Física universitaria — segundo año · Bachelor Year 2

7Ondas sonoras en los fluidos

Cuéntense los segundos entre el relámpago y el trueno y divídase por tres: esa es la distancia en kilómetros. El sonido cruza el aire a un tercio de kilómetro por segundo y el agua a kilómetro y medio, y un ecógrafo cronometra los ecos que vienen del interior del cuerpo con una precisión de una millonésima de segundo para dibujar su imagen. Este capítulo aplica la mecánica de fluidos de Capítulos 3 y 2 a un fluido en reposo perturbado por una pequeña ondulación de presión, y vuelve a encontrar la ecuación de d’Alembert: la velocidad del sonido, qué transporta la energía, cuánto es mucho ruido, cómo se propaga el sonido en el espacio y por qué una sirena cambia de tono al pasar.

7.1 La aproximación acústica

Definición 7.1 (Perturbación acústica)

Un fluido en reposo, de presión uniforme $P_0$ y densidad $\rho_0$ , se perturba: $P = P_0 + p(M, t)$ , $\rho = \rho_0 + \rho_1(M, t)$ , velocidad $\vect v(M, t)$ . La aproximación acústica retiene solo el primer orden en las magnitudes pequeñas $p$ (la sobrepresión, o presión acústica), $\rho_1$ y $\vect v$ : $|p| \ll P_0$ , $|\rho_1| \ll \rho_0$ , $v \ll c$ , y la transformación que sufre cada partícula de fluido es tan rápida que no intercambia calor: es isentrópica, con la compresibilidad $\chi_S = \frac1\rho\bigl(\frac{\partial\rho}{\partial P}\bigr)_S$ . Se desprecia la gravedad.

Teorema 7.2 (Ondas sonoras)

A primer orden, la ecuación de Euler, la conservación de la masa y la ley isentrópica se escriben

\rho_0\frac{\partial\vect v}{\partial t} = -\operatorname{\vect{grad}}p , \qquad \frac{\partial\rho_1}{\partial t} + \rho_0\operatorname{div}\vect v = 0 , \qquad \rho_1 = \rho_0\chi_Sp ,

y juntas dan la ecuación de ondas para la sobrepresión,

\Delta p = \frac1{c^2}\frac{\partial^2p}{\partial t^2} , \qquad c = \frac1{\sqrt{\rho_0\chi_S}} ,

(la misma para $\rho_1$ y para $\vect v$ ). Para un gas perfecto, $\chi_S = 1/\gamma P_0$ y

c = \sqrt{\frac{\gamma P_0}{\rho_0}} = \sqrt{\frac{\gamma RT}{M}} :

$343\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ en el aire a $20{}^{\circ}\mathrm{C}$ , con un aumento de $0.6\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ por kelvin; $1000\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ en el helio; $1480\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ en el agua ( $\chi_S = 4.5 \times 10^{-10}\,\mathrm{Pa}^{-1}$ ).

Demostración. Euler: el término convectivo $\rho(\vect v\cdot\operatorname{\vect{grad}})\vect v$ es de segundo orden, $\rho\,\partial_t\vect v \approx \rho_0\,\partial_t\vect v$ , y $\operatorname{\vect{grad}}P = \operatorname{\vect{grad}}p$ . Masa: $\partial_t\rho + \operatorname{div}(\rho\vect v) \approx \partial_t\rho_1 + \rho_0\operatorname{div}\vect v$ . Ley isentrópica: $\dd\rho = \rho\chi_S\,\dd P$ a primer orden. Tómese la divergencia de la primera ecuación y la derivada temporal de la segunda: $\rho_0\partial_t\operatorname{div}\vect v = -\Delta p = -\partial_t^2\rho_1 = -\rho_0\chi_S \partial_t^2p$ . Para el gas perfecto, $PV^\gamma$ constante a lo largo de una transformación isentrópica da $\dd\rho/\rho = \dd P/\gamma P$ , luego $\chi_S = 1/\gamma P$ , y $P_0/\rho_0 = RT/M$ . ∎

Observación 7.3 (Por qué isentrópica)

Newton calculó la velocidad del sonido con la compresibilidad isoterma, $\sqrt{P_0/\rho_0} = 290\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , un $15\%$ demasiado baja; Laplace vio que las compresiones son demasiado rápidas para que el calor pase de las crestas calientes a los valles fríos — en un periodo el calor difunde unos micrómetros (Capítulo 25), nada frente a una longitud de onda —, de modo que la transformación es adiabática y reversible y aparece $\gamma$ . La velocidad del sonido es así una medida directa de $\gamma$ : $1.40$ para el aire, $1.67$ para el argón.

A la izquierda, una lámina de fluido desplazada en (x, t) y empujada por las presiones sobre sus caras; su compresión fija la sobrepresión. A la derecha, una onda sonora plana: zonas alternas de compresión y de dilatación que se mueven a c, con el propio fluido oscilando adelante y atrás en la dirección de propagación (una onda longitudinal). — A la izquierda, una lámina de fluido desplazada en $\xi(x, t)$ y empujada por las presiones sobre sus caras; su compresión fija la sobrepresión. A la derecha, una onda sonora plana: zonas alternas de compresión y de dilatación que se mueven a $c$ , con el propio fluido oscilando adelante y atrás en la dirección de propagación (una onda longitudinal).

