Física universitaria — tercer año · Bachelor Year 3

5Dinámica relativista

En 1964, William Bertozzi filmó electrones lanzados por un acelerador lineal: a cada paquete se le daba una energía medida y se cronometraba su velocidad a lo largo de $8.4\,\mathrm{m}$ de vuelo. Newton predecía que unos electrones de $15\,\mathrm{MeV}$ debían volar a ocho veces la velocidad de la luz; el cronómetro dijo $0.9999c$ y se negó a ir más allá por mucho que se empujara a los electrones. La cinemática nos dijo en el capítulo anterior que $c$ es un límite; la dinámica debe explicar ahora qué le ocurre al empuje — adónde va el trabajo cuando la velocidad ya no crece. La respuesta reorganiza la mecánica en torno a un momento nuevo y a una energía nueva, unidos en la ecuación más famosa de la física: la energía almacenada es masa y la masa es energía residente, $E = mc^2$ . Este capítulo construye esa dinámica y la pone luego a trabajar allí donde vive a diario — desintegraciones radiactivas, colisiones de partículas y los aceleradores que convierten movimiento en materia nueva.

5.1 El momento y la energía, reconstruidos

Observación 5.1 (Por qué hubo que jubilar a $m\vect v$ )

El momento clásico $m\vect v$ se conserva en todo sistema si las velocidades se transforman à la Galileo. No lo hacen (Proposición 4.10): una colisión que conserva $\sum m\vect v$ en un sistema deja de hacerlo en otro, de modo que el momento antiguo no puede ser una ley de la naturaleza — a lo sumo la sombra de una a baja velocidad. El arreglo consiste en medir la velocidad con el reloj propio de la partícula: $\dd\vect r/\dd\tau = \gamma\,\vect v$ se transforma limpiamente, y $m\,\dd\vect r/\dd\tau$ resulta conservarse en todos los sistemas a la vez.

Definición 5.2 (Momento y energía relativistas)

Una partícula de masa $m$ y velocidad $\vect v$ ( $\gamma = 1/\sqrt{1 - v^2/c^2}$ ) lleva el momento y la energía

\vect p = \gamma m\vect v , \qquad E = \gamma mc^2 .

En reposo, $E_0 = mc^2$ : la energía en reposo. La energía cinética es lo que añade el movimiento, $E_k = E - mc^2 = (\gamma - 1)mc^2$ , que para $v \ll c$ se reduce al conocido $\tfrac12 mv^2$ (desarróllese $\gamma$ ). En todo proceso aislado se conservan el $\vect p$ total y la $E$ total — energías en reposo incluidas.

Teorema 5.3 (La relación energía–momento)

Para toda partícula,

E^2 = (pc)^2 + (mc^2)^2 , \qquad \vect v = \frac{\vect p\,c^2}{E} :

la combinación $E^2 - p^2c^2 = m^2c^4$ tiene el mismo valor en todo sistema — es a la energía y al momento lo que el intervalo es al tiempo y al espacio. Dos regímenes: a baja velocidad, $E \approx mc^2 + p^2/2m$ ; a alta energía ( $E \gg mc^2$ ), $E \approx pc$ y $v \to c$ : empujar más fuerte añade energía y momento, y casi nada de velocidad.

Demostración. $E^2 - p^2c^2 = \gamma^2m^2c^4(1 - v^2/c^2) = m^2c^4$ ; y $pc^2/E = \gamma mvc^2/\gamma mc^2 = v$ . La invariancia se sigue de que $m$ y $c$ no dependen del sistema. ∎

Proposición 5.4 (Partículas sin masa)

Una partícula de masa nula cumple $E = pc$ y se mueve exactamente a $c$ en todo sistema; no puede frenarse, solo enrojecerse. El fotón es el caso estándar: $E = h\nu$ y $p = h\nu/c = h/\lambda$ — las relaciones de Planck–Einstein del volumen del Año 1, vistas ahora como el rincón $m = 0$ de la mecánica.

Demostración. Hágase $m = 0$ en el Teorema 5.3: $E = pc$ y $v = pc^2/E = c$ . ∎

Izquierda: el experimento de la “velocidad última” de Bertozzi — las velocidades medidas de los electrones (puntos) siguen la curva relativista y saturan en c, mientras la recta de Newton sigue de largo. Derecha: la hipérbola energía–momento; su ordenada en p = 0 es la energía en reposo y su asíntota, el E = pc del fotón. — Izquierda: el experimento de la “velocidad última” de Bertozzi — las velocidades medidas de los electrones (puntos) siguen la curva relativista y saturan en $c$ , mientras la recta de Newton sigue de largo. Derecha: la hipérbola energía–momento; su ordenada en $p = 0$ es la energía en reposo y su asíntota, el $E = pc$ del fotón.

Ejemplo 5.5 (Órdenes de magnitud)

La física de partículas cuenta la energía en electronvoltios y las masas en $\mathrm{MeV}/c^2$ : electrón $0.511$ , protón $938.3$ , muon $105.7$ , pion $139.6$ . Un electrón de energía cinética $1\,\mathrm{MeV}$ tiene $\gamma = 2.96$ y $v = 0.94c$ — plenamente relativista ya, y por eso la electrónica sigue siendo clásica ( $\mathrm{eV}$ ) y la física nuclear no ( $\mathrm{MeV}$ ). Un protón del LHC de $6.8\,\mathrm{TeV}$ tiene $\gamma = 7250$ y se queda atrás de un fotón por solo $2.9\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ .

5.2 La masa es energía residente

Teorema 5.6 (Equivalencia masa–energía)

La masa de un cuerpo es la energía total de su contenido dividida por $c^2$ , medida en su sistema propio: caliente un cuerpo, tense su resorte, excítense sus átomos, y pesará más en $\Delta E/c^2$ ; líguense sus partes entre sí y pesará menos en la energía de enlace dividida por $c^2$ — el defecto de masa. A la inversa, la energía en reposo puede liberarse: siempre que las masas finales sumen menos que las iniciales, la diferencia $\Delta m\,c^2$ emerge como energía cinética o radiación.

