Física universitaria — segundo año · Bachelor Year 2

13Ondas electromagnéticas planas y polarización

Inclínese la cabeza con unas gafas de sol polarizadas puestas y el reflejo de la carretera mojada aparece y desaparece; gírense las gafas ante la pantalla de un teléfono y la pantalla se vuelve negra. La luz que llega al ojo no es solo una onda con una frecuencia y una intensidad: tiene una dirección de vibración, y con ella juegan todo polarizador, toda pantalla, toda lente de cine en 3D y todo conector de fibra óptica. Este capítulo resuelve las ecuaciones de Maxwell en el espacio vacío — la onda plana, con sus campos eléctrico y magnético transversales y trabados en ángulo recto —, recorre el espectro que abarcan esas ondas y estudia la polarización: cómo describirla, cómo seleccionarla con un polarizador (ley de Malus) y cómo transformarla con una lámina birrefringente.

13.1 Ondas planas en el vacío

Teorema 13.1 (Ecuación de ondas; ondas planas progresivas armónicas)

En el vacío, sin cargas ni corrientes, las ecuaciones de Maxwell dan

\Delta\vect E = \frac1{c^2}\frac{\partial^2\vect E}{\partial t^2} , \qquad \Delta\vect B = \frac1{c^2}\frac{\partial^2\vect B}{\partial t^2} , \qquad c = \frac1{\sqrt{\varepsilon_0\mu_0}} = 2.998 \times 10^{8}\,\mathrm{m}/\mathrm{s} .

La onda plana progresiva armónica (OPPA) $\underline{\vect E} = \underline{\vect E}_0\,\eu^{\iu(\omega t - \vect k\cdot\vect r)}$ es solución siempre que $\omega = ck$ (sin dispersión), y las ecuaciones de Maxwell exigen entonces

\vect k\cdot\vect E = 0 , \qquad \vect B = \frac{\vect k\wedge\vect E}\omega = \frac{\vect u\wedge\vect E}c ,

siendo $\vect u = \vect k/k$ la dirección de propagación: la onda es transversal, $(\vect E, \vect B, \vect u)$ es un triedro ortogonal directo, $\vect E$ y $\vect B$ están en fase y $B = E/c$ . Su intensidad vale $I = \varepsilon_0cE_0^2/2$ y transporta el flujo de cantidad de movimiento $I/c$ (Capítulo 12).

Demostración. La ecuación de ondas se dedujo en Ejercicio 11.11. Para $\eu^{\iu(\omega t - \vect k\cdot\vect r)}$ , $\partial_t \to \iu\omega$ y $\vect\nabla \to -\iu\vect k$ : $\Delta \to -k^2$ , luego $k^2 = \omega^2/c^2$ ; Maxwell–Gauss da $-\iu \vect k\cdot\underline{\vect E} = 0$ , Maxwell del flujo $\vect k\cdot\underline{\vect B} = 0$ , Maxwell–Faraday $-\iu\vect k\wedge\underline{\vect E} = -\iu\omega\underline{\vect B}$ , de donde $\underline{\vect B} = \vect k\wedge\underline{\vect E}/\omega$ , de módulo $kE/\omega = E/c$ y perpendicular a ambos; Maxwell–Ampère queda entonces satisfecha idénticamente. ∎

Una onda plana progresiva armónica en un instante: E y B perpendiculares entre sí y a la dirección de avance, en fase, con B = E/c; todo el patrón se desliza según u a c. — Una onda plana progresiva armónica en un instante: $\vect E$ y $\vect B$ perpendiculares entre sí y a la dirección de avance, en fase, con $B = E/c$ ; todo el patrón se desliza según $\vect u$ a $c$ .

Observación 13.2 (El espectro)

Una sola ecuación, una sola celeridad y veinte órdenes de magnitud de frecuencia. Radio: $30\,\mathrm{kHz}$ – $300\,\mathrm{MHz}$ ( $\lambda$ de $10\,\mathrm{km}$ a $1\,\mathrm{m}$ ), antenas y circuitos (Capítulo 17). Microondas: $300\,\mathrm{MHz}$ – $300\,\mathrm{GHz}$ , radar, hornos, teléfonos móviles y el fondo cósmico. Infrarrojo: hasta $400\,\mathrm{THz}$ ( $750\,\mathrm{nm}$ ), la radiación térmica de todo lo que nos rodea (Capítulo 26). Visible: $400\,\mathrm{THz}$ – $750\,\mathrm{THz}$ , de $750\,\mathrm{nm}$ (rojo) a $400\,\mathrm{nm}$ (violeta) — una octava, con fotones de $1.6$ a $3.1\,\mathrm{eV}$ . Ultravioleta hasta $10\,\mathrm{nm}$ ; rayos X hasta $10\,\mathrm{pm}$ ( $100\,\mathrm{keV}$ ), procedentes de las capas atómicas internas y de electrones frenados; rayos gamma más allá, de los núcleos. Solo cambian las fuentes y los detectores: la onda es la misma.

El espectro electromagnético en escala logarítmica de frecuencias; la banda visible es una astilla — una octava de veinte décadas.

