15Teoría de la dispersión

Ejercicio 15.1 ★

Un haz de protones de $1\,\text{µ}\mathrm{A}$ ($6.2 \times 10^{12}$ protones/s) y sección $1\,\mathrm{cm}^{2}$ atraviesa una lámina de oro de $1\,\text{µ}\mathrm{m}$ ($n = 5.9 \times 10^{28}\,\mathrm{m}^{-3}$). (a) La densidad superficial de blancos. (b) Con $\sigma = 10\,\mathrm{b}$ por núcleo, ¿qué fracción del haz se dispersa? (c) El ritmo hacia un detector de ángulo sólido $10^{-3}\,\mathrm{sr}$ si la dispersión fuera isótropa. (d) ¿Por qué es la “sección eficaz” una propiedad bien definida de la terna (proyectil, blanco, energía) y no del blanco por sí solo?

Ejercicio 15.2 ★

Esferas duras clásicas de radios $R_1, R_2$: (a) muéstrese que $\sigma = \pi(R_1 + R_2)^2$. (b) Para las moléculas del aire ($R \approx 0.15\,\mathrm{nm}$, $n = 2.5 \times 10^{25}\,\mathrm{m}^{-3}$), el recorrido libre medio $1/n\sigma$: evalúese y compárese con el valor de la teoría cinética del volumen del Año 1. (c) ¿Por qué no muestra una esfera dura clásica estructura angular ($\dd\sigma/\dd\Omega$ constante — acéptese o dedúzcase)? (d) ¿Qué rasgo de la dispersión cuántica por esfera dura (Ejercicio 15.6) no tiene contrapartida clásica?

Ejercicio 15.3 ★

Transferencia de momento. (a) Dibújese el triángulo de $\vect k$ y $\vect k'$ y dedúzcase $q = 2k\sin(\theta/2)$. (b) Para alfas de $5.5\,\mathrm{MeV}$ ($k = 1.0 \times 10^{15}\,\mathrm{m}^{-1}$): el rango de $q$ para $\theta \in [0, \pi]$ y la estructura más pequeña resoluble $\sim 1/q_{\max}$. (c) Para electrones de $500\,\mathrm{MeV}$ ($k \approx E/\hbar c$): lo mismo. (d) Extráigase la moraleja que conecta la energía del haz con la potencia de resolución.

Ejercicio 15.4 ★

A partir del Teorema 15.2: (a) compruébese que $|f|^2$ tiene dimensiones de área por unidad de ángulo sólido; (b) muéstrese que el flujo dispersado a través de una esfera vale $\Phi\sigma$; (c) ¿por qué debe ser $f$ complejo en general (qué ley de conservación custodia su fase)? (d) Enúnciense el teorema óptico $\sigma_{\text{tot}} = (4\pi/k)\operatorname{Im}f(0)$ y su significado (la onda hacia delante debe quedar mermada exactamente en lo que se dispersa fuera).

Ejercicio 15.5 ★★

Born para Yukawa. Con $V(r) = \dfrac{g\,\eu^{-\mu r}}{r}$: (a) realícese la integral de Born (primero la parte angular y luego $\int_0^ \infty\sin(qr)\eu^{-\mu r}\dd r$) para obtener $f = -\dfrac{2mg} {\hbar^2(q^2 + \mu^2)}$. (b) Hágase $\mu \to 0$ con $g = Q_1Q_2/4\pi\varepsilon_0$ y recupérese Rutherford. (c) ¿Por qué diverge la sección eficaz total de Rutherford, y qué ingrediente físico (el apantallamiento por los electrones atómicos) restituye una respuesta finita? (d) En física de partículas, la forma de Yukawa con $\mu = m_\pi c/\hbar$ modeliza la fuerza nuclear: calcúlese su alcance $1/\mu$ para $m_\pi c^2 = 140\,\mathrm{MeV}$.

Ejercicio 15.6 ★★

La esfera dura cuántica (de radio $a$), onda $s$: fuera, $u_0 = \sin(kr + \delta_0)$ con $u_0(a) = 0$. (a) Muéstrese que $\delta_0 = -ka$. (b) Muéstrese que $\sigma \to 4\pi a^2$ cuando $k \to 0$: cuatro veces la sombra geométrica. (c) Dese la explicación ondulatoria del factor (la difracción no deja sombra nítida con longitudes de onda largas). (d) A alta energía la respuesta tiende a $2\pi a^2$ — todavía el doble de la geométrica (difracción de sombra): ¿por qué nunca simplemente $\pi a^2$?

Ejercicio 15.7 ★★

Los veinte barns del hidrógeno. Los neutrones lentos no polarizados sobre protones muestrean el canal triplete con peso $3/4$ y el singlete con $1/4$: $\sigma = \pi(3a_{\text{t}}^2 + a_{\text{s}}^2)$. (a) Evalúese con $a_{\text{t}} = 5.4\,\mathrm{fm}$ y $a_{\text{s}} = -23.7\,\mathrm{fm}$, y compárese con los $20.4\,\mathrm{b}$ medidos. (b) ¿Qué canal domina, pese a su menor peso estadístico? (c) Relaciónense el tamaño y el signo de $a_{\text{t}}$ con la energía de enlace casi nula del deuterón; ¿qué dice $a_{\text{s}} < 0$ sobre el sistema singlete? (d) ¿Por qué es el agua un moderador tan eficaz de los neutrones de reactor, y por qué le importa esta sección eficaz?

