Physics · Libro 5 · Bachelor Year 3

Física universitaria — tercer año

Física universitaria — tercer año · Bachelor Year 3

26Física de partículas

Despójese a la materia de su estructura, capa a capa — moléculas, átomos, núcleos, nucleones — y el pelado se detiene, de golpe, en una lista corta: seis quarks, seis leptones, un puñado de portadores de fuerza y un escalar tímido hallado en 2012. Todo lo que se ha tocado alguna vez son tres entradas de esa lista; el resto vivió en el primer microsegundo del universo y vuelve a vivir, brevemente, allí donde E=mc2E = mc^2 se paga entero — las colisiones de rayos cósmicos y los anillos de aceleradores. Este capítulo hace inventario: las partículas, las cuatro interacciones que las mueven, las leyes de conservación (las corrientes de Noether del Capítulo 1, llevando ahora la contabilidad subatómica) y los detectores que lo fotografían todo. Termina en su propio desván, contando muones fabricados diez kilómetros más arriba.

26.1 El inventario

Definición 26.1 (Leptones, quarks y hadrones)

Los ladrillos de la materia son fermiones de espín 12\tfrac12 (Capítulo 12, Capítulo 14) en dos familias de seis. Los leptones no sienten la fuerza fuerte: el electrón, el muon y el tau (de carga −e-e, cada uno más pesado que el anterior) y sus tres neutrinos — casi sin masa, casi indetectables. Los quarks vienen en seis sabores — arriba, abajo, extraño, encanto, fondo y cima — con cargas +23e+\tfrac23e (u, c, t) y −13e-\tfrac13e (d, s, b), y nunca se los ve solos: el confinamiento los ata en hadrones — bariones de tres quarks (protón == uud, neutrón == udd) y mesones de quark y antiquark (el pion, el kaón). Cada partícula tiene una antipartícula de masa idéntica y cargas opuestas (Ejercicio 26.8). La materia ordinaria usa solo la primera generación — u, d, e, νe\nu_{\text{e}}; las dos copias más pesadas difieren, por lo que nadie sabe, solo en la masa. “¿Quién pidió eso?”, sigue preguntándose la física.

La plantilla del Modelo Estándar (cargas en unidades de e). Una columna suya construye todos los átomos; las otras dos son ecos caros. La gravedad, más débil de lo medible a estas masas, no tiene asiento a la mesa — la vacante más célebre del modelo.
La plantilla del Modelo Estándar (cargas en unidades de ee). Una columna suya construye todos los átomos; las otras dos son ecos caros. La gravedad, más débil de lo medible a estas masas, no tiene asiento a la mesa — la vacante más célebre del modelo.

Observación 26.2 (Cuatro interacciones)

Todo proceso es una de cuatro fuerzas en acción, cada una portada por su bosón. La fuerza fuerte (los gluones) agarra a los quarks con un potencial que crece con la distancia — sepárense dos quarks y el campo estirado se rompe en un par nuevo de quark y antiquark (Ejercicio 26.1): de ahí el confinamiento, y un residuo suyo pega los núcleos (Capítulo 25). El electromagnetismo (el fotón, sin masa: alcance infinito) gobierna la química y la luz. La fuerza débil (la W y la Z, masivas, de ≈80\approx80–91 GeV91\,\mathrm{GeV}: alcance 10−3 fm10^{-3}\,\mathrm{fm}, de ahí lo de “débil”) es la única que cambia de sabor — la desintegración β\beta es un quark d que se hace u (Proposición 26.3) — y la única fuerza a la que responden los neutrinos. La gravedad es 103610^{36} veces más endeble que el electromagnetismo entre dos protones y no juega ningún papel de laboratorio — pero, sin apantallar y de largo alcance, gobernará todo el Capítulo 27. El electromagnetismo y la fuerza débil se unifican a alta energía en una sola interacción electrodébil — separadas, a nuestras energías frías, por la ruptura de simetría del campo de Higgs (Ejercicio 26.9).

26.2 La contabilidad: leyes de conservación

Proposición 26.3 (Leyes de conservación de las reacciones de partículas)

Una reacción ocurre solo si le cuadran las cuentas. Siempre se conservan: la energía y el momento (Capítulo 5), el momento angular y la carga eléctrica — con el teorema de Noether (Teorema 1.13) avalando cada uno. Se conservan en toda reacción observada hasta ahora: el número bariónico BB (los bariones +1+1, los antibariones −1-1) y el número leptónico LL (por familia, con excelente precisión). Así, el protón, el barión más ligero, no tiene adónde desintegrarse — la estabilidad de la materia es un teorema de contabilidad — y la desintegración β\beta debe despachar un antineutrino:

n  →  p+e−+νˉe(a nivel de quarks: d→u+e−+νˉe),\text{n} \;\to\; \text{p} + \text{e}^- + \bar\nu_{\text{e}} \qquad (\text{a nivel de quarks: } \text{d} \to \text{u} + \text{e}^- + \bar\nu_{\text{e}}) ,

que equilibra LL (y explica el espectro continuo de energías del electrón, que a punto estuvo de costarle a la física su fe en la conservación de la energía antes de que Pauli inventara el neutrino para salvarla). Los sabores (extrañeza, encanto) se conservan en los procesos fuertes y electromagnéticos, pero la débil los rompe: las partículas extrañas nacen a raudales por parejas, y luego mueren despacio y solas — la brecha de 101310^{13} entre los tiempos de vida fuertes de 10−23 s10^{-23}\,\mathrm{s} y los débiles de 10−10 s10^{-10}\,\mathrm{s} es la huella de qué fuerza firmó la desintegración.

