Física universitaria — tercer año · Bachelor Year 3

20Fotones y fonones

La teoría cuántica nació del asunto de este capítulo. En 1900, el espectro de los cuerpos incandescentes se negaba a obedecer a la física clásica — y, peor aún, la física clásica predecía energía infinita a longitudes de onda cortas, la “catástrofe ultravioleta” — y el remedio desesperado de Planck, energía en paquetes de $h\nu$ , resultó ser la llave maestra del siglo. Con la maquinaria ya montada — el recuento de modos del Capítulo 7 y la termodinámica del oscilador del Capítulo 17 —, la ley de Planck ocupa media página: un gas de fotones, un oscilador ocupado a la manera de Bose por cada modo de la cavidad. Esa misma media página, con sonido en lugar de luz, es la teoría de los sólidos de Debye y la capacidad calorífica en $T^3$ que se le escapó al modelo de Einstein. Y llenando cada centímetro cúbico del universo está la obra maestra del asunto: el fondo cósmico de microondas a 2.725 kelvin, el cuerpo negro más perfecto jamás medido — la radiación térmica del universo joven, que aún sigue llegando.

20.1 La ley de Planck, deducida

Teorema 20.1 (El espectro del cuerpo negro)

Una cavidad a temperatura $T$ admite modos electromagnéticos — ondas estacionarias contadas exactamente como en la Proposición 7.5, por duplicado por la polarización:

g(\nu)\,\dd\nu = \frac{8\pi V}{c^3}\,\nu^2\,\dd\nu .

Cada modo es un oscilador cuántico que alberga, en el equilibrio, $\bar n = 1/(\eu^{h\nu/k_{\text{B}}T} - 1)$ fotones (Ejercicio 17.5; equivalentemente, bosones con $\mu = 0$ ). La energía por unidad de volumen y de frecuencia es, por tanto,

u(\nu, T) = \frac{8\pi h\nu^3}{c^3}\, \frac{1}{\eu^{h\nu/k_{\text{B}}T} - 1} :

la ley de Planck (1900). Sus consecuencias, todas tal como se miden: el máximo en $\lambda_{\max}T = 2898\,\text{µ}\mathrm{m}\,\mathrm{K}$ (la ley del desplazamiento de Wien del volumen del Año 2, ahora deducida); el flujo total de una superficie negra $\Phi = \sigma T^4$ con

\sigma = \frac{2\pi^5k_{\text{B}}^4}{15h^3c^2} = 5.67 \times 10^{-8}\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}\,\mathrm{K}^{-4}

(Stefan–Boltzmann, con su constante ahora construida a partir de $h$ , $c$ y $k_{\text{B}}$ ); y la densidad de fotones $n_\gamma \approx 2.03 \times 10^{7}\,(T/\mathrm{K})^3$ por metro cúbico.

Demostración parcial. Multiplíquese el recuento de modos por $h\nu\,\bar n$ . La integral de la energía total, con $x = h\nu/k_{\text{B}}T$ y $\int_0^\infty x^3\dd x/(\eu^x - 1) = \pi^4/15$ (admitida), da $u_{\text{tot}} = aT^4$ y, con el factor de flujo habitual $c/4$ , la $\sigma$ enunciada. La ley de Wien es la maximización del Ejercicio 20.1. A baja frecuencia ( $h\nu \ll k_{\text{B}}T$ ), cada modo lleva $k_{\text{B}}T$ — Rayleigh–Jeans, correcta para la radio, catastrófica si se extiende a toda $\nu$ : el corte de Planck es la licencia de la equipartición (Teorema 17.5) revocada modo a modo. ∎

Espectros de Planck a tres temperaturas (cada uno escalado a una altura comparable: las áreas verdaderas crecen como T4). La recta clásica de Rayleigh–Jeans sigue el flanco de baja frecuencia y luego se dispara hacia la catástrofe ultravioleta; el peaje h de Planck cierra los modos de alta frecuencia y dobla la curva hacia abajo. — Espectros de Planck a tres temperaturas (cada uno escalado a una altura comparable: las áreas verdaderas crecen como $T^4$ ). La recta clásica de Rayleigh–Jeans sigue el flanco de baja frecuencia y luego se dispara hacia la catástrofe ultravioleta; el peaje $h\nu$ de Planck cierra los modos de alta frecuencia y dobla la curva hacia abajo.

Ejemplo 20.2 (Tres termómetros)

El Sol ( $T = 5800\,\mathrm{K}$ ): máximo en $0.50\,\text{µ}\mathrm{m}$ — nuestros ojos evolucionaron sobre su máximo. Un cuerpo a $310\,\mathrm{K}$ : máximo cerca de $9.4\,\text{µ}\mathrm{m}$ , que radia $\sigma T^4 \approx 520\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$ desde cada metro cuadrado de piel (por fortuna, la habitación radia de vuelta; Ejercicio 20.2). El universo ( $T = 2.725\,\mathrm{K}$ ): máximo cerca de $1.9\,\mathrm{mm}$ en forma de frecuencia ( $160\,\mathrm{GHz}$ ) y $411$ fotones por centímetro cúbico — el fondo cósmico de microondas, el gran ejemplo de este capítulo (Problema 20.1).

