Física universitaria — tercer año · Bachelor Year 3

6Electromagnetismo covariante

Un hilo de cobre transporta diez amperios. Sus electrones derivan a una décima de milímetro por segundo — más despacio que un caracol — y el hilo es eléctricamente neutro con una precisión fantástica. Y, sin embargo, una carga que se mueve a su lado siente una atracción medible. Vista desde el sistema propio de esa carga, la explicación “magnética” se evapora: la carga está en reposo, y una carga en reposo no siente fuerza magnética alguna. Lo que tira de ella, en ese sistema, es un campo eléctrico — conjurado por la propia relatividad, porque la contracción de las longitudes desequilibra, en una parte en $10^{24}$ , las dos corrientes de carga del hilo. El magnetismo es la electricidad vista desde un asiento en movimiento. Este capítulo reescribe el electromagnetismo del volumen del Año 2 en el lenguaje de los tres capítulos anteriores: cuadrivectores para la carga y el potencial, un único tensor antisimétrico que mantiene unidos $\vect E$ y $\vect B$ , y las cuatro ecuaciones de Maxwell colapsadas en dos líneas que se leen igual en todo sistema inercial. Más allá de la elegancia, el provecho es física en acción: cómo se transforman los campos, por qué el campo de una carga rápida se aplana en una tortita y por qué la luz de un electrón relativista barre hacia delante como un faro — el principio de las fuentes de luz de sincrotrón que hoy radiografían proteínas y baterías.

6.1 Cuadrivectores para la carga y la corriente

Definición 6.1 (Cuadrivectores)

Un cuadrivector es una cuaterna $a^\mu = (a^0, \vect a)$ , $\mu = 0, 1, 2, 3$ , cuyas componentes se mezclan bajo un cambio de sistema exactamente como lo hacen las de $(ct, \vect r)$ :

a'^0 = \gamma(a^0 - \beta a^1) , \qquad a'^1 = \gamma(a^1 - \beta a^0) , \qquad a'^{2,3} = a^{2,3}

para un cambio a $\beta c$ según $x$ . Dos cuadrivectores cualesquiera dan el producto escalar invariante $a\cdot b = a^0b^0 - \vect a\cdot\vect b$ , el mismo número en todo sistema — el patrón que hay detrás de $c^2t^2 - x^2$ y de $E^2 - p^2c^2$ . La posición $(ct, \vect r)$ y el cuadrimomento $(E/c, \vect p)$ son los dos que ya tenemos; el electromagnetismo aporta ahora tres más: corriente, potencial y vector de onda.

Proposición 6.2 (La cuadricorriente y la conservación de la carga)

La densidad de carga $\rho$ y la densidad de corriente $\vect\jmath$ forman la cuadricorriente

J^\mu = (\rho c,\ \vect\jmath\,) :

una nube de carga de densidad propia $\rho_0$ que se mueve con velocidad $\vect u$ tiene $J^\mu = \rho_0\gamma_u(c, \vect u)$ — la densidad crece en $\gamma_u$ porque el volumen de la nube se contrae, mientras que la carga misma es invariante (un hecho experimental decisivo: los átomos con electrones internos rápidos siguen siendo exactamente neutros). La conservación de la carga es el enunciado invariante

\frac{\partial(\rho c)}{\partial(ct)} + \operatorname{div}\vect\jmath = 0 ,

la ecuación de continuidad del volumen del Año 2, ahora visiblemente la misma ley para todos los observadores.

Demostración parcial. La nube en movimiento: una caja de volumen propio $V_0$ contiene la carga $\rho_0 V_0$ ; en el laboratorio la caja está contraída a $V_0/\gamma_u$ , luego $\rho = \gamma_u\rho_0$ , y $\vect\jmath = \rho\vect u$ por definición de densidad de corriente. Que $(\rho c, \vect\jmath)$ se transforme entonces como un cuadrivector se sigue de que es igual a $\rho_0/c$ por la cuadrivelocidad $\gamma_u(c, \vect u)$ , que es cuadrivector por construcción. La invariancia de la carga es un dato experimental. ∎

6.2 Un solo tensor para los dos campos

Definición 6.3 (Cuadripotencial y tensor de campo)

Los potenciales del volumen del Año 2 se ensamblan en el cuadripotencial

A^\mu = \Big(\frac{V}{c},\ \vect A\Big) ,

y los campos medibles $\vect E = -\vect\nabla V - \partial_t\vect A$ , $\vect B = \operatorname{\vect{curl}}\vect A$ son las seis componentes independientes de una única matriz antisimétrica, el tensor del campo electromagnético

F^{\mu\nu} = \begin{pmatrix} 0 & -E_x/c & -E_y/c & -E_z/c\\ E_x/c & 0 & -B_z & B_y\\ E_y/c & B_z & 0 & -B_x\\ E_z/c & -B_y & B_x & 0 \end{pmatrix} .

$\vect E$ y $\vect B$ no son dos campos, sino seis caras de un mismo objeto; qué cara llame “eléctrica” un observador depende del movimiento de ese observador.

Teorema 6.4 (Maxwell, en forma covariante)

Las cuatro ecuaciones de Maxwell del volumen del Año 2 son la forma en componentes de dos enunciados independientes del sistema: la pareja con fuentes (Gauss y Ampère–Maxwell) es

\sum_\mu \partial_\mu F^{\mu\nu} = \mu_0\,J^\nu ,

y la pareja sin fuentes (ausencia de monopolos, Faraday) es la identidad que garantiza que $F$ deriva de un cuadripotencial. La fuerza de Lorentz es $\dd p^\mu/\dd\tau = qF^{\mu\nu}u_\nu$ — la ley de fuerza, con lo magnético incluido, en una línea. Como ambos miembros de cada ecuación se transforman igual, la teoría de Maxwell no necesita corrección alguna para ser relativista: fue la primera pieza acabada de la relatividad, nacida en 1865.