Demostración. Admitido a este nivel. ∎

La desintegración , ampliada al nivel de los quarks: un quark d se hace u emitiendo una W- virtual, que se materializa como electrón más antineutrino. Todos los libros cuadran: la carga, -1/3 = +2/3 - 1 + 0, el número bariónico y el leptónico.
La desintegración β\beta, ampliada al nivel de los quarks: un quark d se hace u emitiendo una W−^- virtual, que se materializa como electrón más antineutrino. Todos los libros cuadran: la carga, −13=+23−1+0-\tfrac13 = +\tfrac23 - 1 + 0, el número bariónico y el leptónico.

26.3 Fabricar y ver partículas

Observación 26.4 (Aceleradores y detectores)

Dos razones para acelerar: la resolución — una sonda no ve detalles más finos que su longitud de onda λ=h/p\lambda = h/p (el Capítulo 23 usó ángstroms; los femtómetros cuestan GeV\mathrm{GeV}) — y la creación: la energía de colisión se hace masa nueva, y hacer chocar dos haces de frente la gasta toda (un blanco fijo desperdicia casi toda ella arrastrando los restos hacia delante: Ejercicio 26.4). Los colisionadores circulares reciclan las mismas partículas por la misma cavidad aceleradora mientras los imanes las guían — y pagan una radiación de sincrotrón ∝γ4\propto\gamma^4, que es por lo que el anillo que halló el Higgs hace chocar protones pesados y no electrones de peso pluma. Alrededor del punto de cruce se sientan capas de cebolla, cada una con una pregunta: un trazador curva las trayectorias cargadas en un imán (el momento); un calorímetro electromagnético se traga electrones y fotones (la energía); uno hadrónico se traga piones y protones; y solo los muones atraviesan hasta las cámaras más externas — identidad por profundidad de entierro. Los neutrinos se marchan como momento que falta: la contabilidad detecta lo que nada puede parar.

Un detector de colisionador en sección. Cada especie escribe su firma: las trazas cargadas se curvan en el campo del trazador; los electrones y los fotones mueren en el calorímetro interior, los hadrones en el exterior; solo los muones llegan a las cámaras lejanas; y lo que escapa sin verse — el neutrino — se lee del momento que falta.
Un detector de colisionador en sección. Cada especie escribe su firma: las trazas cargadas se curvan en el campo del trazador; los electrones y los fotones mueren en el calorímetro interior, los hadrones en el exterior; solo los muones llegan a las cámaras lejanas; y lo que escapa sin verse — el neutrino — se lee del momento que falta.

Observación 26.5 (El Higgs y el libro abierto)

La simetría del Modelo Estándar prohíbe masas desnudas para sus partículas; el campo de Higgs, que llena todo el espacio con un condensado no nulo — la elección del doble pozo del Capítulo 21, ascendida al propio vacío —, rompe la simetría y concede masas a través de sus acoplamientos: cuanto más pesada la partícula, más fuerte el agarre. Su propio cuanto, el bosón de Higgs (125 GeV125\,\mathrm{GeV}, hallado en 2012), completó la tabla. El libro abierto es más largo: los neutrinos oscilan entre sabores y por tanto han de tener una masa que el modelo nunca escribió (Ejercicio 26.10); las galaxias rotan como si las sujetara cinco veces más materia de la que brilla (Capítulo 27); y el universo contiene materia pero casi nada de antimateria, una asimetría que la minúscula violación de CP del modelo aún no puede pagar. La lista es el temario de lo que venga después.

Una vista de cámara de burbujas: trazas cargadas que se enroscan en un campo magnético, con electrones y positrones espiralando en sentidos opuestos a medida que pierden energía. Durante décadas, la física de partículas se leyó fotograma a fotograma en película como esta.
Una vista de cámara de burbujas: trazas cargadas que se enroscan en un campo magnético, con electrones y positrones espiralando en sentidos opuestos a medida que pierden energía. Durante décadas, la física de partículas se leyó fotograma a fotograma en película como esta.

26.4 Ejercicios

Ejercicio 26.1 ★

Aritmética de quarks. (a) Verifíquense las cargas de p == uud y de n == udd. (b) El pion π+\pi^+ es udˉ\text{u}\bar{\text{d}}: compruébese su carga. (c) Propónganse contenidos de quarks para el π−\pi^- y para el Δ++\Delta^{++} (de carga +2e+2e). (d) ¿Por qué da sacar un quark de un protón una lluvia de mesones en vez de un quark libre?

Solución

Solución de Ejercicio 26.1.

