Física universitaria — segundo año · Bachelor Year 2

3Fluidos perfectos: Euler y Bernoulli

Sujétese una hoja de papel por un borde y sóplese por encima: se levanta. Ábrase el grifo de la ducha y la cortina se mete hacia dentro. Un ala sostiene trescientas toneladas porque el aire circula más deprisa por su extradós que por su intradós. Los tres casos dicen lo mismo: donde un fluido se mueve más deprisa, su presión es menor. Este capítulo escribe la segunda ley de Newton para una partícula de fluido en el modelo más sencillo — el fluido perfecto, que siente la presión pero no el rozamiento — y extrae de ella el teorema de Bernoulli, el balance energético de una línea de corriente, cuyas aplicaciones van del caudalímetro de una tubería al indicador de velocidad de un avión.

3.1 La ecuación de Euler

Proposición 3.1 (Fuerza de presión sobre una partícula de fluido)

La resultante de las fuerzas de presión que el fluido circundante ejerce sobre una partícula de volumen $\dd\tau$ vale

\dd\vect F_P = -\operatorname{\vect{grad}}P\,\dd\tau :

la presión actúa como una fuerza volumétrica de densidad $-\operatorname{\vect{grad}}P$ , que empuja desde las presiones altas hacia las bajas.

Demostración. Sobre la caja de Teorema 2.8, las caras situadas en $x$ y en $x + \dd x$ reciben $+P(x)\dd y\dd z$ y $-P(x + \dd x)\dd y\dd z$ según $x$ : en total $-\partial_xP\,\dd x\dd y\dd z$ ; e igual para $y$ y $z$ . ∎

Definición 3.2 (Fluido perfecto)

Un fluido perfecto es aquel en el que la única fuerza de contacto entre partículas vecinas es la presión — normal a toda superficie, sin esfuerzo tangencial (viscoso). Es una idealización válida, como explica el capítulo siguiente, lejos de las paredes y a número de Reynolds elevado: el agua de una tubería lejos de la pared, el aire en torno a un ala fuera de la delgada capa límite, una ola en el mar.

Teorema 3.3 (Ecuación de Euler)

En un sistema galileano, un fluido perfecto de densidad $\rho$ sometido a la gravedad obedece, en todo punto,

\rho\Bigl(\frac{\partial\vect v}{\partial t} + (\vect v\cdot\operatorname{\vect{grad}}) \vect v\Bigr) = -\operatorname{\vect{grad}}P + \rho\vect g ,

al que se añade en el segundo miembro cualquier otra densidad de fuerza volumétrica $\vect f_v$ (eléctrica, o de inercia en un sistema no galileano). En reposo se reduce a la ley hidrostática $\operatorname{\vect{grad}}P = \rho\vect g$ del volumen del Año 1.

Demostración. Segunda ley de Newton para la partícula de masa $\rho\,\dd\tau$ : su aceleración es la derivada material (Teorema 2.4) y las fuerzas son la resultante de presión y el peso $\rho\vect g\,\dd\tau$ ; divídase por $\dd\tau$ . ∎

Ejemplo 3.4 (Un depósito que acelera)

El agua de un depósito transportado por un camión que acelera con $\vect a$ está en reposo en el sistema del camión; allí, Euler con la fuerza de inercia $-\rho\vect a$ da $\operatorname{\vect{grad}}P = \rho(\vect g - \vect a)$ : la presión crece en la dirección de la “gravedad efectiva” $\vect g - \vect a$ , la superficie libre (una isobara) es perpendicular a ella y se inclina hacia atrás el ángulo $\arctan(a/g)$ — $11{}^{\circ}$ para $a = 2\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ . En un cubo que gira a $\Omega$ , la fuerza centrífuga $\rho\Omega^2r\,\vect e_r$ da $P = P_0 + \tfrac12\rho\Omega^2r^2 - \rho gz$ y la superficie libre es el paraboloide $z = \Omega^2r^2/2g$ .

A la izquierda, las fuerzas de presión sobre las caras de una caja de fluido no se cancelan cuando P varía: su resultante vale - gradP por unidad de volumen. En el centro y a la derecha, dos fluidos en reposo en un sistema acelerado; la superficie libre es en todo punto perpendicular a la gravedad efectiva. — A la izquierda, las fuerzas de presión sobre las caras de una caja de fluido no se cancelan cuando $P$ varía: su resultante vale $-\operatorname{\vect{grad}}P$ por unidad de volumen. En el centro y a la derecha, dos fluidos en reposo en un sistema acelerado; la superficie libre es en todo punto perpendicular a la gravedad efectiva.

3.2 El teorema de Bernoulli

Teorema 3.5 (Bernoulli)

Para un fluido perfecto e incompresible, de densidad uniforme y en régimen estacionario, en un sistema galileano con gravedad uniforme, la magnitud

P + \tfrac12\rho v^2 + \rho gz

es constante a lo largo de cada línea de corriente. Si además el flujo es irrotacional, la constante es la misma en todo el fluido. El término $\tfrac12\rho v^2$ es la presión dinámica; $P + \tfrac12\rho v^2$ es la presión de estancamiento, la presión que alcanzaría el fluido si se lo detuviera a lo largo de su línea de corriente.

Demostración. Euler estacionario con $(\vect v\cdot\operatorname{\vect{grad}})\vect v = \operatorname{\vect{grad}}(v^2/2) + \vect\omega\wedge\vect v$ y $\rho\vect g = -\operatorname{\vect{grad}}(\rho gz)$ , con $\rho$ uniforme:

\operatorname{\vect{grad}}\bigl(P + \tfrac12\rho v^2 + \rho gz\bigr) = -\rho\, \vect\omega\wedge\vect v .

