Física universitaria — segundo año · Bachelor Year 2

30La ecuación de Schrödinger y las funciones de onda

Dispárense electrones de uno en uno contra un par de rendijas y regístrese dónde cae cada uno: un punto aquí, un punto allá, al parecer al azar — y tras diez mil puntos, las franjas del experimento de Young, como si cada electrón hubiera pasado por las dos rendijas e interferido consigo mismo. El último capítulo del volumen del primer año se encontró con esta rareza: la luz viene en fotones, la materia tiene una longitud de onda $\lambda = h/p$ , y la posición y el momento lineal no pueden ser ambos nítidos. Lo que no dio es la ecuación — la regla que dice cómo evoluciona la onda asociada a una partícula, como la ley de Newton dice cómo evoluciona una trayectoria. Esa ecuación es la de Schrödinger (1926), y con ella la descripción cuántica se vuelve una teoría calculable: se escribe una función de onda $\psi(x,t)$ , cuyo módulo al cuadrado es la probabilidad de encontrar la partícula, y se resuelve una ecuación en derivadas parciales lineal. Este capítulo enuncia la ecuación, explica qué significa $\psi$ y qué no, halla sus estados estacionarios y los paquetes de ondas de la partícula libre, y muestra dónde reaparece la mecánica de Newton — para todo lo que pese más que una molécula.

Un microscopio electrónico de transmisión: los electrones acelerados a cien kilovoltios tienen una longitud de onda de unos pocos picómetros, y su función de onda, enfocada por lentes magnéticas, forma imagen de los átomos de un cristal.

30.1 Lo que nos dejó el volumen del primer año

Proposición 30.1 (Las partículas son ondas)

Un fotón de frecuencia $\nu$ tiene la energía $E = h\nu = \hbar\omega$ y el momento lineal $p = h/\lambda = \hbar k$ ; una partícula material de momento $p$ se comporta como una onda de longitud de onda $\lambda = h/p$ (de Broglie), con $E = \hbar\omega$ y $p = \hbar k$ también — la difracción de electrones por cristales y la interferometría de neutrones e incluso de moléculas lo confirman; y ningún estado puede tener una posición y un momento más nítidos que $\Delta x\,\Delta p \ge \hbar/2$ (Heisenberg). Con $\hbar = h/2\pi = 1.05 \times 10^{-34}\,\mathrm{J}\,\mathrm{s}$ : un electrón de $100\,\mathrm{eV}$ tiene $\lambda = 0.12\,\mathrm{nm}$ , el tamaño de un átomo; un grano de polvo de $1 \times 10^{-15}\,\mathrm{kg}$ a $1\,\mathrm{mm}/\mathrm{s}$ tiene $\lambda = 7 \times 10^{-16}\,\mathrm{m}$ , menor que un núcleo — se comporta clásicamente.

Demostración. Recordado del volumen del primer año; la tarea ahora es la dinámica de la onda. ∎

Un patrón de difracción de electrones registrado en un microscopio electrónico (un patrón de Kikuchi de un cristal): electrones de unos picómetros de longitud de onda, difractados por los planos atómicos — la materia comportándose como una onda (NIST).

30.2 La función de onda

Definición 30.2 (Función de onda y regla de Born)

El estado de una partícula que se mueve según $x$ se describe con una función de onda compleja $\psi(x,t)$ tal que

\dd\mathcal P = |\psi(x,t)|^2\,\dd x

es la probabilidad de encontrar la partícula entre $x$ y $x + \dd x$ en el instante $t$ (regla de Born); de ahí la normalización $\int_{-\infty}^{\infty}|\psi|^2\dd x = 1$ , y los valores medios $\langle x\rangle = \int x|\psi|^2\dd x$ , $\Delta x^2 = \langle x^2\rangle - \langle x\rangle^2$ . Las funciones de onda obedecen al principio de superposición: si $\psi_1$ y $\psi_2$ son estados posibles, también lo es $\alpha\psi_1 + \beta\psi_2$ (normalizado), y las probabilidades contienen entonces el término de interferencia $2\operatorname{Re}(\alpha^*\beta\,\psi_1^*\psi_2)$ . Un factor de fase global $\eu^{\iu\theta}$ no cambia nada; una fase relativa entre dos componentes superpuestas cambia la interferencia.

Observación 30.3 (Lo que $\psi$ no es)

$\psi$ no es un campo clásico repartido por el espacio como $\vect E$ , ni una nube de materia: el electrón se encuentra siempre entero, en un punto. $\psi$ es una amplitud de probabilidad, el objeto que interfiere; solo se observa $|\psi|^2$ , y solo de forma estadística, repitiendo el experimento con partículas preparadas de forma idéntica. Los puntos de la doble rendija son electrones sueltos; las franjas son $|\psi_1 + \psi_2|^2$ .

30.3 La ecuación de Schrödinger

Teorema 30.4 (Ecuación de Schrödinger)

Una partícula de masa $m$ en la energía potencial $V(x)$ tiene una función de onda que obedece a

\iu\hbar\,\frac{\partial\psi}{\partial t} = -\frac{\hbar^2}{2m}\,\frac{\partial^2\psi}{\partial x^2} + V(x)\,\psi .

Es lineal (superposición), de primer orden en el tiempo (la función de onda en un instante la determina en todos los posteriores) y compleja ( $\psi$ no puede ser real: la $\iu$ es esencial). Es un postulado, justificado por sus consecuencias.

