Physics · Libro 4 · Bachelor Year 2

Física universitaria — segundo año

Física universitaria — segundo año · Bachelor Year 2

21Interferencias de muchas ondas y redes de difracción

Inclínese un disco compacto bajo una lámpara y lanza un arco iris: su espiral de hoyos, separados micrómetro y medio, es una red — miles de franjas reflectantes minúsculas, cada una devolviendo una copia de la onda, todas interfiriendo. Dos ondas dan las franjas suaves en cos⁡2\cos^2 de los capítulos anteriores; mil dan franjas mil veces más estrechas, lo bastante nítidas para separar dos longitudes de onda que difieren en una parte entre cien mil. Ese es el instrumento con el que se leyeron la composición del Sol y la velocidad de las galaxias, y que está en todo espectrómetro. Este capítulo suma NN ondas, deduce la ecuación de las redes, su dispersión y su poder resolvente, y presenta el otro dispositivo de muchas ondas, la cavidad de Fabry–Pérot que será el resonador del láser.

Un disco compacto al sol: su espiral de hoyos, separados 1.6\, µ m, es una red de reflexión, y cada orden despliega la luz blanca en un espectro.
Un disco compacto al sol: su espiral de hoyos, separados 1.6 µm1.6\,\text{µ}\mathrm{m}, es una red de reflexión, y cada orden despliega la luz blanca en un espectro.

21.1 Interferencias de NN ondas

Teorema 21.1 (NN ondas iguales en progresión aritmética de fase)

NN ondas coherentes de igual amplitud aa, cada una retrasada respecto de la anterior la fase φ\varphi, se superponen en una onda de amplitud A(φ)A(\varphi) e intensidad

A=a sin⁡(Nφ/2)sin⁡(φ/2),I(φ)=I0 sin⁡2(Nφ/2)sin⁡2(φ/2):A = a\,\frac{\sin(N\varphi/2)}{\sin(\varphi/2)} , \qquad I(\varphi) = I_0\,\frac{\sin^2(N\varphi/2)}{\sin^2(\varphi/2)} :

máximos principales de intensidad N2I0N^2I_0 donde φ=2πp\varphi = 2\pi p (todas las ondas en fase), de semianchura angular 2π/N2\pi/N en φ\varphi (los primeros ceros están en φ=2πp±2π/N\varphi = 2\pi p \pm 2\pi/N), separados por N−2N - 2 máximos secundarios que no superan cerca del 4.5%4.5\% de los principales para NN grande. Cuantas más ondas, más nítidos y brillantes son los picos: la anchura disminuye como 1/N1/N, la altura crece como N2N^2 y la energía (su producto) como NN.

Demostración. Amplitudes complejas aeikφa\eu^{\iu k\varphi}, k=0,…,N−1k = 0, \dots, N - 1: una serie geométrica, a(1−eiNφ)/(1−eiφ)=aei(N−1)φ/2sin⁡(Nφ/2)/sin⁡(φ/2)a(1 - \eu^{\iu N\varphi})/(1 - \eu^{\iu\varphi}) = a\eu^{\iu(N - 1)\varphi/2}\sin(N\varphi/2) /\sin(\varphi/2). Hay ceros donde sin⁡(Nφ/2)=0\sin(N\varphi/2) = 0 pero sin⁡(φ/2)≠0\sin(\varphi/2) \ne 0: φ=2πm/N\varphi = 2\pi m/N, con mm no múltiplo de NN. En la imagen de los fasores, las NN flechas se cierran en un polígono regular en los ceros y se alinean en los máximos principales. ∎

A la izquierda, la suma de fasores de cinco ondas iguales — un abanico regular cuya cuerda es la resultante; se cierra en un pentágono, y se anula, en = 2π/5. A la derecha, la intensidad para 2, 5 y 12 ondas, normalizada a su pico: los máximos principales se afilan como 1/N.
A la izquierda, la suma de fasores de cinco ondas iguales — un abanico regular cuya cuerda es la resultante; se cierra en un pentágono, y se anula, en φ=2π/5\varphi = 2\pi/5. A la derecha, la intensidad para 22, 55 y 1212 ondas, normalizada a su pico: los máximos principales se afilan como 1/N1/N.

21.2 La red de difracción

Proposición 21.2 (Ecuación de las redes)

Una red es un conjunto de NN rendijas idénticas, equidistantes y paralelas (o de surcos) de periodo aa. Una onda plana que incide con el ángulo θ0\theta_0 respecto de la normal es reemitida por cada rendija; en la dirección θ\theta las ondas de rendijas vecinas tienen la diferencia de camino δ=a(sin⁡θ−sin⁡θ0)\delta = a(\sin\theta - \sin\theta_0), y se refuerzan en las direcciones

a (sin⁡θp−sin⁡θ0)=pλ,p=0,±1,±2,…a\,(\sin\theta_p - \sin\theta_0) = p\lambda , \qquad p = 0, \pm1, \pm2, \dots

— los órdenes de la red. El orden cero es el haz sin desviar para toda longitud de onda; cada uno de los demás órdenes despliega las longitudes de onda, con la dispersión angular

 ⁣dθ ⁣dλ=pacos⁡θ,\frac{\dd\theta}{\dd\lambda} = \frac{p}{a\cos\theta} ,

mayor cuanto más fina es la red y más alto el orden; el orden máximo vale ∣p∣≤a(1+∣sin⁡θ0∣)/λ|p| \le a(1 + |\sin\theta_0|)/\lambda. Una red de reflexión (surcos tallados en un espejo) obedece la misma ecuación con los ángulos reflejados.

