Física universitaria — segundo año · Bachelor Year 2

10Cargas, corrientes y conducción

Acciónese el interruptor y la lámpara se enciende al instante; y sin embargo los electrones del hilo de cobre se desplazan hacia ella a una fracción de milímetro por segundo, y tardarían horas en llegar. Un rayo lleva treinta mil amperios por un canal del grosor de un dedo; el nervio que mueve ese dedo lleva picoamperios. El volumen del Año 1 trató las corrientes como números en los hilos, $I = U/R$ ; este capítulo las describe como un campo — una densidad de corriente en cada punto de la materia —, escribe la ley según la cual la carga nunca se crea ni se destruye y deduce la ley de Ohm del ajetreo de los electrones en un metal: la imagen microscópica que hay detrás de la resistencia, del fusible y del sensor Hall.

El cobre, el conductor del mundo eléctrico: en los hilos de este cable unos 1029 electrones por metro cúbico se desplazan a una fracción de milímetro por segundo. — El cobre, el conductor del mundo eléctrico: en los hilos de este cable unos $10^{29}$ electrones por metro cúbico se desplazan a una fracción de milímetro por segundo.

10.1 Densidades de carga y de corriente

Definición 10.1 (Densidad de carga; densidad de corriente)

A la escala mesoscópica, la materia lleva una densidad volumétrica de carga $\rho(M, t)$ ( $\mathrm{C}/\mathrm{m}^{3}$ ): la carga $\rho\,\dd\tau$ contenida en $\dd\tau$ . Una superficie puede llevar una densidad superficial $\sigma$ ( $\mathrm{C}/\mathrm{m}^{2}$ ), y un hilo una densidad lineal $\lambda$ ( $\mathrm{C}/\mathrm{m}$ ). Si los portadores de la especie $i$ (carga $q_i$ , densidad numérica $n_i$ ) se mueven con velocidad media $\vect v_i$ , la densidad de corriente vale

\vect j = \sum_in_iq_i\,\vect v_i \qquad (\mathrm{A}/\mathrm{m}^{2}) ,

y la intensidad a través de una superficie orientada $S$ es el flujo $I = \iint_S\vect j\cdot\vect n\,\dd S$ : la carga que atraviesa $S$ por unidad de tiempo. Para una sola especie, $\vect j = \rho_m\vect v$ con $\rho_m = nq$ la densidad de carga móvil.

Demostración. En $\dd t$ , los portadores de la especie $i$ que atraviesan $\dd S$ son los contenidos en el cilindro oblicuo de base $\dd S$ y generatriz $\vect v_i\dd t$ : en número $n_i\vect v_i\cdot\vect n\,\dd S\,\dd t$ , con carga $q_i$ veces ese número. ∎

Ejemplo 10.2 (Qué despacio se desplazan los electrones)

El cobre tiene un electrón de conducción por átomo: $n = \rho_{\text{Cu}}N_A/M = 8900 \times 6.02 \times 10^{23}/0.0635 = 8.5 \times 10^{28}\,\mathrm{m}^{-3}$ . Una corriente de $10\,\mathrm{A}$ en un hilo de $1.5\,\mathrm{mm}^{2}$ da $j = 6.7 \times 10^{6}\,\mathrm{A}/\mathrm{m}^{2}$ , y la velocidad de arrastre vale $v = j/ne = 6.7 \times 10^6/(8.5 \times 10^{28} \times 1.6 \times 10^{-19}) = 0.5\,\mathrm{mm}/\mathrm{s}$ — dos horas por metro. La lámpara se enciende al instante porque el campo que empuja a los electrones se establece a lo largo de todo el hilo en nanosegundos (viaja a casi la velocidad de la luz, como mostró el cable de Capítulo 8): todos los electrones arrancan a la vez, como el agua en una manguera llena.

A la izquierda, un tubo de corriente: en régimen estacionario la misma intensidad atraviesa cada sección. A la derecha, un electrón en un metal zigzaguea entre colisiones a unos 106 m/s; el campo añade un arrastre lento, opuesto a E, de una fracción de milímetro por segundo. — A la izquierda, un tubo de corriente: en régimen estacionario la misma intensidad atraviesa cada sección. A la derecha, un electrón en un metal zigzaguea entre colisiones a unos $10^6$ m/s; el campo añade un arrastre lento, opuesto a $\vect E$ , de una fracción de milímetro por segundo.

Ejemplo 10.3 (Órdenes de magnitud)

Un rayo, $30\,\mathrm{kA}$ por un canal de $1\,\mathrm{cm}$ de radio: $j \approx 1 \times 10^{8}\,\mathrm{A}/\mathrm{m}^{2}$ . Un hilo doméstico: $10^6$ – $10^7$ . Un haz de electrones en un tubo de rayos catódicos, $1\,\mathrm{mA}$ sobre $1\,\mathrm{mm}^{2}$ : $10^3$ . Una fibra nerviosa, $1\,\mathrm{nA}$ por $10\,\text{µ}\mathrm{m}^{2}$ : $10^2$ . El haz de un acelerador de partículas, $1\,\mathrm{A}$ en una mancha de $0.1\,\mathrm{mm}^{2}$ : $10^7$ — en vacío y sin colisión alguna.

10.2 La conservación de la carga

Teorema 10.4 (Conservación local de la carga)

En todo punto,

\frac{\partial\rho}{\partial t} + \operatorname{div}\vect j = 0 ;

integrada sobre un volumen fijo $V$ limitado por la superficie cerrada $\Sigma$ , $\dd Q_V/\dd t = -I_{\text{sal}}$ : la carga interior solo varía en lo que atraviesa la frontera. En régimen estacionario ( $\partial_t\rho = 0$ ), $\operatorname{div}\vect j = 0$ : el flujo de $\vect j$ se conserva a lo largo de un tubo de corriente, la misma intensidad atraviesa cada sección de un hilo y las corrientes que entran en un nudo igualan a las que salen (la ley de los nudos de Kirchhoff).