Demostración. Más una motivación que una demostración. Una partícula libre de momento nítido $p = \hbar k$ y energía $E = \hbar\omega$ debería ser una onda plana $\psi = A\eu^{\iu(kx - \omega t)}$ , para la que $\iu\hbar\partial_t\psi = \hbar\omega\psi = E\psi$ y $-(\hbar^2/2m)\partial_x^2\psi = (\hbar^2k^2/2m)\psi = (p^2/2m)\psi$ . La relación clásica $E = p^2/2m$ queda así reproducida por la ecuación $\iu\hbar\partial_t\psi = -(\hbar^2/2m)\partial_x^2\psi$ , y la generalización natural para $E = p^2/2m + V$ añade $V\psi$ . Nótese que la ecuación debe ser lineal para valer con superposiciones de ondas planas, y de primer orden en el tiempo con una $\iu$ para que la dependencia temporal sea $\eu^{-\iu\omega t}$ y no $\cos\omega t$ — una ecuación de ondas real daría $E^2 \propto p^4$ . ∎

Proposición 30.5 (Conservación de la probabilidad)

La densidad de probabilidad $\rho = |\psi|^2$ y la corriente de probabilidad

j = \frac{\hbar}{m}\operatorname{Im}\Big(\psi^*\frac{\partial\psi}{\partial x}\Big) = \frac{\hbar}{2\iu m}\Big(\psi^*\partial_x\psi - \psi\,\partial_x\psi^*\Big)

obedecen a $\partial_t\rho + \partial_xj = 0$ : la probabilidad ni se crea ni se destruye, y $\int|\psi|^2\dd x$ sigue valiendo $1$ . Para una onda plana $A\eu^{\iu kx}$ , $j = |A|^2\hbar k/m = \rho v$ : densidad por velocidad, como para cualquier flujo.

Demostración. $\partial_t(\psi^*\psi) = \psi^*\partial_t\psi + \psi\,\partial_t\psi^*$ ; a partir de la ecuación y de su conjugada, $\partial_t\psi = (\iu\hbar/2m)\partial_x^2\psi - (\iu/\hbar)V\psi$ , $\partial_t\psi^* = -(\iu\hbar/2m)\partial_x^2\psi^* + (\iu/\hbar)V\psi^*$ ; los términos en $V$ se cancelan y el resto vale $(\iu\hbar/2m)(\psi^* \partial_x^2\psi - \psi\,\partial_x^2\psi^*) = -\partial_xj$ . ∎

Proposición 30.6 (Momento lineal, valores medios y límite clásico)

El momento lineal de un estado se obtiene con el operador $\hat p = -\iu\hbar\,\partial_x$ (que da $\hbar k$ sobre una onda plana): $\langle p\rangle = \int\psi^*(-\iu\hbar\partial_x\psi)\dd x$ , y la energía con $\hat H = -(\hbar^2/2m)\partial_x^2 + V$ . Los valores medios obedecen (Ehrenfest) a

\frac{\dd\langle x\rangle}{\dd t} = \frac{\langle p\rangle}{m}, \qquad \frac{\dd\langle p\rangle}{\dd t} = -\Big\langle\frac{\dd V}{\dd x}\Big\rangle :

el centro del paquete de ondas sigue la ley de Newton exactamente cuando $V$ es a lo sumo cuadrático, y de forma aproximada siempre que el paquete sea estrecho frente a la escala en que varía $V$ — el límite clásico, que vale para cualquier objeto macroscópico porque $\hbar$ es tan pequeño.

Demostración. Derívese $\langle x\rangle = \int x|\psi|^2$ , úsese $\partial_t\rho = -\partial_xj$ e intégrese por partes: $\dd\langle x\rangle/\dd t = \int j\,\dd x = \langle p\rangle/m$ . La segunda relación es el mismo cálculo un orden más arriba (admitido aquí). ∎

30.4 Estados estacionarios

Teorema 30.7 (Estados estacionarios)

Si $V$ no depende del tiempo, la ecuación tiene soluciones de la forma separada

\psi(x,t) = \varphi(x)\,\eu^{-\iu Et/\hbar}, \qquad -\frac{\hbar^2}{2m}\,\varphi'' + V\varphi = E\varphi

(la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo): los estados estacionarios, de energía $E$ bien definida, cuya densidad de probabilidad $|\varphi|^2$ no se mueve. Las energías $E$ para las que $\varphi$ es aceptable (acotada y normalizable para un estado ligado) son los niveles de energía; la solución general es una superposición $\psi = \sum_nc_n\varphi_n(x)\eu^{-\iu E_nt/\hbar}$ , y una superposición de dos niveles tiene una densidad que oscila a la frecuencia de Bohr $\nu_{21} = (E_2 - E_1)/h$ — la frecuencia de la luz que el átomo emite o absorbe.

