Física universitaria — segundo año · Bachelor Year 2

20El interferómetro de Michelson

En 1887 Michelson y Morley desdoblaron en dos un haz de luz, enviaron las mitades por brazos perpendiculares, las recombinaron y vigilaron las franjas en busca del desplazamiento que debía producir el movimiento de la Tierra por el éter: nada se movió, y la física cambió. En 2015 el mismo instrumento — dos brazos, ahora de cuatro kilómetros y plegados hasta mil — registró una onda gravitacional que cambió sus longitudes en una milésima del diámetro de un protón. Entre esas dos fechas, el interferómetro de Michelson midió el metro en longitudes de onda, resolvió rayas espectrales y se convirtió en la herramienta habitual de la óptica de precisión. Este capítulo lo describe en sus dos configuraciones — la cuña de aire y la lámina de caras paralelas — y muestra cómo sus franjas miden longitudes, índices y espectros.

20.1 El instrumento

Definición 20.1 (El interferómetro de Michelson)

Una lámina separadora $Sp$ — una placa de vidrio con una cara semirreflectante — a $45{}^{\circ}$ divide en dos un haz incidente: uno va al espejo $M_1$ y el otro a $M_2$ , ambos perpendiculares a sus haces; tras la reflexión, cada uno vuelve a $Sp$ , donde la mitad se envía hacia el observador, y allí interfieren las dos mitades. Una lámina compensadora $C$ , idéntica a la separadora y paralela a ella, se pone en el brazo que si no cruzaría el vidrio de la separadora una sola vez, de modo que ambos haces crucen el mismo espesor de vidrio: la diferencia de camino es entonces una diferencia pura de caminos en el aire, la misma para toda longitud de onda — que es lo que exigen las franjas de luz blanca. Las distancias de los espejos a $Sp$ son $d_1$ y $d_2$ ; uno de los espejos va montado sobre un tornillo micrométrico y sobre tornillos de inclinación.

Proposición 20.2 (Montaje equivalente)

Visto desde el observador, el interferómetro equivale al espejo $M_2$ y a la imagen $M_1'$ de $M_1$ en la separadora: una lámina delgada de aire entre dos superficies reflectantes, de espesor $e = |d_1 - d_2|$ , cuyas dos reflexiones interfieren (división de amplitud):

$M_1' \parallel M_2$ : una lámina de aire de espesor $e$ — anillos de igual inclinación, localizados en el infinito, $\delta = 2e\cos i$ ;
$M_1'$ ligeramente inclinado un ángulo $\alpha$ respecto de $M_2$ : una cuña de aire — franjas rectas de igual espesor, localizadas en los espejos (cerca de la cuña), $\delta = 2\alpha x$ con incidencia normal, separadas $\lambda/2\alpha$ .

En el contacto ( $e = 0$ , $\alpha = 0$ ) el campo es uniforme y, para la luz blanca, es el único lugar donde los colores concuerdan: la “franja blanca”.

Demostración. Plegar el brazo de $M_1$ sobre el de $M_2$ por reflexión en $Sp$ lleva los dos haces a una misma línea con dos espejos separados $e$ ; las dos ondas que vuelven son las reflejadas por las dos caras de la lámina de aire (sin $\lambda/2$ suplementaria: ambas se reflejan en metal y la separadora las trata simétricamente, salvo una fase constante que desplaza todo el patrón). Los resultados de las láminas delgadas de Capítulo 19 se aplican entonces con $n = 1$ . ∎

A la izquierda, el interferómetro de Michelson — separadora, lámina compensadora, dos espejos y un haz recombinado hacia el observador. A la derecha, la lámina de aire equivalente entre M_2 y la imagen M_1' de M_1, paralela (anillos) o inclinada (franjas rectas). — A la izquierda, el interferómetro de Michelson — separadora, lámina compensadora, dos espejos y un haz recombinado hacia el observador. A la derecha, la lámina de aire equivalente entre $M_2$ y la imagen $M_1'$ de $M_1$ , paralela (anillos) o inclinada (franjas rectas).

20.2 Los dos sistemas de franjas

Proposición 20.3 (Anillos de la lámina de aire)

Con $M_1' \parallel M_2$ y una fuente extensa, el observador (o una lente de distancia focal $f$ y una pantalla en su plano focal) ve anillos concéntricos; el anillo del ángulo $i$ tiene el orden $p = 2e\cos i/\lambda$ , y son brillantes los anillos de $p$ entero. El centro tiene el orden más alto, $p_0 = 2e/\lambda$ ; cerca de él, $\cos i \approx 1 - i^2/2$ , así que el $k$ -ésimo anillo brillante desde el centro (contado desde el primero, a $\varepsilon = p_0 - \lfloor p_0\rfloor$ por debajo del orden del centro) tiene el radio

r_k = f\,i_k = f\sqrt{\frac{(k - 1 + \varepsilon)\lambda}e} :

anillos más apretados cuanto mayor es $e$ (más anillos y más finos), que se separan cuando $e \to 0$ hasta que, en el contacto, queda un campo uniforme. Mover un espejo $\lambda/2$ cambia $p_0$ en una unidad: nace un anillo en el centro (o lo traga) por cada media longitud de onda de desplazamiento.

