Física universitaria — segundo año · Bachelor Year 2

27Balances termodinámicos y sistemas abiertos

La termodinámica del volumen del primer año trataba sistemas cerrados — una masa fija de gas en un cilindro, comprimida, calentada, expandida. Pero las máquinas que de verdad calientan nuestras casas, enfrían nuestra comida y producen nuestra electricidad están atravesadas por un flujo: el vapor recorre la turbina de una central a cientos de kilogramos por segundo, un refrigerante circula por el compresor, el condensador, la válvula y el evaporador de una bomba de calor, y el aire pasa por el compresor y la cámara de combustión de un reactor. Cada componente es un sistema abierto, una región del espacio con materia que entra y sale, y las leyes primera y segunda han de reescribirse para él. La reescritura es breve — la clave es que el fluido empujado hacia dentro del sistema lleva, además de su energía interna, el trabajo hecho para empujarlo, y por eso es la entalpía, y no la energía interna, la energía natural de un flujo. Este capítulo establece los balances de masa, energía y entropía para sistemas abiertos en régimen estacionario, los aplica a los dispositivos elementales — tobera, estrangulamiento, compresor, turbina, intercambiador de calor — y monta esos dispositivos en los dos ciclos que dimensiona el problema de fin de semana: una bomba de calor y una central térmica de vapor.

La unidad exterior de una bomba de calor en una mañana de invierno: un ventilador aspira aire frío sobre el evaporador, y dentro un compresor, un condensador y una válvula llevan ese calor, multiplicado por tres o cuatro, al interior de la casa.

27.1 Sistemas abiertos y balance de masa

Definición 27.1 (Sistema abierto, volumen de control, régimen estacionario)

Un sistema abierto es una región fija del espacio, el volumen de control $\Sigma$ , limitado por una superficie por la que el fluido entra y sale (secciones de entrada y de salida) y a través de la cual pueden intercambiarse calor y trabajo con el exterior; el trabajo recibido por partes móviles (un eje, un pistón) distintas del propio flujo es el trabajo útil $W_{\text{u}}$ (trabajo en el eje). El flujo es estacionario cuando todos los campos dentro de $\Sigma$ son independientes del tiempo: la masa, la energía y la entropía contenidas en $\Sigma$ son entonces constantes.

Proposición 27.2 (Balance de masa)

Por una sección de área $S$ donde el fluido de densidad $\rho$ se mueve a la celeridad media $c$ normal a ella pasa el caudal másico $\dot m = \rho c S$ (en $\mathrm{kg}/\mathrm{s}$ ). En régimen estacionario, lo que entra sale: $\sum_{\text{ent}}\dot m = \sum_{\text{sal}} \dot m$ ; para una sola corriente, $\dot m$ es el mismo a la entrada y a la salida, $\rho_1c_1S_1 = \rho_2c_2S_2$ — la ecuación de continuidad de Capítulo 2 integrada sobre la sección.

Demostración. La masa contenida en $\Sigma$ es constante, así que los flujos se compensan. ∎

27.2 El primer principio para un sistema abierto

Teorema 27.3 (Balance de energía de un flujo estacionario de una corriente)

Para un flujo estacionario de caudal másico $\dot m$ que entra en el estado 1 y sale en el estado 2, recibiendo la potencia útil (en el eje) $P_{\text{u}}$ y la potencia térmica $P_{\text{term}}$ ,

\dot m\,\Big[(h_2 - h_1) + \tfrac12(c_2^2 - c_1^2) + g(z_2 - z_1)\Big] = P_{\text{u}} + P_{\text{term}} ,

o bien, por unidad de masa de fluido que cruza el sistema,

\Delta h + \Delta\big(\tfrac12c^2\big) + g\,\Delta z = w_{\text{u}} + q .

La entalpía $h = u + Pv$ sustituye a la energía interna: $Pv$ es el trabajo de flujo, el trabajo que hace el fluido de aguas arriba para meter una unidad de masa, menos el que hace para sacarla.

Demostración. Sígase el sistema cerrado formado por el fluido que hay dentro de $\Sigma$ en $t$ más la porción $\dd m = \dot m\,\dd t$ a punto de entrar; en $t + \dd t$ consta del fluido de dentro de $\Sigma$ (en el mismo estado, por ser estacionario) más la porción $\dd m$ que ha salido. Su energía cambió en $\dd m\,[(u_2 + \tfrac12c_2^2 + gz_2) - (u_1 + \tfrac12c_1^2 + gz_1)]$ . Recibió $P_{\text{u}}\dd t + P_{\text{term}}\dd t$ , más el trabajo de las fuerzas de presión en la entrada, $P_1S_1 \times c_1\dd t = P_1v_1\,\dd m$ (que mete la porción), menos el de la salida, $P_2v_2\,\dd m$ . El primer principio para este sistema cerrado, con $u + Pv = h$ , da el resultado. ∎

El sistema abierto estacionario: el sistema cerrado que se sigue durante t es el contenido de más la porción que entra, y luego el contenido más la porción que sale; el trabajo de presión en las dos secciones convierte u en h = u + Pv. — El sistema abierto estacionario: el sistema cerrado que se sigue durante $\dd t$ es el contenido de $\Sigma$ más la porción que entra, y luego el contenido más la porción que sale; el trabajo de presión en las dos secciones convierte $u$ en $h = u + Pv$ .

