Física universitaria — segundo año · Bachelor Year 2

18El modelo escalar de la luz

Ilumínese una misma pared con dos linternas y la mancha es simplemente el doble de brillante; ilumínese con dos haces de un mismo láser y la mancha se rompe en franjas claras y oscuras. Las linternas suman sus intensidades y los haces del láser suman sus amplitudes — y todo interferómetro, holograma y red de difracción de los capítulos que vienen descansa en saber cuándo hace la luz cada cosa. Este capítulo prepara las herramientas: la luz como onda escalar con una fase, el camino óptico que mide esa fase a lo largo de un rayo, la manera en que emite una fuente — en trenes de ondas cortos cuya longitud de coherencia decide si dos ondas pueden interferir — y la manera en que lo registra un detector: un promedio sobre miles de millones de periodos que solo conserva la intensidad.

18.1 La luz como onda escalar

Definición 18.1 (Modelo escalar; onda monocromática)

En casi toda la óptica ondulatoria la naturaleza vectorial de la luz no interviene (las ondas superpuestas comparten una polarización, o la luz no está polarizada y las polarizaciones se promedian): el campo se sustituye por una vibración escalar real

s(M, t) = a(M)\cos\bigl(\omega t - \varphi(M)\bigr) ,

con una amplitud $a(M)$ y una fase $\varphi(M)$ en cada punto, ambas de variación lenta en la escala de una longitud de onda. Una onda monocromática tiene un solo $\omega$ : una idealización, porque una fuente real emite en una banda de frecuencias. Luz visible: $\lambda_0$ de $400$ a $750\,\mathrm{nm}$ en el vacío, $\nu = c/\lambda_0$ de $7.5 \times 10^{14}$ a $4 \times 10^{14}$ Hz, con periodos de unos $2\,\mathrm{fs}$ .

Definición 18.2 (Camino óptico y fase)

En un medio de índice $n$ la onda viaja a $c/n$ y su longitud de onda vale $\lambda_0/n$ . El camino óptico a lo largo de una curva de $A$ a $B$ es

(AB) = \int_A^Bn\,\dd s ,

y la fase acumulada por una onda monocromática que viaja a lo largo de un rayo de $A$ a $B$ vale

\varphi(B) - \varphi(A) = \frac{2\pi}{\lambda_0}\,(AB) = \omega\,\tau_{AB} ,

siendo $\tau_{AB}$ el tiempo de viaje. Un frente de onda es una superficie de igual fase; en un medio isótropo los rayos de la óptica geométrica son perpendiculares a los frentes de onda (teorema de Malus–Dupin), y el camino óptico entre dos frentes de onda es el mismo por todos los rayos.

Justificación. La fase avanza $2\pi$ por cada longitud de onda local $\lambda_0/n$ , es decir, $2\pi n\,\dd s/\lambda_0$ por elemento $\dd s$ ; sumado a lo largo del rayo. La onda $a\cos(\omega t - \varphi)$ es solución de la ecuación de ondas en la que la energía viaja según $\operatorname{\vect{grad}}\varphi$ , perpendicular a las superficies $\varphi =$ const.: ese es el rayo, y el enunciado “el camino óptico es el mismo entre dos frentes de onda” es la definición de frente de onda leída al revés. El teorema completo (sobrevive a reflexiones y refracciones) se admite. ∎

Ejemplo 18.3 (Estigmatismo; la lente como lámina de fase)

Una fuente puntual $A$ de la que un instrumento perfecto (estigmático) forma la imagen $A'$ : todos los rayos de $A$ a $A'$ tienen el mismo camino óptico — las ondas que llegan por cada rayo están en fase en $A'$ , y por eso se amontonan allí en un punto brillante. Para una lente delgada de distancia focal $f$ esto es una afirmación sobre la fase: una onda plana que llega según el eje debe salir como una onda esférica que converge en el foco $F'$ ; como una onda esférica centrada a la distancia $f$ tiene, a la distancia $r$ del eje, una fase $2\pi r^2/2\lambda f$ adelantada respecto de su valor axial (aproximación paraxial, $\sqrt{f^2 + r^2} \approx f + r^2/2f$ ), la lente debe retardar la onda en $\varphi_L(r) = -\pi r^2/\lambda f$ : es más gruesa en el centro exactamente en lo que hace falta para que todos los caminos ópticos hasta $F'$ sean iguales. Una lente es una lámina de fase; un holograma o una pantalla de cristal líquido que imponga el mismo mapa de fases es una lente.

A la izquierda, una lente delgada convierte los frentes de onda planos en esféricos que convergen en el foco — todos los caminos ópticos hasta F' son iguales. A la derecha, dentro del vidrio la longitud de onda se encoge a _0/n y la fase avanza más deprisa: el camino óptico cuenta n veces la longitud geométrica. — A la izquierda, una lente delgada convierte los frentes de onda planos en esféricos que convergen en el foco — todos los caminos ópticos hasta $F'$ son iguales. A la derecha, dentro del vidrio la longitud de onda se encoge a $\lambda_0/n$ y la fase avanza más deprisa: el camino óptico cuenta $n$ veces la longitud geométrica.