Demostración parcial. Desarróllese la componente $\nu = 0$ : $\sum_i\partial_i(E_i/c) = \mu_0\rho c$ , es decir, $\operatorname{div}\vect E = \rho/\varepsilon_0$ (usando $c^2 = 1/\mu_0\varepsilon_0$ ). La componente $\nu = 1$ reúne $-\partial_t(E_x/c^2) + (\partial_yB_z - \partial_zB_y) = \mu_0 j_x$ : la componente $x$ de Ampère–Maxwell. Las demás componentes repiten el patrón; la pareja sin fuentes es la igualdad de las segundas derivadas cruzadas de $A^\mu$ (comprobada en el Ejercicio 6.3). Que $F^{\mu\nu}$ se transforme como un tensor (de dos índices) — cada índice como un cuadrivector — se admite; sus consecuencias son la proposición siguiente. ∎

6.3 Cómo se transforman los campos

Proposición 6.5 (Transformación de los campos)

Para un cambio de sistema con velocidad $\vect v = v\,\vect e_x$ : las componentes paralelas al movimiento quedan intactas y las transversales se mezclan,

E'_x = E_x , \qquad E'_y = \gamma(E_y - vB_z) , \qquad E'_z = \gamma(E_z + vB_y) ,

B'_x = B_x , \qquad B'_y = \gamma\Big(B_y + \frac{v}{c^2}E_z\Big) , \qquad B'_z = \gamma\Big(B_z - \frac{v}{c^2}E_y\Big) .

De forma compacta, transversalmente al movimiento: $\vect E' = \gamma(\vect E + \vect v\wedge\vect B)_\perp$ y $\vect B' = \gamma(\vect B - \vect v\wedge\vect E/c^2)_\perp$ . Un $\vect B$ puro en un sistema es $\vect E$ y $\vect B$ en otro: los campos son un solo fenómeno.

Demostración. Admitido a este nivel. ∎

Ejemplo 6.6 (Magnetismo a partir de un hilo neutro)

Un hilo neutro transporta corriente: la red positiva en reposo y los electrones a la deriva. Para una carga de prueba que se mueve a su lado, pásese a su sistema: las dos corrientes de carga se contraen de manera distinta (tienen velocidades distintas), el hilo adquiere la densidad lineal de carga neta $\lambda' = -\gamma vI/c^2$ , y su campo eléctrico radial tira de la carga con exactamente la fuerza que el laboratorio llamaba $q\vect v\wedge\vect B$ . El magnetismo es el aspecto que toma el término de segundo orden $v u/c^2$ de la relatividad cuando conspiran $10^{28}$ cargas elementales por metro: cada efecto es fantásticamente pequeño, pero el hilo es neutro con una precisión todavía mayor, de modo que ese desequilibrio diminuto es toda la historia (Problema 6.1).

Una fuerza, dos contabilidades. Laboratorio: la corriente del hilo neutro crea B y la carga en movimiento siente q v B. Sistema de la carga: la red positiva se mueve ahora y se contrae, y los electrones (más lentos allí) se separan; el hilo tiene carga neta y es su E' el que tira. El mismo experimento, el mismo resultado. — Una fuerza, dos contabilidades. Laboratorio: la corriente del hilo neutro crea $\vect B$ y la carga en movimiento siente $q\vect v\wedge\vect B$ . Sistema de la carga: la red positiva se mueve ahora y se contrae, y los electrones (más lentos allí) se separan; el hilo tiene carga neta y es su $\vect E'$ el que tira. El mismo experimento, el mismo resultado.

Ejemplo 6.7 (El campo aplanado de una carga rápida)

Transfórmese el campo de Coulomb de una carga al sistema en el que se mueve con $\gamma \gg 1$ : el campo longitudinal queda intacto mientras que el transversal queda multiplicado por $\gamma$ . El campo, antes esférico, se aplana en un disco de ángulo de apertura $\sim 1/\gamma$ en torno al plano que pasa por la carga — acompañado, transversalmente al movimiento, por un anillo magnético $B' = vE'/c^2$ . Para un observador en reposo, el paso de un protón del LHC ( $\gamma \approx 7000$ ) es un bofetón de menos de un picosegundo de $\vect E$ y $\vect B$ casi cruzados: casi un pulso de luz — la razón por la que los haces rápidos dialogan con la materia como lo hacen los fotones.

El campo eléctrico de una carga puntual, en reposo y a gran velocidad: el cambio de sistema multiplica por las componentes transversales y deja intactas las longitudinales, comprimiendo el campo en un disco perpendicular al movimiento. — El campo eléctrico de una carga puntual, en reposo y a gran velocidad: el cambio de sistema multiplica por $\gamma$ las componentes transversales y deja intactas las longitudinales, comprimiendo el campo en un disco perpendicular al movimiento.

6.4 Invariantes, luz y efecto faro

Proposición 6.8 (Los dos invariantes del campo)

A partir de $F^{\mu\nu}$ pueden construirse exactamente dos escalares independientes:

E^2 - c^2B^2 \qquad\text{y}\qquad \vect E\cdot\vect B ,

los mismos en todo sistema inercial. Consecuencias: si en algún punto $E > cB$ (con $\vect E\cdot\vect B = 0$ ), algún sistema ve allí un campo puramente eléctrico; si $E < cB$ , algún sistema lo ve puramente magnético; y una onda luminosa plana, con $E = cB$ y $\vect E\perp\vect B$ , tiene los dos invariantes nulos — es luz en todo sistema: ningún cambio de sistema puede convertirla en un campo estático, solo enrojecerla. No se puede alcanzar a una onda luminosa; la pregunta adolescente de Einstein se responde sola en dos invariantes.

Demostración parcial. Compruébese la invariancia bajo el cambio de sistema estándar por sustitución directa de la Proposición 6.5 (Ejercicio 6.6); que no exista un tercer invariante independiente se admite. Para la onda: $E = cB$ y la ortogonalidad hacen que ambos se anulen; un sistema con campo estático exigiría un invariante no nulo. ∎

Proposición 6.9 (Cuadrivector de onda, Doppler y aberración)

La frecuencia y la dirección de una onda plana forman el cuadrivector nulo $k^\mu = (\omega/c, \vect k)$ , con $\|\vect k\| = \omega/c$ . Al transformarlo se obtienen de golpe la fórmula relativista de Doppler del Capítulo 4 y la aberración de las direcciones:

\cos\theta' = \frac{\cos\theta - \beta}{1 - \beta\cos\theta} .