Demostración. $\delta = 2e\cos i$ para la lámina de caras paralelas (Capítulo 19, $n = 1$ , sin $\lambda/2$ suplementaria por las dos reflexiones metálicas); $2e(1 - i^2/2) = (p_0 - k + 1 - \varepsilon)\lambda$ con $2e = p_0\lambda$ da $ei^2 = (k - 1 + \varepsilon)\lambda$ . ∎

Proposición 20.4 (Franjas de la cuña de aire)

Con $M_1'$ inclinado un ángulo pequeño $\alpha$ y con incidencia casi normal, la diferencia de camino en el punto de los espejos situado a la distancia $x$ de la línea de contacto vale $\delta = 2\alpha x$ : franjas rectas paralelas a esa línea, separadas $\lambda/2\alpha$ , localizadas en los espejos (se observan enfocando sobre $M_2$ , o se proyectan en una pantalla con una lente que conjugue $M_2$ y la pantalla). La franja de orden cero está sobre la línea de contacto, la misma para toda longitud de onda: con luz blanca es blanca (o negra, según las fases de la separadora), flanqueada por unas pocas franjas coloreadas — la firma con la que se encuentra el contacto.

Demostración. Franjas de igual espesor de una cuña de aire, $e(x) = \alpha x$ . Localización: para una fuente extensa, los rayos que pasan por un punto dado de la cuña se recombinan allí, con la misma $\delta$ con incidencia casi normal. ∎

Los dos sistemas de franjas del Michelson y el contraste de las franjas del doblete del sodio frente al espesor de la lámina: se anula cada 0.29\, mm (la primera vez en 0.145\, mm), cuando las franjas de las dos rayas están en oposición. — Los dos sistemas de franjas del Michelson y el contraste de las franjas del doblete del sodio frente al espesor de la lámina: se anula cada $0.29\,\mathrm{mm}$ (la primera vez en $0.145\,\mathrm{mm}$ ), cuando las franjas de las dos rayas están en oposición.

20.3 Medir con el Michelson

Proposición 20.5 (Longitudes, índices, espectros)

Contar $N$ franjas que pasan por el centro mientras un espejo se desplaza $\Delta e$ da $\Delta e = N\lambda/2$ : longitudes en longitudes de onda (un tornillo micrométrico calibrado a $0.1\,\text{µ}\mathrm{m}$ ; así se midió el propio metro). Una lámina transparente de espesor $\ell$ e índice $n$ colocada en un brazo añade $2(n - 1)\ell$ a $\delta$ y desplaza el patrón $2(n - 1)\ell/\lambda$ franjas: índices (y sus variaciones con la presión o la temperatura, en una cubeta de gas). Con un doblete de longitudes de onda $\lambda$ y $\lambda + \Delta\lambda$ , los dos sistemas de franjas se desacompasan y se vuelven a acompasar al crecer $e$ , y el contraste se anula cada

\Delta e = \frac{\lambda^2}{2\Delta\lambda} :

el desdoblamiento de rayas próximas. De forma más general, el contraste en función de $e$ dibuja el espectro de la fuente (el contraste decae en $e \sim \ell_c/2$ ): registrar la intensidad en el centro mientras $e$ barre es la espectroscopia por transformada de Fourier, el método de los espectrómetros de infrarrojo.

Demostración. El orden en el centro vale $2e/\lambda$ ; cada raya tiene el suyo. Los dos sistemas vuelven a coincidir cuando $2e/\lambda - 2e/(\lambda + \Delta\lambda) = 1$ , es decir, $2e\Delta\lambda /\lambda^2 = 1$ ; están en oposición a mitad de camino. El enunciado general es la fórmula del contraste de Ejercicio 18.10. ∎

Ejemplo 20.6 (El sodio y el metro)

El doblete del sodio ( $\Delta\lambda = 0.6\,\mathrm{nm}$ a $589\,\mathrm{nm}$ ): los anillos se borran y se afilan cada $\Delta e = 589^2/(2 \times 0.6)$ nm $= 0.29\,\mathrm{mm}$ — una medida clásica de $\Delta\lambda$ con un pequeño porcentaje de error usando un tornillo. Michelson (1892) contó las franjas de la raya roja del cadmio a lo largo del metro patrón: $1\,553\,163.5$ longitudes de onda, la primera atadura entre el metro y un átomo; hoy el metro se define mediante $c$ y el segundo, y los interferómetros verifican bloques patrón en producción con precisión de nanómetros.