Demostración. Admitido a este nivel. ∎

Ejemplo 5.7 (La contabilidad de $c^2$ )

$c^2 = 9 \times 10^{16}\,\mathrm{J}/\mathrm{kg}$ : un gramo de diferencia de masa son $9 \times 10^{13}\,\mathrm{J}$ , la energía de una ciudad pequeña durante un día. Los enlaces químicos (unos pocos eV por molécula) desplazan las masas en partes en $10^{10}$ — imposibles de pesar para siempre, y por eso la química nunca se dio cuenta. El enlace nuclear las desplaza casi un $1\%$ : el helio pesa un $0.7\%$ menos que sus cuatro ingredientes de hidrógeno, y esa fracción que falta, saliendo del Sol en forma de luz, le cuesta $\Delta m = L_\odot/c^2 = 4.3 \times 10^{9}\,\mathrm{kg}$ cada segundo — cuatro millones de toneladas de luz solar. La aniquilación salda la cuenta entera: un electrón que se encuentra con un positrón no deja más que dos fotones de $511\,\mathrm{keV}$ cada uno, la señal con la que los escáneres PET observan un cerebro vivo.

Observación 5.8 (Qué significa “conversión”)

Nada material “se convierte en” energía: la energía total se conservó siempre. Lo que cambia es su residencia — de energía en reposo, que pesa, a energía cinética y radiación, que vuelan. El enunciado profundo de $E = mc^2$ es que la propia inercia es un contenido de energía: una caja de gas caliente se resiste a ser acelerada más que la misma caja fría.

5.3 Colisiones y desintegraciones

Definición 5.9 (Cuadrimomento y masa invariante)

Agrupemos la energía y el momento de una partícula en su cuadrimomento $P = (E/c, \vect p)$ . Para un sistema de partículas, súmense componente a componente: $E_{\text{tot}} = \sum E_i$ , $\vect p_{\text{tot}} = \sum\vect p_i$ . La masa invariante $M$ del sistema se define por

M^2c^4 = E_{\text{tot}}^2 - \|\vect p_{\text{tot}}\|^2c^2 :

el mismo número en todo sistema, igual a la energía total (dividida por $c^2$ ) en el sistema del centro de momentos, aquel en el que $\vect p_{\text{tot}} = \vect 0$ . Obsérvese que $M$ supera a la suma de las masas de las partes siempre que estas se muevan unas respecto de otras — dos fotones que se separan tienen $M > 0$ aunque cada uno carezca de masa.

Método 5.10 (Resolver una colisión relativista)

(1) Escribir la conservación del cuadrimomento: $E$ y $\vect p$ juntos, nunca uno solo. (2) Calcular el invariante $E^2 - p^2c^2$ del conjunto que resulte cómodo — puede evaluarse en el sistema más fácil y usarse en cualquier otro. (3) Umbrales: una reacción es posible cuando la masa invariante del estado inicial alcanza la suma de las masas en reposo del final. (4) Desintegraciones en reposo: los momentos de los productos son opuestos e iguales, y las energías se siguen solo de las masas. (5) Solo al final, si se pide, pasar a velocidades mediante $v = pc^2/E$ .

Ejemplo 5.11 (La huella del pion)

Un pion cargado en reposo se desintegra según $\pi^+ \to \mu^+ + \nu$ (con el neutrino efectivamente sin masa). La conservación del momento hace que los productos salgan en sentidos opuestos con el mismo $p$ ; la conservación de la energía se lee $m_\pi c^2 = \sqrt{p^2c^2 + m_\mu^2c^4} + pc$ . Al resolver:

pc = \frac{(m_\pi^2 - m_\mu^2)c^2}{2m_\pi} = 29.8\,\mathrm{MeV} ,

de modo que todo muon procedente de un pion que se desintegra en reposo nace con exactamente $4.1\,\mathrm{MeV}$ de energía cinética — una línea monoenergética cuya observación (Powell, 1947) fue como se pesó por primera vez la masa del pion. Las desintegraciones a dos cuerpos producen siempre líneas así; las de tres cuerpos las difuminan en espectros, que es precisamente como se sospechó del neutrino en la desintegración $\beta$ .

Proposición 5.12 (Umbrales: la tiranía del blanco fijo)

Para crear partículas nuevas solo está disponible la energía del centro de momentos, $Mc^2$ . Un haz de energía $E$ que golpea un blanco de masa $m_{\text{t}}$ en reposo da

M^2c^4 = m_{\text{b}}^2c^4 + m_{\text{t}}^2c^4 + 2\,E\,m_{\text{t}}c^2 :

la energía útil solo crece como $\sqrt E$ — el resto se desperdicia empujando hacia delante los restos. Dos haces idénticos que chocan frontalmente dan $Mc^2 = 2E$ : todo aprovechable. Esta sola fórmula es la razón de que las máquinas de frontera sean colisionadores (Problema 5.1).

Demostración. Evalúese $E_{\text{tot}}^2 - p_{\text{tot}}^2c^2$ en el laboratorio: $(E + m_{\text{t}}c^2)^2 - p^2c^2$ con $p$ el momento del haz; desarróllese y úsese $E^2 - p^2c^2 = m_{\text{b}}^2c^4$ . Para el colisionador, $\vect p_{\text{tot}} = \vect 0$ y $Mc^2 = E_{\text{tot}}$ . ∎

Fabricar materia a partir de movimiento: sobre un blanco fijo, la conservación del momento obliga a los productos a seguir volando, y la energía útil del centro de momentos solo crece como √ E; en una colisión frontal es la totalidad de 2E. — Fabricar materia a partir de movimiento: sobre un blanco fijo, la conservación del momento obliga a los productos a seguir volando, y la energía útil del centro de momentos solo crece como $\sqrt E$ ; en una colisión frontal es la totalidad de $2E$ .