7.2 Ondas planas, impedancia, intensidad

Proposición 7.4 (Onda sonora plana progresiva)

Para una onda plana $p = f(x - ct)$ que viaja hacia $+x$ , la velocidad del fluido va según $x$ , en fase con la sobrepresión, y

p = Z\,v , \qquad Z = \rho_0c = \sqrt{\rho_0/\chi_S} ,

donde $Z$ es la impedancia acústica del medio ( $\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-2}\,\mathrm{s}^{-1}$ ): $410\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-2}\,\mathrm{s}^{-1}$ para el aire, $1.5 \times 10^{6}\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-2}\,\mathrm{s}^{-1}$ para el agua, $\sim1.6 \times 10^{6}\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-2}\,\mathrm{s}^{-1}$ para los tejidos blandos y $4 \times 10^{7}\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-2}\,\mathrm{s}^{-1}$ para el acero. La onda transporta la densidad de energía y la intensidad (potencia por unidad de área, hacia $+x$ )

e = \tfrac12\rho_0v^2 + \tfrac12\chi_Sp^2 , \qquad I = p\,v ,

que obedecen $\partial_te + \partial_xI = 0$ ; para la onda progresiva las dos mitades de $e$ son iguales y $I = p^2/Z = Zv^2$ . Una onda sinusoidal de amplitud de presión $p_m$ tiene la intensidad media $\langle I\rangle = p_m^2/2Z$ .

Demostración. Para $p = f(x - ct)$ , $\rho_0\partial_tv = -\partial_xp = f'/c\cdot c\dots$ : con precisión, $\rho_0\partial_tv = -f'(x - ct)$ , y $v = f(x - ct)/\rho_0c$ lo cumple. El término potencial de $e$ es el trabajo almacenado al comprimir el fluido (una compresión isentrópica de un volumen unidad en $\dd V/V = -\chi_S\,\dd p$ almacena $\int p\,\chi_S\dd p = \tfrac12\chi_Sp^2$ ); $I$ es la potencia de la fuerza de presión $pS$ sobre el fluido de delante, que se mueve a $v$ , por unidad de área. Balance: $\partial_te = \rho_0v\partial_tv + \chi_Sp\partial_tp = -v\partial_xp - p\partial_xv = -\partial_x(pv)$ en virtud de las dos ecuaciones linealizadas. ∎

Definición 7.5 (Nivel sonoro)

El nivel sonoro de una onda de intensidad media $I$ vale

L = 10\log_{10}\frac I{I_0} \ \text{dB} , \qquad I_0 = 1 \times 10^{-12}\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}

— el umbral de audición a $1\,\mathrm{kHz}$ , que corresponde en el aire a la amplitud de presión $p_0 \approx 2 \times 10^{-5}\,\mathrm{Pa}$ (eficaz) $= 2 \times 10^{-10}$ atmósferas. Duplicar la intensidad añade $3\,\mathrm{dB}$ ; multiplicarla por diez, $10\,\mathrm{dB}$ ; multiplicar por cien la amplitud de presión, $40\,\mathrm{dB}$ . Habitación silenciosa $30\,\mathrm{dB}$ , conversación $60\,\mathrm{dB}$ , calle con tráfico $80\,\mathrm{dB}$ , concierto de rock $110\,\mathrm{dB}$ , dolor $120\,\mathrm{dB}$ ( $I = 1\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$ , $p_m = 29\,\mathrm{Pa}$ ).

Ejemplo 7.6 (Qué pequeño es un sonido)

En el umbral, a $1\,\mathrm{kHz}$ : $p_m = 2.8 \times 10^{-5}\,\mathrm{Pa}$ , $v_m = p_m/Z = 7 \times 10^{-8}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , y la amplitud de desplazamiento $\xi_m = v_m/\omega = 1 \times 10^{-11}\,\mathrm{m}$ — una décima de diámetro atómico: el tímpano detecta movimientos menores que un átomo. A $120\,\mathrm{dB}$ , $\xi_m = 11\,\text{µ}\mathrm{m}$ , todavía invisible, y $p_m/P_0 = 3 \times 10^{-4}$ : incluso los sonidos más fuertes son perturbaciones minúsculas, y por eso funciona tan bien la teoría lineal.

A la izquierda, en una onda sonora plana progresiva la sobrepresión y la velocidad del fluido están en fase, y el desplazamiento se retrasa un cuarto de periodo. A la derecha, la escala de decibelios: cada escalón de 20\, dB multiplica la intensidad por cien y la amplitud de presión por diez. — A la izquierda, en una onda sonora plana progresiva la sobrepresión y la velocidad del fluido están en fase, y el desplazamiento se retrasa un cuarto de periodo. A la derecha, la escala de decibelios: cada escalón de $20\,\mathrm{dB}$ multiplica la intensidad por cien y la amplitud de presión por diez.

7.3 Ondas esféricas

Proposición 7.7 (Ondas esféricas y la ley del inverso del cuadrado)

Una fuente pequeña que radia por igual en todas las direcciones produce la onda esférica

p(r, t) = \frac{A}{r}\,f\Bigl(t - \frac rc\Bigr) ,

cuya amplitud decrece como $1/r$ y cuya intensidad decrece como $1/r^2$ : para una fuente de potencia acústica $\mathcal P$ , $I = \mathcal P/4\pi r^2$ , es decir, $-6\,\mathrm{dB}$ cada vez que se duplica la distancia. Lejos de la fuente la onda es localmente plana, con $v = p/Z$ radial.

Demostración. En coordenadas esféricas, para una función solo de $r$ , $\Delta p = \frac1r\frac{\partial^2(rp)}{\partial r^2}$ (admitido; Capítulo 11), de modo que $u = rp$ obedece la ecuación de ondas unidimensional $\partial_r^2u = \partial_t^2u/c^2$ , de donde $u = Af(t - r/c)$ para la onda saliente. La potencia que atraviesa una esfera de radio $r$ vale $4\pi r^2I$ , constante si nada se absorbe. ∎

Ejemplo 7.8 (Una sirena, una conversación)

Una sirena de $10\,\mathrm{W}$ : $I = 10/4\pi r^2$ , $0.8\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$ a $1\,\mathrm{m}$ ( $119\,\mathrm{dB}$ , umbral de dolor), $79\,\mathrm{dB}$ a $100\,\mathrm{m}$ , $59\,\mathrm{dB}$ a $1\,\mathrm{km}$ — todavía audible sobre la ciudad. Una voz radia unos $10\,\text{µ}\mathrm{W}$ : $60\,\mathrm{dB}$ a $1\,\mathrm{m}$ y $40\,\mathrm{dB}$ a $10\,\mathrm{m}$ . El aire también absorbe sonido (más a alta frecuencia, unos decibelios por cada cien metros a $10\,\mathrm{kHz}$ ), y por eso el trueno lejano retumba grave.