13.2 La polarización

Definición 13.3 (Estados de polarización)

Para una OPPA según $z$ , el campo en un plano $z =$ const. vale

\vect E = E_{0x}\cos(\omega t - kz)\,\vect e_x + E_{0y}\cos(\omega t - kz - \varphi)\,\vect e_y ,

y la punta de $\vect E$ describe, en general, una elipse: polarización elíptica. Dos casos particulares: $\varphi = 0$ o $\pi$ , polarización lineal según una dirección fija que forma el ángulo $\arctan(\pm E_{0y}/E_{0x})$ con $x$ ; y $E_{0x} = E_{0y}$ con $\varphi = \pm\pi/2$ , polarización circular, con $\vect E$ de módulo constante girando a $\omega$ (a derechas o a izquierdas según su sentido de giro, mirando de frente a la onda que llega). La luz natural (no polarizada), de una lámpara o del Sol, es una sucesión de trenes de onda cortos con polarizaciones aleatorias que cambian deprisa: ninguna dirección es preferente en promedio. Toda polarización se descompone en dos componentes lineales (o dos circulares).

Demostración. Con $X = E_x/E_{0x}$ , $Y = E_y/E_{0y}$ : $X = \cos\theta$ , $Y = \cos(\theta - \varphi)$ , luego $X^2 + Y^2 - 2XY\cos\varphi = \sin^2\varphi$ , una elipse, degenerada en las rectas $Y = \pm X$ para $\varphi = 0, \pi$ y en un círculo para $E_{0x} = E_{0y}$ , $\varphi = \pm\pi/2$ . ∎

Proposición 13.4 (Polarizadores y ley de Malus)

Un polarizador transmite la componente de $\vect E$ según su eje de transmisión $\vect p$ y absorbe la otra (una lámina de moléculas largas alineadas, que conducen a lo largo de su longitud — la polarización transmitida es perpendicular a las moléculas). La luz polarizada linealmente de intensidad $I_0$ cuya dirección forma el ángulo $\theta$ con $\vect p$ sale polarizada linealmente según $\vect p$ con

I = I_0\cos^2\theta \qquad\text{(Malus)} ;

la luz natural sale con $I_0/2$ , polarizada según $\vect p$ . Dos polarizadores cruzados no transmiten nada; un tercero intercalado a $45{}^{\circ}$ entre ellos transmite $I_0/8$ .

Demostración. La amplitud transmitida vale $E_0\cos\theta$ e $I \propto E_0^2$ . Luz natural: promedio de $\cos^2\theta$ sobre todo $\theta$ , $\tfrac12$ . Tres polarizadores: $\tfrac12\cdot\cos^2 45^\circ\cdot\cos^2 45^\circ = \tfrac18$ — el polarizador central no se limita a atenuar, sino que gira la polarización. ∎

A la izquierda, luz natural a través de tres polarizadores a 0, 45 y 90 — el del medio deja pasar una octava parte por una pareja que, sola, lo bloquearía todo. A la derecha, la ley de Malus. — A la izquierda, luz natural a través de tres polarizadores a $0^\circ$ , $45^\circ$ y $90^\circ$ — el del medio deja pasar una octava parte por una pareja que, sola, lo bloquearía todo. A la derecha, la ley de Malus.

Ejemplo 13.5 (Gafas de sol, pantallas, fotografías)

La luz reflejada con incidencia rasante en el agua o en el asfalto está en buena parte polarizada horizontalmente (ángulo de Brewster, Capítulo 15): unas gafas de sol con eje de transmisión vertical cortan el reflejo y dejan el resto. Una pantalla de cristal líquido emite luz polarizada: a través de un polarizador a $90{}^{\circ}$ se vuelve negra. El filtro polarizador de un fotógrafo oscurece el cielo (la luz dispersada está parcialmente polarizada, Capítulo 17) y elimina los reflejos del vidrio.

13.3 Birrefringencia y láminas de onda

Proposición 13.6 (Láminas de onda)

En un cristal birrefringente (calcita, cuarzo, mica; también una lámina de plástico estirada) una onda que se propaga en una dirección dada se desdobla en dos polarizaciones lineales, según los ejes rápido y lento de la lámina, que viajan con índices distintos $n_f < n_s$ (admitido: el cristal responde de forma distinta según sus ejes). Una lámina de espesor $e$ retrasa la componente lenta en la fase

\delta = \frac{2\pi}\lambda(n_s - n_f)\,e .

Una lámina de media onda ( $\delta = \pi$ ) convierte una polarización lineal que forma el ángulo $\alpha$ con el eje rápido en una polarización lineal a $-\alpha$ : la gira $2\alpha$ . Una lámina de cuarto de onda ( $\delta = \pi/2$ ) convierte una polarización lineal a $45{}^{\circ}$ de sus ejes en luz circular, y la luz circular de nuevo en lineal; con otros ángulos, en luz elíptica con los ejes según los de la lámina.