Ejercicio 15.8 ★★

Ramsauer–Townsend. Modelícese el átomo de argón, para un electrón entrante, como un pozo cuadrado atractivo de alcance $R = 0.2\,\mathrm{nm}$. (a) Dentro, el número de ondas es $K = \sqrt{2m(E + V_0)}/\hbar$: el empalme puede hacer que la onda exterior emerja con $\delta_0 = \pi$ exactamente — ¿cuál es entonces la sección eficaz de onda $s$? (b) ¿Por qué se vuelve el átomo casi invisible a esa energía, aunque el pozo sea intenso? (c) Estímese el $V_0$ que sitúa la transparencia cerca de $E = 1\,\mathrm{eV}$ (hágase que el pozo albergue media longitud de onda: $KR \approx \pi$). (d) ¿Por qué no muestran el efecto el helio y el neón a energías comparables (sus pozos son demasiado someros para que $\delta_0$ alcance $\pi$), y qué demuestra sobre las ondas de materia la mera existencia del efecto?

Ejercicio 15.9 ★★

Para una amplitud de onda $s$ pura $f = \eu^{\iu\delta_0}\sin\delta_0/ k$: (a) calcúlese $\sigma$; (b) calcúlese $(4\pi/k)\operatorname{Im} f(0)$ y verifíquese el teorema óptico; (c) muéstrese que la sección eficaz máxima de onda $s$ es $4\pi/k^2$ (el límite de unitariedad) y evalúese para neutrones térmicos ($k = 3.1 \times 10^{10}\,\mathrm{m}^{-1}$) en barns; (d) ¿por qué no puede una resonancia empujar $\sigma_0$ más allá de ese techo, por intensa que sea la interacción?

Ejercicio 15.10 ★★★

Una resonancia neutrónica. El uranio-238 presenta una resonancia célebre para neutrones en $E_{\text{R}} = 6.67\,\mathrm{eV}$ con anchura total $\Gamma = 27\,\mathrm{meV}$. (a) Calcúlese la vida media de la resonancia. (b) Calcúlese $4\pi/k^2$ a esa energía, en barns, y compárese con el pico medido de $\sim2 \times 10^{4}\,\mathrm{b}$ (la diferencia es el factor de ramificación entre los canales elástico y de captura — coméntese). (c) La anchura en unidades de temperatura: ¿por qué importa para la estabilidad del reactor el ensanchamiento Doppler de esta resonancia con la temperatura del combustible (qué signo de realimentación)? (d) En dos frases: cómo hacen tales resonancias del $^{238}$U un absorbedor de neutrones en el rango epitérmico, y por qué es eso central en el diseño de reactores.

Ejercicio 15.11 ★★★

Los átomos fríos viven de un solo número. (a) Para bosones idénticos, la sección eficaz de baja energía es $8\pi a^2$ (interferencia constructiva de intercambio — acéptese): evalúese para el rubidio con $a = 100\,a_0$. (b) A $T = 100\,\mathrm{nK}$, compruébese que $ka \ll 1$ (calcúlese $k$ a partir de $k_{\text{B}}T = \hbar^2k^2/2m$, con $m = 1.4 \times 10^{-25}\,\mathrm{kg}$): el gas olvida de verdad todo salvo $a$. (c) Cerca de una resonancia “de Feshbach”, un campo magnético arrastra un nivel molecular a través de la energía cero y $a$ diverge y cambia de signo, exactamente como en el Ejemplo 15.6: ¿en qué se convierten a voluntad las interacciones del gas? (d) ¿Por qué es esa sintonizabilidad — la intensidad de la interacción en un dial — un instrumento de ensueño para un físico (nómbrese un uso: fabricar moléculas, simular materia fuertemente acoplada o colapsar condensados)?

Ejercicio 15.12 ★★★

Factores de forma: pesar nubes de carga. Para una densidad de carga extensa $\rho(\vect r)$, la amplitud de Born multiplica la respuesta puntual por $F(q) = \int\rho(\vect r)\eu^{\iu\vect q\cdot\vect r} \dd^3r/Q$. (a) Muéstrese que $F(0) = 1$. (b) Desarróllese para $q$ pequeño: $F \approx 1 - q^2\langle r^2\rangle/6$: medir la caída a $q$ pequeño pesa $\langle r^2\rangle$. (c) La dispersión electrón–protón ajusta $\sqrt{\langle r^2\rangle} \approx 0.84\,\mathrm{fm}$: ¿qué medida independiente del Problema 11.1 (el hidrógeno muónico) la contrasta, y por qué se tomó tan en serio su desacuerdo histórico (el “enigma del radio del protón”)? (d) Para $q \gg 1/r_{\text{p}}$, el factor de forma elástico se desploma, pero la dispersión dura persiste sobre constituyentes puntuales: enúnciese en una frase qué halló dentro del protón la versión profundamente inelástica del experimento de Rutherford, en 1968.