Demostración. La fase entre rendijas sucesivas vale φ=2πδ/λ\varphi = 2\pi\delta/\lambda; los máximos principales de Teorema 21.1 están en δ=pλ\delta = p\lambda. Derívese asin⁡θ=pλ+asin⁡θ0a\sin\theta = p\lambda + a\sin\theta_0 a pp y θ0\theta_0 fijos. ∎

A la izquierda, la red — las rendijas vecinas reemiten con la diferencia de camino a con incidencia normal. A la derecha, en una pantalla, el orden cero blanco y los espectros de los órdenes ±1, ±2, con el violeta más cerca del centro y más anchos (y al final solapados) al crecer p.
A la izquierda, la red — las rendijas vecinas reemiten con la diferencia de camino asin⁡θa\sin\theta con incidencia normal. A la derecha, en una pantalla, el orden cero blanco y los espectros de los órdenes ±1\pm1, ±2\pm2, con el violeta más cerca del centro y más anchos (y al final solapados) al crecer pp.

Ejemplo 21.3 (Una red de clase y un CD)

Una red de 600600 líneas por milímetro (a=1.67 µma = 1.67\,\text{µ}\mathrm{m}) con incidencia normal envía la luz de 500 nm500\,\mathrm{nm} a sin⁡θ=0.3\sin\theta = 0.3, θ=17.5∘\theta = 17.5{}^{\circ} en el primer orden y a 36.9∘36.9{}^{\circ} en el segundo, y no tiene tercer orden (3×0.3>13 \times 0.3 > 1); su espectro de primer orden va de 13.9∘13.9{}^{\circ} (400 nm400\,\mathrm{nm}) a 24.8∘24.8{}^{\circ} (700 nm700\,\mathrm{nm}). Un disco compacto, con a=1.6 µma = 1.6\,\text{µ}\mathrm{m}, es una red así en reflexión — de ahí el arco iris, y el hecho de que un DVD (a=0.74 µma = 0.74\,\text{µ}\mathrm{m}) lo despliegue más. El rojo de segundo orden (700 nm700\,\mathrm{nm} en sin⁡θ=0.84\sin\theta = 0.84) se solapa con el violeta de tercer orden: los órdenes se solapan más allá del primero, una molestia que se cura con filtros o con un prisma.

21.3 Poder resolvente

Proposición 21.4 (Poder resolvente de una red)

Dos longitudes de onda próximas λ\lambda y λ+Δλ\lambda + \Delta\lambda quedan justo resueltas en el orden pp cuando el máximo principal de una cae sobre el primer cero de la otra (criterio de Rayleigh), lo que ocurre para

λΔλ=pN:\frac\lambda{\Delta\lambda} = pN :

el poder resolvente es el orden por el número de líneas iluminadas. También puede escribirse W(sin⁡θ−sin⁡θ0)/λW(\sin\theta - \sin\theta_0)/\lambda con W=NaW = Na la anchura de la red: la mayor diferencia de camino a lo ancho de la red, en longitudes de onda — razón por la que los grandes espectrógrafos usan redes de decenas de centímetros de ancho y trabajan con ángulos rasantes.

Demostración. El máximo de orden pp para λ+Δλ\lambda + \Delta\lambda está en φ=2πp\varphi = 2\pi p para esa longitud de onda, es decir, en δ=p(λ+Δλ)\delta = p(\lambda + \Delta\lambda); el primer cero del máximo para λ\lambda está en δ=pλ+λ/N\delta = p\lambda + \lambda/N. Igualando: pΔλ=λ/Np\Delta\lambda = \lambda/N. Entonces pN=Na(sin⁡θ−sin⁡θ0)/λpN = Na(\sin\theta - \sin\theta_0)/\lambda. ∎

Ejemplo 21.5 (Separar las rayas del sodio)

El doblete, Δλ=0.6 nm\Delta\lambda = 0.6\,\mathrm{nm} a 589 nm589\,\mathrm{nm}, exige R=1000R = 1000: mil líneas en el primer orden, 2 mm2\,\mathrm{mm} de una red de 600 líneas por milímetro. Su propia anchura de raya, 0.02 nm0.02\,\mathrm{nm}, exige R=30 000R = 30\,000: una red de 5 cm5\,\mathrm{cm} en el primer orden, o de 2.5 cm2.5\,\mathrm{cm} en el segundo — y una red de 10 cm10\,\mathrm{cm} con 1200 líneas por milímetro en el segundo orden alcanza 240 000240\,000, resolviendo 0.0025 nm0.0025\,\mathrm{nm}: la anchura de una raya ensanchada por el movimiento térmico de los átomos, y el corrimiento Doppler de una estrella que se mueve a 1 km/s1\,\mathrm{km}/\mathrm{s}.

El criterio de Rayleigh: el pico de una longitud de onda sobre el primer cero de la otra; la suma (discontinua) muestra una caída de cerca del 20\% entre dos rayas resueltas.
El criterio de Rayleigh: el pico de una longitud de onda sobre el primer cero de la otra; la suma (discontinua) muestra una caída de cerca del 20%20\% entre dos rayas resueltas.