Demostración. Palabra por palabra el balance de masa de Teorema 2.8 con $\rho$ la densidad de carga y $\vect j$ su corriente: la salida neta de carga por las seis caras de una caja fija, por unidad de volumen, vale $\operatorname{div}\vect j$ , y no se crea carga. La forma integral suma las cajas (las caras interiores se cancelan). Para un tubo entre dos secciones $S_1$ , $S_2$ sin flujo lateral, $I_1 = I_2$ ; un nudo es un volumen pequeño con varios hilos: $\sum I_{\text{ent}} = \sum I_{\text{sal}}$ . ∎

Observación 10.5 (Donde la corriente se detiene: el condensador)

Un hilo que alimenta la armadura de un condensador es un tubo de corriente que termina: el flujo de $\vect j$ hacia la armadura vale $I = \dd Q/\dd t$ y la carga se acumula — allí $\operatorname{div}\vect j \ne 0$ y el régimen no es estacionario. Y sin embargo la misma corriente $I$ circula por el hilo del otro lado: algo debe llevar el relevo a través del hueco. Capítulo 11 le pone nombre — la corriente de desplazamiento — y hace de la conservación de la carga la clave de bóveda de las ecuaciones de Maxwell.

10.3 El modelo de Drude y la ley de Ohm

Proposición 10.6 (Modelo de Drude; ley de Ohm local)

Modélense los electrones de conducción de un metal como partículas libres (de masa $m$ , carga $-e$ y densidad $n$ ) que sienten el campo $\vect E$ y que, en promedio, pierden su cantidad de movimiento de arrastre por colisiones con la red cada $\tau$ segundos — una fuerza de rozamiento $-m\vect v/\tau$ sobre la velocidad media:

m\frac{\dd\vect v}{\dd t} = -e\vect E - \frac m\tau\vect v .

En un campo constante el arrastre se estabiliza, en unos pocos $\tau$ , en $\vect v = -e\tau \vect E/m$ , y la densidad de corriente vale

\vect j = \gamma\,\vect E , \qquad \gamma = \frac{ne^2\tau}{m} :

la ley de Ohm local, con $\gamma$ la conductividad ( $\mathrm{S}/\mathrm{m}$ ; su inversa $\rho_e = 1/\gamma$ es la resistividad, $\Omega\,\mathrm{m}$ ). El cociente $\mu = e\tau/m$ entre la celeridad de arrastre y el campo es la movilidad ( $\mathrm{m}^{2}/(\mathrm{V}\,\mathrm{s})$ ). Para un conductor de longitud $L$ y sección uniforme $S$ que lleva un $\vect j$ uniforme, integrar $E = j/\gamma$ a lo largo de la longitud da $U = EL = (L/\gamma S)I$ : la resistencia $R = L/\gamma S = \rho_eL/S$ del volumen del Año 1.

Demostración. Con $\vect v = -e\tau\vect E/m$ , $\vect j = -ne\vect v = (ne^2\tau/m)\vect E$ . El transitorio $\vect v(t) = \vect v_\infty(1 - \eu^{-t/\tau})$ dura $\tau \sim 1 \times 10^{-14}\,\mathrm{s}$ , instantáneo a cualquier escala de tiempo de un circuito. La resistencia se sigue de $\int\vect E\cdot\dd\vect l$ entre los extremos. ∎

Ejemplo 10.7 (El cobre, a partir de la conductividad medida)

Cobre: $\gamma = 6.0 \times 10^{7}\,\mathrm{S}/\mathrm{m}$ , $n = 8.5 \times 10^{28}\,\mathrm{m}^{-3}$ : $\tau = m\gamma/ne^2 = 9.1 \times 10^{-31} \times 6 \times 10^7/(8.5 \times 10^{28} \times 2.56 \times 10^{-38}) = 2.5 \times 10^{-14}\,\mathrm{s}$ — veinticinco femtosegundos entre colisiones. La celeridad aleatoria de los electrones en un metal es de unos $1.6 \times 10^{6}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ (un efecto cuántico, no la térmica $\sqrt{3k_BT/m} \approx 1 \times 10^{5}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ), de modo que el recorrido libre medio vale $\ell = v\tau \approx 40\,\mathrm{nm}$ , un centenar de distancias atómicas: los electrones no chocan con los átomos mismos (un cristal perfecto es transparente para ellos), sino con sus defectos y con las vibraciones térmicas — y por eso $\gamma$ baja al calentar o alear un metal. Movilidad $e\tau/m = 4.4 \times 10^{-3}\,\mathrm{m}^{2}/(\mathrm{V}\,\mathrm{s})$ : $4\,\mathrm{mm}/\mathrm{s}$ por voltio y por metro.

Proposición 10.8 (La ley de Ohm a alta frecuencia)

Para un campo sinusoidal $\underline{\vect E}\,\eu^{\iu\omega t}$ la ecuación de Drude da $\underline{\vect j} = \underline\gamma(\omega)\underline{\vect E}$ con

\underline\gamma(\omega) = \frac{\gamma_0}{1 + \iu\omega\tau} , \qquad \gamma_0 = \frac{ne^2\tau}{m} :

la conductividad es real e igual a su valor en continua mientras $\omega\tau \ll 1$ , es decir, hasta unos $1 \times 10^{13}\,\mathrm{Hz}$ para el cobre — en todo el dominio de la radio y de las microondas; en el infrarrojo y en el visible ( $\omega\tau \gg 1$ ) se vuelve imaginaria, $\underline\gamma \approx ne^2/\iu m\omega$ : los electrones oscilan libremente, en desfase con el campo, y el metal se comporta como el plasma de Capítulo 14.

Demostración. $\iu\omega m\underline{\vect v} = -e\underline{\vect E} - m\underline{\vect v}/\tau$ , de donde $\underline{\vect v} = -e\tau\underline{\vect E}/m(1 + \iu\omega\tau)$ y $\underline{\vect j} = -ne\underline{\vect v}$ . ∎

A la izquierda, la conductividad de Drude frente a : real y constante a baja frecuencia, imaginaria más allá de 1/. A la derecha, el efecto Hall en una banda conductora: el campo empuja los portadores hacia un lado, estos cargan los bordes y el campo Hall transversal equilibra la fuerza magnética. — A la izquierda, la conductividad de Drude frente a $\omega\tau$ : real y constante a baja frecuencia, imaginaria más allá de $1/\tau$ . A la derecha, el efecto Hall en una banda conductora: el campo empuja los portadores hacia un lado, estos cargan los bordes y el campo Hall transversal equilibra la fuerza magnética.