Proposición 20.3 (Termodinámica de la luz)

El gas de fotones tiene densidad de energía $u = aT^4$ (con $a = 4\sigma/c$ ), presión

P = \frac u3 ,

densidad de entropía $\tfrac43 aT^3$ y número de fotones $\propto T^3$ . Consecuencias: una caja llena de radiación que se expande adiabáticamente se enfría como $T \propto 1/L$ — los fotones del universo en expansión se enfriaron de $3000$ K a los $2.725$ K de hoy por un factor de estiramiento $\approx1100$ conservando un espectro de Planck perfecto; y en las estrellas masivas, el crecimiento en $T^4$ permite a la presión de radiación rivalizar con la del gas, y fija un límite superior a las masas estelares (Capítulo 27).

Demostración parcial. $P = u/3$ : un gas isótropo de partículas a velocidad $c$ entrega un tercio de su densidad de energía como presión (el factor $\langle \cos^2\theta\rangle = 1/3$ , como en la teoría cinética del volumen del Año 1). La entropía sale de $\dd U = T\dd S - P\dd V$ aplicado a $U = aT^4V$ . Adiabática: $S \propto T^3V$ constante da $T \propto V^{-1/3}$ . ∎

20.2 Fonones: la culminación de Debye

Teorema 20.4 (El modelo de Debye)

Las vibraciones de un cristal son ondas elásticas cuantizadas exactamente como la luz: los fonones, con tres polarizaciones a la velocidad del sonido $c_{\text{s}}$ , contados como los fotones pero con el total limitado a $3N$ modos — el tope que define la temperatura de Debye

k_{\text{B}}\theta_{\text{D}} = \hbar c_{\text{s}} (6\pi^2n)^{1/3} .

La capacidad calorífica interpola entre las dos leyes clásicas:

C \to 3Nk_{\text{B}} \;(T \gg \theta_{\text{D}}) \qquad\text{(Dulong--Petit)} , \qquad C \to \frac{12\pi^4}{5}\,Nk_{\text{B}} \Big(\frac{T}{\theta_{\text{D}}}\Big)^3 \;(T \ll \theta_{\text{D}}) :

la ley $T^3$ que la calorimetría a baja temperatura exigía y que la frecuencia única de Einstein no podía dar (Ejercicio 17.6). La razón es la misma que para la luz: por frío que esté el cristal, existen cuantos de sonido de longitud de onda larga arbitrariamente baratos, y su recuento al estilo de los fotones da el $T^3$ al estilo de los fotones.

Demostración parcial. Repítase el cálculo de los fotones con $c \to c_{\text{s}}$ , tres polarizaciones y el total de modos $\int g\,\dd\nu = 3N$ fijando el corte. Para $T \ll \theta_{\text{D}}$ , el corte es invisible y la integral de energía en $T^4$ da $C \propto T^3$ ; a $T$ alta, cada uno de los $3N$ modos lleva $k_{\text{B}}T$ . La integral completa de interpolación se admite. ∎

Capacidad calorífica de un cristal: ambos modelos alcanzan Dulong–Petit, pero a baja temperatura la curva de frecuencia única de Einstein muere exponencialmente mientras que los baratos fonones de longitud de onda larga de Debye sostienen el T3 medido — la región de T baja es “física de fotones” pura, con sonido. — Capacidad calorífica de un cristal: ambos modelos alcanzan Dulong–Petit, pero a baja temperatura la curva de frecuencia única de Einstein muere exponencialmente mientras que los baratos fonones de longitud de onda larga de Debye sostienen el $T^3$ medido — la región de $T$ baja es “física de fotones” pura, con sonido.

Ejemplo 20.5 (Los fonones son partículas de verdad)

Los fonones dispersan neutrones y rayos X con conservación de la energía y del momento (cristalino) — las curvas de dispersión medidas $\omega(\vect k)$ del Capítulo 23 son su espectroscopia. Transportan calor: la conductividad térmica de un aislante es la $\kappa = \tfrac13 Cc_{\text{s}}\ell$ de un gas de fonones, y el diamante — rígido, ligero, puro — conduce cinco veces mejor que el cobre a temperatura ambiente por medio de fonones solamente (Ejercicio 20.12). Y se extinguen a baja temperatura como $T^3$ , y por eso los ingenieros criogénicos hablan de cristales que se quedan “acústicamente en silencio”.

Método 20.6 (El oficio del gas de radiación)

(1) Cuéntense los modos ( $\propto\nu^2$ por polarización en 3D); ocúpense con $1/(\eu^{\beta h\nu} - 1)$ ; intégrese — espérense energías en $T^4$ y recuentos y capacidades en $T^3$ . (2) Los máximos, por Wien; los totales, por Stefan; el $k_{\text{B}}T$ clásico por modo solo por debajo de $h\nu \sim k_{\text{B}}T$ . (3) Para los sólidos, tópense los modos en $3N$ ( $\theta_{\text{D}}$ ); la forma de Einstein para los modos de la rama óptica y la de Debye para los acústicos. (4) Radiación adiabática: $T \propto V^{-1/3}$ . (5) Compruébense las dos constantes del oficio: $\lambda_{ \max}T = 2898\,\text{µ}\mathrm{m}\,\mathrm{K}$ y $\sigma = 5.67 \times 10^{-8}\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}\mathrm{K}^{4}$ .

Una casa vista con una cámara térmica: cada superficie radia su espectro de Planck, y la cámara lee la temperatura directamente del infrarrojo — Stefan, Boltzmann y Wien auditando la factura de la calefacción.