La intensidad en el centro de los anillos a medida que crece el espesor de la lámina, para una fuente de longitud de coherencia finita: las franjas se apagan en e _c/2; la envolvente es la transformada de Fourier del espectro. — La intensidad en el centro de los anillos a medida que crece el espesor de la lámina, para una fuente de longitud de coherencia finita: las franjas se apagan en $e \sim \ell_c/2$ ; la envolvente es la transformada de Fourier del espectro.

Observación 20.7 (Los brazos que no midieron nada y los que midieron una onda)

Michelson y Morley esperaban que la velocidad $v$ de la Tierra por el éter cambiara el tiempo de ida y vuelta por el brazo paralelo a ella en $(L/c)(v/c)^2$ respecto del brazo perpendicular, un desplazamiento de franjas de $2L(v/c)^2/\lambda \approx 0.4$ franjas para $L = 11\,\mathrm{m}$ y $v = 30\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ ; girar el aparato debería haber movido el patrón en esa cantidad. Podían ver $0.01$ franjas; no vieron nada. Los detectores de ondas gravitacionales de hoy son Michelson con brazos de $4\,\mathrm{km}$ , con la luz rebotando unas trescientas veces en cada uno y un láser lo bastante estable como para leer un cambio de longitud de brazo $\Delta L/L \sim 10^{-21}$ — $10^{-18}$ m, una milésima de protón — frente al ruido del movimiento sísmico y de los propios fotones.

Método 20.8 (Cómo usar un Michelson)

(1) Identifíquese la configuración: lámina de caras paralelas (anillos en el infinito; obsérvese con una lente o con el ojo al infinito) o cuña (franjas en los espejos; enfóquese sobre $M_2$ ). (2) Escríbase $\delta = 2e\cos i$ o $2\alpha x$ y el orden. (3) Tradúzcase cada medida a franjas: $\Delta e = N\lambda/2$ , $2(n - 1)\ell$ para una lámina, $\lambda^2/2\Delta\lambda$ para un doblete. (4) Úsese la posición de contacto ( $e = 0$ , franja blanca) como referencia absoluta; téngase en cuenta que los radios de los anillos disminuyen al crecer $e$ . (5) Límites de coherencia: los anillos se ven mientras $2e < \ell_c$ ; la cuña exige incidencia casi normal.

20.4 Ejercicios

Ejercicio 20.1 ★

Un Michelson con luz de sodio ( $\lambda = 589\,\mathrm{nm}$ ): se desplaza el espejo $0.10\,\mathrm{mm}$ : número de anillos que pasan por el centro; desplazamiento correspondiente a $250$ franjas; precisión sobre $e$ si puede leerse una décima de franja.

Solución

Solución de Ejercicio 20.1.

$N = 2\Delta e/\lambda = 340$ ; $250$ franjas: $\Delta e = 125\lambda = 74\,\text{µ}\mathrm{m}$ ; una décima de franja son $\lambda/20 = 30\,\mathrm{nm}$ .

Ejercicio 20.2 ★

Lámina de caras paralelas de espesor $e = 0.50\,\mathrm{mm}$ , lente $f = 1.0\,\mathrm{m}$ , $\lambda = 589\,\mathrm{nm}$ : orden en el centro; ¿es brillante el centro? Radios de los tres primeros anillos brillantes; ¿qué les ocurre a los anillos si $e$ se reduce a $0.05\,\mathrm{mm}$ ?

Solución

Solución de Ejercicio 20.2.

$p_0 = 2e/\lambda = 1697.8$ : no es entero, el centro no es brillante ( $\varepsilon = 0.8$ ). $r_k = f\sqrt{(k - 1 + \varepsilon)\lambda/e}$ : $3.1$ , $4.6$ , $5.7\,\mathrm{cm}$ . Con $0.05\,\mathrm{mm}$ los radios crecen en $\sqrt{10}$ : pocos anillos y anchos.

Ejercicio 20.3 ★

Cuña de aire con $\alpha = 1.0 \times 10^{-4}\,\mathrm{rad}$ , $\lambda = 633\,\mathrm{nm}$ : separación de las franjas; número de franjas en $2\,\mathrm{cm}$ de espejo; se dobla el ángulo de la cuña: ¿qué ocurre? ¿Cómo se encuentra el contacto con luz blanca?

Solución

Solución de Ejercicio 20.3.

$\lambda/2\alpha = 3.2\,\mathrm{mm}$ ; seis franjas en $2\,\mathrm{cm}$ ; doblar $\alpha$ reduce a la mitad la separación. Contacto: trasládese el espejo hasta que aparezcan las franjas de luz blanca (una blanca flanqueada por coloreadas) — solo existen dentro de un micrómetro de $\delta = 0$ .

