Física universitaria — tercer año · Bachelor Year 3

4Cinemática relativista

Los rayos cósmicos que golpean la alta atmósfera crean muones a quince kilómetros de altura — partículas inestables que viven, en promedio, dos microsegundos. Dos microsegundos a una velocidad próxima a la de la luz son seiscientos metros; y, sin embargo, los detectores de muones a nivel del mar suenan sin descanso, contando partículas que han recorrido veinte veces su alcance asignado. La resolución de esta paradoja no es un detalle de la física de partículas, sino una revisión de los conceptos que sostienen toda la física: el tiempo transcurre de otro modo para el muon en movimiento que para nosotros, y las distancias se encogen en la dirección de su marcha. Este capítulo construye esa revisión — la relatividad especial (Einstein, 1905) — a partir de sus dos postulados: las leyes de la física son las mismas en todo sistema inercial, y la luz en el vacío tiene la misma velocidad en todos ellos. Todo lo demás se sigue de una cinemática honrada: el enlace del espacio con el tiempo en la transformación de Lorentz, la dilatación del tiempo, la contracción de las longitudes, la nueva regla para componer velocidades y la geometría — el espacio-tiempo y su intervalo invariante — en la que todo ello resulta tan natural como una rotación.

4.1 Dos postulados contra el tiempo absoluto

Observación 4.1 (De dónde viene el conflicto)

La mecánica siempre ha tenido un principio de relatividad: dentro de un barco que navega con suavidad, ningún experimento con bolas y péndulos delata el movimiento (Galileo), y las leyes de Newton valen en todo sistema inercial, es decir, en los sistemas que se mueven unos respecto de otros con velocidad constante. Pero el electromagnetismo del volumen del Año 2 deduce una velocidad definida para la luz, $c = 1/\sqrt{\varepsilon_0\mu_0} = 3.00 \times 10^{8}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , a partir de constantes de la naturaleza y sin mencionar quién la mide — y los experimentos coinciden: la velocidad de la luz estelar que llega a la Tierra en movimiento, medida a lo largo de las estaciones, no varía jamás (Michelson y Morley, 1887, y todos sus sucesores desde entonces). La cinemática galileana, en la que las velocidades se suman, no puede digerir una velocidad que es la misma para todos. Algo tiene que ceder, y es nuestra suposición de que el tiempo y la simultaneidad son absolutos.

Teorema 4.2 (Los postulados de la relatividad especial)

(i) Relatividad: las leyes de la física toman la misma forma en todo sistema inercial; ningún experimento distingue el reposo del movimiento uniforme. (ii) Luz: la luz en el vacío se propaga con la misma velocidad $c$ en todo sistema inercial, cualquiera que sea el movimiento de la fuente o del observador.

Demostración. Admitido a este nivel. ∎

Definición 4.3 (Sucesos y simultaneidad)

Un suceso es un acontecimiento puntual: un lugar definido y un instante definido — una chispa, el chasquido de un detector, una desintegración. Cada sistema inercial le asigna las coordenadas $(t, x, y, z)$ , con reglas en reposo en el sistema y relojes sincronizados repartidos por él. Dos sucesos son simultáneos en un sistema cuando los relojes de ese sistema les asignan el mismo $t$ — y la primera víctima de los postulados es que esa noción depende del sistema.

Ejemplo 4.4 (El tren y los dos rayos)

Sendos rayos caen en los dos extremos de un tren veloz y dejan marcas en el tren y en la vía. Para la observadora del suelo, situada a medio camino entre las marcas, los dos destellos llegan a la vez: los impactos fueron simultáneos para ella. El pasajero sentado en el punto medio del tren, en cambio, avanza hacia un destello y se aleja del otro; como en su sistema la luz también va a $c$ , el destello delantero le llega antes — y, puesto que él está a igual distancia de las dos marcas del tren, debe concluir que el impacto delantero ocurrió antes. Ninguno se equivoca: la simultaneidad de sucesos separados no es un hecho del mundo, sino del sistema. Toda “paradoja” relativista se disuelve aquí.

Dos impactos que marcan a la vez el tren y la vía. La observadora del suelo, a medio camino entre las marcas, recibe juntos los destellos: simultáneos para ella. El pasajero corre al encuentro del destello B, que le llega antes y — estando él a igual distancia de las marcas en su propio sistema — concluye que B cayó primero. La simultaneidad es relativa.

4.2 La transformación de Lorentz

Teorema 4.5 (Transformación de Lorentz)

Sea el sistema $\mathcal R'$ que se mueve con velocidad $v$ a lo largo del eje $x$ del sistema $\mathcal R$ , con sus orígenes coincidiendo en $t = t' = 0$ . Un suceso $(t, x)$ de $\mathcal R$ tiene en $\mathcal R'$ las coordenadas

x' = \gamma\,(x - vt) , \qquad t' = \gamma\Big(t - \frac{v\,x}{c^2}\Big) , \qquad \gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - v^2/c^2}} ,

con $y' = y$ , $z' = z$ ; la transformación inversa es la misma con $v \to -v$ . Para $v \ll c$ , $\gamma \to 1$ y se recuperan las de Galileo, $x' = x - vt$ , $t' = t$ . El factor $\gamma \ge 1$ — apenas $1$ a las velocidades cotidianas, $1.15$ a $c/2$ , $7.1$ a $0.99c$ — mide todos los efectos relativistas de este capítulo.

