Física universitaria — tercer año · Bachelor Year 3

25Física nuclear

El volumen de bachillerato contó el esquema de la historia: los átomos tienen núcleos; algunos núcleos se desmoronan, con plazos que van de los microsegundos a los miles de millones de años; y unos gramos de materia esconden megatones de energía. Este capítulo reabre el núcleo con herramientas del Año 3. Un modelo de gota con cinco términos predice la energía de enlace de cientos de nucleidos con precisión del uno por ciento; el efecto túnel cuántico — el problema de la barrera del volumen del Año 2, ascendido — explica cómo una sola fórmula abarca veinticinco órdenes de magnitud en los tiempos de vida de la desintegración $\alpha$ ; y el máximo discreto de la curva de energía de enlace en el hierro divide toda la tecnología nuclear en dos bandos: partir lo pesado (los reactores) o unir lo ligero (las estrellas y, algún día, las centrales). El capítulo termina junto a la piscina de un reactor, brillando de azul Cherenkov.

25.1 El núcleo: una gota saturada

Definición 25.1 (Nucleidos, tamaño y densidad)

Un nucleido $^{A}_{Z}\text{X}$ alberga $Z$ protones y $N = A - Z$ neutrones, ligados por la interacción fuerte: intensa ( ${\sim}100\,\times$ la de Coulomb al contacto), de corto alcance ( ${\sim}1\,\mathrm{fm}$ , la sienten solo los vecinos que se tocan) y ciega a la carga (agarra igual a protones que a neutrones). Los experimentos de dispersión dan a todos los núcleos la misma receta: radio

R = r_0A^{1/3} , \qquad r_0 \approx 1.2\,\mathrm{fm} ,

de modo que el volumen crece como $A$ y la densidad es un valor universal, $\rho \approx 2.3 \times 10^{17}\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ — una gota de lluvia hecha de eso pesaría como una flota de petroleros, y el Capítulo 27 se encontrará con estrellas enteras a esta densidad. Los isótopos comparten $Z$ pero difieren en $N$ : la misma química, destinos nucleares distintos.

Proposición 25.2 (Defecto de masa y energía de enlace)

Un núcleo ligado pesa menos que sus partes; por el Capítulo 5, la masa que falta es la energía de enlace,

B = \big(Zm_{\text{p}} + Nm_{\text{n}} - m_{\text{núcleo}}\big)c^2 ,

típicamente ${\sim}8\,\mathrm{MeV}$ por nucleón — un millón de veces la química. Representada por nucleón, $B/A$ trepa abruptamente por los núcleos ligeros (los efectos de superficie se desvanecen), alcanza su máximo en $\approx8.8\,\mathrm{MeV}$ cerca del hierro-56 y luego cae poco a poco a medida que la repulsión de Coulomb, de largo alcance y sin saturar, grava a los pesos pesados. Ambas pendientes son minas de energía: la fusión sube la pendiente izquierda (el negocio del Sol) y la fisión baja la derecha (el del reactor) — y el hierro, en la cima, es ceniza nuclear para ambas.

La curva de energía de enlace — podría decirse que la gráfica más trascendental de la física. Los núcleos ligeros ganan fusionándose y los pesados partiéndose; por kilogramo, la pendiente izquierda paga unas cuatro veces mejor, y el Sol está sobre ella.

Proposición 25.3 (La fórmula semiempírica de masas)

Modélese el núcleo como una gota líquida cargada y toda la curva se sigue de cinco términos:

B = a_{\text{V}}A - a_{\text{S}}A^{2/3} - a_{\text{C}}\frac{Z^2}{A^{1/3}} - a_{\text{A}}\frac{(A - 2Z)^2}{A} + \delta(A) ,

con (en $\mathrm{MeV}$ ) $a_{\text{V}} = 15.8$ (cada nucleón se enlaza con sus vecinos: el volumen), $a_{\text{S}} = 17.8$ (los nucleones de la superficie se enlazan con menos: la “tensión superficial” de la gota), $a_{\text{C}} = 0.71$ (Coulomb, el saboteador de largo alcance), $a_{\text{A}} = 23.7$ (asimetría: por el Capítulo 19, protones y neutrones llenan dos escaleras de Fermi separadas, y sale más barato cuando están igual de llenas) y $\delta$ , una pequeña prima de apareamiento para los números pares (Capítulo 14). Minimizar a $A$ fijo traza el valle de estabilidad: $N \approx Z$ para los núcleos ligeros, que se dobla hacia el exceso de neutrones ( $N/Z \to 1.5$ ) cuando Coulomb castiga a los protones — y los nucleidos fuera del valle ruedan de vuelta por desintegración $\beta$ .

Demostración. Admitido a este nivel. ∎

El valle de estabilidad. Los núcleos ligeros equilibran sus dos escaleras de Fermi (N = Z); los pesados diluyen su factura de Coulomb con neutrones de más. Un nucleido fuera del fondo del valle se desintegra por de vuelta hacia él — y los fragmentos de fisión, nacidos muy por encima de la línea, son furiosamente radiactivos por exactamente esta razón. — El valle de estabilidad. Los núcleos ligeros equilibran sus dos escaleras de Fermi ( $N = Z$ ); los pesados diluyen su factura de Coulomb con neutrones de más. Un nucleido fuera del fondo del valle se desintegra por $\beta$ de vuelta hacia él — y los fragmentos de fisión, nacidos muy por encima de la línea, son furiosamente radiactivos por exactamente esta razón.