Observación 27.4 (Cómo usar el primer principio)

Para un gas ideal, $\Delta h = c_p\Delta T$ ; para un líquido, $\Delta h \approx c\,\Delta T + v\,\Delta P$ (el segundo término es el trabajo de la bomba); para un vapor se lee $h$ en tablas o diagramas. El término cinético suele ser despreciable: a $10\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , $c^2/2 = 50\,\mathrm{J}/\mathrm{kg}$ , frente a $1\,\mathrm{kJ}/\mathrm{kg}$ por cada kelvin de aire — solo cuenta en toberas y álabes de turbina, donde las celeridades llegan a cientos de metros por segundo. El término potencial, $g\Delta z \approx 10\,\mathrm{J}/\mathrm{kg}$ por metro, cuenta para el agua de una presa, nunca en un ciclo de gas. Con varias entradas y salidas el balance se escribe $\sum_{\text{sal}}\dot m\,h - \sum_{\text{ent}}\dot m\,h = P_{\text{u}} + P_{\text{term}}$ (despreciados los términos cinético y potencial).

27.3 El segundo principio para un sistema abierto

Teorema 27.5 (Balance de entropía de un flujo estacionario)

Para un flujo estacionario de una sola corriente que intercambia las potencias térmicas $P_{\text{term},i}$ con focos a las temperaturas $T_i$ ,

\dot m\,(s_2 - s_1) = \sum_i\frac{P_{\text{term},i}}{T_i} + \dot S_{\text{c}}, \qquad \dot S_{\text{c}} \ge 0 ;

por unidad de masa, $\Delta s = s_{\text{int}} + s_{\text{c}}$ . Un flujo adiabático y reversible es isentrópico; un flujo adiabático real tiene $s_2 > s_1$ . El rendimiento isentrópico de una turbina vale $\eta_{\text{T}} = w_{\text{real}}/w_{\text{s}} = (h_1 - h_2)/(h_1 - h_{2s})$ y el de un compresor $\eta_{\text{C}} = (h_{2s} - h_1)/(h_2 - h_1)$ , donde $2s$ es el estado alcanzado isentrópicamente a la misma presión de salida; ambos valen típicamente de $0.8$ a $0.9$ . El trabajo perdido por irreversibilidad, referido a la temperatura ambiente $T_0$ , es $T_0\,s_{\text{c}}$ por unidad de masa.

Demostración. El mismo sistema cerrado que antes: su entropía cambia en $\dd m\,(s_2 - s_1)$ , recibe $\sum P_{\text{term},i}\dd t/T_i$ de los focos y el resto se crea. ∎

27.4 Dispositivos elementales

Proposición 27.6 (Tobera, estrangulamiento, compresor, turbina, intercambiador)

Todos adiabáticos salvo indicación en contra, estacionarios y con los términos cinético y potencial despreciados salvo cuando son lo esencial.

Tobera (sin eje, sin calor): $\tfrac12c_2^2 - \tfrac12c_1^2 = h_1 - h_2$ — la entalpía se vuelve celeridad; un difusor hace lo contrario.
Estrangulamiento (válvula, tapón poroso; sin eje, sin calor, con celeridades pequeñas): $h_2 = h_1$ , isentálpico. Para un gas ideal, $T_2 = T_1$ ; para un gas real la temperatura suele bajar (efecto Joule–Thomson); para un líquido cerca de la saturación una fracción se evapora de golpe — la válvula de expansión de todo frigorífico.
Compresor, bomba, turbina (máquinas adiabáticas): $w_{\text{u}} = h_2 - h_1$ — positivo para un compresor y negativo para una turbina; para una bomba de líquido, $w_{\text{u}} \approx v(P_2 - P_1)$ , minúsculo porque $v$ es pequeño.
Intercambiador de calor (dos corrientes, sin eje, adiabático en conjunto): $\dot m_{\text{a}}(h_{\text{a},2} - h_{\text{a},1}) = -\dot m_{\text{b}}(h_{\text{b},2} - h_{\text{b},1})$ — lo que una pierde lo gana la otra; el intercambio crea entropía salvo que las corrientes estén a la misma temperatura en todas partes (la contracorriente la reduce).
Cámara de mezcla: $\sum\dot m_{\text{ent}}h_{\text{ent}} = \dot m_{\text{sal}}h_{\text{sal}}$ .

Demostración. Cada uno es el primer principio con los términos oportunos anulados. ∎

Los sistemas abiertos elementales: cada uno es el balance de energía con los términos irrelevantes tachados — sin eje en una tobera o un estrangulamiento, sin calor en una turbina adiabática, sin calor neto para un intercambiador tomado en conjunto.

Ejemplo 27.7 (Números para los dispositivos)

Vapor que entra en la tobera de una turbina con $h = 3000\,\mathrm{kJ}/\mathrm{kg}$ y sale con $2800\,\mathrm{kJ}/\mathrm{kg}$ alcanza $c = \sqrt{2 \times 200 \times 10^3} = 630\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ . Aire comprimido adiabáticamente de $1\,\mathrm{bar}$ y $293\,\mathrm{K}$ a $8\,\mathrm{bar}$ : isentrópicamente, $T_2 = 293 \times 8^{0.286} = 531\,\mathrm{K}$ y $w = c_p\Delta T = 239\,\mathrm{kJ}/\mathrm{kg}$ ; con $\eta_{\text{C}} = 0.8$ , $299\,\mathrm{kJ}/\mathrm{kg}$ y $590\,\mathrm{K}$ — por eso los compresores se refrigeran entre etapas. Un radiador de coche que evacúa $42\,\mathrm{kW}$ de agua enfriada $10\,\mathrm{K}$ ( $1\,\mathrm{kg}/\mathrm{s}$ ) calienta $2.1\,\mathrm{kg}/\mathrm{s}$ de aire $20\,\mathrm{K}$ . Un refrigerante líquido a $40\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ estrangulado hasta $0\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ llega como una niebla con un $28\%$ de vapor: esa evaporación súbita es la que enfría el líquido hasta la temperatura del evaporador.