18.2 Cómo se emite la luz: la coherencia

Proposición 18.4 (Trenes de ondas; tiempo y longitud de coherencia)

Una fuente clásica (una llama, una lámpara, una estrella) es un conjunto de átomos que emiten, en instantes al azar y con fases al azar, trenes de ondas cortos de duración $\tau_c$ : la vibración que produce en un punto mantiene una fase estable solo durante $\tau_c$ y luego salta. Un tren de duración $\tau_c$ no es monocromático: su espectro abarca una banda de frecuencias $\Delta\nu \approx 1/\tau_c$ (una reciprocidad de Fourier, admitida: una sinusoide finita no puede tener una sola frecuencia). El tiempo de coherencia $\tau_c$ y la longitud de coherencia

\ell_c = c\,\tau_c \approx \frac c{\Delta\nu} = \frac{\lambda^2}{\Delta\lambda}

caracterizan la fuente: luz blanca, $\Delta\lambda \approx 300\,\mathrm{nm}$ , $\ell_c \approx 1\,\text{µ}\mathrm{m}$ ; una lámpara espectral ( $\Delta\lambda \sim 0.01\,\mathrm{nm}$ ), $\ell_c \sim 3\,\mathrm{cm}$ ; un láser, de metros a kilómetros. Dos ondas procedentes de la misma fuente solo pueden interferir si su diferencia de camino es menor que $\ell_c$ — más allá pertenecen a trenes distintos, con fases sin relación.

Demostración. $\ell_c = c/\Delta\nu$ y $|\Delta\nu/\nu| = |\Delta\lambda/\lambda|$ con $\nu = c/\lambda$ dan $\ell_c = \lambda^2/\Delta\lambda$ . La anchura espectral tiene a su vez causas físicas: la anchura natural (amortiguamiento por radiación, Capítulo 17), el ensanchamiento Doppler por el movimiento térmico de los átomos, las colisiones — cada uno acorta el tren. ∎

La vibración de una fuente clásica: una sucesión de trenes de ondas de duración _c con saltos de fase al azar entre ellos; dos copias suyas solo pueden interferir si su retardo es menor que _c. — La vibración de una fuente clásica: una sucesión de trenes de ondas de duración $\tau_c$ con saltos de fase al azar entre ellos; dos copias suyas solo pueden interferir si su retardo es menor que $\tau_c$ .

Observación 18.5 (Dos fuentes, una fuente)

Dos lámparas distintas (o dos átomos distintos) emiten trenes con fases al azar independientes: su fase relativa cambia cada $\tau_c \sim 1 \times 10^{-9}\,\mathrm{s}$ , un millón de veces más deprisa de lo que responde cualquier ojo o cámara — el término de interferencia promedia cero y las intensidades se suman. La interferencia necesita dos ondas que recuerden los mismos saltos de fase: dos copias de una misma onda, obtenidas al desdoblarla (dos rendijas, dos espejos, las dos caras de una lámina) y recombinadas con un retardo menor que $\tau_c$ . Un láser, cuyos trenes duran microsegundos o más, relaja enormemente esta exigencia; nunca la suprime.

18.3 Detectores e intensidad

Proposición 18.6 (Lo que mide un detector)

Todo detector de luz — el ojo (tiempo de respuesta $\sim0.1\,\mathrm{s}$ ), una película fotográfica, un píxel de CCD ( $1\,\mathrm{ms}$ ), un fotodiodo ( $1\,\mathrm{ns}$ ) — responde en un tiempo largo frente al periodo ( $10^{-15}$ s) y entrega la intensidad, el promedio temporal del cuadrado de la vibración,

I = K\,\langle s^2\rangle = \tfrac12K\,a^2 ,

( $K$ una constante, a menudo omitida; $I$ es proporcional a la irradiancia en $\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$ ). El nivel absoluto importa en un solo aspecto: la luz llega en fotones de energía $h\nu$ , y un detector cuenta en promedio $I/h\nu$ fotones por unidad de área y de tiempo.

Demostración. $\langle\cos^2(\omega t - \varphi)\rangle = \tfrac12$ en cualquier intervalo mucho mayor que $2\pi/\omega$ . Los fotones: el último capítulo del volumen del primer año; aquí es donde la onda escalar se encuentra con lo cuántico. ∎

Ejemplo 18.7 (Órdenes de magnitud)

Una bombilla de $60\,\mathrm{W}$ que radia $3\,\mathrm{W}$ de luz visible, a $2\,\mathrm{m}$ : $I = 3/4\pi\cdot4 = 60\,\mathrm{mW}/\mathrm{m}^{2}$ , $I/h\nu = 1.6 \times 10^{17}$ fotones por metro cuadrado y segundo, $3 \times 10^{12}$ por segundo por una pupila de $5\,\mathrm{mm}$ — en los $0.1\,\mathrm{s}$ del ojo no queda rastro de la granularidad. La estrella más débil que ve el ojo envía $\sim 10^3$ fotones por segundo a la pupila; un bastón se dispara con un puñado. Luz solar: $1\,\mathrm{kW}/\mathrm{m}^{2}$ , $3 \times 10^{21}$ fotones por metro cuadrado y segundo.

Escalas de tiempo de la óptica: el periodo de la vibración, la duración de los trenes de ondas de las fuentes clásicas y de láser, y los tiempos de respuesta de los detectores — todos ellos promedian sobre muchos periodos y sobre muchos trenes de una lámpara.