21.4 La cavidad de Fabry–Pérot

Proposición 21.6 (Interferencias de muchas ondas por división de amplitud)

Dos espejos paralelos parcialmente reflectantes (reflectancia en intensidad RR) separados una distancia LL transmiten una onda con incidencia normal solo en la medida en que las ondas que han rebotado 0,1,2,…0, 1, 2, \dots veces entre ellos se suman en fase: con φ=4πL/λ\varphi = 4\pi L/\lambda la fase de ida y vuelta, la intensidad transmitida vale (función de Airy)

ItI0=11+Fsin⁡2(φ/2),F=4R(1−R)2:\frac{I_t}{I_0} = \frac1{1 + F\sin^2(\varphi/2)} , \qquad F = \frac{4R}{(1 - R)^2} :

picos nítidos de transmisión total en 2L=pλ2L = p\lambda (las resonancias de la cavidad, separadas en frecuencia por el intervalo espectral libre c/2Lc/2L), de anchura relativa 1/F1/\mathcal F con la fineza F=πR/(1−R)\mathcal F = \pi \sqrt R/(1 - R) — 3030 para R=0.9R = 0.9 y 300300 para R=0.99R = 0.99. Iguala a la red en poder resolvente (pFp\mathcal F con p=2L/λ∼105p = 2L/\lambda \sim 10^5, de donde R∼107R \sim 10^7) y, cerrada sobre sí misma, es el resonador del láser (Capítulo 23).

Demostración. Cada ida y vuelta multiplica la amplitud por ReiφR\eu^{\iu\varphi} (salvo una fase constante); la amplitud transmitida vale t2a∑(Reiφ)k=t2a/(1−Reiφ)t^2a\sum(R\eu^{\iu\varphi})^k = t^2a/(1 - R\eu^{\iu\varphi}) con t2=1−Rt^2 = 1 - R; su módulo al cuadrado vale (1−R)2/(1−2Rcos⁡φ+R2)=(1−R)2/[(1−R)2+4Rsin⁡2(φ/2)](1 - R)^2/ (1 - 2R\cos\varphi + R^2) = (1 - R)^2/[(1 - R)^2 + 4R\sin^2(\varphi/2)]. Picos en φ=2πp\varphi = 2\pi p; semialtura donde Fsin⁡2(φ/2)=1F\sin^2(\varphi/2) = 1, es decir, Δφ≈4/F=2(1−R)/R\Delta\varphi \approx 4/\sqrt F = 2(1 - R)/\sqrt R, frente a los 2π2\pi que hay entre picos. ∎

La transmisión de Airy de una cavidad de Fabry–Pérot: transmisión total en las resonancias 2L = p, con picos que se estrechan al crecer la reflectancia de los espejos.
La transmisión de Airy de una cavidad de Fabry–Pérot: transmisión total en las resonancias 2L=pλ2L = p\lambda, con picos que se estrechan al crecer la reflectancia de los espejos.

Método 21.7 (Cálculos con redes)

(1) Periodo a=1/(lıˊneas por mm)a = 1/(\text{líneas por mm}); ecuación de las redes con los signos de los ángulos. (2) Enumérense los órdenes que existen (∣sin⁡θ∣≤1|\sin\theta| \le 1) y compruébese su solapamiento (pλmax⁡p\lambda_{\max} frente a (p+1)λmin⁡(p + 1)\lambda_{\min}). (3) Dispersión p/acos⁡θp/a\cos\theta, convertida en una posición sobre el detector con la distancia focal:  ⁣dx=f  ⁣dθ\dd x = f\,\dd\theta. (4) Poder resolvente pNpN con NN el número de líneas realmente iluminadas; compárese λ/R\lambda/R con la estructura que se quiere resolver. (5) Para instrumentos reales, añádase la anchura de la rendija de entrada (que difumina las rayas) y los píxeles del detector.

21.5 Ejercicios

Ejercicio 21.1 ★

Una red de 500500 líneas por milímetro con incidencia normal, λ=550 nm\lambda = 550\,\mathrm{nm}: ángulos de los órdenes; orden más alto; anchura angular del espectro visible de primer orden (400400–700 nm700\,\mathrm{nm}); la misma red con incidencia de 30∘30{}^{\circ}: órdenes a cada lado.

Solución

Solución de Ejercicio 21.1.

a=2 µma = 2\,\text{µ}\mathrm{m}, sin⁡θp=0.275p\sin\theta_p = 0.275p: 16.0∘16.0{}^{\circ}, 33.4∘33.4{}^{\circ}, 55.6∘55.6{}^{\circ}; no hay cuarto orden. El visible de primer orden va de 11.5∘11.5{}^{\circ} a 20.5∘20.5{}^{\circ}: 9∘9{}^{\circ}. Con 30∘30{}^{\circ}: sin⁡θ=0.5+0.275p\sin\theta = 0.5 + 0.275p: p=+1p = +1 (51∘51{}^{\circ}) de un lado, y p=−1p = -1 a −5-5 (13∘13^\circ, −3∘-3^\circ, −19∘-19^\circ, −37∘-37^\circ, −61∘-61^\circ) del otro.

Ejercicio 21.2 ★

El doblete del sodio con una red de 600600 líneas/mm y una lente de f=50 cmf = 50\,\mathrm{cm}: separación angular y lineal de las dos rayas en el detector en el primer y en el segundo orden; tamaño de píxel necesario para verlas separadas.

Solución

Solución de Ejercicio 21.2.

a=1.67 µma = 1.67\,\text{µ}\mathrm{m}. Orden 1: θ=20.7∘\theta = 20.7{}^{\circ}, Δθ=Δλ/acos⁡θ=3.9×10−4 rad\Delta\theta = \Delta\lambda/a\cos\theta = 3.9 \times 10^{-4}\,\mathrm{rad}, 0.19 mm0.19\,\mathrm{mm}; orden 2: θ=45∘\theta = 45{}^{\circ}, 1.0×10−3 rad1.0 \times 10^{-3}\,\mathrm{rad}, 0.51 mm0.51\,\mathrm{mm}. Píxeles de 50 µm50\,\text{µ}\mathrm{m} o menores.

