Física universitaria — segundo año · Bachelor Year 2

22Difracción de Fraunhofer y filtrado espacial

Mírese de reojo una farola por el hueco entre dos dedos y la farola se estira en una banda de franjas; mírese una estrella por el mejor telescopio y no se ve un punto, sino un pequeño disco rodeado de círculos tenues. La luz que pasa por una abertura se abre — cuanto más estrecha la abertura, más se abre — y ninguna lente puede concentrarla más de lo que esa apertura permite. Esto es la difracción, la razón de que un microscopio no pueda ver un virus, de que el poder resolvente de un telescopio crezca con su diámetro y de que un haz láser no pueda seguir paralelo. Este capítulo calcula el patrón de difracción de una abertura en el campo lejano, el límite que impone a todo instrumento óptico, cómo se combina con las interferencias y la idea — la de Abbe — que convierte el plano focal de una lente en un lugar donde puede filtrarse una imagen.

22.1 El principio de Huygens–Fresnel y el régimen de Fraunhofer

Definición 22.1 (Principio de Huygens–Fresnel)

Todo punto de un frente de onda (o de una abertura iluminada por una onda) actúa como fuente secundaria que emite una ondícula esférica, en fase con la onda allí; la onda de más allá es la suma coherente de las ondículas. Para una abertura $\Sigma$ iluminada por una onda plana de amplitud $a$ , la amplitud que llega a un punto lejano vale $\underline s(M) = K\iint_\Sigma\eu^{-\iu\varphi(P, M)}\dd S$ , con $\varphi(P, M)$ la fase del camino del punto $P$ de la abertura hasta $M$ ( $K$ una constante). La difracción de Fraunhofer (de campo lejano) es el caso en que $M$ está en el infinito — o en el plano focal de una lente — de modo que los rayos que van de todos los puntos de la abertura hacia $M$ son paralelos, en la dirección $\vect u$ , y

\varphi(P, M) = \varphi_0 - \frac{2\pi}\lambda\,\vect{OP}\cdot\vect u , \qquad \underline s(\vect u) \propto \iint_\Sigma\eu^{\iu(2\pi/\lambda)\vect{OP}\cdot\vect u}\dd S .

El patrón se observa en el infinito, o en el foco $F'$ de una lente, donde la dirección $\vect u$ de ángulos pequeños $(\alpha, \beta)$ corresponde al punto $(f\alpha, f\beta)$ .

Demostración. Admitido a este nivel. ∎

Observación 22.2 (¿Cuándo está bastante lejos?)

Para una abertura de tamaño $D$ vista a la distancia $L$ sin lente, los rayos son bastante paralelos cuando el término cuadrático de Ejercicio 18.12 es despreciable, $D^2/L \ll \lambda$ — el número de Fresnel $D^2/\lambda L \ll 1$ . Una rendija de $0.1\,\mathrm{mm}$ a $500\,\mathrm{nm}$ exige $L \gg 2\,\mathrm{cm}$ ; una abertura de $1\,\mathrm{cm}$ , $L \gg 200\,\mathrm{m}$ — de ahí la lente, que trae el infinito a su plano focal. Más cerca (difracción de Fresnel) los patrones son más complejos; la sombra de un borde recto, por ejemplo, tiene franjas por su lado iluminado.

22.2 La rendija única y la abertura circular

Proposición 22.3 (Difracción por una rendija)

Una rendija de anchura $b$ (alargada según $y$ ) iluminada con incidencia normal envía en la dirección $\theta$ (en el plano perpendicular a la rendija) la intensidad

I(\theta) = I_0\,\operatorname{sinc}^2\Bigl(\frac{\pi b\sin\theta}\lambda\Bigr) , \qquad \operatorname{sinc}x = \frac{\sin x}x :

un máximo central brillante de semianchura angular $\lambda/b$ (primeros ceros en $\sin\theta = \pm\lambda/b$ ), que contiene el $90\%$ de la luz, y máximos secundarios en torno a $\sin\theta = \pm1.43\lambda/b$ , $\pm2.46\lambda/b$ , …, de intensidades relativas $4.7\%$ , $1.6\%$ , …— cuanto más estrecha la rendija, más ancho el patrón. En el plano focal de una lente de distancia focal $f$ el máximo central mide $2\lambda f/b$ de ancho.

Demostración. $\underline s(\theta) \propto \int_{-b/2}^{b/2}\eu^{\iu kx\sin\theta}\dd x = b\,\operatorname{sinc}(kb\sin\theta/2)$ con $k = 2\pi/\lambda$ ; elévese al cuadrado. Hay ceros donde $b\sin\theta = m\lambda$ , $m \ne 0$ : las ondículas de las dos mitades de la rendija se cancelan entonces dos a dos. ∎

A la izquierda, las ondículas de toda la rendija, sumadas en la dirección . A la derecha, el patrón de Fraunhofer de la rendija, sinc2: un lóbulo central el doble de ancho que los demás y mucho más brillante. — A la izquierda, las ondículas de toda la rendija, sumadas en la dirección $\theta$ . A la derecha, el patrón de Fraunhofer de la rendija, $\operatorname{sinc}^2$ : un lóbulo central el doble de ancho que los demás y mucho más brillante.