27.5 Ciclos

Proposición 27.8 (Refrigeración por compresión de vapor y bomba de calor)

Un refrigerante circula por: (1 $\to$ 2) un compresor adiabático que eleva el vapor de la presión del evaporador a la presión del condensador, $w = h_2 - h_1$ ; (2 $\to$ 3) un condensador donde cede $q_{\text{cond}} = h_2 - h_3$ al lado caliente (la habitación para una bomba de calor, la cocina para un frigorífico) y sale como líquido; (3 $\to$ 4) un estrangulamiento, $h_4 = h_3$ ; (4 $\to$ 1) un evaporador donde absorbe $q_{\text{evap}} = h_1 - h_4$ del lado frío. Los coeficientes de eficiencia valen

\mathrm{COP}_{\text{fr}} = \frac{h_1 - h_4}{h_2 - h_1}, \qquad \mathrm{COP}_{\text{cal}} = \frac{h_2 - h_3}{h_2 - h_1} = \mathrm{COP}_{\text{fr}} + 1 ,

acotados por los de Carnot, $T_{\text{fr}}/(T_{\text{cal}} - T_{\text{fr}})$ y $T_{\text{cal}}/(T_{\text{cal}} - T_{\text{fr}})$ ; el ciclo se lee con más facilidad en el diagrama $(\log P, h)$ , donde los dos intercambios y el trabajo son segmentos horizontales.

Demostración. Los cuatro balances del primer principio; el balance de energía de todo el ciclo da $q_{\text{cond}} = q_{\text{evap}} + w$ , de donde la relación entre los dos COP. ∎

El ciclo de compresión de vapor en el diagrama ( P, h): el condensador y el evaporador son isobaras dentro de la campana, el estrangulamiento una isentálpica vertical y el compresor una recta inclinada; las longitudes de los segmentos horizontales son los calores y el trabajo por kilogramo. — El ciclo de compresión de vapor en el diagrama $(\log P, h)$ : el condensador y el evaporador son isobaras dentro de la campana, el estrangulamiento una isentálpica vertical y el compresor una recta inclinada; las longitudes de los segmentos horizontales son los calores y el trabajo por kilogramo.

Proposición 27.9 (El ciclo de vapor (de Rankine))

El agua circula por: (1 $\to$ 2) una bomba, $w_{\text{b}} \approx v(P_2 - P_1)$ , unos pocos $\mathrm{kJ}/\mathrm{kg}$ ; (2 $\to$ 3) una caldera a alta presión donde se calienta, se vaporiza y se sobrecalienta, $q_{\text{ent}} = h_3 - h_2$ ; (3 $\to$ 4) una turbina que expande el vapor hasta la presión del condensador, $w_{\text{t}} = h_3 - h_4$ (un millar de $\mathrm{kJ}/\mathrm{kg}$ ); (4 $\to$ 1) un condensador a baja presión donde el vapor húmedo vuelve a ser líquido y cede $q_{\text{sal}} = h_4 - h_1$ al agua de refrigeración. El rendimiento vale

\eta = \frac{w_{\text{t}} - w_{\text{b}}}{q_{\text{ent}}} = 1 - \frac{q_{\text{sal}}}{q_{\text{ent}}} ,

de $0.35$ a $0.45$ en la práctica; el calor se aporta a una temperatura media $\bar T = q_{\text{ent}}/(s_3 - s_2)$ muy por debajo del máximo de la caldera, y por eso el sobrecalentamiento, el recalentamiento intermedio y las presiones altas suben $\eta$ , y por eso el escape debe quedar bastante seco ( $x_4 \gtrsim 0.88$ ) para librar a los últimos álabes de la erosión por gotas.

Demostración. Primer principio en cada componente y luego en el ciclo: $w_{\text{t}} - w_{\text{b}} = q_{\text{ent}} - q_{\text{sal}}$ . ∎

El ciclo de Rankine en el diagrama (T,s): bomba (invisible), calentamiento a lo largo de la línea de líquido, vaporización a la presión de la caldera, sobrecalentamiento, expansión (isentrópica discontinua, real continua, que acaba más húmeda o más seca) y condensación. Es la temperatura media de aporte de calor, y no el máximo, la que fija el rendimiento. — El ciclo de Rankine en el diagrama $(T,s)$ : bomba (invisible), calentamiento a lo largo de la línea de líquido, vaporización a la presión de la caldera, sobrecalentamiento, expansión (isentrópica discontinua, real continua, que acaba más húmeda o más seca) y condensación. Es la temperatura media de aporte de calor, y no el máximo, la que fija el rendimiento.

Observación 27.10 (Otros ciclos, y un transitorio)

La turbina de gas (compresor, cámara de combustión, turbina: el ciclo de Brayton) tiene el rendimiento ideal $1 - r^{-(\gamma-1)/\gamma}$ para la relación de presiones $r$ y expulsa sus gases a varios cientos de grados; llevar esos gases a un ciclo de vapor (ciclo combinado) alcanza el $60\%$ . Los sistemas abiertos tienen también transitorios: llenar un depósito rígido vacío desde una línea a $T_0$ termina en $T = \gamma T_0$ (el trabajo de flujo $Pv$ se convierte en energía interna), $120\,\mathrm{K}$ más caliente para el aire — la razón de que una botella de buceo se caliente al llenarse.

