Física universitaria — segundo año · Bachelor Year 2

19Interferencias de dos ondas

Una pompa de jabón está hecha de un líquido incoloro y, sin embargo, tornasola de color; una película de aceite en una carretera mojada muestra las mismas bandas de arco iris; las alas de una libélula centellean en verde y violeta. Ninguno de esos colores viene de un pigmento: vienen de dos copias de una misma onda luminosa, reflejadas en las dos caras de una lámina delgada, que llegan con un retardo y se refuerzan o se cancelan — la interferencia de dos ondas. Young hizo de ella la prueba de que la luz es una onda en 1801, con dos rendijas y una vela; este capítulo expone la fórmula, la geometría de las franjas de Young, las dos condiciones — coherencia temporal y espacial — bajo las que sobreviven las franjas, y los colores de las láminas delgadas.

Una película de aceite en una carretera mojada: dos reflexiones, una por cada cara, y un espesor que cambia de un sitio a otro — cada color brilla allí donde 2ne toma el valor adecuado. — Una película de aceite en una carretera mojada: dos reflexiones, una por cada cara, y un espesor que cambia de un sitio a otro — cada color brilla allí donde $2ne$ toma el valor adecuado.

19.1 La fórmula de las interferencias

Teorema 19.1 (Interferencias de dos ondas)

Dos ondas monocromáticas coherentes de intensidades $I_1$ , $I_2$ y diferencia de fase $\Delta\varphi$ en un punto $M$ dan allí la intensidad

I(M) = I_1 + I_2 + 2\sqrt{I_1I_2}\,\cos\Delta\varphi(M) , \qquad \Delta\varphi = \frac{2\pi}{\lambda_0}\,\delta(M) ,

donde $\delta$ es la diferencia de camino óptico entre las dos rutas de la fuente hasta $M$ . La intensidad es máxima ( $I_1 + I_2 + 2\sqrt{I_1I_2}$ ) donde $\delta = p\lambda_0$ , con $p$ entero — el orden de interferencia — y mínima ( $I_1 + I_2 - 2\sqrt{I_1I_2}$ ) donde $\delta = (p + \tfrac12)\lambda_0$ . El contraste (visibilidad) de las franjas vale

V = \frac{I_{\max} - I_{\min}}{I_{\max} + I_{\min}} = \frac{2\sqrt{I_1I_2}}{I_1 + I_2} ,

igual a $1$ para intensidades iguales, caso en que los mínimos son perfectamente oscuros: $I = 2I_0(1 + \cos\Delta\varphi) = 4I_0\cos^2(\Delta\varphi/2)$ .

Demostración. $s = a_1\cos(\omega t - \varphi_1) + a_2\cos(\omega t - \varphi_2)$ ; $\langle s^2\rangle$ como en Capítulo 18, con $\Delta\varphi$ fijo durante la detección; $I_i = \tfrac12Ka_i^2$ . La diferencia de fase de dos ondas que salieron juntas de la fuente y recorrieron los caminos ópticos $L_1$ , $L_2$ vale $2\pi(L_2 - L_1)/\lambda_0$ (más $\pi$ por cada reflexión que invierte el signo, Capítulo 15). ∎

Observación 19.2 (Las tres condiciones)

Solo hay franjas si (1) las dos ondas vienen de la misma fuente (dos copias de una vibración; si no, $\Delta\varphi$ es aleatorio); (2) la diferencia de camino es menor que la longitud de coherencia, $|\delta| < \ell_c$ (coherencia temporal: más allá, las copias pertenecen a trenes de ondas distintos); (3) la fuente es lo bastante pequeña como para que sus distintos puntos no produzcan sistemas de franjas desplazados que se borren entre sí (coherencia espacial, más abajo). Y una cuarta, casi siempre satisfecha: las dos ondas no deben tener polarizaciones perpendiculares (se sumarían en intensidad, como las linternas).

19.2 Las rendijas de Young

Proposición 19.3 (División del frente de onda: el experimento de Young)

Una fuente puntual $S$ (o una rendija) ilumina dos rendijas paralelas estrechas $S_1$ , $S_2$ separadas una distancia $a$ y equidistantes de $S$ ; una pantalla está a la distancia $D \gg a$ . En el punto de la pantalla de altura $x$ (paralela a $a$ ) la diferencia de camino vale

\delta = S_2M - S_1M \approx \frac{ax}D ,

y la pantalla muestra franjas rectas y equidistantes, brillantes en $x_p = p\lambda D/a$ , con la interfranja

i = \frac{\lambda D}a .

Las franjas existen en todas partes detrás de las rendijas (no están localizadas); con una lente de distancia focal $f$ tras las rendijas, se ven en su plano focal con $i = \lambda f/a$ (franjas “en el infinito”). La intensidad vale $4I_0\cos^2(\pi ax/\lambda D)$ .

