Física universitaria — segundo año · Bachelor Year 2

26Radiación térmica

Todo lo caliente brilla. Una mano, una pared, un vaso de agua a temperatura ambiente radian de forma invisible, en longitudes de onda cercanas a $10\,\text{µ}\mathrm{m}$ , unos cientos de vatios por metro cuadrado; caliéntese un atizador y a $600\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ brilla en rojo apagado, a $1000\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ en naranja y a $2500\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ — el filamento de una bombilla — en blanco; la superficie del Sol, a $5800\,\mathrm{K}$ , radia en blanco amarillento sesenta megavatios por metro cuadrado, y esa luz, tras ocho minutos de viaje, es la que mantiene la Tierra a una temperatura en la que el agua es líquida. La radiación es el tercer modo de transferencia de calor y el único que cruza el espacio vacío; es además el lugar donde falló la física clásica y Planck, en 1900, tuvo que introducir el cuanto. Este capítulo enuncia la ley que encontró, saca de ella los dos resultados que se usan constantemente — el desplazamiento de Wien y la ley de Stefan–Boltzmann — y los aplica a los intercambios entre cuerpos, al Sol y a la Tierra, y al modelo de una capa del efecto invernadero que fija nuestro clima.

Acero en la fragua: el color del brillo — rojo apagado, naranja, amarillo, blanco — es un termómetro, porque el espectro de la radiación térmica depende solo de la temperatura.

26.1 La radiación térmica y el cuerpo negro

Definición 26.1 (Radiación térmica, absortividad, cuerpo negro)

Todo cuerpo a la temperatura $T$ emite radiación electromagnética por la agitación térmica de sus cargas: su radiación térmica. Su superficie recibe además radiación de su entorno y absorbe una fracción $\alpha$ de ella (la absortividad, entre $0$ y $1$ , que en general depende de la longitud de onda), reflejando o transmitiendo el resto. Un cuerpo negro lo absorbe todo ( $\alpha = 1$ a cualquier longitud de onda). Un agujerito en la pared de una cavidad cerrada es el cuerpo negro práctico: la radiación que entra la absorben las paredes antes de que encuentre la salida.

Proposición 26.2 (Radiación de equilibrio y ley de Kirchhoff)

Dentro de una cavidad cerrada cuyas paredes están a $T$ , la radiación está en equilibrio con las paredes y es universal: isótropa, no polarizada y con una densidad espectral de energía $u_\nu(T)$ (energía por unidad de volumen y de frecuencia) que depende solo de $T$ y $\nu$ , no del material ni de la forma de la cavidad. La radiación que sale de un agujerito de una cavidad así es la radiación del cuerpo negro a $T$ . Una superficie que absorbe la fracción $\alpha_\nu$ de la radiación que recibe a la frecuencia $\nu$ emite, a esa frecuencia, la fracción $\varepsilon_\nu = \alpha_\nu$ de lo que emitiría un cuerpo negro a la misma temperatura (su emisividad): los buenos absorbentes son buenos emisores.

Demostración. Universalidad: conéctense dos cavidades a la misma $T$ por un agujero con un filtro que deje pasar una frecuencia; si las densidades difirieran, la energía fluiría de una a otra a temperaturas iguales, violando el segundo principio. Kirchhoff: colóquese la superficie en la cavidad a su propia $T$ ; en equilibrio debe emitir a cada frecuencia exactamente lo que absorbe, $\varepsilon_\nu u_\nu = \alpha_\nu u_\nu$ . ∎

26.2 La ley de Planck

Teorema 26.3 (Ley de Planck)

La densidad espectral de energía de la radiación del cuerpo negro a la temperatura $T$ vale

u_\nu(T) = \frac{8\pi h\nu^3}{c^3}\,\frac{1}{\eu^{h\nu/k_BT} - 1},

y la potencia radiada por una superficie negra por unidad de área y de longitud de onda (su exitancia espectral) es

M_\lambda(T) = \frac{2\pi hc^2}{\lambda^5}\,\frac{1}{\eu^{hc/\lambda k_BT} - 1}.

Dos límites: para $h\nu \ll k_BT$ , $u_\nu \approx 8\pi\nu^2 k_BT/c^3$ (Rayleigh–Jeans: cada modo de la cavidad lleva la energía clásica $k_BT$ — una ley cuya integral es infinita, la “catástrofe ultravioleta”); para $h\nu \gg k_BT$ , $u_\nu \approx (8\pi h\nu^3/c^3) \eu^{-h\nu/k_BT}$ (Wien: el factor de Boltzmann de un fotón de energía $h\nu$ , Capítulo 29).

Demostración. Admitido: el recuento de los modos de la cavidad ( $8\pi\nu^2/c^3$ por unidad de volumen y de frecuencia, con dos polarizaciones) corresponde al volumen del tercer año, y la energía media de un modo, $h\nu/(\eu^{h\nu/k_BT} - 1)$ en vez de la clásica $k_BT$ , es la hipótesis cuántica: la energía se intercambia con el modo en cuantos $h\nu$ , de modo que los modos con $h\nu \gg k_BT$ quedan congelados. La relación $M_\lambda\,\dd\lambda = (c/4)\,u_\nu\,\dd\nu$ es el factor geométrico que se calcula en Teorema 26.5. ∎

El espectro de Planck a tres temperaturas: el máximo se desplaza hacia longitudes de onda más cortas como 1/T (Wien) y el área crece como T4 (Stefan). Solo la curva más caliente pone buena parte de su potencia en la banda visible. — El espectro de Planck a tres temperaturas: el máximo se desplaza hacia longitudes de onda más cortas como $1/T$ (Wien) y el área crece como $T^4$ (Stefan). Solo la curva más caliente pone buena parte de su potencia en la banda visible.