Leída al revés, una fuente que radia isótropamente en su sistema propio concentra en el laboratorio la mitad de su luz en el cono delantero $\theta \lesssim 1/\gamma$ : el efecto faro. Un electrón que gira con $\gamma \sim 10^4$ en un anillo de almacenamiento barre alrededor del anillo un reflector de rayos X de $0.1\,\mathrm{mrad}$ — la luz de sincrotrón que llena las líneas de haz de la cristalografía de proteínas.

Demostración parcial. La fase $\omega t - \vect k\cdot\vect r = k^\mu x_\mu$ cuenta las crestas de onda que pasan por los sucesos — un invariante —, de modo que $k^\mu$ debe transformarse como un cuadrivector. Aplíquese el cambio de sistema a $(\omega/c, k\cos\theta, k\sin\theta, 0)$ : la componente temporal da el efecto Doppler y el cociente de las componentes espaciales, la fórmula de la aberración. Haciendo $\theta' = 90^\circ$ (el rayo lateral del sistema de la fuente): $\cos\theta = \beta$ , es decir, $\theta \approx 1/\gamma$ para $\gamma \gg 1$ — media esfera se pliega en el cono delantero. ∎

La aberración pliega la radiación de una fuente rápida en un cono delantero de semiángulo 1/: el efecto faro, y el principio de funcionamiento de las fuentes de luz de sincrotrón. — La aberración pliega la radiación de una fuente rápida en un cono delantero de semiángulo $\sim 1/\gamma$ : el efecto faro, y el principio de funcionamiento de las fuentes de luz de sincrotrón.

Método 6.10 (Trabajar de forma covariante)

(1) Identificar los cuadrivectores en juego ( $x^\mu$ , $P^\mu$ , $J^\mu$ , $A^\mu$ , $k^\mu$ ) y preferir sus productos invariantes a las componentes. (2) Para transformar campos, separar las componentes paralelas y transversales al movimiento y aplicar la Proposición 6.5. (3) Comprobar los dos invariantes antes y después — el detector de errores más rápido de la materia. (4) Cuando un problema magnético resulte misterioso, viaje con la carga: en su sistema solo actúa $\vect E'$ . (5) Confíe en Maxwell: las ecuaciones no necesitan nunca “correcciones” relativistas, solo una lectura relativista.

Una aurora: cargas del viento solar dirigidas por el campo magnético terrestre hacia la atmósfera polar. Lo que un observador llama dirección magnética, otro lo llama aceleración eléctrica — los campos se mezclan bajo las transformaciones de este capítulo.

6.5 Ejercicios

Ejercicio 6.1 ★

(a) Transfórmese $a^\mu = (5, 3, 0, 0)$ (en unidades de cierto $a_0$ ) con $\beta = 0.6$ : calcúlese $a'^\mu$ y compruébese que $a\cdot a$ no cambia. (b) Muéstrese que la suma de dos cuadrivectores es un cuadrivector. (c) ¿Es $(c, \vect v)$ un cuadrivector para una partícula? ¿Y $\gamma(c, \vect v)$ ? (d) ¿Por qué “el campo eléctrico” por sí solo no forma parte de ningún cuadrivector?

Solución

Solución de Ejercicio 6.1.

(a) $\gamma = 1.25$ : $a'^0 = 1.25(5 - 1.8) = 4.0$ , $a'^1 = 1.25(3 - 3) = 0$ ; $a\cdot a = 25 - 9 = 16 = 16 - 0$ . (b) La transformación es lineal, luego se distribuye sobre las sumas. (c) $(c, \vect v)$ : no — su componente “temporal” es la misma para todas las partículas, mientras que la mezcla exige otra cosa; $\gamma(c, \vect v) = \dd x^\mu/\dd\tau$ : sí, un cuadrivector dividido por el invariante $\dd\tau$ . (d) Las tres componentes de $\vect E$ se mezclan con las de $\vect B$ , no con ningún escalar: los campos llenan un tensor de dos índices, no un cuadrivector.

Ejercicio 6.2 ★

Un hilo de cobre de sección $1.0\,\mathrm{mm}^{2}$ transporta $10\,\mathrm{A}$ , con una densidad de electrones de conducción $n = 8.5 \times 10^{28}\,\mathrm{m}^{-3}$ . (a) Calcúlese la velocidad de deriva. (b) Escríbase $J^\mu$ para el fluido de electrones y para la red. (c) Compruébese la ecuación de continuidad para cada uno. (d) El hilo es neutro: ¿cuál es el $J^\mu$ del hilo entero y qué componente sobrevive?

Solución

Solución de Ejercicio 6.2.

(a) $u = I/nSe = 10/(8.5 \times 10^{28} \times 10^{-6} \times 1.6 \times 10^{-19}) = 7.4 \times 10^{-4}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ . (b) Red: $(nec, \vect 0)$ ; electrones: $(-nec, -ne\vect u)$ — su densidad de corriente $\rho_-\vect u = -ne\vect u$ apunta en sentido contrario a su deriva, y esa es la dirección de la corriente convencional. (c) Ambas son estáticas y uniformes: todos los términos se anulan. (d) Total: $(0, \vect\jmath)$ con $j = I/S = 10^{7}\,\mathrm{A}/\mathrm{m}^{2}$ — una corriente pura sin carga, la configuración que hace sutil la relatividad del hilo.

Ejercicio 6.3 ★

(a) A partir de la matriz de $F^{\mu\nu}$ , identifíquese qué componentes dan $E_y$ y $B_x$ . (b) Escríbase $F^{\mu\nu}$ para un campo uniforme puro $\vect B = B\vect e_z$ y para el campo de una onda plana ( $\vect E = E\vect e_y$ , $\vect B = (E/c)\vect e_z$ ). (c) Verifíquese sobre componentes que $F^{\mu\nu} = \partial^\mu A^\nu - \partial^\nu A^\mu$ reproduce $\vect B = \operatorname{\vect{curl}}\vect A$ para $\mu\nu = 12$ . (d) ¿Por qué debe ser $F$ antisimétrico para que la fuerza $qF^{\mu\nu}u_\nu$ no realice trabajo en el sistema propio de la partícula?

Solución

Solución de Ejercicio 6.3.