7.4 El efecto Doppler

Teorema 7.9 (Efecto Doppler)

Una fuente emite a la frecuencia $f$ y se mueve a la celeridad $v_s$ a lo largo de la recta que la une con un observador que se mueve a $v_o$ , con ambas celeridades contadas positivas cuando se acercan; el sonido viaja a $c$ en el aire en reposo. El observador recibe la frecuencia

f' = f\,\frac{c + v_o}{c - v_s} .

Una fuente en movimiento apiña sus frentes de onda por delante ( $\lambda' = (c - v_s)/f$ ) y los separa por detrás; un observador en movimiento encuentra frentes a razón de $(c + v_o)/\lambda$ . Para $v_s, v_o \ll c$ ambos dan $\Delta f/f \approx (v_s + v_o)/c$ .

Demostración. Fuente en movimiento: los frentes emitidos en $t$ y en $t + 1/f$ están separados por $c/f - v_s/f$ en la dirección del movimiento, de modo que la longitud de onda por delante vale $\lambda' = (c - v_s)/f$ y la frecuencia que recibe un observador fijo es $c/\lambda'$ . Observador en movimiento: la longitud de onda es $\lambda = c/f$ , pero los frentes pasan a la celeridad relativa $c + v_o$ . Combínense. ∎

A la izquierda, los frentes de onda de una fuente en movimiento se apiñan por delante y se separan por detrás: sonido más agudo al acercarse, más grave al alejarse. A la derecha, una fuente más rápida que el sonido deja atrás sus frentes de onda; su envolvente es el cono de Mach, que se oye en el suelo como un estampido.

Ejemplo 7.10 (Sirenas, cinemómetros, glóbulos rojos)

La sirena de una ambulancia de $700\,\mathrm{Hz}$ que pasa a $25\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ : $755\,\mathrm{Hz}$ al acercarse y $651\,\mathrm{Hz}$ al alejarse — una caída de un sexto de octava, la conocida inflexión del “nino-nino”. Un cinemómetro de la policía mide el mismo efecto sobre una onda de radio de $24\,\mathrm{GHz}$ reflejada por un coche (la onda se desplaza dos veces, al recibirla el coche y al reemitirla): $\Delta f = 2fv/c = 4.8\,\mathrm{kHz}$ a $30\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ . Una sonda de ultrasonidos de $5\,\mathrm{MHz}$ apuntada a una arteria oye los glóbulos a $\Delta f = 2fv\cos\theta/c \approx 1.6\,\mathrm{kHz}$ para $0.5\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ a $60{}^{\circ}$ : un silbido audible cuyo tono es la celeridad de la sangre. Y las rayas espectrales de una galaxia que se aleja se desplazan al rojo en $\Delta\lambda/\lambda = v/c$ — la fórmula vale para la luz a baja velocidad, con la corrección relativista más allá.

Observación 7.11 (Supersónico)

Cuando $v_s > c$ la fórmula deja de valer ( $f' < 0$ por delante): ningún sonido precede a la fuente. Los frentes de onda emitidos a lo largo de la trayectoria tienen una envolvente cónica de semiángulo $\theta$ con $\sin\theta = c/v_s$ (el cono de Mach); el salto de presión que lleva el cono es el estampido sónico, que llega a un oyente del suelo solo después de que el avión haya pasado — a Mach $2$ y $10\,\mathrm{km}$ de altitud, $\theta = 30{}^{\circ}$ y el estampido llega $10\,\text{km}/\tan\theta/v_s \approx 25\,\mathrm{s}$ después del paso por la vertical. El chasquido de una bala y la punta de un látigo son el mismo cono.

Método 7.12 (Órdenes de magnitud en acústica)

Dado un nivel sonoro $L$ : $I = I_0\,10^{L/10}$ ; luego $p_m = \sqrt{2ZI}$ , $v_m = p_m/Z$ , $\xi_m = v_m/\omega$ ; la potencia de una fuente vale $4\pi r^2I$ si radia en todas las direcciones (la mitad sobre un suelo duro, que refleja hacia un semiespacio). Pasar de $r_1$ a $r_2$ cambia $L$ en $20\log_{10}(r_1/r_2)$ . Sumar $n$ fuentes iguales e incoherentes añade $10\log_{10}n$ ; dos fuentes coherentes en fase en un punto añaden $6\,\mathrm{dB}$ .

7.5 Ejercicios

Ejercicio 7.1 ★

Velocidad del sonido en el aire ( $\gamma = 1.40$ , $M = 29\,\mathrm{g}/\mathrm{mol}$ ) a $0{}^{\circ}\mathrm{C}$ , $20{}^{\circ}\mathrm{C}$ y $-50{}^{\circ}\mathrm{C}$ (a $10\,\mathrm{km}$ de altitud); en el helio ( $\gamma = 1.67$ , $M = 4\,\mathrm{g}/\mathrm{mol}$ ) y en el dióxido de carbono ( $\gamma = 1.30$ , $M = 44\,\mathrm{g}/\mathrm{mol}$ ) a $20{}^{\circ}\mathrm{C}$ . ¿Por qué suena aguda una voz después de respirar helio?

Solución

Solución de Ejercicio 7.1.

