Física universitaria — segundo año · Bachelor Year 2

25Conducción del calor

Tóquense un raíl metálico y un banco de madera una misma mañana fría: el raíl se siente más frío, aunque un termómetro dé a ambos la misma temperatura. Póngase una sartén en el fuego y su mango se calienta solo al cabo de un rato; cávese dos metros en verano y el suelo sigue frío del invierno; un procesador que disipa cien vatios en un centímetro cuadrado no se funde porque encima lleva un bloque de aluminio con aletas. Todo esto es conducción del calor, el transporte de energía interna por la materia gracias a la agitación de sus moléculas, sin flujo alguno de materia — y todo ello obedece a una ley, la de Fourier, y a una ecuación, la del calor, que es la ecuación de difusión del capítulo anterior con la temperatura en lugar de la densidad. Este capítulo plantea la ley y la ecuación a partir de un balance de energía, las resuelve en los casos que importan (paredes estacionarias y sus resistencias térmicas, calentamiento periódico y onda térmica, aletas de refrigeración), presenta el intercambio con un fluido (ley de Newton y número de Biot) y calcula la entropía que crea la conducción — pues el calor solo fluye cuesta abajo.

Un disipador con aletas sobre un procesador: cien vatios conducidos fuera de un centímetro cuadrado de silicio, repartidos por una base metálica y entregados al aire por unas aletas que multiplican por treinta la superficie.

25.1 La ley de Fourier

Definición 25.1 (Densidad de corriente de calor)

La densidad de corriente de calor $\vect{j}_Q$ (en $\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$ ) es el vector tal que la energía transferida por conducción a través de un elemento de superficie orientado $\dd\vect S$ durante $\dd t$ vale $\vect{j}_Q\cdot\dd\vect S\,\dd t$ ; el flujo térmico (una potencia, en vatios) a través de una superficie $S$ es $\Phi = \iint_S\vect{j}_Q\cdot\dd\vect S$ .

Teorema 25.2 (Ley de Fourier)

En un medio en reposo cuya temperatura no es uniforme,

\vect{j}_Q = -\lambda\,\vect{\operatorname{grad}}\,T ,

donde la conductividad térmica $\lambda > 0$ (en $\mathrm{W}/\mathrm{m}/\mathrm{K}$ ) depende del material y, débilmente, de la temperatura. El calor fluye a favor del gradiente de temperatura, de lo caliente a lo frío — el segundo principio incorporado a una ley lineal.

Demostración. Fenomenológica, como la ley de Fick, y con la misma justificación microscópica: las moléculas (o los electrones libres de un metal, o las vibraciones de la red) llevan su energía en un camino aleatorio, y llega más de ella del lado caliente. ∎

Ejemplo 25.3 (Conductividades)

Metales (los electrones llevan el calor igual que la corriente — las conductividades van a la par): cobre $400\,\mathrm{W}/\mathrm{m}/\mathrm{K}$ , aluminio $240\,\mathrm{W}/\mathrm{m}/\mathrm{K}$ , acero $50\,\mathrm{W}/\mathrm{m}/\mathrm{K}$ . Sólidos aislantes: hormigón $1.5\,\mathrm{W}/\mathrm{m}/\mathrm{K}$ , vidrio $1\,\mathrm{W}/\mathrm{m}/\mathrm{K}$ , ladrillo $0.8\,\mathrm{W}/\mathrm{m}/\mathrm{K}$ , madera $0.15\,\mathrm{W}/\mathrm{m}/\mathrm{K}$ . Líquidos: agua $0.6\,\mathrm{W}/\mathrm{m}/\mathrm{K}$ . Gases: aire $0.026\,\mathrm{W}/\mathrm{m}/\mathrm{K}$ — y los mejores aislantes, la lana de vidrio o la espuma a $0.04\,\mathrm{W}/\mathrm{m}/\mathrm{K}$ , son en su mayor parte aire quieto, atrapado para que no pueda convectar. Cuatro órdenes de magnitud del cobre al aire.

25.2 El balance de energía y la ecuación del calor

Teorema 25.4 (Balance local de energía)

En un sólido (o un fluido en reposo) de densidad $\rho$ y calor específico $c$ , con una potencia $p$ liberada por unidad de volumen (efecto Joule, una reacción química o nuclear, radiación absorbida),

\rho c\,\frac{\partial T}{\partial t} = -\operatorname{div}\vect{j}_Q + p , \qquad\text{en una dimensión}\quad \rho c\,\frac{\partial T}{\partial t} = -\frac{\partial j_Q}{\partial x} + p .

Demostración. Primer principio para la rodaja entre $x$ y $x + \dd x$ (de sección $S$ y volumen fijo, así que sin trabajo): su energía interna $\rho c\,T\,S\,\dd x$ cambia en $\dd t$ por el calor recibido, $[j_Q(x) - j_Q(x+\dd x)]S\,\dd t = -\partial_x j_Q\,\dd x\,S\,\dd t$ , más $p\,S\,\dd x\,\dd t$ . En tres dimensiones, el calor que entra en un volumen fijo por su superficie cerrada vale $-\iint\vect{j}_Q\cdot\dd\vect S = -\iiint\operatorname{div}\vect{j}_Q\,\dd\tau$ . ∎

Teorema 25.5 (Ecuación del calor)

Para $\lambda$ , $\rho$ y $c$ uniformes,

\frac{\partial T}{\partial t} = a\,\Delta T + \frac{p}{\rho c}, \qquad a = \frac{\lambda}{\rho c} \quad\text{(la \emph{difusividad térmica}, en $\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$)} .

Vale todo lo dicho de la ecuación de difusión: linealidad, irreversibilidad, suavizado y las escalas $L \sim \sqrt{at}$ , $t \sim L^2/a$ .

