Física universitaria — segundo año · Bachelor Year 2

31Pozos de potencial, barreras y efecto túnel

Una bola en un cuenco rueda de un lado a otro con la energía que se le haya dado; un electrón en un átomo, un nucleón en un núcleo o un electrón en un cristal de tamaño nanométrico solo pueden tener ciertas energías, y la más baja de ellas no es nula. Una bola no puede cruzar una colina más alta de lo que su energía permite; una partícula $\alpha$ sale de un núcleo por un muro de Coulomb que nunca podría escalar, la punta de un microscopio de efecto túnel arrastra una corriente por un hueco de vacío, y el átomo de nitrógeno del amoniaco atraviesa el plano de sus tres hidrógenos veinticuatro mil millones de veces por segundo. Este capítulo resuelve la ecuación de Schrödinger en los potenciales más sencillos — pozos de paredes infinitas y finitas, un escalón, una barrera, un doble pozo — y encuentra en ellos los dos grandes hechos cuánticos que la mecánica clásica no sabe producir: la cuantización de las energías ligadas y el efecto túnel a través de regiones clásicamente prohibidas, con su sensibilidad exponencial a la anchura y a la altura de la barrera, que es por lo que puede servir de regla de picómetros y por lo que las vidas medias radiactivas abarcan treinta órdenes de magnitud.

Un microscopio de efecto túnel: una punta metálica sostenida a unas décimas de nanómetro de una superficie; la corriente túnel, que cambia diez veces por cada décima de nanómetro, cartografía la superficie átomo a átomo.

31.1 El pozo infinito

Proposición 31.1 (Pozo cuadrado infinito)

Una partícula confinada en $0 < x < L$ por paredes impenetrables ( $V = 0$ dentro, $V = \infty$ fuera, de modo que $\varphi = 0$ en las paredes) tiene los estados estacionarios y las energías

\varphi_n(x) = \sqrt{\frac{2}{L}}\sin\frac{n\pi x}{L}, \qquad E_n = \frac{n^2h^2}{8mL^2} = n^2E_1, \qquad n = 1, 2, 3, \dots

Las energías están cuantizadas, crecen como $n^2$ , y la más baja no es nula: la energía de confinamiento $E_1 = h^2/8mL^2$ es el precio de la localización ( $\Delta x \sim L$ obliga a $\Delta p \sim h/2L$ ). Las $\varphi_n$ son ortogonales, $\int\varphi_n\varphi_m\dd x = \delta_{nm}$ , y cualquier estado del pozo es una superposición de ellas.

Demostración. Dentro, $\varphi'' = -k^2\varphi$ con $k^2 = 2mE/\hbar^2$ : $\varphi = A\sin kx + B\cos kx$ ; $\varphi(0) = 0$ mata a $B$ y $\varphi(L) = 0$ exige $kL = n\pi$ — las ondas estacionarias de una cuerda, con $E = \hbar^2k^2/2m$ . La normalización da $A = \sqrt{2/L}$ ; la ortogonalidad es la de los senos. ∎

El pozo infinito: los tres primeros niveles, E_n n2, con sus funciones de onda (a la izquierda) y sus densidades de probabilidad (a la derecha) — n - 1 nodos, y un estado fundamental repartido por todo el pozo y de energía no nula. — El pozo infinito: los tres primeros niveles, $E_n \propto n^2$ , con sus funciones de onda (a la izquierda) y sus densidades de probabilidad (a la derecha) — $n - 1$ nodos, y un estado fundamental repartido por todo el pozo y de energía no nula.

Ejemplo 31.2 (Órdenes de magnitud, y colores)

$E_1 = h^2/8mL^2$ : un electrón en $1\,\mathrm{nm}$ , $0.38\,\mathrm{eV}$ ; en $0.1\,\mathrm{nm}$ (un átomo), $38\,\mathrm{eV}$ — la escala de las energías atómicas; un nucleón en $5\,\mathrm{fm}$ , $8\,\mathrm{MeV}$ — la escala de las energías nucleares; una canica en una caja, $10^{-63}\,\mathrm{J}$ — nadie lo notará. Un nanocristal semiconductor de unos pocos nanómetros (un punto cuántico) confina sus electrones: la energía de confinamiento se suma a la banda prohibida del cristal, así que cuanto menor es el punto, más azul es la luz que emite — el mismo material brilla en rojo con $6\,\mathrm{nm}$ y en verde con $3\,\mathrm{nm}$ , regulado solo por el tamaño.

31.2 El pozo finito

Proposición 31.3 (Pozo cuadrado finito)

Para $V = 0$ en $|x| < a$ y $V = V_0$ fuera, un estado con $0 < E < V_0$ oscila dentro ( $k = \sqrt{2mE}/\hbar$ ) y decae fuera ( $\kappa = \sqrt{2m(V_0 - E)}/\hbar$ ): $\varphi \propto \eu^{-\kappa|x|}$ más allá de las paredes. Empalmar $\varphi$ y $\varphi'$ en $x = \pm a$ da, para los estados pares e impares,

k\tan ka = \kappa \quad\text{(par)}, \qquad -k\cot ka = \kappa \quad\text{(impar)}, \qquad\text{con}\quad (ka)^2 + (\kappa a)^2 = \frac{2mV_0a^2}{\hbar^2} \equiv R^2 .

