Física universitaria — segundo año · Bachelor Year 2

23El láser: emisión estimulada y haces gaussianos

Un punto rojo en la pantalla de un aula, el lector de códigos de barras de la caja, el haz que lee un disco, suelda la carrocería de un coche, transporta internet bajo los océanos, corrige una córnea y mide la distancia a la Luna con precisión de milímetro: cada uno de ellos es un láser, una fuente de luz distinta de toda llama o lámpara. Su luz es de un solo color hasta una parte entre mil millones, se mantiene en un haz de milímetros a lo largo de una habitación y puede enfocarse en una mancha de unas pocas longitudes de onda, donde su irradiancia supera un millón de veces la de la superficie del Sol. Nada de esto viene de una clase nueva de átomo: viene de un proceso que Einstein identificó en 1917 — la emisión estimulada, la emisión de un fotón idéntico a uno ya presente — y de disponer la materia de modo que ese proceso gane a la absorción, y de colocar después el amplificador entre dos espejos para que se alimente a sí mismo. Este capítulo construye el láser en tres pasos: cómo intercambian energía la luz y una población de átomos (los coeficientes de Einstein), cuándo amplifica el intercambio (inversión de población y ganancia) y cuándo el amplificador se vuelve oscilador (la cavidad, su umbral y sus modos). Termina con la forma del haz que sale, el haz gaussiano, cuya cintura y divergencia deciden lo que un láser puede hacer a distancia y en un foco.

Una mesa óptica: láser, espejos, lentes y un haz que sigue siendo una línea fina a lo ancho de toda la sala — la directividad que ninguna lámpara puede dar.

23.1 Luz y materia: los tres procesos

Definición 23.1 (Absorción, emisión espontánea y emisión estimulada)

Considérense átomos con dos niveles de energía $E_1 < E_2$ , poblaciones (densidades de número) $N_1$ , $N_2$ , y luz de frecuencia $\nu$ con $h\nu = E_2 - E_1$ y densidad espectral de energía $u(\nu)$ (energía por unidad de volumen y por unidad de frecuencia). Tres procesos intercambian energía:

absorción: un átomo en $E_1$ absorbe un fotón y sube a $E_2$ , con el ritmo $B_{12}\,u(\nu)\,N_1$ por unidad de volumen y tiempo;
emisión espontánea: un átomo en $E_2$ cae a $E_1$ por sí solo, emitiendo un fotón en una dirección al azar y con una fase al azar, con el ritmo $A_{21}N_2$ — $1/A_{21} = \tau$ es la vida media del nivel;
emisión estimulada: un fotón de frecuencia $\nu$ que pasa junto a un átomo en $E_2$ lo induce a caer, emitiendo un segundo fotón idéntico al primero (misma frecuencia, dirección, fase y polarización), con el ritmo $B_{21}\,u(\nu)\,N_2$ .

$A_{21}$ , $B_{12}$ , $B_{21}$ son los coeficientes de Einstein de la transición.

Proposición 23.2 (Relaciones de Einstein)

Para niveles no degenerados,

B_{12} = B_{21} \equiv B, \qquad \frac{A_{21}}{B_{21}} = \frac{8\pi h\nu^3}{c^3}.

La emisión estimulada y la absorción tienen el mismo coeficiente; el ritmo espontáneo crece como $\nu^3$ respecto del estimulado.

Demostración. Póngase a los átomos en equilibrio con la radiación a la temperatura $T$ . Se toman prestados dos hechos de capítulos posteriores: las poblaciones de dos niveles en el equilibrio están en la razón $N_2/N_1 = \eu^{-h\nu/k_BT}$ (el factor de Boltzmann, Capítulo 29) y la radiación de equilibrio tiene la densidad espectral de Planck $u(\nu) = (8\pi h\nu^3/c^3)/(\eu^{h\nu/k_BT} - 1)$ (Capítulo 26). En el equilibrio, las poblaciones de los niveles son estacionarias: $B_{12}uN_1 = A_{21}N_2 + B_{21}uN_2$ , de donde

u = \frac{A_{21}}{B_{12}\,N_1/N_2 - B_{21}} = \frac{A_{21}}{B_{12}\eu^{h\nu/k_BT} - B_{21}}.

Esto debe coincidir con la expresión de Planck a cualquier $T$ : el límite $T \to \infty$ (donde $u \to \infty$ ) obliga a $B_{12} = B_{21}$ , y la comparación da entonces $A_{21}/B_{21} = 8\pi h\nu^3/c^3$ . Los coeficientes son propiedades del átomo, así que las relaciones valen también fuera del equilibrio. ∎

Observación 23.3 (Por qué no amplifican las lámparas)

En un gas a $300\,\mathrm{K}$ , para una transición visible ( $h\nu \approx 2\,\mathrm{eV}$ , $k_BT \approx 0.025\,\mathrm{eV}$ ), $N_2/N_1 = \eu^{-80} \approx 10^{-35}$ : prácticamente ningún átomo está excitado y la luz solo se absorbe. Una descarga o una llama pueblan $E_2$ , pero aun así con $N_2 < N_1$ , y las absorciones superan en número a cada fotón emitido; además, la razón entre la emisión espontánea y la estimulada en el equilibrio, $A_{21}/(B_{21}u) = \eu^{h\nu/k_BT} - 1$ , es astronómicamente grande en el visible — la luz de una lámpara es espontánea: fases al azar, todas las direcciones, toda la anchura de la raya. Solo en radiofrecuencias y microondas ( $h\nu \ll k_BT$ ) compite la emisión estimulada de forma natural; el primer dispositivo de esta clase fue, en efecto, el máser, a $24\,\mathrm{GHz}$ (1954), antes que el láser óptico (1960).

Los tres procesos entre dos niveles: la absorción se lleva un fotón; la emisión espontánea añade un fotón de fase y dirección al azar; la emisión estimulada añade un fotón idéntico al incidente — una copia.