Demostración. Introdúzcase la ley de Fourier en el balance: $\rho c\,\partial_t T = \lambda\Delta T + p$ . ∎

Ejemplo 25.6 (Difusividades y tiempos)

Cobre $a = 1.1 \times 10^{-4}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$ , aire $2 \times 10^{-5}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$ , hormigón y ladrillo $\approx 5 \times 10^{-7}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$ , agua $1.4 \times 10^{-7}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$ , madera $1 \times 10^{-7}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$ . El calor cruza un centímetro de cobre en un segundo, un centímetro de ladrillo en tres minutos, una pared de $20\,\mathrm{cm}$ en un día (por eso los muros gruesos suavizan el ciclo día–noche), el semiespesor de $1.5\,\mathrm{cm}$ de un filete en un cuarto de hora (los tiempos de cocción escalan como el cuadrado del espesor) y un kilómetro de roca en $10^{12}\,\mathrm{s}$ , treinta mil años — la Tierra sigue enfriándose desde su formación.

25.3 Régimen estacionario: resistencias térmicas

Proposición 25.7 (Resistencia térmica de una lámina)

En régimen estacionario y sin fuentes, una lámina de espesor $e$ , área $S$ y conductividad $\lambda$ , entre las temperaturas $T_1$ y $T_2$ , tiene un perfil lineal y transporta el flujo

\Phi = \frac{T_1 - T_2}{R_{\text{t}}}, \qquad R_{\text{t}} = \frac{e}{\lambda S}\quad\text{(en $\mathrm{K}/\mathrm{W}$)} :

su resistencia térmica. La temperatura hace el papel del potencial y el flujo el de la corriente: las resistencias en serie (capas de un muro) se suman, y las resistencias en paralelo (muro y ventana) suman sus inversas. Para una envoltura cilíndrica (el aislamiento de una tubería) entre los radios $r_1 < r_2$ y de longitud $\ell$ , $R_{\text{t}} = \ln(r_2/r_1)/2\pi\lambda\ell$ ; para una envoltura esférica, $(1/r_1 - 1/r_2)/4\pi\lambda$ .

Demostración. $\dd^2T/\dd x^2 = 0$ : perfil afín, $j_Q = \lambda(T_1 - T_2)/e$ uniforme, $\Phi = j_QS$ . En geometría cilíndrica, $\Phi = -\lambda\,2\pi r\ell\,\dd T/\dd r$ es el mismo para todo $r$ (sin acumulación), luego $T = A - (\Phi/2\pi\lambda\ell)\ln r$ ; en geometría esférica, $\Phi = -4\pi r^2\lambda\,\dd T/\dd r$ da $T = A + \Phi/4\pi\lambda r$ . ∎

Proposición 25.8 (Intercambio con un fluido: la ley de Newton)

Una superficie sólida a $T_{\text{sup}}$ en contacto con un fluido a $T_{\text{fl}}$ (lejos de la superficie) pierde la densidad de flujo

j_Q = h\,(T_{\text{sup}} - T_{\text{fl}}) ,

donde el coeficiente de transferencia de calor $h$ (en $\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}/\mathrm{K}$ ) resume la conducción a través de la fina capa de fluido que se pega a la pared y la convección que la renueva: $h \approx 5$ – $25\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}/\mathrm{K}$ para el aire en convección natural o ligera, $50$ – $500\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}/\mathrm{K}$ para aire forzado y de $10^3$ a $10^4$ para el agua. La superficie añade entonces una resistencia de película $1/hS$ en serie con la pared.

Demostración. Fenomenológica: el movimiento del fluido no se calcula, se resume en $h$ (medido, o dado por las correlaciones de la mecánica de fluidos). ∎

Un muro compuesto y su circuito térmico: película, ladrillo, lana y película en serie. A la derecha, el perfil de temperatura — casi toda la caída se produce en la capa de mayor resistencia, la lana, aunque sea la más fina.

Ejemplo 25.9 (Un muro y una ventana)

Por metro cuadrado: ladrillo de $20\,\mathrm{cm}$ a $0.8\,\mathrm{W}/\mathrm{m}/\mathrm{K}$ , $R = 0.25\,\mathrm{m}^{2}\,\mathrm{K}/\mathrm{W}$ ; las dos películas, $1/8 + 1/25 = 0.165\,\mathrm{m}^{2}\,\mathrm{K}/\mathrm{W}$ : total $0.415$ , es decir, $U = 1/R = 2.4\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}/\mathrm{K}$ y, para una diferencia de $20\,\mathrm{K}$ , $48\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$ . Añádanse $10\,\mathrm{cm}$ de lana de vidrio, $R = 2.5\,\mathrm{m}^{2}\,\mathrm{K}/\mathrm{W}$ : el total es $2.9$ , $U = 0.34\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}/\mathrm{K}$ — siete veces menos. Un vidrio simple de $4\,\mathrm{mm}$ a $1\,\mathrm{W}/\mathrm{m}/\mathrm{K}$ es todo película: $R = 0.004 + 0.165$ , $U \approx 6\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}/\mathrm{K}$ ; una capa de $12\,\mathrm{mm}$ de aire quieto entre dos vidrios añade $0.012/0.026 = 0.46\,\mathrm{m}^{2}\,\mathrm{K}/\mathrm{W}$ y divide la pérdida por más de tres.

Definición 25.10 (Número de Biot)

Para un sólido de tamaño $L$ que intercambia con un fluido, el número de Biot

\mathrm{Bi} = \frac{hL}{\lambda} = \frac{\text{resistencia interna } L/\lambda S}{\text{resistencia de película } 1/hS}

compara ambas. Si $\mathrm{Bi} \ll 1$ el sólido tiene temperatura uniforme en cada instante y se enfría como un todo, exponencialmente con la constante de tiempo $\tau = \rho c V/hS$ ; si $\mathrm{Bi} \gg 1$ la superficie está a la temperatura del fluido y el interior conduce a su propio ritmo $L^2/a$ .