Proposición 22.4 (Abertura circular; el disco de Airy)

Una abertura circular de diámetro $D$ da un disco central brillante, el disco de Airy, rodeado de anillos tenues; el primer anillo oscuro está en

\sin\theta = 1.22\,\frac\lambda D ,

y el disco contiene el $84\%$ de la luz. Todo instrumento con una pupila de entrada de diámetro $D$ — ojo, cámara, telescopio, objetivo de microscopio — convierte una fuente puntual en un disco de Airy de ese radio angular; dos puntos quedan resueltos (criterio de Rayleigh) si su separación angular supera $1.22\lambda/D$ : el poder resolvente del instrumento.

Demostración. Admitido a este nivel. ∎

Ejemplo 22.5 (Ojo, telescopio, microscopio)

El ojo ( $D = 3\,\mathrm{mm}$ , $\lambda = 550\,\mathrm{nm}$ ): $1.22\lambda/D = 2.2 \times 10^{-4}\,\mathrm{rad}$ , unos $45''$ — un detalle de $1\,\mathrm{mm}$ a $4\,\mathrm{m}$ , que es en efecto más o menos la agudeza de un buen ojo: la evolución ajustó las células de la retina al límite de difracción. Un telescopio de $2.4\,\mathrm{m}$ : $0.06''$ , mil veces mejor, si la atmósfera lo permite (no lo permite desde el suelo: $1''$ de “seeing”, de donde los telescopios espaciales y la óptica adaptativa). Una antena de radio de $100\,\mathrm{m}$ a $\lambda = 21\,\mathrm{cm}$ : $9'$ , peor que el ojo; los interferómetros entre continentes recuperan la resolución. Un objetivo de microscopio de ángulo de abertura $\alpha$ resuelve $0.61\lambda/n\sin\alpha$ — unos $0.2\,\text{µ}\mathrm{m}$ en el visible, sea cual sea el aumento: el límite que llevó la microscopía a los electrones y a los rayos X.

A la izquierda y en el centro: el disco de Airy de una fuente puntual y dos fuentes en el límite de Rayleigh — el centro de una sobre el primer anillo oscuro de la otra. A la derecha, sus perfiles (esbozados con formas sinc2), separados 1.22 /D. — A la izquierda y en el centro: el disco de Airy de una fuente puntual y dos fuentes en el límite de Rayleigh — el centro de una sobre el primer anillo oscuro de la otra. A la derecha, sus perfiles (esbozados con formas $\operatorname{sinc}^2$ ), separados $1.22\lambda/D$ .

22.3 Difracción e interferencias juntas

Proposición 22.6 (Rendijas de Young de anchura finita; la envolvente de la red)

Dos rendijas de anchura $b$ cuyos centros distan $a$ dan

I(\theta) = 4I_0\,\operatorname{sinc}^2\Bigl(\frac{\pi b\sin\theta}\lambda\Bigr)\cos^2\Bigl(\frac{\pi a\sin\theta}\lambda\Bigr) :

las franjas de Young (separadas $\lambda/a$ en $\sin\theta$ ) bajo la envolvente de una sola rendija (de anchura $2\lambda/b$ ); $a/b$ franjas llenan el lóbulo central, y las franjas en $a\sin\theta = p\lambda$ que caen sobre un cero de la envolvente ( $b\sin\theta = m\lambda$ ) están ausentes. Una red de $N$ rendijas de anchura $b$ tiene igualmente sus máximos principales modulados por la misma envolvente — que el blaze de Capítulo 21 inclina hacia el orden que se usa.

Demostración. La integral de abertura se separa en una suma sobre las dos rendijas de la misma integral desplazada en $\pm a/2$ : $\underline s \propto b\,\operatorname{sinc}(\pi b\sin\theta/\lambda) \times2\cos(\pi a\sin\theta/\lambda)$ . Para $N$ rendijas, el segundo factor es la suma de $N$ ondas. ∎

Dos rendijas con a = 4b: franjas de Young bajo la envolvente de una sola rendija (discontinua); las franjas de cuarto orden caen sobre los ceros de la envolvente y faltan. — Dos rendijas con $a = 4b$ : franjas de Young bajo la envolvente de una sola rendija (discontinua); las franjas de cuarto orden caen sobre los ceros de la envolvente y faltan.

