm{m} في الهواء تسقط بالسرعة 2×(5×10−6)2×104/(9×1.8×10−5)=3 mm/s2 \times (5 \times 10^{-6})^2 \times 10^4/(9 \times 1.8 \times 10^{-5}) = 3\,\mathrm{mm}/\mathrm{s} (و Re=2×10−3\mathrm{Re} = 2 \times 10^{-3}): فأدنى تيار صاعد يبقيها معلَّقة، ولهذا تطفو الغيوم. وقطرة مطر قطرها 1 mm1\,\mathrm{mm} تعطي 30 m/s30\,\mathrm{m}/\mathrm{s} و Re≈2000\mathrm{Re} \approx 2000: فلا يصلح ستوكس بعد ذلك، وتعطي الإعاقة التربيعية في القسم التالي القيمة المرصودة 4 m/s4\,\mathrm{m}/\mathrm{s}. وحبة غبار قطرها 10 µm10\,\text{µ}\mathrm{m} (ρs=2500 kg/m3\rho_s = 2500\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}) تترسّب بالسرعة 8 mm/s8\,\mathrm{mm}/\mathrm{s}، أي مترًا في دقيقتين — وأما الغبار الأنعم فيعلق ساعات.

4.4 عدد رينولدز الكبير: الطبقات الحدّية والإعاقة

قضية 4.11 (الطبقة الحدّية)

عند عدد رينولدز الكبير يكون الجريان حول جسم جريانَ مائع مثالي في كل مكان إلا في طبقة حدّية رقيقة على امتداد الجدار، تهبط فيها السرعة من قيمتها الخارجية UU إلى الصفر (لا انزلاق). وعلى امتداد صفيحة مستوية تنمو سماكتها وفق

δ(x)∼νxU=xRex,Rex=Uxν,\delta(x) \sim \sqrt{\frac{\nu x}{U}} = \frac{x}{\sqrt{\mathrm{Re}_x}} , \qquad \mathrm{Re}_x = \frac{Ux}{\nu} ,

حيث xx البعد عن الحافة الأمامية؛ وتصير الطبقة نفسها مضطربة فيما وراء Rex∼5×105\mathrm{Re}_x \sim 5 \times 10^5. والاحتكاك اللزج على الجدار، وانفصال الطبقة خلف جسم كليل (وهو يترك ذيلًا مضطربًا منخفض الضغط)، هما منبعا الإعاقة.

برهان. رتبة القدر: يمضي جسيم مائع الزمن x/Ux/U في السفر على امتداد الصفيحة، وخلاله ينتشر أثر الجدار في المائع — فالحدّ اللزج ν ∂2v/∂y2\nu\,\partial^2v/\partial y^2 انتشار لكمية الحركة بانتشارية ν\nu، تبلغ البعد νt\sqrt{\nu t} في الزمن tt (الفصل 24). ومنه δ∼νx/U\delta \sim \sqrt{\nu x /U}. وأما النظرية الكاملة (نظرية براندتل) فمسلَّم بها. ∎

قضية 4.12 (الإعاقة عند عدد رينولدز الكبير)

تُكتب الإعاقة على جسم مساحته الأمامية SS يتحرك بالسرعة vv في مائع هكذا

F=12ρv2 S Cx,F = \tfrac12\rho v^2\,S\,C_x ,

حيث معامل الإعاقة CxC_x يتوقف على الشكل وعلى Re\mathrm{Re}. وفي الكرة يكون Cx=24/ReC_x = 24/\mathrm{Re} عند Re≪1\mathrm{Re} \ll 1 (ستوكس، و Re\mathrm{Re} محسوب على القطر)، ثم نحو 0.40.4–0.50.5، وهو شبه ثابت، من Re≈103\mathrm{Re} \approx 10^3 إلى 2×1052 \times 10^5، حيث يهبط فجأةً إلى نحو 0.10.1 (وهي أزمة الإعاقة: إذ تصير الطبقة الحدّية مضطربة فتلتصق بالسطح مدةً أطول ويتقلّص الذيل — والنقر على كرة الغولف يستثيرها باكرًا). وللأجسام الانسيابية Cx≈0.05C_x \approx 0.05؛ وللسيارة 0.30.3؛ وللدرّاج 0.90.9؛ ولصفيحة مستوية تواجه الجريان 1.21.2. والاستطاعة اللازمة للتحرك بالسرعة vv هي Fv∝v3Fv \propto v^3.

برهان. نقبله في هذا المستوى. ∎

على اليمين: معامل إعاقة كرة بدلالة عدد رينولدز (بسلّمين لوغاريتميين): قانون ستوكس عند Re الصغير، وهضبة قرب 0.45، وأزمة الإعاقة قرب Re = 2 × 105. وعلى اليسار: الطبقة الحدّية تثخن على امتداد صفيحة مستوية؛ وخارجها يكون الجريان جريان مائع مثالي. على اليمين: معامل إعاقة كرة بدلالة عدد رينولدز (بسلّمين لوغاريتميين): قانون ستوكس عند Re الصغير، وهضبة قرب 0.45، وأزمة الإعاقة قرب Re = 2 × 105. وعلى اليسار: الطبقة الحدّية تثخن على امتداد صفيحة مستوية؛ وخارجها يكون الجريان جريان مائع مثالي.
على اليمين: معامل إعاقة كرة بدلالة عدد رينولدز (بسلّمين لوغاريتميين): قانون ستوكس عند Re\mathrm{Re} الصغير، وهضبة قرب 0.450.45، وأزمة الإعاقة قرب Re=2×105\mathrm{Re} = 2 \times 10^5. وعلى اليسار: الطبقة الحدّية تثخن على امتداد صفيحة مستوية؛ وخارجها يكون الجريان جريان مائع مثالي.

مثال 4.13 (درّاج وسيارة)

درّاج (SCx=0.35 m2SC_x = 0.35\,\mathrm{m}^{2}) عند 10 m/s10\,\mathrm{m}/\mathrm{s}: F=0.5×1.2×100×0.35=21 NF = 0.5 \times 1.2 \times 100 \times 0.35 = 21\,\mathrm{N}، و P=210 WP = 210\,\mathrm{W} — أي جهد يمكن الاستمرار فيه؛ وعند 15 m/s15\,\mathrm{m}/\mathrm{s} (أي 54 km/h54\,\mathrm{km}/\mathrm{h}) يلزم 710 W710\,\mathrm{W}، ولهذا يحتمي العدّاؤون بمن أمامهم. وسيارة (SCx=0.7 m2SC_x = 0.7\,\mathrm{m}^{2}) عند 130 km/h130\,\mathrm{km}/\mathrm{h}: 550 N550\,\mathrm{N}، و 20 kW20\,\mathrm{kW} ضد الهواء وحده — فاستهلاك الوقود على سرعة الطريق السريع معظمه إعاقة.