Demostración. $S_2M^2 - S_1M^2 = [(x + a/2)^2 - (x - a/2)^2] = 2ax$ y $S_2M + S_1M \approx 2D$ , luego $\delta \approx 2ax/2D$ . Dos órdenes difieren en $\lambda$ , es decir, en $\Delta x = \lambda D/a$ . Con una lente, las dos ondas que salen de las rendijas con el ángulo $\theta$ respecto del eje tienen la diferencia de camino $a\sin\theta \approx a\theta$ y se encuentran en $x = f\theta$ . ∎

A la izquierda, las rendijas de Young — dos copias de la onda de la fuente se encuentran en la pantalla con la diferencia de camino ax/D; franjas brillantes cada D/a. A la derecha, el perfil de intensidad, 4I_0 2(π x/i) para ondas iguales (línea continua) y con contraste reducido (discontinua). — A la izquierda, las rendijas de Young — dos copias de la onda de la fuente se encuentran en la pantalla con la diferencia de camino $ax/D$ ; franjas brillantes cada $\lambda D/a$ . A la derecha, el perfil de intensidad, $4I_0\cos^2(\pi x/i)$ para ondas iguales (línea continua) y con contraste reducido (discontinua).

Ejemplo 19.4 (Números, y la luz blanca)

$a = 0.5\,\mathrm{mm}$ , $D = 2\,\mathrm{m}$ , $\lambda = 600\,\mathrm{nm}$ : $i = 2.4\,\mathrm{mm}$ — bastante grande para verse, y por eso las rendijas de Young deben estar cerca y la pantalla lejos. Con luz blanca cada color hace sus propias franjas, todas coincidentes en el centro ( $\delta = 0$ ): una franja central blanca, luego franjas coloreadas a medida que los órdenes se separan (la $i$ del rojo es $1.8$ veces la del violeta) y, tras unos pocos órdenes, un campo blanquecino uniforme — la longitud de coherencia de la luz blanca es de un micrómetro, dos o tres longitudes de onda. Un espectrómetro apuntado a ese campo “blanco” sigue viendo bandas oscuras en las longitudes de onda para las que $\delta = (p + \tfrac12)\lambda$ : un espectro acanalado.

Proposición 19.5 (Coherencia espacial: la fuente debe ser pequeña)

Cada punto de una fuente extensa produce su propio sistema de franjas; un punto de la fuente desplazado transversalmente $b$ a la distancia $L$ antes de las rendijas desplaza las franjas $x = bD/L$ (la diferencia de camino gana $ab/L$ ). Una fuente de anchura $b$ reparte las franjas sobre una interfranja, y el contraste se anula cuando

\frac{ab}L \approx \lambda , \qquad\text{es decir, cuando las rendijas ven la fuente bajo un ángulo } \frac bL \gtrsim \frac\lambda a .

Las dos rendijas deben estar dentro del área de coherencia de la luz — la región en la que la onda de la fuente tiene una fase bien definida —, de anchura $\lambda L/b$ . La luz solar ( $b/L = 0.5{}^{\circ} = 9\,\mathrm{mrad}$ ) da una anchura de coherencia de $\lambda/0.009 \approx 60\,\text{µ}\mathrm{m}$ : Young necesitó un agujerito para ensancharla.

Demostración. Para un punto de la fuente a la altura $b$ , el camino suplementario $SS_2 - SS_1 \approx -ab/L$ se suma a $ax/D$ : el patrón se desplaza $x = bD/L$ . Integrando los patrones de $\cos^2$ desplazados sobre una fuente de anchura $b$ resulta un contraste $|\operatorname{sinc}(\pi ab/\lambda L)|$ , nulo para $ab/L = \lambda$ . ∎

Coherencia espacial: el borde superior y el inferior de una fuente extensa envían sistemas de franjas desplazados uno respecto del otro; cuando el desplazamiento alcanza una interfranja, el patrón se borra.

19.3 Láminas delgadas: división de amplitud

Proposición 19.6 (Interferencias en una lámina delgada)

Una lámina de índice $n$ y espesor $e$ en el aire, iluminada con incidencia $i$ (ángulo de refracción $r$ ), devuelve dos ondas reflejadas en sus dos caras, con la diferencia de camino

\delta = 2ne\cos r \ (+\tfrac{\lambda_0}2) ,

donde la media longitud de onda suplementaria cuenta la inversión de signo de la reflexión en el medio más denso en la primera cara y no en la segunda (Capítulo 15). Las franjas son brillantes para $2ne\cos r = (p + \tfrac12)\lambda_0$ y oscuras para $2ne\cos r = p\lambda_0$ — una lámina de espesor que tiende a cero no refleja nada (la cima negra de una película de jabón que escurre). Para una lámina de espesor uniforme las franjas dependen solo de $i$ y se ven en el infinito (anillos de igual inclinación); para una cuña de espesor lentamente variable vista con incidencia casi normal siguen las curvas de igual $e$ y están localizadas en la lámina (franjas de igual espesor): una cuña de aire de ángulo $\alpha$ muestra franjas rectas separadas $\lambda_0/2\alpha$ ; una lente de radio $R$ sobre una placa plana da los anillos de Newton, oscuros en $r_p = \sqrt{p\lambda_0R}$ .