Demostración. Introdúzcase $\varphi(x)f(t)$ : $\iu\hbar f'/f = (-\hbar^2\varphi''/2m + V\varphi)/\varphi$ , una función de $t$ igual a una función de $x$ , luego una constante $E$ ; $f = \eu^{-\iu Et/\hbar}$ . Para dos niveles, $|c_1\varphi_1\eu^{-\iu E_1t/\hbar} + c_2\varphi_2\eu^{-\iu E_2t/\hbar}|^2 = |c_1\varphi_1|^2 + |c_2\varphi_2|^2 + 2\operatorname{Re}(c_1^*c_2\varphi_1^*\varphi_2\eu^{-\iu(E_2 - E_1)t/\hbar})$ . La completitud de los estados estacionarios se admite. ∎

Un estado estacionario: el perfil espacial (x) (aquí el estado fundamental de un pozo) multiplicado por un fasor que gira al ritmo E/; las partes real e imaginaria giran una hacia la otra mientras | |2 se queda quieta. — Un estado estacionario: el perfil espacial $\varphi(x)$ (aquí el estado fundamental de un pozo) multiplicado por un fasor que gira al ritmo $E/\hbar$ ; las partes real e imaginaria giran una hacia la otra mientras $|\psi|^2$ se queda quieta.

Una superposición de los dos estados más bajos de un pozo: la densidad se bambolea de un lado a otro a la frecuencia de Bohr (E_2 - E_1)/h — una carga que oscila y, por tanto (), un dipolo que radia exactamente a la frecuencia de la raya espectral. — Una superposición de los dos estados más bajos de un pozo: la densidad se bambolea de un lado a otro a la frecuencia de Bohr $(E_2 - E_1)/h$ — una carga que oscila y, por tanto (Capítulo 17), un dipolo que radia exactamente a la frecuencia de la raya espectral.

30.5 La partícula libre: ondas planas y paquetes de ondas

Proposición 30.8 (Partícula libre)

Para $V = 0$ los estados estacionarios son las ondas planas $\eu^{\iu(kx - \omega t)}$ con

E = \hbar\omega = \frac{\hbar^2k^2}{2m}, \qquad v_\varphi = \frac{\omega}{k} = \frac{\hbar k}{2m}, \qquad v_{\text{g}} = \frac{\dd\omega}{\dd k} = \frac{\hbar k}{m} = \frac{p}{m} :

las ondas de materia son dispersivas; la velocidad de fase no tiene sentido físico, y la velocidad de grupo es la velocidad de la partícula. Una onda plana no es normalizable — una partícula de momento perfectamente nítido está repartida por todo el espacio —, así que una partícula real es un paquete de ondas, una superposición de ondas planas en una banda $\Delta k$ , localizada en $\Delta x \sim 1/\Delta k$ , que se mueve a $v_{\text{g}}$ y se ensancha: un paquete gaussiano de anchura inicial $\sigma_0$ tiene en el instante $t$ la anchura

\sigma(t) = \sigma_0\sqrt{1 + \Big(\frac{\hbar t}{2m\sigma_0^2}\Big)^2}, \qquad \tau = \frac{2m\sigma_0^2}{\hbar} ,

y cumple $\Delta x\,\Delta p = \hbar/2$ en $t = 0$ (el mínimo permitido) y más después.

Demostración. La relación de dispersión se sigue de la ecuación; $v_{\text{g}}$ como en Capítulo 8. La fórmula del ensanchamiento sale de la síntesis de Fourier del paquete — cada componente $\eu^{\iu kx}$ recoge la fase $\eu^{-\iu\hbar k^2t/2m}$ , y la integral gaussiana con un coeficiente complejo da una gaussiana de anchura creciente; la integral de Fourier es la herramienta del volumen de matemáticas del tercer año y admitimos el resultado. Físicamente: el paquete contiene momentos repartidos en $\Delta p = \hbar/2\sigma_0$ , luego velocidades repartidas en $\Delta v = \hbar/2m\sigma_0$ , y tras un tiempo $t$ las componentes más rápidas han adelantado a las más lentas en $\Delta v\,t$ — la fórmula dice exactamente esto. ∎

A la izquierda, la curva de dispersión de la partícula libre, con la velocidad de grupo (tangente) y la velocidad de fase (cuerda hasta el origen), la mitad de aquella. A la derecha, un paquete gaussiano que se mueve a v_ g y se ensancha — con su anchura √2 veces mayor tras = 2m _02/, su pico más bajo y su área constante. — A la izquierda, la curva de dispersión de la partícula libre, con la velocidad de grupo (tangente) y la velocidad de fase (cuerda hasta el origen), la mitad de aquella. A la derecha, un paquete gaussiano que se mueve a $v_{\text{g}}$ y se ensancha — con su anchura $\sqrt2$ veces mayor tras $\tau = 2m\sigma_0^2/\hbar$ , su pico más bajo y su área constante.

Ejemplo 30.9 (Quién se ensancha)

Un electrón localizado en $\sigma_0 = 1\,\mathrm{nm}$ : $\tau = 2m\sigma_0^2/\hbar = 1.7 \times 10^{-14}\,\mathrm{s}$ — tras un nanosegundo su paquete mide $60\,\text{µ}\mathrm{m}$ de ancho: un electrón dejado a solas no se queda quieto; ligado en un átomo no se ensancha porque el potencial lo sujeta (un estado estacionario). Un grano de polvo de $1 \times 10^{-15}\,\mathrm{kg}$ localizado en $1\,\text{µ}\mathrm{m}$ : $\tau = 2 \times 10^{7}\,\mathrm{s}$ , ocho meses; una bala: más que la edad del universo. El ensanchamiento cuántico es real, e invisible para todo lo que puede verse.