Método 27.11 (Balances de sistemas abiertos)

(1) Dibújese el volumen de control; enumérense entradas, salidas, eje y calor. (2) Masa: $\sum\dot m_{\text{ent}} = \sum\dot m_{\text{sal}}$ . (3) Energía por unidad de masa: $\Delta h + \Delta c^2/2 + g\Delta z = w_{\text{u}} + q$ , con $\Delta h = c_p\Delta T$ para gases, tablas para vapores y $v\Delta P$ para bombas. (4) Entropía: $\Delta s = \sum q_i/T_i + s_{\text{c}}$ , estados isentrópicos de referencia, rendimientos y $T_0s_{\text{c}}$ perdido. (5) Ciclos: léase el diagrama, súmese a lo largo del lazo y compárese con Carnot.

27.6 Ejercicios

Ejercicio 27.1 ★

(a) Una manguera de jardín entrega $12\,\mathrm{L}/\mathrm{min}$ por una tobera de $1\,\mathrm{cm}$ : celeridad de salida. (b) Agua caliente a $60\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ , $0.1\,\mathrm{kg}/\mathrm{s}$ , se mezcla con agua fría a $10\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ , $0.2\,\mathrm{kg}/\mathrm{s}$ : temperatura de salida. (c) ¿Por qué es irreversible la mezcla? Calcúlese la entropía creada por segundo.

Solución

Solución de Ejercicio 27.1.

(a) $2 \times 10^{-4}\,\mathrm{m}^{3}/\mathrm{s}/7.85 \times 10^{-5}\,\mathrm{m}^{2} = 2.5\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ . (b) $(0.1 \times 60 + 0.2 \times 10)/0.3 = 26.7\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ . (c) $\dot S_{\text{c}} = 0.1c\ln(299.8/333) + 0.2c\ln(299.8/283) = 4.3\,\mathrm{W}/\mathrm{K}$ : calor pasado del agua caliente a la fría.

Ejercicio 27.2 ★

El vapor entra en una tobera a $50\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ con $h = 3000\,\mathrm{kJ}/\mathrm{kg}$ y sale con $2800\,\mathrm{kJ}/\mathrm{kg}$ : celeridad de salida. Aire a $300\,\mathrm{K}$ acelerado desde el reposo hasta $300\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ en una tobera ( $c_p = 1005\,\mathrm{J}/\mathrm{kg}/\mathrm{K}$ ): caída de temperatura. Un difusor frena aire de $250\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ al reposo: subida.

Solución

Solución de Ejercicio 27.2.

$\sqrt{2 \times 200 \times 10^3 + 50^2} = 634\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; $c^2/2c_p = 45\,\mathrm{K}$ ; $31\,\mathrm{K}$ .

Ejercicio 27.3 ★

Estrangulamiento. (a) Un gas ideal: ¿qué le ocurre a $T$ y a $s$ ? (b) Vapor húmedo a $10\,\mathrm{bar}$ ( $h_{\text{f}} = 763$ , $h_{\text{fg}} = 2015\,\mathrm{kJ}/\mathrm{kg}$ ), de título $0.9$ , estrangulado a $1\,\mathrm{bar}$ ( $h_{\text{f}} = 417$ , $h_{\text{fg}} = 2258\,\mathrm{kJ}/\mathrm{kg}$ ): título final — el calorímetro de estrangulamiento. (c) Refrigerante líquido a $40\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ ( $h = 256\,\mathrm{kJ}/\mathrm{kg}$ ) estrangulado a $0\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ ( $h_{\text{f}} = 200$ , $h_{\text{g}} = 399\,\mathrm{kJ}/\mathrm{kg}$ ): fracción de vapor.

Solución

Solución de Ejercicio 27.3.

(a) $T$ no cambia y $s$ sube en $r\ln(P_1/P_2)$ . (b) $h = 2576\,\mathrm{kJ}/\mathrm{kg}$ : $x = (2576 - 417)/2258 = 0.956$ — el título se lee a partir de la temperatura de la salida sobrecalentada (o apenas seca). (c) $(256 - 200)/199 = 0.28$ .

Ejercicio 27.4 ★

(a) Un radiador enfría $1\,\mathrm{kg}/\mathrm{s}$ de agua de $90\,$ a $80\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ ; el aire ( $c_p = 1005\,\mathrm{J}/\mathrm{kg}/\mathrm{K}$ ) se calienta de $20\,$ a $40\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ : caudal másico y caudal volumétrico de aire. (b) Una turbina de vapor, $10\,\mathrm{kg}/\mathrm{s}$ , con $h$ de $3400\,$ a $2400\,\mathrm{kJ}/\mathrm{kg}$ : potencia. (c) Una bomba eleva el agua de $1\,$ a $60\,\mathrm{bar}$ : trabajo por kilogramo y potencia para $500\,\mathrm{kg}/\mathrm{s}$ .

Solución

Solución de Ejercicio 27.4.

(a) $41.8\,\mathrm{kW}$ ; $41.8 \times 10^3/(1005 \times 20) = 2.1\,\mathrm{kg}/\mathrm{s}$ , $1.7\,\mathrm{m}^{3}/\mathrm{s}$ . (b) $10\,\mathrm{MW}$ . (c) $v\Delta P = 5.9\,\mathrm{kJ}/\mathrm{kg}$ ; $3\,\mathrm{MW}$ .

Ejercicio 27.5 ★★

El trabajo de flujo. (a) Dedúzcase de nuevo el primer principio para sistemas abiertos y explíquese de dónde sale $Pv$ . (b) ¿Por qué aparece la energía interna $u$ en un sistema cerrado y $h$ en un flujo? (c) Compárense $c^2/2$ a $10\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ y a $300\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ con $c_p\Delta T$ para $1\,\mathrm{K}$ de aire. (d) Agua que cae $100\,\mathrm{m}$ por una tubería forzada: $g\Delta z$ frente a $c\,\Delta T$ para $1\,\mathrm{K}$ ; conclúyase cuánto se calienta el agua si se quita la turbina.

