Física universitaria — segundo año · Bachelor Year 2

12La energía electromagnética y el vector de Poynting

Una pila enciende una bombilla a través de dos hilos de cobre. ¿Por dónde viaja la energía? Resulta que no por dentro del cobre: allí los electrones se desplazan a un milímetro por segundo y no transportan casi nada. La energía fluye por el espacio que rodea a los hilos, en el campo electromagnético, y entra en el filamento de la bombilla por sus costados. El Sol entrega del mismo modo un kilovatio a cada metro cuadrado de un tejado soleado, a través de ciento cincuenta millones de kilómetros de vacío. Este capítulo deduce de las ecuaciones de Maxwell el balance de la energía electromagnética — cuánta se almacena en un campo y cuál es el vector, el de Poynting, que dice adónde va — y lo aplica a un hilo, a un condensador, a una bobina y a un haz de luz.

12.1 El balance de energía del campo

Teorema 12.1 (Teorema de Poynting)

Defínanse la densidad de energía electromagnética y el vector de Poynting

u = \frac{\varepsilon_0E^2}2 + \frac{B^2}{2\mu_0} \quad (\mathrm{J}/\mathrm{m}^{3}) , \qquad \vect\Pi = \frac{\vect E\wedge\vect B}{\mu_0} \quad (\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}) .

Las ecuaciones de Maxwell implican, en todo punto,

\frac{\partial u}{\partial t} + \operatorname{div}\vect\Pi = -\vect j\cdot\vect E ,

y, para todo volumen fijo $V$ limitado por $\Sigma$ ,

\frac{\dd}{\dd t}\iiint_Vu\,\dd\tau = -\iint_\Sigma\vect\Pi\cdot\vect n\,\dd S - \iiint_V\vect j\cdot\vect E\,\dd\tau :

la energía del campo contenida en $V$ disminuye en lo que sale por la frontera — el flujo de $\vect\Pi$ — y en lo que el campo entrega a las cargas ( $\vect j\cdot\vect E$ , la potencia de Joule en un conductor). $\vect\Pi$ es la densidad de flujo de energía: la potencia que atraviesa una superficie unidad normal a él.

Demostración. De Maxwell–Ampère, $\vect j = \operatorname{\vect{curl}}\vect B/\mu_0 - \varepsilon_0\partial_t \vect E$ , luego $\vect j\cdot\vect E = \vect E\cdot\operatorname{\vect{curl}}\vect B/\mu_0 - \partial_t(\varepsilon_0E^2/2)$ . La identidad $\operatorname{div}(\vect E\wedge\vect B) = \vect B \cdot\operatorname{\vect{curl}}\vect E - \vect E\cdot\operatorname{\vect{curl}}\vect B$ (compruébese por componentes) y Maxwell–Faraday dan $\vect E\cdot\operatorname{\vect{curl}} \vect B = -\operatorname{div}(\vect E\wedge\vect B) - \vect B\cdot\partial_t\vect B = -\mu_0 \operatorname{div}\vect\Pi - \partial_t(B^2/2)$ . Reuniendo: $\vect j\cdot\vect E = -\operatorname{div} \vect\Pi - \partial_tu$ . Intégrese sobre $V$ y aplíquese el teorema de la divergencia. ∎

Observación 12.2 (Qué queda fijado y qué no)

El teorema solo fija el flujo de $\vect\Pi$ por superficies cerradas y el $u$ total; añadir a $\vect\Pi$ cualquier campo de divergencia nula no cambiaría nada observable. La elección anterior es la más simple, es la que concuerda con la cantidad de movimiento que lleva la luz (más abajo) y se usa universalmente. Las densidades $\varepsilon_0E^2/2$ y $B^2/2\mu_0$ son las energías del condensador y de la bobina del volumen del Año 1, asignadas ahora a cada punto del espacio: un campo de $1\,\mathrm{MV}/\mathrm{m}$ (el límite de ruptura del aire) almacena $4.4\,\mathrm{J}/\mathrm{m}^{3}$ , y un campo de $1\,\mathrm{T}$ almacena $0.4\,\mathrm{MJ}/\mathrm{m}^{3}$ — cien mil veces más, y por eso el almacenamiento de energía en imanes, y no en condensadores, llega al megajulio.

12.2 Por dónde fluye la energía: tres circuitos

Ejemplo 12.3 (El hilo resistivo)

Un hilo cilíndrico de radio $a$ lleva la corriente constante $I$ bajo el campo $E = j/\gamma$ según su eje; justo fuera de él, $B = \mu_0I/2\pi a$ (azimutal). En la superficie, $\vect\Pi = \vect E\wedge\vect B/\mu_0$ apunta radialmente hacia dentro, con módulo $EI/2\pi a$ ; su flujo por la superficie lateral de una longitud $L$ vale $EI/2\pi a\times2\pi aL = (EL)I = UI = RI^2$ : el calor de Joule entra en el hilo por sus costados, entregado por el campo circundante, y no lo llevan los electrones por dentro del hilo. Dentro, $\Pi(r) = (E/\mu_0)(\mu_0Ir/2\pi a^2) = EIr/2\pi a^2$ : el flujo entrante decrece hacia el eje a medida que la energía se deposita capa a capa.