Observación 30.10 (Energía y tiempo)

Un estado que solo existe durante $\Delta t$ — un átomo excitado de vida media $\tau$ , un tren de ondas de longitud $c\tau$ — es una superposición de energías repartidas en $\Delta E \sim \hbar/\Delta t$ : la relación de Fourier de Capítulo 18 entre la duración de un tren y su anchura espectral, aplicada ahora a $E = \hbar\omega$ . Un nivel atómico de vida media $10\,\mathrm{ns}$ tiene una anchura $\Delta E = 7 \times 10^{-8}\,\mathrm{eV}$ , una anchura natural de raya de $16\,\mathrm{MHz}$ ; la anchura Doppler de Capítulo 23 ( $1.5\,\mathrm{GHz}$ ) la esconde en un gas, pero no en un átomo frío o un ion en reposo.

Método 30.11 (Cómo trabajar con funciones de onda)

(1) Normalícese; las probabilidades son $\int|\psi|^2$ sobre la región. (2) Con $V$ independiente del tiempo: búsquese $\varphi(x)\eu^{-\iu Et/\hbar}$ , resuélvase la ecuación estacionaria e impónganse las condiciones de contorno — los niveles. (3) Superpónganse estados estacionarios para la evolución; dos niveles baten a $(E_2 - E_1)/h$ . (4) Movimiento libre: $v_{\text{g}} = p/m$ , tiempo de ensanchamiento $2m\sigma_0^2/\hbar$ . (5) Corrientes: $j = (\hbar/m)\operatorname{Im}(\psi^*\psi')$ ; para $A\eu^{\iu kx} + B\eu^{-\iu kx}$ , $j = (|A|^2 - |B|^2)\hbar k/m$ (sin término cruzado). (6) Límite clásico: Ehrenfest, y $\lambda$ frente al tamaño del aparato.

30.6 Ejercicios

Ejercicio 30.1 ★

Longitudes de onda de De Broglie: un electrón de $100\,\mathrm{eV}$ , de $10\,\mathrm{keV}$ y de $100\,\mathrm{keV}$ (úsese $p = \sqrt{2mE}$ y dígase después por qué el último necesita una corrección); un neutrón térmico ( $25\,\mathrm{meV}$ , $m = 1.67 \times 10^{-27}\,\mathrm{kg}$ ); una molécula de C $_{60}$ ( $m = 1.2 \times 10^{-24}\,\mathrm{kg}$ ) a $200\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; y una pelota de tenis. ¿Cuáles de ellos muestran interferencias?

Solución

Solución de Ejercicio 30.1.

$h/\sqrt{2mE}$ : $0.123\,\mathrm{nm}$ , $12.3\,\mathrm{pm}$ , $3.9\,\mathrm{pm}$ (a $100\,\mathrm{keV}$ la energía cinética es un quinto de $mc^2$ ; el momento relativista da $3.7\,\mathrm{pm}$ ); neutrón $0.18\,\mathrm{nm}$ ; C $_{60}$ $2.8\,\mathrm{pm}$ ; pelota de tenis, $\sim 10^{-34}\,\mathrm{m}$ . Todos salvo la pelota han mostrado interferencias.

Ejercicio 30.2 ★

$\psi(x) = A\eu^{-x^2/2a^2}$ : $A$ (úsese $\int\eu^{-u^2}\dd u = \sqrt\pi$ ); $\langle x\rangle$ , $\Delta x$ ; probabilidad de encontrar la partícula en $|x| < a$ ( $\operatorname{erf}(1) = 0.84$ ) y en $|x| < 2a$ ( $0.9995$ ).

Solución

Solución de Ejercicio 30.2.

$A = (\pi a^2)^{-1/4}$ ; $\langle x\rangle = 0$ , $\Delta x = a/\sqrt2$ ; $0.84$ ; $0.9995$ .

Ejercicio 30.3 ★

Compruébese que $\varphi(x)\eu^{-\iu Et/\hbar}$ resuelve la ecuación cuando $\varphi$ resuelve la estacionaria. Frecuencia del fasor para $E = 1\,\mathrm{eV}$ ; para una superposición de dos niveles separados $2\,\mathrm{eV}$ , frecuencia y longitud de onda de la oscilación de $|\psi|^2$ — y de la luz emitida.

Solución

Solución de Ejercicio 30.3.

La sustitución da $E\varphi = -(\hbar^2/2m)\varphi'' + V\varphi$ . $E/h = 2.4 \times 10^{14}\,\mathrm{Hz}$ ; $4.8 \times 10^{14}\,\mathrm{Hz}$ , $620\,\mathrm{nm}$ : la luz roja que emite la transición.

Ejercicio 30.4 ★

Tiempo de ensanchamiento $\tau = 2m\sigma_0^2/\hbar$ y anchura tras $1\,\mathrm{ns}$ y $1\,\mathrm{s}$ : un electrón con $\sigma_0 = 1\,\mathrm{nm}$ y con $\sigma_0 = 1\,\mathrm{mm}$ ; un protón con $\sigma_0 = 1\,\mathrm{nm}$ ; un grano de $1 \times 10^{-12}\,\mathrm{kg}$ con $\sigma_0 = 1\,\text{µ}\mathrm{m}$ . ¿Por qué se quedan las cosas donde se dejan?

Solución

Solución de Ejercicio 30.4.