$c = \sqrt{\gamma RT/M}$ : $331\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , $343\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , $299\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; helio $1010\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; CO $_2$ $268\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ . Las cuerdas vocales vibran a la misma frecuencia, pero las resonancias del tracto vocal (que dan forma al timbre) escalan con $c$ y suben en un factor tres: la voz suena aguda.

Ejercicio 7.2 ★

Una conversación a $60\,\mathrm{dB}$ y $500\,\mathrm{Hz}$ : intensidad, amplitud de presión, amplitud de velocidad y amplitud de desplazamiento en el aire ( $Z = 410\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-2}\,\mathrm{s}^{-1}$ ). Lo mismo para $120\,\mathrm{dB}$ . Nivel de dos personas hablando a la vez; y de cien.

Solución

Solución de Ejercicio 7.2.

$60\,\mathrm{dB}$ : $I = 1 \times 10^{-6}\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$ , $p_m = \sqrt{2ZI} = 29\,\mathrm{mPa}$ , $v_m = p_m/Z = 7 \times 10^{-5}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , $\xi_m = v_m/\omega = 22\,\mathrm{nm}$ . $120\,\mathrm{dB}$ : $1\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$ , $29\,\mathrm{Pa}$ , $7\,\mathrm{cm}/\mathrm{s}$ , $22\,\text{µ}\mathrm{m}$ . Dos: $63\,\mathrm{dB}$ ; cien: $80\,\mathrm{dB}$ .

Ejercicio 7.3 ★

Un altavoz radia $1.0\,\mathrm{W}$ de sonido por igual en todas las direcciones. Intensidad y nivel a $1\,\mathrm{m}$ , $10\,\mathrm{m}$ y $100\,\mathrm{m}$ ; distancia a la que el nivel baja a $60\,\mathrm{dB}$ ; potencia necesaria para $100\,\mathrm{dB}$ a $30\,\mathrm{m}$ (un concierto al aire libre).

Solución

Solución de Ejercicio 7.3.

$I = 1/4\pi r^2$ : $0.080\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$ ( $109\,\mathrm{dB}$ ), $89\,\mathrm{dB}$ , $69\,\mathrm{dB}$ ; $I = 10^{-6}$ en $r = \sqrt{1/4\pi10^{-6}} = 280\,\mathrm{m}$ ; para $100\,\mathrm{dB}$ a $30\,\mathrm{m}$ hacen falta $4\pi \times 900 \times 10^{-2} = 110\,\mathrm{W}$ de sonido.

Ejercicio 7.4 ★

El trueno se oye $4.5\,\mathrm{s}$ después del relámpago: distancia. La sirena de un barco tiene eco en un acantilado al cabo de $3.0\,\mathrm{s}$ : distancia. Sonar: un eco del fondo marino vuelve al cabo de $2.4\,\mathrm{s}$ ( $c = 1500\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ): profundidad. Un eco de ultrasonidos de $5\,\mathrm{MHz}$ vuelve al cabo de $130\,\text{µ}\mathrm{s}$ en el tejido ( $1540\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ): profundidad.

Solución

Solución de Ejercicio 7.4.

$4.5 \times 340 = 1.5\,\mathrm{km}$ ; $340 \times 1.5 = 510\,\mathrm{m}$ ; $1500 \times 1.2 = 1.8\,\mathrm{km}$ ; $1540 \times 65 \times 10^{-6} = 10\,\mathrm{cm}$ .

Ejercicio 7.5 ★★

La bocina de un tren a $500\,\mathrm{Hz}$ ; $c = 340\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ . (a) Frecuencia que oye una persona en el andén cuando el tren se acerca a $40\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , y después de que haya pasado. (b) La persona va en un tren que se mueve hacia la bocina a $40\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , con la bocina en reposo; y luego ambos se acercan a $40\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ : compárese con una celeridad relativa de $80\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ y un cuerpo en reposo. (c) Frecuencia que oye el maquinista del tren de la bocina en el eco de una pared que tiene delante.

Solución

Solución de Ejercicio 7.5.

(a) $500 \times 340/300 = 567\,\mathrm{Hz}$ ; $500 \times 340/380 = 447\,\mathrm{Hz}$ . (b) $500 \times 380/340 = 559\,\mathrm{Hz}$ ; ambos: $500 \times 380/300 = 633\,\mathrm{Hz}$ , frente a $654\,\mathrm{Hz}$ (solo la fuente a $80\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ) o $618\,\mathrm{Hz}$ (solo el observador): lo que fija el resultado es el aire, no la celeridad relativa. (c) La pared recibe $567\,\mathrm{Hz}$ y la reemite en reposo; el maquinista se acerca a $40\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ : $567 \times 380/340 = 633\,\mathrm{Hz}$ .

Ejercicio 7.6 ★★

Para una amplitud de presión de $1.0\,\mathrm{Pa}$ a $1\,\mathrm{kHz}$ , calcúlense las amplitudes de velocidad y de desplazamiento, la intensidad y el nivel en el aire, en el agua ( $Z = 1.5 \times 10^{6}\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-2}\,\mathrm{s}^{-1}$ ) y en el acero ( $4 \times 10^{7}\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-2}\,\mathrm{s}^{-1}$ ). La misma presión y unas intensidades muy distintas: coméntese. (Los niveles submarinos se dan respecto de $1\,\text{µ}\mathrm{Pa}$ : ¿cuánto vale $1\,\mathrm{Pa}$ en esa escala?)

Solución

Solución de Ejercicio 7.6.

$v_m = p_m/Z$ : $2.4\,\mathrm{mm}/\mathrm{s}$ , $0.67\,\text{µ}\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , $25\,\mathrm{nm}/\mathrm{s}$ ; $\xi_m = v_m/\omega$ : $390\,\mathrm{nm}$ , $0.11\,\mathrm{nm}$ , $4\,\mathrm{pm}$ ; $I = p_m^2/2Z$ : $1.2 \times 10^{-3}\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$ ( $91\,\mathrm{dB}$ ), $3.3 \times 10^{-7}\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$ ( $55\,\mathrm{dB}$ ), $1.3 \times 10^{-8}\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$ ( $41\,\mathrm{dB}$ ). Un medio rígido apenas se mueve bajo una presión dada y transporta poca potencia. $1\,\mathrm{Pa}$ son $120\,\mathrm{dB}$ re $1\,\text{µ}\mathrm{Pa}$ .