5.4 La fuerza y las máquinas

Proposición 5.13 (Ecuación relativista del movimiento)

La ley de Newton sobrevive en la forma

\vect F = \frac{\dd\vect p}{\dd t} = \frac{\dd(\gamma m\vect v)} {\dd t} , \qquad \frac{\dd E}{\dd t} = \vect F\cdot\vect v .

Un campo magnético, siempre perpendicular a $\vect v$ , no cambia la energía y curva la trayectoria en una circunferencia de radio

r = \frac{p}{qB}

— la misma fórmula que en el volumen del Año 1, con el $p$ relativista. Pero la frecuencia de circulación $qB/\gamma m$ ahora decrece a medida que la partícula gana energía: el empuje de frecuencia fija del ciclotrón se desacompasa hacia la escala del MeV, y las máquinas de alta energía — los sincrotrones — hacen variar en cambio su campo y su frecuencia en sincronía con $\gamma$ , manteniendo el haz en un único anillo.

Demostración parcial. La ley de fuerza es la definición de dinámica coherente con el momento nuevo ( $\dd E/\dd t$ se sigue de $E^2 = p^2c^2 + m^2c^4$ : $E\,\dot E = c^2\vect p\cdot\dot{\vect p}$ ). En cuanto a la circunferencia: $|\dd\vect p/\dd t| = qvB$ con $|\vect p|$ constante significa que el vector momento gira con velocidad angular $qvB/p$ , de modo que el radio es $v/(qvB/p) = p/qB$ . ∎

Ejemplo 5.14 (Leer el LHC como un ejercicio)

Protones de $E = 6.8\,\mathrm{TeV}$ en dipolos de $B = 8.3\,\mathrm{T}$ : $p \approx E/c$ (ultrarrelativista), luego $r = p/qB = 2.7\,\mathrm{km}$ — y, en efecto, el radio de curvatura magnético del anillo es de $2.8\,\mathrm{km}$ , pues los $27\,\mathrm{km}$ de circunferencia son sobre todo imanes. Las colisiones frontales proporcionan $Mc^2 = 13.6\,\mathrm{TeV}$ ; alcanzar eso sobre un blanco fijo exigiría un haz de $2E^2/m_{\text{p}}c^2 \approx 10^{17}\,\mathrm{eV}$ — cien veces el alcance de cualquier máquina jamás construida. La fórmula del colisionador, y no unos imanes más potentes, es lo que compró la frontera energética moderna.

Partículas cargadas cruzando una cámara de niebla. Trazas como estas — que se enroscan en los campos magnéticos y aparecen por parejas — convirtieron E = mc2 de fórmula en contabilidad cotidiana: el positrón se descubrió en una fotografía así. — Partículas cargadas cruzando una cámara de niebla. Trazas como estas — que se enroscan en los campos magnéticos y aparecen por parejas — convirtieron $E = mc^2$ de fórmula en contabilidad cotidiana: el positrón se descubrió en una fotografía así.

5.5 Ejercicios

Ejercicio 5.1 ★

Un electrón ( $mc^2 = 0.511\,\mathrm{MeV}$ ) se mueve a $0.99c$ . Calcúlese $\gamma$ , su momento en $\mathrm{MeV}/c$ y sus energías total y cinética. Las mismas preguntas para un protón ( $mc^2 = 938\,\mathrm{MeV}$ ) de energía cinética $1\,\mathrm{GeV}$ .

Solución

Solución de Ejercicio 5.1.

Electrón: $\gamma = 7.09$ ; $pc = \gamma\beta\,mc^2 = 3.59\,\mathrm{MeV}$ , luego $p = 3.59\,\mathrm{MeV}/c$ ; $E = 3.62\,\mathrm{MeV}$ , $E_k = 3.11\,\mathrm{MeV}$ . Protón: $E = 938 + 1000 = 1938\,\mathrm{MeV}$ , $\gamma = 2.07$ , $pc = \sqrt{E^2 - (mc^2)^2} = 1696\,\mathrm{MeV}$ , $\beta = pc/E = 0.875$ .

Ejercicio 5.2 ★

(a) ¿Cuánta energía duerme en un gramo de materia? (b) La explosión de Hiroshima liberó unos $6 \times 10^{13}\,\mathrm{J}$ : ¿a qué diferencia de masa equivale? (c) El Sol radia $L = 3.8 \times 10^{26}\,\mathrm{W}$ : ¿cuánta masa pierde por segundo, y qué fracción de sus $2 \times 10^{30}\,\mathrm{kg}$ en diez mil millones de años? (d) La batería de su teléfono almacena $5 \times 10^{4}\,\mathrm{J}$ : ¿cuánto pesa más un teléfono cargado?

Solución

Solución de Ejercicio 5.2.

(a) $10^{-3} \times 9 \times 10^{16} = 9 \times 10^{13}\,\mathrm{J}$ . (b) $6 \times 10^{13}/ 9 \times 10^{16} \approx 0.7\,\mathrm{g}$ — la bomba convirtió menos de un gramo. (c) $L/c^2 = 4.2 \times 10^{9}\,\mathrm{kg}/\mathrm{s}$ ; a lo largo de $10^{10}\,\mathrm{yr}$ ( $3.2 \times 10^{17}{}\,\mathrm{s}$ ): $1.3 \times 10^{27}{}\,\mathrm{kg}$ , alrededor del $0.07\%$ del Sol. (d) $5 \times 10^{4}/9 \times 10^{16} \approx 0.6\,\mathrm{ng}$ — real y para siempre impesable.

Ejercicio 5.3 ★

(a) ¿Qué momento transporta por segundo el haz de un puntero láser de $5\,\mathrm{mW}$ , y qué fuerza siente el puntero? (b) ¿Qué fuerza ejerce la luz solar ( $1.4\,\mathrm{kW}/\mathrm{m}^{2}$ ) sobre una vela solar perfectamente reflectante de $100\,\mathrm{m}^{2}$ ? (c) Partiendo del reposo, ¿a qué velocidad se mueve una nave vélica de $10\,\mathrm{kg}$ al cabo de un mes? (d) ¿Por qué apunta la cola de polvo de un cometa en dirección opuesta al Sol?

