Física universitaria — segundo año · Bachelor Year 2

4Flujos viscosos

Inclínese un tarro de miel y se vierte en una cinta lenta y espesa; inclínese uno de agua y se ha ido. Arrástrese una cuchara por cada uno: la miel resiste, y sigue resistiendo a cualquier velocidad; el agua apenas se entera hasta que uno se mueve deprisa, y entonces forma remolinos. La diferencia es la viscosidad — el rozamiento interno de un fluido — y la pugna entre viscosidad e inercia, resumida en un solo número, el de Reynolds, decide si un flujo repta en capas ordenadas o se derrumba en turbulencia. Este capítulo añade la fuerza viscosa a la ecuación de Euler, resuelve los dos flujos laminares que todo ingeniero utiliza y explica por qué, a número de Reynolds elevado, la viscosidad se esconde en una capa delgada junto a la pared y aun así le cuesta a todo coche, barco y avión la mayor parte de su combustible.

La miel se vierte en una cinta fina y regular que se enrosca al llegar: una viscosidad diez mil veces la del agua vuelve irrelevante la inercia — un flujo reptante.

4.1 La viscosidad y la ecuación de Navier–Stokes

Definición 4.1 (Viscosidad newtoniana)

En un flujo plano de cizalla $\vect v = v_x(y)\,\vect e_x$ , el fluido situado por encima de una superficie $y =$ const. ejerce sobre el que está por debajo (a través de un elemento de superficie $\dd S$ ) la fuerza tangencial

\dd\vect F = \eta\,\frac{\dd v_x}{\dd y}\,\dd S\;\vect e_x ,

arrastrando hacia delante a la capa más lenta y siendo frenado a cambio. El esfuerzo cortante es $\tau = \eta\,\dd v_x/\dd y$ ; el coeficiente $\eta$ (unidad $\mathrm{Pa}\,\mathrm{s}$ ) es la viscosidad dinámica del fluido, y $\nu = \eta/\rho$ ( $\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$ ) su viscosidad cinemática. Un fluido cuyo $\eta$ no depende de la velocidad de cizalla es newtoniano: el agua, el aire, los aceites, el alcohol; la sangre, la pintura, el kétchup y los polímeros fundidos no lo son. Órdenes de magnitud a $20{}^{\circ}\mathrm{C}$ : aire $\eta = 1.8 \times 10^{-5}\,\mathrm{Pa}\,\mathrm{s}$ ( $\nu = 1.5 \times 10^{-5}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$ ), agua $1.0 \times 10^{-3}\,\mathrm{Pa}\,\mathrm{s}$ ( $\nu = 1.0 \times 10^{-6}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$ ), aceite de oliva $0.08\,\mathrm{Pa}\,\mathrm{s}$ , glicerina $1.5\,\mathrm{Pa}\,\mathrm{s}$ , miel $\sim10\,\mathrm{Pa}\,\mathrm{s}$ . Los líquidos se vuelven más fluidos al calentarse; los gases, más espesos.

Proposición 4.2 (Densidad de fuerza viscosa; condición de adherencia)

En el flujo plano de cizalla, la fuerza viscosa neta sobre una lámina de fluido comprendida entre $y$ e $y + \dd y$ vale, por unidad de volumen, $\eta\,\dd^2v_x/\dd y^2$ : la viscosidad actúa como una densidad de fuerza volumétrica $\eta\,\Delta\vect v$ (el laplaciano tomado componente a componente), resultado válido para cualquier flujo incompresible. En una pared sólida el fluido se adhiere: su velocidad iguala a la de la pared (la condición de adherencia), y por eso el polvo se queda en el aspa de un ventilador y una pared siente un arrastre viscoso.

Demostración. Por arriba tira de la lámina $\eta\,v_x'(y + \dd y)\dd S$ y por abajo $-\eta\,v_x'(y)\dd S$ : en total $\eta v_x''\,\dd y\,\dd S$ . La forma general se admite (se obtiene escribiendo el esfuerzo como una función lineal simétrica de los gradientes de velocidad). La condición de adherencia es experimental. ∎

Teorema 4.3 (Ecuación de Navier–Stokes)

Un fluido newtoniano incompresible obedece

\rho\Bigl(\frac{\partial\vect v}{\partial t} + (\vect v\cdot\operatorname{\vect{grad}}) \vect v\Bigr) = -\operatorname{\vect{grad}}P + \rho\vect g + \eta\,\Delta\vect v , \qquad \operatorname{div}\vect v = 0 ,

con la condición de adherencia en toda pared. La ecuación de Euler es el caso $\eta = 0$ .

Demostración. Admitido a este nivel. ∎

A la izquierda, flujo plano de Couette entre una placa fija y una placa que se mueve a U: perfil lineal, el mismo esfuerzo cortante sobre cada capa. A la derecha, las fuerzas viscosas sobre una lámina de fluido; se cancelan salvo que el perfil de velocidades sea curvo. — A la izquierda, flujo plano de Couette entre una placa fija y una placa que se mueve a $U$ : perfil lineal, el mismo esfuerzo cortante sobre cada capa. A la derecha, las fuerzas viscosas sobre una lámina de fluido; se cancelan salvo que el perfil de velocidades sea curvo.

Ejemplo 4.4 (Esfuerzo cortante sobre una mesa)

Una película de aceite de $0.1\,\mathrm{mm}$ ( $\eta = 0.1\,\mathrm{Pa}\,\mathrm{s}$ ) entre una placa y una mesa, con la placa deslizando a $1\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ : $\tau = \eta U/h = 1\,\mathrm{kPa}$ , una fuerza de $100\,\mathrm{N}$ sobre una décima de metro cuadrado — el principio del cojinete lubricado, donde el arrastre viscoso sustituye a un rozamiento seco cien veces mayor. Miel sobre una cuchara, $10\,\mathrm{Pa}\,\mathrm{s}$ , $1\,\mathrm{mm}$ de espesor, escurriendo a $1\,\mathrm{mm}/\mathrm{s}$ : $\tau = 10\,\mathrm{Pa}$ , exactamente el peso de un milímetro de miel por unidad de área — por eso escurre a esa velocidad.

4.2 El número de Reynolds

Definición 4.5 (Número de Reynolds)

Para un flujo de celeridad característica $U$ y longitud $L$ , el número de Reynolds

\mathrm{Re} = \frac{\rho UL}{\eta} = \frac{UL}{\nu}

es el cociente de los órdenes de magnitud del término inercial $\rho(\vect v\cdot\operatorname{\vect{grad}})\vect v \sim \rho U^2/L$ y del término viscoso $\eta\Delta\vect v \sim \eta U/L^2$ en la ecuación de Navier–Stokes. Para $\mathrm{Re} \ll 1$ la inercia es despreciable y el flujo es reptante (viscoso, reversible, suave); para $\mathrm{Re} \gg 1$ la viscosidad es despreciable salvo cerca de las paredes y el flujo es el de un fluido perfecto — hasta que, más allá de un umbral del orden de $10^3$ (de $2000$ a $3000$ en una tubería, basado en el diámetro), se vuelve turbulento: no estacionario, caótico, lleno de remolinos de todos los tamaños. Entre ambos extremos, un flujo es laminar: estacionario y en capas.

