الفيزياء الجامعية — السنة الثانية · Bachelor Year 2

13الأمواج الكهرمغناطيسية المستوية والاستقطاب

أمِل رأسك وأنت ترتدي نظارة شمسية مستقطِبة فيظهر وهج الطريق المبتلّة ويختفي؛ وأدر النظارة أمام شاشة هاتف فتسودّ الشاشة. فالضوء الذي يبلغ عينك ليس موجةً ذات تواتر وشدة فحسب: بل له جهة اهتزاز، ويلعب بها كل مستقطِب وشاشة وعدسة سينما ثلاثية الأبعاد وواصل ألياف بصرية. وهذا الفصل يحلّ معادلات ماكسويل في الفضاء الخالي — أي الموجة المستوية، بمجاليها الكهربائي والمغناطيسي المستعرضين المقفلين متعامدين — ويستعرض الطيف الذي تمتد عليه تلك الأمواج، ويدرس الاستقطاب: كيف يوصف، وكيف يُنتقى بمستقطِب (قانون مالوس)، وكيف يُحوَّل بصفيحة مضاعفة الانكسار.

13.1 الأمواج المستوية في الخلاء

مبرهنة 13.1 (معادلة الأمواج؛ الأمواج المستوية المتقدمة التوافقية)

في الخلاء، الخالي من الشحن والتيارات، تعطي معادلات ماكسويل

\Delta\vect E = \frac1{c^2}\frac{\partial^2\vect E}{\partial t^2} , \qquad \Delta\vect B = \frac1{c^2}\frac{\partial^2\vect B}{\partial t^2} , \qquad c = \frac1{\sqrt{\varepsilon_0\mu_0}} = 2.998 \times 10^{8}\,\mathrm{m}/\mathrm{s} .

والموجة المستوية المتقدمة التوافقية $\underline{\vect E} = \underline{\vect E}_0\,\eu^{\iu(\omega t - \vect k\cdot\vect r)}$ حلّ شرط أن يكون $\omega = ck$ (أي بلا تبدد)، وتقتضي معادلات ماكسويل عندئذ

\vect k\cdot\vect E = 0 , \qquad \vect B = \frac{\vect k\wedge\vect E}\omega = \frac{\vect u\wedge\vect E}c ,

حيث $\vect u = \vect k/k$ جهة الانتشار: فالموجة مستعرضة، و $(\vect E, \vect B, \vect u)$ ثلاثي متعامد مباشر، و $\vect E$ و $\vect B$ في طور واحد و $B = E/c$ . وشدتها $I = \varepsilon_0cE_0^2/2$ وتحمل تدفق كمية حركة $I/c$ (الفصل 12).

برهان. اشتُقت معادلة الأمواج في التمرين 11.11. ومن أجل $\eu^{\iu(\omega t - \vect k\cdot\vect r)}$ ، يصير $\partial_t \to \iu\omega$ و $\vect\nabla \to -\iu\vect k$ : ومنه $\Delta \to -k^2$ ، فيكون $k^2 = \omega^2/c^2$ ؛ ويعطي ماكسويل–غاوس $-\iu \vect k\cdot\underline{\vect E} = 0$ ، وماكسويل–التدفق $\vect k\cdot\underline{\vect B} = 0$ ، وماكسويل–فاراداي $-\iu\vect k\wedge\underline{\vect E} = -\iu\omega\underline{\vect B}$ ، ومنه $\underline{\vect B} = \vect k\wedge\underline{\vect E}/\omega$ ، ومقياسها $kE/\omega = E/c$ وهي عمودية عليهما؛ ثم يتحقق ماكسويل–أمبير تلقائيًّا. ∎

موجة مستوية متقدمة توافقية في لحظة واحدة: E و B عموديان أحدهما على الآخر وعلى جهة السير، وفي طور واحد، و B = E/c؛ وينزلق النقش كله على امتداد u بالسرعة c. — موجة مستوية متقدمة توافقية في لحظة واحدة: $\vect E$ و $\vect B$ عموديان أحدهما على الآخر وعلى جهة السير، وفي طور واحد، و $B = E/c$ ؛ وينزلق النقش كله على امتداد $\vect u$ بالسرعة $c$ .

ملاحظة 13.2 (الطيف)

معادلة واحدة وسرعة واحدة وعشرون رتبة قدر من التواتر. الراديو: $30\,\mathrm{kHz}$ – $300\,\mathrm{MHz}$ ( $\lambda$ من $10\,\mathrm{km}$ إلى $1\,\mathrm{m}$ )، والهوائيات والدارات (الفصل 17). والموجات الصغرية: $300\,\mathrm{MHz}$ – $300\,\mathrm{GHz}$ ، والرادار والأفران والهواتف المحمولة والخلفية الكونية. وتحت الأحمر: حتى $400\,\mathrm{THz}$ (أي $750\,\mathrm{nm}$ )، وهو الإشعاع الحراري لكل ما حولنا (الفصل 26). والمرئي: $400\,\mathrm{THz}$ – $750\,\mathrm{THz}$ ، من $750\,\mathrm{nm}$ (أحمر) إلى $400\,\mathrm{nm}$ (بنفسجي) — أي ديوان واحد، وفوتونات من $1.6$ إلى $3.1\,\mathrm{eV}$ . وفوق البنفسجي حتى $10\,\mathrm{nm}$ ؛ والأشعة السينية حتى $10\,\mathrm{pm}$ (أي $100\,\mathrm{keV}$ )، من الأغلفة الذرية الداخلية ومن الإلكترونات المكبوحة؛ وأشعة غاما فيما وراء ذلك، من النوى. ولا تختلف إلا المنابع والكواشف: أما الموجة فواحدة.

الطيف الكهرمغناطيسي على سلّم تواتر لوغاريتمي؛ والحزمة المرئية شظية — ديوان واحد من عشرين عقدًا.