Ejemplo 12.4 (El condensador y el solenoide)

Un condensador de armaduras circulares que se carga: $\vect E$ axial, $\vect B = \mu_0\varepsilon_0(r/2)\dot E\,\vect e_\theta$ (Capítulo 11), luego $\vect\Pi = -\varepsilon_0(r/2)E\dot E\,\vect e_r$ , hacia dentro; por el cilindro de radio $R$ y altura $d$ su flujo vale $\varepsilon_0\pi R^2d\,E\dot E = \dd(\tfrac12 \varepsilon_0E^2\,\pi R^2d)/\dd t$ : la energía eléctrica entra por el borde. Un solenoide cuya corriente crece: $\vect B$ axial, el campo inducido $\vect E = -(r/2) \dot B\,\vect e_\theta$ , $\vect\Pi = -(rB\dot B/2\mu_0)\vect e_r$ , de nuevo hacia dentro, con flujo $\dd(B^2/2\mu_0\times\text{volumen})/\dd t$ . En todos los casos la energía llega al dispositivo por el campo exterior; los hilos solo guían el campo.

A la izquierda, un hilo que lleva corriente: el vector de Poynting, formado por el E axial y el B azimutal, apunta hacia el interior del hilo en toda su superficie; el calor de Joule entra por los costados. A la derecha, un condensador que se carga: la energía entra radialmente por el hueco, no por las armaduras. — A la izquierda, un hilo que lleva corriente: el vector de Poynting, formado por el $\vect E$ axial y el $\vect B$ azimutal, apunta hacia el interior del hilo en toda su superficie; el calor de Joule entra por los costados. A la derecha, un condensador que se carga: la energía entra radialmente por el hueco, no por las armaduras.

Observación 12.5 (Energía en un campo cruzado estático)

Un condensador cargado colocado en el campo de un imán permanente tiene $\vect\Pi = \vect E\wedge\vect B/\mu_0 \ne \vect 0$ en todo punto entre sus armaduras, aunque nada cambie y nada se caliente. No hay contradicción: allí $\vect\Pi$ tiene divergencia nula, sus líneas se cierran sobre sí mismas y su flujo por cualquier superficie cerrada se anula — el teorema no dice nada de un flujo que circula sin entregar nada. Solo los flujos por superficies cerradas son físicos.

Un cable coaxial que transporta potencia: un E radial y un B azimutal dan un vector de Poynting axial en el dieléctrico; su flujo sobre la corona comprendida entre los conductores vale exactamente UI — la potencia viaja por el aislante y el metal solo la guía. — Un cable coaxial que transporta potencia: un $\vect E$ radial y un $\vect B$ azimutal dan un vector de Poynting axial en el dieléctrico; su flujo sobre la corona comprendida entre los conductores vale exactamente $UI$ — la potencia viaja por el aislante y el metal solo la guía.

12.3 La luz: intensidad y presión de radiación

Proposición 12.6 (Energía de una onda plana)

Para una onda plana en el vacío — la solución de Capítulo 13, con $\vect B = \vect k\wedge\vect E/\omega$ , $B = E/c$ y $\vect E \perp \vect B$ — las densidades de energía eléctrica y magnética son iguales y

u = \varepsilon_0E^2 , \qquad \vect\Pi = \varepsilon_0cE^2\,\vect u = cu\,\vect u ,

siendo $\vect u$ la dirección de propagación: la energía viaja a $c$ . Para una onda sinusoidal de amplitud $E_0$ , la intensidad (irradiancia) es el flujo medio,

I = \langle\Pi\rangle = \frac{\varepsilon_0cE_0^2}2 = \frac{E_0^2}{2\mu_0c} ,

y la onda lleva una densidad de cantidad de movimiento $\vect\Pi/c^2$ (admitido), de modo que ejerce sobre una superficie que golpea con incidencia normal la presión de radiación $P = I/c$ si la absorbe y $2I/c$ si la refleja.

Demostración. $B^2/2\mu_0 = E^2/2\mu_0c^2 = \varepsilon_0E^2/2$ ; $\vect E\wedge\vect B/\mu_0 = E^2/\mu_0c = \varepsilon_0cE^2$ según $\vect k$ ; $\langle\cos^2\rangle = \tfrac12$ . La densidad de cantidad de movimiento $\vect\Pi/c^2$ se sigue de la fuerza de Lorentz sobre las cargas de la superficie absorbente (o de la relatividad: $p = E/c$ para la luz): la cantidad de movimiento $\Pi S\,\dd t/c^2\times c$ que llega por unidad de tiempo a una superficie $S$ es una fuerza $\Pi S/c$ . ∎

Ejemplo 12.7 (Luz solar, láser, microondas)

La luz solar en lo alto de la atmósfera, $I = 1.36\,\mathrm{kW}/\mathrm{m}^{2}$ : $E_0 = \sqrt{2I/\varepsilon_0c} = 1.0\,\mathrm{kV}/\mathrm{m}$ , $B_0 = E_0/c = 3.4\,\text{µ}\mathrm{T}$ , densidad de energía $4.5\,\text{µ}\mathrm{J}/\mathrm{m}^{3}$ , presión $4.5\,\text{µ}\mathrm{Pa}$ — $0.7\,\mathrm{kg}$ de fuerza sobre un kilómetro cuadrado, y aun así bastante para gobernar una vela solar y para soplar el polvo de un cometa hasta formar su cola. Un puntero láser de $1\,\mathrm{mW}$ sobre una mancha de $1\,\mathrm{mm}^{2}$ : $1\,\mathrm{kW}/\mathrm{m}^{2}$ , como el Sol; enfocado a $1\,\text{µ}\mathrm{m}^{2}$ : $1\,\mathrm{GW}/\mathrm{m}^{2}$ , $E_0 = 0.9\,\mathrm{MV}/\mathrm{m}$ , cerca de la ruptura del aire. Un microondas de $1\,\mathrm{kW}$ con una onda estacionaria que llena $30\,\mathrm{L}$ : densidad de energía $\sim 10^{-7}$ J/m $^3$ y $E_0$ de unos pocos kilovoltios por metro.