Ejercicio 21.3 ★

Poder resolvente de una red de 2 cm2\,\mathrm{cm} con 600600 líneas/mm en los órdenes 11, 22 y 33; menor Δλ\Delta\lambda resuelto a 550 nm550\,\mathrm{nm}; ¿separa el doblete del sodio? ¿Y la raya Hα\alpha del hidrógeno de su gemela del deuterio (separadas 0.18 nm0.18\,\mathrm{nm})?

Solución

Solución de Ejercicio 21.3.

N=12 000N = 12\,000: R=12 000R = 12\,000, 24 00024\,000, 36 00036\,000; Δλ=0.046\Delta\lambda = 0.046, 0.0230.023, 0.015 nm0.015\,\mathrm{nm}; el doblete (0.6 nm0.6\,\mathrm{nm}) y el par H/D (0.18 nm0.18\,\mathrm{nm}, que exige R=3600R = 3600) se separan sin dificultad.

Ejercicio 21.4 ★

Un disco compacto (a=1.6 µma = 1.6\,\text{µ}\mathrm{m}) y un DVD (a=0.74 µma = 0.74\,\text{µ}\mathrm{m}) iluminados con incidencia normal: ángulos del violeta y del rojo de primer orden; qué órdenes existen para cada uno; ¿por qué muestra el CD dos arcos iris y el DVD uno?

Solución

Solución de Ejercicio 21.4.

CD: violeta 14.5∘14.5{}^{\circ}, rojo 25.9∘25.9{}^{\circ}; el rojo existe hasta el orden 2 y el violeta hasta el orden 4: dos arcos iris (parcialmente solapados). DVD: violeta 32.7∘32.7{}^{\circ}, rojo 71∘71{}^{\circ}; el rojo solo tiene el primer orden: un arco iris, más ancho.

Ejercicio 21.5 ★★

El patrón de NN rendijas. (a) Muéstrese que entre dos máximos principales hay N−1N - 1 ceros y N−2N - 2 máximos secundarios. (b) Para NN grande, intensidad del primer máximo secundario respecto del principal (en Nφ/2≈3π/2N\varphi/2 \approx 3\pi/2): alrededor de 1/221/22. (c) Dibújese el patrón para N=3N = 3 y N=6N = 6 y dense las alturas de los máximos secundarios para N=3N = 3. (d) Fracción de la energía total en los máximos principales para NN grande (compárense las integrales del pico, de anchura ∝1/N\propto 1/N y altura ∝N2\propto N^2, con el resto).

Solución

Solución de Ejercicio 21.5.

(a) Ceros en φ=2πm/N\varphi = 2\pi m/N, m=1,…,N−1m = 1, \dots, N - 1: N−1N - 1 ceros y N−2N - 2 máximos entre ellos. (b) En Nφ/2=3π/2N\varphi/2 = 3\pi/2, I≈I0/sin⁡2(3π/2N)≈I0(2N/3π)2I \approx I_0/\sin^2(3\pi/2N) \approx I_0(2N/3\pi)^2: 4/9π2=0.0454/9\pi^2 = 0.045 de N2I0N^2I_0. (c) N=3N = 3: un único máximo secundario en φ=π\varphi = \pi de altura I0I_0, un noveno del principal 9I09I_0; N=6N = 6: cuatro máximos secundarios de unos pocos por ciento. (d) El lóbulo central de sin⁡2x/x2\sin^2x/x^2 contiene el 90%90\% de la energía.

Ejercicio 21.6 ★★

Órdenes solapados. (a) Muéstrese que el orden pp de λmax⁡\lambda_{\max} se solapa con el orden p+1p + 1 de λmin⁡\lambda_{\min} cuando pλmax⁡>(p+1)λmin⁡p\lambda_{\max} > (p + 1)\lambda_{\min}; para 400400–700 nm700\,\mathrm{nm}, ¿a partir de qué orden? (b) Intervalo espectral libre en el orden pp: ΔλIEL=λ/p\Delta\lambda_{\text{IEL}} = \lambda/p. (c) Un espectrógrafo trabaja en el orden 2020 cerca de 500 nm500\,\mathrm{nm} (una red echelle): intervalo espectral libre; ¿cómo se elimina el solapamiento (dispersor cruzado)? (d) El intervalo espectral libre del Fabry–Pérot es c/2Lc/2L: escríbase en longitud de onda y compárese con el de la red.

Solución

Solución de Ejercicio 21.6.

(a) p>λmin⁡/(λmax⁡−λmin⁡)=1.33p > \lambda_{\min}/(\lambda_{\max} - \lambda_{\min}) = 1.33: desde p=2p = 2. (b) λ/p\lambda/p. (c) 25 nm25\,\mathrm{nm}; un prisma cruzado con la red apila los órdenes uno encima de otro. (d) Δλ=λ2/2L\Delta\lambda = \lambda^2/2L, una fracción de nanómetro — cientos de veces menor que el de una red.

