Física universitaria — tercer año · Bachelor Year 3

27Astrofísica

Todos los capítulos de este libro han estado ensayando para este. Las estrellas son bolas de gas autogravitantes gobernadas por la hidrostática del volumen del Año 1, encendidas por el efecto túnel del Capítulo 25 y brillando según la ley de Planck del Capítulo 20; las estrellas muertas son los gases de Fermi degenerados del Capítulo 19 del tamaño de ciudades; y el universo mismo es un sistema térmico que se enfría y cuya foto de bebé — el fondo de microondas — es el cuerpo negro más perfecto jamás medido. Este capítulo de cierre ensambla el volumen entero en el laboratorio más grande posible: cómo viven las estrellas, cómo mueren, qué dejan atrás y cómo el universo en expansión que las contiene empezó siendo física que ya hemos hecho.

27.1 Una estrella es un equilibrio

Proposición 27.1 (Equilibrio hidrostático)

Una estrella ni colapsa ni se dispersa: a cada radio, el gradiente de presión sostiene el peso del gas de encima. Para la masa $m(r)$ interior al radio $r$ ,

\frac{\dd P}{\dd r} = -\frac{Gm(r)\rho(r)}{r^2} .

Estimado a lo ancho de todo el Sol, $P_{\text{c}} \sim GM^2/R^4 \sim 10^{15}\,\mathrm{Pa}$ y, por la ley del gas ideal, $T_{\text{c}} \sim 10^7\,\mathrm{K}$ (Ejercicio 27.1) — precisamente la temperatura a la que los protones del Ejercicio 25.11 empiezan a hacer túnel. Eso no es casualidad, sino un termostato: una estrella tiene que contraerse y calentarse hasta que su núcleo se enciende, y la fusión sostiene entonces el equilibrio durante millones o miles de millones de años. Las estrellas tienen capacidad calorífica negativa — si pierden energía, se contraen y se ponen más calientes (Ejercicio 27.5) —, y por eso la gravedad siempre gana al final.

Demostración. Una capa $[r, r + \dd r]$ de área $A$ siente la presión $P(r)A$ desde abajo, $P(r + \dd r)A$ desde arriba y el peso $g\rho A\,\dd r$ con $g = Gm(r)/r^2$ (solo tira la masa interior, por el teorema de Gauss para la gravedad). El equilibrio de las tres da la ecuación enunciada. ∎

Una estrella, dibujada como su propio diagrama de sólido libre. La fusión alimenta la presión que sostiene el peso de la propia estrella; las dos fuerzas negocian durante diez mil millones de años — y todo destino estelar de este capítulo es lo que pasa cuando a una de ellas se le acaban los argumentos.

27.2 Las vidas de las estrellas

Definición 27.2 (El diagrama de Hertzsprung–Russell)

Represéntense las estrellas por temperatura superficial (las calientes a la izquierda, por convenio) frente a la luminosidad, ambas salidas de las leyes del cuerpo negro del Capítulo 20, y se niegan a desperdigarse: el noventa por ciento se agolpa en la secuencia principal, la banda diagonal de las que queman hidrógeno, ordenada solo por la masa — más pesada significa más caliente y desproporcionadamente más brillante ( $L \propto M^{3.5}$ ), y por tanto de vida más corta ( $t \propto M/L \propto M^{-2.5}$ : Ejercicio 27.4). Fuera de la banda viven las excepciones y los finales del gráfico: las gigantes, frías pero enormes (arriba a la derecha), y las enanas blancas, calientes pero diminutas (abajo a la izquierda) — porque, a temperatura fija, por $L = 4\pi R^2\sigma T^4$ la luminosidad es una medida del tamaño. El diagrama HR no es un mapa de clases, sino de edades: el punto de una estrella se desplaza por él a medida que se le acaba el combustible.

El diagrama de Hertzsprung–Russell. La secuencia principal es la banda de las que queman hidrógeno, una escalera de masas que se lee de arriba a la izquierda (azules, manirrotas, muertas en megaaños) a abajo a la derecha (rojas, frugales, que sobreviven al universo hasta hoy). Las gigantes y las enanas blancas no son rarezas, sino capítulos: la misma estrella visita las tres regiones.

Observación 27.3 (Cómo envejecen las estrellas y qué dejan)

Cuando se agota el hidrógeno del núcleo, la lógica del termostato se repite: el núcleo se contrae y se calienta, el helio se enciende (y fusiona a carbono y oxígeno) y la envoltura se hincha cien veces — una gigante roja. Una estrella como el Sol se para ahí: se desprende de su envoltura y se jubila como enana blanca. Una estrella de más de $\approx8M_\odot$ sigue encendiendo combustibles nuevos en capas de cebolla hasta que el núcleo es de hierro — la cima de la Proposición 25.2, de la que ninguna fusión devuelve energía. El núcleo muerto colapsa en un segundo; el rebote y la riada de neutrinos revientan la estrella: una supernova, que eclipsa brevemente a su galaxia, forja los elementos más allá del hierro por captura de neutrones y difunde todo el lote a las nubes que construyen la siguiente generación de estrellas y planetas. El calcio de sus huesos y el hierro de su sangre tomaron esta ruta (Problema 27.1): la química es astrofísica reciclada.