Observación 18.8 (Superposición coherente e incoherente)

Dos vibraciones $a_1\cos(\omega t - \varphi_1)$ y $a_2\cos(\omega t - \varphi_2)$ en un punto dan $s = s_1 + s_2$ y

I = \tfrac12K\bigl[a_1^2 + a_2^2 + 2a_1a_2\langle\cos(\varphi_1 - \varphi_2)\rangle\bigr] .

Si la diferencia de fase es estable durante la detección (ondas coherentes): $I = I_1 + I_2 + 2\sqrt{I_1I_2}\cos(\varphi_1 - \varphi_2)$ , el término de interferencia, que estudia el capítulo siguiente. Si vaga al azar (ondas incoherentes): $\langle\cos\rangle = 0$ e $I = I_1 + I_2$ — las linternas.

Método 18.9 (Cómo plantear un problema de óptica)

(1) Escríbase cada onda como $a\cos(\omega t - \varphi)$ con $\varphi = 2\pi(\text{camino óptico})/\lambda_0$ desde la fuente (o desde un frente de onda común). (2) Decídase la coherencia: ¿la misma fuente, con diferencia de camino $< \ell_c$ ? Entonces súmense las amplitudes (la notación compleja resulta cómoda: $\underline s = a\eu^{\iu(\omega t - \varphi)}$ , $I = \tfrac12K|\underline s|^2$ ); si no, súmense las intensidades. (3) Para lentes y espejos, úsese la igualdad de caminos ópticos entre puntos conjugados, o la imagen de la lámina de fase. (4) Conviértase a lo que se mide: intensidad, contraste, cuentas de fotones, y compruébese la resolución del detector en tiempo y en espacio.

18.4 Ejercicios

Ejercicio 18.1 ★

Un haz de $600\,\mathrm{nm}$ cruza $1.0\,\mathrm{cm}$ de vidrio ( $n = 1.5$ ). Camino óptico; número de longitudes de onda dentro; fase y retardo suplementarios frente a $1\,\mathrm{cm}$ de aire; espesor de vidrio que retarda la onda exactamente una longitud de onda respecto del aire.

Solución

Solución de Ejercicio 18.1.

$(AB) = 1.5\,\mathrm{cm}$ ; $25\,000$ longitudes de onda; $0.5\,\mathrm{cm}$ más que el aire, $8300$ longitudes de onda, $\Delta\varphi = 2\pi \times 8300$ , retardo $17\,\mathrm{ps}$ ; una longitud de onda de retardo para $e = \lambda/(n - 1) = 1.2\,\text{µ}\mathrm{m}$ .

Ejercicio 18.2 ★

Tiempo y longitud de coherencia de: la luz blanca ( $400$ – $750\,\mathrm{nm}$ ); una raya de lámpara de sodio de $0.02\,\mathrm{nm}$ de anchura a $589\,\mathrm{nm}$ ; un LED rojo ( $630\,\mathrm{nm}$ , $\Delta\lambda = 25\,\mathrm{nm}$ ); un diodo láser multimodo ( $\Delta\nu = 100\,\mathrm{GHz}$ ); un láser estabilizado ( $\Delta\nu = 1\,\mathrm{kHz}$ ). ¿Cuáles podrían dar franjas con una diferencia de camino de $1\,\mathrm{mm}$ ? ¿Y de $10\,\mathrm{m}$ ?

Solución

Solución de Ejercicio 18.2.

$\ell_c = \lambda^2/\Delta\lambda$ o $c/\Delta\nu$ , $\tau_c = \ell_c/c$ : blanca $0.9\,\text{µ}\mathrm{m}$ ( $3\,\mathrm{fs}$ ); sodio $1.7\,\mathrm{cm}$ ( $60\,\mathrm{ps}$ ); LED $16\,\text{µ}\mathrm{m}$ ( $50\,\mathrm{fs}$ ); diodo $3\,\mathrm{mm}$ ( $10\,\mathrm{ps}$ ); estabilizado $300\,\mathrm{km}$ ( $1\,\mathrm{ms}$ ). Con $1\,\mathrm{mm}$ : la lámpara de sodio, el diodo y el láser; con $10\,\mathrm{m}$ : solo el láser estabilizado.

Ejercicio 18.3 ★

Un puntero láser de $1\,\mathrm{mW}$ a $650\,\mathrm{nm}$ : fotones por segundo; una bombilla de $100\,\mathrm{W}$ ( $5\,\mathrm{W}$ visibles, $550\,\mathrm{nm}$ de media) a $3\,\mathrm{m}$ : fotones por segundo por una pupila de $6\,\mathrm{mm}$ ; número durante los $0.1\,\mathrm{s}$ del ojo; fluctuación relativa $1/\sqrt N$ de ese número — ¿es granulosa la luz?

Solución

Solución de Ejercicio 18.3.

$10^{-3}/3.06 \times 10^{-19} = 3.3 \times 10^{15}\,$ por segundo. Bombilla: $I = 5/4\pi \times 9 = 44\,\mathrm{mW}/\mathrm{m}^{2}$ , pupila de $28\,\mathrm{mm}^{2}$ : $1.2\,\text{µ}\mathrm{W}$ , $3.5 \times 10^{12}$ fotones por segundo, $3.5 \times 10^{11}$ en $0.1\,\mathrm{s}$ , fluctuación $2 \times 10^{-6}$ : perfectamente lisa.