Solución

Solución de Ejercicio 27.5.

(a) Teorema 27.3. (b) A un flujo lo meten y lo sacan sus vecinos: ese trabajo de presión, $Pv$ por unidad de masa, va junto con $u$ . (c) $50\,\mathrm{J}/\mathrm{kg}$ y $45\,\mathrm{kJ}/\mathrm{kg}$ frente a $1\,\mathrm{kJ}/\mathrm{kg}$ . (d) $981\,\mathrm{J}/\mathrm{kg}$ frente a $4180\,\mathrm{J}/\mathrm{kg}$ : $0.23\,\mathrm{K}$ .

Ejercicio 27.6 ★★

Compresores. Aire, $1\,\mathrm{bar}$ , $293\,\mathrm{K}$ , hasta $8\,\mathrm{bar}$ ; $\gamma = 1.4$ , $c_p = 1005\,\mathrm{J}/\mathrm{kg}/\mathrm{K}$ , $r = 287\,\mathrm{J}/\mathrm{kg}/\mathrm{K}$ . (a) Temperatura y trabajo de salida isentrópicos. (b) Con $\eta_{\text{C}} = 0.8$ : trabajo, temperatura de salida y entropía creada. (c) Dos etapas de relación $\sqrt8$ con enfriamiento de vuelta a $293\,\mathrm{K}$ entre ellas: trabajo ahorrado. (d) Límite isotermo $rT\ln 8$ ; por qué los compresores reales se le acercan con muchas etapas.

Solución

Solución de Ejercicio 27.6.

(a) $531\,\mathrm{K}$ , $239\,\mathrm{kJ}/\mathrm{kg}$ . (b) $299\,\mathrm{kJ}/\mathrm{kg}$ , $590\,\mathrm{K}$ , $c_p\ln(590/531) = 106\,\mathrm{J}/\mathrm{kg}/\mathrm{K}$ . (c) Cada etapa acaba en $393\,\mathrm{K}$ : $2 \times 1005 \times 100 = 201\,\mathrm{kJ}/\mathrm{kg}$ , un $16\%$ ahorrado. (d) $rT\ln 8 = 175\,\mathrm{kJ}/\mathrm{kg}$ ; con enfriamiento intermedio entre muchas etapas el camino se pega a la isoterma.

Ejercicio 27.7 ★★

Turbina. Vapor a $60\,\mathrm{bar}$ y $500\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ : $h_3 = 3422\,\mathrm{kJ}/\mathrm{kg}$ , $s_3 = 6.88\,\mathrm{kJ}/\mathrm{kg}/\mathrm{K}$ ; condensador a $0.05\,\mathrm{bar}$ ( $33\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ ): $s_{\text{f}} = 0.476$ , $s_{\text{g}} = 8.394\,\mathrm{kJ}/\mathrm{kg}/\mathrm{K}$ , $h_{\text{f}} = 138$ , $h_{\text{fg}} = 2423\,\mathrm{kJ}/\mathrm{kg}$ . (a) Título y entalpía de salida isentrópicos, y trabajo. (b) Con $\eta_{\text{T}} = 0.85$ : trabajo, entalpía y título de salida. (c) Entropía creada por kilogramo y trabajo perdido a $T_0 = 306\,\mathrm{K}$ . (d) Por qué es un problema un escape demasiado húmedo.

Solución

Solución de Ejercicio 27.7.

(a) $x = (6.88 - 0.476)/7.918 = 0.81$ , $h_{4s} = 2098\,\mathrm{kJ}/\mathrm{kg}$ , $w_{\text{s}} = 1324\,\mathrm{kJ}/\mathrm{kg}$ . (b) $1125\,\mathrm{kJ}/\mathrm{kg}$ ; $h_4 = 2297$ , $x_4 = 0.89$ . (c) $s_4 = 7.53\,\mathrm{kJ}/\mathrm{kg}/\mathrm{K}$ : $s_{\text{c}} = 0.65\,\mathrm{kJ}/\mathrm{kg}/\mathrm{K}$ ; perdido $T_0s_{\text{c}} = 200\,\mathrm{kJ}/\mathrm{kg}$ . (d) Las gotas a cientos de metros por segundo erosionan los últimos álabes.

Ejercicio 27.8 ★★

Bomba de calor. Evaporador a $0\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ , condensador a $40\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ ; $h_1 = 399$ (vapor saturado a $0\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ ), $h_{2s} = 426$ , $h_3 = 256$ , $h_4 = h_3$ ( $\mathrm{kJ}/\mathrm{kg}$ ); $\eta_{\text{C}} = 0.8$ . (a) $h_2$ y el trabajo. (b) Calores intercambiados y ambos COP. (c) COP de Carnot; cociente. (d) Caudal másico y potencia eléctrica para $8\,\mathrm{kW}$ de calefacción; por qué cae el COP cuando el aire exterior se enfría.

Solución

Solución de Ejercicio 27.8.

(a) $h_2 = 399 + 27/0.8 = 433\,\mathrm{kJ}/\mathrm{kg}$ ; $w = 34\,\mathrm{kJ}/\mathrm{kg}$ . (b) $q_{\text{evap}} = 143$ , $q_{\text{cond}} = 177\,\mathrm{kJ}/\mathrm{kg}$ ; $\mathrm{COP}_{\text{fr}} = 4.2$ , $\mathrm{COP}_{\text{cal}} = 5.2$ . (c) $6.8$ y $7.8$ ; dos tercios. (d) $0.045\,\mathrm{kg}/\mathrm{s}$ , $1.5\,\mathrm{kW}$ ; un evaporador más frío significa una presión menor, una relación de presiones mayor (más trabajo por kilogramo) y un vapor más ligero (menos masa por embolada).