27.3 Los cadáveres: la materia en sus límites

Proposición 27.4 (Enanas blancas y estrellas de neutrones)

¿Qué sostiene a una estrella que ya no arde? La mecánica cuántica. Una enana blanca es una masa solar de carbono y oxígeno apuntalada por su presión de degeneración electrónica — la presión de Fermi a $T = 0$ del Capítulo 19 — con el tamaño de la Tierra y una tonelada por cucharadita. El sostén de Pauli tiene un techo: por encima de la masa de Chandrasekhar $M_{\text{Ch}} \approx 1.4\,M_\odot$ , los electrones se vuelven relativistas y la presión pierde la carrera (un resultado que enunciamos, no deducimos). Más allá de ella, los electrones son aplastados contra los protones y se forma una estrella de neutrones: la degeneración de neutrones más la repulsión nuclear sostienen $\sim1.4\,M_\odot$ en una docena de kilómetros a la densidad nuclear de la Definición 25.1 — un núcleo del tamaño de una ciudad, que gira hasta con periodos de milisegundos y emite haces como un faro (un púlsar). Y más allá de unos $3\,M_\odot$ nada conocido resiste: la estrella cae dentro del radio en el que escapar exige la velocidad de la luz,

R_{\text{s}} = \frac{2GM}{c^2} \qquad (3\,\mathrm{km}\text{ por masa solar}) ,

un agujero negro — la última palabra de la gravedad y el umbral de la relatividad general, un volumen más allá de este.

Demostración. Admitido a este nivel. ∎

Una masa solar, cuatro tamaños. La presión térmica sostiene al Sol; la degeneración electrónica a la enana blanca; la degeneración de neutrones a la estrella de neutrones; nada sostiene al agujero negro. Cada paso multiplica la gravedad superficial por unas diez mil veces — y también la física necesaria para plantarse encima.

27.4 El universo en expansión

Definición 27.5 (La ley de Hubble y el comienzo caliente)

Todas las galaxias lejanas se alejan, a una velocidad proporcional a la distancia:

v = H_0d , \qquad H_0 \approx 70\,\mathrm{km}/\mathrm{s} \text{ por megapársec} .

Esto no es una explosión en el espacio, sino una expansión del espacio — póngase marcha atrás y todo estuvo una vez denso y caliente: hace $1/H_0 \approx 14$ mil millones de años (Ejercicio 27.9). El universo primitivo es este libro repetido a toda velocidad. Al segundo es una sopa de partículas de $\mathrm{MeV}$ (Capítulo 26); en los primeros minutos, el Capítulo 25 se desata y congela una cuarta parte de helio en masa — predicha por un factor de Boltzmann y observada en todas partes (Ejercicio 27.11). A los 380 000 años y $3000\,\mathrm{K}$ , la ecuación de Saha (Proposición 18.5) deja que los electrones se asienten por fin sobre los protones; la niebla se despeja, y esa luz de última dispersión — estirada mil veces por la expansión — llega hoy como el fondo cósmico de microondas: un espectro de Planck a $2.725\,\mathrm{K}$ (Capítulo 20), la fotografía más antigua que existe. Lo que la imagen muestra además: las galaxias giran y se agrupan como si las guiara una materia oscura que ningún detector ha cazado, y la expansión se acelera bajo una energía oscura que nadie ha explicado — el noventa y cinco por ciento del presupuesto que este libro todavía no puede escribir.

La ley de Hubble: velocidad de recesión frente a distancia, con cada punto una galaxia (las velocidades, de los desplazamientos Doppler, ; las distancias, de las velas estándar). La pendiente es H_0; su inversa es, a grandes rasgos, la edad del universo. — La ley de Hubble: velocidad de recesión frente a distancia, con cada punto una galaxia (las velocidades, de los desplazamientos Doppler, Capítulo 4; las distancias, de las velas estándar). La pendiente es $H_0$ ; su inversa es, a grandes rasgos, la edad del universo.

Un cúmulo abierto: manirrotas de un blanco azulado y frugales enanas anaranjadas, nacidas juntas y envejeciendo a ritmos dispares — el diagrama de Hertzsprung–Russell, fotografiado.

27.5 Ejercicios

Ejercicio 27.1 ★

El Sol, estimado. $M = 2 \times 10^{30}\,\mathrm{kg}$ , $R = 7 \times 10^{8}\,\mathrm{m}$ . (a) Estímese $P_{\text{c}} \sim GM^2/R^4$ . (b) Con la densidad media y la ley del gas ideal ( $P = \rho k_{\text{B}}T/ m_{\text{p}}$ ), estímese $T_{\text{c}}$ . (c) Compárese con el umbral de encendido de $10^7\,\mathrm{K}$ del Ejercicio 25.11. (d) ¿Por qué es este acuerdo un termostato y no una coincidencia?