El segundo miembro es perpendicular a $\vect v$ , de modo que el gradiente de la magnitud de Bernoulli no tiene componente a lo largo de la línea de corriente: la magnitud es constante sobre ella. Si $\vect\omega = \vect 0$ el gradiente se anula en todas partes. ∎

Observación 3.6 (Lo que dice y lo que no dice Bernoulli)

Dividido por $\rho$ , el teorema dice: la energía mecánica por unidad de masa, $v^2/2 + gz$ , más $P/\rho$ se conserva a lo largo del camino de una partícula. El término de presión es el trabajo que realiza sobre la partícula la presión del fluido que la sigue, menos el que ella realiza sobre el fluido que la precede: el teorema de la energía para una partícula empujada a través de un campo de presión sin rozamiento. Cuatro condiciones: fluido perfecto (sin pérdida viscosa), estacionario, incompresible y a lo largo de una línea de corriente. Comparar dos puntos de líneas de corriente distintas solo está permitido en flujo irrotacional. No dice que “el aire rápido succione”: dice que una partícula que ha sido acelerada (por una caída de presión) está ahora a menor presión — la causa es el campo de presión, la celeridad es el efecto.

Observación 3.7 (Fluidos compresibles)

Para un gas la densidad varía, pero si el flujo es estacionario, perfecto e isentrópico la misma demostración da la conservación de $h + v^2/2 + gz$ a lo largo de una línea de corriente, siendo $h$ la entalpía por unidad de masa ( $h = c_PT$ para un gas perfecto): la forma que se usará para toberas y turbinas en Capítulo 27. A celeridades muy inferiores a la del sonido ( $v \lesssim 100\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ en el aire) la densidad cambia menos de un $5\%$ y el teorema incompresible es preciso.

3.3 Aplicaciones

Proposición 3.8 (El tubo de Venturi)

En una tubería horizontal que se estrecha de la sección $S_1$ a $S_2 < S_1$ , la celeridad aumenta ( $v_2 = v_1S_1/S_2$ , conservación de la masa) y la presión baja:

P_1 - P_2 = \tfrac12\rho(v_2^2 - v_1^2) = \tfrac12\rho v_1^2\Bigl(\frac{S_1^2}{S_2^2} - 1\Bigr) , \qquad D_V = S_1v_1 = S_1S_2\sqrt{\frac{2(P_1 - P_2)}{\rho(S_1^2 - S_2^2)}} .

Medir la diferencia de presión con un manómetro da el caudal: es un tubo de Venturi. El mismo efecto hace funcionar un carburador, un pulverizador de pintura, la entrada de aire de un mechero Bunsen y la “succión” de un tren que pasa.

Demostración. Bernoulli a lo largo de una línea de corriente central a altura constante, con $v_2 = v_1S_1/S_2$ ; despéjese $v_1$ . ∎

Proposición 3.9 (El tubo de Pitot)

Un tubo enfrentado a la corriente y cerrado por el extremo opuesto detiene el fluido en su boca (un punto de estancamiento); una segunda abertura lateral, paralela a la corriente, mide la presión estática $P$ . La diferencia es la presión dinámica:

P_{\text{est}} - P = \tfrac12\rho v^2 , \qquad v = \sqrt{2(P_{\text{est}} - P)/\rho} .

Todo avión mide así su velocidad respecto del aire.

Demostración. Bernoulli a lo largo de la línea de corriente que termina en el punto de estancamiento, donde $v = 0$ ; los orificios laterales no perturban la corriente, que pasa con los valores $v$ y $P$ sin perturbar. ∎

Proposición 3.10 (Fórmula de Torricelli)

Un gran depósito abierto se vacía por un orificio pequeño situado a la profundidad $h$ bajo la superficie libre; el chorro sale con celeridad

v = \sqrt{2gh} ,

la celeridad de caída libre desde la superficie. El caudal vale $D_V \approx \alpha s\sqrt{2gh}$ , con $s$ el área del orificio y $\alpha \approx 0.6$ el coeficiente de contracción de un orificio de borde vivo (las líneas de corriente siguen convergiendo tras el orificio).

Demostración. Bernoulli desde la superficie libre (en reposo, pues el depósito es grande: $v_{\text{sup}} = v\,s/S \ll v$ ; presión $P_0$ ) hasta el chorro (presión $P_0$ justo a la salida del orificio): $P_0 + \rho gh = P_0 + \tfrac12\rho v^2$ . El flujo es cuasiestacionario: $h$ varía despacio. ∎

Tres aplicaciones del teorema de Bernoulli. A la izquierda, el tubo de Venturi: el manómetro mide la caída de presión en la garganta y, con ella, el caudal. En el centro, el tubo de Pitot: la presión de estancamiento en la boca supera a la presión estática de los orificios laterales en la presión dinámica. A la derecha, el vaciado de Torricelli a la celeridad de caída libre.

Ejemplo 3.11 (Valores numéricos)

Un Venturi de $5\,\mathrm{cm}$ que se estrecha a $2.5\,\mathrm{cm}$ en una tubería de agua, con $\Delta h = 20\,\mathrm{cm}$ de agua ( $2.0\,\mathrm{kPa}$ ): $v_1 = \sqrt{2 \times 2000/ (1000 \times 15)} = 0.52\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , $D_V = 1.0\,\mathrm{L}/\mathrm{s}$ . Un avión de línea a $11\,\mathrm{km}$ ( $\rho = 0.36\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ ) y $250\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ : presión dinámica $11\,\mathrm{kPa}$ , el $11\%$ de la presión ambiente — el tubo de Pitot sigue funcionando, con una corrección de compresibilidad. Un depósito elevado $40\,\mathrm{m}$ por encima de los grifos: $4\,\mathrm{bar}$ con el grifo cerrado y un chorro a $28\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ si se abre del todo (en la práctica mucho menos: las tuberías no son perfectas).