Ejemplo 4.6 (Números de Reynolds de flujos cotidianos)

Una bacteria ( $1\,\text{µ}\mathrm{m}$ , $30\,\text{µ}\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , en agua): $\mathrm{Re} = 3 \times 10^{-5}$ — vive en un mundo sin inercia, donde detener su flagelo la para en un diámetro atómico. La sangre en un capilar: $10^{-3}$ ; un grano de polvo que cae: $10^{-2}$ ; un pez de colores: $10^3$ ; un nadador: $10^6$ ; un coche a $30\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ( $4\,\mathrm{m}$ ): $8 \times 10^6$ ; un avión de línea: $10^8$ ; la corriente del Golfo: $10^{11}$ . Dos flujos con la misma geometría y el mismo número de Reynolds son semejantes: eso es lo que permite ensayar en un canal un modelo de barco de $1\,\mathrm{m}$ , o un avión en un túnel de viento.

4.3 Flujos laminares: Couette, Poiseuille, Stokes

Proposición 4.7 (Flujo de Poiseuille en una tubería)

En una tubería cilíndrica horizontal de radio $R$ y longitud $L$ , impulsado por la diferencia de presión $\Delta P = P_1 - P_2$ entre sus extremos, el flujo laminar estacionario es

v(r) = \frac{\Delta P}{4\eta L}\,(R^2 - r^2) , \qquad D_V = \frac{\pi R^4}{8\eta L}\,\Delta P :

un perfil parabólico, máximo en el eje, con celeridad media $\langle v\rangle = v_{\max}/2$ . El caudal es proporcional a la caída de presión (ley de Poiseuille), con la resistencia hidráulica $R_h = \Delta P/D_V = 8\eta L/\pi R^4$ — y a la cuarta potencia del radio. El esfuerzo cortante en la pared vale $\tau_w = \Delta P\,R/2L = 4\eta\langle v \rangle/R$ . Válido mientras $\mathrm{Re} = 2R\langle v\rangle/\nu \lesssim 2000$ .

Demostración. Estacionario, $\vect v = v(r)\vect e_z$ (de modo que el término convectivo se anula: $\vect v \cdot\operatorname{\vect{grad}}$ actúa según $z$ , dirección en la que nada varía). Navier–Stokes según $z$ : $0 = -\partial_zP + \eta\Delta v$ , y radialmente $\partial_rP = 0$ : $P$ depende solo de $z$ y $\Delta v$ solo de $r$ , luego ambos miembros valen una constante, $\partial_zP = -\Delta P/L$ . En coordenadas cilíndricas $\Delta v = \frac1r\frac{\dd}{\dd r}\bigl(r\frac{\dd v}{\dd r}\bigr)$ (enunciado; es el balance de fuerzas viscosas sobre una corteza cilíndrica, $2\pi rL\,\eta v'$ en $r$ y en $r + \dd r$ ). Integrando dos veces con $v$ finita en el eje y $v(R) = 0$ se obtiene la parábola; $D_V = \int_0^Rv\,2\pi r\,\dd r$ . El esfuerzo en la pared vale $-\eta v'(R)$ ; de forma equivalente, la fuerza de presión $\pi R^2\Delta P$ equilibra el rozamiento en la pared $2\pi RL\tau_w$ . ∎

A la izquierda, el flujo de Poiseuille: el perfil parabólico en una tubería, impulsado por la caída de presión P_1 - P_2. A la derecha, el balance de fuerzas sobre una corteza cilíndrica de fluido: la diferencia de presión entre sus bases se equilibra con los esfuerzos viscosos sobre sus superficies interior y exterior. — A la izquierda, el flujo de Poiseuille: el perfil parabólico en una tubería, impulsado por la caída de presión $P_1 - P_2$ . A la derecha, el balance de fuerzas sobre una corteza cilíndrica de fluido: la diferencia de presión entre sus bases se equilibra con los esfuerzos viscosos sobre sus superficies interior y exterior.

Ejemplo 4.8 (La cuarta potencia)

Una aguja de jeringuilla de $0.4\,\mathrm{mm}$ de diámetro interior y $3\,\mathrm{cm}$ de longitud, con agua y una presión de $20\,\mathrm{kPa}$ hecha con el pulgar: $D_V = \pi(2 \times 10^{-4})^4 \times 2 \times 10^4/(8 \times 10^{-3} \times 0.03) = 0.42\,\mathrm{mL}/\mathrm{s}$ ; una aguja del doble de ancho da dieciséis veces más. Una arteria estrechada por una placa hasta el $70\%$ de su radio ofrece $(1/0.7)^4 = 4.2$ veces su resistencia: el cuerpo compensa subiendo la presión aguas arriba, y en parte por eso van juntas la aterosclerosis y la hipertensión.

Proposición 4.9 (La fuerza de Stokes)

Una esfera de radio $R$ que se mueve a la celeridad $v$ en un fluido con $\mathrm{Re} = 2\rho vR/\eta \ll 1$ sufre la resistencia

F = 6\pi\eta Rv ,

opuesta a su velocidad. Una esfera de densidad $\rho_s$ que cae en un fluido de densidad $\rho$ alcanza la velocidad límite $v_\infty = \dfrac{2R^2(\rho_s - \rho)g}{9\eta}$ — la ley de la sedimentación, de las centrifugadoras y de las gotas de aceite de Millikan.

Demostración. La expresión se admite (es la solución exacta de las ecuaciones del flujo reptante en torno a una esfera: dos tercios de rozamiento viscoso y un tercio de presión). Velocidad límite: el peso menos el empuje, $\tfrac43\pi R^3(\rho_s - \rho)g$ , iguala a la resistencia; compruébese siempre después que $\mathrm{Re} \ll 1$ . ∎

Ejemplo 4.10 (Niebla, lluvia y polvo)

Una gotita de niebla de $10\,\text{µ}\mathrm{m}$ de diámetro cae en el aire a $2 \times (5 \times 10^{-6})^2 \times 10^4/(9 \times 1.8 \times 10^{-5}) = 3\,\mathrm{mm}/\mathrm{s}$ ( $\mathrm{Re} = 2 \times 10^{-3}$ ): la más leve corriente ascendente la mantiene en el aire, y por eso flotan las nubes. Una gota de lluvia de $1\,\mathrm{mm}$ daría $30\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ y $\mathrm{Re} \approx 2000$ : Stokes ya no vale, y el arrastre cuadrático de la sección siguiente da los $4\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ observados. Un grano de polvo de $10\,\text{µ}\mathrm{m}$ ( $\rho_s = 2500\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ ) sedimenta a $8\,\mathrm{mm}/\mathrm{s}$ , un metro en dos minutos — el polvo más fino queda en suspensión durante horas.