Observación 10.9 (Conductores, semiconductores, electrolitos)

La misma ley $\vect j = \sum n_iq_i\mu_i\vect E$ vale para todo conductor; lo que cambia son $n$ y $\mu$ . Metales: $n \sim 10^{29}$ , $\gamma \sim 10^7$ S/m. Semiconductores: $n \sim 10^{16}$ – $10^{23}$ , fijado por el dopado y creciente con rapidez con la temperatura, con dos clases de portadores (electrones y huecos) — de ahí los termistores y los diodos. Electrolitos: iones de ambos signos, $\mu \sim 10^{-8}$ – $10^{-7}$ m $^2$ /(V s); agua de mar $\gamma \approx 5\,\mathrm{S}/\mathrm{m}$ , agua del grifo $10^{-2}$ , agua pura $10^{-5}$ . Aislantes (vidrio, polímeros): $\gamma \lesssim 10^{-12}$ S/m. El efecto Hall del volumen del Año 1, en forma local $\vect E_H = -\vect j\wedge\vect B/nq$ , mide $n$ y el signo de $q$ : en el aluminio o en el cinc resulta que los portadores son positivos — huecos — y ningún modelo clásico lo explica.

10.4 La energía: la ley de Joule local

Proposición 10.10 (Ley de Joule local)

El campo eléctrico entrega a los portadores, por unidad de volumen y de tiempo, la potencia $\vect j\cdot\vect E$ ; en un conductor óhmico vale

p = \vect j\cdot\vect E = \gamma E^2 = \frac{j^2}\gamma \ \ (\mathrm{W}/\mathrm{m}^{3}) ,

todo ello convertido en calor por las colisiones (la energía cinética de arrastre es despreciable y constante). Integrada sobre un hilo, $\int j^2/\gamma\,\dd\tau = (L/\gamma S)I^2 = RI^2$ .

Demostración. La fuerza $q\vect E$ sobre cada portador trabaja a la tasa $q\vect E\cdot\vect v$ ; sumada sobre los $n\,\dd\tau$ portadores: $nq\vect v\cdot\vect E\,\dd\tau = \vect j\cdot \vect E\,\dd\tau$ (la fuerza magnética no trabaja). En el régimen estacionario de Drude esta potencia iguala a la disipada por el término de rozamiento, es decir, la transferida a la red. ∎

Ejemplo 10.11 (Un hilo que se calienta)

El hilo de $1.5\,\mathrm{mm}^{2}$ a $10\,\mathrm{A}$ : $p = j^2/\gamma = (6.7 \times 10^6)^2/6 \times 10^7 = 7.4 \times 10^{5}\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{3}$ , es decir, $1.1\,\mathrm{W}$ por metro — que el aire de alrededor evacua sin dificultad. Abandonado a sí mismo (sin refrigeración), el cobre ( $c = 385\,\mathrm{J}/(\mathrm{kg}\,\mathrm{K})$ , $\rho = 8900\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ ) se calentaría a $p/\rho c = 0.2\,\mathrm{K}/\mathrm{s}$ . A $100\,\mathrm{A}$ en el mismo hilo el ritmo es cien veces mayor, $20\,\mathrm{K}/\mathrm{s}$ : se funde en un minuto — el principio del fusible, cuyo hilo fino está pensado para fundirse antes.

Proposición 10.12 (Relajación de la carga en un conductor)

En un conductor óhmico una densidad volumétrica de carga decae como $\rho(t) = \rho_0\eu^{-t/\tau_r}$ con

\tau_r = \frac{\varepsilon_0}{\gamma} :

$1.5 \times 10^{-19}\,\mathrm{s}$ para el cobre, $2 \times 10^{-12}\,\mathrm{s}$ para el agua de mar y $10\,\mathrm{s}$ para el vidrio. Hasta frecuencias del orden de $1/\tau_r$ un conductor no lleva ninguna carga en volumen: todo exceso de carga corre a su superficie. La palabra “conductor” depende así de la escala de tiempo: el agua de mar es conductora para las ondas de radio y aislante para la luz visible.

Demostración. Conservación de la carga con $\vect j = \gamma\vect E$ y la ley de Gauss en forma local, $\operatorname{div}\vect E = \rho/\varepsilon_0$ (Capítulo 11): $\partial_t\rho = -\gamma\operatorname{div}\vect E = -(\gamma/\varepsilon_0)\rho$ . ∎

Método 10.13 (De la ley local a la ley integral)

Para hallar la resistencia de un conductor de forma arbitraria: (1) úsese la simetría para escribir $\vect j$ (en régimen estacionario su flujo se conserva, de modo que en un tubo $j \times$ sección $= I$ ); (2) $\vect E = \vect j/\gamma$ ; (3) intégrese $\vect E$ a lo largo de una línea de un electrodo al otro: $U = \int\vect E\cdot \dd\vect l$ , y $R = U/I$ ; (4) compruébese con la potencia de Joule $\int j^2/\gamma\, \dd\tau = RI^2$ . Los mismos pasos dan la fuga de un cable, la resistencia del terreno en torno a un pararrayos o la de un contacto cónico.

10.5 Ejercicios

Ejercicio 10.1 ★

Un hilo de cobre de $2.5\,\mathrm{mm}^{2}$ lleva $16\,\mathrm{A}$ . Densidad de corriente, celeridad de arrastre ( $n = 8.5 \times 10^{28}\,\mathrm{m}^{-3}$ ), tiempo que tarda un electrón en recorrer los $20\,\mathrm{m}$ hasta un enchufe; campo eléctrico en el hilo ( $\gamma = 6.0 \times 10^{7}\,\mathrm{S}/\mathrm{m}$ ), caída de tensión en $20\,\mathrm{m}$ y potencia perdida.

Solución

Solución de Ejercicio 10.1.

$j = 16/2.5 \times 10^{-6} = 6.4 \times 10^{6}\,\mathrm{A}/\mathrm{m}^{2}$ ; $v = j/ne = 0.47\,\mathrm{mm}/\mathrm{s}$ ; $20\,\mathrm{m}$ en $4.3 \times 10^4$ s, doce horas. $E = j/\gamma = 0.11\,\mathrm{V}/\mathrm{m}$ ; $U = 2.1\,\mathrm{V}$ ; $P = UI = 34\,\mathrm{W}$ .

Ejercicio 10.2 ★

Densidades de corriente: un rayo ( $30\,\mathrm{kA}$ , radio $1\,\mathrm{cm}$ ); un haz de electrones ( $2\,\mathrm{mA}$ , $0.5\,\mathrm{mm}^{2}$ ); un axón nervioso ( $1\,\mathrm{nA}$ , radio $2\,\text{µ}\mathrm{m}$ ); la corriente anular de la magnetosfera terrestre ( $1\,\mathrm{MA}$ sobre unos $1 \times 10^{14}\,\mathrm{m}^{2}$ ). ¿Cuáles superan al hilo del ejercicio anterior?

