Física universitaria — segundo año · Bachelor Year 2

9Electrónica: realimentación, osciladores y adquisición de señales

Acérquese demasiado un micrófono al altavoz que alimenta y la sala se llena de un aullido: el amplificador se oye a sí mismo, y un ruido minúsculo crece hasta convertirse en un chillido a un tono muy concreto. Domado, ese mismo lazo es el corazón de todo reloj, de toda radio y de todo sintetizador — un oscilador que fabrica una sinusoide con nada más que ganancia y un filtro. El volumen del Año 1 construyó amplificadores, filtros y comparadores con el amplificador operacional; este capítulo cierra el lazo en torno a ellos, se pregunta cuándo un lazo es estable y cuándo oscila, construye dos osciladores — uno sinusoidal y otro cuadrado — y pasa después a las dos operaciones con las que una señal medida llega a un ordenador: muestrearla y sacarla del ruido mediante la detección síncrona.

Una placa de prototipos, un generador de funciones y un osciloscopio: el banco en el que se cierra un lazo de realimentación — y en el que se descubre, cuando el amplificador se pone a cantar, que se ha convertido en un oscilador.

9.1 Realimentación y estabilidad

Definición 9.1 (Lazo cerrado; ganancia de lazo)

Un amplificador de función de transferencia $\underline A(\jmath\omega)$ recibe la entrada $\underline e$ más una fracción $\underline\beta(\jmath\omega)\,\underline s$ de su propia salida $\underline s$ (realimentación positiva; para la negativa, cámbiese el signo de $\beta$ ). La función de transferencia en lazo cerrado y la ganancia de lazo valen

\underline H = \frac{\underline s}{\underline e} = \frac{\underline A}{1 - \underline A\,\underline\beta} , \qquad \underline T = \underline A\,\underline\beta .

Teorema 9.2 (Estabilidad de un lazo lineal; condición de oscilación)

Sustituyendo $\jmath\omega$ por la variable compleja $p$ , la evolución libre del lazo la gobiernan las raíces de su ecuación característica $1 - \underline A(p)\underline\beta(p) = 0$ (los polos de $\underline H$ ): cada raíz $p_i$ aporta un modo $\eu^{p_it}$ . El lazo es estable cuando todas las raíces tienen parte real negativa (todo modo se extingue), y oscila, con amplitud creciente, cuando una raíz tiene parte real positiva. La frontera — un par de raíces imaginarias puras $\pm\jmath \omega_0$ , es decir, una sinusoide mantenida — se alcanza cuando

\underline A(\jmath\omega_0)\,\underline\beta(\jmath\omega_0) = 1

(condición de Barkhausen: ganancia de lazo de módulo uno y fase nula en $\omega_0$ ). Para un denominador de segundo grado $ap^2 + bp + c$ el lazo es estable si y solo si $a$ , $b$ y $c$ tienen el mismo signo.

Demostración. La ecuación diferencial del lazo se obtiene de $\underline s(1 - \underline A\underline\beta) = \underline A\underline e$ leyendo cada potencia de $\jmath\omega$ como una derivada temporal; sus soluciones homogéneas son las $\eu^{p_it}$ con $p_i$ las raíces del polinomio. El crecimiento o la extinción sigue al signo de $\operatorname{Re}p_i$ ; para un polinomio de segundo grado las raíces tienen parte real negativa exactamente cuando los coeficientes comparten signo (su suma vale $-b/a$ y su producto $c/a$ ). La condición de Barkhausen es la existencia de una raíz en $p = \jmath\omega_0$ . ∎

Observación 9.3 (Cómo arranca y cómo se detiene un oscilador)

Un oscilador se diseña con una ganancia de lazo algo mayor que uno en $\omega_0$ : el ruido presente al encender contiene esa frecuencia, que crece exponencialmente mientras todas las demás se extinguen. La teoría lineal predice entonces amplitud infinita; en realidad alguna no linealidad — la saturación del amplificador, o un elemento deliberadamente no lineal — baja la ganancia efectiva a medida que crece la amplitud, hasta que la ganancia de lazo vale en promedio exactamente uno: la amplitud se estabiliza. Todo oscilador real es así un lazo lineal para la frecuencia y no lineal para la amplitud; cuanto más suave sea la limitación, más pura será la sinusoide.

9.2 El oscilador de puente de Wien

Proposición 9.4 (Oscilador de puente de Wien)

Un amplificador operacional en configuración no inversora de ganancia $K = 1 + R_2/R_1$ devuelve su salida a su entrada $+$ a través de la red de Wien: $R$ y $C$ en serie, y luego $R$ y $C$ en paralelo a masa. La función de transferencia de la red vale

\underline\beta(\jmath\omega) = \frac1{3 + \jmath(RC\omega - 1/RC\omega)} ,

real y máxima ( $= 1/3$ ) en $\omega_0 = 1/RC$ . La ganancia de lazo $K\underline\beta$ vale uno en $\omega_0$ cuando $K = 3$ : el circuito mantiene entonces una sinusoide a

f_0 = \frac1{2\pi RC} .

La tensión $v$ en la entrada $+$ obedece

\frac{\dd^2v}{\dd t^2} + \frac{3 - K}{RC}\,\frac{\dd v}{\dd t} + \frac{v}{R^2C^2} = 0 :

para $K < 3$ la oscilación se extingue y para $K > 3$ crece (amortiguamiento negativo) con la constante de tiempo $2RC/(K - 3)$ , hasta que la saturación del operacional la limita.

Demostración. Divisor de tensión: la rama serie $Z_s = R + 1/\jmath C\omega$ y la rama paralelo $Z_p = R/(1 + \jmath RC\omega)$ ; $\underline\beta = Z_p/(Z_s + Z_p)$ , que se simplifica hasta la forma dada. Lazo: $\underline v = \underline\beta K\underline v$ , es decir, $[3 + \jmath(RC\omega - 1/RC\omega)]\underline v = K\underline v$ ; multiplíquese por $\jmath\omega RC$ y léase $\jmath\omega \to \dd/\dd t$ : $R^2C^2\ddot v + (3 - K)RC\dot v + v = 0$ . Su coeficiente de amortiguamiento cambia de signo en $K = 3$ . ∎

A la izquierda, un lazo de realimentación: la salida se devuelve, a través de , a la entrada del amplificador. A la derecha, el oscilador de puente de Wien — un amplificador no inversor de ganancia 1 + R_2/R_1 cuya salida vuelve a su entrada + por la red RC serie–paralelo; oscila a 1/2π RC cuando la ganancia llega a 3. — A la izquierda, un lazo de realimentación: la salida se devuelve, a través de $\underline\beta$ , a la entrada del amplificador. A la derecha, el oscilador de puente de Wien — un amplificador no inversor de ganancia $1 + R_2/R_1$ cuya salida vuelve a su entrada $+$ por la red $RC$ serie–paralelo; oscila a $1/2\pi RC$ cuando la ganancia llega a 3.