Ejercicio 18.4 ★

Una fuente puntual a $1.0\,\mathrm{m}$ de una pantalla, $\lambda = 500\,\mathrm{nm}$ . Diferencia de camino óptico entre el centro de la pantalla y un punto a $1\,\mathrm{cm}$ fuera del eje (exacta y luego con la fórmula paraxial $r^2/2d$ ); número de longitudes de onda; radio del frente de onda en la pantalla; ¿a qué distancia fuera del eje se equivoca la fórmula paraxial en una longitud de onda?

Solución

Solución de Ejercicio 18.4.

Exacta $\sqrt{1 + 10^{-4}} - 1 = 49.9988\,\text{µ}\mathrm{m}$ , paraxial $50\,\text{µ}\mathrm{m}$ : cien longitudes de onda; el frente de onda es una esfera de radio $1\,\mathrm{m}$ ; el término cuártico $r^4/8d^3$ alcanza $\lambda$ en $r = (8\lambda d^3)^{1/4} = 4.5\,\mathrm{cm}$ .

Ejercicio 18.5 ★★

La lente como lámina de fase. (a) Una onda plana según el eje tiene una fase uniforme en el plano de una lente delgada; tras la lente, la fase vale $\varphi_L(r) = -\pi r^2/\lambda f$ respecto del centro. Muéstrese que el frente de onda emergente es, en la aproximación paraxial, una esfera de radio $f$ centrada en $F'$ . (b) Una fuente puntual a la distancia $d$ delante de la lente envía una onda cuya fase en el plano de la lente vale $+\pi r^2/\lambda d$ (respecto del centro): muéstrese que tras la lente la onda converge en $d'$ con $1/d' = 1/f - 1/d$ , la fórmula de las lentes. (c) Perfil de espesor de una lente plano-convexa de vidrio ( $n = 1.5$ ) de $10\,\mathrm{cm}$ de distancia focal: $e(r) = e_0 - r^2/2(n - 1)f$ ; flecha en $r = 1\,\mathrm{cm}$ . (d) Una “lente de Fresnel” repliega el perfil cada vez que este supera $\lambda/(n - 1)$ : ¿por qué sigue enfocando, y por qué solo un color a la perfección?

Solución

Solución de Ejercicio 18.5.

(a) Una esfera de radio $f$ centrada en $F'$ tiene, en el plano de la lente, la fase $-\pi r^2/\lambda f$ respecto del eje (paraxialmente): exactamente la de la lente. (b) Fase total $\pi r^2/\lambda\,(1/d - 1/f) = -\pi r^2/\lambda d'$ : una onda que converge en $d'$ con $1/d' = 1/f - 1/d$ . (c) El vidrio añade $(n - 1)e(r) \times2\pi/\lambda$ : $e(r) = e_0 - r^2/2(n - 1)f$ ; flecha $10^{-4}/0.1 = 1\,\mathrm{mm}$ . (d) Una fase definida módulo $2\pi$ es la misma fase — en la longitud de onda de diseño; en las demás los escalones ya no son longitudes de onda enteras.

Ejercicio 18.6 ★★

Estigmatismo de un espejo. Un espejo debe enviar a un punto $F$ una onda plana que llega según su eje. (a) Escríbase la condición “caminos ópticos iguales desde un frente de onda plano hasta $F$ para todos los puntos del espejo” y muéstrese que define una parábola $y^2 = 4fx$ con $F$ en su foco. (b) ¿Por qué es un espejo esférico solo aproximadamente estigmático (compárese $y^2 = 4fx$ con la circunferencia de radio $2f$ cerca del vértice)? (c) Para un espejo de $20\,\mathrm{cm}$ con $f = 1\,\mathrm{m}$ , el error de camino de la esfera en el borde, en longitudes de onda de $500\,\mathrm{nm}$ . (d) ¿Por qué toleran los radiotelescopios una esfericidad que los ópticos no pueden?

Solución

Solución de Ejercicio 18.6.

(a) De un frente de onda plano en $x = -D$ a $(x, y)$ y luego a $F(f, 0)$ : $D + x + \sqrt{(x - f)^2 + y^2} = D + f$ , luego $\sqrt{(x - f)^2 + y^2} = f - x$ , $y^2 = 4fx$ , con $F$ en el foco. (b) La circunferencia $x = 2f - \sqrt{4f^2 - y^2} \approx y^2/4f + y^4/64f^3$ coincide solo hasta segundo orden. (c) $y^4/64f^3 = 1.6\,\text{µ}\mathrm{m}$ , duplicado por la reflexión: $3\,\text{µ}\mathrm{m}$ , seis longitudes de onda — de ahí los espejos parabólicos. (d) Para $\lambda \sim 1\,\mathrm{cm}$ el mismo error es una milésima de longitud de onda.

