29El factor de Boltzmann

Ejercicio 29.1 ★

Altura de escala del aire a $288\,\mathrm{K}$ ($M = 29\,\mathrm{g}/\mathrm{mol}$); presión a $3000\,\mathrm{m}$, a $8849\,\mathrm{m}$ y a $10\,\mathrm{km}$ (compárese con los $0.26\,\mathrm{bar}$ medidos); altura de escala del helio solo; y la de la atmósfera marciana (CO$_2$, $210\,\mathrm{K}$, $g = 3.7\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$).

Ejercicio 29.2 ★

Poblaciones: el nivel $n = 2$ del hidrógeno ($10.2\,\mathrm{eV}$, degeneración $4$ frente a $1$) a $300\,\mathrm{K}$, $6000\,\mathrm{K}$ y $10\,000\,\mathrm{K}$; el nivel de $2.1\,\mathrm{eV}$ del sodio en una llama a $2500\,\mathrm{K}$; un nivel de rotación molecular a $1 \times 10^{-3}\,\mathrm{eV}$ a $300\,\mathrm{K}$; y un nivel de espín nuclear desdoblado $1 \times 10^{-7}\,\mathrm{eV}$ en un imán a $300\,\mathrm{K}$.

Ejercicio 29.3 ★

Celeridades de Maxwell ($v_{\text{p}}$, $\langle v\rangle$, $v_{\text{cm}}$) para N$_2$ a $300\,\mathrm{K}$ y $77\,\mathrm{K}$, para H$_2$ a $300\,\mathrm{K}$ y para una partícula de humo de $1 \times 10^{-18}\,\mathrm{kg}$. Fracción de moléculas más rápidas que $2v_{\text{p}}$ (cerca del $4.6\%$) y que $3v_{\text{p}}$ (cerca de $4 \times 10^{-4}$): coméntese la cola.

Ejercicio 29.4 ★

Momentos de espín 1/2 con $\mu = \mu_B$, $n = 1 \times 10^{28}\,\mathrm{m}^{-3}$, $B = 1\,\mathrm{T}$: $x = \mu B/k_BT$ a $300\,\mathrm{K}$ y a $1\,\mathrm{K}$; $M/M_{\text{sat}}$; $M_{\text{sat}}$; y la susceptibilidad a $300\,\mathrm{K}$. Compárese con la imanación de saturación del hierro ($1.7 \times 10^{6}\,\mathrm{A}/\mathrm{m}$).

Ejercicio 29.5 ★★

Dos niveles. (a) Dedúzcanse $p_1$, $p_2$ y $\langle E\rangle$ a partir de $Z$. (b) Muéstrese que $N_2 < N_1$ a cualquier temperatura positiva; ¿qué significaría $N_2 > N_1$ para $T$? (c) Entropía $S = -Nk_B\sum p_i\ln p_i$ del sistema para $T \to 0$ y $T \to \infty$. (d) Un defecto de un cristal puede estar en dos posiciones separadas $0.05\,\mathrm{eV}$: ocupación de la superior a $300\,\mathrm{K}$ y a $77\,\mathrm{K}$.

Ejercicio 29.6 ★★

Schottky. (a) Dedúzcase $C(T)$ del sistema de dos niveles. (b) Localícese su máximo numéricamente ($x = 2.40$) y su valor. (c) Límites a baja y a alta $T$, con su significado físico. (d) Los espines nucleares del cobre en $1\,\mathrm{T}$ tienen $\varepsilon \approx 1 \times 10^{-7}\,\mathrm{eV}$: ¿a qué temperatura queda su pico de Schottky y por qué importa para los criostatos más fríos?

Ejercicio 29.7 ★★

La equipartición y su fracaso. (a) Dedúzcase $\langle aq^2\rangle = k_BT/2$ con la integral gaussiana. (b) $C_V$ de un gas monoatómico y de uno diatómico rígido. (c) La vibración del nitrógeno tiene $h\nu/k_B = 3400\,\mathrm{K}$: con la energía media del oscilador, $C_V$ a $300\,\mathrm{K}$, $1000\,\mathrm{K}$ y $3000\,\mathrm{K}$. (d) Sólido de Einstein: $C$ en $T = \theta_{\text{E}}$, $\theta_{\text{E}}/4$ y $4\theta_{\text{E}}$ en unidades de $3R$; el diamante a temperatura ambiente.