Proposición 3.12 (Sustentación de un ala)

En el flujo en torno a un ala el aire pasa más deprisa por el extradós que por el intradós; la presión es por tanto menor arriba que abajo, y la resultante es la sustentación $F_L = \tfrac12\rho v^2SC_L$ ( $S$ es la superficie alar y $C_L \approx 0.3$ – $1.5$ el coeficiente de sustentación, que depende del perfil y del ángulo de ataque). La diferencia de celeridades equivale a una circulación $\Gamma$ de la velocidad en torno al perfil, y la sustentación por unidad de envergadura vale $F_L' = \rho v\Gamma$ (Kutta–Joukowski, admitida). Una pelota que gira arrastra aire consigo y se desvía lateralmente por el mismo mecanismo: el efecto Magnus de una pelota de tenis cortada o de un libre con comba.

Demostración. Bernoulli sobre las líneas de corriente inmediatamente superior e inferior, que parten de las mismas condiciones aguas arriba: $P_{\text{intr}} - P_{\text{extr}} = \tfrac12\rho (v_{\text{extr}}^2 - v_{\text{intr}}^2)$ ; intégrese a lo largo de la cuerda. Por qué el flujo del extradós es más rápido — el borde de salida afilado obliga al punto de estancamiento posterior a situarse allí y fija la circulación (la condición de Kutta) — queda fuera del modelo de fluido perfecto por sí solo; hace falta la capa límite del capítulo siguiente. ∎

A la izquierda, las líneas de corriente en torno a un ala: apretadas y rápidas por arriba, lentas por abajo; la diferencia de presión es la sustentación. A la derecha, una columna líquida de longitud total L que oscila en un tubo en U, la aplicación no estacionaria más sencilla de la ecuación de Euler. — A la izquierda, las líneas de corriente en torno a un ala: apretadas y rápidas por arriba, lentas por abajo; la diferencia de presión es la sustentación. A la derecha, una columna líquida de longitud total $L$ que oscila en un tubo en U, la aplicación no estacionaria más sencilla de la ecuación de Euler.

Proposición 3.13 (Un flujo no estacionario: el tubo en U)

Una columna líquida de longitud total $L$ llena un tubo en U de sección uniforme; desplazada $z$ respecto del equilibrio, oscila según

\ddot z + \frac{2g}{L}\,z = 0 , \qquad T = 2\pi\sqrt{\frac{L}{2g}} ,

como un péndulo de longitud $L/2$ . Más en general, para un flujo no estacionario pero irrotacional con potencial $\varphi$ , Euler se integra dando $\rho\,\partial_t\varphi + P + \tfrac12\rho v^2 + \rho gz = C(t)$ , con la misma constante en todo el fluido (Bernoulli no estacionario).

Demostración. La celeridad $v = \dot z$ es uniforme a lo largo del tubo (incompresible, sección uniforme). Proyéctese Euler sobre el eje del tubo e intégrese a lo largo de la columna de una superficie libre a la otra: los términos de presión se cancelan ( $P_0$ en ambos extremos), $\int\rho\,\partial_tv\,\dd s = \rho L\ddot z$ , el término convectivo $\rho\,\Delta(v^2/2)$ se anula (misma celeridad en ambos extremos) y el término de gravedad da $\rho g\cdot2z$ . Por tanto $\rho L\ddot z = -2\rho gz$ . El enunciado general se sigue de $\partial_t\vect v = \operatorname{\vect{grad}} \partial_t\varphi$ para $\vect v = \operatorname{\vect{grad}}\varphi$ . ∎

Ejemplo 3.14 (Puesta en marcha de una conducción)

Una tubería horizontal de longitud $\ell$ lleva desde un embalse de carga constante $h$ hasta un extremo abierto; la válvula se abre en $t = 0$ . Con $v$ uniforme a lo largo de la tubería, Euler integrado desde la superficie del embalse hasta la salida da $\ell\,\dd v/\dd t = gh - \tfrac12v^2$ , cuya solución es $v = V\tanh(Vt/2\ell)$ con $V = \sqrt{2gh}$ : el caudal alcanza la celeridad de Torricelli con la constante de tiempo $2\ell/V$ — $13\,\mathrm{s}$ para una tubería forzada de $400\,\mathrm{m}$ bajo $200\,\mathrm{m}$ de carga.

Método 3.15 (Cómo usar Bernoulli)

(1) Compruébense las cuatro condiciones; decídase si el flujo es irrotacional (corriente uniforme aguas arriba en torno a un obstáculo: sí; flujo en una tubería con perfil de velocidades: no — manténgase una sola línea de corriente). (2) Elíjanse dos puntos de una línea de corriente donde se conozcan cuantas magnitudes sea posible: una superficie libre ( $P = P_0$ , $v \approx 0$ si la sección es grande), un chorro al aire libre ( $P = P_0$ ), un punto de estancamiento ( $v = 0$ ). (3) Añádase la conservación de la masa $vS =$ const. para relacionar las celeridades. (4) Para flujos no estacionarios, intégrese Euler a lo largo de la línea.

3.4 Ejercicios

Ejercicio 3.1 ★

El agua circula por una tubería horizontal de $8\,\mathrm{cm}$ de diámetro a $1.5\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ y a la presión de $3.0\,\mathrm{bar}$ . Pasa a una sección de $4\,\mathrm{cm}$ : celeridad y presión allí; y luego a una de $2\,\mathrm{cm}$ : presión — ¿qué ocurre si sale negativa?

Solución

Solución de Ejercicio 3.1.

$v_2 = 1.5 \times 4 = 6.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , $P_2 = 3.0 \times 10^5 - 500(36 - 2.25) = 2.83\,\mathrm{bar}$ . A $2\,\mathrm{cm}$ : $v = 24\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , $P = 3.0 \times 10^5 - 500 (576 - 2.25) = 0.13\,\mathrm{bar}$ — cerca de la presión de vapor. Un resultado negativo significa que el caudal supuesto es imposible: el agua cavita y el flujo queda estrangulado.