(a) uud: 23+23−13=+1\tfrac23 + \tfrac23 - \tfrac13 = +1; udd: 23−13−13=0\tfrac23 - \tfrac13 - \tfrac13 = 0. (b) 23+13=+1\tfrac23 + \tfrac13 = +1 (el antiabajo lleva +13+\tfrac13). (c) π−=uˉd\pi^- = \bar{\text{u}}\text{d}; Δ++=\Delta^{++} = uuu (3×23=+23\times\tfrac23 = +2 — el estado cuya estadística ayudó a forzar la invención del color). (d) El campo gluónico estirado almacena una energía ∝\propto la longitud; mucho antes de que un quark quede libre, la energía almacenada supera 2mqc22m_{\text{q}}c^2 y la cuerda se rompe en un par nuevo: se saca un mesón, nunca un quark desnudo.

Ejercicio 26.2 ★

Clasificar. Para cada uno de e−^-, νμ\nu_\mu, π+\pi^+, p, n y μ−\mu^-: (a) ¿leptón, barión o mesón? (b) ¿cuáles sienten la fuerza fuerte? (c) ¿cuáles son estables por separado? (d) ¿a cuáles no puede desviar un campo magnético?

Solución

Solución de Ejercicio 26.2.

(a) Leptones: e−^-, νμ\nu_\mu, μ−\mu^-; bariones: p, n; mesón: π+\pi^+. (b) Solo los hadrones: π+\pi^+, p, n. (c) Estables por separado: e−^-, p y los neutrinos (el neutrón libre vive quince minutos; el μ\mu y el π\pi mueren en microsegundos y menos). (d) Los neutros: νμ\nu_\mu y n.

Ejercicio 26.3 ★

¿Permitida o prohibida? Juzgue, nombrando la ley violada si la hay: (a) n→p+e−+νˉe\text{n} \to \text{p} + \text{e}^- + \bar\nu_{\text{e}}; (b) p→n+e++νe\text{p} \to \text{n} + \text{e}^+ + \nu_{\text{e}} (para un protón libre); (c) p→e++γ\text{p} \to \text{e}^+ + \gamma; (d) μ−→e−+γ\mu^- \to \text{e}^- + \gamma.

Solución

Solución de Ejercicio 26.3.

(a) Permitida — desintegración β−\beta^- estándar (el neutrón libre la hace, con T1/2≈10 minT_{1/2} \approx 10\,\mathrm{min}). (b) Prohibida por la energía: los productos pesan más que el protón libre (dentro de un núcleo, la energía de enlace puede pagarla, y sí ocurre la desintegración β+\beta^+ ligada). (c) Prohibida: el número bariónico pasa de 1→01 \to 0 (y el leptónico de 0→−10 \to -1). (d) Prohibida por el número leptónico de familia: la muonidad se desvanecería y aparecería electronidad — nunca se ha observado, y se la caza precisamente por esa razón.

Ejercicio 26.4 ★

El precio de la creación. Producir un par de protón y antiprotón a partir de un haz de protones sobre un blanco de hidrógeno exige (por el argumento de la masa invariante del Capítulo 5) una energía cinética de haz de 6mpc26m_{\text{p}}c^2. (a) Evalúese en GeV. (b) En un colisionador, ¿qué energía cinética de dos haces basta para el mismo par? (c) Calcúlese la razón de “desperdicio” y explíquese adónde va la energía de blanco fijo. (d) ¿Por qué necesitó ∼6 GeV\sim6\,\mathrm{GeV} la máquina que descubrió el antiprotón en 1955?

Solución

Solución de Ejercicio 26.4.

(a) 6×0.938≈5.6 GeV6\times0.938 \approx 5.6\,\mathrm{GeV}. (b) Una energía cinética mpc2≈0.94 GeVm_{\text{p}}c^2 \approx 0.94\,\mathrm{GeV} por haz (s=4mpc2\sqrt s = 4m_{\text{p}}c^2 de frente). (c) Alrededor de 3:13:1: la conservación del momento condena casi toda la energía de blanco fijo a un movimiento hacia delante inútil de los restos — los haces frontales lo gastan todo. (d) La máquina de 1955 se diseñó para superar justo el umbral de 5.6 GeV5.6\,\mathrm{GeV}: los presupuestos de acelerador se escriben en masa invariante, y el antiprotón llegó puntual.

Ejercicio 26.5 ★★

El muon, por partida doble. El muon (m=106 MeVm = 106\,\mathrm{MeV}, τ=2.2 µs\tau = 2.2\,\text{µ}\mathrm{s}) es el gemelo pesado del electrón. (a) ¿Qué distancia es cτc\tau? (b) Los muones cósmicos nacidos a 15 km15\,\mathrm{km} llegan al suelo: ¿qué γ\gamma exige la supervivencia y qué energía es esa? (c) Descríbase la misma supervivencia desde el propio sistema del muon. (d) ¿Por qué se desintegra el muon a un electrón pero nunca a un protón, y por qué es lenta su desintegración para los estándares de las partículas?

Solución

Solución de Ejercicio 26.5.