Gráficamente, las soluciones son las intersecciones de las curvas $\eta = \xi\tan\xi$ , $\eta = -\xi\cot\xi$ con la circunferencia $\xi^2 + \eta^2 = R^2$ ( $\xi = ka$ , $\eta = \kappa a$ ): siempre hay al menos un estado ligado (el fundamental, par), y en total $1 + \lfloor 2R/\pi\rfloor$ . La partícula penetra en la región prohibida hasta la profundidad $1/\kappa$ , y los niveles quedan por debajo de los del pozo infinito de la misma anchura.

Demostración. La solución par es $A\cos kx$ dentro y $B\eu^{-\kappa|x|}$ fuera; la continuidad de $\varphi'/\varphi$ en $x = a$ da $-k\tan ka = -\kappa$ . Lo mismo para la impar con $\sin$ . La circunferencia es la definición de $k$ y $\kappa$ . Cada rama de $\xi\tan\xi$ que arranca en $\xi = n\pi$ y de $-\xi\cot\xi$ que arranca en $(n + \tfrac12)\pi$ corta la circunferencia una vez si arranca dentro de ella: de ahí el recuento. ∎

Solución gráfica del pozo finito: los estados ligados son las intersecciones de la circunferencia de radio R = a√2mV_0/ con las ramas (estados pares) y - (impares). Aquí R = 4: tres estados ligados; la circunferencia pequeña discontinua (R = 1.2) todavía corta la primera rama — un pozo siempre liga al menos un estado. — Solución gráfica del pozo finito: los estados ligados son las intersecciones de la circunferencia de radio $R = a\sqrt{2mV_0}/\hbar$ con las ramas $\xi\tan\xi$ (estados pares) y $-\xi\cot\xi$ (impares). Aquí $R = 4$ : tres estados ligados; la circunferencia pequeña discontinua ( $R = 1.2$ ) todavía corta la primera rama — un pozo siempre liga al menos un estado.

Ejemplo 31.4 (Un electrón en un pozo de un nanómetro)

$V_0 = 1\,\mathrm{eV}$ , anchura $2a = 1\,\mathrm{nm}$ : $R = a\sqrt{2mV_0}/\hbar = 0.5 \times 10^{-9} \times 5.1 \times 10^9 = 2.6$ , luego $1 + \lfloor 2R/\pi\rfloor = 2$ estados ligados; el fundamental queda cerca de $0.26\,\mathrm{eV}$ en vez de los $0.38\,\mathrm{eV}$ del pozo infinito, y se cuela $0.2\,\mathrm{nm}$ dentro de las paredes ( $1/\kappa = \hbar/\sqrt{2m(V_0 - E)}$ ). Pozos así, crecidos como capas de semiconductores de unos pocos nanómetros de espesor, son el corazón de los diodos láser de Capítulo 23.

31.3 Escalón y barrera: el efecto túnel

Proposición 31.5 (Escalón de potencial)

Una partícula de energía $E$ que llega desde $x < 0$ al escalón $V = V_0$ en $x > 0$ :

$E > V_0$ : $\varphi = \eu^{\iu k_1x} + r\eu^{-\iu k_1x}$ a la izquierda y $t\eu^{\iu k_2x}$ a la derecha, con $k_{1,2} = \sqrt{2m(E - V_{0,\text{izq/der}})}/ \hbar$ ; la continuidad de $\varphi$ y de $\varphi'$ da $r = (k_1 - k_2)/(k_1 + k_2)$ y la probabilidad de reflexión (cociente de corrientes) $R = r^2$ , $T = 1 - R = 4k_1k_2/(k_1 + k_2)^2$ — una partícula puede ser reflejada por un escalón que tiene energía de sobra para subir, exactamente como una onda en una cuerda por un cambio de impedancia (Capítulo 15);
$E < V_0$ : a la derecha $\varphi = t\eu^{-\kappa x}$ , $\kappa = \sqrt{2m(V_0 - E)}/\hbar$ — una onda evanescente; $|r| = 1$ (reflexión total, con un desfase), no circula corriente hacia el escalón, pero la partícula se encuentra allí con una probabilidad que decae en $1/\kappa$ .

Demostración. Escríbanse las ecuaciones de continuidad en $x = 0$ y resuélvanse; para las corrientes úsese $j = (|A|^2 - |B|^2)\hbar k/m$ (Capítulo 30). Para $E < V_0$ , $r = (k - \iu\kappa)/(k + \iu\kappa)$ , de módulo uno. ∎

Teorema 31.6 (Efecto túnel a través de una barrera)

Una partícula de energía $E < V_0$ que encuentra una barrera rectangular de altura $V_0$ y anchura $a$ se transmite con la probabilidad

T = \Big[1 + \frac{V_0^2\sinh^2(\kappa a)}{4E(V_0 - E)}\Big]^{-1} \ \approx\ 16\,\frac{E}{V_0}\Big(1 - \frac{E}{V_0}\Big)\eu^{-2\kappa a} \quad (\kappa a \gg 1), \qquad \kappa = \frac{\sqrt{2m(V_0 - E)}}{\hbar} .

Este es el efecto túnel: clásicamente imposible y cuánticamente pequeño de forma exponencial — y exponencialmente sensible a la anchura $a$ , a la altura $V_0 - E$ y a la masa $m$ . Para un electrón $1\,\mathrm{eV}$ por debajo de la cima, $\kappa = 5.1\,\mathrm{nm}^{-1}$ : $T \sim 10^{-2}$ para $a = 0.5\,\mathrm{nm}$ , $10^{-4}$ para $1\,\mathrm{nm}$ y $10^{-9}$ para $2\,\mathrm{nm}$ ; para un protón, $\kappa$ es $43$ veces mayor y no pasa nada con estas anchuras.

