Física universitaria — tercer año · Bachelor Year 3

19Estadística cuántica

Los electrones de conducción del cobre forman un gas mil veces más denso que el aire — y, sin embargo, casi no añaden nada a la capacidad calorífica del cobre, escándalo que atormentó a la física clásica durante cincuenta años. Una nube de átomos de rubidio, enfriada hasta unas cien milmillonésimas de kelvin, colapsa de pronto en un solo estado cuántico con diez mil átomos dentro. Una estrella muerta con la masa del Sol y el tamaño de la Tierra se niega a encogerse más, sostenida por nada más que el principio de exclusión. Las tres cosas son un mismo capítulo de la física: lo que le ocurre a un gas cuando $n\lambda_T^3 \sim 1$ y las fórmulas de ocupación del Capítulo 18 se apartan de Boltzmann. Los fermiones construyen mares — fríos, rígidos, a presión; los bosones construyen condensados — gregarios, coherentes, superfluidos. Entre la mayoría silenciosa del mar de Fermi y la estampida del condensado cabe casi toda la física moderna de la materia condensada y de las bajas temperaturas, y el destino de las estrellas.

19.1 Gases de ocupaciones

Proposición 19.1 (La maquinaria del gas cuántico)

Para partículas sin interacción en una caja, las sumas sobre niveles se convierten en integrales sobre la densidad de estados de la Proposición 7.5 (por estado de espín, $g(\epsilon) = (V/4\pi^2)(2m/\hbar^2)^{3/2}\sqrt\epsilon$ ):

N = \int_0^\infty g(\epsilon)\,\bar n(\epsilon)\,\dd\epsilon , \qquad E = \int_0^\infty g(\epsilon)\,\bar n(\epsilon)\,\epsilon\, \dd\epsilon ,

con $\bar n$ la ocupación de Fermi–Dirac o de Bose–Einstein. La primera ecuación fija $\mu(T, n)$ ; la segunda entrega la termodinámica. En el límite diluido $n\lambda_T^3 \ll 1$ , ambas estadísticas colapsan sobre Boltzmann y regresa el gas clásico; los regímenes cuánticos empiezan donde los paquetes de onda se tocan.

Demostración. Admitido a este nivel. ∎

19.2 El mar de Fermi

Teorema 19.2 (El gas de Fermi degenerado)

A $T = 0$ , los fermiones llenan todos los niveles hasta la energía de Fermi

E_{\text{F}} = \frac{\hbar^2}{2m}\,(3\pi^2n)^{2/3} \qquad (\text{espín } \tfrac12) ,

con energía media $\tfrac35 E_{\text{F}}$ por partícula y la presión de degeneración

P = \frac25\,n\,E_{\text{F}} \;\propto\; n^{5/3} :

una presión en el cero absoluto, de origen puramente cuántico — la rigidez del gas electrónico de todo metal y el sostén de las estrellas muertas. Para $0 < T \ll T_{\text{F}} = E_{\text{F}}/k_{\text{B}}$ , solo los electrones que están a $\sim k_{\text{B}}T$ de la superficie de este mar de Fermi pueden responder a nada: la fracción $\sim T/T_{\text{F}}$ es la llave maestra del comportamiento metálico.

Demostración parcial. Llénese $g(\epsilon)$ hasta $E_{\text{F}}$ : invertir $N = \int_0^{ E_{\text{F}}}g\,\dd\epsilon$ da la $E_{\text{F}}$ enunciada (Ejercicio 7.8); $\langle\epsilon \rangle = \tfrac35 E_{\text{F}}$ con una integral más. La presión: comprimir la caja sube todos los niveles como $V^{-2/3}$ , luego $E \propto V^{-2/3}$ y $P = -\partial E/\partial V = \tfrac23 E/V$ — con $E = \tfrac35 NE_{\text{F}}$ , la ley enunciada. ∎

El mar de Fermi a T T_ F: la ocupación es un escalón levemente difuminado. Los electrones profundos no pueden dispersarse, absorber ni responder — todo estado accesible está ocupado; toda la física metálica ocurre en la fina capa térmica de la superficie. — El mar de Fermi a $T \ll T_{\text{F}}$ : la ocupación es un escalón levemente difuminado. Los electrones profundos no pueden dispersarse, absorber ni responder — todo estado accesible está ocupado; toda la física metálica ocurre en la fina capa térmica de la superficie.

Ejemplo 19.3 (El escándalo de la capacidad calorífica, resuelto)

Clásicamente, el electrón libre por átomo del cobre debería añadir $\tfrac32 k_{\text{B}}$ a la capacidad calorífica — un $50\%$ por encima de Dulong–Petit. Lo medido: alrededor del $1\%$ a temperatura ambiente. El mar lo explica: con $T_{\text{F}} \approx 8 \times 10^{4}\,\mathrm{K}$ , solo la fracción $\sim T/T_{\text{F}} \approx 0.4\%$ de los electrones puede excitarse térmicamente, cada uno en $\sim k_{\text{B}}T$ :

C_{\text{el}} \approx \frac{\pi^2}{2}\, Nk_{\text{B}}\,\frac{T}{T_{\text{F}}}

(el coeficiente exacto de Sommerfeld; Ejercicio 19.12). Lineal en $T$ , queda sepultada bajo el $T^3$ de la red a temperaturas ordinarias, pero domina por debajo de unos pocos kelvin — exactamente lo que encuentran los calorímetros, y resuelve de un golpe el enigma de los electrones que transportan corriente pero no capacidad calorífica.