25.4 Calentamiento periódico: la onda térmica

Proposición 25.11 (Onda térmica en un semiespacio)

Si la superficie $x = 0$ de un semiespacio se mantiene a $T(0,t) = T_0 + \theta_0\cos\omega t$ , la temperatura del interior vale, en régimen establecido,

T(x,t) = T_0 + \theta_0\,\eu^{-x/\delta}\cos\Big(\omega t - \frac{x}{\delta}\Big), \qquad \delta = \sqrt{\frac{2a}{\omega}} :

una onda que se propaga hacia dentro con la celeridad $\omega\delta = \sqrt{2a\omega}$ y se amortigua en una profundidad de penetración $\delta$ por radián de fase — en $\eu^{-2\pi} = 2 \times 10^{-3}$ por cada longitud de onda. Las oscilaciones rápidas penetran menos que las lentas.

Demostración. Búsquese $\underline T = \theta_0\eu^{\iu(\omega t - \underline k x)}$ : $\iu\omega = -a\underline k^2$ , luego $\underline k^2 = -\iu\omega/a$ , $\underline k = (1 - \iu)\sqrt{\omega/2a} = (1 - \iu)/\delta$ (la raíz que decae para $x > 0$ ). Tómese la parte real. ∎

La onda térmica en tres instantes: la oscilación de la superficie penetra como una onda amortiguada, con la amplitud cayendo como -x/ (discontinua) y la fase retrasándose en x/ — en x = π la temperatura es opuesta a la de la superficie. — La onda térmica en tres instantes: la oscilación de la superficie penetra como una onda amortiguada, con la amplitud cayendo como $\eu^{-x/\delta}$ (discontinua) y la fase retrasándose en $x/\delta$ — en $x = \pi\delta$ la temperatura es opuesta a la de la superficie.

Ejemplo 25.12 (El suelo, la bodega y el vino)

Suelo, $a \approx 5 \times 10^{-7}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$ . Ciclo diario, $\omega = 2\pi/86\,400\,\mathrm{s}$ : $\delta = 12\,\mathrm{cm}$ — a medio metro de profundidad el día ha desaparecido. Ciclo anual: $\delta = 2.2\,\mathrm{m}$ ; a esa profundidad la oscilación de $10\,\mathrm{K}$ entre verano e invierno baja a $3.7\,\mathrm{K}$ y se retrasa un radián, dos meses: la bodega es más fría en marzo y más cálida en septiembre, y a $5\,\mathrm{m}$ está a $1\,\mathrm{K}$ de ser constante — la bodega que guarda el vino. La misma matemática da la profundidad de penetración del electromagnetismo (Capítulo 14): la misma ecuación, el mismo $\sqrt{2/(\text{difusividad} \times\omega)}$ .

25.5 Aletas

Proposición 25.13 (La aleta de refrigeración)

Una varilla o placa fina (de sección $S$ , perímetro $p$ y conductividad $\lambda$ ) sujeta en $x = 0$ a una pared a $T_0$ , en un fluido a $T_{\text{fl}}$ con el coeficiente $h$ , tiene el exceso de temperatura $\theta = T - T_{\text{fl}}$ que obedece a

\frac{\dd^2\theta}{\dd x^2} = m^2\theta, \qquad m = \sqrt{\frac{hp}{\lambda S}} ;

para una aleta larga, $\theta = \theta_0\eu^{-mx}$ y la aleta evacúa $\Phi = \sqrt{hp\lambda S}\,\theta_0$ — tanto como una superficie desnuda de longitud $\sqrt{\lambda S/hp} = 1/m$ , con una temperatura que ha caído a $\theta_0/\eu$ en $x = 1/m$ . Para una aleta de longitud finita $L$ (con la punta adiabática), $\theta = \theta_0\cosh m(L-x)/\cosh mL$ y su rendimiento — el flujo dividido por el de una aleta isoterma a $\theta_0$ — vale $\eta = \tanh(mL)/mL$ .

Demostración. Balance estacionario de la rodaja $[x, x + \dd x]$ : conducción que entra, $-\lambda S\theta'(x)$ ; que sale, $-\lambda S\theta'(x + \dd x)$ ; perdida hacia el fluido, $hp\,\theta\,\dd x$ : $\lambda S\theta'' = hp\theta$ . El flujo en la base vale $-\lambda S\theta'(0)$ : $\lambda Sm\theta_0$ para la aleta larga y $\lambda Sm\theta_0\tanh mL$ para la finita, que hay que comparar con $hpL\theta_0$ . El número de Biot en el espesor de la aleta, $ht/\lambda$ , debe ser pequeño para el tratamiento unidimensional. ∎

A la izquierda, la temperatura a lo largo de una aleta, para una aleta larga y dos finitas (de punta adiabática) — más allá de mx 2 una aleta aporta poco. A la derecha, el balance de una rodaja: conducción a lo largo y convección hacia fuera por el perímetro. — A la izquierda, la temperatura a lo largo de una aleta, para una aleta larga y dos finitas (de punta adiabática) — más allá de $mx \approx 2$ una aleta aporta poco. A la derecha, el balance de una rodaja: conducción a lo largo y convección hacia fuera por el perímetro.

Ejemplo 25.14 (Un disipador)

Aletas de aluminio de $1\,\mathrm{mm}$ de espesor ( $p/S \approx 2/t = 2000\,\mathrm{m}^{-1}$ ) y $30\,\mathrm{mm}$ de alto, en aire forzado con $h = 50\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}/\mathrm{K}$ : $m = \sqrt{2h/\lambda t} = 20\,\mathrm{m}^{-1}$ , $mL = 0.6$ , $\eta = 0.89$ — las aletas trabajan al $89\%$ de su área. Treinta de ellas, de $60\,\mathrm{mm}$ de ancho, ofrecen $0.11\,\mathrm{m}^{2}$ donde el cuadrado desnudo de $60\,\mathrm{mm}$ ofrecía $0.0036\,\mathrm{m}^{2}$ : una resistencia $1/\eta hA = 0.2\,\mathrm{K}/\mathrm{W}$ en vez de $5.6\,\mathrm{K}/\mathrm{W}$ ; $100\,\mathrm{W}$ elevan la base $20\,\mathrm{K}$ en vez de $560\,\mathrm{K}$ . Alargar las aletas gana poco (la $\tanh$ satura) y afinarlas pierde rendimiento: $mL \approx 1$ es el compromiso del ingeniero.