25.2 La radiactividad, por el reloj

Teorema 25.4 (La ley de desintegración)

Un núcleo inestable no tiene memoria ni envejece: en cada segundo que vive, se desintegra con la misma probabilidad $\lambda$ . Para $N$ núcleos, $\dd N = -\lambda N\,\dd t$ , de modo que

N(t) = N_0\,\eu^{-\lambda t} = N_0\,2^{-t/T_{1/2}} , \qquad T_{1/2} = \frac{\ln2}{\lambda} ,

y la actividad $\mathcal A = \lambda N$ (desintegraciones por segundo, $\mathrm{Bq}$ ) se apaga con la misma exponencial. Los periodos van de los microsegundos a los miles de millones de años; la estadística del Capítulo 16 garantiza que, mientras un núcleo es perfectamente impredecible, un mol de ellos mide el tiempo exponencial mejor que ningún reloj — el fundamento de la datación radiométrica.

Demostración. Una probabilidad constante por segundo significa $N(t + \dd t) = N(t)(1 - \lambda\dd t)$ ; intégrese. Imponer $N/N_0 = \tfrac12$ da $T_{1/2}$ . ∎

Desintegración exponencial: individuos sin memoria, población puntual. Dos periodos dejan un cuarto; diez dejan una milésima — la regla con la que los físicos datan carbón vegetal, glaciares y la Tierra.

Observación 25.5 (Tres puertas de salida de un núcleo)

$\boldsymbol\alpha$ : un núcleo pesado emite un agregado de $^4$ He. Clásicamente imposible — la barrera de Coulomb llega a $25\,\mathrm{MeV}$ y la $\alpha$ sale con $5\,$ – $9\,\mathrm{MeV}$ —, ocurre por efecto túnel (la barrera del volumen del Año 2, curvada): la sensibilidad exponencial de Gamow convierte un factor dos en energía en veinte órdenes de magnitud en el tiempo de vida, exactamente el patrón de Geiger–Nuttall (Ejercicio 25.8). $\boldsymbol\beta$ : un neutrón se hace protón (o al revés), y emite un electrón (o un positrón) y un neutrino — la interacción débil en acción, la fuerza que restaura el valle; la historia del neutrino espera al Capítulo 26. $\boldsymbol\gamma$ : un núcleo excitado suelta fotones de $\mathrm{MeV}$ , el análogo nuclear de las líneas espectrales del Capítulo 11. Las desintegraciones se encadenan hasta llegar al fondo del valle: la escalera del uranio termina, catorce peldaños después, en plomo estable.

25.3 Cuesta abajo: fisión y fusión

Proposición 25.6 (La fisión y la reacción en cadena)

Un neutrón lento absorbido por el $^{235}$ U hace una gota bamboleante que se parte: dos fragmentos de masa intermedia, dos o tres neutrones nuevos y $\approx200\,\mathrm{MeV}$ — la brecha de $B/A$ entre los $7.6\,\mathrm{MeV}$ del uranio y los $8.5\,\mathrm{MeV}$ de los fragmentos, por 235. Los neutrones liberados pueden fisionar más núcleos: con factor de multiplicación $k$ (neutrones por neutrón, una generación después), una población crece como $k^n$ — subcrítica ( $k < 1$ ) se apaga, crítica ( $k = 1$ ) se mantiene, supercrítica estalla. Un reactor modera los neutrones hasta velocidades lentas (la dieta preferida de la fisión), se apoya en el 0.7 % de los neutrones que llegan con segundos de retraso desde las desintegraciones de los fragmentos — el retraso que hace que $k \approx 1$ sea ajustable por humanos — y deja que las barras de control se coman el excedente (Problema 25.1).

Demostración. Admitido a este nivel. ∎

Fisión de gota líquida: un neutrón lento pone a bambolearse al 235U; la repulsión de Coulomb de la gota deformada vence a su tensión superficial, y esta se desgarra en fragmentos ricos en neutrones más los neutrones sobrantes que hacen posible una cadena. — Fisión de gota líquida: un neutrón lento pone a bambolearse al $^{235}$ U; la repulsión de Coulomb de la gota deformada vence a su tensión superficial, y esta se desgarra en fragmentos ricos en neutrones más los neutrones sobrantes que hacen posible una cadena.

Observación 25.7 (La fusión: la pendiente más difícil y mejor)

Unir núcleos ligeros paga $\sim4\times$ más por kilogramo que partir los pesados, y sin fragmentos de vida larga — pero los reactivos, ambos positivos, deben atravesar por efecto túnel su barrera mutua de Coulomb, lo que exige temperaturas de $10^7$ – $10^8\,\mathrm{K}$ (Ejercicio 25.11). Las estrellas lo consiguen por ser enormes (Capítulo 27: el Sol convierte $600\,$ millones de toneladas de hidrógeno en helio cada segundo); los laboratorios lo hacen con plasmas embotellados magnéticamente y, por ahora, con un balance energético todavía por debajo de sus ambiciones de rentabilidad.

Marie Curie (fotografía de Henri Manuel, h. 1920, dominio público): dos veces premio Nobel por abrir el asunto de este capítulo — el gramo de radio del era suyo. — Marie Curie (fotografía de Henri Manuel, h. 1920, dominio público): dos veces premio Nobel por abrir el asunto de este capítulo — el gramo de radio del Ejercicio 25.4 era suyo.