Ejercicio 3.2 ★

El tubo de Pitot de un avión a $5\,\mathrm{km}$ ( $\rho = 0.74\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ ) mide una presión dinámica de $15\,\mathrm{kPa}$ . Velocidad verdadera respecto del aire. El indicador está calibrado para la densidad a nivel del mar ( $1.22\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ ): ¿qué “velocidad indicada” marca y por qué los pilotos encuentran esa diferencia útil en vez de molesta?

Solución

Solución de Ejercicio 3.2.

$v = \sqrt{2 \times 15000/0.74} = 201\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; indicada, $\sqrt{2 \times 15000/ 1.22} = 157\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ . La velocidad indicada mide la presión dinámica, que es lo que siente el ala: la celeridad de entrada en pérdida es una velocidad indicada fija a cualquier altitud.

Ejercicio 3.3 ★

Un depósito contiene agua de $3.0\,\mathrm{m}$ de profundidad; se practica un orificio de $1.0\,\mathrm{cm}^{2}$ a $1.0\,\mathrm{m}$ del suelo. Celeridad de salida; caudal (contracción $0.6$ ); ¿dónde llega el chorro al suelo? ¿A qué profundidad habría que practicar un segundo orificio para alcanzar el mismo punto?

Solución

Solución de Ejercicio 3.3.

Profundidad $2.0\,\mathrm{m}$ : $v = \sqrt{2g \times 2} = 6.3\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; $D_V = 0.6 \times 10^{-4} \times 6.3 = 0.38\,\mathrm{L}/\mathrm{s}$ ; tiempo de caída $\sqrt{2/g} = 0.45\,\mathrm{s}$ , alcance $2.8\,\mathrm{m}$ . El alcance $= 2\sqrt{h(H - h)}$ es simétrico en $h \leftrightarrow H - h$ : un orificio a $1.0\,\mathrm{m}$ de profundidad ( $2\,\mathrm{m}$ sobre el suelo) llega al mismo punto.

Ejercicio 3.4 ★

Un viento de $30\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ sopla sobre un tejado plano de $100\,\mathrm{m}^{2}$ ; el aire bajo el tejado está quieto a la presión atmosférica ( $\rho = 1.2\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ ). Diferencia de presión y fuerza neta sobre el tejado; compárese con el peso del tejado ( $50\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{2}$ ). ¿Hacia dónde se ve empujado?

Solución

Solución de Ejercicio 3.4.

$\Delta P = \tfrac12 \times 1.2 \times 900 = 540\,\mathrm{Pa}$ , con la presión exterior menor: fuerza neta de $54\,\mathrm{kN}$ hacia arriba; el tejado pesa $49\,\mathrm{kN}$ : se levanta. (Los tejados reales fallan antes por los bordes, donde la corriente se desprende.)

Ejercicio 3.5 ★★

Un depósito rectangular cerrado de $2.0\,\mathrm{m}$ de largo, medio lleno de agua, va sobre un camión. (a) Con una aceleración de $3.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ : ángulo de la superficie libre y diferencia de altura del agua entre la pared trasera y la delantera. (b) Diferencia de presión entre las dos esquinas del fondo. (c) Frenando a $6\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ : ¿llega el agua a la tapa, situada $0.8\,\mathrm{m}$ por encima del fondo? (d) El mismo camión tomando una curva de radio $40\,\mathrm{m}$ a $15\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ : inclinación de la superficie.

Solución

Solución de Ejercicio 3.5.

(a) $\tan\theta = 3/9.81$ , $\theta = 17{}^{\circ}$ ; $2 \times 0.306 = 0.61\,\mathrm{m}$ (más alto atrás). (b) $\Delta P = \rho aL = 6.0\,\mathrm{kPa}$ . (c) $\tan\theta = 0.61$ , diferencia $1.22\,\mathrm{m}$ : la parte delantera sube $0.61\,\mathrm{m}$ sobre la media de $0.40\,\mathrm{m}$ : $1.01\,\mathrm{m}$ $>$ $0.8\,\mathrm{m}$ , llega a la tapa. (d) $a = v^2/R = 5.6\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ : $\theta = 30{}^{\circ}$ , con el lado exterior más alto.

Ejercicio 3.6 ★★

Un cubo de radio $15\,\mathrm{cm}$ con agua de $20\,\mathrm{cm}$ de profundidad se hace girar en torno a su eje a $2.0\,\mathrm{vueltas}/\mathrm{s}$ . (a) Forma y ecuación de la superficie libre. (b) Diferencia de altura entre el borde y el centro. (c) Conservándose el volumen, altura del agua en el centro y en el borde. (d) ¿A qué velocidad de giro se seca el centro del fondo? (e) ¿Por qué ese mismo paraboloide constituye un espejo de telescopio perfecto (una cubeta de mercurio en rotación)?

Solución

Solución de Ejercicio 3.6.

(a) Paraboloide $z = z_0 + \Omega^2r^2/2g$ , $\Omega = 4\pi = 12.6\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}$ . (b) $\Omega^2R^2/2g = 158 \times 0.0225/19.6 = 0.18\,\mathrm{m}$ . (c) La altura media de un paraboloide sobre el disco está a media altura: centro $0.20 - 0.09 = 0.11\,\mathrm{m}$ , borde $0.29\,\mathrm{m}$ . (d) El centro se seca cuando $\Omega^2R^2/4g = h_0$ : $\Omega = \sqrt{4gh_0}/R = 18.7\,\mathrm{rad}/\mathrm{s} = 3.0$ vueltas por segundo. (e) Un paraboloide enfoca los rayos paralelos en un solo punto, a $f = g/2\Omega^2$ ; los telescopios de espejo líquido hacen girar mercurio.