25.6 Entropía creada por la conducción

Proposición 25.15 (Producción de entropía)

Un flujo $\Phi$ conducido de un cuerpo a $T_{\text{cal}}$ a un cuerpo a $T_{\text{fr}} < T_{\text{cal}}$ a través de una pared estacionaria crea entropía con el ritmo

\dot S_{\text{c}} = \Phi\Big(\frac{1}{T_{\text{fr}}} - \frac{1}{T_{\text{cal}}}\Big) > 0 ;

localmente, la conducción crea $\sigma_s = \lambda\,(\vect{\operatorname{grad}}\,T)^2/T^2 \ge 0$ por unidad de volumen y tiempo — nula solo donde la temperatura es uniforme. La conducción del calor es irreversible: la misma energía, entregada a temperatura menor, puede hacer menos trabajo.

Demostración. El estado de la pared no cambia, así que su entropía es constante: el cuerpo caliente pierde $\Phi/T_{\text{cal}}$ por unidad de tiempo y el frío gana $\Phi/T_{\text{fr}}$ ; la diferencia se crea. Localmente, el balance de entropía $\partial_t(\rho s) + \operatorname{div}(\vect{j}_Q/T) = \sigma_s$ con $\rho T\partial_t s = -\operatorname{div}\vect{j}_Q$ da $\sigma_s = \vect{j}_Q\cdot\vect{\operatorname{grad}}(1/T) = -\vect{j}_Q\cdot \vect{\operatorname{grad}}\,T/T^2 = \lambda(\vect{\operatorname{grad}}\,T)^2/T^2$ . ∎

Método 25.16 (Estimaciones de conducción)

(1) Estacionario: constrúyase el circuito térmico — láminas $e/\lambda S$ , películas $1/hS$ , envolturas $\ln(r_2/r_1)/2\pi\lambda\ell$ ; en serie y en paralelo. (2) Transitorio: $\mathrm{Bi} = hL/\lambda$ ; si es pequeño, $\tau = \rho cV/hS$ ; si es grande, $t \sim L^2/a$ . (3) Periódico: $\delta = \sqrt{2a/\omega}$ , amortiguamiento $\eu^{-x/\delta}$ , retraso $x/\delta$ . (4) Fuentes: $p$ por unidad de volumen, perfiles parabólicos. (5) Aletas: $m = \sqrt{hp/\lambda S}$ , $\eta = \tanh(mL)/mL$ . (6) Entropía: $\Phi(1/T_{\text{fr}} - 1/T_{\text{cal}})$ .

25.7 Ejercicios

Ejercicio 25.1 ★

Un muro de ladrillo de $20\,\mathrm{cm}$ de espesor ( $\lambda = 0.8\,\mathrm{W}/\mathrm{m}/\mathrm{K}$ ) y $100\,\mathrm{m}^{2}$ , entre $20\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ dentro y $0\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ fuera (con las superficies a esas temperaturas): densidad de flujo, flujo total; y con $10\,\mathrm{cm}$ de lana de vidrio ( $0.04\,\mathrm{W}/\mathrm{m}/\mathrm{K}$ ) añadidos.

Solución

Solución de Ejercicio 25.1.

$j = \lambda\Delta T/e = 80\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$ ; $8\,\mathrm{kW}$ ; con lana, $R = 0.25 + 2.5 = 2.75\,\mathrm{m}^{2}\,\mathrm{K}/\mathrm{W}$ : $7.3\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$ , $730\,\mathrm{W}$ .

Ejercicio 25.2 ★

Difusividades: cobre ( $\lambda = 400$ , $\rho = 8900$ , $c = 385\,\mathrm{J}/\mathrm{kg}/\mathrm{K}$ ), hormigón ( $1.5$ , $2300$ , $900$ ) y madera ( $0.15$ , $600$ , $2500$ ). Tiempos que tarda el calor en cruzar $1\,\mathrm{cm}$ y $20\,\mathrm{cm}$ de cada uno; y los $30\,\mathrm{km}$ de corteza de la Tierra.

Solución

Solución de Ejercicio 25.2.

$a$ : $1.2 \times 10^{-4}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$ , $7 \times 10^{-7}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$ , $1 \times 10^{-7}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$ . Para $1\,\mathrm{cm}$ : $0.9\,\mathrm{s}$ , $140\,\mathrm{s}$ , $1000\,\mathrm{s}$ ; para $20\,\mathrm{cm}$ : $6\,\mathrm{min}$ , $15\,\mathrm{h}$ , $5\,\mathrm{d}$ ; corteza ( $a \sim 1 \times 10^{-6}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$ ): $10^{15}\,\mathrm{s}$ , treinta millones de años.

Ejercicio 25.3 ★

Vidrio simple ( $4\,\mathrm{mm}$ , $\lambda = 1\,\mathrm{W}/\mathrm{m}/\mathrm{K}$ ) con películas $h_{\text{int}} = 8$ , $h_{\text{ext}} = 25\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}/\mathrm{K}$ ; vidrio doble con una capa de $12\,\mathrm{mm}$ de aire quieto ( $0.026\,\mathrm{W}/\mathrm{m}/\mathrm{K}$ ): valores de $U$ y flujos para $20\,\mathrm{K}$ . ¿Por qué es el vidrio doble real casi el doble de malo que esta estimación, y qué hacen el argón y los tratamientos de baja emisividad?

Solución

Solución de Ejercicio 25.3.