25.4 Ejercicios

Ejercicio 25.1 ★

Contabilidad. (a) Dense $Z$ , $N$ y $A$ para el $^{12}$ C, el $^{14}$ C, el $^{235}$ U y el $^{238}$ U. (b) ¿Qué parejas son isótopos? (c) ¿Por qué comparten los isótopos la química pero no la estabilidad nuclear? (d) El $^{14}$ C y el $^{14}$ N comparten $A = 14$ : ¿cómo se llaman esos nucleidos y qué desintegración los conecta?

Solución

Solución de Ejercicio 25.1.

(a) $^{12}$ C: $6, 6, 12$ ; $^{14}$ C: $6, 8, 14$ ; $^{235}$ U: $92, 143, 235$ ; $^{238}$ U: $92, 146, 238$ . (b) Los carbonos; los uranios. (c) La química es la nube electrónica, que fija $Z$ ; la estabilidad es el equilibrio $N$ – $Z$ de dentro. (d) Isóbaros — conectados por la desintegración $\beta^-$ : $^{14}\text{C} \to {}^{14}\text{N} + \text{e}^- + \bar\nu$ , el tictac del reloj del radiocarbono.

Ejercicio 25.2 ★

La densidad universal. (a) A partir de $R = r_0A^{1/3}$ , muéstrese que la densidad nuclear no depende de $A$ y evalúese. (b) Calcúlese la masa de una cucharadita ( $5\,\mathrm{mL}$ ) de materia nuclear. (c) ¿Qué fracción del volumen de un átomo llena su núcleo (tómense $R_{\text{átomo}} = 1 \times 10^{-10}\,\mathrm{m}$ , $A = 60$ )? (d) ¿Qué dice la propia ley $A^{1/3}$ sobre el alcance de la fuerza fuerte?

Solución

Solución de Ejercicio 25.2.

(a) $\rho = Am_{\text{u}}/\tfrac43\pi r_0^3A = 3m_{\text{u}}/4\pi r_0^3 \approx 2.3 \times 10^{17}\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ : $A$ se cancela. (b) $5\,\mathrm{mL} \to 1.2 \times 10^{12}\,\mathrm{kg}$ — mil millones de toneladas en una cucharadita. (c) $(R/R_{\text{átomo}})^3 \approx (4.7\times10^{-5})^3 \approx 10^{-13}$ : el átomo es espacio vacío con una mota pesada. (d) Que el volumen sea $\propto A$ significa que cada nucleón reclama un sitio fijo y se liga solo con los vecinos que toca: la fuerza satura en el alcance del $\mathrm{fm}$ .

Ejercicio 25.3 ★

Pesar el pegamento. Masas nucleares: $m_{\text{p}} = 1.007\,276\,\mathrm{u}$ , $m_{\text{n}} = 1.008\,665\,\mathrm{u}$ , $m(^4\text{He}) = 4.001\,506\,\mathrm{u}$ ; $1\,\mathrm{u}\,c^2 = 931.5\,\mathrm{MeV}$ . (a) Calcúlense el defecto de masa y la energía de enlace del $^4$ He. (b) Dese $B/A$ . (c) Compárese $B$ con los $13.6\,\mathrm{eV}$ del Capítulo 11: ¿cuántos órdenes de magnitud separan el pegamento nuclear del atómico? (d) ¿Por qué hace la energía de enlace excepcional del $^4$ He (el pico de la figura) que sea la moneda de la desintegración $\alpha$ ?

Solución

Solución de Ejercicio 25.3.

(a) $\Delta m = 2(1.007276 + 1.008665) - 4.001506 = 0.030\,376\,\mathrm{u}$ : $B = 28.3\,\mathrm{MeV}$ . (b) $B/A = 7.07\,\mathrm{MeV}$ . (c) $28.3\,\text{MeV}/13.6\,\text{eV} \approx 2\times10^6$ : seis órdenes de magnitud — por eso el combustible nuclear supera al químico por un millón. (d) La $\alpha$ es un paquete premontado y excepcionalmente barato: emitirla exporta cuatro nucleones con un descuento de ganga de $28.3\,\mathrm{MeV}$ , que ningún nucleón suelto puede igualar.

Ejercicio 25.4 ★

El primer curio. Radio-226: $T_{1/2} = 1600$ años, masa molar $226\,\mathrm{g}/\mathrm{mol}$ . Para un gramo: (a) cuéntense los núcleos; (b) calcúlese $\lambda$ ; (c) calcúlese la actividad y compárese con la unidad histórica $1\,\text{Ci} = 3.7 \times 10^{10}\,\mathrm{Bq}$ (definida como exactamente ese gramo); (d) ¿cuánto queda del gramo tras 4800 años?

Solución

Solución de Ejercicio 25.4.

(a) $N = N_{\text{A}}/226 = 2.66 \times 10^{21}\,$ . (b) $\lambda = \ln2/(1600\times3.156 \times 10^{7}\,\mathrm{s}) = 1.37 \times 10^{-11}\,\mathrm{s}^{-1}$ . (c) $\mathcal A = \lambda N = 3.7 \times 10^{10}\,\mathrm{Bq}$ : un curio, por construcción — el propio gramo de los Curie. (d) Tres periodos: $0.125\,\mathrm{g}$ de radio (el resto, ya radón y sus hijos, marchando hacia el plomo).