Electrón, $1\,\mathrm{nm}$ : $\tau = 1.7 \times 10^{-14}\,\mathrm{s}$ , $60\,\text{µ}\mathrm{m}$ tras $1\,\mathrm{ns}$ y $60\,\mathrm{km}$ tras $1\,\mathrm{s}$ ; con $1\,\mathrm{mm}$ : $\tau = 17\,\mathrm{s}$ , sin cambio tras $1\,\mathrm{ns}$ y $+0.2\%$ tras $1\,\mathrm{s}$ ; protón, $1\,\mathrm{nm}$ : $\tau = 3.2 \times 10^{-11}\,\mathrm{s}$ , $30\,\mathrm{nm}$ y $30\,\mathrm{m}$ ; grano: $\tau = 600$ años. Para los objetos visibles $\tau$ es astronómico — y su entorno los relocaliza sin cesar.

Ejercicio 30.5 ★★

Corriente. (a) Dedúzcase la ecuación de continuidad. (b) $j$ para $A\eu^{\iu kx}$ , para $A\sin kx$ y para $A\eu^{\iu kx} + B\eu^{-\iu kx}$ . (c) ¿Por qué es la ausencia de término cruzado en el último caso la afirmación de que los flujos reflejado e incidente simplemente se restan? (d) Muéstrese que para una función de onda real $j = 0$ : un estado estacionario ligado no lleva corriente.

Solución

Solución de Ejercicio 30.5.

(a) Proposición 30.5. (b) $|A|^2\hbar k/m$ ; $0$ ; $(|A|^2 - |B|^2)\hbar k/m$ . (c) Los flujos incidente y reflejado se restan sin término de interferencia: los coeficientes de transmisión y de reflexión pueden definirse a partir de los flujos. (d) $\psi^*\psi'$ es real y su parte imaginaria, nula.

Ejercicio 30.6 ★★

Un paquete gaussiano. $\psi(x,0) = A\eu^{\iu k_0x}\eu^{-x^2/4\sigma^2}$ . (a) $A$ , $\langle x\rangle$ , $\Delta x$ . (b) $\langle p\rangle$ con $\hat p = -\iu\hbar\partial_x$ . (c) Admitiendo $\Delta p = \hbar/2\sigma$ , compruébese $\Delta x\Delta p = \hbar/2$ . (d) Demuéstrese $\dd\langle x\rangle/\dd t = \langle p\rangle/m$ a partir de la ecuación de continuidad.

Solución

Solución de Ejercicio 30.6.

(a) $A = (2\pi\sigma^2)^{-1/4}$ , $\langle x\rangle = 0$ , $\Delta x = \sigma$ . (b) $\hbar k_0$ . (c) $\sigma \times \hbar/2\sigma = \hbar/2$ . (d) $\dd\langle x\rangle/\dd t = \int x\, \partial_t\rho = -\int x\,\partial_xj = \int j = (\hbar/m)\operatorname{Im}\int\psi^* \psi' = \langle p\rangle/m$ .

Ejercicio 30.7 ★★

Electrones en un tubo. Unos electrones acelerados con $100\,\mathrm{V}$ recorren $30\,\mathrm{cm}$ . (a) Celeridad, longitud de onda y tiempo de vuelo. (b) Velocidades de fase y de grupo; ¿cuál es la del electrón? (c) Un paquete inicialmente de $10\,\text{µ}\mathrm{m}$ de ancho: tiempo de ensanchamiento y anchura a la llegada. (d) Difracción por una abertura de $0.3\,\mathrm{mm}$ por el camino: apertura angular y mancha en la pantalla. ¿Vale la imagen de los rayos?

Solución

Solución de Ejercicio 30.7.

(a) $5.9 \times 10^{6}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , $0.123\,\mathrm{nm}$ , $51\,\mathrm{ns}$ . (b) $v_\varphi = 3.0 \times 10^{6}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , $v_{\text{g}} = 5.9 \times 10^{6}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ : esta última. (c) $\tau = 1.7\,\text{µ}\mathrm{s} \gg 51\,\mathrm{ns}$ : sin cambio. (d) $\lambda/a = 4 \times 10^{-7}\,\mathrm{rad}$ , $0.1\,\text{µ}\mathrm{m}$ : los rayos van bien.

Ejercicio 30.8 ★★

Fases. (a) Muéstrese que $\psi$ y $\eu^{\iu\theta}\psi$ dan las mismas predicciones. (b) Para $\psi = (\psi_1 + \eu^{\iu\alpha}\psi_2)/\sqrt2$ , escríbase $|\psi|^2$ y muéstrese que $\alpha$ importa. (c) En la doble rendija, ¿qué son $\psi_1$ y $\psi_2$ , y qué fija su fase relativa en un punto de la pantalla? (d) ¿Por qué destruye las franjas detectar por qué rendija pasó el electrón (cualitativamente)?

Solución

Solución de Ejercicio 30.8.

(a) $|\psi|^2$ y todos los valores medios no cambian. (b) $\tfrac12(|\psi_1|^2 + |\psi_2|^2) + \operatorname{Re}(\eu^{\iu\alpha}\psi_1^*\psi_2)$ . (c) Las ondas de las dos rendijas; su fase relativa vale $k(r_2 - r_1)$ . (d) El detector acaba en estados distintos para los dos caminos; las dos componentes ya no interfieren, y el patrón es la suma de dos patrones de una sola rendija.