22.4 El plano de Fourier y el filtrado espacial

Proposición 22.7 (La lente como analizador de Fourier)

Una transparencia de transmitancia $t(x, y)$ en el plano focal objeto de una lente, iluminada por una onda plana, produce en el plano focal imagen la amplitud

\underline s(X, Y) \propto \iint t(x, y)\,\eu^{-\iu2\pi(xX + yY)/\lambda f}\dd x\,\dd y

— su transformada de Fourier bidimensional, y cada punto $(X, Y)$ del plano de Fourier recoge la luz difractada en los ángulos $(X/f, Y/f)$ , es decir, las frecuencias espaciales $(X/\lambda f, Y/\lambda f)$ del objeto: los detalles finos (frecuencias altas) lejos del eje y los gruesos cerca de él. Una segunda lente rehace la imagen a partir de ese plano; todo lo que allí se bloquee o se altere queda filtrado de la imagen (filtrado espacial, teoría de Abbe del microscopio): un agujerito en el eje conserva solo las frecuencias bajas (suavizado, “limpieza” de un haz láser); un tope en el eje elimina el fondo uniforme y conserva los bordes (campo oscuro, estrioscopia); una lámina de cuarto de onda en el eje convierte los objetos de fase, invisibles de otro modo, en contraste de intensidad (contraste de fase, Zernike).

Justificación. En la integral de Fraunhofer, $\vect{OP}\cdot\vect u = x\alpha + y\beta$ con la dirección llevada a $(X, Y) = (f\alpha, f\beta)$ ; la transmitancia pondera cada fuente secundaria. (La propia transformada de Fourier se estudia en el volumen de matemáticas del tercer año; aquí es solo el nombre de esta integral.) Para un objeto periódico de periodo $d$ la transformada es el conjunto de los órdenes de una red en $X = p\lambda f/d$ : la imagen solo puede mostrar el periodo si al menos los órdenes $\pm1$ pasan por la lente — la condición de Abbe, que es de nuevo el límite de resolución del microscopio. ∎

El montaje 4f: la primera lente forma la transformada de Fourier del objeto en su plano focal (un objeto periódico da allí órdenes discretos) y la segunda rehace la imagen; una máscara en el plano de Fourier filtra la imagen. — El montaje $4f$ : la primera lente forma la transformada de Fourier del objeto en su plano focal (un objeto periódico da allí órdenes discretos) y la segunda rehace la imagen; una máscara en el plano de Fourier filtra la imagen.

Ejemplo 22.8 (Limpiar un haz, ver lo invisible)

Un haz láser lleva polvo y ondulaciones: enfóquese por un agujerito de unos pocos micrómetros — el tamaño del disco de Airy central del haz gaussiano limpio — y todo lo demás, que queda fuera, se bloquea; el haz recolimado es liso: un filtro espacial. Una célula viva es transparente; solo cambia la fase de la luz. Bloquear la mancha axial hace brillar sus bordes sobre negro; la lámina de Zernike retrasa un cuarto de onda la luz no difractada para que interfiera con la difractada en intensidad: aparece el interior de la célula y la biología consiguió su microscopio (premio Nobel de 1953).

Método 22.9 (Estimaciones de difracción)

(1) Apertura angular $\sim\lambda/b$ para una abertura de tamaño $b$ ( $1.22\lambda/D$ para un círculo); el tamaño del patrón a la distancia $L$ o con distancia focal $f$ vale $\lambda L/b$ , $\lambda f/b$ . (2) Compruébese la condición de Fraunhofer $b^2/\lambda L \ll 1$ o úsese una lente. (3) Combínense: envolvente de difracción $\times$ franjas de interferencia. (4) Resolución: dos puntos exigen $\Delta\theta > 1.22\lambda/D$ ; un objeto periódico exige que sus primeros órdenes entren en la pupila. (5) La imagen del plano de Fourier: qué bloquear para eliminar qué detalle.

22.5 Ejercicios

Ejercicio 22.1 ★

Una rendija de $0.10\,\mathrm{mm}$ iluminada por un láser de He–Ne ( $633\,\mathrm{nm}$ ); pantalla a $2.0\,\mathrm{m}$ . Anchura del máximo central; posición de los dos primeros máximos secundarios; número de Fresnel — ¿está la pantalla bastante lejos? La misma rendija con una lente de $f = 50\,\mathrm{cm}$ .

Solución

Solución de Ejercicio 22.1.

$2\lambda L/b = 25\,\mathrm{mm}$ ; máximos secundarios en $1.43\lambda L/b = 18\,\mathrm{mm}$ y $2.46\lambda L/b = 31\,\mathrm{mm}$ ; número de Fresnel $b^2/\lambda L = 8 \times 10^{-3}$ : bastante lejos. Con la lente, $2\lambda f/b = 6.3\,\mathrm{mm}$ .