Ejercicio 21.7 ★★

Red escalonada. Una red de reflexión tiene sus surcos inclinados el ángulo de blaze β\beta de modo que cada faceta refleje especularmente en la dirección donde se quiere el orden pp. (a) Para el montaje de Littrow (θ=θ0=β\theta = \theta_0 = \beta): muéstrese que 2asin⁡β=pλ2a\sin\beta = p\lambda; ángulo de blaze para 500 nm500\,\mathrm{nm} en primer orden con 12001200 líneas/mm. (b) ¿Por qué envía el blaze casi toda la luz a un solo orden (piénsese en la envolvente de la difracción de una sola faceta, Capítulo 22)? (c) La misma red se talla con blaze para 1 µm1\,\text{µ}\mathrm{m}: ¿en qué orden es eficiente a 500 nm500\,\mathrm{nm}? (d) Poder resolvente de una red de 10 cm10\,\mathrm{cm} en Littrow con β=64∘\beta = 64{}^{\circ} y λ=500 nm\lambda = 500\,\mathrm{nm} (úsese R=2Wsin⁡β/λR = 2W\sin\beta/\lambda).

Solución

Solución de Ejercicio 21.7.

(a) sin⁡β=λ/2a=0.3\sin\beta = \lambda/2a = 0.3, β=17.5∘\beta = 17.5{}^{\circ}. (b) La faceta aislada difracta en un lóbulo ancho centrado en su dirección especular; los órdenes que caen dentro se llevan la luz. (c) El orden 2 (2×500 nm=1 µm2 \times 500\,\mathrm{nm} = 1\,\text{µ}\mathrm{m} con el mismo ángulo). (d) R=2Wsin⁡β/λ=3.6×105R = 2W\sin\beta/\lambda = 3.6 \times 10^5.

Ejercicio 21.8 ★★

La rendija. La rendija de entrada de un espectrómetro, de anchura ss, se imagina en el detector con aumento 11; la red (600600 líneas/mm, 5 cm5\,\mathrm{cm}, orden 11, f=50 cmf = 50\,\mathrm{cm}) dispersa. (a) Anchura de una raya en el detector debida solo a la rendija para s=50 µms = 50\,\text{µ}\mathrm{m}, en nm. (b) Anchura debida al poder resolvente de la red. (c) ¿Cuál domina? Anchura de rendija para la que ambas se igualan. (d) ¿Por qué no cerrar más la rendija?

Solución

Solución de Ejercicio 21.8.

(a)  ⁣dλ/ ⁣dx=acos⁡θ/pf=3.1 nm/mm\dd\lambda/\dd x = a\cos\theta/pf = 3.1\,\mathrm{nm}/\mathrm{mm}: 50 µm50\,\text{µ}\mathrm{m} son 0.16 nm0.16\,\mathrm{nm}. (b) R=30 000R = 30\,000: 0.018 nm0.018\,\mathrm{nm}. (c) La rendija, por un factor nueve; se igualan en s=6 µms = 6\,\text{µ}\mathrm{m}. (d) La difracción en la rendija y un detector hambriento de luz.

Ejercicio 21.9 ★★

Fabry–Pérot. Espejos con R=0.95R = 0.95, L=5 mmL = 5\,\mathrm{mm}, λ=600 nm\lambda = 600\,\mathrm{nm}. (a) Orden pp, intervalo espectral libre en frecuencia y en longitud de onda. (b) Fineza; anchura de un pico de transmisión en frecuencia y en longitud de onda. (c) Poder resolvente pFp\mathcal F; compárese con la red de 10 cm10\,\mathrm{cm}. (d) ¿Por qué se usa siempre un Fabry–Pérot con un prefiltro o una red?

Solución

Solución de Ejercicio 21.9.

(a) p=2L/λ=16 700p = 2L/\lambda = 16\,700; IEL c/2L=30 GHzc/2L = 30\,\mathrm{GHz}, λ2/2L=0.036 nm\lambda^2/2L = 0.036\,\mathrm{nm}. (b) F=π0.95/0.05=61\mathcal F = \pi\sqrt{0.95}/0.05 = 61; 0.5 GHz0.5\,\mathrm{GHz}, 0.6 pm0.6\,\mathrm{pm}. (c) pF=106p\mathcal F = 10^6, cuatro veces el de la red de 10 cm10\,\mathrm{cm}. (d) Su intervalo espectral libre es una fracción de nanómetro: los órdenes se solapan si la luz no se prefiltra a uno de ellos.

Ejercicio 21.10 ★★★

El límite de una red. (a) Muéstrese que R=pN=W(sin⁡θ−sin⁡θ0)/λ≤2W/λR = pN = W(\sin\theta - \sin\theta_0) /\lambda \le 2W/\lambda: el poder resolvente no puede superar la anchura de la red en longitudes de onda, multiplicada por dos. (b) Interprétese: la mayor diferencia de camino entre los rayos extremos. (c) Una red de 30 cm30\,\mathrm{cm} a 500 nm500\,\mathrm{nm}: RR máximo; menor velocidad resoluble por corrimiento Doppler (Δλ/λ=v/c\Delta\lambda/\lambda = v/c). (d) ¿Por qué alcanzan sin embargo los astrónomos 1 m/s1\,\mathrm{m}/\mathrm{s} (piénsese en medir la posición de una raya con una fracción de su anchura, y con muchas rayas)?

Solución

Solución de Ejercicio 21.10.

(a) ∣sin⁡θ−sin⁡θ0∣≤2|\sin\theta - \sin\theta_0| \le 2. (b) Los rayos extremos difieren en camino en W(sin⁡θ−sin⁡θ0)W(\sin\theta - \sin\theta_0), a lo sumo 2W2W. (c) 2×0.3/5×10−7=1.2×1062 \times 0.3/5 \times 10^{-7} = 1.2 \times 10^6; c/R=250 m/sc/R = 250\,\mathrm{m}/\mathrm{s}. (d) El centro de una raya se localiza con una centésima de su anchura, y mil rayas promedian a la baja en 1000\sqrt{1000}: metros por segundo, con una estabilidad heroica.