Demostración parcial. La homogeneidad del espacio y del tiempo obliga a que la transformación sea lineal; la simetría entre los sistemas y el postulado de relatividad la reducen a $x' = \gamma(x - vt)$ , $x = \gamma(x' + vt')$ con una única función incógnita $\gamma(v)$ . Sigamos un destello luminoso emitido en el origen común: el postulado (ii) exige $x = ct$ y $x' = ct'$ . Al sustituir, $ct' = \gamma t(c - v)$ y $ct = \gamma t'(c + v)$ ; multiplicando las dos ecuaciones, $c^2 = \gamma^2(c^2 - v^2)$ , que es el $\gamma$ enunciado. Eliminando $x'$ entre las dos relaciones lineales se obtiene la fórmula del tiempo. (El paso de “la luz concuerda” a “la transformación queda completamente fijada” — sin estiramiento residual de las direcciones transversales ni reescalado — usa los argumentos de simetría detallados en el Ejercicio 4.11). ∎

Proposición 4.6 (Dilatación del tiempo)

Un reloj en reposo en $\mathcal R'$ — que marca el tiempo con $x'$ fijo — se ve desde $\mathcal R$ atrasarse: entre dos de sus tics separados por el tiempo propio $\Delta\tau$ (el tiempo del sistema en el que el reloj está en reposo), el sistema $\mathcal R$ mide

\Delta t = \gamma\,\Delta\tau \ge \Delta\tau .

Los relojes en movimiento atrasan — todos ellos, biológicos, atómicos o subatómicos, porque lo que se dilata es el tiempo mismo, no un mecanismo.

Demostración. Dos tics en el mismo $x'$ : la transformación inversa da $\Delta t = \gamma(\Delta t' + v\,\Delta x'/c^2) = \gamma\,\Delta\tau$ , puesto que $\Delta x' = 0$ . La imagen del reloj de luz (Ejercicio 4.2) da el mismo $\gamma$ solo con Pitágoras. ∎

Proposición 4.7 (Contracción de las longitudes)

Una barra de longitud propia $L_0$ (su longitud en el sistema en el que reposa), que se mueve longitudinalmente con velocidad $v$ , mide en el laboratorio

L = \frac{L_0}{\gamma} \le L_0 .

Las dimensiones transversales no cambian. Medir una barra en movimiento significa localizar sus dos extremos en el mismo instante del laboratorio — y, como la simultaneidad depende del sistema, la longitud también.

Demostración. Marquemos los dos extremos en el mismo instante $t$ del laboratorio: la transformación da $\Delta x' = \gamma(\Delta x - v\Delta t) = \gamma\,\Delta x$ con $\Delta t = 0$ , y $\Delta x' = L_0$ : de ahí $\Delta x = L_0/\gamma$ . ∎

El reloj de luz: un fotón que rebota entre dos espejos. Visto desde el sistema en el que el reloj se mueve, el fotón recorre un camino inclinado, más largo, a la misma velocidad c: el tic dura más, t = \,, solo por Pitágoras. — El reloj de luz: un fotón que rebota entre dos espejos. Visto desde el sistema en el que el reloj se mueve, el fotón recorre un camino inclinado, más largo, a la misma velocidad $c$ : el tic dura más, $\Delta t = \gamma\,\Delta\tau$ , solo por Pitágoras.

Ejemplo 4.8 (El muon, explicado dos veces)

Un muon a $v = 0.995c$ tiene $\gamma = 10$ . En nuestro sistema, su reloj interno va diez veces más lento: sus dos microsegundos de vida propia se estiran hasta veinte, y recorre seis kilómetros en lugar de seiscientos metros. En el sistema del muon, su vida son los $2.2\,\text{µ}\mathrm{s}$ ordinarios — pero la montaña que se le echa encima está contraída diez veces y cabe dentro. Ambos sistemas coinciden en el único hecho físico, si el muon llega o no al detector: la relatividad baraja tiempos y longitudes, nunca resultados (Problema 4.1).

Método 4.9 (Mantener los efectos en su sitio)

(1) Identificar los sucesos (emisión, llegada, tic, desintegración), no los “objetos”. (2) El tiempo propio $\Delta\tau$ pertenece al único reloj presente en ambos sucesos: cualquier otro sistema mide más, $\gamma\Delta\tau$ . (3) La longitud propia $L_0$ pertenece al sistema en el que la barra reposa: cualquier otro sistema mide menos, $L_0/\gamma$ . (4) Cuando aparezca una “paradoja”, búsquense los dos sucesos separados espacialmente a los que se está llamando simultáneos en silencio y pregúntese: ¿en qué sistema? (5) Comprobar el límite $v/c \to 0$ y recordar que $\gamma - 1 \approx \tfrac12 v^2/c^2$ a velocidades pequeñas — el tamaño de las correcciones relativistas cotidianas.

4.3 Composición de velocidades; efecto Doppler

Proposición 4.10 (Composición relativista de velocidades)

Si un cuerpo se mueve con velocidad $u'$ según $x'$ en el sistema $\mathcal R'$ , que a su vez se mueve con velocidad $v$ respecto de $\mathcal R$ , entonces $\mathcal R$ no mide $u' + v$ , sino

u = \frac{u' + v}{1 + u'v/c^2} .

Para las velocidades cotidianas el denominador vale $1$ y vuelve Galileo; para $u' = c$ la fórmula da $u = c$ sea cual sea $v$ — la luz va a $c$ para todos, tal como se impuso; y ninguna composición de velocidades inferiores a $c$ alcanza jamás $c$ .

Demostración. $u = \dd x/\dd t$ con la transformación inversa: $\dd x = \gamma(\dd x' + v\,\dd t')$ , $\dd t = \gamma(\dd t' + v\,\dd x'/c^2)$ ; divídase. ∎

Ejemplo 4.11 (El coeficiente de Fresnel explicado)

La luz en agua quieta viaja a $c/n$ . En agua que fluye con velocidad $v$ , Fizeau midió (1851) el desconcertante $c/n + v(1 - 1/n^2)$ : no el arrastre completo $c/n + v$ . Compóngase $u' = c/n$ con $v$ :

u = \frac{c/n + v}{1 + v/nc} \approx \Big(\frac{c}{n} + v\Big)\Big(1 - \frac{v}{nc}\Big) \approx \frac{c}{n} + v\Big(1 - \frac{1}{n^2}\Big) ,

a primer orden en $v/c$ . Un resultado decimonónico de mesa de laboratorio, inexplicable entonces, no es más que la ley de composición de velocidades leída a primer orden — una de las confirmaciones discretas que Einstein citó en 1905.