Ejercicio 22.2 ★

Poder resolvente (Rayleigh) de: el ojo ( $3\,\mathrm{mm}$ , $550\,\mathrm{nm}$ ); un telescopio de aficionado de $10\,\mathrm{cm}$ ; el espejo de $2.4\,\mathrm{m}$ del Hubble; una antena de radio de $64\,\mathrm{m}$ a $6\,\mathrm{cm}$ ; un objetivo de cámara de $50\,\mathrm{mm}$ a $f/8$ (pupila de $6\,\mathrm{mm}$ ): tamaño del disco de Airy en el sensor, comparado con un píxel de $4\,\text{µ}\mathrm{m}$ .

Solución

Solución de Ejercicio 22.2.

$1.22\lambda/D$ : ojo $2.2 \times 10^{-4}\,\mathrm{rad}$ ( $46''$ ); $10\,\mathrm{cm}$ : $1.4''$ ; Hubble $0.058''$ ; antena $1.22 \times 0.06/64 = 1.1 \times 10^{-3}\,\mathrm{rad} = 3.9'$ ; cámara: $1.1 \times 10^{-4}\,\mathrm{rad} \times 50\,\mathrm{mm} = 5.6\,\text{µ}\mathrm{m}$ de radio, un disco de $11\,\text{µ}\mathrm{m}$ — tres píxeles: la difracción ya limita un sensor a $f/8$ .

Ejercicio 22.3 ★

Dos rendijas de anchura $b = 0.05\,\mathrm{mm}$ , con los centros separados $a = 0.25\,\mathrm{mm}$ , $\lambda = 500\,\mathrm{nm}$ , lente $f = 1\,\mathrm{m}$ : separación de las franjas; anchura de la envolvente central; número de franjas dentro; ¿qué órdenes faltan?

Solución

Solución de Ejercicio 22.3.

$\lambda f/a = 2\,\mathrm{mm}$ ; envolvente $2\lambda f/b = 20\,\mathrm{mm}$ ; diez franjas; faltan los órdenes $p = 5, 10, \dots$ ( $a/b = 5$ ).

Ejercicio 22.4 ★

Un haz láser de $2\,\mathrm{mm}$ de diámetro a $633\,\mathrm{nm}$ se propaga hasta la Luna ( $3.8 \times 10^{8}\,\mathrm{m}$ ): ángulo de difracción $\sim1.22\lambda/D$ , diámetro de la mancha; con un telescopio de $3.5\,\mathrm{m}$ como emisor; ¿por qué son tan débiles los retornos de la telemetría lunar (el retrorreflector, de $1\,\mathrm{m}$ , devuelve la luz con su propia difracción)?

Solución

Solución de Ejercicio 22.4.

$\theta = 1.22\lambda/D = 3.9 \times 10^{-4}\,\mathrm{rad}$ : una mancha de $290\,\mathrm{km}$ de ancho; con $3.5\,\mathrm{m}$ , $170\,\mathrm{m}$ . La propia difracción del reflector, $\lambda/1\,\mathrm{m}$ , reparte el retorno en $600\,\mathrm{m}$ : de $10^{17}$ fotones enviados, vuelve un puñado.

Ejercicio 22.5 ★★

La rendija en detalle. (a) Realícese la integral de Fraunhofer para la rendija y obténgase $\operatorname{sinc}^2$ . (b) Muéstrese que los máximos secundarios están en $\tan x = x$ ( $x = \pi b\sin\theta/\lambda$ ), el primero cerca de $x = 1.43\pi$ , y calcúlese su intensidad relativa. (c) Fracción de la energía en el lóbulo central (admítanse $\int_{-\pi}^\pi\operatorname{sinc}^2 = 0.903\pi$ y $\int_{-\infty}^\infty\operatorname{sinc}^2 = \pi$ ). (d) La rendija se ilumina con incidencia $\theta_0$ : muéstrese que el patrón es el mismo, centrado en la dirección $\theta_0$ .

Solución

Solución de Ejercicio 22.5.

(a) $\int_{-b/2}^{b/2}\eu^{\iu kx\sin\theta}\dd x = b\,\operatorname{sinc}(kb\sin\theta/2)$ . (b) $\dd(\sin x/x)/\dd x = 0$ da $\tan x = x$ ; $x = 4.49 = 1.43\pi$ , $\operatorname{sinc}^2 = 0.047$ . (c) $0.903$ . (d) La fase pasa a $kx(\sin\theta - \sin\theta_0)$ : el mismo patrón en torno a $\theta_0$ .

Ejercicio 22.6 ★★

Microscopio. Un objetivo de apertura numérica $n\sin\alpha = 1.4$ (inmersión en aceite) a $500\,\mathrm{nm}$ : menor distancia resuelta $0.61\lambda/n\sin \alpha$ ; con luz azul ( $400\,\mathrm{nm}$ ); en el ultravioleta ( $250\,\mathrm{nm}$ ); ¿por qué no ayuda un ocular de $1000\times$ (el propio límite del ojo a $25\,\mathrm{cm}$ es $0.1\,\mathrm{mm}$ )? ¿Qué cambian los microscopios electrónicos ( $\lambda = 4\,\mathrm{pm}$ a $100\,\mathrm{keV}$ )?