Demostración. $\varphi = \eu^{\iu kx} + r\eu^{-\iu kx}$ para $x < 0$ , $A\eu^{\kappa x} + B\eu^{-\kappa x}$ dentro y $t\eu^{\iu kx}$ para $x > a$ ; cuatro condiciones de continuidad (de $\varphi$ y de $\varphi'$ en $0$ y en $a$ ) para cuatro incógnitas; eliminando $A$ , $B$ y $r$ resulta $1/|t|^2 = 1 + (k^2 + \kappa^2)^2\sinh^2(\kappa a)/4k^2\kappa^2$ , que es la fórmula con $k^2 = 2mE/\hbar^2$ , $\kappa^2 = 2m(V_0 - E)/\hbar^2$ . Para $\kappa a \gg 1$ , $\sinh\kappa a \approx \eu^{\kappa a}/2$ . Para una barrera de forma cualquiera el exponente pasa a ser $2\int\kappa(x)\dd x$ a lo ancho de la región prohibida (el factor de Gamow, admitido). ∎

Efecto túnel a través de una barrera: la onda oscila a la izquierda, decae exponencialmente dentro de la región clásicamente prohibida y emerge a la derecha con una amplitud reducida — la misma longitud de onda, una probabilidad pequeña.

Ejemplo 31.7 (El microscopio de efecto túnel)

Se acerca una punta metálica afilada a $d \approx 0.5\,\mathrm{nm}$ de una superficie conductora y se aplica una tensión pequeña: los electrones pasan por túnel el hueco de vacío, cuya altura de barrera es la función de trabajo $\Phi \approx 4.5\,\mathrm{eV}$ , así que $\kappa = \sqrt{2m\Phi}/\hbar = 1.1 \times 10^{10}\,\mathrm{m}^{-1}$ y la corriente $I \propto \eu^{-2\kappa d}$ cambia en un factor $\eu^{2.2} \approx 10$ por cada $0.1\,\mathrm{nm}$ . Un lazo de realimentación mueve la punta para mantener $I$ constante, y la altura de la punta, registrada mientras barre, dibuja la superficie con una resolución vertical de un picómetro — y lateralmente átomo a átomo, porque el último átomo de la punta, por ser el más cercano, lleva casi toda la corriente (Binnig y Rohrer, 1981).

Ejemplo 31.8 (Desintegración alfa)

Una partícula $\alpha$ de $5\,\mathrm{MeV}$ dentro de un núcleo pesado se enfrenta a la barrera de Coulomb de la carga restante $Ze$ , de decenas de MeV de altura en la superficie nuclear y que se extiende hasta el radio $b = 2Ze^2/4\pi\varepsilon_0E \approx 50\,\mathrm{fm}$ , donde $V = E$ . El factor de Gamow $2\int\kappa\,\dd r$ es del orden de $80$ : $T \sim \eu^{-80} \sim 10^{-35}$ . La partícula golpea la pared unas $10^{21}$ veces por segundo, así que escapa a un ritmo $\sim 10^{-14} \,\mathrm{s}^{-1}$ : una vida media de un millón de años. Como el exponente varía como $Z/\sqrt E$ , un cambio de $2\,\mathrm{MeV}$ en $E$ desplaza la vida media veinte órdenes de magnitud — la ley de Geiger–Nuttall, de microsegundos a la edad del universo (Gamow, 1928: la primera aplicación del efecto túnel).

Resolución atómica en una superficie de oro, tomada con un microscopio de efecto túnel: las filas de átomos de la cara (100) reconstruida, separadas unas décimas de nanómetro.

31.4 El doble pozo

Proposición 31.9 (Desdoblamiento por efecto túnel)

Dos pozos idénticos separados por una barrera: si la barrera fuera impenetrable, cada pozo tendría el mismo nivel fundamental $E_0$ , dos veces. El efecto túnel los acopla y los dos estados más bajos del doble pozo son las combinaciones simétrica y antisimétrica, $\varphi_\pm \approx (\varphi_{\text{I}} \pm \varphi_{\text{D}})/\sqrt2$ , con energías $E_0 \mp \Delta/2$ : el nivel queda desdoblado en una cantidad $\Delta \propto \eu^{-\kappa a}$ (la amplitud de túnel, no su cuadrado). Una partícula colocada en el pozo izquierdo, $\psi = (\varphi_+ + \varphi_-)/\sqrt2$ , no es estacionaria: oscila entre los pozos con la frecuencia $\nu = \Delta/h$ — las oscilaciones de túnel, los batidos de dos niveles de Capítulo 30.

Demostración. La combinación simétrica no tiene nodo bajo la barrera y su curvatura es menor, luego su energía es menor; la antisimétrica tiene un nodo y queda más arriba; el desdoblamiento es proporcional al solapamiento de las funciones localizadas bajo la barrera, $\eu^{-\kappa a}$ . El batido es la superposición de dos niveles ya calculada. ∎

El doble pozo: el nivel degenerado de los dos pozos aislados se desdobla en un estado simétrico (el más bajo) y uno antisimétrico (el más alto) en - a; una partícula que empieza en un lado pasa por túnel de un lado a otro con la frecuencia /h. — El doble pozo: el nivel degenerado de los dos pozos aislados se desdobla en un estado simétrico (el más bajo) y uno antisimétrico (el más alto) en $\Delta \propto \eu^{-\kappa a}$ ; una partícula que empieza en un lado pasa por túnel de un lado a otro con la frecuencia $\Delta/h$ .