Demostración. Sea el campo incidente $E_0(\cos\alpha\,\vect e_f + \sin\alpha\,\vect e_s)\cos\omega t$ . Tras la lámina, la componente rápida no cambia y la lenta se retrasa $\delta$ , de modo que el campo vale $E_0[\cos\alpha\cos\omega t\,\vect e_f + \sin\alpha\cos(\omega t - \delta) \vect e_s]$ . Para $\delta = \pi$ la componente $\vect e_s$ cambia de signo: dirección $(\cos\alpha, -\sin\alpha)$ . Para $\delta = \pi/2$ y $\alpha = 45^\circ$ : $(E_0/\sqrt2)(\cos \omega t, \sin\omega t)$ , un círculo. ∎

Los estados de polarización de una onda plana, vistos de frente a la luz que llega, y una lámina birrefringente con sus ejes rápido y lento.

Ejemplo 13.7 (Dónde se usan las láminas)

Una lámina de cuarto de onda entre un polarizador y un espejo constituye un aislador óptico: la luz sale circular, vuelve circular con la helicidad opuesta, la lámina la convierte en luz lineal a $90{}^{\circ}$ del polarizador y queda absorbida — ninguna reflexión regresa al láser. Las imágenes de los dos ojos de una película en 3D se proyectan con polarizaciones circulares opuestas y las separan los emparedados de lámina de cuarto de onda y polarizador de las gafas, que siguen funcionando al inclinar la cabeza (unos polarizadores lineales no). Una regla transparente entre polarizadores cruzados muestra franjas de colores: la tensión mecánica vuelve birrefringente el plástico, y los ingenieros leen en el dibujo las tensiones de una maqueta.

Método 13.8 (Cómo seguir una polarización por un montaje óptico)

(1) Elíjanse los ejes; escríbase el campo incidente como dos componentes con su diferencia de fase. (2) Un polarizador: consérvese la proyección sobre su eje (amplitud $\times\cos$ , intensidad $\times\cos^2$ ; la luz natural, $\times\tfrac12$ ). (3) Una lámina: proyéctese sobre sus ejes rápido y lento, retrásese el lento en $\delta$ y recomponga. (4) Léase el resultado: una fase $0$ o $\pi$ significa lineal, y $\pm\pi/2$ con amplitudes iguales, circular. (5) Para analizar un haz desconocido: gírese un polarizador (si la intensidad varía, hay parte lineal o elíptica) y añádase después una lámina de cuarto de onda (la luz circular pasa a lineal y puede extinguirse).

13.4 Ejercicios

Ejercicio 13.1 ★

Una emisora de FM a $100\,\mathrm{MHz}$ da, en un receptor, una intensidad de $1.0\,\text{µ}\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$ . Longitud de onda, número de onda y periodo; amplitudes $E_0$ y $B_0$ ; densidad de energía; fem inducida en una antena de $1\,\mathrm{m}$ alineada con $\vect E$ ; flujo de fotones (por metro cuadrado y segundo).

Solución

Solución de Ejercicio 13.1.

$\lambda = 3.0\,\mathrm{m}$ , $k = 2.1\,\mathrm{rad}/\mathrm{m}$ , $T = 10\,\mathrm{ns}$ ; $E_0 = \sqrt{2I/\varepsilon_0c} = 27\,\mathrm{mV}/\mathrm{m}$ , $B_0 = 9 \times 10^{-11}\,\mathrm{T}$ ; $u = I/c = 3.3 \times 10^{-15}\,\mathrm{J}/\mathrm{m}^{3}$ ; fem $E_0 \times 1\,\mathrm{m} = 27\,\mathrm{mV}$ ; $I/hf = 10^{-6}/6.6 \times 10^{-26} = 1.5 \times 10^{19}\,\mathrm{m}^{-2}\,\mathrm{s}^{-1}$ .

Ejercicio 13.2 ★

Frecuencia y energía del fotón (en eV) para $\lambda = 1\,\mathrm{km}$ , $10\,\mathrm{cm}$ , $10\,\text{µ}\mathrm{m}$ , $550\,\mathrm{nm}$ , $10\,\mathrm{nm}$ , $0.1\,\mathrm{nm}$ y $1\,\mathrm{pm}$ ; nómbrese la banda de cada uno; longitud de onda de un rayo gamma de $1\,\mathrm{MeV}$ y del fondo cósmico a $2.7\,\mathrm{K}$ (con máximo cerca de $160\,\mathrm{GHz}$ ).

Solución

Solución de Ejercicio 13.2.

$300\,\mathrm{kHz}$ ( $1.2 \times 10^{-9}\,\mathrm{eV}$ , radio); $3\,\mathrm{GHz}$ ( $1.2 \times 10^{-5}\,\mathrm{eV}$ , microondas); $30\,\mathrm{THz}$ ( $0.12\,\mathrm{eV}$ , infrarrojo); $545\,\mathrm{THz}$ ( $2.25\,\mathrm{eV}$ , visible); $3 \times 10^{16}\,\mathrm{Hz}$ ( $124\,\mathrm{eV}$ , ultravioleta extremo); $3 \times 10^{18}\,\mathrm{Hz}$ ( $12\,\mathrm{keV}$ , X); $3 \times 10^{20}\,\mathrm{Hz}$ ( $1.2\,\mathrm{MeV}$ , gamma). $1\,\mathrm{MeV}$ : $1.2\,\mathrm{pm}$ ; $160\,\mathrm{GHz}$ : $1.9\,\mathrm{mm}$ .