Ejercicio 27.9 ★★

Entropía en un intercambiador. Agua caliente, $1\,\mathrm{kg}/\mathrm{s}$ , de $90\,$ a $50\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ , calienta agua fría, $2\,\mathrm{kg}/\mathrm{s}$ , desde $10\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ . (a) Temperatura de salida de la corriente fría. (b) Entropía creada por segundo ( $c = 4180\,\mathrm{J}/\mathrm{kg}/\mathrm{K}$ ). (c) Potencia perdida a $T_0 = 293\,\mathrm{K}$ , comparada con los $167\,\mathrm{kW}$ intercambiados. (d) ¿Por qué crearía más entropía una disposición en equicorriente que en contracorriente para el mismo servicio?

Solución

Solución de Ejercicio 27.9.

(a) $30\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ . (b) $4180[\ln(323/363) + 2\ln(303/283)] = 83\,\mathrm{W}/\mathrm{K}$ . (c) $24\,\mathrm{kW}$ de $167\,\mathrm{kW}$ . (d) En equicorriente los saltos de temperatura son mayores y la salida caliente no puede bajar de la salida fría: más entropía para el mismo servicio.

Ejercicio 27.10 ★★★

Llenar un depósito. Un depósito rígido, vacío y aislado se conecta a una línea que lleva un gas ideal a $T_0$ , $P_0$ . (a) Escríbase el balance de energía del depósito durante el llenado (no estacionario: su energía crece) y muéstrese que el gas del interior acaba a $T = \gamma T_0$ . (b) Aire a $293\,\mathrm{K}$ : temperatura final. (c) Si el depósito contenía inicialmente gas a $T_0$ y $P_1 < P_0$ , arguméntese que la temperatura final queda entre $T_0$ y $\gamma T_0$ . (d) ¿Por qué se calienta una botella de buceo al llenarse, y por qué se llena despacio dentro del agua?

Solución

Solución de Ejercicio 27.10.

(a) $\dd(mu)/\dd t = \dot m h_0$ se integra a $mu = mh_0$ : $c_vT = c_pT_0$ , $T = \gamma T_0$ . (b) $410\,\mathrm{K}$ . (c) El gas final es una mezcla del gas original a $T_0$ y del gas entrante calentado a $\gamma T_0$ , luego queda en medio. (d) El trabajo de flujo calienta el gas; un llenado lento en un baño de agua deja salir el calor para que la presión a $20\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ sea la buscada.

Ejercicio 27.11 ★★★

Recalentamiento intermedio. La turbina de Ejercicio 27.7 se divide: expansión hasta $10\,\mathrm{bar}$ (final isentrópico: $h = 2850\,\mathrm{kJ}/\mathrm{kg}$ ), recalentamiento hasta $500\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ ( $h = 3478$ , $s = 7.76\,\mathrm{kJ}/\mathrm{kg}/\mathrm{K}$ ) y expansión hasta $0.05\,\mathrm{bar}$ , con ambas etapas isentrópicas. Trabajo de la bomba $6\,\mathrm{kJ}/\mathrm{kg}$ , $h_2 = 144\,\mathrm{kJ}/\mathrm{kg}$ . (a) Título y entalpía de salida de la segunda etapa. (b) Trabajo y calor totales; rendimiento; compárese con la expansión única ( $\eta = 0.40$ isentrópico). (c) ¿Por qué ayuda el recalentamiento, en términos de la temperatura media de aporte de calor? (d) ¿Qué más arregla?

Solución

Solución de Ejercicio 27.11.

(a) $x = (7.76 - 0.476)/7.918 = 0.92$ , $h = 2367\,\mathrm{kJ}/\mathrm{kg}$ . (b) $w = 572 + 1111 - 6 = 1677\,\mathrm{kJ}/\mathrm{kg}$ , $q = 3278 + 628 = 3906\,\mathrm{kJ}/\mathrm{kg}$ , $\eta = 0.43$ frente a $0.40$ . (c) El recalentamiento aporta calor a temperatura alta y sube la temperatura media de aporte de calor. (d) El escape queda más seco ( $0.92$ en vez de $0.81$ ).

Ejercicio 27.12 ★★★

Turbina de gas y ciclo combinado. Aire comprimido isentrópicamente de $1\,\mathrm{bar}$ y $293\,\mathrm{K}$ a $12\,\mathrm{bar}$ , calentado a presión constante hasta $1500\,\mathrm{K}$ y expandido isentrópicamente hasta $1\,\mathrm{bar}$ ; $\gamma = 1.4$ , $c_p = 1005\,\mathrm{J}/\mathrm{kg}/\mathrm{K}$ . (a) Las cuatro temperaturas. (b) Trabajos, calor y rendimiento; muéstrese que $\eta = 1 - r^{-(\gamma - 1)/\gamma}$ . (c) Los gases de escape a $T_4$ producen vapor para un ciclo de Rankine de rendimiento $0.35$ que recupera el $70\%$ del calor de los gases por encima de $373\,\mathrm{K}$ : rendimiento combinado. (d) ¿Por qué es el ciclo combinado la central térmica más eficiente que existe?

Solución

Solución de Ejercicio 27.12.