23.2 Amplificación: inversión de población y ganancia

Proposición 23.4 (Ganancia de un medio)

Un haz de intensidad $I$ a la frecuencia $\nu$ que cruza el medio gana energía por emisión estimulada y la pierde por absorción (la emisión espontánea va en todas las direcciones y apenas contribuye al haz). En una longitud $\dd z$ ,

\dd I = \sigma\,(N_2 - N_1)\,I\,\dd z, \qquad I(z) = I(0)\,\eu^{g z}, \qquad g = \sigma(N_2 - N_1),

donde $\sigma$ (un área, la sección eficaz de la transición, $\sigma \propto B\,h\nu/c$ ) mide la fuerza de la transición. El medio amplifica ( $g > 0$ ) solo si

N_2 > N_1 :

una inversión de población. Sin ella ( $N_2 < N_1$ , el caso de todo medio en equilibrio) el haz queda absorbido.

Demostración. Por unidad de volumen y tiempo, $B u (N_2 - N_1)$ transiciones añaden (o quitan) un fotón $h\nu$ al haz; con $u = I/c$ (por unidad de frecuencia, en la anchura de la raya), la potencia ganada por unidad de volumen vale $B h\nu (N_2 - N_1) I/c$ , y esto es $\dd I/\dd z$ ; defínase $\sigma = Bh\nu/c$ (por el factor de forma de la raya). ∎

Observación 23.5 (Por qué no puede invertirse un sistema de dos niveles)

Bombéese un sistema de dos niveles con luz de frecuencia $\nu$ todo lo fuerte que se quiera: el bombeo absorbe cuando $N_1 > N_2$ y estimula la emisión cuando $N_2 > N_1$ , y las poblaciones tienden como mucho a la igualdad, $N_2 = N_1$ , donde el medio es transparente pero no gana nada. Una inversión exige al menos tres niveles: bombear desde el nivel fundamental a un nivel de vida corta que decae deprisa al nivel láser superior, que es de vida larga (metastable) y por tanto almacena población. En un esquema de tres niveles (rubí, el primer láser) el nivel láser inferior es el estado fundamental, así que hay que elevar más de la mitad de los átomos antes de la inversión: el bombeo es brutal. En un esquema de cuatro niveles (He–Ne, Nd:YAG, la mayoría de los láseres) el nivel láser inferior es un nivel excitado que se vacía deprisa al fundamental; está casi vacío en todo momento, y una pequeña población en el nivel superior ya es una inversión — el umbral es bajo.

Esquemas de bombeo. A la izquierda, tres niveles — la transición láser acaba en el nivel fundamental, que debe vaciarse más de la mitad. A la derecha, cuatro niveles — el nivel láser inferior se vacía enseguida al estado fundamental, así que una pequeña población superior ya es una inversión.

Proposición 23.6 (Saturación de la ganancia)

La inversión la mantiene un bombeo que suministra átomos al nivel superior con el ritmo $R$ por unidad de volumen, frente al decaimiento $1/\tau$ y a la emisión estimulada $\sigma I (N_2 - N_1)/h\nu$ . En un medio de cuatro niveles ( $N_1 \approx 0$ ) el estado estacionario es

N_2 = \frac{R\tau}{1 + I/I_{\text{s}}}, \qquad g = \frac{g_0}{1 + I/I_{\text{s}}}, \qquad I_{\text{s}} = \frac{h\nu}{\sigma\tau} :

la ganancia en pequeña señal $g_0 = \sigma R\tau$ queda reducida por el propio haz en cuanto $I$ se acerca a la intensidad de saturación $I_{\text{s}}$ — el amplificador es no lineal, y esa no linealidad es la que fijará la potencia del láser.

Demostración. $\dd N_2/\dd t = R - N_2/\tau - \sigma I N_2/h\nu = 0$ . ∎

23.3 El oscilador: cavidad, umbral y modos

Definición 23.7 (Cavidad láser)

Un láser es un medio amplificador de longitud $\ell$ colocado entre dos espejos (reflectancias $R_1$ , $R_2$ ) separados una distancia $L$ : una cavidad de Fabry–Pérot (Capítulo 21). Uno de los espejos, el espejo de salida, transmite en parte ( $T_2 = 1 - R_2$ , de un pequeño porcentaje) y deja salir el haz. La luz que da la vuelta a la cavidad queda amplificada dos veces por el medio y atenuada por los espejos y por las demás pérdidas (dispersión, absorción, difracción).

Teorema 23.8 (Condición de oscilación)

Una onda de amplitud compleja $\underline s$ se reproduce tras una ida y vuelta si

\underline s\,\cdot\, \eu^{g\ell}\sqrt{R_1}\,\eu^{g\ell}\sqrt{R_2}\, \eu^{-\alpha\cdot 2L}\,\eu^{2\iu kL} = \underline s

( $\alpha$ : las demás pérdidas por unidad de longitud). De ahí dos condiciones.

Amplitud: $R_1R_2\,\eu^{2(g\ell - \alpha L)} \ge 1$ , es decir, la ganancia debe alcanzar el umbral

$g_{\text{umb}} = \frac{1}{\ell}\Big(\alpha L - \tfrac12\ln(R_1R_2)\Big) \approx \frac{1}{2\ell}\,(T_2 + \text{pérdidas por ida y vuelta}) ;$
Fase: $2kL = 2\pi p$ , es decir, $\nu_p = p\,c/2L$ — el láser oscila solo en los modos longitudinales de la cavidad, separados $c/2L$ , y de entre ellos solo en los que caen bajo la curva de ganancia donde $g(\nu) \ge g_{\text{umb}}$ .

Demostración. La amplitud y la fase del factor de ida y vuelta deben ser ambas triviales; la aproximación usa $-\ln R \approx 1 - R = T$ para $T \ll 1$ . ∎

Proposición 23.9 (Estado estacionario por encima del umbral)

Partiendo de la emisión espontánea de un solo átomo, todo modo para el que $g_0 > g_{\text{umb}}$ crece exponencialmente, ida y vuelta tras ida y vuelta; al crecer su intensidad, la ganancia se satura (Proposición 23.6) hasta igualar exactamente las pérdidas:

g(I) = g_{\text{umb}} \quad\Longrightarrow\quad I_{\text{cav}} = I_{\text{s}}\Big(\frac{g_0}{g_{\text{umb}}} - 1\Big), \qquad P_{\text{sal}} = T_2\,I_{\text{cav}}\,A .