Ejercicio 21.11 ★★★

Bragg. Un cristal es una red tridimensional: los rayos X reflejados por planos atómicos sucesivos separados una distancia dd, con el ángulo rasante θ\theta, interfieren constructivamente cuando 2dsin⁡θ=pλ2d\sin\theta = p\lambda (Bragg). (a) Dedúzcase de la diferencia de camino entre dos planos. (b) Radiación Kα\alpha del cobre (0.154 nm0.154\,\mathrm{nm}) sobre sal gema (d=0.282 nmd = 0.282\,\mathrm{nm}): los ángulos de Bragg. (c) ¿Por qué no dan las longitudes de onda visibles ninguna reflexión de Bragg en los cristales, y qué dice lo contrario (que el vidrio no difracta los rayos X) sobre el vidrio? (d) ¿Por qué debe ser λ<2d\lambda < 2d?

Solución

Solución de Ejercicio 21.11.

(a) La onda reflejada por el plano inferior recorre 2dsin⁡θ2d\sin\theta más. (b) sin⁡θ=0.273p\sin\theta = 0.273p: 15.8∘15.8{}^{\circ}, 33.1∘33.1{}^{\circ}, 55.0∘55.0{}^{\circ}. (c) λ≫2d\lambda \gg 2d: ningún ángulo satisface la ecuación; el vidrio no tiene planos regulares, de ahí solo anillos difusos — es amorfo. (d) sin⁡θ≤1\sin\theta \le 1.

Ejercicio 21.12 ★★★

Agrupación en fase. NN antenas idénticas en línea, separadas aa, alimentadas con la misma amplitud y un salto de fase ψ\psi entre vecinas. (a) Muéstrese que el campo radiado en la dirección θ\theta es el de la suma de NN ondas con φ=2πasin⁡θ/λ−ψ\varphi = 2\pi a\sin\theta/\lambda - \psi: el haz principal apunta donde sin⁡θ=λψ/2πa\sin\theta = \lambda\psi/2\pi a. (b) Semianchura del haz principal, Δθ≈λ/Nacos⁡θ\Delta\theta \approx \lambda/Na\cos\theta. (c) ¿Por qué debe ser a≤λ/2a \le \lambda/2 para evitar un segundo haz principal (un lóbulo de red) al orientarlo? (d) Un radar con 6464 elementos separados λ/2\lambda/2, λ=3 cm\lambda = 3\,\mathrm{cm}: anchura del haz; tiempo para barrer 90∘90^\circ en pasos de una anchura de haz si las fases conmutan en 1 µs1\,\text{µ}\mathrm{s}.

Solución

Solución de Ejercicio 21.12.

(a) Las vecinas difieren en fase en 2πasin⁡θ/λ2\pi a\sin\theta/\lambda por el camino y en −ψ-\psi por la alimentación; el máximo principal está en φ=0\varphi = 0. (b) Primer cero en Δφ=2π/N\Delta\varphi = 2\pi/N: Δθ=λ/Nacos⁡θ\Delta\theta = \lambda/Na\cos\theta. (c) Un segundo máximo principal en φ=±2π\varphi = \pm2\pi exige ∣sin⁡θ±λ/a∣≤1|\sin\theta \pm \lambda/a| \le 1: imposible para cualquier ángulo de orientación solo si a≤λ/2a \le \lambda/2. (d) Na=0.96 mNa = 0.96\,\mathrm{m}: 1.8∘1.8{}^{\circ}; 5050 pasos, 50 µs50\,\text{µ}\mathrm{s}.

21.6 Problema: un espectrógrafo para una estrella

Problema 21.1

Problema de fin de semana — diseñar el espectrógrafo que lee la luz de una estrella: la red, el detector, las rayas del hidrógeno y el bamboleo de un planeta

Un espectrógrafo: rendija de entrada, colimador de distancia focal f1=1.0 mf_1 = 1.0\,\mathrm{m}, una red de reflexión de 12001200 líneas/mm y anchura W=12 cmW = 12\,\mathrm{cm}, una cámara de f2=1.0 mf_2 = 1.0\,\mathrm{m} y un detector con píxeles de 15 µm15\,\text{µ}\mathrm{m}. Trabaja en el primer orden, en torno a 550 nm550\,\mathrm{nm}, con la red a 20∘20{}^{\circ} de incidencia.

Parte I — La red.

  1. Periodo de la red; número de líneas iluminadas si el haz cubre toda la anchura.
  2. Ángulo de difracción de 550 nm550\,\mathrm{nm} en el primer orden; el de 400 nm400\,\mathrm{nm} y el de 700 nm700\,\mathrm{nm}; anchura angular del espectro visible.
  3. Dispersión angular a 550 nm550\,\mathrm{nm}; dispersión lineal en el detector, en nm por mm y en nm por píxel.
  4. Poder resolvente; menor Δλ\Delta\lambda resuelto a 550 nm550\,\mathrm{nm}; en píxeles.
  5. ¿Cae el violeta de segundo orden sobre el visible de primer orden? ¿Qué filtro lo elimina?
  6. Longitud de detector necesaria para todo el espectro visible en el primer orden.
  7. La red tiene un blaze de 17∘17{}^{\circ}: ¿para qué longitud de onda es más eficiente en el primer orden con esta incidencia (úsese la estimación de Littrow 2asin⁡β=λ2a\sin\beta = \lambda)?
  8. La red devuelve el 80%80\% de la luz en la longitud de onda de blaze y el telescopio más la óptica, el 40%40\%: fracción de los fotones de la estrella que llegan al detector.