ملاحظة 4.14 (التوتر السطحي)

وتسكن قوة ثانية عند حدود السائل: إذ يسلك سطحه الحرّ سلوك غشاء مشدود توتره γ\gamma (N/m\mathrm{N}/\mathrm{m}؛ وللماء 0.072 N/m0.072\,\mathrm{N}/\mathrm{m})، لأن جزيئات السطح تفتقد نصف جيرانها. ويفوق الضغط داخل قطرة نصف قطرها RR الضغطَ الخارجي بمقدار ضغط لابلاس 2γ/R2\gamma/R (أي 1.4 kPa1.4\,\mathrm{kPa} في قطرة قطرها 0.1 mm0.1\,\mathrm{mm}، و 14 bar14\,\mathrm{bar} في قطرة قطرها 10 nm10\,\mathrm{nm})؛ ويغلب التوتر السطحي الثقالة دون الطول الشعري γ/ρg=2.7 mm\sqrt{\gamma/\rho g} = 2.7\,\mathrm{mm} للماء — وهو حجم قطرات الندى، والهلال في كأس، والارتفاع في أنبوب شعري (h=2γ/ρgrh = 2\gamma/\rho gr، جوران). ولهذا تمشي الحشرات الصغيرة على الماء، وتتلاصق شعيرات الفرشاة حين تبتلّ، وينكسر نفث سائل إلى قطرات.

طريقة 4.15 (أي نظام؟)

قبل أي حساب لجريان لزج، احسب Re\mathrm{Re}. فعند Re≪1\mathrm{Re} \ll 1: ستوكس والجريان الزاحف، والإعاقة ∝v\propto v، وانخفاضات الضغط ∝\propto التدفق. وعند Re\mathrm{Re} حتى ∼ ⁣2000\sim\!2000 في أنبوب: صفائحي، وبوازوي. وفوق ذلك: مضطرب — ويفرط بوازوي عندئذ في تقليل تقدير الضياع؛ فاستعمل القانون التجريبي ΔP=λ(L/D) 12ρ⟨v⟩2\Delta P = \lambda(L/D)\,\tfrac12\rho\langle v\rangle^2 مع λ≈0.3/Re1/4\lambda \approx 0.3/\mathrm{Re}^{1/4} للأنابيب الملساء، و F=12ρv2SCxF = \tfrac12\rho v^2SC_x للأجسام. وفي كل حالة، تحقق بعد ذلك من أن Re\mathrm{Re} المحسوب من الجواب يوافق النظام المفترض.

4.5 تمارين

تمرين 4.1 ★

صفيحة مساحتها 0.50 m20.50\,\mathrm{m}^{2} تنزلق بالسرعة 2.0 m/s2.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s} على غشاء زيت سماكته 0.20 mm0.20\,\mathrm{mm} (η=0.25 Pa s\eta = 0.25\,\mathrm{Pa}\,\mathrm{s}). أوجد إجهاد القصّ، والقوة على الصفيحة، والاستطاعة المبدَّدة؛ وقارنها بالاحتكاك الجافّ (f=0.3f = 0.3) إذا كانت كتلة الصفيحة 10 kg10\,\mathrm{kg}.

حل

حل التمرين 4.1.

τ=ηU/h=0.25×2/2×10−4=2.5 kPa\tau = \eta U/h = 0.25 \times 2/2 \times 10^{-4} = 2.5\,\mathrm{kPa}؛ و F=1.25 kNF = 1.25\,\mathrm{kN}؛ و P=Fv=2.5 kWP = Fv = 2.5\,\mathrm{kW}. وأما الاحتكاك الجافّ: 0.3×98=29 N0.3 \times 98 = 29\,\mathrm{N} — فالغشاء الرقيق السريع القصّ يقاوم هنا أكثر بكثير؛ وتنمو الإعاقة اللزجة مثل U/hU/h، فيكون التزييت مربحًا عند سرعات أدنى وبأغشية أسمك (ولا يعلق أبدًا).

تمرين 4.2 ★

أعداد رينولدز في الحالات التالية: (أ) جرثومة طولها 2 µm2\,\text{µ}\mathrm{m} عند 30 µm/s30\,\text{µ}\mathrm{m}/\mathrm{s} في الماء؛ (ب) سابح (1.8 m1.8\,\mathrm{m}، 1.5 m/s1.5\,\mathrm{m}/\mathrm{s})؛ (ج) سيارة (4 m4\,\mathrm{m}، 30 m/s30\,\mathrm{m}/\mathrm{s}) في الهواء؛ (د) الدم في الأبهر (2.5 cm2.5\,\mathrm{cm}، 0.33 m/s0.33\,\mathrm{m}/\mathrm{s}، و ν=3.3×10−6 m2/s\nu = 3.3 \times 10^{-6}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s})؛ (ه) زيت (η=0.1 Pa s\eta = 0.1\,\mathrm{Pa}\,\mathrm{s}، و ρ=900 kg/m3\rho = 900\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}) عند 0.5 m/s0.5\,\mathrm{m}/\mathrm{s} في أنبوب قطره 1 cm1\,\mathrm{cm}. وأعطِ نظام كل منها.

حل

حل التمرين 4.2.

(أ) 2×10−6×3×10−5/10−6=6×10−52 \times 10^{-6} \times 3 \times 10^{-5}/10^{-6} = 6 \times 10^{-5}، زاحف. (ب) 1.8×1.5/10−6=2.7×1061.8 \times 1.5/10^{-6} = 2.7 \times 10^6، مضطرب. (ج) 4×30/1.5×10−5=8×1064 \times 30/1.5 \times 10^{-5} = 8 \times 10^6، مضطرب. (د) 0.025×0.33/3.3×10−6=25000.025 \times 0.33/3.3 \times 10^{-6} = 2500، صفائحي على الحدّ. (ه) 900×0.5×0.01/0.1=45900 \times 0.5 \times 0.01/0.1 = 45، صفائحي.

تمرين 4.3 ★

يُدفع الماء عبر إبرة قطرها الداخلي 0.40 mm0.40\,\mathrm{mm} وطولها 3.0 cm3.0\,\mathrm{cm} بضغط 20 kPa20\,\mathrm{kPa}. أوجد التدفق؛ وزمن حقن 5 mL5\,\mathrm{mL}؛ والسرعة العظمى وعدد رينولدز؛ وإجهاد القصّ عند الجدار. وماذا لو كانت الإبرة 0.80 mm0.80\,\mathrm{mm}؟

حل

حل التمرين 4.3.