Demostración. Geometría: la onda refractada en la primera cara cruza la lámina dos veces ( $2e/\cos r$ en el vidrio, camino óptico $2ne/\cos r$ ) mientras que la onda reflejada en la primera cara avanza $2e\tan r\sin i$ en el aire; la diferencia vale $2ne/\cos r - 2e\tan r\sin i = 2ne\cos r$ con $\sin i = n\sin r$ . Para la cuña, $e = \alpha x$ y las franjas oscuras sucesivas están en $2\alpha x = p\lambda$ ; para la lente, $e \approx r^2/2R$ . ∎

A la izquierda, las dos reflexiones de una lámina delgada — una por cada cara, la segunda retrasada por el doble recorrido. A la derecha, una cuña de aire entre dos placas muestra franjas rectas de igual espesor, una por cada media longitud de onda de hueco suplementario.

Ejemplo 19.7 (Jabón, aceite, libélulas)

Una película de jabón ( $n = 1.33$ ) de $300\,\mathrm{nm}$ de espesor vista con incidencia normal: brillante para $2ne = (p + \tfrac12)\lambda$ , es decir, $\lambda = 798/(p + \tfrac12)$ nm: $532\,\mathrm{nm}$ (verde, $p = 1$ ) dentro del visible, y una banda oscura en $400\,\mathrm{nm}$ ; la película se ve verde. Al escurrir y adelgazar, el color recorre la secuencia y acaba en negro. Una película de aceite ( $400\,\mathrm{nm}$ , $n = 1.45$ ) sobre agua ( $1.33$ ): la segunda reflexión, hacia un índice menor, no invierte el signo, así que de nuevo $\delta = 2ne + \lambda/2$ y la película brilla para $2ne = (p + \tfrac12)\lambda$ : $464\,\mathrm{nm}$ ( $p = 2$ ), azul. La iridiscencia del ala de una mariposa, del caparazón de un escarabajo o de un disco compacto son interferencias del mismo tipo (las del disco, de muchas ondas: Capítulo 21), y por eso cambian con el ángulo — $\delta$ depende de $\cos r$ — mientras que el color de un pigmento no.

Método 19.8 (Cómo resolver un problema de interferencias)

(1) Identifíquense las dos rutas de la fuente hasta $M$ y calcúlese la diferencia de camino óptico $\delta(M)$ , añadiendo $\lambda/2$ por cada reflexión con inversión de signo. (2) $I = I_1 + I_2 + 2\sqrt{I_1I_2}\cos(2\pi\delta/\lambda)$ ; brillante en $\delta = p\lambda$ . (3) La separación de las franjas, con $\delta(M + \Delta M) - \delta(M) = \lambda$ . (4) Compruébense la coherencia temporal ( $\delta_{\max} < \ell_c$ , número de franjas visibles $\sim\lambda/\Delta\lambda$ ) y la coherencia espacial (ángulo de la fuente $< \lambda/a$ ). (5) Dígase dónde están localizadas las franjas (en todas partes para dos fuentes puntuales; en la lámina para las franjas de igual espesor; en el infinito para las de igual inclinación).

19.4 Ejercicios

Ejercicio 19.1 ★

Rendijas de Young separadas $a = 0.40\,\mathrm{mm}$ , pantalla a $D = 1.5\,\mathrm{m}$ , $\lambda = 633\,\mathrm{nm}$ : interfranja; orden de la franja en $x = 1.0\,\mathrm{cm}$ ; posición de la décima franja oscura; interfranja con las rendijas separadas $2\,\mathrm{mm}$ , y en agua ( $n = 1.33$ ).

Solución

Solución de Ejercicio 19.1.

$i = \lambda D/a = 2.4\,\mathrm{mm}$ ; $x/i = 4.2$ ; décima franja oscura en $9.5i = 22.5\,\mathrm{mm}$ ; con $a = 2\,\mathrm{mm}$ : $0.47\,\mathrm{mm}$ ; en agua, $\lambda/n$ : $1.8\,\mathrm{mm}$ .

Ejercicio 19.2 ★

Dos ondas de intensidades $I_0$ e $I_0/4$ interfieren: $I_{\max}$ , $I_{\min}$ y contraste. Lo mismo para $I_0$ e $I_0/100$ : ¿por qué siguen viéndose franjas con haces tan desiguales? Una de las rendijas del par de Young se cubre con un filtro gris que transmite el $50\%$ : nuevo contraste.

Solución

Solución de Ejercicio 19.2.

$1.25I_0 \pm I_0$ : $V = 0.8$ . $1.01I_0 \pm 0.2I_0$ : $V = 0.2$ — el término de interferencia va como el cociente de amplitudes, $1/10$ , no como el de intensidades. Con el filtro: $V = 2\sqrt{0.5}/1.5 = 0.94$ .