Ejercicio 25.5 ★★

La fórmula en acción. Con $a_{\text{V}} = 15.75$ , $a_{\text{S}} = 17.8$ , $a_{\text{C}} = 0.711$ y $a_{\text{A}} = 23.7$ (en $\mathrm{MeV}$ ) y un apareamiento de $+12/\sqrt A$ para los núcleos par–par: (a) calcúlense los cuatro términos principales de $B$ para el $^{56}$ Fe ( $Z = 26$ ). (b) Súmense (con el apareamiento) y compárese $B/A$ con los $8.79\,\mathrm{MeV}$ medidos. (c) ¿Qué dos términos pelean con más fuerza, y qué fija su equilibrio? (d) ¿Por qué debe crecer el término de Coulomb, y solo él, más deprisa que $A$ ?

Solución

Solución de Ejercicio 25.5.

(a) Volumen $+882$ ; superficie $-261$ ; Coulomb $-0.711\times676/3.83 = -126$ ; asimetría $-23.7\times16/56 = -6.8$ (en $\mathrm{MeV}$ ). (b) Con el apareamiento $+12/\sqrt{56} = +1.6$ : $B \approx 490\,\mathrm{MeV}$ y $B/A = 8.76$ frente al $8.79$ medido — tres por mil a partir de una gota líquida. (c) El volumen contra superficie $+$ Coulomb: el cruce de sus ritmos de crecimiento es lo que talla el máximo en el hierro. (d) Coulomb es de largo alcance: cada protón repele a todos los demás, $\propto Z^2$ , mientras que la fuerza fuerte, que satura, solo paga $\propto A$ — la derrota final de los pesos pesados.

Ejercicio 25.6 ★★

El fondo del valle. (a) Conservando solo los términos que dependen de $Z$ , minimícese la masa a $A$ fijo y dedúzcase $Z^* = \dfrac{A/2}{1 + a_{\text{C}}A^{2/3}/4a_{\text{A}}}$ . (b) Evalúese para $A = 101$ y compárese con el rutenio ( $Z = 44$ ). (c) Muéstrese que el límite de $A$ pequeña es $Z^* = A/2$ e interprétese con las dos escaleras de Fermi. (d) Un fragmento de fisión tiene $A = 95$ y $Z = 36$ : ¿cuán lejos del valle está y qué secuencia de desintegraciones le sigue?

Solución

Solución de Ejercicio 25.6.

(a) $\partial/\partial Z$ de los términos de Coulomb y de asimetría da $2a_{\text{C}}Z/A^{1/3} = 4a_{\text{A}}(A - 2Z)/A$ ; despéjese. (b) $Z^* = 50.5/1.163 = 43.4$ : la elección de la naturaleza en $A = 101$ es el rutenio, $Z = 44$ . (c) Sin Coulomb, $Z^* = A/2$ : dos escaleras de Fermi (Capítulo 19), más baratas llenas a igual altura. (d) El asiento en el valle del fragmento es $Z^* \approx 41$ : le faltan cinco protones — una cascada de cinco desintegraciones $\beta^-$ lo trepa de vuelta, y cada una convierte un neutrón y emite un electrón y un antineutrino.

Ejercicio 25.7 ★★

Radiocarbono. La materia viva mantiene el $^{14}$ C ( $T_{1/2} = 5730$ años) repuesto a 1 átomo por cada $10^{12}$ carbonos; la muerte detiene la reposición. (a) Una muestra de carbón vegetal muestra el 30 % de la actividad de lo vivo: ¿qué antigüedad tiene el fuego? (b) Un gramo de carbono vivo: calcúlese su actividad de $^{14}$ C (se esperan $\approx0.23\,\mathrm{Bq}$ ). (c) ¿Por qué es inútil el método más allá de $\sim50\,000\,$ años? (d) ¿Y por qué es inútil para datar rocas (qué relojes toman el relevo)?

Solución

Solución de Ejercicio 25.7.

(a) $t = T_{1/2}\ln(1/0.3)/\ln2 = 5730\times1.74 \approx 10^{4}\,$ años: un fuego del final de la glaciación. (b) $N_{^{14}\text{C}} = (N_{\text{A}}/12)\times10^{-12} = 5.0 \times 10^{10}\,$ ; $\lambda = 3.8 \times 10^{-12}\,\mathrm{s}^{-1}$ : $\mathcal A \approx 0.2\,\mathrm{Bq}$ — una docena de desintegraciones por minuto y por gramo, la tasa de recuento de trabajo de todos los laboratorios de datación. (c) Tras nueve periodos, la actividad se hunde por debajo del fondo: el reloj sigue andando, pero ya no puede leerse. (d) Las rocas nunca respiraron el carbono atmosférico; sus relojes son los primordiales — uranio–plomo, potasio–argón — con periodos de miles de millones de años.

Ejercicio 25.8 ★★

El acantilado de Gamow. El polonio-212 emite una $\alpha$ de $8.78\,\mathrm{MeV}$ ; su barrera llega a $\approx26\,\mathrm{MeV}$ . (a) Muéstrese que la salida clásica es imposible, y la entrada clásica también — y aun así se desintegra en $0.3\,\text{µ}\mathrm{s}$ . (b) La $\alpha$ del uranio-238 lleva $4.2\,\mathrm{MeV}$ y su periodo es de $4.5\times10^9$ años: calcúlese la razón de las dos constantes de desintegración. (c) Explíquese, con la exponencial del efecto túnel, cómo un factor dos en energía compra $\sim10^{24}$ en la tasa. (d) ¿Por qué fija la misma física el requisito de temperatura del núcleo del Sol?