4.4 Números de Reynolds elevados: capas límite y resistencia

Proposición 4.11 (La capa límite)

A número de Reynolds elevado, el flujo en torno a un cuerpo es el de un fluido perfecto en todas partes salvo en una delgada capa límite a lo largo de la pared, en la que la velocidad cae desde su valor exterior $U$ hasta cero (adherencia). A lo largo de una placa plana su espesor crece como

\delta(x) \sim \sqrt{\frac{\nu x}{U}} = \frac{x}{\sqrt{\mathrm{Re}_x}} , \qquad \mathrm{Re}_x = \frac{Ux}{\nu} ,

con $x$ la distancia al borde de ataque; la propia capa se vuelve turbulenta más allá de $\mathrm{Re}_x \sim 5 \times 10^5$ . El rozamiento viscoso en la pared y el desprendimiento de la capa tras un cuerpo romo (que deja una estela turbulenta de baja presión) son las dos fuentes de resistencia.

Demostración. Orden de magnitud: una partícula de fluido emplea el tiempo $x/U$ en recorrer la placa, y durante ese tiempo la influencia de la pared difunde hacia el fluido — el término viscoso $\nu\,\partial^2v/\partial y^2$ es una difusión de cantidad de movimiento con difusividad $\nu$ , que alcanza la distancia $\sqrt{\nu t}$ en el tiempo $t$ (Capítulo 24). Por tanto $\delta \sim \sqrt{\nu x /U}$ . La teoría completa (de Prandtl) se admite. ∎

Proposición 4.12 (Resistencia a número de Reynolds elevado)

La resistencia que sufre un cuerpo de área frontal $S$ que se mueve a $v$ en un fluido se escribe

F = \tfrac12\rho v^2\,S\,C_x ,

donde el coeficiente de resistencia $C_x$ depende de la forma y de $\mathrm{Re}$ . Para una esfera, $C_x = 24/\mathrm{Re}$ si $\mathrm{Re} \ll 1$ (Stokes, con $\mathrm{Re}$ basado en el diámetro), luego unos $0.4$ – $0.5$ , casi constante, desde $\mathrm{Re} \approx 10^3$ hasta $2 \times 10^5$ , donde cae bruscamente hasta unos $0.1$ (la crisis de la resistencia: la capa límite se vuelve turbulenta, se adhiere más tiempo a la superficie y la estela se estrecha — los hoyuelos de una pelota de golf la provocan antes). Los cuerpos fuselados tienen $C_x \approx 0.05$ ; un coche, $0.3$ ; un ciclista, $0.9$ ; una placa plana enfrentada a la corriente, $1.2$ . La potencia necesaria para moverse a $v$ vale $Fv \propto v^3$ .

Demostración. Admitido a este nivel. ∎

A la izquierda, el coeficiente de resistencia de una esfera frente al número de Reynolds (escalas logarítmicas): la ley de Stokes a Re bajo, una meseta cerca de 0.45 y la crisis de la resistencia cerca de Re = 2 × 105. A la derecha, la capa límite engrosándose a lo largo de una placa plana; fuera de ella el flujo es el de un fluido perfecto. — A la izquierda, el coeficiente de resistencia de una esfera frente al número de Reynolds (escalas logarítmicas): la ley de Stokes a $\mathrm{Re}$ bajo, una meseta cerca de $0.45$ y la crisis de la resistencia cerca de $\mathrm{Re} = 2 \times 10^5$ . A la derecha, la capa límite engrosándose a lo largo de una placa plana; fuera de ella el flujo es el de un fluido perfecto.

Ejemplo 4.13 (Un ciclista, un coche)

Un ciclista ( $SC_x = 0.35\,\mathrm{m}^{2}$ ) a $10\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ : $F = 0.5 \times 1.2 \times 100 \times 0.35 = 21\,\mathrm{N}$ , $P = 210\,\mathrm{W}$ — un esfuerzo sostenido; a $15\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ( $54\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ ) harían falta $710\,\mathrm{W}$ , y por eso los esprínteres van a rueda. Un coche ( $SC_x = 0.7\,\mathrm{m}^{2}$ ) a $130\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ : $550\,\mathrm{N}$ , $20\,\mathrm{kW}$ solo contra el aire — el consumo en autopista es sobre todo resistencia aerodinámica.

Observación 4.14 (Tensión superficial)

Una segunda fuerza vive en las fronteras de un líquido: su superficie libre se comporta como una membrana tensa de tensión $\gamma$ ( $\mathrm{N}/\mathrm{m}$ ; agua, $0.072\,\mathrm{N}/\mathrm{m}$ ), porque a las moléculas de la superficie les falta la mitad de sus vecinas. La presión dentro de una gota de radio $R$ supera a la exterior en la presión de Laplace $2\gamma/R$ ( $1.4\,\mathrm{kPa}$ en una gota de $0.1\,\mathrm{mm}$ , $14\,\mathrm{bar}$ en una de $10\,\mathrm{nm}$ ); la tensión superficial vence a la gravedad por debajo de la longitud capilar $\sqrt{\gamma/\rho g} = 2.7\,\mathrm{mm}$ para el agua — el tamaño de las gotas de rocío, del menisco de un vaso, del ascenso en un tubo capilar ( $h = 2\gamma/\rho gr$ , ley de Jurin). Por eso caminan los insectos pequeños sobre el agua, por eso los pelos de un pincel mojado se juntan y por eso un chorro líquido se rompe en gotas.

Método 4.15 (¿Qué régimen?)

Antes de cualquier cálculo de flujo viscoso, calcúlese $\mathrm{Re}$ . Si $\mathrm{Re} \ll 1$ : Stokes y flujo reptante, resistencia $\propto v$ , caídas de presión $\propto$ el caudal. $\mathrm{Re}$ hasta $\sim\!2000$ en una tubería: laminar, Poiseuille. Por encima: turbulento — Poiseuille subestima gravemente la pérdida; úsese la ley empírica $\Delta P = \lambda(L/D)\,\tfrac12\rho\langle v\rangle^2$ con $\lambda \approx 0.3/\mathrm{Re}^{1/4}$ para tuberías lisas, y $F = \tfrac12\rho v^2SC_x$ para cuerpos. En todos los casos, compruébese después que el $\mathrm{Re}$ calculado a partir del resultado concuerda con el régimen supuesto.