Solución

Solución de Ejercicio 22.6.

$0.61\lambda/\mathrm{AN}$ : $220\,\mathrm{nm}$ ; $170\,\mathrm{nm}$ ; $110\,\mathrm{nm}$ . Más allá de unos $500\times$ , el ocular solo agranda el borrón (aumento vacío). Los electrones a $4\,\mathrm{pm}$ con $\mathrm{AN} \approx 0.01$ : $0.2\,\mathrm{nm}$ — átomos.

Ejercicio 22.7 ★★

Rectangular y circular. (a) Una abertura rectangular $b \times h$ : muéstrese que el patrón vale $\operatorname{sinc}^2(\pi b\sin\theta_x/\lambda)\operatorname{sinc}^2(\pi h \sin\theta_y/\lambda)$ : una cruz, más ancha según el lado más estrecho. (b) Un cuadrado de $0.2\,\mathrm{mm}$ con $f = 1\,\mathrm{m}$ : tamaño del cuadrado central. (c) Para un círculo de la misma anchura el primer cero está en $1.22\lambda/D$ en vez de $\lambda/b$ : ¿por qué más lejos (piénsese en la luz concentrada cerca del centro de un disco)? (d) El espejo secundario de un telescopio va sujeto por cuatro brazos: ¿qué añaden a la imagen de una estrella brillante?

Solución

Solución de Ejercicio 22.7.

(a) La integral se factoriza en $x$ y en $y$ . (b) $2\lambda f/b = 5\,\mathrm{mm}$ . (c) Las cuerdas de un disco son más cortas que su diámetro lejos del centro: su anchura efectiva es menor y su patrón, más ancho. (d) Cuatro puntas de difracción en cruz.

Ejercicio 22.8 ★★

Abbe. Se observa una red de periodo $d = 2\,\text{µ}\mathrm{m}$ con un objetivo de microscopio de ángulo de abertura $\alpha$ en aire, $\lambda = 550\,\mathrm{nm}$ . (a) Ángulos de sus órdenes $\pm1$ y $\pm2$ . (b) $\sin\alpha$ mínimo para que la imagen muestre el periodo (deben entrar los órdenes $\pm1$ ). (c) Con $\sin\alpha = 0.4$ : ¿qué muestra la imagen; es una red fiel? (d) La iluminación oblicua deja pasar el orden cero y un primer orden: $\sin\alpha$ mínimo entonces, y la ganancia.

Solución

Solución de Ejercicio 22.8.

(a) $\sin\theta = \pm0.275$ ( $16{}^{\circ}$ ), $\pm0.55$ ( $33{}^{\circ}$ ). (b) $\sin\alpha \ge 0.275$ . (c) Solo los órdenes $0$ y $\pm1$ : una imagen senoidal del periodo correcto, no las barras nítidas. (d) $\sin\alpha \ge \lambda/2d = 0.14$ : el doble de resolución.

Ejercicio 22.9 ★★

Filtro espacial. Un haz láser de $2\,\mathrm{mm}$ ( $\lambda = 633\,\mathrm{nm}$ ) se enfoca con una lente de $f = 20\,\mathrm{mm}$ a través de un agujerito. (a) Diámetro del disco de Airy central en el foco; diámetro del agujerito para dejarlo pasar (tómese $1.5\times$ ). (b) Una mota de polvo de $50\,\text{µ}\mathrm{m}$ en el haz difracta la luz ¿con qué ángulo, y dónde cae esa luz en el plano focal: por el agujerito o no? (c) Potencia perdida si el haz es gaussiano y el agujerito deja pasar el $99\%$ ; ¿por qué es liso el haz que emerge? (d) ¿Por qué debe centrarse el agujerito con precisión de unos pocos micrómetros?

Solución

Solución de Ejercicio 22.9.

(a) $2.44\lambda f/D = 15\,\text{µ}\mathrm{m}$ ; agujerito de $23\,\text{µ}\mathrm{m}$ . (b) $\lambda/50\,\text{µ}\mathrm{m} = 1.3 \times 10^{-2}\,\mathrm{rad}$ : $0.25\,\mathrm{mm}$ fuera del eje, bloqueada. (c) El $1\%$ ; el agujerito conserva solo las frecuencias espaciales bajas. (d) Descentrado unos pocos micrómetros, el agujerito recorta la propia mancha.

Ejercicio 22.10 ★★★

Babinet. Dos pantallas complementarias (una rendija y una banda opaca de la misma anchura) se iluminan con una onda plana. (a) Muéstrese que, fuera de la dirección del haz incidente, sus patrones de Fraunhofer son idénticos (la suma de las dos amplitudes es la de la onda sin obstáculo, nula fuera del eje). (b) El patrón de un cabello de $80\,\text{µ}\mathrm{m}$ de diámetro a $2\,\mathrm{m}$ con un láser: separación de las franjas y diámetro del cabello a partir de ella — una medida estándar. (c) ¿Qué se ve sobre el eje mismo? (d) ¿Por qué producen las gotitas de una nube fina una corona de anillos coloreados en torno a la Luna, y qué da el radio de los anillos?