DV=πR4ΔP/8ηL=π(2×10−4)4×2×104/(8×10−3×0.03)=0.42 mL/sD_V = \pi R^4\Delta P/8\eta L = \pi(2 \times 10^{-4})^4 \times 2 \times 10^4/(8 \times 10^{-3} \times 0.03) = 0.42\,\mathrm{mL}/\mathrm{s}؛ و 12 s12\,\mathrm{s} من أجل 5 mL5\,\mathrm{mL}. و vmax⁡=ΔPR2/4ηL=6.7 m/sv_{\max} = \Delta PR^2/ 4\eta L = 6.7\,\mathrm{m}/\mathrm{s}، و ⟨v⟩=3.3 m/s\langle v\rangle = 3.3\,\mathrm{m}/\mathrm{s}، و Re=2R⟨v⟩/ν=1300\mathrm{Re} = 2R\langle v \rangle/\nu = 1300: صفائحي. و τw=ΔPR/2L=67 Pa\tau_w = \Delta PR/2L = 67\,\mathrm{Pa}. وعند 0.8 mm0.8\,\mathrm{mm}: ستة عشر ضعف التدفق، أي 6.7 mL/s6.7\,\mathrm{mL}/\mathrm{s} — لكن Re≈104\mathrm{Re} \approx 10^4: فيصير الجريان مضطربًا ويقلّ الكسب.

تمرين 4.4 ★

السرعات الحدّية في الهواء (η=1.8×10−5 Pa s\eta = 1.8 \times 10^{-5}\,\mathrm{Pa}\,\mathrm{s}) في الحالات التالية: (أ) حبة طلع قطرها 20 µm20\,\text{µ}\mathrm{m} (ρs=1100 kg/m3\rho_s = 1100\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3})، (ب) جسيم دخان قطره 2 µm2\,\text{µ}\mathrm{m} (ρs=2000 kg/m3\rho_s = 2000\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3})، (ج) قطرة رذاذ قطرها 0.2 mm0.2\,\mathrm{mm}. وتحقق من Re\mathrm{Re} في كل حالة؛ وأوجد زمن السقوط 1 m1\,\mathrm{m}.

حل

حل التمرين 4.4.

v∞=2R2Δρ g/9ηv_\infty = 2R^2\Delta\rho\,g/9\eta. (أ) 1.3 cm/s1.3\,\mathrm{cm}/\mathrm{s}، و Re=0.02\mathrm{Re} = 0.02، و 75 s75\,\mathrm{s} في المتر. (ب) 0.24 mm/s0.24\,\mathrm{mm}/\mathrm{s}، و Re=3×10−5\mathrm{Re} = 3 \times 10^{-5}، و 70 min70\,\mathrm{min} في المتر. (ج) 1.2 m/s1.2\,\mathrm{m}/\mathrm{s} لكن Re=16\mathrm{Re} = 16: فيفرط ستوكس في التقدير (والسرعة الحقيقية نحو 0.7 m/s0.7\,\mathrm{m}/\mathrm{s})، أي نحو ثانية في المتر.

تمرين 4.5 ★★

أنبوب ماء رئيسي قطره 30 cm30\,\mathrm{cm} يحمل 0.10 m3/s0.10\,\mathrm{m}^{3}/\mathrm{s} على 1.0 km1.0\,\mathrm{km}. (أ) السرعة الوسطى وعدد رينولدز. (ب) انخفاض الضغط لو انطبق قانون بوازوي. (ج) الانخفاض الفعلي مع λ=0.3/Re1/4\lambda = 0.3/\mathrm{Re}^{1/4}؛ ونسبته إلى (ب)؛ واستطاعة الضخّ. (د) والتدفق نفسه في أنبوبين متوازيين قطر كل منهما 21 cm21\,\mathrm{cm} (بالمقطع الكلي نفسه): الانخفاض والاستطاعة.

حل

حل التمرين 4.5.

(أ) ⟨v⟩=0.1/0.0707=1.4 m/s\langle v\rangle = 0.1/0.0707 = 1.4\,\mathrm{m}/\mathrm{s}، و Re=4.2×105\mathrm{Re} = 4.2 \times 10^5. (ب) 8ηLDV/πR4=500 Pa8\eta LD_V/\pi R^4 = 500\,\mathrm{Pa}. (ج) λ=0.3/25.5=0.0118\lambda = 0.3/25.5 = 0.0118، و ΔP=0.0118×3333×1000=39 kPa\Delta P = 0.0118 \times 3333 \times 1000 = 39\,\mathrm{kPa}: أي 8080 ضعفًا؛ و P=ΔPDV=3.9 kWP = \Delta PD_V = 3.9\,\mathrm{kW}. (د) السرعة نفسها، و Re=3×105\mathrm{Re} = 3 \times 10^5، و λ=0.0128\lambda = 0.0128، و ΔP=0.0128×4717×1000=60 kPa\Delta P = 0.0128 \times 4717 \times 1000 = 60\,\mathrm{kPa}، و 6 kW6\,\mathrm{kW}: أي جدار أكثر في واحدة التدفق، وضياع أكبر.

تمرين 4.6 ★★

خلايا قطرها 10 µm10\,\text{µ}\mathrm{m} وكثافتها 1050 kg/m31050\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3} في الماء. (أ) سرعة الترسيب تحت الثقالة؛ وزمن الترسيب 5 cm5\,\mathrm{cm}. (ب) وفي نابذة عند 1000 g1000\,g. (ج) معدل الدوران الأصغري من أجل 1000 g1000\,g عند نصف قطر 10 cm10\,\mathrm{cm}. (د) ولماذا يمكن فصل أكبر الجسيمات أولًا؟

حل

حل التمرين 4.6.

(أ) v=2×25×10−12×50×9.81/(9×10−3)=2.7 µm/sv = 2 \times 25 \times 10^{-12} \times 50 \times 9.81/(9 \times 10^{-3}) = 2.7\,\text{µ}\mathrm{m}/\mathrm{s}؛ و 5 cm5\,\mathrm{cm} في 1.8×1041.8 \times 10^4 ثانية، أي خمس ساعات. (ب) 2.7 mm/s2.7\,\mathrm{mm}/\mathrm{s}، و 18 s18\,\mathrm{s}. (ج) Ω=1000g/r=313 rad/s=3000 rpm\Omega = \sqrt{1000g/r} = 313\,\mathrm{rad}/\mathrm{s} = 3000\,\mathrm{rpm}. (د) v∝R2v \propto R^2: فتترسّب الجسيمات الكبيرة أولًا؛ وتفصل دورات متتالية بسرعات متزايدة الأحجام.

تمرين 4.7 ★★

درّاج (SCx=0.35 m2SC_x = 0.35\,\mathrm{m}^{2}، ومقاومة تدحرج 4 N4\,\mathrm{N}) يسير بالسرعة 12 m/s12\,\mathrm{m}/\mathrm{s}. (أ) الإعاقة والاستطاعة الكلية. (ب) وعند 15 m/s15\,\mathrm{m}/\mathrm{s}. (ج) وفي ريح مقابلة سرعتها 5 m/s5\,\mathrm{m}/\mathrm{s} عند سرعة أرضية 12 m/s12\,\mathrm{m}/\mathrm{s}. (د) والاحتماء بمن أمامه يخفض CxC_x بنسبة 30%30\%: فما الاستطاعة الموفَّرة؟ (ه) وينحدر على ميل 5%5\% دون دوس (وكتلته 80 kg80\,\mathrm{kg}): فما السرعة الحدّية؟

حل

حل التمرين 4.7.