Ejemplo 19.4 (Estrellas sostenidas por la exclusión)

Una enana blanca (Ejercicio 14.11) equilibra la gravedad con la presión de degeneración electrónica. Como $P \propto n^{5/3}$ se endurece más deprisa que las exigencias de la gravedad a medida que la estrella se encoge, existe un radio de equilibrio para cualquier masa modesta — con el inquietante escalado $R \propto M^{-1/3}$ : las enanas más pesadas son más pequeñas. Al apretarlas más, los electrones se vuelven relativistas, la ley de presión se ablanda hasta $n^{4/3}$ y el equilibrio falla en una masa única, el límite de Chandrasekhar $M_{\text{Ch}} \approx 1.4\,M_\odot$ (Problema 19.1) — más allá, el colapso a una estrella de neutrones: un mar de Fermi de neutrones a densidad nuclear, la misma física a $10^{14}$ veces la densidad.

19.3 La estampida de Bose

Teorema 19.5 (Condensación de Bose–Einstein)

Para un gas de $N$ bosones conservados, los estados excitados pueden alojar como mucho $N_{\max}(T) = 2.612\,V/\lambda_T^3$ partículas (la integral de $g\bar n_{\text{BE}}$ en su techo $\mu \to 0$ ). Por debajo de la temperatura crítica

k_{\text{B}}T_{\text{c}} = \frac{2\pi\hbar^2}{m} \Big(\frac{n}{2.612}\Big)^{2/3} \quad\text{(equivalentemente } n\lambda_{T_{\text{c}}}^3 = 2.612 \text{)} ,

el excedente no tiene otro sitio adonde ir que el único estado fundamental: una población macroscópica

\frac{N_0}{N} = 1 - \Big(\frac{T}{T_{\text{c}}}\Big)^{3/2}

se condensa en un solo estado cuántico — materia que se comporta como una única función de onda gigante. Predicha por Einstein en 1925 a partir de la estadística fotónica de Bose; realizada en rubidio diluido en 1995 a $T_{\text{c}} \approx 100\,\mathrm{nK}$ (Nobel de 2001), y anunciada por la reveladora distribución de velocidades bimodal: una nube térmica con una aguja de condensado a velocidad nula que se alza en su centro.

Demostración. Admitido a este nivel. ∎

Izquierda: por debajo de T_ c, la población del estado fundamental se hace macroscópica. Derecha: la firma de 1995 — liberada e imaginada, la nube muestra una distribución térmica ancha con un pico estrecho a velocidad nula: un solo estado cuántico, visible para una cámara. — Izquierda: por debajo de $T_{\text{c}}$ , la población del estado fundamental se hace macroscópica. Derecha: la firma de 1995 — liberada e imaginada, la nube muestra una distribución térmica ancha con un pico estrecho a velocidad nula: un solo estado cuántico, visible para una cámara.

Ejemplo 19.6 (El helio, superfluido veterano)

El $^4$ He líquido (bosónico) se transforma a $T_\lambda = 2.17\,\mathrm{K}$ en un superfluido: viscosidad nula a través de los capilares más finos, flujo en película por las paredes del recipiente, efectos de fuente y circulación cuantizada en unidades de $h/m$ — la fase macroscópica de un condensado en acción, desplazada respecto de la predicción de gas ideal ( $3.1\,\mathrm{K}$ para la densidad del helio) por las interacciones, pero inconfundiblemente el mismo fenómeno. El $^3$ He fermiónico no puede condensar solo: sus átomos deben aparearse antes (como los electrones de un superconductor, Capítulo 24) en bosones compuestos — y la superfluidez llega en efecto, pero a $2.6\,\mathrm{mK}$ , mil veces más frío: dos isótopos, una lección — la estadística es el destino.

Método 19.7 (Qué estadística, qué régimen)

(1) Calcúlese primero $n\lambda_T^3$ : $\ll1$ significa Boltzmann y basta con el capítulo 17. (2) Fermiones degenerados: piénsese en $E_{\text{F}}$ y $T/T_{\text{F}}$ ; las respuestas (capacidad calorífica, susceptibilidad, dispersión) llevan el factor $T/T_{\text{F}}$ o solo muestrean la superficie de Fermi. (3) Bosones degenerados: compárese $T$ con $T_{\text{c}}$ ; por debajo, sepárese el gas en condensado más nube térmica. (4) Presiones: la rigidez fermiónica $n^{5/3}$ (o $n^{4/3}$ relativista) frente a lo que sea que apriete. (5) Partículas compuestas: cuéntense los fermiones constituyentes para elegir la estadística — y recuérdese que el apareamiento puede convertir una estadística en la otra.

Un superconductor levitando y expulsando las líneas de campo de un imán: por debajo de su temperatura crítica, el fluido electrónico condensa en un único estado cuántico macroscópico — física de degeneración sosteniendo un disco en el aire.

19.4 Ejercicios

Ejercicio 19.1 ★

Calcúlense $E_{\text{F}}$ y $T_{\text{F}}$ para (a) el cobre ( $n = 8.5 \times 10^{28}\,\mathrm{m}^{-3}$ ); (b) el sodio ( $2.5 \times 10^{28}\,\mathrm{m}^{-3}$ ); (c) el $^3$ He líquido ( $1.6 \times 10^{28}\,\mathrm{m}^{-3}$ , $m = 3u$ ); (d) ordénense frente a la temperatura ambiente y coméntese quién está degenerado y cuándo.

