Física universitaria — tercer año · Bachelor Year 3

24Electrones en los sólidos

El cobre conduce la electricidad un millón de billones de billones de veces mejor que el cuarzo — el rango más ancho de cualquier propiedad física, y lo mandan materiales que, en ambos casos, parecen pedruscos grises. El andamiaje del capítulo anterior no explica nada de eso; los electrones vertidos en él lo explican todo. Este capítulo recorre los tres asaltos del siglo al problema, cada uno heredando los escombros del anterior: el pinball clásico de Drude (1900), que acierta con la ley de Ohm y falla escandalosamente con la capacidad calorífica; el gas de Fermi de Sommerfeld, que es el Capítulo 19 cobrando su cheque; y la intuición de Bloch de que una onda electrónica en una red periódica se refleja a lo Bragg como cualquier otra onda — lo que abre bandas prohibidas que clasifican todos los sólidos en metales, aislantes y los hijos medianos de banda estrecha, los semiconductores, sobre los que se construye toda la era electrónica. El capítulo termina dentro de un panel solar.

24.1 El metal de pinball de Drude

Proposición 24.1 (La conductividad de Drude)

Trátense los electrones de valencia de un metal como un gas clásico, de densidad $n$ , que rebota en obstáculos cada $\tau$ segundos. Un campo $\vect E$ acelera a cada uno entre colisiones; la velocidad de arrastre media es $\vect v_{\text{d}} = -e\tau\vect E/m_{\text{e}}$ , minúscula al lado del movimiento térmico. La densidad de corriente $\vect j = -ne\vect v_{\text{d}}$ obedece entonces localmente a la ley de Ohm, $\vect j = \sigma\vect E$ , con

\sigma = \frac{ne^2\tau}{m_{\text{e}}} .

La $\sigma$ medida del cobre exige $\tau \approx 2.5 \times 10^{-14}\,\mathrm{s}$ — y se siguen las dos glorias del modelo: explica por qué se calientan las resistencias (el trabajo del campo se termaliza en cada colisión) y predice la ley de Wiedemann–Franz, que $\kappa/\sigma T$ es la misma constante para todos los metales — los electrones llevan tanto la carga como el calor (Ejercicio 24.5).

Demostración. Entre colisiones, $\dot{\vect v} = -e\vect E/m_{\text{e}}$ ; como se empieza de cero en cada colisión, la velocidad media adquirida en un tiempo medio $\tau$ es $-e\tau\vect E/m_{\text{e}}$ . Entonces $\vect j = -ne\vect v_{\text{d}} = (ne^2\tau/m_{\text{e}})\vect E$ . ∎

La imagen de Drude: un electrón rebota a 106\, m/ s, mientras el campo le superpone un arrastre de fracciones de milímetro por segundo (). La ley de Ohm sale sola; los fracasos del modelo enseñaron todavía más. — La imagen de Drude: un electrón rebota a $\sim10^{6}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , mientras el campo le superpone un arrastre de fracciones de milímetro por segundo (Ejercicio 24.2). La ley de Ohm sale sola; los fracasos del modelo enseñaron todavía más.

Observación 24.2 (El rescate de Sommerfeld)

El gas de Drude debería añadir $\tfrac32k_{\text{B}}$ por electrón a la capacidad calorífica de un metal; el experimento encuentra cien veces menos. El Capítulo 19 ya absolvió a los electrones: son un gas de Fermi degenerado, con $T_{\text{F}} \sim 8 \times 10^{4}\,\mathrm{K}$ , y solo la capa térmica de anchura $k_{\text{B}}T$ en torno a la superficie de Fermi puede responder — al calor y a la dispersión. La reejecución de Drude por Sommerfeld con estadística de Fermi–Dirac conserva la fórmula de la conductividad (con $\tau$ ahora el tiempo de vida de los electrones de la superficie de Fermi, cuyos $10^{6}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ son $v_{\text{F}}$ y no una velocidad térmica), corrige la capacidad calorífica hasta la astilla $T/T_{\text{F}}$ medida e incluso repara la constante numérica de Wiedemann–Franz. Un misterio sobrevive a todo modelo de electrones libres: por qué el cuarzo no conduce en absoluto.

24.2 Bloch: la red toma la palabra

Teorema 24.3 (Estados de Bloch y bandas prohibidas)

En un potencial periódico perfecto, los estados estacionarios son ondas de Bloch $\psi_k(x) = u_k(x)\eu^{\iu kx}$ — ondas planas vestidas con la periodicidad propia de la red, $u_k$ — que se propagan sin dispersarse: un cristal perfecto tiene resistencia nula, y la resistencia real viene de las imperfecciones (vibraciones, impurezas). Pero no todas las energías sobreviven. En $k = \pi/a$ , la longitud de onda del electrón es $2a$ : la condición de Bragg sobre la propia red (el Teorema 23.6 hizo el mismo descubrimiento para el sonido). Las ondas reflejada e incidente forman dos patrones estacionarios — con la carga amontonada sobre los iones (menor energía) o entre ellos (mayor) —, de modo que la parábola de electrón libre $E = \hbar^2k^2/2m_{\text{e}}$ se desgarra: un intervalo de energías prohibidas, la banda prohibida $E_{\text{g}}$ , separa una banda completa de estados permitidos de la siguiente. La identidad electrónica de un cristal es su escalera de bandas y bandas prohibidas.