13.2 الاستقطاب

تعريف 13.3 (حالات الاستقطاب)

من أجل موجة مستوية متقدمة توافقية على امتداد $z$ ، يكون المجال في مستوٍ $z = \text{ثابت}$

\vect E = E_{0x}\cos(\omega t - kz)\,\vect e_x + E_{0y}\cos(\omega t - kz - \varphi)\,\vect e_y ,

وتصف نهاية $\vect E$ ، عمومًا، إهليلجًا: أي استقطابًا إهليلجيًّا. وهناك حالتان خاصتان: $\varphi = 0$ أو $\pi$ ، وهو استقطاب خطي على امتداد جهة ثابتة زاويتها $\arctan(\pm E_{0y}/E_{0x})$ عن $x$ ؛ و $E_{0x} = E_{0y}$ مع $\varphi = \pm\pi/2$ ، وهو استقطاب دائري، و $\vect E$ ثابت المقياس يدور بالسرعة $\omega$ (يمينًا أو يسارًا بحسب جهة دورانه، منظورًا في مواجهة الموجة المقبلة). وأما الضوء الطبيعي (غير المستقطَب)، من مصباح أو من الشمس، فهو تتابع من رتل موجي قصير باستقطابات عشوائية سريعة التغير: فلا جهة مفضَّلة وسطيًّا. وكل استقطاب ينحلّ إلى مركّبتين خطيتين (أو دائريتين).

برهان. مع $X = E_x/E_{0x}$ و $Y = E_y/E_{0y}$ : $X = \cos\theta$ ، و $Y = \cos(\theta - \varphi)$ ، ومنه $X^2 + Y^2 - 2XY\cos\varphi = \sin^2\varphi$ ، وهو إهليلج، ينحلّ إلى المستقيمين $Y = \pm X$ من أجل $\varphi = 0, \pi$ وإلى دائرة من أجل $E_{0x} = E_{0y}$ و $\varphi = \pm\pi/2$ . ∎

قضية 13.4 (المستقطِبات وقانون مالوس)

ينفذ المستقطِب مركّبة $\vect E$ على امتداد محور نفاذه $\vect p$ ويمتصّ الأخرى (وهو صفيحة من جزيئات طويلة مصفوفة، تنقل على امتداد طولها — ومنه يكون الاستقطاب النافذ عموديًّا على الجزيئات). وضوء مستقطَب خطيًّا شدته $I_0$ وجهته تصنع الزاوية $\theta$ مع $\vect p$ يخرج مستقطَبًا خطيًّا على امتداد $\vect p$ بشدة

I = I_0\cos^2\theta \qquad\text{(مالوس)} ;

ويخرج الضوء الطبيعي بالشدة $I_0/2$ ، مستقطَبًا على امتداد $\vect p$ . ومستقطِبان متعامدان لا ينفذان شيئًا؛ وثالث يُدخَل بينهما عند $45{}^{\circ}$ ينفذ $I_0/8$ .

برهان. السعة النافذة هي $E_0\cos\theta$ و $I \propto E_0^2$ . وأما الضوء الطبيعي: فمتوسط $\cos^2\theta$ على كل $\theta$ ، أي $\tfrac12$ . والمستقطِبات الثلاثة: $\tfrac12\cdot\cos^2 45^\circ\cdot\cos^2 45^\circ = \tfrac18$ — فالمستقطِب الأوسط لا يوهن فحسب، بل يدير الاستقطاب. ∎

على اليسار: ضوء طبيعي عبر ثلاثة مستقطِبات عند 0 و 45 و 90 — فيمرّر الأوسط ثمنًا عبر زوج كان وحده ليحجب كل شيء. وعلى اليمين: قانون مالوس. — على اليسار: ضوء طبيعي عبر ثلاثة مستقطِبات عند $0^\circ$ و $45^\circ$ و $90^\circ$ — فيمرّر الأوسط ثمنًا عبر زوج كان وحده ليحجب كل شيء. وعلى اليمين: قانون مالوس.

مثال 13.5 (النظارات الشمسية والشاشات والصور)

الضوء المنعكس بزاوية مائلة عن الماء أو الإسفلت مستقطَب أفقيًّا في معظمه (زاوية بروستر، الفصل 15): فالنظارات الشمسية ذات محور النفاذ الشاقولي تقصّ الوهج وتبقي الباقي. وتبثّ شاشة البلورات السائلة ضوءًا مستقطَبًا: فعبر مستقطِب عند $90{}^{\circ}$ تسودّ. ويعتم مرشّح المصوّر المستقطِب السماء (فالضوء المنثور مستقطَب جزئيًّا، الفصل 17) ويزيل انعكاسات الزجاج.

13.3 الانكسار المزدوج والصفائح الموجية

قضية 13.6 (الصفائح الموجية)

في بلورة مضاعفة الانكسار (كالكلسيت والكوارتز والميكا؛ وكذلك صفيحة بلاستيكية ممدودة) تنقسم موجة تنتشر على امتداد جهة معطاة إلى استقطابين خطيين، على امتداد المحورين السريع و البطيء للصفيحة، ينتقلان بقرينتي انكسار مختلفتين $n_f < n_s$ (مسلَّم به — إذ تستجيب البلورة استجابةً مختلفة على امتداد محاورها). و صفيحة سماكتها $e$ تؤخّر المركّبة البطيئة بالطور

\delta = \frac{2\pi}\lambda(n_s - n_f)\,e .

والصفيحة نصف الموجية ( $\delta = \pi$ ) تحوّل استقطابًا خطيًّا عند الزاوية $\alpha$ عن المحور السريع إلى استقطاب خطي عند $-\alpha$ : أي تديره بالمقدار $2\alpha$ . والصفيحة ربع الموجية ( $\delta = \pi/2$ ) تحوّل استقطابًا خطيًّا عند $45{}^{\circ}$ عن محوريها إلى ضوء دائري، والضوء الدائري إلى خطي؛ وعند زوايا أخرى، إلى ضوء إهليلجي محاوره على امتداد محوري الصفيحة.