Ejercicio 20.4 ★

Se inserta una placa de vidrio de $0.10\,\mathrm{mm}$ de espesor en un brazo: desplazamiento de franjas para $n = 1.52$ a $589\,\mathrm{nm}$ ; el desplazamiento se mide con $0.2$ franjas de precisión: precisión sobre $n$ . ¿Por qué no podría hacerse la misma medida con luz blanca si la placa midiera $1\,\mathrm{cm}$ ?

Solución

Solución de Ejercicio 20.4.

$2(n - 1)e/\lambda = 177$ franjas; $0.2$ franjas dan $\Delta n = 0.2\lambda/2e = 6 \times 10^{-4}\,$ . Un centímetro de vidrio añade milímetros de camino dispersivo: los colores ya no concuerdan en ninguna parte, no hay franja blanca.

Ejercicio 20.5 ★★

Doblete del sodio. (a) Espesor $e$ entre dos desapariciones sucesivas de los anillos, para $\Delta\lambda = 0.597\,\mathrm{nm}$ . (b) Un estudiante mide $17$ desapariciones en $5.00\,\mathrm{mm}$ : $\Delta\lambda$ y su precisión. (c) Órdenes de las dos rayas en $e = 0.29\,\mathrm{mm}$ : compruébese que difieren en $\tfrac12$ . (d) ¿Por qué no es nunca exactamente nulo el contraste (las dos rayas tienen intensidades en la razón $2 : 1$ )? Contraste mínimo.

Solución

Solución de Ejercicio 20.5.

(a) $\lambda^2/2\Delta\lambda = 0.291\,\mathrm{mm}$ . (b) $5.00/17 = 0.294\,\mathrm{mm}$ : $\Delta\lambda = \lambda^2/2\Delta e = 0.590\,\mathrm{nm}$ ; $0.1\%$ : $\pm0.0006\,\mathrm{nm}$ . (c) En $e = 0.145\,\mathrm{mm}$ (la primera desaparición): $p_1 = 492.4$ , $p_2 = 491.9$ — medio orden de diferencia; en $0.29\,\mathrm{mm}$ difieren en uno. (d) Sobreviven las franjas más débiles: $V_{\min} = (I_1 - I_2)/(I_1 + I_2) = 1/3$ .

Ejercicio 20.6 ★★

Índice del aire. Se hace el vacío en una cubeta de $10.0\,\mathrm{cm}$ de un brazo y luego se llena despacio de aire a $1\,\mathrm{bar}$ ; pasan $94$ franjas ( $\lambda = 589\,\mathrm{nm}$ ). (a) $n - 1$ del aire. (b) Franjas que pasan por un cambio del $1\,\%$ de presión; coeficiente de temperatura si $n - 1 \propto \rho$ . (c) ¿Por qué importa esto para la estabilidad de cualquier interferómetro en el aire? (d) Precisión sobre $n - 1$ a partir de una décima de franja.

Solución

Solución de Ejercicio 20.6.

(a) $2(n - 1)\ell = 94\lambda$ : $n - 1 = 2.77 \times 10^{-4}\,$ . (b) $0.94$ franjas por cada uno por ciento; $\dd(n - 1)/\dd T = -(n - 1)/T = -9.5 \times 10^{-7}\,\mathrm{K}^{-1}$ . (c) Unos pocos milibares o un grado en un brazo mueven las franjas: de ahí el vacío o los brazos iguales. (d) $0.1/94$ : $\pm3 \times 10^{-7}\,$ .

Ejercicio 20.7 ★★

Longitud de coherencia. Con una lámpara de mercurio de baja presión (raya verde, $546\,\mathrm{nm}$ , de $0.01\,\mathrm{nm}$ de anchura) los anillos se apagan al crecer $e$ . (a) Longitud de coherencia; espesor $e$ para el que el contraste se vuelve despreciable. (b) Lo mismo con una lámpara de alta presión ( $\Delta\lambda = 1\,\mathrm{nm}$ ). (c) Con un láser de He–Ne ( $\Delta\nu = 1\,\mathrm{MHz}$ ): ¿pueden verse todavía anillos con $e = 10\,\mathrm{m}$ ? (d) ¿Qué limita las franjas de luz blanca a $\pm2$ órdenes en torno al contacto?

Solución

Solución de Ejercicio 20.7.