Ejercicio 13.3 ★

Luz polarizada linealmente de intensidad $I_0$ incide en un polarizador a $30{}^{\circ}$ , luego en un segundo a $60{}^{\circ}$ del primero y luego en un tercero a $90{}^{\circ}$ del primero: intensidad tras cada uno. Lo mismo con luz natural. Quítese el del medio: ¿qué cambia?

Solución

Solución de Ejercicio 13.3.

$0.75I_0$ , $0.56I_0$ , $0.42I_0$ ; con luz natural: $0.375$ , $0.28$ , $0.21$ . Sin el del medio: $0.75 \times \cos^260^\circ = 0.19I_0$ (natural, $0.125I_0$ ): el polarizador intermedio deja pasar más luz al girar la polarización.

Ejercicio 13.4 ★

Compruébese que $\vect E = E_0\cos(\omega t - kz)\,\vect e_x$ , $\vect B = (E_0/c)\cos(\omega t - kz)\,\vect e_y$ satisface las cuatro ecuaciones de Maxwell en el vacío cuando $\omega = kc$ . ¿Qué ecuación fija la dirección de $\vect B$ y cuál su módulo? ¿Qué ocurre si se prueba con $\vect E$ según $\vect e_z$ ?

Solución

Solución de Ejercicio 13.4.

$\operatorname{div}\vect E = \partial_xE_x = 0$ , $\operatorname{div}\vect B = 0$ ; $\operatorname{\vect{curl}}\vect E = E_0k\sin(\omega t - kz)\,\vect e_y = -\partial_t\vect B$ si y solo si $\omega = kc$ — Faraday fija tanto la dirección ( $\vect e_y$ ) como el módulo ( $E_0/c$ ) de $\vect B$ ; $\operatorname{\vect{curl}}\vect B = -(E_0k/c)\sin(\omega t - kz)\,\vect e_x = \mu_0\varepsilon_0\partial_t\vect E$ . Un $\vect E$ según $\vect e_z$ tendría $\operatorname{div} \vect E \ne 0$ sin carga alguna: imposible — la onda es transversal.

Ejercicio 13.5 ★★

Luz circular. (a) Escríbase el campo de una onda polarizada circularmente según $z$ y muéstrese que $|\vect E|$ es constante mientras su dirección gira a $\omega$ . (b) Muéstrese que la suma de una onda circular a derechas y otra a izquierdas de igual amplitud está polarizada linealmente, según una dirección fijada por su fase relativa. (c) A través de un polarizador, ¿qué da la luz circular, y depende la intensidad del ángulo del polarizador? (d) ¿Cómo distinguir entonces la luz circular de la luz natural?

Solución

Solución de Ejercicio 13.5.

(a) $\vect E = E_0(\cos(\omega t - kz), \pm\sin(\omega t - kz), 0)$ : módulo $E_0$ , ángulo $\pm(\omega t - kz)$ . (b) $(\cos, \sin) + (\cos, -\sin) = (2\cos, 0)$ : lineal según $x$ ; una fase relativa $\varphi$ gira la dirección $\varphi/2$ . (c) $I_0/2$ con cualquier ángulo. (d) Una lámina de cuarto de onda convierte la luz circular en luz lineal, que un polarizador extingue después; la luz natural sigue sin polarizar.

Ejercicio 13.6 ★★

El cuarzo tiene $n_s - n_f = 0.0091$ a $589\,\mathrm{nm}$ . (a) Espesor de una lámina de cuarto de onda del orden más bajo; y de una de media onda. (b) Una lámina de cuarto de onda para $589\,\mathrm{nm}$ usada a $450\,\mathrm{nm}$ : retardo de fase (despréciese la variación de los índices); ¿qué sale para luz lineal a $45{}^{\circ}$ ? (c) ¿Por qué son más sensibles a la longitud de onda y a la temperatura las láminas “de orden múltiple” (de espesor $e + m\lambda/(n_s - n_f)$ )? (d) ¿Por qué debe controlarse el espesor de una lámina mejor que el micrómetro?

Solución

Solución de Ejercicio 13.6.

(a) $e = \lambda/4(n_s - n_f) = 16\,\text{µ}\mathrm{m}$ ; la de media onda, $32\,\text{µ}\mathrm{m}$ . (b) $\delta = (\pi/2)(589/450) = 2.1\,\mathrm{rad}$ : luz elíptica. (c) $\delta \propto e/\lambda$ : una lámina de $m + \tfrac14$ ondas tiene $\dd\delta/\dd\lambda$ y $\dd\delta/\dd T$ mayores en $4m + 1$ . (d) $\delta \propto e$ : un micrómetro sobre $16\,\text{µ}\mathrm{m}$ es el $6\%$ de $\pi/2$ .

Ejercicio 13.7 ★★

Lámina de media onda. (a) Muéstrese que la luz lineal que forma el ángulo $\alpha$ con el eje rápido sale lineal a $-\alpha$ . (b) Por tanto, una lámina girada $\beta$ gira la polarización $2\beta$ : ¿qué giro de la lámina pone horizontal una polarización vertical? (c) ¿Qué le hace una lámina de media onda a la luz circular? (d) Entre polarizadores cruzados se gira despacio una lámina de media onda: dibújese la intensidad transmitida frente a su ángulo.

Solución

Solución de Ejercicio 13.7.