(a) $293\,\mathrm{K}$ , $596\,\mathrm{K}$ , $1500\,\mathrm{K}$ , $737\,\mathrm{K}$ . (b) $w_{\text{c}} = 305$ , $w_{\text{t}} = 767$ , $q = 909\,\mathrm{kJ}/\mathrm{kg}$ , $\eta = 0.51 = 1 - 12^{-0.286}$ . (c) Calor de los gases por encima de $373\,\mathrm{K}$ : $366\,\mathrm{kJ}/\mathrm{kg}$ ; $0.7 \times 0.35 \times 366 = 90\,\mathrm{kJ}/\mathrm{kg}$ : $\eta = (462 + 90)/909 = 0.61$ . (d) Toma calor a $1500\,\mathrm{K}$ y lo cede a $306\,\mathrm{K}$ : el mayor intervalo que permite fluido de trabajo alguno.

27.7 Problema: una bomba de calor doméstica y una central de vapor

Problema 27.1

Problema de fin de semana — dos máquinas dimensionadas con los balances de sistemas abiertos

Parte I — La bomba de calor. Datos del refrigerante ( $\mathrm{kJ}/\mathrm{kg}$ , $\mathrm{kJ}/\mathrm{kg}/\mathrm{K}$ ): vapor saturado a $0\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ ( $P = 2.9\,\mathrm{bar}$ ): $h_1 = 399$ , $s_1 = 1.727$ ; líquido saturado a $0\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ : $h_{\text{f}} = 200$ , $s_{\text{f}} = 1.00$ ; a la presión del condensador, $10.2\,\mathrm{bar}$ ( $T_{\text{sat}} = 40\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ ): final de compresión isentrópica $h_{2s} = 426$ , líquido saturado $h_3 = 256$ , $s_3 = 1.19$ ; el vapor sobrecalentado tiene allí $c_p \approx 1.0\,\mathrm{kJ}/\mathrm{kg}/\mathrm{K}$ . Compresor con $\eta_{\text{C}} = 0.8$ ; demanda de la casa $8\,\mathrm{kW}$ .

Dibújese el ciclo en un diagrama $(\log P, h)$ y nómbrense los cuatro componentes con el proceso que realiza cada uno.
Estado 4 tras el estrangulamiento: entalpía y fracción de vapor.
Calor absorbido por kilogramo en el evaporador.
Trabajo del compresor, isentrópico y real; $h_2$ y una estimación de $T_2$ .
Calor cedido en el condensador; ambos COP; compruébese su relación.
COP de Carnot entre $0\,$ y $40\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ ; ¿qué fracción alcanza la máquina?
Caudal másico de refrigerante y potencia eléctrica (rendimiento del motor $0.9$ ).
Entropía creada por kilogramo en el compresor y en el estrangulamiento ( $s_4 = s_{\text{f}} + x\,(s_1 - s_{\text{f}})$ ); ¿cuál es peor?

Parte II — El tiempo frío y las opciones de diseño.

Con $-10\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ en el exterior, el evaporador trabaja a $-15\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ : COP de Carnot para calefacción; ¿por qué cae más deprisa el COP real (piénsese en la relación de presiones y en la densidad del vapor)?
¿Por qué se forma escarcha en la batería exterior y qué cuesta el ciclo de desescarche?
Suelo radiante a $35\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ frente a radiadores a $55\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ : COP de Carnot con el evaporador a $0\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ ; conclúyase.
Compárense, por cada kilovatio hora de combustible quemado en una central de rendimiento $0.40$ , el calor que entrega esta bomba de calor ( $\mathrm{COP} = 4$ ) y el de una caldera de gas de rendimiento $0.9$ que quema el combustible directamente.

Parte III — La central de vapor. Caldera a $60\,\mathrm{bar}$ y $500\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ : $h_3 = 3422$ , $s_3 = 6.88$ ; a $60\,\mathrm{bar}$ , $T_{\text{sat}} = 276\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ , $h_{\text{f}} = 1213$ , $h_{\text{g}} = 2784$ ; condensador a $0.05\,\mathrm{bar}$ y $33\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ : $h_{\text{f}} = 138$ , $h_{\text{fg}} = 2423$ , $s_{\text{f}} = 0.476$ , $s_{\text{g}} = 8.394$ ; líquido con $v = 1 \times 10^{-3}\,\mathrm{m}^{3}/\mathrm{kg}$ ; turbina con $\eta_{\text{T}} = 0.85$ ; potencia eléctrica neta $600\,\mathrm{MW}$ .

Dibújese el ciclo en un diagrama $(T,s)$ y nómbrense los procesos.
Trabajo de la bomba y $h_2$ .
Calor aportado en la caldera, repartido en precalentamiento, vaporización y sobrecalentamiento.
Expansión isentrópica: título, entalpía y trabajo de salida.
Expansión real: trabajo, entalpía y título de salida; por qué importa el título.
Rendimiento del ciclo; Carnot entre $773\,$ y $306\,\mathrm{K}$ ; la temperatura media de aporte de calor $\bar T = q_{\text{ent}}/(s_3 - s_2)$ y el rendimiento de Carnot que daría.
Caudal másico de vapor; calor cedido en el condensador; caudal de agua de refrigeración para una subida de $10\,\mathrm{K}$ , o masa de agua que evapora por segundo una torre de refrigeración ( $2.4\,\mathrm{MJ}/\mathrm{kg}$ ).
Entropía creada en la turbina por kilogramo y por segundo; el trabajo perdido a $306\,\mathrm{K}$ , como fracción del trabajo de la turbina.
Recalentar a $10\,\mathrm{bar}$ hasta $500\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ sube el rendimiento hasta cerca de $0.43$ y el título de salida hasta $0.92$ : explíquense ambos efectos cualitativamente.