Ejemplo 9.5 (Una fuente de 1 kHz)

$R = 15.9\,\mathrm{k}\Omega$ , $C = 10\,\mathrm{nF}$ : $f_0 = 1.00\,\mathrm{kHz}$ . Con $R_1 = 10\,\mathrm{k}\Omega$ y $R_2 = 21\,\mathrm{k}\Omega$ , $K = 3.1$ : la amplitud se multiplica por $\eu$ cada $2RC/0.1 = 3.2\,\mathrm{ms}$ a partir del ruido del encendido, y alcanza la saturación en unas decenas de milisegundos; la sinusoide recortada es entonces rica en armónicos. Sustituir $R_1$ por una bombillita incandescente, cuya resistencia sube al calentarse, baja $K$ hasta exactamente $3$ con una amplitud moderada: una sinusoide con menos del $0.1\%$ de distorsión, el circuito de los primeros generadores de señal de laboratorio.

9.3 Comparadores con histéresis; el multivibrador astable

Proposición 9.6 (Comparador con histéresis)

Un operacional con realimentación positiva — la salida llevada a la entrada $+$ por un divisor $R_1$ , $R_2$ (la entrada $+$ queda entonces a $\beta s$ con $\beta = R_1/(R_1 + R_2)$ cuando la señal $e$ se aplica a la entrada $-$ ) — no tiene régimen lineal estable: su salida se sitúa en $+V_{\text{sat}}$ o en $-V_{\text{sat}}$ y conmuta

\begin{align*} &\text{de } +V_{\text{sat}} \text{ a } -V_{\text{sat}} \text{ cuando } e \text{ sube por encima de } +\beta V_{\text{sat}} ,\\ &\text{de } -V_{\text{sat}} \text{ a } +V_{\text{sat}} \text{ cuando } e \text{ baja por debajo de } -\beta V_{\text{sat}} . \end{align*}

Los dos umbrales difieren: la histéresis $2\beta V_{\text{sat}}$ hace al comparador inmune al ruido menor que ella, y su ciclo en el plano $(e, s)$ es un rectángulo recorrido en el sentido de las agujas del reloj.

Demostración. Con $s = +V_{\text{sat}}$ la entrada $+$ está a $+\beta V_{\text{sat}}$ ; la salida sigue siendo positiva mientras $e < \beta V_{\text{sat}}$ , y bascula cuando $e$ lo cruza — tras lo cual la entrada $+$ está a $-\beta V_{\text{sat}}$ , de modo que $e$ debe bajar por debajo de ese valor para volver a hacerla bascular. (En régimen lineal la realimentación positiva haría crecer cualquier desviación: es inestable.) ∎

Proposición 9.7 (Multivibrador astable)

Devuélvase la salida del comparador con histéresis a su propia entrada $-$ a través de un circuito $RC$ ( $R$ de $s$ a la entrada $-$ , y $C$ de ahí a masa). El condensador se carga hacia $\pm V_{\text{sat}}$ y hace bascular el comparador cada vez que alcanza un umbral: una onda cuadrada en $s$ y una onda casi triangular en $C$ , con el periodo

T = 2RC\,\ln\frac{1 + \beta}{1 - \beta} .

Para $\beta = 1/2$ , $T = 2RC\ln3 \approx 2.2RC$ . Estos osciladores de relajación marcan el ritmo de los microcontroladores, hacen parpadear indicadores y generan las ondas triangular y cuadrada de los generadores de funciones.

Demostración. Con $s = +V_{\text{sat}}$ , la tensión del condensador $v_C$ pasa de $-\beta V_{\text{sat}}$ hacia $+V_{\text{sat}}$ según $v_C = V_{\text{sat}} - (1 + \beta) V_{\text{sat}}\eu^{-t/RC}$ , y alcanza $+\beta V_{\text{sat}}$ al cabo de $RC\ln[(1 + \beta) /(1 - \beta)]$ ; el comparador bascula y sigue el semiciclo simétrico. ∎

A la izquierda, el ciclo de un comparador con histéresis: dos umbrales y un rectángulo recorrido en el sentido de las agujas del reloj. A la derecha, el multivibrador astable: la tensión del condensador va y viene entre los umbrales y la salida es una onda cuadrada.

9.4 El muestreo de una señal

Teorema 9.8 (Muestreo; el criterio de Nyquist–Shannon)

Una señal está muestreada cuando solo se conservan sus valores $s(nT_s)$ en los instantes $nT_s$ , siendo $f_s = 1/T_s$ la frecuencia de muestreo. El espectro de la señal muestreada es el espectro de $s$ repetido en torno a cada múltiplo de $f_s$ . Una señal cuyo espectro está confinado por debajo de $f_{\max}$ puede reconstruirse exactamente a partir de sus muestras si y solo si

f_s > 2f_{\max} ;

en caso contrario las copias se solapan y una componente a $f > f_s/2$ reaparece en la frecuencia alias $|f - nf_s|$ (para el entero $n$ que la lleva por debajo de $f_s/2$ ), indistinguible de una componente de baja frecuencia verdadera. De ahí el filtro antisolapamiento que se coloca antes de todo muestreador: un paso bajo que elimina cuanto está por encima de $f_s/2$ .