Ejercicio 30.9 ★★

Ehrenfest. (a) Para $V = \tfrac12m\omega^2x^2$ , muéstrese que $\langle x\rangle$ obedece exactamente a $\ddot{\langle x\rangle} = -\omega^2\langle x\rangle$ . (b) Para $V = mgx$ , $\langle x\rangle$ cae como una piedra. (c) Para un $V$ general, ¿cuándo vale $\langle V'(x)\rangle \approx V'(\langle x\rangle)$ ? (d) Una bolita de $1\,\mathrm{g}$ en un cuenco: estímese el tamaño de paquete que haría falta para que fuese “cuántica” y compárese con un átomo.

Solución

Solución de Ejercicio 30.9.

(a) $\langle V'\rangle = m\omega^2\langle x\rangle$ : exacto. (b) $\langle V'\rangle = mg$ : exacto. (c) Cuando el paquete es estrecho frente a la escala en la que varía $V''$ . (d) Su longitud de onda a $0.1\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ vale $10^{-29}\,\mathrm{m}$ ; el paquete tendría que ser tan ancho como el cuenco para importar. La longitud de onda térmica de un átomo, $0.1\,\mathrm{nm}$ , es su propio tamaño.

Ejercicio 30.10 ★★★

El bamboleo. En una caja $0 < x < L$ de paredes impenetrables, los estados estacionarios son $\varphi_n = \sqrt{2/L}\sin(n\pi x/L)$ , $E_n = n^2h^2/8mL^2$ (Capítulo 31). Tómese $\psi = (\varphi_1\eu^{-\iu E_1t/\hbar} + \varphi_2\eu^{-\iu E_2t/\hbar})/\sqrt2$ . (a) $|\psi|^2$ en función del tiempo. (b) Muéstrese que $\langle x\rangle = L/2 - (16L/9\pi^2)\cos\omega_{21}t$ (úsese $\int_0^L x\sin(\pi x/L)\sin(2\pi x/L)\dd x = -8L^2/9\pi^2$ ). (c) Electrón con $L = 1\,\mathrm{nm}$ : $E_2 - E_1$ , la frecuencia y la longitud de onda de la oscilación. (d) ¿Qué hace una carga que oscila (Capítulo 17)? Conclúyase sobre las rayas espectrales.

Solución

Solución de Ejercicio 30.10.

(a) $\tfrac12(\varphi_1^2 + \varphi_2^2) + \varphi_1\varphi_2\cos\omega_{21}t$ . (b) $L/2 + \cos\omega_{21}t\int x\varphi_1\varphi_2 = L/2 - (16L/9\pi^2)\cos\omega_{21}t$ . (c) $3h^2/8mL^2 = 1.13\,\mathrm{eV}$ , $2.7 \times 10^{14}\,\mathrm{Hz}$ , $1.1\,\text{µ}\mathrm{m}$ . (d) Radia a $\nu_{21}$ : la raya; un estado estacionario puro no tiene dipolo oscilante y no radia.

Ejercicio 30.11 ★★★

El ensanchamiento, deducido. El paquete $\psi(x,0) \propto \eu^{-x^2/4\sigma_0^2}$ es la superposición $\int g(k)\eu^{\iu kx}\dd k$ con $g(k) \propto \eu^{-\sigma_0^2k^2}$ (admitido: la transformada de Fourier de una gaussiana es una gaussiana, de anchura $1/2\sigma_0$ en $k$ ). (a) Escríbase $\psi(x,t)$ dando a cada componente su fase $\eu^{-\iu\hbar k^2t/2m}$ . (b) Complétese el cuadrado en el exponente y admítase $\int\eu^{-\alpha k^2 + \beta k}\dd k = \sqrt{\pi/\alpha}\, \eu^{\beta^2/4\alpha}$ para $\alpha$ complejo de parte real positiva: muéstrese que $|\psi|^2$ es una gaussiana de anchura $\sigma(t) = \sigma_0\sqrt{1 + (\hbar t/2m \sigma_0^2)^2}$ . (c) Interprétese $\tau$ mediante $\Delta v = \Delta p/m$ . (d) ¿Por qué no se ensancha en el vacío un paquete de fotones?

Solución

Solución de Ejercicio 30.11.

(a) $\psi \propto \int\eu^{-\sigma_0^2k^2}\eu^{\iu(kx - \hbar k^2t/2m)}\dd k$ . (b) $\alpha = \sigma_0^2 + \iu\hbar t/2m$ , $\beta = \iu x$ : $|\psi|^2 \propto \exp[-x^2/2\sigma_0^2(1 + (\hbar t/2m\sigma_0^2)^2)]$ . (c) $\Delta v = \hbar/2m\sigma_0$ , y $\Delta v\,\tau = \sigma_0$ . (d) $\omega = ck$ : sin dispersión, todas las componentes a $c$ .

Ejercicio 30.12 ★★★

Energía y tiempo. (a) Un estado que decae como $\eu^{-t/2\tau}\eu^{-\iu E_0t/\hbar}$ (con probabilidad $\eu^{-t/\tau}$ ) es una superposición de energías: admitiendo que su distribución de energías es una lorentziana de anchura total $\Gamma = \hbar/\tau$ , dese $\Gamma$ para $\tau = 10\,\mathrm{ns}$ (un átomo), $1 \times 10^{-8}\,\mathrm{s}$ y $1 \times 10^{-23}\,\mathrm{s}$ (una resonancia hadrónica, en MeV). (b) Anchura natural de raya del nivel de $10\,\mathrm{ns}$ en frecuencia; compárese con la anchura Doppler de $1.5\,\mathrm{GHz}$ . (c) ¿Cómo se ve la anchura natural (átomos fríos, iones atrapados)? (d) Relaciónese con la longitud de coherencia del tren de ondas emitido.