Ejercicio 19.3 ★

Una película de jabón de $250\,\mathrm{nm}$ de espesor ( $n = 1.33$ ) vista con incidencia normal: longitudes de onda visibles más y menos reflejadas; su color. Una película de $1.0\,\text{µ}\mathrm{m}$ : ¿cuántas longitudes de onda brillantes en el visible, y qué ve el ojo?

Solución

Solución de Ejercicio 19.3.

$2ne = 665\,\mathrm{nm}$ : brillante en $665/(p + \tfrac12)$ : $443\,\mathrm{nm}$ (azul violáceo); oscuro en $665/p$ : $665\,\mathrm{nm}$ (rojo): una película azul. $e = 1\,\text{µ}\mathrm{m}$ : $2ne = 2660\,\mathrm{nm}$ , brillante en $760$ , $591$ , $484$ y $409\,\mathrm{nm}$ — cuatro colores a la vez, un blanco rosado deslavado.

Ejercicio 19.4 ★

Anillos de Newton entre una lente de radio $R = 2.0\,\mathrm{m}$ y una placa plana, con luz de sodio: radios de los tres primeros anillos oscuros; número de anillos dentro de un radio de $1\,\mathrm{cm}$ ; ¿es brillante u oscuro el centro, y por qué? ¿Qué cambia si el hueco se llena de agua?

Solución

Solución de Ejercicio 19.4.

$r_p = \sqrt{p\lambda R}$ : $1.09$ , $1.53$ , $1.88\,\mathrm{mm}$ ; $p = r^2/\lambda R = 85$ anillos dentro de $1\,\mathrm{cm}$ ; el centro es oscuro: espesor nulo y una sola inversión de signo. Con agua: radios divididos por $\sqrt n$ , $98$ anillos.

Ejercicio 19.5 ★★

Luz blanca. Rendijas de Young con luz blanca ( $400$ – $700\,\mathrm{nm}$ ), $a = 0.5\,\mathrm{mm}$ , $D = 1\,\mathrm{m}$ . (a) Interfranja del violeta y del rojo; posición de la segunda franja brillante roja y de la tercera violeta. (b) ¿A partir de qué orden se solapan las franjas roja y violeta de órdenes sucesivos? (c) En $x = 5\,\mathrm{mm}$ , ¿qué longitudes de onda faltan (espectro acanalado)? (d) Explíquese la sucesión de colores vista desde el centro hacia fuera.

Solución

Solución de Ejercicio 19.5.

(a) $i = 0.8$ y $1.4\,\mathrm{mm}$ ; la segunda roja, $2.8\,\mathrm{mm}$ , y la tercera violeta, $2.4\,\mathrm{mm}$ . (b) El orden $p$ del rojo, en $1.4p$ mm, se encuentra con el orden $p + 1$ del violeta, en $0.8(p + 1)$ : desde $p = 2$ los órdenes se solapan. (c) $\delta = ax/D = 2.5\,\text{µ}\mathrm{m}$ : faltan $\lambda = \delta/(p + \tfrac12)$ : $714$ , $556$ y $455\,\mathrm{nm}$ . (d) Centro blanco; luego franjas con un borde interior azul y otro exterior rojo; hacia el tercer orden los colores se mezclan en blanco.

Ejercicio 19.6 ★★

Tamaño de la fuente. Una lámpara de sodio ilumina las rendijas de Young ( $a = 1.0\,\mathrm{mm}$ ) a través de una rendija fuente a $L = 40\,\mathrm{cm}$ . (a) Anchura máxima de la rendija fuente para un buen contraste (tómese $ab/L < \lambda/4$ ). (b) La rendija fuente se ensancha a $0.5\,\mathrm{mm}$ : contraste (úsese $|\operatorname{sinc}(\pi ab/\lambda L)|$ ). (c) ¿Por qué no puede usarse la lámpara desnuda (de $1\,\mathrm{cm}$ de anchura)? (d) Con el Sol como fuente, de $9\,\mathrm{mrad}$ de diámetro angular: separación máxima de las rendijas que todavía da franjas.

Solución

Solución de Ejercicio 19.6.

(a) $b < \lambda L/4a = 59\,\text{µ}\mathrm{m}$ . (b) $\pi ab/\lambda L = 6.7$ : contraste $|\sin6.7|/6.7 = 0.06$ . (c) Una fuente de un centímetro abarca cientos de interfranjas de desplazamiento: sin franjas. (d) $a < \lambda/\theta = 61\,\text{µ}\mathrm{m}$ .

Ejercicio 19.7 ★★

Espejo de Lloyd. Una fuente puntual a la altura $h = 0.2\,\mathrm{mm}$ sobre un espejo plano, con la pantalla a $D = 1.0\,\mathrm{m}$ , $\lambda = 500\,\mathrm{nm}$ : la onda directa interfiere con la reflejada por el espejo (una fuente virtual en $-h$ ). (a) Interfranja. (b) La franja del borde del espejo ( $x = 0$ ) es oscura: ¿qué dice eso de la reflexión? (c) Número de franjas visibles si la longitud de coherencia de la fuente es de $50\,\text{µ}\mathrm{m}$ . (d) ¿Por qué es este montaje el “interferómetro marino” del radioastrónomo para una estrella que sale?