20.3 Ejercicios

Ejercicio 20.1 ★

(a) A partir de la ley de Planck en forma de longitud de onda, muéstrese que el máximo cumple $\lambda_{\max}T =$ const. (la ecuación trascendente puede citarse: $x = 4.965$ ). (b) Calcúlense las longitudes de onda del máximo para el Sol, un filamento a $2700\,\mathrm{K}$ , un cuerpo a $310\,\mathrm{K}$ y el cielo a $2.725\,\mathrm{K}$ . (c) ¿Cuál de los cuatro muestrea bien el ojo humano y qué fracción de la emisión de un filamento es visible (estímese: pequeña)? (d) ¿Por qué son las “cámaras de infrarrojos” la herramienta adecuada para personas y edificios?

Solución

Solución de Ejercicio 20.1.

(a) Imponer $\dd u/\dd\lambda = 0$ da $x\eu^x/(\eu^x - 1) = 5$ , $x = hc/\lambda k_{\text{B}}T = 4.965$ : $\lambda_{\max}T = hc/4.965k_{\text{B}} = 2898\,\text{µ}\mathrm{m}\,\mathrm{K}$ . (b) $0.50$ , $1.07$ y $9.35\,\text{µ}\mathrm{m}$ , y $1.06\,\mathrm{mm}$ . (c) Solo el del Sol; un filamento tiene su máximo en el infrarrojo cercano y entrega solo un pequeño tanto por ciento de su potencia como luz — la ineficiencia que lo jubiló. (d) Las personas y los edificios “brillan” a diez micras: las cámaras térmicas son cámaras para ese segundo máximo.

Ejercicio 20.2 ★

Balances radiativos. (a) Una persona ( $1.7\,\mathrm{m}^{2}$ , con la piel a $306\,\mathrm{K}$ ) en una habitación a $293\,\mathrm{K}$ : potencia radiada neta $\sigma A(T_1^4 - T_2^4)$ . (b) Compárese con el metabolismo de $100\,\mathrm{W}$ del cuerpo: ¿por qué lo toleramos (la ropa, y la habitación que radia de vuelta)? (c) La Tierra absorbe la luz solar sobre $\pi R^2$ y radia sobre $4\pi R^2$ : dedúzcase $T_{\text{ef}} = [(1-A)\,\Phi_\odot/4\sigma]^{1/4}$ con $\Phi_\odot = 1361\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$ y albedo $A = 0.30$ , y evalúese. (d) La media superficial medida es de $288\,\mathrm{K}$ : nómbrese el mecanismo de la diferencia de $33\,\mathrm{K}$ (Problema 9.1).

Solución

Solución de Ejercicio 20.2.

(a) $\sigma A(T_1^4 - T_2^4) \approx 135\,\mathrm{W}$ . (b) El flujo de vuelta de la habitación ya está dentro de la diferencia; la ropa inserta superficies intermedias templadas — la radiación es un libro de cuentas de doble entrada. (c) $T_{\text{ef}} = [(0.7 \times 1361)/(4\sigma)]^{1/4} = 255\,\mathrm{K}$ . (d) La prima de $33\,\mathrm{K}$ es el efecto invernadero: la manta infrarroja del Problema 9.1, cuantificada en el Ejercicio 20.9.

Ejercicio 20.3 ★

Contar fotones. (a) Con $n_\gamma = 2.03 \times 10^{7}\,T^3$ por metro cúbico: la densidad de fotones del fondo a $2.725\,\mathrm{K}$ . (b) La luz solar en la Tierra: a partir de $\Phi_\odot$ y de una energía media por fotón $\approx 2.7\,k_{\text{B}}T_\odot \approx 1.35\,\mathrm{eV}$ , calcúlese el flujo de fotones por metro cuadrado y por segundo. (c) Una bombilla incandescente de $60\,\mathrm{W}$ (con un 5% visible): fotones visibles por segundo. (d) ¿Por qué es rutinario “contar fotones” para los astrónomos y absurdo para los radiadores?

Solución

Solución de Ejercicio 20.3.

(a) $2.03 \times 10^{7} \times 2.725^3 \approx 4.1 \times 10^{8}\,\mathrm{m}^{-3} = 411$ por cm $^3$ . (b) $1361/2.2 \times 10^{-19}\,\mathrm{J} \approx 6 \times 10^{21}$ fotones por metro cuadrado y por segundo. (c) $3\,\mathrm{W}/ 3.6 \times 10^{-19}\,\mathrm{J} \approx 8 \times 10^{18}$ por segundo. (d) Las señales astronómicas llegan de fotón en fotón — tasas que un contador resuelve; los $10^{22}$ por segundo de un radiador son un continuo para cualquier detector.

Ejercicio 20.4 ★

La catástrofe y su cola. (a) Muéstrese que la equipartición clásica ( $k_{\text{B}}T$ por modo) da $u(\nu) = 8\pi\nu^2k_{\text{B}}T/c^3$ , divergente al integrarla. (b) ¿Dónde se reduce a ella la ley de Planck? (c) Los radioastrónomos miden el fondo cósmico a $1.4\,\mathrm{GHz}$ : compruébese que allí $h\nu/k_{\text{B}}T \ll 1$ y justifíquese su costumbre de la “temperatura de antena”, que da las intensidades en kelvin. (d) En el máximo del fondo, a $160\,\mathrm{GHz}$ , evalúese $h\nu/k_{\text{B}}T$ : ¿es clásico el máximo?

Solución

Solución de Ejercicio 20.4.

(a) $k_{\text{B}}T$ por modo multiplicado por el recuento de modos en $\nu^2$ : al integrarlo, infinito — la catástrofe. (b) Para $h\nu \ll k_{\text{B}}T$ . (c) $h\nu/k_{\text{B}}T = 0.025$ : bien dentro de la cola clásica, donde la intensidad es $\propto T$ — de ahí la “temperatura de brillo” en kelvin. (d) $2.8$ : el máximo cae donde el descuento cuántico de Planck está en plena vigencia.