(a) cτ=660 mc\tau = 660\,\mathrm{m}. (b) Un alcance dilatado de ∼15 km{\sim}15\,\mathrm{km} necesita γ∼23\gamma \sim 23: E=γmμc2∼2.4 GeVE = \gamma m_\mu c^2 \sim 2.4\,\mathrm{GeV} — exactamente la escala cósmica. (c) En su propio sistema, el muon vive sus llanos 2.2 µs2.2\,\text{µ}\mathrm{s} mientras la atmósfera pasa de largo contraída a ∼650 m{\sim}650\,\mathrm{m}: la misma supervivencia, otro libro de cuentas. (d) El número bariónico: no hay ningún barión lo bastante ligero, y el muon es un leptón; su desintegración debe cambiar de sabor, cosa que solo hace la fuerza débil — de ahí los solemnes microsegundos en vez de los yoctosegundos de la fuerza fuerte.

Ejercicio 26.6 ★★

Dentro de la desintegración β\beta. (a) Escríbase la desintegración del neutrón al nivel de los quarks y compruébense todas las magnitudes conservadas. (b) El espectro de energías del electrón emitido es continuo hasta un punto final: explíquese cómo esto amenazó en su día a la conservación de la energía y cómo el neutrino de Pauli la rescató. (c) El bosón W pesa 80.4 GeV80.4\,\mathrm{GeV}: estímese el alcance de la fuerza débil, ℏ/mWc\hbar/m_{\text{W}}c (ℏc=197 MeV fm\hbar c = 197\,\mathrm{MeV}\,\mathrm{fm}). (d) Úsese ese alcance para explicar en una frase por qué la fuerza “débil” es débil a baja energía y sin embargo tan fuerte como la electrodébil a energías altas.

Solución

Solución de Ejercicio 26.6.

(a) d→u+e−+νˉe\text{d} \to \text{u} + \text{e}^- + \bar\nu_{\text{e}}: carga −13=23−1+0-\tfrac13 = \tfrac23 - 1 + 0; número bariónico, 13=13\tfrac13 = \tfrac13; número leptónico de familia electrónica, 0=1−10 = 1 - 1. (b) Una desintegración de dos cuerpos fija la energía del electrón; el continuo observado significaba o bien que fallaba la conservación de la energía (Bohr lo consideró) o bien que un tercer cuerpo invisible compartía el presupuesto — el neutrino de Pauli, detectado veinticinco años después. (c) ℏ/mWc=197/80400≈2.5×10−3 fm\hbar/m_{\text{W}}c = 197/80400 \approx 2.5 \times 10^{-3}\,\mathrm{fm} — una milésima de protón. (d) A energías bajas, la interacción debe salvar una distancia que su mediador pesado hace absurdamente corta, así que las amplitudes son minúsculas; cerca de los 100 GeV100\,\mathrm{GeV} la W es asequible y la fuerza “débil” muestra su verdadera fuerza electrodébil.

Ejercicio 26.7 ★★

Contabilidad extraña. Los kaones y los hiperones Λ\Lambda llevan un sabor, la extrañeza, que conserva la fuerza fuerte pero no la débil. (a) Explíquese por qué las colisiones de rayos cósmicos producen partículas extrañas solo por parejas. (b) La Λ\Lambda vive 2.6×10−10 s2.6 \times 10^{-10}\,\mathrm{s} — compárese con los 10−23 s10^{-23}\,\mathrm{s} de las desintegraciones fuertes y conclúyase qué fuerza la mata. (c) ¿Qué razón de escalas de tiempo separa a las dos, y a qué razón cotidiana es comparable (un segundo frente a qué)? (d) ¿Cómo forzó este comportamiento “extraño” — nacimiento a raudales, muerte remolona — la invención de un número cuántico nuevo?

Solución

Solución de Ejercicio 26.7.

(a) La fuerza fuerte conserva la extrañeza, así que solo puede fabricar +1+1 y −1-1 a la vez: un kaón con su hiperón. (b) Trece órdenes de magnitud demasiado lenta para la fuerza fuerte: la fuerza débil, única quebrantadora del sabor, firma el certificado de defunción. (c) 101310^{13}: un segundo frente a trescientos mil años. (d) El nacimiento a raudales decía “fuerte”; la muerte remolona decía “no fuerte” — solo un número conservado nuevo, fabricado por la fuerza fuerte por parejas y roto por la débil, reconcilia ambas cosas: la contabilidad era el descubrimiento.

Ejercicio 26.8 ★★

La antimateria, cobrada. (a) ¿Por qué debe estar prohibido e++e−→γ\text{e}^+ + \text{e}^- \to \gamma (un solo fotón), mientras que dos fotones están bien? (b) Calcúlese la energía liberada al aniquilar un gramo de antimateria con uno de materia, y compárese con el kilogramo de uranio fisionado del Ejercicio 25.9. (c) Los escáneres PET (Ejercicio 25.12) funcionan con positrones: ¿de dónde salen los positrones de la medicina? (d) Fabricar antiprotones cuesta ∼106\sim10^{6} veces su energía en reposo en potencia de enchufe: coméntese la antimateria como combustible.

Solución

Solución de Ejercicio 26.8.