Solución

Solución de Ejercicio 27.1.

(a) $P_{\text{c}} \sim GM^2/R^4 \approx 1.1 \times 10^{15}\,\mathrm{Pa}$ — diez mil millones de atmósferas. (b) $\bar\rho \approx 1400\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ : $T \sim P m_{\text{p}}/\rho k_{\text{B}} \approx 10^{8}\,\mathrm{K}$ — tosco, un orden por encima de los verdaderos $1.6 \times 10^{7}\,\mathrm{K}$ , pero la escala está bien. (c) Justo en el umbral del efecto túnel. (d) Una protoestrella se contrae y se calienta hasta que el núcleo se enciende, y entonces deja de contraerse: cualquier bola de gas lo bastante masiva ha de llegar al encendido — la estrella se sintoniza sola con el termostato nuclear.

Ejercicio 27.2 ★

Pesar la luz. (a) A partir de la constante solar $1360\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$ a $d = 1.5 \times 10^{11}\,\mathrm{m}$ , calcúlese $L_\odot$ . (b) A partir de $L = 4\pi R^2\sigma T^4$ , calcúlese la temperatura superficial. (c) Compruébese el máximo de Wien frente al amarillo verdoso visible del Sol. (d) ¿La ley de qué capítulo usó cada paso?

Solución

Solución de Ejercicio 27.2.

(a) $L = 4\pi d^2\times1360 \approx 3.8 \times 10^{26}\,\mathrm{W}$ . (b) $T = (L/4\pi R^2\sigma)^{1/4} \approx 5800\,\mathrm{K}$ . (c) Wien: $\lambda_{\text{max}} \approx 500\,\mathrm{nm}$ — el ojo evolucionó sobre el máximo del Sol. (d) El flujo del inverso del cuadrado (Año 1); Stefan–Boltzmann y Wien: el cuerpo negro del Capítulo 20, deducido de la estadística de fotones.

Ejercicio 27.3 ★

Leer el diagrama. Sirio B: $T \approx 25\,000\,\mathrm{K}$ , $L \approx 0.026\,L_\odot$ ; Betelgeuse: $T \approx 3500\,\mathrm{K}$ , $L \approx 10^5\,L_\odot$ . (a) Sitúese a ambas en el diagrama HR. (b) A partir de $L = 4\pi R^2\sigma T^4$ , calcúlese cada radio en unidades solares. (c) Betelgeuse en el sistema solar: ¿qué planetas quedan dentro de ella? (d) ¿Qué debe de estar sosteniendo a Sirio B?

Solución

Solución de Ejercicio 27.3.

(a) Sirio B: muy a la izquierda y muy abajo; Betelgeuse: muy a la derecha y muy arriba. (b) $R/R_\odot = \sqrt{L/L_\odot}\,(T_\odot/T)^2$ : Sirio B, $\approx 0.009\,R_\odot \approx$ un radio terrestre; Betelgeuse, $\approx 860\,R_\odot \approx 4\,\mathrm{au}$ . (c) Mercurio, Venus, la Tierra y Marte orbitarían dentro de ella. (d) Del tamaño de la Tierra pero con masa solar: solo la presión de degeneración electrónica (Capítulo 19) — Sirio B es la enana blanca clásica.

Ejercicio 27.4 ★

Vive deprisa, muere joven. Con $L \propto M^{3.5}$ y vida $t \propto M/L$ , y los diez mil millones de años del Sol: (a) la vida de una estrella de $10\,M_\odot$ ; (b) la de una enana roja de $0.5\,M_\odot$ — compárese con la edad del universo; (c) ¿por qué mueren antes las estrellas más pesadas, que tienen más combustible? (d) ¿Qué implica la brevedad de las vidas masivas sobre dónde (en una galaxia) ocurren las supernovas?

Solución

Solución de Ejercicio 27.4.

(a) $10\,\text{Gyr}\times10^{-2.5} \approx 30\,\mathrm{Myr}$ . (b) $0.5^{-2.5} \approx 5.7$ : unos 57 mil millones de años — toda enana roja que haya nacido jamás sigue ardiendo. (c) La luminosidad crece como $M^{3.5}$ pero el depósito solo como $M$ : los ricos queman su fortuna más deprisa de lo que la ingresan. (d) Las estrellas masivas mueren a los pocos millones de años de nacer — antes de derivar a ninguna parte: las supernovas detonan dentro de los brazos espirales de formación estelar que las hicieron.

Ejercicio 27.5 ★★

La extraña termodinámica de la gravedad. Para una bola de gas autogravitante, el teorema del virial (Capítulo 1) da una energía total $E = -K$ (menos la energía cinética o térmica). (a) Dedúzcase: radiar energía hacia fuera pone a la estrella más caliente — una capacidad calorífica negativa. (b) Estímese la energía gravitatoria $GM^2/R$ del Sol. (c) Con el $L_\odot$ de hoy, ¿cuánto tiempo podría haberlo alimentado la contracción sola (el tiempo de Kelvin–Helmholtz)? (d) La geología data la Tierra en 4500 millones de años: enúnciense la paradoja del siglo XIX y su resolución nuclear.