(a) La componente lenta cambia de signo: $(\cos\alpha, \sin\alpha) \to (\cos\alpha, -\sin\alpha)$ . (b) Una polarización a un ángulo $\alpha$ de una lámina puesta a $\beta$ sale a $2\beta - \alpha$ : giro de $2\beta$ ; $45{}^{\circ}$ . (c) Invierte la helicidad. (d) $I = I_0\sin^22\beta$ : cuatro máximos y cuatro extinciones por vuelta.

Ejercicio 13.8 ★★

Se colocan $N$ polarizadores uno tras otro, cada uno girado $\pi/2N$ respecto del anterior, y el último a $90{}^{\circ}$ del primero. Transmisión de luz polarizada linealmente alineada con el primero para $N = 1, 2, 5, 10, 100$ ; límite $N \to \infty$ (úsese $\cos^{2N}(\pi/2N) \approx 1 - \pi^2/4N$ ). Coméntese: una polarización puede girarse $90{}^{\circ}$ sin pérdida — ¿con qué?

Solución

Solución de Ejercicio 13.8.

$\cos^{2N}(\pi/2N)$ : $0$ , $0.25$ , $0.61$ , $0.78$ , $0.976$ , $\to 1$ . Un medio que se retuerce de forma continua (actividad óptica, una celda de cristal líquido) gira la polarización sin pérdida.

Ejercicio 13.9 ★★

Polarización parcial. Un polarizador giratorio delante de un haz da una intensidad máxima $I_{\max}$ y una mínima $I_{\min}$ . (a) Modélese el haz como luz natural $I_n$ más luz polarizada linealmente $I_p$ : exprésense $I_{\max}$ e $I_{\min}$ ; el grado de polarización $p = I_p/(I_n + I_p) = (I_{\max} - I_{\min})/(I_{\max} + I_{\min})$ . (b) Cielo azul a $90{}^{\circ}$ del Sol: $I_{\max}/I_{\min} = 5$ : $p$ . (c) Luz reflejada en un lago cerca del ángulo de Brewster, $p = 0.9$ : ¿cuánto pueden eliminar unas gafas de sol polarizadas? (d) ¿Puede un polarizador solo distinguir la luz parcialmente polarizada linealmente de la parcialmente circular? ¿Qué hace falta?

Solución

Solución de Ejercicio 13.9.

(a) $I_{\max} = I_n/2 + I_p$ , $I_{\min} = I_n/2$ ; $p = I_p/(I_n + I_p) = (I_{\max} - I_{\min})/(I_{\max} + I_{\min})$ . (b) $p = 4/6 = 0.67$ . (c) El polarizador cruzado deja pasar $I_n/2 = 0.05I$ : se elimina el $95\%$ . (d) No — ambas dan una intensidad constante; hace falta una lámina de cuarto de onda.

Ejercicio 13.10 ★★★

Dos haces cruzados. Dos OPPA de igual amplitud y frecuencia, ambas polarizadas según $\vect e_y$ , se propagan en el plano $xz$ formando ángulos $\pm\theta$ con $z$ . (a) Escríbase el campo total y muéstrese que es una onda que viaja según $z$ cuya amplitud está modulada según $x$ como $\cos(kx\sin\theta)$ . (b) Separación de los planos oscuros (franjas de interferencia); valores para $\lambda = 633\,\mathrm{nm}$ , $\theta = 5{}^{\circ}$ , y para $\theta = 90{}^{\circ}$ (contrapropagantes). (c) Velocidad de fase del patrón según $z$ ; compárese con $c$ ; ¿viaja algo más deprisa que la luz? (d) Calcúlese el vector de Poynting promediado en el tiempo y muéstrese que su componente $x$ se anula: la energía fluye según $z$ por los planos brillantes.

Solución

Solución de Ejercicio 13.10.

(a) Fases $\omega t - k(z\cos\theta \pm x\sin\theta)$ : suma $2E_0\cos(kx\sin\theta)\cos(\omega t - kz\cos\theta)\,\vect e_y$ . (b) $\Delta x = \lambda/2\sin\theta$ : $3.6\,\text{µ}\mathrm{m}$ a $5{}^{\circ}$ , y $\lambda/2 = 316\,\mathrm{nm}$ a $90{}^{\circ}$ . (c) $v_\varphi = c/\cos\theta > c$ : la fase de un patrón; la energía va según $z$ a $c\cos\theta$ (y cada onda a $c$ ). (d) $B_z = (\sin\theta/c)(E_1 - E_2)$ , $E_y = E_1 + E_2$ : $\langle\Pi_x\rangle \propto \langle E_1^2 - E_2^2\rangle = 0$ ; $\Pi_z \propto \cos\theta(E_1 + E_2)^2$ , máximo en los planos brillantes.