La ganancia queda anclada al valor de umbral; cada átomo adicional bombeado por encima del umbral se convierte en un fotón de salida, así que la potencia de salida crece linealmente con el bombeo por encima del bombeo umbral.

Observación 23.10 (El láser es un oscilador realimentado)

Compárese con el oscilador de puente de Wien de Capítulo 9: un amplificador (el medio invertido), una realimentación selectiva en frecuencia (la cavidad, que solo deja pasar sus modos), una condición de arranque (ganancia de lazo $> 1$ , es decir, $g_0 > g_{\text{umb}}$ ), un arranque desde el ruido (aquí, la emisión espontánea) y una amplitud fijada por la no linealidad del amplificador (la saturación de la ganancia). El láser es el miembro óptico de la familia.

La curva de ganancia del medio (de anchura ), el umbral que fijan las pérdidas y el peine de modos de la cavidad separados c/2L: solo oscilan los modos que quedan bajo la curva y por encima del umbral (en trazo grueso). — La curva de ganancia del medio (de anchura $\Delta\nu$ ), el umbral que fijan las pérdidas y el peine de modos de la cavidad separados $c/2L$ : solo oscilan los modos que quedan bajo la curva y por encima del umbral (en trazo grueso).

Ejemplo 23.11 (El láser de helio–neón)

Un tubo de vidrio de $30\,\mathrm{cm}$ de largo, con un diámetro interior de $1\,\mathrm{mm}$ , que contiene helio y neón a cerca de una milésima de atmósfera, atravesado por una descarga de unos pocos miliamperios. Los electrones excitan el helio a un nivel metastable a $20.6\,\mathrm{eV}$ , que cede su energía por colisión a un nivel del neón a casi exactamente la misma altura; desde ahí el neón decae a un nivel inferior (que se vacía deprisa al fundamental — cuatro niveles) emitiendo a $632.8\,\mathrm{nm}$ . La ganancia en pequeña señal es minúscula, de un pequeño porcentaje por pasada, así que los espejos han de ser excelentes ( $R_1 = 0.999$ , $R_2 = 0.99$ ) y el tubo, limpio; la raya de ganancia está ensanchada por Doppler hasta $\Delta\nu \approx 1.5\,\mathrm{GHz}$ , los modos están separados $c/2L = 500\,\mathrm{MHz}$ , así que oscilan dos o tres modos a la vez. Salida de $1\,\mathrm{mW}$ para varios vatios de descarga: rendimiento $10^{-4}$ ; pero con una longitud de onda definida hasta $10^{-6}$ y un haz que sigue midiendo $1\,\mathrm{mm}$ de ancho a lo ancho del laboratorio.

23.4 El haz gaussiano

Proposición 23.12 (Haz gaussiano)

El haz que emite una cavidad estable con espejos curvos es (en el modo transversal fundamental) un haz gaussiano: a la distancia $z$ de su sección más estrecha (la cintura, de radio $w_0$ ), el perfil de intensidad vale

I(r,z) = \frac{2P}{\pi w(z)^2}\,\exp\Big(-\frac{2r^2}{w(z)^2}\Big), \qquad w(z) = w_0\sqrt{1 + \Big(\frac{z}{z_{\text{R}}}\Big)^2}, \qquad z_{\text{R}} = \frac{\pi w_0^2}{\lambda},

donde $P$ es la potencia total y $z_{\text{R}}$ la longitud de Rayleigh: en $\pm z_{\text{R}}$ el haz se mantiene dentro de $\sqrt2$ de su cintura, y mucho más allá se abre con el semiángulo

\theta = \frac{\lambda}{\pi w_0} .

El haz es solución de la ecuación de ondas en la aproximación paraxial; admitimos su forma y la usamos. Sus frentes de onda son planos en la cintura y esféricos muy lejos.

Demostración. Admitido en este nivel (el cálculo es la propagación en óptica de Fourier de una distribución gaussiana en una abertura); su propiedad clave es la que ya dio la difracción en Capítulo 22: una abertura de tamaño $w_0$ abre en $\lambda/w_0$ , aquí con el factor exacto $1/\pi$ . ∎

Un haz gaussiano: el radio w(z) es una hipérbola — casi constante dentro de la longitud de Rayleigh y luego un cono de semiángulo /π w_0. Una cintura menor significa una longitud de Rayleigh más corta y un cono más ancho. — Un haz gaussiano: el radio $w(z)$ es una hipérbola — casi constante dentro de la longitud de Rayleigh y luego un cono de semiángulo $\lambda/\pi w_0$ . Una cintura menor significa una longitud de Rayleigh más corta y un cono más ancho.

Proposición 23.13 (Enfocar y expandir un haz)

Un haz gaussiano de radio $w$ (mucho mayor que el que tendría su campo lejano en la lente, es decir, casi colimado) que incide en una lente de distancia focal $f$ se enfoca en una cintura

w_0' = \frac{\lambda f}{\pi w}

en el foco, con longitud de Rayleigh $\pi w_0'^2/\lambda$ . La irradiancia de pico allí vale $2P/\pi w_0'^2$ . A la inversa, un telescopio afocal de aumento $M$ convierte un haz de radio $w$ en otro de radio $Mw$ cuya divergencia es $M$ veces menor: para enviar un haz lejos, hágase primero ancho.