Solución

Solución de Ejercicio 30.12.

(a) $\Gamma = \hbar/\tau$ : $6.6 \times 10^{-8}\,\mathrm{eV}$ ; $6.6 \times 10^{-8}\,\mathrm{eV}$ ; $66\,\mathrm{MeV}$ . (b) $1/2\pi\tau = 16\,\mathrm{MHz}$ , cien veces menos que la Doppler. (c) En los átomos fríos y los iones atrapados la anchura Doppler desaparece y se alcanza la anchura natural — la base de los patrones de frecuencia. (d) $c\tau = 3\,\mathrm{m}$ , la longitud del tren.

30.7 Problema: el electrón en un tubo y el ensanchamiento de un paquete de ondas

Problema 30.1

Problema de fin de semana — cuándo es partícula un electrón y cuándo onda

Datos: $h = 6.63 \times 10^{-34}\,\mathrm{J}\,\mathrm{s}$ , $\hbar = 1.05 \times 10^{-34}\,\mathrm{J}\,\mathrm{s}$ , $m_{\text{e}} = 9.11 \times 10^{-31}\,\mathrm{kg}$ , $e = 1.60 \times 10^{-19}\,\mathrm{C}$ , $m_{\text{p}} = 1.67 \times 10^{-27}\,\mathrm{kg}$ .

Parte I — El tubo de rayos catódicos. Los electrones salen de un cátodo caliente con energía despreciable, se aceleran con $U = 20\,\mathrm{kV}$ , pasan por una abertura de $0.3\,\mathrm{mm}$ y golpean una pantalla a $40\,\mathrm{cm}$ .

Celeridad y momento lineal (no relativistas); longitud de onda de De Broglie.
La energía cinética es el $4\%$ de $mc^2$ : ¿es aceptable el tratamiento no relativista para este problema?
Tiempo de vuelo hasta la pantalla.
Difracción por la abertura: apertura angular $\sim\lambda/a$ y la mancha que produce en la pantalla; compárese con un píxel ( $0.3\,\mathrm{mm}$ ).
Heisenberg en la abertura: $\Delta p_y \gtrsim \hbar/2a$ da la misma apertura — compruébese.
Un paquete de $0.3\,\mathrm{mm}$ de ancho a lo largo del haz: tiempo de ensanchamiento $2m\sigma_0^2/\hbar$ y anchura en la pantalla.
Unas placas deflectoras aplican una fuerza transversal: por Ehrenfest, ¿cómo se mueve $\langle y\rangle$ ? Conclúyase que el tubo es un aparato clásico.
Velocidad de fase de la onda del electrón; ¿por qué no es paradójico que difiera de la celeridad del electrón?

Parte II — Paquetes de ondas.

Para un paquete gaussiano de anchura $\sigma_0$ : $\Delta p$ y la dispersión de velocidades $\Delta v$ .
Tiempo de ensanchamiento de un electrón con $\sigma_0 = 0.1\,\mathrm{nm}$ , $1\,\mathrm{nm}$ y $1\,\text{µ}\mathrm{m}$ ; de un protón con $1\,\mathrm{nm}$ ; y de un virus ( $1 \times 10^{-17}\,\mathrm{kg}$ ) con $10\,\mathrm{nm}$ .
Un electrón de un átomo de hidrógeno está localizado en $0.1\,\mathrm{nm}$ y no se ensancha: ¿por qué?
Un electrón libre de $1\,\mathrm{eV}$ con $\sigma_0 = 1\,\mathrm{nm}$ : ¿cuánto recorre antes de duplicar su anchura? Compárese con la longitud de onda.
En un metal, los electrones de conducción son ondas de $\lambda \approx 0.5\,\mathrm{nm}$ por todo el cristal: ¿en qué sentido están “deslocalizados”?
Un microscopio electrónico a $100\,\mathrm{keV}$ tiene $\lambda \approx 4\,\mathrm{pm}$ y sin embargo solo resuelve $0.1\,\mathrm{nm}$ : ¿por qué (sus lentes magnéticas admiten un semiángulo de unos $10\,\mathrm{mrad}$ )?
Dese el criterio que decide si un objeto debe tratarse con una función de onda o con Newton.

Parte III — Estados estacionarios y transiciones. Un electrón está confinado en $0 < x < L = 1\,\mathrm{nm}$ ; $\varphi_n = \sqrt{2/L}\sin(n\pi x/L)$ , $E_n = n^2h^2/8mL^2$ .

$E_1$ , $E_2$ y $E_3$ en electronvoltios; las frecuencias de Bohr $\nu_{21}$ y $\nu_{31}$ y las longitudes de onda.
Compruébese que $|\varphi_n\eu^{-\iu E_nt/\hbar}|^2$ no depende del tiempo; ¿dónde es más probable encontrar el electrón en el estado fundamental?
Para $\psi = (\varphi_1\eu^{-\iu E_1t/\hbar} + \varphi_2\eu^{-\iu E_2t/\hbar})/ \sqrt2$ : $|\psi|^2$ en $t = 0$ y en $t = T_{21}/2$ ; dibújese.
$\langle x\rangle(t)$ (dado $\int_0^Lx\varphi_1\varphi_2\dd x = -16L/9\pi^2$ ): amplitud del bamboleo.
El dipolo oscilante $e\langle x\rangle$ radia: ¿a qué frecuencia, y qué dice eso sobre las rayas espectrales y sobre la estabilidad de los estados estacionarios?
Energía del estado $\psi$ : ¿es $E_1$ , $E_2$ u otra cosa? ¿Qué da una medida?