Demostración. Muestrear es multiplicar $s(t)$ por un tren periódico de pulsos estrechos de periodo $T_s$ , cuya serie de Fourier contiene todos los armónicos $nf_s$ (volumen de matemáticas de este año); multiplicar $s$ por $\cos(2\pi nf_st)$ desplaza su espectro en $\pm nf_s$ — de ahí las copias. No se solapan si y solo si $f_{\max} < f_s - f_{\max}$ ; un paso bajo de corte $f_s/2$ recupera entonces exactamente el espectro original (admitido). Solapamiento: las muestras de $\cos(2\pi ft)$ y de $\cos(2\pi(f - nf_s)t)$ en $t = mT_s$ coinciden, pues $2\pi nf_smT_s = 2\pi nm$ . ∎

Ejemplo 9.9 (Ruedas de carreta, discos compactos y osciloscopios)

Una película a $24$ imágenes por segundo muestrea el mundo a $24\,\mathrm{Hz}$ : una rueda de $12$ radios que gira a $2.1$ vueltas por segundo presenta un radio $25.2$ veces por segundo, $1.2$ por encima de $f_s$ — parece girar despacio hacia delante, y hacia atrás a $1.9$ vueltas por segundo. Un disco compacto muestrea a $44.1\,\mathrm{kHz}$ para reproducir sonido hasta $20\,\mathrm{kHz}$ , con un filtro antisolapamiento abrupto entre $20$ y $22\,\mathrm{kHz}$ . Un osciloscopio digital puesto a $1\,\mathrm{MS}/\mathrm{s}$ muestra una sinusoide de $999\,\mathrm{kHz}$ como una de $1\,\mathrm{kHz}$ — la primera trampa de la medida digital.

Solapamiento: una sinusoide a 0.9f_s y otra a 0.1f_s pasan por las mismas muestras; una vez muestreadas no pueden distinguirse — de ahí el criterio f_s > 2f_. — Solapamiento: una sinusoide a $0.9f_s$ y otra a $0.1f_s$ pasan por las mismas muestras; una vez muestreadas no pueden distinguirse — de ahí el criterio $f_s > 2f_{\max}$ .

Observación 9.10 (La cuantificación)

El convertidor analógico-digital redondea además cada muestra a uno de $2^N$ niveles ( $N$ bits): el error de redondeo, de medio escalón como mucho, actúa como un ruido de valor eficaz $\Delta/\sqrt{12}$ para un escalón $\Delta$ , y el margen dinámico (la mayor sinusoide frente a ese ruido) vale unos $6N + 2$ dB — $98\,\mathrm{dB}$ para los $16$ bits de un disco compacto y $74\,\mathrm{dB}$ para un osciloscopio de $12$ bits. La frecuencia de muestreo y la resolución son las dos cifras de la etiqueta de todo digitalizador.

9.5 La detección síncrona

Proposición 9.11 (Detección síncrona (lock-in))

Una señal de frecuencia conocida, $s(t) = A\cos(\omega_0t + \varphi)$ , sepultada en un ruido $n(t)$ de amplitud mucho mayor repartido sobre una banda ancha, se multiplica por una referencia $r(t) = \cos\omega_0t$ de la misma frecuencia y se pasa por un filtro paso bajo de corte $f_c \ll f_0$ :

s(t)r(t) = \tfrac12A\cos\varphi + \tfrac12A\cos(2\omega_0t + \varphi) \ \xrightarrow{\ \text{paso bajo}\ }\ \tfrac12A\cos\varphi .

La salida es una tensión continua proporcional a la amplitud de la señal (y al coseno de su fase respecto de la referencia), mientras que el ruido queda reducido a la parte de su espectro comprendida en $\pm f_c$ en torno a $f_0$ — un ancho de banda $2f_c$ que puede hacerse todo lo estrecho que se quiera (una fracción de hercio para una constante de tiempo de filtro de segundos). Las componentes a otras frecuencias $f$ se desplazan a $f \pm f_0$ y el filtro las rechaza.

Demostración. $\cos a\cos b = \tfrac12[\cos(a - b) + \cos(a + b)]$ ; el filtro conserva el término de la diferencia para la señal, mientras que el término en $2\omega_0$ y cada componente de ruido a $f$ van a parar a $|f - f_0|$ y a $f + f_0$ — solo el ruido que estaba a menos de $f_c$ de $f_0$ cae por debajo de $f_c$ . ∎

Detección síncrona: la salida del sensor, señal más ruido de banda ancha, se multiplica por una referencia a la propia frecuencia de la señal y se filtra en paso bajo; solo sobrevive el ruido contenido en una banda estrecha en torno a f_0 (sombreada), y la señal sale como un nivel continuo. — Detección síncrona: la salida del sensor, señal más ruido de banda ancha, se multiplica por una referencia a la propia frecuencia de la señal y se filtra en paso bajo; solo sobrevive el ruido contenido en una banda estrecha en torno a $f_0$ (sombreada), y la señal sale como un nivel continuo.

Ejemplo 9.12 (Encontrar un microvoltio)

Un fotodiodo entrega $10\,\text{µ}\mathrm{V}$ de señal cuando su luz se trocea a $1\,\mathrm{kHz}$ , por encima de $50\,\mathrm{nV}/\sqrt{\mathrm{Hz}}$ de ruido blanco sobre $100\,\mathrm{kHz}$ ( $16\,\text{µ}\mathrm{V}$ eficaces: más que la señal). Tras la detección síncrona con un filtro de constante de tiempo $\tau = 1\,\mathrm{s}$ (ancho de banda de ruido $1/4\tau = 0.25\,\mathrm{Hz}$ ) el ruido vale $50\,\text{nV} \times \sqrt{0.25} = 25\,\mathrm{nV}$ : una relación señal/ruido de $400$ — al precio de esperar unos segundos por punto. El mismo truco, con el nombre de demodulación, recupera la música de una portadora de radio de AM y los datos de un módem.

Método 9.13 (Cómo diseñar una cadena de medida)

(1) Modúlese la magnitud que se quiere medir a una frecuencia $f_0$ alejada del ruido (troceador, puente de alterna). (2) Amplifíquese con un ancho de banda que cubra $f_0$ . (3) Detéctese de forma síncrona con un filtro cuya constante de tiempo sea la mayor que la medida pueda permitirse: el ruido cae como $1/\sqrt\tau$ . (4) Muestréese la salida lenta a un ritmo superior al doble de su ancho de banda, tras un filtro antisolapamiento y con bits suficientes para la resolución requerida. (5) Compruébese la cadena con una señal conocida, y compruébese que nada en ella oscila: todo amplificador con realimentación es un oscilador en potencia.