Ejercicio 20.5 ★★

Presión de radiación. (a) Dedúzcase $P = u/3$ de la isotropía (o acéptese el factor cinético) y evalúese la presión de la luz solar en la órbita terrestre; compárese con la presión atmosférica. (b) Dentro del Sol ( $T \approx 1.5 \times 10^{7}\,\mathrm{K}$ ): calcúlense $P_{\text{rad}} = aT^4/3$ y compárese con la presión del gas, $\sim2 \times 10^{16}\,\mathrm{Pa}$ . (c) La presión de radiación crece como $T^4$ y la del gas como $T$ : muéstrese por qué las estrellas suficientemente masivas (y por tanto más calientes) pasan a estar dominadas por la radiación y se vuelven inestables — el techo de Eddington cerca de $\sim100\,M_\odot$ . (d) Láseres: un haz de $1\,\mathrm{kW}$ enfocado para empujar, ¿qué fuerza da? ¿Por qué se quedan los “rayos tractores” en el cine mientras que las pinzas ópticas (gradientes, piconewtons) son herramientas reales?

Solución

Solución de Ejercicio 20.5.

(a) Para el haz solar dirigido, $P \approx \Phi/c = 4.5\,\text{µ}\mathrm{Pa}$ : once órdenes por debajo de la atmósfera — las velas solares funcionan solo porque el espacio resta todo lo demás. (b) $aT^4/3 \approx 1.3 \times 10^{13}\,\mathrm{Pa}$ : menos de una parte en mil de la presión del gas — al Sol lo sostiene el gas. (c) $P_{\text{rad}}/P_{\text{gas}} \propto T^3/n$ : las estrellas más masivas arden más calientes, y la riada en $T^4$ acaba por rivalizar con el agarre de la gravedad sobre el gas — la inestabilidad luminosa tapa a las estrellas cerca de $\sim100\,M_\odot$ . (d) $F = P/c = 3.3\,\text{µ}\mathrm{N}$ : los rayos tractores siguen siendo ficción; las pinzas usan gradientes de campo sobre objetos microscópicos, donde mandan los piconewtons (Problema 16.1).

Ejercicio 20.6 ★★

El estiramiento del universo. El fondo cósmico se emitió en la recombinación ( $T \approx 3000\,\mathrm{K}$ , terreno del Ejercicio 18.12) y llega a $2.725\,\mathrm{K}$ . (a) A partir de $T \propto 1/a$ , el factor de estiramiento de todas las longitudes desde la emisión. (b) Muéstrese que un espectro de Planck sigue siendo de Planck bajo un estiramiento uniforme de todas las longitudes de onda (¿qué le ocurre a $T$ ?). (c) El máximo emitido (¡luz visible anaranjada!), ¿adónde llega? (d) ¿Por qué es entonces oscuro el cielo para el ojo y deslumbrante para un receptor de microondas?

Solución

Solución de Ejercicio 20.6.

(a) $1 + z = 3000/2.725 \approx 1100$ . (b) La $\lambda$ de todos los modos se estira por el mismo factor: la forma en $\nu^3$ se aplica sobre sí misma con $T \to T/(1+z)$ — una curva de Planck no puede des-Planckearla la expansión. (c) El máximo rojo profundo de $\approx0.97\,\text{µ}\mathrm{m}$ llega a $1.06\,\mathrm{mm}$ . (d) El mismo cielo está vacío a $0.5\,\text{µ}\mathrm{m}$ y saturado en el milímetro: la oscuridad es una afirmación sobre longitudes de onda.

Ejercicio 20.7 ★★

Temperaturas de Debye a partir del sonido. (a) Evalúese $\theta_{\text{D}} = \hbar c_{\text{s}}(6\pi^2n)^{1/3}/k_{\text{B}}$ para el cobre ( $c_{\text{s}} \approx 3800\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , $n = 8.5 \times 10^{28}\,\mathrm{m}^{-3}$ ) y compárese con los $343\,\mathrm{K}$ calorimétricos. (b) El diamante: $c_{\text{s}} \approx 13\,000\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , $n = 1.76 \times 10^{29}\,\mathrm{m}^{-3}$ : calcúlese y compárese con los $\approx2200\,\mathrm{K}$ . (c) El plomo: blando y pesado — explíquese su $\theta_{\text{D}} \approx 90\,\mathrm{K}$ en una frase. (d) Enúnciese la regla que conecta la rigidez de un sólido, su masa atómica y su temperatura de congelación cuántica.

Solución

Solución de Ejercicio 20.7.

(a) $\theta_{\text{D}} \approx 500\,\mathrm{K}$ frente a los $343\,\mathrm{K}$ ajustados: la escala correcta (un promedio adecuado sobre las velocidades longitudinal y transversal cierra la brecha). (b) $\approx2200\,\mathrm{K}$ — coincide: el diamante es el caso extremo. (c) La velocidad del sonido baja (blando) y los átomos pesados empujan ambos $\theta_{\text{D}}$ hacia abajo: la red del plomo es clásica casi de inmediato. (d) Del tipo $\theta_{\text{D}} \propto c_{\text{s}}n^{1/3} \propto \sqrt{k/m}$ : rígido y ligero se congela tarde; blando y pesado, temprano.