برهان. المجال الوارد $E_0(\cos\alpha\,\vect e_f + \sin\alpha\,\vect e_s)\cos\omega t$ ؛ وبعد الصفيحة، $E_0[\cos\alpha\cos\omega t\,\vect e_f + \sin\alpha\cos(\omega t - \delta) \vect e_s]$ . وعند $\delta = \pi$ تنقلب إشارة $\vect e_s$ : فالجهة $(\cos\alpha, -\sin\alpha)$ . وعند $\delta = \pi/2$ ، $\alpha = 45^\circ$ : $(E_0/\sqrt2)(\cos \omega t, \sin\omega t)$ ، أي دائرة. ∎

حالات استقطاب موجة مستوية، منظورةً في مواجهة الضوء المقبل، وصفيحة مضاعفة الانكسار بمحوريها السريع والبطيء.

مثال 13.7 (أين تُستعمل الصفائح)

صفيحة ربع موجية بين مستقطِب ومرآة تصنع عازلًا بصريًّا: إذ يخرج الضوء دائريًّا، ويعود دائريًّا بالدوران المعاكس، وتحوّله الصفيحة إلى ضوء خطي عند $90{}^{\circ}$ عن المستقطِب فيُمتصّ — فلا ينعكس شيء عائدًا إلى الليزر. وتُعرض صورتا العينين في فيلم ثلاثي الأبعاد باستقطابين دائريين متعاكسين وتفرزهما شطائر الصفيحة ربع الموجية مع المستقطِب في النظارة، وهي تعمل مع ذلك حين تميل رأسك (والمستقطِبات الخطية ما كانت لتعمل). ومسطرة شفافة بين مستقطِبين متعامدين تُظهر أهدابًا ملوَّنة: فالإجهاد يجعل البلاستيك مضاعف الانكسار، ويقرأ المهندسون إجهادات نموذج من النقش.

طريقة 13.8 (تتبّع استقطاب عبر البصريات)

(1) اختر المحاور؛ واكتب المجال الوارد مركّبتين مع فرق طورهما. (2) والمستقطِب: احتفظ بالمسقط على محوره (السعة $\times\cos$ ، والشدة $\times\cos^2$ ؛ والضوء الطبيعي $\times\tfrac12$ ). (3) والصفيحة: اسقط على محوريها السريع والبطيء، وأخّر البطيء بالمقدار $\delta$ ، ثم أعد التركيب. (4) واقرأ النتيجة: فالطور $0$ أو $\pi$ يعني خطيًّا، و $\pm\pi/2$ بسعتين متساويتين يعني دائريًّا. (5) ولاختبار حزمة مجهولة: أدر مستقطِبًا (فتتغير الشدة: أي جزء خطي أو إهليلجي)، ثم أضف صفيحة ربع موجية (فيصير الدائري خطيًّا ويمكن إطفاؤه).

13.4 تمارين

تمرين 13.1 ★

محطة إذاعية على التضمين الترددي عند $100\,\mathrm{MHz}$ تعطي، عند مستقبل، شدة مقدارها $1.0\,\text{µ}\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$ . أوجد طول الموجة والعدد الموجي والدور؛ والسعتين $E_0$ و $B_0$ ؛ وكثافة الطاقة؛ والقوة المحركة المحرَّضة في هوائي طوله $1\,\mathrm{m}$ مصفوف مع $\vect E$ ؛ وتدفق الفوتونات (في المتر المربع والثانية).

حل

حل التمرين 13.1.

$\lambda = 3.0\,\mathrm{m}$ ، و $k = 2.1\,\mathrm{rad}/\mathrm{m}$ ، و $T = 10\,\mathrm{ns}$ ؛ و $E_0 = \sqrt{2I/\varepsilon_0c} = 27\,\mathrm{mV}/\mathrm{m}$ ، و $B_0 = 9 \times 10^{-11}\,\mathrm{T}$ ؛ و $u = I/c = 3.3 \times 10^{-15}\,\mathrm{J}/\mathrm{m}^{3}$ ؛ والقوة المحركة $E_0 \times 1\,\mathrm{m} = 27\,\mathrm{mV}$ ؛ و $I/hf = 10^{-6}/6.6 \times 10^{-26} = 1.5 \times 10^{19}\,\mathrm{m}^{-2}\,\mathrm{s}^{-1}$ .

تمرين 13.2 ★

أوجد التواتر وطاقة الفوتون (بالإلكترون فولت) من أجل $\lambda = 1\,\mathrm{km}$ و $10\,\mathrm{cm}$ و $10\,\text{µ}\mathrm{m}$ و $550\,\mathrm{nm}$ و $10\,\mathrm{nm}$ و $0.1\,\mathrm{nm}$ و $1\,\mathrm{pm}$ ؛ وسمِّ حزمة كل منها؛ وطول موجة شعاع غاما مقداره $1\,\mathrm{MeV}$ وطول موجة الخلفية الكونية عند $2.7\,\mathrm{K}$ (وذروتها بجوار $160\,\mathrm{GHz}$ ).

حل

حل التمرين 13.2.

$300\,\mathrm{kHz}$ (و $1.2 \times 10^{-9}\,\mathrm{eV}$ ، راديو)؛ و $3\,\mathrm{GHz}$ (و $1.2 \times 10^{-5}\,\mathrm{eV}$ ، موجات صغرية)؛ و $30\,\mathrm{THz}$ (و $0.12\,\mathrm{eV}$ ، تحت الأحمر)؛ و $545\,\mathrm{THz}$ (و $2.25\,\mathrm{eV}$ ، مرئي)؛ و $3 \times 10^{16}\,\mathrm{Hz}$ (و $124\,\mathrm{eV}$ ، فوق بنفسجي أقصى)؛ و $3 \times 10^{18}\,\mathrm{Hz}$ (و $12\,\mathrm{keV}$ ، سينية)؛ و $3 \times 10^{20}\,\mathrm{Hz}$ (و $1.2\,\mathrm{MeV}$ ، غاما). و $1\,\mathrm{MeV}$ : $1.2\,\mathrm{pm}$ ؛ و $160\,\mathrm{GHz}$ : $1.9\,\mathrm{mm}$ .