Demostración. La lente convierte el frente de onda plano en una esfera que converge en $f$ ; la difracción de una abertura de radio $w$ da la apertura angular $\lambda/\pi w$ , de donde la mancha focal $f\lambda/\pi w$ — coherente con $\theta = \lambda/\pi w_0'$ leído al revés. ∎

Ejemplo 23.14 (Cortar, leer, apuntar)

Un láser de dióxido de carbono de $1\,\mathrm{kW}$ a $10.6\,\text{µ}\mathrm{m}$ , con un radio de haz de $10\,\mathrm{mm}$ , enfocado con $f = 100\,\mathrm{mm}$ : $w_0' = 34\,\text{µ}\mathrm{m}$ , irradiancia de pico $2P/\pi w_0'^2 = 5 \times 10^{11}\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$ — el acero hierve. Un puntero de $1\,\mathrm{mW}$ , con $w_0 = 0.5\,\mathrm{mm}$ a $633\,\mathrm{nm}$ : $\theta = 0.4\,\mathrm{mrad}$ , una mancha de $4\,\mathrm{cm}$ a $50\,\mathrm{m}$ y una irradiancia de $2.5\,\mathrm{kW}/\mathrm{m}^{2}$ a la salida — por encima de la luz solar, razón por la que ni un milivatio debe entrar nunca en un ojo: el cristalino lo enfocaría en una mancha de $10\,\text{µ}\mathrm{m}$ en la retina a millones de vatios por metro cuadrado. Un lector de discos a $650\,\mathrm{nm}$ con una lente de apertura numérica $0.6$ enfoca en unos $\lambda/2\mathrm{AN} \approx 0.5\,\text{µ}\mathrm{m}$ , el tamaño de un hoyo.

Observación 23.15 (Qué tiene de especial la luz láser)

Directividad: un solo modo transversal, con divergencia en el límite de difracción. Monocromaticidad: uno o unos pocos modos de la cavidad, cada uno más estrecho que un megahercio — longitudes de coherencia de metros a kilómetros (Capítulo 18). Coherencia espacial: todo el haz es una sola onda, así que interfiere consigo mismo en cualquier parte (holografía, interferometría). Brillo: un milivatio en un haz limitado por difracción supera al Sol por unidad de ángulo sólido y de ancho de banda. Potencia en pulsos: un julio en un nanosegundo es un gigavatio, y en un femtosegundo, un petavatio. Y, como el haz es la salida de un oscilador, puede modularse en gigahercios — la portadora de la fibra óptica (Capítulo 16).

Método 23.16 (Estimaciones sobre láseres)

(1) Energía del fotón $h\nu = hc/\lambda$ y ritmo de fotones $P/h\nu$ . (2) Umbral: $g_{\text{umb}}\ell \approx \tfrac12(T_2 + \text{pérdidas})$ ; compárese con la ganancia en pequeña señal $g_0\ell$ del medio. (3) Modos: $c/2L$ frente a la anchura de la ganancia; cuéntense los modos que oscilan. (4) Potencia: la ganancia se ancla en el umbral; salida $\propto$ (bombeo $-$ bombeo umbral). (5) Haz: $z_{\text{R}} = \pi w_0^2/\lambda$ , $\theta = \lambda/\pi w_0$ , mancha focal $\lambda f/\pi w$ , irradiancia de pico $2P/\pi w_0^2$ . (6) Seguridad: compárese la irradiancia retiniana con la del Sol.

23.5 Ejercicios

Ejercicio 23.1 ★

Un láser de He–Ne emite $1\,\mathrm{mW}$ a $632.8\,\mathrm{nm}$ . Frecuencia, energía del fotón en julios y en electronvoltios, fotones por segundo. Con una cavidad de $30\,\mathrm{cm}$ : separación de modos; ¿cuántos modos caben bajo una curva de ganancia de $1.5\,\mathrm{GHz}$ de anchura?

Solución

Solución de Ejercicio 23.1.

$\nu = 4.74 \times 10^{14}\,\mathrm{Hz}$ ; $h\nu = 3.14 \times 10^{-19}\,\mathrm{J} = 1.96\,\mathrm{eV}$ ; $3.2 \times 10^{15}\,$ fotones por segundo; $c/2L = 500\,\mathrm{MHz}$ ; tres modos.

Ejercicio 23.2 ★

Dos niveles separados $2\,\mathrm{eV}$ a $300\,\mathrm{K}$ : razón $N_2/N_1$ (úsese $k_BT = 0.025\,\mathrm{eV}$ ). ¿A qué temperatura serían iguales las poblaciones? Muéstrese que una inversión corresponde a una temperatura formalmente negativa en la razón de Boltzmann. La misma razón para una transición de microondas a $24\,\mathrm{GHz}$ .

Solución

Solución de Ejercicio 23.2.

$\eu^{-80} \approx 2 \times 10^{-35}$ ; la igualdad solo cuando $T \to \infty$ ; $N_2 > N_1$ exige $\eu^{-h\nu/k_BT} > 1$ , es decir, $T < 0$ formalmente. A $24\,\mathrm{GHz}$ , $h\nu = 1 \times 10^{-4}\,\mathrm{eV}$ : $N_2/N_1 = 0.996$ .

Ejercicio 23.3 ★

Haz gaussiano, $w_0 = 0.5\,\mathrm{mm}$ , $\lambda = 633\,\mathrm{nm}$ : longitud de Rayleigh, divergencia, radio tras $100\,\mathrm{m}$ y en la Luna ( $3.8 \times 10^{8}\,\mathrm{m}$ ). El mismo haz tras un expansor $\times 20$ .

Solución

Solución de Ejercicio 23.3.

$z_{\text{R}} = 1.24\,\mathrm{m}$ ; $\theta = 4.0 \times 10^{-4}\,\mathrm{rad}$ ; $w(100\,\mathrm{m}) = 40\,\mathrm{mm}$ ; en la Luna, $150\,\mathrm{km}$ . Tras $\times 20$ : $w_0 = 10\,\mathrm{mm}$ , $\theta = 2 \times 10^{-5}\,\mathrm{rad}$ , $z_{\text{R}} = 500\,\mathrm{m}$ , $10.2\,\mathrm{mm}$ a $100\,\mathrm{m}$ y $7.7\,\mathrm{km}$ en la Luna.