Una onda electromagnética plana: E, B y la dirección de propagación forman un triedro directo; el vector de Poynting apunta según la propagación y oscila al doble de la frecuencia, con valor medio igual a la intensidad. — Una onda electromagnética plana: $\vect E$ , $\vect B$ y la dirección de propagación forman un triedro directo; el vector de Poynting apunta según la propagación y oscila al doble de la frecuencia, con valor medio igual a la intensidad.

Método 12.8 (Contabilidad energética)

(1) Hállense $\vect E$ y $\vect B$ (estática, cuasiestática u ondas). (2) Fórmense $\vect\Pi = \vect E\wedge\vect B/\mu_0$ y $u$ . (3) Elíjase una superficie cerrada en torno al dispositivo y calcúlese el flujo de $\vect\Pi$ : debe igualar a la potencia de Joule más el ritmo de variación de la energía almacenada dentro — una comprobación de los campos. (4) Para una onda, la media de $\Pi$ es la intensidad; divídase por $c$ para la presión y por la energía del fotón $hf$ para el flujo de fotones.

12.4 Ejercicios

Ejercicio 12.1 ★

Luz solar en el suelo, $I = 1.0\,\mathrm{kW}/\mathrm{m}^{2}$ : amplitudes $E_0$ y $B_0$ , densidad de energía, presión de radiación sobre un tejado negro y sobre un espejo; fuerza sobre un tejado de $100\,\mathrm{m}^{2}$ ; flujo de fotones por metro cuadrado para una energía media por fotón de $2\,\mathrm{eV}$ .

Solución

Solución de Ejercicio 12.1.

$E_0 = \sqrt{2I/\varepsilon_0c} = 870\,\mathrm{V}/\mathrm{m}$ , $B_0 = E_0/c = 2.9\,\text{µ}\mathrm{T}$ ; $u = I/c = 3.3\,\text{µ}\mathrm{J}/\mathrm{m}^{3}$ ; $P = I/c = 3.3\,\text{µ}\mathrm{Pa}$ (negro), $6.7\,\text{µ}\mathrm{Pa}$ (espejo); $0.33\,\mathrm{mN}$ sobre el tejado; $I/hf = 1000/3.2 \times 10^{-19} = 3 \times 10^{21}\,\mathrm{m}^{-2}\,\mathrm{s}^{-1}$ .

Ejercicio 12.2 ★

Un puntero láser de $5\,\mathrm{mW}$ de $1.5\,\mathrm{mm}$ de diámetro de haz: intensidad, $E_0$ , $B_0$ ; el mismo haz enfocado a una mancha de $5\,\text{µ}\mathrm{m}$ ; un láser pulsado de $1\,\mathrm{PW}$ ( $1 \times 10^{15}\,\mathrm{W}$ ) enfocado a $10\,\text{µ}\mathrm{m}^{2}$ : $E_0$ , comparado con el campo que liga al electrón en un átomo de hidrógeno ( $5 \times 10^{11}\,\mathrm{V}/\mathrm{m}$ ).

Solución

Solución de Ejercicio 12.2.

Área $1.8\,\mathrm{mm}^{2}$ : $I = 2.8\,\mathrm{kW}/\mathrm{m}^{2}$ , $E_0 = 1.5\,\mathrm{kV}/\mathrm{m}$ , $B_0 = 4.9\,\text{µ}\mathrm{T}$ . Enfocado a $5\,\text{µ}\mathrm{m}$ : $I = 2.5 \times 10^{8}\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$ , $E_0 = 4.4 \times 10^{5}\,\mathrm{V}/\mathrm{m}$ . Petavatio: $I = 1 \times 10^{26}\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$ , $E_0 = 2.7 \times 10^{14}\,\mathrm{V}/\mathrm{m}$ , quinientas veces el campo atómico — el átomo queda desgarrado en un ciclo.

Ejercicio 12.3 ★

Densidades de energía: un campo eléctrico de $3\,\mathrm{MV}/\mathrm{m}$ (ruptura del aire); de $100\,\mathrm{MV}/\mathrm{m}$ (un aislante fino); un campo magnético de $0.1\,\mathrm{T}$ , $1.5\,\mathrm{T}$ (resonancia magnética) y $45\,\mathrm{T}$ (imán récord). Energía en un $1\,\mathrm{m}^{3}$ de túnel de resonancia magnética; su equivalente en litros de gasolina ( $35\,\mathrm{MJ}/\mathrm{L}$ ).

Solución

Solución de Ejercicio 12.3.

$\tfrac12\varepsilon_0E^2$ : $40\,\mathrm{J}/\mathrm{m}^{3}$ , $4.4 \times 10^{4}\,\mathrm{J}/\mathrm{m}^{3}$ . $B^2/2\mu_0$ : $4\,\mathrm{kJ}/\mathrm{m}^{3}$ , $0.9\,\mathrm{MJ}/\mathrm{m}^{3}$ , $8 \times 10^{8}\,\mathrm{J}/\mathrm{m}^{3}$ . El túnel de resonancia magnética guarda $0.9\,\mathrm{MJ}$ — $26\,\mathrm{mL}$ de gasolina.