Ejercicio 20.8 ★★

El cobre a un kelvin. (a) Usando $C = \gamma T + \beta T^3$ con la $\gamma$ del Ejemplo 19.3 y el coeficiente $T^3$ de Debye para $\theta_{\text{D}} = 343\,\mathrm{K}$ : calcúlense ambos términos por mol a $1\,\mathrm{K}$ . (b) ¿Cuál gana, y por cuánto? (c) ¿A qué temperatura se cruzan? (d) ¿Por qué es este régimen la ventana del calorimetrista a la densidad electrónica de estados?

Solución

Solución de Ejercicio 20.8.

(a) Electrónico: $\gamma \approx 5 \times 10^{-4}\,\mathrm{J}/(\mathrm{mol}\,\mathrm{K}^{2})$ da $0.5\,\mathrm{mJ}/(\mathrm{mol}\,\mathrm{K})$ ; de red: $1944R\dots$ — el término $T^3$ de Debye da $\approx0.05\,\mathrm{mJ}/(\mathrm{mol}\,\mathrm{K})$ . (b) Los electrones, por un orden de magnitud. (c) Cerca de $3\,\mathrm{K}$ (Ejercicio 19.5). (d) Por debajo del cruce, la ordenada en el origen medida de $C/T$ es $\gamma \propto g(E_{\text{F}})$ : un experimento de termómetro y calefactor lee la densidad de estados en la superficie de Fermi.

Ejercicio 20.9 ★★

Efecto invernadero de una capa. Sitúese la superficie (a temperatura $T_s$ ) bajo una única capa atmosférica delgada (a temperatura $T_a$ ) transparente a la luz solar pero opaca al infrarrojo térmico. (a) Escríbase el balance de energía de la capa (que absorbe $\sigma T_s^4$ y radia $2\sigma T_a^4$ ) y el de la superficie (que absorbe la luz solar $S$ más $\sigma T_a^4$ ). (b) Muéstrese que $T_s = 2^{1/4}\,T_{\text{ef}}$ , donde $\sigma T_{\text{ef}}^4 = S$ . (c) Con $T_{\text{ef}} = 255\,\mathrm{K}$ : evalúense $T_s$ y compárese con $288\,\mathrm{K}$ (la atmósfera real es una manta parcial y de muchas capas). (d) Conéctese con el Problema 9.1: ¿qué física molecular hace la capa opaca en el infrarrojo y transparente en el visible?

Solución

Solución de Ejercicio 20.9.

(a) La capa: absorbe $\sigma T_s^4$ y emite $2\sigma T_a^4$ (por ambas caras): $T_s^4 = 2T_a^4$ . La superficie: $S + \sigma T_a^4 = \sigma T_s^4$ . (b) Elimínese $T_a$ : $S = \tfrac12\sigma T_s^4$ , es decir, $T_s = 2^{1/4}T_{\text{ef}}$ . (c) $1.19 \times 255 = 303\,\mathrm{K}$ — se pasa de los $288\,\mathrm{K}$ reales porque la manta real es parcial y de varias capas. (d) Los cuantos de vibración de los gases traza triatómicos: transparentes a $0.5\,\text{µ}\mathrm{m}$ y opacos a $15\,\text{µ}\mathrm{m}$ — la molécula del Problema 9.1.

Ejercicio 20.10 ★★★

La constante de Stefan desde cero. (a) Móntese $u_{\text{tot}} = \int u(\nu)\dd\nu$ con $x = h\nu/k_{\text{B}}T$ y el $\pi^4/15$ dado, y obténgase $u = aT^4$ con $a = 8\pi^5k_{\text{B}}^4/15h^3c^3$ . (b) El flujo de una superficie negra es $c\,u/4$ (acéptese el cuarto geométrico): fórmese $\sigma$ y evalúese numéricamente a partir de $h$ , $c$ y $k_{\text{B}}$ . (c) Compárese con $5.67 \times 10^{-8}\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}\,\mathrm{K}^{-4}$ . (d) Inversión histórica: Planck ajustó su ley a los espectros y extrajo a la vez $h$ y $k_{\text{B}}$ (y con ella el número de Avogadro) en 1900 — dígase por qué la curva del cuerpo negro fija dos constantes a la vez.

Solución

Solución de Ejercicio 20.10.

(a) $u = (8\pi k_{\text{B}}^4T^4/h^3c^3)\int x^3/(\eu^x - 1)\dd x = 8\pi^5k_{\text{B}}^4T^4/15h^3c^3$ . (b–c) $\sigma = ac/4 = 2\pi^5k_{\text{B}}^4/15h^3c^2 = 5.67 \times 10^{-8}\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}\,\mathrm{K}^{-4}$ — a partir de tres constantes, clavado. (d) La forma de la curva fija $h/k_{\text{B}}$ (a través de $h\nu/k_{\text{B}}T$ ) y su escala absoluta fija $k_{\text{B}}^4/h^3$ : dos ecuaciones, dos constantes — Planck leyó $h$ y $N_{\text{A}} = R/k_{\text{B}}$ de un solo ajuste, años antes de los granos de Perrin.

Ejercicio 20.11 ★★★

Los coeficientes A y B de Einstein (1917). Átomos de dos niveles (energías $0, h\nu_0$ ; poblaciones $N_1, N_2$ ) se hallan en radiación de densidad espectral $u(\nu_0)$ . Tasa de absorción: $B_{12}uN_1$ ; emisión estimulada: $B_{21}uN_2$ ; espontánea: $AN_2$ . (a) Escríbase el balance de equilibrio. (b) Exíjase que la razón de Boltzmann $N_2/N_1 = \eu^{-h\nu_0/k_{\text{B}}T}$ y la $u$ de Planck valgan a la vez para toda $T$ : dedúzcase $B_{12} = B_{21}$ y

\frac{A}{B} = \frac{8\pi h\nu_0^3}{c^3} .