Simple: $R = 0.169$ , $U = 5.9\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}/\mathrm{K}$ , $118\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$ ; doble: $R = 0.63$ , $U = 1.6\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}/\mathrm{K}$ , $32\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$ . El hueco convecta y los vidrios intercambian por radiación (cerca de la mitad de la transferencia real); el argón conduce menos y convecta menos, y un tratamiento de baja emisividad suprime la radiación.

Ejercicio 25.4 ★

Cocina: $a = 1.4 \times 10^{-7}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$ para la carne. Tiempo que tarda el centro de un filete de $3\,\mathrm{cm}$ en notar la sartén; y el de un asado de $12\,\mathrm{cm}$ . Un pavo del doble de peso: ¿cuánto más tarda (la dimensión escala como la raíz cúbica de la masa)?

Solución

Solución de Ejercicio 25.4.

$L^2/a$ con el semiespesor: $27\,\mathrm{min}$ ; asado: $16\times$ , $7\,\mathrm{h}$ ; $t \propto L^2 \propto m^{2/3}$ : $\times 1.6$ .

Ejercicio 25.5 ★★

Fuente interna. Un cilindro de radio $R$ libera $p$ por unidad de volumen; la superficie está a $T_{\text{sup}}$ . (a) Muéstrese que $T(r) = T_{\text{sup}} + p(R^2 - r^2)/4\lambda$ . (b) Hilo de cobre, $R = 1\,\mathrm{mm}$ , $j = 1 \times 10^{7}\,\mathrm{A}/\mathrm{m}^{2}$ , $\gamma = 6 \times 10^{7}\,\mathrm{S}/\mathrm{m}$ : $p$ y la diferencia entre centro y superficie. (c) Barra de combustible nuclear, $R = 5\,\mathrm{mm}$ , $p = 3 \times 10^{8}\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{3}$ , $\lambda = 3\,\mathrm{W}/\mathrm{m}/\mathrm{K}$ : la misma pregunta. (d) Coméntese.

Solución

Solución de Ejercicio 25.5.

(a) $(rT')'/r = -p/\lambda$ con $T'(0) = 0$ . (b) $p = j^2/\gamma = 1.7 \times 10^{6}\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{3}$ ; $pR^2/4\lambda = 1 \times 10^{-3}\,\mathrm{K}$ . (c) $625\,\mathrm{K}$ . (d) Un hilo es isotermo; el centro de una pastilla de combustible está cientos de kelvin por encima de su superficie — la densidad de potencia de un reactor la limita la conducción en el combustible.

Ejercicio 25.6 ★★

El suelo. (a) Dedúzcase $\delta = \sqrt{2a/\omega}$ . (b) Suelo con $a = 5 \times 10^{-7}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$ : profundidades de penetración diaria y anual. (c) Profundidad a la que la amplitud anual es la décima parte de la de la superficie; retraso de fase allí. (d) Una tubería de agua no debe helarse donde la temperatura invernal de la superficie baja a $-10\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ en torno a una media de $10\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ : profundidad mínima (onda anual).

Solución

Solución de Ejercicio 25.6.

(a) Proposición 25.11. (b) $12\,\mathrm{cm}$ ; $2.2\,\mathrm{m}$ . (c) $\delta\ln 10 = 5.2\,\mathrm{m}$ ; retraso $2.3\,\mathrm{rad}$ , $130$ días. (d) La amplitud de $20\,\mathrm{K}$ debe reducirse a la mitad: $x = \delta\ln 2 = 1.5\,\mathrm{m}$ .

Ejercicio 25.7 ★★

Biot. (a) Esfera de cobre de $1\,\mathrm{cm}$ de radio, en aire ( $h = 10\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}/\mathrm{K}$ ): número de Biot y constante de tiempo de su enfriamiento. (b) Una patata ( $\lambda = 0.5\,\mathrm{W}/\mathrm{m}/\mathrm{K}$ , $a = 1.4 \times 10^{-7}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$ , radio $3\,\mathrm{cm}$ ) en un horno con $h = 20\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}/\mathrm{K}$ : número de Biot; ¿qué tiempo gobierna su cocción? (c) ¿Por qué se hace pequeña la punta de un termopar? (d) ¿Por qué se enfría más deprisa una taza de café si se remueve o se sopla — qué resistencia cambia?

Solución

Solución de Ejercicio 25.7.

(a) $\mathrm{Bi} = hR/3\lambda \approx 10^{-4}$ ; $\tau = \rho cR/3h = 1100\,\mathrm{s}$ . (b) $\mathrm{Bi} = 1.2$ : ningún límite; gobierna el tiempo interno $R^2/a \approx 6000\,\mathrm{s}$ . (c) $R$ pequeño: $\tau$ minúsculo y número de Biot pequeño. (d) Cae la resistencia de película $1/h$ , que es la dominante.

Ejercicio 25.8 ★★

Una aleta. (a) Dedúzcanse $\theta'' = m^2\theta$ y la solución de la aleta larga. (b) Aleta de aluminio de $1\,\mathrm{mm}$ de espesor y $30\,\mathrm{mm}$ de alto, en convección natural con $h = 20\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}/\mathrm{K}$ : $m$ , $mL$ y rendimiento. (c) ¿En qué factor multiplica la aleta el área de intercambio de su huella, y el flujo? (d) ¿Por qué es un desperdicio de metal una aleta muy larga o muy fina?

Solución

Solución de Ejercicio 25.8.

(a) Proposición 25.13. (b) $m = \sqrt{2h/\lambda t} = 13\,\mathrm{m}^{-1}$ , $mL = 0.39$ , $\eta = 0.95$ . (c) Área $\times 2L/t = 60$ , flujo $\times 57$ . (d) Más allá de $mL \approx 2$ la longitud sobrante está a la temperatura del fluido; una aleta más fina tiene un $m$ mayor y un rendimiento menor.