(أ) F=0.6×144×0.35=30 NF = 0.6 \times 144 \times 0.35 = 30\,\mathrm{N}، مضافًا إليها +4 N+4\,\mathrm{N}: فيكون P=34×12=410 WP = 34 \times 12 = 410\,\mathrm{W}. (ب) 47+4=51 N47 + 4 = 51\,\mathrm{N}، و 770 W770\,\mathrm{W}. (ج) والسرعة النسبية 17 m/s17\,\mathrm{m}/\mathrm{s}: 61+4=65 N61 + 4 = 65\,\mathrm{N}، مضروبةً في السرعة الأرضية: 780 W780\,\mathrm{W}. (د) والإعاقة 21 N21\,\mathrm{N}: أي 300 W300\,\mathrm{W}، فالموفَّر 110 W110\,\mathrm{W}. (ه) mgsin⁡α=39 N=4+0.21v2mg\sin\alpha = 39\,\mathrm{N} = 4 + 0.21v^2: ومنه v=13 m/sv = 13\,\mathrm{m}/\mathrm{s}، أي 47 km/h47\,\mathrm{km}/\mathrm{h}.

تمرين 4.8 ★★

الإعاقة التربيعية. (أ) السرعة الحدّية لكرة غولف (46 g46\,\mathrm{g}، 43 mm43\,\mathrm{mm}، و Cx=0.25C_x = 0.25) ولقافز مظلي (80 kg80\,\mathrm{kg}، و SCx=0.7 m2SC_x = 0.7\,\mathrm{m}^{2}، ثم 25 m225\,\mathrm{m}^{2} والمظلة مفتوحة). (ب) معادلة الحركة في سقوط من السكون بإعاقة تربيعية؛ بيّن أن v=v∞tanh⁡(gt/v∞)v = v_\infty\tanh(gt/v_\infty). (ج) الزمن والمسافة كي يبلغ القافز 90%90\% من v∞v_\infty.

حل

حل التمرين 4.8.

(أ) الغولف: 12ρCxS=2.2×10−4 kg/m\tfrac12\rho C_xS = 2.2 \times 10^{-4}\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}، و v∞=0.45/2.2×10−4=45 m/sv_\infty = \sqrt{0.45/2.2 \times 10^{-4}} = 45\,\mathrm{m}/\mathrm{s}؛ والقافز 785/0.42=43 m/s\sqrt{785/0.42} = 43\,\mathrm{m}/\mathrm{s}؛ والمظلة 785/15=7.2 m/s\sqrt{785/15} = 7.2\,\mathrm{m}/\mathrm{s}. (ب) mv˙=mg−kv2m\dot v = mg - kv^2، أي v˙=g(1−v2/v∞2)\dot v = g(1 - v^2/v_\infty^2)، وحلّها من السكون v∞tanh⁡(gt/v∞)v_\infty\tanh(gt/v_\infty). (ج) tanh⁡x=0.9\tanh x = 0.9 عند x=1.47x = 1.47: ومنه t=1.47×43/9.81=6.5 st = 1.47 \times 43/9.81 = 6.5\,\mathrm{s}؛ و z=(v∞2/g)ln⁡cosh⁡x=190×0.83=160 mz = (v_\infty^2/g)\ln\cosh x = 190 \times 0.83 = 160\,\mathrm{m}.

تمرين 4.9 ★★

مقياس لزوجة كويت. أسطوانة نصف قطرها 5.0 cm5.0\,\mathrm{cm} وارتفاعها 10 cm10\,\mathrm{cm} تدور بالسرعة 10 rad/s10\,\mathrm{rad}/\mathrm{s} داخل أسطوانة ثابتة، والفجوة 1.0 mm1.0\,\mathrm{mm} مملوءة بالسائل المراد اختباره؛ والعزم اللازم 2.0×10−2 N m2.0 \times 10^{-2}\,\mathrm{N}\,\mathrm{m}. (أ) بمعاملة الفجوة جريانَ كويت مستويًا، أوجد معدل القصّ وإجهاد القصّ. (ب) اللزوجة. (ج) عدد رينولدز لجريان الفجوة؛ أيكون الجريان صفائحيًّا؟ (د) ولماذا تُصنع الفجوة رقيقة؟

حل

حل التمرين 4.9.

(أ) معدل القصّ ΩR/e=0.5/10−3=500 s−1\Omega R/e = 0.5/10^{-3} = 500\,\mathrm{s}^{-1}؛ و Γ=τ⋅2πRh⋅R\Gamma = \tau\cdot2\pi Rh \cdot R: ومنه τ=0.02/(2π×2.5×10−3×0.1)=12.7 Pa\tau = 0.02/(2\pi \times 2.5 \times 10^{-3} \times 0.1) = 12.7\,\mathrm{Pa}. (ب) η=12.7/500=2.5×10−2 Pa s\eta = 12.7/500 = 2.5 \times 10^{-2}\,\mathrm{Pa}\,\mathrm{s}. (ج) Re=ρUe/η≈1000×0.5×10−3/0.025=20\mathrm{Re} = \rho Ue/\eta \approx 1000 \times 0.5 \times 10^{-3}/0.025 = 20: صفائحي. (د) والفجوة الرقيقة تجعل معدل القصّ منتظمًا (وهو التقريب المستوي) وتُبقي الجريان صفائحيًّا.

تمرين 4.10 ★★★

شبكة وعائية. يجري الدم (η=3.5 mPa s\eta = 3.5\,\mathrm{mPa}\,\mathrm{s}) بمعدل 5.0 L/min5.0\,\mathrm{L}/\mathrm{min}. (أ) المقاومة الهيدروليكية للأبهر (نصف قطره 1.25 cm1.25\,\mathrm{cm}، وطوله 40 cm40\,\mathrm{cm}) وانخفاض الضغط عليه. (ب) والشعيرات 101010^{10} (نصف قطرها 4 µm4\,\text{µ}\mathrm{m}، وطولها 1 mm1\,\mathrm{mm}) على التوازي: أوجد مقاومة الواحدة، ومقاومتها كلها، وانخفاض الضغط عبر السرير الشعري. (ج) والشرينات (10810^8، ونصف قطرها 10 µm10\,\text{µ}\mathrm{m}، وطولها 2 mm2\,\mathrm{mm}): الأسئلة نفسها؛ وأين تكمن مقاومة الدورة الدموية؟ (د) والانخفاض الكلي 13 kPa13\,\mathrm{kPa}: أوجد استطاعة البطين الأيسر، وأي نسبة يمثّل ذلك من 100 W100\,\mathrm{W} للجسم. (ه) ويوسّع دواء الشرينات بنسبة 10%10\%: فما أثر ذلك في المقاومة الكلية؟

حل

حل التمرين 4.10.