Demostración. Admitido a este nivel. ∎

El electrón casi libre. Lejos del borde de zona, el electrón apenas nota la red; en k = π/a, su propia reflexión de Bragg parte la parábola y prohíbe las energías de la banda prohibida. Las ondas sonoras hicieron exactamente esto en el capítulo anterior — la misma red, la misma interferencia, un inquilino nuevo. — El electrón casi libre. Lejos del borde de zona, el electrón apenas nota la red; en $k = \pi/a$ , su propia reflexión de Bragg parte la parábola y prohíbe las energías de la banda prohibida. Las ondas sonoras hicieron exactamente esto en el capítulo anterior — la misma red, la misma interferencia, un inquilino nuevo.

Definición 24.4 (Metales, aislantes y semiconductores)

Llénense las bandas con los electrones del cristal, dos por estado (Capítulo 14), empezando por los más fríos. Si la banda ocupada más alta está parcialmente llena, una energía infinitesimal puede poner electrones en movimiento neto: un metal (el sodio: un electrón de valencia, media banda; los metales divalentes conducen por bandas que se solapan). Si está exactamente llena, con una banda prohibida ancha encima, ningún empujón pequeño puede reordenar nada: un aislante (el diamante, $E_{\text{g}} = 5.5\,\mathrm{eV}$ ). Si la banda prohibida es pequeña — $1.12\,\mathrm{eV}$ en el silicio —, la agitación térmica iza unos pocos electrones al otro lado, y cada uno deja debajo un hueco móvil: un semiconductor, cuyo recuento de portadores, $\propto\eu^{-E_{\text{g}}/2k_{\text{B}}T}$ , se duplica cada pocos grados. De ahí la gran divisoria: los metales conducen peor al calentarse (más vibraciones en que dispersarse) y los semiconductores mejor (exponencialmente más portadores) — un cambio de signo que identifica la clase de un material en una sola medida.

El llenado de bandas lo decide todo. Una banda parcialmente llena conduce; una banda llena bajo una banda prohibida ancha no puede; una banda prohibida estrecha deja negociar a la temperatura (o a la luz, o al dopado) — toda la utilidad del semiconductor está en que su conductividad es ajustable. — El llenado de bandas lo decide todo. Una banda parcialmente llena conduce; una banda llena bajo una banda prohibida ancha no puede; una banda prohibida estrecha deja negociar a la temperatura (o a la luz, o al dopado) — toda la utilidad del semiconductor está en que su conductividad es *ajustable*.

24.3 Ingeniería de la banda prohibida: dopado y unión

Definición 24.5 (Dopado)

Sustitúyase un átomo de silicio de cada millón por fósforo (cinco electrones de valencia): cuatro enlaces quedan satisfechos y el quinto electrón, ligado por unos meros $45\,\mathrm{meV}$ (Ejercicio 24.10), está libre a temperatura ambiente. Esos donantes hacen un semiconductor de tipo n, con conducción por electrones; el boro (tres electrones) es un aceptor, que atrapa un electrón de enlace y libera un hueco móvil — un electrón ausente que se mueve, responde a los campos y lleva carga positiva tan de verdad como una burbuja lleva flotabilidad: el tipo p. El dopado columpia la densidad de portadores — y por tanto la conductividad — a lo largo de seis órdenes de magnitud a voluntad: la perilla que convierte la arena en circuitos.

Proposición 24.6 (La unión p–n)

Únase tipo p con tipo n. Los electrones se derraman hacia los huecos y los aniquilan cerca de la interfaz, y dejan expuesta una zona de deplexión de dopantes ionizados fijos cuya doble capa levanta un campo interno — equilibrio en la tensión de contacto $V_{\text{bi}} = (k_{\text{B}}T/e) \ln(N_{\text{a}}N_{\text{d}}/n_{\text{i}}^2) \approx 0.7\,\mathrm{V}$ en el silicio. La unión rectifica entonces: la polarización directa baja la barrera y la corriente crece como $\eu^{eV/k_{\text{B}}T}$ ; la inversa la sube y solo pasa una fuga $I_0$ :

I = I_0\big(\eu^{eV/k_{\text{B}}T} - 1\big) .

Esta asimetría es el diodo — y, en sus variantes, el LED (los pares que se recombinan emiten fotones de la energía de la banda prohibida), la célula solar (los fotones de esa energía crean pares que el campo de contacto barre hacia fuera: Problema 24.1) y, doblada en sándwiches, el transistor: el interruptor del que un chip moderno imprime cientos de miles de millones.