Solución

Solución de Ejercicio 22.10.

(a) Las amplitudes suman la onda sin obstáculo, que es nula fuera del eje: $|\underline s_{\text{rendija}}| = |\underline s_{\text{banda}}|$ allí. (b) Franjas separadas $\lambda L/b = 16\,\mathrm{mm}$ ; mídase la separación y se obtiene $b$ . (c) La sombra de la banda queda dentro del haz brillante no difractado. (d) Las gotitas de diámetro $d$ difractan como agujeros: anillos en $1.22\lambda/d$ , con el rojo fuera; el radio da $d$ .

Ejercicio 22.11 ★★★

Campo oscuro y contraste de fase. Un objeto transparente tiene $t(x) = \eu^{\iu\varphi(x)} \approx 1 + \iu\varphi(x)$ con $|\varphi| \ll 1$ . (a) Intensidad de su imagen ordinaria: muéstrese que es uniforme a primer orden — invisible. (b) En el plano de Fourier el “1” es la mancha axial y $\iu\varphi$ la luz difractada a su alrededor: si un tope bloquea la mancha axial, la intensidad de la imagen vale $\propto\varphi^2$ — campo oscuro; su debilidad. (c) Si en cambio la mancha axial se retrasa $\pi/2$ (multiplicada por $\iu$ ): imagen $\propto|1 + \varphi|^2 \approx 1 + 2\varphi$ — contraste de fase, lineal en $\varphi$ . (d) ¿Por qué la lámina de Zernike suele además absorber (atenúa la mancha axial)?

Solución

Solución de Ejercicio 22.11.

(a) $|1 + \iu\varphi|^2 = 1 + \varphi^2$ : uniforme a primer orden. (b) Sin la luz axial, $|\iu\varphi|^2 = \varphi^2$ : segundo orden, débil. (c) $|\iu + \iu\varphi|^2 = 1 + 2\varphi + \dots$ : lineal. (d) La mancha axial eclipsa a la luz difractada; atenuarla iguala ambas amplitudes y sube el contraste.

Ejercicio 22.12 ★★★

Resolución de la imagen de la rendija de un espectrógrafo y la red. Una red de anchura $W$ es la abertura del espectrógrafo: muéstrese que el patrón de difracción de esa abertura, $\operatorname{sinc}^2(\pi W\sin\theta/\lambda)$ (para el haz que sale con $\theta \approx 0$ ), tiene la semianchura angular $\lambda/W$ y que, convertida a longitud de onda mediante la dispersión $p/a\cos \theta$ , resulta $\Delta\lambda = \lambda/pN$ — el poder resolvente de Capítulo 21, visto como difracción. (b) Un telescopio de diámetro $D$ y una red de anchura $W$ : la red debe ser más ancha que $D\,f_{\text{col}}/f_{\text{tel}}$ : ¿por qué? (c) Explíquese en una frase por qué todo “poder resolvente” en óptica es $\sim$ (tamaño de la abertura)/ $\lambda$ . (d) ¿Qué añade la rendija y cuándo domina?

Solución

Solución de Ejercicio 22.12.

(a) Semianchura $\lambda/W$ ; dividida por $p/a\cos\theta$ : $\Delta\lambda = \lambda a\cos\theta/pW \approx \lambda/pN$ . (b) El haz colimado tiene el diámetro $Df_{\text{col}}/f_{\text{tel}}$ ; una red más pequeña desperdiciaría luz y poder resolvente. (c) Una resolución es siempre el ángulo en el que la fase a lo ancho de la abertura cambia una longitud de onda, $\lambda/(\text{tamaño})$ . (d) La anchura de su imagen, que domina cuando es mayor que la anchura de difracción de la red — el caso habitual.

Un haz láser a través de una rendija estrecha: en la pantalla lejana, la ancha banda central brillante y los máximos laterales, más tenues y estrechos, del patrón de Fraunhofer.

22.6 Problema: qué puede resolverse

Problema 22.1

Problema de fin de semana — el límite de difracción a cuatro escalas: el ojo, un telescopio, un microscopio y el haz láser que hay que limpiar antes de usarlo

Parte I — El ojo. Pupila $D = 3\,\mathrm{mm}$ de día y $7\,\mathrm{mm}$ de noche; $\lambda = 550\,\mathrm{nm}$ ; los conos de la retina están separados $2\,\text{µ}\mathrm{m}$ en la fóvea, y la distancia focal del ojo es de $17\,\mathrm{mm}$ .