Ejercicio 7.7 ★★

(a) Celeridad isoterma de Newton $\sqrt{P_0/\rho_0}$ para el aire a $20{}^{\circ}\mathrm{C}$ ( $\rho_0 = 1.20\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ ) y corrección de Laplace. (b) Medidas: $343\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ en el aire y $323\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ en el argón ( $M = 40\,\mathrm{g}/\mathrm{mol}$ ) a $20{}^{\circ}\mathrm{C}$ : dedúzcase $\gamma$ para cada uno; interprétese con el número de grados de libertad. (c) Estímese cuánto difunde el calor en un periodo a $1\,\mathrm{kHz}$ (difusividad térmica del aire $2 \times 10^{-5}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$ ) y compárese con la longitud de onda.

Solución

Solución de Ejercicio 7.7.

(a) $\sqrt{1.013 \times 10^5/1.2} = 290\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; $\times\sqrt{1.4}$ : $343\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ . (b) $\gamma = c^2M/RT$ : $1.40$ para el aire, $1.71$ para el argón ( $5/3$ dentro del redondeo): tres grados de libertad de traslación ( $\gamma = 1 + 2/3$ ) frente a cinco para un gas diatómico ( $1 + 2/5$ ). (c) $\sqrt{D/f} = \sqrt{2 \times 10^{-8}} = 0.14\,\mathrm{mm} \ll \lambda = 34\,\mathrm{cm}$ : no pasa calor entre crestas y valles.

Ejercicio 7.8 ★★

Tubos de órgano. En un tubo, la sobrepresión es nula en un extremo abierto y la velocidad es nula en un extremo cerrado. (a) Ondas estacionarias en un tubo abierto por ambos extremos: muéstrese que los modos son $f_n = nc/2L$ ; en un tubo cerrado por un extremo, $f_n = (2n - 1)c/4L$ . (b) Longitudes para un fundamental de $440\,\mathrm{Hz}$ en cada caso. (c) ¿Qué armónicos contiene cada tubo? (d) El extremo abierto real queda a unos $0.6$ radios más allá del tubo (corrección de extremo): para un tubo de $4\,\mathrm{cm}$ , corrección sobre $L$ y sobre $f$ .

Solución

Solución de Ejercicio 7.8.

(a) Abierto–abierto: $p = p_m\sin kx\cos\omega t$ con $kL = n\pi$ ; cerrado–abierto: $p = p_m\cos kx\cos\omega t$ (nodo de velocidad y vientre de presión en el extremo cerrado) con $kL = (2n - 1)\pi/2$ . (b) $L = c/2f = 39\,\mathrm{cm}$ ; $c/4f = 19.5\,\mathrm{cm}$ . (c) Todos los armónicos; solo los impares (el sonido hueco del clarinete). (d) $0.6 \times 2 = 1.2\,\mathrm{cm}$ por extremo abierto: $L_{\text{ef}} = 41.4\,\mathrm{cm}$ , $f = 414\,\mathrm{Hz}$ , un $6\%$ bajo — hay que cortar el tubo a $36.6\,\mathrm{cm}$ .

Ejercicio 7.9 ★★

Una sirena eléctrica de $2.0\,\mathrm{kW}$ convierte el $20\%$ de su potencia en sonido radiado hacia un semiespacio (está sobre un tejado). (a) Intensidad, nivel y amplitud de presión a $100\,\mathrm{m}$ . (b) Distancia del umbral de dolor ( $120\,\mathrm{dB}$ ); y de la curva de $70\,\mathrm{dB}$ , donde deja de alarmar. (c) La absorción del aire añade $1\,\mathrm{dB}$ por cada $100\,\mathrm{m}$ a su frecuencia: distancia de la curva de $70\,\mathrm{dB}$ ahora (resuélvase numéricamente). (d) ¿Cuántas sirenas así cubren una ciudad de $10\,\mathrm{km}$ de radio?

Solución

Solución de Ejercicio 7.9.

$\mathcal P = 400\,\mathrm{W}$ , $I = \mathcal P/2\pi r^2$ . (a) $6.4 \times 10^{-3}\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$ , $98\,\mathrm{dB}$ , $p_m = 2.3\,\mathrm{Pa}$ . (b) $r = \sqrt{400/2\pi} = 8\,\mathrm{m}$ ; $70\,\mathrm{dB}$ a $2.5\,\mathrm{km}$ . (c) $98 - 20\log(r/100) - (r - 100)/100 = 70$ : $r \approx 950\,\mathrm{m}$ . (d) $\pi(10)^2/\pi(0.95)^2 \approx 110$ sirenas.

Ejercicio 7.10 ★★★

Energía de una onda sonora estacionaria. En un tubo cerrado de longitud $L$ la sobrepresión vale $p = p_m\cos(kx)\cos(\omega t)$ , $k = n\pi/L$ . (a) Hállese $v(x, t)$ a partir de la ecuación de Euler linealizada. (b) Densidades de energía cinética y potencial; muéstrese que oscilan en cuadratura en el tiempo y que están desplazadas un cuarto de longitud de onda en el espacio. (c) Energía total del tubo (de sección $S$ ); compruébese que es constante. (d) Intensidad media: nula en todas partes — y sin embargo la energía se mueve: descríbase cómo.

Solución

Solución de Ejercicio 7.10.