Proposición 4.12 (Efecto Doppler longitudinal)

Una fuente de frecuencia propia $f_0$ que se aleja con velocidad $v = \beta c$ a lo largo de la línea de visión se recibe con

f = f_0\,\sqrt{\frac{1 - \beta}{1 + \beta}} \qquad \text{(acercamiento: } \beta \to -\beta\text{)} .

Se componen dos efectos: el estiramiento clásico de los tiempos de llegada, pues cada cresta parte desde más lejos, y el atraso relativista del reloj de la fuente — el $\gamma$ que sobrevive incluso a $90^\circ$ (el efecto Doppler transversal, dilatación temporal pura).

Demostración. En el sistema del receptor, la fuente emite crestas cada $\gamma/f_0$ (dilatación), y cada una parte $v\gamma/f_0$ más lejos, de modo que las crestas llegan cada $\gamma(1 + \beta)/f_0 = \sqrt{(1+\beta)/ (1-\beta)}\,/f_0$ . ∎

Ejemplo 4.13 (La recesión de las galaxias)

La línea del hidrógeno emitida a $656.3\,\mathrm{nm}$ llega desde una galaxia lejana a $689\,\mathrm{nm}$ : $f/f_0 = 0.953$ , luego $\beta \approx 0.048$ — la galaxia se aleja a $14\,000\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ . Aplicada a todo el cielo, esta sola fórmula convirtió los espectros en un mapa del universo en expansión; el último capítulo de este libro retoma la historia.

4.4 El espacio-tiempo y el intervalo invariante

Teorema 4.14 (El intervalo invariante)

Para dos sucesos cualesquiera, la combinación

\Delta s^2 = c^2\,\Delta t^2 - \Delta x^2 - \Delta y^2 - \Delta z^2

tiene el mismo valor en todo sistema inercial — la magnitud que la relatividad conserva mientras los tiempos y las longitudes se pliegan. Su signo clasifica la pareja: de género tiempo ( $\Delta s^2 > 0$ ): algún sistema lleva los sucesos al mismo lugar, y $\Delta s/c$ es el tiempo propio entre ellos; de género espacio ( $\Delta s^2 < 0$ ): algún sistema los hace simultáneos, y ninguna señal puede conectarlos; de género luz ( $\Delta s^2 = 0$ ): solo la luz los conecta.

Demostración. Sustitución directa de la transformación de Lorentz: $c^2t'^2 - x'^2 = \gamma^2\big[(ct - \beta x)^2 - (x - \beta ct)^2 \big] = \gamma^2(1 - \beta^2)(c^2t^2 - x^2) = c^2t^2 - x^2$ . En cuanto a la clasificación: llevar los sucesos al mismo lugar exige un sistema de velocidad $v = \Delta x/\Delta t$ , posible cuando $|\Delta x| < c\,|\Delta t|$ (género tiempo); hacerlos simultáneos exige $v = c^2\Delta t/\Delta x$ , posible cuando $|\Delta x| > c\,|\Delta t|$ (género espacio). ∎

Observación 4.15 (La causalidad tiene geometría)

Por cada suceso pasa su cono de luz: los sucesos sobre los que puede influir (cono futuro), los que han podido influir sobre él (cono pasado) y el “otro lugar” de género espacio, causalmente aislado. Como una pareja de género espacio tiene un orden que depende del sistema — unos ven A antes que B y otros B antes que A —, cualquier señal más rápida que la luz permitiría a algún observador ver un efecto anticiparse a su causa. El límite de velocidad de la relatividad no habla de motores: es el precio de una historia coherente.

El espacio-tiempo alrededor de un suceso (el punto en el origen). Su cono de luz separa aquello sobre lo que puede influir (futuro), lo que ha podido influir sobre él (pasado) y el “otro lugar” de género espacio. Las líneas de universo materiales son siempre más empinadas que 45 — siempre dentro del cono. — El espacio-tiempo alrededor de un suceso (el punto en el origen). Su cono de luz separa aquello sobre lo que puede influir (futuro), lo que ha podido influir sobre él (pasado) y el “otro lugar” de género espacio. Las líneas de universo materiales son siempre más empinadas que $45^\circ$ — siempre dentro del cono.

Ejemplo 4.16 (La gemela viajera)

Una gemela vuela a una estrella situada a $8$ años luz con velocidad $0.8c$ ( $\gamma = 5/3$ ) y regresa. Tiempo terrestre: $2 \times 8/0.8 = 20\,\mathrm{yr}$ . Tiempo propio de la viajera: $20/\gamma = 12\,\mathrm{yr}$ — ocho años más joven, y sin paradoja alguna: las situaciones de las dos no son simétricas, pues una línea de universo es recta (inercial de principio a fin) y la otra tiene un quiebro en el punto de retorno. Entre dos sucesos fijos, la línea de universo recta es la de tiempo propio máximo — en la geometría del espacio-tiempo, el rodeo dura menos. El efecto se mide de forma rutinaria: los relojes atómicos paseados en avión alrededor del mundo discrepan de sus hermanos sedentarios exactamente en los nanosegundos previstos (Problema 4.1).

Una estación de rayos cósmicos en altura. Los muones que cuenta, nacidos diez kilómetros más arriba, llegan hasta ella solo porque los relojes en movimiento atrasan — la dilatación del tiempo, medida cada noche en las cumbres.

4.5 Ejercicios

Ejercicio 4.1 ★

Calcúlese $\gamma$ para $v/c = 0.1$ , $0.5$ , $0.9$ , $0.99$ , $0.999$ . Para la estación espacial ( $7.7\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ ), calcúlese $\gamma - 1$ con la aproximación de velocidad pequeña, así como el tiempo que su tripulación “gana” (¿o pierde?) por misión de seis meses respecto de un reloj en tierra, ignorando la gravedad.