La función de Planck y sus dos límites: la equipartición clásica a baja frecuencia y el corte exponencial de Boltzmann a alta frecuencia; el máximo está en x = 2.82 (por unidad de frecuencia). — La función de Planck y sus dos límites: la equipartición clásica a baja frecuencia y el corte exponencial de Boltzmann a alta frecuencia; el máximo está en $x = 2.82$ (por unidad de frecuencia).

Proposición 26.4 (Ley del desplazamiento de Wien)

La exitancia espectral $M_\lambda$ tiene su máximo en

\lambda_{\max}\,T = \frac{hc}{4.965\,k_B} = 2.90 \times 10^{-3}\,\mathrm{m}\,\mathrm{K} .

Un cuerpo a $300\,\mathrm{K}$ radia sobre todo cerca de $10\,\text{µ}\mathrm{m}$ ; el Sol ( $5800\,\mathrm{K}$ ), cerca de $0.5\,\text{µ}\mathrm{m}$ , en el verde, donde el ojo es más sensible — y no por casualidad.

Demostración. Con $x = hc/\lambda k_BT$ , $M_\lambda \propto x^5/(\eu^x - 1)$ ; $\dd/\dd x = 0$ da $5(\eu^x - 1) = x\eu^x$ , es decir, $x = 5(1 - \eu^{-x})$ , cuya raíz no nula es $x = 4.965$ . ∎

Teorema 26.5 (Ley de Stefan–Boltzmann)

Una superficie negra a $T$ radia, por unidad de área, la potencia total

M = \int_0^\infty M_\lambda\,\dd\lambda = \sigma T^4, \qquad \sigma = \frac{2\pi^5k_B^4}{15h^3c^2} = 5.67 \times 10^{-8}\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}/\mathrm{K}^{4} ;

la densidad de energía de la radiación de equilibrio vale $u = (4\sigma/c)T^4$ y su presión $P = u/3$ . Una superficie gris de emisividad $\varepsilon$ radia $\varepsilon\sigma T^4$ .

Demostración. Intégrese la densidad de Planck: $u = \int u_\nu\,\dd\nu = (8\pi h/c^3)(k_BT/h)^4 \int_0^\infty x^3\,\dd x/(\eu^x - 1)$ y la integral vale $\pi^4/15$ (admitido del análisis): $u = (8\pi^5k_B^4/15h^3c^3)\,T^4$ . La potencia que sale de un agujero de área unidad en la pared de la cavidad es $cu/4$ : la radiación es isótropa, los fotones que van hacia el agujero dentro del ángulo sólido $\dd\Omega$ con el ángulo $\theta$ respecto de su normal llevan el flujo $c\,u\,(\dd\Omega/4\pi)\cos\theta$ , y $\int\cos\theta\,\dd\Omega/4\pi$ sobre el hemisferio exterior vale $1/4$ . De ahí $M = cu/4 = \sigma T^4$ . La presión, como para cualquier gas isótropo de partículas que se mueven a $c$ , vale $u/3$ . ∎

Ejemplo 26.6 (Órdenes de magnitud)

A $300\,\mathrm{K}$ : $\sigma T^4 = 460\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$ — una persona de $1.7\,\mathrm{m}^{2}$ radia $800\,\mathrm{W}$ , pero recibe casi otro tanto de las paredes a $293\,\mathrm{K}$ ; la pérdida neta, $\sigma A(T^4 - T_0^4) \approx 100\,\mathrm{W}$ , es toda la producción metabólica del cuerpo, y por eso hace falta ropa en una habitación que parece templada. La superficie del Sol: $\sigma (5800)^4 = 6.4 \times 10^{7}\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$ , en total $3.9 \times 10^{26}\,\mathrm{W}$ . El filamento de una bombilla a $2800\,\mathrm{K}$ : $3.5 \times 10^{6}\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$ , $60\,\mathrm{W}$ de medio centímetro cuadrado de wolframio. El fondo cósmico, a $2.7\,\mathrm{K}$ : máximo en $1\,\mathrm{mm}$ , $3 \times 10^{-6}\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$ y $400$ fotones por centímetro cúbico del universo.

26.3 Intercambios radiativos

Proposición 26.7 (Intercambio neto y coeficiente radiativo)

Un cuerpo gris pequeño (de emisividad $\varepsilon$ , área $S$ y temperatura $T$ ) dentro de un entorno amplio a $T_0$ pierde la potencia neta

P = \varepsilon\sigma S\,(T^4 - T_0^4) \ \approx\ 4\varepsilon\sigma T_0^3\,S\,(T - T_0) = h_{\text{r}}S(T - T_0) \quad\text{para } |T - T_0| \ll T_0 ,

donde $h_{\text{r}} = 4\varepsilon\sigma T_0^3 \approx 6\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}/\mathrm{K}$ a temperatura ambiente — comparable a la convección natural: en una habitación, la radiación se lleva cerca de la mitad del calor que sale de un cuerpo o de un radiador. Entre dos placas negras paralelas y grandes, la densidad de flujo neta vale $\sigma(T_1^4 - T_2^4)$ ; para placas grises de emisividades $\varepsilon_1$ y $\varepsilon_2$ vale $\sigma(T_1^4 - T_2^4)/(1/\varepsilon_1 + 1/\varepsilon_2 - 1)$ , y cada pantalla de radiación fina interpuesta la divide aún más — el principio del termo y de la lámina dorada de los satélites.