(c) Interprétese: ¿por qué obliga el equilibrio térmico a que exista la emisión espontánea, y fija su tasa a partir de la estimulada? (d) El $\nu^3$ : conéctese con los tiempos de vida del Ejercicio 13.8 y con por qué es difícil hacer láseres a frecuencias de rayos X.

Solución

Solución de Ejercicio 20.11.

(a) $B_{12}uN_1 = B_{21}uN_2 + AN_2$ . (b) Despéjese $u$ : $u = (A/B_{21})/[(B_{12}/B_{21})\eu^{h\nu_0/k_{\text{B}}T} - 1]$ ; exigir la forma de Planck para toda $T$ obliga a $B_{12} = B_{21}$ y a $A/B = 8\pi h\nu_0^3/c^3$ . (c) Sin $A$ no hay balance posible frente a la ley de Planck: el propio equilibrio exige que los átomos excitados decaigan sin que nadie los incite, a una tasa atada a la estimulada — Einstein predijo la emisión espontánea desde la termodinámica, una década antes de que la mecánica cuántica la dedujera. (d) $A \propto \nu^3$ : los estados ultravioleta decaen en nanosegundos (Ejercicio 13.8), de modo que las inversiones son ruinosamente caras a longitudes de onda cortas — el problema del láser de rayos X.

Ejercicio 20.12 ★★★

El diamante, la autopista de los fonones. Conductividad térmica de un aislante: $\kappa = \tfrac13 C_v c_{\text{s}}\ell$ por unidad de volumen, con $\ell$ el recorrido libre medio de los fonones. (a) Para el diamante a $300\,\mathrm{K}$ ( $C_v \approx 1.8 \times 10^{6}\,\mathrm{J}\,\mathrm{m}^{-3}\mathrm{K}^{-1}$ , es decir, parcialmente congelada; $c_{\text{s}} = 13\,000\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; $\ell \approx 0.3\,\text{µ}\mathrm{m}$ ): calcúlense $\kappa$ y compárese con los $400\,\mathrm{W}/(\mathrm{m}\,\mathrm{K})$ del cobre. (b) ¿Por qué es $\ell$ tan largo en el diamante (rígido, ligero, isotópicamente limpio — qué dispersa a los fonones)? (c) El diamante purificado isotópicamente casi duplica $\kappa$ : ¿qué revela eso sobre la dispersión de fonones por el desorden de masas isotópicas? (d) Dos usos: disipadores de calor en electrónica; y por qué un diamante se siente frío en el labio — explíquese la sensación.

Solución

Solución de Ejercicio 20.12.

(a) $\kappa = \tfrac13 \times 1.8 \times 10^{6} \times 1.3 \times 10^{4} \times 3 \times 10^{-7} \approx 2300\,\mathrm{W}/(\mathrm{m}\,\mathrm{K})$ : cinco veces el cobre. (b) Rígido y ligero significa fonones rápidos; una red pura, perfecta y ligera les ofrece poco que los disperse — $\ell$ alcanza miles de constantes de red. (c) Hasta la diferencia de masa de los átomos de $^{13}$ C dispersa fonones de forma medible: el desorden isotópico es una resistencia genuina, que la purificación elimina. (d) Disipadores de calor bajo los chips de potencia; y el calor del labio se escapa tan deprisa que un diamante auténtico se siente asombrosamente frío — la prueba del tacto del joyero es una medida de fonones.

Todo el cielo en microondas (NASA/WMAP, dominio público): la radiación de Planck a 2.7\, K del fondo cósmico, cartografiada. El moteado es de una parte en 105 — las semillas de las galaxias, impresas sobre el cuerpo negro de este capítulo. — Todo el cielo en microondas (NASA/WMAP, dominio público): la radiación de Planck a $2.7\,\mathrm{K}$ del fondo cósmico, cartografiada. El moteado es de una parte en $10^5$ — las semillas de las galaxias, impresas sobre el cuerpo negro de este capítulo.

20.4 Problema: la luz más antigua

Problema 20.1

Problema de fin de semana — leer el fondo cósmico de microondas

Apúntese cualquier receptor de ondas milimétricas a cualquier trozo de cielo y dará la misma señal: un espectro de Planck a $T = 2.725\,48(57)\,\mathrm{K}$ , más liso que cualquier horno que la humanidad haya construido. Es el fogonazo de la recombinación del universo (Ejercicio 18.12), estirado mil cien veces, y lleva consigo el censo del cosmos. Datos: $T_0 = 2.725\,\mathrm{K}$ ; $n_\gamma = 2.03 \times 10^{7}\,T^3\,\mathrm{m}^{-3}$ ; $u = aT^4$ , $a = 7.56 \times 10^{-16}\,\mathrm{J}\,\mathrm{m}^{-3}\,\mathrm{K}^{-4}$ ; densidad bariónica actual $n_{\text{b}} \approx 0.25\,\mathrm{m}^{-3}$ ; densidad crítica $\rho_{\text{c}} \approx 8.6 \times 10^{-27}\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ .

Parte I — El espectro.