(a) $\rho_0\partial_tv = p_mk\sin kx\cos\omega t$ : $v = (p_m/Z)\sin kx\sin\omega t$ . (b) $e_k = \tfrac12\chi_Sp_m^2\sin^2kx\sin^2\omega t$ , $e_p = \tfrac12\chi_Sp_m^2\cos^2kx\cos^2\omega t$ : una es máxima cuando la otra se anula, en el tiempo y en el espacio. (c) $E = S\int_0^L(e_k + e_p)\dd x = \tfrac14\chi_Sp_m^2SL$ , constante. (d) $I = pv = (p_m^2/4Z)\sin2kx\sin2\omega t$ : de media nula, pero dos veces por periodo la energía va de los vientres de presión a los de velocidad y vuelve.

Ejercicio 7.11 ★★★

Estampido sónico. Un avión vuela horizontalmente a $v = 1.6\,c$ a la altitud $h = 12\,\mathrm{km}$ , donde $c = 300\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ . (a) Dedúzcase el ángulo de Mach de la envolvente de los frentes de onda esféricos. (b) Tiempo entre el paso por la vertical y el estampido en el suelo (despréciese la variación de $c$ con la altitud). (c) Anchura en el suelo de la franja que oye el estampido al pasar el avión, si la traza del cono se oye hasta $\pm30\,\mathrm{km}$ de la ruta: ¿por qué está prohibido el vuelo supersónico sobre tierra? (d) Una bala de fusil a $800\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ : ángulo de Mach; qué oye un observador situado a $10\,\mathrm{m}$ de la trayectoria, y en qué orden.

Solución

Solución de Ejercicio 7.11.

(a) El frente emitido en $t = 0$ tiene radio $ct$ cuando la fuente está a $vt$ de distancia: el cono tangente cumple $\sin\theta = c/v$ . (b) $\theta = 39{}^{\circ}$ ; el cono llega al suelo bajo el avión cuando este se ha alejado $h/\tan\theta = 15\,\mathrm{km}$ más: $15000/480 = 31\,\mathrm{s}$ después del paso por la vertical. (c) Una franja de $60\,\mathrm{km}$ de ancho a lo largo de toda la ruta oye el estampido. (d) $\sin\theta = 340/800$ , $\theta = 25{}^{\circ}$ ; primero llega el chasquido del cono y después la detonación de la boca, que viaja a $c$ desde el arma.

Ejercicio 7.12 ★★★

Doppler por ultrasonidos. Una sonda emite a $f = 5.0\,\mathrm{MHz}$ hacia un tejido ( $c = 1540\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ); los glóbulos rojos se mueven a $v$ por un vaso que forma el ángulo $\theta$ con el haz. (a) Frecuencia que recibe un glóbulo (observador en movimiento). (b) Lo reemite (lo dispersa) como fuente en movimiento: frecuencia que vuelve a la sonda; muéstrese que $\Delta f = 2fv\cos\theta/c$ para $v \ll c$ . (c) $\Delta f$ para $v = 0.50\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , $\theta = 60{}^{\circ}$ ; y para $\theta = 90{}^{\circ}$ — ¿qué hace entonces el operador? (d) La sonda resuelve $50\,\mathrm{Hz}$ : resolución en velocidad. ¿Por qué se hace audible la señal Doppler en vez de solo representarla?

Solución

Solución de Ejercicio 7.12.

(a) $f_1 = f(c + v\cos\theta)/c$ . (b) $f_2 = f_1c/(c - v\cos\theta) = f(c + v\cos\theta) /(c - v\cos\theta) \approx f(1 + 2v\cos\theta/c)$ . (c) $2 \times 5 \times 10^6 \times 0.5 \times 0.5/1540 = 1.6\,\mathrm{kHz}$ ; nula a $90{}^{\circ}$ : hay que inclinar la sonda. (d) $\Delta v = 50 \times 1540/ (2 \times 5 \times 10^6 \times 0.5) = 1.5\,\mathrm{cm}/\mathrm{s}$ . El oído sigue el tono y el timbre en tiempo real: un silbido limpio indica flujo laminar y un siseo, turbulencia tras un estrechamiento.

Un ecógrafo: unos pocos megahercios de sonido, ecos cronometrados y los saltos de impedancia entre tejidos dibujan la imagen; el gel elimina la película de aire que lo reflejaría todo.

7.6 Problema: del trueno al ecógrafo

Problema 7.1

Problema de fin de semana — el sonido al aire libre, en una sala de conciertos, dentro del cuerpo y en una sirena que pasa

Aire: $\gamma = 1.40$ , $M = 29\,\mathrm{g}/\mathrm{mol}$ , $Z = 410\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-2}\,\mathrm{s}^{-1}$ a $15{}^{\circ}\mathrm{C}$ ; $R = 8.31\,\mathrm{J}/(\mathrm{mol}\,\mathrm{K})$ .

Parte I — La tormenta.

Velocidad del sonido a $15{}^{\circ}\mathrm{C}$ y a $30{}^{\circ}\mathrm{C}$ ; justifíquese la regla de “tres segundos por kilómetro”.
El trueno llega $4.0\,\mathrm{s}$ después del relámpago: distancia del rayo. El trueno dura varios segundos aunque el relámpago sea instantáneo: ¿por qué?
Cerca del rayo el nivel alcanza $120\,\mathrm{dB}$ : amplitud de presión y amplitud de velocidad del aire.
Energía recibida por metro cuadrado de pared durante un trueno de $2\,\mathrm{s}$ a $120\,\mathrm{dB}$ .
En una noche despejada el suelo se enfría y el aire está más frío abajo que arriba. Los rayos sonoros obedecen la ley de Snell entre capas, $\sin i/c =$ const.: ¿se curvan hacia abajo o hacia arriba los rayos lanzados hacia arriba? ¿Por qué se oyen tan bien los sonidos lejanos de noche y sobre el agua?
De día ocurre lo contrario: un oyente situado a $3\,\mathrm{km}$ no oye nada. Estímese el ángulo que ha girado un rayo horizontal después de $3\,\mathrm{km}$ si $c$ baja un $1\,\%$ por cada $500\,\mathrm{m}$ de altitud (trátese la curvatura como uniforme: el rayo es un círculo).
El aire absorbe las frecuencias altas mucho más que las bajas: ¿por qué retumba el trueno lejano y chasquea el rayo cercano?