9.6 Ejercicios

Ejercicio 9.1 ★

Un oscilador de puente de Wien con $R = 10\,\mathrm{k}\Omega$ y $C = 10\,\mathrm{nF}$ : frecuencia; ganancia necesaria; valores de $R_1$ y $R_2$ para $K = 3.05$ con $R_1 = 10\,\mathrm{k}\Omega$ ; constante de tiempo del crecimiento de la amplitud. ¿Qué componentes fijan la frecuencia y cuáles el arranque?

Solución

Solución de Ejercicio 9.1.

$f_0 = 1/2\pi RC = 1.59\,\mathrm{kHz}$ ; $K = 3$ ; $R_2 = 2.05R_1 = 20.5\,\mathrm{k}\Omega$ ; $\tau = 2RC/(K - 3) = 4\,\mathrm{ms}$ . $R$ y $C$ fijan la frecuencia; $R_1$ y $R_2$ , el arranque (y la limitación de la amplitud).

Ejercicio 9.2 ★

Comparador con histéresis con $V_{\text{sat}} = \pm 13\,\mathrm{V}$ , $R_1 = 1.0\,\mathrm{k}\Omega$ , $R_2 = 4.0\,\mathrm{k}\Omega$ : umbrales y anchura de la histéresis. Una señal ruidosa que cruza el cero con $2\,\mathrm{V}$ de ruido: ¿cuántas veces conmuta la salida por cada cruce, con histéresis y sin ella?

Solución

Solución de Ejercicio 9.2.

$\beta = 0.2$ : umbrales $\pm2.6\,\mathrm{V}$ , histéresis $5.2\,\mathrm{V}$ . Un ruido de $2\,\mathrm{V}$ no puede volver a cruzar un umbral situado a $5.2\,\mathrm{V}$ : una conmutación por cruce; sin histéresis la salida repiquetea muchas veces.

Ejercicio 9.3 ★

Multivibrador astable con $R = 10\,\mathrm{k}\Omega$ , $C = 100\,\mathrm{nF}$ , $\beta = 0.5$ : periodo y frecuencia; $R$ para $1.0\,\mathrm{kHz}$ ; amplitud de la onda triangular en el condensador; ¿qué le ocurre a $T$ si $\beta$ sube a $0.9$ ?

Solución

Solución de Ejercicio 9.3.

$T = 2RC\ln3 = 2.2\,\mathrm{ms}$ , $455\,\mathrm{Hz}$ ; $R = 4.55\,\mathrm{k}\Omega$ para $1\,\mathrm{kHz}$ ; triángulo entre $\pm\beta V_{\text{sat}}$ ; con $\beta = 0.9$ : $T = 2RC\ln19 = 5.9\,\mathrm{ms}$ , $2.7$ veces más largo.

Ejercicio 9.4 ★

(a) Un disco compacto muestrea a $44.1\,\mathrm{kHz}$ : frecuencia máxima reproducida. (b) Un ultrasonido de $30\,\mathrm{kHz}$ se cuela en la grabación: ¿a qué frecuencia aparece? (c) Una rueda de $8$ radios filmada a veinticinco imágenes por segundo gira a $3.2$ vueltas/s: movimiento aparente. (d) Un osciloscopio a $10\,\mathrm{MS}/\mathrm{s}$ muestra una sinusoide limpia de $100\,\mathrm{kHz}$ ; ¿qué otras frecuencias podría tener la señal real?

Solución

Solución de Ejercicio 9.4.

(a) $22.05\,\mathrm{kHz}$ . (b) $|30 - 44.1| = 14.1\,\mathrm{kHz}$ . (c) Radios a $8 \times 3.2 = 25.6\,\mathrm{Hz}$ , alias $0.6\,\mathrm{Hz}$ : la rueda parece avanzar despacio a $0.075$ vueltas/s. (d) $100\,\mathrm{kHz} + n \times 10\,\mathrm{MHz}$ , o $n \times 10\,\mathrm{MHz} - 100\,\mathrm{kHz}$ : $9.9$ , $10.1$ , $19.9$ , $20.1\,\mathrm{MHz}$ , …

Ejercicio 9.5 ★★

Lazos con polinomios característicos (a) $p^2 + 3p + 2$ , (b) $p^2 - p + 4$ , (c) $p^2 + 4$ , (d) $p^3 + 2p^2 + 2p + 1$ , (e) $p^3 + p + 1$ : hállense o discútanse las raíces; ¿qué lazos son estables, cuáles oscilan y cuáles crecen? (Para los de grado tres, razónese sobre el signo de las partes reales: por ejemplo, muéstrese que (e) tiene una raíz real negativa y dos raíces complejas con parte real positiva, usando el producto y la suma de las raíces.)

Solución

Solución de Ejercicio 9.5.

(a) $-1$ , $-2$ : estable. (b) $(1 \pm \iu\sqrt{15})/2$ : oscilación creciente. (c) $\pm2\iu$ : oscilación mantenida. (d) $(p + 1)(p^2 + p + 1)$ : $-1$ y $(-1 \pm \iu\sqrt3)/2$ : estable. (e) Una raíz real próxima a $-0.68$ (el polinomio es monótono); la suma de las tres raíces es $0$ , de modo que el par complejo tiene parte real $+0.34$ : inestable.

Ejercicio 9.6 ★★

Red de Wien. (a) Dedúzcase $\underline\beta(\jmath\omega)$ a partir del divisor. (b) Dibújense a mano alzada su módulo y su fase; muéstrese que la fase se anula solo en $\omega_0$ y que el módulo vale entonces $1/3$ . (c) Escríbase la ecuación diferencial del lazo para una ganancia $K$ y discútanse $K < 3$ , $K = 3$ y $K > 3$ . (d) Con $K = 3.2$ y partiendo de un ruido de $1\,\mathrm{mV}$ , ¿cuánto tarda la amplitud en llegar a $10\,\mathrm{V}$ ? ¿Por qué la amplitud final no depende del ruido inicial?

Solución

Solución de Ejercicio 9.6.