Solución

Solución de Ejercicio 27.5.

(a) $E = -K$ : radiar hace $E$ más negativa, así que $K$ — es decir, la temperatura — sube: la firma termodinámica de la gravedad. (b) $GM^2/R \approx 3.8 \times 10^{41}\,\mathrm{J}$ . (c) $E/L_\odot \approx 10^{15}\,\mathrm{s} \approx 30\,\mathrm{Myr}$ . (d) El Sol de Kelvin no podía tener más de decenas de megaaños, mientras que los gusanos de Darwin y las rocas de Lyell exigían miles de millones: la resolución fue un combustible que nadie conocía — el Capítulo 25, setenta años antes de tiempo.

Ejercicio 27.6 ★★

Anatomía de una enana blanca. Tómese $M = 1\,M_\odot$ con $R = R_{\text{Tierra}} = 6.4 \times 10^{6}\,\mathrm{m}$ . (a) Calcúlense la densidad media y la masa de una cucharadita ( $5\,\mathrm{mL}$ ). (b) Calcúlese la gravedad superficial. (c) La presión de degeneración del Capítulo 19 escala como $n^{5/3}$ y la necesidad de la gravedad como $M^2/R^4 \propto n^{4/3}M^{2/3}$ : muéstrese que esto implica el extravagante $R \propto M^{-1/3}$ — las enanas más pesadas son más pequeñas. (d) Explíquese físicamente por qué amontonar masa encoge la estrella, y qué presagia eso en la masa de Chandrasekhar.

Solución

Solución de Ejercicio 27.6.

(a) $\bar\rho \approx 1.8 \times 10^{9}\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ : una cucharadita de nueve toneladas. (b) $g = GM/R^2 \approx 3.3 \times 10^{6}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ — trescientas mil gravedades terrestres. (c) $n \propto M/R^3$ : la degeneración suministra $P \propto M^{5/3}/R^5$ y la gravedad exige $P \propto M^2/R^4$ ; al igualar, $R \propto M^{-1/3}$ . (d) Más peso necesita más presión de Fermi, que solo la compresión proporciona — de modo que la masa encoge la estrella; la espiral tiene un muro: en cuanto los electrones se vuelven relativistas, la ley de presión se ablanda hasta $n^{4/3}$ , el equilibrio falla a cualquier radio y $M_{\text{Ch}} = 1.4\,M_\odot$ es el borde del acantilado.

Ejercicio 27.7 ★★

Anatomía de una estrella de neutrones. (a) A la densidad nuclear $2.3 \times 10^{17}\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ , calcúlese el radio que alberga $1.4\,M_\odot$ . (b) El núcleo previo al colapso giraba una vez cada 25 días con $R \sim 10^5\,\mathrm{km}$ : úsese la conservación del momento angular para estimar el periodo de rotación final. (c) Calcúlese la gravedad superficial. (d) La congelación del flujo amplifica el campo magnético como $B \propto 1/R^2$ (Capítulo 22): a partir de un $10^{-2}\,\mathrm{T}$ estelar, ¿qué campo superficial resulta y por qué emiten haces los púlsares?

Solución

Solución de Ejercicio 27.7.

(a) $V = M/\rho_{\text{nuc}} \approx 1.2 \times 10^{13}\,\mathrm{m}^{3}$ : $R \approx 14\,\mathrm{km}$ — un núcleo con perfil urbano. (b) $\omega \propto 1/R^2$ : una aceleración de giro de $(10^8/1.4\times10^4)^2 \approx 5\times10^{7}$ , de modo que 25 días se encogen a ${\sim}40\,\mathrm{ms}$ : terreno de púlsar. (c) $g \approx 10^{12}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ : una montaña de aquí sería de milímetros allí. (d) $B \approx 10^{-2}\times5\times10^{7} \approx 5 \times 10^{5}\,\mathrm{T}$ — y el eje magnético, desalineado con el eje de giro, encauza la emisión de radio por sus polos: el haz barre como un faro, y a los destellos los llamamos púlsar.

Ejercicio 27.8 ★★

El punto de no retorno. (a) Dedúzcase $R_{\text{s}} = 2GM/c^2$ de la condición newtoniana de velocidad de escape $v_{\text{esc}} = c$ (la deducción honrada necesita relatividad general; el resultado, célebremente, coincide). (b) Evalúese para el Sol y para la Tierra. (c) El agujero negro central de la Galaxia: $M = 4\times10^6\,M_\odot$ — calcúlense $R_{\text{s}}$ y compárese con la distancia del Sol a Mercurio ( $5.8 \times 10^{10}\,\mathrm{m}$ ). (d) Muéstrese que la densidad media dentro de $R_{\text{s}}$ cae como $1/M^2$ — un agujero negro lo bastante grande es menos denso que el agua: ¿qué dice eso de las intuiciones sobre “aplastar”?

Solución

Solución de Ejercicio 27.8.