(a) $\ell_c = \lambda^2/\Delta\lambda = 3\,\mathrm{cm}$ : los anillos se apagan más allá de $e \approx 1.5\,\mathrm{cm}$ . (b) $0.3\,\mathrm{mm}$ , $e \approx 0.15\,\mathrm{mm}$ . (c) $\ell_c = 300\,\mathrm{m}$ : sí. (d) $\ell_c \approx 1\,\text{µ}\mathrm{m}$ : $2e < 1\,\text{µ}\mathrm{m}$ , un par de órdenes.

Ejercicio 20.8 ★★

Lámina compensadora. Sin $C$ , un haz cruza el vidrio de la separadora ( $e_g = 5\,\mathrm{mm}$ , $n = 1.52$ ) tres veces y el otro una sola. (a) Camino óptico suplementario; ¿puede compensarse moviendo un espejo para luz monocromática? (b) ¿Por qué no para luz blanca (dispersión: $n$ varía $0.01$ en el visible)? (c) ¿Qué tolerancia en el paralelismo de $C$ y $Sp$ conserva la franja blanca (tómese una diferencia residual de espesor $< 0.3\,\text{µ}\mathrm{m}$ )? (d) Las separadoras modernas son películas finas o cubos: ¿por qué es entonces innecesaria $C$ ?

Solución

Solución de Ejercicio 20.8.

(a) $2(n - 1)e_g = 5.2\,\mathrm{mm}$ ; sí, con $2.6\,\mathrm{mm}$ de recorrido del espejo. (b) El camino en el vidrio varía con $\lambda$ en $2e_g\Delta n = 100\,\text{µ}\mathrm{m} \gg \ell_c$ : no hay cero independiente de la longitud de onda. (c) $2(n - 1)\Delta e_g < 0.3\,\text{µ}\mathrm{m}$ : $\Delta e_g < 0.3\,\text{µ}\mathrm{m}$ — una inclinación relativa por debajo de $1.5 \times 10^{-5}\,\mathrm{rad}$ en $2\,\mathrm{cm}$ . (d) Una película tiene micrómetros de espesor; un cubo es simétrico: ambos haces ven el mismo vidrio.

Ejercicio 20.9 ★★

Michelson–Morley. Brazos de $L = 11\,\mathrm{m}$ (plegados), $\lambda = 550\,\mathrm{nm}$ , celeridad orbital de la Tierra $v = 30\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ . (a) En la teoría del éter, la ida y vuelta por el brazo paralelo a $\vect v$ tarda $2L/c(1 - v^2/c^2)$ y la del perpendicular $2L/c\sqrt{1 - v^2/c^2}$ : diferencia, al orden más bajo. (b) Desplazamiento de franjas esperado al girar el aparato $90{}^{\circ}$ (los papeles de los brazos se intercambian). (c) Podían detectar $0.01$ franjas: cota superior de $v$ . (d) ¿Qué dice un resultado nulo, y qué concluyó Einstein?

Solución

Solución de Ejercicio 20.9.

(a) $\Delta t \approx Lv^2/c^3 = 4.1 \times 10^{-15}\,\mathrm{s}$ , un camino de $1.2\,\text{µ}\mathrm{m}$ . (b) Intercambiar los brazos lo duplica: $2Lv^2/c^2\lambda = 0.4$ franjas. (c) $v < 30\sqrt{0.01/0.4} = 4.7\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ . (d) No se ve ningún movimiento por un éter; la celeridad de la luz es la misma por ambos brazos — el postulado de la relatividad.

Ejercicio 20.10 ★★★

Espectroscopia de Fourier. La intensidad en el centro de los anillos vale $I(e) = \int S(\nu)[1 + \cos(4\pi\nu e/c)]\dd\nu$ para una fuente de espectro $S(\nu)$ . (a) Para una sola raya: $I(e)$ ; periodo en $e$ . (b) Para una raya gaussiana de anchura $\Delta\nu$ : muéstrese que las franjas tienen una envolvente gaussiana de anchura $\sim c/2\Delta\nu$ en $e$ (admítase que la transformada de Fourier de una gaussiana es una gaussiana). (c) Resolución: dos rayas separadas $\Delta\nu$ se separan si el barrido alcanza $e_{\max} \approx c/2\Delta\nu$ ; para $e_{\max} = 10\,\mathrm{cm}$ , el poder resolvente $\lambda/\Delta\lambda$ a $1\,\text{µ}\mathrm{m}$ . (d) ¿Por qué se prefiere este método en el infrarrojo (señal, ventaja “multiplex”)?

Solución

Solución de Ejercicio 20.10.

(a) $I = S_0[1 + \cos(4\pi\nu_0e/c)]$ , de periodo $\lambda/2$ en $e$ . (b) Cada frecuencia da una franja de periodo algo distinto; una banda gaussiana de anchura $\Delta\nu$ suma franjas con una envolvente gaussiana de anchura $\sim c/2\Delta\nu$ . (c) $R = \nu/\Delta\nu = 2e_{\max}/\lambda = 2 \times 10^5$ . (d) Todas las longitudes de onda caen sobre un solo detector a la vez (Fellgett) por una abertura ancha (Jacquinot): mucha más señal que un espectrómetro de rendija en el infrarrojo, pobre en fotones.