Ejercicio 12.4 ★

Una vela solar de $100\,\mathrm{m}$ $\times$ $100\,\mathrm{m}$ , perfectamente reflectante, a la distancia de la Tierra ( $I = 1.36\,\mathrm{kW}/\mathrm{m}^{2}$ ): fuerza; aceleración de una nave de $200\,\mathrm{kg}$ ; celeridad ganada en un mes; compárese con la gravedad del Sol sobre la nave a esa distancia ( $5.9 \times 10^{-3}\,\mathrm{N}/\mathrm{kg}$ ).

Solución

Solución de Ejercicio 12.4.

$F = 2IA/c = 0.09\,\mathrm{N}$ ; $a = 4.5 \times 10^{-4}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ ; $1.2\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ en un mes; el Sol tira con $1.2\,\mathrm{N}$ : la vela no puede luchar contra la gravedad, sino que bordea contra ella en órbita.

Ejercicio 12.5 ★★

Un hilo de cobre de radio $a = 1\,\mathrm{mm}$ lleva $10\,\mathrm{A}$ ( $\gamma = 6 \times 10^{7}\,\mathrm{S}/\mathrm{m}$ ). (a) $E$ dentro, $B$ en la superficie y $\vect\Pi$ en la superficie (dirección y módulo). (b) Flujo de $\vect\Pi$ hacia $1\,\mathrm{m}$ de hilo; compárese con $RI^2$ . (c) $\Pi(r)$ dentro del hilo y potencia depositada entre $r$ y $r + \dd r$ ; compruébese que vale $j^2/\gamma\cdot2\pi r\,\dd r$ . (d) ¿De dónde viene la energía? Descríbase el campo entre la pila y el hilo.

Solución

Solución de Ejercicio 12.5.

(a) $j = 3.2 \times 10^{6}\,\mathrm{A}/\mathrm{m}^{2}$ , $E = j/\gamma = 0.053\,\mathrm{V}/\mathrm{m}$ ; $B = \mu_0I/2\pi a = 2\,\mathrm{mT}$ ; $\Pi = EB/\mu_0 = 84\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$ , radialmente hacia dentro. (b) $84 \times 2\pi a = 0.53\,\mathrm{W}$ por metro; $R = 1/\gamma\pi a^2 = 5.3\,\mathrm{m}\Omega/\mathrm{m}$ , $RI^2 = 0.53\,\mathrm{W}$ . (c) $\Pi(r) = EIr/2\pi a^2$ , luego $2\pi r\Pi = EIr^2/a^2$ y la corteza recibe $\dd(2\pi r\Pi) = 2EIr\,\dd r/a^2 = (j^2/\gamma)2\pi r\,\dd r$ . (d) Las cargas superficiales de la pila establecen un campo eléctrico a lo largo de todo el circuito, por fuera de los hilos; allí $\vect E\wedge\vect B$ lleva la energía de la pila a la carga.

Ejercicio 12.6 ★★

Condensador de armaduras circulares ( $R$ , $d$ ) cargado por $I$ . (a) $\vect E$ , $\vect B$ y $\vect\Pi$ entre las armaduras. (b) Flujo de $\vect\Pi$ por el cilindro lateral; muéstrese que iguala a $\dd W_e/\dd t$ . (c) Para $R = 5\,\mathrm{cm}$ , $d = 1\,\mathrm{mm}$ , $I = 1\,\mathrm{A}$ en el instante en que $E = 1\,\mathrm{MV}/\mathrm{m}$ : $\Pi$ en el borde y potencia entrante. (d) ¿Es despreciable la energía magnética?

Solución

Solución de Ejercicio 12.6.

(a) $E = Q/\varepsilon_0\pi R^2$ axial, $B = \mu_0Ir/2\pi R^2$ azimutal, $\vect\Pi = -\varepsilon_0 (r/2)E\dot E\,\vect e_r$ . (b) $\varepsilon_0(R/2)E\dot E\cdot2\pi Rd = \dd(\tfrac12\varepsilon_0E^2\pi R^2d)/ \dd t$ . (c) $\dot E = I/\varepsilon_0\pi R^2 = 1.4 \times 10^{13}\,\mathrm{V}\,\mathrm{m}^{-1}\,\mathrm{s}^{-1}$ ; $\Pi(R) = 3.2 \times 10^{6}\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$ ; por $2\pi Rd = 3.1 \times 10^{-4}\,\mathrm{m}^{2}$ : $1.0\,\mathrm{kW}$ $= UI$ con $U = Ed = 1\,\mathrm{kV}$ . (d) Sí: menor en factores del tipo $(\omega R/c)^2$ (Capítulo 11).

Ejercicio 12.7 ★★

Un solenoide largo ( $n$ , radio $R$ ) cuya corriente $I(t)$ crece. (a) Campo $\vect E$ inducido dentro; $\vect\Pi$ ; dirección. (b) Flujo por la superficie lateral por unidad de longitud y $\dd(B^2/2\mu_0\cdot\pi R^2)/\dd t$ . (c) Justo fuera del solenoide (donde $\vect B = \vect 0$ ), ¿cuánto vale $\vect\Pi$ ? ¿Cómo entra entonces la energía? (Piénsese dónde circula la corriente: el devanado es una lámina delgada; tómese la superficie justo por dentro.)

Solución

Solución de Ejercicio 12.7.