تمرين 13.3 ★

ضوء مستقطَب خطيًّا شدته $I_0$ يقع على مستقطِب عند $30{}^{\circ}$ ، ثم على ثانٍ عند $60{}^{\circ}$ عن الأول، ثم على ثالث عند $90{}^{\circ}$ عن الأول: أوجد الشدة بعد كل واحد. والأمر نفسه مع الضوء الطبيعي. وانزع الأوسط: فما الذي يتغير؟

حل

حل التمرين 13.3.

$0.75I_0$ و $0.56I_0$ و $0.42I_0$ ؛ وبالضوء الطبيعي: $0.375$ و $0.28$ و $0.21$ . ودون الأوسط: $0.75 \times \cos^260^\circ = 0.19I_0$ (والطبيعي $0.125I_0$ ): فالمستقطِب الوسيط يمرّر أكثر بإدارته الاستقطاب.

تمرين 13.4 ★

تحقق من أن $\vect E = E_0\cos(\omega t - kz)\,\vect e_x$ و $\vect B = (E_0/c)\cos(\omega t - kz)\,\vect e_y$ يحققان معادلات ماكسويل الأربع في الخلاء حين يكون $\omega = kc$ . وأي معادلة تحدّد جهة $\vect B$ ، وأيها تحدّد طويلته؟ وماذا يحدث لو جُرّب $\vect E$ على امتداد $\vect e_z$ ؟

حل

حل التمرين 13.4.

$\operatorname{div}\vect E = \partial_xE_x = 0$ ، و $\operatorname{div}\vect B = 0$ ؛ و $\operatorname{\vect{curl}}\vect E = E_0k\sin(\omega t - kz)\,\vect e_y = -\partial_t\vect B$ إذا وفقط إذا كان $\omega = kc$ — ففاراداي يحدّد الجهة ( $\vect e_y$ ) والطويلة ( $E_0/c$ ) للمجال $\vect B$ ؛ و $\operatorname{\vect{curl}}\vect B = -(E_0k/c)\sin(\omega t - kz)\,\vect e_x = \mu_0\varepsilon_0\partial_t\vect E$ . ولو كان $\vect E$ على امتداد $\vect e_z$ لكان $\operatorname{div} \vect E \ne 0$ بلا شحنة: وهو مستحيل — فالموجة مستعرضة.

تمرين 13.5 ★★

الضوء الدائري. (أ) اكتب مجال موجة مستقطَبة استقطابًا دائريًّا على امتداد $z$ وبيّن أن $|\vect E|$ ثابت بينما تدور جهته بالسرعة $\omega$ . (ب) وبيّن أن مجموع موجتين دائريتين يمينية ويسارية متساويتي السعة مستقطَب خطيًّا، على امتداد جهة يحدّدها فرق طورهما. (ج) وعبر مستقطِب، ماذا يعطي الضوء الدائري، وهل تتوقف الشدة على زاوية المستقطِب؟ (د) فكيف يمكن إذًا تمييز الضوء الدائري من الضوء الطبيعي؟

حل

حل التمرين 13.5.

(أ) $\vect E = E_0(\cos(\omega t - kz), \pm\sin(\omega t - kz), 0)$ : فمقياسه $E_0$ ، وزاويته $\pm(\omega t - kz)$ . (ب) $(\cos, \sin) + (\cos, -\sin) = (2\cos, 0)$ : أي خطي على امتداد $x$ ؛ وفرق طور $\varphi$ يدير الجهة بالمقدار $\varphi/2$ . (ج) $I_0/2$ عند كل زاوية. (د) وصفيحة ربع موجية تحوّل الضوء الدائري إلى ضوء خطي يطفئه مستقطِب عندئذ؛ وأما الضوء الطبيعي فيبقى غير مستقطَب.

تمرين 13.6 ★★

للكوارتز $n_s - n_f = 0.0091$ عند $589\,\mathrm{nm}$ . (أ) أوجد سماكة صفيحة ربع موجية من أدنى رتبة؛ وصفيحة نصف موجية. (ب) وصفيحة ربع موجية من أجل $589\,\mathrm{nm}$ مستعملة عند $450\,\mathrm{nm}$ : أوجد تأخّر الطور (بإهمال تغيّر القرينتين)؛ وماذا يخرج من أجل ضوء خطي عند $45{}^{\circ}$ ؟ (ج) ولماذا تكون الصفائح «المتعددة الرتب» (وسماكتها $e + m\lambda/(n_s - n_f)$ ) أشدّ حساسية لطول الموجة ولدرجة الحرارة؟ (د) ولماذا يجب ضبط سماكة الصفيحة إلى أفضل من الميكرومتر؟

حل

حل التمرين 13.6.

(أ) $e = \lambda/4(n_s - n_f) = 16\,\text{µ}\mathrm{m}$ ؛ والنصف موجية $32\,\text{µ}\mathrm{m}$ . (ب) $\delta = (\pi/2)(589/450) = 2.1\,\mathrm{rad}$ : أي ضوء إهليلجي. (ج) $\delta \propto e/\lambda$ : فلصفيحة من $m + \tfrac14$ موجة يكون $\dd\delta/\dd\lambda$ و $\dd\delta/\dd T$ أكبر بالمعامل $4m + 1$ . (د) $\delta \propto e$ : فميكرومتر على $16\,\text{µ}\mathrm{m}$ هو $6\%$ من $\pi/2$ .

تمرين 13.7 ★★

الصفيحة نصف الموجية. (أ) بيّن أن ضوءًا خطيًّا عند الزاوية $\alpha$ عن المحور السريع يخرج خطيًّا عند $-\alpha$ . (ب) ومنه فصفيحة تُدار بالمقدار $\beta$ تدير الاستقطاب بالمقدار $2\beta$ : فأي إدارة للصفيحة تحوّل استقطابًا شاقوليًّا إلى أفقي؟ (ج) وماذا تفعل الصفيحة نصف الموجية بالضوء الدائري؟ (د) وبين مستقطِبين متعامدين، تُدار صفيحة نصف موجية ببطء: ارسم تخطيطيًّا الشدة النافذة بدلالة زاويتها.

حل

حل التمرين 13.7.