Demostración. Admitido a este nivel. ∎

La ley del diodo. La tensión directa se paga exponencialmente; la inversa solo compra la fuga I_0. Una unión rectifica; dos hacen un transistor; un metro cuadrado de ellas, al sol, hace una central eléctrica. — La ley del diodo. La tensión directa se paga exponencialmente; la inversa solo compra la fuga $I_0$ . Una unión rectifica; dos hacen un transistor; un metro cuadrado de ellas, al sol, hace una central eléctrica.

Una oblea de silicio terminada: cientos de chips, miles de millones de uniones cada uno, impresos en un solo cristal dopado — la teoría de bandas como la receta de fabricación más trascendental del siglo XX.

24.4 Ejercicios

Ejercicio 24.1 ★

El cobre de Drude. $n = 8.5 \times 10^{28}\,\mathrm{m}^{-3}$ , resistividad $\rho = 1.7 \times 10^{-8}\,\Omega\,\mathrm{m}$ . Calcúlese (a) $\tau = m_{\text{e}}/ne^2\rho$ ; (b) el recorrido libre medio usando la velocidad de Fermi $v_{\text{F}} = 1.6 \times 10^{6}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; (c) ese recorrido en constantes de red ( $a = 3.61\,\text{Å}$ ); (d) explíquese por qué un vuelo tan largo ya insinúa que no son los iones los que dispersan.

Solución

Solución de Ejercicio 24.1.

(a) $\tau = m_{\text{e}}/ne^2\rho = 2.5 \times 10^{-14}\,\mathrm{s}$ . (b) $\ell = v_{\text{F}}\tau \approx 39\,\mathrm{nm}$ . (c) Unas 110 constantes de red. (d) Un electrón que navega ante un centenar de iones sin dispersarse no puede estar rebotando en los propios iones — la red ha de ser transparente para él, exactamente lo que el teorema de Bloch (Teorema 24.3) demuestra después.

Ejercicio 24.2 ★

El caracol en el hilo. Un hilo de cobre de $1\,\mathrm{mm}^{2}$ lleva $10\,\mathrm{A}$ . (a) Calcúlese la velocidad de arrastre. (b) ¿Cuánto tardaría un electrón en recorrer un cable de lámpara de $1\,\mathrm{m}$ ? (c) ¿Por qué se enciende la lámpara al instante, aun así? (d) Compárese $v_{\text{d}}$ con $v_{\text{F}}$ y coméntese la imagen de pinball de Drude.

Solución

Solución de Ejercicio 24.2.

(a) $v_{\text{d}} = I/neA = 7.3 \times 10^{-4}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ — menos de un milímetro por segundo. (b) Unos 23 minutos. (c) El campo se establece a lo largo del hilo casi a la velocidad de la luz y pone a la deriva de golpe a todo el mar de electrones: los que marchan son lentos, la orden de marchar no. (d) $v_{\text{d}}/v_{\text{F}} \sim 10^{-9}$ : la conducción es un sesgo imperceptible sobre un violento movimiento cuántico, no un flujo clásico apacible.

Ejercicio 24.3 ★

Clasificar por bandas. Clasifíquese, con la regla del llenado de bandas: (a) el sodio (un electrón de valencia); (b) el magnesio (dos — y aun así un metal: ¿qué deben hacer sus bandas?); (c) el diamante ( $E_{\text{g}} = 5.5\,\mathrm{eV}$ ); (d) el silicio ( $1.12\,\mathrm{eV}$ ) — y dígase para cada uno el signo de $\dd\rho/\dd T$ .

Solución

Solución de Ejercicio 24.3.

(a) Banda semillena: metal, $\dd\rho/\dd T > 0$ . (b) Dos electrones llenarían su banda exactamente — el magnesio conduce porque su banda llena se solapa con la siguiente, vacía: metal, $\dd\rho/\dd T > 0$ . (c) Banda llena y banda prohibida de $5.5\,\mathrm{eV}$ : aislante (formalmente $\dd\rho/\dd T < 0$ , pero sin apenas portadores que contar). (d) Semiconductor: $\dd\rho/\dd T < 0$ , el cambio exponencial de signo que delata la clase.

Ejercicio 24.4 ★

Bandas prohibidas y fotones. (a) ¿Qué longitud de onda de fotón corresponde a la banda prohibida del silicio, y en qué región espectral se vuelve transparente el silicio? (b) Lo mismo para el diamante: ¿por qué es transparente en el visible? (c) Un LED de nitruro de galio tiene $E_{\text{g}} = 3.4\,\mathrm{eV}$ : ¿qué borde de color fija eso, y por qué necesitaron los LED azules este material? (d) ¿Por qué muere apagado un LED rojo en vez de brillar con un blanco débil cuando se le sobreexcita?

Solución

Solución de Ejercicio 24.4.