Solución

Solución de Ejercicio 25.8.

(a) Los $8.78\,\mathrm{MeV}$ de la $\alpha$ están muy por debajo del borde de $26\,\mathrm{MeV}$ : clásicamente no puede ni salir ni haber entrado — y aun así el periodo es de $0.3\,\text{µ}\mathrm{s}$ . (b) $\lambda_1 = \ln2/3 \times 10^{-7}\,\mathrm{s} = 2.3 \times 10^{6}\,\mathrm{s}^{-1}$ ; $\lambda_2 = \ln2/1.4 \times 10^{17}\,\mathrm{s} = 4.9 \times 10^{-18}\,\mathrm{s}^{-1}$ : razón $\approx 5\times10^{23}$ . (c) La tasa de efecto túnel es $\eu^{-2G}$ con el exponente de Gamow $\propto Z/\sqrt E$ : partir $E$ por la mitad sube $2G$ en unas cincuenta y cinco unidades, y $\eu^{55} \approx 10^{24}$ — la escandalosa recta de Geiger–Nuttall, salida de una sola exponencial. (d) Los protones solares también hacen túnel: la temperatura del núcleo debe ser justo lo bastante alta para que la cola de Maxwell por el factor de Gamow sostenga la combustión — el mismo acantilado, escalado desde el otro lado.

Ejercicio 25.9 ★★

Doscientos millones de electronvoltios. (a) Justifíquense los $200\,\mathrm{MeV}$ por fisión a partir de la curva de $B/A$ . (b) Calcúlese la energía de un kilogramo de $^{235}$ U fisionado por completo, en julios y en toneladas equivalentes de petróleo ( $42\,\mathrm{GJ}/\mathrm{t}$ ). (c) Una central de $1\,\mathrm{GW}_{e}$ con un 33 % de rendimiento: ¿cuántos kilogramos de $^{235}$ U al año? (d) ¿Por qué llevan los fragmentos, y no los neutrones, casi todos los $200\,\mathrm{MeV}$ , y a qué forma pasa esa energía de inmediato?

Solución

Solución de Ejercicio 25.9.

(a) La partición mueve ${\sim}235$ nucleones de $7.6\,$ a ${\sim}8.5\,\mathrm{MeV}$ de energía de enlace: $235\times0.9 \approx 200\,\mathrm{MeV}$ . (b) $N = 2.56 \times 10^{24}\,$ núcleos: $E = 8.2 \times 10^{13}\,\mathrm{J} \approx 2000$ toneladas de petróleo — por kilogramo. (c) $3\,\mathrm{GW}$ térmicos durante un año son $9.5 \times 10^{16}\,\mathrm{J}$ : alrededor de $1.2\,\mathrm{t}$ de $^{235}$ U. (d) Los dos fragmentos positivos salen despedidos por su propia repulsión de Coulomb, y llevan ${\sim}170\,\mathrm{MeV}$ de energía cinética que se hace calor en micrómetros — un reactor es una tetera cuya llama es un retroceso electrostático.

Ejercicio 25.10 ★★★

Domar $k$ . En un reactor, los neutrones inmediatos se reproducen en $\ell \approx 10^{-4}\,\mathrm{s}$ . (a) Con $k = 1.001$ solo con neutrones inmediatos, calcúlese la multiplicación de potencia en un segundo — y el veredicto sobre el control mecánico. (b) Una fracción $\beta = 0.7\,\%$ de los neutrones llega retardada en $\sim10\,\mathrm{s}$ : explíquese por qué, para $k - 1 < \beta$ , el reloj efectivo de la cadena pasa a ser de segundos. (c) Calcúlese la misma multiplicación en un segundo con el tiempo de generación efectivo $\sim0.1\,\mathrm{s}$ . (d) Dígase en una frase qué perdieron los operadores de Chernóbil cuando su reactor se volvió supercrítico con neutrones inmediatos.

Solución

Solución de Ejercicio 25.10.

(a) $10^4$ generaciones: $(1.001)^{10^4} = \eu^{10} \approx 22000$ — de megavatios a decenas de gigavatios en un segundo; ningún motor mueve una barra tan deprisa. (b) Con $k - 1 < \beta$ , la cadena no puede reproducirse solo con neutrones inmediatos: cada paso de crecimiento espera a los rezagados de ${\sim}10\,\mathrm{s}$ , de modo que el tiempo de generación efectivo es de una fracción de segundo o más. (c) $(1.0005)^{10} \approx 1.005$ : medio punto porcentual por segundo — terreno de barras y operadores. (d) Llevar $k - 1$ más allá de $\beta$ puso al reactor en el reloj inmediato de $10^{-4}\,\mathrm{s}$ : perdieron el plazo de gracia de los neutrones retardados que hace gobernables a los reactores.