(أ) تتغير المركّبة البطيئة إشارةً: $(\cos\alpha, \sin\alpha) \to (\cos\alpha, -\sin\alpha)$ . (ب) واستقطاب بزاوية $\alpha$ عن صفيحة عند $\beta$ يخرج عند $2\beta - \alpha$ : فالإدارة $2\beta$ ؛ أي $45{}^{\circ}$ . (ج) وتعكس جهة الدوران. (د) $I = I_0\sin^22\beta$ : أي أربع ذرى وأربعة إطفاءات في الدورة.

تمرين 13.8 ★★

تُوضع $N$ من المستقطِبات واحدًا تلو الآخر، كل واحد مُدار بالمقدار $\pi/2N$ عن السابق، والأخير عند $90{}^{\circ}$ عن الأول. أوجد نفاذ ضوء مستقطَب خطيًّا مصفوف مع الأول من أجل $N = 1, 2, 5, 10, 100$ ؛ والنهاية عند $N \to \infty$ (باستعمال $\cos^{2N}(\pi/2N) \approx 1 - \pi^2/4N$ ). وعلّق: فيمكن إدارة استقطاب بمقدار $90{}^{\circ}$ بلا ضياع — فبماذا؟

حل

حل التمرين 13.8.

$\cos^{2N}(\pi/2N)$ : أي $0$ و $0.25$ و $0.61$ و $0.78$ و $0.976$ و $\to 1$ . ووسط ملتوٍ التواءً متصلًا (كالفعالية الضوئية، أو خلية بلورات سائلة) يدير الاستقطاب بلا ضياع.

تمرين 13.9 ★★

الاستقطاب الجزئي. مستقطِب دوّار أمام حزمة يعطي شدة عظمى $I_{\max}$ وشدة صغرى $I_{\min}$ . (أ) نمذج الحزمة ضوءًا طبيعيًّا $I_n$ مع ضوء مستقطَب خطيًّا $I_p$ : وعبّر عن $I_{\max}$ و $I_{\min}$ ؛ ودرجة الاستقطاب $p = I_p/(I_n + I_p) = (I_{\max} - I_{\min})/(I_{\max} + I_{\min})$ . (ب) والسماء الزرقاء عند $90{}^{\circ}$ عن الشمس: $I_{\max}/I_{\min} = 5$ : أوجد $p$ . (ج) والضوء المنعكس عن بحيرة بجوار زاوية بروستر، $p = 0.9$ : فكم تستطيع نظارة شمسية مستقطِبة أن تزيل؟ (د) وهل يستطيع مستقطِب وحده أن يميّز الضوء المستقطَب خطيًّا جزئيًّا من الضوء المستقطَب دائريًّا جزئيًّا؟ وما اللازم لذلك؟

حل

حل التمرين 13.9.

(أ) $I_{\max} = I_n/2 + I_p$ ، و $I_{\min} = I_n/2$ ؛ و $p = I_p/(I_n + I_p) = (I_{\max} - I_{\min})/(I_{\max} + I_{\min})$ . (ب) $p = 4/6 = 0.67$ . (ج) ويمرّر المستقطِب المتعامد $I_n/2 = 0.05I$ : أي $95\%$ مُزال. (د) لا — فكلاهما يعطي شدة ثابتة؛ ويلزم صفيحة ربع موجية.

تمرين 13.10 ★★★

حزمتان متقاطعتان. موجتان مستويتان متقدمتان توافقيتان متساويتا السعة و التواتر، وكلتاهما مستقطَبة على امتداد $\vect e_y$ ، تنتشران في المستوي $xz$ بزاويتين $\pm\theta$ عن $z$ . (أ) اكتب المجال الكلي وبيّن أنه موجة تنتقل على امتداد $z$ سعتها مضمَّنة على امتداد $x$ بالعامل $\cos(kx\sin\theta)$ . (ب) وأوجد تباعد المستويات المظلمة (أي أهداب التداخل)؛ والقيم من أجل $\lambda = 633\,\mathrm{nm}$ و $\theta = 5{}^{\circ}$ ، ومن أجل $\theta = 90{}^{\circ}$ (أي متعاكستي الانتشار). (ج) وسرعة طور النقش على امتداد $z$ ؛ وقارنها بالسرعة $c$ ؛ وهل ينتقل شيء أسرع من الضوء؟ (د) واحسب متجهة بوينتنغ الوسطية زمنيًّا وبيّن أن مركّبتها على امتداد $x$ تنعدم: فالطاقة تجري على امتداد $z$ في المستويات المضيئة.

حل

حل التمرين 13.10.

(أ) الطوران $\omega t - k(z\cos\theta \pm x\sin\theta)$ : والمجموع $2E_0\cos(kx\sin\theta)\cos(\omega t - kz\cos\theta)\,\vect e_y$ . (ب) $\Delta x = \lambda/2\sin\theta$ : أي $3.6\,\text{µ}\mathrm{m}$ عند $5{}^{\circ}$ ، و $\lambda/2 = 316\,\mathrm{nm}$ عند $90{}^{\circ}$ . (ج) $v_\varphi = c/\cos\theta > c$ : وهي سرعة طور نقش؛ وتمضي الطاقة على امتداد $z$ بالسرعة $c\cos\theta$ (وكل موجة بالسرعة $c$ ). (د) $B_z = (\sin\theta/c)(E_1 - E_2)$ ، و $E_y = E_1 + E_2$ : ومنه $\langle\Pi_x\rangle \propto \langle E_1^2 - E_2^2\rangle = 0$ ؛ و $\Pi_z \propto \cos\theta(E_1 + E_2)^2$ ، وهو أعظمي في المستويات المضيئة.