(a) $\tfrac12mc^2 = GMm/R$ da $R = 2GM/c^2$ . (b) El Sol: $3.0\,\mathrm{km}$ ; la Tierra: $8.9\,\mathrm{mm}$ — comprímase cualquiera de los dos dentro de eso y la luz no puede salir. (c) $R_{\text{s}} \approx 1.2 \times 10^{10}\,\mathrm{m}$ : una quinta parte de la órbita de Mercurio — y se observan estrellas dando vueltas a su alrededor. (d) $\bar\rho \propto M/R_{\text{s}}^3 \propto 1/M^2$ : un agujero de $10^8\,M_\odot$ es menos denso que el agua. No hace falta que nada quede “aplastado” en el horizonte — es un punto de no retorno, no una superficie de roca.

Ejercicio 27.9 ★★★

Aritmética de Hubble. $H_0 = 70\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ por Mpc; $1\, \text{Mpc} = 3.09 \times 10^{22}\,\mathrm{m}$ . (a) Conviértase $H_0$ al SI. (b) Calcúlese $1/H_0$ en años. (c) Una galaxia a $200\,\mathrm{Mpc}$ : su velocidad de recesión y el factor en que se ha estirado la longitud de onda de su luz (Doppler para $z$ pequeña, Capítulo 4). (d) ¿Por qué es $1/H_0$ solo aproximadamente la edad del universo — qué ha estado haciendo entretanto el ritmo de expansión?

Solución

Solución de Ejercicio 27.9.

(a) $H_0 = 7\times10^4/3.09\times10^{22} \approx 2.3 \times 10^{-18}\,\mathrm{s}^{-1}$ . (b) $1/H_0 \approx 4.4 \times 10^{17}\,\mathrm{s} \approx 14$ mil millones de años. (c) $v = 1.4 \times 10^{4}\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ ; $z \approx v/c \approx 0.047$ : las longitudes de onda llegan estiradas un 5 %. (d) El ritmo no ha sido constante — frenado por la materia al principio y acelerado por la energía oscura desde entonces: que $1/H_0$ caiga aun así a menos de un gigaaño de los 13.8 verdaderos es una coincidencia cósmica menor.

Ejercicio 27.10 ★★★

La luz más antigua. El fondo cósmico es un cuerpo negro a $2.725\,\mathrm{K}$ . (a) Calcúlese su longitud de onda del máximo (Capítulo 20) y justifíquese lo de “microondas”. (b) Se emitió como luz de $3000\,\mathrm{K}$ : ¿qué factor de expansión la ha estirado y por qué $3000\,\mathrm{K}$ (recuérdese a Saha, Proposición 18.5)? (c) Su densidad de fotones es de $\sim4 \times 10^{8}\,\mathrm{m}^{-3}$ : compárese con la densidad de bariones, $\sim0.25\,\mathrm{m}^{-3}$ , y dígase la razón de fotones a bariones. (d) Una comprobación clásica de sobremesa: un pequeño tanto por ciento de la nieve de un televisor analógico sin sintonizar era el fondo cósmico — ¿por qué lo recibe una antena apuntada a cualquier sitio?

Solución

Solución de Ejercicio 27.10.

(a) $\lambda_{\text{max}} = b/T \approx 1.1\,\mathrm{mm}$ : microondas, tal como se anuncia. (b) Estirada en $3000/2.725 \approx 1100$ — el universo es mil cien veces más grande en todas las direcciones desde entonces. La recombinación espera a los $3000\,\mathrm{K}$ , muy por debajo de $13.6\,\mathrm{eV}/k_{\text{B}}$ , porque el balance de Saha (Proposición 18.5) está inclinado por dos mil millones de fotones por barión: la cola ionizante mantiene roto el hidrógeno mucho después de lo que dice la energética ingenua. (c) Alrededor de $1.6\times10^{9}$ fotones por barión — el universo es, por recuento, casi todo luz. (d) El fondo cósmico no es un lugar, sino el cielo entero: toda línea de visión termina en la niebla de última dispersión, así que toda antena, apuntada a cualquier sitio, lo recibe.

Ejercicio 27.11 ★★★

Una cuarta parte de helio, a partir de un factor de Boltzmann. Hacia $t \sim 1\,\mathrm{s}$ , con $T \sim 10^{10}\,\mathrm{K}$ ( $k_{\text{B}}T \approx 0.8\,\mathrm{MeV}$ ), las reacciones débiles al congelarse dejaron la razón de neutrones a protones en su valor de Boltzmann (Capítulo 17). (a) Con $\Delta mc^2 = 1.29\,\mathrm{MeV}$ , calcúlese $n/p$ en la congelación. (b) La desintegración de neutrones durante los primeros minutos la recortó hasta $\approx1/7$ : muéstrese que ligar a todos los supervivientes en $^4$ He da una fracción de helio en masa $2(n/p)/(1 + n/p) = 25\,\%$ . (c) Dígase por qué este número, medido en estrellas de todas partes, es una prueba poderosa del comienzo caliente. (d) ¿Por qué se detuvo en el helio la cocina primordial (con trazas de litio), y dejó el carbono y todo lo demás a la Observación 27.3?