Ejercicio 25.11 ★★★

La aritmética del Sol. En conjunto, $4\,^1\text{H} \to {}^4\text{He}$ convierte el $0.71\,\%$ de la masa en energía ( $26.7\,\mathrm{MeV}$ , neutrinos incluidos). (a) A partir de $L_\odot = 3.8 \times 10^{26}\,\mathrm{W}$ , calcúlese la masa convertida por segundo y el hidrógeno consumido por segundo. (b) Con $2 \times 10^{30}\,\mathrm{kg}$ de sol, una décima parte de ellos hidrógeno quemable del núcleo (tómese la fracción de hidrógeno $\approx0.75$ ): estímese la vida. (c) Dos protones a $1.5 \times 10^{7}\,\mathrm{K}$ : compárese $k_{\text{B}}T$ con su barrera de Coulomb a $1\,\mathrm{fm}$ y conclúyase quién hace la travesía (Ejercicio 25.8). (d) ¿Por qué no deja la fusión, a diferencia de la fisión, prácticamente ninguna ceniza radiactiva?

Solución

Solución de Ejercicio 25.11.

(a) $\dot m = L_\odot/c^2 = 4.2 \times 10^{9}\,\mathrm{kg}/\mathrm{s}$ de masa pura; el caudal de hidrógeno $\dot m/0.0071 \approx 6 \times 10^{11}\,\mathrm{kg}/\mathrm{s}$ — seiscientos millones de toneladas por segundo. (b) Hidrógeno quemable ${\sim}2\times10^{30}\times0.1\times0.75 = 1.5 \times 10^{29}\,\mathrm{kg}$ : $t \approx 2.5 \times 10^{17}\,\mathrm{s} \approx 8$ mil millones de años — el Sol está en la mediana edad. (c) Barrera de ${\sim}1.4\,\mathrm{MeV}$ frente a $k_{\text{B}}T \approx 1.3\,\mathrm{keV}$ : un déficit de un factor mil — solo los protones más rápidos de la cola de Maxwell, haciendo túnel (Ejercicio 25.8), llegan a fusionarse; y de ahí que el Sol arda durante gigaaños en vez de estallar. (d) La ceniza es $^4$ He — estable, con la placidez de lo doblemente mágico; no hay fragmentos ricos en neutrones que se desintegren por $\beta$ durante siglos.

Ejercicio 25.12 ★★★

Medicina nuclear. (a) El tecnecio-99m ( $T_{1/2} = 6\,\mathrm{h}$ , $\gamma$ de $140\,\mathrm{keV}$ ) es el caballo de batalla de la medicina: calcúlense el número de núcleos, y su masa, que hay detrás de unos $500\,\mathrm{MBq}$ inyectados. (b) Explíquese por qué un periodo de seis horas y una $\gamma$ pura son exactamente lo que un diagnóstico quiere. (c) La PET: un positrón del $^{18}$ F se aniquila con un electrón — úsese el Capítulo 5 para dar la energía y la geometría de los dos fotones, y de ahí el principio del detector. (d) La radioterapia entrega $2\,\mathrm{Gy}$ ( $\mathrm{J}/\mathrm{kg}$ ) a un tumor: compárese la energía con un sorbo de agua templada, y concíliese la inocuidad de los julios con la letalidad de la ionización.

Solución

Solución de Ejercicio 25.12.

(a) $\lambda = \ln2/21\,600\,\mathrm{s} = 3.2 \times 10^{-5}\,\mathrm{s}^{-1}$ : $N = \mathcal A/\lambda = 1.6 \times 10^{13}\,$ núcleos — $2.6\,\mathrm{ng}$ . Medicina por nanogramos. (b) Seis horas sobreviven al escáner pero no al fin de semana: la dosis se apaga sola; una $\gamma$ pura de $140\,\mathrm{keV}$ sale del cuerpo hacia la cámara sin el peaje de $\alpha$ o $\beta$ que quema tejidos. (c) Un electrón y un positrón en reposo se aniquilan en dos fotones de $511\,\mathrm{keV}$ , espalda contra espalda (energía y momento, Capítulo 5): cada pareja en coincidencia define una recta que atraviesa el tumor, y miles de rectas lo triangulan — tomografía por leyes de conservación. (d) $2\,\mathrm{J}/\mathrm{kg}$ calientan el tejido medio milikelvin — térmicamente, un sorbo de agua tibia; pero entregados como ${\sim}10^{17}$ ionizaciones por kilogramo, cada una cortando enlaces químicos de escala $\mathrm{eV}$ , resultan letales químicamente para una célula que se divide. Los julios miden calor; los grays miden sabotaje.

La piscina del reactor del problema de fin de semana: los electrones de los fragmentos, que adelantan a la luz en el agua, envuelven el núcleo en azul Cherenkov — el blindaje, trabajando a la vista. — La piscina del reactor del problema de fin de semana: los electrones $\beta$ de los fragmentos, que adelantan a la luz en el agua, envuelven el núcleo en azul Cherenkov — el blindaje, trabajando a la vista.

25.5 Problema: jornada de puertas abiertas en el reactor de investigación

Problema 25.1

Jornada de puertas abiertas en el reactor de investigación. El laboratorio nacional abre a los visitantes su reactor de investigación de piscina de $20\,\mathrm{MW}$ , y quien esto lee se ha colado con labia en la pasarela: abajo, a través de ocho metros de agua límpida, el núcleo brilla de un azul sobrenatural. El guía — un físico de reactores a punto de jubilarse — ha accedido a dejarle hacer las cuentas.

Parte I — El balance energético.