Solución

Solución de Ejercicio 19.1.

(a) $7.1\,\mathrm{eV}$ , $8.2 \times 10^{4}\,\mathrm{K}$ . (b) $3.2\,\mathrm{eV}$ , $3.7 \times 10^{4}\,\mathrm{K}$ . (c) Con $m = 3u$ : $E_{\text{F}} \approx 4 \times 10^{-4}\,\mathrm{eV}$ , $T_{\text{F}} \approx 5\,\mathrm{K}$ (valor de gas ideal; las interacciones lo bajan). (d) Los electrones de los metales: degenerados a toda temperatura terrestre; el $^3$ He: solo por debajo de unos pocos kelvin; $T = 300\,\mathrm{K}$ nunca roza la escala de Fermi de un metal.

Ejercicio 19.2 ★

(a) Muéstrese que $\langle\epsilon\rangle = \tfrac35 E_{\text{F}}$ a $T = 0$ . (b) Calcúlese la velocidad cuadrática media de los electrones del cobre. (c) ¿A qué temperatura corresponde clásicamente esa velocidad? (d) ¿Por qué contiene un metal frío electrones que se mueven a una centésima de la velocidad de la luz sin radiar esa energía?

Solución

Solución de Ejercicio 19.2.

(a) $\int_0^{E_{\text{F}}}\epsilon\,g\,\dd\epsilon/\int g\,\dd \epsilon = \tfrac35 E_{\text{F}}$ a partir de $g \propto \sqrt\epsilon$ . (b) $v_{\text{F}} = \sqrt{2E_{\text{F}}/m_{\text{e}}} = 1.6 \times 10^{6}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; el valor cuadrático medio $\sqrt{3/5}\,v_{\text{F}} \approx 1.2 \times 10^{6}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ . (c) $\tfrac32 k_{\text{B}}T = \tfrac35 E_{\text{F}}$ : $T \approx 3.3 \times 10^{4}\,\mathrm{K}$ . (d) No hay adónde ir: todo estado inferior está ocupado, así que no puede emitirse ningún fotón ni frenarlos ninguna colisión — velocidad sin calor, por exclusión.

Ejercicio 19.3 ★

Presión de degeneración de los electrones del cobre: (a) evalúese $P = \tfrac25 nE_{\text{F}}$ en pascales y en atmósferas. (b) ¿Por qué no explota el metal (qué tira en sentido contrario)? (c) Esta presión resiste la compresión: relaciónese con la baja compresibilidad de los metales. (d) Estímese el módulo de compresibilidad $K \sim \tfrac53 P$ y compárese con los $140\,\mathrm{GPa}$ medidos del cobre.

Solución

Solución de Ejercicio 19.3.

(a) $P = 0.4 \times 8.5 \times 10^{28} \times 7.1\,\mathrm{eV} = 3.9 \times 10^{10}\,\mathrm{Pa} \approx 4 \times 10^{5}$ atmósferas. (b) La atracción de Coulomb de la red de iones: el metal es la tregua entre las dos (Ejercicio 19.11). (c) Comprimir sube $E_{\text{F}}$ de forma abrupta (como $n^{2/3}$ ): los metales se resisten. (d) $K \sim \tfrac53 P \approx 65\,\mathrm{GPa}$ frente a los $140\,\mathrm{GPa}$ medidos: la mitad de la rigidez del cobre es exclusión pura.

Ejercicio 19.4 ★

Umbrales de condensación. (a) Calcúlese $T_{\text{c}}$ para el rubidio-87 ( $m = 1.44 \times 10^{-25}\,\mathrm{kg}$ ) a $n = 10^{20}\,\mathrm{m}^{-3}$ . (b) Con la misma $n$ , ¿qué $T_{\text{c}}$ tendrían los átomos de hidrógeno? (c) ¿Por qué usan los experimentos gases diluidos a nanokelvin en vez de gases densos a milikelvin (qué ocurre químicamente a densidad alta y temperatura baja)? (d) Compruébese la regla de consistencia $n\lambda_{T_c}^3 = 2.612$ con sus números del rubidio.

Solución

Solución de Ejercicio 19.4.

(a) $T_{\text{c}} \approx 0.4\,\text{µ}\mathrm{K}$ — el condensado del JILA apareció a $170\,\mathrm{nK}$ : la misma física, con una densidad de pico algo menor. (b) $T_{\text{c}} \propto 1/m$ : $\times87 \approx 35\,\text{µ}\mathrm{K}$ . (c) A densidad alta y con ese frío, todos los gases salvo el hidrógeno polarizado en espín solidifican; las colisiones a tres cuerpos forman moléculas. El truco es un gas diluido y metastable, lo bastante frío para que $\lambda_T$ compense la dilución. (d) $\lambda_{T_{\text{c}}} = h/\sqrt{2\pi mk_{\text{B}}T_{\text{c}}} \approx 0.3\,\text{µ}\mathrm{m}$ : $n\lambda^3 = 10^{20} \times 2.7 \times 10^{-20} \approx 2.7$ , como exige la regla.