Ejercicio 3.7 ★★

Sifón. Un tubo lleva agua desde un depósito, por encima de una cima situada $2.0\,\mathrm{m}$ sobre la superficie libre, hasta una salida $3.0\,\mathrm{m}$ por debajo de ella. (a) Celeridad de salida y, para un tubo de $2\,\mathrm{cm}$ , caudal. (b) Presión en la cima. (c) Altura máxima de la cima para que el sifón funcione (no debe alcanzarse la presión de vapor del agua, $2.3\,\mathrm{kPa}$ ). (d) ¿Por qué no funciona el sifón con el tubo lleno de aire?

Solución

Solución de Ejercicio 3.7.

(a) $v = \sqrt{2g \times 3} = 7.7\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; $D_V = \pi \times 10^{-4} \times 7.7 = 2.4\,\mathrm{L}/\mathrm{s}$ . (b) $P = P_0 - \rho g(2) - \tfrac12\rho v^2 = 100 - 19.6 - 29.4 = 51\,\mathrm{kPa}$ . (c) $P_0 - \rho gh_c - \tfrac12\rho v^2 \ge 2.3\,\mathrm{kPa}$ : $h_c \le 7.0\,\mathrm{m}$ . (d) El aire es compresible y ligero: no hay columna líquida continua que transmita la presión, y el agua de ambos lados se queda quieta.

Ejercicio 3.8 ★★

Una avioneta de $1000\,\mathrm{kg}$ vuela en crucero a $60\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ a nivel del mar con un ala de $15\,\mathrm{m}^{2}$ . (a) Diferencia media de presión entre las dos caras del ala; coeficiente de sustentación. (b) Si la celeridad bajo el ala es $58\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , ¿cuál es por encima (tómense las mismas condiciones aguas arriba)? (c) Circulación en torno al perfil a partir de la fórmula de Kutta–Joukowski, para una envergadura de $10\,\mathrm{m}$ . (d) Celeridad de entrada en pérdida si $C_L$ no puede superar $1.4$ .

Solución

Solución de Ejercicio 3.8.

(a) $\Delta P = mg/S = 654\,\mathrm{Pa}$ ; $\tfrac12\rho v^2 = 2.2\,\mathrm{kPa}$ , $C_L = 0.30$ . (b) $v_{\text{extr}}^2 = 58^2 + 2 \times 654/1.22$ : $66.6\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ . (c) $F_L' = 981\,\mathrm{N}/\mathrm{m} = \rho v\Gamma$ : $\Gamma = 13.4\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$ . (d) $v = \sqrt{2mg/ \rho SC_L} = \sqrt{19620/25.6} = 28\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ .

Ejercicio 3.9 ★★

Estenosis. La sangre ( $\rho = 1060\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ ) circula a $0.50\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ por una arteria de sección $0.50\,\mathrm{cm}^{2}$ a $13\,\mathrm{kPa}$ por encima de la presión atmosférica. Una placa la estrecha hasta $0.10\,\mathrm{cm}^{2}$ . (a) Celeridad y presión en la estenosis. (b) El tejido que rodea la arteria está a unos $1\,\mathrm{kPa}$ : ¿puede colapsar la arteria? (c) Si se estrecha más, la celeridad crece aún más: explíquese la inestabilidad y por qué un estrechamiento así puede entrar en aleteo.

Solución

Solución de Ejercicio 3.9.

(a) $v_2 = 2.5\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; $\Delta P = \tfrac12 \times 1060 \times (6.25 - 0.25) = 3.2\,\mathrm{kPa}$ , $P_2 = 9.8\,\mathrm{kPa}$ . (b) Sigue por encima de $1\,\mathrm{kPa}$ : no. (c) A $0.05\,\mathrm{cm}^{2}$ , $v = 5\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ y $\Delta P = 13\,\mathrm{kPa}$ : $P_2 \approx 0$ , por debajo de la presión del tejido — la pared colapsa, el flujo se detiene, la presión se recupera y vuelve a abrirse: un aleteo (el soplo que oye el médico).

Ejercicio 3.10 ★★★

Temperatura de estancamiento. Para un gas perfecto en flujo isentrópico estacionario se conserva $c_PT + v^2/2$ a lo largo de una línea de corriente. (a) Muéstrese que el aire detenido en el morro de un avión alcanza $T_0 = T(1 + \tfrac{\gamma - 1}{2}M^2)$ , con $M = v/c$ el número de Mach y $c = \sqrt{\gamma RT/M_{\text{mol}}}$ la celeridad del sonido. (b) Temperatura del morro de un avión de línea a $M = 0.85$ en aire a $220\,\mathrm{K}$ ; de un avión supersónico a $M = 2$ ; de una cápsula de reentrada a $M = 25$ (¿sigue teniendo sentido la fórmula?). (c) Muéstrese que la fórmula de Pitot incompresible sobreestima la celeridad a $M = 0.85$ , y en cuánto aproximadamente (desarróllese $P_0/P = (T_0/T)^{\gamma/(\gamma - 1)}$ a segundo orden en $M^2$ ).

Solución

Solución de Ejercicio 3.10.

(a) $c_PT_0 = c_PT + v^2/2$ con $c_P = \gamma R/(\gamma - 1)M_{\text{mol}}$ y $c^2 = \gamma RT/M_{\text{mol}}$ : $v^2/2c_PT = \tfrac12(\gamma - 1)M^2$ . (b) $M = 0.85$ : $T_0 = 220 \times 1.145 = 252\,\mathrm{K}$ ; $M = 2$ : $220 \times 1.8 = 396\,\mathrm{K}$ ; $M = 25$ : $220 \times 126 = 28\,000\,\mathrm{K}$ — sin sentido: el aire se disocia e ioniza y $c_P$ no es constante (las temperaturas de estancamiento reales son de varios miles de kelvin). (c) $P_0/P = (1 + \tfrac{\gamma - 1}2M^2)^{\gamma/(\gamma - 1)} \approx 1 + \tfrac{\gamma}2M^2 + \tfrac{\gamma}8M^4$ , y $\gamma PM^2 = \rho v^2$ : $P_0 - P = \tfrac12\rho v^2(1 + M^2/4)$ . Leer $v$ a partir de $\sqrt{2(P_0 - P)/\rho}$ lo sobreestima en $\sqrt{1 + M^2/4} - 1 \approx 9\%$ a $M = 0.85$ .