تمرين 13.11 ★★★

بكسل البلورات السائلة. خلية نيماتية ملتوية بين مستقطِبين متعامدين تدير استقطاب الضوء بمقدار $90{}^{\circ}$ حين لا يُطبَّق توتر (إذ يلتوي اصطفاف الجزيئات عبر الخلية ويتبعه الاستقطاب — مسلَّم به)، ولا تديره إطلاقًا حين تفكّ بضعة فولتات التواء الجزيئات. (أ) أوجد النفاذ في الحالتين: فأيتهما مضيئة؟ (ب) والخلايا الحقيقية تدير بمقدار $90^\circ \pm 5^\circ$ عند طول الموجة التصميمي: أوجد نسبة التباين $I_{\text{مضيء}}/I_{\text{مظلم}}$ إذا تسرّبت الحالة المظلمة عبر خطأ متبقٍّ مقداره $5{}^{\circ}$ . (ج) ولماذا تسرّب خلية مصمَّمة لطول الموجة $550\,\mathrm{nm}$ شيئًا من الأزرق والأحمر في الحالة المظلمة (بعدّ الإدارة رصةً من مؤخِّرات رقيقة كثيرة شبيهة بنصف موجية)؟ (د) والبكسل الملوَّن يستعمل ثلاث خلايا كهذه مع مرشّحات؛ فلماذا تسودّ الشاشة عبر مستقطِب عند زاوية ما، وماذا تقول لك تلك الزاوية؟

حل

حل التمرين 13.11.

(أ) دون توتر: مُدار بمقدار $90{}^{\circ}$ ، فيمرّ عبر المستقطِب المتعامد: أي مضيء؛ ومع التوتر: مظلم. (ب) والتسرّب $\sin^25^\circ = 7.6 \times 10^{-3}$ : فالتباين $130$ . (ج) ويعمل الالتواء رصةَ مؤخِّرات $\delta \propto 1/\lambda$ فيها: فهو تام عند $550\,\mathrm{nm}$ ، وتختلّ الإدارة عند طرفي الطيف، فيتسرّبان — وتبدو الحالة المظلمة أرجوانية. (د) وحين يكون المستقطِب الخارجي متعامدًا مع مستقطِب خرج الشاشة؛ والزاوية هي محور استقطاب الشاشة.

تمرين 13.12 ★★★

الفعالية الضوئية. في محلول سكري ينتقل الاستقطابان الدائريان بقرينتي انكسار مختلفتين قليلًا $n_L$ و $n_R$ . (أ) حلّل استقطابًا خطيًّا إلى مركّبتين دائريتين وبيّن أن الاستقطاب يبقى خطيًّا بعد الطول $\ell$ لكنه مُدار بالزاوية $\theta = \pi(n_L - n_R)\ell/\lambda$ . (ب) وأنبوب طوله $1\,\mathrm{dm}$ من محلول سكروز تركيزه $0.10\,\mathrm{g}/\mathrm{mL}$ يدير ضوء الصوديوم بمقدار $6.65{}^{\circ}$ : أوجد $n_L - n_R$ . (ج) ومقياس السكر يقيس $\theta$ حتى $0.01{}^{\circ}$ : أوجد الدقة على التركيز. (د) ويُنتَج الأثر نفسه في الزجاج بمجال مغناطيسي على امتداد الحزمة (أثر فاراداي، $\theta = VB\ell$ مع $V \approx 4\,\mathrm{rad}\,\mathrm{T}^{-1}\,\mathrm{m}^{-1}$ ): فلماذا لا يلغي المدير الفاراداي، خلافًا لأنبوب السكر، إدارته حين يُعاد إرسال الضوء، وكيف يصنع ذلك عازلًا؟

حل

حل التمرين 13.12.

(أ) $\vect e_x = \tfrac12[(\vect e_x + \iu\vect e_y) + (\vect e_x - \iu\vect e_y)]$ ؛ وبعد $\ell$ يكون للمركّبتين الطوران $k_L\ell$ و $k_R\ell$ ، وتتراكبان فتعطيان ضوءًا خطيًّا بالزاوية $(k_L - k_R)\ell/2 = \pi(n_L - n_R)\ell/\lambda$ . (ب) $n_L - n_R = \theta\lambda/\pi\ell = 0.116 \times 589 \times 10^{-9}/0.314 = 2.2 \times 10^{-7}\,$ . (ج) $0.01/6.65 \times 0.1 = 1.5 \times 10^{-4}\,\mathrm{g}/\mathrm{mL}$ . (د) وإدارة فاراداي يحدّدها $\vect B$ ، لا جهة السير: فتُضاف في رحلة العودة ( $45{}^{\circ}$ $+$ $45{}^{\circ}$ $=$ $90{}^{\circ}$ )، ويحجب مستقطِب الدخل الضوء العائد — أي عازل.

نظارة شمسية مستقطِبة أمام بحيرة: الوهج، المنعكس بجوار زاوية بروستر والمستقطَب أفقيًّا، يقصّه محور النفاذ الشاقولي في العدستين، فيظهر قاع البحيرة.

13.5 مسألة: الموجة والشاشة والشراع

مسألة 13.1

مسألة نهاية الأسبوع — حزمة ليزر مفكَّكة إلى مجالاتها، وشاشة ترسم بالاستقطاب، ومركبة فضائية تُبحر على الضوء

الجزء I — الحزمة. ليزر هليوم–نيون يبثّ $10\,\mathrm{mW}$ عند $632.8\,\mathrm{nm}$ في حزمة قطرها $1.0\,\mathrm{mm}$ ، مستقطَبة خطيًّا على امتداد $x$ ، تنتقل على امتداد $z$ .