Parte II — Las rayas.

  1. Las rayas de Balmer del hidrógeno de la estrella: Hα\alpha 656.3 nm656.3\,\mathrm{nm}, Hβ\beta 486.1 nm486.1\,\mathrm{nm} y Hγ\gamma 434.0 nm434.0\,\mathrm{nm}: sus posiciones en el detector respecto de 550 nm550\,\mathrm{nm}.
  2. La Hα\alpha de un átomo de deuterio es 0.18 nm0.18\,\mathrm{nm} más corta: ¿se separa? ¿En cuántos píxeles?
  3. El doblete del sodio en el espectro de la estrella: separación en píxeles; y anchura de cada raya si la atmósfera de la estrella las ensancha hasta 0.05 nm0.05\,\mathrm{nm}.
  4. La rendija de entrada mide 100 µm100\,\text{µ}\mathrm{m} de ancho y se imagina con aumento f2/f1f_2/f_1: su anchura en el detector, en píxeles y en nm; ¿está el espectrógrafo limitado por la rendija o por la red?
  5. La luz del telescopio llega como un disco de 1′′1'' en el cielo, que el telescopio (f=20 mf = 20\,\mathrm{m}) convierte en 100 µm100\,\text{µ}\mathrm{m} de anchura en la rendija: fracción de luz perdida si la rendija se estrecha a 50 µm50\,\text{µ}\mathrm{m} (tómese el disco como uniforme).
  6. ¿Por qué da una rendija más estrecha rayas más nítidas pero espectros más ruidosos?

Parte III — La estrella se mueve.

  1. Una estrella se aleja a 30 km/s30\,\mathrm{km}/\mathrm{s}: corrimiento Doppler de Hα\alpha en nm y en píxeles.
  2. El movimiento orbital de la Tierra añade ±30 km/s\pm30\,\mathrm{km}/\mathrm{s} a lo largo del año: ¿por qué debe restarse, y con qué precisión si se quieren 100 m/s100\,\mathrm{m}/\mathrm{s}?
  3. Un planeta hace bambolearse a su estrella a 10 m/s10\,\mathrm{m}/\mathrm{s}: corrimiento en nm y en píxeles; ¿queda por debajo de la resolución? Explíquese cómo, midiendo el centro de una raya con una centésima de su anchura, sobre mil rayas, se recupera (ganancia estadística N\sqrt{N}).
  4. La temperatura del instrumento cambia 1 K1\,\mathrm{K} y la red (de vidrio, con dilatación 1×10−5 K−11 \times 10^{-5}\,\mathrm{K}^{-1}) se dilata: corrimiento de las rayas en píxeles; ¿qué estabilidad hace falta para 10 m/s10\,\mathrm{m}/\mathrm{s}?
  5. Una lámpara de calibración (torio-argón) pone cientos de rayas conocidas en el mismo detector: explíquese su papel.

Parte IV — Alternativas.

  1. La misma anchura de red tallada con 300300 líneas/mm y usada en el cuarto orden (con un dispersor cruzado para ordenar los órdenes): ángulo de difracción, poder resolvente, dispersión e intervalo espectral libre a 550 nm550\,\mathrm{nm}; ¿qué ha cambiado y qué no?
  2. Un etalón de Fabry–Pérot (L=1 mmL = 1\,\mathrm{mm}, R=0.9R = 0.9) colocado antes de la rendija: intervalo espectral libre en nm, fineza, anchura de pico; ¿qué aspecto tiene su peine de picos de transmisión en el detector y para qué se usa?
  3. Un prisma de 60∘60{}^{\circ} de vidrio con  ⁣dn/ ⁣dλ=−1×10−4 nm−1\dd n/\dd\lambda = -1 \times 10^{-4}\,\mathrm{nm}^{-1} tiene la dispersión angular  ⁣dD/ ⁣dλ≈2  ⁣dn/ ⁣dλ\dd D/\dd\lambda \approx 2\,\dd n/\dd\lambda cerca del mínimo de desviación: compárese con la de la red; ¿por qué sustituyeron las redes a los prismas?
  4. ¿Por qué se construyen los mayores espectrógrafos astronómicos con redes de un metro de ancho y se usan con ángulos grandes (el límite 2W/λ2W/\lambda)?
  5. Una estrella de magnitud 8 entrega 1×104 1 \times 10^{4}\, fotones por segundo y por nanómetro en el telescopio: fotones por píxel y por segundo en el detector, y relación señal-ruido de una exposición de 100 s100\,\mathrm{s} (solo ruido de fotones).
  6. Resúmase: los tres números que describen un espectrógrafo (dispersión, poder resolvente e intervalo espectral libre) y qué fija cada uno.
Solución

Solución de Problema 21.1.

1. a=0.833 µma = 0.833\,\text{µ}\mathrm{m}; N=144 000N = 144\,000.

2. sin⁡θ=sin⁡20∘−λ/a\sin\theta = \sin20^\circ - \lambda/a (el orden queda al otro lado de la normal): 550 nm550\,\mathrm{nm} a 18.5∘18.5{}^{\circ}, 400 nm400\,\mathrm{nm} a 7.9∘7.9{}^{\circ} y 700 nm700\,\mathrm{nm} a 29.9∘29.9{}^{\circ}: 22∘22{}^{\circ} de espectro.