Ejemplo 31.10 (El amoniaco)

En el NH $_3$ el átomo de nitrógeno se sitúa a un lado del plano de los tres hidrógenos o al otro — un doble pozo con una barrera de unos $0.25\,\mathrm{eV}$ . El desdoblamiento por túnel del nivel fundamental vale $\Delta = 1 \times 10^{-4}\,\mathrm{eV}$ : $\nu = \Delta/h = 24\,\mathrm{GHz}$ , la frecuencia de inversión, la transición del primer máser y del primer reloj atómico (1949). Sustitúyase el hidrógeno por deuterio y la molécula, más pesada, pasa menos por túnel: $1.6\,\mathrm{GHz}$ . En pirámides más pesadas (PH $_3$ , AsH $_3$ ) el desdoblamiento se desploma a kilohercios y menos: la molécula se queda de su lado durante años — que es la razón de que existan moléculas levógiras y dextrógiras, y de que el azúcar no se racemice en la estantería.

Charles Townes con el primer máser (1954): un haz de moléculas de amoniaco, seleccionadas por un campo eléctrico en el estado de inversión superior, amplificaba la transición de 24\, GHz en una cavidad — el primer dispositivo de emisión estimulada, seis años antes que el láser. — Charles Townes con el primer máser (1954): un haz de moléculas de amoniaco, seleccionadas por un campo eléctrico en el estado de inversión superior, amplificaba la transición de $24\,\mathrm{GHz}$ en una cavidad — el primer dispositivo de emisión estimulada, seis años antes que el láser.

Método 31.11 (Pozos y barreras)

(1) Escríbase $\varphi$ región por región: $\eu^{\pm\iu kx}$ donde $E > V$ y $\eu^{\pm\kappa x}$ donde $E < V$ , con $k, \kappa = \sqrt{2m|E - V|}/\hbar$ . (2) Empálmense $\varphi$ y $\varphi'$ en cada frontera (en una pared infinita, $\varphi = 0$ ). (3) Estados ligados: el empalme solo tiene solución para $E$ discretos — cuéntense gráficamente. (4) Difusión: las corrientes $(|A|^2 - |B|^2)\hbar k/m$ dan $R$ y $T$ . (5) Efecto túnel: $T \sim \eu^{-2\kappa a}$ ; primero el orden de magnitud y después el prefactor. (6) Doble pozo: desdoblamiento $\propto\eu^{-\kappa a}$ y batidos a $\Delta/h$ .

31.5 Ejercicios

Ejercicio 31.1 ★

Pozo infinito: electrón en $1\,\mathrm{nm}$ ( $E_1$ , $E_2$ , $E_3$ y longitud de onda del fotón $2 \to 1$ ); electrón en $0.1\,\mathrm{nm}$ ; nucleón en $5\,\mathrm{fm}$ ; y una canica de $1\,\mathrm{g}$ en $10\,\mathrm{cm}$ ( $E_1$ , y el número cuántico para una celeridad de $1\,\mathrm{cm}/\mathrm{s}$ ).

Solución

Solución de Ejercicio 31.1.

$1\,\mathrm{nm}$ : $0.38\,$ , $1.50\,$ , $3.38\,\mathrm{eV}$ ; $2 \to 1$ : $1.13\,\mathrm{eV}$ , $1.1\,\text{µ}\mathrm{m}$ . $0.1\,\mathrm{nm}$ : $38\,\mathrm{eV}$ . Nucleón: $8\,\mathrm{MeV}$ . Canica: $E_1 = 5.5 \times 10^{-63}\,\mathrm{J}$ ; $n = 2mvL/h = 3 \times 10^{27}$ .

Ejercicio 31.2 ★

Puntos cuánticos: un nanocristal de banda prohibida $1.74\,\mathrm{eV}$ confina un par electrón-hueco cuya energía de confinamiento vale $h^2/8m^*L^2$ con $m^* = 0.1\,m_{\text{e}}$ . Longitud de onda de emisión para $L = 6$ , $4$ , $3$ y $2.5\,\mathrm{nm}$ ; ¿qué colores?

Solución

Solución de Ejercicio 31.2.

Confinamiento $3.76\,\mathrm{eV}\,\mathrm{nm}^{2}/L^2$ : $0.10$ , $0.24$ , $0.42$ , $0.60\,\mathrm{eV}$ ; en total $1.84$ , $1.98$ , $2.16$ , $2.34\,\mathrm{eV}$ : $673\,$ , $628\,$ , $574\,$ , $530\,\mathrm{nm}$ — rojo, naranja, verde amarillento y verde.

Ejercicio 31.3 ★

Efecto túnel: electrón con $V_0 - E = 4.5\,\mathrm{eV}$ : $\kappa$ ; $\eu^{-2\kappa a}$ para $a = 0.3$ , $0.5$ , $1$ y $2\,\mathrm{nm}$ ; factor por cada $0.1\,\mathrm{nm}$ ; lo mismo para un protón con $a = 0.3\,\mathrm{nm}$ .

Solución

Solución de Ejercicio 31.3.