Ejercicio 20.11 ★★★

Detector de ondas gravitacionales. Brazos de $L = 4\,\mathrm{km}$ , luz reciclada hasta $N = 300$ idas y vueltas, $\lambda = 1064\,\mathrm{nm}$ ; la onda cambia los brazos en $\Delta L/L = 10^{-21}$ en sentidos opuestos. (a) Cambio de la diferencia de camino; desfase. (b) El instrumento se mantiene en una franja oscura y mide la pequeña intensidad $I = I_0\sin^2(\Delta\varphi/2)$ : cambio de intensidad de la señal. (c) Con $100\,\mathrm{W}$ de luz circulante a $1064\,\mathrm{nm}$ , fotones por segundo; el ruido de fotones en $1\,\mathrm{ms}$ ( $\sqrt N$ ) frente a la señal: ¿es detectable? ¿Qué se gana con más potencia? (d) ¿Por qué miden los brazos kilómetros, y por qué están suspendidos los espejos?

Solución

Solución de Ejercicio 20.11.

(a) El camino de cada brazo cambia en $2N\Delta L$ , en sentidos opuestos: $\Delta\delta = 4N\Delta L = 4.8 \times 10^{-15}\,\mathrm{m}$ , $\Delta\varphi = 2\pi\Delta\delta/\lambda = 2.8 \times 10^{-8}\,\mathrm{rad}$ . (b) Cerca de una franja oscura el detector ve una intensidad proporcional a $\Delta\varphi^2$ — o, con un pequeño desplazamiento, a $\Delta\varphi$ : un cambio relativo del orden de $10^{-8}$ . (c) $5 \times 10^{20}$ fotones por segundo, $5 \times 10^{17}$ por milisegundo, con ruido relativo $1.4 \times 10^{-9}$ : la señal es veinte veces el ruido; más potencia baja el ruido como $1/\sqrt P$ . (d) $\Delta L \propto L$ ; las suspensiones pendulares filtran el movimiento del suelo por encima de su resonancia.

Ejercicio 20.12 ★★★

Localización. (a) Muéstrese que para la cuña los dos rayos que salen de un punto $P$ de $M_2$ hacia un observador en el infinito (incidencia $i$ ) tienen la diferencia de camino $2e(P)\cos i$ más un término $\propto\alpha i$ que se anula para $i = 0$ : las franjas están en los espejos solo con incidencia normal. (b) Una fuente extensa ilumina la cuña con incidencias de hasta $i_{\max}$ : ¿qué debe cumplir $i_{\max}$ para que las franjas sigan nítidas ( $2e\,i_{\max}^2/2 < \lambda/4$ en el borde del campo, con $e = 20\,\text{µ}\mathrm{m}$ )? (c) Para la lámina de caras paralelas los anillos no se mueven cuando se mueve el ojo: ¿por qué? (d) Una estudiante ve franjas que se desplazan cuando mueve la cabeza: ¿en qué configuración está y qué debería ajustar?

Solución

Solución de Ejercicio 20.12.

(a) Para un punto $P$ a la profundidad $e(P)$ y con incidencia $i$ , $\delta = 2e(P)\cos i$ más un término $\propto\alpha i$ debido a la segunda reflexión inclinada, que se anula con incidencia normal: solo allí llegan al ojo los dos rayos que salen de $P$ — localización en los espejos. (b) $ei^2 < \lambda/4$ : $i_{\max} < \sqrt{\lambda/4e} = 0.09\,\mathrm{rad}$ . (c) Los anillos dependen solo de $i$ : cualquier posición del ojo ve el mismo patrón angular. (d) La cuña vista fuera de los espejos; enfóquese sobre $M_2$ o redúzcase la inclinación.

Un interferómetro de Michelson en un banco de prácticas: láser, cubo separador, dos espejos y, en la pantalla, los anillos de igual inclinación de la lámina de aire.

El interferómetro LIGO de Hanford: un interferómetro de Michelson con brazos de cuatro kilómetros que en 2015 registró un cambio de longitud de brazo de una milésima del diámetro de un protón — el paso de una onda gravitacional (LIGO Laboratory).

20.5 Problema: el doblete del sodio y el índice del aire

Problema 20.1

Problema de fin de semana — una sesión completa de medidas con un interferómetro de Michelson: encontrar el contacto, leer longitudes, desdoblar la raya amarilla y pesar el aire

El interferómetro tiene un tornillo micrométrico que lee $1\,\text{µ}\mathrm{m}$ ; la lámpara de sodio da $\lambda_1 = 589.0\,\mathrm{nm}$ y $\lambda_2 = 589.6\,\mathrm{nm}$ con intensidades $2 : 1$ ; también se dispone de una lámpara blanca y de un láser de He–Ne ( $632.8\,\mathrm{nm}$ ).