(a) En el sistema en reposo del par, el momento total es nulo: un fotón nunca puede tener momento nulo, y dos espalda contra espalda sí — la conservación escribe la geometría de la PET. (b) E=mc2=0.002×(3×108)2=1.8×1014 JE = mc^2 = 0.002\times(3\times10^8)^2 = 1.8 \times 10^{14}\,\mathrm{J}: dos gramos de aniquilación superan a un kilogramo de uranio fisionado. (c) De isótopos β+\beta^+ hechos en ciclotrón — el 18^{18}F, incorporado a la glucosa: la propia química del cuerpo coloca la fuente de positrones en las células más hambrientas. (d) Un combustible que cuesta un millón de veces su rendimiento y sin minas naturales: la antimateria es una calibración de detectores y un motor para narradores, no una fuente de energía.

Ejercicio 26.9 ★★★

El Higgs como transición de fase. (a) Reformúlese, en el lenguaje del Ejercicio 21.12, qué significa que el vacío se sitúe en un pozo de simetría rota. (b) ¿Por qué adquieren masa la W y la Z mientras que el fotón sigue sin ella (qué parte de la simetría sobrevive)? (c) El bosón de Higgs es la oscilación radial del campo: ¿qué juega ese papel en el imán del Teorema 21.4? (d) Por encima de ∼1015 K\sim10^{15}\,\mathrm{K} la simetría se restaura: ¿dónde y cuándo estuvo el universo así de caliente por última vez (Capítulo 27)?

Solución

Solución de Ejercicio 26.9.

(a) El potencial de Higgs es un doble pozo (un sombrero mexicano): el punto simétrico ϕ=0\phi = 0 es una cima, y el vacío rodó hacia el ala — el estado fundamental del universo rompió su propia simetría, exactamente como el imán al elegir su norte. (b) La elección rompe solo parte de la simetría: la combinación que sobrevive es el electromagnetismo, así que su portador — el fotón — conserva masa nula, mientras que la W y la Z, portadoras de las direcciones rotas, se comen como masa la rigidez correspondiente. (c) La oscilación radial del parámetro de orden — en el imán, la fluctuación de ∣m∣|m| en torno a su valor de equilibrio cerca de TcT_{\text{c}}. (d) En los primeros 10−1110^{-11} segundos del universo (Capítulo 27): por encima de la temperatura electrodébil, toda partícula carecía de masa y las dos fuerzas eran una.

Ejercicio 26.10 ★★★

Neutrinos por miles de millones. (a) El Sol hace dos neutrinos por cada ciclo 4p→4He4\text{p} \to {}^4\text{He} (26.7 MeV26.7\,\mathrm{MeV}): a partir de la constante solar 1360 W/m21360\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}, calcúlese el flujo de neutrinos en la Tierra. (b) ¿Cuántos cruzan la uña de su pulgar (1 cm21\,\mathrm{cm}^{2}) por segundo, y aproximadamente cuántos interactuarán con su cuerpo en toda una vida (tómese como dada una probabilidad de interacción del orden de 10−2210^{-22} por metro de carne y por neutrino)? (c) Los primeros detectores solo cazaban un tercio de los νe\nu_{\text{e}} predichos: enúnciese la resolución (las oscilaciones) y su consecuencia estructural para el Modelo Estándar. (d) ¿Por qué vive un detector de neutrinos bajo una montaña?

Solución

Solución de Ejercicio 26.10.

(a) Cada 26.7 MeV26.7\,\mathrm{MeV} =4.28×10−12 J= 4.28 \times 10^{-12}\,\mathrm{J} entrega dos neutrinos: flujo =2×1360/4.28×10−12≈6.4×1014 m−2 s−1= 2\times1360/4.28\times10^{-12} \approx 6.4 \times 10^{14}\,\mathrm{m}^{-2}\,\mathrm{s}^{-1}. (b) Por una uña del pulgar: 6×10106\times10^{10} por segundo. Los pasos de toda una vida por su cuerpo de ∼0.03 m2{\sim}0.03\,\mathrm{m}^{2} y 0.3 m0.3\,\mathrm{m} de espesor durante ∼2.5×109 s{\sim}2.5 \times 10^{9}\,\mathrm{s}: unos 5×10225\times10^{22}, por 10−22 m−1×0.3 m10^{-22}\,\mathrm{m}^{-1}\times0.3\,\mathrm{m}: del orden de uno — un solo neutrino solar tocará a una persona en toda su vida. (c) Los νe\nu_{\text{e}} que faltaban habían oscilado a νμ\nu_\mu y ντ\nu_\tau por el camino; la oscilación exige diferencias de masa, de modo que los neutrinos tienen masa — la primera grieta de laboratorio en el Modelo Estándar de neutrinos sin masa. (d) La montaña filtra todo lo demás: solo pasan los neutrinos, así que unos kilómetros de roca convierten el cielo más ruidoso en el laboratorio más silencioso.

Ejercicio 26.11 ★★★

Números de máquina. Los protones del LHC: E=6.8 TeVE = 6.8\,\mathrm{TeV} cada uno. (a) Calcúlense γ\gamma y 1−v/c≈1/2γ21 - v/c \approx 1/2\gamma^2. (b) ¿Qué longitud de onda λ≈hc/E\lambda \approx hc/E sondea la estructura, y compárese con el radio de 0.8 fm0.8\,\mathrm{fm} del protón. (c) Energía de colisión frontal: 13.6 TeV13.6\,\mathrm{TeV} — ¿cuántas masas en reposo del protón podría crear eso? (d) La pérdida por sincrotrón escala como γ4\gamma^4: calcúlese la razón de γ\gamma entre electrón y protón a energía fija y justifíquense los protones para el anillo y los electrones para las máquinas de precisión.