Solución

Solución de Ejercicio 10.2.

Rayo, $3 \times 10^4/\pi10^{-4} = 1 \times 10^{8}\,\mathrm{A}/\mathrm{m}^{2}$ ; haz, $4 \times 10^{3}\,\mathrm{A}/\mathrm{m}^{2}$ ; axón, $10^{-9}/1.3 \times 10^{-11} = 80\,\mathrm{A}/\mathrm{m}^{2}$ ; corriente anular, $1 \times 10^{-8}\,\mathrm{A}/\mathrm{m}^{2}$ . Solo el rayo supera los $6 \times 10^6$ del hilo.

Ejercicio 10.3 ★

Resistividades a $20{}^{\circ}\mathrm{C}$ : cobre $1.7 \times 10^{-8}\,\Omega\,\mathrm{m}$ , aluminio $2.8 \times 10^{-8}\,\Omega\,\mathrm{m}$ , hierro $1.0 \times 10^{-7}\,\Omega\,\mathrm{m}$ , nicromo $1.1 \times 10^{-6}\,\Omega\,\mathrm{m}$ . Resistencia de $100\,\mathrm{m}$ de $2.5\,\mathrm{mm}^{2}$ en cada uno; sección de aluminio equivalente a $2.5\,\mathrm{mm}^{2}$ de cobre, y cociente de masas (densidades $8900$ y $2700\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ ); longitud de hilo de nicromo de $0.5\,\mathrm{mm}$ para un calefactor de $1\,\mathrm{kW}$ y $230\,\mathrm{V}$ .

Solución

Solución de Ejercicio 10.3.

$R = \rho_eL/S$ : $0.68$ , $1.1$ , $4.0$ , $44\,\Omega$ . Aluminio: $2.5 \times 2.8/1.7 = 4.1\,\mathrm{mm}^{2}$ , cociente de masas $(4.1 \times 2700)/(2.5 \times 8900) = 0.50$ — la mitad de masa. Calefactor: $R = 230^2/1000 = 53\,\Omega$ , $S = 0.196\,\mathrm{mm}^{2}$ , $L = RS/\rho_e = 9.4\,\mathrm{m}$ .

Ejercicio 10.4 ★

Drude: $\tau$ , movilidad y recorrido libre medio (celeridad aleatoria $1.6 \times 10^{6}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ) para el cobre ( $\gamma = 6.0 \times 10^{7}\,\mathrm{S}/\mathrm{m}$ , $n = 8.5 \times 10^{28}\,\mathrm{m}^{-3}$ ) y la plata ( $\gamma = 6.3 \times 10^{7}\,\mathrm{S}/\mathrm{m}$ , $n = 5.9 \times 10^{28}\,\mathrm{m}^{-3}$ ); conductividad de una muestra de silicio con $n = 1 \times 10^{22}\,\mathrm{m}^{-3}$ y $\mu = 0.14\,\mathrm{m}^{2}/(\mathrm{V}\,\mathrm{s})$ ; celeridad de arrastre en esa muestra a $1\,\mathrm{kV}/\mathrm{m}$ .

Solución

Solución de Ejercicio 10.4.

$\tau = m\gamma/ne^2$ : cobre $2.5 \times 10^{-14}\,\mathrm{s}$ , $\mu = e\tau/m = 4.4 \times 10^{-3}\,\mathrm{m}^{2}/(\mathrm{V}\,\mathrm{s})$ , $\ell = 40\,\mathrm{nm}$ ; plata $3.8 \times 10^{-14}\,\mathrm{s}$ , $6.7 \times 10^{-3}\,\mathrm{m}^{2}/(\mathrm{V}\,\mathrm{s})$ , $61\,\mathrm{nm}$ . Silicio: $\gamma = ne\mu = 10^{22} \times 1.6 \times 10^{-19} \times 0.14 = 220\,\mathrm{S}/\mathrm{m}$ ; $v = \mu E = 140\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ .

Ejercicio 10.5 ★★

Un condensador de armaduras $S$ se carga por un hilo con la corriente $I(t)$ . (a) Aplíquese la ley de conservación en forma integral a una superficie cerrada que rodee una armadura: relaciónense $I$ y la carga $Q$ de la armadura. (b) ¿Por qué es $\operatorname{div}\vect j \ne 0$ en la armadura? (c) Un electrodo esférico de radio $a$ en un medio conductor emite una corriente radial $I$ : $\vect j(r)$ ; compruébese $\operatorname{div} \vect j = 0$ para $r > a$ (úsese $\operatorname{div}\vect j = \frac1{r^2}\partial_r(r^2j_r)$ para un campo radial). (d) ¿Dónde “se rompe” entonces la conservación de la carga?

Solución

Solución de Ejercicio 10.5.

(a) Entra corriente y no sale ninguna: $\dd Q/\dd t = I$ . (b) La carga se acumula: $\partial_t \rho \ne 0$ . (c) $\vect j = (I/4\pi r^2)\vect e_r$ : $\operatorname{div}\vect j = \frac1{r^2} \partial_r(I/4\pi) = 0$ . (d) Solo en el electrodo, donde el hilo inyecta la corriente — una fuente del flujo.

Ejercicio 10.6 ★★

Fuga de un cable coaxial. El aislante entre los conductores (radios $a = 1\,\mathrm{mm}$ , $b = 3.5\,\mathrm{mm}$ ) tiene $\gamma = 1 \times 10^{-13}\,\mathrm{S}/\mathrm{m}$ ; se aplica una tensión $U$ entre ellos y circula una corriente radial de fuga $I$ por cada longitud $L$ . (a) $\vect j(r)$ y $\vect E(r)$ . (b) Muéstrese que la resistencia de una longitud $L$ vale $R = \ln(b/a)/2\pi\gamma L$ ; valor por kilómetro. (c) Corriente de fuga y potencia por kilómetro a $1\,\mathrm{kV}$ . (d) Compárese con la capacidad por unidad de longitud $2\pi\varepsilon_0\varepsilon_r/\ln(b/a)$ : muéstrese que $RC = \varepsilon_0\varepsilon_r/\gamma$ e interprétese con el tiempo de relajación.

Solución

Solución de Ejercicio 10.6.