Demostración. El cuerpo emite $\varepsilon\sigma T^4$ y absorbe la fracción $\alpha = \varepsilon$ de la radiación negra $\sigma T_0^4$ que llena el recinto (Kirchhoff). Linealícese $T^4 - T_0^4 \approx 4T_0^3(T - T_0)$ . Para las placas grises, súmense las reflexiones múltiples (una serie geométrica). ∎

Ejemplo 26.8 (Escarcha bajo un cielo despejado y la cámara térmica)

En una noche despejada el cielo radia como un cuerpo a unos $250\,\mathrm{K}$ (la alta atmósfera seca), mientras que el aire junto al suelo está a $278\,\mathrm{K}$ . Una hoja o el techo de un coche ( $\varepsilon = 0.95$ ) equilibra su pérdida radiativa hacia el cielo con la convección del aire ( $h = 5\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}/\mathrm{K}$ ): $\varepsilon\sigma(T^4 - 250^4) = h(278 - T)$ da $T \approx 266\,\mathrm{K}$ — escarcha a $-7\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ en la hierba mientras el termómetro marca $+5$ . Una nube (que radia a $275\,\mathrm{K}$ ) sube $T$ a $277\,\mathrm{K}$ : sin escarcha. Una cámara térmica mide la radiancia cerca de $10\,\text{µ}\mathrm{m}$ y la convierte en temperatura suponiendo $\varepsilon \approx 0.95$ ; un metal pulido ( $\varepsilon = 0.1$ ) refleja sobre todo la habitación y aparece a la temperatura de esta, sea cual sea la suya — de ahí la cinta negra que los termógrafos pegan en las piezas brillantes.

26.4 El Sol, la Tierra y el invernadero

Proposición 26.9 (Constante solar y temperatura efectiva)

El Sol (de radio $R_\odot$ y temperatura superficial $T_\odot$ ) entrega a la distancia $d$ la densidad de flujo $S = \sigma T_\odot^4 (R_\odot/d)^2 = 1361\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$ por encima de la atmósfera terrestre (la constante solar). Un planeta de albedo $A$ (la fracción reflejada) absorbe $(1 - A)S\pi R^2$ y, en régimen estacionario, la radia desde toda su superficie $4\pi R^2$ como un cuerpo negro a su temperatura efectiva

T_{\text{ef}} = \Big(\frac{(1 - A)S}{4\sigma}\Big)^{1/4} = 255\,\mathrm{K} \quad\text{para la Tierra } (A = 0.30) .

Demostración. Conservación de la energía: absorbido $=$ emitido, con la sección eficaz $\pi R^2$ para el haz interceptado y la esfera completa para la emisión (día y noche, repartidos por la rotación y la circulación). ∎

El invernadero de una capa: la luz solar cruza la atmósfera y calienta el suelo; el infrarrojo del suelo lo absorbe la capa, que radia la mitad hacia arriba y la mitad hacia abajo — la superficie debe entonces radiar el doble de lo que recibe del Sol.

Proposición 26.10 (Modelo de invernadero de una capa)

Rodéese el planeta con una capa fina de atmósfera transparente a la luz solar pero que absorbe todo el infrarrojo emitido por la superficie y radia como un cuerpo negro a $T_{\text{atm}}$ tanto hacia arriba como hacia abajo. En régimen estacionario,

T_{\text{atm}} = T_{\text{ef}}, \qquad T_{\text{sup}} = 2^{1/4}\,T_{\text{ef}} = 303\,\mathrm{K} .

Si la capa solo absorbe la fracción $\varepsilon$ del infrarrojo, $T_{\text{sup}}^4 = T_{\text{ef}}^4/(1 - \varepsilon/2)$ ; los $288\,\mathrm{K}$ observados corresponden a $\varepsilon \approx 0.78$ . La superficie está más caliente que la temperatura efectiva porque recibe, además del Sol, el infrarrojo que la atmósfera devuelve hacia abajo — el efecto invernadero, de $33\,\mathrm{K}$ en la Tierra, sin el cual los océanos estarían helados.

Demostración. Balance de la capa: absorbe $\sigma T_{\text{sup}}^4$ y emite $2\sigma T_{\text{atm}}^4$ . Balance del planeta visto desde el espacio: emite $\sigma T_{\text{atm}}^4 = (1 - A)S/4 = \sigma T_{\text{ef}}^4$ . Balance de la superficie: recibe $(1 - A)S/4 + \sigma T_{\text{atm}}^4 = 2\sigma T_{\text{ef}}^4$ y emite $\sigma T_{\text{sup}}^4$ . Para la capa parcial, sustitúyanse el infrarrojo absorbido y el emitido por $\varepsilon\sigma T_{\text{sup}}^4$ y $\varepsilon\sigma T_{\text{atm}}^4$ y déjese escapar directamente la fracción $1 - \varepsilon$ de la radiación de la superficie. ∎

Los espectros del Sol y de la Tierra (cada uno normalizado a su máximo) apenas se solapan: la atmósfera puede ser transparente al uno y opaca al otro. Sombreadas, las principales bandas de absorción infrarroja del vapor de agua y del dióxido de carbono; entre ellas, la ventana de 8\,–13\, µ m por la que la superficie radia directamente al espacio. — Los espectros del Sol y de la Tierra (cada uno normalizado a su máximo) apenas se solapan: la atmósfera puede ser transparente al uno y opaca al otro. Sombreadas, las principales bandas de absorción infrarroja del vapor de agua y del dióxido de carbono; entre ellas, la ventana de $8\,$ – $13\,\text{µ}\mathrm{m}$ por la que la superficie radia directamente al espacio.