Solución

Solución de Ejercicio 27.11.

(a) $n/p = \eu^{-1.29/0.8} \approx 0.20$ . (b) Con $n/p = 1/7$ : 14 protones por cada 2 neutrones; los 2 neutrones se llevan 2 protones a un $^4$ He (de masa 4) y dejan 12 protones sueltos: $4/16 = 25\,\%$ en masa. (c) Ninguna estrella ha tenido tiempo de convertir en helio una cuarta parte de todo; hallar ese suelo en el gas más antiguo y pobre en metales es el universo primitivo caliente pillado con las manos en la masa — un factor de Boltzmann escrito de punta a punta del cielo. (d) No hay núcleo estable en $A = 5$ ni en $8$ , y la densidad y la temperatura estaban cayendo en cuestión de minutos: el puente hacia el carbono (tres helios a la vez) solo se abre en los núcleos densos y pacientes de las gigantes rojas.

Ejercicio 27.12 ★★★

La materia que falta. La velocidad de rotación de una galaxia espiral se mantiene plana en $v = 220\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ hasta $r = 50\,\mathrm{kpc}$ ( $1.5 \times 10^{21}\,\mathrm{m}$ ), mucho más allá de su borde visible. (a) Para una órbita circular, muéstrese que $M(r) = v^2r/G$ . (b) Evalúese a $50\,\mathrm{kpc}$ , en masas solares. (c) Las estrellas y el gas visibles suman $\sim5\times10^{10}\,M_\odot$ : ¿qué fracción queda explicada? (d) La expectativa kepleriana más allá del borde visible es $v \propto r^{-1/2}$ (el patrón del sistema solar): ¿qué implica la planitud sobre cómo se distribuye la masa invisible?

Solución

Solución de Ejercicio 27.12.

(a) $mv^2/r = GM(r)m/r^2$ . (b) $M = v^2r/G \approx 1.1 \times 10^{42}\,\mathrm{kg} \approx 5\times10^{11}\,M_\odot$ . (c) Aproximadamente una décima: el noventa por ciento de la galaxia ni brilla ni absorbe. (d) Una $v$ plana significa $M(r) \propto r$ — la masa invisible sigue acumulándose mucho más allá del disco visible, un halo oscuro extenso (de densidad $\sim1/r^2$ ) en el que la galaxia luminosa es solo el corazón iluminado.

Una antena de ondas milimétricas bajo la Vía Láctea: la galaxia a la que escucha, colgada sobre ella. La radioastronomía halló el fondo cósmico de microondas — el siseo a 2.7\, K que resultó ser el comienzo. — Una antena de ondas milimétricas bajo la Vía Láctea: la galaxia a la que escucha, colgada sobre ella. La radioastronomía halló el fondo cósmico de microondas — el siseo a $2.7\,\mathrm{K}$ que resultó ser el comienzo.

La nebulosa del Cangrejo (NASA, ESA, J. Hester y A. Loll, dominio público): los restos de la supernova de 1054, todavía en expansión, con el faro de milisegundos de una estrella de neutrones en su corazón — el problema de fin de semana, fotografiado nueve siglos después.

27.6 Problema: la noche en que murió la estrella

Problema 27.1

La noche en que murió la estrella. El 23 de febrero de 1987, una supergigante azul de la Gran Nube de Magallanes — $d \approx 50\,\mathrm{kpc} \approx 1.5 \times 10^{21}\,\mathrm{m}$ — se convirtió en la SN 1987A, la supernova más cercana en cuatro siglos. Horas antes de que ningún telescopio la viera avivarse, tres detectores subterráneos contaron dos docenas de neutrinos. Usted va a reconstruir aquella noche desde los primeros principios.

Parte I — La estrella que fue.

La progenitora pesaba ${\sim}20\,M_\odot$ . Con el escalado del Ejercicio 27.4, estímese su vida y compárese con la del Sol.
En su último día, la estrella era una cebolla: capas de H, He, C, O y Si en torno a un núcleo de hierro. ¿Por qué exige cada combustible sucesivo un núcleo más caliente?
¿Por qué se detiene la secuencia, para siempre, en el hierro? (Proposición 25.2.)
El núcleo inerte de hierro crece hacia $1.4\,M_\odot$ . ¿Qué tiene de especial ese número y qué presión falla allí?
La combustión del silicio sostiene a la estrella durante alrededor de un día: ¿qué dice eso sobre cómo se acelera el reloj de una estrella hacia el final?
Una vez falla el sostén de presión, ¿cuánto dura aproximadamente la caída libre, para un núcleo de densidad $\sim10^{12}\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ ( $t \sim 1/\sqrt{G\rho}$ )?

Parte II — El fogonazo de neutrinos.