Radio angular del disco de Airy de día; su radio lineal en la retina; compárese con la separación de los conos — ¿está la retina ajustada a la óptica?
Menor separación de dos puntos resueltos a $25\,\mathrm{cm}$ ; y a $10\,\mathrm{m}$ ; ¿puede leerse un texto de $1\,\mathrm{mm}$ con el brazo extendido?
De noche la pupila se abre a $7\,\mathrm{mm}$ : límite de difracción entonces; ¿por qué empeora sin embargo la visión (aberraciones del cristalino a plena abertura, bastones más gruesos que los conos)?
Dos faros de coche separados $1.5\,\mathrm{m}$ : distancia a la que se funden en una sola luz.
Un agujero de $1\,\mathrm{mm}$ ante el ojo: ¿qué hace la difracción, y por qué ayuda sin embargo un agujerito a un ojo miope (profundidad de campo)?

Parte II — El telescopio. Un telescopio de $1\,\mathrm{m}$ , $f = 10\,\mathrm{m}$ , con una cámara de píxeles de $10\,\text{µ}\mathrm{m}$ ; $\lambda = 550\,\mathrm{nm}$ .

Límite de difracción en segundos de arco; radio de Airy en el detector; píxeles por disco de Airy.
La atmósfera difumina las imágenes hasta $1''$ : ¿cuánta resolución del telescopio se pierde? Diámetro de telescopio para el que el límite de difracción iguala al seeing.
La óptica adaptativa corrige la atmósfera a $2.2\,\text{µ}\mathrm{m}$ : límite de difracción allí; ¿por qué es más fácil en el infrarrojo?
Una estrella binaria con componentes separadas $0.15''$ : ¿se resuelve con óptica adaptativa a $2.2\,\text{µ}\mathrm{m}$ ? ¿Y a $550\,\mathrm{nm}$ desde el espacio?
La Luna está a $3.8 \times 10^{5}\,\mathrm{km}$ : menor cráter que este telescopio podría resolver (solo por difracción); ¿y la huella de un módulo lunar ( $4\,\mathrm{m}$ )?
Poder colector de luz del telescopio respecto del ojo nocturno ( $7\,\mathrm{mm}$ ); ¿qué se gana con eso y qué no?
La luz de una estrella a través de los cuatro brazos que sujetan el espejo secundario: descríbase la imagen.

Parte III — El microscopio. Objetivo de apertura numérica $\mathrm{AN} = n\sin\alpha = 0.9$ (en seco) o $1.4$ (en aceite), $\lambda = 550\,\mathrm{nm}$ ; la distancia resuelta vale $0.61\lambda/\mathrm{AN}$ .

Distancia resuelta con cada objetivo; número de pares de líneas por milímetro.
Una bacteria de $1\,\text{µ}\mathrm{m}$ con estructura interna de $0.2\,\text{µ}\mathrm{m}$ : ¿qué se ve con cada uno? ¿Y un virus de $0.1\,\text{µ}\mathrm{m}$ ?
Abbe: una estructura periódica de periodo $d$ solo se imagina si sus primeros órdenes en $\sin\theta = \lambda/d$ entran en el objetivo: $d$ mínimo para $\mathrm{AN} = 1.4$ ; compárese con $0.61\lambda/\mathrm{AN}$ .
¿Por qué mejora la resolución el aceite entre el portaobjetos y el objetivo?
Ultravioleta a $250\,\mathrm{nm}$ y un microscopio electrónico a $4\,\mathrm{pm}$ : distancias resueltas con la misma fórmula (para los electrones la AN práctica es $0.01\,$ ): compárense.
Una célula es transparente: en campo claro su imagen está vacía. Explíquese en dos frases qué hace la lámina de contraste de fase en el plano de Fourier del objetivo.

Parte IV — El haz. Un láser de $532\,\mathrm{nm}$ , con un haz de $1.5\,\mathrm{mm}$ de diámetro, ha de expandirse a $30\,\mathrm{mm}$ y limpiarse.

Semiángulo de difracción del haz en bruto ( $\sim1.22\lambda/D$ ); su diámetro tras $100\,\mathrm{m}$ sin óptica alguna.
Una lente de $f_1 = 10\,\mathrm{mm}$ lo enfoca: diámetro de la mancha focal; diámetro de agujerito elegido ( $1.5\times$ la mancha).
Una segunda lente de $f_2$ recolima a $30\,\mathrm{mm}$ : $f_2$ ; nuevo ángulo de difracción; diámetro tras $1\,\mathrm{km}$ .
Un polvo de $100\,\text{µ}\mathrm{m}$ en la primera lente difracta ¿con qué ángulo? ¿Dónde cae esa luz en el plano del agujerito y qué le ocurre?
El agujerito deja pasar el $99\%$ de un haz gaussiano: potencia perdida y a dónde va.
¿Por qué debe ser mayor el haz expandido para seguir paralelo (relaciónese $\lambda/D$ con la distancia en la que el haz duplica su tamaño, $\sim D^2/\lambda$ )?
Resúmanse en una tabla los cuatro límites de este problema: abertura, longitud de onda, $\lambda/D$ y qué limita.