Ejercicio 19.5 ★★

Dos capacidades caloríficas. En un metal, $C = \gamma T + \beta T^3$ (electrones; red). (a) Usando el Ejemplo 19.3 y el término de red de tipo Debye $\beta T^3 = 234\,Nk_{\text{B}}(T/\theta_{\text{D}})^3$ , estímese la temperatura de cruce para el cobre ( $\theta_{\text{D}} = 343\,\mathrm{K}$ , $T_{\text{F}} = 8.2 \times 10^{4}\,\mathrm{K}$ ). (b) A $300\,\mathrm{K}$ , la parte electrónica en porcentaje. (c) ¿Y a $0.1\,\mathrm{K}$ ? (d) ¿Por qué representan los experimentadores $C/T$ frente a $T^2$ , y qué entregan la ordenada en el origen y la pendiente de esa recta?

Solución

Solución de Ejercicio 19.5.

(a) $\gamma T = \beta T^3$ en $T^2 = \gamma/\beta$ : para el cobre, $T \approx 3\,\mathrm{K}$ . (b) $C_{\text{el}}/C \approx (\pi^2/2)(300/8.2 \times 10^{4})/3 \approx 0.6\%$ . (c) A $0.1\,\mathrm{K}$ , el término de red se ha desplomado como $T^3$ : los electrones aportan $\sim10^3$ veces más — la calorimetría se vuelve espectroscopia electrónica. (d) $C/T = \gamma + \beta T^2$ es una recta en $T^2$ : la ordenada en el origen $\gamma$ mide la densidad de estados en el nivel de Fermi, y la pendiente $\beta$ la temperatura de Debye — dos números por metal a partir de una sola gráfica.

Ejercicio 19.6 ★★

Una enana blanca de una masa solar ( $M = 2 \times 10^{30}\,\mathrm{kg}$ ) y radio terrestre ( $R = 6.4 \times 10^{6}\,\mathrm{m}$ ), con un electrón por cada dos nucleones. (a) Calcúlense $n_{\text{e}}$ y $E_{\text{F}}$ (con la fórmula no relativista). (b) Compárese $E_{\text{F}}$ con $m_{\text{e}}c^2$ y con $k_{\text{B}}T$ a los $10^{7}\,\mathrm{K}$ del interior: justifíquese “fría” y “casi relativista” a la vez. (c) Compárese la presión de degeneración $\tfrac25 nE_{\text{F}}$ con la estimación de presión gravitatoria $\sim GM^2/R^4$ : ¿del mismo orden? (d) ¿Qué le ocurre cualitativamente a cada lado del equilibrio si $M$ crece?

Solución

Solución de Ejercicio 19.6.

(a) $N_{\text{e}} = M/2m_{\text{n}} = 6 \times 10^{56}$ ; $n = 5.5 \times 10^{35}\,\mathrm{m}^{-3}$ ; $E_{\text{F}} \approx 0.24\,\mathrm{MeV}$ . (b) La mitad de la energía en reposo del electrón (al borde de lo relativista) y, aun así, trescientas veces $k_{\text{B}}T$ ( $0.9\,\mathrm{keV}$ ): al rojo blanco y cuánticamente fría a la vez. (c) $P_{\text{deg}} \approx 9 \times 10^{21}\,\mathrm{Pa}$ frente a $GM^2/R^4 \sim 10^{22}\,\mathrm{Pa}$ : el mismo orden — la estrella es exactamente ese equilibrio. (d) Con más masa: el lado de la gravedad crece como $M^2$ y la estrella debe encogerse ( $R \propto M^{-1/3}$ ), lo que empuja $E_{\text{F}}$ hacia el ablandamiento relativista.

Ejercicio 19.7 ★★

Materia de neutrones. Una estrella de neutrones comprime $M = 1.4\,M_\odot$ en $R \approx 11\,\mathrm{km}$ . (a) Calcúlese la densidad de neutrones y compárese con la densidad nuclear ( $2.3 \times 10^{17}\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ ). (b) Calcúlese $E_{\text{F}}$ para los neutrones (de forma no relativista; $m_{\text{n}}c^2 = 939\,\mathrm{MeV}$ ) y compruébese cuán relativistas son. (c) ¿Por qué desaparecieron los electrones de la estrella (desintegración beta inversa: $\text{e} + \text{p} \to \text{n} + \nu$ — qué hizo que la $E_{\text{F}}$ de los electrones la pagara)? (d) Una cucharadita de esta materia, ¿cuánto pesa?

Solución

Solución de Ejercicio 19.7.

(a) $\rho \approx 5 \times 10^{17}\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ : unas dos veces la densidad nuclear — un núcleo del tamaño de una ciudad. (b) $n_{\text{n}} \approx 3 \times 10^{44}\,\mathrm{m}^{-3}$ : $E_{\text{F}} \approx 90\,\mathrm{MeV}$ , una décima parte de $m_{\text{n}}c^2$ : la relatividad llama a la puerta. (c) La energía de Fermi de los electrones superó el coste de $0.78\,\mathrm{MeV}$ de $\text{e} + \text{p} \to \text{n} + \nu$ : la captura se volvió rentable, y la estrella cambió sus electrones y protones por neutrones. (d) $5\,\mathrm{cm}^{3} \times 5 \times 10^{17}\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3} = 2.5 \times 10^{12}\,\mathrm{kg}$ : una cucharadita que pesa más que una cordillera.