DV=8.3×10−5 m3/sD_V = 8.3 \times 10^{-5}\,\mathrm{m}^{3}/\mathrm{s}. (أ) Rh=8ηL/πR4=8×3.5×10−3×0.4/(π×2.4×10−8)=1.5×105 Pa s/m3R_h = 8\eta L/\pi R^4 = 8 \times 3.5 \times 10^{-3} \times 0.4/(\pi \times 2.4 \times 10^{-8}) = 1.5 \times 10^{5}\,\mathrm{Pa}\,\mathrm{s}/\mathrm{m}^{3}، و ΔP=12 Pa\Delta P = 12\,\mathrm{Pa}. (ب) الشعيرة الواحدة 3.5×1016 Pa s/m33.5 \times 10^{16}\,\mathrm{Pa}\,\mathrm{s}/\mathrm{m}^{3}؛ و 101010^{10} منها على التوازي: 3.5×106 Pa s/m33.5 \times 10^{6}\,\mathrm{Pa}\,\mathrm{s}/\mathrm{m}^{3}؛ و ΔP=290 Pa\Delta P = 290\,\mathrm{Pa} (أي 2 mmHg2\,\mathrm{mmHg}). (ج) والشرين الواحد 8×3.5×10−3×2×10−3/(π×10−20)=1.8×1015 Pa s/m38 \times 3.5 \times 10^{-3} \times 2 \times 10^{-3}/(\pi \times 10^{-20}) = 1.8 \times 10^{15}\,\mathrm{Pa}\,\mathrm{s}/\mathrm{m}^{3}؛ والمجموعة: 1.8×107 Pa s/m31.8 \times 10^{7}\,\mathrm{Pa}\,\mathrm{s}/\mathrm{m}^{3}؛ و ΔP=1.5 kPa\Delta P = 1.5\,\mathrm{kPa}: فالشرينات تهيمن على الاثنين (فالأوعية الصغيرة، لا الكبيرة، هي حيث يهبط الضغط). (د) P=13000×8.3×10−5=1.1 WP = 13000 \times 8.3 \times 10^{-5} = 1.1\,\mathrm{W}، أي نحو 1%1\%. (ه) (1/1.1)4=0.68(1/1.1)^4 = 0.68: أي إزالة ثلث مقاومة الشرينات — وبهذا تخفض موسّعات الأوعية ضغط الدم.

تمرين 4.11 ★★★

الطبقة الحدّية وإعاقة الاحتكاك. صفيحة مستوية طولها LL وعرضها bb تتحرك بحرفها بالسرعة UU. وفي النظام الصفائحي يكون إجهاد القصّ عند الجدار τw=0.332 ρU2/Rex\tau_w = 0.332\,\rho U^2/\sqrt{\mathrm{Re}_x} (بلازيوس). (أ) بيّن أن قوة الاحتكاك على وجه واحد هي F=0.664 ρU2bL/ReLF = 0.664\,\rho U^2bL/\sqrt{\mathrm{Re}_L}. (ب) سماكة الطبقة الحدّية عند الحافة الخلفية لصفيحة طولها 1 m1\,\mathrm{m} في الماء عند 0.3 m/s0.3\,\mathrm{m}/\mathrm{s}، والقوة على صفيحة مساحتها 1 m21\,\mathrm{m}^{2} (الوجهان معًا). (ج) وعند 10 m/s10\,\mathrm{m}/\mathrm{s}: أوجد ReL\mathrm{Re}_L، ولماذا لا تصلح الصيغة بعد ذلك. (د) وبدن سفينة (100 m100\,\mathrm{m}، 10 m/s10\,\mathrm{m}/\mathrm{s}): قدّر سماكة الطبقة الحدّية عند المؤخرة بفرض القانون المضطرب δ≈0.37x/Rex1/5\delta \approx 0.37x/\mathrm{Re}_x^{1/5}.

حل

حل التمرين 4.11.

(أ) F=b∫0Lτw  ⁣dx=0.332ρU2bν/U∫0L ⁣dx/x=0.664ρU2bνL/U=0.664ρU2bL/ReLF = b\int_0^L\tau_w\,\dd x = 0.332\rho U^2b\sqrt{\nu/U}\int_0^L\dd x/\sqrt x = 0.664\rho U^2b\sqrt{\nu L/U} = 0.664\rho U^2bL/\sqrt{\mathrm{Re}_L}. (ب) ReL=3×105\mathrm{Re}_L = 3 \times 10^5 (صفائحي)؛ و δ≈5νL/U=9 mm\delta \approx 5\sqrt{\nu L/U} = 9\,\mathrm{mm}؛ و F=0.664×1000×0.09×1/548=0.11 NF = 0.664 \times 1000 \times 0.09 \times 1/548 = 0.11\,\mathrm{N} على الوجه الواحد، أي 0.22 N0.22\,\mathrm{N}. (ج) ReL=107\mathrm{Re}_L = 10^7: فالطبقة مضطربة فيما وراء أول بضعة سنتيمترات، وتخفق الصيغة الصفائحية (والإعاقة الحقيقية أكبر أضعافًا). (د) Rex=109\mathrm{Re}_x = 10^9: ومنه δ≈0.37×100/63=0.6 m\delta \approx 0.37 \times 100/63 = 0.6\,\mathrm{m}.

تمرين 4.12 ★★★

غشاء ينزل. غشاء سائل سماكته hh ينزل على جدار شاقولي تحت الثقالة، جريانًا مستقرًّا، والهواء لا يؤثر بأي إجهاد على سطحه الحرّ. (أ) اكتب معادلة نافييه–ستوكس من أجل v→=v(y)e→z\vect v = v(y)\vect e_z (و yy البعد عن الجدار، و zz نحو الأسفل) والشروط الحدّية. (ب) بيّن أن v(y)=ρg2η(2hy−y2)v(y) = \dfrac{\rho g}{2\eta}(2hy - y^2) واحسب التدفق في واحدة العرض q=ρgh3/3ηq = \rho gh^3/3\eta. (ج) وطبقة طلاء طازجة (η=0.5 Pa s\eta = 0.5\,\mathrm{Pa}\,\mathrm{s}، و ρ=1200 kg/m3\rho = 1200\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}) سماكتها 0.2 mm0.2\,\mathrm{mm}: أوجد سرعة السطح والتدفق؛ وكم يتحرك السطح في 10 min10\,\mathrm{min}؟ ولماذا يتهدّل الطلاء إذا وُضع سميكًا أكثر مما ينبغي؟ (د) وعسل (η=10 Pa s\eta = 10\,\mathrm{Pa}\,\mathrm{s}) سماكته 2 mm2\,\mathrm{mm} على ملعقة شاقولية: فما سرعة السطح؟

حل

حل التمرين 4.12.