Solución

Solución de Ejercicio 19.7.

(a) $a = 2h = 0.4\,\mathrm{mm}$ : $i = \lambda D/a = 1.25\,\mathrm{mm}$ . (b) En $x = 0$ los caminos son iguales y sin embargo la franja es oscura: la reflexión añade $\pi$ (inversión de signo con incidencia rasante sobre el medio más denso). (c) $\delta = ax/D < 50\,\text{µ}\mathrm{m}$ : $100$ franjas. (d) El mar es el espejo y la antena de lo alto del acantilado, la pantalla: al subir la fuente, las franjas desfilan y dan su elevación.

Ejercicio 19.8 ★★

Cuña de aire. Dos placas de vidrio de $10\,\mathrm{cm}$ de largo se tocan por un extremo y están separadas en el otro por un cabello de diámetro $d$ ; con luz de sodio se cuentan $42$ franjas oscuras. (a) $d$ . (b) Separación de las franjas. (c) El hueco se llena de agua: número de franjas. (d) Se aprieta un poco por el extremo alejado: ¿qué hacen las franjas, y qué precisión sobre $d$ da contar un cuarto de franja?

Solución

Solución de Ejercicio 19.8.

(a) $2d = 42\lambda$ : $d = 12.4\,\text{µ}\mathrm{m}$ . (b) $100/42 = 2.4\,\mathrm{mm}$ . (c) $2nd = p\lambda$ : $56$ franjas. (d) Las franjas se mueven hacia el extremo alejado y se separan a medida que $d$ disminuye; un cuarto de franja son $\lambda/8 = 74\,\mathrm{nm}$ sobre $d$ .

Ejercicio 19.9 ★★

Aceite sobre agua. Una película de aceite ( $n = 1.45$ ) de espesor $e$ flota sobre agua ( $n = 1.33$ ). (a) ¿Cuál de las dos reflexiones invierte el signo? Diferencia de camino. (b) Para $e = 400\,\mathrm{nm}$ con incidencia normal: longitudes de onda reflejadas reforzadas y canceladas; color. (c) Película más delgada que se ve violeta ( $420\,\mathrm{nm}$ ). (d) ¿Por qué se desplazan los colores hacia el azul cuando la película se mira de forma oblicua? (e) ¿Qué cambia para una película cuyo índice queda entre los de los dos medios (un tratamiento sobre vidrio)?

Solución

Solución de Ejercicio 19.9.

(a) Solo la primera (aire $\to$ aceite, más denso); aceite $\to$ agua va hacia un índice menor: $\delta = 2ne + \lambda/2$ , brillante en $2ne = (p + \tfrac12)\lambda$ . (b) $2ne = 1160\,\mathrm{nm}$ : reforzadas $773$ (borde del visible) y $464\,\mathrm{nm}$ (azul); canceladas $1160/p$ : $580\,\mathrm{nm}$ (amarillo): azul. (c) $2ne = \lambda/2$ : $e = 72\,\mathrm{nm}$ . (d) $\delta = 2ne\cos r$ decrece con el ángulo: las longitudes de onda reforzadas se mueven hacia el azul. (e) Entonces ambas reflexiones invierten el signo, sin $\lambda/2$ suplementaria: brillante en $2ne = p\lambda$ y oscuro en $(p + \tfrac12)\lambda$ — la capa antirreflejante de cuarto de onda.

Ejercicio 19.10 ★★★

Una lámina en una rendija. Una placa de vidrio de espesor $e = 20\,\text{µ}\mathrm{m}$ e índice $1.5$ cubre la rendija $S_1$ de un par de Young ( $a = 1\,\mathrm{mm}$ , $D = 2\,\mathrm{m}$ , $\lambda = 500\,\mathrm{nm}$ ). (a) Camino óptico suplementario; ¿cuántas franjas y en qué sentido se desplaza el patrón? (b) Con luz blanca, ¿a dónde va la franja central blanca (ya desplazada); sigue siendo visible? La longitud de coherencia es de $1.5\,\text{µ}\mathrm{m}$ . (c) Úsese el patrón de luz blanca para medir $e$ : ¿cómo? (d) Se inclina la placa: el desplazamiento crece — muéstrese que a primer orden crece como $e(n - 1)\theta^2/2 \times (1 + 1/n)$ y estímese para $5{}^{\circ}$ .

Solución

Solución de Ejercicio 19.10.