Ejercicio 19.8 ★★

Bosones sin número. (a) Los fotones tienen siempre $\mu = 0$ : ¿por qué no pueden sufrir la condensación del Teorema 19.5 (qué hace el gas en su lugar al enfriarse)? (b) ¿Qué ley de conservación tienen los átomos de rubidio de la que carecen los fotones? (c) En 2010 sí se logró un condensado de fotones, en una cavidad llena de colorante donde los fotones se termalizan y su número queda de hecho fijado: ¿qué ingrediente restituyó esa cavidad? (d) Los fonones de un cristal: ¿condensación o no, y por qué?

Solución

Solución de Ejercicio 19.8.

(a) Enfriar una cavidad simplemente quita fotones (las paredes los absorben): sin ningún número que conservar, $\mu$ queda clavado en cero y ningún excedente se amontona jamás en el modo fundamental — el gas se apaga en vez de condensar. (b) El número de átomos se conserva en toda escala de tiempo de laboratorio. (c) El colorante absorbe y reemite una y otra vez los fotones sin perderlos en la escala de tiempo de la termalización: un número de fotones efectivamente conservado (y una masa efectiva procedente de la cavidad) — y la condensación aparece en efecto. (d) Los fonones: creados y destruidos sin trabas, $\mu = 0$ : no hay condensación — el “gas de fonones” de un cristal simplemente se congela.

Ejercicio 19.9 ★★

Los dos isótopos del helio. (a) Calcúlese la $T_{\text{c}}$ de gas ideal para el $^4$ He líquido ( $n = 2.2 \times 10^{28}\,\mathrm{m}^{-3}$ , $m = 4u$ ) y compárese con $T_\lambda = 2.17\,\mathrm{K}$ . (b) ¿Por qué el acuerdo es solo aproximado (qué ignora “ideal” en un líquido)? (c) El $^3$ He, a densidad casi igual, sigue normal hasta los milikelvin: enúnciense el obstáculo y el rodeo que halló la naturaleza. (d) Comprobación de la lógica de los compuestos: un par de $^3$ He contiene un número par de fermiones — bosón; el $^6$ Li alberga $3\text{p} + 3\text{n} + 3\text{e} = 9$ fermiones: clasifíquese y nómbrense los célebres experimentos de gases fríos que explotan justamente ese contraste Li–Li.

Solución

Solución de Ejercicio 19.9.

(a) $T_{\text{c}}^{\text{ideal}} \approx 3.1\,\mathrm{K}$ frente al $T_\lambda = 2.17\,\mathrm{K}$ medido. (b) El helio líquido es denso y fuertemente interactuante: “ideal” descarta las interacciones que desplazan (y remodelan) la transición. (c) Los átomos de $^3$ He son fermiones: no hay condensación sin apareamiento; las interacciones atractivas ligan pares de tipo Cooper solo por debajo de $2.6\,\mathrm{mK}$ , y el líquido apareado superfluye entonces. (d) Nueve fermiones: el $^6$ Li es un fermión (mientras que el $^7$ Li es un bosón) — el par de isótopos del litio permite a un mismo laboratorio estudiar un mar de Fermi y un condensado en el mismo horno.

Ejercicio 19.10 ★★★

$T_{\text{c}}$ con honradez. (a) Escríbase $N_{\text{exc}} = \int_0^\infty g(\epsilon)\dd\epsilon/(\eu^{\beta\epsilon} - 1)$ en $\mu = 0$ y redúzcase, con $x = \beta\epsilon$ , a $N_{\text{exc}} = (V/\lambda_T^3)\cdot\frac{2}{\sqrt\pi}\int_0^\infty\frac{\sqrt x\,\dd x}{\eu^x - 1}$ . (b) Dado que $\int_0^\infty\sqrt x\,\dd x/( \eu^x - 1) = 2.612\,\sqrt\pi/2$ , obténganse el techo y $T_{\text{c}}$ . (c) Dedúzcase la fracción condensada $1 - (T/T_{\text{c}})^{3/2}$ . (d) ¿Por qué produce el mismo argumento ninguna condensación en una caja bidimensional (cómo cambia $g( \epsilon)$ y qué le ocurre a la convergencia de la integral)?

Solución

Solución de Ejercicio 19.10.

(a) Sustitúyase $g \propto \sqrt\epsilon$ y sáquese $\beta$ del integrando. (b) El valor de la integral da $N_{\text{exc}} = 2.612\,V/\lambda_T^3$ ; imponer $N_{\text{exc}} = N$ define $T_{\text{c}}$ . (c) Por debajo de $T_{\text{c}}$ , $N_{\text{exc}}(T) = N(T/T_{\text{c}})^{3/2}$ ; el resto es $N_0$ . (d) En dos dimensiones, $g(\epsilon)$ es constante y $\int\dd\epsilon/(\eu^{ \beta\epsilon} - 1)$ diverge por abajo: los estados excitados siempre pueden absorberlos a todos — no hay población macroscópica del estado fundamental a ninguna $T > 0$ .

Ejercicio 19.11 ★★★

Por qué se mantienen unidos los metales. Modélese un metal como electrones de densidad $n$ (con coste de energía de Fermi $\propto n^{2/3}$ por electrón) atraídos por un fondo iónico neutralizador (con ganancia de Coulomb por electrón $\sim -e^2n^{1/3}/4\pi\varepsilon_0$ ). (a) Escríbase la energía por electrón $\epsilon(n) = An^{2/3} - Bn^{1/3}$ y muéstrese que tiene un mínimo. (b) Muéstrese que el espaciado electrónico de equilibrio es del orden de $a_0$ — las densidades metálicas no son accidentes. (c) Estímese la escala de energía de cohesión en el mínimo, en eV. (d) ¿Qué papel juega la presión de degeneración en este estado ligado (qué frena el colapso de Coulomb)?