Ejercicio 25.9 ★★

Tuberías. (a) Dedúzcase la resistencia de una envoltura cilíndrica. (b) Una tubería de vapor, de radio exterior $5\,\mathrm{cm}$ a $150\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ , envuelta en $5\,\mathrm{cm}$ de lana de vidrio, con aire a $20\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ y $h = 10\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}/\mathrm{K}$ fuera: pérdida por metro, comparada con la tubería desnuda. (c) Muéstrese que la resistencia total del aislamiento más la película tiene un mínimo en el radio crítico $r_{\text{cr}} = \lambda/h$ . (d) Para un hilo eléctrico de $1\,\mathrm{mm}$ de radio con una funda de plástico ( $\lambda = 0.2\,\mathrm{W}/\mathrm{m}/\mathrm{K}$ ), ¿enfría o calienta la funda al cobre?

Solución

Solución de Ejercicio 25.9.

(a) Proposición 25.7. (b) Lana $\ln 2/2\pi\lambda = 2.76\,\mathrm{K}\,\mathrm{m}/\mathrm{W}$ , película exterior $1/2\pi r_2h = 0.16$ : $45\,\mathrm{W}/\mathrm{m}$ ; desnuda, $2\pi r_1h\Delta T = 410\,\mathrm{W}/\mathrm{m}$ . (c) $\dd/\dd r[\ln(r/r_1)/2\pi\lambda + 1/2\pi hr] = 0$ en $r = \lambda/h$ . (d) $r_{\text{cr}} = 2\,\mathrm{cm} > 1\,\mathrm{mm}$ : la funda aumenta la pérdida — enfría el cobre.

Ejercicio 25.10 ★★★

Entropía. El muro de Ejercicio 25.1 (desnudo) entre $293\,\mathrm{K}$ y $273\,\mathrm{K}$ . (a) Entropía creada por segundo. (b) Calcúlese $\int\sigma_s\,\dd V$ con el perfil lineal y compruébese que coincide. (c) Entropía creada una vez aislado. (d) El trabajo que una máquina reversible podría haber extraído de los $8\,\mathrm{kW}$ entre esas temperaturas, y qué queda de él tras el muro.

Solución

Solución de Ejercicio 25.10.

(a) $8000(1/273 - 1/293) = 2.0\,\mathrm{W}/\mathrm{K}$ . (b) $\sigma_s = \lambda T'^2/T^2$ con $T' = 100\,\mathrm{K}/\mathrm{m}$ ; $\int\sigma_s\,\dd x = \lambda T'(1/T_{\text{fr}} - 1/T_{\text{cal}}) = j(1/T_{\text{fr}} - 1/T_{\text{cal}})$ ; por $100\,\mathrm{m}^{2}$ : lo mismo. (c) $0.18\,\mathrm{W}/\mathrm{K}$ . (d) $\Phi(1 - T_{\text{fr}}/T_{\text{cal}}) = 550\,\mathrm{W}$ ; nada — el calor está ahora a $T_{\text{fr}}$ ( $T_{\text{fr}}\dot S_{\text{c}} = 550\,\mathrm{W}$ ).

Ejercicio 25.11 ★★★

Por qué el metal se siente frío. (a) Para la onda térmica, calcúlese el flujo en la superficie $j_Q(0,t)$ y muéstrese que adelanta a la temperatura de la superficie en $\pi/4$ , con la amplitud $\sqrt{\lambda\rho c\,\omega}\,\theta_0$ . La magnitud $b = \sqrt{\lambda\rho c}$ es la efusividad. (b) Dos semiespacios a $T_1$ y $T_2$ se ponen en contacto: admitiendo que cada uno sigue entonces un perfil de erfc con la temperatura común de la superficie $T_{\text{cont}}$ , y escribiendo la continuidad del flujo en el contacto, muéstrese que $T_{\text{cont}} = (b_1T_1 + b_2T_2)/(b_1 + b_2)$ . (c) Piel ( $b \approx 1000\,\mathrm{J}/\mathrm{m}^{2}/\mathrm{K}/\mathrm{s}^{1/2}$ , $33\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ ) que toca cobre ( $b = 37000$ ) o madera ( $b = 400$ ) a $20\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ : temperaturas de contacto. (d) ¿Por qué se siente más frío un suelo de baldosa que una alfombra a la misma temperatura, y por qué es solo transitoria la sensación?

Solución

Solución de Ejercicio 25.11.

(a) $j_Q(0,t) = -\lambda\partial_xT = \lambda\theta_0\sqrt2/\delta\,\cos(\omega t + \pi/4) = \sqrt{\lambda\rho c\omega}\,\theta_0\cos(\omega t + \pi/4)$ . (b) El flujo de cada lado en el contacto vale $b_i|T_i - T_{\text{cont}}|/\sqrt{\pi t}$ ; igualando: $T_{\text{cont}} = (b_1T_1 + b_2T_2)/(b_1 + b_2)$ . (c) Cobre $20.3\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ , madera $29\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ . (d) Baldosa $b \approx 1500$ , alfombra $\approx 100$ ; la fórmula vale mientras ambos cuerpos parecen semiinfinitos; una vez que los frentes de calor alcanzan el riego sanguíneo y la cara lejana del objeto, el estado estacionario depende del calor realmente suministrado.

Ejercicio 25.12 ★★★

Enfriar una lámina. Una lámina $-L < x < L$ a $T_0$ se sumerge en $t = 0$ en un baño a $T_{\text{fl}}$ con $h \to \infty$ . (a) Muéstrese que $\theta = T - T_{\text{fl}}$ admite las soluciones $\cos(k_nx)\,\eu^{-ak_n^2t}$ con $k_n = (2n+1)\pi/2L$ . (b) Desarróllese la condición inicial en serie de Fourier sobre esos modos y escríbase la solución completa. (c) Tras los primeros instantes, ¿qué modo sobrevive y cuál es la constante de tiempo? (d) Tiempo que tarda el centro de un filete de $3\,\mathrm{cm}$ ( $a = 1.4 \times 10^{-7}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$ ) en quedar dentro del $1\%$ del baño.

Solución

Solución de Ejercicio 25.12.