Ejercicio 18.7 ★★

Fermat. El camino óptico de $A$ (en el medio $n_1$ ) a $B$ (en $n_2$ ) a través de un punto $P$ de la interfaz plana vale $n_1AP + n_2PB$ . (a) Muéstrese que es estacionario (mínimo) para el punto $P$ que cumple $n_1\sin\theta_1 = n_2\sin\theta_2$ . (b) Interprétese: los caminos vecinos tienen la misma fase, así que las ondas que van por ellos se suman — por eso la luz “elige” el rayo de Descartes. (c) Dedúzcase la ley de la reflexión de la misma manera. (d) ¿Por qué el camino a través de una lente de $A$ a su imagen $A'$ es el mismo por todos los rayos, y no meramente estacionario?

Solución

Solución de Ejercicio 18.7.

(a) $L(x) = n_1\sqrt{a^2 + x^2} + n_2\sqrt{b^2 + (d - x)^2}$ : $L' = n_1\sin\theta_1 - n_2\sin\theta_2 = 0$ . (b) Cerca del camino estacionario, los caminos vecinos tienen fases iguales y sus ondas se suman; en otras partes se cancelan. (c) $n_1 = n_2$ : $\sin\theta_1 = \sin\theta_r$ . (d) El estigmatismo significa que todos los rayos de $A$ a $A'$ tienen caminos iguales: toda una familia de caminos estacionarios, no uno solo.

Ejercicio 18.8 ★★

Por qué no interfieren dos lámparas. Dos lámparas de sodio iluminan una pantalla; en un punto, sus ondas tienen amplitudes $a$ y una fase relativa $\Delta\varphi$ que salta al azar cada $\tau_c = 1 \times 10^{-10}\,\mathrm{s}$ . (a) Intensidad en ese punto en función de $\Delta\varphi$ ; su máximo y su mínimo. (b) El detector promedia durante $\tau_d = 1\,\mathrm{ms}$ : ¿cuántos valores independientes de $\Delta\varphi$ ? Intensidad media; tamaño relativo de la fluctuación residual del término de interferencia ( $\sim 1/\sqrt N$ ). (c) Un fotodiodo con $\tau_d = 1 \times 10^{-11}\,\mathrm{s}$ : ¿qué vería? (d) ¿Cómo lo consiguió el primer experimento que mostró interferencias entre dos láseres independientes (1963)?

Solución

Solución de Ejercicio 18.8.

(a) $I = 2I_0(1 + \cos\Delta\varphi)$ : $4I_0$ y $0$ . (b) $N = 10^7$ : media $2I_0$ , residuo $\sim 2I_0/\sqrt N = 6 \times 10^{-4}$ de ella. (c) Durante $10\,\mathrm{ps}$ la fase está congelada: vería franjas que saltan cada $0.1\,\mathrm{ns}$ . (d) Con láseres de $\tau_c \sim 1\,\text{µ}\mathrm{s}$ y un detector más rápido que eso: las franjas existen durante un microsegundo y se fotografiaron.

Ejercicio 18.9 ★★

Profundidad aparente. Una moneda yace a la profundidad $h$ en agua ( $n = 1.33$ ). (a) Con el camino óptico (o la ley de Descartes a ángulos pequeños), muéstrese que un ojo desde arriba la ve a la profundidad $h/n$ . (b) $h = 1.2\,\mathrm{m}$ : profundidad aparente; ¿en cuánto supera el camino óptico de la moneda al ojo su longitud geométrica? (c) ¿A qué altura aparente ve un pez a la profundidad $h$ una mosca a $1\,\mathrm{m}$ sobre la superficie? (d) ¿Por qué parece aún menos profunda una piscina vista de forma oblicua?

Solución

Solución de Ejercicio 18.9.

(a) A ángulos pequeños: $\tan i \approx n\tan r$ , y los rayos parecen venir de $h/n$ . (b) $0.90\,\mathrm{m}$ ; el camino óptico vale $n \times 1.2 = 1.6\,\mathrm{m}$ , $0.4\,\mathrm{m}$ más. (c) $n \times 1 = 1.33\,\mathrm{m}$ . (d) A ángulos grandes la refracción es más fuerte y la profundidad aparente, menor.

Ejercicio 18.10 ★★★

Contraste y coherencia. Se superponen dos copias de una onda con una diferencia de camino $\delta$ ; el espectro de la fuente se reparte uniformemente en $[\nu_0 - \Delta\nu/2, \nu_0 + \Delta\nu/2]$ , y cada frecuencia interfiere solo consigo misma. (a) Intensidad de una frecuencia: $2I_0 [1 + \cos(2\pi\nu\delta/c)]$ . (b) Intégrese sobre la banda y muéstrese que el total vale $2I_0[1 + \operatorname{sinc}(\pi\Delta\nu\,\delta/c)\cos(2\pi\nu_0\delta/c)]$ con $\operatorname{sinc}x = \sin x/x$ . (c) Defínase el contraste $V = (I_{\max} - I_{\min})/(I_{\max} + I_{\min})$ de las franjas cerca de $\delta$ y muéstrese que $V = |\operatorname{sinc}(\pi\Delta\nu\,\delta/c)|$ : se anula en $\delta = c/\Delta\nu = \ell_c$ . (d) Valores para un LED ( $\Delta\lambda = 25\,\mathrm{nm}$ a $630\,\mathrm{nm}$ ): $\delta$ para el que el contraste se anula por primera vez.

Solución

Solución de Ejercicio 18.10.