Solución

Solución de Ejercicio 19.11.

(a) $\dd\epsilon/\dd n = \tfrac23 An^{-1/3} - \tfrac13 Bn^{-2/3} = 0$ en $n^{1/3} = B/2A$ : un mínimo genuino. (b) Con $A \sim \hbar^2/m_{\text{e}}$ y $B \sim e^2/4\pi\varepsilon_0$ , el espaciado de equilibrio $n^{-1/3} \sim \hbar^2 4\pi\varepsilon_0/ m_{\text{e}}e^2 = a_0$ : los metales son densos porque lo dice el radio de Bohr. (c) $\epsilon_{\min} \sim -B^2/A \sim -E_{\text{I}}$ — cohesión de un electronvoltio, tal como se mide. (d) La presión de degeneración es la mitad repulsiva de la tregua: sin ella, el término de Coulomb aplastaría la red hasta un punto — el volumen de la materia es de Pauli.

Ejercicio 19.12 ★★★

La capa de Sommerfeld, cuantificada. (a) Arguméntese: de $N$ electrones, solo $\sim g(E_{\text{F}})k_{\text{B}}T$ están en la capa activa, cada uno con una energía extra $\sim k_{\text{B}}T$ : dedúzcase $C_{\text{el}} \sim g(E_{\text{F}})k_{\text{B}}^2T$ salvo una constante. (b) Con $g(E_{\text{F}}) = 3N/2E_{\text{F}}$ , recupérese $C_{\text{el}} \sim Nk_{\text{B}}T/T_{\text{F}}$ (la constante exacta es $\pi^2/2$ ). (c) La misma lógica de la capa da la susceptibilidad de espín de Pauli, independiente de la temperatura: solo los electrones de la capa pueden voltear — pero la capa crece como $T$ mientras cada aportación cae como $1/T$ : muéstrese la cancelación. (d) Enúnciese la moraleja general para los fermiones degenerados: toda respuesta es la clásica multiplicada por $\sim T/T_{\text{F}}$ o por su análogo de solo superficie.

Solución

Solución de Ejercicio 19.12.

(a) Electrones activos: $g(E_{\text{F}})k_{\text{B}}T$ ; energía de cada uno: $\sim k_{\text{B}}T$ ; derívese $E_{\text{extra}} \sim g k_{\text{B}}^2T^2$ . (b) $g(E_{\text{F}}) = 3N/2E_{\text{F}}$ da $C \sim 3Nk_{\text{B}}T/T_{\text{F}}$ — el $\pi^2/2$ exacto sustituye al 3. (c) Los espines volteables $\propto T$ ; cada uno aporta una alineación $\propto \mu^2B/k_{\text{B}}T$ : las $T$ se cancelan — la susceptibilidad de Pauli es plana allí donde la de Curie (Ejercicio 17.11) cae como $1/T$ : un diagnóstico de degeneración. (d) Los fermiones degenerados responden solo en su superficie: multiplíquese cualquier respuesta clásica por $\sim T/T_{\text{F}}$ , o restrínjase a la capa de Fermi.

El primer condensado de Bose–Einstein (NIST/JILA, 1995, dominio público): distribuciones de velocidad de átomos de rubidio a medida que el gas se enfría, de izquierda a derecha — la colina térmica se desploma en el pico del condensado, setenta años después de la predicción.

19.5 Problema: la enana blanca más pesada posible

Problema 19.1

Problema de fin de semana — el límite de Chandrasekhar y las velas que encendió

En 1930, con diecinueve años, Subrahmanyan Chandrasekhar calculó en el barco rumbo a Inglaterra que la degeneración electrónica puede sostener una estrella muerta solo hasta una masa determinada. El resultado — al que Eddington se opuso con encono — subyace a las estrellas de neutrones, los agujeros negros y las “velas estándar” de supernova que revelaron el universo en aceleración. Este problema lo construye por escalado. Datos: $M_\odot = 2 \times 10^{30}\,\mathrm{kg}$ ; un electrón por cada $\mu_e = 2$ nucleones; $m_{\text{ n}} = 1.67 \times 10^{-27}\,\mathrm{kg}$ ; $\hbar c = 3.16 \times 10^{-26}\,\mathrm{J}\,\mathrm{m}$ ; $G = 6.67 \times 10^{-11}\,\mathrm{N}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{kg}^{2}$ .

Parte I — Equilibrio de dos energías. Para una estrella de masa $M$ y radio $R$ , trátense las energías por unidad de masa por escalado.

Energía gravitatoria: $E_{\text{g}} \sim -GM^2/R$ — recuérdese su origen.
Número de electrones $N_{\text{e}} = M/\mu_e m_{\text{n}}$ y densidad $n \sim N_{\text{e}}/R^3$ : escríbase la escala de energía de Fermi no relativista en función de $M$ y $R$ .
Muéstrese que la energía cinética (de degeneración) total escala como $E_{\text{k}} \sim \hbar^2N_{\text{e}}^{5/3}/m_{\text{e}} R^2$ .
Minimícese $E_{\text{k}} + E_{\text{g}}$ respecto de $R$ y muéstrese que el radio de equilibrio es $R \sim \hbar^2 N_{\text{e}}^{-1/3}/(G\,m_{\text{e}}\, m_{\text{n}}^2\mu_e^2)$ .
Léase el escalado $R \propto M^{-1/3}$ : las enanas más pesadas son más pequeñas. ¿Por qué huele eso ya a problemas?
Evalúese $R$ para $M = 1\,M_\odot$ y compárese con los $\approx5800\,\mathrm{km}$ medidos de Sirio B.