4.5 Ejercicios

Ejercicio 4.1 ★

Una placa de $0.50\,\mathrm{m}^{2}$ desliza a $2.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ sobre una película de aceite de $0.20\,\mathrm{mm}$ ( $\eta = 0.25\,\mathrm{Pa}\,\mathrm{s}$ ). Esfuerzo cortante, fuerza sobre la placa y potencia disipada; compárese con el rozamiento seco ( $f = 0.3$ ) si la placa pesa $10\,\mathrm{kg}$ .

Solución

Solución de Ejercicio 4.1.

$\tau = \eta U/h = 0.25 \times 2/2 \times 10^{-4} = 2.5\,\mathrm{kPa}$ ; $F = 1.25\,\mathrm{kN}$ ; $P = Fv = 2.5\,\mathrm{kW}$ . Rozamiento seco: $0.3 \times 98 = 29\,\mathrm{N}$ — aquí la película fina y muy cizallada resiste mucho más; el arrastre viscoso crece como $U/h$ , de modo que la lubricación compensa a velocidades menores y con películas más gruesas (y nunca se agarrota).

Ejercicio 4.2 ★

Números de Reynolds de: (a) una bacteria de $2\,\text{µ}\mathrm{m}$ a $30\,\text{µ}\mathrm{m}/\mathrm{s}$ en agua; (b) un nadador ( $1.8\,\mathrm{m}$ , $1.5\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ); (c) un coche ( $4\,\mathrm{m}$ , $30\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ) en aire; (d) la sangre en la aorta ( $2.5\,\mathrm{cm}$ , $0.33\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , $\nu = 3.3 \times 10^{-6}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$ ); (e) aceite ( $\eta = 0.1\,\mathrm{Pa}\,\mathrm{s}$ , $\rho = 900\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ ) a $0.5\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ en una tubería de $1\,\mathrm{cm}$ . Régimen de cada uno.

Solución

Solución de Ejercicio 4.2.

(a) $2 \times 10^{-6} \times 3 \times 10^{-5}/10^{-6} = 6 \times 10^{-5}$ , reptante. (b) $1.8 \times 1.5/10^{-6} = 2.7 \times 10^6$ , turbulento. (c) $4 \times 30/1.5 \times 10^{-5} = 8 \times 10^6$ , turbulento. (d) $0.025 \times 0.33/3.3 \times 10^{-6} = 2500$ , laminar al límite. (e) $900 \times 0.5 \times 0.01/0.1 = 45$ , laminar.

Ejercicio 4.3 ★

Se empuja agua a través de una aguja de $0.40\,\mathrm{mm}$ de diámetro interior y $3.0\,\mathrm{cm}$ de longitud con $20\,\mathrm{kPa}$ . Caudal; tiempo para inyectar $5\,\mathrm{mL}$ ; celeridad máxima y número de Reynolds; esfuerzo cortante en la pared. ¿Y con una aguja de $0.80\,\mathrm{mm}$ ?

Solución

Solución de Ejercicio 4.3.

$D_V = \pi R^4\Delta P/8\eta L = \pi(2 \times 10^{-4})^4 \times 2 \times 10^4/(8 \times 10^{-3} \times 0.03) = 0.42\,\mathrm{mL}/\mathrm{s}$ ; $12\,\mathrm{s}$ para $5\,\mathrm{mL}$ . $v_{\max} = \Delta PR^2/ 4\eta L = 6.7\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , $\langle v\rangle = 3.3\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , $\mathrm{Re} = 2R\langle v \rangle/\nu = 1300$ : laminar. $\tau_w = \Delta PR/2L = 67\,\mathrm{Pa}$ . Con $0.8\,\mathrm{mm}$ : dieciséis veces el caudal, $6.7\,\mathrm{mL}/\mathrm{s}$ — pero $\mathrm{Re} \approx 10^4$ : el flujo se vuelve turbulento y la ganancia es menor.

Ejercicio 4.4 ★

Velocidades límite en aire ( $\eta = 1.8 \times 10^{-5}\,\mathrm{Pa}\,\mathrm{s}$ ) de (a) un grano de polen de $20\,\text{µ}\mathrm{m}$ ( $\rho_s = 1100\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ ), (b) una partícula de humo de $2\,\text{µ}\mathrm{m}$ ( $\rho_s = 2000\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ ), (c) una gota de llovizna de $0.2\,\mathrm{mm}$ . Compruébese $\mathrm{Re}$ en cada caso; tiempo de caída de $1\,\mathrm{m}$ .

Solución

Solución de Ejercicio 4.4.

$v_\infty = 2R^2\Delta\rho\,g/9\eta$ . (a) $1.3\,\mathrm{cm}/\mathrm{s}$ , $\mathrm{Re} = 0.02$ , $75\,\mathrm{s}$ por metro. (b) $0.24\,\mathrm{mm}/\mathrm{s}$ , $\mathrm{Re} = 3 \times 10^{-5}$ , $70\,\mathrm{min}$ por metro. (c) $1.2\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ pero $\mathrm{Re} = 16$ : Stokes sobreestima (la celeridad real es de unos $0.7\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ), cosa de un segundo por metro.

Ejercicio 4.5 ★★

Una conducción de agua de $30\,\mathrm{cm}$ de diámetro transporta $0.10\,\mathrm{m}^{3}/\mathrm{s}$ a lo largo de $1.0\,\mathrm{km}$ . (a) Celeridad media y número de Reynolds. (b) Caída de presión si valiera la ley de Poiseuille. (c) Caída real con $\lambda = 0.3/\mathrm{Re}^{1/4}$ ; cociente con (b); potencia de bombeo. (d) El mismo caudal por dos conducciones paralelas de $21\,\mathrm{cm}$ (la misma sección total): caída y potencia.

Solución

Solución de Ejercicio 4.5.

(a) $\langle v\rangle = 0.1/0.0707 = 1.4\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , $\mathrm{Re} = 4.2 \times 10^5$ . (b) $8\eta LD_V/\pi R^4 = 500\,\mathrm{Pa}$ . (c) $\lambda = 0.3/25.5 = 0.0118$ , $\Delta P = 0.0118 \times 3333 \times 1000 = 39\,\mathrm{kPa}$ : $80$ veces más; $P = \Delta PD_V = 3.9\,\mathrm{kW}$ . (d) Misma celeridad, $\mathrm{Re} = 3 \times 10^5$ , $\lambda = 0.0128$ , $\Delta P = 0.0128 \times 4717 \times 1000 = 60\,\mathrm{kPa}$ , $6\,\mathrm{kW}$ : más pared por unidad de caudal, más pérdida.