(a) $\lambda = hc/E_{\text{g}} = 1.1\,\text{µ}\mathrm{m}$ : el silicio es transparente en el infrarrojo más allá de ahí — y por eso las cámaras de infrarrojos pueden llevar lentes de silicio. (b) $225\,\mathrm{nm}$ , en el ultravioleta: ningún fotón visible puede absorberse, así que el diamante es transparente como el agua. (c) $365\,\mathrm{nm}$ : una banda prohibida lo bastante ancha para el azul ( $2.8\,\mathrm{eV}$ ) existe en los nitruros y casi en ningún otro sitio práctico — el LED azul esperó décadas al crecimiento de materiales. (d) Su banda prohibida fija su fotón: sobreexcitarlo añade calor, no anchura de banda, y el diodo se cuece a oscuras — el color de un LED es una constante del material, no un ajuste de brillo.

Ejercicio 24.5 ★★

Wiedemann–Franz. (a) A partir de la $\kappa = 400\,\mathrm{W}/(\mathrm{m}\,\mathrm{K})$ y la $\sigma = 5.9 \times 10^{7}\,\mathrm{S}/\mathrm{m}$ del cobre a $300\,\mathrm{K}$ , calcúlese $\kappa/\sigma T$ . (b) Compárese con el valor de Sommerfeld $L = \pi^2k_{\text{B}}^2/3e^2 = 2.44 \times 10^{-8}\,\mathrm{W}\,\Omega/\mathrm{K}^{2}$ . (c) Explíquese en una frase por qué un solo tipo de portador ata las dos conductividades. (d) Las sartenes y sus mangos: úsese la ley para explicar las elecciones de material de una cocina.

Solución

Solución de Ejercicio 24.5.

(a) $\kappa/\sigma T = 400/(5.9\times10^7\times300) = 2.3 \times 10^{-8}\,\mathrm{W}\,\Omega/\mathrm{K}^{2}$ . (b) A menos de un diez por ciento de $L$ . (c) Los mismos electrones de la superficie de Fermi llevan tanto la carga como el calor, así que su tiempo de dispersión se cancela en el cociente. (d) La sartén de acero conduce el calor a la comida porque sus electrones se mueven; el mango de madera, aislante en ambos sentidos, los mantiene — y al calor con ellos — fuera de su mano.

Ejercicio 24.6 ★★

La absolución de la capacidad calorífica. (a) Drude predice $\tfrac32nk_{\text{B}}$ de los electrones: con la $n$ del cobre, ¿qué fracción añadiría eso al $3nk_{\text{B}}$ de la red (un electrón de conducción por átomo)? (b) El Capítulo 19 da en cambio $C_{\text{el}} \sim \tfrac{\pi^2}{2}nk_{\text{B}}(T/T_{\text{F}})$ : evalúese la supresión $T/T_{\text{F}}$ a $300\,\mathrm{K}$ ( $T_{\text{F}} = 8.1 \times 10^{4}\,\mathrm{K}$ ). (c) ¿Por qué gana, pese a todo, el término electrónico a temperaturas de helio líquido (recuérdese el $T^3$ de la red)? (d) ¿Qué medida, representada como $C/T$ frente a $T^2$ , desenreda las dos?

Solución

Solución de Ejercicio 24.6.

(a) Un cincuenta por ciento de más — flagrantemente ausente del experimento. (b) $T/T_{\text{F}} \approx 0.004$ : el término electrónico queda estrangulado por debajo del uno por ciento. (c) El $T^3$ de la red se desploma más deprisa que la $T$ de los electrones: por debajo de unos pocos kelvin, los electrones “despreciables” son lo único que queda. (d) $C/T = \gamma + \beta T^2$ : la ordenada en el origen $\gamma$ pesa los electrones y la pendiente $\beta$ la red — una gráfica, los dos inquilinos.

Ejercicio 24.7 ★★

La superficie de Fermi se topa con la zona. (a) Para el cobre, calcúlese la longitud de onda de Fermi $\lambda_{\text{F}} = 2\pi/k_{\text{F}}$ con $k_{\text{F}} = (3\pi^2n)^{1/3}$ . (b) Compárese con $2a$ : ¿cuán cerca está la superficie de Fermi de la condición de Bragg? (c) Explíquese físicamente por qué las dos ondas estacionarias en $k = \pi/a$ (con la carga sobre los iones o entre ellos) han de diferir en energía. (d) ¿Qué hecho experimental del Ejercicio 24.1 explica por fin el teorema de Bloch de la no dispersión?

Solución

Solución de Ejercicio 24.7.

(a) $k_{\text{F}} = (3\pi^2n)^{1/3} = 1.36 \times 10^{10}\,\mathrm{m}^{-1}$ : $\lambda_{\text{F}} = 4.6\,\text{Å}$ . (b) $2a = 7.2\,\text{Å}$ : el mismo orden — la superficie de Fermi del cobre llega hasta cerca del borde de zona, y la física que abre la banda prohibida ocurre en las energías que importan. (c) Una onda estacionaria amontona su carga sobre los iones positivos (menor energía electrostática) y la otra entre ellos (mayor): la misma longitud de onda, dos energías — la banda prohibida. (d) El recorrido libre de 110 constantes de red: las ondas de Bloch no se dispersan en una red perfecta, de modo que solo quedan las vibraciones y las impurezas para ofrecer resistencia.