Parte I — Puesta a punto.

Con el láser, la estudiante ve en una tarjeta dos manchas de los dos brazos; las superpone con los tornillos de inclinación y ve entonces franjas rectas: ¿de qué configuración se trata, y qué dice su separación sobre la inclinación residual (separación de $2\,\mathrm{mm}$ )?
Al girar los tornillos de inclinación, las franjas se curvan y luego se vuelven anillos: ¿por qué aparecen anillos, y dónde está ahora $M_1'$ ?
Traslada el espejo y cuenta $158$ anillos tragados por el centro: desplazamiento; ¿en qué sentido cambia $e$ ?
Al seguir, los anillos se separan y la mancha central crece hasta llenar el campo: ¿qué ha alcanzado? La lámpara de sodio sustituye al láser y no ve nada especial: ¿por qué no, y por qué muestra la luz blanca una franja central brillante flanqueada por franjas coloreadas en ese punto?
Inclina muy ligeramente $M_1$ en el contacto y ve, con luz blanca, franjas rectas coloreadas: explíquese, y dígase cuántas puede esperar a cada lado de la blanca.
Las manchas del láser miden $10\,\mathrm{mm}$ de ancho y quiere diez anillos en el campo de una lente de $f = 20\,\mathrm{cm}$ ( $\lambda = 632.8\,\mathrm{nm}$ ): espesor $e$ necesario (úsese el radio del $k$ -ésimo anillo).
¿Por qué debe ser paralela la lámina compensadora a la separadora, y qué vería con luz blanca si se quitara?

Parte II — El doblete.

Partiendo del contacto con la lámpara de sodio, aumenta $e$ : el contraste de los anillos cae, se anula y vuelve. Espesor de la primera desaparición; y de la $n$ -ésima.
Registra $12$ desapariciones entre $e = 0.15\,\mathrm{mm}$ y $e = 3.35\,\mathrm{mm}$ (la primera y la última leídas en el tornillo): $\Delta\lambda$ ; precisión si cada lectura es buena hasta $5\,\text{µ}\mathrm{m}$ .
Órdenes $p_1$ y $p_2$ de las dos rayas en la primera desaparición; y en el primer retorno del contraste pleno.
Contraste mínimo en una desaparición, dada la razón de intensidades $2 : 1$ (quedan las franjas de la raya más débil).
¿Cuántas desapariciones puede contar antes de que la anchura natural de las rayas ( $0.02\,\mathrm{nm}$ cada una) lo borre todo?
¿Qué mostraría una lámpara con tres rayas igualmente separadas?

Parte III — El aire. Se coloca en un brazo una cubeta de longitud $\ell = 5.00\,\mathrm{cm}$ con ventanas de vidrio y se hace el vacío; se deja entrar aire despacio mientras se cuentan las franjas del láser.

Diferencia de camino óptico creada al llenar la cubeta a $1\,\mathrm{atm}$ si $n - 1 = 2.9 \times 10^{-4}\,$ ; número de franjas.
Cuenta $46$ franjas: su valor de $n - 1$ .
Solo deja entrar $0.20\,\mathrm{bar}$ : franjas esperadas ( $n - 1 \propto$ presión).
La sala se calienta $3\,\mathrm{K}$ durante la medida, y los $40\,\mathrm{cm}$ de aire libre de cada brazo cambian de índice en $-1 \times 10^{-6}\,$ por kelvin: deriva de franjas; ¿es un problema para la Parte II? ¿Y para la Parte III?
¿Por qué no desplazan la medida las ventanas de la cubeta (están ahí durante toda la cuenta)?
Se repite el experimento con CO $_2$ ( $n - 1 = 4.5 \times 10^{-4}\,$ ): franjas con la cubeta llena; ¿cómo podría identificarse el gas solo a partir de la cuenta?

Parte IV — Límites.

El tornillo se lee a $1\,\text{µ}\mathrm{m}$ : precisión de una longitud medida contando franjas en $1\,\mathrm{cm}$ , frente a la del tornillo solo.
Una vibración de $50\,\mathrm{nm}$ de amplitud a $100\,\mathrm{Hz}$ sacude uno de los espejos: movimiento de las franjas; ¿qué ve el ojo y qué ve una cámara a $25$ imágenes por segundo?
La frecuencia del láser deriva $1 \times 10^{-8}\,$ en valor relativo durante una cuenta en $e = 1\,\mathrm{cm}$ : error en franjas.
Un bloque patrón de $10\,\mathrm{mm}$ está certificado con $\lambda/20$ por interferometría: precisión absoluta y relativa.
¿Por qué es el Michelson el instrumento de elección para longitudes, y la red (capítulo siguiente) para espectros?
Resúmanse las cuatro magnitudes medidas (una longitud, el desdoblamiento de un doblete, un índice y una longitud de coherencia) y la observación de franjas que dio cada una.