Ejercicio 29.8 ★★

Maxwell en detalle. (a) Muéstrese que las componentes de la velocidad son gaussianas independientes y dedúzcase $f(v)$. (b) Calcúlense $v_{\text{p}}$, $\langle v\rangle$ y $v_{\text{cm}}$. (c) Energía cinética media: compruébese con la equipartición. (d) El flujo de moléculas que golpean una pared vale $\tfrac14n\langle v\rangle$ por unidad de área y de tiempo (admitido): número de moléculas de N$_2$ que golpean $1\,\mathrm{cm}^{2}$ por segundo a $1\,\mathrm{bar}$ y $300\,\mathrm{K}$; y el ritmo con que un agujerito de $1\,\text{µ}\mathrm{m}$ deja entrar aire en una cámara de vacío (efusión).

Ejercicio 29.9 ★★

Escape. (a) Fracción de un gas de Maxwell más rápida que $v$: muéstrese que vale aproximadamente $(2/\sqrt\pi)\,x\,\eu^{-x^2}$ para $x = v/v_{\text{p}} \gg 1$. (b) Helio a $1000\,\mathrm{K}$ por encima de $11.2\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$; y nitrógeno. (c) Luna, $v_{\text{esc}} = 2.4\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$, $400\,\mathrm{K}$: nitrógeno, y qué temperatura lo retendría durante la edad del sistema solar (tómense $10^{17}$ tiempos de colisión: fracción de escape por debajo de $10^{-17}$). (d) ¿Por qué conserva Titán ($2.6\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$, $94\,\mathrm{K}$) una atmósfera espesa de nitrógeno?

Ejercicio 29.10 ★★★

Otros potenciales. (a) En una centrifugadora que gira a $\omega$, la energía potencial efectiva vale $-\tfrac12m\omega^2r^2$: perfil de densidad $n(r)$. (b) Hexafluoruro de uranio, dos isótopos con $\Delta m = 3\,\mathrm{u}$, $\omega = 2\pi \times 1000\,\mathrm{Hz}$, $r = 10\,\mathrm{cm}$, $300\,\mathrm{K}$: factor de enriquecimiento de una etapa. (c) Esferas coloidales (de masa aparente $m' = 2.6 \times 10^{-17}\,\mathrm{kg}$) en agua a $293\,\mathrm{K}$: altura de escala de su equilibrio de sedimentación; ¿cómo dio esto el número de Avogadro? (d) Un gas de electrones en un campo $E$: ¿por qué es el perfil de Boltzmann $\eu^{eEx/k_BT}$ la base de la longitud de apantallamiento de Debye $\lambda_{\text{D}} = \sqrt{\varepsilon_0k_BT/ne^2}$ de un plasma (esbócese el argumento)?

Ejercicio 29.11 ★★★

Planck a partir de Boltzmann. (a) Calcúlense $Z$ y $\langle E\rangle$ para los niveles $nh\nu$. (b) Los dos límites y su significado. (c) Multiplíquese por la densidad de modos $8\pi\nu^2/c^3$ (dada) y recupérese la ley de Planck; muéstrese que la ley de Rayleigh–Jeans es la equipartición aplicada a cada modo. (d) ¿Por qué falla el recuento clásico, en una frase?

Ejercicio 29.12 ★★★

Desimanación adiabática. La entropía de $N$ espines 1/2 vale $S = Nk_B[\ln(2\cosh x) - x\tanh x]$, $x = \mu B/k_BT$. (a) Muéstrese que solo depende de $B/T$, con $S \to Nk_B\ln 2$ para $B/T \to 0$ y $S \to 0$ para $B/T \to \infty$. (b) Una sal a $1\,\mathrm{K}$ se imana isotérmicamente de $0$ a $1\,\mathrm{T}$: entropía retirada (por espín, con $\mu = \mu_B$). (c) El campo se reduce después adiabáticamente hasta $0.01\,\mathrm{T}$: temperatura final. (d) ¿Qué limita el método y cómo sirve de termómetro la misma curva de $\tanh$?