Ejercicio 24.8 ★★

El termómetro exponencial. El silicio intrínseco tiene $n_{\text{i}} \propto \eu^{-E_{\text{g}}/2k_{\text{B}}T}$ . (a) Calcúlese la razón de densidades de portadores entre $400\,\mathrm{K}$ y $300\,\mathrm{K}$ . (b) Esbócese así la resistencia de un termistor frente a la temperatura y contrástela con la de un hilo de platino. (c) ¿Por qué el factor 2 en el exponente (qué se crea por parejas)? (d) Estímese la temperatura a la que la electrónica de silicio falla porque los portadores intrínsecos ahogan un dopado de $5 \times 10^{21}\,\mathrm{m}^{-3}$ ( $n_{\text{i}}(300\,\text{K}) \approx 1 \times 10^{16}\,\mathrm{m}^{-3}$ ).

Solución

Solución de Ejercicio 24.8.

(a) $E_{\text{g}}/2k_{\text{B}} = 6500\,\mathrm{K}$ : $\exp[6500(1/300 - 1/400)] \approx 230$ . (b) La resistencia del termistor se desploma exponencialmente — una curva abrupta y sensible; la del platino sube con suavidad y linealmente (más fonones). Uno es un termómetro por recuento de portadores y el otro por dispersión. (c) Los portadores nacen en parejas de electrón y hueco, y el equilibrio $np = n_{\text{i}}^2$ reparte el coste de la banda prohibida entre los dos — de ahí el $E_{\text{g}}/2$ . (d) $n_{\text{i}}$ alcanza $5 \times 10^{21}\,\mathrm{m}^{-3}$ cerca de $760\,\mathrm{K}$ : el dopado se ahoga y el circuito olvida su diseño. Los dispositivos reales se rinden antes — sus fugas inversas, que se duplican cada diez kelvin, se portan mal primero.

Ejercicio 24.9 ★★

Aritmética del dopado. El silicio tiene $5 \times 10^{28}\,\mathrm{m}^{-3}$ átomos. (a) Un fósforo por cada millón de átomos de silicio: ¿qué densidad de portadores da, y qué razón respecto de $n_{\text{i}} \approx 1 \times 10^{16}\,\mathrm{m}^{-3}$ ? (b) ¿En qué factor ha cambiado la conductividad una parte por millón de suciedad? (c) Explíquese por qué la fabricación de semiconductores purifica primero hasta partes por mil millones antes de dopar a propósito. (d) Estímese la distancia media entre donantes y compárese con la órbita de $2.4\,\mathrm{nm}$ del Ejercicio 24.10.

Solución

Solución de Ejercicio 24.9.

(a) $5 \times 10^{22}\,\mathrm{m}^{-3}$ — cinco millones de veces $n_{\text{i}}$ . (b) El mismo factor $\sim5\times10^6$ : una mota por cada millón de átomos se adueña por completo de la conductividad. (c) Porque unas ppm accidentales harían lo mismo sin que nadie las invite: solo un cristal puro hasta ppb tiene una conductividad que pertenece al diseñador. (d) $d \sim n^{-1/3} \approx 27\,\mathrm{nm}$ , diez veces la órbita de $2.4\,\mathrm{nm}$ : los donantes son hidrógenos aislados; súbase el dopado cien veces y las órbitas se tocan — una banda de impurezas y, al final, un metal.

Ejercicio 24.10 ★★★

El donante como átomo de hidrógeno. El quinto electrón del fósforo orbita a su ion $+e$ dentro del silicio: apantállese el Coulomb con $\varepsilon_{\text{r}} = 11.7$ (Capítulo 22) y aligérese el electrón hasta su masa efectiva de banda $m^* = 0.26\,m_{\text{e}}$ . (a) Escálense los resultados del hidrógeno del Capítulo 11: muéstrese que $E = 13.6\,\mathrm{eV}\times(m^*/m_{\text{e}})/ \varepsilon_{\text{r}}^2$ y evalúese. (b) Compárese con $k_{\text{B}}T$ a $300\,\mathrm{K}$ : ¿están ionizados los donantes? (c) Escálese el radio de Bohr del mismo modo. (d) La órbita abarca decenas de celdas de la red: explíquese por qué eso justifica de forma autoconsistente usar $\varepsilon_{\text{r}}$ y $m^*$ siquiera.

Solución

Solución de Ejercicio 24.10.

(a) $E = 13.6\times0.26/11.7^2 \approx 26\,\mathrm{meV}$ (el valor medido del fósforo, $45\,\mathrm{meV}$ , mantiene honrada la escala). (b) Comparable a $k_{\text{B}}T = 26\,\mathrm{meV}$ : esencialmente todos los donantes están ionizados a temperatura ambiente — la premisa de la Definición 24.5. (c) $a = 0.53\,\text{Å}\times\varepsilon_{\text{r}}/(m^*/ m_{\text{e}}) \approx 2.4\,\mathrm{nm}$ . (d) Una órbita que abarca decenas de celdas ve el cristal como un medio liso — que es precisamente la condición bajo la cual una $\varepsilon_{\text{r}}$ de volumen y una $m^*$ promediada sobre la banda son legítimas: la aproximación se certifica a sí misma.