(أ) 0=ρg+ηv′′(y)0 = \rho g + \eta v''(y)، و v(0)=0v(0) = 0 (لا انزلاق)، و v′(h)=0v'(h) = 0 (لا إجهاد على السطح الحرّ). (ب) وبالمكاملة مرتين: v=(ρg/2η)(2hy−y2)v = (\rho g/2\eta)(2hy - y^2)؛ و q=∫0hv  ⁣dy=ρgh3/3ηq = \int_0^hv\,\dd y = \rho gh^3/3\eta. (ج) vs=ρgh2/2η=1200×9.81×4×10−8/1=0.47 mm/sv_s = \rho gh^2/2\eta = 1200 \times 9.81 \times 4 \times 10^{-8}/1 = 0.47\,\mathrm{mm}/\mathrm{s}؛ و q=6.3×10−8 m2/sq = 6.3 \times 10^{-8}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}؛ أي 28 cm28\,\mathrm{cm} في عشر دقائق — فطلاء نيوتني بتلك السماكة كان ليسيل كله؛ وأما الطلاءات الحقيقية فتخفّ بالقصّ وثيكسوتروبية، وتتهدّل مع ذلك إذا سُمّكت لأن vs∝h2v_s \propto h^2. (د) 1400×9.81×4×10−6/20=2.7 mm/s1400 \times 9.81 \times 4 \times 10^{-6}/20 = 2.7\,\mathrm{mm}/\mathrm{s}.

شارع دوامات فون كارمان في الغيوم في مصبّ جزيرة، منظورًا من الفضاء: ذيل أسطوانة عند عدد رينولدز بضع مئات، مرسومًا على مقياس مئة كيلومتر (ناسا).
شارع دوامات فون كارمان في الغيوم في مصبّ جزيرة، منظورًا من الفضاء: ذيل أسطوانة عند عدد رينولدز بضع مئات، مرسومًا على مقياس مئة كيلومتر (ناسا).

4.6 مسألة: الدم والنفط الخام والمطر

مسألة 4.1

مسألة نهاية الأسبوع — القوانين اللزجة نفسها في شريان، وفي خط أنابيب طوله ألف كيلومتر، وفي قطرة ساقطة

الجزء I — الدم. الدم: ρ=1060 kg/m3\rho = 1060\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}، و η=3.5×10−3 Pa s\eta = 3.5 \times 10^{-3}\,\mathrm{Pa}\,\mathrm{s} (معامَلًا مائعًا نيوتنيًّا)؛ والدفق القلبي DV=5.0 L/minD_V = 5.0\,\mathrm{L}/\mathrm{min}.

  1. الأبهر، ونصف قطره 1.25 cm1.25\,\mathrm{cm}: السرعة الوسطى وعدد رينولدز والنظام.
  2. ولو كان الجريان في الأبهر جريان بوازوي، فما السرعة العظمى وإجهاد القصّ عند الجدار؟ (فالبطانة الغشائية تستشعر إجهادات رتبتها 1 Pa1\,\mathrm{Pa}.)
  3. وشعيرة نصف قطرها 4.0 µm4.0\,\text{µ}\mathrm{m} تحمل الدم بالسرعة 0.30 mm/s0.30\,\mathrm{mm}/\mathrm{s}: أوجد عدد رينولدز؛ وانخفاض الضغط على طولها 1.0 mm1.0\,\mathrm{mm}، بالباسكال وبميليمترات الزئبق (و 1 mmHg1\,\mathrm{mmHg} تساوي 133 Pa133\,\mathrm{Pa}).
  4. الزمن الذي تستغرقه كرية حمراء في عبور الشعيرة؛ ولماذا تكون هذه هي الرتبة الصحيحة لتبادل الغازات؟
  5. الشرينات (نصف قطرها 10 µm10\,\text{µ}\mathrm{m}، وطولها 2.0 mm2.0\,\mathrm{mm}، وعددها 10810^8 على التوازي): أوجد مقاومة المجموعة وانخفاض الضغط عبرها عند الدفق القلبي الكامل.
  6. والانخفاض الكلي من الشرايين إلى الأوردة 13 kPa13\,\mathrm{kPa}: أوجد الاستطاعة الميكانيكية التي يقدّمها البطين الأيسر. وقارنها بجسم استطاعته 100 W100\,\mathrm{W}.
  7. ويخفض تضيّق نصف قطر شريان إكليلي بنسبة 40%40\% على طول قصير: بأي معامل ترتفع مقاومته؛ ولماذا قد تبقى عضلة القلب في المصبّ مرويّة في الراحة لا في الجهد.
  8. وأثناء جهد شديد يبلغ الدفق القلبي 25 L/min25\,\mathrm{L}/\mathrm{min}: فما عدد رينولدز في الأبهر، وما النظام؟
  9. والدم ليس نيوتنيًّا: إذ تهبط لزوجته الظاهرية عند معدل القصّ الكبير وترتفع عند الصغير. فأي الأوعية السابقة أشدّ تأثرًا، وفي أي اتجاه؟

الجزء II — خط الأنابيب. خط أنابيب نفط خام: قطره D=1.2 mD = 1.2\,\mathrm{m}، وطوله L=1300 kmL = 1300\,\mathrm{km}، وتدفقه DV=3.0 m3/sD_V = 3.0\,\mathrm{m}^{3}/\mathrm{s}؛ والنفط ρ=850 kg/m3\rho = 850\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}، و η=2.0×10−2 Pa s\eta = 2.0 \times 10^{-2}\,\mathrm{Pa}\,\mathrm{s} حين يُبقى دافئًا. والاحتكاك المضطرب: ΔP=λ(L/D)12ρ⟨v⟩2\Delta P = \lambda (L/D)\tfrac12\rho\langle v\rangle^2، مع λ=0.316/Re1/4\lambda = 0.316/\mathrm{Re}^{1/4}.