(a) $\underline\beta = Z_p/(Z_s + Z_p)$ con $Z_s = R + 1/\jmath C\omega$ , $Z_p = R/(1 + \jmath RC\omega)$ : $\underline\beta = 1/[3 + \jmath(RC\omega - 1/RC\omega)]$ . (b) Módulo $1/\sqrt{9 + (RC\omega - 1/RC\omega)^2}$ , máximo $1/3$ en $\omega_0$ ; fase $-\arctan [(RC\omega - 1/RC\omega)/3]$ , nula solo en $\omega_0$ . (c) $R^2C^2\ddot v + (3 - K)RC \dot v + v = 0$ : amortiguada, mantenida, creciente. (d) Constante de tiempo del crecimiento $2RC/0.2 = 10RC = 1.6\,\mathrm{ms}$ ; $\ln10^4 = 9.2$ constantes: $15\,\mathrm{ms}$ . La amplitud final la fija la no linealidad (la saturación), no la semilla, que solo fija el retardo.

Ejercicio 9.7 ★★

Generador de triángulos. Un integrador (operacional, $R$ , $C$ ) se alimenta con la salida cuadrada $\pm V_{\text{sat}}$ de un comparador con histéresis cuya entrada es la salida del integrador; los umbrales del comparador valen $\pm V_{\text{sat}}R_1/R_2$ . (a) Muéstrese que la salida del integrador es un triángulo; su pendiente. (b) Periodo $T = 4RCR_1/R_2$ . (c) Valores: $R = 10\,\mathrm{k}\Omega$ , $C = 10\,\mathrm{nF}$ , $R_1/R_2 = 0.5$ . (d) Ventaja sobre el astable simple para un generador de funciones.

Solución

Solución de Ejercicio 9.7.

(a) La salida del integrador tiene pendiente $\mp V_{\text{sat}}/RC$ : un triángulo. (b) Cada rampa recorre $2V_{\text{sat}}R_1/R_2$ con pendiente $V_{\text{sat}}/RC$ : $T = 4RCR_1/R_2$ . (c) $4 \times 10^{-4} \times 0.5 = 0.2\,\mathrm{ms}$ , $5\,\mathrm{kHz}$ . (d) Un triángulo exactamente lineal, una frecuencia proporcional a $1/R$ (fácil de barrer) y salidas cuadrada y triangular en un mismo circuito.

Ejercicio 9.8 ★★

Cuantificación. (a) Un convertidor de $16$ bits sobre $\pm1\,\mathrm{V}$ : escalón, ruido de cuantificación eficaz y margen dinámico en dB. (b) $12$ bits a $1\,\mathrm{MS}/\mathrm{s}$ : caudal binario; lo mismo para $8$ bits a $1\,\mathrm{GS}/\mathrm{s}$ (un osciloscopio rápido). (c) Una señal de $1\,\mathrm{mV}$ en el convertidor de $16$ bits: ¿cuántos escalones? ¿Qué hay que hacer antes del convertidor? (d) ¿Por qué un buen equipo de audio añade un poco de ruido de difuminado antes de cuantificar?

Solución

Solución de Ejercicio 9.8.

(a) $\Delta = 2/65536 = 30.5\,\text{µ}\mathrm{V}$ , ruido $\Delta/\sqrt{12} = 8.8\,\text{µ}\mathrm{V}$ , $98\,\mathrm{dB}$ . (b) $12\,\mathrm{Mbit}/\mathrm{s}$ ; $8\,\mathrm{Gbit}/\mathrm{s}$ . (c) $33$ escalones: hay que amplificar por $100$ o más antes. (d) El difuminado convierte el error de redondeo, correlacionado con la señal (distorsión), en un ruido inocuo y no correlacionado.

Ejercicio 9.9 ★★

Una señal contiene componentes de $1.0\,\mathrm{kHz}$ y $9.0\,\mathrm{kHz}$ y se muestrea a $10\,\mathrm{kS}/\mathrm{s}$ . (a) ¿Dónde aparece cada una? (b) Se añade un filtro antisolapamiento $RC$ de primer orden con $f_c = 2\,\mathrm{kHz}$ : atenuación a $9\,\mathrm{kHz}$ en dB; ¿basta si se quieren $40\,\mathrm{dB}$ ? (c) Orden del filtro necesario (atenuación $\approx 20n$ dB por década); o, como alternativa, frecuencia de muestreo necesaria con el filtro de primer orden. (d) ¿Por qué los convertidores modernos sobremuestrean y filtran de forma digital?

Solución

Solución de Ejercicio 9.9.

(a) Ambas a $1\,\mathrm{kHz}$ . (b) $|H| = 1/\sqrt{1 + 4.5^2} = 0.22$ , $-13\,\mathrm{dB}$ : no. (c) $13\,\mathrm{dB} \times n \ge 40$ : tercer o cuarto orden; o una frecuencia de muestreo tal que el filtro de primer orden dé $40\,\mathrm{dB}$ en $f_s - 1\,\mathrm{kHz}$ , es decir, en $100f_c = 200\,\mathrm{kHz}$ : $f_s \approx 400\,\mathrm{kS}/\mathrm{s}$ . (d) El sobremuestreo empuja la banda de alias muy arriba, donde basta un filtro analógico suave; el filtrado abrupto se hace después de forma digital, antes de diezmar.

Ejercicio 9.10 ★★★

Lock-in. Entrada $A\cos(\omega_0t + \varphi) + n(t)$ multiplicada por $\cos\omega_0t$ y filtrada por un paso bajo de primer orden de constante de tiempo $\tau$ . (a) Salida en continua. (b) Muéstrese que una componente de ruido a $f = f_0 + \delta f$ da, tras el filtro, una amplitud reducida en $1/\sqrt{1 + (2\pi\delta f\tau)^2}$ ; dedúzcase el ancho de banda de ruido equivalente $B = 1/4\tau$ (admítase $\int_0^\infty \dd x/(1 + x^2) = \pi/2$ ). (c) Una señal de $1\,\text{µ}\mathrm{V}$ en $1\,\mathrm{mV}$ eficaces de ruido blanco sobre $10\,\mathrm{kHz}$ : densidad de ruido; $\tau$ para una relación señal/ruido de $10$ ; tiempo de medida. (d) Una captación de red de $50\,\mathrm{Hz}$ y $1\,\mathrm{mV}$ contamina la entrada, con $f_0 = 1\,\mathrm{kHz}$ : ¿adónde va y cuánto se atenúa para $\tau = 1\,\mathrm{s}$ ?