Parte II — La relatividad quita el suelo de en medio.

A medida que $R$ se encoge, $E_{\text{F}}$ crece: estímese la densidad a la que $E_{\text{F}} \sim m_{\text{e}}c^2$ y la región de masas de enana correspondiente.
En el régimen ultrarrelativista, la energía de cada electrón es $\sim\hbar c\,n^{1/3}$ : muéstrese que la energía cinética pasa a ser $E_{\text{k}} \sim \hbar c\,N_{\text{e}}^{4/3}/R$ .
Ambas energías escalan ahora como $1/R$ : conclúyase que el equilibrio ya no selecciona un radio — compárese en su lugar los dos coeficientes.
Imponiendo $\hbar c\,N_{\text{e}}^{4/3} \sim GM^2 = G(\mu_em_{\text{n}}N_{\text{e}})^2$ , dedúzcanse el número crítico de electrones y la masa

$M_{\text{Ch}} \sim \Big(\frac{\hbar c}{G\,m_{\text{n}}^2}\Big)^{3/2} \frac{m_{\text{n}}}{\mu_e^2} .$
Evalúese la razón adimensional $\hbar c/Gm_{\text{n}}^2$ — uno de los grandes números puros de la física — y luego $M_{\text{Ch}}$ en masas solares (el tratamiento exacto da $1.4\,M_\odot$ ).
Interprétese la fórmula: ¿qué tres constantes conspiran y por qué lleva un límite cuántico sobre una estrella una $\hbar$ ?

Parte III — Más allá del límite.

Una enana empujada más allá de $M_{\text{Ch}}$ (por acreción de una compañera): ¿qué la sostiene a continuación y a qué escala de radio (sustitúyase $m_{\text{e}}$ por $m_{\text{n}}$ y $\mu_e$ por 1 en el radio de la Parte I)?
Muéstrese que el límite relativista propio de la estrella de neutrones es del mismo orden que $M_{\text{Ch}}$ — la naturaleza solo concede un indulto de factor dos (máximo observado $\approx 2.2\,M_\odot$ ). ¿Qué espera más allá?
Durante el colapso a estrella de neutrones se libera $\sim GM^2/R_{ \text{ns}}$ de energía gravitatoria: evalúese para $M = 1.4\,M_\odot$ y $R = 11\,\mathrm{km}$ , y compárese con toda la producción del Sol en $10\,\mathrm{Gyr}$ ( $\sim1.2 \times 10^{44}\,\mathrm{J}$ ).
Casi toda ella se marcha como neutrinos en segundos: ¿qué observación de 1987 confirmó este cuadro de forma espectacular?
El rebote del núcleo en colapso y el empuje de los neutrinos expulsan la envoltura: una supernova por colapso de núcleo. Distíngase, en una frase cada una, de la supernova termonuclear (de tipo Ia) de una enana blanca que se enciende en el umbral de Chandrasekhar.
¿Por qué hace la detonación a una masa universal que las supernovas de tipo Ia sean casi idénticas — y por tanto utilizables como velas estándar?

Parte IV — Las velas y el cosmos.

El brillo aparente de una vela estándar da su distancia: enúnciese la lógica del inverso del cuadrado y por qué estándar es la palabra decisiva.
En 1998, dos equipos hallaron supernovas de tipo Ia lejanas más débiles de lo esperado: enúnciese la inferencia (expansión en aceleración — energía oscura) y por qué la fiabilidad de la vela era el punto crucial.
Enumérese en una línea la cadena de este problema: Pauli $\to$ presión de degeneración $\to$ $M_{\text{Ch}}$ $\to$ explosiones uniformes $\to$ aceleración cósmica.
Eddington se burló del resultado (“una estrella cometiendo absurdos”); Chandrasekhar recibió el Nobel cincuenta y tres años después: ¿qué enseña el episodio sobre seguir a las ecuaciones más allá de las conclusiones cómodas?
El espectro de Sirio B en 1915 implicaba una tonelada por centímetro cúbico — un “disparate” hasta que Fowler, a los pocos meses de la estadística de Fermi de 1926, explicó la estrella como un gas degenerado: dígase por qué el enigma era irresoluble un año y rutinario al siguiente.
Los muestreos de miles de enanas blancas encuentran masas agrupadas cerca de $0.6\,M_\odot$ y ninguna por encima de $\approx1.4\,M_\odot$ : ¿qué dos predicciones de este problema confirma ese único histograma?
Resúmase el resultado con nombre propio: $(\hbar c/Gm_{\text{n}}^2)^{ 3/2}m_{\text{n}} \approx 1.4\,M_\odot$ — tres constantes de la naturaleza fijando la enana blanca más pesada posible, la masa que dispara las explosiones calibradas del universo.

Solución

Solución de Problema 19.1.