(a) $(n - 1)e = 10\,\text{µ}\mathrm{m}$ , $20$ franjas, hacia la rendija cubierta (donde el camino geométrico debe acortarse $10\,\text{µ}\mathrm{m}$ para restaurar $\delta = 0$ ): $x = (n - 1)eD/a = 2\,\mathrm{cm}$ . (b) La franja blanca se sitúa allí; la dispersión del vidrio ( $\Delta n \approx 0.01$ en el visible, es decir, $0.2\,\text{µ}\mathrm{m}$ de camino) queda por debajo de $\ell_c$ : sigue visible, algo coloreada. (c) Mídase el desplazamiento de la franja blanca: $e = (\text{desplazamiento})\,a/(n - 1)D$ . (d) $e(n - 1)\theta^2 (1 + 1/n)/2 = 63\,\mathrm{nm}$ a $5{}^{\circ}$ : un octavo de franja.

Ejercicio 19.11 ★★★

El interferómetro estelar. Dos espejos separados una distancia $a$ recogen la luz de una estrella y la hacen interferir. La estrella es un disco uniforme de diámetro angular $\theta$ ; cada punto suyo desplaza las franjas, y el contraste se anula para $a = 1.22\lambda/\theta$ (admitido, la versión del disco de $ab/L = \lambda$ ). (a) Betelgeuse, $\theta = 0.047''$ (segundos de arco), $\lambda = 570\,\mathrm{nm}$ : base con la que desaparecen las franjas (Michelson, 1920, Monte Wilson). (b) ¿Por qué no puede un solo telescopio de $2.5\,\mathrm{m}$ resolver el disco (su límite es $1.22\lambda/d$ )? (c) Los interferómetros modernos enlazan telescopios separados $100\,\mathrm{m}$ : diámetro medible más pequeño. (d) ¿Por qué deben ser iguales los dos caminos dentro de la longitud de coherencia, y cuánto vale esta para un filtro de $10\,\mathrm{nm}$ ?

Solución

Solución de Ejercicio 19.11.

(a) $\theta = 2.3 \times 10^{-7}\,\mathrm{rad}$ : $a = 1.22\lambda/\theta = 3.1\,\mathrm{m}$ . (b) Su límite $1.22\lambda/d = 0.057''$ queda por encima del diámetro de la estrella, y la atmósfera difumina hasta $1''$ . (c) $1.22\lambda/100 = 7 \times 10^{-9}\,\mathrm{rad} = 1.4\,\mathrm{mas}$ . (d) Las franjas exigen $\delta < \ell_c = \lambda^2/\Delta\lambda = 32\,\text{µ}\mathrm{m}$ .

Ejercicio 19.12 ★★★

Anillos de igual inclinación. Una lámina de caras paralelas de espesor $e = 2.0\,\mathrm{mm}$ e índice $1.5$ se ilumina con una fuente de sodio extensa; la luz reflejada se enfoca con una lente de $f = 50\,\mathrm{cm}$ . (a) Muéstrese que los anillos están en los ángulos $i_p$ con $2ne\cos r_p = (p + \tfrac12)\lambda$ (brillantes) y que, cerca del centro, $\cos r \approx 1 - i^2/2n^2$ . (b) Orden en el centro; ¿es brillante el centro? (c) Radios de los tres primeros anillos brillantes en el plano focal. (d) ¿Por qué se ven estos anillos con una fuente extensa mientras que las franjas de Young necesitan una estrecha? (Localización en el infinito.)

Solución

Solución de Ejercicio 19.12.

(a) $\delta = 2ne\cos r + \lambda/2$ ; $\cos r = \sqrt{1 - \sin^2i/n^2} \approx 1 - i^2/2n^2$ . (b) $2ne/\lambda = 10186.8$ : el centro, con $p + \tfrac12$ entre $10186.5$ y $10187.5$ , no es ni brillante ni oscuro. (c) $i_p^2 = 2n^2[1 - (p + \tfrac12)\lambda/ 2ne]$ para $p = 10186$ , $10185$ , $10184$ : $i = 0.011$ , $0.024$ , $0.032\,\mathrm{rad}$ , $r = fi = 5.4$ , $11.8$ , $15.8\,\mathrm{mm}$ . (d) El ángulo $i$ por sí solo fija el orden: cada punto de la fuente alimenta el mismo anillo con el mismo ángulo, así que los anillos, vistos en el infinito, sobreviven a una fuente amplia.

Franjas de igual espesor entre un plano óptico y una superficie de acero en ensayo, en la fotografía de un mecánico de hacia 1915: franjas rectas sobre una superficie plana y curvadas donde está desgastada — cada franja, un escalón de media longitud de onda.

19.5 Problema: los espejos de Fresnel y una película de aceite

Problema 19.1

Problema de fin de semana — un interferómetro de 1816 y un arco iris en un charco: dos maneras de desdoblar una onda y las dos coherencias que limitan ambas

Parte I — Los espejos de Fresnel. Dos espejos planos que se tocan a lo largo de una línea forman un ángulo muy pequeño $\alpha = 5.0 \times 10^{-3}\,\mathrm{rad}$ ; una rendija fuente $S$ , paralela a esa línea, está a $d = 20\,\mathrm{cm}$ de ella, y la pantalla a $D = 1.5\,\mathrm{m}$ más allá. $\lambda = 589\,\mathrm{nm}$ (sodio).