Solución

Solución de Ejercicio 26.11.

(a) γ=6.8×1012/9.38×108≈7250\gamma = 6.8\times10^{12}/9.38\times10^{8} \approx 7250: 1−v/c≈1/2γ2≈10−81 - v/c \approx 1/2\gamma^2 \approx 10^{-8} — a tres metros por segundo de la luz. (b) λ≈hc/E≈3×10−5 fm\lambda \approx hc/E \approx 3 \times 10^{-5}\,\mathrm{fm}: una treintamilésima del radio del protón — territorio de quarks. (c) 13.6 TeV/938 MeV≈1450013.6\,\text{TeV}/938\,\text{MeV} \approx 14500 masas de protón — si todo fuera convertible. (d) A energía fija, γe/γp=mp/me≈1836\gamma_{\text{e}}/\gamma_{\text{p}} = m_{\text{p}}/m_{\text{e}} \approx 1836, así que las pérdidas del electrón son 18364∼10131836^4 \sim 10^{13} peores: protones para los anillos de fuerza bruta y electrones (limpios, puntuales) para la precisión a menor energía.

Ejercicio 26.12 ★★★

Mensajeros del confín. El rayo cósmico de mayor energía jamás registrado llevaba ∼3×1020 eV\sim3 \times 10^{20}\,\mathrm{eV} — un solo protón. (a) Conviértase a julios y nómbrese un objeto macroscópico con esa energía cinética. (b) Calcúlense su γ\gamma y la anchura de la Galaxia (∼105\sim10^{5} años luz) en su propio sistema. (c) Por encima de ∼5×1019 eV\sim5 \times 10^{19}\,\mathrm{eV}, los protones se dispersan en el fondo cósmico de microondas (Capítulo 20) — explíquese cualitativamente por qué el universo es opaco para ellos. (d) ¿Por qué enseñan esas energías, muy por encima de cualquier acelerador, menos que el LHC? (Piénsese en el flujo y en el control.)

Solución

Solución de Ejercicio 26.12.

(a) 3×1020×1.6×10−19≈48 J3\times10^{20}\times1.6\times10^{-19} \approx 48\,\mathrm{J}: una pelota de tenis sacada con fuerza — en un solo protón. (b) γ≈3×1011\gamma \approx 3\times10^{11}; los 10510^{5} años luz de la Galaxia se contraen a ∼10{\sim}10 segundos luz: cruza la Vía Láctea, según su propio reloj, en segundos. (c) En el sistema del protón, las mansas microondas del fondo cósmico llegan desplazadas al azul y convertidas en rayos γ\gamma lo bastante energéticos para arrancarle piones: por encima del umbral, el propio universo es un absorbente, y esos protones han de ser locales. (d) Una partícula así por kilómetro cuadrado y siglo, de especie desconocida y apuntada por nadie: los 10910^{9} choques por segundo del LHC, de haces conocidos a energía conocida, compran una estadística y un control que ningún regalo cósmico puede igualar.

El detector CMS en construcción (fotografía: Julian Williams, uso libre): las capas de cebolla del barril, de frente, antes de cerrarlo — una realización de quince mil toneladas de la última figura de este capítulo.
El detector CMS en construcción (fotografía: Julian Williams, uso libre): las capas de cebolla del barril, de frente, antes de cerrarlo — una realización de quince mil toneladas de la última figura de este capítulo.

26.5 Problema: el telescopio de muones del desván

Problema 26.1

El telescopio de muones del desván. Para la feria de ciencias se construye un telescopio de rayos cósmicos: dos paletas de centelleador de 20×2020\times20 cm\mathrm{cm}, una 30 cm30\,\mathrm{cm} por encima de la otra, leídas cada una por un fotomultiplicador y cableadas en coincidencia — un recuento solo cuando disparan las dos en menos de 100 ns100\,\mathrm{ns}. Flujo de muones a nivel del mar a través de una superficie horizontal: alrededor de 1 por cm2\mathrm{cm}^{2} y por minuto.

Parte I — Contar el cielo.

  1. ¿Dónde empiezan sus muones? Trácese la cadena: protón primario, alta atmósfera, piones, muones — nombrando qué fuerza gobierna cada paso.
  2. ¿Por qué no llegan casi nunca los propios piones al suelo (τπ=26 ns\tau_\pi = 26\,\mathrm{ns}), mientras que sus muones hijos sí?
  3. Predígase su tasa de una sola paleta a partir del flujo citado.
  4. La paleta sola hace clic en realidad mucho más a menudo — ruido electrónico y radiactividad ambiental (Capítulo 25). Explíquese cómo la coincidencia de dos paletas mata casi todo eso.
  5. ¿Qué tasa de coincidencias accidentales producen dos fuentes de ruido independientes de 100 Hz100\,\mathrm{Hz} en una ventana de 100 ns100\,\mathrm{ns} (Racc=R1R2ΔtR_{\text{acc}} = R_1R_2\Delta t)? Compárese con la tasa real de muones.
  6. Su tasa de coincidencias se asienta cerca de 100 por minuto — muy por debajo de las 400 de una sola paleta. Explíquese: ¿qué muones acepta la geometría de dos paletas?
  7. Incline el telescopio: la tasa cae aproximadamente como el cos⁡2θ\cos^2\theta del ángulo cenital. Dese la razón física (¿qué crece con θ\theta?).