التواتر والعدد الموجي وطاقة الفوتون؛ وعدد الفوتونات المبثوثة في الثانية.
الشدة؛ والسعتان $E_0$ و $B_0$ ؛ واكتب $\vect E(z, t)$ و $\vect B(z, t)$ .
كثافة الطاقة (الوسطى) والطاقة المحتواة في $1\,\mathrm{m}$ من الحزمة؛ وكم يبلغ طول الحزمة المبثوثة في $1\,\mathrm{ns}$ ، وكم طول موجة تحوي؟
متجهة بوينتنغ: قيمتها الوسطى وتذبذبها؛ وكمية الحركة المحمولة في الثانية؛ والقوة على هدف أسود وعلى مرآة.
قارن $E_0$ بالمجال الذي يربط الإلكترون في ذرة الهيدروجين ( $5 \times 10^{11}\,\mathrm{V}/\mathrm{m}$ ) و $B_0$ بمجال الأرض ( $50\,\text{µ}\mathrm{T}$ ).
ضغط الإشعاع على مصدّ حزمة أسود، بالباسكال.
وإلكترون حرّ يوضع في الحزمة: أوجد سعة تذبذب سرعته في المجال الكهربائي (بإهمال القوة المغناطيسية أولًا)؛ ونسبة القوة المغناطيسية إلى الكهربائية عليه — ولماذا تكون القوة المغناطيسية مهمَلة في المادة في الضوء العادي؟
اكتب مجالات الحزمة نفسها لو كانت مستقطَبة دائريًّا؛ وما الذي يتغير في الشدة، وفي متجهة بوينتنغ، وفي توقفها على الزمن؟
وتمرّ الحزمة عبر مستقطِب محوره يصنع $30{}^{\circ}$ مع $x$ : أوجد الاستطاعة النافذة؛ ثم عبر ثانٍ متعامد مع الأول: الاستطاعة؛ ثم أدخل بينهما ثالثًا عند $45{}^{\circ}$ عن الأول: الاستطاعة.

الجزء II — الشاشة. شاشة بلورات سائلة: إضاءة خلفية (ضوء طبيعي)، ومستقطِب، و الخلية، ومستقطِب متعامد. ودون توتر تدير الخلية الاستقطاب بمقدار $90{}^{\circ}$ ؛ ومع التوتر لا تفعل شيئًا.

النسبة النافذة من شدة الإضاءة الخلفية في الحالة المضيئة (بمستقطِبين مثاليين)؛ وفي الحالة المظلمة.
ويجعل توتر وسطي الخلية تسلك سلوك مؤخِّر بطور $\delta$ بين محوريها، وهما عند $45{}^{\circ}$ عن المستقطِبين (بلا إدارة): بيّن أن النفاذ $\sin^2(\delta/2)$ — وهو سلّم الرمادي.
ومنظورةً عبر مستقطِب مُدار إلى $90{}^{\circ}$ عن مستقطِب خرج الشاشة، ماذا يُرى؟ وعند $45{}^{\circ}$ ؟
وصفيحة ربع موجية ملصوقة على الشاشة عند $45{}^{\circ}$ عن مستقطِبها تجعل الخرج دائريًّا: فما الفائدة لناظر يرتدي نظارة شمسية مستقطِبة؟
والمستقطِبات المثالية كانت لتمرّر نصف الإضاءة الخلفية في الحالة المضيئة؛ وتمرّر الصفائح الحقيقية $85\%$ من المثالي لكل واحدة، وتمرّر مرشّحات ألوان البكسل ثلث الضوء: أوجد النسبة من استطاعة الإضاءة الخلفية التي تبلغ الناظر في الأبيض؛ وسمِّ الموضعين اللذين يضيع فيهما معظم الضوء.
والصفائح المتعامدة الحقيقية تسرّب $0.1\%$ من الضوء: أوجد نسبة تباين الشاشة (المضيء على المظلم) في غرفة مظلمة.
و«المستقطِبات الدائرية» عند المصوّرين مستقطِب خطي يتبعه صفيحة ربع موجية عند $45{}^{\circ}$ : فماذا تتلقى الكاميرا، ولماذا يكون ذلك أفضل لمقسّم الحزمة الحساس للاستقطاب في تركيزها التلقائي من الضوء الخطي؟
ولماذا تستعمل نظارات السينما الثلاثية الأبعاد استقطابًا دائريًّا لا خطيًّا؟ وماذا يحدث للتداخل بين العينين إذا أمال الناظر رأسه $20{}^{\circ}$ بنظارة خطية (أي الشدة المتسرّبة إلى العين الخطأ)؟

الجزء III — الشراع. شراع شمسي مساحته $S = 1000\,\mathrm{m}^{2}$ وكتلته الكلية $m = 50\,\mathrm{kg}$ ، عاكس عكسًا تامًّا، على $D = 1.0\,\mathrm{au} = 1.5 \times 10^{11}\,\mathrm{m}$ من الشمس ( $I = 1.36\,\mathrm{kW}/\mathrm{m}^{2}$ ؛ وثقالة الشمس $5.9 \times 10^{-3}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ هناك).

قوة الإشعاع حين يواجه الشراع الشمس؛ والتسارع؛ والنسبة إلى ثقالة الشمس.
ويُمال الشراع بالزاوية $\theta$ عن مواجهة الشمس: بيّن أن القوة ناظمية على الشراع وتتناسب مع $\cos^2\theta$ (فالاستطاعة المعترَضة $\times\cos\theta$ ، وتغيّر كمية الحركة على امتداد الناظمة $\times\cos\theta$ ).
وكي يحلزن الشراع خارجًا يبقي مركّبة قوة على امتداد سرعته المدارية: أوجد، من أجل $\theta = 35{}^{\circ}$ ، التسارع المماسي؛ والسرعة المكتسبة في السنة؛ وقارنها بسرعة الأرض المدارية ( $30\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ ).
ولماذا ينال الشراع نفسه، بجوار عطارد ( $D = 0.39\,\mathrm{au}$ )، $6.6$ أضعاف القوة، ولماذا تبقى النسبة إلى الثقالة على حالها؟
وغشاء الشراع $2\,\text{µ}\mathrm{m}$ من بلاستيك مؤلمَن: أوجد درجة حرارته في ضوء الشمس إذا امتصّ $10\%$ وأشعّ من وجهيه إشعاعَ جسم أسود ( $\sigma = 5.67 \times 10^{-8}\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}\,\mathrm{K}^{-4}$ ).
الزمن اللازم لكسب $1\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ في مواجهة الشمس؛ وما الذي كان شراع أسود (ماصّ) بالحجم نفسه ليبلغه؟
تحقق من كمية حركة الضوء بالفوتونات: أوجد عدد الفوتونات التي تصيب الشراع في الثانية (بمتوسط $2\,\mathrm{eV}$ ) و كمية حركة كل منها $hf/c$ ؛ ثم استعد القوة.
لخّص: المقادير الثلاثة التي تحملها الموجة (الطاقة، و كمية الحركة، والاستقطاب) والجهاز في هذه المسألة الذي يستثمر كلًّا منها.