Ejercicio 24.11 ★★★

Números de la unión. Un diodo de silicio tiene $N_{\text{a}} = N_{\text{d}} = 1 \times 10^{22}\,\mathrm{m}^{-3}$ , $n_{\text{i}} = 1 \times 10^{16}\,\mathrm{m}^{-3}$ y $T = 300\,\mathrm{K}$ . (a) Calcúlese $V_{\text{bi}} = (k_{\text{B}}T/e)\ln(N_{\text{a}}N_{\text{d}}/ n_{\text{i}}^2)$ . (b) A partir de la ley del diodo, calcúlese la razón de corrientes a $+0.5\,\mathrm{V}$ y a $-0.5\,\mathrm{V}$ . (c) ¿Por qué se duplica $I_0$ — y con ella la fuga inversa — aproximadamente cada $10\,\mathrm{K}$ ? (d) Un puente de cuatro diodos así convierte alterna en continua: esbócese con palabras la idea del circuito.

Solución

Solución de Ejercicio 24.11.

(a) $V_{\text{bi}} = 0.0259\ln(10^{12}) \approx 0.71\,\mathrm{V}$ . (b) $eV/k_{\text{B}}T = 19.3$ : razón $\eu^{19.3} \approx 2\times10^{8}$ — el diodo es una calle de sentido único con ocho cifras. (c) $I_0 \propto n_{\text{i}}^2 \propto \eu^{-E_{\text{g}}/k_{\text{B}}T}$ : la misma exponencial que en el Ejercicio 24.8, de ahí la duplicación de la regla del pulgar. (d) Los cuatro diodos forman un rombo: en cada semiciclo, la pareja que quede en directa dirige la corriente por la carga en el mismo sentido — entra alterna y sale continua con baches.

Ejercicio 24.12 ★★★

Diseñar la banda prohibida solar. (a) Los fotones por debajo de $E_{\text{g}}$ pasan de largo; la energía del fotón por encima de $E_{\text{g}}$ se pierde como calor en picosegundos. Explíquese el compromiso resultante al elegir $E_{\text{g}}$ . (b) El óptimo, cerca de $1.3\,\mathrm{eV}$ , topa la eficiencia de una sola unión en alrededor de un tercio (Shockley–Queisser): ¿dónde queda el silicio ( $1.12\,\mathrm{eV}$ )? (c) ¿Por qué baten las pilas en tándem (una célula de banda ancha sobre otra de banda estrecha) ese tope? (d) ¿Por qué es peor un panel solar caliente? (Dos razones honradas con el capítulo: la $I_0$ de la ley del diodo y el ligero encogimiento de la banda prohibida con $T$ .)

Solución

Solución de Ejercicio 24.12.

(a) Estréchese la banda prohibida y más fotones la superarán, pero cada uno entrega solo la pequeña energía de la banda; ensánchese y cada fotón paga más pero menos cumplen el requisito: la cosecha $\times$ tensión tiene su máximo en medio. (b) Justo por debajo del óptimo de $1.3\,\mathrm{eV}$ : el techo ideal del silicio es del $\sim30\,\%$ — lo bastante cerca para que gane su baratura. (c) La célula superior de banda ancha se queda el azul a tensión alta y pasa el rojo a la célula de banda estrecha de debajo: cada fotón se cosecha cerca de su propia energía, la termalización se encoge y el techo de la pila trepa hacia los cuarenta. (d) El calor sube $I_0$ exponencialmente y arrastra a la baja la tensión de circuito abierto $\sim(k_{\text{B}}T/e)\ln(I_{\text{L}}/I_0)$ ; y la propia banda prohibida se estrecha un poco, y cambia tensión por una corriente que no la recupera del todo.

Réplica del primer transistor (Bell Laboratories, 1947, dominio público): dos contactos de oro apretados sobre una lasca de germanio. La primera máquina de la teoría de bandas — y, por descendencia, todas las demás.

24.5 Problema: el referéndum del tejado

Problema 24.1

El referéndum del tejado. Un vecino está decidiendo si techar su casa con paneles fotovoltaicos y ha nombrado árbitro al físico del barrio. El panel candidato: de silicio, $2\,\mathrm{m}^{2}$ , sesenta células en serie, con $400\,\mathrm{W}$ nominales bajo los $1000\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$ estándar del sol de mediodía.

Parte I — La luz solar se topa con la banda prohibida.