Muéstrese que los dos espejos dan dos imágenes virtuales $S_1$ , $S_2$ de $S$ sobre una circunferencia de radio $d$ centrada en la línea de contacto, separadas $a = 2\alpha d$ ; valor.
¿Por qué interfieren las ondas de $S_1$ y $S_2$ , mientras que las de dos lámparas separadas no lo harían?
Interfranja en la pantalla (distancia de las fuentes a la pantalla $\approx d + D$ ); número de franjas en la región de $5\,\mathrm{mm}$ de ancho donde se solapan los dos haces reflejados.
Orden de interferencia en el borde de esa región; ¿queda por debajo del límite que fija la longitud de coherencia de la lámpara ( $2\,\mathrm{cm}$ )?
La rendija fuente mide $20\,\text{µ}\mathrm{m}$ de ancho: desplazamiento de las franjas que producen sus dos bordes (cada punto de la fuente se imagina en dos puntos virtuales; el sistema de franjas se desplaza $bD'/d$ con $D' = d + D$ ); ¿se conserva el contraste (compárese con $i$ )?
La rendija se ensancha a $0.1\,\mathrm{mm}$ : contraste, usando $|\operatorname{sinc}(\pi ab/\lambda d)|$ .
Los dos espejos reflejan el $90\%$ y el $80\%$ de la luz: contraste de las franjas.
Se coloca una placa de vidrio de $10\,\text{µ}\mathrm{m}$ de espesor ( $n = 1.5$ ) delante de uno de los espejos: desplazamiento del patrón, en franjas; ¿puede seguirse con luz de sodio? ¿Y con luz blanca?
Sustitúyase la lámpara de sodio por luz blanca: descríbase la pantalla; ¿cuántas franjas coloreadas a cada lado del centro?

Parte II — La película de aceite. Una película de aceite ( $n = 1.45$ ) se extiende sobre una carretera mojada ( $n_{\text{agua}} = 1.33$ ), iluminada por el cielo cubierto y vista con incidencia casi normal.

Reflexiones en las dos caras: ¿cuáles invierten el signo? Diferencia de camino; condición para un color brillante.
Espesor de la región más delgada que se ve roja ( $\lambda = 650\,\mathrm{nm}$ ); verde ( $550\,\mathrm{nm}$ ); violeta ( $420\,\mathrm{nm}$ ).
Una región de $600\,\mathrm{nm}$ de espesor: qué longitudes de onda visibles se refuerzan y cuáles se cancelan; su color.
¿Por qué muestra la película bandas de color (qué varía a lo largo de la carretera), y por qué siguen las bandas las curvas de igual espesor?
La película adelgaza por evaporación: descríbase el cambio de la secuencia de colores en un punto dado; ¿qué se ve cuando $e \to 0$ aquí, claro u oscuro? Compárese con una película de jabón en el aire.
La cima de una película de jabón que escurre se vuelve negra justo antes de romperse: espesor allí (unos pocos nanómetros) y por qué es negra.
Vista con incidencia de $60{}^{\circ}$ : ángulo de refracción en el aceite y desplazamiento de las longitudes de onda brillantes de la pregunta 11.
¿A partir de qué espesor se desvanecen los colores en un gris uniforme, para una luz diurna de longitud de coherencia de aproximadamente $1\,\text{µ}\mathrm{m}$ ?
La luz del cielo no está polarizada y llega de muchas direcciones: ¿por qué no se borra el patrón como borra una fuente extensa las franjas de Young? (Localización en la lámina.)

Parte III — Las dos coherencias.

Coherencia temporal: para los espejos de Fresnel con luz de sodio, el orden máximo visible; y con un láser ( $\ell_c = 10\,\mathrm{m}$ ).
Coherencia espacial: la anchura máxima de la fuente para los espejos (a partir de $ab/d < \lambda/4$ ) y para las rendijas de Young con $a = 1\,\mathrm{mm}$ a $L = 40\,\mathrm{cm}$ .
Explíquese por qué la lámina delgada tolera una fuente extensa mientras que las rendijas de Young no: dibújense los dos rayos de la lámina para dos puntos distintos de la fuente y muéstrese que siguen encontrándose en la lámina.
La propia raya del sodio mide $0.02\,\mathrm{nm}$ de anchura: ¿cuántas franjas pueden mostrar los espejos como mucho (úsese $N \approx \lambda/\Delta\lambda$ )?
Un estudiante sustituye la lámpara de sodio por un LED verde ( $\Delta\lambda = 30\,\mathrm{nm}$ ): número de franjas visibles con los espejos.
Con un láser, las franjas se extienden por toda la región de solapamiento con contraste pleno, pero la pantalla queda “moteada”: ¿por qué?
En una tabla, para los espejos y para la lámina: cómo se desdobla la onda, dónde están localizadas las franjas, qué limita su número y qué hace una fuente más ancha.

Solución

Solución de Problema 19.1.