(a) $\vect E = -(r/2)\dot B\,\vect e_\theta$ , $\vect\Pi = -(rB\dot B/2\mu_0)\vect e_r$ : hacia dentro mientras $B$ crece. (b) $(RB\dot B/2\mu_0)2\pi R = \dd(\pi R^2B^2/2\mu_0)/\dd t$ . (c) Fuera $\vect B = \vect 0$ , luego $\vect\Pi = \vect 0$ : la energía se inyecta en el propio devanado, donde el generador fuerza la corriente contra el campo inducido (allí $\vect j\cdot\vect E < 0$ ); justo por dentro de la lámina $\vect\Pi$ es ya el flujo entrante de (a).

Ejercicio 12.8 ★★

Por dónde viaja la potencia de un cable. Un cable coaxial (radios $a$ y $b$ ) lleva una corriente constante $I$ por el alma, de vuelta por la malla, bajo la tensión $U$ entre ambos (conductores perfectos). (a) $\vect E$ y $\vect B$ en el dieléctrico ( $a < r < b$ ) a partir de Gauss y de Ampère. (b) $\vect\Pi$ : dirección y módulo. (c) Intégrese $\vect\Pi$ sobre la corona $a < r < b$ : muéstrese que el resultado es $UI$ — toda la potencia viaja por el aislante. (d) Con un alma ligeramente resistiva, ¿en qué dirección se inclina $\vect\Pi$ y a qué es igual su flujo hacia el alma?

Solución

Solución de Ejercicio 12.8.

(a) $E = U/r\ln(b/a)$ radial, $B = \mu_0I/2\pi r$ azimutal. (b) $\vect\Pi = (UI/ 2\pi r^2\ln(b/a))\vect e_z$ , según la corriente del alma. (c) $\int_a^b\Pi\,2\pi r\,\dd r = UI$ . (d) $E$ adquiere una componente axial $j/\gamma$ ; $\vect\Pi$ se inclina hacia el alma, y su flujo radial hacia un metro de alma vale $RI^2$ por metro.

Ejercicio 12.9 ★★

El polvo de un cometa. Un grano esférico de polvo de radio $a$ y densidad $\rho = 2000\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ situado a la distancia $D$ del Sol absorbe la luz solar ( $I = 1.36\,\mathrm{kW}/\mathrm{m}^{2}$ a $D_0 = 1.5 \times 10^{11}\,\mathrm{m}$ , masa solar $2.0 \times 10^{30}\,\mathrm{kg}$ ). (a) Fuerza de radiación y fuerza gravitatoria; muéstrese que su cociente no depende de $D$ . (b) Radio por debajo del cual el grano sale despedido. (c) ¿Por qué las colas de los cometas apuntan en sentido opuesto al Sol y por qué se curvan?

Solución

Solución de Ejercicio 12.9.

(a) $F_{\text{rad}} = I_0(D_0/D)^2\pi a^2/c$ , $F_g = GM\cdot\tfrac43\pi a^3\rho/D^2$ : cociente $3I_0D_0^2/4cGM\rho a$ , independiente de $D$ . (b) El cociente es $> 1$ para $a < 3I_0D_0^2/ 4cGM\rho = 0.3\,\text{µ}\mathrm{m}$ . (c) El polvo fino sale despedido del Sol conservando la velocidad orbital del cometa, de modo que la cola de polvo apunta en sentido opuesto y se curva; la cola de iones, empujada por el viento solar, es recta.

Ejercicio 12.10 ★★★

Un condensador que se descarga. El condensador de Ejercicio 12.6 se descarga por el hilo de Ejercicio 12.5 ( $R = 5.3\,\mathrm{m}\Omega$ por metro, longitud $L$ ). (a) Dirección de $\vect\Pi$ en el borde del condensador ahora. (b) Potencia que sale del condensador y potencia que entra en el hilo; ¿qué ocurre con la diferencia (si la hay)? (c) Escríbase el balance de energía $\dd W_e/\dd t = -RI^2$ y compruébese con $Q = CU$ , $I = -\dd Q/\dd t$ . (d) ¿Por qué no aparece en el balance la energía magnética del circuito al principio y al final?

Solución

Solución de Ejercicio 12.10.

(a) $\dot E < 0$ : $\vect\Pi$ apunta hacia fuera en el borde. (b) $-\dd W_e/\dd t$ sale del condensador y $RI^2$ entra en el hilo; en régimen cuasiestático son iguales — nada se acumula entre medias. (c) $W_e = Q^2/2C$ , $\dd W_e/\dd t = (Q/C)\dd Q/\dd t = -UI = -RI^2$ . (d) $\tfrac12LI^2$ se anula en ambos extremos ( $I = 0$ ) y es despreciable entre medias para un lazo pequeño.

Ejercicio 12.11 ★★★

El imán cargado. Entre las armaduras de un condensador cargado ( $\vect E = E\vect e_z$ ) hay un campo uniforme $\vect B = B\vect e_x$ (un imán). (a) $\vect\Pi$ ; su divergencia. (b) Tómese la superficie cerrada de una caja interior a la región: flujo de $\vect\Pi$ . (c) ¿Adónde van las líneas de $\vect\Pi$ y qué las cierra? (d) Una propuesta: medir el flujo de energía con un pequeño absorbente colocado en el hueco — ¿se calentaría? ¿Por qué no?

Solución

Solución de Ejercicio 12.11.