(a) $j = I/2\pi rL$ , $E = j/\gamma$ , radiales. (b) $U = \int_a^bE\,\dd r = I\ln(b/a)/ 2\pi\gamma L$ : $R = \ln3.5/(2\pi \times 10^{-13} \times 10^3) = 2 \times 10^{9}\,\Omega$ por kilómetro. (c) $0.5\,\text{µ}\mathrm{A}$ , $0.5\,\mathrm{mW}$ . (d) $RC = \varepsilon_0\varepsilon_r/\gamma = 200\,\mathrm{s}$ para $\varepsilon_r = 2.3$ : el cable, cargado y aislado, se descarga a través de su propio aislante con el tiempo de relajación de ese aislante.

Ejercicio 10.7 ★★

Conductividad compleja del cobre ( $\tau = 2.5 \times 10^{-14}\,\mathrm{s}$ ). (a) $\omega\tau$ a $50\,\mathrm{Hz}$ , $10\,\mathrm{GHz}$ (microondas), $30\,\mathrm{THz}$ (infrarrojo) y $5 \times 10^{14}\,\mathrm{Hz}$ (luz verde). (b) Módulo y fase de $\underline\gamma/\gamma_0$ en cada caso. (c) ¿Hasta qué frecuencia es buena la ley de Ohm con un $1\%$ ? (d) En el visible, escríbase $\underline\gamma$ y muéstrese que $\underline{\vect j}$ está en cuadratura con $\underline{\vect E}$ : ¿potencia de Joule media?

Solución

Solución de Ejercicio 10.7.

(a) $\omega\tau$ : $8 \times 10^{-12}$ , $1.6 \times 10^{-3}$ , $4.7$ , $79$ . (b) $|\underline\gamma|/\gamma_0 = 1/\sqrt{1 + \omega^2\tau^2}$ : $1$ , $1$ , $0.21$ , $0.013$ ; fase $-\arctan\omega\tau$ : $0$ , $-0.09{}^{\circ}$ , $-78{}^{\circ}$ , $-89{}^{\circ}$ . (c) $\omega\tau \le 0.14$ : $f \le 0.9\,\mathrm{THz}$ . (d) $\underline\gamma \approx ne^2/\iu m\omega$ : $\underline{\vect j}$ va $90{}^{\circ}$ por detrás de $\underline{\vect E}$ , $\langle\vect j\cdot\vect E\rangle = 0$ : no hay efecto Joule — los electrones oscilan libremente, como en un plasma.

Ejercicio 10.8 ★★

Un hilo fusible de cobre de $0.20\,\mathrm{mm}$ (cobre: $\gamma = 6.0 \times 10^{7}\,\mathrm{S}/\mathrm{m}$ , $\rho = 8900\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ , $c = 385\,\mathrm{J}/(\mathrm{kg}\,\mathrm{K})$ , funde a $1085{}^{\circ}\mathrm{C}$ , calor latente $205\,\mathrm{kJ}/\mathrm{kg}$ ). (a) Densidad de corriente y potencia de Joule por unidad de volumen a $10\,\mathrm{A}$ . (b) Tiempo que tarda en fundirse desde $20{}^{\circ}\mathrm{C}$ si no escapa calor (ignórese el aumento de la resistividad con la temperatura). (c) Lo mismo a $30\,\mathrm{A}$ . (d) En realidad el hilo cede calor al aire: ¿cómo fija eso la corriente nominal de un fusible y por qué van los fusibles sellados en un cartucho relleno de arena?

Solución

Solución de Ejercicio 10.8.

(a) $S = 3.1 \times 10^{-8}\,\mathrm{m}^{2}$ , $j = 3.2 \times 10^{8}\,\mathrm{A}/\mathrm{m}^{2}$ , $p = j^2/\gamma = 1.7 \times 10^{9}\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{3}$ . (b) Energía necesaria para fundirlo por unidad de volumen $\rho(c\Delta T + L_f) = 8900(4.1 \times 10^5 + 2.05 \times 10^5) = 5.5 \times 10^{9}\,\mathrm{J}/\mathrm{m}^{3}$ : $3.2\,\mathrm{s}$ . (c) Nueve veces más rápido: $0.36\,\mathrm{s}$ . (d) La corriente nominal es aquella cuyo calentamiento por efecto Joule evacua el aire justo por debajo del punto de fusión; la arena apaga el arco que, de otro modo, seguiría conduciendo por el hueco tras fundirse el hilo.

Ejercicio 10.9 ★★

Relajación. (a) Dedúzcase $\partial_t\rho = -(\gamma/\varepsilon_0)\rho$ de la conservación de la carga, la ley de Ohm y $\operatorname{div}\vect E = \rho/\varepsilon_0$ . (b) $\tau_r$ para el cobre, el agua de mar ( $\gamma = 5\,\mathrm{S}/\mathrm{m}$ ), el agua del grifo ( $5 \times 10^{-2}\,\mathrm{S}/\mathrm{m}$ ), el vidrio ( $1 \times 10^{-12}\,\mathrm{S}/\mathrm{m}$ ) y el PTFE ( $1 \times 10^{-16}\,\mathrm{S}/\mathrm{m}$ ). (c) ¿Hasta qué frecuencia es cada uno un “buen conductor” (con la carga relajándose en menos de un periodo)? (d) Una varilla de vidrio cargada conserva su carga durante minutos: ¿es eso coherente?

Solución

Solución de Ejercicio 10.9.

(a) $\partial_t\rho = -\operatorname{div}\vect j = -\gamma\operatorname{div}\vect E = -\gamma\rho/ \varepsilon_0$ . (b) $\varepsilon_0/\gamma$ : $1.5 \times 10^{-19}\,\mathrm{s}$ , $1.8 \times 10^{-12}\,\mathrm{s}$ , $1.8 \times 10^{-10}\,\mathrm{s}$ , $9\,\mathrm{s}$ , $9 \times 10^4$ s. (c) $f \lesssim 1/2\pi\tau_r$ : $10^{18}$ Hz (el modelo de Drude falla mucho antes), $90\,\mathrm{GHz}$ , $0.9\,\mathrm{GHz}$ , $0.02\,\mathrm{Hz}$ , $2 \times 10^{-6}\,\mathrm{Hz}$ . (d) Una varilla de vidrio perdería su carga en un minuto a través de su volumen; el vidrio seco real está más cerca de $10^{-14}$ S/m (horas), y lo que suele descargarla es la humedad superficial — coherente en orden de magnitud.