$\kappa = 1.09 \times 10^{10}\,\mathrm{m}^{-1}$ ; $\eu^{-2\kappa a}$ : $1.5 \times 10^{-3}$ , $1.8 \times 10^{-5}$ , $3 \times 10^{-10}$ , $10^{-19}$ ; $\times 8.8$ por cada $0.1\,\mathrm{nm}$ ; protón: $\kappa$ es $43$ veces mayor, $\eu^{-280}$ con $0.3\,\mathrm{nm}$ .

Ejercicio 31.4 ★

Escalón: electrón de $2\,\mathrm{eV}$ sobre un escalón de $1\,\mathrm{eV}$ : $k_1$ , $k_2$ , $R$ y $T$ . Lo mismo para un escalón hacia abajo de $1\,\mathrm{eV}$ . ¿Por qué es imposible clásicamente y cuál es el análogo para la luz?

Solución

Solución de Ejercicio 31.4.

$k_1 = 7.3 \times 10^{9}\,\mathrm{m}^{-1}$ , $k_2 = 5.1 \times 10^{9}\,\mathrm{m}^{-1}$ ; $R = 0.03$ , $T = 0.97$ . Escalón hacia abajo: $k_2 = 8.9 \times 10^{9}\,\mathrm{m}^{-1}$ , $R = 0.01$ . Una partícula clásica nunca se da la vuelta cuando tiene la energía; una onda luminosa se refleja en parte en cualquier cambio de índice.

Ejercicio 31.5 ★★

El pozo infinito en detalle. (a) Dedúzcanse los niveles y normalícense. (b) Muéstrese la ortogonalidad. (c) Para $n = 1$ : $\langle x\rangle$ , $\Delta x = L\sqrt{1/12 - 1/2\pi^2}$ , $\langle p\rangle = 0$ , $\Delta p = \pi\hbar/L$ ; compruébese Heisenberg. (d) Dibújese $|\varphi_n|^2$ para $n$ grande y compárese con la probabilidad clásica de encontrar una partícula que rebota.

Solución

Solución de Ejercicio 31.5.

(a) y (b) Proposición 31.1. (c) $L/2$ ; $0.18L$ ; $0$ ; $\pi\hbar/L$ ; producto $0.57\hbar > \hbar/2$ . (d) Oscilaciones rápidas en torno a la media $1/L$ — la densidad clásica uniforme.

Ejercicio 31.6 ★★

El pozo finito. (a) Dedúzcase $k\tan ka = \kappa$ para los estados pares. (b) Muéstrese gráficamente que siempre hay un estado ligado y cuéntense para $R = 1$ , $4$ y $10$ . (c) Electrón, $V_0 = 1\,\mathrm{eV}$ , $2a = 1\,\mathrm{nm}$ : $R$ , número de estados y profundidad de penetración del fundamental (tómese $E \approx 0.26\,\mathrm{eV}$ ). (d) ¿Qué les ocurre al número de estados ligados cuando $V_0 \to \infty$ , y a sus energías?

Solución

Solución de Ejercicio 31.6.

(a) Proposición 31.3. (b) $1$ , $3$ , $7$ . (c) $R = 2.6$ , dos estados; $\kappa = 4.4 \times 10^{9}\,\mathrm{m}^{-1}$ , profundidad $0.23\,\mathrm{nm}$ . (d) Infinitos, tendiendo por debajo a los del pozo infinito.

Ejercicio 31.7 ★★

Escalón con $E < V_0$ . (a) Escríbase $\varphi$ a ambos lados y hállese $r = (k - \iu\kappa)/(k + \iu\kappa)$ . (b) Muéstrese que $|r| = 1$ y calcúlese la fase de $r$ . (c) Muéstrese que la corriente se anula para $x > 0$ aunque allí $|\varphi|^2 \ne 0$ . (d) Electrón $1\,\mathrm{eV}$ por debajo de la cima: profundidad de penetración; compárese con la onda evanescente de la reflexión total interna.

Solución

Solución de Ejercicio 31.7.

(a) $1 + r = t$ , $\iu k(1 - r) = -\kappa t$ . (b) El numerador y el denominador son conjugados; fase $-2\arctan(\kappa/k)$ . (c) $\psi^*\psi'$ es real para una exponencial real. (d) $0.2\,\mathrm{nm}$ ; como la onda evanescente de la reflexión total: presente, sin llevar flujo y capaz de alimentar un segundo medio — eso es el efecto túnel.

Ejercicio 31.8 ★★

La barrera. (a) Escríbanse las cuatro condiciones de continuidad y dedúzcase $T$ . (b) Evalúese de forma exacta y con la aproximación para $E = V_0/2$ , $\kappa a = 3$ ; y para $\kappa a = 1$ . (c) Para $E > V_0$ muéstrese que $T = [1 + V_0^2\sin^2(k_2a)/4E(E - V_0)]^{-1}$ y hállense las energías de transmisión perfecta. (d) Interprétense (piénsese en la capa antirreflejante de Capítulo 15).

Solución

Solución de Ejercicio 31.8.

(a) Teorema 31.6. (b) Con $\kappa a = 3$ : exacto $1/(1 + \sinh^23) = 9.9 \times 10^{-3}$ , aproximación $4\eu^{-6} = 9.9 \times 10^{-3}$ ; con $\kappa a = 1$ : $0.42$ frente a $0.54$ . (c) $\kappa \to \iu k_2$ ; $T = 1$ para $k_2a = n\pi$ . (d) Las reflexiones de las dos caras se cancelan cuando la barrera mide un número entero de medias longitudes de onda — transmisión resonante.