Observación 26.11 (Por qué es selectivo el invernadero)

La luz solar tiene su máximo en $0.5\,\text{µ}\mathrm{m}$ y la radiación terrestre en $10\,\text{µ}\mathrm{m}$ : los dos espectros apenas se solapan, así que un gas puede ser transparente al primero y absorbente para el segundo. El nitrógeno y el oxígeno no absorben ninguno; el vapor de agua, el dióxido de carbono, el metano y el ozono tienen bandas de vibración en el infrarrojo y son los gases de efecto invernadero. La ventana entre $8\,$ y $13\,\text{µ}\mathrm{m}$ es por donde mira la cámara térmica, a lo que se refieren los $250\,\mathrm{K}$ del cielo nocturno y lo que aprovechan las pinturas de enfriamiento radiativo. El vidrio de un invernadero real hace lo mismo (transparente a $0.5\,\text{µ}\mathrm{m}$ , opaco a $10\,\text{µ}\mathrm{m}$ ), pero sobre todo bloquea la convección — el nombre es un poco injusto.

Método 26.12 (Estimaciones de radiación)

(1) $\lambda_{\max} = 2900\,\text{µ}\mathrm{m}\,\mathrm{K}/T$ dice dónde está el espectro; (2) $\varepsilon\sigma T^4$ por unidad de área; (3) intercambios: lo emitido menos lo absorbido, linealizado como $h_{\text{r}} = 4\varepsilon\sigma T^3$ cerca de la temperatura ambiente; (4) un planeta: $(1 - A)S/4 = \sigma T_{\text{ef}}^4$ y luego las capas; (5) compárese con la conducción y la convección — la radiación gana a alta temperatura ( $T^4$ ) y en el vacío; (6) cuidado con las emisividades: metales brillantes $0.05\,$ ; pinturas, piel, agua y suelo, $\approx 0.9$ – $0.98$ en el infrarrojo, sea cual sea su color visible.

26.5 Ejercicios

Ejercicio 26.1 ★

$\lambda_{\max}$ y $\sigma T^4$ para: el Sol ( $5800\,\mathrm{K}$ ), un ser humano ( $310\,\mathrm{K}$ ), el filamento de una bombilla ( $2800\,\mathrm{K}$ ), el fondo cósmico ( $2.73\,\mathrm{K}$ ), el nitrógeno líquido ( $77\,\mathrm{K}$ ) y un atizador al rojo ( $900\,\mathrm{K}$ ). ¿Cuáles son visibles?

Solución

Solución de Ejercicio 26.1.

$\lambda_{\max}$ : $0.50\,\text{µ}\mathrm{m}$ , $9.4\,\text{µ}\mathrm{m}$ , $1.04\,\text{µ}\mathrm{m}$ , $1.06\,\mathrm{mm}$ , $38\,\text{µ}\mathrm{m}$ , $3.2\,\text{µ}\mathrm{m}$ ; $\sigma T^4$ : $6.4 \times 10^{7}\,$ , $520\,$ , $3.5 \times 10^{6}\,$ , $3.1 \times 10^{-6}\,$ , $2.0\,$ , $3.7 \times 10^{4}\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$ . Visibles: el Sol y el filamento; el atizador brilla en rojo apagado con la cola de onda corta, una diezmilésima de su potencia.

Ejercicio 26.2 ★

A partir de $T_\odot = 5772\,\mathrm{K}$ , $R_\odot = 6.96 \times 10^{8}\,\mathrm{m}$ , $d = 1.496 \times 10^{11}\,\mathrm{m}$ : la constante solar, la luminosidad del Sol, la potencia que intercepta la Tierra ( $R = 6.37 \times 10^{6}\,\mathrm{m}$ ) y esa misma repartida entre $8 \times 10^9$ personas. Compárese con el consumo mundial de potencia ( $2 \times 10^{13}\,\mathrm{W}$ ).

Solución

Solución de Ejercicio 26.2.

$S = \sigma T_\odot^4(R_\odot/d)^2 = 1360\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$ ; $L = 4\pi d^2S = 3.8 \times 10^{26}\,\mathrm{W}$ ; $\pi R^2S = 1.7 \times 10^{17}\,\mathrm{W}$ ; $2 \times 10^{7}\,\mathrm{W}$ por persona — nueve mil veces el consumo mundial.

Ejercicio 26.3 ★

Una persona: piel a $306\,\mathrm{K}$ , $\varepsilon = 0.98$ , $1.7\,\mathrm{m}^{2}$ , en una habitación a $293\,\mathrm{K}$ . Potencia emitida, potencia absorbida y pérdida neta; el coeficiente radiativo $h_{\text{r}}$ ; compárese con los $100\,\mathrm{W}$ del metabolismo y conclúyase sobre la ropa y sobre una habitación a $20\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ con paredes frías.

Solución

Solución de Ejercicio 26.3.

Emitidos $830\,\mathrm{W}$ , absorbidos $700\,\mathrm{W}$ , neto $130\,\mathrm{W}$ ; $h_{\text{r}} = 4\varepsilon\sigma T_0^3 = 5.6\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}/\mathrm{K}$ . Más que el metabolismo: la ropa lo reduce; unas paredes a $15\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ añaden unos $50\,\mathrm{W}$ de pérdida — se siente frío en aire templado entre paredes frías.

Ejercicio 26.4 ★

Una bombilla de $60\,\mathrm{W}$ : filamento de wolframio a $2800\,\mathrm{K}$ , $\varepsilon = 0.35$ . Área radiante; longitud de un hilo de $50\,\text{µ}\mathrm{m}$ con esa área; cerca del $8\%$ de la potencia es visible: potencia luminosa; y un LED que dé la misma luz con un rendimiento del $30\%$ .

Solución

Solución de Ejercicio 26.4.

$A = P/\varepsilon\sigma T^4 = 49\,\mathrm{mm}^{2}$ ; $\ell = A/\pi d = 31\,\mathrm{cm}$ ; $4.8\,\mathrm{W}$ de luz; un LED de $16\,\mathrm{W}$ .