(a) $E_y$ : $F^{20} = E_y/c$ ; $B_x$ : $F^{32} = B_x$ . (b) Para $\vect B = B\vect e_z$ , solo $F^{12} = -B$ y $F^{21} = +B$ ; para la onda, $F^{20} = E/c$ , $F^{12} = -E/c$ (con sus parejas antisimétricas). (c) $F^{12} = \partial^1A^2 - \partial^2A^1 = -\partial_xA_y + \partial_yA_x = -(\operatorname{\vect{curl}}\vect A)_z = -B_z$ : coincide con la matriz. (d) El ritmo de cambio de energía de la partícula es $\propto F^{0\nu}u_\nu$ ; en el sistema propio, $u_\nu = (c, \vect 0)$ y la antisimetría hace $F^{00} = 0$ : una fuerza que nunca puede trabajar sobre una partícula en reposo — la propiedad que define a la parte magnética.

Ejercicio 6.4 ★

Un condensador plano en reposo tiene $\vect E = E_0\vect e_y$ y ningún $\vect B$ . Dense $\vect E'$ y $\vect B'$ en un sistema que se mueve (a) según $\vect e_y$ (perpendicularmente a las placas); (b) según $\vect e_x$ (paralelamente a las placas), e interprétese el $\vect B'$ que aparece como el campo de las cargas superficiales en movimiento; (c) compruébense los invariantes en el caso (b); (d) en el caso (b), las placas también se contraen: ¿qué magnitudes (¿ $\sigma$ ?, ¿ $E'$ ?, ¿la separación entre placas?) cambian, y de acuerdo con qué?

Solución

Solución de Ejercicio 6.4.

(a) Cambio de sistema a lo largo del campo: componentes longitudinales intactas, $\vect E' = E_0\vect e_y$ , $\vect B' = \vect 0$ . (b) Cambio según $\vect e_x$ : $E'_y = \gamma E_0$ , $B'_z = -\gamma vE_0/c^2$ — las placas desfilan ahora como corrientes superficiales $\pm\sigma'v$ , y dos láminas de corriente opuestas encierran exactamente un campo así. (c) $E'^2 - c^2B'^2 = \gamma^2E_0^2(1 - \beta^2) = E_0^2$ ; $\vect E'\cdot\vect B' = 0$ : ambos se conservan. (d) Las placas se contraen según $x$ , de modo que $\sigma' = \gamma\sigma$ , coherente con $E' = \sigma'/\varepsilon_0 = \gamma E_0$ ; la separación, transversal al movimiento, queda intacta.

Ejercicio 6.5 ★★

La fem de movimiento, unificada. Una barra conductora desliza con velocidad $\vect v$ sobre unos raíles atravesando un $\vect B$ uniforme. (a) Contabilidad del laboratorio: ¿qué fuerza empuja a los electrones a lo largo de la barra y qué fem resulta? (b) Contabilidad en el sistema de la barra: ¿qué campo los empuja y de dónde sale en la Proposición 6.5? (c) Muéstrese que las dos fem coinciden a orden $v/c$ . (d) La regla del flujo de Faraday del volumen del Año 1 cubría con una sola fórmula los casos de “circuito en movimiento” y de “campo variable”: ¿qué dice la relatividad sobre por qué esa unificación tenía que funcionar?

Solución

Solución de Ejercicio 6.5.

(a) La fuerza magnética $-e\vect v\wedge\vect B$ empuja a los electrones a lo largo de la barra: fem $= vBL$ . (b) En el sistema de la barra, esta está en reposo — ninguna fuerza magnética sobre cargas en reposo —, pero la transformación entrega $\vect E' = \gamma\,\vect v\wedge\vect B$ : es un campo eléctrico honrado el que las empuja. (c) $E'L = \gamma vBL \approx vBL$ a orden $v/c$ . (d) Tenía que funcionar porque la fem “de movimiento” y la “de transformador” son un mismo fenómeno leído en dos sistemas: la regla del flujo es la covariancia vestida a la moda de 1831 — el artículo de Einstein de 1905 se abre exactamente con esta asimetría del imán y el conductor.

Ejercicio 6.6 ★★

(a) Usando la Proposición 6.5, verifíquese por cálculo directo que $E'^2 - c^2B'^2 = E^2 - c^2B^2$ para un cambio de sistema según $x$ . (b) Verifíquese $\vect E'\cdot\vect B' = \vect E\cdot\vect B$ . (c) Una región contiene $\vect E$ y $\vect B$ perpendiculares con $E = 2cB$ : hállese el sistema con campo puramente eléctrico (dirección y velocidad). (d) ¿Por qué ningún sistema puede hacer que el campo de una onda luminosa plana sea puramente eléctrico o puramente magnético?

Solución

Solución de Ejercicio 6.6.

(a) Las componentes $x$ quedan intactas; para las transversales, $E_y'^2 + E_z'^2 - c^2(B_y'^2 + B_z'^2) = \gamma^2[(E_y - vB_z)^2 + (E_z + vB_y)^2 - c^2(B_y + vE_z/c^2)^2 - c^2(B_z - vE_y/c^2)^2]$ ; los términos cruzados se cancelan y los cuadrados recogen $\gamma^2(1 - \beta^2) = 1$ multiplicando la combinación sin transformar. (b) La misma contabilidad sobre $E_xB_x + E_yB_y + E_zB_z$ . (c) $E^2 - c^2B^2 = 3c^2B^2 > 0$ : cámbiese de sistema según $\vect E\wedge\vect B$ con $v = c^2B/E = c/2$ ; allí $B' = 0$ y el campo que sobrevive es $E' = E/\gamma = \sqrt3\,cB$ — cuyo cuadrado es el invariante, como debe ser. (d) Una onda luminosa tiene los dos invariantes nulos: todo sistema debe reproducir $E' = cB' \perp$ , nunca un campo puro.

Ejercicio 6.7 ★★

Campos cruzados. En el laboratorio, $\vect E = E\vect e_y$ y $\vect B = B\vect e_z$ con $E < cB$ . (a) Muéstrese que el sistema que se mueve con $\vect v_{\text{d}} = (E/B)\,\vect e_x$ ve un campo puramente magnético. (b) Descríbase el movimiento de una carga soltada en reposo, visto desde ese sistema y de vuelta en el laboratorio (una cicloide que deriva a $v_{\text{d}}$ ). (c) El filtro de velocidades del volumen del Año 1 dejaba pasar sin desviar las partículas de velocidad $E/B$ : vuélvase a deducirlo en una línea a partir de (a). (d) ¿Qué ocurre, cualitativamente, cuando $E > cB$ , y por qué es entonces imposible el truco del sistema de deriva?