Calcúlese la longitud de onda del máximo (Wien) del fondo cósmico y su densidad de fotones por centímetro cúbico.
Calcúlense su densidad de energía, en $\mathrm{J}/\mathrm{m}^{3}$ y en $\mathrm{eV}/\mathrm{cm}^{3}$ , y la fracción equivalente en masa de la densidad crítica.
El espectro de COBE (1990) coincidió con el de Planck en unas pocas partes en $10^4$ — el público aplaudió la gráfica. ¿Por qué es tan difícil explicar un espectro térmico perfecto procedente del cielo vacío por algo que no sea un pasado caliente y denso?
En la emisión, esos mismos fotones formaban un cuerpo negro a $3000\,\mathrm{K}$ : compruébese el factor de estiramiento $1 + z = T_{\text{entonces}}/T_0$ .
¿Por qué se volvió transparente el universo justo a esa temperatura (recuérdese qué equilibrio del Capítulo 18 se apagó)?
El cielo nocturno es oscuro (la paradoja de Olbers de la vieja astronomía): ¿en qué sentido preciso es en realidad brillante, y a qué longitud de onda y temperatura?

Parte II — El censo.

Calcúlese la razón de fotones a bariones $\eta^{-1} = n_\gamma/n_{\text{b}}$ .
Ese número — unos dos mil millones de fotones por protón — es uno de los datos fundamentales de la cosmología: dígase qué mide sobre la asimetría entre materia y antimateria (recuérdese el Ejercicio 18.12: los fotones son en su mayoría productos de aniquilación).
Compárese la densidad de energía del fondo cósmico con la de la luz de las estrellas ( $\sim2 \times 10^{-15}\,\mathrm{J}/\mathrm{m}^{3}$ promediada sobre el universo): ¿qué luz domina el cosmos?
El fondo cósmico supera en fotones a todo lo que las estrellas han alumbrado jamás: ¿por qué hace esto que el universo primitivo estuviera “dominado por la radiación”, y qué tomó el relevo después (los escalados $T^4$ frente a $T^3$ contra el $a^{-3}$ de la materia)?
Estímese la época de la igualdad entre materia y radiación: con la densidad de radiación escalando como $(1+z)^4$ y la materia como $(1+z)^3$ , y con la razón actual $u_{\text{rad}}/\rho_{\text{m}}c^2 \approx 1/3400$ , hállese $z_{\text{eq}}$ .
Los neutrinos se desacoplaron antes y se enfriaron algo más (se perdieron el recalentamiento por aniquilación de $e^+e^-$ del Ejercicio 18.12): la predicción $T_\nu = (4/11)^{1/3}T_\gamma$ — evalúese y maravíllese ante la predicción de un mar de neutrinos a $1.95\,\mathrm{K}$ que nadie ha detectado aún de forma directa.

Parte III — Las anisotropías.

El fondo cósmico está $3.4\,\mathrm{mK}$ más caliente en una dirección y más frío en la opuesta: interprétese con la física Doppler del Capítulo 4 y extráigase nuestra velocidad ( $\Delta T/T = v/c$ ).
Quitado ese dipolo, quedan ondulaciones de $\Delta T/T \sim 10^{-5}$ (COBE en 1992, y después WMAP y Planck): ¿qué cartografían en $z = 1100$ ?
Esas semillas de densidad de $10^{-5}$ crecieron hasta ser galaxias: ¿por qué amplifica la gravedad las sobredensidades (qué inestabilidad) y por qué necesitó el crecimiento la igualdad entre materia y radiación para arrancar de veras?
El tamaño de ondulación más intenso (alrededor de un grado en el cielo) es una longitud de onda acústica — sonido en el plasma de fotones y bariones (¡el gas de este capítulo más las ondas del Capítulo 3!): ¿qué fija su escala (la distancia que recorre el sonido antes de la recombinación)?
Medir ese ángulo frente a la escala física conocida triangula la geometría del universo: enúnciese el resultado (plana, con precisión del uno por ciento).
El monopolo a $2.7\,\mathrm{K}$ , el dipolo de $3\,\mathrm{mK}$ y las ondulaciones de $10^{-5}$ : ordénese lo que ha enseñado cada uno (un pasado caliente; nuestro movimiento; las semillas y la geometría de todo).

Parte IV — La herencia.

Penzias y Wilson hallaron la señal en 1965 como ruido de antena que no había manera de quitar (tras desalojar a las palomas): ¿por qué era inexplicable un exceso isótropo e independiente de la estación a $3\,\mathrm{K}$ como fuente local o galáctica?
Alrededor del $1\%$ de la nieve de un televisor analógico sin sintonizar era esta señal: reflexiónese en una frase.
El fondo cósmico atraviesa los cúmulos de galaxias y los electrones calientes lo empujan ligeramente hacia frecuencias más altas (el efecto Sunyaev–Zeldóvich): ¿por qué hace esto visibles a los cúmulos como sombras a baja frecuencia, y cuál es la virtud especial de una sombra así (independiente de la distancia)?
La frontera de hoy busca en la polarización del fondo cósmico la huella de las ondas gravitatorias primordiales: ¿qué capítulos de este libro casaría ese descubrimiento (la polarización del Capítulo 6 y las ondas de la gravedad)?
Calcúlese el flujo de fotones del fondo cósmico a través de su cuerpo ( $n_\gamma c/4$ por unidad de área, con una sección del cuerpo de $\sim0.5\,\mathrm{m}^{2}$ ): ¿cuántas reliquias del Big Bang lo atraviesan cada segundo?
El fondo cósmico señala un sistema de reposo (aquel en el que el dipolo se anula): explíquese por qué esto no contradice a la relatividad — qué clase de sistema privilegia el contenido material, y no las leyes.
Resúmase el resultado con nombre propio: una curva de Planck de $2.725$ kelvin llenando el cielo — $411$ fotones por centímetro cúbico, dos mil millones por barión y máximo en $160\,\mathrm{GHz}$ — es el recibo térmico del comienzo caliente: la física estadística como piedra fundacional de la cosmología.