La luz solar es aproximadamente un espectro térmico de $5800\,\mathrm{K}$ (Capítulo 20): calcúlese en eV la energía de sus fotones del máximo (Wien).
La banda prohibida del silicio es de $1.12\,\mathrm{eV}$ : ¿cuál es la mayor longitud de onda que puede cosechar una célula de silicio?
Aproximadamente una quinta parte de la potencia del sol llega en fotones por debajo de la banda prohibida. ¿Qué le ocurre en el panel?
Se absorbe un fotón verde de $2.5\,\mathrm{eV}$ : ¿cuánta de su energía sobrevive como energía del par electrón–hueco, y adónde va el resto, y con qué rapidez?
Combínense los apartados 3 y 4 en el veredicto del espectro: alrededor de la mitad de la potencia incidente se ha ido antes de que empiece la electrónica. Enúnciense los dos canales de pérdida en una frase cada uno.
¿Por qué necesita un fotón $\ge E_{\text{g}}$ siquiera — qué prohíbe absorber dos fotones de media banda prohibida en rápida sucesión en el silicio corriente?

Parte II — La unión como motor.

Cada célula es una unión p–n. Explíquese en tres frases cómo el campo de contacto de la zona de deplexión convierte un par creado en corriente externa — qué portador va a qué lado y por qué no se limitan a recombinarse.
Con $N_{\text{a}} = N_{\text{d}} = 1 \times 10^{22}\,\mathrm{m}^{-3}$ y $n_{\text{i}} = 1 \times 10^{16}\,\mathrm{m}^{-3}$ , calcúlese $V_{\text{bi}}$ a $300\,\mathrm{K}$ .
Una célula en funcionamiento entrega unos $0.6\,\mathrm{V}$ . Sesenta en serie: ¿cuál es la tensión de trabajo del panel?
A partir de los $400\,\mathrm{W}$ nominales, dedúzcase la corriente de trabajo.
Estímese el flujo de fotones (fotones por segundo) que el panel absorbe de forma útil, tomando $\sim2\,\mathrm{eV}$ por fotón absorbido, y compárese con el flujo de electrones que implica su corriente: ¿qué fracción de los fotones absorbidos rinde un electrón recogido?
La eficiencia nominal: $400\,\mathrm{W}$ de $2000\,\mathrm{W}$ incidentes. Concíliese ese 20 % con la “mitad perdida antes de la electrónica” de la Parte I: ¿adónde van los treinta puntos restantes?
¿Por qué entrega la célula $0.6\,\mathrm{V}$ y no los $1.12\,\mathrm{V}$ enteros de la banda prohibida? (Nómbrese al culpable en la ley del diodo.)

Parte III — Tejados reales.

Un mediodía de invierno sin nubes a latitud $50^\circ$ entrega luz con $30^\circ$ de elevación. Calcúlese el factor geométrico respecto de la incidencia normal sobre un panel horizontal.
La hoja de datos del panel indica un $-0.4\,\%/\text{K}$ de salida: un panel sobre un tejado negro alcanza $65\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ en verano. ¿Cuánto sobrevive de lo nominal?
Explíquese la pérdida por temperatura con el Ejercicio 24.12(d).
Una chimenea da sombra a una de las sesenta células. ¿Por qué puede eso estrangular toda la cadena en serie — y qué le hace a la pobre célula sombreada su propia naturaleza de diodo?
Los fabricantes cablean un diodo de paso en paralelo con cada subcadena: explíquese su cometido en una frase.
Promediado sobre los días y el tiempo atmosférico, el tejado rinde el $15\,\%$ de la potencia nominal. Estímese la energía anual del panel de $400\,\mathrm{W}$ en kilovatios-hora.

Parte IV — El veredicto.

A $0.25\,\mathrm{euros}$ por kWh, ¿cuánto gana el panel al año? Con un coste instalado de $300\,\mathrm{euros}$ , ¿cuál es el plazo de amortización?
El panel costó aproximadamente $500\,\mathrm{kWh}$ de fabricar (el silicio se purifica fundiéndolo): ¿cuánto tarda en devolver su propia energía?
Su vecino pregunta por qué no se puede “hacer el panel negro y ya” para atrapar la quinta parte de sub-banda. Respóndase con teoría de bandas en dos frases.
Pregunta después por qué no apilar debajo un segundo panel de banda más estrecha: respóndase con el Ejercicio 24.12(c) — y nómbrese la pega práctica.
Treinta años después, el panel se ha desvanecido hasta el 85 % de lo nominal. ¿Qué villanos microscópicos de este capítulo (recuérdese qué limita $\tau$ y a qué temen las uniones) envejecen plausiblemente una célula?
Entréguese el resumen del árbitro en cuatro líneas: la física de la banda prohibida fija la cosecha, la unión la convierte, el cableado en serie y la temperatura la gravan, y el balance — de energía y de euros — se cierra a favor del panel.

Solución

Solución de Problema 24.1.