Ejercicio 4.6 ★★

Células de $10\,\text{µ}\mathrm{m}$ de diámetro y densidad $1050\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ en agua. (a) Celeridad de sedimentación bajo la gravedad; tiempo para depositarse $5\,\mathrm{cm}$ . (b) En una centrifugadora a $1000\,g$ . (c) Velocidad de giro mínima para $1000\,g$ a $10\,\mathrm{cm}$ de radio. (d) ¿Por qué pueden separarse primero las partículas mayores?

Solución

Solución de Ejercicio 4.6.

(a) $v = 2 \times 25 \times 10^{-12} \times 50 \times 9.81/(9 \times 10^{-3}) = 2.7\,\text{µ}\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; $5\,\mathrm{cm}$ en $1.8 \times 10^4$ s, cinco horas. (b) $2.7\,\mathrm{mm}/\mathrm{s}$ , $18\,\mathrm{s}$ . (c) $\Omega = \sqrt{1000g/r} = 313\,\mathrm{rad}/\mathrm{s} = 3000\,\mathrm{rpm}$ . (d) $v \propto R^2$ : las partículas grandes sedimentan primero; giros sucesivos a velocidad creciente separan los tamaños.

Ejercicio 4.7 ★★

Un ciclista ( $SC_x = 0.35\,\mathrm{m}^{2}$ , resistencia a la rodadura $4\,\mathrm{N}$ ) rueda a $12\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ . (a) Resistencia y potencia total. (b) A $15\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ . (c) Contra un viento de cara de $5\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ a $12\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ respecto del suelo. (d) Ir a rueda reduce $C_x$ un $30\%$ : potencia ahorrada. (e) Bajando una pendiente del $5\%$ sin pedalear (masa $80\,\mathrm{kg}$ ): celeridad límite.

Solución

Solución de Ejercicio 4.7.

(a) $F = 0.6 \times 144 \times 0.35 = 30\,\mathrm{N}$ , $+4\,\mathrm{N}$ : $P = 34 \times 12 = 410\,\mathrm{W}$ . (b) $47 + 4 = 51\,\mathrm{N}$ , $770\,\mathrm{W}$ . (c) Celeridad relativa $17\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ : $61 + 4 = 65\,\mathrm{N}$ , por la velocidad respecto del suelo: $780\,\mathrm{W}$ . (d) Resistencia $21\,\mathrm{N}$ : $300\,\mathrm{W}$ , con un ahorro de $110\,\mathrm{W}$ . (e) $mg\sin\alpha = 39\,\mathrm{N} = 4 + 0.21v^2$ : $v = 13\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , $47\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ .

Ejercicio 4.8 ★★

Resistencia cuadrática. (a) Celeridad límite de una pelota de golf ( $46\,\mathrm{g}$ , $43\,\mathrm{mm}$ , $C_x = 0.25$ ) y de un paracaidista ( $80\,\mathrm{kg}$ , $SC_x = 0.7\,\mathrm{m}^{2}$ , y luego $25\,\mathrm{m}^{2}$ con el paracaídas abierto). (b) Ecuación del movimiento de una caída desde el reposo con resistencia cuadrática; muéstrese que $v = v_\infty\tanh(gt/v_\infty)$ . (c) Tiempo y distancia que necesita el paracaidista para alcanzar el $90\%$ de $v_\infty$ .

Solución

Solución de Ejercicio 4.8.

(a) Golf: $\tfrac12\rho C_xS = 2.2 \times 10^{-4}\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}$ , $v_\infty = \sqrt{0.45/2.2 \times 10^{-4}} = 45\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; paracaidista $\sqrt{785/0.42} = 43\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; con el paracaídas abierto $\sqrt{785/15} = 7.2\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ . (b) $m\dot v = mg - kv^2$ , es decir $\dot v = g(1 - v^2/v_\infty^2)$ , cuya solución desde el reposo es $v_\infty\tanh(gt/v_\infty)$ . (c) $\tanh x = 0.9$ en $x = 1.47$ : $t = 1.47 \times 43/9.81 = 6.5\,\mathrm{s}$ ; $z = (v_\infty^2/g)\ln\cosh x = 190 \times 0.83 = 160\,\mathrm{m}$ .

Ejercicio 4.9 ★★

Viscosímetro de Couette. Un cilindro de $5.0\,\mathrm{cm}$ de radio y $10\,\mathrm{cm}$ de altura gira a $10\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}$ dentro de un cilindro fijo, con el hueco de $1.0\,\mathrm{mm}$ lleno del líquido que se quiere ensayar; el par necesario es $2.0 \times 10^{-2}\,\mathrm{N}\,\mathrm{m}$ . (a) Tratando el hueco como un flujo plano de Couette, velocidad de cizalla y esfuerzo cortante. (b) Viscosidad. (c) Número de Reynolds del flujo en el hueco; ¿es laminar? (d) ¿Por qué se hace el hueco estrecho?

Solución

Solución de Ejercicio 4.9.

(a) Velocidad de cizalla $\Omega R/e = 0.5/10^{-3} = 500\,\mathrm{s}^{-1}$ ; $\Gamma = \tau\cdot2\pi Rh \cdot R$ : $\tau = 0.02/(2\pi \times 2.5 \times 10^{-3} \times 0.1) = 12.7\,\mathrm{Pa}$ . (b) $\eta = 12.7/500 = 2.5 \times 10^{-2}\,\mathrm{Pa}\,\mathrm{s}$ . (c) $\mathrm{Re} = \rho Ue/\eta \approx 1000 \times 0.5 \times 10^{-3}/0.025 = 20$ : laminar. (d) Un hueco estrecho hace uniforme la velocidad de cizalla (la aproximación plana) y mantiene laminar el flujo.

Ejercicio 4.10 ★★★

Una red vascular. La sangre ( $\eta = 3.5\,\mathrm{mPa}\,\mathrm{s}$ ) circula a $5.0\,\mathrm{L}/\mathrm{min}$ . (a) Resistencia hidráulica de la aorta (radio $1.25\,\mathrm{cm}$ , longitud $40\,\mathrm{cm}$ ) y caída de presión a lo largo de ella. (b) Los $10^{10}$ capilares (radio $4\,\text{µ}\mathrm{m}$ , longitud $1\,\mathrm{mm}$ ) están en paralelo: resistencia de uno, del conjunto y caída de presión a través del lecho capilar. (c) Las arteriolas ( $10^8$ , radio $10\,\text{µ}\mathrm{m}$ , longitud $2\,\mathrm{mm}$ ): las mismas preguntas; ¿dónde reside la resistencia de la circulación? (d) La caída total vale $13\,\mathrm{kPa}$ : potencia del ventrículo izquierdo del corazón y qué fracción de los $100\,\mathrm{W}$ del cuerpo. (e) Un fármaco dilata las arteriolas un $10\%$ : efecto sobre la resistencia total.

Solución

Solución de Ejercicio 4.10.