Solución

Solución de Problema 20.1.

1. $\lambda_{\max} = 2898/2.725 \approx 1.06\,\mathrm{mm}$ ; $411$ fotones por cm $^3$ . 2. $u = aT^4 = 4.2 \times 10^{-14}\,\mathrm{J}/\mathrm{m}^{3} \approx 0.26\,\mathrm{eV}/\mathrm{cm}^{3}$ ; el equivalente en masa $u/c^2 \approx 4.6 \times 10^{-31}\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ : alrededor de $5\times10^{-5}$ de la crítica. 3. Un espectro térmico exige que el emisor y la radiación se hayan equilibrado — imposible para cualquier colección de estrellas, polvo o plasmas sumados a lo largo de líneas de visión distintas; solo encaja un universo que fue él mismo una cavidad caliente y opaca. 4. $1 + z = 3000/2.725 \approx 1100$ . 5. El equilibrio de Saha cruzó hacia los átomos neutros: los electrones libres se esfumaron, la dispersión Thomson cesó y los fotones vuelan intactos desde entonces. 6. Brillante a longitudes de onda milimétricas, a $2.725\,\mathrm{K}$ : el cielo de Olbers sí arde — el corrimiento al rojo sacó la hoguera del visible. 7. $4.1 \times 10^{8}/0.25 \approx 1.6 \times 10^{9}$ fotones por barión. 8. Los fotones son las cenizas de la aniquilación entre materia y antimateria; los bariones son el excedente de uno por cada mil millones que sobrevivió: $\eta$ mide la asimetría primordial — todavía sin explicar. 9. $4.2 \times 10^{-14}\,$ frente a $2 \times 10^{-15}\,\mathrm{J}/\mathrm{m}^{3}$ : la luz reliquia supera en densidad de energía a todo lo que las estrellas han emitido jamás. 10. La radiación se diluye como $a^{-4}$ (el número como $a^{-3}$ , y cada fotón estirado en $a^{-1}$ ) y la materia como $a^{-3}$ : al principio mandaba la radiación; la materia la adelantó en la igualdad, y dejó crecer la estructura. 11. $1 + z_{\text{eq}} \approx 3400$ . 12. $T_\nu = (4/11)^{1/3} \times 2.725 = 1.95\,\mathrm{K}$ : un fondo cósmico de neutrinos predicho, el cheque sin cobrar más audaz de la física térmica. 13. $v = c\,\Delta T/T = 3 \times 10^{8} \times 1.25 \times 10^{-3} \approx 370\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ : el movimiento del sistema solar a través del sistema de la radiación reliquia. 14. Las ondulaciones de temperatura (y por tanto de densidad y velocidad) del universo a los 380 000 años: una fotografía de las semillas. 15. Las zonas sobredensas tiran más fuerte y crecen (la inestabilidad gravitatoria); antes de la igualdad, la presión de radiación las hacía rebotar — el crecimiento esperó a que mandara la materia. 16. La distancia que recorrió el sonido ( $c/\sqrt3$ en el fluido de fotones y bariones) hasta la recombinación — el horizonte sonoro, una regla acústica enterrada en el cielo. 17. El ángulo casa con la geometría de un universo plano hasta un uno por ciento aproximadamente: las rectas paralelas, cósmicamente, siguen paralelas. 18. El monopolo: el comienzo caliente. El dipolo: nuestros $370\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ . Las ondulaciones: el origen de la estructura y la geometría del espacio — cada decimal, un descubrimiento. 19. Era igual en todas las direcciones, de día y de noche, en verano y en invierno, y sin palomas: nada local, galáctico o instrumental es tan isótropo — solo el cielo mismo. 20. Un siseo en todos los aparatos sin sintonizar: el Big Bang salía por la televisión desde siempre. 21. Los electrones calientes del cúmulo patean por Compton los fotones del fondo hacia frecuencias más altas: por debajo del cruce, el cúmulo quita fotones — una silueta cuya profundidad no depende de la distancia, lo que permite a los muestreos hallar cúmulos a cualquier corrimiento al rojo. 22. Las ondas gravitatorias primordiales retorcerían la polarización del fondo cósmico en “modos B”: las ondas de la relatividad leídas en luz dispersada por Thomson — dos de los hilos de este libro, anudados. 23. $n_\gamma c/4 \approx 3 \times 10^{16}\,\mathrm{m}^{-2}\mathrm{s}^{-1}$ : alrededor de $10^{16}$ fotones del Big Bang atraviesan un cuerpo humano cada segundo, sin que nadie lo note. 24. Es un sistema escogido por el contenido (aquel en el que la radiación es isótropa), no por las leyes: la relatividad prohíbe solo los sistemas privilegiados por las leyes — moverse a través del fondo cósmico es detectable; moverse a través del espaciotiempo, no. 25. Una curva de Planck a $2.725\,\mathrm{K}$ en toda línea de visión — $411$ fotones por centímetro cúbico, $10^9$ por barión y ondulaciones a $10^{-5}$ : el cuerpo negro de la física estadística, ascendido a documento fundacional de la cosmología.