Solución

Solución de Ejercicio 9.10.

(a) $\tfrac12A\cos\varphi$ . (b) La componente en $f_0 + \delta f$ cae en $\delta f$ y pasa el filtro con $|H| = 1/\sqrt{1 + (2\pi\delta f\tau)^2}$ ; la transmisión en potencia integra a $\int_0^\infty\dd f/(1 + (2\pi f\tau)^2) = 1/4\tau$ . (c) $e_n = 1\,\text{mV}/\sqrt{10^4} = 10\,\text{µ}\mathrm{V}/\sqrt{\mathrm{Hz}}$ ; $e_n\sqrt B = 0.1\,\text{µ}\mathrm{V}$ exige $B = 1 \times 10^{-4}\,\mathrm{Hz}$ , $\tau = 2500\,\mathrm{s}$ : una hora por punto. (d) A $950$ y $1050\,\mathrm{Hz}$ , atenuada por $1/2\pi \times 950 \approx 1.7 \times 10^{-4}$ ( $-75\,\mathrm{dB}$ ).

Ejercicio 9.11 ★★★

Cuarzo. Un cristal de cuarzo se comporta, cerca de su resonancia, como una rama serie $L$ , $C$ , $r$ ( $L = 8000\,\mathrm{H}$ , $C = 3.0\,\mathrm{fF}$ , $r = 30\,\mathrm{k}\Omega$ ) en paralelo con $C_0 = 1.5\,\mathrm{pF}$ . (a) Frecuencia de resonancia serie y factor de calidad $Q = L\omega_0/r$ . (b) ¿Por qué un oscilador construido en torno a él mantiene su frecuencia con una parte en $10^6$ mientras que el puente de Wien deriva un tanto por ciento (piénsese en la pendiente de fase $\dd\varphi/\dd\omega$ de la red de realimentación cerca de la resonancia, $\sim 2Q/\omega_0$ )? (c) Un cuarzo de reloj a $32\,768\,\mathrm{Hz}$ se divide entre $2^{15}$ : resultado; su frecuencia varía como $-0.04\,\text{ppm}\,(T - 25{}^{\circ}\mathrm{C})^2$ : error por mes a $5{}^{\circ}\mathrm{C}$ . (d) ¿Por qué se eligen $32\,768\,\mathrm{Hz}$ y no $1\,\mathrm{MHz}$ ?

Solución

Solución de Ejercicio 9.11.

(a) $f_0 = 1/2\pi\sqrt{LC} = 32.5\,\mathrm{kHz}$ ; $Q = L\omega_0/r = 5.4 \times 10^{4}\,$ . (b) Cerca de la resonancia la fase de la realimentación gira $2Q/\omega_0$ por unidad de $\omega$ : un desfase parásito $\delta\varphi$ desplaza la frecuencia en $\delta\omega/\omega_0 = \delta\varphi/2Q$ — $10^{-6}$ para $Q = 10^5$ , y un tanto por ciento para $Q = 1/3$ . (c) $1\,\mathrm{Hz}$ ; $-0.04 \times 400 = -16\,\mathrm{ppm}$ : $16 \times 10^{-6} \times 2.6 \times 10^6 = 41\,\mathrm{s}$ de atraso al mes. (d) La frecuencia baja consume poca potencia en la lógica divisora, $2^{15}$ divide exactamente hasta $1\,\mathrm{Hz}$ , y el diminuto cristal en diapasón cabe en un reloj de pulsera.

Ejercicio 9.12 ★★★

Resistencia negativa. Un operacional lleva $R_2$ de la salida a la entrada $-$ , $R_1$ de la entrada $-$ a masa y $R$ de la salida a la entrada $+$ ; se estudia el dipolo visto entre la entrada $+$ y masa (en régimen lineal). (a) Muéstrese que se comporta como una resistencia $-RR_1/R_2$ . (b) Este dipolo se conecta en paralelo con un circuito $LC$ paralelo de resistencia de pérdidas $R_p$ (en paralelo): escríbase la ecuación de la tensión y hállense la condición de oscilación mantenida y la frecuencia. (c) Valores: $L = 10\,\mathrm{mH}$ , $C = 100\,\mathrm{nF}$ , $R_p = 50\,\mathrm{k}\Omega$ ; elíjanse $R$ y $R_1 = R_2$ . (d) ¿Qué limita la amplitud y cómo se compara este oscilador con el puente de Wien?

Solución

Solución de Ejercicio 9.12.

(a) $v_- = v_+ = v$ , $v_{\text{sal}} = v(1 + R_2/R_1)$ ; la corriente que entra en el dipolo, $i = (v - v_{\text{sal}})/R = -vR_2/RR_1$ : $v/i = -RR_1/R_2$ . (b) $C\dot v + v(1/R_p - R_2/RR_1) + \frac1L\int v\,\dd t = 0$ : mantenida cuando $R = R_pR_2/R_1$ , a $\omega = 1/\sqrt{LC}$ (creciente para $R$ menor). (c) $f = 5.0\,\mathrm{kHz}$ , $R \lesssim 50\,\mathrm{k}\Omega$ (por ejemplo $48\,\mathrm{k}\Omega$ ). (d) La saturación; el $Q = R_p \sqrt{C/L} = 160$ del circuito resonante da una frecuencia mucho más estable que la red de Wien.

9.7 Problema: una cadena de medida con detección síncrona

Problema 9.1

Problema de fin de semana — del oscilador de referencia al resultado digitalizado: medir diez microvoltios de señal luminosa bajo un milivoltio de ruido

Se quiere medir una luz débil con un fotodiodo. La luz se trocea con una rueda giratoria a $f_0 = 1.00\,\mathrm{kHz}$ , de modo que la salida del fotodiodo es una sinusoide de amplitud $A = 10\,\text{µ}\mathrm{V}$ a $f_0$ (tras un primer amplificador), sobre la que cabalga un ruido blanco de densidad espectral $e_n = 50\,\mathrm{nV}/\sqrt{\mathrm{Hz}}$ en un ancho de banda de $100\,\mathrm{kHz}$ , más una captación de red de $50\,\mathrm{Hz}$ y $1.0\,\mathrm{mV}$ . La frecuencia del propio troceador la fija un oscilador de puente de Wien.