(a) Dos ondas iguales con diferencia de fase $2\pi\nu\delta/c$ . (b) Promedio sobre la banda:

\frac1{\Delta\nu}\int\cos\frac{2\pi\nu\delta}c\,\dd\nu = \cos\frac{2\pi\nu_0\delta}c\,\operatorname{sinc}\frac{\pi\Delta\nu\,\delta}c .

(c) $I_{\max, \min} = 2I_0(1 \pm |\operatorname{sinc}|)$ : $V = |\operatorname{sinc}(\pi\Delta\nu\delta/c)|$ , nulo en $\delta = c/\Delta\nu$ . (d) $\Delta\nu = c\Delta\lambda/\lambda^2 = 1.9 \times 10^{13}\,\mathrm{Hz}$ : $\delta = 16\,\text{µ}\mathrm{m}$ .

Ejercicio 18.11 ★★★

Ver estrellas. El ojo detecta un destello cuando unos $10$ fotones alcanzan un bastón en $0.1\,\mathrm{s}$ ; la pupila adaptada a la oscuridad mide $7\,\mathrm{mm}$ ; tómense $500\,\mathrm{nm}$ . (a) Flujo de fotones e irradiancia mínimos en el ojo. (b) El Sol da $1\,\mathrm{kW}/\mathrm{m}^{2}$ ; una estrella de magnitud $m$ da $10^{-0.4(m + 26.7)}$ de eso: irradiancia de una estrella de magnitud 6 (el límite a simple vista) y ritmo de fotones que entra en la pupila; ¿es coherente con (a)? (c) Un telescopio de $200\,\mathrm{mm}$ de abertura: ganancia en fotones y magnitud que alcanza. (d) ¿Por qué hablan los astrónomos del “ruido de fotones” de una imagen débil, y cómo escala con el tiempo de exposición?

Solución

Solución de Ejercicio 18.11.

(a) $100$ fotones por segundo sobre $38\,\mathrm{mm}^{2}$ : $2.6 \times 10^{6}\,\mathrm{m}^{-2}\,\mathrm{s}^{-1}$ , $\times4 \times 10^{-19}$ J: $1 \times 10^{-12}\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$ . (b) $10^{-13.1} \times 1000 = 8 \times 10^{-11}\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$ , $2 \times 10^8$ fotones por metro cuadrado y segundo, $8000$ por segundo en la pupila — muy por encima de (a): el límite real del ojo lo fijan el fondo y el reparto entre muchos bastones. (c) $(200/7)^2 = 800$ , $+7.3$ magnitudes: $m \approx 13$ . (d) $N$ fotones fluctúan en $\sqrt N$ : la relación señal-ruido crece como la raíz cuadrada de la exposición.

Ejercicio 18.12 ★★★

Más allá de lo paraxial. Una onda esférica de un punto a la distancia $d$ tiene, a la distancia transversal $r$ , el camino suplementario exacto $\sqrt{d^2 + r^2} - d$ . (a) Desarróllese a cuarto orden: $r^2/2d - r^4/8d^3$ . (b) El término cuadrático (paraxial) se conserva y el cuártico se desprecia cuando este último queda por debajo de $\lambda/4$ : muéstrese que eso exige $r^4 < 2\lambda d^3$ . (c) Valores: $d = 1\,\mathrm{m}$ , $\lambda = 500\,\mathrm{nm}$ : $r$ máximo; $d = 1\,\mathrm{cm}$ (un microscopio): $r$ máximo y el ángulo correspondiente. (d) Coméntese: las “aberraciones” de la óptica geométrica son estos términos despreciados.

Solución

Solución de Ejercicio 18.12.

(a) $d(1 + r^2/2d^2 - r^4/8d^4 + \dots) - d$ . (b) $r^4/8d^3 < \lambda/4$ . (c) $r < (2\lambda d^3)^{1/4}$ : $3.2\,\mathrm{cm}$ para $1\,\mathrm{m}$ ; $1\,\mathrm{mm}$ para $1\,\mathrm{cm}$ , un ángulo de $0.1\,\mathrm{rad}$ . (d) La aberración esférica es este término cuártico; las demás aberraciones son sus primas fuera de eje.

Lámparas de sodio de baja presión en la niebla: una sola raya amarilla, una longitud de coherencia de centímetros — la fuente clásica del laboratorio de óptica, y de las calles de antaño.

18.5 Problema: una lámpara de sodio y un puntero láser

Problema 18.1

Problema de fin de semana — dos fuentes de luz desmontadas: la lámpara amarilla de la calle antigua, el puntero rojo del aula y el único número que decide si cada una puede hacer franjas

Parte I — La lámpara de sodio. El sodio emite su doblete amarillo en $\lambda_1 = 589.0\,\mathrm{nm}$ y $\lambda_2 = 589.6\,\mathrm{nm}$ . La anchura natural de cada raya es $\Delta\nu_{\text{nat}} = 10\,\mathrm{MHz}$ ; en la lámpara los átomos están a $500\,\mathrm{K}$ (masa del sodio, $23\,\mathrm{u}$ , $k_B = 1.38 \times 10^{-23}\,\mathrm{J}/\mathrm{K}$ , $u = 1.66 \times 10^{-27}\,\mathrm{kg}$ ).