Ejercicio 26.5 ★★

Los dos límites. (a) Desarróllese la $u_\nu$ de Planck para $h\nu \ll k_BT$ e identifíquese la energía por modo. (b) Muéstrese que la ley de Rayleigh–Jeans da una energía total infinita. (c) A $300\,\mathrm{K}$ , la frecuencia en que $h\nu = k_BT$ ; conclúyase que la radiación térmica de radio y microondas es clásica. (d) En el límite de Wien, interprétese $\eu^{-h\nu/k_BT}$ .

Solución

Solución de Ejercicio 26.5.

(a) $\eu^x - 1 \approx x$ : $u_\nu = (8\pi\nu^2/c^3)\,k_BT$ — $k_BT$ por modo. (b) $\int\nu^2\dd\nu$ diverge. (c) $\nu = k_BT/h = 6 \times 10^{12}\,\mathrm{Hz}$ ( $50\,\text{µ}\mathrm{m}$ ): la radio y las microondas a $300\,\mathrm{K}$ están de lleno en el régimen clásico (el ruido de una resistencia vale $k_BT$ por unidad de ancho de banda). (d) La probabilidad de encontrar excitado el cuanto $h\nu$ a $T$ : un factor de Boltzmann.

Ejercicio 26.6 ★★

Wien. (a) Dedúzcase $x = 5(1 - \eu^{-x})$ y resuélvase numéricamente con tres cifras. (b) Valor de $\lambda_{\max}T$ . (c) Muéstrese que $u_\nu$ tiene su máximo en $h\nu = 2.82\,k_BT$ y que eso no corresponde a $c/\lambda_{\max}$ : ¿por qué no? (d) Temperatura de una estrella cuyo espectro tiene el máximo en $290\,\mathrm{nm}$ ; su color a la vista.

Solución

Solución de Ejercicio 26.6.

(a) $x = 4.965$ . (b) $hc/4.965k_B = 2.90 \times 10^{-3}\,\mathrm{m}\,\mathrm{K}$ . (c) $x^3/(\eu^x - 1)$ tiene su máximo donde $3(1 - \eu^{-x}) = x$ : $2.82$ ; las densidades por unidad de frecuencia y por unidad de longitud de onda son funciones distintas ( $\dd\nu = c\,\dd\lambda/\lambda^2$ ) y sus máximos caen en sitios distintos. (d) $10\,000\,\mathrm{K}$ ; blanco azulado.

Ejercicio 26.7 ★★

Stefan. (a) Realícese la integración de la ley de Planck, dado $\int_0^\infty x^3\dd x/(\eu^x - 1) = \pi^4/15$ , y el valor de $\sigma$ . (b) Justifíquese el factor $c/4$ entre la densidad y la exitancia. (c) Dado $\int_0^\infty x^2\dd x/(\eu^x - 1) = 2.404$ , el número de fotones por unidad de volumen a $T$ y la energía media del fotón en unidades de $k_BT$ . (d) Fotones por centímetro cúbico a $300\,\mathrm{K}$ y a $2.73\,\mathrm{K}$ .

Solución

Solución de Ejercicio 26.7.

(a) $u = (8\pi^5k_B^4/15h^3c^3)T^4$ , $\sigma = cu/4T^4 = 5.67 \times 10^{-8}\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}/\mathrm{K}^{4}$ . (b) La isotropía y la proyección en $\cos\theta$ : $\int\cos\theta\,\dd\Omega/4\pi = 1/4$ sobre un hemisferio. (c) $n = 8\pi \times 2.404\,(k_BT/hc)^3 = 60.4\,(k_BT/hc)^3$ ; energía media $(\pi^4/15)/2.404 = 2.70\,k_BT$ . (d) $5 \times 10^8$ y $400$ por centímetro cúbico.

Ejercicio 26.8 ★★

Pantallas. Dos placas negras grandes a $T_1$ y $T_2$ . (a) Flujo neto. (b) Se coloca entre ellas una lámina negra fina: su temperatura y el nuevo flujo. (c) Con $n$ láminas. (d) Placas grises de emisividad $\varepsilon$ : muéstrese que el flujo vale $\sigma(T_1^4 - T_2^4)/(2/\varepsilon - 1)$ y calcúlese para superficies pulidas ( $\varepsilon = 0.05$ ) a $300\,\mathrm{K}$ y $77\,\mathrm{K}$ — el termo.

Solución

Solución de Ejercicio 26.8.

(a) $\sigma(T_1^4 - T_2^4)$ . (b) $T_{\text{lam}}^4 = (T_1^4 + T_2^4)/2$ ; la mitad. (c) $1/(n + 1)$ . (d) Sumando las reflexiones, $\sigma(T_1^4 - T_2^4)/(2/\varepsilon - 1)$ ; con $\varepsilon = 0.05$ : $460\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}/39 = 12\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$ — un termo de $0.05\,\mathrm{m}^{2}$ pierde $0.6\,\mathrm{W}$ y evapora un cuarto de kilogramo de nitrógeno al día.

Ejercicio 26.9 ★★

Escarcha nocturna. Superficie con $\varepsilon = 0.95$ , cielo a $250\,\mathrm{K}$ , aire a $278\,\mathrm{K}$ con $h = 5\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}/\mathrm{K}$ . (a) Escríbase el balance y despéjese la temperatura de la superficie. (b) Bajo una nube a $275\,\mathrm{K}$ . (c) ¿Por qué impide el viento la escarcha? (d) ¿Por qué se libra de ella un coche aparcado bajo un árbol?

Solución

Solución de Ejercicio 26.9.