Solución

Solución de Ejercicio 4.1.

$\gamma = 1.005$ , $1.155$ , $2.294$ , $7.09$ , $22.4$ . Estación espacial: $\beta = 2.57 \times 10^{-5}$ , $\gamma - 1 \approx \beta^2/2 = 3.3 \times 10^{-10}$ ; a lo largo de seis meses ( $1.6 \times 10^{7}{}\,\mathrm{s}$ ) el reloj de la tripulación atrasa $\approx5\,\mathrm{ms}$ (solo por el efecto de velocidad; a la baja altura de la estación, el efecto gravitatorio lo reduce, pero no lo invierte).

Ejercicio 4.2 ★

El reloj de luz de la figura: (a) escríbase el tic $\Delta\tau = 2d/c$ del reloj en reposo ( $d$ es la separación de los espejos); (b) a partir de Pitágoras en el sistema en el que se mueve a $v$ , dedúzcase $\Delta t = \gamma\Delta\tau$ ; (c) ¿por qué exige el argumento que la distancia transversal $d$ sea la misma en ambos sistemas? (d) Dese el argumento (dos reglas idénticas que se cruzan) de que las longitudes transversales no pueden cambiar.

Solución

Solución de Ejercicio 4.2.

(a) $\Delta\tau = 2d/c$ . (b) En cada medio tic, el fotón recorre la hipotenusa: $(c\Delta t/2)^2 = (v\Delta t/2)^2 + d^2$ con $d = c\Delta\tau/2$ ; al despejar, $\Delta t = \Delta\tau/\sqrt{1 - v^2/c^2}$ . (c) Si $d$ cambiara con el movimiento, el paso por Pitágoras sería falso. (d) Hágase que se crucen dos reglas idénticas, cada una con un pincel en su extremo apuntando a la otra. Si el movimiento contrajera las longitudes transversales, cada sistema predeciría que su propia regla pinta una marca más allá del extremo de la otra — dos hechos contradictorios sobre las mismas pinceladas en el mismo suceso de cruce. Una contradicción en un solo suceso no está permitida: las longitudes transversales no pueden cambiar.

Ejercicio 4.3 ★

Un muon se crea a $15\,\mathrm{km}$ de altura con $v = 0.999c$ . (a) Su $\gamma$ y su vida media en nuestro sistema. (b) La distancia media que recorre. (c) El espesor de la atmósfera en su sistema. (d) ¿Qué fracción de esos muones llega al suelo, con y sin relatividad (ley de desintegración $\eu^{-t/\tau}$ , $\tau = 2.2\,\text{µ}\mathrm{s}$ )?

Solución

Solución de Ejercicio 4.3.

$\gamma = 22.4$ . (a) $\gamma\tau = 49\,\text{µ}\mathrm{s}$ . (b) $v\gamma \tau = 14.8\,\mathrm{km}$ . (c) $15/22.4 = 670\,\mathrm{m}$ . (d) Tiempo de vuelo en el laboratorio, $50\,\text{µ}\mathrm{s}$ : sin relatividad, $\eu^{-50/2.2} \approx 10^{-10}$ — ninguno; con relatividad, el tiempo propio es $50/22.4 = 2.2\,\text{µ}\mathrm{s}$ y la fracción $\eu^{-1} \approx 0.37$ .

Ejercicio 4.4 ★

Dos sucesos sobre el eje $x$ : A en $(t = 0, x = 0)$ y B en $(t = 2\,\text{µ}\mathrm{s}, x = 300\,\mathrm{m})$ . (a) Calcúlese $\Delta s^2$ : ¿de género tiempo o de género espacio? (b) ¿Puede A causar B? (c) Hállense la velocidad del sistema en el que A y B ocurren en el mismo lugar, y el tiempo propio entre ambos allí. (d) Las mismas tres preguntas con B en $(1\,\text{µ}\mathrm{s}, 600\,\mathrm{m})$ — ¿qué sistema existe ahora y cuál no?

Solución

Solución de Ejercicio 4.4.

(a) $c\Delta t = 600\,\mathrm{m}$ , $\Delta x = 300\,\mathrm{m}$ : $\Delta s^2 = (600^2 - 300^2)\,\mathrm{m}^{2} > 0$ , de género tiempo. (b) Sí: basta una señal a $\Delta x/\Delta t = c/2$ . (c) Esa misma velocidad del sistema, $v = 0.5c$ ; tiempo propio $\Delta s/c = \sqrt{600^2 - 300^2}/c = 520/c = 1.73\,\text{µ}\mathrm{s}$ . (d) Ahora $c\Delta t = 300 < \Delta x = 600$ : de género espacio; ningún vínculo causal es posible; ningún sistema los lleva al mismo lugar, pero el sistema que va a $v = c^2\Delta t/\Delta x = 0.5c$ los hace simultáneos.

Ejercicio 4.5 ★★

Los satélites GPS orbitan a $v = 3.87\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ . (a) Calcúlese $\gamma - 1$ . (b) ¿Cuánto se retrasa al día el reloj de un satélite respecto de uno en tierra, solo por dilatación temporal? (c) El posicionamiento funciona cronometrando señales que viajan a $c$ : ¿a qué error de posición equivale un día de deriva relativista especial sin corregir? (d) La corrección completa (con gravedad, tratada en el espíritu del último capítulo) es de $+38\,\text{µ}\mathrm{s}$ al día, pues el corrimiento gravitatorio hacia el azul gana a la dilatación temporal: ¿qué le dice ese signo sobre cuál de los dos efectos es mayor a $20\,200\,\mathrm{km}$ de altura?

Solución

Solución de Ejercicio 4.5.