Ejercicio 23.4 ★

Cavidad con $R_1 = 1$ , $R_2 = 0.98$ , medio de $20\,\mathrm{cm}$ de largo y otras pérdidas del $0.5\%$ por pasada. Coeficiente de ganancia umbral. La ganancia en pequeña señal del medio vale $0.2\,\mathrm{m}^{-1}$ : ¿emite láser? ¿Y con $R_2 = 0.90$ ?

Solución

Solución de Ejercicio 23.4.

$g_{\text{umb}} = (0.005 + 0.0101)/0.2 = 0.076\,\mathrm{m}^{-1} < 0.2$ : emite láser. Con $R_2 = 0.90$ : $(0.005 + 0.053)/0.2 = 0.29\,\mathrm{m}^{-1}$ : no lo hace.

Ejercicio 23.5 ★★

Relaciones de Einstein. (a) Escríbase el balance de una población de dos niveles en equilibrio con la radiación $u(\nu)$ y dedúzcanse las dos relaciones a partir de la ley de Planck (dada). (b) Calcúlese $A_{21}/B_{21}u = \eu^{h\nu/k_BT} - 1$ a $300\,\mathrm{K}$ para $\lambda = 600\,\mathrm{nm}$ y para $\lambda = 1\,\mathrm{cm}$ . (c) ¿Por qué se inventaron los máseres antes que los láseres? (d) La vida media de un nivel es $\tau = 1/A_{21}$ ; si $\tau = 10\,\mathrm{ns}$ a $600\,\mathrm{nm}$ , ¿cuánto vale $\tau$ para una transición del mismo $B$ a $6\,\text{µ}\mathrm{m}$ ?

Solución

Solución de Ejercicio 23.5.

(a) Véase Proposición 23.2. (b) A $600\,\mathrm{nm}$ : $h\nu/k_BT = 80$ , razón $5 \times 10^{34}$ ; a $1\,\mathrm{cm}$ : $4.8 \times 10^{-3}$ — domina la emisión estimulada. (c) En microondas la emisión espontánea es despreciable y una pequeña inversión ya da ganancia; la tecnología (cavidades, guías de ondas) existía. (d) $A \propto \nu^3$ , luego $\tau \propto \lambda^3$ : $10\,\text{µ}\mathrm{s}$ .

Ejercicio 23.6 ★★

Saturación y potencia de salida. Medio de cuatro niveles, $\sigma = 3 \times 10^{-17}\,\mathrm{m}^{2}$ , $\tau = 100\,\mathrm{ns}$ , $\lambda = 633\,\mathrm{nm}$ . (a) Intensidad de saturación. (b) Ritmo de bombeo $R$ para una ganancia en pequeña señal $g_0 = 0.1\,\mathrm{m}^{-1}$ . (c) El umbral de la cavidad es $g_{\text{umb}} = 0.02\,\mathrm{m}^{-1}$ : intensidad intracavidad en estado estacionario; salida a través de $T_2 = 1\%$ desde un haz de área $1\,\mathrm{mm}^{2}$ . (d) Muéstrese que la potencia de salida es lineal en $R$ por encima del umbral.

Solución

Solución de Ejercicio 23.6.

(a) $I_{\text{s}} = h\nu/\sigma\tau = 1.0 \times 10^{5}\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$ . (b) $R = g_0/\sigma\tau = 3.3 \times 10^{22}\,\mathrm{m}^{-3}\,\mathrm{s}^{-1}$ . (c) $I = I_{\text{s}}(5 - 1) = 4.2 \times 10^{5}\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$ ; $P_{\text{sal}} = 0.01 \times 4.2 \times 10^5 \times 10^{-6} = 4.2\,\mathrm{mW}$ . (d) $I = I_{\text{s}}(\sigma R\tau/g_{\text{umb}} - 1) = (h\nu/g_{\text{umb}})(R - g_{\text{umb}}/\sigma\tau)$ : lineal en $R$ por encima de $R_{\text{umb}} = g_{\text{umb}}/\sigma\tau$ .

Ejercicio 23.7 ★★

Modos y estabilidad. (a) Longitud de cavidad para funcionamiento monomodo bajo una curva de ganancia de $1.5\,\mathrm{GHz}$ . (b) Una cavidad de $30\,\mathrm{cm}$ se dilata $1\,\text{µ}\mathrm{m}$ : corrimiento de la frecuencia de un modo, comparado con la separación de modos y con la anchura de la ganancia. (c) ¿Por qué fijan los He–Ne comerciales estabilizados la longitud del tubo calentándolo? (d) La anchura propia del modo es de unos pocos kilohercios: ¿longitud de coherencia?

Solución

Solución de Ejercicio 23.7.

(a) $c/2L > 1.5\,\mathrm{GHz}$ : $L < 10\,\mathrm{cm}$ . (b) $\delta\nu = \nu\,\delta L/L = 1.6\,\mathrm{GHz}$ : tres separaciones de modo, toda la anchura de ganancia — el modo barre la curva de ganancia y cede el relevo a su vecino. (c) Un calefactor mantiene la longitud dentro de una pequeña fracción de $\lambda$ , usando el equilibrio de dos modos como señal de error. (d) $c/\delta\nu \approx 100\,\mathrm{km}$ .

Ejercicio 23.8 ★★

Enfoque. (a) Haz de $w = 1\,\mathrm{mm}$ , $\lambda = 633\,\mathrm{nm}$ , $f = 50\,\mathrm{mm}$ : cintura, longitud de Rayleigh e irradiancia de pico para $1\,\mathrm{mW}$ . (b) El mismo haz en un ojo (distancia focal $17\,\mathrm{mm}$ ): mancha retiniana e irradiancia; compárese con la imagen del Sol ( $1\,\mathrm{kW}/\mathrm{m}^{2}$ a través de una pupila de $3\,\mathrm{mm}$ en una imagen de $0.15\,\mathrm{mm}$ ). (c) ¿Por qué es más peligroso un puntero verde de $5\,\mathrm{mW}$ que una bombilla de $100\,\mathrm{W}$ ? (d) Profundidad de foco de la lente de $50\,\mathrm{mm}$ .