Ejercicio 31.9 ★★

Gamow. Para la barrera de Coulomb desde el radio nuclear $R_{\text{n}}$ hasta $b = 2Ze^2/4\pi\varepsilon_0E$ , el exponente vale $G = 2\int\kappa\,\dd r = (2\sqrt{2mE}/\hbar)\,b\,[\arccos\sqrt{R_{\text{n}}/b} - \sqrt{(R_{\text{n}}/b)(1 - R_{\text{n}}/b)}]$ . (a) $Z = 90$ , $E = 5\,\mathrm{MeV}$ , $R_{\text{n}} = 8\,\mathrm{fm}$ : $b$ , $G$ y $T$ . (b) Frecuencia de golpes $v/2R_{\text{n}}$ y vida media. (c) Repítase para $E = 4$ y $6\,\mathrm{MeV}$ : cociente de vidas medias. (d) ¿Por qué emiten los núcleos partículas $\alpha$ y no protones o $^{12}$ C?

Solución

Solución de Ejercicio 31.9.

(a) $b = 52\,\mathrm{fm}$ ; $G = 82$ ; $T = \eu^{-82} \approx 2 \times 10^{-36}$ . (b) $v = 1.55 \times 10^{7}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , $10^{21}$ golpes por segundo: ritmo $2 \times 10^{-15}\,\mathrm{s}^{-1}$ , vida media $\sim 10^7$ años. (c) $G = 100$ y $69$ : $\eu^{18} \approx 10^8$ más larga y $\eu^{-13} \approx 10^{-6}$ más corta. (d) La $\alpha$ está muy ligada y sale con energía positiva; un protón no lo estaría; un $^{12}$ C tiene tres veces la carga y un exponente mucho mayor (la desintegración por agrupamientos existe, a $10^{-10}$ ).

Ejercicio 31.10 ★★★

El amoniaco. Desdoblamiento $\Delta = 1 \times 10^{-4}\,\mathrm{eV}$ . (a) Frecuencia de inversión y periodo de la oscilación de túnel. (b) El átomo de N se prepara a un lado: escríbase $\psi(t)$ y la probabilidad de encontrarlo al otro lado. (c) El ND $_3$ pasa por túnel a $1.6\,\mathrm{GHz}$ : dedúzcase $\kappa a$ del cociente de desdoblamientos si $\Delta \propto \eu^{-\kappa a}$ y $\kappa \propto\sqrt m$ ( $m_{\text{D}} = 2m_{\text{H}}$ , con la barrera sin cambiar). (d) ¿Por qué puede una molécula quiral ser levógira durante años?

Solución

Solución de Ejercicio 31.10.

(a) $24\,\mathrm{GHz}$ ; $41\,\mathrm{ps}$ . (b) $\psi = (\varphi_+\eu^{-\iu E_+t/\hbar} + \varphi_-\eu^{-\iu E_-t/\hbar})/\sqrt2$ ; $P = \sin^2(\pi\nu t)$ . (c) $\eu^{(\sqrt2 - 1) \kappa a} = 15$ : $\kappa a = 6.5$ . (d) Los grupos más pesados y las barreras más altas hacen que el periodo de túnel sea mayor que años.

Ejercicio 31.11 ★★★

El microscopio de efecto túnel. $\Phi = 4.5\,\mathrm{eV}$ , $d = 0.5\,\mathrm{nm}$ , polarización $0.1\,\mathrm{V}$ , $I = 1\,\mathrm{nA}$ . (a) $\kappa$ , el factor de $I$ por cada $0.1\,\mathrm{nm}$ y la resolución en altura si $I$ se mide con un $1\%$ . (b) Electrones por segundo en la corriente. (c) El átomo del vértice de la punta está $0.25\,\mathrm{nm}$ más cerca que sus vecinos (a $0.25\,\mathrm{nm}$ lateralmente, de modo que $d' = \sqrt{d^2 + 0.25^2}$ ): fracción de la corriente que lleva. (d) Una montura de acero de $1\,\mathrm{cm}$ se dilata $\alpha L\Delta T$ con $\alpha = 1 \times 10^{-5}\,\mathrm{K}^{-1}$ : ¿qué estabilidad de temperatura exige un picómetro, y cómo la sortean los diseños?

Solución

Solución de Ejercicio 31.11.

(a) $1.09 \times 10^{10}\,\mathrm{m}^{-1}$ ; $\times 8.8$ ; el $1\%$ de $I$ son $0.5\,\mathrm{pm}$ . (b) $6 \times 10^9$ . (c) Cada vecino a $d' = 0.56\,\mathrm{nm}$ lleva $\eu^{-2\kappa \times 0.06\,\text{nm}} = 0.28$ de la corriente del vértice; el vértice lleva cerca de la mitad. (d) $10^{-5}\,\mathrm{K}$ — imposible; diseños simétricos en los que la punta y la muestra se dilatan juntas, barridos rápidos, materiales de baja dilatación y la realimentación.

Ejercicio 31.12 ★★★

Un láser de pozo cuántico. Una capa de $10\,\mathrm{nm}$ de GaAs (banda prohibida $1.42\,\mathrm{eV}$ , $m_{\text{e}}^* = 0.067\,m_{\text{e}}$ , $m_{\text{h}}^* = 0.45\,m_{\text{e}}$ ) entre barreras $0.3\,\mathrm{eV}$ más altas. (a) Energías de confinamiento fundamentales del electrón y del hueco (pozo infinito). (b) Energía y longitud de onda del fotón del láser. (c) Anchura para $780\,\mathrm{nm}$ . (d) Con la barrera finita, ¿cuántos estados electrónicos ligados alberga el pozo de $10\,\mathrm{nm}$ ?