Solución

Solución de Ejercicio 5.3.

(a) $p = P/c$ por segundo: una fuerza de retroceso $F = P/c = 1.7 \times 10^{-11}\,\mathrm{N}$ . (b) La reflexión duplica la transferencia: $F = 2\Phi A/c = 2 \times 1400 \times 100/3 \times 10^{8} \approx 0.9\,\mathrm{mN}$ . (c) $a \approx 9 \times 10^{-5}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ ; al cabo de $2.6 \times 10^{6}\,\mathrm{s}$ : $v \approx 240\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ — lenta al arrancar, pero el motor nunca se queda seco. (d) El momento de la luz solar (junto con el viento solar) empuja el polvo continuamente hacia fuera: la cola se aleja del Sol, no queda detrás del cometa.

Ejercicio 5.4 ★

Práctica con unidades. (a) Muéstrese que $\mathrm{MeV}/c^2$ es una unidad de masa y conviértase la masa del electrón a kilogramos. (b) ¿Cuánto es $1\,\mathrm{GeV}/\mathrm{c}$ en $\mathrm{kg}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ? (c) Una masa invariante al cuadrado resulta $s = 16\,\mathrm{GeV}^{2}$ (en unidades $c = 1$ ): ¿a qué energía del centro de momentos corresponde? (d) ¿Por qué hacen $c = 1$ los físicos de partículas y qué debe reinsertar un lector para obtener cifras del SI?

Solución

Solución de Ejercicio 5.4.

(a) $m = E_0/c^2$ : $0.511 \times 10^{6} \times 1.6 \times 10^{-19}/9 \times 10^{16} = 9.1 \times 10^{-31}\,\mathrm{kg}$ . (b) $10^{9} \times 1.6 \times 10^{-19}/3 \times 10^{8} = 5.3 \times 10^{-19}\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ . (c) $\sqrt s = 4\,\mathrm{GeV}$ de energía en el centro de momentos. (d) Con $c = 1$ , la energía, el momento y la masa comparten una sola unidad y toda fórmula pierde sus $c$ ; para volver al SI, se reinserta la única potencia de $c$ que ajusta las dimensiones.

Ejercicio 5.5 ★★

Los electrones de Bertozzi tenían energías cinéticas de $0.5$ , $1$ , $4.5$ y $15\,\mathrm{MeV}$ . (a) Calcúlese para cada uno la predicción de Newton $v^2 = 2E_k/m$ , en unidades de $c^2$ . (b) Calcúlese el $v^2/c^2$ relativista. (c) Su tiempo de vuelo sobre $8.4\,\mathrm{m}$ a $15\,\mathrm{MeV}$ : ¿qué marcó el cronómetro y qué habría predicho Newton? (d) La energía de los electrones se midió además calorimétricamente — por su calor al impactar —: ¿por qué era ese paso el verdadero núcleo del experimento?

Solución

Solución de Ejercicio 5.5.

(a) $2E_k/mc^2$ : $1.96$ , $3.9$ , $17.6$ , $59$ — absurdo a partir del primero. (b) $1 - (1 + E_k/mc^2)^{-2}$ : $0.74$ , $0.89$ , $0.990$ , $0.9989$ . (c) $8.4/0.99946c = 28.0\,\mathrm{ns}$ ; los $7.7c$ de Newton habrían dado $3.7\,\mathrm{ns}$ . (d) El calorímetro demostró que los electrones llevaban realmente los $15\,\mathrm{MeV}$ enteros hasta el blanco: la energía estaba toda allí y, aun así, la velocidad había dejado de crecer — el trabajo compra ahora momento y energía, no velocidad.

Ejercicio 5.6 ★★

El pion cargado se desintegra en reposo: $\pi^+ \to \mu^+\nu$ , $m_\pi c^2 = 139.6\,\mathrm{MeV}$ , $m_\mu c^2 = 105.7\,\mathrm{MeV}$ , $m_\nu \approx 0$ . (a) Muéstrese que $pc = (m_\pi^2 - m_\mu^2)c^4/2m_\pi c^2$ y evalúese. (b) La energía cinética y la velocidad del muon. (c) La energía del neutrino. (d) En vuelo con $\gamma_\pi = 50$ , ¿cuáles son las energías máxima y mínima del muon en el laboratorio (desintegración hacia delante y hacia atrás)?

Solución

Solución de Ejercicio 5.6.

(a) $m_\pi c^2 = \sqrt{p^2c^2 + m_\mu^2c^4} + pc$ ; aíslese la raíz y elévese al cuadrado: $pc = (m_\pi^2 - m_\mu^2)c^4/2m_\pi c^2 = (139.6^2 - 105.7^2)/(2 \times 139.6) = 29.8\,\mathrm{MeV}$ . (b) $E_\mu = \sqrt{29.8^2 + 105.7^2} = 109.8\,\mathrm{MeV}$ : $E_k = 4.1\,\mathrm{MeV}$ , $\beta = 29.8/109.8 = 0.27$ . (c) $E_\nu = pc = 29.8\,\mathrm{MeV}$ . (d) Al pasar al sistema del laboratorio: $E_{\text{lab}} = \gamma(E^* \pm \beta p^*c)$ con $\beta \approx 1$ : entre $50 \times (109.8 - 29.8) = 4.0\,\mathrm{GeV}$ y $50 \times (109.8 + 29.8) = 7.0\,\mathrm{GeV}$ .