Solución

Solución de Problema 22.1.

1. $1.22\lambda/D = 2.2 \times 10^{-4}\,\mathrm{rad}$ ; $\times17\,\mathrm{mm} = 3.8\,\text{µ}\mathrm{m}$ : dos veces la separación de los conos — la retina muestrea en el límite de la óptica.

2. $56\,\text{µ}\mathrm{m}$ a $25\,\mathrm{cm}$ y $2.2\,\mathrm{mm}$ a $10\,\mathrm{m}$ ; $1\,\mathrm{mm}$ a $50\,\mathrm{cm}$ es diez veces el límite: sin dificultad.

3. $9.6 \times 10^{-5}\,\mathrm{rad}$ ; las aberraciones del cristalino a plena abertura y los bastones, más gruesos y agrupados, deshacen la ganancia.

4. $1.5/2.2 \times 10^{-4} = 7\,\mathrm{km}$ .

5. La difracción empeora hasta $6.7 \times 10^{-4}\,\mathrm{rad}$ , pero el círculo de borrosidad de un ojo desenfocado se encoge con la abertura: gana la profundidad de campo.

6. $6.7 \times 10^{-7}\,\mathrm{rad}$ ( $0.14''$ ); $\times10\,\mathrm{m} = 6.7\,\text{µ}\mathrm{m}$ de radio: un disco de $1.3$ píxeles.

7. $1''$ $= 4.9 \times 10^{-6}\,\mathrm{rad}$ , siete veces el límite; $D = 1.22\lambda/4.9 \times 10^{-6} = 14\,\mathrm{cm}$ ya alcanza el seeing.

8. $2.7 \times 10^{-6}\,\mathrm{rad}$ ( $0.55''$ ); los errores de fase de la atmósfera son una fracción menor de una longitud de onda más larga: menos correcciones y más lentas.

9. $0.15 < 0.55$ : no; a $550\,\mathrm{nm}$ desde el espacio, $0.14''$ : justo.

10. $6.7 \times 10^{-7} \times 3.8 \times 10^8 = 250\,\mathrm{m}$ ; el módulo, no.

11. Una cruz de cuatro puntas de difracción.

12. $(1000/7)^2 = 2 \times 10^4$ : objetos más débiles, no más nítidos.

13. $370\,\mathrm{nm}$ y $240\,\mathrm{nm}$ : $2700$ y $4200$ pares de líneas por milímetro.

14. La bacteria, sí; su estructura de $0.2\,\text{µ}\mathrm{m}$ , en el límite con aceite, no en seco; el virus, no.

15. $d \ge \lambda/\mathrm{AN} = 390\,\mathrm{nm}$ con iluminación normal y $200\,\mathrm{nm}$ con luz oblicua — el $0.61\lambda/\mathrm{AN}$ de dos puntos queda entre ambos.

16. El índice del aceite eleva $n\sin\alpha$ y suprime la reflexión total que atraparía los rayos más inclinados en el cubreobjetos.

17. $110\,\mathrm{nm}$ ; electrones: $0.61 \times 4\,\text{pm}/0.01 = 0.24\,\mathrm{nm}$ .

18. La lámina retrasa un cuarto de onda la luz no difractada para que interfiera con la luz difractada por la estructura de fase de la célula; el patrón de fase se convierte en un patrón de intensidad.

19. $4.3 \times 10^{-4}\,\mathrm{rad}$ ; $1.5 + 2 \times 43 = 88\,\mathrm{mm}$ .

20. $2.44\lambda f_1/D = 8.7\,\text{µ}\mathrm{m}$ ; agujerito de $13\,\text{µ}\mathrm{m}$ .

21. $f_2 = 20f_1 = 200\,\mathrm{mm}$ ; $2.2 \times 10^{-5}\,\mathrm{rad}$ ; $30 + 44 = 74\,\mathrm{mm}$ tras un kilómetro.

22. $\lambda/100\,\text{µ}\mathrm{m} = 5.3 \times 10^{-3}\,\mathrm{rad}$ : $53\,\text{µ}\mathrm{m}$ fuera del eje en el agujerito — bloqueado.

23. El $1\%$ , absorbido por la placa del agujerito.

24. Un haz de diámetro $D$ duplica su tamaño en $\sim D^2/\lambda$ : $4\,\mathrm{m}$ para $1.5\,\mathrm{mm}$ y $1.7\,\mathrm{km}$ para $30\,\mathrm{mm}$ .

25. Ojo $3\,\mathrm{mm}$ , telescopio $1\,\mathrm{m}$ , objetivo (AN $1.4$ ), haz $30\,\mathrm{mm}$ : en cada uno, $\lambda/D$ fija el menor ángulo, el detalle más fino y la apertura más lenta.

Términos definidos en este capítulo

Principio de Huygens–Fresnel

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