(a) $\vect\Pi = (EB/\mu_0)\vect e_y$ , uniforme: $\operatorname{div}\vect\Pi = 0$ . (b) Nulo. (c) Según $y$ por el hueco, cerrándose por los campos de borde en los extremos de las armaduras y del imán. (d) Un cuerpo en reposo en campos estáticos no lleva corriente: $\vect j\cdot\vect E = 0$ , ningún calentamiento. El $\vect\Pi$ que circula es contabilidad, no un flujo que deposite energía.

Ejercicio 12.12 ★★★

Onda estacionaria. Dos ondas planas que se propagan en sentidos opuestos y de igual amplitud forman $\vect E = 2E_0\cos kx\cos\omega t\,\vect e_y$ , $\vect B = -2(E_0/c) \sin kx\sin\omega t\,\vect e_z$ (compruébese con Maxwell–Faraday). (a) $\vect\Pi(x, t)$ ; su promedio temporal. (b) Densidad de energía; ¿dónde es eléctrica, dónde magnética y cómo va y viene? (c) Un espejo perfectamente conductor en $x = 0$ refleja la onda incidente: fuerza por unidad de área sobre él a partir del argumento de la cantidad de movimiento, y a partir de la fuerza de Laplace sobre su corriente superficial (úsese la relación de paso de $\vect B$ ). (d) Muéstrese que ambas dan $2I/c$ en promedio.

Solución

Solución de Ejercicio 12.12.

Faraday: $\partial_xE_y = -2E_0k\sin kx\cos\omega t$ iguala a $-\partial_tB_z$ puesto que $\omega = kc$ . (a) $\vect\Pi = (E_yB_z/\mu_0)\vect e_x = -(E_0^2/\mu_0c)\sin2kx\sin2\omega t\,\vect e_x$ : de media nula. (b) $u = 2\varepsilon_0E_0^2(\cos^2kx\cos^2\omega t + \sin^2kx\sin^2\omega t)$ : eléctrica en $x = 0, \lambda/2, \dots$ y magnética en $\lambda/4, \dots$ , yendo y viniendo entre unas y otras dos veces por periodo. (c) Cantidad de movimiento: cada onda tiene $I = \varepsilon_0cE_0^2/2$ , y la reflejada invierte la suya: $2I/c = \varepsilon_0E_0^2$ . Laplace: en $x = 0$ , $B = (2E_0/c)\sin\omega t$ justo fuera y $0$ dentro, luego $j_s = B/\mu_0$ ; la fuerza por unidad de área sobre la lámina vale $\tfrac12j_sB = B^2/2\mu_0 = 2\varepsilon_0E_0^2\sin^2 \omega t$ . (d) Su media vale $\varepsilon_0E_0^2 = 2I/c$ .

Un huerto solar: un kilovatio por metro cuadrado de flujo de Poynting llega del Sol a través del espacio vacío, y una quinta parte sale por los cables.

12.5 Problema: la energía de una línea, de un panel y de un horno

Problema 12.1

Problema de fin de semana — siguiendo a la energía electromagnética de una línea eléctrica a una casa, del Sol a un panel solar y de un magnetrón a una taza de agua

Parte I — La línea. Un cable coaxial de potencia (radio del alma $a = 1.0\,\mathrm{cm}$ , radio de la malla $b = 3.0\,\mathrm{cm}$ , dieléctrico $\varepsilon_r = 2.3$ ) lleva una corriente continua $I = 500\,\mathrm{A}$ a $U = 20\,\mathrm{kV}$ ; el alma tiene conductividad $\gamma = 6 \times 10^{7}\,\mathrm{S}/\mathrm{m}$ .

Campos $\vect E(r)$ y $\vect B(r)$ en el dieléctrico (con conductores perfectos, de momento); valores en $r = a$ .
Vector de Poynting en el dieléctrico; su flujo por la sección anular: compruébese que vale $UI$ .
Densidades de energía $\varepsilon_0\varepsilon_rE^2/2$ y $B^2/2\mu_0$ en $r = a$ (en un dieléctrico la densidad de energía eléctrica lleva $\varepsilon_r$ ); ¿cuál domina y en cuánto?
¿A qué fracción de la velocidad de la luz “se mueve” la energía (tómese $\Pi/u$ en $r = a$ )? Compárese con $c/\sqrt{\varepsilon_r}$ .
Ahora el alma es resistiva: campo $E_z$ en su interior; el vector de Poynting justo fuera de su superficie adquiere una componente radial: módulo y potencia por metro que entrega al alma; compruébese frente a $RI^2$ por metro.
Cociente entre la componente radial y la axial de $\vect\Pi$ en $r = a$ : ¿qué dice sobre adónde va la energía?
Energía magnética por metro de cable, $\int B^2/2\mu_0\,\dd\tau$ , y energía eléctrica por metro, $\int\varepsilon_0\varepsilon_rE^2/2\,\dd\tau$ ; recupérense como $\tfrac12\Lambda I^2$ y $\tfrac12\Gamma U^2$ con la inductancia y la capacidad por metro de Capítulo 8.
Una línea de $10\,\mathrm{km}$ : potencia entregada, potencia perdida y fracción. Repítase con $U = 200\,\mathrm{kV}$ e $I = 50\,\mathrm{A}$ (la misma potencia).

Parte II — El panel. Luz solar al mediodía en un día despejado: $I = 1.0\,\mathrm{kW}/\mathrm{m}^{2}$ ; un panel fotovoltaico de $1.6\,\mathrm{m}^{2}$ y $20\%$ de rendimiento; energía media por fotón, $2.0\,\mathrm{eV}$ .