Solución

Solución de Ejercicio 23.8.

(a) $w_0' = 10\,\text{µ}\mathrm{m}$ , $z_{\text{R}} = 0.5\,\mathrm{mm}$ , $I = 2P/\pi w_0'^2 = 6.4 \times 10^{6}\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$ . (b) $w_0' = 3.4\,\text{µ}\mathrm{m}$ , $I = 5.5 \times 10^{7}\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$ ; la imagen del Sol: $10^3 \times (3/0.15)^2 = 4 \times 10^{5}\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$ — el puntero es cien veces peor. (c) La potencia de la bombilla se reparte en $4\pi$ y su imagen en la retina es extensa; toda la potencia del puntero cae en unos pocos micrómetros, en la longitud de onda de máxima sensibilidad. (d) $2z_{\text{R}} = 1\,\mathrm{mm}$ .

Ejercicio 23.9 ★★

Tres niveles frente a cuatro. Rubí: $N = 1.6 \times 10^{25}\,\mathrm{m}^{-3}$ iones de cromo, vida media del nivel superior $3\,\mathrm{ms}$ , $\lambda = 694\,\mathrm{nm}$ . (a) Potencia de bombeo mínima por unidad de volumen para mantener la mitad de los iones en el nivel superior. (b) Para una varilla de $1\,\mathrm{cm}^{3}$ . (c) Un medio de cuatro niveles solo necesita $\Delta N = 1 \times 10^{22}\,\mathrm{m}^{-3}$ con $\tau = 230\,\text{µ}\mathrm{s}$ a $1064\,\mathrm{nm}$ : potencia de bombeo por unidad de volumen. (d) Coméntese la lámpara de destello del láser de rubí frente al bombeo por diodo de un Nd:YAG.

Solución

Solución de Ejercicio 23.9.

(a) $(N/2)\,h\nu/\tau = 7.6 \times 10^{8}\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{3}$ . (b) $760\,\mathrm{W}$ — en continuo es impensable: una lámpara de destello. (c) $10^{22} \times 1.87 \times 10^{-19}/2.3 \times 10^{-4} = 8 \times 10^{6}\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{3}$ : $8\,\mathrm{W}$ por centímetro cúbico. (d) Cien veces menos, y en continuo: bastan unos pocos vatios de luz de diodo.

Ejercicio 23.10 ★★★

El diodo láser. La región emisora de un láser de diodo mide unos $3\,\text{µ}\mathrm{m}$ por $1\,\text{µ}\mathrm{m}$ , $\lambda = 780\,\mathrm{nm}$ . (a) Semiángulos de divergencia en las dos direcciones. (b) ¿Qué dirección diverge más, y por qué es elíptico el haz? (c) Una lente de $f = 5\,\mathrm{mm}$ lo colima: tamaños del haz en las dos direcciones. (d) ¿Cómo puede volverse redonda la elipse (dos ideas)?

Solución

Solución de Ejercicio 23.10.

(a) $\lambda/\pi w_0$ : $0.17\,\mathrm{rad}$ ( $9.5{}^{\circ}$ ) y $0.5\,\mathrm{rad}$ ( $28{}^{\circ}$ ). (b) La dirección estrecha diverge más: la elipse del campo lejano es perpendicular a la del emisor. (c) $f\theta$ : $0.8\,\mathrm{mm}$ y $2.5\,\mathrm{mm}$ . (d) Un par de prismas anamórficos o una lente cilíndrica; o acoplar a una fibra monomodo.

Ejercicio 23.11 ★★★

Arranque. (a) Escríbase la condición de amplitud de ida y vuelta con una ganancia neta $G = \eu^{2(g_0 - g_{\text{umb}})\ell} = 1.04$ por ida y vuelta y un tiempo de ida y vuelta $2L/c$ con $L = 30\,\mathrm{cm}$ . (b) Desde un fotón espontáneo hasta el estado estacionario de $100\,\mathrm{mW}$ intracavidad (¿número de fotones en la cavidad?), ¿cuántas idas y vueltas y cuánto tiempo? (c) ¿Qué limita el crecimiento, y qué le ocurre a un modo cuyo $g_0 < g_{\text{umb}}$ ? (d) En un láser multimodo los modos compiten por los mismos átomos: explíquese el salto de modo.

Solución

Solución de Ejercicio 23.11.

(a) Intensidad $\times 1.04$ cada $2\,\mathrm{ns}$ . (b) $N = P\,(2L/c)/h\nu = 6.4 \times 10^8$ fotones; $\ln(6.4 \times 10^8)/\ln 1.04 \approx 520$ idas y vueltas, unos $1\,\text{µ}\mathrm{s}$ . (c) La saturación de la ganancia; un modo por debajo del umbral pierde más por ida y vuelta de lo que gana y se queda en el nivel espontáneo. (d) Los modos comparten una sola inversión; el más fuerte la satura y deja sin nada a los demás; las derivas de longitud y de ganancia cambian al vencedor — la salida salta de modo en modo.

Ejercicio 23.12 ★★★

Telemetría lunar. Pulsos de $100\,\mathrm{mJ}$ a $532\,\mathrm{nm}$ , de $100\,\mathrm{ps}$ de duración, enviados por un telescopio de $1\,\mathrm{m}$ ( $w_0 = 0.5\,\mathrm{m}$ ). (a) Fotones por pulso y potencia de pico. (b) Divergencia por difracción y radio de la mancha en la Luna ( $3.8 \times 10^{8}\,\mathrm{m}$ ); la atmósfera abre en cambio el haz hasta $1''$ : radio de la mancha. (c) Una batería de reflectores de $0.1\,\mathrm{m}^{2}$ en la Luna devuelve la luz con su propia difracción ( $\lambda/d$ con cubos de esquina de $d = 4\,\mathrm{cm}$ ): mancha en la Tierra, fracción recogida por el telescopio, fotones detectados por pulso. (d) Con una medida de tiempos de $100\,\mathrm{ps}$ : precisión en distancia por pulso, y tras $10^4$ pulsos.