Ejercicio 5.7 ★★

La masa invariante en acción. (a) Dos fotones de $200\,\mathrm{MeV}$ cada uno vuelan formando $60^\circ$ entre sí: calcúlese la masa invariante de la pareja. (b) Un pion neutro ( $m_{\pi^0}c^2 = 135\,\mathrm{MeV}$ ) se desintegra en dos fotones: ¿cuál es la masa invariante de la pareja de fotones, en cualquier sistema? (c) Explíquese cómo un experimento “descubre” una partícula como una joroba en la distribución de masa invariante de sus productos de desintegración. (d) Dos fotones de igual energía vuelan exactamente paralelos: ¿masa invariante? ¿Qué dice esto sobre el sistema propio de un haz de luz?

Solución

Solución de Ejercicio 5.7.

(a) Para dos cuantos sin masa, $M^2c^4 = 2E_1E_2(1 - \cos\theta) = 2 \times 200^2 \times \tfrac12$ : $M = 200\,\mathrm{MeV}/c^2$ . (b) Exactamente $m_{\pi^0}$ — la masa invariante es la masa de la partícula, en todos los sistemas. (c) Se calcula $M$ para cada pareja de fotones del suceso: las parejas al azar se reparten suavemente y las hijas verdaderas de una partícula se amontonan en su masa — la joroba. (d) $\theta = 0$ : $M = 0$ ; un haz de luz paralelo no tiene sistema propio — se mueve a $c$ como un todo, igual que cada uno de sus fotones.

Ejercicio 5.8 ★★

Contabilidad del LHC (protones de $E = 6.8\,\mathrm{TeV}$ ). (a) $\gamma$ y el déficit de velocidad $c - v$ (úsese $c - v \approx c/2\gamma^2$ ). (b) La frecuencia de revolución en el anillo de $27\,\mathrm{km}$ y el número de vueltas por segundo. (c) La energía almacenada en un haz de $3 \times 10^{14}$ protones, en kilogramos de TNT ( $4.2 \times 10^{6}\,\mathrm{J}/\mathrm{kg}$ ). (d) El equivalente en masa de la energía cinética de los dos haces, en microgramos — materia a punto de fabricarse.

Solución

Solución de Ejercicio 5.8.

(a) $\gamma = 6.8 \times 10^{12}/9.38 \times 10^{8} = 7250$ ; $c - v \approx c/2\gamma^2 = 2.9\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ . (b) $f = v/L \approx 3 \times 10^{8}/27000 = 11.1\,\mathrm{kHz}$ : once mil vueltas por segundo. (c) $3 \times 10^{14} \times 6.8\,\mathrm{TeV} = 3.3 \times 10^{8}\,\mathrm{J} \approx 78\,\mathrm{kg}$ de TNT — en un haz más fino que un cabello. (d) $2 \times 3.3 \times 10^{8}/9 \times 10^{16} \approx 7\,\text{µ}\mathrm{g}$ : las existencias de materia por nacer.

Ejercicio 5.9 ★★

Fotones que chocan. (a) Muéstrese que un solo fotón en el vacío no puede desintegrarse en un par electrón–positrón, por energético que sea (úsese el invariante). (b) Frente a un segundo fotón de energía $\epsilon$ y frontalmente, muéstrese que la creación de pares exige $E\epsilon \ge (m_{\text{e}}c^2)^2$ . (c) ¿Qué compañero necesita un fotón de $511\,\mathrm{keV}$ ? ¿Y un rayo X de $50\,\mathrm{keV}$ ? (d) El universo está lleno de luz estelar y del fondo cósmico de microondas: ¿qué predice (b) para el alcance de los rayos $\gamma$ de TeV a través del espacio intergaláctico?

Solución

Solución de Ejercicio 5.9.

(a) La masa invariante de un fotón es $0$ ; la de un par $e^+e^-$ vale al menos $2m_{\text{e}}c^2$ . El invariante no puede cambiar en una desintegración aislada: prohibida. (Equivalentemente: en ningún sistema puede equilibrarse el momento). (b) Frontalmente, $M^2c^4 = 4E\epsilon$ ; la creación de pares exige $Mc^2 \ge 2m_{\text{e}}c^2$ , es decir, $E\epsilon \ge (m_{\text{e}}c^2)^2$ . (c) Otro fotón de $511\,\mathrm{keV}$ ; para $50\,\mathrm{keV}$ , un compañero de $0.511^2/0.05 = 5.2\,\mathrm{MeV}$ . (d) Un fotón de TeV encuentra el umbral $(m_{\text{e}}c^2)^2/E \sim 0.3\,\mathrm{eV}$ en la luz estelar ordinaria: el propio cielo absorbe los rayos $\gamma$ de TeV a distancias cosmológicas — el universo no es transparente a todas las energías.

Ejercicio 5.10 ★★★

Compton, con cuadrimomentos. Un fotón de longitud de onda $\lambda$ golpea un electrón en reposo y se dispersa con ángulo $\theta$ . (a) Escríbase la conservación del cuadrimomento y despéjese el invariante del electrón final. (b) Dedúzcase

\lambda' - \lambda = \frac{h}{m_{\text{e}}c}\,(1 - \cos\theta) .

(c) Evalúense $h/m_{\text{e}}c$ y el desplazamiento máximo; ¿por qué es el efecto invisible con luz visible y decisivo para los rayos X? (d) ¿Qué estableció la medida de Compton de 1923 sobre la luz que el efecto fotoeléctrico no había establecido?

Solución

Solución de Ejercicio 5.10.