(a) $\beta = 1.29 \times 10^{-5}$ : $\gamma - 1 = 8.3 \times 10^{-11}$ . (b) $86400\,\mathrm{s} \times 8.3 \times 10^{-11} = 7.2\,\text{µ}\mathrm{s}$ al día. (c) $c \times 7.2\,\text{µ}\mathrm{s} = 2.2\,\mathrm{km}$ — la navegación moriría en un día. (d) El neto de $+38\,\text{µ}\mathrm{s}$ significa que el corrimiento gravitatorio al azul ( $+45.7$ ) pesa más que el atraso cinemático ( $-7.2$ ): a $20\,200\,\mathrm{km}$ , estar más arriba en el potencial terrestre acelera un reloj más de lo que la velocidad orbital lo frena.

Ejercicio 4.6 ★★

(a) Una nave a $0.8c$ lanza hacia delante una sonda a $0.8c$ respecto de ella misma: ¿qué velocidad tiene la sonda para nosotros? (b) Dos naves se acercan una a otra, cada una a $0.9c$ en nuestro sistema: ¿cuál es su velocidad relativa? (c) Muéstrese a partir de la ley de composición que $u' < c$ y $v < c$ implican $u < c$ (factorice la expresión $c - u$ ). (d) Un puntero láser barrido sobre la cara de la Luna puede pintar una mancha que se mueve más deprisa que $c$ : ¿por qué no viola ninguna ley?

Solución

Solución de Ejercicio 4.6.

(a) $1.6c/1.64 = 0.976c$ . (b) $1.8c/1.81 = 0.994c$ . (c) $c - u = \dfrac{(c - u')(c - v)}{c\,(1 + u'v/c^2)}$ : ambos factores positivos, luego $u < c$ . (d) La mancha es un patrón en movimiento, no una cosa: no viaja materia, ni energía, ni información de un punto de la cara de la Luna al siguiente — cada fotón fue hacia la Luna a $c$ .

Ejercicio 4.7 ★★

El doblete del sodio, emitido a $589.0\,\mathrm{nm}$ , llega desde una estrella a $575.0\,\mathrm{nm}$ . (a) ¿Se acerca o se aleja? ¿A qué velocidad? (b) ¿A qué velocidad se desplazaría la luz visible ( $550\,\mathrm{nm}$ ) hasta el infrarrojo cercano ( $1100\,\mathrm{nm}$ )? (c) Para $\beta \ll 1$ , muéstrese que $\Delta\lambda/\lambda \approx \beta$ y dese la regla práctica en km/s por $\text{Å}$ a $600\,\mathrm{nm}$ . (d) Una fuente que gira a distancia constante muestra un desplazamiento aun sin movimiento radial: ¿de qué efecto se trata y de qué orden en $\beta$ es?

Solución

Solución de Ejercicio 4.7.

(a) Longitud de onda más corta: se acerca. $f/f_0 = 589/575 = 1.024$ ; $(1+\beta)/(1-\beta) = 1.049$ : $\beta = 0.024$ , unos $7200\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ . (b) Razón $2$ : $(1+\beta)/(1-\beta) = 4$ , $\beta = 0.6$ . (c) Desarrollando la raíz cuadrada, $\Delta\lambda/\lambda \approx \beta$ ; a $600\,\mathrm{nm}$ , $1\,\text{Å} = 0.1\,\mathrm{nm}$ da $\beta = 1.7 \times 10^{-4}$ : unos $50\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ por ángstrom — el reflejo del astrónomo. (d) El efecto Doppler transversal: dilatación temporal pura, de orden $\beta^2$ — medible solo con precisión atómica.

Ejercicio 4.8 ★★

La pértiga y el granero. Una pértiga de $20\,\mathrm{m}$ se lleva a $\gamma = 2$ hacia un granero de $10\,\mathrm{m}$ con dos puertas. (a) La longitud de la pértiga en el sistema del granero: ¿cabe? (b) En el sistema del corredor, el granero mide $5\,\mathrm{m}$ : ¿cómo pueden tener razón los dos? Identifíquense los dos sucesos (“se cierra la puerta delantera”, “se abre la trasera”) y compárese su orden temporal en los dos sistemas. (c) Calcúlese el tiempo entre esos sucesos en cada sistema para un cierre simultáneo en el granero. (d) Enúnciese la moraleja en una frase (¿qué suposición silenciosa hacía la “paradoja”?).

Solución

Solución de Ejercicio 4.8.

(a) $20/2 = 10\,\mathrm{m}$ : cabe, justo, y las dos puertas pueden cerrarse simultáneamente (sistema del granero). (b) En el sistema del corredor, los sucesos “se cierra la puerta delantera” y “se abre la trasera” no son simultáneos: la salida se abre antes de que se cierre la entrada, y la pértiga de $20\,\mathrm{m}$ enhebra un granero de $5\,\mathrm{m}$ sin quedar nunca encerrada. (c) Sistema del granero: $\Delta t = 0$ sobre $\Delta x = 10\,\mathrm{m}$ . Sistema del corredor: $|\Delta t'| = \gamma v\Delta x/c^2 = 2 \times 0.866c \times 10/c^2 = 58\,\mathrm{ns}$ . (d) “La pértiga está encerrada” afirma en silencio que dos sucesos separados (las dos puertas cerradas) son simultáneos — un enunciado dependiente del sistema, no un hecho.

Ejercicio 4.9 ★★

Un cohete de longitud propia $100\,\mathrm{m}$ pasa junto a una estación espacial a $0.6c$ . (a) ¿Cuánto tiempo transcurre en el reloj de la estación entre el paso del morro y el de la cola? (b) La misma pregunta para un reloj del cohete que ve pasar la estación (de longitud propia $300\,\mathrm{m}$ ). (c) La estación dispara dos garras de atraque simultáneamente (en su sistema), separadas $80\,\mathrm{m}$ : ¿qué tiempo media entre los dos disparos para el cohete y cuál se dispara primero? (d) Verifíquese que $\Delta s^2$ coincide en los dos sistemas para la pareja de sucesos de las garras.