Solución

Solución de Ejercicio 23.12.

(a) $2.7 \times 10^{17}$ fotones; $1\,\mathrm{GW}$ . (b) $\theta = 3.4 \times 10^{-7}\,\mathrm{rad}$ , $130\,\mathrm{m}$ ; con el seeing, $1.8\,\mathrm{km}$ . (c) Fracción $0.1/\pi(1800)^2 = 10^{-8}$ : $2.6 \times 10^9$ fotones; el retorno se abre $1.3 \times 10^{-5}\,\mathrm{rad}$ , con radio $5\,\mathrm{km}$ ; el telescopio recoge $(0.5/5000)^2 = 10^{-8}$ : unos $25$ fotones, unos pocos tras la óptica. (d) $c \times 100\,\mathrm{ps}/2 = 1.5\,\mathrm{cm}$ ; $\times 1/\sqrt{10^4}$ : $0.15\,\mathrm{mm}$ .

Un tubo de láser de helio–neón que emite en su raya amarilla a 594\, nm: el resplandor de la descarga dentro del tubo y el haz que sale por el espejo de salida. Foto: Telementor, CC BY 4.0. — Un tubo de láser de helio–neón que emite en su raya amarilla a $594\,\mathrm{nm}$ : el resplandor de la descarga dentro del tubo y el haz que sale por el espejo de salida. Foto: Telementor, CC BY 4.0.

23.6 Problema: un láser de helio–neón, del tubo a la Luna

Problema 23.1

Problema de fin de semana — un láser construido, caracterizado y usado

El láser del banco: tubo de vidrio $L = 30\,\mathrm{cm}$ , diámetro interior $1\,\mathrm{mm}$ , mezcla de helio y neón, descarga de $5\,\mathrm{mA}$ bajo $1.5\,\mathrm{kV}$ ; espejos $R_1 = 0.999$ , $R_2 = 0.99$ ; longitud de onda $632.8\,\mathrm{nm}$ ; salida $1\,\mathrm{mW}$ . Datos: el nivel metastable del He está a $20.61\,\mathrm{eV}$ , el nivel láser superior del Ne a $20.66\,\mathrm{eV}$ con vida media $100\,\mathrm{ns}$ , el nivel láser inferior a $18.70\,\mathrm{eV}$ con vida media $10\,\mathrm{ns}$ ; temperatura del gas $400\,\mathrm{K}$ ; masa molar del neón $20\,\mathrm{g}/\mathrm{mol}$ ; sección eficaz $\sigma = 3 \times 10^{-17}\,\mathrm{m}^{2}$ ; $h = 6.63 \times 10^{-34}\,\mathrm{J}\,\mathrm{s}$ , $k_B = 1.38 \times 10^{-23}\,\mathrm{J}/\mathrm{K}$ , $k_BT$ a $400\,\mathrm{K}$ $= 0.0345\,\mathrm{eV}$ .

Parte I — El medio.

Energía del fotón y frecuencia de la raya láser.
Los niveles del He y del Ne difieren en $0.05\,\mathrm{eV}$ : compárese con $k_BT$ y explíquese por qué la transferencia por colisión He $\to$ Ne es eficiente.
Razón de Boltzmann del nivel superior del Ne al fundamental a $400\,\mathrm{K}$ sin descarga: coméntese.
Explíquese, a partir de las dos vidas medias, por qué es fácil mantener una inversión entre los niveles del Ne una vez alimentado el nivel superior.
Anchura Doppler de la raya: celeridad más probable del neón a $400\,\mathrm{K}$ y $\Delta\nu \approx \nu\,v/c$ en orden de magnitud (con precisión, $\Delta\nu = 2\nu\sqrt{2k_BT\ln2/Mc^2}$ ).
Con $\Delta N = N_2 - N_1 = 3 \times 10^{15}\,\mathrm{m}^{-3}$ : coeficiente de ganancia en pequeña señal y ganancia por pasada en $30\,\mathrm{cm}$ .

Parte II — La cavidad.

Coeficiente de ganancia umbral; margen respecto de la pregunta 6.
Separación de modos; número de modos que pueden oscilar.
Potencia intracavidad e irradiancia intracavidad en el tubo.
¿Qué fija la ganancia en estado estacionario, y a dónde va la energía de bombeo sobrante?
Potencia eléctrica de entrada y potencia óptica de salida: rendimiento; dos razones de que sea tan bajo.
Arranque: ganancia neta por ida y vuelta $2(g_0 - g_{\text{umb}})L$ , número de fotones en la cavidad en estado estacionario, número de idas y vueltas desde un fotón y tiempo de arranque.
El tubo se calienta y se alarga $1\,\text{µ}\mathrm{m}$ : corrimiento en frecuencia de un modo; consecuencia para un láser monomodo.
El tubo se cierra con ventanas en el ángulo de Brewster: ¿qué hace esto con la polarización de la salida, y por qué no añade pérdidas?

Parte III — El haz.

La cavidad produce una cintura $w_0 = 0.3\,\mathrm{mm}$ : longitud de Rayleigh, divergencia y diámetro del haz a $10\,\mathrm{m}$ .
Irradiancia de pico a la salida; compárese con la luz solar ( $1\,\mathrm{kW}/\mathrm{m}^{2}$ ).
Una lente de $f = 50\,\mathrm{mm}$ : cintura e irradiancia de pico en el foco.
El haz entra en un ojo (distancia focal $17\,\mathrm{mm}$ ): mancha retiniana e irradiancia; por qué un parpadeo no es demasiado lento para $1\,\mathrm{mW}$ , y qué significa “clase 2”.
Un expansor de haz $\times 10$ : nueva divergencia y diámetro de la mancha a $1\,\mathrm{km}$ .
Longitud de coherencia si el láser funciona en un solo modo de anchura $1\,\mathrm{MHz}$ ; y si funciona con tres modos que abarcan $1\,\mathrm{GHz}$ .