Parte IV — Interpretación.

En el experimento de la doble rendija con un electrón cada vez, ¿qué es aleatorio y qué no?
Escríbase la corriente de probabilidad de $A\eu^{\iu kx}$ y relaciónese con un haz de $n$ electrones por unidad de longitud a la celeridad $v$ .
¿Por qué debe ser compleja y de primer orden en el tiempo la ecuación de Schrödinger (dos razones)?
Resúmase en cinco líneas: la función de onda, la ecuación, los estados estacionarios, el paquete y el límite clásico.

Solución

Solución de Problema 30.1.

1. $v = \sqrt{2eU/m} = 8.4 \times 10^{7}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; $p = 7.6 \times 10^{-23}\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; $\lambda = 8.7\,\mathrm{pm}$ .

2. Errores de un pequeño porcentaje: aceptable para estimaciones ( $\lambda = 8.6\,\mathrm{pm}$ exactamente).

3. $4.8\,\mathrm{ns}$ .

4. $\lambda/a = 3 \times 10^{-8}\,\mathrm{rad}$ : $12\,\mathrm{nm}$ — $10^4$ veces menor que un píxel.

5. $\Delta\theta = \Delta p_y/p \sim \hbar/2ap = \lambda/4\pi a$ : el mismo orden.

6. $\tau = 1.6\,\mathrm{ms} \gg 4.8\,\mathrm{ns}$ : sin cambio.

7. $\dd\langle p_y\rangle/\dd t = eE$ exactamente para un campo uniforme: $\langle y\rangle$ sigue la parábola clásica; el tubo es un instrumento clásico.

8. $v/2 = 4.2 \times 10^{7}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; solo la velocidad de grupo es observable; la fase de una onda plana no lleva señal (y depende del cero arbitrario de energías).

9. $\Delta p = \hbar/2\sigma_0$ , $\Delta v = \hbar/2m\sigma_0$ .

10. $1.7 \times 10^{-16}\,\mathrm{s}$ , $1.7 \times 10^{-14}\,\mathrm{s}$ , $1.7 \times 10^{-8}\,\mathrm{s}$ ; protón $3.2 \times 10^{-11}\,\mathrm{s}$ ; virus $20\,\mathrm{s}$ .

11. Está en un estado estacionario: el potencial sujeta el paquete y $|\varphi|^2$ no se mueve.

12. $v = 5.9 \times 10^{5}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; se duplica en $t = \sqrt3\tau = 2.9 \times 10^{-14}\,\mathrm{s}$ : $17\,\mathrm{nm}$ , unas catorce longitudes de onda.

13. Sus funciones de onda se extienden por todo el cristal: un momento definido y ninguna posición definida.

14. Resolución $\sim\lambda/\alpha = 4\,\mathrm{pm}/0.01 = 0.4\,\mathrm{nm}$ : lo que limita es la abertura por las aberraciones de las lentes magnéticas, no la longitud de onda.

15. Compárese $\lambda$ con los tamaños en juego (aberturas, la escala de $V$ ), y el tiempo de ensanchamiento con el tiempo de observación.

16. $0.38\,$ , $1.50\,$ , $3.38\,\mathrm{eV}$ ; $\nu_{21} = 2.7 \times 10^{14}\,\mathrm{Hz}$ ( $1.1\,\text{µ}\mathrm{m}$ ), $\nu_{31} = 7.3 \times 10^{14}\,\mathrm{Hz}$ ( $410\,\mathrm{nm}$ ).

17. El fasor tiene módulo uno; en $x = L/2$ .

18. En $t = 0$ la densidad se amontona en la mitad izquierda, y en $T_{21}/2$ en la derecha.

19. $\langle x\rangle = L/2 - (16L/9\pi^2)\cos\omega_{21}t$ : amplitud $0.18L = 0.18\,\mathrm{nm}$ .

20. A $\nu_{21}$ : la raya espectral; un estado estacionario no tiene dipolo oscilante y es estable; la superposición radia hasta caer a $\varphi_1$ .

21. No es definida: $\langle E\rangle = (E_1 + E_2)/2 = 0.94\,\mathrm{eV}$ ; una medida da $E_1$ o $E_2$ , cada uno con probabilidad un medio.

22. Aleatorio: dónde cae cada electrón; no aleatorio: el patrón $|\psi|^2$ que construyen las caídas.

23. $j = |A|^2\hbar k/m$ : con $|A|^2 = n$ electrones por unidad de longitud, $nv$ electrones por segundo.

24. De primer orden para que $\psi(x,0)$ sea una descripción completa que fija el futuro; compleja para que una energía definida tenga la única dependencia temporal $\eu^{-\iu Et/\hbar}$ y salga $E = p^2/2m$ .

25. $\psi$ es la amplitud cuyo cuadrado es la probabilidad; obedece a la ecuación lineal de Schrödinger; los estados estacionarios llevan un fasor y densidades fijas; un paquete libre se mueve a $p/m$ y se ensancha en $2m\sigma_0^2/\hbar$ ; y Ehrenfest devuelve a Newton para lo grande.

Términos definidos en este capítulo

Función de onda y regla de Born

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