  1. السرعة الوسطى وعدد رينولدز؛ والنظام.
  2. انخفاض الضغط في الكيلومتر وعلى الخط كله.
  3. ويتحمل الأنبوب 80 bar80\,\mathrm{bar}: فما أصغر عدد لمحطات الضخّ على امتداد الخط؟
  4. الاستطاعة الكلية للضخّ؛ والطاقة في المتر المكعب من النفط المسلَّم، مقارنةً بمحتوى النفط من الطاقة (36 GJ/m336\,\mathrm{GJ}/\mathrm{m}^{3}).
  5. وأي انخفاض يتنبأ به قانون بوازوي؟ علّق على كلفة الاضطراب (وعلى سبب حقن مضافات بوليمرية تؤخّر الاضطراب في بعض خطوط الأنابيب).
  6. وفي الشتاء يبلغ النفط غير المسخَّن η=2.0 Pa s\eta = 2.0\,\mathrm{Pa}\,\mathrm{s}: فما عدد رينولدز الجديد والنظام؛ وما انخفاض الضغط على الخط بالقانون الملائم؟ وما نتيجة ذلك للتصميم (فالخط الحقيقي معزول والنفط يُبقى دافئًا)؟
  7. زمن عبور النفط من طرف إلى آخر.
  8. إجهاد القصّ عند الجدار في الحالة الدافئة المضطربة، انطلاقًا من انخفاض الضغط؛ وقوة الاحتكاك الكلية على جدار الأنبوب.
  9. والتدفق نفسه في أنبوب قطره 1.0 m1.0\,\mathrm{m}: بأي معامل يتغير انخفاض الضغط المضطرب؟
  10. وتُحمَل حبة رمل قطرها 0.10 mm0.10\,\mathrm{mm} (ρs=2650 kg/m3\rho_s = 2650\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}) في النفط الدافئ: أوجد سرعة ترسيب ستوكس، وعدد رينولدز للحبة، وزمن الترسيب عبر الأنبوب. وقارن بتقلبات السرعة المضطربة، وهي بضعة بالمئة من ⟨v⟩\langle v \rangle: أيترسّب الرمل في خط الأنابيب العامل؟ وفي الخط المتوقف؟

الجزء III — القطرات. الهواء: ρ=1.2 kg/m3\rho = 1.2\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}، و η=1.8×10−5 Pa s\eta = 1.8 \times 10^{-5}\,\mathrm{Pa}\,\mathrm{s}؛ والماء ρw=1000 kg/m3\rho_w = 1000\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}، و γ=0.072 N/m\gamma = 0.072\,\mathrm{N}/\mathrm{m}.

  1. قطرة غيم قطرها 10 µm10\,\text{µ}\mathrm{m}: أوجد سرعة ستوكس الحدّية، وعدد رينولدز، وزمن السقوط 1 km1\,\mathrm{km}؛ ولماذا يبقى الغيم.
  2. رذاذ قطره 0.20 mm0.20\,\mathrm{mm}: سرعة ستوكس وعدد رينولدز؛ أيبقى ستوكس موثوقًا؟
  3. قطرة مطر قطرها 2.0 mm2.0\,\mathrm{mm}: بيّن أن ستوكس يخفق، وأوجد السرعة الحدّية مع Cx=0.5C_x = 0.5. وزمن السقوط من 1 km1\,\mathrm{km}.
  4. وفي تيار صاعد سرعته 1 cm/s1\,\mathrm{cm}/\mathrm{s}، أترتفع قطرة الغيم أم تسقط؟ وأي تيار صاعد يحمل قطرة الرذاذ؟
  5. ضغط لابلاس داخل القطرات الثلاث؛ وقارنه بالضغط الديناميكي 12ρv∞2\tfrac12\rho v_\infty^2 لكل منها، واشرح لماذا تتفلطح قطرات المطر الكبيرة وتتفكك فوق نحو 5 mm5\,\mathrm{mm}.
  6. أعطِ في جدول واحد، لجريانات هذه المسألة الثمانية، عدد رينولدز والقانون الذي يحكمه.
حل

حل المسألة 4.1.

1. S=4.9 cm2S = 4.9\,\mathrm{cm}^{2}، و ⟨v⟩=83/4.9=0.17 m/s\langle v\rangle = 83/4.9 = 0.17\,\mathrm{m}/\mathrm{s}؛ و Re=1060×0.17×0.025/3.5×10−3=1300\mathrm{Re} = 1060 \times 0.17 \times 0.025/3.5 \times 10^{-3} = 1300: صفائحي (وتبلغ ذرى النبض ∼5000\sim 5000).

2. vmax⁡=0.34 m/sv_{\max} = 0.34\,\mathrm{m}/\mathrm{s}؛ و τw=4η⟨v⟩/R=0.19 Pa\tau_w = 4\eta\langle v\rangle/R = 0.19\,\mathrm{Pa}.

3. Re=1060×3×10−4×8×10−6/3.5×10−3=7×10−4\mathrm{Re} = 1060 \times 3 \times 10^{-4} \times 8 \times 10^{-6}/3.5 \times 10^{-3} = 7 \times 10^{-4}؛ و ΔP=8ηL⟨v⟩/R2=8×3.5×10−3×10−3×3×10−4/1.6×10−11=525 Pa=3.9 mmHg\Delta P = 8\eta L\langle v\rangle/R^2 = 8 \times 3.5 \times 10^{-3} \times 10^{-3} \times 3 \times 10^{-4}/1.6 \times 10^{-11} = 525\,\mathrm{Pa} = 3.9\,\mathrm{mmHg}.

4. 1/0.3=3.3 s1/0.3 = 3.3\,\mathrm{s}: وهو زمن يكفي كي ينتشر الأكسجين بضعة ميكرومترات إلى النسيج (الفصل 24).

5. الشرين الواحد 8ηL/πR4=1.8×1015 Pa s/m38\eta L/\pi R^4 = 1.8 \times 10^{15}\,\mathrm{Pa}\,\mathrm{s}/\mathrm{m}^{3}؛ و 10810^8 منها على التوازي: 1.8×107 Pa s/m31.8 \times 10^{7}\,\mathrm{Pa}\,\mathrm{s}/\mathrm{m}^{3}؛ و ΔP=1.8×107×8.3×10−5=1.5 kPa=11 mmHg\Delta P = 1.8 \times 10^7 \times 8.3 \times 10^{-5} = 1.5\,\mathrm{kPa} = 11\,\mathrm{mmHg}.

6. P=ΔP DV=13000×8.3×10−5=1.1 WP = \Delta P\,D_V = 13000 \times 8.3 \times 10^{-5} = 1.1\,\mathrm{W}، أي نحو 1%1\% من استطاعة الجسم.

7. (1/0.6)4=7.7(1/0.6)^4 = 7.7. وفي الراحة تتوسّع الأوعية في المصبّ فتعوّض؛ وفي الجهد يرتفع الطلب أربعة أو خمسة أضعاف ولا يستطيع الشريان المتضيّق تلبيته: وتلك هي الذبحة.

8. خمسة أضعاف السرعة: Re≈6500\mathrm{Re} \approx 6500، مضطرب — وهي اللغطات التي تسمعها السماعة أثناء التمرين.

9. في الجريان البطيء القليل القصّ في الأوردة الصغيرة والشعيرات تتكتل الكريات الحمراء فترتفع اللزوجة الظاهرية (والعكس في الأبهر السريع)؛ فكل تقديرات انخفاض الضغط للأوعية الصغيرة حدود دنيا.

10. ⟨v⟩=3/1.13=2.65 m/s\langle v\rangle = 3/1.13 = 2.65\,\mathrm{m}/\mathrm{s}؛ و Re=850×2.65×1.2/0.02=1.35×105\mathrm{Re} = 850 \times 2.65 \times 1.2/0.02 = 1.35 \times 10^5: مضطرب.