Ejercicio 3.11 ★★★

Transitorio de arranque. Una tubería de longitud $\ell = 50\,\mathrm{m}$ y sección uniforme lleva desde un gran embalse (carga $h = 5.0\,\mathrm{m}$ sobre la salida) hasta una válvula situada en el extremo abierto. La válvula se abre en $t = 0$ . (a) Intégrese Euler a lo largo de la tubería para obtener $\ell\,\dd v/\dd t = gh - v^2/2$ . (b) Resuélvase: $v = V\tanh(Vt/2\ell)$ con $V = \sqrt{2gh}$ . (c) Tiempo para alcanzar el $90\%$ de la celeridad final. (d) La válvula se cierra ahora bruscamente en $0.5\,\mathrm{s}$ desde el caudal máximo: estímense la deceleración media y la sobrepresión en la válvula a partir de $\rho\ell\,\dd v/\dd t$ — y por qué un cierre real produce mucho más (capítulos siguientes).

Solución

Solución de Ejercicio 3.11.

(a) Desde la superficie ( $v \approx 0$ , $P_0$ , altura $h$ ) hasta la salida ( $v$ , $P_0$ , altura $0$ ), con $\int\partial_tv\,\dd s = \ell\,\dd v/\dd t$ . (b) $\dd v/(V^2 - v^2) = \dd t/2\ell$ , $V^2 = 2gh$ : $\operatorname{artanh}(v/V) = Vt/2\ell$ . (c) $V = 9.9\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; $\tanh x = 0.9$ en $x = 1.47$ : $t = 2\ell x/V = 15\,\mathrm{s}$ . (d) $\dd v/\dd t \approx -20\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ : $\Delta P = \rho\ell \times 20 = 9.9\,\mathrm{bar}$ . El agua es ligeramente compresible: un cierre rápido lanza una onda de presión, $\Delta P = \rho c\Delta v \approx 140\,\mathrm{bar}$ .

Ejercicio 3.12 ★★★

La superficie libre de un vórtice. El agua gira como el vórtice puntual de Capítulo 2, $v_\theta = \Gamma/2\pi r$ , irrotacional, con una superficie libre en $z = 0$ muy lejos. (a) ¿Por qué puede aplicarse Bernoulli entre dos puntos cualesquiera? (b) Forma de la superficie libre $z(r)$ . (c) Dentro de un núcleo de Rankine ( $r < a$ , $v_\theta = \Omega r$ , rotacional) úsese en cambio Euler en el sistema giratorio, o directamente: muéstrese que $z = z(a) + \Omega^2(r^2 - a^2)/2g$ . (d) Profundidad total del embudo para un vórtice de bañera con $\Gamma = 0.03\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$ y $a = 5\,\mathrm{mm}$ ; y para un tornado ( $\Gamma = 3 \times 10^{4}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$ , $a = 60\,\mathrm{m}$ , en aire: exprésese el resultado como una caída de presión en el centro).

Solución

Solución de Ejercicio 3.12.

(a) Estacionario, perfecto, incompresible e irrotacional: una única constante para todo el flujo. (b) En la superficie $P = P_0$ : $\tfrac12\rho v^2 + \rho gz = 0$ , $z = -\Gamma^2/8\pi^2gr^2$ . (c) Euler radial: $\partial_rP = \rho\Omega^2r$ , e hidrostática vertical: la superficie cumple $z(r) - z(a) = \Omega^2(r^2 - a^2)/2g$ . (d) Bañera: $\Omega = \Gamma/2\pi a^2 = 191\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}$ ; $z(a) = -\Omega^2a^2/ 2g = -4.7\,\mathrm{cm}$ , y el núcleo añade otros $4.7\,\mathrm{cm}$ : $9.3\,\mathrm{cm}$ de profundidad. Tornado: $\Delta P = \tfrac12\rho v_{\max}^2$ fuera más otro tanto dentro: $\rho v_{\max}^2 = 1.2 \times 6400 = 7.7\,\mathrm{kPa}$ por debajo de la ambiente en el centro.

Dos tuberías forzadas llevan el agua de un embalse de montaña hasta la central: doscientos metros de desnivel que el teorema de Bernoulli convierte en un chorro a sesenta metros por segundo.

3.5 Problema: la presa, la tubería forzada y la turbina

Problema 3.1

Problema de fin de semana — una central hidroeléctrica del embalse al chorro: presiones, celeridades, potencias, pérdidas y el golpe de ariete

Un embalse retiene agua de $150\,\mathrm{m}$ de profundidad tras una presa; su superficie libre está $H = 200\,\mathrm{m}$ por encima de las toberas de una turbina. Una tubería forzada (de acero) de diámetro $D = 3.0\,\mathrm{m}$ y longitud $\ell = 400\,\mathrm{m}$ conduce el caudal de diseño $D_V = 60\,\mathrm{m}^{3}/\mathrm{s}$ hasta la casa de máquinas, donde una tobera lo convierte en un chorro libre a la presión atmosférica $P_0 = 1.0\,\mathrm{bar}$ que golpea las cucharas de una rueda Pelton. $\rho = 1000\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ , $g = 9.81\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ ; el fluido es perfecto salvo que se diga otra cosa.

Parte I — En reposo y al caudal de diseño.