Frecuencias de las dos rayas y su diferencia.
Longitud de coherencia de una sola raya si contara únicamente su anchura natural.
Ensanchamiento Doppler: un átomo que se mueve a $v$ según la línea de visión emite en $\nu(1 + v/c)$ ; con la celeridad cuadrática media térmica $\sqrt{k_BT /m}$ según un eje, estímese $\Delta\nu_D$ y compárese con la anchura natural.
Longitud de coherencia de una raya ensanchada por Doppler; en una lámpara real de alta presión las colisiones ensanchan la raya otras diez veces: longitud de coherencia entonces.
Las dos rayas juntas: ¿en qué diferencia de camino pasan sus sistemas de franjas de la coincidencia a la oposición y de vuelta (la “longitud de batido” $\lambda^2/\Delta\lambda$ )? ¿Cuántas franjas son?
Un estudiante monta un interferómetro de dos ondas con la lámpara y aumenta la diferencia de camino desde cero: descríbase el contraste que ve — los batidos y la extinción final — con los números hallados.
La lámpara radia $1\,\mathrm{W}$ de luz amarilla: fotones por segundo; energía de un fotón en eV, y por qué la luz es amarilla.
Dos lámparas de sodio una al lado de otra: ¿pueden interferir sus luces? ¿Por qué es distinta la pregunta para las dos rayas de una misma lámpara?

Parte II — El puntero láser. Un láser de diodo rojo de $1\,\mathrm{mW}$ a $650\,\mathrm{nm}$ emite, cuando es barato, varios modos longitudinales repartidos en $\Delta\lambda = 0.5\,\mathrm{nm}$ ; uno estabilizado monomodo tiene $\Delta\nu = 1\,\mathrm{MHz}$ .

Longitudes de coherencia de los dos punteros.
Fotones emitidos por segundo; separación media entre fotones a lo largo del haz (en metros); compárese con la longitud de coherencia — ¿qué dice eso sobre “fotones que interfieren”?
Conviértase el ensanchamiento de $0.5\,\mathrm{nm}$ en una anchura de frecuencias; la cavidad del diodo mide $1\,\mathrm{mm}$ con $n = 3.5$ : separación de sus modos longitudinales ( $c/2nL$ ) y número de modos en el ensanchamiento.
El haz (de $1\,\mathrm{mm}$ de diámetro) incide sobre un fotodiodo en el que cada fotón da un electrón: corriente.
El puntero barato se usa en un interferómetro de dos ondas con una diferencia de camino de $2\,\mathrm{mm}$ : ¿franjas o no? ¿Y el estabilizado con $10\,\mathrm{m}$ ?
La salida del diodo se enciende y se apaga de hecho en pulsos de $1\,\mathrm{ns}$ : ¿pueden interferir entre sí los pulsos de dos periodos sucesivos? ¿Qué fija aquí la coherencia, la duración del pulso o la anchura de la raya?
¿Por qué se ve “moteada” en una pared la luz de un láser, y por qué no la de la lámpara?
Un LED rojo a $650\,\mathrm{nm}$ tiene $\Delta\lambda = 25\,\mathrm{nm}$ : longitud de coherencia; ¿por qué prefieren algunos proyectores los LED a los láseres?

Parte III — Caminos ópticos y detectores.

Se introduce una lámina de vidrio de $2\,\mathrm{mm}$ ( $n = 1.5$ ) en un brazo del interferómetro: camino óptico suplementario y número de franjas que desfilan ante una marca.
La lámina se inclina $10{}^{\circ}$ : camino suplementario (úsese $e/\cos r$ para la longitud en el vidrio, menos el aire que reemplaza, en primera aproximación $e(n/\cos r - \cos(i - r)/\cos r)$ — o sencillamente estímese con el camino geométrico más largo); orden de magnitud del desplazamiento de franjas.
El detector es una cámara con píxeles de $10\,\text{µ}\mathrm{m}$ ; las franjas están separadas $50\,\text{µ}\mathrm{m}$ : ¿cuántos píxeles por franja, y qué le ocurre al contraste medido si la separación baja a $10\,\text{µ}\mathrm{m}$ ?
Exposición de $10\,\mathrm{ms}$ a $1\,\text{µ}\mathrm{W}/\mathrm{cm}^{2}$ sobre un píxel: fotones por píxel; ruido de fotones relativo.
Dos ondas coherentes iguales de intensidad $I_0$ se encuentran con una diferencia de camino $\delta$ : escríbase la intensidad $I(\delta)$ y el periodo de las franjas en $\delta$ .
Las franjas desfilan ante un punto a $1\,\mathrm{kHz}$ (un espejo que vibra): ¿qué ve el ojo y qué ve el fotodiodo?
Los brazos del interferómetro recorren $10\,\mathrm{m}$ de aire ( $n - 1 = 2.9 \times 10^{-4}\,$ ): camino óptico en exceso sobre el vacío, en franjas; qué le hace al patrón un cambio del $1\,\%$ de la presión del aire.
La lámpara y el puntero dan el mismo $1\,\text{µ}\mathrm{W}/\mathrm{cm}^{2}$ : ¿cuál da más fotones por segundo, y por qué no importa para las franjas?
Resúmase: para cada fuente, la longitud de coherencia, qué la limita y la diferencia de camino que permite en el interferómetro.