Solución

Solución de Ejercicio 6.7.

(a) Con $v_{\text{d}} = E/B$ : $E'_y = \gamma(E - v_{\text{d}}B) = 0$ ; $B'_z = \gamma(B - v_{\text{d}}E/c^2) = B/\gamma$ : campo magnético puro, levemente debilitado. (b) Allí: una circunferencia recorrida a $qB'/\gamma m$ ; de vuelta en el laboratorio, esa circunferencia más la deriva uniforme — una cicloide que repta a $E/B$ perpendicularmente a ambos campos, la trayectoria de las cargas en un magnetrón. (c) Una partícula que se mueve exactamente a $v_{\text{d}}$ está en reposo en el sistema de deriva, donde el único campo es magnético y no siente nada: no se desvía. (d) Para $E > cB$ la deriva necesaria superaría a $c$ : no existe tal sistema; en su lugar existe un sistema de $E$ puro (ejercicio anterior) y la carga se acelera sin límite a lo largo del campo.

Ejercicio 6.8 ★★

El cuadrivector de onda $k^\mu = (\omega/c, \vect k)$ . (a) Muéstrese que exigir que la fase sea invariante obliga a $k^\mu$ a transformarse como un cuadrivector. (b) Dedúzcase la fórmula Doppler longitudinal a partir de su componente temporal. (c) Dedúzcase la fórmula de la aberración. (d) Aberración de la luz estelar: la Tierra orbita a $29.8\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ ; ¿qué ángulo barre en un año la posición aparente de una estrella? (Bradley midió $20.5''$ en 1728 — la primera prueba directa de que la Tierra se mueve).

Solución

Solución de Ejercicio 6.8.

(a) La fase $\omega t - \vect k\cdot\vect r$ cuenta sucesos de paso de cresta, un número invariante; es igual a $k^\mu x_\mu$ , y la invariancia del producto para todo $x^\mu$ obliga a $k^\mu$ a transformarse como cuadrivector. (b) $\omega'/c = \gamma(\omega/c - \beta k_x)$ con $k_x = (\omega/c)\cos\theta$ ; para $\theta = 0$ , $\omega' = \omega\sqrt{(1-\beta)/(1+\beta)}$ . (c) $\cos\theta' = k'_x/(\omega'/c)$ : la fórmula enunciada. (d) $\beta = 10^{-4}$ : $20.5''$ ; a lo largo de un año, la posición aparente recorre una elipse de ese semieje angular — la aberración de Bradley.

Ejercicio 6.9 ★★

Una carga $q$ se mueve con $\vect v = v\vect e_x$ constante y $\gamma \gg 1$ . (a) Transformando el campo de Coulomb, muéstrese que en el plano transversal que pasa por la carga el campo queda amplificado a $\gamma q/4\pi\varepsilon_0b^2$ a la distancia $b$ , mientras que justo delante y detrás queda aplastado en $1/\gamma^2$ . (b) Muéstrese que un observador en reposo a distancia $b$ ve un pulso de campo de duración $\sim b/\gamma v$ . (c) Para un protón del LHC que pasa a $b = 1\,\mathrm{cm}$ : campo máximo y duración del pulso. (d) ¿En qué sentido preciso es este pulso “casi luz”? (Compruébense $E' \approx cB'$ y los invariantes).

Solución

Solución de Ejercicio 6.9.

(a) En el sistema propio, Coulomb; el cambio de sistema multiplica las componentes transversales por $\gamma$ (en el plano transversal, $E'_\perp = \gamma q/4\pi\varepsilon_0b^2$ ), mientras que el campo a lo largo del movimiento, evaluado delante o detrás a la distancia $r$ del laboratorio, corresponde a una distancia $\gamma r$ en el sistema propio: reducido en $1/\gamma^2$ . (b) La tortita, de anchura angular $1/\gamma$ , pasa de largo a $v$ : duración $\sim (b/\gamma)/v$ . (c) $E' = 7250 \times 1.6 \times 10^{-19} \times 9 \times 10^{9}/10^{-4} \approx 0.1\,\mathrm{V}/\mathrm{m}$ , durante $2b/\gamma c \approx 9\,\mathrm{fs}$ . (d) $B' = vE'/c^2 \approx E'/c$ y ambos invariantes son $O(1/\gamma^2)$ : localmente indistinguible de un pulso de luz — la base de la descripción por “fotones equivalentes” de las colisiones de cargas rápidas.

Ejercicio 6.10 ★★★

Perseguir una onda luminosa. Una onda plana tiene $\vect E = E_0\vect e_y \cos(\omega(t - x/c))$ , $\vect B = (E_0/c)\vect e_z\cos(\omega(t - x/c))$ . Un observador la persigue con velocidad $\beta$ . (a) Transfórmense los campos: muéstrese que $E'_0 = E_0\sqrt{(1-\beta)/(1+\beta)}$ y $B'_0 = E'_0/c$ . (b) Muéstrese que la frecuencia se transforma con el mismo factor: la onda sigue siendo una onda, enrojecida, con $E' = cB'$ siempre. (c) ¿Qué le ocurre a la densidad de energía de la onda (proporcional a $E^2$ ) y al número de fotones? (d) Conclúyase: ¿qué exigiría “cabalgar junto a un haz de luz” y qué invariante lo prohíbe?

Solución

Solución de Ejercicio 6.10.

(a) $E'_y = \gamma(E - vB) = \gamma E_0(1 - \beta)\cos(\cdots) = E_0\sqrt{(1-\beta)/(1+\beta)}\cos(\cdots)$ , y $B'_z = E'_y/c$ por el mismo álgebra. (b) La fase se transforma con el mismo factor Doppler: la misma onda nula, más roja y más débil. (c) La densidad de energía cae como el cuadrado del factor Doppler; el número de fotones no cambia — el $h\nu$ de cada fotón se lleva el factor entero. (d) “Cabalgar junto a ella” significa que el factor $\to 0$ cuando $\beta \to 1$ : la onda nunca se vuelve estática porque sus invariantes son nulos — no hay ningún sistema en el que la luz esté quieta, que es donde empezó la relatividad de este libro.