Ejercicio 13.11 ★★★

El píxel de cristal líquido. Una celda nemática torcida entre polarizadores cruzados gira la polarización de la luz $90{}^{\circ}$ cuando no se aplica tensión (la alineación de las moléculas se retuerce a lo largo de la celda y la polarización la sigue — admitido), y nada en absoluto cuando unos pocos voltios la destuercen. (a) Transmisión en ambos estados: ¿cuál es el brillante? (b) Las celdas reales giran $90^\circ \pm 5^\circ$ a la longitud de onda de diseño: relación de contraste $I_{\text{claro}}/I_{\text{oscuro}}$ si el estado oscuro deja pasar luz por un error residual de $5{}^{\circ}$ . (c) ¿Por qué una celda diseñada para $550\,\mathrm{nm}$ deja escapar algo de azul y de rojo en el estado oscuro (piénsese en el giro como una pila de muchos retardadores finos parecidos a láminas de media onda)? (d) Un píxel en color usa tres celdas así con filtros; ¿por qué se ve negra la pantalla a través de un polarizador con cierto ángulo, y qué indica ese ángulo?

Solución

Solución de Ejercicio 13.11.

(a) Sin tensión: girada $90{}^{\circ}$ , pasa el polarizador cruzado: brillante; con tensión: oscuro. (b) Fuga $\sin^25^\circ = 7.6 \times 10^{-3}$ : contraste $130$ . (c) El giro funciona como una pila de retardadores cuyo $\delta \propto 1/\lambda$ : exacto a $550\,\mathrm{nm}$ , el giro se desvía en los extremos del espectro, que se cuelan — el estado oscuro se ve morado. (d) Cuando el polarizador exterior está cruzado con el polarizador de salida de la pantalla; ese ángulo es el eje de polarización de la pantalla.

Ejercicio 13.12 ★★★

Actividad óptica. En una disolución de azúcar, las dos polarizaciones circulares viajan con índices ligeramente distintos $n_L$ y $n_R$ . (a) Descompóngase una polarización lineal en componentes circulares y muéstrese que tras una longitud $\ell$ la polarización sigue siendo lineal pero girada un ángulo $\theta = \pi(n_L - n_R)\ell/\lambda$ . (b) Un tubo de $1\,\mathrm{dm}$ con una disolución de sacarosa de $0.10\,\mathrm{g}/\mathrm{mL}$ gira la luz de sodio $6.65{}^{\circ}$ : $n_L - n_R$ . (c) Un sacarímetro mide $\theta$ con $0.01{}^{\circ}$ : precisión sobre la concentración. (d) El mismo efecto lo produce en el vidrio un campo magnético según el haz (efecto Faraday, $\theta = VB\ell$ con $V \approx 4\,\mathrm{rad}\,\mathrm{T}^{-1}\,\mathrm{m}^{-1}$ ): ¿por qué un rotador de Faraday, a diferencia de un tubo de azúcar, no cancela su giro cuando la luz se devuelve, y cómo sirve eso para hacer un aislador?

Solución

Solución de Ejercicio 13.12.

(a) $\vect e_x = \tfrac12[(\vect e_x + \iu\vect e_y) + (\vect e_x - \iu\vect e_y)]$ ; tras $\ell$ las dos componentes tienen fases $k_L\ell$ y $k_R\ell$ , y se recomponen en luz lineal con el ángulo $(k_L - k_R)\ell/2 = \pi(n_L - n_R)\ell/\lambda$ . (b) $n_L - n_R = \theta\lambda/\pi\ell = 0.116 \times 589 \times 10^{-9}/0.314 = 2.2 \times 10^{-7}\,$ . (c) $0.01/6.65 \times 0.1 = 1.5 \times 10^{-4}\,\mathrm{g}/\mathrm{mL}$ . (d) El giro de Faraday lo fija $\vect B$ , no la dirección de propagación: en el viaje de vuelta se suma ( $45{}^{\circ}$ $+$ $45{}^{\circ}$ $=$ $90{}^{\circ}$ ) y el polarizador de entrada bloquea la luz que regresa — un aislador.

Unas gafas de sol polarizadas ante un lago: el reflejo, procedente de la superficie cerca del ángulo de Brewster y polarizado horizontalmente, lo corta el eje de transmisión vertical de las lentes, y se ve el fondo del lago.

13.5 Problema: la onda, la pantalla y la vela

Problema 13.1

Problema de fin de semana — un haz láser desmontado en sus campos, una pantalla que pinta con la polarización y una nave que navega sobre la luz

Parte I — El haz. Un láser de helio–neón emite $10\,\mathrm{mW}$ a $632.8\,\mathrm{nm}$ en un haz de $1.0\,\mathrm{mm}$ de diámetro, polarizado linealmente según $x$ y que viaja según $z$ .

Frecuencia, número de onda y energía del fotón; fotones emitidos por segundo.
Intensidad; amplitudes $E_0$ y $B_0$ ; escríbanse $\vect E(z, t)$ y $\vect B(z, t)$ .
Densidad de energía (media) y energía contenida en $1\,\mathrm{m}$ de haz; ¿cuánto mide el haz emitido en $1\,\mathrm{ns}$ y cuántas longitudes de onda contiene?
Vector de Poynting: valor medio y su oscilación; cantidad de movimiento transportada por segundo; fuerza sobre un blanco negro y sobre un espejo.
Compárese $E_0$ con el campo que liga al electrón en un átomo de hidrógeno ( $5 \times 10^{11}\,\mathrm{V}/\mathrm{m}$ ) y $B_0$ con el campo terrestre ( $50\,\text{µ}\mathrm{T}$ ).
Presión de radiación sobre un absorbente de haz negro, en pascales.
Un electrón libre colocado en el haz: amplitud de su oscilación de velocidad en el campo eléctrico (despréciese primero la fuerza magnética); cociente entre la fuerza magnética y la eléctrica sobre él — ¿por qué es despreciable la fuerza magnética para la materia en la luz ordinaria?
Escríbanse los campos del mismo haz si estuviera polarizado circularmente; ¿qué cambia en la intensidad, en el vector de Poynting y en su dependencia temporal?
El haz atraviesa un polarizador cuyo eje forma $30{}^{\circ}$ con $x$ : potencia transmitida; luego un segundo cruzado con el primero: potencia; intercálese entre ambos un tercero a $45{}^{\circ}$ del primero: potencia.