$D_V = 8.3 \times 10^{-5}\,\mathrm{m}^{3}/\mathrm{s}$ . (a) $R_h = 8\eta L/\pi R^4 = 8 \times 3.5 \times 10^{-3} \times 0.4/(\pi \times 2.4 \times 10^{-8}) = 1.5 \times 10^{5}\,\mathrm{Pa}\,\mathrm{s}/\mathrm{m}^{3}$ , $\Delta P = 12\,\mathrm{Pa}$ . (b) Un capilar, $3.5 \times 10^{16}\,\mathrm{Pa}\,\mathrm{s}/\mathrm{m}^{3}$ ; $10^{10}$ en paralelo: $3.5 \times 10^{6}\,\mathrm{Pa}\,\mathrm{s}/\mathrm{m}^{3}$ ; $\Delta P = 290\,\mathrm{Pa}$ ( $2\,\mathrm{mmHg}$ ). (c) Una arteriola, $8 \times 3.5 \times 10^{-3} \times 2 \times 10^{-3}/(\pi \times 10^{-20}) = 1.8 \times 10^{15}\,\mathrm{Pa}\,\mathrm{s}/\mathrm{m}^{3}$ ; el conjunto, $1.8 \times 10^{7}\,\mathrm{Pa}\,\mathrm{s}/\mathrm{m}^{3}$ ; $\Delta P = 1.5\,\mathrm{kPa}$ : las arteriolas dominan sobre las otras dos (la presión cae en los vasos pequeños, no en los grandes). (d) $P = 13000 \times 8.3 \times 10^{-5} = 1.1\,\mathrm{W}$ , alrededor del $1\%$ . (e) $(1/1.1)^4 = 0.68$ : se elimina un tercio de la resistencia arteriolar — así bajan la presión arterial los vasodilatadores.

Ejercicio 4.11 ★★★

Capa límite y resistencia de fricción. Una placa plana de longitud $L$ y anchura $b$ se mueve de canto a $U$ . En régimen laminar, el esfuerzo cortante en la pared vale $\tau_w = 0.332\,\rho U^2/\sqrt{\mathrm{Re}_x}$ (Blasius). (a) Muéstrese que la fuerza de rozamiento sobre una cara es $F = 0.664\,\rho U^2bL/\sqrt{\mathrm{Re}_L}$ . (b) Espesor de la capa límite en el borde de salida de una placa de $1\,\mathrm{m}$ en agua a $0.3\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , y fuerza sobre una placa de $1\,\mathrm{m}^{2}$ (ambas caras). (c) A $10\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ : $\mathrm{Re}_L$ , y por qué la fórmula ya no vale. (d) El casco de un barco ( $100\,\mathrm{m}$ , $10\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ): estímese el espesor de la capa límite en la popa suponiendo la ley turbulenta $\delta \approx 0.37x/\mathrm{Re}_x^{1/5}$ .

Solución

Solución de Ejercicio 4.11.

(a) $F = b\int_0^L\tau_w\,\dd x = 0.332\rho U^2b\sqrt{\nu/U}\int_0^L\dd x/\sqrt x = 0.664\rho U^2b\sqrt{\nu L/U} = 0.664\rho U^2bL/\sqrt{\mathrm{Re}_L}$ . (b) $\mathrm{Re}_L = 3 \times 10^5$ (laminar); $\delta \approx 5\sqrt{\nu L/U} = 9\,\mathrm{mm}$ ; $F = 0.664 \times 1000 \times 0.09 \times 1/548 = 0.11\,\mathrm{N}$ por cara, $0.22\,\mathrm{N}$ . (c) $\mathrm{Re}_L = 10^7$ : la capa es turbulenta más allá de los primeros centímetros y la fórmula laminar falla (la resistencia real es varias veces mayor). (d) $\mathrm{Re}_x = 10^9$ : $\delta \approx 0.37 \times 100/63 = 0.6\,\mathrm{m}$ .

Ejercicio 4.12 ★★★

Una película que escurre. Una película líquida de espesor $h$ desciende por una pared vertical bajo la gravedad, en régimen estacionario, sin que el aire ejerza esfuerzo alguno sobre su superficie libre. (a) Escríbase Navier–Stokes para $\vect v = v(y)\vect e_z$ ( $y$ es la distancia a la pared y $z$ apunta hacia abajo) y las condiciones de contorno. (b) Muéstrese que $v(y) = \dfrac{\rho g}{2\eta}(2hy - y^2)$ y calcúlese el caudal por unidad de anchura $q = \rho gh^3/3\eta$ . (c) Una capa de pintura recién dada ( $\eta = 0.5\,\mathrm{Pa}\,\mathrm{s}$ , $\rho = 1200\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ ) de $0.2\,\mathrm{mm}$ de espesor: celeridad en la superficie y caudal; ¿cuánto se desplaza la superficie en $10\,\mathrm{min}$ ? ¿Por qué se descuelga la pintura aplicada demasiado espesa? (d) Miel ( $\eta = 10\,\mathrm{Pa}\,\mathrm{s}$ ) de $2\,\mathrm{mm}$ de espesor sobre una cuchara vertical: celeridad en la superficie.

Solución

Solución de Ejercicio 4.12.

(a) $0 = \rho g + \eta v''(y)$ , $v(0) = 0$ (adherencia), $v'(h) = 0$ (sin esfuerzo en la superficie libre). (b) Integrando dos veces: $v = (\rho g/2\eta)(2hy - y^2)$ ; $q = \int_0^hv\,\dd y = \rho gh^3/3\eta$ . (c) $v_s = \rho gh^2/2\eta = 1200 \times 9.81 \times 4 \times 10^{-8}/1 = 0.47\,\mathrm{mm}/\mathrm{s}$ ; $q = 6.3 \times 10^{-8}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$ ; $28\,\mathrm{cm}$ en diez minutos — una pintura newtoniana de ese espesor se escurriría; las pinturas reales son seudoplásticas y tixotrópicas, y aun así se descuelgan cuando se aplican demasiado espesas, porque $v_s \propto h^2$ . (d) $1400 \times 9.81 \times 4 \times 10^{-6}/20 = 2.7\,\mathrm{mm}/\mathrm{s}$ .

Una calle de vórtices de von Kármán dibujada en las nubes aguas abajo de una isla, vista desde el espacio: la estela de un cilindro a un número de Reynolds de unos cientos, trazada a escala de cien kilómetros (NASA).

4.6 Problema: sangre, petróleo crudo y lluvia

Problema 4.1

Problema de fin de semana — las mismas leyes viscosas en una arteria, en un oleoducto de mil kilómetros y en una gota que cae

Parte I — La sangre. Sangre: $\rho = 1060\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ , $\eta = 3.5 \times 10^{-3}\,\mathrm{Pa}\,\mathrm{s}$ (tratada como newtoniana); gasto cardíaco $D_V = 5.0\,\mathrm{L}/\mathrm{min}$ .