Presión en la base de la presa y fuerza sobre una franja vertical de la presa, de $1\,\mathrm{m}$ de ancho, de arriba abajo.
Con las válvulas de la turbina cerradas, presión en la tubería forzada a la altura de la casa de máquinas.
Celeridad en la tubería forzada al caudal de diseño; presión dinámica allí; presión en el extremo de la tubería junto a la casa de máquinas (antes de la tobera), por Bernoulli desde la superficie del embalse.
Celeridad del chorro libre; sección y diámetro de la tobera.
Potencia cinética que transporta el chorro; muéstrese que vale $\rho gD_VH$ y calcúlese.
Masa y energía cinética del agua contenida en la tubería forzada al caudal de diseño; tiempo de tránsito de una partícula a lo largo de la tubería.
Muéstrese que la carga $H$ se reparte, al caudal de diseño, entre la presión en el fondo de la tubería y la energía cinética del agua, y que la tobera convierte la primera en la segunda: ¿cuál es la presión justo después de la tobera?
Un fluido perfecto no tiene pérdida de carga, uno real sí: la pérdida en una tubería vale $\Delta P = \lambda(\ell/D)\,\tfrac12\rho v^2$ con $\lambda \approx 0.015$ para acero liso. Pérdida de carga en metros de agua y fracción de la potencia perdida.
Un ingeniero propone una tubería de $2\,\mathrm{m}$ para ahorrar acero. Repítase la pregunta 7; coméntese.

Parte II — Medir el caudal. Se instala un Venturi en la tubería forzada, con una garganta de $2.0\,\mathrm{m}$ .

Celeridad en la garganta y caída de presión entre la tubería y la garganta al caudal de diseño.
La caída se lee en un manómetro de mercurio ( $\rho_{\text{Hg}} = 13\,600\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ ): diferencia de alturas.
Muéstrese que el caudal es proporcional a la raíz cuadrada de la lectura del manómetro, y dese la lectura a la mitad del caudal de diseño.
¿Por qué deben las tomas de presión quedar enrasadas con la pared y no sobresalir hacia la corriente?
Un tramo de la tubería pasa, por razones topográficas, por una cota $6\,\mathrm{m}$ por encima de la superficie del embalse. Presión allí al caudal de diseño; ¿qué ocurre y qué debe hacer el proyectista?

Parte III — Regímenes no estacionarios. El embalse tiene una superficie $A = 2.0\,\mathrm{km}^{2}$ .

Velocidad a la que baja el nivel del embalse al caudal de diseño, en centímetros por hora.
Se para la turbina y la tobera (con la sección de la pregunta 4) se deja abierta al aire: el embalse se vacía por gravedad. Escríbase el balance de masa y hállese el nivel $h(t)$ (flujo de Torricelli cuasiestacionario).
Tiempo que tarda el nivel en bajar $10\,\mathrm{m}$ ; compárese con el tiempo al caudal de diseño constante.
Puesta en marcha de la central: la tubería está llena y la tobera se abre en $t = 0$ . Tomando la celeridad uniforme a lo largo de la tubería y despreciando la geometría de la tobera, intégrese Euler a lo largo de la conducción para obtener $\ell\,\dd v/\dd t = gH - v^2/2$ , resuélvase y dese la constante de tiempo.
Durante ese arranque, en el instante en que $v$ vale la mitad de su valor final, ¿cuál es la presión en el fondo de la tubería forzada? Explíquese el signo de la diferencia con el valor estacionario.

Parte IV — El cierre de la válvula.

La válvula de la turbina se cierra en $\tau = 10\,\mathrm{s}$ ; supóngase que el agua de la tubería forzada se decelera uniformemente. Usando Euler a lo largo de la conducción, estímese la sobrepresión en la válvula, en bares.
En un cierre rápido el agua no es incompresible: una onda de presión remonta la tubería a $c = 1400\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ (la celeridad del sonido en el agua dentro de una tubería de acero — Capítulo 7), y la sobrepresión vale $\Delta P = \rho c\,\Delta v$ (Joukowsky). Valor para una parada súbita desde el caudal de diseño; compárese con la presión estática. ¿Cuánto tarda la onda en llegar al embalse y volver, y qué dice eso sobre el significado de “rápido”?
Para proteger la tubería forzada se instala una chimenea de equilibrio — un pozo vertical abierto de sección $A_s = 100\,\mathrm{m}^{2}$ — allí donde un túnel horizontal de longitud $L = 2000\,\mathrm{m}$ y sección $A = 7.0\,\mathrm{m}^{2}$ procedente del embalse se une a la tubería forzada. Tras un cierre súbito, el agua del túnel sigue en movimiento y el nivel $z$ del pozo sube. Escríbase la conservación de la masa entre el túnel y el pozo.
Intégrese Euler a lo largo del túnel (fluido perfecto) para mostrar que $z$ obedece $\ddot z + \dfrac{gA}{LA_s}z = 0$ ; periodo de la oscilación.
Ascenso máximo del nivel en el pozo tras un cierre desde el caudal de diseño (argumento energético: la energía cinética del agua del túnel se convierte en energía potencial en el pozo).
Resúmase: las cinco presiones que aparecen en esta central (estática en la presa, estática en la turbina, dinámica en la tubería, golpe de ariete y oscilación en la chimenea) y la ley que da cada una.

Solución

Solución de Problema 3.1.

1. $\rho g \times 150 = 14.7\,\mathrm{bar}$ sobre la atmosférica; $\tfrac12\rho gH_d^2 \times 1\,\mathrm{m} = 1.1 \times 10^{8}\,\mathrm{N}$ .

2. $\rho gH = 19.6\,\mathrm{bar}$ manométricos, $20.6\,\mathrm{bar}$ absolutos.

3. $v = 60/7.07 = 8.5\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; $\tfrac12\rho v^2 = 0.36\,\mathrm{bar}$ ; $P = P_0 + \rho gH - \tfrac12\rho v^2 = 20.3\,\mathrm{bar}$ absolutos.

4. $v_j = \sqrt{2gH} = 62.6\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; $s = 60/62.6 = 0.96\,\mathrm{m}^{2}$ , $d = 1.1\,\mathrm{m}$ .