Ejercicio 10.10 ★★★

Puesta a tierra. Un electrodo hemisférico de radio $a = 0.50\,\mathrm{m}$ se entierra enrasado con la superficie de un terreno de conductividad $\gamma = 0.010\,\mathrm{S}/\mathrm{m}$ ; una corriente $I$ entra en él y se reparte radialmente por el semiespacio. (a) $\vect j(r)$ , $\vect E(r)$ y el potencial $V(r)$ con $V(\infty) = 0$ . (b) Resistencia de la puesta a tierra, $R = 1/2\pi\gamma a$ ; valor. (c) Un rayo de $20\,\mathrm{kA}$ alcanza la pica: potencial de la pica; potencial en $r = 10\,\mathrm{m}$ y en $10.7\,\mathrm{m}$ ; la “tensión de paso” entre los pies de una persona allí situada (con los pies separados $0.7\,\mathrm{m}$ radialmente). (d) ¿Por qué el ganado, con sus cuatro patas muy separadas, muere por rayos cercanos más a menudo que las personas?

Solución

Solución de Ejercicio 10.10.

(a) $\vect j = (I/2\pi r^2)\vect e_r$ , $E = I/2\pi\gamma r^2$ , $V = I/2\pi\gamma r$ . (b) $R = V(a) /I = 1/2\pi\gamma a = 32\,\Omega$ . (c) $V_{\text{pica}} = 640\,\mathrm{kV}$ ; $V(10) = 32\,\mathrm{kV}$ , $V(10.7) = 30\,\mathrm{kV}$ : $2.1\,\mathrm{kV}$ entre los pies. (d) Las patas delanteras y traseras distan $1.5\,\mathrm{m}$ en la dirección radial: de $4$ a $5\,\mathrm{kV}$ , y el camino de la corriente pasa por el corazón.

Ejercicio 10.11 ★★★

Sensor Hall. Una banda de espesor $t$ y anchura $w$ lleva $I$ según $x$ en un campo $B$ según $z$ . (a) A partir de $\vect E_H = -\vect j\wedge\vect B /nq$ , muéstrese que la tensión Hall a lo ancho vale $V_H = IB/nqt$ . (b) Banda de cobre, $t = 0.10\,\mathrm{mm}$ , $1\,\mathrm{A}$ , $1\,\mathrm{T}$ : $V_H$ . (c) Un semiconductor dopado con $n = 1 \times 10^{22}\,\mathrm{m}^{-3}$ , con la misma geometría: $V_H$ ; por qué los sensores usan semiconductores. (d) Un sensor con $n = 1 \times 10^{22}\,\mathrm{m}^{-3}$ , $t = 20\,\text{µ}\mathrm{m}$ , alimentado con $1\,\mathrm{mA}$ , marca $10\,\text{µ}\mathrm{V}$ : campo medido. ¿Qué indica el signo de $V_H$ ?

Solución

Solución de Ejercicio 10.11.

(a) $E_H = jB/nq$ con $j = I/wt$ : $V_H = E_Hw = IB/nqt$ . (b) $1/(8.5 \times 10^{28} \times 1.6 \times 10^{-19} \times 10^{-4}) = 0.7\,\text{µ}\mathrm{V}$ . (c) $6.3\,\mathrm{mV}$ : $V_H \propto 1/n$ , y los semiconductores tienen $10^6$ veces menos portadores. (d) $B = V_Hnqt/I = 10^{-5} \times 10^{22} \times 1.6 \times 10^{-19} \times 2 \times 10^{-5}/10^{-3} = 0.32\,\mathrm{T}$ ; el signo de $V_H$ da el signo de los portadores (para un $\vect B$ conocido) o la dirección de $\vect B$ (para un sensor conocido).

Ejercicio 10.12 ★★★

Electrolito. En el agua, los iones Na $^+$ y Cl $^-$ tienen movilidades $\mu_+ = 5.2 \times 10^{-8}\,\mathrm{m}^{2}/(\mathrm{V}\,\mathrm{s})$ y $\mu_- = 7.9 \times 10^{-8}\,\mathrm{m}^{2}/(\mathrm{V}\,\mathrm{s})$ . (a) Muéstrese que $\gamma = ne(\mu_+ + \mu_-)$ para $n$ pares de iones por unidad de volumen. (b) Agua de mar, $0.5\,\mathrm{mol}/\mathrm{L}$ de NaCl: $\gamma$ ; compárese con los $5\,\mathrm{S}/\mathrm{m}$ medidos. (c) Celeridades de arrastre a $10\,\mathrm{V}/\mathrm{m}$ ; ¿qué ion lleva más corriente? (d) Una columna de agua de mar, de $1\,\mathrm{cm}^{2}$ por $10\,\mathrm{cm}$ , lleva $1\,\mathrm{A}$ : tensión, potencia y tiempo que tarda en calentarse $10\,\mathrm{K}$ ( $c = 4.0\,\mathrm{kJ}/(\mathrm{kg}\,\mathrm{K})$ ); por qué se refrigeran los geles de electroforesis.

Solución

Solución de Ejercicio 10.12.

(a) $\vect j = ne\mu_+\vect E + (-ne)(-\mu_-\vect E)$ : ambas especies se desplazan en sentidos opuestos y llevan corriente en el mismo sentido. (b) $n = 0.5 \times 10^3 \times 6.02 \times 10^{23} = 3 \times 10^{26}\,\mathrm{m}^{-3}$ : $\gamma = 3 \times 10^{26} \times 1.6 \times 10^{-19} \times 1.31 \times 10^{-7} = 6.3\,\mathrm{S}/\mathrm{m}$ (a esta concentración los iones se estorban entre sí: $5\,\mathrm{S}/\mathrm{m}$ medidos). (c) $0.52\,\text{µ}\mathrm{m}/\mathrm{s}$ y $0.79\,\text{µ}\mathrm{m}/\mathrm{s}$ : el Cl $^-$ lleva el $60\%$ . (d) $R = L/\gamma S = 200\,\Omega$ , $U = 200\,\mathrm{V}$ , $P = 200\,\mathrm{W}$ sobre $10\,\mathrm{g}$ de agua: $10\,\mathrm{K}$ en $2\,\mathrm{s}$ — de ahí las placas de refrigeración de las cubetas de electroforesis.