Cada fisión de $^{235}$ U libera unos $200\,\mathrm{MeV}$ . Conviértanse a julios y calcúlense las fisiones por segundo que sostienen $20\,\mathrm{MW}$ .
Conviértase a gramos de $^{235}$ U consumidos por día.
Los mismos $20\,\mathrm{MW}$ a partir de carbón ( $30\,\mathrm{MJ}/\mathrm{kg}$ ): ¿toneladas al día? Fórmese la razón de masas y conéctese con las escalas de $\mathrm{MeV}$ frente a $\mathrm{eV}$ de este capítulo y de la química.
Los fragmentos nacen con $\sim8.5\,\mathrm{MeV}$ de energía de enlace por nucleón y el uranio con $7.6\,\mathrm{MeV}$ : verifíquese que $235\times0.9 \approx 200\,\mathrm{MeV}$ es coherente.
Los fragmentos se paran a micrómetros de donde nacieron. ¿En qué se convierten sus $200\,\mathrm{MeV}$ y en qué plazo llegan al agua de refrigeración?
¿Por qué son inevitablemente radiactivos los fragmentos (por ejemplo, $A = 95$ , $Z = 36$ )? Úsese el valle de estabilidad.

Parte II — Mantener $k = 1$ .

Defínase el factor de multiplicación $k$ y dígase qué significan $k = 0.999$ , $1.000$ y $1.001$ para la población de neutrones.
El agua de la piscina modera. Explíquese en dos frases por qué frenar los neutrones hasta velocidades térmicas ayuda a fisionar el $^{235}$ U, y por qué el hidrógeno es el mejor moderador (recuérdense las colisiones elásticas del volumen del Año 1).
Las barras de control son de acero al boro. ¿Qué hace el boro y cómo dirige $k$ subirlas o bajarlas?
Solo con neutrones inmediatos ( $\ell = 10^{-4}\,\mathrm{s}$ ) y $k = 1.0005$ , calcúlese el crecimiento de potencia en un segundo y conclúyase.
El 0.7 % de neutrones retardados estira el tiempo de generación efectivo hasta $\sim0.1\,\mathrm{s}$ : recalcúlese y enúnciese la regla de diseño que mantiene $k - 1$ con holgura por debajo de la fracción retardada.
El agua es además el refrigerante. Explíquese la característica de seguridad intrínseca: ¿qué le ocurre a la moderación — y por tanto a $k$ — si el agua hierve y se va?
¿Por qué necesita el reactor refrigeración de emergencia aun después de la parada? (Nómbrese la fuente de calor que las barras de control no pueden tocar.)

Parte III — La luz azul.

El brillo es radiación de Cherenkov: la velocidad de la luz en el agua es $c/n$ con $n = 1.33$ . ¿Qué debe hacer una partícula cargada para emitirla?
Calcúlese la velocidad umbral y, con el Capítulo 5, la energía cinética umbral de un electrón.
¿Qué partículas del reactor cumplen el requisito? Trácese la cadena desde el fragmento de fisión hasta el electrón $\beta$ rápido en el agua.
La intensidad del espectro crece hacia las longitudes de onda cortas: ¿por qué brilla la piscina de azul y no de rojo?
El guía dice: “el brillo es el blindaje funcionando”. Explíquese — ¿qué le hacen ocho metros de agua a la radiación del núcleo, y por qué está la pasarela a salvo, en líneas generales?
Tras la parada, el azul se atenúa en minutos pero no desaparece en días. Conéctese con la pregunta 6 de la Parte I.

Parte IV — Para qué sirve el reactor.

El trabajo diario de este reactor es fabricar molibdeno-99 ( $T_{1/2} = 66\,\mathrm{h}$ ), padre del tecnecio-99m de la medicina. ¿Por qué hay que reabastecer semanalmente a los hospitales del mundo, y por qué no puede almacenarlo ningún depósito?
Un envío de $100\,\mathrm{GBq}$ de Mo-99 sale un lunes; el hospital eluye el Tc-99m el viernes (96 horas después). ¿Qué actividad queda del padre?
Los haces de neutrones del núcleo alimentan además los instrumentos de difracción del Capítulo 23: ¿por qué nacen los neutrones de reactor, una vez termalizados, con la longitud de onda adecuada?
El problema de despedida del guía: un elemento combustible pasa cinco años en la piscina antes de su envío. Con la mezcla de periodos de los fragmentos, explíquese la lógica: ¿qué han comprado cinco años de piscina?
Estímese el calor residual una hora después de la parada ( $\approx1\,\%$ de $20\,\mathrm{MW}$ ) y compárese con el calefactor eléctrico de una casa: ¿es plausible la refrigeración pasiva por piscina?
Ciérrese el balance en cuatro líneas: $B/A$ paga $200\,\mathrm{MeV}$ por partición; los neutrones retardados prestan los segundos que hacen a $k$ gobernable; el agua modera, refrigera, blinda y brilla; y el producto real de la jornada se marcha en viales médicos, no en megavatios.

Solución

Solución de Problema 25.1.