Parte I — El oscilador de referencia. Puente de Wien con $C = 10\,\mathrm{nF}$ y operacional que satura a $\pm12\,\mathrm{V}$ .

$R$ para $f_0 = 1.00\,\mathrm{kHz}$ .
Dedúzcase la función de transferencia de la red de Wien y compruébese que su fase se anula en $f_0$ con módulo $1/3$ .
Escríbase la ecuación diferencial del lazo para una ganancia $K$ ; para $K = 3.15$ , tiempo que tarda la amplitud en crecer en un factor $1000$ .
La amplitud acaba limitada por la saturación: descríbase la forma de onda y por qué importan sus armónicos en una referencia.
Un termistor en lugar de $R_1$ (cuya resistencia baja al calentarse) o una bombilla (que sube): ¿cuál estabiliza la ganancia en 3, y cómo?
Los condensadores derivan un $+1\%$ con la temperatura: nueva frecuencia. ¿Por qué sigue sirviendo entonces el troceador para la medida (qué debe hacer la referencia)?
La red de Wien tiene un factor de calidad de alrededor de $1/3$ : ¿qué implica eso para la pureza de la frecuencia frente a un cuarzo ( $Q \sim 10^5$ )?

Parte II — La señal y el ruido.

Valor eficaz del ruido blanco sobre los $100\,\mathrm{kHz}$ completos; relación señal/ruido a la salida del amplificador.
Se intercala un filtro paso banda de factor de calidad $Q = 10$ centrado en $f_0$ (ancho de banda de ruido $\approx f_0/Q$ ): ruido eficaz y relación señal/ruido. ¿Por qué no basta esto para una medida precisa (piénsese en las derivas y en los $50\,\mathrm{Hz}$ )?
¿Por qué trocear la luz a $1\,\mathrm{kHz}$ en lugar de medir directamente la fotocorriente continua? (Los amplificadores tienen un ruido en “ $1/f$ ” que crece por debajo de unos cientos de hercios.)
Amplitud de la señal si la rueda troceadora produce una modulación cuadrada en lugar de sinusoidal: ¿qué armónico conserva el lock-in y con qué amplitud (coeficiente de Fourier $4/\pi$ para el fundamental de una onda cuadrada de amplitud unidad)?
El fotodiodo recibe además la luz de la sala a $100\,\mathrm{Hz}$ (tubos fluorescentes): ¿qué hace con ella la cadena?

Parte III — La detección síncrona. La señal amplificada se multiplica por la referencia $\cos(2\pi f_0t)$ y se filtra con un paso bajo de primer orden de constante de tiempo $\tau$ .

Salida del multiplicador para la señal sola (con fase $\varphi$ entre señal y referencia); el término continuo.
Atenuación del término en $2f_0$ por el filtro para $\tau = 1\,\mathrm{s}$ (en dB).
Ancho de banda de ruido equivalente $1/4\tau$ ; ruido eficaz a la salida para $\tau = 1\,\mathrm{s}$ y relación señal/ruido; lo mismo para $\tau = 10\,\mathrm{s}$ .
¿Dónde acaba la captación de $50\,\mathrm{Hz}$ y con qué atenuación para $\tau = 1\,\mathrm{s}$ ?
La fase $\varphi$ es desconocida: ¿qué se pierde si $\varphi = 60{}^{\circ}$ ? Descríbase el lock-in de dos canales (en fase y en cuadratura) y cómo recupera $A$ sea cual sea $\varphi$ .
Tiempo de respuesta de la medida (el que tarda en llegar al $99\%$ del valor final) para $\tau = 1\,\mathrm{s}$ ; el compromiso que eso expresa.
La referencia deriva a $1001\,\mathrm{Hz}$ mientras el troceador se queda en $1000\,\mathrm{Hz}$ : salida del lock-in; por qué la referencia debe tomarse del propio troceador.

Parte IV — La digitalización.

La salida del lock-in la muestrea un ordenador: ritmo mínimo para $\tau = 1\,\mathrm{s}$ (tómese el ancho de banda de salida como $1/2\pi\tau$ ); una elección cómoda.
Como alternativa se digitaliza la señal bruta de $1\,\mathrm{kHz}$ y la detección se hace por programa: frecuencia de muestreo mínima; el ruido llega hasta $100\,\mathrm{kHz}$ — ¿qué hay que hacer antes de muestrear y qué atenuación a $100\,\mathrm{kHz}$ da un muestreo a $20\,\mathrm{kS}/\mathrm{s}$ con un filtro de cuarto orden cortado a $5\,\mathrm{kHz}$ ( $80\,\mathrm{dB}$ por década)?
Un convertidor de $16$ bits sobre $\pm1\,\mathrm{V}$ : escalón; la señal de $10\,\text{µ}\mathrm{V}$ amplificada por $1000$ : ¿cuántos escalones, y el ruido ayuda o estorba?
Lock-in digital: el ordenador multiplica cada muestra por $\cos(2\pi f_0nT_s)$ y promedia $N$ muestras. A $20\,\mathrm{kS}/\mathrm{s}$ , ¿qué $N$ da un promedio de $1\,\mathrm{s}$ ?; ¿en qué factor se reduce el ruido blanco y es el mismo que el del filtro analógico?
Una señal de $1\,\mathrm{kHz}$ muestreada a $999\,\mathrm{S}/\mathrm{s}$ : ¿qué ve el ordenador? ¿Qué relación tiene esto con el principio mismo del lock-in?
Resúmase la cadena en una tabla: cada etapa, qué le hace a la señal y qué le hace al ruido.

Solución

Solución de Problema 9.1.

1. $R = 1/2\pi f_0C = 15.9\,\mathrm{k}\Omega$ .

2. $\underline\beta = 1/[3 + \jmath(RC\omega - 1/RC\omega)]$ : real, $= 1/3$ , en $\omega_0 = 1/RC$ .