Parte II — La pantalla. Una pantalla de cristal líquido: retroiluminación (luz natural), un polarizador, la celda y un polarizador cruzado. Sin tensión la celda gira la polarización $90{}^{\circ}$ ; con tensión no hace nada.

Fracción de la intensidad de la retroiluminación transmitida en el estado brillante (con polarizadores perfectos); y en el oscuro.
Una tensión intermedia hace que la celda se comporte como un retardador de fase $\delta$ entre sus ejes, que están a $45{}^{\circ}$ de los polarizadores (sin giro): muéstrese que la transmisión vale $\sin^2(\delta/2)$ — la escala de grises.
Vista a través de un polarizador girado $90{}^{\circ}$ respecto del polarizador de salida de la pantalla, ¿qué se ve? ¿Y a $45{}^{\circ}$ ?
Una lámina de cuarto de onda pegada a la pantalla a $45{}^{\circ}$ de su polarizador hace circular la salida: ¿ventaja para un espectador con gafas de sol polarizadas?
Unos polarizadores perfectos dejarían pasar la mitad de la retroiluminación en el estado brillante; las láminas reales transmiten el $85\%$ de lo ideal cada una, y los filtros de color de un píxel dejan pasar un tercio de la luz: fracción de la potencia de la retroiluminación que llega al espectador en blanco; nómbrense los dos puntos donde se pierde casi toda la luz.
Unas láminas cruzadas reales dejan escapar el $0.1\%$ de la luz: relación de contraste de la pantalla (brillante entre oscuro) en una sala a oscuras.
Los “polarizadores circulares” de los fotógrafos son un polarizador lineal seguido de una lámina de cuarto de onda a $45{}^{\circ}$ : ¿qué recibe la cámara y por qué es eso mejor, para el divisor de haz sensible a la polarización de su enfoque automático, que la luz lineal?
¿Por qué usan las gafas de cine en 3D polarización circular y no lineal? ¿Qué le ocurre a la diafonía entre los ojos si el espectador inclina la cabeza $20{}^{\circ}$ con gafas lineales (intensidad que se cuela en el ojo equivocado)?

Parte III — La vela. Una vela solar de área $S = 1000\,\mathrm{m}^{2}$ y masa total $m = 50\,\mathrm{kg}$ , perfectamente reflectante, a $D = 1.0\,\mathrm{au} = 1.5 \times 10^{11}\,\mathrm{m}$ del Sol ( $I = 1.36\,\mathrm{kW}/\mathrm{m}^{2}$ ; gravedad solar allí, $5.9 \times 10^{-3}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ ).

Fuerza de radiación cuando la vela mira al Sol; aceleración; cociente con la gravedad solar.
La vela se inclina un ángulo $\theta$ respecto de mirar al Sol: muéstrese que la fuerza es normal a la vela y proporcional a $\cos^2\theta$ (potencia interceptada $\times\cos\theta$ , cambio de cantidad de movimiento según la normal $\times\cos\theta$ ).
Para ir en espiral hacia fuera, la vela mantiene una componente de fuerza según su velocidad orbital: para $\theta = 35{}^{\circ}$ , aceleración tangencial; celeridad ganada por año; compárese con la celeridad orbital de la Tierra ( $30\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ ).
¿Por qué la misma vela, cerca de Mercurio ( $D = 0.39\,\mathrm{au}$ ), recibe $6.6$ veces la fuerza, y por qué no cambia el cociente con la gravedad?
La película de la vela son $2\,\text{µ}\mathrm{m}$ de plástico aluminizado: temperatura que alcanza al sol si absorbe el $10\%$ y radia por ambas caras como un cuerpo negro ( $\sigma = 5.67 \times 10^{-8}\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}\,\mathrm{K}^{-4}$ ).
Tiempo necesario para ganar $1\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ mirando al Sol; ¿qué conseguiría una vela absorbente (negra) del mismo tamaño?
Compruébese la cantidad de movimiento de la luz con fotones: número de fotones que golpean la vela por segundo ( $2\,\mathrm{eV}$ de media) y cantidad de movimiento $hf/c$ de cada uno; recupérese la fuerza.
Resúmase: las tres magnitudes que transporta la onda (energía, cantidad de movimiento, polarización) y el dispositivo de este problema que explota cada una.

Solución

Solución de Problema 13.1.