Parte II — El concierto. Un altavoz recibe $100\,\mathrm{W}$ de potencia eléctrica y convierte el $2\%$ en sonido, radiado por igual hacia el semiespacio que tiene delante.

Potencia acústica; intensidad y nivel a $10\,\mathrm{m}$ .
Amplitud de presión allí; amplitudes de velocidad y de desplazamiento a $100\,\mathrm{Hz}$ .
Nivel a $1\,\mathrm{m}$ (¿es seguro?) y distancia a la que la música baja a $60\,\mathrm{dB}$ .
Diez altavoces idénticos repartidos por el escenario y sin estar en fase: nivel a $10\,\mathrm{m}$ . Dos altavoces alimentados en fase, a la misma distancia de un oyente situado sobre su eje: nivel allí.
La sala (de volumen $10\,000\,\mathrm{m}^{3}$ ) tiene $2000\,\mathrm{m}^{2}$ de paredes y público que absorben el $30\%$ del sonido que les llega: estímense la energía acústica almacenada en la sala en equilibrio y el tiempo de reverberación (el que tarda el nivel en bajar $60\,\mathrm{dB}$ tras cesar la música), usando el balance entre la potencia emitida y la potencia absorbida ( $I_{\text{pared}} \approx ce/4$ para un campo difuso, admitido).

Parte III — El ecógrafo. Tejido blando: $c = 1540\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , $Z = 1.6 \times 10^{6}\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-2}\,\mathrm{s}^{-1}$ ; hueso $Z = 7 \times 10^{6}\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-2}\,\mathrm{s}^{-1}$ ; aire $400\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-2}\,\mathrm{s}^{-1}$ . Con incidencia normal, la amplitud de presión reflejada en una interfaz vale $r = (Z_2 - Z_1)/(Z_2 + Z_1)$ veces la incidente (deducido en Capítulo 15); el tejido atenúa el sonido unos $0.5\,\mathrm{dB}$ por centímetro y por megahercio.

Longitud de onda en el tejido a $3\,\mathrm{MHz}$ , $5\,\mathrm{MHz}$ y $10\,\mathrm{MHz}$ ; el detalle más pequeño que cada una resuelve es de alrededor de una longitud de onda.
Retardo del eco de un órgano situado a $12\,\mathrm{cm}$ de profundidad; ritmo máximo al que pueden enviarse pulsos sin confundir ecos; tiempo para formar una imagen de $200$ líneas.
Fracción de la presión, y de la energía, reflejada en una interfaz tejido–aire; en una tejido–hueso; y entre grasa ( $Z = 1.38 \times 10^{6}\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-2}\,\mathrm{s}^{-1}$ ) y músculo ( $1.70 \times 10^{6}\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-2}\,\mathrm{s}^{-1}$ ). ¿Por qué el gel y por qué dan sombra los huesos?
A $5\,\mathrm{MHz}$ el haz atraviesa $2\,\mathrm{cm}$ de grasa antes de encontrar músculo: fracción de la energía emitida que vuelve a la sonda desde esa interfaz (reflexión y atenuación de ida y vuelta), en decibelios.
Atenuación de ida y vuelta en decibelios para el órgano de la pregunta 12 a cada una de las tres frecuencias; si el aparato admite $80\,\mathrm{dB}$ de pérdida, ¿qué frecuencias sirven? Enúnciese el compromiso entre resolución y profundidad.
La sonda emite pulsos de $1\,\text{µ}\mathrm{s}$ a $5\,\mathrm{MHz}$ : ¿cuántas longitudes de onda dura un pulso y cómo limita eso la resolución en profundidad?
Modo Doppler a $5\,\mathrm{MHz}$ sobre una arteria a $0.40\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , con el haz a $60{}^{\circ}$ : desplazamiento; qué oye el operador.

Parte IV — La sirena.

Una ambulancia pasa a $90\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ con una sirena de $700\,\mathrm{Hz}$ : frecuencias que se oyen al acercarse y al alejarse; intervalo entre ambas en semitonos (un semitono es una razón $2^{1/12}$ ).
El oyente va en un coche a $15\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ hacia la ambulancia que se acerca: frecuencia que oye.
¿En qué instante oye exactamente $700\,\mathrm{Hz}$ un oyente que está en la acera?
Los frentes de onda de la ambulancia por delante de ella: longitud de onda; celeridad del sonido respecto de la ambulancia por delante y por detrás.
Un cinemómetro de $24\,\mathrm{GHz}$ mide un desplazamiento de $3.2\,\mathrm{kHz}$ en un coche: celeridad del coche (la onda se desplaza dos veces).
Resúmase: las seis celeridades de este problema (sonido en el aire, en el tejido, la ambulancia, el coche, los glóbulos rojos y la luz) y la única fórmula que las trata a todas.

Solución

Solución de Problema 7.1.

1. $c = \sqrt{1.4 \times 8.31 \times 288/0.029} = 340\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; $349\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ a $30{}^{\circ}\mathrm{C}$ . $1\,\mathrm{km}$ en $2.9\,\mathrm{s}$ .

2. $1.4\,\mathrm{km}$ . El canal del rayo mide kilómetros; el sonido de sus distintas partes llega a lo largo de segundos, con ecos en las nubes y en el suelo.

3. $I = 1\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$ : $p_m = \sqrt{2ZI} = 29\,\mathrm{Pa}$ , $v_m = 7\,\mathrm{cm}/\mathrm{s}$ .