$E_0$ , $B_0$ , densidad de energía y flujo de fotones en el haz.
Potencia eléctrica entregada; calor que hay que evacuar; elevación de temperatura si el panel pierde calor por ambas caras con $h = 10\,\mathrm{W}/(\mathrm{m}^{2}\,\mathrm{K})$ .
Presión de radiación sobre el panel (que absorbe); fuerza; compárese con su peso ( $18\,\mathrm{kg}$ ).
Energía recibida al día ( $6\,\mathrm{h}$ de sol pleno equivalente) y al año; superficie necesaria para cubrir los $3500\,\mathrm{kWh}$ anuales de una vivienda.
El panel produce $30\,\mathrm{V}$ a $10.7\,\mathrm{A}$ : compruébese la potencia; flujo de Poynting a lo largo de los $5\,\mathrm{m}$ de cable bifilar hasta el inversor — ¿por dónde viaja esa potencia en la imagen de campos?
En la órbita de la Tierra el Sol radia $1.36\,\mathrm{kW}/\mathrm{m}^{2}$ : potencia total del Sol; masa que convierte por segundo ( $E = mc^2$ , $c = 3 \times 10^{8}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ).
Número de fotones que golpean el panel por segundo.
Flujo de cantidad de movimiento de los fotones en la Tierra: fuerza total de radiación del Sol sobre la Tierra (disco de radio $6400\,\mathrm{km}$ , absorbente); compárese con la gravedad ( $3.5 \times 10^{22}\,\mathrm{N}$ ).

Parte III — El horno. Un horno microondas entrega $800\,\mathrm{W}$ a $2.45\,\mathrm{GHz}$ a una cavidad de $30\,\mathrm{L}$ ; una taza con $250\,\mathrm{g}$ de agua absorbe el $80\%$ .

Longitud de onda; ¿es la cavidad grande frente a ella? ¿Por qué son metálicas las paredes?
Tiempo para calentar el agua de $20{}^{\circ}\mathrm{C}$ a $80{}^{\circ}\mathrm{C}$ ( $c = 4.18\,\mathrm{kJ}/(\mathrm{kg}\,\mathrm{K})$ ); potencia absorbida por unidad de volumen.
Si la potencia circulara como una onda plana por la sección de $50\,\mathrm{cm}^{2}$ de la taza, intensidad y $E_0$ ; los campos reales son ondas estacionarias de amplitud comparable — ¿a qué distancia están los puntos calientes y por qué gira el plato?
Energía almacenada en el campo de la cavidad si su factor de calidad vale $Q = 2\pi\times\text{(energía almacenada)}/\text{(energía perdida por periodo)} \approx 10^3$ cuando está vacía: energía almacenada, densidad media de energía y $E_0$ — compárese con la ruptura del aire ( $3\,\mathrm{MV}/\mathrm{m}$ ).
El agua absorbe porque sus moléculas son dipolos excitados a $2.45\,\mathrm{GHz}$ : la potencia local, análoga a la de Joule, vale $\tfrac12\omega\varepsilon_0 \varepsilon''E_0^2$ con $\varepsilon'' \approx 10$ para el agua: $E_0$ en el agua necesario para la densidad de potencia de la pregunta 16; ¿es coherente?
Energía del fotón a $2.45\,\mathrm{GHz}$ en eV y número de fotones absorbidos por segundo por la taza; por qué las microondas pueden calentar pero no ionizar (ionizar exige unos $10\,\mathrm{eV}$ ).
Presión de radiación del campo de la cavidad sobre las paredes (del orden de la densidad de energía $u$ ): ¿hay que preocuparse?
¿Por qué un horno vacío (sin carga) corre riesgo de avería, en términos de Poynting?
Resúmase en una tabla, para la línea, el panel y el horno: el soporte de la energía, la dirección de $\vect\Pi$ , la potencia y qué la convierte.

Solución

Solución de Problema 12.1.

1. $E = U/r\ln(b/a)$ : $1.8\,\mathrm{MV}/\mathrm{m}$ en $r = a$ ; $B = \mu_0I/2\pi r$ : $10\,\mathrm{mT}$ en $a$ .

2. $\vect\Pi = (UI/2\pi r^2\ln(b/a))\vect e_z$ ; $\int_a^b\Pi\,2\pi r\,\dd r = UI = 10\,\mathrm{MW}$ .

3. $\tfrac12\varepsilon_0\varepsilon_rE^2 = 34\,\mathrm{J}/\mathrm{m}^{3}$ , $B^2/2\mu_0 = 40\,\mathrm{J}/\mathrm{m}^{3}$ : comparables.

4. $\Pi(a) = EB/\mu_0 = 1.45 \times 10^{10}\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$ , $u = 74\,\mathrm{J}/\mathrm{m}^{3}$ : $\Pi/u = 2.0 \times 10^{8}\,\mathrm{m}/\mathrm{s} = c/\sqrt{\varepsilon_r}$ .

5. $E_z = I/\gamma\pi a^2 = 0.027\,\mathrm{V}/\mathrm{m}$ ; $\Pi_r = E_zB/\mu_0 = 210\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$ hacia dentro; $\times2\pi a = 13\,\mathrm{W}/\mathrm{m}$ ; $R = 1/\gamma\pi a^2 = 53\,\text{µ}\Omega/\mathrm{m}$ , $RI^2 = 13\,\mathrm{W}/\mathrm{m}$ .