El núcleo ( $M \approx 1.4\,M_\odot = 2.8 \times 10^{30}\,\mathrm{kg}$ ) colapsa hasta $R \approx 12\,\mathrm{km}$ : calcúlese la energía gravitatoria liberada, $E \sim GM^2/R$ .
Compárese con la luz de mil millones de soles brillando durante un mes ( $L \sim 10^{9}L_\odot$ durante $2.6 \times 10^{6}\,\mathrm{s}$ ): muéstrese que los fotones son un error de redondeo — ¿adónde va el 99 % y por qué solo los neutrinos pueden escapar sin demora de un núcleo en colapso?
Repártase $E \approx 3 \times 10^{46}\,\mathrm{J}$ sobre una esfera de radio $1.5 \times 10^{21}\,\mathrm{m}$ : calcúlese la fluencia energética en la Tierra.
Con $\sim15\,\mathrm{MeV}$ por neutrino, calcúlese la fluencia en número (neutrinos por $\mathrm{m}^{2}$ ).
Un detector alberga $2000\,\mathrm{t}$ de agua: ${\sim}1.5\times10^{32}$ protones libres. Con una probabilidad de interacción por protón de $\sigma \approx 1 \times 10^{-46}\,\mathrm{m}^{2}$ por antineutrino (dada), estímese el recuento esperado — y compárese con los once que registró un detector.
Los neutrinos le sacaron horas a la luz. Explíquense ambos relojes: qué retrasa a los fotones (¿dónde nace en realidad el avivamiento?) y qué dice la casi simultaneidad sobre la masa y la velocidad del neutrino.
Veinticinco neutrinos contados: díganse, en una frase cada una, dos cosas que confirmaron sobre la teoría de las supernovas.

Parte III — Lo que queda.

Calcúlese la densidad media del remanente de $12\,\mathrm{km}$ y $1.4\,M_\odot$ y compárese con la densidad nuclear de la Definición 25.1.
El núcleo progenitor giraba una vez cada 30 días con $R \sim 10^{5}\,\mathrm{km}$ : estímese el periodo del remanente.
Su campo magnético, congelado con el flujo, queda amplificado por $(R_0/R)^2$ : a partir de $10^{-2}\,\mathrm{T}$ , calcúlese el campo superficial.
Explíquese el faro: qué barre, qué emite el haz y por qué el púlsar del Cangrejo (nacido en 1054 y consignado como una “estrella invitada” visible de día) sigue destellando treinta veces por segundo.
Si el remanente hubiera superado las ${\sim}3\,M_\odot$ : calcúlese $R_{\text{s}}$ para $3\,M_\odot$ y dígase su destino.
La temporización de los púlsares es estable hasta $10^{-15}$ : nómbrese un uso físico de un reloj tan bueno, girando en el cielo.

Parte IV — Qué significa.

El oxígeno que respira y el hierro de su sangre: trácese la biografía de cada átomo en dos frases, desde el hidrógeno del Big Bang hasta su torrente sanguíneo.
Las supernovas de tipo Ia (enanas blancas empujadas más allá de $M_{\text{Ch}}$ ) detonan todas a la misma masa y, por tanto, con casi el mismo brillo. Explíquese por qué eso las convierte en velas estándar y cómo se construye con ellas el diagrama de la Definición 27.5.
En 1998, las supernovas Ia lejanas salieron más débiles de lo que predice la recta de Hubble: enúnciese la conclusión que se llevó el Nobel de 2011.
Estímese cuánto había viajado la luz de la SN 1987A al llegar, en años — y anótese qué estaba ocurriendo en la Tierra cuando salió.
Los neutrinos de la Nube de Magallanes atravesaron también a todos los vivos de aquel día. ¿Cuántos cruzaron aproximadamente a cada humano ( ${\sim}0.03\,\mathrm{m}^{2}$ )? ¿Lo notó alguien (Ejercicio 26.10)?
Ciérrese el libro de cuentas del libro en cuatro líneas: una estrella equilibrada durante diez millones de años por el efecto túnel; un colapso pagado en neutrinos; un cadáver sostenido por Pauli; y los restos — el lector incluido — todavía cabalgando la expansión de Hubble.

Solución

Solución de Problema 27.1.