Aorta, de radio $1.25\,\mathrm{cm}$ : celeridad media, número de Reynolds, régimen.
Si el flujo en la aorta fuese de Poiseuille, ¿cuáles serían la celeridad máxima y el esfuerzo cortante en la pared? (El endotelio detecta esfuerzos del orden de $1\,\mathrm{Pa}$ .)
Un capilar de radio $4.0\,\text{µ}\mathrm{m}$ lleva sangre a $0.30\,\mathrm{mm}/\mathrm{s}$ : número de Reynolds; caída de presión a lo largo de su $1.0\,\mathrm{mm}$ de longitud, en pascales y en milímetros de mercurio ( $1\,\mathrm{mmHg}$ = $133\,\mathrm{Pa}$ ).
Tiempo que tarda un glóbulo rojo en atravesar el capilar; ¿por qué es este el orden correcto para el intercambio gaseoso?
Arteriolas (radio $10\,\text{µ}\mathrm{m}$ , longitud $2.0\,\mathrm{mm}$ , $10^8$ en paralelo): resistencia del conjunto y caída de presión a través de él con el gasto cardíaco máximo.
La caída total entre arterias y venas vale $13\,\mathrm{kPa}$ : potencia mecánica que entrega el ventrículo izquierdo. Compárese con un cuerpo de $100\,\mathrm{W}$ .
Una estenosis reduce un $40\%$ el radio de una arteria coronaria en un tramo corto: factor por el que crece su resistencia; por qué el músculo cardíaco de aguas abajo puede seguir irrigado en reposo pero no durante el esfuerzo.
Durante un esfuerzo intenso el gasto cardíaco llega a $25\,\mathrm{L}/\mathrm{min}$ : número de Reynolds en la aorta y régimen.
La sangre no es newtoniana: su viscosidad aparente baja a velocidades de cizalla altas y sube a bajas. ¿Cuál de los vasos anteriores se ve más afectado, y en qué sentido?

Parte II — El oleoducto. Un oleoducto de crudo: diámetro $D = 1.2\,\mathrm{m}$ , longitud $L = 1300\,\mathrm{km}$ , caudal $D_V = 3.0\,\mathrm{m}^{3}/\mathrm{s}$ ; crudo $\rho = 850\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ , $\eta = 2.0 \times 10^{-2}\,\mathrm{Pa}\,\mathrm{s}$ si se mantiene caliente. Rozamiento turbulento: $\Delta P = \lambda (L/D)\tfrac12\rho\langle v\rangle^2$ , $\lambda = 0.316/\mathrm{Re}^{1/4}$ .

Celeridad media y número de Reynolds; régimen.
Caída de presión por kilómetro y a lo largo de toda la línea.
La tubería soporta $80\,\mathrm{bar}$ : número mínimo de estaciones de bombeo a lo largo de la línea.
Potencia total de bombeo; energía por metro cúbico de crudo entregado, comparada con el contenido energético del crudo ( $36\,\mathrm{GJ}/\mathrm{m}^{3}$ ).
¿Qué caída predeciría la ley de Poiseuille? Coméntese el coste de la turbulencia (y por qué en algunos oleoductos se inyectan aditivos poliméricos que la retrasan).
En invierno el crudo sin calentar alcanzaría $\eta = 2.0\,\mathrm{Pa}\,\mathrm{s}$ : nuevo número de Reynolds y régimen; caída de presión a lo largo de la línea con la ley adecuada. Conclusión para el diseño (la línea real está aislada y el crudo se mantiene caliente).
Tiempo de tránsito del crudo de un extremo al otro.
Esfuerzo cortante en la pared en el caso caliente y turbulento, a partir de la caída de presión; fuerza de rozamiento total sobre la pared de la tubería.
El mismo caudal por una tubería de $1.0\,\mathrm{m}$ : ¿por qué factor cambia la caída de presión turbulenta?
Un grano de arena de $0.10\,\mathrm{mm}$ ( $\rho_s = 2650\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ ) va arrastrado por el crudo caliente: celeridad de sedimentación de Stokes, número de Reynolds del grano y tiempo que tarda en atravesar la tubería. Compárese con las fluctuaciones turbulentas de velocidad, de un pequeño porcentaje de $\langle v \rangle$ : ¿sedimenta la arena en el oleoducto en servicio? ¿Y en uno parado?

Parte III — Las gotas. Aire: $\rho = 1.2\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ , $\eta = 1.8 \times 10^{-5}\,\mathrm{Pa}\,\mathrm{s}$ ; agua $\rho_w = 1000\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ , $\gamma = 0.072\,\mathrm{N}/\mathrm{m}$ .

Gotita de nube, de $10\,\text{µ}\mathrm{m}$ de diámetro: celeridad límite de Stokes, número de Reynolds, tiempo de caída de $1\,\mathrm{km}$ ; por qué la nube permanece.
Llovizna, $0.20\,\mathrm{mm}$ : celeridad de Stokes y número de Reynolds; ¿sigue siendo fiable Stokes?
Gota de lluvia, $2.0\,\mathrm{mm}$ : muéstrese que Stokes falla y hállese la celeridad límite con $C_x = 0.5$ . Tiempo de caída desde $1\,\mathrm{km}$ .
Con una corriente ascendente de $1\,\mathrm{cm}/\mathrm{s}$ , ¿sube o baja la gotita de nube? ¿Qué corriente ascendente sostendría a la gota de llovizna?
Presión de Laplace dentro de las tres gotas; compárese con la presión dinámica $\tfrac12\rho v_\infty^2$ de cada una y explíquese por qué las gotas de lluvia grandes se achatan y se rompen por encima de unos $5\,\mathrm{mm}$ .
En una sola tabla, dense para los ocho flujos de este problema el número de Reynolds y la ley que lo gobierna.

Solución

Solución de Problema 4.1.

1. $S = 4.9\,\mathrm{cm}^{2}$ , $\langle v\rangle = 83/4.9 = 0.17\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; $\mathrm{Re} = 1060 \times 0.17 \times 0.025/3.5 \times 10^{-3} = 1300$ : laminar (los picos pulsátiles llegan a $\sim 5000$ ).

2. $v_{\max} = 0.34\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; $\tau_w = 4\eta\langle v\rangle/R = 0.19\,\mathrm{Pa}$ .

3. $\mathrm{Re} = 1060 \times 3 \times 10^{-4} \times 8 \times 10^{-6}/3.5 \times 10^{-3} = 7 \times 10^{-4}$ ; $\Delta P = 8\eta L\langle v\rangle/R^2 = 8 \times 3.5 \times 10^{-3} \times 10^{-3} \times 3 \times 10^{-4}/1.6 \times 10^{-11} = 525\,\mathrm{Pa} = 3.9\,\mathrm{mmHg}$ .