1. $200\,\mathrm{MeV} = 3.2 \times 10^{-11}\,\mathrm{J}$ : $20\times10^6/3.2\times10^{-11} = 6.3 \times 10^{17}\,$ fisiones por segundo. 2. $5.4\times10^{22}$ fisiones al día $\times 235/N_{\text{A}}$ : unos $21\,\mathrm{g}$ de $^{235}$ U al día. 3. Carbón: $1.7 \times 10^{12}\,\mathrm{J}/3 \times 10^{7}\,\mathrm{J}/\mathrm{kg} \approx 58$ toneladas al día — una razón de masas de $\sim3\times10^{6}$ , que es la razón de $\mathrm{MeV}$ a $\mathrm{eV}$ de los enlaces nucleares frente a los químicos. 4. $235\times(8.5 - 7.6) \approx 210\,\mathrm{MeV}$ : coherente, y la pequeña diferencia la contabilizan los neutrones y los neutrinos. 5. Energía cinética de los fragmentos $\to$ ionización $\to$ calor, en micrómetros y microsegundos; la conducción se lo pasa al agua — el reactor es una tetera que frena fragmentos. 6. Heredan el $N/Z \approx 1.55$ del uranio, muy por encima del fondo del valle a su $A$ : cada uno debe recorrer una cadena de desintegraciones $\beta^-$ de vuelta abajo — radiactividad de fábrica, por geometría del valle. 7. $k$ = neutrones engendrados por neutrón, una generación después: $0.999$ se apaga, $1.000$ se mantiene (un reactor en funcionamiento) y $1.001$ crece. 8. Los neutrones lentos se demoran cerca del núcleo y el apetito de fisión del $^{235}$ U crece abruptamente a energías térmicas. Las colisiones elásticas ceden energía más deprisa contra masas iguales — y el hidrógeno iguala la masa del neutrón: el agua es un moderador hecho a medida. 9. El boro-10 devora neutrones ( $\text{n} + {}^{10} \text{B} \to \alpha + {}^{7}\text{Li}$ ): barras dentro, neutrones comidos, $k$ abajo; barras fuera, $k$ arriba — el acelerador. 10. $(1.0005)^{10^4} = \eu^{5} \approx 150$ : potencias por ciento cincuenta cada segundo — inútil para una maquinaria. 11. Con el reloj retardado de $0.1\,\mathrm{s}$ : $(1.0005)^{10} \approx 1.005$ , medio punto porcentual por segundo. Regla: manténgase $|k - 1|$ muy por debajo de $\beta = 0.007$ , para que los neutrones retardados tengan siempre el voto de calidad. 12. Hervir se lleva el moderador: los neutrones siguen rápidos, la fisión pasa hambre y $k$ cae — el diseño moderado por agua se estrangula solo (una realimentación negativa de la que carecían sus primos de grafito). 13. El calor residual: la radiactividad de los fragmentos — la pregunta 6 de la Parte I — obedece a periodos, no a barras de control, y sigue rindiendo megavatios justo después de la parada. 14. Adelantar a la luz en el agua: $v > c/n$ . 15. $v > 0.752c$ : $\gamma = 1.51$ , luego $E_{\text{k}} > 0.51\times511\,\mathrm{keV} \approx 0.26\,\mathrm{MeV}$ . 16. Los electrones $\beta$ de las desintegraciones de los fragmentos llevan $\mathrm{MeV}$ , y los $\gamma$ del núcleo patean electrones por Compton hasta energías parecidas: ambos rebasan los $0.26\,\mathrm{MeV}$ — la piscina está llena de electrones que cumplen el requisito. 17. El espectro Cherenkov se refuerza hacia las longitudes de onda cortas (en intensidad, $\propto1/\lambda^2$ ): al ojo le entregan azul y violeta — el color es la pendiente del espectro. 18. El agua atenúa los $\gamma$ y los neutrones exponencialmente; ocho metros son decenas de longitudes de semiatenuación, así que la pasarela está a la dosis de fondo. El brillo es el agua absorbiendo la energía de la radiación — prueba visible de que el blindaje se la está comiendo. 19. Los fragmentos de vida corta mueren en minutos (el atenuado); la cola de vida más larga — el mismo calor residual de la pregunta 13 — mantiene un brillo tenue y una carga térmica real durante días. 20. Con $T_{1/2} = 66\,\mathrm{h}$ , el padre pierde un factor ${\sim}6$ por semana: las reservas se desintegran solas, así que los hospitales viven de una “vaca de tecnecio” semanal entregada por reactores como este. 21. $96/66 = 1.45$ periodos: $2^{-1.45} \approx 0.36$ — quedan unos $36\,\mathrm{GBq}$ . 22. Termalizados a temperatura ambiente, $\lambda = h/\sqrt{3m_{\text{n}}k_{\text{B}}T} \approx 1.5\,\text{Å}$ (Ejercicio 23.5): nacen casados con los espaciados de red. 23. Cinco años matan todos los periodos de hasta meses: la actividad y el calor residual caen en órdenes de magnitud, hasta que el elemento puede viajar en un contenedor blindado en vez de en una piscina. 24. ${\sim}200\,\mathrm{kW}$ — un centenar de calefactores domésticos en una piscina de cien toneladas: decenas de kelvin al día en el peor caso, retirados con holgura por convección natural — seguridad pasiva a fuerza de capacidad calorífica. 25. $B/A$ paga $200\,\mathrm{MeV}$ por partición y $21\,\mathrm{g}$ al día; los neutrones retardados prestan los segundos que hacen a $k$ gobernable; el agua modera, refrigera, blinda — y brilla de azul precisamente porque está funcionando; y el producto que más importa se marcha en viales para los hospitales del lunes.

Términos definidos en este capítulo

Nucleidos, tamaño y densidad

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