(a) $P_{e'} = P_\gamma + P_e - P_{\gamma'}$ ; elévense al cuadrado ambos miembros (invariantes): $m_{\text{e}}^2c^4 = m_{\text{e}}^2c^4 + 2P_\gamma\! \cdot\!P_e - 2P_{\gamma'}\!\cdot\!P_e - 2P_\gamma\!\cdot\!P_{\gamma'}$ . (b) Con $P_\gamma\!\cdot\!P_e = E m_{\text{e}}$ , $P_{\gamma'}\!\cdot\!P_e = E'm_{\text{e}}$ y $P_\gamma\!\cdot\! P_{\gamma'} = EE'(1 - \cos\theta)/c^2$ : $m_{\text{e}}c^2(E - E') = EE'(1 - \cos\theta)$ , que en longitudes de onda ( $E = hc/\lambda$ ) es el desplazamiento enunciado. (c) $h/m_{\text{e}}c = 2.43\,\mathrm{pm}$ , y como mucho $4.9\,\mathrm{pm}$ : una parte en $10^5$ de la luz visible (invisible), y un porcentaje de un rayo X de $100\,\mathrm{pm}$ (medible). (d) Que un fotón choca como una bola de billar — transportando un momento $h/\lambda$ intercambiado en sucesos individuales, y no solo energía a granel.

Ejercicio 5.11 ★★★

El final del espectro de rayos cósmicos. El universo está bañado en fotones de microondas de energía típica $\epsilon = 6 \times 10^{-4}\,\mathrm{eV}$ . Un protón de energía $E$ que golpea uno frontalmente puede excitarse hasta la resonancia $\Delta$ ( $m_\Delta c^2 = 1232\,\mathrm{MeV}$ ) y pierde energía cada vez. (a) Muéstrese que la condición de umbral es aproximadamente $4E\epsilon = (m_\Delta^2 - m_{\text{p}}^2)c^4$ . (b) Calcúlese el $E$ umbral. (c) Por encima de él, el universo es opaco a los protones más allá de unos $100\,\mathrm{Mly}$ : ¿qué predice esto para el espectro observado de rayos cósmicos (el corte de Greisen–Zatsepin–Kuzmin)? (d) Se han registrado rayos cósmicos de $3 \times 10^{20}\,\mathrm{eV}$ — las partículas “Oh-My-God”: ¿qué exige su existencia de sus fuentes?

Solución

Solución de Ejercicio 5.11.

(a) $M^2c^4 = m_{\text{p}}^2c^4 + 4E\epsilon$ frontalmente (con el protón ultrarrelativista); umbral en $M = m_\Delta$ . (b) $E = (1232^2 - 938^2)\,\mathrm{MeV}^{2}/(4 \times 6 \times 10^{-4}\,\mathrm{eV}) \approx 2.7 \times 10^{20}\,\mathrm{eV}$ para el fotón medio — la cola térmica del fondo de microondas baja el corte efectivo hasta $\sim6 \times 10^{19}\,\mathrm{eV}$ . (c) Los protones por encima del corte ceden energía a la $\Delta$ en $\sim10^{8}\,\mathrm{ly}$ : el espectro debería terminar cerca de $6 \times 10^{19}\,\mathrm{eV}$ para las fuentes lejanas — la supresión GZK observada. (d) Sus fuentes han de ser a la vez aceleradores extraordinarios y cósmicamente cercanas — dentro de nuestro supercúmulo —, lo que es parte de la razón por la que aún se busca su origen.

Ejercicio 5.12 ★★★

El cohete de fotones. Un cohete de masa inicial $m_{\text{i}}$ emite su escape como un haz de luz colimado y alcanza la velocidad $\beta c$ . (a) Conservando energía y momento entre el principio y el final, muéstrese que

\frac{m_{\text{i}}}{m_{\text{f}}} = \sqrt{\frac{1 + \beta}{1 - \beta}} = \eu^{\varphi} ,

la exponencial de la rapidez — la ecuación relativista de Tsiolkovski con el mejor escape posible. (b) ¿Razón de masas para alcanzar $0.9c$ ? ¿Y para alcanzar $0.9c$ y detenerse en el destino? (c) El haz hay que fabricarlo de algún modo: con aniquilación materia–antimateria de eficiencia perfecta, ¿cuántos kilogramos de antimateria por kilogramo de carga útil para el viaje de ida a $0.9c$ ? (d) La producción mundial de antiprotones es de nanogramos al año: conclúyase, en una frase, sobre los cohetes de fotones.

Solución

Solución de Ejercicio 5.12.

(a) Energía: $m_{\text{i}}c^2 = \gamma m_{\text{f}}c^2 + E_\ell$ ; momento: $\gamma m_{\text{f}}\beta c = E_\ell/c$ . Elimínese $E_\ell$ : $m_{\text{i}} = \gamma(1 + \beta)m_{\text{f}} = m_{\text{f}}\sqrt{(1+\beta)/(1-\beta)}$ . (b) $\sqrt{19} = 4.4$ ; acelerar y frenar lo eleva al cuadrado: $19$ . (c) La masa consumida $m_{\text{i}} - m_{\text{f}} = 3.4\,m_{\text{f}}$ debe ser combustible aniquilado, mitad de él antimateria: $1.7\,\mathrm{kg}$ de antimateria por kilogramo entregado (solo ida, sin frenado). (d) Con una producción mundial de nanogramos al año, los cohetes de fotones siguen siendo aritmética, no ingeniería.

El descubrimiento de la antimateria (Carl D. Anderson, 1932, dominio público): un único positrón que asciende atravesando la placa de plomo de la cámara de niebla, curvándose al revés que un electrón y demasiado cerrado para ser un protón — la contabilidad de E = mc2 sorprendida marchando al revés. — El descubrimiento de la antimateria (Carl D. Anderson, 1932, dominio público): un único positrón que asciende atravesando la placa de plomo de la cámara de niebla, curvándose al revés que un electrón y demasiado cerrado para ser un protón — la contabilidad de $E = mc^2$ sorprendida marchando al revés.

5.6 Problema: fabricar materia — el antiprotón y el Bevatrón

Problema 5.1

Problema de fin de semana — cómo puso precio al antimundo la conservación del momento

Las ecuaciones de Dirac exigían, desde 1931, que el protón tuviese un gemelo especular de carga opuesta. Fabricar uno significaba comprar su energía en reposo con energía del haz — y la conservación del momento fijó el precio. Este problema lo tasa, diseña la máquina que lo pagó y sigue el descubrimiento de 1955. Datos: $m_{\text{p}}c^2 = 938.3\,\mathrm{MeV}$ ; la carga y el número bariónico (protones y neutrones $+1$ , antiprotones $-1$ ) se conservan en toda reacción.