4. $1/0.3 = 3.3\,\mathrm{s}$ : lo bastante para que el oxígeno difunda los pocos micrómetros que lo separan del tejido (Capítulo 24).

5. Una arteriola, $8\eta L/\pi R^4 = 1.8 \times 10^{15}\,\mathrm{Pa}\,\mathrm{s}/\mathrm{m}^{3}$ ; $10^8$ en paralelo: $1.8 \times 10^{7}\,\mathrm{Pa}\,\mathrm{s}/\mathrm{m}^{3}$ ; $\Delta P = 1.8 \times 10^7 \times 8.3 \times 10^{-5} = 1.5\,\mathrm{kPa} = 11\,\mathrm{mmHg}$ .

6. $P = \Delta P\,D_V = 13000 \times 8.3 \times 10^{-5} = 1.1\,\mathrm{W}$ , alrededor del $1\%$ de la potencia del cuerpo.

7. $(1/0.6)^4 = 7.7$ . En reposo los vasos de aguas abajo se dilatan y compensan; durante el esfuerzo la demanda se multiplica por cuatro o cinco y la arteria estrechada no puede satisfacerla: angina de pecho.

8. Cinco veces la celeridad: $\mathrm{Re} \approx 6500$ , turbulento — los soplos que oye el estetoscopio durante el ejercicio.

9. En el flujo lento y poco cizallado de las venas pequeñas y los capilares los glóbulos rojos se agregan y la viscosidad aparente sube (lo contrario ocurre en la aorta, rápida); todas las estimaciones de caída de presión en los vasos pequeños son cotas inferiores.

10. $\langle v\rangle = 3/1.13 = 2.65\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; $\mathrm{Re} = 850 \times 2.65 \times 1.2/0.02 = 1.35 \times 10^5$ : turbulento.

11. $\lambda = 0.316/19.2 = 0.0165$ ; $\Delta P/L = (0.0165/1.2) \times \tfrac12 \times 850 \times 7.0 = 41\,\mathrm{Pa}/\mathrm{m} = 41\,\mathrm{kPa}/\mathrm{km}$ ; $534\,\mathrm{bar}$ en toda la línea.

12. $534/80 = 6.7$ : al menos siete estaciones.

13. $P = \Delta P\,D_V = 5.34 \times 10^7 \times 3 = 160\,\mathrm{MW}$ ; $53\,\mathrm{MJ}/\mathrm{m}^{3}$ , el $0.15\%$ de la energía del crudo.

14. $\Delta P = 32\eta L\langle v\rangle/D^2 = 32 \times 0.02 \times 1.3 \times 10^6 \times 2.65/1.44 = 15\,\mathrm{bar}$ : treinta y cinco veces menos. La turbulencia es cara; unas pocas partes por millón de polímeros largos la retrasan y recortan la caída en decenas de por ciento.

15. $\mathrm{Re} = 1350$ : laminar; Poiseuille: $\Delta P = 32 \times 2 \times 1.3 \times 10^6 \times 2.65/1.44 = 1500\,\mathrm{bar}$ — imposible; el crudo debe mantenerse caliente, de ahí el aislamiento y el calentamiento.

16. $1.3 \times 10^6/2.65 = 4.9 \times 10^{5}\,\mathrm{s}$ , es decir $5.7$ días.

17. $\tau_w = (\Delta P/L)D/4 = 41 \times 0.3 = 12\,\mathrm{Pa}$ ; $F = \tau_w\pi DL = 6 \times 10^{7}\,\mathrm{N}$ .

18. $\Delta P \propto \lambda\langle v\rangle^2/D \propto D^{-4.75}$ : $1.2^{4.75} = 2.4$ .

19. $v = 2R^2\Delta\rho\,g/9\eta = 2 \times 2.5 \times 10^{-9} \times 1800 \times 9.81/ 0.18 = 0.49\,\mathrm{mm}/\mathrm{s}$ ; $\mathrm{Re} = 2 \times 10^{-3}$ ; $41\,\mathrm{min}$ para atravesar $1.2\,\mathrm{m}$ . Las fluctuaciones turbulentas, de unos centímetros por segundo, lo mantienen en suspensión mientras el crudo circula; en una línea parada sedimenta en menos de una hora.

20. $v = 2 \times 2.5 \times 10^{-11} \times 1000 \times 9.81/1.62 \times 10^{-4} = 3.0\,\mathrm{mm}/\mathrm{s}$ ; $\mathrm{Re} = 2 \times 10^{-3}$ ; $1\,\mathrm{km}$ en $3.3 \times 10^5$ s, cuatro días: cualquier corriente ascendente de más de unos milímetros por segundo la sostiene.

21. $1.2\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , $\mathrm{Re} = 16$ : Stokes sobreestima en un factor dos aproximadamente (real: $0.7\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ).

22. Stokes daría $120\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ y $\mathrm{Re} \sim 10^4$ : absurdo. Resistencia cuadrática, $\tfrac43\pi R^3\rho_wg = \tfrac12\rho v^2\pi R^2C_x$ : $v = \sqrt{8R \rho_wg/3\rho C_x} = 6.6\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ( $\mathrm{Re} = 900$ , coherente); $150\,\mathrm{s}$ desde $1\,\mathrm{km}$ .

23. $1\,\mathrm{cm}/\mathrm{s}$ $>$ $3\,\mathrm{mm}/\mathrm{s}$ : la gotita sube; la gota de llovizna necesita alrededor de $1\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , que las nubes convectivas proporcionan.

24. $2\gamma/R$ : $29\,\mathrm{kPa}$ , $1.4\,\mathrm{kPa}$ , $144\,\mathrm{Pa}$ ; presiones dinámicas $\tfrac12\rho v^2$ : $5 \times 10^{-6}$ , $0.3$ y $26\,\mathrm{Pa}$ . El cociente llega a $0.2$ a $2\,\mathrm{mm}$ ; a $5\,\mathrm{mm}$ ( $v \approx 9\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , $\tfrac12\rho v^2 = 49\,\mathrm{Pa}$ frente a $58\,\mathrm{Pa}$ ) la presión aerodinámica achata la gota y la rompe: ninguna gota de lluvia pasa de unos $5\,\mathrm{mm}$ .

25. Aorta $10^3$ (laminar, cerca de la transición); capilar $10^{-3}$ (Poiseuille); arteriola $10^{-2}$ (Poiseuille); oleoducto caliente $10^5$ (turbulento, $\lambda(\mathrm{Re})$ ); oleoducto frío $10^3$ (Poiseuille); arena en crudo $10^{-3}$ (Stokes); gotita de nube $10^{-3}$ (Stokes); gota de lluvia $10^3$ (resistencia cuadrática, $C_x \approx 0.5$ ).

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