Parte II — La relatividad, verificada en el desván.

  1. Los muones: τ=2.2 µs\tau = 2.2\,\text{µ}\mathrm{s}. Calcúlese cτc\tau y conclúyase qué podría hacer un muon clásico nacido a 15 km15\,\mathrm{km}.
  2. Sus muones promedian E≈4 GeVE \approx 4\,\mathrm{GeV} (mμc2=106 MeVm_\mu c^2 = 106\,\mathrm{MeV}): calcúlese γ\gamma.
  3. La vida dilatada y el alcance correspondiente: ¿tiene sentido ahora la tasa del desván?
  4. Vuélvase a contar la supervivencia desde el sistema del muon (Capítulo 4).
  5. Para γ=38\gamma = 38, calcúlese la fracción que sobrevive desde 15 km15\,\mathrm{km} (tpropio=L/γvt_{\text{propio}} = L/\gamma v, supervivencia e−t/τ\eu^{-t/\tau}).
  6. Su telescopio es, por tanto, qué experimento clásico, reconstruido con piezas de colegio? Dígase qué habría predicho para su contador un resultado nulo (desintegración clásica).

Parte III — Qué es un muon.

  1. Sitúese el muon en la tabla del Modelo Estándar: familia, generación, carga, espín.
  2. Se desintegra: μ−→e−+νˉe+νμ\mu^- \to \text{e}^- + \bar\nu_{\text{e}} + \nu_\mu. Compruébense la carga y los dos números leptónicos de familia.
  3. ¿Por qué es continuo el espectro de energías del electrón de la desintegración y cuál es su punto final (≈mμc2/2\approx m_\mu c^2/2)?
  4. ¿Por qué resulta μ−→e−+γ\mu^- \to \text{e}^- + \gamma — jamás observada — tan interesante para los experimentos de hoy? (¿Qué rompería su descubrimiento?)
  5. Un muon que se para en su paleta se desintegra en reposo: descríbase el segundo destello retardado y cómo le entrega τ\tau directamente.
  6. Los muones son “electrones pesados”: dese una consecuencia para los átomos — ¿qué le ocurre al radio de Bohr de un hidrógeno muónico (Capítulo 11), escalado por mμ/me≈207m_\mu/m_{\text{e}} \approx 207?

Parte IV — Aguas arriba de la cadena.

  1. Un protón primario de 1015 eV10^{15}\,\mathrm{eV} engendra una cascada de millones. Estímese la energía media por partícula de la cascada si 10610^{6} partículas se la reparten.
  2. Los grandes observatorios sustituyen sus paletas por cientos de tanques de agua separados por kilómetros, al acecho de la luz Cherenkov (Problema 25.1): ¿qué hacen los muones en el agua y por qué los tanques muy separados?
  3. Su centelleador con fotomultiplicador es el mismo principio que los calorímetros de los grandes colisionadores: enúnciese ese principio compartido en una frase (partícula →\to luz →\to electrones →\to recuento).
  4. Las fotografías de cámara de burbujas hacían antaño de ojos: trazas cargadas que se enroscan en un campo magnético. ¿Qué dos magnitudes le entrega el enroscado, y qué partícula no deja traza alguna?
  5. El rayo cósmico récord del Ejercicio 26.12 impactó con la energía de una pelota de tenis sacada, en un solo protón. ¿Qué dice su existencia sobre los aceleradores de la naturaleza frente a los nuestros?
  6. Resúmase el póster de la feria en cuatro líneas: nacido de un protón diez kilómetros más arriba, entregado por la dilatación del tiempo, identificado por dos destellos coincidentes y explicado por una tabla de doce asientos.
Solución

Solución de Problema 26.1.