4. $It = 2\,\mathrm{J}/\mathrm{m}^{2}$ .

5. $c$ crece hacia arriba; con $\sin i/c$ constante, $i$ crece, de modo que el rayo se curva hacia la horizontal y vuelve a bajar: el sonido queda canalizado junto al suelo y llega lejos. Sobre el agua, el aire más bajo lo enfría el agua: lo mismo.

6. Los rayos se curvan hacia arriba y dejan una zona de sombra. Radio de curvatura $R = c/(\dd c/\dd z) = 50\,\mathrm{km}$ : tras $3\,\mathrm{km}$ el rayo ha girado $3/50 = 0.06\,\mathrm{rad} = 3.4{}^{\circ}$ y ha subido $90\,\mathrm{m}$ : el oyente queda por debajo de él.

7. La absorción crece como $f^2$ : las frecuencias altas del chasquido desaparecen tras unos kilómetros y queda el retumbo grave.

8. $\mathcal P = 2\,\mathrm{W}$ ; $I = 2/2\pi r^2 = 3.2 \times 10^{-3}\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$ a $10\,\mathrm{m}$ : $95\,\mathrm{dB}$ .

9. $p_m = \sqrt{2 \times 410 \times 3.2 \times 10^{-3}} = 1.6\,\mathrm{Pa}$ ; $v_m = 3.9\,\mathrm{mm}/\mathrm{s}$ ; $\xi_m = v_m/2\pi f = 6\,\text{µ}\mathrm{m}$ .

10. $+20\,\mathrm{dB}$ : $115\,\mathrm{dB}$ a $1\,\mathrm{m}$ — dañino en unos minutos. $60\,\mathrm{dB}$ : $r = \sqrt{2/2\pi10^{-6}} = 560\,\mathrm{m}$ .

11. Diez incoherentes: $+10\,\mathrm{dB}$ , $105\,\mathrm{dB}$ . Dos en fase: la presión se duplica, $+6\,\mathrm{dB}$ , $101\,\mathrm{dB}$ .

12. Balance $\mathcal P = \alpha A\,ce/4$ : $e = 8/(0.3 \times 2000 \times 340) = 3.9 \times 10^{-5}\,\mathrm{J}/\mathrm{m}^{3}$ , $E = eV = 0.4\,\mathrm{J}$ . Tras la parada, $\dd E/\dd t = -(\alpha Ac /4V)E$ : $\tau = 4V/\alpha Ac = 0.20\,\mathrm{s}$ , y los $60\,\mathrm{dB}$ tardan $\tau\ln10^6 = 2.7\,\mathrm{s}$ (el tiempo de reverberación de Sabine).

13. $\lambda = c/f$ : $0.51\,\mathrm{mm}$ , $0.31\,\mathrm{mm}$ , $0.15\,\mathrm{mm}$ .

14. $2 \times 0.12/1540 = 156\,\text{µ}\mathrm{s}$ ; $6.4\,\mathrm{kHz}$ ; $200$ líneas en $31\,\mathrm{ms}$ (treinta imágenes por segundo).

15. Tejido–aire: $r = -0.9995$ , se refleja el $99.9\%$ de la energía — de ahí el gel, que elimina la película de aire. Tejido–hueso: $r = 0.63$ , el $40\%$ de la energía; el resto lo absorbe el hueso, que proyecta una sombra. Grasa–músculo: $r = 0.10$ , el $1\%$ de la energía: los ecos tenues con los que se forma la imagen.

16. Fracción reflejada $1.1\%$ ( $-20\,\mathrm{dB}$ ); ida y vuelta de $4\,\mathrm{cm}$ a $5\,\mathrm{MHz}$ : $-10\,\mathrm{dB}$ ; en total $-30\,\mathrm{dB}$ , una milésima.

17. Ida y vuelta de $24\,\mathrm{cm}$ : $36\,\mathrm{dB}$ , $60\,\mathrm{dB}$ , $120\,\mathrm{dB}$ : $3\,\mathrm{MHz}$ y $5\,\mathrm{MHz}$ sirven, $10\,\mathrm{MHz}$ no — los órganos profundos se exploran a baja frecuencia con resolución basta, y los superficiales a alta frecuencia con detalle.

18. Cinco longitudes de onda, $1.5\,\mathrm{mm}$ de largo: dos interfaces separadas menos de unos $0.8\,\mathrm{mm}$ (medio pulso) dan ecos solapados.

19. $2 \times 5 \times 10^6 \times 0.4 \times 0.5/1540 = 1.3\,\mathrm{kHz}$ : un silbido cuyo tono sube y baja con cada latido.

20. $v = 25\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ : $700 \times 340/315 = 756\,\mathrm{Hz}$ , $700 \times 340/365 = 652\,\mathrm{Hz}$ ; razón $1.16$ , $12\log_21.16 = 2.6$ semitonos.

21. $700 \times 355/315 = 789\,\mathrm{Hz}$ .

22. En el momento de máxima proximidad, cuando la velocidad de la ambulancia es perpendicular a la línea de visión (en rigor, cuando el sonido que llega ahora se emitió en ese punto).

23. $\lambda' = (340 - 25)/700 = 0.45\,\mathrm{m}$ (frente a $0.49\,\mathrm{m}$ ); el sonido se aleja de la ambulancia a $315\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ por delante y a $365\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ por detrás.

24. $v = c\,\Delta f/2f = 3 \times 10^8 \times 3200/4.8 \times 10^{10} = 20\,\mathrm{m}/\mathrm{s} = 72\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ .

25. $340\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , $1540\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , $25\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , $20\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , $0.4\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , $3 \times 10^{8}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ : $f' = f(c + v_o)/(c - v_s)$ , aplicada una o dos veces, y para la luz a baja velocidad.

Términos definidos en este capítulo

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