Solución

Solución de Problema 18.1.

1. $\nu_1 = 5.0934 \times 10^{14}\,\mathrm{Hz}$ , $\nu_2 = 5.0882 \times 10^{14}\,\mathrm{Hz}$ : $\Delta\nu = 5.2 \times 10^{11}\,\mathrm{Hz}$ .

2. $c/\Delta\nu_{\text{nat}} = 30\,\mathrm{m}$ .

3. $\sqrt{k_BT/m} = 425\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ : $\Delta\nu_D \approx 2\nu v/c \approx 1.4\,\mathrm{GHz}$ , cien veces la anchura natural.

4. $c/\Delta\nu_D \approx 20\,\mathrm{cm}$ ; con las colisiones, unos $2\,\mathrm{cm}$ .

5. $\lambda^2/\Delta\lambda = 589^2/0.6$ nm $= 0.58\,\mathrm{mm}$ : de la coincidencia a la oposición cada $0.29\,\mathrm{mm}$ ; unas $1000$ franjas por batido.

6. El contraste oscila con un periodo de $0.58\,\mathrm{mm}$ en diferencia de camino (nulo en $0.29$ , $0.87$ , $1.45\,\mathrm{mm}$ , …) dentro de una envolvente que se apaga en unos pocos centímetros: unos cincuenta batidos y luego nada.

7. $3 \times 10^{18}\,$ fotones por segundo; $2.1\,\mathrm{eV}$ , el amarillo del espectro.

8. No: átomos independientes, fases al azar. Las dos rayas de una lámpara vienen también de átomos distintos y no interfieren entre sí: los batidos son dos sistemas de franjas que se suman en intensidad.

9. $\lambda^2/\Delta\lambda = 0.85\,\mathrm{mm}$ ; $c/\Delta\nu = 300\,\mathrm{m}$ .

10. $3.3 \times 10^{15}\,$ por segundo, separados $c/N = 90\,\mathrm{nm}$ a lo largo del haz: diez mil fotones dentro de una longitud de coherencia. La interferencia no es que se encuentren fotones: cada fotón interfiere consigo mismo.

11. $\Delta\nu = c\Delta\lambda/\lambda^2 = 360\,\mathrm{GHz}$ ; separación de modos $c/2nL = 43\,\mathrm{GHz}$ : unos ocho modos.

12. $e \times 3.3 \times 10^{15} = 0.5\,\mathrm{mA}$ .

13. $2\,\mathrm{mm}$ $>$ $0.85\,\mathrm{mm}$ : no hay franjas; $10\,\mathrm{m}$ $<$ $300\,\mathrm{m}$ : sí las hay.

14. Un pulso de un nanosegundo mide $30\,\mathrm{cm}$ , mucho más que los $0.85\,\mathrm{mm}$ de longitud de coherencia: la coherencia la fija la anchura de la raya, no el pulso; los pulsos sucesivos solo interfieren si la fase del láser sobrevive al periodo apagado — y no lo hace.

15. La luz coherente dispersada por la pared rugosa interfiere en la retina con diferencias de camino al azar: moteado. La coherencia micrométrica de la lámpara lo promedia todo.

16. $\lambda^2/\Delta\lambda = 17\,\text{µ}\mathrm{m}$ : demasiado corta para el moteado en una pared rugosa — sin moteado, una imagen más suave.

17. $(n - 1)e = 1\,\mathrm{mm}$ : $1540$ franjas.

18. $r = 6.65{}^{\circ}$ ; camino suplementario $\approx e(n/\cos r - \cos(i - r)/\cos r) = 3.021 - 2.010 = 1.011\,\mathrm{mm}$ , $11\,\text{µ}\mathrm{m}$ más que sin inclinar: unas veinte franjas más.

19. Cinco píxeles por franja; con un píxel por franja, el píxel integra un periodo entero y el contraste se hunde.

20. $1 \times 10^{-12}\,\mathrm{W}$ en el píxel $\times$ $10\,\mathrm{ms}$ $= 1 \times 10^{-14}\,\mathrm{J}$ : $3 \times 10^4$ fotones, ruido del $0.6\%$ .

21. $I = 2I_0[1 + \cos(2\pi\delta/\lambda)]$ : una franja por longitud de onda de diferencia de camino.

22. El ojo promedia el movimiento de kilohercios en un campo uniforme; el fotodiodo lo sigue.

23. $(n - 1) \times 10 = 2.9\,\mathrm{mm}$ : $4500$ franjas; un cambio del $1\%$ de la presión las mueve $45$ franjas — el interferómetro es un barómetro si no se hace el vacío.

24. Casi el mismo ritmo de fotones ( $2.1\,\mathrm{eV}$ frente a $1.9\,\mathrm{eV}$ ); las franjas dependen de las amplitudes y las fases, y la cuenta de fotones solo del ruido.

25. Lámpara: centímetros, limitada por el ensanchamiento Doppler y por colisiones, con franjas hasta cerca de $1\,\mathrm{cm}$ ; puntero barato: $0.85\,\mathrm{mm}$ , limitado por sus varios modos; láser estabilizado: $300\,\mathrm{m}$ , limitado por su anchura de raya.

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