1. Un protón primario (a menudo de GeV\mathrm{GeV}–TeV\mathrm{TeV}) golpea un núcleo allá arriba (fuerza fuerte) y rocía piones; los piones cargados se desintegran por la fuerza débil a muones y neutrinos; los muones, que ionizan solo con suavidad (electromagnética), corren hacia el suelo. 2. cτπ≈8 mc\tau_\pi \approx 8\,\mathrm{m}: ni siquiera una γ\gamma grande compra a los piones más que centenares de metros, y además mueren por la interacción fuerte en el aire; el muon, que no siente la fuerza fuerte y vive 85×85\times más, es el que viaja. 3. 400 cm2×1 min−1=400400\,\mathrm{cm}^{2}\times1\,\text{min}^{-1} = 400 por minuto — unos 7 por segundo. 4. Los destellos de ruido y la radiactividad local disparan una paleta al azar; disparar las dos en menos de 100 ns100\,\mathrm{ns} exige una sola partícula que atraviese el par — la geometría como filtro. 5. Racc=R1R2Δt=100×100×10−7=10−3 s−1R_{\text{acc}} = R_1R_2\Delta t = 100\times100 \times10^{-7} = 10^{-3}\,\mathrm{s}^{-1} — un recuento falso cada cuarto de hora frente a cien muones por minuto: despreciable. 6. Solo se aceptan los muones del cono que enhebra ambas paletas (casi verticales, dentro de ∼30{\sim}30–40∘40^\circ): la pareja mide una dirección, y no solo una tasa — eso es lo que la hace un telescopio. 7. Los muones inclinados atraviesan más atmósfera: más pérdida de energía y más tiempo propio en vuelo, así que sobreviven menos — aproximadamente la ley cos⁡2θ\cos^2\theta que trazan sus tandas inclinadas. 8. cτ=660 mc\tau = 660\,\mathrm{m}: un muon clásico venido de 15 km15\,\mathrm{km} sobrevive con probabilidad e−15000/660≈10−10\eu^{-15000/660} \approx 10^{-10} — el desván contaría un muon por década. 9. γ=4000/106≈38\gamma = 4000/106 \approx 38. 10. Vida dilatada γτ≈84 µs\gamma\tau \approx 84\,\text{µ}\mathrm{s}: alcance de ∼25 km{\sim}25\,\mathrm{km} — la tasa del desván es exactamente lo que predice la relatividad. 11. En el sistema del muon, la vida es de los llanos 2.2 µs2.2\,\text{µ}\mathrm{s}, pero la atmósfera está contraída a 15000/38≈400 m15000/38 \approx 400\,\mathrm{m}: cruzada con tiempo de sobra. 12. tpropio≈15000/(38×3×108)=1.3 µst_{\text{propio}} \approx 15000/(38\times3\times 10^8) = 1.3\,\text{µ}\mathrm{s}: supervivencia e−1.3/2.2≈0.55\eu^{-1.3/2.2} \approx 0.55 — llega la mitad, y su contador es su censo. 13. Los clásicos experimentos de muones de montaña frente a nivel del mar (Rossi–Hall, y Frisch–Smith en película): la desintegración clásica predice esencialmente cero cuentas; sus centenares por minuto son relatividad especial, verificada sobre el aislante del tejado. 14. Un leptón cargado de la segunda generación: carga −e-e, espín 12\tfrac12, masa 106 MeV106\,\mathrm{MeV} — el gemelo pesado del electrón. 15. Carga: −1=−1+0+0-1 = -1 + 0 + 0; familia electrónica: 0=1+(−1)+00 = 1 + (-1) + 0; familia muónica: 1=0+0+11 = 0 + 0 + 1. Todos los libros cuadran. 16. Tres cuerpos se reparten el presupuesto en todas las proporciones, así que el espectro del electrón es continuo; termina cuando los dos neutrinos retroceden juntos contra el electrón: alrededor de mμc2/2≈53 MeVm_\mu c^2/2 \approx 53\,\mathrm{MeV}. 17. Rompería el número leptónico de familia — el único libro que el Modelo Estándar cuadra sin saber por qué. Hallarla sería el primo del sector cargado de las oscilaciones de neutrinos: física nueva garantizada, y por eso los experimentos la persiguen hasta una parte en 101310^{13}. 18. La entrada del muon hace un destello; microsegundos después, su electrón de desintegración hace un segundo en la misma paleta. El histograma de retrasos es una exponencial cuya pendiente es τ=2.2 µs\tau = 2.2\,\text{µ}\mathrm{s}: una vida media medida en una estantería. 19. Todas las fórmulas de Bohr escalan con la masa: la órbita del hidrógeno muónico se encoge en 207207 hasta ∼250 fm{\sim}250\,\mathrm{fm} — tan adentro de la nube electrónica que el muon siente el tamaño del protón: los átomos muónicos son reglas de protones. 20. 1015/106=109 eV10^{15}/10^{6} = 10^{9}\,\mathrm{eV}: alrededor de un GeV por partícula — sus muones del desván son ciudadanos medios de la cascada. 21. Los muones relativistas adelantan a la luz en el agua y brillan de azul Cherenkov hacia los fotomultiplicadores del tanque. La huella de una cascada de 1020 eV10^{20}\,\mathrm{eV} abarca muchos kilómetros cuadrados, así que unos tanques dispersos la muestrean como cubos que recogen gotas de lluvia. 22. Una partícula deposita energía en un medio que la convierte en luz, un fotomultiplicador convierte la luz en electrones y la electrónica los cuenta: todo calorímetro, del desván al colisionador, es esta frase. 23. El radio del enroscado da el momento y su sentido da el signo de la carga; el fotón, el neutrón y el neutrino — neutros — no dejan traza, solo sus deudas en la contabilidad. 24. La naturaleza acelera protones sueltos diez millones de veces más allá del LHC — humillante —, pero a uno por kilómetro cuadrado y siglo: nuestras máquinas cambian energía pico por 10910^{9} colisiones controladas por segundo. 25. Nacido de un protón diez kilómetros más arriba; entregado vivo por la dilatación del tiempo (γ≈38\gamma \approx 38, con la mitad sobreviviendo); identificado por dos destellos separados cien nanosegundos; y explicado, por entero, por una tabla de doce asientos y cuatro fuerzas.

Términos definidos en este capítulo

Ver los 431 términos del glosario