(a) $\varepsilon\sigma(T^4 - 250^4) = h(278 - T)$ : $T \approx 266\,\mathrm{K}$ . (b) $277\,\mathrm{K}$ . (c) Una $h$ mayor sujeta la superficie al aire. (d) La copa del árbol a $278\,\mathrm{K}$ sustituye al cielo a $250\,\mathrm{K}$ .

Ejercicio 26.10 ★★★

Planetas. (a) Temperaturas efectivas de Venus ( $S = 2600\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$ , $A = 0.75$ ), la Tierra y Marte ( $S = 590\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$ , $A = 0.25$ ). (b) Sus temperaturas superficiales son $737\,\mathrm{K}$ , $288\,\mathrm{K}$ y $215\,\mathrm{K}$ : calentamiento por invernadero de cada uno. (c) En el modelo de $n$ capas opacas, muéstrese que $T_{\text{sup}}^4 = (n + 1)T_{\text{ef}}^4$ ; ¿cuántas capas para Venus? (d) La Luna: $A = 0.12$ , sin atmósfera y de rotación lenta — temperatura del punto subsolar, y por qué la cara nocturna cae a $100\,\mathrm{K}$ .

Solución

Solución de Ejercicio 26.10.

(a) $231\,\mathrm{K}$ , $255\,\mathrm{K}$ , $210\,\mathrm{K}$ . (b) $506\,\mathrm{K}$ , $33\,\mathrm{K}$ , $5\,\mathrm{K}$ . (c) Cada capa opaca radia hacia arriba y hacia abajo; los balances dan $T_k^4 = (k + 1)T_{\text{ef}}^4$ desde arriba: $n \approx 100$ para Venus. (d) $((1 - A)S/\sigma)^{1/4} = 381\,\mathrm{K}$ ; sin atmósfera nada lleva el calor a la cara nocturna y el regolito almacena poco: la superficie radia el calor del día en un día aproximadamente y se asienta cerca de $100\,\mathrm{K}$ .

Ejercicio 26.11 ★★★

Sensibilidad climática sin realimentaciones. (a) Linealícese el balance planetario: un pequeño forzamiento adicional $\Delta F$ (en $\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$ ) en lo alto de la atmósfera eleva la temperatura efectiva en $\Delta T = \Delta F/4\sigma T_{\text{ef}}^3$ . Calcúlese $4\sigma T_{\text{ef}}^3$ . (b) Doblar el dióxido de carbono es un forzamiento de unos $3.7\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$ : $\Delta T$ en este modelo. (c) La capa de mezcla del océano ( $50\,\mathrm{m}$ de agua) almacena el calor: constante de tiempo de la respuesta. (d) ¿Por qué hacen las realimentaciones del vapor de agua y del albedo del hielo que la sensibilidad real sea mayor que la de (b)?

Solución

Solución de Ejercicio 26.11.

(a) $4\sigma T_{\text{ef}}^3 = 3.8\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}/\mathrm{K}$ . (b) $1.0\,\mathrm{K}$ . (c) $C = 2.1 \times 10^{8}\,\mathrm{J}/\mathrm{m}^{2}/\mathrm{K}$ , $\tau = C/4\sigma T_{\text{ef}}^3 \approx 5.6 \times 10^{7}\,\mathrm{s}$ , dos años. (d) Un aire más cálido retiene más vapor de agua (un gas de efecto invernadero) y funde el hielo (menor albedo): ambas cosas amplifican el calentamiento inicial.

Ejercicio 26.12 ★★★

Pirometría. (a) En el límite de Wien, muéstrese que el cociente de las radiancias en dos longitudes de onda, $\lambda_1$ y $\lambda_2$ , da $T$ independientemente de una emisividad gris. (b) Una barra de acero: $M_{0.65}/M_{0.9} = 0.10$ : temperatura. (c) Una cámara térmica a $10\,\text{µ}\mathrm{m}$ supone $\varepsilon = 0.95$ ; mira aluminio pulido ( $\varepsilon = 0.1$ ) a $350\,\mathrm{K}$ en una habitación a $293\,\mathrm{K}$ : en régimen linealizado, ¿qué temperatura indica? (d) ¿Por qué una superficie pintada junto al aluminio, a los mismos $350\,\mathrm{K}$ , se lee correctamente?

Solución

Solución de Ejercicio 26.12.

(a)

\frac{M_1}{M_2} = \Big(\frac{\lambda_2}{\lambda_1}\Big)^5\exp\Big[-\frac{hc}{k_BT}\Big(\frac{1}{\lambda_1} - \frac{1}{\lambda_2}\Big)\Big] :

$\varepsilon$ se cancela. (b) $T = 14\,388\,\text{µ}\mathrm{m}\,\mathrm{K} \times 0.427/(5\ln 1.385 + \ln 10) = 1570\,\mathrm{K}$ . (c) Recibido $\propto 0.1 \times 350 + 0.9 \times 293 = 299$ ; indicado $(299 - 0.05 \times 293)/0.95 \approx 299\,\mathrm{K}$ : se pierde los $350\,\mathrm{K}$ . (d) Su emisividad es la que se supone.

Los dos cuerpos negros de este capítulo: el Sol, a 5800\, K, visto por el Solar Dynamics Observatory en el ultravioleta extremo, y la Tierra, a 288\, K, fotografiada por la tripulación del Apolo 17 — con máximos en 0.5\, µ m y en 10\, µ m (NASA). — Los dos cuerpos negros de este capítulo: el Sol, a $5800\,\mathrm{K}$ , visto por el Solar Dynamics Observatory en el ultravioleta extremo, y la Tierra, a $288\,\mathrm{K}$ , fotografiada por la tripulación del Apolo 17 — con máximos en $0.5\,\text{µ}\mathrm{m}$ y en $10\,\text{µ}\mathrm{m}$ (NASA).