5. $\tfrac12\rho D_Vv_j^2 = \tfrac12\rho D_V(2gH) = \rho gD_VH = 118\,\mathrm{MW}$ .

6. $m = \rho S\ell = 2.8 \times 10^{6}\,\mathrm{kg}$ , $E_k = \tfrac12mv^2 = 1.0 \times 10^{8}\,\mathrm{J}$ ; tránsito $\ell/v = 47\,\mathrm{s}$ .

7. $\rho gH = (P - P_0) + \tfrac12\rho v^2$ : $19.3\,\mathrm{bar}$ de presión y $0.36\,\mathrm{bar}$ de energía cinética; en la tobera la presión cae hasta $P_0$ mientras $\tfrac12\rho v^2$ sube hasta $\rho gH$ : justo después, $P = P_0$ .

8. $\Delta h = \lambda(\ell/D)v^2/2g = 0.015 \times 133 \times 3.67 = 7.3\,\mathrm{m}$ , el $3.7\%$ de la potencia.

9. $v = 19.1\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , $v^2/2g = 18.6\,\mathrm{m}$ , $\Delta h = 0.015 \times 200 \times 18.6 = 56\,\mathrm{m}$ : se pierde el $28\%$ — el ahorro en acero se paga cada segundo en energía.

10. $v_t = 60/\pi = 19.1\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; $\Delta P = 500(19.1^2 - 8.49^2) = 146\,\mathrm{kPa}$ .

11. $\Delta P = (\rho_{\text{Hg}} - \rho)g\,\Delta h$ : $\Delta h = 146000/(12600 \times 9.81) = 1.18\,\mathrm{m}$ .

12. $\Delta P \propto v^2 \propto D_V^2$ : $D_V \propto \sqrt{\Delta h}$ ; la mitad del caudal da la cuarta parte, $0.30\,\mathrm{m}$ .

13. Una toma que sobresale se enfrenta a la corriente o la perturba, y mide parte de la presión dinámica (es un Pitot), no la presión estática.

14. $P = P_0 - \rho g \times 6 - \tfrac12\rho v^2 = 100 - 59 - 36 = 5\,\mathrm{kPa}$ : cerca de la presión de vapor; el aire disuelto se libera y el agua puede hervir (cavitación), rompiendo la columna. Hay que bajar la cota, o instalar una ventosa y una bomba de vacío, o reducir el caudal.

15. $D_V/A = 60/2 \times 10^6 = 3 \times 10^{-5}\,\mathrm{m}/\mathrm{s} = 11\,\mathrm{cm}/\mathrm{h}$ .

16. $A\,\dd h/\dd t = -s\sqrt{2gh}$ : $\sqrt h = \sqrt{h_0} - (s/A)\sqrt{g/2}\,t$ .

17. $\Delta t = (A/s)\sqrt{2/g}(\sqrt{200} - \sqrt{190}) = 2.09 \times 10^6 \times 0.45 \times 0.36 = 3.4 \times 10^{5}\,\mathrm{s}$ , es decir $3.9$ días; al caudal de diseño constante, $10A/D_V = 3.3 \times 10^{5}\,\mathrm{s}$ : casi lo mismo, pues la tobera se dimensionó para el caudal de Torricelli con $h \approx H$ .

18. $\ell\,\dd v/\dd t = gH - v^2/2$ : $v = V\tanh(Vt/2\ell)$ , $V = 62.6\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , constante de tiempo $2\ell/V = 13\,\mathrm{s}$ .

19. En $v = V/2$ : $\dd v/\dd t = (gH - V^2/8)/\ell = 3.7\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ ; $P = P_0 + \rho gH - \tfrac12\rho v^2 - \rho\ell\,\dd v/\dd t = 1.0 + 19.6 - 4.9 - 14.7 = 1.0\,\mathrm{bar}$ : casi toda la carga está ocupada en acelerar la columna, de modo que la presión en el fondo queda muy por debajo de su valor estacionario.

20. $|\dd v/\dd t| = 8.49/10 = 0.85\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ : $\Delta P = \rho\ell \times 0.85 = 3.4\,\mathrm{bar}$ .

21. $\Delta P = 1000 \times 1400 \times 8.49 = 119\,\mathrm{bar}$ , seis veces la presión estática. El viaje de ida y vuelta de la onda dura $2\ell/c = 0.57\,\mathrm{s}$ : un cierre más rápido que eso es “súbito” y recibe toda la sobrepresión de Joukowsky; los cierres más lentos reciben menos.

22. $Av = A_s\,\dd z/\dd t$ .

23. Euler a lo largo del túnel, desde el embalse (presión $P_0 + \rho g\times$ profundidad) hasta el pie del pozo (presión $P_0 + \rho g (\text{profundidad} + z)$ ): $\rho L\,\dd v/\dd t = -\rho gz$ ; con $v = (A_s/A)\dot z$ : $\ddot z + (gA/LA_s)z = 0$ ; $T = 2\pi\sqrt{LA_s/gA} = 2\pi\sqrt{2000 \times 100/ 68.7} = 340\,\mathrm{s} \approx 5.7\,\mathrm{min}$ .

24. $\tfrac12\rho ALv^2 = \tfrac12\rho gA_sz_{\max}^2$ con $v = 60/7 = 8.6\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ : $z_{\max} = v\sqrt{AL/gA_s} = 32\,\mathrm{m}$ .

25. Presa: hidrostática, $\rho gh$ . Turbina con las válvulas cerradas: lo mismo, $\rho gH$ . Tubería forzada en servicio: Bernoulli, $\tfrac12\rho v^2$ tomado de la carga estática. Golpe de ariete: compresibilidad, $\rho c\Delta v$ . Chimenea: Euler no estacionario a lo largo del túnel, una oscilación de periodo $2\pi\sqrt{LA_s/gA}$ .

Términos definidos en este capítulo

Fluido perfecto

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