Solución

Solución de Ejercicio 4.9.

$\gamma = 1.25$ a $0.6c$ . (a) Longitud en movimiento $100/1.25 = 80\,\mathrm{m}$ a $1.8 \times 10^{8}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ : $444\,\mathrm{ns}$ . (b) $240/1.8 \times 10^{8} = 1.33\,\text{µ}\mathrm{s}$ . (c) $|\Delta t'| = \gamma v\Delta x/c^2 = 200\,\mathrm{ns}$ ; de $t' = \gamma(t - vx/c^2)$ , la garra situada a mayor $x$ — la delantera — se dispara primero para el cohete. (d) Estación: $\Delta s^2 = 0 - 80^2 = -6400\,\mathrm{m}^{2}$ . Cohete: $\Delta x' = \gamma\,\Delta x = 100\,\mathrm{m}$ , $c\Delta t' = 60\,\mathrm{m}$ : $60^2 - 100^2 = -6400\,\mathrm{m}^{2}$ — invariante.

Ejercicio 4.10 ★★★

Las gemelas, en detalle. Estela vuela a $0.8c$ hasta una estrella situada a $8\,\mathrm{ly}$ (en el sistema terrestre) y vuelve a $0.8c$ ; Terra se queda. (a) Calcúlese el tiempo transcurrido para cada gemela. (b) En el sistema de ida de Estela, ¿a qué distancia está la estrella y cuánto le dura el trayecto de ida? (c) Justo antes y justo después del viraje, ¿qué calcula Estela como “la hora que es ahora en la Tierra” (úsese el término $vx/c^2$ )? Muéstrese que su contabilidad da un salto de años en el quiebro — y que ese salto es exactamente lo que reconcilia los totales. (d) Explíquese por qué no cabe correr un argumento simétrico desde el lado de Estela.

Solución

Solución de Ejercicio 4.10.

(a) Terra: $20\,\mathrm{yr}$ ; Estela: $20/\gamma = 12\,\mathrm{yr}$ . (b) La distancia se contrae a $8/\gamma = 4.8\,\mathrm{ly}$ , recorrida en $4.8/0.8 = 6\,\mathrm{yr}$ de su tiempo — coherente con los $12\,\mathrm{yr}$ del viaje de ida y vuelta. (c) Simultaneidad con el suceso del viraje $(t = 10\,\mathrm{yr},\ x = 8\,\mathrm{ly})$ : el sistema de ida asigna al reloj terrestre $t - vx/c^2 = 10 - 6.4 = 3.6\,\mathrm{yr}$ ; el de vuelta, $10 + 6.4 = 16.4\,\mathrm{yr}$ . Su “ahora en la Tierra” salta $12.8\,\mathrm{yr}$ en el quiebro; su cuenta $3.6 + 12.8 + 3.6 = 20\,\mathrm{yr}$ coincide exactamente con la de Terra. (d) Estela ocupa dos sistemas inerciales unidos por una aceleración que ella siente; Terra ocupa uno. La línea de universo recta entre los sucesos de partida y de reencuentro lleva el mayor tiempo propio; solo la de Estela está quebrada.

Ejercicio 4.11 ★★★

Deducir Lorentz con honradez. (a) Arguméntese a partir de la homogeneidad que la transformación debe ser lineal. (b) Suponiendo $x' = \gamma(x - vt)$ y, por el principio de relatividad, $x = \gamma(x' + vt')$ , dedúzcase $t'$ en función de $t$ y $x$ sin usar la luz. (c) Muéstrese que exigir $x = ct \Rightarrow x' = ct'$ fija $\gamma$ a su valor enunciado. (d) ¿Dónde exactamente usó el argumento cada postulado?

Solución

Solución de Ejercicio 4.11.

(a) Si la aplicación fuera no lineal, un movimiento uniforme no parecería uniforme en el otro sistema, lo que distinguiría puntos de un espacio y un tiempo homogéneos. (b) Sustituyendo una relación en la otra: $t' = \gamma t + (1 - \gamma^2)x/\gamma v$ . (c) Imponiendo $x = ct$ , $x' = ct'$ : $\gamma(c - v)t = c\gamma t + c(1 - \gamma^2)ct/\gamma v$ , que se resuelve dando $\gamma^2 = 1/(1 - v^2/c^2)$ . (d) La relatividad dio el mismo $\gamma$ para los dos sentidos (ningún sistema privilegiado); el postulado de la luz convirtió la función libre restante en el $\gamma(v)$ definido.

Ejercicio 4.12 ★★★

Rapidez. Defínase $\varphi$ por $\tanh\varphi = \beta$ . (a) Muéstrese que la transformación de Lorentz se escribe $ct' = ct\cosh\varphi - x\sinh\varphi$ , $x' = x\cosh\varphi - ct\sinh\varphi$ : una “rotación” de ángulo imaginario, que conserva $c^2t^2 - x^2$ como las rotaciones conservan $x^2 + y^2$ . (b) Muéstrese que componer velocidades suma las rapideces: $\varphi = \varphi_1 + \varphi_2$ , y recupérese la ley de composición a partir de $\tanh(\varphi_1 + \varphi_2)$ . (c) Un cohete acelera con $g$ en su propio sistema: admitiendo que su rapidez crece según $\dd\varphi = g\, \dd\tau/c$ , hállense $\beta(\tau)$ y cuánto tiempo propio tarda en alcanzar $0.99c$ . (d) ¿Por qué puede crecer la rapidez sin límite mientras $\beta$ no puede?

Solución

Solución de Ejercicio 4.12.