3. 1/acos⁡θ=1.27×10−3 rad/nm1/a\cos\theta = 1.27 \times 10^{-3}\,\mathrm{rad}/\mathrm{nm}; y f2×f_2\times: 1.27 mm/nm1.27\,\mathrm{mm}/\mathrm{nm}, es decir, 0.79 nm/mm0.79\,\mathrm{nm}/\mathrm{mm} y 0.012 nm0.012\,\mathrm{nm} por píxel.

4. R=N=144 000R = N = 144\,000: 0.0038 nm0.0038\,\mathrm{nm}, un tercio de píxel.

5. El 400 nm400\,\mathrm{nm} de segundo orden cae donde caería el 800 nm800\,\mathrm{nm} de primer orden, más allá del rojo: no hay solapamiento en el visible; el solapamiento empezaría en 350 nm350\,\mathrm{nm}, que un filtro de vidrio elimina.

6. 22∘22{}^{\circ} ×\times 1 m1\,\mathrm{m} =38 cm= 38\,\mathrm{cm}: un detector cubre una porción; la red se gira para elegirla.

7. λ=2asin⁡17∘=490 nm\lambda = 2a\sin17^\circ = 490\,\mathrm{nm}.

8. 0.8×0.4=32%0.8 \times 0.4 = 32\%.

9. Ángulos 26.5∘26.5{}^{\circ}, 14.0∘14.0{}^{\circ} y 10.3∘10.3{}^{\circ}: +14+14, −8-8 y −14 cm-14\,\mathrm{cm} desde la posición de 550 nm550\,\mathrm{nm}.

10. 0.18 nm0.18\,\mathrm{nm} son 1515 píxeles: separadas.

11. Separadas 5050 píxeles, cada una de 44 píxeles de ancho.

12. 100 µm100\,\text{µ}\mathrm{m}, 6.76.7 píxeles, 0.08 nm0.08\,\mathrm{nm} — veinte veces el límite de la red: limitado por la rendija.

13. La imagen mide 97 µm97\,\text{µ}\mathrm{m} de ancho: una rendija de 50 µm50\,\text{µ}\mathrm{m} deja pasar la mitad de la luz.

14. Menos luz para la misma nitidez: el ruido de fotones crece.

15. Δλ=λv/c=0.066 nm\Delta\lambda = \lambda v/c = 0.066\,\mathrm{nm}, 5.55.5 píxeles.

16. La velocidad de la Tierra desplaza cada raya hasta ±5.5\pm5.5 píxeles a lo largo del año; se conoce por las efemérides con mucha mayor precisión que el 0.3%0.3\% que exigen los 100 m/s100\,\mathrm{m}/\mathrm{s}.

17. 2.2×10−5 nm2.2 \times 10^{-5}\,\mathrm{nm}, 0.0020.002 píxeles — muy por debajo de la anchura de raya. Un centroide con una centésima de una raya de 7 px7\,\mathrm{px} son 0.07 px0.07\,\mathrm{px}; mil rayas dan 1000\sqrt{1000}: 0.0020.002 píxeles — la señal, justo. Los instrumentos reales añaden poder resolvente y estabilidad.

18. Δsin⁡θ=(λ/a)×10−5=6.6×10−6\Delta\sin\theta = (\lambda/a) \times 10^{-5} = 6.6 \times 10^{-6}, Δθ=7×10−6 rad\Delta\theta = 7 \times 10^{-6}\,\mathrm{rad}, 7 µm7\,\text{µ}\mathrm{m}: medio píxel por kelvin — milikelvin para 10 m/s10\,\mathrm{m}/\mathrm{s}.

19. Sus rayas, registradas en el mismo instante sobre los mismos píxeles, dan la escala de longitudes de onda y siguen toda deriva.

20. a=3.33 µma = 3.33\,\text{µ}\mathrm{m}, N=36 000N = 36\,000, el mismo ángulo (18.5∘18.5{}^{\circ}), R=4N=144 000R = 4N = 144\,000, la misma dispersión, IEL λ/4=137 nm\lambda/4 = 137\,\mathrm{nm}: el poder resolvente y la dispersión dependen solo de WW y del ángulo; el intervalo espectral libre se ha encogido.

21. IEL λ2/2L=0.15 nm\lambda^2/2L = 0.15\,\mathrm{nm} (1212 píxeles); F=30\mathcal F = 30; picos de 0.005 nm0.005\,\mathrm{nm} de anchura: un peine de rayas nítidas en el detector, una regla de longitudes de onda.

22. 2×10−42 \times 10^{-4} frente a 1.3×10−3 rad/nm1.3 \times 10^{-3}\,\mathrm{rad}/\mathrm{nm}: seis veces menos, y el poder resolvente de un prisma (b  ⁣dn/ ⁣dλ∼104b\,\dd n/\dd\lambda \sim 10^4) y su escala no lineal también pierden; además, las redes funcionan en el ultravioleta.

23. R≤2W/λR \le 2W/\lambda: 4×1064 \times 10^6 para un metro a 500 nm500\,\mathrm{nm} — la anchura y el ángulo son las únicas vías para subir.

24. 104×0.012×0.32=3810^4 \times 0.012 \times 0.32 = 38 fotones por píxel y por segundo; 38003800 en 100 s100\,\mathrm{s}: SNR ≈60\approx 60.

25. La dispersión, fijada por p/acos⁡θp/a\cos\theta y la distancia focal de la cámara; el poder resolvente, por la anchura iluminada y los ángulos (pNpN); el intervalo espectral libre, por el orden (λ/p\lambda/p).