Ejercicio 6.11 ★★★

La luz de sincrotrón y la muerte de las máquinas circulares de electrones. Una carga ultrarrelativista sobre una circunferencia de radio $r$ radia la potencia $P = q^2c\gamma^4/6\pi\varepsilon_0r^2$ (admitido — la fórmula de Larmor del volumen del Año 2, transformada). (a) Muéstrese que la energía perdida por vuelta es $\Delta E = q^2\gamma^4/3\varepsilon_0r$ . (b) LEP: electrones a $100\,\mathrm{GeV}$ con $r = 3.1\,\mathrm{km}$ : calcúlense $\gamma$ y $\Delta E$ por vuelta — ¿qué fracción de la energía del haz hay que recomprar en cada vuelta? (c) LHC: protones a $6.8\,\mathrm{TeV}$ en el mismo túnel: calcúlese $\Delta E$ por vuelta y compárese. (d) Explíquese, con el $\gamma^4 = (E/mc^2)^4$ , por qué el sucesor de los electrones es un colisionador lineal o un anillo mucho mayor, y por qué sobreviven los anillos de protones.

Solución

Solución de Ejercicio 6.11.

(a) Por vuelta, $\Delta E = P \times 2\pi r/c$ : el resultado enunciado. (b) $\gamma = 10^{11}/5.11 \times 10^{5} = 1.96 \times 10^{5}$ : $\Delta E \approx 2.9\,\mathrm{GeV}$ por vuelta — un tres por ciento de la energía del haz reinyectado en cada vuelta; los klistrones del LEP eran el mayor radiotransmisor de la Tierra. (c) Protones: $\gamma = 7250$ , con $\gamma^4$ menor en $(m_{\text{p}}/m_{\text{e}})^4 \approx 10^{13}$ : unos $5\,\mathrm{keV}$ por vuelta — despreciable. (d) $\gamma^4 = (E/mc^2)^4$ : a igual energía, el electrón radia $10^{13}$ veces más; de ahí los colisionadores lineales (radiar una vez, no en cada vuelta) o anillos gigantescos para electrones, mientras los anillos de protones escalan sin problema hasta $27\,\mathrm{km}$ .

Ejercicio 6.12 ★★★

El ciclotrón relativista. Una carga en un $\vect B$ uniforme, a velocidad relativista. (a) A partir de $\dd\vect p/\dd t = q\vect v\wedge\vect B$ con $E$ constante, muéstrese que la órbita es una circunferencia recorrida con $\omega = qB/\gamma m$ : la frecuencia ciclotrónica cae al crecer la energía. (b) Un ciclotrón clásico empuja a $\omega_0 = qB/m$ fijo: muéstrese que, tras $N$ vueltas con $\gamma - 1$ creciendo linealmente hasta su valor final $\Gamma$ , el desfase acumulado alcanza un cuarto de periodo de radiofrecuencia cuando $\Gamma \approx 1/2N$ ; para $N = 100$ vueltas, ¿a qué energía cinética del protón corresponde y cómo se compara con el techo histórico de los ciclotrones clásicos (unos $20\,\mathrm{MeV}$ , comprados con margen y tensión adicionales)? (c) Existen dos remedios: hacer variar la frecuencia (sincrociclotrón) o modelar $B(r)$ para que crezca como $\gamma$ (ciclotrón isócrono): explíquese cada uno en una frase. (d) El ciclotrón isócrono del PSI entrega protones de $590\,\mathrm{MeV}$ : ¿en qué factor supera su campo en el borde al campo central?

Solución

Solución de Ejercicio 6.12.

(a) $|\vect p|$ es constante (no hay trabajo); $\dot{\vect p} = q\vect v\wedge\vect B$ hace girar a $\vect p$ con velocidad angular $qvB/p = qB/\gamma m$ . (b) Desfase por vuelta $2\pi(\gamma - 1)$ ; con $\gamma - 1$ creciendo linealmente hasta $\Gamma$ , el desfase total es $\approx \pi N\Gamma$ ; un cuarto de periodo es $\pi/2$ : $\Gamma \approx 1/2N$ . Para $N = 100$ : $\Gamma = 5 \times 10^{-3}$ , $E_k \approx 4.7\,\mathrm{MeV}$ — la escala correcta; las máquinas reales lo estiraron hasta $\sim20\,\mathrm{MeV}$ con tensiones de dee elevadas (menos vueltas). (c) Sincrociclotrón: barrer la radiofrecuencia hacia abajo durante cada pulso para seguir a $qB/\gamma m$ . Ciclotrón isócrono: dejar que $B(r)$ crezca $\propto\gamma(r)$ de modo que el cociente nunca cambie y el haz sea continuo. (d) $\gamma = 1 + 590/938 = 1.63$ : el campo del borde debe superar al campo central en ese factor.

6.6 Problema: magnetismo a paso de caracol

Problema 6.1

Problema de fin de semana — cómo un desequilibrio de $10^{-24}$ mueve todos los motores

Los electrones derivan por el cable de una lámpara más despacio de lo que repta la miel, y el $v^2/c^2$ de esa deriva vale $10^{-24}$ — y, sin embargo, la fuerza magnética que produce levanta coches en los desguaces. Este problema hace la contabilidad completa en dos sistemas para un hilo recto y una carga en movimiento, y encuentra a la relatividad escondida en todo electroimán. Datos: hilo de cobre de sección $S = 1.0\,\mathrm{mm}^{2}$ , corriente $I = 10\,\mathrm{A}$ , densidad de electrones de conducción $n = 8.5 \times 10^{28}\,\mathrm{m}^{-3}$ ; carga de prueba $q = 1\,\text{µ}\mathrm{C}$ a una distancia $d = 1.0\,\mathrm{cm}$ , que se mueve paralelamente al hilo con $v = 10^{5}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ (una velocidad de haz iónico, para mantener visibles las cifras); $\mu_0 = 4\pi\times10^{-7}\,\mathrm{H}/\mathrm{m}$ .