3. $R^2C^2\ddot v + (3 - K)RC\dot v + v = 0$ ; constante de tiempo $2RC/0.15 = 2.1\,\mathrm{ms}$ ; $\ln1000 = 6.9$ : $15\,\mathrm{ms}$ .

4. Una sinusoide con las crestas achatadas: armónicos impares. Una referencia rica en armónicos detecta también los armónicos de la señal (y el ruido que hay en ellos): el resultado deja de medir solo el fundamental.

5. La bombilla: al subir la amplitud se calienta, $R_1$ sube y $K = 1 + R_2/R_1$ baja hasta $3$ . Un termistor en lugar de $R_1$ haría lo contrario (su sitio es el de $R_2$ ).

6. $f \propto 1/C$ : $990\,\mathrm{Hz}$ . La referencia del lock-in se toma del propio troceador (con un detector en la rueda), de modo que lo sigue.

7. $Q \sim 1/3$ : un pequeño desfase en cualquier punto del lazo desplaza la frecuencia un tanto por ciento; el $10^5$ de un cuarzo la mantiene con una precisión de $10^{-6}$ .

8. $50\,\text{nV} \times \sqrt{10^5} = 16\,\text{µ}\mathrm{V}$ eficaces: relación señal/ruido $0.6$ .

9. $B = 100\,\mathrm{Hz}$ : $0.5\,\text{µ}\mathrm{V}$ , relación $20$ — pero el centro del filtro deriva con sus componentes, y la captación de $50\,\mathrm{Hz}$ solo queda atenuada en $\sim 1/[Q(f_0/f - f/f_0)] = 0.005$ : $5\,\text{µ}\mathrm{V}$ , la mitad de la señal.

10. Por debajo de unos cientos de hercios dominan el ruido en $1/f$ del amplificador y las derivas; a $1\,\mathrm{kHz}$ el suelo de ruido es blanco y bajo, y los desplazamientos de cero no cuentan.

11. Una modulación cuadrada entre $0$ y $A_0$ vale $A_0/2 + (2A_0/\pi) \cos\omega_0t + \dots$ : el lock-in conserva el fundamental, $0.64A_0$ .

12. Los $100\,\mathrm{Hz}$ se mezclan hasta $900$ y $1100\,\mathrm{Hz}$ y los elimina el paso bajo.

13. $\tfrac12A\cos\varphi + \tfrac12A\cos(2\omega_0t + \varphi)$ ; término continuo $\tfrac12A\cos\varphi$ .

14. $1/2\pi f\tau = 1/2\pi \times 2000 = 8 \times 10^{-5}$ : $-82\,\mathrm{dB}$ .

15. $B = 1/4\tau = 0.25\,\mathrm{Hz}$ : $e_n\sqrt B = 25\,\mathrm{nV}$ frente a $A = 10\,\text{µ}\mathrm{V}$ : relación $400$ ; con $\tau = 10\,\mathrm{s}$ : $7.9\,\mathrm{nV}$ , relación $1300$ .

16. A $950$ y $1050\,\mathrm{Hz}$ : atenuada por $1/2\pi \times 950 = 1.7 \times 10^{-4}$ ( $-75\,\mathrm{dB}$ ): $0.17\,\text{µ}\mathrm{V}$ de rizado, una décima parte de la señal — aun así conviene un filtro de rechazo aguas arriba.

17. $\cos60^\circ = 0.5$ : la mitad de la señal. Un segundo multiplicador con la referencia desfasada $90{}^{\circ}$ da $Y = \tfrac12A\sin\varphi$ ; con $X = \tfrac12A\cos\varphi$ , $A = 2\sqrt{X^2 + Y^2}$ y $\varphi = \arctan(Y/X)$ , sea cual sea $\varphi$ .

18. $\tau\ln100 = 4.6\,\mathrm{s}$ ; el ruido cae como $1/\sqrt\tau$ y el tiempo de medida crece como $\tau$ .

19. El término de la diferencia vale $\tfrac12A\cos(2\pi \times 1\,\text{Hz}\,t + \varphi)$ , que el filtro deja pasar con $1/\sqrt{1 + (2\pi)^2} = 0.16$ : una oscilación lenta en lugar de un nivel. La referencia debe ser coherente con la señal: hay que tomarla del troceador.

20. Ancho de banda $1/2\pi\tau = 0.16\,\mathrm{Hz}$ : por encima de $0.32\,\mathrm{S}/\mathrm{s}$ ; $10\,\mathrm{S}/\mathrm{s}$ resulta cómodo.

21. Al menos $2\,\mathrm{kS}/\mathrm{s}$ ; el filtro antisolapamiento es obligatorio; de cuarto orden a $5\,\mathrm{kHz}$ : $80\log_{10}(100/5) = 104\,\mathrm{dB}$ a $100\,\mathrm{kHz}$ (y $46\,\mathrm{dB}$ a $19\,\mathrm{kHz}$ , el ruido que se solaparía sobre $1\,\mathrm{kHz}$ ).

22. Escalón $30.5\,\text{µ}\mathrm{V}$ ; $10\,\mathrm{mV}$ son $330$ escalones; el ruido amplificado ( $16\,\mathrm{mV}$ eficaces) abarca muchos escalones y, al promediar, permite resolver la media muy por debajo de un escalón: ayuda.

23. $N = 20000$ ; el ruido blanco cae en $\sqrt N = 140$ ; un promediado rectangular de $1\,\mathrm{s}$ tiene un ancho de banda de ruido $1/2T = 0.5\,\mathrm{Hz}$ — el doble que el del $RC$ analógico, comparable.

24. Las muestras recorren despacio la sinusoide: un alias de $1\,\mathrm{Hz}$ . El lock-in hace lo mismo a propósito: muestrear a la fase de la referencia es multiplicar por la referencia.

25. Troceador: la señal se traslada a $1\,\mathrm{kHz}$ y el ruido no cambia (pero se evita la parte en $1/f$ ). Amplificador: ambos $\times$ la ganancia. Multiplicador: la señal a continua, el ruido repartido. Paso bajo: la señal se conserva, el ruido se recorta a $1/4\tau$ . Muestreador y convertidor: la señal se digitaliza, y el filtro y el número de bits controlan los alias y la cuantificación.

Términos definidos en este capítulo

Lazo cerrado; ganancia de lazo

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