10.6 Problema: el hilo de cobre, del átomo a la red eléctrica

Problema 10.1

Problema de fin de semana — un metro de hilo doméstico examinado a cuatro escalas: el electrón, las leyes locales, el circuito y la línea de transporte

Cobre: masa molar $63.5\,\mathrm{g}/\mathrm{mol}$ , densidad $8900\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ , un electrón de conducción por átomo, conductividad $\gamma = 6.0 \times 10^{7}\,\mathrm{S}/\mathrm{m}$ a $20{}^{\circ}\mathrm{C}$ , con resistividad creciente $\rho_e(T) = \rho_e(20)[1 + \alpha(T - 20)]$ y $\alpha = 4.0 \times 10^{-3}\,\mathrm{K}^{-1}$ ; $c = 385\,\mathrm{J}/(\mathrm{kg}\,\mathrm{K})$ . Hilo: sección $S = 2.5\,\mathrm{mm}^{2}$ , longitud $1\,\mathrm{m}$ , corriente $16\,\mathrm{A}$ .

Parte I — Los electrones.

Densidad numérica $n$ de electrones de conducción.
Densidad de corriente y velocidad de arrastre; cuánto tarda un electrón en recorrer el metro.
El $\tau$ de Drude y la movilidad; recorrido libre medio con una celeridad aleatoria de $1.6 \times 10^{6}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; a cuántas distancias atómicas ( $0.26\,\mathrm{nm}$ ) equivale y qué dice eso sobre con qué chocan los electrones.
Las vibraciones térmicas crecen con $T$ , de modo que aproximadamente $\tau \propto 1/T$ : compruébese frente a $\alpha$ cerca de la temperatura ambiente ( $\dd\rho_e/\rho_e = \dd T/T$ daría $\alpha = 1/293$ ).
Campo eléctrico en el hilo; tensión total en el metro; energía cinética de arrastre por electrón comparada con $k_BT$ — ¿altera la corriente al gas de electrones?
Número de electrones que atraviesan una sección del hilo por segundo.
Carga de los electrones de conducción del metro de hilo; fuerza que ejerce el campo sobre todos ellos juntos; compárese con el peso del hilo. ¿Dónde acaba esa fuerza (piénsese en las colisiones)?

Parte II — Las leyes locales.

Potencia de Joule por unidad de volumen y por metro.
El hilo, al aire, pierde calor a razón de $h(T - T_a)$ por unidad de superficie con $h = 10\,\mathrm{W}/(\mathrm{m}^{2}\,\mathrm{K})$ (convección): elevación de temperatura de equilibrio; compruébese si importa la corrección de resistividad.
El mismo hilo enterrado en un aislamiento que solo deja pasar $h = 2\,\mathrm{W}/(\mathrm{m}^{2}\,\mathrm{K})$ : nueva elevación de temperatura, con la corrección de resistividad incluida (resuélvase el balance).
Sin refrigeración alguna, ritmo de subida de temperatura a $16\,\mathrm{A}$ y a $160\,\mathrm{A}$ (un cortocircuito); tiempo para alcanzar el punto de fusión ( $1085{}^{\circ}\mathrm{C}$ ) en el segundo caso; ¿qué protege la instalación?
A $50\,\mathrm{Hz}$ , $\omega\tau = ?$ ¿Se ve afectada la ley de Ohm? (El efecto pelicular de Capítulo 14 es otra cuestión.)
Escríbase el tiempo de relajación $\varepsilon_0/\gamma$ del cobre; ¿qué implica para la densidad de carga dentro del hilo y dónde se aloja la carga que produce el campo $E$ dentro del hilo?

Parte III — La conservación de la carga en el circuito. El hilo alimenta un condensador $C = 100\,\text{µ}\mathrm{F}$ a través de un interruptor; la corriente vale $I(t) = I_0\eu^{-t/\tau_c}$ con $I_0 = 16\,\mathrm{A}$ , $\tau_c = 1\,\mathrm{ms}$ .

Carga que llega a la armadura; tensión final.
Aplíquese $\dd Q/\dd t = -I_{\text{sal}}$ a una superficie cerrada que rodee la armadura: ¿qué lado lleva una corriente de conducción y cuál no? ¿Qué magnitud debe entonces variar en el hueco?
En $t = 0.5\,\mathrm{ms}$ , ritmo de variación de la carga de la armadura; si las armaduras son de $1\,\mathrm{cm}^{2}$ y están separadas $0.1\,\mathrm{mm}$ en aire, ritmo de variación del campo entre ellas.
Muéstrese que $\varepsilon_0\,\dd E/\dd t \times$ el área de la armadura iguala a la corriente del hilo — la magnitud que Capítulo 11 añade a la ley de Ampère.
Se corta el hilo y los dos extremos quedan a $1\,\mathrm{mm}$ en aire: ¿qué corriente circula (aire $\gamma \approx 1 \times 10^{-14}\,\mathrm{S}/\mathrm{m}$ )? ¿A qué campo se rompe el aire ( $3\,\mathrm{MV}/\mathrm{m}$ ) y qué tensión entre los extremos produce una chispa?

Parte IV — La línea. Una línea de $230\,\mathrm{V}$ de cobre de $10\,\mathrm{mm}^{2}$ y $500\,\mathrm{m}$ de longitud (ida y vuelta: $1\,\mathrm{km}$ de hilo) alimenta una granja que consume $40\,\mathrm{A}$ .

Resistencia, caída de tensión y potencia perdida en la línea; fracción de la potencia entregada.
La misma potencia a $20\,\mathrm{kV}$ con un transformador en cada extremo: corriente, caída y pérdida; conclúyase por qué el transporte se hace a alta tensión.
En las torres se usa aluminio ( $\gamma = 3.6 \times 10^{7}\,\mathrm{S}/\mathrm{m}$ , $2700\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ ): sección para la misma resistencia que $10\,\mathrm{mm}^{2}$ de cobre; masa por kilómetro de ambos; por qué gana el aluminio allí arriba y el cobre en la pared.
Una pinza con sensor Hall abrazada a la línea lee su campo: para una pinza amperimétrica con $n = 1 \times 10^{22}\,\mathrm{m}^{-3}$ , $t = 0.1\,\mathrm{mm}$ , alimentada con $5\,\mathrm{mA}$ en un campo de $0.1\,\mathrm{T}$ concentrado por un núcleo de hierro, tensión Hall.
Tras un día caluroso de carga el hilo está a $80{}^{\circ}\mathrm{C}$ : su resistencia entonces y la pérdida adicional.
Un rayo alcanza la línea: $20\,\mathrm{kA}$ durante $100\,\text{µ}\mathrm{s}$ . Energía disipada en el $1\,\mathrm{km}$ de hilo; elevación de temperatura si no escapa nada; densidad de corriente — compárese con la parte I.
Resúmase: las cinco magnitudes ( $n$ , $\tau$ , $\gamma$ , $j$ , $E$ ) que describen el hilo a cada escala, y la ley que enlaza cada par.