حل

حل المسألة 13.1.

1. $f = 4.74 \times 10^{14}\,\mathrm{Hz}$ ، و $k = 9.9 \times 10^{6}\,\mathrm{rad}/\mathrm{m}$ ، و $hf = 3.1 \times 10^{-19}\,\mathrm{J} = 1.96\,\mathrm{eV}$ ؛ و $3.2 \times 10^{16}$ فوتون في الثانية.

2. $I = 0.01/\pi(0.5 \times 10^{-3})^2 = 1.3 \times 10^{4}\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$ ؛ و $E_0 = 3.1\,\mathrm{kV}/\mathrm{m}$ ، و $B_0 = 10\,\text{µ}\mathrm{T}$ ؛ و $\vect E = E_0\cos(\omega t - kz)\vect e_x$ ، و $\vect B = (E_0/c)\cos(\omega t - kz)\vect e_y$ .

3. $u = I/c = 4.2 \times 10^{-5}\,\mathrm{J}/\mathrm{m}^{3}$ ؛ و $P/c = 3.3 \times 10^{-11}\,\mathrm{J}$ في المتر من الحزمة؛ و $30\,\mathrm{cm}$ ، و $4.7 \times 10^5$ طول موجة.

4. $\langle\Pi\rangle = I$ على امتداد $z$ ، متذبذبة مثل $\cos^2$ عند $2f$ ؛ و $P/c = 3.3 \times 10^{-11}\,\mathrm{N}$ على الأسود، و $6.7 \times 10^{-11}\,\mathrm{N}$ على مرآة.

5. $E_0/5 \times 10^{11} = 6 \times 10^{-9}$ ؛ و $B_0$ خمس مجال الأرض.

6. $I/c = 4.2 \times 10^{-5}\,\mathrm{Pa}$ .

7. $v_0 = eE_0/m\omega = 0.18\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ؛ و $F_m/F_e = v_0B_0/E_0 = v_0/c = 6 \times 10^{-10}$ : فالقوة المغناطيسية على شحن بطيئة مهمَلة.

8. $\vect E = E_0[\cos(\omega t - kz)\vect e_x \pm \sin(\omega t - kz)\vect e_y]$ مع $E_0 = 2.2\,\mathrm{kV}/\mathrm{m}$ (والاستطاعة نفسها)، و $\vect B = \vect e_z\wedge\vect E/c$ : فتبقى الشدة على حالها لكن $\Pi = \varepsilon_0cE_0^2$ صار ثابتًا مع الزمن — فلم يعد جريان الطاقة ينبض.

9. $10\cos^230^\circ = 7.5\,\mathrm{mW}$ ؛ و $0$ ؛ و $7.5 \times \cos^445^\circ = 1.9\,\mathrm{mW}$ .

10. المضيء: $\tfrac12$ ؛ والمظلم: $0$ .

11. بعد المستقطِب الأول تتساوى المركّبتان على المحورين؛ وبعد المؤخِّر يكون بينهما الطور $\delta$ ؛ والمسقط على الجهة المتعامدة $\propto(1 - \eu^{\iu\delta})/2$ : ومنه $I \propto \sin^2(\delta/2)$ .

12. أسود؛ ونصف الشدة.

13. يبدو الخرج الدائري متساوي السطوع عبر نظارة شمسية مستقطِبة عند أي زاوية للرأس.

14. $\tfrac12 \times 0.85 \times 0.85 \times \tfrac13 = 12\%$ ؛ والمستقطِب الأول (فيُمتصّ النصف) ومرشّحات الألوان (الثلثان).

15. المضيء $0.36$ ، والمظلم $\tfrac12 \times 10^{-3}$ : فالتباين $\approx 700$ .

16. ضوء دائري، مهما تكن إدارة المرشّح: فيتلقى المقسّم الحساس للاستقطاب الاستطاعة نفسها مهما أُدير المرشّح.

17. يحفظ الاستقطاب الدائري جهة دورانه حين تميل الرأس؛ وأما النظارة الخطية المائلة $20{}^{\circ}$ فتسرّب $\sin^220^\circ = 12\%$ إلى العين الخطأ.

18. $F = 2IS/c = 9.1\,\mathrm{mN}$ ؛ و $a = 1.8 \times 10^{-4}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ ؛ أي $3\%$ من ثقالة الشمس.

19. الاستطاعة المعترَضة $\propto\cos\theta$ ، وتغيّر كمية حركتها الناظمي $2p\cos\theta$ : ومنه $F = (2IS/c)\cos^2\theta$ ناظميًّا.

20. $F = 9.1 \times \cos^235^\circ = 6.1\,\mathrm{mN}$ ، والجزء المماسي $F\sin35^\circ = 3.5\,\mathrm{mN}$ : ومنه $a_t = 7 \times 10^{-5}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ ، و $2.2\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ في السنة — أي $7\%$ من السرعة المدارية.

21. $(1/0.39)^2 = 6.6$ ؛ وتتغير الثقالة بالطريقة نفسها.

22. $0.1 \times 1360 = 2\sigma T^4$ : ومنه $T = 190\,\mathrm{K}$ — فتبقى المرآة باردة.

23. $1000/1.8 \times 10^{-4} = 5.6 \times 10^{6}\,\mathrm{s}$ ، أي شهران؛ والشراع الأسود ينال نصف القوة.

24. $1.36 \times 10^6/3.2 \times 10^{-19} = 4.3 \times 10^{21}\,$ فوتون في الثانية، لكل منها $hf/c = 1.1 \times 10^{-27}\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ؛ ومنعكسةً: $2Np = 9.1\,\mathrm{mN}$ .

25. الطاقة ( $u$ و $I$ ): مصدّ الحزمة والثنائي الضوئي. وكمية الحركة ( $I/c$ ): الشراع. والاستقطاب (مالوس، والصفائح): الشاشة ومستقطِباتها.

المصطلحات المعرَّفة في هذا الفصل

حالات الاستقطاب

عرض كل المصطلحات (431) في المسرد