Parte I — La caja de herramientas del cuadrimomento.

Para una partícula, muéstrese $E^2 - p^2c^2 = m^2c^4$ a partir de las definiciones de $E$ y $\vect p$ .
Para un sistema, ¿por qué es $E_{\text{tot}}^2 - p_{\text{tot}}^2c^2$ el mismo en todos los sistemas y a qué equivale en el sistema del centro de momentos?
Un haz de protones de energía $E$ golpea un protón en reposo: muéstrese que $M^2c^4 = 2m_{\text{p}}^2c^4 + 2E\,m_{\text{p}}c^2$ .
Compruébense los dos límites: a baja energía, $Mc^2 \to 2m_{\text{p}}c^2$ ; a alta energía, $Mc^2 \approx \sqrt{2E\,m_{\text{p}}c^2}$ — la ley de la raíz cuadrada.
Una reacción solo está permitida si $Mc^2$ alcanza la suma de las masas en reposo de los productos, con todos ellos en reposo en el sistema del centro de momentos en el umbral: justifíquese esta última cláusula.
¿Por qué no puede recuperarse jamás la energía cinética de los productos en el laboratorio para crear partículas sobre un blanco fijo?

Parte II — El precio del antiprotón.

En las colisiones $p + p$ , la reacción más barata que fabrica un antiprotón $\bar p$ debe fabricar además un protón de más: escríbase y justifíquese con la carga y el número bariónico.
Muéstrese que el umbral exige $Mc^2 = 4m_{\text{p}}c^2$ .
Dedúzcase la energía de haz necesaria $E = 7m_{\text{p}}c^2$ y la energía cinética $T = 6m_{\text{p}}c^2$ ; evalúese $T$ .
En el umbral, ¿qué fracción de la energía cinética del haz se convirtió realmente en masa en reposo nueva (los $2m_{\text{p}}c^2$ correspondientes)? ¿Dónde está el resto?
En un colisionador frontal $p$ – $p$ , ¿qué energía cinética por haz necesitaría la misma reacción? Compárense los dos diseños.
En 1954 no existía ningún colisionador (los haces eran demasiado tenues para acertarse entre sí): ¿qué hecho práctico obligó a elegir el blanco fijo y qué costó eso en energía de haz?

Parte III — Diseñar el Bevatrón. La máquina construida en Berkeley alcanzó $T = 6.2\,\mathrm{GeV}$ — holgadamente por encima del umbral — con campos dipolares de $B = 1.56\,\mathrm{T}$ .

Calcúlense la energía total y el momento del haz a máxima energía.
Calcúlese el radio de curvatura $r = p/qB$ y compárese con los $15.2\,\mathrm{m}$ de la máquina.
Calcúlense la velocidad del protón y la frecuencia de revolución en el anillo de longitud $2\pi r$ .
En la inyección, los protones llegan con $10\,\mathrm{MeV}$ de energía cinética: calcúlese su velocidad y explíquese por qué la frecuencia aceleradora debía barrer durante cada ciclo (¿qué dos magnitudes cambian al crecer $E$ ?).
Con unos $1.5\,\mathrm{kV}$ ganados por vuelta, ¿cuántas vueltas y cuánto tiempo dura un ciclo de aceleración?
El nombre “Bevatrón” venía de BeV, miles de millones de electronvoltios: enúnciese en una línea qué física fijó la cifra de diseño de $6$ y pico BeV.

Parte IV — El descubrimiento, 1955.

Un imán curva a cada candidato sobre una circunferencia: explíquese por qué eso selecciona partículas por momento ( $r = p/qB$ ) y no por energía ni por velocidad — y por qué un haz seleccionado en momento mezcla todavía especies distintas.
El haz sobre un blanco de cobre producía torrentes de piones negativos ( $m_\pi c^2 = 139.6\,\mathrm{MeV}$ ) entre los que se escondían unos pocos antiprotones. El espectrómetro seleccionaba negativos de momento $p = 1.19\,\mathrm{GeV}/c$ : calcúlense la velocidad de un antiprotón y la de un pion con ese momento.
A lo largo de los $12\,\mathrm{m}$ de vuelo, calcúlense los dos tiempos de recorrido: ¿qué resolución temporal necesitó el descubrimiento?
Una segunda firma independiente empleaba contadores de Cherenkov, que solo se disparan por encima de un umbral de velocidad: ¿qué partícula se dispuso que los disparase y por qué importa la redundancia en un descubrimiento?
Chamberlain y Segrè contaron alrededor de un antiprotón por cada $44\,000$ piones: ¿por qué garantizaba el argumento del umbral que el ritmo sería diminuto incluso por encima de él?
Un antiprotón acaba encontrándose con un protón y se aniquila: ¿cuánta energía se libera por suceso y en qué, típicamente?
Resúmase el resultado con nombre propio: la conservación del cuadrimomento tasó el antiprotón en $T = 6m_{\text{p}}c^2 = 5.6\,\mathrm{GeV}$ sobre un blanco fijo; un sincrotrón de $6.2\,\mathrm{GeV}$ y $15\,\mathrm{m}$ lo pagó, y el antimundo se convirtió en un hecho de laboratorio — el Premio Nobel de 1959.

Solución

Solución de Problema 5.1.