1. $\lambda_{\text{max}} \approx 500\,\mathrm{nm}$ : alrededor de $2.5\,\mathrm{eV}$ . 2. $hc/E_{\text{g}} \approx 1.1\,\text{µ}\mathrm{m}$ . 3. Atraviesa las células (no hay estado final que la absorba) y acaba como calor en el respaldo — calentando el tejado, no los cables. 4. $1.12\,\mathrm{eV}$ sobreviven como el par; el exceso de $1.4\,\mathrm{eV}$ se escurre hacia los fonones en picosegundos — más deprisa de lo que ningún circuito podría interceptar. 5. La transparencia por debajo de la banda ( $\sim20\,\%$ de la potencia) y la termalización por encima ( $\sim30\,\%$ ): al espectro le gravan la mitad antes de que la unión vea un solo electrón. 6. La absorción es un salto cuántico de un solo fotón que necesita un estado final real; a media banda prohibida no hay ninguno donde hacer escala, y los sucesos de dos fotones son despreciables a las densidades de fotones de la luz solar. 7. Los pares creados en la zona de deplexión o cerca de ella sienten el campo de contacto: los electrones son barridos al lado n y los huecos al lado p, y el campo los separa más deprisa de lo que pueden encontrarse para recombinarse — la carga se acumula hasta que un circuito externo la alivia como corriente. 8. $V_{\text{bi}} = 0.0259\ln(10^{12}) \approx 0.71\,\mathrm{V}$ . 9. $60\times0.6\,\mathrm{V} = 36\,\mathrm{V}$ . 10. $I = 400/36 \approx 11\,\mathrm{A}$ . 11. En todo el panel, la luz por encima de la banda prohibida son $\sim1400\,\mathrm{W}$ a $\sim2\,\mathrm{eV}$ cada fotón: $4\times10^{21}$ fotones por segundo — pero las sesenta células están en serie, así que los $11\,\mathrm{A}$ (un flujo de electrones $I/e \approx 7\times10^{19}\,\mathrm{s}^{-1}$ ) pasan por cada célula, cuya ración propia de fotones es $4\times10^{21}/60 \approx 7\times10^{19}$ por segundo: casi todo fotón absorbido rinde un electrón recogido. La eficiencia cuántica es excelente; las pérdidas son energéticas, no numéricas. 12. Tras el 50 % del espectro, la célula paga el déficit de tensión ( $0.6/1.12 \approx 54\,\%$ ) y unos pocos puntos de reflexión y recombinación: $0.5\times0.54 \approx 27\,\%$ , recortado hasta el 20 % nominal. 13. La fuga $I_0$ : la tensión de circuito abierto $(k_{\text{B}}T/e)\ln(I_{\text{L}}/I_0)$ se detiene donde se equilibran la fotocorriente y la fuga del diodo — alrededor de $0.6\,\mathrm{V}$ , muy lejos de la banda prohibida. 14. $\sin30^\circ = 0.5$ : la mitad de lo nominal de mediodía solo por geometría — antes de las nubes. 15. $\Delta T = 40\,\mathrm{K}$ : un $-16\,\%$ , que deja $\approx335\,\mathrm{W}$ — los días más soleados no son los mejores por vatio. 16. El calor infla $I_0$ exponencialmente, y la tensión de circuito abierto — reprimenda de un logaritmo — cae una fracción de punto porcentual por kelvin; la banda ligeramente encogida remata la faena. 17. El cableado en serie impone una corriente común: la célula sombreada, que no genera ninguna, la meten en polarización inversa sus cincuenta y nueve compañeras y disipa la potencia de estas como un punto caliente — la cadena se estrangula hasta la célula más débil. 18. El diodo de paso da a la corriente un camino en directa alrededor de la subcadena sombreada, y sacrifica su tensión en vez de la salida del panel entero. 19. $400\,\mathrm{W}\times0.15\times8760\,\mathrm{h} \approx 530\,\mathrm{kWh}$ al año. 20. $\approx130\,\mathrm{euros}$ al año: amortización en unos $300/130 \approx 2.5$ años, y luego dos décadas de beneficio. 21. $500/530 \approx$ un año: el panel devuelve su energía de fabricación casi tan deprisa como su precio. 22. La negrura no es una elección, sino una estructura de bandas: la absorción necesita un estado vacío una energía de fotón por encima de uno lleno, y por debajo de la banda prohibida el silicio sencillamente no tiene ninguno que ofrecer — la pintura no puede añadir estados. 23. Apílese encima una célula de banda ancha que se quede el azul a tensión alta y deje pasar el rojo hacia abajo: el tándem bate el techo de una sola unión. La pega: la pila en serie debe casar las corrientes (y los precios) entre capas. 24. Todo lo que acorte $\tau$ y envenene las uniones: los defectos creados por el ultravioleta y las impurezas que se difunden dentro dispersan y atrapan portadores, la humedad corroe los contactos y los puntos calientes envejecen los diodos — la lenta entropía de un cristal al que se pide sentarse al sol treinta años. 25. La banda prohibida cosecha la mitad del sol; la unión convierte los pares en $36\,\mathrm{V}$ de corriente ordenada; las cadenas en serie, la sombra y el calor del verano se llevan su parte; y con $\sim530\,\mathrm{kWh}$ al año contra una amortización energética de un año y otra monetaria de tres, el árbitro dictamina: póngase en el tejado.

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