(a) Con $\cosh\varphi = \gamma$ y $\sinh\varphi = \gamma\beta$ , la transformación es exactamente la rotación hiperbólica enunciada, y $\cosh^2 - \sinh^2 = 1$ conserva $c^2t^2 - x^2$ . (b) $\tanh(\varphi_1 + \varphi_2) = (\tanh\varphi_1 + \tanh\varphi_2)/(1 + \tanh\varphi_1\tanh\varphi_2)$ : precisamente la ley de composición — las velocidades no se suman, las rapideces sí. (c) $\varphi = g\tau/c$ , luego $\beta = \tanh(g\tau/c)$ ; $\operatorname{artanh}(0.99) = 2.65$ da $\tau = 2.65c/g \approx 8.1 \times 10^{7}\,\mathrm{s} \approx 2.6$ años de tiempo de a bordo. (d) $\varphi$ recorre todos los reales mientras $\tanh\varphi$ satura en $1$ : se puede acelerar sin fin, ganando rapidez linealmente, mientras la velocidad solo se arrastra hacia $c$ .

Albert Einstein (fotografía de Orren Jack Turner, 1947, dominio público). El artículo de 1905 sobre la relatividad reconstruyó la cinemática a partir de dos postulados — este capítulo, esencialmente inalterado, es ese artículo con ejercicios.

4.6 Problema: el experimento del cielo

Problema 4.1

Problema de fin de semana — muones, relojes de montaña y la prueba de que el tiempo se dilata

La prueba temprana más limpia de la dilatación del tiempo no usó aparato de laboratorio alguno: la naturaleza suministra relojes relativistas por millares, lloviendo sobre cualquier montaña. Este problema reconstruye el experimento de Frisch y Smith (1963) y baja después la misma física a los aviones de línea y a los satélites de navegación. Datos: vida media propia del muon $\tau = 2.20\,\text{µ}\mathrm{s}$ ; la desintegración es exponencial, y sobrevive una fracción $\eu^{-t/\tau}$ de los muones a un tiempo propio $t$ ; $c = 3.00 \times 10^{8}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; monte Washington: diferencia de altitud $h = 1907\,\mathrm{m}$ entre los dos detectores.

Parte I — Relojes que llueven del cielo.

Los protones cósmicos chocan con núcleos en lo alto de la atmósfera y los restos se desintegran en muones hacia los $15\,\mathrm{km}$ de altura. ¿Por qué es un reloj una población de partículas inestables idénticas?
Calcúlese $c\tau$ , el alcance natural de una vida media de muon.
Sin relatividad, ¿qué fracción de los muones nacidos a $15\,\mathrm{km}$ y que viajan prácticamente a $c$ llegaría al suelo? (Dese el exponente; el número en sí es absurdo).
Los detectores a nivel del mar cuentan muones en abundancia: enúnciese la contradicción en una frase.
El flujo a nivel del mar es de aproximadamente un muon por centímetro cuadrado y minuto: estímese cuántos muones atraviesan su mano extendida cada segundo, y su cuerpo entre dos latidos.
El experimento seleccionó muones de velocidad $0.995c$ : calcúlese su $\gamma$ .
Frisch y Smith contaron $563 \pm 10$ muones por hora en la cumbre. ¿Por qué medir a dos altitudes de la misma cascada en vez de fiarse del relato de la creación a $15\,\mathrm{km}$ ?

Parte II — La medida en la montaña.

¿Cuánto dura el trayecto de $1907\,\mathrm{m}$ a $0.995c$ en el sistema de la montaña?
Sin dilatación del tiempo, ¿qué fracción sobrevive a ese trayecto y cuántos muones por hora deberían llegar al detector de abajo?
Con dilatación del tiempo, ¿cuánto tiempo propio transcurre para el muon durante el trayecto?
Predíganse la fracción superviviente y el recuento por hora con relatividad.
El recuento medido abajo fue de $408 \pm 9$ por hora. Compárense las dos predicciones con los datos y dígase qué teoría sobrevive a su encuentro con la montaña.
A partir de la razón medida $408/563$ , extráigase el factor de dilatación experimental y compárese con $\gamma = 10$ . (Los muones se frenan algo en el blindaje rocoso, de modo que el $\gamma$ efectivo queda algo por debajo del valor de la cumbre — Frisch y Smith obtuvieron $8.8 \pm 0.8$ ).

Parte III — La historia contada por el muon.

En el sistema del muon, ¿qué altura tiene el monte Washington?
¿Cuánto tarda la montaña en desfilar y qué fracción de muones se desintegra en ese tiempo? Compruébese que coincide con la predicción de la parte II.
Los dos sistemas discrepan sobre qué se dilató (¿nuestro tiempo?, ¿su montaña?) y, sin embargo, coinciden en el recuento: ¿qué clase de magnitud es un recuento y por qué deben coincidir en él todos los sistemas?
Calcúlese el intervalo $\Delta s^2$ entre la creación en la cumbre y la llegada al pie, en el sistema de la montaña, y compruébese que $\Delta s/c$ es igual al tiempo propio del muon de la parte II.
Un escéptico objeta: “quizá lo que cambia el ritmo de desintegración sea la altitud, no la velocidad”. ¿Qué control proporciona la dependencia medida con $\gamma$ (los muones más lentos se dilatan menos)?
Los anillos de almacenamiento modernos mantienen muones a $\gamma = 29.3$ y miden vidas medias con precisión $10^{-3}$ : ¿qué encuentran y qué añade a la prueba una órbita circular? (¿Cuál de las gemelas es el muon?)

Parte IV — Con los pies en la Tierra: aviones y satélites.