1. $E^2 - p^2c^2 = \gamma^2m^2c^4(1 - \beta^2) = m^2c^4$ . 2. $E_{\text{tot}}$ y $\vect p_{\text{tot}}$ se transforman como la $E$ y el $\vect p$ de una sola partícula (son sumas), de modo que el mismo álgebra da un invariante; donde $\vect p_{\text{tot}} = \vect 0$ , es la energía total al cuadrado: $Mc^2 = E_{\text{CM}}$ . 3. $(E + m_{\text{p}}c^2)^2 - p^2c^2 = m_{\text{p}}^2c^4 + 2Em_{\text{p}}c^2 + m_{\text{p}}^2c^4$ . 4. $E \to m_{\text{p}}c^2$ da $M = 2m_{\text{p}}$ ; $E \gg m_{\text{p}}c^2$ da $Mc^2 \to \sqrt{2Em_{\text{p}}c^2}$ . 5. Todo movimiento relativo de los productos añade energía cinética en el sistema del centro de momentos por encima de sus masas en reposo; el $Mc^2$ mínimo — el umbral — los deja a todos en reposo relativo. 6. El momento del laboratorio $\vect p_{\text{tot}} \neq \vect 0$ debe sobrevivir a la colisión: los productos están condenados a moverse, y su energía cinética queda vedada a la fabricación de masa. 7. $p + p \to p + p + p + \bar p$ : la carga $+2 \to +2$ ; el número bariónico $+2 \to 1 + 1 + 1 - 1 = +2$ . Fabricar $\bar p$ solo, o con menos que un barión entero de más, rompe una de las dos. 8. Cuatro masas de protón en reposo relativo: $Mc^2 = 4m_{\text{p}}c^2$ . 9. $16m_{\text{p}}^2c^4 = 2m_{\text{p}}^2c^4 + 2Em_{\text{p}}c^2$ : $E = 7m_{\text{p}}c^2$ , $T = 6m_{\text{p}}c^2 = 5.63\,\mathrm{GeV}$ . 10. Masa en reposo nueva: $2m_{\text{p}}c^2$ de un $T = 6m_{\text{p}}c^2$ — un tercio; los otros dos tercios siguen volando como energía cinética de los productos, protegida por la conservación del momento. 11. Frontalmente, $Mc^2 = 2(T' + m_{\text{p}}c^2) = 4m_{\text{p}}c^2$ : $T' = m_{\text{p}}c^2 = 0.94\,\mathrm{GeV}$ por haz — seis veces menos que el haz sobre blanco fijo, y doce veces menos de energía cinética total. 12. Los haces de los años cincuenta eran demasiado tenues para chocar entre sí de forma útil; un blanco sólido ofrece $10^{22}$ protones por centímetro cúbico. El precio: $5.6\,\mathrm{GeV}$ en lugar de $2 \times 0.94\,\mathrm{GeV}$ . 13. $E = 6.2 + 0.94 = 7.14\,\mathrm{GeV}$ ; $pc = \sqrt{7.14^2 - 0.938^2} = 7.08\,\mathrm{GeV}$ . 14. $p = 7.08 \times 10^{9} \times 1.6 \times 10^{-19}/3 \times 10^{8} = 3.8 \times 10^{-18}\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ : $r = p/qB = 15.1\,\mathrm{m}$ — la máquina tal como se construyó. 15. $\beta = pc/E = 0.991$ ; órbita $2\pi r = 95\,\mathrm{m}$ : $f = 3.1\,\mathrm{MHz}$ . 16. A $10\,\mathrm{MeV}$ , $\beta = 0.145$ : $f = 0.46\,\mathrm{MHz}$ . Al subir la energía cambian tanto la velocidad (y con ella $f$ ) como el momento (y con él el campo necesario a radio fijo): el campo y la radiofrecuencia deben crecer a la par — el truco que define al sincrotrón. 17. $6.19 \times 10^{9}/1500 \approx 4 \times 10^{6}$ vueltas; a una frecuencia media del orden del megahercio, un ciclo de aceleración del orden de uno o dos segundos. 18. El umbral del antiprotón, $T = 6m_{\text{p}}c^2 = 5.6\,\mathrm{GeV}$ , más un margen: la contabilidad de este problema es literalmente lo que fijó la energía — y el nombre — de la máquina. 19. $r = p/qB$ no contiene masa alguna: el imán curva por igual momentos iguales, sea cual sea la partícula — de modo que el haz seleccionado sigue mezclando piones, kaones y (rara vez) antiprotones, todos a $1.19\,\mathrm{GeV}/c$ . 20. $\bar p$ : $E = \sqrt{1.19^2 + 0.938^2} = 1.51\,\mathrm{GeV}$ , $\beta = 0.79$ . $\pi^-$ : $E = \sqrt{1.19^2 + 0.140^2} = 1.20\,\mathrm{GeV}$ , $\beta = 0.993$ . 21. $t_{\bar p} = 12/(0.785c) = 51\,\mathrm{ns}$ ; $t_\pi = 40\,\mathrm{ns}$ : la separación de $11\,\mathrm{ns}$ exigía cronometraje de nanosegundos — disponible, por poco, en 1955. 22. Los contadores se ajustaron para dispararse con los piones rápidos y permanecer a oscuras ante los antiprotones lentos (un veto de velocidad); con una aguja de $1$ entre $44000$ , solo dos firmas independientes (tiempo de vuelo y umbral Cherenkov) podían excluir las falsas coincidencias. 23. Justo por encima del umbral, los productos nacen casi en reposo relativo: la reacción apenas tiene espacio de fases, mientras que la producción de piones, muy por encima de su umbral, es copiosa — la rareza quedaba garantizada por la misma cinemática que fijó el precio. 24. $2m_{\text{p}}c^2 = 1.9\,\mathrm{GeV}$ por aniquilación, típicamente en un puñado de piones que se desintegran después en fotones, muones y neutrinos. 25. La conservación del cuadrimomento tasó el antiprotón en $6m_{\text{p}}c^2 = 5.6\,\mathrm{GeV}$ sobre un blanco fijo; el Bevatrón de $6.2\,\mathrm{GeV}$ y $15.1\,\mathrm{m}$ lo pagó; el tiempo de vuelo y un veto Cherenkov hallaron una partícula del antimundo por cada $44000$ impostores — y el Premio Nobel de 1959 certificó la contabilidad.

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