Solución

Solución de Problema 10.1.

1. $n = \rho N_A/M = 8.4 \times 10^{28}\,\mathrm{m}^{-3}$ .

2. $j = 6.4 \times 10^{6}\,\mathrm{A}/\mathrm{m}^{2}$ , $v = j/ne = 0.47\,\mathrm{mm}/\mathrm{s}$ ; $35\,\mathrm{min}$ por metro.

3. $\tau = m\gamma/ne^2 = 2.5 \times 10^{-14}\,\mathrm{s}$ , $\mu = 4.4 \times 10^{-3}\,\mathrm{m}^{2}/(\mathrm{V}\,\mathrm{s})$ , $\ell = 40\,\mathrm{nm}$ , $150$ distancias atómicas: los electrones chocan con defectos y vibraciones térmicas, no con los átomos.

4. $\rho_e \propto T$ da $\alpha = 1/293 = 3.4 \times 10^{-3}\,\mathrm{K}^{-1}$ , cercano al $4 \times 10^{-3}$ medido.

5. $E = 0.11\,\mathrm{V}/\mathrm{m}$ , $U = 0.11\,\mathrm{V}$ ; $\tfrac12mv^2 = 1 \times 10^{-37}\,\mathrm{J}$ frente a $k_BT = 4 \times 10^{-21}\,\mathrm{J}$ : el gas de electrones no nota la corriente.

6. $I/e = 1 \times 10^{20}\,$ electrones por segundo.

7. $Q = neSL = 3.4 \times 10^{4}\,\mathrm{C}$ ; $QE = 3.6\,\mathrm{kN}$ , frente a un peso de $0.2\,\mathrm{N}$ . El campo tira de la red positiva con la fuerza opuesta; los electrones ceden su cantidad de movimiento a la red por colisiones: el hilo en conjunto no siente nada.

8. $p = j^2/\gamma = 6.8 \times 10^{5}\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{3}$ , $1.7\,\mathrm{W}/\mathrm{m}$ .

9. Superficie $\pi d = 5.6 \times 10^{-3}\,\mathrm{m}^{2}$ por metro: $\Delta T = 1.7/(10 \times 5.6 \times 10^{-3}) = 30\,\mathrm{K}$ ; la resistividad sube un $12\%$ y la potencia a $1.9\,\mathrm{W}$ : $\Delta T \approx 35\,\mathrm{K}$ .

10. $\Delta T = 1.7(1 + 0.004\Delta T)/(2 \times 5.6 \times 10^{-3})$ : $\Delta T(1 - 0.6) = 150$ , $\Delta T \approx 400\,\mathrm{K}$ — cerca del embalamiento térmico: los cables enterrados deben usarse por debajo de su corriente nominal.

11. $p/\rho c = 0.2\,\mathrm{K}/\mathrm{s}$ ; a $160\,\mathrm{A}$ , $20\,\mathrm{K}/\mathrm{s}$ : se funde en un minuto aproximadamente (menos, según sube $\rho_e$ ); el interruptor automático abre en milisegundos.

12. $\omega\tau = 8 \times 10^{-12}$ : la ley de Ohm no se altera.

13. $\varepsilon_0/\gamma = 1.5 \times 10^{-19}\,\mathrm{s}$ : ninguna carga en el interior; el campo del hilo lo crean cargas de su superficie, cuya densidad varía a lo largo del hilo.

14. $Q = I_0\tau_c = 16\,\mathrm{mC}$ , $V = Q/C = 160\,\mathrm{V}$ .

15. El lado del hilo lleva $I$ y el lado del hueco no lleva corriente de conducción: la carga crece, y con ella el campo eléctrico del hueco.

16. $I = 16\eu^{-0.5} = 9.7\,\mathrm{A}$ ; $E = Q/\varepsilon_0A$ , $\dd E/\dd t = I/\varepsilon_0A = 9.7/(8.85 \times 10^{-12} \times 10^{-4}) = 1.1 \times 10^{16}\,\mathrm{V}\,\mathrm{m}^{-1}\,\mathrm{s}^{-1}$ .

17. $\varepsilon_0A\,\dd E/\dd t = I$ : la corriente de desplazamiento.

18. $j = \gamma E = 10^{-14} \times 2.3 \times 10^5 = 2 \times 10^{-9}\,\mathrm{A}/\mathrm{m}^{2}$ , $10^{-14}$ A por la sección: nada; ruptura a $3\,\mathrm{kV}$ en el milímetro.

19. $R = 1000/(6 \times 10^7 \times 10^{-5}) = 1.7\,\Omega$ ; $\Delta U = 67\,\mathrm{V}$ ; $P = 2.7\,\mathrm{kW}$ , el $29\%$ de los $9.2\,\mathrm{kW}$ entregados.

20. $I = 0.46\,\mathrm{A}$ , $\Delta U = 0.8\,\mathrm{V}$ , $0.35\,\mathrm{W}$ : transportar a alta tensión divide la pérdida por $(U_2/U_1)^2$ .

21. $10 \times 6/3.6 = 17\,\mathrm{mm}^{2}$ ; $89\,\mathrm{kg}/\mathrm{km}$ de cobre frente a $45\,\mathrm{kg}/\mathrm{km}$ de aluminio: más ligero y más barato en las torres; en la pared, la sección menor del cobre cabe en los tubos y en los bornes.

22. $V_H = IB/nqt = 5 \times 10^{-3} \times 0.1/(10^{22} \times 1.6 \times 10^{-19} \times 10^{-4}) = 3.1\,\mathrm{mV}$ .

23. $+24\%$ : $2.1\,\Omega$ , $3.3\,\mathrm{kW}$ perdidos.

24. $RI^2t = 1.7 \times 4 \times 10^8 \times 10^{-4} = 67\,\mathrm{kJ}$ sobre $89\,\mathrm{kg}$ : $2\,\mathrm{K}$ . $j = 2 \times 10^{9}\,\mathrm{A}/\mathrm{m}^{2}$ , trescientas veces el valor doméstico.

25. $n$ (la materia) y $\tau$ (las colisiones) dan $\gamma = ne^2\tau/m$ ; $\gamma$ enlaza $j$ y $E$ (Ohm); $j$ se integra hasta $I$ y $E$ hasta $U$ (el circuito); $j^2/\gamma$ es el calor.

Términos definidos en este capítulo

Densidad de carga; densidad de corriente

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