Parte IV — Hasta la Luna. Una estación de telemetría dispara pulsos de $100\,\mathrm{mJ}$ de $100\,\mathrm{ps}$ a $532\,\mathrm{nm}$ por un telescopio de $1\,\mathrm{m}$ ; la atmósfera abre el haz saliente hasta $1''$ ( $4.8 \times 10^{-6}\,\mathrm{rad}$ ).

Fotones por pulso y potencia de pico.
Radio de la mancha en la Luna ( $3.8 \times 10^{8}\,\mathrm{m}$ ); compárese con la mancha limitada por difracción.
Una batería de reflectores de $0.1\,\mathrm{m}^{2}$ intercepta ¿qué fracción del pulso, cuántos fotones?
Los cubos de esquina de $4\,\mathrm{cm}$ de la batería devuelven la luz con la apertura $\lambda/d$ : radio de la mancha en la Tierra, fracción recogida por el telescopio, fotones detectados por pulso (tómese un rendimiento óptico global de $0.1$ ).
El tiempo de ida y vuelta es de unos $2.56\,\mathrm{s}$ , medido con $100\,\mathrm{ps}$ : precisión en distancia por pulso; tras $10^4$ retornos; compárese con los $3.8\,\mathrm{cm}$ por año a los que se aleja la Luna.

Solución

Solución de Problema 23.1.

1. $1.96\,\mathrm{eV}$ , $4.74 \times 10^{14}\,\mathrm{Hz}$ .

2. $0.05\,\mathrm{eV} \approx 1.5\,k_BT$ : el movimiento térmico aporta el pequeño déficit; la transferencia es casi resonante y, por tanto, eficiente.

3. $\eu^{-20.66/0.0345} = \eu^{-600} \approx 10^{-260}$ : ninguno; solo la descarga alimenta el nivel.

4. El nivel inferior se vacía diez veces más deprisa de lo que decae el superior: está siempre casi vacío — un esquema de cuatro niveles.

5. $v^* = \sqrt{2k_BT/m} = 580\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; $\nu v^*/c \approx 0.9\,\mathrm{GHz}$ ; la fórmula exacta da $1.5\,\mathrm{GHz}$ .

6. $g_0 = 0.09\,\mathrm{m}^{-1}$ ; $\eu^{0.027}$ : el $2.7\%$ por pasada.

7. $g_{\text{umb}} = -\ln(0.999 \times 0.99)/0.6 = 0.018\,\mathrm{m}^{-1}$ ; margen $5$ .

8. $500\,\mathrm{MHz}$ ; tres.

9. $P_{\text{ent}} = 1\,\mathrm{mW}/0.01 = 100\,\mathrm{mW}$ ; $1.3 \times 10^{5}\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$ .

10. La ganancia se satura hasta $g_{\text{umb}}$ ; el excedente se convierte en fotones de salida (y en emisión espontánea, en calor).

11. $1\,\mathrm{mW}/7.5\,\mathrm{W} = 1.3 \times 10^{-4}$ : casi toda la energía de los electrones va a otra parte que al metastable del helio, y el fotón se lleva $1.96\,\mathrm{eV}$ de los $20.66\,\mathrm{eV}$ invertidos.

12. $2 \times 0.072 \times 0.3 = 0.043$ ; $N = 0.1 \times 2 \times 10^{-9}/3.14 \times 10^{-19} = 6.4 \times 10^8$ ; $20.3/0.043 \approx 470$ idas y vueltas; $0.9\,\text{µ}\mathrm{s}$ .

13. $\delta\nu = \nu\,\delta L/L = 1.6\,\mathrm{GHz}$ : el modo cruza toda la curva de ganancia — el láser salta a otro modo si no se estabiliza la longitud.

14. La polarización $p$ cruza una superficie de Brewster sin reflexión; la polarización $s$ pierde un $15\%$ por superficie y nunca alcanza el umbral: salida polarizada linealmente sin coste alguno.

15. $z_{\text{R}} = 0.45\,\mathrm{m}$ ; $\theta = 6.7 \times 10^{-4}\,\mathrm{rad}$ ; $w(10\,\mathrm{m}) = 6.7\,\mathrm{mm}$ : $13\,\mathrm{mm}$ de diámetro.

16. $2P/\pi w_0^2 = 7\,\mathrm{kW}/\mathrm{m}^{2}$ : siete soles.

17. $w_0' = 34\,\text{µ}\mathrm{m}$ ; $5.6 \times 10^{5}\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$ .

18. $w_0' = 11\,\text{µ}\mathrm{m}$ ; $5 \times 10^{6}\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$ ; la retina sobrevive a $1\,\mathrm{mW}$ durante los $0.25\,\mathrm{s}$ del reflejo de aversión — clase 2: visible, $\le 1\,\mathrm{mW}$ , segura porque se parpadea.

19. $6.7 \times 10^{-5}\,\mathrm{rad}$ ; $w_0 = 3\,\mathrm{mm}$ , $z_{\text{R}} = 45\,\mathrm{m}$ , $w(1\,\mathrm{km}) = 67\,\mathrm{mm}$ : $13\,\mathrm{cm}$ .

20. $c/\Delta\nu$ : $300\,\mathrm{m}$ ; $30\,\mathrm{cm}$ .

21. $2.7 \times 10^{17}$ ; $1\,\mathrm{GW}$ .

22. $1.8\,\mathrm{km}$ ; solo por difracción: $130\,\mathrm{m}$ .

23. $0.1/\pi(1800)^2 = 10^{-8}$ ; $2.6 \times 10^9$ fotones.

24. $\lambda/d = 1.3 \times 10^{-5}\,\mathrm{rad}$ , $5\,\mathrm{km}$ ; $(0.5/5000)^2 = 10^{-8}$ : $25$ fotones, dos o tres detectados.

25. $1.5\,\mathrm{cm}$ ; $0.15\,\mathrm{mm}$ ; el alejamiento se mide en semanas.

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