11. λ=0.316/19.2=0.0165\lambda = 0.316/19.2 = 0.0165؛ و ΔP/L=(0.0165/1.2)×12×850×7.0=41 Pa/m=41 kPa/km\Delta P/L = (0.0165/1.2) \times \tfrac12 \times 850 \times 7.0 = 41\,\mathrm{Pa}/\mathrm{m} = 41\,\mathrm{kPa}/\mathrm{km}؛ أي 534 bar534\,\mathrm{bar} على الخط.

12. 534/80=6.7534/80 = 6.7: أي سبع محطات على الأقل.

13. P=ΔP DV=5.34×107×3=160 MWP = \Delta P\,D_V = 5.34 \times 10^7 \times 3 = 160\,\mathrm{MW}؛ و 53 MJ/m353\,\mathrm{MJ}/\mathrm{m}^{3}، أي 0.15%0.15\% من طاقة النفط.

14. ΔP=32ηL⟨v⟩/D2=32×0.02×1.3×106×2.65/1.44=15 bar\Delta P = 32\eta L\langle v\rangle/D^2 = 32 \times 0.02 \times 1.3 \times 10^6 \times 2.65/1.44 = 15\,\mathrm{bar}: أي أقل بخمسة وثلاثين مرة. فالاضطراب مكلف؛ وبضعة أجزاء من المليون من بوليمرات طويلة تؤخّره وتخفض الانخفاض بعشرات في المئة.

15. Re=1350\mathrm{Re} = 1350: صفائحي؛ وببوازوي: ΔP=32×2×1.3×106×2.65/1.44=1500 bar\Delta P = 32 \times 2 \times 1.3 \times 10^6 \times 2.65/1.44 = 1500\,\mathrm{bar} — وهو مستحيل؛ فلا بدّ من إبقاء النفط دافئًا، ومن هنا العزل والتسخين.

16. 1.3×106/2.65=4.9×105 s=5.7 d1.3 \times 10^6/2.65 = 4.9 \times 10^{5}\,\mathrm{s} = 5.7\,\mathrm{d}.

17. τw=(ΔP/L)D/4=41×0.3=12 Pa\tau_w = (\Delta P/L)D/4 = 41 \times 0.3 = 12\,\mathrm{Pa}؛ و F=τwπDL=6×107 NF = \tau_w\pi DL = 6 \times 10^{7}\,\mathrm{N}.

18. ΔP∝λ⟨v⟩2/D∝D−4.75\Delta P \propto \lambda\langle v\rangle^2/D \propto D^{-4.75}: أي 1.24.75=2.41.2^{4.75} = 2.4.

19. v=2R2Δρ g/9η=2×2.5×10−9×1800×9.81/0.18=0.49 mm/sv = 2R^2\Delta\rho\,g/9\eta = 2 \times 2.5 \times 10^{-9} \times 1800 \times 9.81/ 0.18 = 0.49\,\mathrm{mm}/\mathrm{s}؛ و Re=2×10−3\mathrm{Re} = 2 \times 10^{-3}؛ و 41 min41\,\mathrm{min} لعبور 1.2 m1.2\,\mathrm{m}. وتقلّبات الاضطراب، وهي بضعة سنتيمترات في الثانية، تُبقيها معلَّقة ما دام النفط يجري؛ وفي خط متوقف تترسّب في أقل من ساعة.

20. v=2×2.5×10−11×1000×9.81/1.62×10−4=3.0 mm/sv = 2 \times 2.5 \times 10^{-11} \times 1000 \times 9.81/1.62 \times 10^{-4} = 3.0\,\mathrm{mm}/\mathrm{s}؛ و Re=2×10−3\mathrm{Re} = 2 \times 10^{-3}؛ و 1 km1\,\mathrm{km} في 3.3×1053.3 \times 10^5 ثانية، أي أربعة أيام: فأي تيار صاعد يفوق بضعة ميليمترات في الثانية يحملها.

21. 1.2 m/s1.2\,\mathrm{m}/\mathrm{s}، و Re=16\mathrm{Re} = 16: فيفرط ستوكس في التقدير بنحو الضعف (والحقيقي 0.7 m/s0.7\,\mathrm{m}/\mathrm{s}).

22. كان ستوكس ليعطي 120 m/s120\,\mathrm{m}/\mathrm{s} و Re∼104\mathrm{Re} \sim 10^4: وهو عبث. وبالإعاقة التربيعية، 43πR3ρwg=12ρv2πR2Cx\tfrac43\pi R^3\rho_wg = \tfrac12\rho v^2\pi R^2C_x: ومنه v=8Rρwg/3ρCx=6.6 m/sv = \sqrt{8R \rho_wg/3\rho C_x} = 6.6\,\mathrm{m}/\mathrm{s} (و Re=900\mathrm{Re} = 900، وهو متوافق)؛ و 150 s150\,\mathrm{s} من 1 km1\,\mathrm{km}.

23. 1 cm/s1\,\mathrm{cm}/\mathrm{s} >> 3 mm/s3\,\mathrm{mm}/\mathrm{s}: فترتفع القطرة؛ وأما قطرة الرذاذ فتحتاج نحو 1 m/s1\,\mathrm{m}/\mathrm{s}، وهو ما توفّره الغيوم الحملية.

24. 2γ/R2\gamma/R: أي 29 kPa29\,\mathrm{kPa}، و 1.4 kPa1.4\,\mathrm{kPa}، و 144 Pa144\,\mathrm{Pa}؛ والضغوط الديناميكية 12ρv2\tfrac12\rho v^2: 5×10−65 \times 10^{-6}، و 0.30.3، و 26 Pa26\,\mathrm{Pa}. وتبلغ النسبة 0.20.2 عند 2 mm2\,\mathrm{mm}؛ وعند 5 mm5\,\mathrm{mm} (v≈9 m/sv \approx 9\,\mathrm{m}/\mathrm{s}، و 12ρv2=49 Pa\tfrac12\rho v^2 = 49\,\mathrm{Pa} مقابل 58 Pa58\,\mathrm{Pa}) يفلطح الضغط الهوائي القطرة ويفكّكها: فلا تتجاوز قطرة مطر نحو 5 mm5\,\mathrm{mm}.

25. الأبهر 10310^3 (صفائحي، قرب الانتقال)؛ والشعيرة 10−310^{-3} (بوازوي)؛ والشرين 10−210^{-2} (بوازوي)؛ وخط الأنابيب الدافئ 10510^5 (مضطرب، λ(Re)\lambda(\mathrm{Re}))؛ وخط الأنابيب البارد 10310^3 (بوازوي)؛ والرمل في النفط 10−310^{-3} (ستوكس)؛ وقطرة الغيم 10−310^{-3} (ستوكس)؛ وقطرة المطر 10310^3 (إعاقة تربيعية، Cx≈0.5C_x \approx 0.5).

المصطلحات المعرَّفة في هذا الفصل

عرض كل المصطلحات (393) في المسرد