Parte I — La contabilidad en el laboratorio.

Calcúlense la velocidad de deriva $u$ de los electrones, y $u^2/c^2$ .
Modelícese el hilo como dos densidades lineales de carga superpuestas: la red $+\lambda$ en reposo y los electrones $-\lambda$ derivando a $u$ , con $I = \lambda u$ . Calcúlese $\lambda$ .
Calcúlese $B$ en la posición de la carga y la fuerza magnética $F = qvB$ sobre ella — dirección incluida, para $v$ paralela a la corriente convencional $I$ (recuérdese: las corrientes paralelas se atraen).
¿Por qué no hay fuerza eléctrica en el laboratorio?
El campo eléctrico de ese mismo hilo si llevara una carga neta de solo un electrón en exceso por metro: compárese la fuerza que ejercería sobre $q$ con la fuerza magnética de la pregunta 3, y conclúyase con qué precisión hay que medir la “neutralidad” antes de poder atribuir el magnetismo.
Una carga de $1\,\text{µ}\mathrm{C}$ a $10^{5}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ : ¿es medible la fuerza de la pregunta 3? (Compárese con el peso de un grano de arena, $\sim10^{-6}\,\mathrm{N}$ ).

Parte II — Cambiar de asiento. Pásese al sistema de la carga de prueba (velocidad $v$ a lo largo del hilo).

En ese sistema, ¿cuáles son las velocidades de la red y de los electrones (que derivan en sentido opuesto a $I$ y, por tanto, ganan velocidad en este cambio de sistema: compónganse correctamente)?
Integrada sobre la sección del hilo, la cuadricorriente por unidad de longitud es $(c\lambda_{\text{tot}}, I, 0, 0)$ con $\lambda_{\text{tot}} = 0$ aquí. Transfórmese y muéstrese que la densidad lineal de carga del hilo en el sistema nuevo es

$\lambda' = -\gamma_v\,\frac{vI}{c^2} .$
Evalúese $\lambda'$ , en culombios por metro y en cargas del electrón por metro. ¿Qué corriente se hizo más densa, y por qué (contraiga cada una por separado si lo prefiere)?
Calcúlense el campo eléctrico $E' = \lambda'/2\pi\varepsilon_0d$ en la carga, y la fuerza eléctrica $qE'$ sobre ella.
Compárese $qE'$ con el $qvB$ del laboratorio de la parte I y explíquese el factor residual $\gamma_v \approx 1 + 5.6 \times 10^{-8}$ (¿la ley de transformación de qué cuadrivector relaciona las fuerzas?).
En este sistema hay además un campo magnético (el hilo sigue llevando corriente): ¿por qué no ejerce aquí ninguna fuerza?

Parte III — La moraleja de las cifras.

El desequilibrio relativo $|\lambda'|/\lambda$ : calcúlese y escríbase como $\gamma_v vu/c^2$ .
¿Cómo puede un efecto del orden de $10^{-19}$ de la carga del hilo producir una fuerza macroscópica? (¿Por qué número enorme va multiplicado?).
Dos hilos paralelos con $10\,\mathrm{A}$ cada uno a $1\,\mathrm{cm}$ : calcúlese la fuerza por metro y compruébese frente al valor de grado de definición $2 \times 10^{-7}\,I_1I_2/d$ newtons por metro.
Un electroimán son diez mil vueltas de esta historia: estímese el campo de una bobina de $10^{4}\,$ vueltas por metro que lleva $10\,\mathrm{A}$ (fórmula del solenoide del volumen del Año 1) y la fuerza por centímetro cuadrado que ejerce sobre el hierro ( $\sim B^2/2\mu_0$ ).
Si se apagara la relatividad ( $c \to \infty$ en la transformación), ¿qué quedaría de $\lambda'$ , de la fuerza de $B$ , de los motores y de los imanes de desguace?
¿Por qué no siente nada la carga de prueba en reposo junto al hilo, aunque los electrones desfilen a su lado? (¿Qué cancelación la protege y con qué exactitud?).

Parte IV — Más allá del hilo.

El volumen del Año 2 dedujo los campos magnéticos de la ley de Ampère con las corrientes como fuentes dadas. ¿Qué añade este capítulo a esa versión: qué es el campo magnético, visto desde este problema?
Los imanes de hierro no tienen pila: ¿qué desempeña el papel de la corriente en el magnetismo permanente (una frase; la respuesta microscópica honrada es cuántica y espera cinco capítulos)?
Un haz de electrones aislado en el vacío (sin red): ¿un observador que viaje con él lo ve atraerse o repelerse más que un observador del laboratorio? Reconcíliense las versiones de los dos sistemas sobre el autoenfoque de un haz.
Hágase cuantitativo el punto anterior: muéstrese que dos haces paralelos de cargas del mismo signo que se mueven juntos a $\beta$ se repelen con una fuerza neta (repulsión eléctrica menos atracción magnética) reducida exactamente en $1/\gamma^2$ respecto de su valor en reposo — y dígase en qué sistema resulta obvio ese factor.
La energía de una lámpara llega casi a $c$ mientras sus electrones derivan un metro por hora: ¿qué transporta realmente la energía a lo largo del cable (recuérdese el vector de Poynting del volumen del Año 2)?
Estímese $vu/c^2$ para los electrones de este problema y una carga de prueba peatonal ( $v = 1\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ): incluso ahí, la fuerza es medible a primer orden con una aguja imantada — ¿quién demostró que una corriente desvía una brújula, y en qué año?
Resúmase el resultado con nombre propio: un hilo neutro de $10\,\mathrm{A}$ , observado desde un asiento que se mueve a $10^{5}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , lleva $-10^{-11}\,\mathrm{C}/\mathrm{m}$ de carga relativista — y ese error de contabilidad de orden $10^{-24}$ de la contracción de longitudes, multiplicado por $10^{28}$ electrones, es toda la fuerza magnética del laboratorio.

Solución

Solución de Problema 6.1.