1. $f = 4.74 \times 10^{14}\,\mathrm{Hz}$ , $k = 9.9 \times 10^{6}\,\mathrm{rad}/\mathrm{m}$ , $hf = 3.1 \times 10^{-19}\,\mathrm{J} = 1.96\,\mathrm{eV}$ ; $3.2 \times 10^{16}$ fotones por segundo.

2. $I = 0.01/\pi(0.5 \times 10^{-3})^2 = 1.3 \times 10^{4}\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$ ; $E_0 = 3.1\,\mathrm{kV}/\mathrm{m}$ , $B_0 = 10\,\text{µ}\mathrm{T}$ ; $\vect E = E_0\cos(\omega t - kz)\vect e_x$ , $\vect B = (E_0/c)\cos(\omega t - kz)\vect e_y$ .

3. $u = I/c = 4.2 \times 10^{-5}\,\mathrm{J}/\mathrm{m}^{3}$ ; $P/c = 3.3 \times 10^{-11}\,\mathrm{J}$ por metro de haz; $30\,\mathrm{cm}$ y $4.7 \times 10^5$ longitudes de onda.

4. $\langle\Pi\rangle = I$ según $z$ , oscilando como $\cos^2$ a $2f$ ; $P/c = 3.3 \times 10^{-11}\,\mathrm{N}$ sobre negro y $6.7 \times 10^{-11}\,\mathrm{N}$ sobre un espejo.

5. $E_0/5 \times 10^{11} = 6 \times 10^{-9}$ ; $B_0$ es una quinta parte del campo terrestre.

6. $I/c = 4.2 \times 10^{-5}\,\mathrm{Pa}$ .

7. $v_0 = eE_0/m\omega = 0.18\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; $F_m/F_e = v_0B_0/E_0 = v_0/c = 6 \times 10^{-10}$ : la fuerza magnética sobre cargas lentas es despreciable.

8. $\vect E = E_0[\cos(\omega t - kz)\vect e_x \pm \sin(\omega t - kz)\vect e_y]$ con $E_0 = 2.2\,\mathrm{kV}/\mathrm{m}$ (la misma potencia), $\vect B = \vect e_z\wedge\vect E/c$ : la intensidad no cambia, pero $\Pi = \varepsilon_0cE_0^2$ es ahora constante en el tiempo — el flujo de energía deja de pulsar.

9. $10\cos^230^\circ = 7.5\,\mathrm{mW}$ ; $0$ ; $7.5 \times \cos^445^\circ = 1.9\,\mathrm{mW}$ .

10. Brillante: $\tfrac12$ ; oscuro: $0$ .

11. Tras el primer polarizador, componentes iguales sobre los ejes; tras el retardador, una fase $\delta$ entre ellas; la proyección sobre la dirección cruzada vale $\propto(1 - \eu^{\iu\delta})/2$ : $I \propto \sin^2(\delta/2)$ .

12. Negro; media intensidad.

13. La salida circular se ve igual de brillante a través de unas gafas de sol polarizadas sea cual sea la inclinación de la cabeza.

14. $\tfrac12 \times 0.85 \times 0.85 \times \tfrac13 = 12\%$ ; el primer polarizador (la mitad absorbida) y los filtros de color (dos tercios).

15. Brillante $0.36$ , oscuro $\tfrac12 \times 10^{-3}$ : contraste $\approx 700$ .

16. Luz circular, sea cual sea el giro del filtro: el divisor sensible a la polarización recibe la misma potencia se gire como se gire el filtro.

17. La polarización circular conserva su helicidad cuando la cabeza se inclina; unas gafas lineales inclinadas $20{}^{\circ}$ dejan colarse $\sin^220^\circ = 12\%$ en el ojo equivocado.

18. $F = 2IS/c = 9.1\,\mathrm{mN}$ ; $a = 1.8 \times 10^{-4}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ ; el $3\%$ de la gravedad solar.

19. Potencia interceptada $\propto\cos\theta$ , cambio de cantidad de movimiento reflejada según la normal $2p\cos\theta$ : $F = (2IS/c)\cos^2\theta$ según la normal.

20. $F = 9.1 \times \cos^235^\circ = 6.1\,\mathrm{mN}$ , parte tangencial $F\sin35^\circ = 3.5\,\mathrm{mN}$ : $a_t = 7 \times 10^{-5}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ , $2.2\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ por año — el $7\%$ de la celeridad orbital.

21. $(1/0.39)^2 = 6.6$ ; la gravedad escala igual.

22. $0.1 \times 1360 = 2\sigma T^4$ : $T = 190\,\mathrm{K}$ — el espejo se mantiene frío.

23. $1000/1.8 \times 10^{-4} = 5.6 \times 10^{6}\,\mathrm{s}$ , dos meses; una vela negra recibe la mitad de la fuerza.

24. $1.36 \times 10^6/3.2 \times 10^{-19} = 4.3 \times 10^{21}\,$ fotones por segundo, cada uno con $hf/c = 1.1 \times 10^{-27}\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; al reflejarse: $2Np = 9.1\,\mathrm{mN}$ .

25. Energía ( $u$ , $I$ ): el absorbente de haz y el fotodiodo. Cantidad de movimiento ( $I/c$ ): la vela. Polarización (Malus, las láminas): la pantalla y sus polarizadores.

Términos definidos en este capítulo

Estados de polarización

Ver los 393 términos del glosario