(a) Sustitúyase; $\theta(\pm L) = 0$ da $\cos k_nL = 0$ . (b) $a_n = 4\theta_0(-1)^n/(2n+1)\pi$ ; $\theta = \sum a_n\cos(k_nx)\eu^{-ak_n^2t}$ . (c) $n = 0$ , $\tau = 4L^2/\pi^2a$ . (d) $\tau = 650\,\mathrm{s}$ ; centro $(4/\pi)\eu^{-t/\tau} = 0.01$ : $t = 4.8\tau \approx 52\,\mathrm{min}$ .

25.8 Problema: aislar una casa, refrigerar un procesador

Problema 25.1

Problema de fin de semana — la conducción a la escala de un edificio y de un chip

Datos: ladrillo $\lambda = 0.8\,\mathrm{W}/\mathrm{m}/\mathrm{K}$ , $\rho = 1800\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ , $c = 840\,\mathrm{J}/\mathrm{kg}/\mathrm{K}$ ; lana de vidrio $0.04\,\mathrm{W}/\mathrm{m}/\mathrm{K}$ ; vidrio $1\,\mathrm{W}/\mathrm{m}/\mathrm{K}$ ; aire quieto $0.026\,\mathrm{W}/\mathrm{m}/\mathrm{K}$ ; aluminio $240\,\mathrm{W}/\mathrm{m}/\mathrm{K}$ , $\rho = 2700\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ , $c = 900\,\mathrm{J}/\mathrm{kg}/\mathrm{K}$ ; silicio $150\,\mathrm{W}/\mathrm{m}/\mathrm{K}$ ; pasta térmica $5\,\mathrm{W}/\mathrm{m}/\mathrm{K}$ ; suelo $a = 5 \times 10^{-7}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$ , $\lambda = 1\,\mathrm{W}/\mathrm{m}/\mathrm{K}$ ; películas $h_{\text{int}} = 8$ , $h_{\text{ext}} = 25\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}/\mathrm{K}$ .

Parte I — La casa. Una casa tiene $100\,\mathrm{m}^{2}$ de muros (ladrillo de $20\,\mathrm{cm}$ ) y $20\,\mathrm{m}^{2}$ de ventanas de vidrio simple ( $4\,\mathrm{mm}$ ); dentro $20\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ y fuera $0\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ .

Resistencia por metro cuadrado del ladrillo solo; densidad de flujo si sus caras estuvieran a las dos temperaturas.
Con las dos películas: $R$ y $U = 1/R$ por metro cuadrado; lo mismo con $10\,\mathrm{cm}$ de lana de vidrio añadidos.
$U$ del vidrio simple; y de un vidrio doble con $12\,\mathrm{mm}$ de aire quieto.
Pérdida total de la casa antes y después de aislar los muros y doblar las ventanas.
En una temporada de calefacción de $2500$ grados-día (la integral de la diferencia de temperatura a lo largo de la temporada, en $\mathrm{K}\,\mathrm{d}$ ), energía perdida antes y después, en kilovatios hora.
Temperatura de la superficie interior del muro, desnudo y aislado; ¿por qué resulta incómodo un muro frío y le sale moho?
Tiempo de difusión a través del ladrillo; ¿qué le hace al ciclo día–noche?

Parte II — El suelo bajo la casa.

Dedúzcase la profundidad de penetración $\delta = \sqrt{2a/\omega}$ de una onda térmica.
$\delta$ diaria y anual en el suelo.
Profundidad a la que la oscilación diaria baja al $1\%$ ; amplitud anual a $2.2\,\mathrm{m}$ y a $5\,\mathrm{m}$ para una oscilación superficial de $10\,\mathrm{K}$ .
Retraso de fase a $2.2\,\mathrm{m}$ , en días: ¿cuándo está más fría la bodega?
Flujo de calor en la superficie de la onda anual (amplitud y fase); compárese su amplitud con el flujo geotérmico de $0.06\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$ .
El gradiente geotérmico es de $30\,\mathrm{K}/\mathrm{km}$ : compruébese con el flujo y $\lambda$ , y explíquese por qué es invisible en las estaciones de la bodega.

Parte III — El procesador. Un chip disipa $100\,\mathrm{W}$ en una pastilla de $1\,\mathrm{cm}^{2}$ y $0.5\,\mathrm{mm}$ de espesor; una capa de $50\,\text{µ}\mathrm{m}$ de pasta sobre $10\,\mathrm{cm}^{2}$ lo une a un disipador de aluminio: base de $60\,\mathrm{mm}$ $\times$ $60\,\mathrm{mm}$ $\times$ $5\,\mathrm{mm}$ , con treinta aletas de $60\,\mathrm{mm}$ de ancho, $30\,\mathrm{mm}$ de alto y $1\,\mathrm{mm}$ de espesor; un ventilador da $h = 50\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}/\mathrm{K}$ ; ambiente a $25\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ .

Densidad de flujo a través de la pastilla; resistencia de la pastilla.
Resistencia de la pasta; y si la sustituyera un hueco de aire de $50\,\text{µ}\mathrm{m}$ .
Parámetro de aleta $m$ , $mL$ y rendimiento; compruébese el número de Biot en el espesor de la aleta.
Área total de las aletas y resistencia de las aletas; resistencia de la base (conducción por $5\,\mathrm{mm}$ ); temperatura de unión.
Lo mismo sin aletas (cuadrado desnudo de $60\,\mathrm{mm}$ ): conclusión.
El ventilador se para ( $h = 10\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}/\mathrm{K}$ ): temperatura de unión; ¿qué hace el procesador a $100\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ ?
Masa y capacidad calorífica del disipador; su constante de tiempo $RC$ ; y la de la pastilla sola ( $0.1\,\mathrm{g}$ , $700\,\mathrm{J}/\mathrm{kg}/\mathrm{K}$ ).
¿Por qué tienen los buenos disipadores una base de cobre o caloductos?

Parte IV — La entropía.