Solución

Solución de Problema 20.1.

1. Franjas de cuña; $\lambda/2\alpha = 2\,\mathrm{mm}$ : $\alpha = 1.6 \times 10^{-4}\,\mathrm{rad}$ .

2. $M_1'$ se ha vuelto paralelo a $M_2$ : la lámina de aire, cuyas franjas de igual inclinación son anillos.

3. $158\lambda/2 = 50\,\text{µ}\mathrm{m}$ ; anillos tragados por el centro: $e$ disminuye.

4. El contacto, $e = 0$ . La luz de sodio no muestra nada especial allí (una sola longitud de onda, campo uniforme en cualquier caso); la luz blanca señala la única posición en la que todos los colores tienen $\delta = 0$ , flanqueada por colores a medida que los órdenes se separan.

5. $\delta = 2\alpha x$ : una franja blanca sobre la línea de contacto y una o dos coloreadas a cada lado ( $2\alpha x < \ell_c \approx 1\,\text{µ}\mathrm{m}$ ).

6. $r_{10} = f\sqrt{10\lambda/e} = 5\,\mathrm{mm}$ : $e = 10\lambda f^2/r^2 = 1.0\,\mathrm{cm}$ .

7. Paralela, los dos haces cruzan el mismo vidrio para toda longitud de onda; sin $C$ , la dispersión de $5\,\mathrm{mm}$ de vidrio no deja ningún cero común: no hay franja blanca.

8. $\lambda^2/4\Delta\lambda = 0.145\,\mathrm{mm}$ ; luego, cada $\lambda^2/2\Delta\lambda = 0.291\,\mathrm{mm}$ .

9. $11$ intervalos en $3.20\,\mathrm{mm}$ : $0.291\,\mathrm{mm}$ , $\Delta\lambda = 0.597\,\mathrm{nm}$ ; $\pm10\,\text{µ}\mathrm{m}$ sobre $3.2\,\mathrm{mm}$ : $\pm0.002\,\mathrm{nm}$ .

10. $492.4$ y $491.9$ (medio orden de diferencia); en el retorno, $984.7$ y $983.7$ .

11. $1/3$ .

12. $\ell_c = \lambda^2/\Delta\lambda = 1.7\,\mathrm{cm}$ : $2e < 1.7\,\mathrm{cm}$ , unas $29$ .

13. Tres sistemas de franjas: contraste pleno cada $\lambda^2/2\Delta\lambda$ , con dos caídas parciales entre medias — el patrón de tres rendijas.

14. $2(n - 1)\ell = 29\,\text{µ}\mathrm{m}$ : $46$ franjas.

15. $n - 1 = 46\lambda/2\ell = 2.91 \times 10^{-4}\,$ .

16. $9.2$ franjas.

17. Con brazos iguales, la deriva es común a ambos y se cancela; una desigualdad de $1\,\mathrm{cm}$ da $2 \times 0.01 \times 3 \times 10^{-6} = 0.1$ franjas — inocua para ambas partes.

18. Están presentes, sin cambios, durante toda la cuenta: un desplazamiento constante.

19. $71$ franjas; la cuenta da $n - 1$ , una firma del gas.

20. $31\,600$ franjas en un centímetro, leídas hasta una décima: $30\,\mathrm{nm}$ , $3 \times 10^{-6}$ ; el tornillo da un micrómetro.

21. $\delta$ oscila $\pm100\,\mathrm{nm}$ , $\pm0.16$ franjas a $100\,\mathrm{Hz}$ : el ojo ve el contraste rebajado; a $25$ imágenes por segundo la cámara muestrea cuatro periodos por imagen y ve un patrón congelado o que late despacio.

22. $10^{-8} \times 31\,600 = 3 \times 10^{-4}$ franjas: nada.

23. $\lambda/20 = 32\,\mathrm{nm}$ en $10\,\mathrm{mm}$ : $3 \times 10^{-6}$ .

24. Compara una longitud directamente con una longitud de onda, franja a franja; la red despliega todas las longitudes de onda a la vez en un intervalo amplio.

25. Longitud: anillos contados en el centro. Doblete: la pérdida periódica de contraste. Índice: franjas que pasan mientras se llena la cubeta. Longitud de coherencia: el espesor para el que se apagan los anillos.

Términos definidos en este capítulo

El interferómetro de Michelson

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