Solución

Solución de Ejercicio 31.12.

(a) $0.056\,$ y $0.008\,\mathrm{eV}$ . (b) $1.48\,\mathrm{eV}$ , $835\,\mathrm{nm}$ . (c) Confinamiento $0.17\,\mathrm{eV}$ : $L = 6.1\,\mathrm{nm}$ . (d) $R = 3.6$ : tres.

31.6 Problema: el microscopio de efecto túnel, la partícula alfa y el máser de amoniaco

Problema 31.1

Problema de fin de semana — tres túneles

Datos: $\hbar = 1.05 \times 10^{-34}\,\mathrm{J}\,\mathrm{s}$ , $h = 6.63 \times 10^{-34}\,\mathrm{J}\,\mathrm{s}$ , $m_{\text{e}} = 9.11 \times 10^{-31}\,\mathrm{kg}$ , $m_\alpha = 6.64 \times 10^{-27}\,\mathrm{kg}$ , $e^2/4\pi\varepsilon_0 = 1.44\,\mathrm{MeV}\,\mathrm{fm}$ , $1\,\mathrm{eV}$ $= 1.60 \times 10^{-19}\,\mathrm{J}$ .

Parte I — El microscopio de efecto túnel. La punta y la muestra son de wolframio ( $\Phi = 4.5\,\mathrm{eV}$ ); hueco $d$ ; polarización $50\,\mathrm{mV}$ ; la corriente vale $I = I_0\eu^{-2\kappa d}$ .

$\kappa$ para los electrones del nivel de Fermi frente a la barrera de vacío $\Phi$ .
Factor de cambio de $I$ para $\Delta d = 0.1\,\mathrm{nm}$ ; y para $1\,\mathrm{pm}$ .
La realimentación mantiene $I$ constante con un $1\%$ : ruido en altura.
$I = 1\,\mathrm{nA}$ : electrones por segundo; tiempo medio entre dos electrones, comparado con el “tiempo” de túnel $\sim\hbar/\Phi$ .
El átomo del vértice y sus vecinos, a $0.25\,\mathrm{nm}$ lateralmente y con $d = 0.5\,\mathrm{nm}$ : parte que lleva el átomo del vértice; por qué basta un solo átomo para ver átomos.
Un átomo adsorbido de $0.1\,\mathrm{nm}$ de alto: cambio de $I$ en modo de altura constante; por qué se prefiere el modo de corriente constante.
Una montura metálica de $2\,\mathrm{cm}$ , $\alpha = 1 \times 10^{-5}\,\mathrm{K}^{-1}$ : cambio de temperatura que mueve la punta $1\,\mathrm{pm}$ ; ¿cómo lo sortean los instrumentos (simetría, rapidez, materiales de baja dilatación)?
Con una polarización de $1\,\mathrm{V}$ la barrera ya no es rectangular: dibújese y dígase si $I$ crece más deprisa o más despacio que linealmente con $V$ .
En una zona oxidada la función de trabajo vale $3\,\mathrm{eV}$ en vez de $4.5\,\mathrm{eV}$ : ¿cuánto se retira la punta en modo de corriente constante sobre una superficie perfectamente plana? ¿Qué forma imagen entonces el microscopio?

Parte II — Desintegración alfa de un núcleo $Z = 92$ , $A = 238$ . La $\alpha$ ( $E = 4.2\,\mathrm{MeV}$ ) se mueve en un núcleo de radio $R_{\text{n}} = 8\,\mathrm{fm}$ ; fuera, la energía de Coulomb vale $V(r) = 2(Z - 2)e^2/4\pi\varepsilon_0r$ .

Altura de la barrera en $R_{\text{n}}$ ; punto de retroceso clásico $b$ .
Celeridad de la $\alpha$ dentro y su frecuencia de golpes contra la pared.
Exponente de Gamow $G = (2\sqrt{2mE}/\hbar)\,b\,[\arccos\sqrt{R_{\text{n}}/b} - \sqrt{(R_{\text{n}}/b)(1 - R_{\text{n}}/b)}]$ y $T = \eu^{-G}$ .
Ritmo de desintegración y periodo de semidesintegración; compárese con los $4.5 \times 10^9$ años medidos.
Lo mismo con $E = 5.2\,\mathrm{MeV}$ (otro isótopo): periodo de semidesintegración; la sensibilidad de Geiger–Nuttall.
Tomando $R_{\text{n}} = 9\,\mathrm{fm}$ en vez de $8\,\mathrm{fm}$ : efecto sobre el periodo de semidesintegración; coméntese la precisión de estas estimaciones.
¿Por qué no se observa el efecto túnel de un protón (carga $1$ , masa $1/4$ ) desde el mismo núcleo, ni el de un $^{12}$ C (carga $6$ )?
La $\alpha$ emerge con los $4.2\,\mathrm{MeV}$ completos aunque “pasara por debajo” de un muro de $30\,\mathrm{MeV}$ : ¿se conserva la energía?

Parte III — El máser de amoniaco. El átomo de N pasa por túnel a través del plano de H $_3$ ; el nivel fundamental está desdoblado en $\Delta = 9.8 \times 10^{-5}\,\mathrm{eV}$ .