1. La energía liberada al ensamblar la estrella a partir de materia dispersa — negativa, y más profunda cuanto más compacta. 2. $E_{\text{F}} \sim (\hbar^2/m_{\text{e}}) (N_{\text{e}}/R^3)^{2/3}$ . 3. $E_{\text{k}} \sim N_{\text{e}}E_{\text{F}} \sim \hbar^2N_{\text{e}}^{5/3}/m_{\text{e}}R^2$ . 4. Minimizar $A/R^2 - B/R$ da $R = 2A/B$ : $R \sim \hbar^2N_{\text{e}}^{-1/3}/(Gm_{\text{e}}m_{\text{n}}^2\mu_e^2)$ . 5. $N_{\text{e}} \propto M$ : $R \propto M^{-1/3}$ — añadir masa encoge la estrella, de modo que la densidad y $E_{\text{F}}$ crecen sin límite: el sostén no relativista vive a crédito. 6. $N_{\text{e}} = 6 \times 10^{56}$ : $R \sim 2000\,\mathrm{km}$ — el orden correcto al lado de los $5800\,\mathrm{km}$ de Sirio B (nuestro escalado descartó factores de unas pocas unidades). 7. $E_{\text{F}} \sim m_{\text{e}}c^2$ en $n \sim (m_{\text{e}}c/\hbar)^3 \approx 2 \times 10^{37}\,\mathrm{m}^{-3}$ , es decir, $\rho \sim 10^{10}$ – $10^{11}\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ : el régimen de las enanas más pesadas. 8. Cada electrón: $\epsilon \sim \hbar c\,n^{1/3}$ ; en total: $\hbar cN_{\text{e}}^{4/3}/R$ . 9. Con ambos términos $\propto 1/R$ , el radio desaparece: la estabilidad la decide si el coeficiente cinético supera al gravitatorio — un criterio de masa puro. 10. Iguálense: $N_{\text{e,crit}} \sim (\hbar c/ Gm_{\text{n}}^2\mu_e^2)^{3/2}$ , y $M_{\text{Ch}} = \mu_em_{\text{n}}N_{\text{e,crit}}$ : la fórmula enunciada. 11. $\hbar c/Gm_{\text{n}}^2 = 1.7 \times 10^{38}$ ; $M_{\text{Ch}} \sim (1.7 \times 10^{38})^{3/2}m_{\text{n}}/4 \approx 9 \times 10^{29}\,\mathrm{kg} \approx 0.5\,M_\odot$ — el cálculo exacto afina el orden de magnitud hasta $1.4\,M_\odot$ . 12. $\hbar$ (la presión es cuántica), $c$ (su ablandamiento relativista) y $G$ (el adversario): un número del tamaño de una estrella construido con tres constantes microscópicas — la mecánica cuántica legislando para objetos de $10^{57}$ partículas. 13. La degeneración de neutrones, a un radio menor en $\sim m_{\text{e}}/m_{\text{n}}$ (por la contabilidad de $\mu_e$ ): kilómetros — la estrella de neutrones. 14. Las mismas tres constantes con $m_{\text{n}}$ por doquier dan la misma escala de masa: las estrellas de neutrones se topan con un techo cerca de $2\,M_\odot$ ; más allá, ninguna ley de presión gana — un agujero negro. 15. $GM^2/R \approx 5 \times 10^{46}\,\mathrm{J}$ : varios cientos de veces toda la producción del Sol en diez mil millones de años, liberada en segundos. 16. La supernova 1987A: dos docenas de neutrinos, llegados horas antes de que la luz se avivara, portando justo la energía predicha — el colapso oído directamente. 17. Colapso de núcleo: el núcleo de hierro de una estrella masiva implosiona más allá de todo suelo de presión; la envoltura sale despedida. Tipo Ia: una enana blanca alimentada hasta el umbral enciende su carbono en un fogonazo termonuclear que desliga la estrella entera. 18. La misma masa disparadora, el mismo combustible, la misma energía liberada: curvas de luz casi idénticas — bombas calibradas. 19. Conocido el brillo absoluto, el brillo observado da la distancia por el inverso del cuadrado; sin lo de “estándar”, la escalera se viene abajo. 20. Demasiado débil significa demasiado lejos: la expansión se ha ido acelerando — energía oscura, apoyada probatoriamente en la uniformidad de las velas (de ahí el cuidado con su física). 21. Principio de exclusión $\to$ presión de degeneración $\to$ una masa límite universal $\to$ explosiones estandarizadas $\to$ la aceleración medida del universo. 22. Síganse las matemáticas adonde lleven: el comportamiento “absurdo” de las estrellas más allá del límite resultó ser el de las estrellas de neutrones y los agujeros negros — ambos catalogados hoy por millares. 23. En 1915 ninguna física conocida permitía a la materia una tonelada por centímetro cúbico; en 1926, la estadística de Fermi–Dirac la convirtió en el estado por defecto de cualquier gas frío y denso: la observación esperó a la estadística, y no al revés. 24. Que las enanas existen de forma estable en todo un rango de masas (la rama $R(M)$ ) y que la rama termina en $1.4\,M_\odot$ : ambas cosas están dibujadas en ese histograma. 25. $(\hbar c/Gm_{\text{n}}^2)^{3/2}m_{\text{n}} \approx 1.4\,M_\odot$ : tres constantes fijan la enana blanca más pesada — y con ella la masa que dispara las velas estándar que pesaron el destino del universo.