Un avión de línea vuela a $250\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ durante un viaje de $40\,\mathrm{h}$ alrededor del mundo. Usando $\gamma - 1 \approx v^2/2c^2$ , calcúlese el retraso relativista especial de su reloj, en nanosegundos.
Los relojes de cesio resuelven nanosegundos sin dificultad, y los vuelos de 1971 confirmaron la predicción (una vez incluido el empujón opuesto de la gravedad, mayor en altura). ¿Por qué hay que separar los dos efectos volando tanto hacia el este como hacia el oeste?
¿Qué retraso relativista especial acumula al día el reloj de un satélite GPS ( $v = 3.87\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ ), en microsegundos?
Sin corregir, ¿cuántos kilómetros de error de distancia produciría una semana de esa deriva por sí sola?
La corrección completa del GPS, $+38\,\text{µ}\mathrm{s}$ al día con la gravedad incluida, se introduce en los relojes de los satélites antes del lanzamiento: ¿qué observaría un navegante en cuestión de horas si no fuera así?
Resúmase el resultado con nombre propio: una montaña, dos contadores y unos relojes de $2.2\,\text{µ}\mathrm{s}$ midieron en 1963 la dilatación del tiempo a $\gamma \approx 9$ con un error del $10\%$ — y la misma física se corrige, cada segundo, en todo teléfono que sabe dónde está.

Solución

Solución de Problema 4.1.

1. Todos los muones son estrictamente idénticos y se desintegran con un ritmo estadístico fijo: la fracción superviviente de una población mide el tiempo propio transcurrido tan bien como la aguja de un reloj. 2. $c\tau = 3.00 \times 10^{8}\, \times 2.2 \times 10^{-6}\, = 660\,\mathrm{m}$ . 3. $t = 15\,\mathrm{km}/c = 50\,\text{µ}\mathrm{s}$ : fracción $\eu^{-50/2.2} = \eu^{-22.7} \approx 1.4 \times 10^{-10}$ . 4. Unas partículas que “no pueden” recorrer más de un kilómetro atraviesan quince y llegan en tropel. 5. Una mano de $\sim100\,\mathrm{cm}^{2}$ : un par de muones por segundo; un cuerpo de sección horizontal $\sim10^{3}\,\mathrm{cm}^{2}$ : del orden de quince entre dos latidos — la relatividad llueve sobre todo el mundo, siempre. 6. $\gamma = 1/\sqrt{1 - 0.995^2} = 10.0$ . 7. Comparar dos recuentos de la misma población seleccionada a lo largo de una diferencia de altura conocida elimina toda suposición sobre dónde y cuántos muones nacen. 8. $t = 1907/(0.995 \times 3 \times 10^{8}) = 6.39\,\text{µ}\mathrm{s}$ . 9. $\eu^{-6.39/2.2} = 0.055$ : unos $31$ por hora. 10. $t/\gamma = 0.64\,\text{µ}\mathrm{s}$ . 11. $\eu^{-0.64/2.2} = 0.75$ : unos $420$ por hora. 12. Medidos $408 \pm 9$ : los $\approx 420$ de la relatividad concuerdan, dentro del leve frenado de los muones en el absorbedor de los detectores; los $31$ de la física clásica yerran en un factor trece. La montaña decide. 13. $408/563 = 0.725 = \eu^{-t_{\text{propio}}/\tau}$ : $t_{\text{propio}} = 0.71\,\text{µ}\mathrm{s}$ , luego $\gamma_{\exp} = 6.39/0.71 = 9.0$ — de lleno en el $8.8 \pm 0.8$ de Frisch y Smith. 14. $1907/10 = 191\,\mathrm{m}$ . 15. $191/(0.995c) = 0.64\,\text{µ}\mathrm{s}$ : la misma desintegración del $25\%$ — la versión del muon sobre el mismo recuento. 16. Un recuento de chasquidos es un conjunto de sucesos locales de coincidencia; los sucesos y sus recuentos son invariantes — los sistemas pueden discrepar sobre tiempos y longitudes, nunca sobre lo que marcó un contador. 17. $\Delta s^2 = (c \times 6.39\,\text{µ}\mathrm{s})^2 - (1907\,\mathrm{m})^2 = (1917^2 - 1907^2)\,\mathrm{m}^{2} = (196\,\mathrm{m})^2$ : $\Delta s/c = 0.65\,\text{µ}\mathrm{s}$ — el tiempo propio, calculado sin salir en ningún momento del sistema de la montaña. 18. Los ritmos de desintegración dependerían de la altitud por igual para toda velocidad; en cambio, la supervivencia sigue a $\gamma$ — las selecciones más lentas se dilatan menos, exactamente como prescribe $\gamma(v)$ . 19. Vidas medias de $\gamma\tau$ con precisión de una parte en mil (anillos de almacenamiento de muones del CERN); el anillo convierte al muon en un viajero perpetuamente acelerado — la “gemela viajera” sigue joven aun cuando el viaje sea un viraje interminable. 20. $\beta = 8.3 \times 10^{-7}$ : $\Delta t = \tfrac12\beta^2 \times 144\,000\,\mathrm{s} = 50\,\mathrm{ns}$ . 21. La velocidad del avión se suma o se resta a la de la Tierra en rotación, mientras que el efecto de la altitud (gravitatorio) es el mismo en ambos sentidos: los vuelos hacia el este y hacia el oeste separan limpiamente las dos contribuciones (el resultado de 1971 se ajustó a ambas). 22. Del Ejercicio 4.5: $7.2\,\text{µ}\mathrm{s}$ al día. 23. $7 \times 7.2\,\text{µ}\mathrm{s} \times c \approx 15\,\mathrm{km}.$ 24. Las posiciones derivarían cientos de metros en unas horas y kilómetros en un día — la navegación se rompería a ojos vista la primera mañana. 25. En 1963, una montaña, dos contadores y unos relojes de $2.2\,\text{µ}\mathrm{s}$ midieron $\gamma_{\exp} = 9.0$ frente a un $10$ predicho (con el frenado, $8.8 \pm 0.8$ ): dilatación del tiempo confirmada con un error del $10\%$ — y la física idéntica se corrige en silencio, cada segundo, en todos los satélites de navegación sobre su cabeza.

Términos definidos en este capítulo

Sucesos y simultaneidad

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