6. $\Pi_r/\Pi_z = E_z/E_r = 1.5 \times 10^{-8}$ : casi toda la energía corre a lo largo de la línea; solo un soplo se filtra al cobre.

7. $133\,\mathrm{kW}$ perdidos de $10\,\mathrm{MW}$ , el $1.3\%$ ; a $200\,\mathrm{kV}$ : $1.3\,\mathrm{kW}$ , el $0.013\%$ .

8. $\int_a^b(B^2/2\mu_0)2\pi r\,\dd r = (\mu_0I^2/4\pi)\ln(b/a) = 27\,\mathrm{mJ}/\mathrm{m} = \tfrac12\Lambda I^2$ con $\Lambda = \mu_0\ln(b/a)/2\pi = 0.22\,\text{µ}\mathrm{H}/\mathrm{m}$ ; eléctrica: $\tfrac12\Gamma U^2$ con $\Gamma = 2\pi\varepsilon_0\varepsilon_r/\ln(b/a) = 117\,\mathrm{pF}/\mathrm{m}$ : $23\,\mathrm{mJ}/\mathrm{m}$ .

9. $E_0 = 870\,\mathrm{V}/\mathrm{m}$ , $B_0 = 2.9\,\text{µ}\mathrm{T}$ , $u = 3.3\,\text{µ}\mathrm{J}/\mathrm{m}^{3}$ , $3 \times 10^{21}\,\mathrm{m}^{-2}\,\mathrm{s}^{-1}$ .

10. $320\,\mathrm{W}$ eléctricos; $1280\,\mathrm{W}$ de calor sobre $3.2\,\mathrm{m}^{2}$ de caras: $\Delta T = 1280/32 = 40\,\mathrm{K}$ .

11. $P = I/c = 3.3\,\text{µ}\mathrm{Pa}$ ; $5.3\,\text{µ}\mathrm{N}$ frente a un peso de $180\,\mathrm{N}$ .

12. $320 \times 6 = 1.9\,\mathrm{kWh}/\mathrm{d}$ , $700\,\mathrm{kWh}$ al año; cinco paneles, $8\,\mathrm{m}^{2}$ .

13. $30 \times 10.7 = 320\,\mathrm{W}$ ; la potencia fluye por el campo que hay entre los dos hilos — $\vect E$ a través de los $30\,\mathrm{V}$ , $\vect B$ en torno a las corrientes —, no por el cobre.

14. $4\pi D^2I = 3.9 \times 10^{26}\,\mathrm{W}$ ; $P/c^2 = 4.3 \times 10^{9}\,\mathrm{kg}/\mathrm{s}$ .

15. $5 \times 10^{21} \times 1.6 = 5 \times 10^{21}\,$ fotones por segundo.

16. $I\pi R_E^2/c = 5.8 \times 10^{8}\,\mathrm{N}$ : $10^{-14}$ de la gravedad.

17. $\lambda = 12.2\,\mathrm{cm}$ ; la cavidad de $30\,\mathrm{cm}$ mide unas pocas longitudes de onda — un resonador con modos, no un haz libre; las paredes metálicas reflejan la onda (con profundidad de penetración de micrómetros) y la retienen.

18. $0.25 \times 4180 \times 60 = 63\,\mathrm{kJ}$ a $640\,\mathrm{W}$ : $98\,\mathrm{s}$ ; $640/2.5 \times 10^{-4} = 2.6\,\mathrm{MW}/\mathrm{m}^{3}$ .

19. $I = 640/5 \times 10^{-3} = 1.3 \times 10^{5}\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$ , $E_0 = 10\,\mathrm{kV}/\mathrm{m}$ ; los puntos calientes distan $\lambda/2 = 6\,\mathrm{cm}$ — de ahí el plato giratorio.

20. $W = QP/\omega = 10^3 \times 800/1.54 \times 10^{10} = 52\,\text{µ}\mathrm{J}$ ; $u = 1.7\,\mathrm{mJ}/\mathrm{m}^{3}$ ; $E_0 = \sqrt{2u/\varepsilon_0} = 20\,\mathrm{kV}/\mathrm{m}$ — cien veces por debajo de la ruptura.

21. $\tfrac12\omega\varepsilon_0\varepsilon''E_0^2 = 2.6 \times 10^{6}\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{3}$ : $E_0 = 2\,\mathrm{kV}/\mathrm{m}$ dentro del agua — del orden del campo de la cavidad, reducido por la permitividad del agua: coherente.

22. $hf = 1.6 \times 10^{-24}\,\mathrm{J} = 1 \times 10^{-5}\,\mathrm{eV}$ ; $4 \times 10^{26}$ fotones por segundo; un millón de veces poca energía por fotón para ionizar.

23. $\sim u = 2\,\mathrm{mPa}$ : no.

24. Sin nada que la absorba, el flujo de $\vect\Pi$ no tiene dónde acabar salvo de vuelta en el magnetrón, que se recalienta.

25. Línea: el dieléctrico, $\vect\Pi$ axial, $10\,\mathrm{MW}$ , con una carga al final. Panel: el haz, $\vect\Pi$ según los rayos del Sol, $1.6\,\mathrm{kW}$ de entrada y $320\,\mathrm{W}$ de salida, el semiconductor. Horno: el campo de la cavidad, $\vect\Pi$ circulando, $800\,\mathrm{W}$ , los dipolos del agua.