Frecuencia y longitud de onda de la transición de inversión.
Escríbanse los estados simétrico y antisimétrico en función de “N arriba” y “N abajo”; ¿cuál es el más bajo y por qué?
Una molécula preparada con “N arriba”: $\psi(t)$ , la probabilidad de “abajo” en el instante $t$ y el periodo.
Razón de Boltzmann de los dos niveles a $300\,\mathrm{K}$ : ¿puede dar un máser la población térmica? ¿Cómo se consigue la inversión (un campo eléctrico selector de estados)?
Energía del fotón en julios; número de moléculas que deben emitir por segundo para una salida de $1 \times 10^{-10}\,\mathrm{W}$ .
El ND $_3$ pasa por túnel a $1.6\,\mathrm{GHz}$ : dedúzcase $\kappa a$ para el NH $_3$ suponiendo $\Delta \propto \eu^{-\kappa a}$ con $\kappa \propto \sqrt{m}$ .
El máser fue el primer reloj atómico: ¿por qué es buen reloj una frecuencia de túnel y qué efectos la desplazan?
Resúmase: la cuantización a partir del confinamiento, el efecto túnel a partir de la evanescencia, y qué fija los exponentes.

Solución

Solución de Problema 31.1.

1. $\kappa = \sqrt{2m\Phi}/\hbar = 1.09 \times 10^{10}\,\mathrm{m}^{-1}$ .

2. $\eu^{2.2} = 8.8$ ; $\eu^{0.022}$ : un $2.2\%$ por picómetro.

3. $0.5\,\mathrm{pm}$ .

4. $6 \times 10^9$ por segundo; separados $0.16\,\mathrm{ns}$ , frente a $\hbar/\Phi \sim 10^{-16}\,\mathrm{s}$ : de uno en uno.

5. Cerca de la mitad; el resto decae tan deprisa con la distancia que la imagen es la de un solo átomo.

6. $\times 8.8$ ; la corriente constante mantiene la punta a salvo y convierte la exponencial en una altura lineal.

7. $\Delta T = 10^{-12}/(10^{-5} \times 0.02) = 5 \times 10^{-6}\,\mathrm{K}$ ; monturas simétricas, rapidez, materiales de baja dilatación y una realimentación que siga la deriva.

8. Un trapecio, rebajado del lado colector: la barrera efectiva se adelgaza e $I$ crece más deprisa que linealmente.

9. $\kappa' = 0.89 \times 10^{10}\,\mathrm{m}^{-1}$ ; a $0.5\,\mathrm{nm}$ el exponente baja de $10.9$ a $8.9$ , con $I \times 7$ : la punta se retira $\ln 7/2\kappa' \approx 0.1\,\mathrm{nm}$ — un bulto que es electrónico, no geométrico.

10. $V(R_{\text{n}}) = 2 \times 90 \times 1.44/8 = 32\,\mathrm{MeV}$ ; $b = 62\,\mathrm{fm}$ .

11. $v = 1.4 \times 10^{7}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; $9 \times 10^{20}$ golpes por segundo.

12. $G = 96$ ; $T = \eu^{-96} \approx 10^{-42}$ .

13. Ritmo $\sim 10^{-21}\,\mathrm{s}^{-1}$ , periodo de semidesintegración $\sim 10^{13}$ años — mil veces el valor medido: para un exponente de un centenar, un modelo tosco ya acierta dentro de unos pocos órdenes de magnitud.

14. $G = 79$ : $\eu^{17} \approx 10^7$ veces más corto, cerca de $10^6$ años — un MeV más, siete órdenes de magnitud.

15. $G = 92$ : $\eu^{4.5} \approx 90$ veces más corto — un fermi de radio son dos órdenes de magnitud.

16. Un protón no está preformado con energía positiva (está ligado por unos $7\,\mathrm{MeV}$ ); un $^{12}$ C tiene tres veces la carga y un exponente tres veces mayor.

17. Sí: la $\alpha$ tiene siempre $4.2\,\mathrm{MeV}$ ; su función de onda solo tiene una parte evanescente bajo la barrera, donde ninguna medida la encuentra con energía cinética negativa.

18. $23.7\,\mathrm{GHz}$ ; $1.27\,\mathrm{cm}$ .

19. $(|{\uparrow}\rangle \pm |{\downarrow}\rangle)/\sqrt2$ ; el simétrico es el más bajo — sin nodo, con menos curvatura.

20. $\psi = (\varphi_+\eu^{-\iu E_+t/\hbar} + \varphi_-\eu^{-\iu E_-t/\hbar})/\sqrt2$ ; $P_{\downarrow} = \sin^2(\pi\nu t)$ ; periodo $42\,\mathrm{ps}$ .

21. $\eu^{-\Delta/k_BT} = 0.996$ : casi iguales, sin inversión; un campo eléctrico no uniforme separa el haz y manda a la cavidad las moléculas del estado superior.

22. $1.6 \times 10^{-23}\,\mathrm{J}$ ; $6 \times 10^{12}$ moléculas por segundo.

23. $\kappa a = 6.5$ .

24. La fija la molécula sola, es idéntica para toda molécula e insensible al exterior; los desplazamientos vienen del efecto Doppler en el haz, de campos eléctricos parásitos, de las colisiones y del arrastre de la cavidad.

25. El confinamiento cuantiza ( $E_n \propto n^2/L^2$ ); la evanescencia deja pasar la onda ( $T \sim \eu^{-2\kappa a}$ ); y los exponentes los fijan $\sqrt{2m(V_0 - E)}/\hbar$ y la anchura — masa, altura y distancia.