1. $t \sim 10\,\text{Gyr}\times20^{-2.5} \approx 6\,\mathrm{Myr}$ : el Sol vivirá dos mil vidas como esa. 2. Los núcleos más pesados llevan más carga: unas barreras de Coulomb más altas necesitan núcleos estelares más calientes para que las probabilidades del efecto túnel (Ejercicio 25.8) sigan el ritmo. 3. El hierro se sienta en la cima de la curva de $B/A$ : fusionarlo cuesta energía — la escalera de combustibles del horno acaba en ceniza. 4. La masa de Chandrasekhar: lo máximo que puede sostener la presión de degeneración electrónica; el núcleo es una enana blanca crecida dentro de una estrella viva, y en $1.4\,M_\odot$ su sostén falla. 5. El hidrógeno: megaaños; el helio: cientos de milenios; el silicio: un día — cada etapa paga menos por kilogramo mientras que la estrella, cada vez más caliente, gasta (sobre todo en neutrinos) cada vez más rápido: el reloj se vuelve logarítmicamente loco. 6. $t \sim 1/\sqrt{G\rho} = 1/\sqrt{6.7\times10^{-11}\times10^{12}} \approx 0.1\,\mathrm{s}$ : el núcleo se le cae a la estrella por debajo en una décima de segundo. 7. $E \sim GM^2/R \approx 4 \times 10^{46}\,\mathrm{J}$ . 8. El espectáculo de fotones es $10^9\times3.8\times10^{26} \times2.6\times10^{6} \approx 10^{42}\,\mathrm{J}$ — una parte en diez mil. El resto se marcha como neutrinos: la materia nuclear en colapso es opaca a todo lo demás pero (Capítulo 26) casi transparente a las propias partículas de la fuerza débil, que drenan la energía en segundos. 9. $E/4\pi d^2 = 4\times10^{46}/2.8\times10^{43} \approx 1.4 \times 10^{3}\,\mathrm{J}/\mathrm{m}^{2}$ . 10. A $15\,\mathrm{MeV} = 2.4 \times 10^{-12}\,\mathrm{J}$ cada uno: ${\sim}6\times10^{14}$ neutrinos por metro cuadrado — a través de cada metro cuadrado de la Tierra. 11. $6\times10^{14}\times10^{-46}\times1.5\times 10^{32} \approx 9$ : el detector registró once — una diana en orden de magnitud para una estrella que murió hace 160 000 años. 12. Los neutrinos salen del núcleo en el colapso; la luz nace solo cuando la onda de choque revienta la envoltura de la estrella horas después. Que ambos llegaran la misma noche tras 160 milenios de vuelo acota la velocidad del neutrino a la de la luz con partes en $10^{9}$ — y su masa a casi nada. 13. El presupuesto energético ( $\sim10^{46}\,\mathrm{J}$ , un 99 % en neutrinos) y la duración del estallido de ${\sim}10$ segundos — ambos casaron con el núcleo en colapso de la teoría, y ascendieron el mecanismo de la supernova de la pizarra a la observación. 14. $\bar\rho = 2.8\times10^{30}/(\tfrac43\pi (1.2\times10^4)^3) \approx 4 \times 10^{17}\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ : la densidad nuclear — la cucharadita de la Definición 25.1, ahora del tamaño de una ciudad. 15. Aceleración de giro $(10^8/1.2\times10^4)^2 \approx 7\times10^{7}$ : 30 días $\to$ ${\sim}40\,\mathrm{ms}$ . 16. $B \approx 10^{-2}\times7\times10^{7} \approx 7 \times 10^{5}\,\mathrm{T}$ — cien millones de teslas-metro de flujo, conservados en un sello de correos. 17. El eje magnético, inclinado respecto del eje de giro, emite radio a lo largo de sus polos; el haz barre el cielo como un faro. El remanente del Cangrejo — la estrella invitada de 1054 — todavía gira treinta veces por segundo, con un milenio de frenado apenas empezado. 18. $R_{\text{s}} = 3\times3\,\mathrm{km} \approx 9\,\mathrm{km}$ — del orden de la propia estrella: sin presión que oponer, el colapso continúa a través del horizonte y el remanente es un agujero negro. 19. Las redes de relojes así son detectores de ondas gravitatorias con apertura galáctica (y los mejores laboratorios de la relatividad: las órbitas de los púlsares binarios decaen exactamente como predice la radiación gravitatoria). 20. Su oxígeno se fusionó en la capa de una estrella masiva y lo expulsó una supernova; el hierro se forjó en el propio final explosivo; ambos vagaron por las nubes interestelares, se unieron a la nebulosa solar, a la Tierra, al mar, a la cadena alimentaria — y al lector. El hidrógeno del Big Bang, en cambio, ha sido suyo desde siempre. 21. Misma masa de detonación $\to$ mismo brillo intrínseco $\to$ el brillo aparente da la distancia: una vela de potencia conocida visible a miles de millones de años luz — la regla que dibuja el extremo lejano del diagrama de Hubble. 22. La expansión se acelera: alguna “energía oscura” separa el universo — el Nobel de 2011, y la mayor factura pendiente de la física. 23. Los $50\,\mathrm{kpc} \approx 163000$ años luz: la luz salió mientras el Homo sapiens salía por primera vez de África. 24. $6\times10^{14}\times0.03 \approx 2\times10^{13}$ por cada humano vivo — y, con las probabilidades del Ejercicio 26.10, ni una persona de cada millón interactuó siquiera con uno: el fogonazo que eclipsó a una galaxia atravesó a la humanidad sin que esta lo notara. 25. Una estrella equilibrada diez millones de años sobre protones que hacían túnel; un colapso de una décima de segundo que pagó $10^{46}$ julios en neutrinos; el principio de Pauli sosteniendo el cadáver a densidad nuclear; y los restos dispersos — oxígeno, hierro, lector — cabalgando todavía la expansión de Hubble, en un universo cuya foto de bebé es una curva de Planck. La física, completa por ahora: volumen cerrado.

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