26.6 Problema: el balance energético de la Tierra y la bombilla incandescente

Problema 26.1

Problema de fin de semana — cuerpos negros del Sol al filamento

Datos: $\sigma = 5.67 \times 10^{-8}\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}/\mathrm{K}^{4}$ , $\lambda_{\max}T = 2.90 \times 10^{-3}\,\mathrm{m}\,\mathrm{K}$ , $h = 6.63 \times 10^{-34}\,\mathrm{J}\,\mathrm{s}$ , $k_B = 1.38 \times 10^{-23}\,\mathrm{J}/\mathrm{K}$ , $c = 3.00 \times 10^{8}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; Sol: $R_\odot = 6.96 \times 10^{8}\,\mathrm{m}$ , $d = 1.50 \times 10^{11}\,\mathrm{m}$ ; Tierra: $R = 6.37 \times 10^{6}\,\mathrm{m}$ , albedo $0.30$ .

Parte I — El Sol como cuerpo negro.

El espectro solar tiene su máximo en $0.50\,\text{µ}\mathrm{m}$ : temperatura superficial.
Exitancia de la superficie y luminosidad total.
Constante solar en la Tierra; densidad de energía y presión de la luz solar allí.
Energía media del fotón ( $\approx 2.7\,k_BT$ ) y número de fotones solares por segundo y por metro cuadrado en la Tierra.
El Sol lleva radiando a este ritmo $4.5 \times 10^9$ años: energía emitida; compárese con $Mc^2$ para $M = 2 \times 10^{30}\,\mathrm{kg}$ .

Parte II — La Tierra sin atmósfera.

Potencia absorbida por la Tierra; temperatura efectiva.
¿Por qué divide el balance entre $4$ ? ¿Cuál sería la temperatura en el punto subsolar de una Tierra sin rotación ni aire ( $A = 0.30$ )?
La Luna ( $A = 0.12$ ): temperatura subsolar; y por qué su cara nocturna baja a $100\,\mathrm{K}$ (piénsese en el calor almacenado en el regolito durante el día de dos semanas, $1 \times 10^{6}\,\mathrm{J}/\mathrm{m}^{2}/\mathrm{K}$ efectivos).
Longitud de onda del máximo de emisión de la Tierra; compárese con la del Sol.
Si más hielo o más nubes elevaran el albedo a $0.35$ , ¿cuánto bajaría la temperatura efectiva?

Parte III — El invernadero.

Escríbanse los tres balances (espacio, capa, superficie) del modelo de una capa y obténgase $T_{\text{sup}} = 2^{1/4}T_{\text{ef}}$ .
Con una capa que absorbe la fracción $\varepsilon$ del infrarrojo: $T_{\text{sup}}(\varepsilon)$ ; el valor de $\varepsilon$ que da $288\,\mathrm{K}$ .
Qué gases absorben, cuáles no y en qué banda de longitudes de onda; ¿qué es la ventana atmosférica?
El infrarrojo que la atmósfera devuelve al suelo, en $\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$ , en el modelo con $\varepsilon = 0.78$ ; compárese con la luz solar absorbida.
Un forzamiento de $3.7\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$ (dióxido de carbono duplicado): cambio de temperatura $\Delta T = \Delta F/4\sigma T_{\text{ef}}^3$ sin realimentaciones.
Capacidad calorífica de una capa de mezcla oceánica de $50\,\mathrm{m}$ por metro cuadrado y constante de tiempo de la respuesta.
¿Por qué enfrían las nubes (albedo) y calientan a la vez (infrarrojo) la superficie? ¿Qué efecto gana de noche?

Parte IV — La bombilla incandescente. Una bombilla de $60\,\mathrm{W}$ tiene un filamento de wolframio a $2800\,\mathrm{K}$ , $\varepsilon = 0.35$ ; la fracción de la potencia de un cuerpo negro que cae en el visible ( $0.4$ – $0.7\,\text{µ}\mathrm{m}$ ) vale $0.08$ a $2800\,\mathrm{K}$ y $0.14$ a $3200\,\mathrm{K}$ .

Área radiante del filamento; longitud de un hilo de $50\,\text{µ}\mathrm{m}$ que la tenga; ¿por qué está arrollado?
Longitud de onda del máximo; potencia visible; rendimiento luminoso.
Resistencia del filamento en funcionamiento a $230\,\mathrm{V}$ ; la resistividad del wolframio es unas diez veces menor a temperatura ambiente: corriente al encender y una consecuencia.
A $3200\,\mathrm{K}$ : área necesaria para los mismos $60\,\mathrm{W}$ y potencia visible; ¿por qué no hacer funcionar toda bombilla a $3200\,\mathrm{K}$ (el ritmo de evaporación del wolframio se duplica aproximadamente cada $50\,\mathrm{K}$ )?
¿Qué hace el ciclo del halógeno y por qué permite un filamento más caliente?
¿A dónde va el resto de los $60\,\mathrm{W}$ y por qué alcanza el vidrio de la bombilla $150\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ ?
Tiempo de enfriamiento del filamento tras apagarlo: estímese a partir de su masa ( $20\,\mathrm{mg}$ , $c = 140\,\mathrm{J}/\mathrm{kg}/\mathrm{K}$ ) y de su potencia radiada.
Resúmase: qué fija la temperatura de un cuerpo negro y qué tienen en común el filamento, el Sol y la Tierra.

Solución

Solución de Problema 26.1.

1. $5800\,\mathrm{K}$ .

2. $6.4 \times 10^{7}\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$ ; $3.9 \times 10^{26}\,\mathrm{W}$ .