Parte IV — La cadena completa.

El hogar transfiere su calor al vapor desde los gases de combustión a unos $1500\,\mathrm{K}$ : entropía creada por segundo en esa transferencia (calor a $1500\,\mathrm{K}$ hacia vapor a $\bar T$ ); compárese con la de la turbina.
El condensador cede su calor al agua a $306\,\mathrm{K}$ — que acaba llegando al ambiente a $293\,\mathrm{K}$ : entropía creada por segundo ahí.
Ordénense las tres fuentes de irreversibilidad (hogar, turbina, condensador) y dígase a dónde va el esfuerzo de los ingenieros.
Resúmase el método de los sistemas abiertos en cinco líneas.

Solución

Solución de Problema 27.1.

1. Compresor (adiabático, $w = \Delta h$ ), condensador (isobárico, calor cedido), estrangulamiento (isentálpico), evaporador (isobárico, calor absorbido).

2. $h_4 = 256\,\mathrm{kJ}/\mathrm{kg}$ , $x_4 = 0.28$ .

3. $143\,\mathrm{kJ}/\mathrm{kg}$ .

4. $27\,$ y $34\,\mathrm{kJ}/\mathrm{kg}$ ; $h_2 = 433$ ; $T_2 \approx 45 + 7 \approx 52\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ .

5. $177\,\mathrm{kJ}/\mathrm{kg}$ ; $\mathrm{COP}_{\text{cal}} = 5.2$ , $\mathrm{COP}_{\text{fr}} = 4.2$ ; $5.2 = 4.2 + 1$ .

6. $7.8$ y $6.8$ ; dos tercios.

7. $0.045\,\mathrm{kg}/\mathrm{s}$ ; $1.5\,\mathrm{kW}$ y $1.7\,\mathrm{kW}$ en el enchufe.

8. Compresor: $c_p\ln(325/318) \approx 0.022\,\mathrm{kJ}/\mathrm{kg}/\mathrm{K}$ ; estrangulamiento: $s_4 - s_3 = 1.204 - 1.19 = 0.014\,\mathrm{kJ}/\mathrm{kg}/\mathrm{K}$ — el compresor.

9. $313/55 = 5.7$ ; la relación de presiones casi se dobla (más trabajo por kilogramo) y la densidad del vapor se reduce a la mitad (menos masa por embolada): la capacidad cae justo cuando la casa necesita más.

10. La batería está por debajo de $0\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ en aire húmedo; la escarcha la aísla; el desescarche invierte el ciclo unos minutos cada hora y cuesta un pequeño porcentaje.

11. $308/35 = 8.8$ frente a $328/55 = 6.0$ : cuanto menor es la temperatura del condensador, mejor — el suelo radiante.

12. $1\,\mathrm{kWh}$ de combustible $\to$ $0.4\,\mathrm{kWh}$ de electricidad $\to$ $1.6\,\mathrm{kWh}$ de calor, frente a $0.9\,\mathrm{kWh}$ de la caldera.

13. Bomba, caldera (calentamiento isobárico, vaporización, sobrecalentamiento), turbina y condensador.

14. $6\,\mathrm{kJ}/\mathrm{kg}$ ; $h_2 = 144$ .

15. $3278 = 1069 + 1571 + 638$ ( $\mathrm{kJ}/\mathrm{kg}$ ).

16. $x = 0.81$ , $h_{4s} = 2098$ , $w_{\text{s}} = 1324\,\mathrm{kJ}/\mathrm{kg}$ .

17. $1125\,\mathrm{kJ}/\mathrm{kg}$ , $h_4 = 2297$ , $x_4 = 0.89$ ; un vapor más húmedo erosiona los álabes y baja el rendimiento.

18. $\eta = 1119/3278 = 0.34$ ; Carnot $0.60$ ; $\bar T = 3278/6.40 = 512\,\mathrm{K}$ , que da $0.40$ .

19. $536\,\mathrm{kg}/\mathrm{s}$ ; $1160\,\mathrm{MW}$ ; $28\,\mathrm{m}^{3}/\mathrm{s}$ de agua de río, o $480\,\mathrm{kg}/\mathrm{s}$ evaporados.

20. $0.65\,\mathrm{kJ}/\mathrm{kg}/\mathrm{K}$ , $350\,\mathrm{kW}/\mathrm{K}$ ; $200\,\mathrm{kJ}/\mathrm{kg}$ , el $18\%$ del trabajo de la turbina.

21. El segundo aporte de calor es a temperatura alta (mayor $\bar T$ ), y la segunda expansión empieza sobrecalentada y acaba más seca.

22. $1757\,\mathrm{MW} \times (1/512 - 1/1500) = 2.3\,\mathrm{MW}/\mathrm{K}$ — seis veces la de la turbina.

23. $1160\,\mathrm{MW} \times (1/293 - 1/306) = 0.17\,\mathrm{MW}/\mathrm{K}$ .

24. Hogar $\gg$ turbina $>$ condensador: de ahí las temperaturas y presiones de vapor más altas, el recalentamiento y la regeneración; luego, mejores álabes; el condensador viene el último.

25. Dibújese el volumen de control; la masa que entra iguala a la que sale; $\Delta h + \Delta c^2/2 + g\Delta z = w_{\text{u}} + q$ con $h$ a partir de $c_p$ , de tablas o de $v\Delta P$ ; $\Delta s = \sum q/T + s_{\text{c}}$ con referencias isentrópicas y rendimientos; móntense los componentes y compárese con Carnot.

Términos definidos en este capítulo

Sistema abierto, volumen de control, régimen estacionario

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