1. Cada espejo forma de $S$ una imagen por simetría a la distancia $d$ de la línea de contacto; las dos imágenes están sobre la circunferencia de radio $d$ , separadas por el ángulo $2\alpha$ : $a = 2\alpha d = 2\,\mathrm{mm}$ .

2. $S_1$ y $S_2$ son dos imágenes de la misma vibración: sus saltos de fase son los mismos.

3. $i = \lambda(d + D)/a = 589 \times 10^{-9} \times 1.7/2 \times 10^{-3} = 0.50\,\mathrm{mm}$ : diez franjas en $5\,\mathrm{mm}$ .

4. $\delta = ax/(d + D) = 2.9\,\text{µ}\mathrm{m}$ en el borde, $p = 5$ : muy por debajo de $\ell_c/\lambda = 34\,000$ .

5. Desplazamiento $bD'/d = 20 \times 10^{-6} \times 1.7/0.2 = 0.17\,\mathrm{mm}$ , un tercio de $i$ : contraste $|\operatorname{sinc}(\pi ab/\lambda d)| = \operatorname{sinc}(1.07) = 0.82$ .

6. $\pi ab/\lambda d = 5.3$ : $|\sin5.3|/5.3 = 0.16$ .

7. Amplitudes $\sqrt{0.9}$ , $\sqrt{0.8}$ : $V = 2\sqrt{0.72}/1.7 = 0.998$ .

8. $(n - 1)e = 5\,\text{µ}\mathrm{m}$ : $8.5$ franjas; se sigue sin dificultad con luz de sodio; con luz blanca la franja blanca se mueve $8.5i = 4.2\,\mathrm{mm}$ y sigue ahí (la dispersión del vidrio cuesta una fracción de micrómetro).

9. Una franja central blanca, dos o tres franjas coloreadas a cada lado y luego un blanco uniforme.

10. Aire $\to$ aceite invierte, aceite $\to$ agua (índice menor) no: $\delta = 2ne + \lambda/2$ ; brillante para $2ne = (p + \tfrac12)\lambda$ .

11. $e = \lambda/4n$ : rojo $112\,\mathrm{nm}$ , verde $95\,\mathrm{nm}$ , violeta $72\,\mathrm{nm}$ .

12. $2ne = 1740\,\mathrm{nm}$ : reforzadas $1740/(p + \tfrac12)$ : $696$ (rojo), $497$ (azul verdoso), $387\,\mathrm{nm}$ ; canceladas $1740/p$ : $580$ (amarillo), $435\,\mathrm{nm}$ : una mezcla púrpura de rojo y azul verdoso.

13. El espesor varía a lo largo de la carretera; cada color es brillante allí donde $2ne$ toma el valor adecuado, así que las bandas son curvas de igual espesor.

14. Los órdenes bajan: los colores recorren la secuencia hacia el extremo delgado; cuando $e \to 0$ , la única inversión de signo deja $\delta = \lambda/2$ para todos los colores: oscuro — como para una película de jabón en el aire.

15. Unos pocos nanómetros: $2ne \ll \lambda$ para todos los colores, las dos reflexiones están en antifase y se cancelan: negro.

16. $\sin r = \sin60^\circ/1.45$ , $r = 37{}^{\circ}$ , $\cos r = 0.80$ : $2ne\cos r = 1390\,\mathrm{nm}$ , brillante en $928$ , $557$ y $398\,\mathrm{nm}$ : el rojo de la pregunta 12 se ha vuelto verde amarillento — hacia el azul.

17. Cuando $2ne$ supera $\ell_c \approx 1\,\text{µ}\mathrm{m}$ , es decir, más allá de unos $0.4\,\text{µ}\mathrm{m}$ de aceite, los órdenes se solapan y los colores se apagan en gris.

18. Los dos rayos reflejados por la lámina para cualquier dirección de la fuente se reencuentran en la lámina: las franjas están localizadas allí y una fuente amplia y multidireccional se limita a añadir patrones idénticos.

19. $\ell_c/\lambda$ : $34\,000$ con sodio, $1.7 \times 10^7$ con el láser.

20. $b < \lambda d/4a$ : $15\,\text{µ}\mathrm{m}$ para los espejos y $59\,\text{µ}\mathrm{m}$ para las rendijas.

21. Dibújense dos puntos de la fuente: para cada uno, los dos rayos reflejados se recombinan en el mismo punto de la lámina, con la misma $\delta = 2ne\cos r$ con incidencia casi normal; el patrón de la lámina no se mueve, y el de Young sí.

22. $\lambda/\Delta\lambda = 589/0.02 \approx 30\,000$ .

23. $550/30 \approx 18$ franjas.

24. La luz coherente dispersada por los granos de la pantalla interfiere con fases al azar en el ojo: moteado.

25. Espejos: división del frente de onda, franjas en todas partes (no localizadas), número limitado por $\ell_c/\lambda$ , y una fuente ancha las borra. Lámina: división de amplitud, franjas en la lámina, colores limitados por $\ell_c \sim 1\,\text{µ}\mathrm{m}$ , y una fuente ancha es inocua.