Entropía creada por segundo por la envolvente desnuda de la casa (pregunta 4) entre $293\,\mathrm{K}$ y $273\,\mathrm{K}$ ; y tras el aislamiento.
Entropía creada por los $100\,\mathrm{W}$ del chip al pasar de la unión al ambiente; y por la conversión de trabajo eléctrico en calor en la pastilla.
Muéstrese que para una lámina $\int\sigma_s\,\dd V = \Phi(1/T_{\text{fr}} - 1/T_{\text{cal}})$ .
Resúmase en cinco líneas qué gobierna un muro, una aleta, una bodega y un chip.

Solución

Solución de Problema 25.1.

1. $0.25\,\mathrm{m}^{2}\,\mathrm{K}/\mathrm{W}$ ; $80\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$ .

2. $R = 0.415$ , $U = 2.4\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}/\mathrm{K}$ ; aislado, $R = 2.9$ , $U = 0.34\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}/\mathrm{K}$ .

3. $5.9\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}/\mathrm{K}$ ; $1.6\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}/\mathrm{K}$ .

4. $4800 + 2360 = 7.2\,\mathrm{kW}$ ; $680 + 640 = 1.3\,\mathrm{kW}$ .

5. $UA = 358\,\mathrm{W}/\mathrm{K}$ : $358 \times 2500 \times 86400 = 7.7 \times 10^{10}\,\mathrm{J} = 21\,500\,\mathrm{kWh}$ ; después, $66\,\mathrm{W}/\mathrm{K}$ : $4000\,\mathrm{kWh}$ .

6. $20 - 48/8 = 14\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ ; $20 - 6.8/8 = 19.2\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ ; un muro frío radia menos hacia el cuerpo y puede alcanzar el punto de rocío.

7. $a = 5.3 \times 10^{-7}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$ ; $e^2/a = 7.5 \times 10^{4}\,\mathrm{s} \approx 21\,\mathrm{h}$ : el muro promedia el día (la $\delta = 12\,\mathrm{cm}$ diaria es menor que su espesor).

8. Búsquese $\theta_0\eu^{\iu(\omega t - \underline kx)}$ : $\underline k = (1 - \iu)/\delta$ .

9. $12\,\mathrm{cm}$ ; $2.2\,\mathrm{m}$ .

10. $4.6\delta = 54\,\mathrm{cm}$ ; $3.7\,\mathrm{K}$ ; $1.1\,\mathrm{K}$ .

11. Un radián, $58$ días: mediados de marzo (siendo el mínimo de la superficie a mediados de enero).

12. Amplitud $\lambda\theta_0\sqrt2/\delta = 6.3\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$ , adelantada $\pi/4$ ( $45$ días); cien veces el flujo geotérmico.

13. $\lambda \times 0.03\,\mathrm{K}/\mathrm{m} \approx 0.03\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$ , el orden correcto; son $0.1\,\mathrm{K}$ constantes en la altura de la bodega, sepultados en la oscilación estacional.

14. $1 \times 10^{6}\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$ ; $R = 0.033\,\mathrm{K}/\mathrm{W}$ .

15. $0.01\,\mathrm{K}/\mathrm{W}$ ; con aire: $1.9\,\mathrm{K}/\mathrm{W}$ , $190\,\mathrm{K}$ .

16. $m = 20\,\mathrm{m}^{-1}$ , $mL = 0.61$ , $\eta = 0.89$ ; $\mathrm{Bi} = ht/2\lambda = 10^{-4}$ .

17. $A = 0.108\,\mathrm{m}^{2}$ ; $R_{\text{aletas}} = 1/\eta hA = 0.21\,\mathrm{K}/\mathrm{W}$ ; base $0.006\,\mathrm{K}/\mathrm{W}$ ; total $0.26\,\mathrm{K}/\mathrm{W}$ : $26\,\mathrm{K}$ , unión a $51\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ .

18. $1/hS = 5.6\,\mathrm{K}/\mathrm{W}$ : $560\,\mathrm{K}$ — imposible.

19. $R_{\text{aletas}} \approx 0.94\,\mathrm{K}/\mathrm{W}$ , total $\approx 1\,\mathrm{K}/\mathrm{W}$ : $125\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ — se ralentiza y luego se apaga.

20. $V = 7.2 \times 10^{-5}\,\mathrm{m}^{3}$ , $0.19\,\mathrm{kg}$ , $C = 175\,\mathrm{J}/\mathrm{K}$ ; $\tau = RC \approx 46\,\mathrm{s}$ ; pastilla: $C = 0.07\,\mathrm{J}/\mathrm{K}$ , $\tau \approx 3\,\mathrm{ms}$ .

21. El calor debe repartirse de $1\,\mathrm{cm}^{2}$ a $36\,\mathrm{cm}^{2}$ : el cobre reduce a la mitad esa resistencia de reparto; un caloducto mueve el calor por evaporación y condensación con una conductividad efectiva cien veces la del cobre.

22. $7200(1/273 - 1/293) = 1.8\,\mathrm{W}/\mathrm{K}$ ; $0.33\,\mathrm{W}/\mathrm{K}$ .

23. $100(1/298 - 1/324) = 0.027\,\mathrm{W}/\mathrm{K}$ ; $100/324 = 0.31\,\mathrm{W}/\mathrm{K}$ — diez veces más: convertir trabajo en calor es la gran irreversibilidad.

24. $\int\lambda T'^2/T^2\,\dd x = \lambda T'\,[-1/T] = j(1/T_{\text{fr}} - 1/T_{\text{cal}})$ .

25. Muro: resistencias en serie, manda el peor conductor. Aleta: $m = \sqrt{hp/\lambda S}$ , $mL \approx 1$ . Bodega: $\delta = \sqrt{2a/\omega}$ , amortiguamiento y retraso a la vez. Chip: una cadena de resistencias de la pastilla al aire, con el área de las aletas haciendo el trabajo. En todas partes: el calor fluye cuesta abajo y crea entropía al hacerlo.

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