3. $L/4\pi d^2 = 1.37 \times 10^{3}\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$ ; $u = S/c = 4.6 \times 10^{-6}\,\mathrm{J}/\mathrm{m}^{3}$ ; $P = S/c = 4.6 \times 10^{-6}\,\mathrm{Pa}$ si se absorbe, el doble si se refleja.

4. $2.7k_BT = 2.2 \times 10^{-19}\,\mathrm{J}$ ( $1.35\,\mathrm{eV}$ ); $6 \times 10^{21}$ fotones por segundo y por metro cuadrado.

5. $3.9 \times 10^{26} \times 1.4 \times 10^{17} = 5.5 \times 10^{43}\,\mathrm{J}$ ; $Mc^2 = 1.8 \times 10^{47}\,\mathrm{J}$ : tres diezmilésimas de su masa.

6. $1.2 \times 10^{17}\,\mathrm{W}$ ; $T_{\text{ef}} = 255\,\mathrm{K}$ .

7. Interceptada en $\pi R^2$ y emitida desde $4\pi R^2$ gracias a la rotación y a los vientos; solo en el punto subsolar: $((1 - A)S/\sigma)^{1/4} = 360\,\mathrm{K}$ .

8. $381\,\mathrm{K}$ ; de noche el calor almacenado ( $\sim C\Delta T$ ) se drena por radiación con la constante de tiempo $C/4\sigma T^3 \approx 1\,\mathrm{d}$ , corta frente a las dos semanas de oscuridad: el suelo cae hasta donde su radiación iguala el hilo de calor que llega de abajo, $100\,\mathrm{K}$ .

9. $10\,\text{µ}\mathrm{m}$ , veinte veces la del Sol.

10. $(0.65/0.70)^{1/4} = 0.982$ : $4.7\,\mathrm{K}$ menos, $250\,\mathrm{K}$ .

11. Espacio: $\sigma T_{\text{atm}}^4 = \sigma T_{\text{ef}}^4$ ; capa: $\sigma T_{\text{sup}}^4 = 2\sigma T_{\text{atm}}^4$ ; superficie: $\sigma T_{\text{sup}}^4 = \sigma T_{\text{ef}}^4 + \sigma T_{\text{atm}}^4$ . De ahí $T_{\text{sup}} = 2^{1/4}T_{\text{ef}} = 303\,\mathrm{K}$ .

12. $T_{\text{sup}}^4 = T_{\text{ef}}^4/(1 - \varepsilon/2)$ ; $(288/255)^4 = 1.63$ da $\varepsilon = 0.77$ .

13. El vapor de agua, el dióxido de carbono, el metano y el ozono absorben en el infrarrojo (bandas de vibración: H $_2$ O en torno a $6\,\text{µ}\mathrm{m}$ y más allá de $17\,\text{µ}\mathrm{m}$ , CO $_2$ en $15\,\text{µ}\mathrm{m}$ ); N $_2$ y O $_2$ no (sin dipolo); la ventana es de $8\,$ – $13\,\text{µ}\mathrm{m}$ .

14. $T_{\text{atm}}^4 = T_{\text{sup}}^4/2$ : $\varepsilon\sigma T_{\text{atm}}^4 \approx 150\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$ , frente a los $238\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$ de luz solar absorbida (una atmósfera de varias capas devuelve más, unos $330\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$ ).

15. $3.7/3.8 \approx 1\,\mathrm{K}$ .

16. $2.1 \times 10^{8}\,\mathrm{J}/\mathrm{m}^{2}/\mathrm{K}$ ; $\tau \approx 5.6 \times 10^{7}\,\mathrm{s}$ , dos años.

17. Reflejan la luz solar y radian infrarrojo hacia abajo; de noche solo actúa lo segundo: las noches nubladas son más cálidas.

18. $49\,\mathrm{mm}^{2}$ ; $31\,\mathrm{cm}$ ; arrollado para caber y para reducir las pérdidas por convección hacia el gas de relleno.

19. $1.04\,\text{µ}\mathrm{m}$ ; $4.8\,\mathrm{W}$ ; el $8\%$ .

20. $R = V^2/P = 880\,\Omega$ ; en frío $88\,\Omega$ : $2.6\,\mathrm{A}$ en vez de $0.26\,\mathrm{A}$ — las bombillas se funden al encenderlas.

21. $49 \times (2800/3200)^4 = 29\,\mathrm{mm}^{2}$ ; $8.4\,\mathrm{W}$ visibles; ocho duplicaciones de la evaporación, una vida $250$ veces más corta — horas.

22. El wolframio evaporado se une al halógeno y vuelve al filamento caliente en vez de ennegrecer el vidrio: un filamento más caliente con una vida normal, en una ampolla pequeña de cuarzo.

23. $55\,\mathrm{W}$ de infrarrojo y de conducción por el gas; el vidrio absorbe parte del infrarrojo.

24. $C = 2.8 \times 10^{-3}\,\mathrm{J}/\mathrm{K}$ ; con $P \propto T^4$ , el tiempo que tarda $T$ en reducirse a la mitad vale $7CT_0/3P \approx 0.3\,\mathrm{s}$ — y el brillo sigue a la red con un retraso de $0.04\,\mathrm{s}$ , por lo que apenas parpadea.

25. La temperatura fija la forma y el máximo del espectro ( $\lambda_{\max}T$ ) y el total ( $\sigma T^4$ ); filamento, Sol y Tierra son tres cuerpos negros, a $2800\,$ , $5800\,$ y $288\,\mathrm{K}$ , cada uno equilibrando lo que recibe con $\sigma T^4$ .

Términos definidos en este capítulo

Radiación térmica, absortividad, cuerpo negro

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