1. $u = I/nSe = 7.4 \times 10^{-4}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; $u^2/c^2 = 6 \times 10^{-24}$ . 2. $\lambda = I/u = nSe = 1.36 \times 10^{4}\,\mathrm{C}/\mathrm{m}$ — catorce kiloculombios por metro en cada corriente. 3. $B = \mu_0I/2\pi d = 2.0 \times 10^{-4}\,\mathrm{T}$ ; $F = qvB = 10^{-6} \times 10^{5} \times 2 \times 10^{-4} = 2 \times 10^{-5}\,\mathrm{N}$ , dirigida hacia el hilo (las corrientes paralelas se atraen). 4. Las dos densidades lineales de carga se cancelan exactamente: $\lambda_{\text{tot}} = 0$ , sin campo a orden cero. 5. Un electrón en exceso por metro: $E = 2k\lambda_1/d = 2.9 \times 10^{-7}\,\mathrm{V}/\mathrm{m}$ , fuerza $2.9 \times 10^{-13}\,\mathrm{N}$ — $10^8$ veces menor que la fuerza magnética. El hilo podría esconder cien millones de electrones parásitos por metro antes de que la electrostática rivalizara con el magnetismo: atribuir la fuerza a $\vect B$ es seguro. 6. $2 \times 10^{-5}\,\mathrm{N}$ son veinte pesos de grano de arena: fácilmente medible. 7. Red: $-v$ . Electrones (que derivan a $u$ en sentido opuesto a $I$ , es decir, opuesto al cambio de sistema): velocidad $(u + v)/(1 + uv/c^2)$ — más rápidos que la red. 8. $\lambda' = \gamma_v(\lambda_{\text{tot}} - vI/c^2) = -\gamma_v vI/c^2$ . 9. $\lambda' = -10^{5} \times 10/9 \times 10^{16} = -1.1 \times 10^{-11}\,\mathrm{C}/\mathrm{m}$ : unos $7 \times 10^7$ electrones en exceso por metro. La corriente de electrones, más rápida en este sistema, es la más densa — cada corriente se contrae con su propio $\gamma$ . 10. $E' = 2k|\lambda'|/d = 2 \times 9 \times 10^{9} \times 1.1 \times 10^{-11}/0.01 = 20\,\mathrm{V}/\mathrm{m}$ , apuntando hacia el hilo; fuerza $qE' = 2 \times 10^{-5}\,\mathrm{N}$ , atractiva. 11. Idéntica a $qvB$ salvo el factor $\gamma_v = 1 + 5.6 \times 10^{-8}$ : exactamente la ley de transformación de una fuerza transversal (la cuadrifuerza), $F_{\text{reposo}} = \gamma F_{\text{lab}}$ . 12. El hilo sigue llevando una corriente (mayor), luego $\vect B' \neq 0$ — pero nuestra carga está aquí en reposo, y un campo magnético solo agarra a las cargas en movimiento. 13. $|\lambda'|/\lambda = \gamma_v vu/c^2 = 8.2 \times 10^{-16}$ . 14. Multiplica a $\lambda/e \approx 8.5 \times 10^{22}$ cargas elementales por metro: $8.2 \times 10^{-16} \times 8.5 \times 10^{22} \approx 7 \times 10^{7}$ electrones por metro — macroscópico. La materia está tan enormemente cargada que su neutralidad es el filo de una navaja; la relatividad inclina la navaja. 15. $F/L = \mu_0I_1I_2/2\pi d = 2 \times 10^{-7} \times 100/0.01 = 2 \times 10^{-3}\,\mathrm{N}/\mathrm{m}$ — la fórmula que un día definió el amperio. 16. $B = \mu_0nI = 4\pi\times10^{-7} \times 10^{4} \times 10 = 0.13\,\mathrm{T}$ ; presión magnética $B^2/2\mu_0 \approx 6300\,\mathrm{Pa} \approx 0.6\,\mathrm{N}/\mathrm{cm}^{2}$ : coches enteros cuelgan de relatividad integrada. 17. Hacer $c \to \infty$ mata $\lambda'$ y, con él, la fuerza, la parte magnética del campo, los motores, las dinamos y las grúas de desguace: el magnetismo no tiene existencia no relativista. 18. En reposo, la carga ve el hilo neutro del laboratorio: las dos corrientes se cancelan con la precisión con que la materia es neutra — conocida experimentalmente con una exactitud fantástica — y no actúa fuerza alguna. 19. Que la imagen de las “fuentes dadas” era la rebanada que un sistema toma de un único tensor: $\vect B$ es la parte del campo electromagnético que el movimiento de un observador dado asigna a las corrientes en lugar de a las cargas. 20. El espín del electrón: cada electrón es un imán elemental (una “corriente” intrínseca y cuántica), y el hierro es materia en la que estos se alinean — los Capítulo 12 y Capítulo 22 lo retoman. 21. En el sistema propio del haz, la repulsión es puramente coulombiana y máxima; en el laboratorio, la atracción magnética de las corrientes paralelas casi la cancela. No hay contradicción: la fuerza transversal del laboratorio es la del sistema propio dividida por $\gamma$ , y la dinámica más lenta (dilatación del tiempo) completa la cuenta. 22. Fuerza neta en el laboratorio $= qE_{\text{lab}} - qvB_{\text{lab}} = (1 - \beta^2)qE_{\text{lab}} = F_{\text{Coulomb}}/\gamma^2$ según la transformación; en el sistema propio el factor es transparente: electrostática pura, con la explosión observada a través de un tiempo dilatado. 23. El vector de Poynting: la energía fluye por los campos que rodean a los conductores casi a $c$ , y los electrones se limitan a dirigirla; el cobre del cable es una guía, no una tubería. 24. $vu/c^2 \approx 8 \times 10^{-21}$ — y, aun así, Oersted vio oscilar su brújula junto a un hilo en 1820: el multiplicador de $10^{22}$ cargas ya estaba trabajando un siglo antes de que nadie pudiera ponerle nombre. 25. Un hilo neutro de $10\,\mathrm{A}$ , visto desde $10^{5}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , lleva $-1.1 \times 10^{-11}\,\mathrm{C}/\mathrm{m}$ : la diferencia contable de $10^{-16}$ de la contracción de longitudes, multiplicada por $10^{23}$ cargas por metro, es la fuerza magnética — todo el magnetismo es relatividad auditada a paso de caracol.

Términos definidos en este capítulo

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